空间向量的基本运算
空间向量及其加减、数乘和数量积运算
8． 6 空间向量及其加减、数乘和数量积运算1．空间向量的有关概念(1) ___________________________________ 空间向量：在空间，我们把具有和的量叫做空间向量．(2) _________________________ 零向量：规定的向量叫做零向量．(3) __________________ 单位向量：的向量称为单位向量．(4) ___________________________________ 相反向量：与向量a 的向量，称为a 的相反向量，记为－a.(5) _________________________ 相等向量：的向量称为相等向量．(6) 空间向量的加法运算满足交换律及结合律：a+ b=__________ ;(a + b) + c = _______________ .2．空间向量的数乘运算⑴向量的数乘：实数入与空间向量a的乘积?a仍然是一个向量，称为向量的数乘.①当X _ 0时，入a与向量a方向相同；当X __ 0时，入a与向量a方向相反.②入a的长度是向量a的长度的________ 倍.(2) 空间向量的数乘运算满足分配律及结合律：①分配律：X(a＋b)= __________ ．②结合律：X宙)= _________ .(3) 共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线_____________________ ，则这些向量叫做共线向量或平行向量．⑷共线向量定理：对空间任意两个向量a, b(b z 0), a // b的充要条件是______________________ .⑸空间直线I的方向向量：和直线I _________ 的非零向量a叫做直线I的方向向量.⑹空间直线的向量表示：I为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，对空间任意一点0,点P在直线I上的充要条件是___________________________________ ，特别地，如果 a = AB，则上式可以化为OP = 0A + tAB，或_________________ ，这也是空间三点A, B, P共线的充要条件.(7) 共面向量： _______________ 的向量叫做共面向量．(8) 空间共面向量定理：如果两个向量a, b 不共线,那么向量p 与向量a, b 共面的充要条件是推论：对空间任意一点0和不共线的三点A, B, C,满足向量关系式 _______________________________ ，其中__________ ,则点P 与点A, B, C 共面.3.空间向量的数量积运算(1) 空间向量的数量积：已知两个非零向量a, b,则 ___________________ 叫做a, b的数量积，记作a b,通常规定，0w〈a, b〉w n对于两个非零向量a, b, a丄b? ____________ .(2) 空间零向量与任何向量的数量积为.(3) a a = |a||a|cos〈 a, a>= ______ .(4) 空间向量的数量积满足如下的运算律：①(X) • b= __________ ;②ab= __________ (交换律);③ a (b+ c) = ________________ (分配律).自查自纠1. (1)大小方向⑵长度为0 (3)模为1⑷长度相等而方向相反⑸方向相同且模相等(6)b+ a a + (b+ c)2. (1)①〉v ②|入| (2)① 扫+?b ②(入卩)a(3) 互相平行或重合(4)存在实数入使a= ^bO)P= (i-t)oA+to)B (7)平行于同一个平面3. (1)|a||b|cos〈a, b> a b= 0 (2)0⑶|a|1 2 3 (4)① «a b) ② b a ③a b+ a cO 在长方体ABCD-A1BQ1D1 中，BA + Be + D D1=( )A. D1B1B.D1BD.B D1~--> —> —> —> —> —>解：BA+ BC+ DD1=CD + BC + DD1 =BD + DD1=BD1,故选D.电平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若A B = a, AD = b, A A1 =等的是()11 11A . - 2a + 2b+ c B. 2a + ?b—c1 1 1 1C. —?a+ ?b—cD. —2 a—? b+ c解：BlM = B?B + BM = —c+ 1BD = —c+ 2(b—a) = —*a + 2b—c,故选C.nOB = OC,且/ AOB = Z AOC =三贝U cos〈3⑸平行⑹存在实数t,使齐=O +1aC.(8)存在惟一的有序实数对—> —> —> —>OP = xOA + yOB +(x, y),使p= x a + y bx+ y+ z= 1C.DB1c,则下列式子中与B1M相©如图所示，已知空间四边形OABC, ,BC >的值为()o解：设0A = a , OB = b , OC = c ,由已知条件〈a , b 〉=〈 a , c 〉= n 且 |b |= |c |, OA • BC = a (c — b )= a c — a b 3 11 f f=2|a ||c |— 2|a ||b |= 0，所以 cos 〈OA , BC 〉= 0•故选 A.已知空间四边形 OABC ，点M , N 分别是OA , BC 的中点，且OA = a , OB = b , OC = c ,用a , b , c 表示向 量 MN = ________ .解：如图所示，MN = *(MB + MC)= *[(OB — OM)+ (OC — OM)] = ^(OB + OC — 2O)M)= g(OB + OC — OA)=g(b + c —a ).故填 2(b + c — a ).(2017鞍山市育英中学月考)已知在正方体 ABCD-A i B i C i D i 中，侧面CCQ i D 的中心是F ，若A F = A D + mAB + nAA r ，贝H m = ________ , n = ________ .解：因为A F = A D + D F = A D + ^(D C + D D i )=A D +2(AB + A ^i ) = A D + ~A B + ^A X I ，所以 m = n =*.故填2； 4 5.类型一空间向量的运算GE （20i7枣阳市鹿头中学月考）如图所示，在空间几何体 ABCD-A i B i C i D i 中，各面为平行四边形， 设AA i = a , AB = b , AD = c , M , N , P 分别是AA i , BC , CQ i 的中点，试用 a , b , c 表示以下各向量：4 AP ；5 MP + NC i .解：(i)因为 P 是 C i D i 的中点，所以 AP = AA i + A i D i + D i P = a + AD + 2D i C i = a + c +?AB = a + c +^b. ⑵因为M 是AA i 的中点， 所以 IMP = MA + A P =苏》+A P =—a + a + c + 丁 b = 2a + ；b + c .-f f f i -f f i -f f又 NG = NC + CC i =尹c + AA i = 2AD + AA i方类解析1=2。
空间向量的基本运算
空间向量的基本运算在空间解析几何中，向量是表示有大小和方向的物理量。
