高等工程数学复习题

高等工程数学考试题及参考解答(仅供参考)

考试题及参考解答(参考)一、填空题（每小题3分，共15分） 1，设总体X 服从正态分布(0,4)N ，而1215(,,)X X X 是来自X 的样本，则221102211152()X X U X X ++=++服从的分布是_______ .解：(10,5)F ．2，ˆnθ是总体未知参数θ的相合估计量的一个充分条件是_______ . 解：ˆˆlim (), lim Var()0n nn n E θθθ→∞→∞==． 3，分布拟合检验方法有_______ 与____ ___. 解：2χ检验、柯尔莫哥洛夫检验． 4，方差分析的目的是_______ .解：推断各因素对试验结果影响是否显著．5，多元线性回归模型=+Y βX ε中，β的最小二乘估计ˆβ的协方差矩阵ˆβCov()=_______ . 解：1ˆσ-'2Cov(β)=()X X ．二、单项选择题（每小题3分，共15分）1，设总体~(1,9)X N ，129(,,,)X X X 是X 的样本，则___B___ .（A ）1~(0,1)3X N -；（B ）1~(0,1)1X N -；（C ）1~(0,1)9X N -；（D ~(0,1)N ． 2，若总体2(,)XN μσ，其中2σ已知，当样本容量n 保持不变时，如果置信度1α-减小，则μ的置信区间____B___ .（A ）长度变大；（B ）长度变小；（C ）长度不变；（D ）前述都有可能.3，在假设检验中，就检验结果而言，以下说法正确的是____B___ . （A ）拒绝和接受原假设的理由都是充分的；（B ）拒绝原假设的理由是充分的，接受原假设的理由是不充分的；（C ）拒绝原假设的理由是不充分的，接受原假设的理由是充分的；（D ）拒绝和接受原假设的理由都是不充分的.4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设T S 为总离差平方和，e S 为误差平方和，A S 为效应平方和，则总有___A___ .（A ）T e A S S S =+；（B ）22(1)AS r χσ-；（C ）/(1)(1,)/()A e S r F r n r S n r ----；（D ）A S 与e S 相互独立.5，在多元线性回归分析中，设ˆβ是β的最小二乘估计，ˆˆ=-εY βX 是残差向量，则___B____ . （A ）ˆn E ()=0ε；（B ）1ˆ]σ-''-εX X 2n Cov()=[()I X X ；（C ）ˆˆ1n p '--εε是2σ的无偏估计；（D ）（A ）、（B ）、（C ）都对.三、（本题10分）设总体21(,)XN μσ、22(,)Y N μσ，112(,,,)n X X X 和212(,,,)n Y Y Y 分别是来自X 和Y 的样本，且两个样本相互独立，X Y 、和22X Y S S 、分别是它们的样本均值和样本方差，证明12(2)X Y t n n +-，其中2221212(1)(1)2X Yn S n S S n n ω-+-=+-.证明：易知221212(,)X YN n n σσμμ--+，(0,1)X Y U N =．由定理可知22112(1)(1)Xn S n χσ--，22222(1)(1)Yn S n χσ--．由独立性和2χ分布的可加性可得222121222(1)(1)(2)XYn S n S V n n χσσ--=++-．由U 与V 得独立性和t 分布的定义可得12(2)X Y t n n =+-．四、（本题10分）设总体X 的概率密度为1, 0,21(;), 1,2(1)0, x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他，其中参数01)θθ<<（未知，12()n X X X ，，，是来自总体的一个样本，X 是样本均值，（1）求参数；的矩估计量θθˆ（2）证明24X 不是2θ的无偏估计量．解：（1）101()(,)22(1)42x x E X xf x dx dx dx θθθθθθ+∞-∞==+=+-⎰⎰⎰，令()X E X =，代入上式得到θ的矩估计量为1ˆ22X θ=-．（2）222211141 (4)44[()]4()424E X EX DX EX DX DX n nθθθ⎡⎤==+=++=+++⎢⎥⎣⎦，因为()00D X θ≥>，，所以22(4)E X θ>．故24X 不是2θ的无偏估计量．五、（本题10分）设总体X 服从[0,](0)θθ>上的均匀分布，12(,,)n X X X 是来自总体X 的一个样本，试求参数θ的极大似然估计．解：X 的密度函数为1,0;(,)0,x f x θθθ≤≤⎧=⎨⎩其他, 似然函数为1,0,1,2,,,()0,n i x i n L θθθ<<=⎧⎪=⎨⎪⎩其它显然0θ>时，()L θ是单调减函数，而{}12max ,,,n x x x θ≥，所以{}12ˆmax ,,,n X X X θ=是θ的极大似然估计．六、（本题10分）设总体X 服从(1,)B p 分布，12(,,)n X X X 为总体的样本，证明X 是参数p 的一个UMVUE ．证明：X 的分布律为1(;)(1),0,1x x f x p p p x -=-=．容易验证(;)f x p 满足正则条件，于是21()ln (;)(1)I p E f x p p p p ⎡⎤∂==⎢⎥∂-⎣⎦．另一方面1(1)1Var()Var()()p p X X n n nI p -===，即X 得方差达到C-R 下界的无偏估计量，故X 是p 的一个UMVUE ．七、（本题10分）某异常区的磁场强度服从正态分布20(,)N μσ，由以前的观测可知056μ=．现有一台新仪器, 用它对该区进行磁测, 抽测了16个点, 得261, 400x s ==, 问此仪器测出的结果与以往相比是否有明显的差异(α=0.05)．附表如下：t 分布表 χ2分布表解：设0H ：560==μμ．构造检验统计量)15(~0t ns X t μ-=，确定拒绝域的形式2t t α⎧⎫>⎨⎬⎩⎭．由05.0=α，定出临界值1315.2025.02/==t t α，从而求出拒绝域{}1315.2>t ．而60,16==x n ，从而 ||0.8 2.1315t ===<，接受假设0H ，即认为此仪器测出的结果与以往相比无明显的差异．八、（本题10分）已知两个总体X 与Y 独立，211~(,)X μσ，222~(,)Y μσ，221212, , , μμσσ未知，112(,,,)n X X X 和212(,,,)n Y Y Y 分别是来自X 和Y 的样本，求2122σσ的置信度为1α-的置信区间.解：设布定理知的样本方差，由抽样分，分别表示总体Y X S S 2221 , []/2121/212(1,1)(1,1)1P F n n F F n n ααα---<<--=-，则222221211221/2122/212//1(1,1)(1,1)S S S S P F n n F n n αασασ-⎛⎫<<=- ⎪----⎝⎭，所求2221σσ的置信度为α-1的置信区间为 222212121/212/212//, (1,1)(1,1)S S S S F n n F n n αα-⎛⎫ ⎪----⎝⎭．九、(本题10分)试简要论述线性回归分析包括哪些内容或步骤．答：建立模型、参数估计、回归方程检验、回归系数检验、变量剔除、预测。

