第三章 刚体动力学(I)dch3B
(完整版)刚体的基本运动(可编辑修改word版)
第三章刚体力学§3.1 刚体运动的分析§3.2 角速度矢量§3.3 刚体运动微分方程§3.4 刚体平衡方程§3.5 转动惯量§3.6 刚体的平动与定轴转动§3.7 刚体的平面平行运动§3.1 刚体运动的分析一、描述刚体位置的独立变量1.刚体是特殊质点组 dr ij=0,注意:它是一种理想模型,形变大小可忽略时可视为刚体。
2.描述刚体位置的独立变数描述一个质点需(x,y,z), 对刚体是否用 3n 个变量？否,由于任意质点之间的距离不变, 如确定不在同一直线上的三点,即可确定刚体的位置,需 9 个变量，由于两点间的距离保持不变，所以共需 9-3=6 个变量即可。
刚体的任意运动=质心的平动+绕质心的转动，描述质心可用(x,y,z), 描述转轴可由α, β,γ。
二、刚体的运动分类1.平动：刚体在运动过程中，刚体上任意直线始终平行.任意一点均可代表刚体的运动，通常选质心为代表.需要三个独立变量,可以看成质点力学问题.(注意:平动未必是直线运动)2.定轴转动: 刚体上有两点不动,刚体绕过这两点的直线转动,该直线为转轴. 需要一个独立变量φ3.平面平行运动: 刚体上各点均平行于某一固定平面运动。
可以用平行于固定平面的截面代表刚体。
需要三个独立变量。
4.定点运动: 刚体中一点不动,刚体绕过固定点的瞬转转动。
需三个独立的欧拉角。
5.一般运动: 平动+转动§3.2 角速度矢量定轴转动时角位移用有向线段表示,右手法确定其方向.有向线段不一定是矢量,必须满足平行四边形法则,对定点转动时,不能直接推广,因不存在固定轴.ω = lim ∆n=d n刚体在 dt 时间内转过的角位移为 d n ，则角速度定义为角速度反映刚体转动的快慢。
∆t →0 ∆t dt线速度与角速度的关系：d r =d n ⨯r , ∴ v =d rdt=ω ⨯rF 1 F ⨯ M§3.3 刚体运动微分方程一、 基础知识1.力系：作用于刚体上里的集合。
第三章刚体力学
J 的单位：kg· m2。 它与刚体对给定转轴的质量分布有关。 特别要注意： 转动惯量与转轴的位置有关。 转动惯量具有可相加性。
例2 计算质量为m，长为l的细棒绕通过其端点 的垂直轴的转动惯量。
解
z
J r dm
2
m dm dx dx l
l 2
o x
dm
dx
x
m 1m 3l J x dx x 0 0 l 3 l 1 2 J ml 3
2
������������ d������ = d������������
������1
������������ ������������ = ������������2 − ������������1
解
1 m 1 2 1 2m 2l 1 2 J ( l) ml 33 3 3 3 3 9
2
（1）水平
o 0
3g 2l
A
c
o
B
l 1 2 mg ml 6 9
（2） 垂直位置 重力矩为零，所以角加速度β=0 A 根据机械能守恒定律： 1 2 ������ 3������ ������������ = ������������ ������ = 2 6 ������ （3）任意位置
刚体(rigid body)：在运动过程中形状和大小都不变的物体。
可以用质点动力学的方法来处理刚体的平动问题。
转动(rotation)：刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动。 这种运动称为刚体的转动。这条直线称为转轴。转动又分 定轴转动和非定轴转动 .
