1.4向量的向量积 向量的混合积

§1.4 向量的向量积、向量的混合积本节重点：1。

向量的向量积及其运算律、坐标运算2．向量的混合积及其运算律、坐标运算1.4.1向量积物理学中研究刚体转动问题时，“力矩”是一重要概念；所谓一个力→f关于定点O的力矩,指的是一个向量→m,它的模等于这个力的大小│→f│与从O到这个力作用线所引垂直线段OH之积,它垂直于通过O与力作用线的平面,并且向量→OH, →f,→m组成一个右手标架{O;→OH, →f,→m}。

但是，要获得力矩→m，也可以不使用垂足H。

我们在ｆ作用线上任取一点R。

如图以→r记向量→OR。

则→m垂直于→r，→f。

且→r，→f，→m仍组成一个右手标架{O; →r, →f,→m}。

由于OH＝OR sin∠ORH而∠ORH＝π－∠(→r，→f) （或∠(→r, →f)）故│→m│＝│→f││→OH│＝│→f││→r│sin（π-∠(→r, →f)）＝│→r│·│→f│sin∠(→r, →f)我们把由→r，→f得出→m的方法推广到一般向量，就产生一种新的运算。

1.4.1定义设→a，→b为两不共线非零向量，作一向量→c，其模等于→a，→b之模与→a，→b夹角正弦之积，它的方向与→a，→b垂直且→a，→b，→c组成一个右手标架{ｏ; →a, →b,→c}, 则→c称为→a, →b的向量积(或叫外积),记作→c＝→a×→b或[→a, →b]系1:│→a×→b│等于以→a, →b为邻边的平行四边形的面积。

系2: 两向量→a, →b共线充要条件为→a×→b＝0。

由定义可以推出向量积的运算规律。

1.4.2定理向量积满足下述运算律(1) →b×→a＝－(→a×→b)(2) λ→a×→b＝→a×λ→b＝λ(→a×→b)证:(1)若→a, →b共线,则等式显然成立。

今设→a，→b不共线，则当交换→a, →b次序时, →a, →b的夹角及各自的模均未改变,故│→b×→a│＝│→a×→b│。

又根据向量积定义，→a×→b与→b×→a都同时垂直于→a与→b，因此→a×→b与→b×→a是共线向量，且按顺序→a，→b，→a×→b和→b，→a，→b×→a都分别构成右手标架{ｏ; →a, →b,→a×→b},{ｏ; →b,→a, →b×→a}所以→a×→b与→b×→a方向相反。

从而得→a×→b＝-(→b×→a)(2) 不妨设λ≠0且→a, →b不共线当λ>0时, λ→a与→a同向,故λ→a×→b与→a×→b同向, 又与λ(→a×→b)同向, 另一方面│λ→a×→b│＝│λ→a││→b│sin∠(λ→a, →b)＝│λ││→a││→b│sin∠(λ→a, →b)）＝│λ││→a││→b|sin∠(→a, →b)＝│λ(→a×→b)│,因此λ→a×→b＝λ(→a×→b)当λ＜0时, λ→a与ａ反向,故λ→a×→b与→a×→b反向,但λ(→a×→b),也与（→a×→b）反向，故λ→a×→b与λ（→a×→b）同向，另一方面│λ→a×→b│＝│λ→a││→b│sin∠(λ→a, →b)＝│λ││→a││→b│sin∠(兀－∠(→a, →b) )＝│λ││→a││→b│sin∠(→a, →b)＝│λ(→a×→b)│,因此λ→a×→b＝λ(→a×→b)类似可证→a×（λ→b）＝λ(→a×→b) 证毕向量积对于加法也满足分配律，留后再证。

1.4.2向量的混合积1.4.3定义→a, →b的向量积与→c的数量积(→a×→b)→c叫做→a, →b,→c的混合积。

记作(→a, →b,→c)＝(→a×→b)→c混合积的几何意义由下面两个定理表述1.4.4定理不共面向量→a, →b,→c的混合积的绝对值等于以→a, →b,→c为棱的平行六面的体积。

它的符号,当→a, →b, →c组成右手系时为正,当→a, →b,→c组成左手系的为负。

证：由于→a, →b,→c不共面,把它归到共同的起点Ｏ, 可以构成→a, →b,→c为棱的平行六面体(图1-26) ,它的底面是以→a, →b为邻边的平行四边形,面积S＝│→a×→b│。

它的高ｈ。

它的体积Ｖ＝S·ｈ图1-26由数量积定义(→a×→b)·→c＝│→a×→b│→c COSθ＝S│→c│COSθ其中θ是→a×→b和→c的夹角.当{0; →a, →b,→c}成右手系时,0≤θ＜π/2, h＝│→c│COSθ因而(→a×→b)→c＝S·H＝V当{0; →a, →b,→c}成左手系时,π/2＜Ｑ≤π,h ＝│→c│COS（π－θ）＝－│→c│COSθ，因而(→a×→b) →c＝－Sh＝－Ｖ1.4.5定理 三向量→a , →b ,→c 共面的充要条件是(→a , →b ,→c )＝0 证：设→a , →b ,→c 共面,则→a , →b ,→c 构成的平行六面体体积为０. (→a ×→b )·→c ＝0反之, (→a ，→b ，→c )＝0,若→a , →b ,→c 不共面,则以→a , →b ,→c 为棱的平行六面体体积(→a , →b ,→c )≠0,矛盾,证毕。