空间向量具有三个分量，通常表示为A = (x, y, z)，其中x、y、z分别代表向量在x轴、y轴、z轴上的分量。
空间向量的基本运算包括向量的加法、减法、数量乘法、点乘和叉乘。
一、向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新向量的运算。
设有向量A = (x1, y1, z1)和向量B = (x2, y2, z2)，它们的和向量C = A + B = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)。
二、向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新向量的运算。
设有向量A = (x1, y1, z1)和向量B = (x2, y2, z2)，它们的差向量C = A -B = (x1 - x2, y1 - y2, z1 - z2)。
三、数量乘法数量乘法是指将向量的每个分量都乘以一个实数得到一个新的向量。
设有向量A = (x, y, z)和实数k，它们的数量乘积为kA = (kx, ky, kz)。
四、点乘点乘又称为数量积或内积，是指将两个向量相乘再相加得到一个实数的运算。
设有向量A = (x1, y1, z1)和向量B = (x2, y2, z2)，它们的点乘结果为AB = x1 * x2 + y1 * y2 + z1 * z2。
五、叉乘叉乘又称为向量积或外积，是指将两个向量相乘得到一个新向量的运算。
设有向量A = (x1, y1, z1)和向量B = (x2, y2, z2)，它们的叉乘结果为C = A × B = (y1 * z2 - z1 * y2, z1 * x2 - x1 * z2, x1 * y2 - y1 * x2)。
以上是空间向量的基本运算，它们在解决空间中的几何问题和物理问题中起着重要的作用。
通过这些基本运算，我们可以进行向量的相加减、放缩，计算向量之间的夹角，求解平面和直线的方程等。
空间向量及其运算
(3|a|＋2|c|)(|a|－|c|)＝0，∴|a|－|c|＝0，即|a|＝|c|.
即当＝＝1时，A1C⊥平面C1BD.
【分析点评】
向量是解决立体几何问题的重要工具，利用向量可解决线面平行、线面垂 直、三点共线、四点共面，以及距离和成角等问题，而利用向量解决立体 几何问题关键在于适当选取基底，将几何问题转化为向量问题． 本题第二问用向量法解决是非常好的选择，大大简化了推理和运算过程． 这样就很好地解决：“会做的题目花费时间过多”这一矛盾，考试过程中 方法的选择就显的尤为重要.
解法二：(1)证明：取
由已知|a|＝|b|，且〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
BD＝CD－CB＝a－b，C1C·B＝c·(a－b)＝c·a－c·b
＝|c||a|－|c||b|＝0，
，∴C1C⊥BD.
(2)若A1C⊥平面C1BD，则A1C⊥C1D，CA1＝a＋b＋c，C1D＝a－c.
∴CA1·C1D＝0，即(a＋b＋c)·(a－c)＝0.整理得：3a2－|a||c|－2c2＝0，
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(3)空间的两个向量可用 同一平面内 的两条有向线段来表示．
2．空间向量的运算
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算，如
下：
＝a＋b；
．
3．运算律：(1)加法交换律：a＋)数乘分配律：λ(a＋b)＝ λa＋λb .
4．共线向量定理：空间任意两个向量a、 b(b≠0), a∥b的充要条件是存在实 数λ，使 a ＝λb .
5．共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，p与向量a，b共面的充要条件 是存在实数x，y使 p＝xa＋yb .
6．空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量
空间向量的基本运算
空间向量的基本运算向量是物理学中一个重要的概念，它用来描述空间中的大小和方向。
在三维空间中，向量可以表示为具有三个分量的有序数对。
而空间向量的基本运算包括加法、减法、数乘和点乘。
一、向量的加法向量的加法可以将两个向量相互叠加，将它们的对应分量相加即可。
设有两个向量A和B，分别表示为A = (A1, A2, A3)和B = (B1, B2, B3)，则它们的加法运算如下：A +B = (A1 + B1, A2 + B2, A3 + B3)二、向量的减法向量的减法可以将一个向量从另一个向量中减去，将它们的对应分量相减即可。
设有两个向量A和B，分别表示为A = (A1, A2, A3)和B= (B1, B2, B3)，则它们的减法运算如下：A -B = (A1 - B1, A2 - B2, A3 - B3)三、数乘数乘是指将一个向量乘以一个实数，它可以改变向量的长度和方向。
设有一个向量A = (A1, A2, A3)和一个实数k，则它们的数乘运算如下：kA = (kA1, kA2, kA3)四、点乘点乘，也称为内积或数量积，是指将两个向量的对应分量相乘，并将结果相加得到一个实数。
设有两个向量A和B，分别表示为A = (A1, A2, A3)和B = (B1, B2, B3)，则它们的点乘运算如下：A ·B = A1B1 + A2B2 + A3B3五、向量的模长向量的模长是指向量的大小，也称为向量的长度或向量的模。
在三维空间中，向量的模长可以通过勾股定理求得。
设有一个向量A = (A1, A2, A3)，则它的模长运算如下：|A| = √(A1² + A2² + A3²)六、向量的单位向量向量的单位向量是指模长为1的向量，它与原向量方向相同。
设有一个向量A = (A1, A2, A3)，则它的单位向量运算如下：Ā = A / |A|通过对空间向量的基本运算，我们可以更好地理解和描述物理问题。
空间向量运算的坐标公式解读
例 1、 （1）求向量 a ( x, y, z ) 的模 | a
|
（2）求两个非零向量 a ( x1 , y1 , z1 ) ，
b ( x2 , y2 , z2 ) 的夹角的余弦值
（3） 、 已 知 向 量 a (2, 3,5) ， b (3, 1, z) ， 且
一、空间直角坐标系
单位正交基底：如果空间的一个基底的三个基
向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基
底，常用 i , j , k 来表示. z 空间直角坐标系：在空间选定一点
O和一个单位正交基底 i别以i、j、k的正方向建立三条数 轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴.这 样就建立了一个空间直角坐标系O--xyz
练习 3、已知 a
( x, 2, 2) ，b (2, 3,5) ，且 a 与 b
的夹角为钝角，求
x 的取值范围；
练习 4、已知 a (sin a,cos a, tan a) ，
b (cos a,sin a,cot a) 且 a b ，则且 角a＝
例2：设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则 AB
练习2 如图在边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中， 取D点为原点 建立空间直角坐标系， N、M、P、Q分别是AC、DD1、 CC1、A1B1的中点， 写出下列向量的坐标.