刚体的平面运动
刚体的一般运动：
质心的平动
+
绕质心的转动
刚体动力学
以上论及的只是单刚体动力学。由于现代科学技术的发展，多刚体系统动力学的研究也正在开展中（见多刚 体系统）。
参考文献
1、词条作者：陈滨．《中国大百科全书》74卷（第一版）力学词条：刚体动力学：中国大百科全书出版社， 1987 ：168-170页．
谢谢观看
逐项类比。同质点质量m对应的量是Iz。m是质点运动时惯性的度量；Iz则是刚体定轴转动时转动惯性的度量。 这正是Iz称为“转动惯量”的来由。
应用刚体定轴转动的微分方程（2）可以对物理摆的运动规律、旋转机械输入和输出功率同平衡转速的关系进 行研究。刚体定轴转动的另一重要研究课题是支承的动载荷。动载荷是与刚体转动角速度有关的载荷。当刚体既 满足静平衡——刚体的重心在转动轴上，又满足动平衡——旋转轴是惯性主轴时，支承才不受动载荷的作用。这 个结论在工程上有重要价值（见动平衡）。
刚体平面运动是机器部件一种常见的运动形态，例如曲柄连杆、滚轮等的运动。过刚体质心作刚体平面运动 的固定平面，此平面在刚体上截得一平面图形。此图形在上述固定平面上的运动完全刻画了刚体的平面运动。由 运动学可知，刚体的平面运动可由质心C在平面上相对固定坐标系Oxy的运动和刚体绕过C并同固定平面垂直的轴 Cz的转动合成（图2）。刚体的旋转轴Cz虽然在空间中变动，但它的方向不变，相对刚体的位置也不变，因而刚 体绕Cz轴旋转的转动惯量是常值Iσ，绕Cz轴的动量矩为
刚体一般运动是对惯性坐标系而言的。设C为刚体的质心，Cxyz为同刚体固联的质心惯性主轴坐标系。因刚 体一般运动可分解为平动和绕质心的转动，故应用质心运动定理和对质心的动量矩定理，可以立即建立刚体一般 运动的微分方程组：
大学物理B层次--第三章 刚体力学基础ppt课件
对比：
L L M dt
t 1 外 2
t2
1
F dtp p
t 1 外 2
t2
1
3.质点角动量守恒守律 根据上式,如果合外力矩零(即M外=0),则L1=L2 , 即 L=常矢量 这就是说,对一固定点o,质点所受的合外力矩为 零,则此质点的角动量矢量保持不变。这一结论 叫做质点角动量守恒定律。 对比： 角动量守恒定律是：M外=0，则L=常矢量。 动量守恒定律是： F外=0 ，则p=常矢量。 6
d r 2 r F=ma=-m2r a 2 dt M=rF=-m2rr =0
2
7
例题3-2 如图所示，一细绳穿过光滑水平桌面上 的小孔o，绳的一端系有一质量为m的小球并放在 桌面上；另一端用力往下拉住。设开始时小球以角 速度0绕孔o作半径r的匀速圆周运动,现在向下缓慢 拉绳，直到小球作圆周运动的半径为r/2时止，求这 一过程中拉力的功。 0 解 绳的拉力对o点的力矩为 o 零,故小球在运动中对o点的角 r m 动量守恒,于是有 mr2 0= m(r/2)2 F =40 由动能定理，拉力的功为
1r 22 1 2 2 3 2 2 A m () mr mr 0 0 22 2 2
8
例题3-3 在一光滑的水平面上，有一轻弹簧,倔强 系数为k=100N/m,一端固定于o点，另一端连接一质 量为m=1kg的滑块，如图所示。设开始时，弹簧的 长度为l0=0.2m(自然长度), 滑块速度0=5m/s, 方向与 弹簧垂直。当弹簧转过900时，其长度l=0.5m，求此 时滑块速度 的大小和方向。 解 对滑块运动有影响的力只有弹性力，故角动量 和机械能都守恒： l m l0=m lsin o m 1 2 1 2 1 2 m k ( l l ) 0 m 0 d l0 2 2 2 解得: =4m/s, =300。
刚体力学基础PPT课件
转动：分定轴转动和非定轴转动 刚体的平面运动
5
二、刚体定轴转动的描述
1.刚体定轴转动的特点 轴上各点都保持不动，轴外各点在同一时间间隔内转过的角度一样。
以某转动平面与转轴的交点为原点，转动平面上所有质元都绕着这个 原点作圆周运动。