系: (→a , →b ,→c )＝(→b ,→c , →a )＝(→c ，→a ,→b )＝－(→b ，→a ,→c ) 现在，我们提出并证明向量积满足分配律。

1.5.6定理 (→a ＋→b )×→c ＝→a ×→c ＋→b ×→c→c ×(→a ＋→b )＝→c ×→a ＋→c ×→b证：显然第二式可以从第一式利用反交换推得， 因此仅需证明第一式。

因为向量的坐标等于它与坐标向量的数量积， 所以问题归结的证明以下三个等式:〔(→a ＋→b )×→c 〕→i ＝（→a ×→c ＋→b ×→c ）→i〔(→a ＋→b )×→c 〕→j ＝（→a ×→c ＋→b ×→c ）→j 〔(→a ＋→b )×→c 〕→k ＝（→a ×→c ＋→b ×→c ）→k我们仅需证第一等式其余完全类似可得〔(→a ＋→b )×→c 〕→i ＝（→a ＋→b ，→c ,→i ）＝（→c ，→i ， →a ＋→b ）＝（→c ×→i ）（→a ＋→b ）＝（→c ×→i ）→a ＋（→c ×→i ）→b＝（→c ,→i ,→a ）＋（→c ，→i ，→b ）＝（→a ，→c ， →i ）＋（→b ，→c ，→i ）＝〔→a ×→c 〕＋→b ×→c ）〕→i 证毕 1.4.3 向量积与混合积的坐标计算我们首先注意到,坐标向量→i →j →k 相互间有如下关系:→i ×→j ＝→k ，→j ×ｋ＝→i ，→k ×→i ＝→j(1)今设给了两个向量→a ＝｛1a ，2a ，3a ｝, →b ＝｛1b ，2b ，3b ｝则→a ＝1a →i ＋2a →j ＋3a →k ， →b ＝1b →i ＋2b →j ＋3b →k ，→a ×→b =（1a →i ＋2a →j ＋3a →k ）×（→b ＝1b →i ＋2b →j ＋3b →k ）=1a 1b (→i ×→i )＋1a 2b (→i ×→j )＋1a 3b (→i ×→k )＋2a 1b (→j ×→i )＋2a 2b (→j ×→j )＋2a 3b (→j ×→k )＋3a 1b (→k ×→i ) ＋3a 2b (→k ×→j ) ＋3a 3b (→k ×→k )因为每个向量都与自身共线,所以与自身的向量积为零向量,再利用反交换律及→i ，→j ，→k 之间的关系式,立即推得:→a ×→b ＝（2a 3b －2b 3a ）→i ＋（3a 1b －3b 1a ）→j ＋（1a 2b －1b 2a ）→k利用行列式作记号表示即 ｛（2a 3b －2b 3a ）,（3a 1b －3b 1a ）,（1a 2b －1b 2a ）｝=⎭⎬⎫⎩⎨⎧212113133232,,b b a a b b a a b b a a 也可以记为→a ×→b =321321b b b a a a kj i→→→(2)下面来算混合积设→a {1a ，2a ，3a }, →b {1b ，2b ，3b }, →c {1c ，2c ，3c },∴（→a ×→b ）→c =13232c b b a a +21313c b b a a 32121c b b a a=321321321c c c b b b a a a (4) 上面我们都利用直角坐标来计算,为了理论上的需要, 我们来推导一个用仿射坐标计算的混合积公式 设 →a =1a →1e ＋2a →2e ＋3a →3e →b =1b →1e ＋2b →2e ＋3b →3e →c =1c →1e ＋2c →2e ＋3c →3e为三个向量→a ，→b ，→c 关于仿射标架{O , →1e ,→2e ,→3e }的分解式∴→→→→=11()(e a c b a →+22e a →+33e a ，→11e b →+22e b →+33e b ，→11e c →+22e c )33→+e c=→11(e a ，→22e b ，)33→e c +→11(e a ，→33e b ，)22→e c +→22(e a ，→11e b ，)33→e c + →22(e a ，→33e b ，)11→e c +(→33e a ，→22e b ，)22→e c +(→33e a ，→22e b ，)11→e c =（1a 2b 3c -1a 2c 2b -1b 2a 3c +1c 2a 3b +1b 2c 3a -1c 2b 3a ）(→1e →2e →3e ) 即 (→a →b →c )＝ 321321321c c c b b b a a a (→1e →2e →3e ) (5)由于(→i ，→j ，→k )＝1,因此公式(4)是公式(5)的特例。