高等工程数学复习题

矩阵分析第一题一．（12分）设,21224312⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=i i ii A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111131111B ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=121,X ，其中i 2 = -1，求21,,AXA A ∞及2B解：{}{}84,5,8max 2,122,4312max ==+-+++-++-+=∞i i i i A ，{}77,5,5max 1==A ， 66455,443432222=++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+=AXi i AX),4)(1[(111131111--=---------=-λλλλλλλB E因为B 是实对称阵，所以.4)(2==B B ρ一．（9分）设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----+-=112,241414321x i i ii A ，其中i 2 = -1，求21,,Ax A A ∞ 解：{}{}87,6,8max 24,141,4321max ==+-+--++-++-+=∞i i i i A ，{}108,10,3max 1==A ，66455,443432222=++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-+=Ax i i Ax一．（9分）设，其中1,111,020*******-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=i X A 求21,,A AX A ∞值。

解：（1） ,5}2,5,4max{==∞A（2）,3210,2101=++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=AXAX(3) 因为A 为实对称矩阵，且A 的特征值为：.1,4,2321==-=λλλ 所以 .4}1,4,2max{)(2===A A ρ一．（8分）设，其中1,111,424143112-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----+-=i X i i i i A 求21,,,AX A A A F ∞值。

解：,7}6,7,7max{==∞A .9}8,9,3max{1==A.66116141612511=++++++++=F A,66162525,443432=++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-+=AXi i AX一．（6分）设,021320012⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=A 求21,,A A A ∞值。

高等工程数学考研真题试卷

高等工程数学考研真题试卷一、选择题（每题3分，共30分）1. 设函数\( f(x) \)在点\( x_0 \)处可导，且\( f'(x_0) \neq 0 \)，则\( f(x) \)在\( x_0 \)处的切线斜率为：A. \( f(x_0) \)B. \( f'(x_0) \)C. \( x_0 \)D. \( 0 \)2. 线性代数中，若矩阵\( A \)可逆，则下列哪个说法是正确的？A. \( A \)是对称矩阵B. \( A \)是正交矩阵C. \( A \)的行列式不为零D. \( A \)是单位矩阵3. 根据概率论，若随机变量\( X \)服从正态分布\( N(\mu,\sigma^2) \)，则其期望值和方差分别是：A. \( \mu, \sigma \)B. \( \sigma, \mu \)C. \( \mu, \sigma^2 \)D. \( \sigma, \sigma^2 \)4. 常微分方程\( y'' - 2y' + y = 0 \)的特征方程是：A. \( r^2 - 2r + 1 = 0 \)B. \( r^2 - 2r + 2 = 0 \)C. \( r^2 + 2r + 1 = 0 \)D. \( r^2 - 2r - 1 = 0 \)5. 在多元函数极值问题中，若函数\( f(x, y) \)在点\( (x_0, y_0) \)处取得极小值，则下列说法正确的是：A. 在该点处，\( f(x, y) \)的一阶偏导数都为零B. 在该点处，\( f(x, y) \)的二阶偏导数都为正C. 在该点处，\( f(x, y) \)的Hessian矩阵是正定的D. 在该点处，\( f(x, y) \)的梯度向量为零二、填空题（每题4分，共20分）6. 若函数\( f(x) = 3x^3 - 2x^2 + x - 5 \)，则\( f''(x) \)的值为________。