2.描述 可类似地定义绕定轴转动的刚体的：
*角位置 (t)
i
ri
z
切向加速度 法向加速度
ai ri
ani ri 2
ri
vi
§3-2 定轴转动刚体的转动惯量
一、刚体定轴转动定律
（1）单个质点m
与转轴刚性连接
Ft mat mr
M rF sinθ
z
M
Ft
F
O
r
m
Fn
M rFt mr 2 M mr2
一、刚体运动分类
2.转动 如果刚体上的所有质元都绕某同一直线作圆周运动，这种运动就称之为转动，
这条直线称为转轴。
A
A
分为定轴转动和非定轴转动
*非定轴转动 若转轴方向或位置变化，这种转动称为非定轴转动
A
A
* 定轴转动 若转动轴固定不动，这种转动称为定轴转动. 这个转
轴称为固定轴，
转动平面：垂直于固定轴的平面
内力（F质i2j 量）元刚受体外力Fej ，
Mej Mij mjrj2
外力矩
内力矩
z
O rj
Fej
m j
Fij
Mej Mij mjrj2
j
j
Mij M ji Mij 0
j
第三章_刚体力学
31
理论力学
第三章
刚体力学
许杰制作
对于任意旋转矢量 A 的导数
de e 先考察 A lim A （若O点不转动） dt t 0 t 当 t 0时， 0， eA 将与 eA垂直
刚体力学
许杰制作
LondonEye的座舱
7
理论力学
第三章
刚体力学
许杰制作
汽车雨刷
8
理论力学
第三章
刚体力学
许杰制作
茶叶揉磨机的揉磨桶
9
理论力学
第三章
刚体力学
许杰制作
卸船机的平行杆
10
理论力学
第三章
刚体力学
许杰制作
刚体平动： 刚体运动时，在刚体上任选一条直线始终彼此平行 平动特点： 每点速度、加速度相同
平面平行运动特点：
平行于固定平面截刚体，则截面上的点在运动过程中 到固定平面的距离不变 分解为平动(一般质心)和定轴(过质心且垂直固定平面)转动
自由度为3
19
理论力学
第三章
刚体力学
许杰制作
定点转动
健身陀螺
机械式陀螺仪
20
理论力学
第三章
刚体力学
许杰制作
军用陀螺仪
21
理论力学
第三章
刚体力学
许杰制作
32
eA
理论力学
第三章
刚体力学
许杰制作
deA e lim A （若O点相对B点有平动和转动） 考察 dt t 0 t D eA 绕B点“公转”α角 如图示，若 D' eA 且 eA 绕O点“自转”β角，则 O eA 对地面观察者来说 eA
大学物理：3-2 刚体动力学
·r
O
x
dm 2 rdr
圆盘对Oz轴(过O点垂直于纸面)的转动惯量为
16
J z
Rr2 dm
0
R 2πr 3 d r
0
2π R r 3 d r 1 mR 2
0
2
根据垂直轴定理
Jz Jx Jy
由于对称性, J x J y , 所以
Jz
2J x
1 mR2 2
解得
Jx
1 mR 2 4
FT1r
J
1 2
m0r 2
（3）
FT 2
m1g
FT 2
a
辅助方程
r = a （4）
m2 g
解以上四个联立方程式， 可得
31
a
m2 g
1
m1 m2 2 m0
FT1
m1m2 g 1
m1 m2 2 m0
1
FT2
(m1
2
m0 )m2 g 1
m1 m2 2 m0
R
O
dm r2dy
1 2
r
4
dy
变量代换
r2 R2 y2
J 1 R (R2 y2 )2 dy 1 R (R4 2R2 y2 y4 )dy
2 R
2
R
得 J 2 mR2
5
12
例1 一根质量为m=1.0kg、长为l=1.0m 的均匀细棒，
绕通过棒的中心并与棒相垂直的转轴以角速度=63
§3-2 刚体动力学
一、刚体的转动动能 (Rotational kinetic energy )
设刚体绕固定轴Oz以角速度 转动,各体元的质量
分别为m1 , m2 , … , mn ,各体元到转轴Oz的距离 依次是r1 , r2 , … , rn。
刚体动力学
1. 向量、矩阵、坐标系