D1 z C1 B1 M D A N B Q P
AM __________ ____
A1
NB1 ______________
空间向量运算的坐标公式
空间向量的基本定理：
任一向量 p ，存在一个唯一的有序实数组x、y、z， 使得：
教案)空间向量及其运算
教案)空间向量及其运算一、教学目标1. 了解空间向量的概念，掌握空间向量的基本性质。
2. 学会空间向量的线性运算，包括加法、减法、数乘和点乘。
3. 能够运用空间向量解决实际问题，提高空间想象力。
二、教学内容1. 空间向量的概念：向量的定义、大小、方向、表示方法。
2. 空间向量的线性运算：(1) 向量加法：三角形法则、平行四边形法则。
(2) 向量减法：差向量、相反向量。
(3) 数乘向量：数乘的定义、运算规律。
(4) 向量点乘：点乘的定义、运算规律、几何意义。
三、教学重点与难点1. 教学重点：空间向量的概念、线性运算及应用。
2. 教学难点：空间向量线性运算的推导及证明，空间向量在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用多媒体教学，结合图形、动画，直观展示空间向量的概念和运算。
2. 利用实际例子，引导学生运用空间向量解决实际问题。
3. 组织小组讨论，培养学生团队合作精神，提高解决问题的能力。
五、教学安排1. 第一课时：空间向量的概念及表示方法。
2. 第二课时：空间向量的线性运算（向量加法、减法）。
3. 第三课时：空间向量的线性运算（数乘向量、向量点乘）。
4. 第四课时：空间向量线性运算的应用。
5. 第五课时：总结与拓展。
六、教学评价1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的发言和提问情况，评估学生的参与度和积极性。
2. 作业完成情况：检查学生完成的作业质量，评估学生对空间向量及其运算的理解和掌握程度。
3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，包括团队合作、问题解决能力和创新思维。
4. 课堂测试：通过课堂测试，了解学生对空间向量及其运算的掌握情况，及时发现并解决问题。
七、教学资源1. 多媒体教学课件：通过动画、图形等展示空间向量的概念和运算，增强学生的直观感受。
2. 实际例子：收集与空间向量相关的实际问题，用于引导学生运用空间向量解决实际问题。
3. 小组讨论材料：提供相关的问题和案例，供学生进行小组讨论。
4. 课堂测试卷：编写涵盖空间向量及其运算知识的测试卷，用于评估学生的学习效果。
第2讲 空间向量基本定理、坐标运算和应用一(学生版)
第2讲 空间向量基本定理、坐标运算及应用一[玩前必备]1．空间向量基本定理如果空间中的三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间中的任意一个向量p ，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ．特别地，当a ，b ，c 不共面时，可知x a ＋y b ＋z c ＝0时，x ＝y ＝z ＝0． 2．空间中向量的坐标一般地，如果空间向量的基底{e 1，e 2，e 3}中，e 1，e 2，e 3都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底，在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解，而且，如果p ＝x e 1＋y e 2＋z e 3，则称有序实数组(x ，y ，z )为向量p 的坐标，记作p ＝(x ，y ，z )．其中x ，y ，z 都称为p 的坐标分量． 思考1：若a ＝x e 1＋y e 2＋z e 3，则a 的坐标一定是(x ，y ，z )吗？【名师提醒】 不一定，当e 1，e 2，e 3是单位正交基底时，坐标是(x ，y ，z )，否则不是． 3．空间向量的运算与坐标的关系假设空间中两个向量a ，b 满足a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，则有以下结论： (1)a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2，z 1＋z 2)；(2)若u ，v 是两个实数，u a ＋v b ＝(ux 1＋vx 2，uy 1＋vy 2，uz 1＋vz 2)； (3)a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2；(4)|a |＝a ·a(5)当a ≠0且b ≠0时，cos 〈a ，b 〉＝a·b|a|·|b|＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2x 21＋y 21＋z 21x 22＋y 22＋z 22．4．空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直(1)当a ≠0时，a ∥b ⇔b ＝λa ⇔(x 2，y 2，z 2)＝λ(x 1，y 1，z 1)⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝λx 1y 2＝λy 1z 2＝λz 1，当a 的每一个坐标分量都不为零时，有a ∥b ⇔x 2x 1＝y 2y 1＝z 2z 1．(2)a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0．5.直线l 的方向向量为a ＝(a 1，b 1，c 1)．