功和能

4. 明确保守力的概念，并掌握保守力作功的特点及与势能 的关系。
◆重点： 确切理解功、动能、势能的概念。熟练掌握三个基 本规律：质点的动能定理，质点系的功能原理，机 械能守恒定律。 ◆难点： (1)势能的概念：理解势能概念，牵涉到的其它概念 和因素较多，在引入势能概之前，首先要引入保守 力的概念。在势能概念中又牵涉到势能零点的选取， 势能属物体系所有，势能形式的多样性等。因此掌 握势能的概念要比掌握动能概念困难的多。 (2)分析判断在一个力学过程中系统的动量、动能、 机械能是否守恒。
A A
B
B
F1 dr F2 dr FN dr
A A A
B
B
B
A1AB A2 AB ANAB
即合力的功等于各分力沿同一路径所做的功的代 数和。
功的SI单位：焦耳（J） 1J = 1N· m
小结：对功的概念的理解应注意以下几个问题
1. 功是过程量，描述力作用于物体的空间积累效应， 一般情况下，其数值不仅与质点的初末位置有关，还 与质点的具体运动路径有关。 2. 功是标量，但它有正、负之分。
B
F
AAB
1 2 1 2 mv B mv A 2 2
1 2 即力对物体所做的功在数量上等于 mv 这个量 2
的增量。
质点的动能
1 2 p Ek m v ( ) 2 2m
由各个时刻质点的运动状态（以速率表征）所决定
2
AAB
1 2 1 2 mv B mv A 2 2
AAB EkB EkA
v v N m f mN mm r r
走一段小位移dr 所做的功：
2
2
dA f dr f dr v mm ds r
2
f 与 dr 均沿着圆周的 切线方向： 0 cos 1
转一周所做的功：
ds 2r
v2 v2 A dA mm ds mm 2r 2mm v2 r r
f x kx
AAB f dr f x dx
A)dx
xA
xB
AAB
1 2 1 2 kx A kx B 2 2
例4-1-4 光滑的水平桌面上有一环带，环带与小物体 的摩擦系数 m ，在外力作用下小物体 (质量 m) 以速 率 v 做匀速圆周运动，求转一周摩擦力做的功。 解：小物体在环带内侧作匀速率的圆周运动：
讨论题：
若将行星绕太阳的运动近似看作匀速圆周运动，则行 星的动能是否不变？太阳对行星的引力是否作功？
分析：行星 P 绕太阳 S 作匀速圆周运动，则
v = const.，
即行星的动能不变，按质点动能定理，太阳对行星的 引力不作功，这意味着引力与行星的位移 dr 处处相 垂直，即 dA = F ·dr = 0。
★ 质点系的动能定理
v1B
v2B •
2 3 0
2
27 4 72t 123t 72t t 2 0
2 3
2
12J
分析2：由运动学公式求出速度，直接运用动能定 理求功。 解：由 x = 3t –4t2 + t3 可得：
dx v 3 8t 3t 2 dt
(1)
由式(1)得，当 t = 0 时：v0 = 3m/s； 当 t = 2s 时，v2 = -1m/s。
例4-2-1 一力作用在一质量为3kg的质点上。已知质 点位置与时间的函数关系为：x = 3t – 4t2 + t3 (SI)。 试求：力在最初 2s 内所作的功。 解1：由运动学公式求出加速度，代入牛顿方程求 出力，再代入功的公式积分求解。 由 x = 3 t – 4 t2 + t3
dx v 3 8t 3t 2 dt F ma 24 18t
b0 g m0 (l b0 ) g 0 m0 b0 l 1 m0
当 y > b0 时，拉力大于最大静摩擦力时， 链条将开始滑动。
mg
b0
y
(2) 以整个链条为研究对象，链条在运动过程中具有 相同的速度。当链条下垂部分的长度为 y 时： fk
x O
重力的功：
摩擦力的功：
4－ 1 功 定义：作用于物体的力在位移方向上的分量与该位 移大小的乘积。
用 F 表示作用在物体上的力，dr 表示物体在力 F 的作用下 发生的元位移，以 dA 表示元功，则
F
O
dA Fr dr F dr cos
dA F dr