本文中，一个坐标系指右手方向的三维坐标系，其三个基准轴向量 i, j, k 相互正 交，满足 i j k 。 我们经常要将某向量在一个坐标系下的坐标转换到另一个坐标系下。例如对于 一个向量 v ，设 3 1 列向量 v f 表示其在坐标系 F （坐标系常以大写斜体字母表 示）下的坐标， 3 1 列向量 v g 表示其在坐标系 G 下的坐标。如果我们以三个 3 1 列向量 rx , ry , rz 分别表示坐标系 F 的基准轴 i, j, k 在坐标系 G 下的坐标。则有坐标转 换公式：
L I
其中 I 为一个 3 3 的质量矩阵（mass matrix）。对于如何得到公式 L I ，及 惯量 I 的表示请参看相关力学书籍，或者参看 Online Siggraph 2001 Course Notes: “Physically based modeling”中 Rigid Body Dynamics 一节：
(3.4)
(3.5)
式(3.4)、式(3.5)便是欧拉公式（Euler Equations），它描述了角速度相对于时 间的变化情况。 通常平移方程与旋转方程被一起写出，称为牛顿欧拉公式（Newton-Euler equations）：
f (t ) ma(t ) τ(t ) Iα(t ) (t ) I (t )
和符号表示公式中应该使用合外力与合外力矩。
(3.6)
其中 a(t ) 表示线加速度， α(t ) 表示角加速度（角速度的导数），等式左边的求
公式(3.6)即为最重要的刚体动力学公式，至此本文结束。在下一篇文章中，我 将基于公式(3.6)叙述机器人动力学（Robot Dynamics），机器人将被视为相互连 接的多刚体组合。
刚体动力学.ppt
如果刚体内任何两点的连线在运动中始终保持平 行，这样的运动就称为平动。
平动刚体内各质点的运动状态完全相同。
平动刚体可视为质点。质心是平动刚体的代表。
2
如果刚体内的每个质点都绕同一直线(转 轴)作圆周运动，这种运动便称为转动。
转轴固定不动定轴转动。 刚体一般运动可看作是平
动和转动的结合。
3
I 1 mR 2 2
水平桌面
o
dr r
M 4g
I
3R
19
M 4g
I
3R
求圆盘经多少时间、转几圈将停下来？
由= o+ t = 0得
t o 3RO 4g
又由2-o2=2， 水平桌面
停下来前转过的圈数为
o
dr r
N o2 3o2 R 2 2 16 g
o
力矩的大小: 方向:
M =F rsin
rF
=Fd
d
r
F
注意: 对定轴转动, (1)只有 在垂直于转轴平面内的力才会
Mz
F
产生力矩; 平行于转轴的力是
不会产生力矩的。
(2)力矩的方向沿转轴。
5
2.刚体定轴转动定理
mi: 切向方程:
Fi sini fij sini miai miri
Firi sini fijri sini miri2
撤去外力矩时,
-Mr=I2 , 2=- /t2
(2)
代入t1=10s , t2=100s , =(100×2)/60=10.5rad/s,
得
I=17.3kg.m2 。
15
例题1.4 匀质柱体(M、R) 边缘用细绳 挂一质量为m的物体。求柱体的角加速度 及绳中的张力。
刚体运动动力学
I 0 r 2 dm
0
R
R
0
2rdr 1 m mR 2 r2 2 R 2
r
R
r dr
) d md 2 i i
2 i
平行轴定理
I MN I C md 2
L Lc L,
Lc rc mvc , L ri mi vi
i
质点系的角动量 可分解成质心角动量与质点系相对质心的角动量之和 同一参考点 质心为参考点
6
1
2010/12/17
质心参考系
质心系一般是非惯性系，引入平移惯性力
质心系中质点系动能定理
推论：刚体沿任何方向转动，绕通过质心的转轴的转动惯量最小
17 18
3
2010/12/17
对于平板刚体
z
xi
例 由柯尼希定理导出刚体的平行轴定理
ri
xi2 yi2 ri 2
x
yi
mi
y