平面α，β的法向量u ＝(a 3，b 3，c 3)，v ＝(a 4，b 4，c 4) (1)线面平行：l ∥α⇔a ⊥u ⇔a ·u ＝0⇔a 1a 3＋b 1b 3＋c 1c 3＝0 (2)线面垂直：l ⊥α⇔a ∥u ⇔a ＝k u ⇔a 1＝ka 3，b 1＝kb 3，c 1＝kc 3 (3)面面平行：α∥β⇔u ∥v ⇔u ＝k v ⇔a 3＝ka 4，b 3＝kb 4，c 3＝kc 4 (4)面面垂直：α⊥β⇔u ⊥v ⇔u ·v ＝0⇔a 3a 4＋b 3b 4＋c 3c 4＝0【玩转典例】考点一 基底的判断【例1】（2020·全国高二课时练习）在正方体1111ABCD A B C D -中，可以作为空间向量的一组基底的是（ ） A ．AB AC AD ，， B ．11AB AA AB ，， C ．11111 D A DC D D ，，D ．111AC AC CC ，，【玩转跟踪】1．（2020·全国高二课时练习）下列说法正确的是（ ） A ．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底 B ．空间的基底有且仅有一个C ．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D ．基底{}a b c ，，中基向量与基底{}e f g ，，基向量对应相等2．（2020·全国高二课时练习）设向量,,a b c 不共面,则下列可作为空间的一个基底的是( ) A ．{,,}a b b a a +- B ．{,,}a b b a b +- C ．{,,}a b b a c +- D ．{,,}a b c a b c +++考点二 基本定理的运用【例2】（2020·绵竹市南轩中学高二月考）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60︒，M 为11A C 与11B D 的交点.若AB a =，AD b =，1AA c =，（1）用,,a b c 表示BM ； （2）求对角线1AC 的长； （3）求1cos ,AB AC【玩转跟踪】1．（2020·济南市历城第二中学高二月考）如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱PA 的长为2，且PA 与AB 、AD 的夹角都等于60，M 是PC 的中点， 设,,AB a AD b AP c ===． （1）试用,,a b c 表示出向量BM ； （2）求BM 的长．2．（2020·陕西新城。
空间向量的概念和运算
空间向量的概念和运算空间向量是三维空间中的矢量概念，具有大小和方向。
在数学和物理学中，空间向量用于描述物体在三维空间中的位移、速度和加速度等物理量。
本文将介绍空间向量的概念以及其常见的运算方法。
一、空间向量的概念空间向量是由起点和终点确定的有向线段，在三维坐标系中用坐标表示。
设空间中有两点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)，则向量AB可以表示为：AB = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)空间向量具有以下特点：1. 大小：空间向量的大小等于有向线段的长度，可以通过两点之间的距离公式求得。
2. 方向：空间向量的方向由起点指向终点，可以通过计算两点坐标差得到。
二、空间向量的运算空间向量的运算包括加法、减法和数量乘法，具体如下：1. 空间向量的加法设空间向量A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)，则两向量的和为：A +B = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)向量的加法满足交换律和结合律，即：A +B = B + A(A + B) + C = A + (B + C)2. 空间向量的减法设空间向量A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)，则两向量的差为：A -B = (x1 - x2, y1 - y2, z1 - z2)向量的减法可以看作是加法的逆运算，即：A -B = A + (-B)3. 数量乘法设空间向量A(x, y, z)和标量k，数量乘法即将向量的每个分量乘以标量，得到新的向量：kA = (kx, ky, kz)数量乘法满足结合律和分配律，即：k(A + B) = kA + kB(k1 + k2)A = k1A + k2Ak1(k2A) = (k1k2)A空间向量的运算可以通过向量的坐标进行计算，也可以通过向量的几何属性进行推导。
通过运算可以得到向量的长度、点积、叉积等操作。
三、空间向量的应用空间向量在物理力学、工程力学、电磁学等学科中有广泛的应用。
向量空间的性质与运算
向量空间的性质与运算向量空间是线性代数中的一个重要概念，它描述了一组向量以及它们之间的运算规则。
本文将介绍向量空间的性质以及涉及的运算。
一、向量空间的基本性质向量空间是由一组向量及其所满足的运算规则组成的。
具体来说，一个向量空间需要满足以下几个基本性质：1. 加法封闭性：对于任意两个向量u和v，它们的和u+v也属于该向量空间。
2. 数乘封闭性：对于任意一个向量u和一个标量k，它们的标量乘积ku也属于该向量空间。
3. 加法结合律：对于任意三个向量u、v和w，(u+v)+w = u+(v+w)。
4. 加法交换律：对于任意两个向量u和v，u+v = v+u。
5. 零向量存在性：向量空间中存在一个特殊的零向量0，满足对于任意向量u，u+0 = u。
6. 加法逆元存在性：对于任意向量u，存在一个向量-v，使得u+(-v) = 0。
以上性质是向量空间的基本性质，它们保证了向量的加法和数乘运算在空间中的封闭性和良定义性。
二、向量空间的运算在向量空间中，除了加法和数乘运算外，我们还可以进行一些其他的运算，如线性组合、线性无关、线性相关、内积等。
1. 线性组合：给定一组向量v₁, v₂, ..., vₙ和一组标量c₁, c₂, ...,cₙ，它们的线性组合定义为c₁v₁ + c₂v₂ + ... + cₙvₙ。