中南大学最全高等工程数学考试复习题集含答案PDF

4分
（2）上述线性规划模型的对偶形式如下：
max
f 0.28 y1 0.15 y2 0.1 y3 0.55 y4 0.35 y5 y6 0.25y1 -0.1 y2 0.1 y3 0.25 y4 0.25 y5 0.7y6 340 0.4y1 0.3y4 0.3y5 0.7y6 260 0.15y2 0.05y3 0.2y4 0.2y5 0.4y6 180 0.2 y1 0.2y2 0.4y4 0.4y5 0.8y6 230 0.08y1 0.05y2 0.15y3 0.17y4 0.17y5 0.45y6 190 y1 0, y2 0, y4 0, y5 0, y3 R1 , y6 R1
于是有
0.25 1.375 x( x 1) x( x 1)( x 3) 3 42
f (4) N 3 (4) 0.5 4
0.25 1.375 43 4 3 1 3 42 2.75 18.25 2 1 7 7
相应的误差估计式为：
R3 ( x) f [ x0 , x1 , x2 , x3 , x]( x x0 )( x x1 )( x x2 )( x x3 ) R3 ( x) f [0,1,3, 7, x]x( x 1)( x 3)( x 7) f [0,1,3, 7, 4] 4 3 1 (3) 0.000065 (36) 0.00234
【P278】
max s.t.
Z 300 x1 400 x2 2 x1 x2 40 x1 1.5 x2 30 x 0, x 0 2 1
解： (1) 化为标准形式： 2 x1 x2 +x3 =40 s.t. x1 +1.5 x2 x4 30 x , x , x ，x 0 1 2 3 4

高等数学工专试题及答案

高等数学工专试题及答案-卷面总分：60分答题时间：40分钟试卷题量：20题一、单选题（共20题，共40分）1.函数f(x，y)=x2+xy+y2+x-y+1的驻点为A.(1，-1)B.(-1，-1)C.(-1，1)D.(1，1)正确答案：C您的答案：本题解析：本题考查驻点的概念。

对x的偏导数为2x+y+1，对y的偏导数为x+2y-1，由于求驻点，也就是偏导数为0的点，所以2x+y+1=0，x+2y-1=0，得到x=-1，y=1。

2.如果A2=10E，则(A+3E)-1=A..A-2EB.A+2EC.A+3ED.A-3E正确答案：D您的答案：本题解析：本题考查矩阵逆的求法。

A2-9E=E，(A+3E)(A-3E)=E，(A+3E)-1=A-3E3.连续的概念A.f(x)在(-∞，1)上连续B.f(x)在(-1，+∞)上连续C.f(x)在(-∞，0)∪(0，+∞)上连续D.f(x)在(-∞，+∞)上连续正确答案：C您的答案：本题解析：本题考查连续的概念。

4.设A是k×l阶矩阵，B是m×n阶矩阵，如果A·CT·B有意义，则C是()矩阵。

A.k×nB.k×mC.l×mD.m×l正确答案：D您的答案：本题解析：本题考查矩阵的计算性质。

首先我们判断CT是l×m阶矩阵，所以C是m×l阶矩阵。

5.试确定k的值，使f(x)在x=1处连续，其中A.k=-2B.k=-1C.k=0D.k=2正确答案：D您的答案：本题解析：本题考查连续的定义。

6.关于矩阵的乘法的说法，正确的是A.单位矩阵与任意一个同阶方阵必不可交换。

B.一般情形下，矩阵乘法满足交换律。

C.如果AB=O，则A=O。

D.数量矩阵与任意一个同阶方阵必可交换。

正确答案：D您的答案：本题解析：暂无解析7.矩阵的计算A.2x=7B.y=x+1C.2y=xD.y=x-1正确答案：B您的答案：本题解析：本题考查矩阵的计算。

大学工程数学考试题及答案

大学工程数学考试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列哪个选项是微积分的基本定理？A. 积分中值定理B. 洛必达法则C. 牛顿-莱布尼茨公式D. 泰勒级数展开答案：C2. 在概率论中，随机变量X服从二项分布B(n, p)，其中n=10，p=0.3，那么E(X)等于多少？A. 2B. 3C. 4D. 5答案：A3. 线性代数中，一个矩阵A可逆的充分必要条件是什么？A. 行列式非零B. 秩等于A的阶数C. A的所有特征值非零D. 所有选项都是答案：D4. 在复数域中，下列哪个表达式表示复数的共轭？A. z + z*B. z - z*C. |z|^2D. z * z*答案：B5. 傅里叶级数在工程数学中的应用之一是？A. 信号处理B. 量子力学C. 统计物理D. 所有选项都是答案：A二、填空题（每题3分，共15分）6. 函数f(x) = sin(x)的一阶导数是_________。