绕任意固定轴 MN 转动的刚体的动能 此轴到刚体质心的距离 d 刚体质心的速度
Ek
1 I MN 2 2
其中
1 1 Ek mi vi2 mi vi vi i 2 i 2
L ri mi vi
i
mi
ri rc ri , vi vc vi
ri
O
ri
rC
C
1 1 Ek mi vc vc mi vc vi mi vi vi i 2 i i 2 1 2 1 mvc vc mi vi mi vi2 2 i i 2 1 2 1 , Ekc mvc , 资用能Ek mi vi 2 Ek Ekc Ek 2 i 2
刚体力学
mi (xi2
+
z
2 i
)
−ωz
mi yi zi
=i 1 =i 1
=i 1
n
n
n
∑ ∑ ∑ J z = −ω x mi zi xi − ω y mi zi yi + ω z mi (xi2 + yi2 )
=i 1 =i 1 =i 1
定义：
∑
I
xx
=
n
mi
(
y
2 i
+
z
2 i
)
i =1
∑
ω = dθ
dt
线速度与角速度的关系
∆r = ∆n×r
ω = dn dt
lin ∆r = dn × r = ω× r ∆t→0 ∆t dt
∴ v = dr = ω× r dt
注意：角速度 ω 为整个刚体所共有，v是刚体 内某一点的线速度与 r 有关。
§ 3.3 刚体运动方程和平衡方程
一、力系的简化 1）力的可传性原理：
两个长方形砖块，分别沿 y 轴、z 轴转90 度，转动次序不同所得结果迴然不同，故知对易 律在这时不成立。
有限转动角速度不遵守平行四边形加法的对 易律．所以，有限转动角速度不是矢量 。
2）无限小转动
角位移
如图所示，设刚体绕通过定点O
的某轴线转动了一微小角度 ∆θ ，我
们用 ∆n 来代表∆θ 的量值和方向，
n
n
∑ ∑ M = M i = ri × Fi
i =1
i =1
O点称为简化中心，力的矢量和F叫做主矢，
力偶矩的矢量和M 叫做对简化中心的主矩。
n
F = ∑ Fi i =1
第3章-1刚体
刚体和流体
§3-1 刚体及其运动规律
刚体：在力的作用下不发生形变或发生的 形变可以忽略不计的物体。 刚体是理想模型。
特点：在运动过程中刚体上任意两点之间 的距离保持不变。
3-1-1 刚体的运动
平动和转动
平动： 刚体在运动过程中，其上任意两点的连线 始终保持平行。
刚体平动时，任一点的速度相同，可以用质心 的运动代表整个刚体的平动。 质心运动定理：
P M
3-1-6 刚体的定轴转动动能和动能定理
一、转动动能
第i个质元的动能： z
1 1 2 2 2 Eki mi vi mi ri 2 2
整个刚体的转动动能：
ri
mi
vi
1 2 2 Ek Eki mi ri 2
1 2 2 ( mi ri ) 2
(2)建立坐标系 (3)建立运动方程 滑轮:
z
x
N
m0 O
M J
(1)
FT R J
1 FT m0 a 2
1 a 2 J m0 R , 2 R
FT FT m mg
m0 g
(1)
例5: 质量为m0 =16 kg的实心滑轮，半径为R = 0.15 m。 一根细绳绕在滑轮上，一端挂一质量为m的物体。求： （1）由静止开始1秒钟后，物体下降的距离；（2）绳 子的张力。 y
例8： 质量为m0 ，长为2l 的均质细棒，在竖直平面 内可绕中心轴转动。开始棒处于水平位置，一质量为 m的小球以速度u垂直落到棒的一端上。设为弹性碰撞。 求碰后小球的回跳速度v以及棒的角速度。
1 1 2 解： J m0 2l m0l 2 12 3
l
r x
大学物理：3-1 刚体的运动
4
二、刚体的定轴转动 (Fixed-axis rotation)
在刚体转动中, 转轴固定不动的转动称为定轴转动。 过刚体上任意一点并垂直于转轴的平面称为转动平面。
刚体作定轴转动时，所有的点都具有相同的角速 度和角加速度, 在相同的时间内有相等的角位移。但 是位移、速度和加速度却不相等。