2. 线性无关：若任意一组标量c₁, c₂, ..., cₙ，满足c₁v₁ + c₂v₂+ ... + cₙvₙ = 0，只有当c₁ = c₂ = ... = cₙ = 0时，向量组v₁, v₂, ..., vₙ称为线性无关的。
3. 线性相关：若存在一组不全为零的标量c₁, c₂, ..., cₙ，使得c₁v₁ + c₂v₂ + ... + cₙvₙ = 0，那么向量组v₁, v₂, ..., vₙ称为线性相关的。
4. 内积：对于两个向量u和v，在向量空间中可以定义内积(或点积)运算，记作u·v。
空间向量及其加减运算和数乘运算
详细描述
向量减法满足交换律和结合律，即 $overset{longrightarrow}{AB} overset{longrightarrow}{CD} = overset{longrightarrow}{CD} overset{longrightarrow}{AB}$，并且 $(overset{longrightarrow}{AB} overset{longrightarrow}{CD}) overset{longrightarrow}{EF} = overset{longrightarrow}{AB} (overset{longrightarrow}{CD} + overset{longrightarrow}{EF})$。
总结词
向量加法是将两个向量首尾相接，然后由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量。
详细描述
向量加法是向量运算中的基本运算之一，其定义是将两个向量首尾相接，然后由第一个向量的起点指向第二个向 量的终点的向量。在二维空间中，向量加法可以通过平行四边形的法则进行计算；在三维空间中，向量加法可以 通过三角形法则进行计算。
向量加法的几何意义
总结词
向量加法的几何意义是表示两个向量在空间中的相对位置关系。
详细描述
向量加法的几何意义可以理解为表示两个向量在空间中的相对位置关系。具体来说，如果有一个向量 $overset{longrightarrow}{AB}$和另一个向量$overset{longrightarrow}{CD}$，那么 $overset{longrightarrow}{AB} + overset{longrightarrow}{CD}$表示向量$overset{longrightarrow}{AB}$和向 量$overset{longrightarrow}{CD}$在空间中的相对位置关系。
空间向量及其运算的坐标表示
平面向量
平面向量的坐标运算： a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ) a b ( x1 x2 , y1 y2 );
空间向量
空间向量的坐标运算： a ( x1 , y1 , z1 ), b ( x2 , y2 , z 2 ) a b ( x1 x2 , y1 y2 , z1 z 2 );
空间向量
空间向量的夹角： a ( x1 , y1 , z1 ), b ( x2 , y2 , z 2 ) ab cos a,b | a || b | x1 x2 y1 y2 z1 z 2 2 2 2 2 2 x1 y1 z12 x2 y2 z 2
垂直与平行： a ( x1 , y1 , z1 ), b ( x2 , y2 , z 2 ) x1 y1 z1 a // b (?) x2 y 2 z 2 a b x1 x2 y1 y2 z1 z 2 0
x1 x 2 y1 y 2 z1 z 2 （3）中点坐标公式： ( , , ) 2 2 2
2.两个向量夹角公式
a1b1 a2b2 a3b3 a b cos a, b ; 2 2 2 2 2 2 | a || b | a1 a2 a3 b1 b2 b3
垂直与平行： a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ) a // b x1 y2 x2 y1 0 a b x1 x2 y1 y2 0
对比表4
平面向量
平面向量基本定理： 如果e1 , e 2是同一平面内的两个不 共线 的向量，那么对于这个 平面内的任一 向量a，有且仅有一对实数 x, y，使a xe1 ye 2 .
空间向量及基本运算
A2
An1
An A3
A4
⑵首尾相接的若干向量构成一个封闭图形， 则它们的和为零向量．即： A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An An A1 0
A1
A2
An1
An A3
A4
二、空间向量及其加减与数乘运算
⒈空间向量： ⑴定义：空间中具有大小和方向的量叫做向量． ⑵表示方法： ①空间向量的表示方法和平面向量一样； ②同向且等长的有向线段表示同一向量或 相等的向量； ③空间任意两个向量都可以用同一平面 内的两条有向线段表示．
A1
A2
An1
An A3
A4
⑵首尾相接的若干向量构成一个封闭图形， 则它们的和为零向量．即： A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An An A1 0
A1
A2
An1
An A3
A4
平行六面体
平行四边形ABCD平移向量 a 到A’B’C’D’ 的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体．记 作ABCD—A’B’C’D’． D’ C’
' '
A B
E C
D
(2) AE AA x AB y AD
'
A B C
D
练习二：在正方体ABCD-A’B’C’D’中,点E是面
AC’的中心,求下列各式中的x、y的值.
(1) AC x( AB BC CC )
' '
A
E C
D
B
A B
D
C
练习二：在正方体ABCD-A’B’C’D’中,点E是面 AC’的中心,求下列各式中的x、y的值.