答案：cos(x)7. 矩阵的特征值是_________。

答案：λ8. 拉普拉斯变换的逆变换通常使用_________。

答案：拉普拉斯逆变换9. 随机变量X和Y相互独立，且P(X=x) = 2x，P(Y=y) = 3y，则P(X+Y=4)等于_________。

答案：1/410. 曲线y = x^2在点(1,1)处的切线斜率是_________。

答案：2三、解答题（共75分）11. （15分）证明函数f(x) = e^x在实数域上是单调递增的。

答案：由于f'(x) = e^x > 0对于所有实数x，因此f(x)在实数域上是单调递增的。

12. （20分）解线性方程组：\[\begin{align*}x + 2y &= 5 \\3x - y &= 4\end{align*}\]答案：使用高斯消元法或克拉默法则，解得 \( x = 2, y = 1.5 \)。

13. （20分）计算下列定积分：\[\int_{0}^{1} x^2 dx\]答案：使用基本积分公式，得到 \( \frac{1}{3}x^3 \) 在0到1的积分为 \( \frac{1}{3} \)。

高数(工专)试题集锦

全国2007年4月高等教育自学考试高等数学（工专）试题一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．下列各对函数中，互为反函数的是（） A ．y=sinx,y=cosx B ．y=e x ,y=e -x C ．y=tanx,y=cotxD ．y=2x,y=2x2．当x →+∞时，下列变量中为无穷大量的是（） A ．x1 B ．ln(1+x) C ．sinx D ．e -x3．级数++++43225252525（）A ．收敛B ．的敛散性不能确定C ．发散D ．的和为+∞4．设f(x)可微，则d(e f(x))=（） A ．f’(x)dx B ．e f(x)dx C ．f’(x)e f(x) dx D ．f’(x)de f(x)5．矩阵A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡d cb a 为非奇异矩阵的充要条件是（）A ．ad-bc=0B ．ad-bc ≠0C ．ab-cd=0D ．ab-cd ≠0二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 6．曲线y=e x 在点（0，1）处的切线方程为________. 7．设函数f(x)=⎩⎨⎧>≤-0x ,x 0x ,1x 2，则极限)x (f limx →________.8．设y=x(x+1)(x+2),则0x dxdy ==________.9．不定积分⎰=dx x1cosx12________.10．dxd ⎰x20)dt 2t sin(=________.11．设由参数方程x=dxdy ),x (y y t 1y ,2t2则确定的函数为=-==________.12.曲线y=1+2)3x (x 36+的铅直渐近线为________.13．无穷限反常积分⎰+∞-0x5dxe=________.14．矩阵310010011⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=________.15．行列式631321111=________.三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分） 16．求极限5x 4x 1lim 5x ---→.17.设y='y ,)3x (x 1x 3求--.18.求由方程y=1+xe y 所确定的隐函数y=y(x)的导数dxdy .19.确定函数f(x)=e x -x-1的单调区间. 20.求不定积分⎰-dx)x cot x (csc x csc.21.求微分方程(1+y)dx-(1-x)dy=0的通解. 22.计算定积分⎰--+1122dx)x1x (.23.λ为何值时，线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++λ=+λ+=λ++1x x x 1x x x 1x x x 321321321有唯一解？四、综合题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）24．从一块边长为a 的正方形铁皮的四个角各截去一个大小相等的方块，做成一个无盖的盒子，问截去的方块边长为多少时，所做成的盒子容积最大？25．求由曲线y=x3与直线x=2,y=0所围平面图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积.全国2007年7月高等教育自学考试高等数学（工专）试题一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 1．函数1)ln(4)(2-+-=x xx f 的定义域是（）A ．（-∞，+∞）B ．（-2，2）C ．（1，+∞）D ．(]2,12．下列函数中是偶函数的为（） A ．1+=x y B ．xey 2=C ．3ln =yD ．x y sin =3．=+⋯+++∞→)41414141(lim 32nn （）A ．41B ．31C ．21D ．344．设⎪⎩⎪⎨⎧==-,2,3tte y e x 则=dxdy （）A ．te232 B ．te232-C ．yx -D ．-xy5．线性方程组⎩⎨⎧=+-=+23,122121x x x x λ无解，则（）A ．6-≠λB ．6-=λC ．6=λD ．8=λ二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。