dr Fr 功等于质点受的力和它的位移的标积
0 /2
表明：合外力对物体所作的功等于物体动能的增量。 这个结论称为质点的动能定理（或功能定理）。
它表述了作功与物体运动状态改变（即动能的增量） 之间的关系。
对动能概念的理解应注意以下几个问题：
1. 物体动能的改变可用功来量度。
若 A＞0，则 EkB EkA ，合外力做正功，动能增大；
若 A＜0，则 EkB EkA ，物体反抗合外力作功，或者 说，物体克服施力物体的作用力作了功，从而使物体 减少或损失动能。 物体的动能代表了物体由于运动而具有的作功本领。 例如：水磨利用水流的动能做功，帆船和风力发电站 的风车利用风的动能做功，等等。
dx vx dx v x dt 4t 2 dt dt
A Fx dx Fy dy Fx dx
80t 4t 2dt
1
2
320t 3dt 1200J
1
2
例4-1-2 如图，用力 F 缓慢拉质量为 m 的小球，F 保 持方向不变，求：θ =θ0 时，F 作的功。
解：根据题意可知，质点做变速运动，由速度随时间 的变化可计算出所受的力，由此再计算外力做的功。 因为质点在 y 方向上是作的匀速直线运动， y = vyt = 16t 所以在质点从 y = 16 m 到 y = 32 m 的过程中，时间从 t = 1s 到 t = 2s。
由牛顿第二定律：
dv y dvx Fx m 8m t 80t , Fy m 0 dt dt
1 2 2 A1 yg dy g (l b ) b 2
l
b mg
1 2 A2 mxg dx mg (l b) l-b 2
0
l
y
根据动能定理有：
1 1 1 2 2 2 2 A1 A2 g (l b ) mg (l b) lv 0 2 2 2 g 2 mg 2 v (l b ) (l b) 2 l l
A A
B
B
F cos dr Fs cos
A
B
即恒力沿直线做功的公式
当质点同时受到 N 个力，如 F1，F2，…，FN 的作 用而沿路径 L 由 A 点运动到 B 点时，合力 F 对质 点所做的功为：
AAB F dr ( F1 F2 FN ) dr
v 2mgs
O x
选子弹和木块为研究系统，设子弹与木块间的作 用力为 F，木块与平面间的摩擦力为 f，由于
F f
故系统在水平方向上动量守恒：
m v0 Mv m v M M v0 v v m m 2mgs v
例4-2-3 长为 l 的均质链条，部分置于水平面上，另 一部分自然下垂，已知链条与水平面间静摩擦系数 为m0，滑动摩擦系数为 m ，求： (1) 满足什么条件时，链条将开始滑动？
2. 从物理意义上来说，不能把功与动能混为一谈。
动能是反映物体运动状态的物理量，是一种状态量。
功则涉及到力所经历的位移过程，它是一个与空间过 程有关的过程量。 3. 动能是标量，只有正值。 4. 动能与坐标系的选择有关，因为质点的速度与坐标 系的选择有关。
5. 动能定理由牛顿定律推得，故只能用于惯性系。
解：如图，先分析受力。由于是缓慢拉动，所以可认 为在任一时刻小球的受力是平衡的，有：
F T sin 0 T cos m g 0
F mg tan
mg
元功：
dA F dr F cos | dr | F cos ds m g tan cos Ld
/2
dA = 0，力不做功
/2
dA < 0，力做负功
dA > 0，力做正功
如果质点在力的作用下，沿着一条曲线从A点运 动到B点，力所做的功为：
• B • •
F
A
• •
• • •• L
dr • •
AAB
L A

B
dA
L A

B
F dr
这一积分在数学上叫做力 F 沿路 径 L 从 A 到 B 的线积分。
dx (3 8t 3t 2 )dt dv a 8 6t dt
2
dA Fdx (24 18t )(3 8t 3t )dt (72 246t 216t 2 54t 3 )dt
最初2s内的功：
A Fdx (72 246t 216t 54t )dt
1 1 1 2 2 由动能定理： A mv2 mv0 3 ((1) 2 32 ) 2 2 2 12J
例4-2-2 将一质量为 M 的木块，放在粗糙的水平面 上。今有一质量为 m 的子弹水平击中木块，并穿透 之，使木块向前移动 s 距离而停止。设木块与平面 间的滑动摩擦系数为 m ，子弹穿出木块后的速度为 v，问子弹击中木块前的速度 v0 有多大？ 解：设子弹穿出木块后，木块的速度为 v’，对木块 应用动能定理，有 v’ 1 2 mMg s 0 Mv v0 v 2
4－2 动能定理
力的空间累积效应即力对物体做功会产生什么效果呢？