A
D B
空间向量认识空间向量的运算方法
空间向量认识空间向量的运算方法空间向量是三维空间中具有大小和方向的矢量，它在许多科学和工程领域中都有广泛的应用。
在本文中，我们将介绍空间向量的概念、属性以及运算方法。
一、空间向量的定义和属性在三维坐标系中，空间向量可以表示为一个有序三元组 (x, y, z)，其中 x、y、z 分别表示向量在各个坐标轴上的分量。
空间向量具有以下属性：1. 大小：空间向量的大小由其模长表示，记为 ||V||，计算公式为||V|| = √(x² + y² + z²)。
2. 方向：空间向量的方向由其分量决定，可以用一条有向线段表示，箭头所指的方向即为向量的方向。
3. 零向量：所有分量为零的向量称为零向量，记作 O 或 0。
二、空间向量的运算方法1. 空间向量的加法：设有两个空间向量 A(x₁, y₁, z₁) 和 B(x₂, y₂, z₂)，它们的向量和为 C(x₃, y₃, z₃)。
向量和的计算公式为 C = A + B，即每个分量相加：x₃ = x₁ + x₂，y₃ = y₁ + y₂，z₃ = z₁ + z₂。
2. 空间向量的减法：设有两个空间向量 A(x₁, y₁, z₁) 和 B(x₂, y₂, z₂)，它们的向量差为 C(x₃, y₃, z₃)。
向量差的计算公式为 C = A - B，即每个分量相减：x₃ = x₁ - x₂，y₃ = y₁ - y₂，z₃ = z₁ - z₂。
3. 空间向量的数量乘法：设有一个空间向量 A(x, y, z) 和一个实数 k，向量 A 的数量乘积为 B(x₁, y₁, z₁)。
数量乘积的计算公式为 B = kA，即将 A 的每个分量分别乘以 k：x₁ = kx，y₁ = ky，z₁ = kz。
4. 点乘（内积）：设有两个空间向量 A(x₁, y₁, z₁) 和 B(x₂, y₂,z₂)，它们的点乘结果为一个标量（数量）。
点乘的计算公式为 AB =x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂，即将两个向量对应分量相乘后相加。
空间向量的计算
空间向量的计算一、引言空间向量是三维空间中的一个重要概念，它可以用于描述物体在空间中的位置和方向。
在计算中，我们常常需要对空间向量进行各种运算，如加法、减法、数乘等。
本文将介绍空间向量的计算方法，包括向量的表示、向量的加法、减法和数乘，以及向量的数量积和向量积等内容。
二、向量的表示在三维空间中，一个向量可以用坐标表示。
假设有一个向量a，它的坐标表示为(a₁, a₂, a₃)，其中a₁、a₂、a₃分别代表向量在坐标系x 轴、y轴和z轴方向上的分量。
向量的长度可以通过勾股定理计算得到，即|a| = √(a₁² + a₂² + a₃²)。
三、向量的加法和减法向量的加法和减法都是逐个分量相加或相减的操作。
假设有两个向量a和b，它们的坐标表示分别为(a₁, a₂, a₃)和(b₁, b₂, b₃)。
则它们的加法运算为a + b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂, a₃ + b₃)，减法运算为a - b = (a₁ - b₁, a₂ - b₂, a₃ - b₃)。
四、向量的数乘向量的数乘是指向量的每个分量都乘以一个常数。
假设有一个向量a，它的坐标表示为(a₁, a₂, a₃)，常数k，则向量a的数乘运算为k *a = (k * a₁, k * a₂, k * a₃)。
五、向量的数量积向量的数量积（又称点积）是两个向量相乘后的结果。
向量a和b 的数量积可以通过如下公式计算得到：a·b = a₁ * b₁ + a₂ * b₂ + a₃* b₃。
数量积的结果是一个标量，表示两个向量之间的夹角的余弦值。
如果两个向量垂直，则它们的数量积为0；如果两个向量平行，则它们的数量积为两个向量的长度之积。
六、向量的向量积向量的向量积（又称叉积）是两个向量相乘后的结果。
向量a和b 的向量积可以通过如下公式计算得到：a×b = (a₂b₃ - a₃b₂, a₃b₁- a₁b₃, a₁b₂- a₂b₁)。
空间向量知识点总结
空间向量知识点总结空间向量是高中数学中的重要内容，它为解决立体几何问题提供了一种全新的思路和方法。
下面我们来对空间向量的相关知识点进行一个系统的总结。
一、空间向量的基本概念1、空间向量的定义在空间中，具有大小和方向的量称为空间向量。
2、空间向量的表示空间向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
向量通常用小写字母加箭头表示，如\（＼vec{a}＼）。
3、空间向量的模空间向量\（＼vec{a}＼）的模（长度）记作\（｜＼vec{a}｜＼），其计算公式为\（｜＼vec{a}｜＝＼sqrt{a_1^2 ＋ a_2^2 ＋ a_3^2}＼）（假设\（＼vec{a} ＝（a_1, a_2, a_3)＼））。
4、零向量长度为\（0\）的向量称为零向量，记作\（＼vec{0}＼），其方向是任意的。
5、单位向量模为\（1\）的向量称为单位向量。
若\（＼vec{a}＼）是非零向量，则与\（＼vec{a}＼）同向的单位向量为\（＼frac{＼vec{a}｝｛｜＼vec{a}｜｝＼）。
6、相等向量长度相等且方向相同的向量称为相等向量。
7、相反向量长度相等但方向相反的向量称为相反向量。
二、空间向量的运算1、加法空间向量的加法满足三角形法则和平行四边形法则。
设\（＼vec{a}＼）、＼（＼vec{b}＼）为两个空间向量，则它们的和向量\（＼vec{c} ＝＼vec{a} ＋＼vec{b}＼）。
2、减法空间向量的减法是加法的逆运算，＼（＼vec{a} ＼vec{b} ＝＼vec{a} ＋（＼vec{b}）＼）。
3、数乘运算实数\（＼lambda\）与空间向量\（＼vec{a}＼）的乘积\（＼lambda\vec{a}＼）仍然是一个向量。
当\（＼lambda ＞ 0\）时，＼（＼lambda\vec{a}＼）与\（＼vec{a}＼）同向；当\（＼lambda ＜ 0\）时，＼（＼lambda\vec{a}＼）与\（＼vec{a}＼）反向；当\（＼lambda ＝0\）时，＼（＼lambda\vec{a} ＝＼vec{0}＼）。
《空间向量》基础知识点
《空间向量及其运算》2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+⑵加法结合律：()()a b c a b c ++=++⑶数乘分配律：()a b a b λλλ+=+3．平行六面体平行四边形ABCD 平移向量a 到D C B A ''''的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作ABCD-A B C D ''''它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱 4. 平面向量共线定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b＝λa .要注意其中对向量a的非零要求．5. 共线向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a//．当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．6． 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0），a //b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb .推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式t OA OP +=a ．其中向量a叫做直线l 的方向向量.空间直线的向量参数表示式：t OA OP +=a或)(OA OB t OA OP -+=OB t OA t +-=)1(，中点公式．)(21OB OA OP+=7．向量与平面平行：已知平面α和向量a ，作OA a =，如果直线OA 平行于α或在α内，那么我们说向量a 平行于平面α，记作：//a α．通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量 说明：空间任意的两向量都是共面的8．共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的充要条件是存在实数,x y 使p xa yb =+推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ，使MP xMA yMB =+ ①或对空间任一点O ，有OP OM xMA yMB =++② 或,(1)OP xOA yOB zOM x y z =++++= ③ 上面①式叫做平面MAB 的向量表达式9．