工程数学复习题

工程数学复习题一、单项选择题1.设i z i z 26,2121+-=-=，,则21z z +的幅角为【D 】 A.2π-B.2πC.0D.π 2.常数1的傅氏变换为【C 】 A.)(ωδ B.)(ωπδ C.)(2ωπδ D.)(1ωπδω+j1是函数f 9.若函数)(z f 在0z 不连续，则【D 】A.)()(lim 00z f z f z z =→ B.[]0)()(lim 00=-→z f z f z zC.)()(lim 000z f z z f z =∆+→∆ D.[]0)()(lim 00≠-→z f z f z z10.幂级数∑∞=0)3(n nz 的收敛半径是【B 】A.1B.31C.0D.311.函数z e 在00=z 展开成的泰勒级数是【A 】A.∑∞=0!n n n z B.∑∞=++-011)1(n n n n zC.∑∞=++-012)!12()1(n n nn z D.∑∞=-02)!2()1(n n n n z 12.设0z 是)(z f 的孤立奇点,0z 是)(z f 的二级极点，则=]),([Re 0z z f s 【D 】d2=【A 】A.0B. C. D.18.函数),(),()(y x iv y x u z f +=在0z 点解析的充要条件是【C 】 A.),(),,(y x v y x u 在0z 点可微B.在0z 点xvy u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂, C.在0z 点),(),,(y x v y x u 可微且xv y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂, D.)(z f 在0z 点可导 19.3)(z z f =在z 平面上【C 】A.可导不解析B.连续不可导C.处处解析D.有奇点20.设)(z f 在单连域G 内解析，C 为G 内任意一条正向简单闭曲线,0z 是C 内的一点，则积分()=-⎰C dz z z 501【B 】A.!42i π B.0 C.i π2 D.2iπ 21.若)(z f ,)(z g 在单连域G 内解析，C 为G 内任意一条闭曲线，则[]=⋅⎰Cdz z g z f )()(【A 】A.0B.)0()0(2g if π C.i π2 D.π2=dz 【B 】C.[])6()6(--+ωδωδπj D.[])6()6(-++ωδωδπj 29.函数)1ln(z +在00=z 展开成的泰勒级数是【B 】A.∑∞=0!n n n z B.∑∞=++-011)1(n n n n z C.∑∞=++-012)!12()1(n n nn z D.∑∞=-02)!2()1(n n n n z30.设)(z f 在单连域G 内解析，C 为G 内任意一条正向简单闭曲线,0z 是C 内的一点，则积分()=-⎰C dz z z z f 50)(【A 】A.!4)(20)4(z if π B.0 C.)(20z if π D.)0(2)4(if π31.常数10的傅氏变换为【B 】 A.)(20ωδ B.)(20ωπδ C.)(10ωπδ D.)(101ωπδω+j 32.A.-33.A.[πC.πj 34.z A.35.A.(u C.(u A.s1037.A.∑∞=0!n n B.∑=+-01)1(n n nC.∑∞=++-012)!12()1(n n nn z D.∑∞=-02)!2()1(n n n n z 38.te 5的拉氏变换为【A 】 A.51-s B.s 1C.252+s s D.2552+s 39.幂级数在收敛圆内【A 】A.可以微分任意次B.必发散C.可能收敛,可能发散D.非绝对收敛40.幂级数∑∞=+011n nzn 的收敛半径是【A 】A.1B.+∞C.0D.241.函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内解析的条件是【C 】A.),(),,(y x v y x u 在区域D 内可微B.在区域D 内xv y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂, C.在区域D 内),(),,(y x v y x u 可微且vu v u ∂-=∂∂=∂, D.以上都不对 42.A.(u C.z →43.z A.44.A.-45.46.A.若B.若C.若D.若)(z f 在0z 处连续，则)(z f 在0z 可导47.设0z 是)(z f 的孤立奇点,0z 是)(z f 的一级极点，则=]),([Re 0z z f s 【D 】 A.1c B.1 C.-1D.)()(lim 00z f z z z z -→48.1=z 是函数32)1(1)(-=z z z f 的【D 】A.可去奇点B.本性奇点C.二级极点D.三级极点 49.常数5的傅氏变换为【B 】A.)(10ωδB.)(10ωπδC.)(2ωπδD.)(51ωπδω+j 50.设)(z f 在单连域G 内解析，C 为G 内任意一条正向简单闭曲线,0z 是C 内的一点，则积分=-⎰Cdz z z z f 0)(【A 】A.)(20z if πB.0C.i π2D.)0(2if π 51.t e 3的拉氏变换为【A 】57.设)(z f 在区域G 内解析，C 为G 内任意一条正向简单闭曲线,0z 是C 内的一点，则积分()=-⎰C dz z z z 20)(【A 】A.)(20z f i 'πB.0C.i π2D.)0(2f i 'π 58.幂级数在收敛圆上【C 】A.必收敛B.必发散C.可能收敛,可能发散D.绝对收敛 59.幂级数在收敛圆内【D 】（A ）收敛于非解析函数)(z f （B ）必发散（C ）可能收敛,可能发散(D)绝对收敛60.函数)(z f 在0z 的某个邻域内展开成泰勒级数的条件是【A 】 A.)(z f 在0z 的某个邻域内解析B.)(z f 在0z 的某个邻域内连续 C.)(z f 在0z 可导D.)(z f 在0z 连续且可导 61.函数z sin 在00=z 展开成的泰勒级数是【C 】A.∑∞=0!n n n z B.∑∞=++-011)1(n n n n zC.∑∞=0n 62.f A.63.A.6δ64.A.若B.若C.若D.若65.5A.s566.A.i 2B.2 C.i 22+ D.i 22-67.设0z 是)(z f 的孤立奇点,0z 是)(z f 的本性奇点，则=]),([Re 0z z f s 【D 】 A.1c B.1 C.-1D.1-c 68.t 0cos ω的傅氏变换为【B 】A.[])()(00ωωδωωδπ--+B.[])()(00ωωδωωδπ-++C.[])()(00ωωδωωδπ--+jD.[])()(00ωωδωωδπ-++j69.)(z f ,)(z g 在单连域G 内解析，C 为G 内任意一条闭曲线，则[]=+⎰Cdz z g z f )()(【A 】A.0B.)0(2if π C.i π2 D.π270.函数),(),()(y x iv y x u z f +=在000iy x z +=连续的条件是【C 】 A.),(y x u 在),(00y x 连续B.),(y x v 在),(00y x 连续C.),(y x u ，),(y x v 均在),(00y x 连续D.),(y x u ，),(y x v 均不在),(00y x 连续 71.t 3cos 的拉氏变换为【C 】4.⎰=310z z 【0】5.=⎰=31z dz z【i π2】6.级数∑∞=0)5(n nz 的收敛半径为【1/5】7.kt sin （k 为常数）的傅氏变换为()()()k k j --+ωδωδπ 8.10的幅角为【0】9.函数)(z f 在0z 点可导，)(z f 在0z 点必【连续】10.连续函数的和、差、积仍然是【连续函数】11.若函数)(z f 在10=z 处可导，则)()(02z f z z f '-在0z 点的导数为【)1(f '-】12.=⎰z z d 10【1/2】13.=⎰z z d cos 20π【1】14.设51)(z e z f z-=，则0=z 是)(z f 的【4级】极点15.t 16.117.⎰18.20.21.22.23.i 24.⎰25.26.27.28.=-⎰=151z dz z 【0】29.=]0,51[Re z s 【51】30.设3cos sin 2)(z zz z f -=，则0=z 是)(z f 的【3级】极点31.te 的拉氏变换为11-s32.级数∑∞=-0)2(n nz 的收敛半径为【1/2】33.)(t δ的拉氏变换为【1】 34.设 ,2,1,=+=n ib a n n n α，若∑∞=1n nα收敛，则∑∞=1n nα【收敛】35.1+2i 的模为536.1[37.t 38.39.40.C 41.42.43.44.δ45.46.47.级数∑=-0)(n nz 的收敛半径为【1】48.=]0,1[Re zs 1 49.1+i 的幅角为【4π】 50.设 ,2,1,=+=n ib a n n n α，则∑∞=1n nα收敛的必要条件是0lim =∞→n n α三：名词解释 1.调和函数如果二元实函数),(y x H 在区域D 内具有二阶连续的偏导数，并且满足拉普拉斯方程0=∆H ，则称),(y x H 为区域D 内的调和函数。

