Cantor集与Cantor函数

Cantor集与Cantor函数

【摘要】：本文详细分析并证明cantor集与cantor函数的定义与性质，具体容有：cantor集的完备性，具有连续统势；cantor函数的性质，解决了课堂上的小问题（关于cantor函数的连续性与稠密性）；并借助于cantor集，给出一个孤立点集，它的导集是一个完备集；最后给出了一些常见的分形。

【关键词】：Cantor集、Cantor函数、分形、点集、完备集

1 Cantor集与Cantor函数的定义

1.1 Cantor集的定义

下面我们定义如下函数：

f=

这个函数f(x)就是Cantor函数。

2 Cantor集与Cantor函数的基本性质

2.1 Cantor集的性质

2.1.1 完备性

Cantor集是完备集：

引理：FG，则F是完备集的充分必要条件是是至多可数个两两不相交且无公共端点的开区间的并，即

两两不相交且无公共端点。

证明：Cantor集C明显满足上述条件

G=[0,1]\C

故：

R-C=G

而：

G=(,)∪(,)∪(,)∪(,)∪(,)∪(,)∪(,)∪......

为两两不相交且没有公共端点的开区间的并。

故C为完备集

2.1.2 Cantor集是疏集，没有点

证明：

假设是C的点，

则存在，使得

这样含于[0,1]中且这个开集的各个构成区间互不相交，这些区间的长度之和大于1，矛盾。

由C是疏集。

2.1.3 G=[0,1]\C是[0,1]中的稠密集

即证明

证明：易得,下面证明

反证法，任取x且x，则存在x的一个邻域，其中不含有G的点。

可得这个领域在C。又，故xC，所以x是C中的点。与C是疏集矛盾。

所以。故，G是[0,1]中的稠密集，证毕。

2.1.4 C具有连续统势

由上述性质，似乎Cantor完备集中没有多少点了！但事实上不然，下面证明其有连续统势。

证明：由定理可得，(0,1)与无限n元数列全体等价。所以，(0,1)中每一点x，有惟一的一个无限三元数列，使

(1)

现在对中所有的点x必定，对及中所有的点x必定，中所有的点x 必定，等等。即对G中所有的点x，(1)中所有对应的中必有等于1的

项。因此(1)中仅由0和2构成的无限三元数列所对应的x都在C中。而这样的全体有连续统势。证毕.

2.2 Cantor函数的性质（关于课堂小问题：Cantor函数的连续性和稠密性）

2.2.1 Cantor函数是[0,1]上的单增函数

由其构造方法易得这个性质，在这里就不证明了

2.2.2 Cantor函数是[0,1]上的连续函数

引理：f是[a，b]单增实值函数，f([a，b])是区间[f(a),f(b)]的稠子

集，则f连续

证明引理：首先证明f在x=a连续。由假设知对于任意的，存在y，使得利用f的单调性知道：当axy时

这样f在x=a连续，同理可证明f在x=b连续。

现在取我们只要证明：

明显：,假如二者不相等，则有

这样我们可以取数和，使得

这个,但是对于任意的x

这和f([a,b])在[f(a),f(b)]中稠密矛盾。

同理可证明。

证明Cantor函数是[0,1]上的连续函数：

因为：

对任意的x,的一个自然数n.

不妨设,

则。

故：

在[0,1]中稠密，因此f([0,1])是[0,1]的稠密子集。得用上述引理，f是[0,1]

是的连续函数。

3借助于Cantor集，给出一孤立点集，其导集是完备集

Cantor集C的余集的构成区间的中点集合是孤立点集并且它的的导集是完备集。

证明：设G=[0,1]\C，则：

G=(,)∪(,)∪(,)∪(,)∪(,)∪(,)∪(,)∪......

设F是G的构成区间的中点组成的集合，对任意的xF，x是G中某个开区间E的中点，故必然存在中，而G是两两不相交的开区间的并，故区间中不会含有除x外的F中的点，由x的任意性，F是孤立点集。

下面证明

对任意的x，x的任邻域中有F的无限个点,所以；反过来，我们记：

记为构造Cantor集的过程中第二次去掉开区间后剩下的[0,1]区间中的部分，也就是说：

一般地，记为构造Cantor集的过程中第n次去掉开区间后剩下的[0,1]区间中的部分，

则表示的各个闭区间去掉中间1/3长度的开区间后剩下的部分，不难发现：

假如，则对于任意的，以及满足的一个自然数n，由于，x一定属于组成的某个闭区间，注意到包含了G的无限多个构成区间，所以中有F 的无限个点。于是x，这样就证明了

4从Cantor集到分形

4.1 分形简介

分形Fractal，来自拉丁文Fractals，意思是含有断裂和碎片。它的创始人是美籍数学家曼德尔伯罗特。他在1967年发表了题为《英国的海岸线有多长？》的著名论文。海岸线作为曲线,其特征是极不规则、极不光滑的，呈现蜿蜒复杂的变化。我们不能从形状和结构上区分这部分海岸与那部分海岸有什么本质的不同,这种几乎同样程度的不规则性和复杂性,说明海岸线在形貌上是自相似的,也就是局部形态和整体态的相似。

目前对分形还没有严格的数学定义，只能给出描述性的定义。粗略地说：

1.分形是对没有特征长度但具有一定意义下的自相似图形和结构的总称；

2.分形是整体与局部在某种意义下的对称性的集合；

3.分形是具有某种意义下的自相似集合;

4.分形是其豪斯道夫维数严格大于其拓扑维数的集合。

分形可以是自然存在的，也可以是人造的。树木、山川、云朵、闪电、星系、大脑皮层……都是典型的分形

标准的自相似分形是数学上的抽象,迭代生成无限精细的结构,如Koch雪花曲线、尔宾斯基(Sierpinski)地毯曲线等。

4.2 分形的基本性质

总的说来分形一般有以下特质：

在任意小的尺度上都能有精细的结构；太不规则，以至难以用传统欧氏几何的语言描述；（至少是大略的或任意的）自相似；有着简单的递归定义。

（1）分形集都具有任意小尺度下的比例细节，或者说它具有精细的结构。

（2）分形集不能用传统的几何语言来描述，它既不是满足某些条件的点的轨迹，也不是某些简单方程的解集。