空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++10 ,a b ，在空间任取一点O ，作,OA a OB b ==，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作,a b <>；且规定0,a b π≤<>≤，显然有,,a b b a <>=<>；若,2a b π<>=，则称a 与b 互相垂直，记作：a b ⊥.11．向量的模：设OA a =，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：||a .12．向量的数量积：已知向量,a b ，则||||cos ,a b a b ⋅⋅<>叫做,a b 的数量积，记作a b ⋅，即a b ⋅=||||cos ,a b a b ⋅⋅<>．已知向量AB a =和轴l ，e 是l 上与l 同方向的单位向量，作点A 在l 上的射影A '，作点B 在l 上的射影B '，则A B ''叫做向量AB 在轴l 上或在e 上的正射影. 可以证明A B ''的长度||||cos ,||A B AB a e a e ''=<>=⋅．13．空间向量数量积的性质：（1）||cos ,a e a a e ⋅=<>．（2）0a b a b ⊥⇔⋅=． （3）2||a a a =⋅．14．空间向量数量积运算律：（1）()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅．（2）a b b a ⋅=⋅（交换律）． （3）()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅空间向量的直角坐标及其运算1（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i j k 表示；（2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k ，以点O 为原点，分别以,,i j k 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系O xyz -，点O 叫原点，向量 ,,i j k 都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面；2．空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使OA xi yj zk =++，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标．常见坐标系①正方体如图所示，正方体''''ABCD A B C D -的棱长为a ，一般选择点D 为原点，DA 、DC 、'DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则各点坐标为亦可选A 点为原点.在长方体中建立空间直角坐标系与之类似. ②正四面体如图所示，正四面体A BCD -的棱长为a ，一般选择A 在BCD ∆上的射影为原点，OC 、OD （或OB ）、OA 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，则各点坐标为③正四棱锥如图所示，正四棱锥P ABCD -的棱长为a ，一般选择点P 在平面A A 'D B B ' D 'C C 'yzxBC AD O z xyADP O x zABCD 的射影为原点，OA （或OC ）、OB （或OD ）、OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，则各点坐标为④正三棱柱如图所示，正三棱柱 '''ABC A B C -的底面边长为a ，高为h ，一般选择AC 中点为原点，OC （或OA ）、OB 、OE （E 为O 在''A C 上的射影）所在直线分别为x 轴、y轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，则各点坐标为3．空间向量的直角坐标运算律：（1）若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++，112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈，112233a b a b a b a b ⋅=++， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈， 1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=．（2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---．4 123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则22123||a a a a a a =⋅=++，21||b b b b =⋅=+．5．夹角公式：21cos ||||a ba b a b a ⋅⋅==⋅+6．两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ， 则2||(AB AB x ==，或,A B d =空间向量应用一、直线的方向向量把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量.在空间直角坐标系中，由111(,,)A x y z 与222(,,)B x y z 确定直线AB 的方向向量是212121(,,)AB x x y y z z =---.平面法向量 如果a α⊥，那么向量a 叫做平面α的法向量. 二、证明平行问题1．证明线线平行：证明两直线平行可用112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈或312123//a a a a b b b b ⇔==. 2.证明线面平行直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，且l α⊄，若a n ⊥即0a n ⋅=则//a α. 3.证明面面平行平面α的法向量为1n ，平面β的法向量为2n ，若12//n n 即12n n λ=则//αβ. 三、证明垂直问题 1．证明线线垂直证明两直线垂直可用1122330a b a b a b a b a b ⊥⇔⋅=++= 2．证明线面垂直直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，且l α⊄，若//a n 即a n λ=则a α⊥. 3.证明面面垂直平面α的法向量为1n ，平面β的法向量为2n ，若12n n ⊥即120n n ⋅=则αβ⊥.x y四、夹角1．求线线夹角设123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，(0,90]θ∈︒︒为一面直线所成角，则：||||cos ,a b a b a b ⋅=⋅⋅<>；21cos ,||||a a ba b a b a ⋅<>==⋅+；cos |cos ,|a b θ=<>. 2．求线面夹角如图，已知PA 为平面α的一条斜线，n 为平面α的一个法向量，过P 作平面α的垂线PO ，连结OA 则PAO ∠为斜线PA 和平面α所成的角，记为θ易得sin |sin(,)|2OP AP πθ=-<>|cos ,|OP AP =<>|cos ,|n AP =<>|cos ,|n PA =<>||||||n PA n PA ⋅=.3．求面面夹角设1n 、2n 分别是二面角两个半平面α、β的法向量， 当法向量1n 、2n 同时指向二面角内或二面角外时，二面角θ的大小为12,n n π-<>；当法向量1n 、2n 一个指向二面角内，另一外指向二面角外时，二面角θ的大小为12,n n <>. 五、距离1．求点点距离设111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，,A B d =||(AB AB AB x =⋅=2．求点面距离如图，A 为平面α任一点，已知PA 为平面α的一条斜线，n 为平面α的一个法向量，过P 作平面α的垂线PO ，连结OA 则PAO ∠为斜线PA 和平面α所成的角，记为θ易得||||sin |||cos ,|PO PA PA PA n θ=⋅=⋅<>||||||||PA n PA PA n ⋅=⋅⋅||||PA n n ⋅=. 3．求线线距离求异面直线间的距离可以利用向量的正射影性质直接计算.如图，设两条异面直线a 、b 的公垂线的方向向量为n , 这时分别在a 、b 上任取A 、B 两点，则向量在n 上的正射影长就是两条异面直线a 、b 的距离.即两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值.直线a 、b 的距离||||||||n AB n d AB n n ⋅=⋅=. 4．求线面距离一条直线和一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫做这条直线到这个平面的距离.直线到平面的距离可转化为求点到平面的距离. 5.求面面距离和两个平行平面同时垂直的直线叫做两个平行平面的公垂线.公垂线夹在这两个平行平面间的部分叫做两个平行平面的公垂线段.公垂线段的长度叫做两个平行平面间的距离. 平面和平面间的距离可转化为求点到平面的距离.。