大学高数必考试题及答案

大学高数必考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)在点x=a处可导，则下列说法正确的是：A. f(x)在x=a处连续B. f(x)在x=a处不可导C. f(x)在x=a处的导数为0D. f(x)在x=a处的导数不存在答案：A2. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值是：A. 0B. 1C. 2D. 不存在答案：B3. 以下哪个选项不是微分方程：A. dy/dx = yB. d^2y/dx^2 + y = 0C. ∫y dx = x^2 + CD. dy/dx + y = x答案：C4. 若级数∑(1/n^2)收敛，则下列级数中也收敛的是：A. ∑(1/n)B. ∑(1/n^3)C. ∑(1/n^1.5)D. ∑(1/n^0.5)答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x)=x^3-3x+2，则f'(x)=______。

答案：3x^2-32. 曲线y=x^2在点(1,1)处的切线斜率为______。

答案：23. 函数y=ln(x)的不定积分为______。

答案：xln(x)-x+C4. 微分方程dy/dx+2y=x的通解为______。

答案：y=(1/3)e^(-2x)(x+Ce^(2x))三、解答题（每题15分，共30分）1. 求函数f(x)=x^2-4x+3在区间[1,3]上的最大值和最小值。

答案：首先求导数f'(x)=2x-4，令f'(x)=0，解得x=2。

在区间[1,3]上，f'(x)在x=2处由负变正，因此x=2是极小值点，f(2)=3-4+3=2。

检查端点值，f(1)=1^2-4+3=0，f(3)=3^2-4*3+3=0。

因此，最小值为0，最大值为2。

2. 求由曲线y=x^2与直线x=1和x轴所围成的面积。

答案：由曲线y=x^2，直线x=1和x轴围成的面积可以通过积分求得。

积分区间为[0,1]，被积函数为y=x^2。

00022高等数学(工专)复习资料

00022高等数学（工专）复习资料第一部分1.设|A |=-3，⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=-3134011A，则A 的伴随矩阵A *=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1403 。