Rw cos(wt
0)
vA
v
2 Ax
v
2 Ay
Rw
25
300
0.26 m / s
aAx
dv Ax dt
Rw 2 cos(wt
0)
aAy
dv Ay dt
Rw 2 sin(wt
0)
aA
aA2x
aA2y
Rw2
13
25 2
3002
2.7103
m / s2
子在这段时间内转过的圈数。
解 因角加速度 随时间而增大，设 =ct
由定义得 dw ct dw ctdt
dt
对上式两边积分
w
t
dw c tdt
0
0
w 1 ct 2
2
8
由条件知
t 300s , w 18000 2 π rads1 600π rads1
60
所以
c
2w
t2
2 600π 3002
3
一、平动和转动 (Translation and rotation)
平动和转动是刚体运动的最基本的形式。
平动 在刚体运动过程中, 如果刚体上的任意一 条直线始终保持平行, 这种运动就称为平动。可用 质心运动讨论。
描述刚体平动时可以用一点的运动来代表，常用 刚体的质心运动代表整个刚体的平动。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
x
y
o
A
B
'
x '
y A
a ω
α
三、平面图形上各点的加速度
n BA
a
t BA
a
t r
n r
e a a
a a a ++=动系：Ax’y’
动
点：刚体上的B 点
牵连运动：平移相对运动：圆周运动
t t r
n n r
e ,,BA
BA
a
a a a a a A ===2
n t ,ω
α∙=∙=AB a
AB a
BA
BA
t n BA
BA A B a
a a a ++=问题：是否有加速度投影定理？是否有加速度瞬心？
•加速度瞬心：在某瞬时，平面图形上加速度为零的点。
当平面图形的角速度与角加速度不同时为零时，必存在唯一的一点，在该瞬时其加速度为零。
问题：当平面运动刚体在某瞬时角加速度为零时，如何确定加速度瞬心的位置，要确定该位置需要已知哪些运动条件？
问题：当平面运动刚体在某瞬时角速度为零时，如何确定加速度瞬心的位置，要确定该位置需要已知哪些运动条件
？
2
n t ,ω
α∙=∙=MP a
MP a
MP
MP
t n MP
MP
M a
a
a +=
O
A
B ω
A
a B
a
a
C AB 杆瞬时平移
ω
为常量
ω
V
C o
纯滚动
当平面运动刚体瞬时平移时，加速度瞬心在加速度垂线上
问题：确定图示瞬时平面运动刚体上加速度为零的点。
例：A 端沿直线以匀速u 运动，求绳铅垂时AB 杆的角加速度和杆中点C 的加速度。
已知：r
BD r AB ==,2解：1、研究AB 杆，速度分析
AB 杆瞬时平移
=AB ωu
v v B A ==θ
u
A
B
D
C
B
v 2、C 点加速度分析
t n CA
CA A C a
a a a ++=t CA
C a a =
θ
u
A
B
D C
n t B
B B a a a +=t B
a
n
B
a t BA a
α
C a 上式在铅垂轴上投影：
θcos t
n BA B a a ==r
u 2
r a
BA
2t =αθ
cos 22
2
r u =r
AC a αα==t BA
a
=t n
BA
BA A B a
a a a ++=0
取A 为基点，研究B 点的运动
t n CA
CA A C a
a a a ++=0
求C 点的加速度
例：已知半径为R 圆盘在地面上纯滚动，图示瞬时轮心的速度为V O 和加速度a O 。
求圆盘的角速度、角加速度和A 点的加速度。
α
n t AO
AO
O A a
a
a a ++=ω
O
v O
a R O
A
t AO
a
n AO
a
解：因为圆盘纯滚动
R
v O =
ω上式两边对时间t 求导
R v O ==ωαR
a O
=
取O 为基点
x
y
O
AO
O Ax a a
a a x 2:
t =+=R