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第六节 空间向量
1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有 和 的量叫做向量。
2. 空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈
运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a
++=++
⑶数乘分配律：b a b a
λλλ+=+)(
3. 共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线 或 ，那么这些向量也叫做共
线向量或平行向量，a 平行于b ，记作b a
//。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 存在实数λ，
使a ＝ 。
4. 共面向量
（1）定义：一般地，能平移到同一 内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是 的。
（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数
,x y ，使 。
5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使 。
若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个 的向量都可以构成空间的一个基底。
推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数
,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++。
6. 空间向量的直角坐标系：
（1）空间直角坐标系中的坐标：
在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使zk yi xi OA ++=，有序实数组
(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作
(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标。
（2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用
{,,}i j k 表示。
（3）空间向量的直角坐标运算律：
①若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++，
112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈， 112233a b a b a b a b ⋅=++，
112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈， 1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=。
②若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---。
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
（4）模长公式：若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =， 则21||a a a a =
⋅=+21||b b b b =⋅=+（5）夹角公式：21cos ||||a b
a b a b a ⋅⋅=
=⋅+。
（6）两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，
则2
||(AB AB =
=，
或,A B d = 7. 空间向量的数量积。
（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a b ，在空间任取一点O ，作
,OA a OB b ==，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作,a b <>；且规定0,a b π≤<>≤，
显然有,,a b b a <>=<>；若,2
a b π
<>=
，则称a 与b 互相垂直，记作：a b ⊥。
（2）向量的模：设OA a =，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：||a 。
（3）向量的数量积：已知向量,a b ，则||||cos ,a b a b ⋅⋅<>叫做,a b 的数量积，记
A
D
E
F
N
作a b ⋅，即a b ⋅=||||cos ,a b a b ⋅⋅<>。
（4）空间向量数量积的性质：
①||cos ,a e a a e ⋅=<>。
②0a b a b ⊥⇔⋅=。
③2
||a a a =⋅。
（5）空间向量数量积运算律：
①()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅。
②a b b a ⋅=⋅（交换律）。
③()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅（分配律）。
典例精析
例1. 已知平行六面体ABCD －D C B A ''''，化简下列向量表达式，标出化简结果的向量。
⑴AB BC +； ⑵AB AD AA '++； ⑶12AB AD CC '++
； ⑷1
()3
AB AD AA '++。
例2. 已知空间四边形OABC ，其对角线,OB AC ，,M N 分别是对边,OA BC 的中点，点G 在线段MN 上，且
2MG GN =，用基底向量,,OA OB OC 表示向量OG 。
例 3. 如图，在空间四边形OABC 中，8OA =，6AB =，
4AC =，5BC =，45OAC ∠=，60OAB ∠=，求OA 与BC
的夹角的余弦值。
说明：由图形知向量的夹角易出错，如,135OA AC <>=易
错写成,45OA AC <>=，切记！
例4. 长方体1111ABCD A B C D -中，4AB BC ==，E 为11AC 与11B D 的交点，F 为1BC 与1B C 的交点，又AF BE ⊥，求长方体的高1BB 。
例5如图，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面互相垂直，点
M,N
分别在对角线
BD,AE
上，且
AE AN BD BM 3
1
,31==. 求证：MN//平面CDE
分析：要证明线面平行，只需证明MN 与DE DC ,共
G
M C'
B'
A'
D'
D
A
B
C
O
A
B C
/
D
面。
1. 已知A （0，2，3），B （-2，1，6），C （1，-1，5），若则向量且,,,3||⊥⊥=的坐标为 .
2、已知空间四边形ABCD ，连结,AC BD ，设,M G 分别是,BC CD 的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：（1）AB BC CD ++；
（2）1()2AB BD BC +
+； （3）1
()2
AG AB AC -+。
3. 如图，在正方体///B D CA OADB -中，，点E 是AB 与OD 的交点,M 是OD /与CE 的交点，试分别用向量,,表示和
4、已知空间三点A （0，2，3），B （－2，1，6），C （1，
－1，5）。
⑴求以向量,AB AC 为一组邻边的平行四边形的面积S ；
⑵若向量a 分别与向量,AB AC 垂直，且|a |＝3，求
向量a 的坐标。
5. 一条线段夹在一个直二面角的两个面内，它和两个面所成的角都是300
，求这条线段与这个二面角的棱所成的角的大小.。