2.设y=cos x 1，则在区间（0,1）内y 为有界变量。

3.函数y =log a (x 2-4)(a 是常数且a >0,a ≠1)的定义域是(-∞,-2)∪(2,+∞)。

第二部分1.设f (x )=⎰xdt t 0sin ，则f ′(x )=x sin2.函数⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=,0,,0,1sin )(2x x a x x x x f 在点x =0处连续，则a =0 3.设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡λ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡10000010,321321B b b b a a a ，则AB =⎥⎦⎤⎢⎣⎡312312b b b a a a λλ 4.极限=+-+-++∞→113)2(3)2(lim n n n n n 315.级数 +-+-+-3322103211032110321的和s=326.设y =tan x ，则dy =xdx 2sec7.若无穷限反常积分⎰+∞=+0211dx x k ，则常数k =2π 8.曲线y =222--x x x 的水平渐近线为:1=y第三部分1.用消元法求解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++.353,2522,132321321321x x x x x x x x x解：对增广矩阵进行初等行变换⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡00115-830120010011832120010018-1-31-2-2001321153522321⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=++01508132332321x x x x x x 为原方程组的等价方程组⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x 故原方程组的解为 2.设.,,2dy dx t y t x 求⎩⎨⎧== 解：dtdtdt dtdy dx 2= t21=3.求极限)1211(lim 21---→x x x . 解：)1)(1(21)1211(lim lim 121+--+=---→→x x x x x x x )1)(1(1lim 1+--=→x x x x 2111lim 1=+=→x x4.设⎰+=5223)(x dt t x f ，求)1(f '.解:⎰+-=2523)(x dtt x f432)(x x x f +-='4)1(-='f 所以 5.判定函数f (x )=arctan x -x 的单调性. 解：01111)(222≤+-=-+='xx x x f )(x f '仅在x=0处为0，因此，x x x f -=arctan )(在其定义域），（∞+∞-内单调减少。

工程数学试题及答案高级专

工程数学试题及答案高级专工程数学试题及答案（高级专科）一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 极限的定义中，当x趋近于a时，f(x)的极限为L，意味着（）。

A. f(x) = LB. |f(x) - L| < ε，对任意的ε > 0，存在δ > 0，使得0 < |x - a| < δ时成立C. |f(x) - L| = 0D. f(x) ≠ L答案：B2. 函数f(x) = x^2在x=0处的导数为（）。

A. 0B. 1C. 2D. -1答案：B3. 以下哪个函数是奇函数？（）A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x答案：B4. 以下哪个函数是周期函数？（）A. f(x) = e^xB. f(x) = sin(x)C. f(x) = ln(x)D. f(x) = x^2答案：B5. 以下哪个积分是发散的？（）A. ∫(0, +∞) e^(-x) dxB. ∫(0, +∞) x^2 dxC. ∫(0, +∞) e^x dxD. ∫(0, +∞) 1/x dx答案：D6. 以下哪个是二阶常系数线性微分方程？（）A. y'' + 2y' + y = 0B. y'' + 2y' + 3y = 0C. y'' + y' + y = 0D. y'' + y' = 0答案：A7. 以下哪个是二阶偏导数？（）A. ∂^2f/∂x∂yB. ∂^2f/∂x^2C. ∂^2f/∂y^2D. ∂^2f/∂x∂y^2答案：A8. 以下哪个是线性方程组的解？（）A. {x=1, y=2}B. {x=0, y=0}C. {x=1, y=1}D. {x=2, y=3}答案：C9. 以下哪个是矩阵的特征值？（）A. λ = 1B. λ = 2C. λ = 3D. λ = 4答案：A10. 以下哪个是傅里叶级数的系数？（）A. a_nB. b_nC. c_nD. d_n答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数f(x) = sin(x)在x=π/2处的导数为______。

大学工程数学试题及答案

大学工程数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 以下哪个选项是微分方程的解？A. \( y = e^x \)B. \( y = e^{-x} \)C. \( y = x^2 \)D. \( y = \ln(x) \)答案：A2. 矩阵的行列式值表示了什么？A. 矩阵的面积B. 矩阵的体积C. 矩阵的旋转角度D. 矩阵的缩放因子答案：D3. 以下哪个是线性代数中的基本概念？A. 微分B. 积分C. 向量空间D. 极限答案：C4. 傅里叶变换用于解决什么问题？A. 微分方程B. 积分方程C. 信号处理D. 线性代数答案：C5. 欧拉公式 \( e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x) \) 中，\( i \) 代表什么？A. 虚数单位B. 矩阵C. 行列式D. 向量答案：A6. 以下哪一项是拉普拉斯变换的基本性质？A. 线性性质B. 微分性质C. 积分性质D. 反演性质答案：A7. 泰勒级数展开是用于什么目的？A. 近似计算B. 精确计算C. 矩阵计算D. 向量计算答案：A8. 以下哪个函数是周期函数？A. \( y = x^2 \)B. \( y = e^x \)C. \( y = \sin(x) \)D. \( y = \ln(x) \)答案：C9. 以下哪一项是偏微分方程的解？A. \( u(x, y) = x^2 + y^2 \)B. \( u(x, y) = e^{x+y} \)C. \( u(x, y) = \ln(x+y) \)D. \( u(x, y) = \sin(x)\cos(y) \)答案：D10. 以下哪个选项是复数的性质？A. 可加性B. 可乘性C. 可除性D. 所有选项答案：D二、填空题（每题4分，共20分）1. 如果 \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \)，则 \( f'(x) \) 等于 _______。

答案：\( 3x^2 - 12x + 11 \)2. 矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \) 的行列式 \( \det(A) \) 等于 _______。

