八年级几何证明题

几何证明题

1、已知：如图1所示，∆ABC 中，∠=︒===C AC BC AD DB AE CF 90，，，。 求证：DE ＝DF

2、已知：如图2所示，AB ＝CD ，AD ＝BC ，AE ＝CF 。求证：∠E ＝∠F

3、如图3所示，设BP 、CQ 是∆ABC 的内角平分线，AH 、AK 分别为A 到BP 、CQ 的垂线。求证：KH ∥BC

4、已知：如图4所示，AB ＝AC ，∠，，A AE BF BD DC =︒==90。求证：FD ⊥ED

5、已知：如图6所示在∆ABC 中，∠=︒B 60，∠BAC 、∠BCA 的角平分线AD 、CE 相交于O 。 求证：AC ＝AE ＋CD

6、已知：如图7所示，正方形ABCD 中，F 在DC 上，E 在BC 上，∠=︒EAF 45。 求证：EF ＝BE ＋DF

7、如图8所示，已知∆ABC 为等边三角形，延长BC 到D ，延长BA 到E ，并且使AE ＝BD ，连结CE 、DE 。 求证：EC ＝ED

8、例题：已知：如图9所示，∠=∠>12，AB AC 。 求证：BD DC >

作业

1. 已知：如图11所示，∆ABC 中，∠=

C 90于E ，且有AC A

D C

E ==。求证：DE CD =

1

2

C

图11

A

B D E

2. 已知：如图

求证：BC ＝

3. 已知：如图13所示，过∆ABC 的顶点A ，在∠A 内任引一射线，过

B 、

C 作此射线的垂线BP 和CQ 。设M 为BC 的中点。 求证：MP ＝MQ

4. ∆ABC 中，∠=︒⊥BAC AD BC 90，于D ，求证：()AD AB AC BC <

++4

【试题答案】

1、 分析：由∆ABC 是等腰直角三角形可知，∠=∠=︒A B 45，由D 是AB 中点，可考虑连结CD ，易得CD AD =，∠=︒DCF 45。从而不难发现∆∆DCF DAE ≅

证明：连结CD

AC BC A B

ACB AD DB

CD BD AD DCB B A AE CF A DCB AD CD

=∴∠=∠∠=︒=∴==∠=∠=∠=∠=∠=90，，，，

∴≅∴=∆∆ADE CDF

DE DF

说明：在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。显然，在等腰直角三角形中，更应该连结CD ，因为CD 既是斜边上的中线，又是底边上的中线。本题亦可延长ED 到G ，使DG ＝DE ，连结BG ，证∆EFG 是等腰直角三角形。有兴趣的同学不妨一试。 2、证明：连结AC

在∆ABC 和∆CDA 中，

AB CD BC AD AC CA ABC CDA SSS B D AB CD AE CF

BE DF

===∴≅∴∠=∠==∴=，，，∆∆()

在∆BCE 和∆DAF 中，

BE DF B D BC DA BCE DAF SAS E F

=∠=∠=⎧⎨⎪

⎩

⎪∴≅∴∠=∠∆∆()

说明：利用三角形全等证明线段求角相等。常须添辅助线，制造全等三角形，这时应注意：1制造的全等三角形应分别包括求证中一量；2添辅助线能够直接得到的两个全等三角形。 3、分析：由已知，BH 平分∠ABC ，又BH ⊥AH ，延长AH 交BC 于N ，则BA ＝BN ，AH ＝HN 。同理，延长AK 交BC 于M ，则CA ＝CM ，AK ＝KM 。从而由三角形的中位线定理，知KH ∥BC 。

证明：延长AH 交BC 于N ，延长AK 交BC 于M ∵BH 平分∠ABC

∴=∠∠ABH NBH 又BH ⊥AH ∴==︒∠∠AHB NHB 90 BH ＝BH

∴≅∴==∆∆ABH NBH ASA BA BN AH HN

()，

同理，CA ＝CM ，AK ＝KM ∴KH 是∆AMN 的中位线 ∴KH MN // 即KH//BC 说明：当一个三角形中出现角平分线、中线或高线重合时，则此三角形必为等腰三角形。我们也可以理解成把一个直角三角形沿一条直角边翻折（轴对称）而成一个等腰三角形。 4、 证明一：连结AD

AB AC BD DC

DAE DAB BAC BD DC BD AD

B DAB DAE

==∴+=︒==︒=∴=∴==，∠∠，∠∠∠，∠∠∠129090

在∆ADE 和∆BDF 中， AE BF B DAE AD BD

ADE BDF

FD ED

===∴≅∴∠=∠∴∠+∠=︒

∴⊥，∠∠，∆∆31

3290

说明：有等腰三角形条件时，作底边上的高，或作底边上中线，或作顶角平分线是常用

AB AC BF AE AF CE BM

==∴==，

∴≅∴==∴⊥∆∆AEF BFM

FE FM DM DE FD ED

说明：证明两直线垂直的方法如下：（1）首先分析条件，观察能否用提供垂直的定理得到，包括添常用辅助线，见本题证二。（2）找到待证三直线所组成的三角形，证明其中两个锐角互余。（3）证明二直线的夹角等于90°。

5、 分析：在AC 上截取AF ＝AE 。易知∆∆AEO AFO ≅，∴∠=∠12。由∠=︒B 60，知∠+∠=︒∠=︒∠+∠=︒566016023120，，。∴∠=∠=∠=∠=︒123460，得：

∆∆FOC DOC FC DC ≅∴=，

证明：在AC 上截取AF ＝AE

()

∠=∠=∴≅∴∠=∠BAD CAD AO AO

AEO AFO SAS ，∆∆42

又∠=︒B 60 ∴∠+∠=︒∴∠=︒

∴∠+∠=︒

∴∠=∠=∠=∠=︒

∴≅∴=566016023120123460∆∆FOC DOC AAS FC DC

() 即AC AE CD =+

6、分析：此题若仿照例1，将会遇到困难，不易利用正方形这一条件。不妨延长CB 至G ，使BG ＝DF 。

证明：延长CB 至G ，使BG ＝DF 正方形ABCD 中，

∠=∠=︒=ABG D AB AD 90，

∴≅∴=∠=∠∆∆ABG ADF SAS AG AF ()，13

又∠=︒EAF 45

∴∠+∠=︒∴∠+∠=︒

23452145 即∠GAE ＝∠FAE

∴=∴=+GE EF EF BE DF

7、证明：作DF//AC 交BE 于F ∆ABC 是正三角形 ∴∆BFD 是正三角形 又AE ＝BD

∴==∴==AE FD BF BA AF EF

即EF ＝AC

AC FD

EAC EFD EAC DFE SAS EC ED

//()∴∠=∠∴≅∴=∆∆

8、证明一：延长AC 到E ，使AE ＝AB ，连结DE 在∆ADE 和∆ADB 中，

AE AB AD AD ADE ADB

BD DE E B DCE B

DCE E

DE DC BD DC

=∠=∠=∴≅∴=∠=∠∠>∠∴∠>∠∴>∴>，，，，21∆∆