v R a a y O AO Ay 22
n :
=
==ω
ω
A
B
D
θ
例：已知OA 以匀角速度绕O 轴转动，确定图示瞬时AB 杆和BD 杆角加速度的转向。
A
a n B
a
t B
a
n t BA
BA
A B a
a
a a ++=0
=AB ω t BA
A B a
a a +=t t n BA
A B B
a
a a a +=+t BA
a
角加速度的θ
cos :t A n BA
B
a a a y +=-0
t <a θcos t A n BA
B a a a =--
例：半径为R 的圆盘在水平板A 上纯滚动，若该瞬时板的速度为u ，加速度为a ，轮心O 相对板的速度为v r ，相对加速度为a r 。
求圆盘的角速度和角加速度以及圆盘最高点B 的速度和加速度
解：1、求圆盘的角速度和角加速度
u
O
r a A
r v a
α
ω
R v r
=
ωR v r
==ωαR
a r =
BO O B r r r v v v +=2、求圆盘最高点B 的速度
B
B B r e a v v v +=v v v v ++=BO
r v B
R v u v ω--=2v u -=
u
O
r a A
r v a
α
ω
n r t r r r BO
BO
O B a
a a a ++=3、求圆盘最高点B 的加速度
B B B r e a a a a +=n r t r r e a BO
BO
O B a
a
a a a +++=t r BO
a
n r BO
a B
t r r e a BO
O Bx a a a a ++=n r a BO
By a a -=思考题：在纯滚动的条件下，圆盘与板的接触点具有相同的速度，这两点的加速度是否也相等？
B
ω
α
A
r
R
例：已知图示瞬
时圆盘的角速度和角加速度。
求该瞬时圆盘最高点B 的速度和
加速度。
R ＝2r
B
ω
α
A
r
R
解：取圆盘为研究对象r v A ω=A
v r
v B ω2=（1）求B 点的速度
（2）求B 点的加速度取A 为基点
r r a v
A A αω=== t
r
a A
2
n ω=t n t n BA
BA A A B a a a a a +++=t
A
a
n A
a
t BA
a
n BA
a
r
a r a BA BA αω==t
2n R
a a a BA A Bx α=+=t
t 0
n
n =-=BA A By a a a
机构运动的演示
思考题：已知杆AB 上的A 点以匀速u 铅垂运动，圆盘在地面上纯滚动。
试确定当系统运动到图示位置时，圆盘角速度的转向和角加速度的转向。
A ：顺时针
B ：逆时针
u
A
B 情况1
u
A
B
情况2
思考题：已知杆AB上的A点以匀速u 铅垂运动，圆盘在地面上纯滚动。
试确定当系统运动到图示位置时，圆盘角速度的转向和角加速度的转向。
u
A
B
r
e a v v v +=A
B
D
E
u
例：图示机构中，AB 杆的A 端以速度u 匀速运动，求图示瞬时DE 杆的角速度。
已知该瞬时，AB 杆与水平线的夹角为450，套筒D 位于AB 杆的中点，DE 杆水平。
解：
动点：套筒D ，动系：AB 杆
a =v P
e
v r
v a
v 上式在DP 轴上投影可得：
=ω
)
1(r e a C
a a a a ++=A
B
D
E
u
例：图示机构中，AB 杆的A 端以速度u 匀速运动，求图示瞬时DE 杆的角加速度。
已知该瞬时，AB 杆与水平线的夹角为450，套筒D 位于AB 杆的中点，DE 杆水平。
解：动点：套筒D ，动系：AB 杆
a
a DE ⇐αP
)
2(n t e DA
DA a
a a +=r v a
a （2）式在AB 杆上投影可得：
e
a r
a e a C
a C
a a a --=0
e 0
a 45cos 45cos n 0
e 45cos DA
a
a =（1）式在DP 轴上投影可得：
e
v。