高等工程数学复习题

因其存在 2 重跟，故需对其进行修正得
x - 2 x + xk xk xk +1 = xk - 2 ´ k 2 k =2 2 xk - 4 xk + 1 2 x k - 4 xk + 1
（2）在 [a, b] 上，设 f ( x) = 0 与 x 敛于方程 x = j ( x) 的根；时，有φ(x)∈[a,b] 和 |g＇(x)|≤L≤1，" x∈[a,b]时，由 xk +1 = j ( xk ) （ k = 0,1,2, L ）产生的序列 {xk }收则当 j ( x) 满足 = j ( x ) 等价， φ(x)于[a,b]一阶导数存在，当 x∈[a,b]
max{4 6 5} =6 ； A 1 =
é ê1 ê1 21 u33 = a33 - l31u13 - l32 u23 = L = ê 20 ,因此 ê2 ê1 ê ë2
1 5 2
（ 4 ）已知
é2 1 1 ù é4ù ê ú ú A = ê 1 -3 2 ú , x = ê ê -6 ú ，则： A ¥ = ê ê ë1 2 2 ú û ë5ú û
s.t
（2）因目标函数为最大值，而线性规划方程符合要求，故不需转换形式，由此得：
min 6000 y1 + 10000 y2 + 4000 y3 + 7000 y4 + 4000 y5 ì5 y1 + y6 ³ 0.75 ï ï7 y2 + y6 ³ 0.79 ï ï10 y1 + y7 ³ 1.15 ï ï9 y2 + y7 ³ 1.38 ï ï12 y + y ³ 1.94 8 ï 2 ï í6 y3 - y6 ³ -0.36 ï ï8 y3 - y7 ³ -0.48 ï ï4 y4 - y6 ³ -0.44 ï ï11y4 - y8 ³ -1.21 ï ï7 y - y ³ -0.05 6 ï 5 ï y ³ 0(i = 1,2L 8) î i

工程数学复习题及答案

工程数学复习题及答案1. 极限的概念和性质求极限：\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。

答案：根据极限的性质，我们知道当\(x\)趋近于0时，\(\sin x\)与\(x\)的比值趋近于1。

因此，\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\)。

2. 导数的计算计算函数\(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2\)的导数。

答案：函数\(f(x)\)的导数为\(f'(x) = 3x^2 - 6x\)。

3. 积分的计算计算定积分：\(\int_{0}^{1} x^2 dx\)。

答案：定积分的计算结果为\(\left[\frac{1}{3}x^3\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}\)。

4. 线性代数中的矩阵运算求解矩阵方程\(AX = B\)，其中\(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\)，\(B = \begin{bmatrix} 5 \\ 6\end{bmatrix}\)。

答案：通过矩阵运算，我们可以得到\(X = A^{-1}B =\begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix}\)。

5. 概率论中的随机变量设随机变量\(X\)服从正态分布\(N(\mu, \sigma^2)\)，求\(P(X > \mu + \sigma)\)。

答案：根据正态分布的性质，我们知道\(P(X > \mu + \sigma) =1 - P(X \leq \mu + \sigma)\)。

由于正态分布是对称的，且\(\mu + \sigma\)位于均值右侧一个标准差的位置，所以\(P(X > \mu +\sigma) = 0.1587\)。

6. 复变函数的积分计算复变函数的积分：\(\oint_C \frac{1}{z} dz\)，其中\(C\)是单位圆。

大学工程数学试题及答案

大学工程数学试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 函数f(x)=\sin(x)在区间[0, π]上是：A. 增函数B. 减函数C. 先增后减D. 先减后增答案：C2. 以下哪个选项是二阶导数的几何意义？A. 切线的斜率B. 函数的增减性C. 函数的凹凸性D. 函数的极值点答案：C3. 复数z=3+4i的模是：A. 5B. 7C. √7D. √5答案：A4. 矩阵A=[1 2; 3 4]的行列式是：A. -2B. 2C. 0D. 5答案：B5. 以下哪个选项是泰勒级数展开的公式？A. f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2!B. f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/3!C. f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/4!D. f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/1!答案：A二、填空题（每题3分，共15分）6. 函数f(x)=x^3-3x+2的导数是______。

答案：3x^2-37. 曲线y=x^2在点(1,1)处的切线方程是______。

答案：y-1=2(x-1)8. 向量(2, -3)和(1, 2)的点积是______。

答案：-49. 矩阵A=[1 0; 0 2]的逆矩阵是______。

答案：[1 0; 0 1/2]10. 函数f(x)=e^x的不定积分是______。

答案：e^x + C三、解答题（每题10分，共30分）11. 求函数f(x)=x^2-4x+3在区间[1, 3]上的定积分。

答案：∫(x^2-4x+3)dx从1到3 = (1/3x^3 - 2x^2 + 3x) | 从1到3 = 012. 证明函数f(x)=x^3在R上是单调递增的。

高等工程数学试题答案

《高等工程数学》试题一、设总体X 具有分布律其中(01)θθ<<为未知参数，已知取得了样本值1231,2,1x x x ===，求θ的矩估计和最大似然估计.解：（1）矩估计：2222(1)3(1)23EX θθθθθ=+⨯-+-=-+14(121)33X =++=令EX X =，得5ˆ6θ=. （2）最大似然估计：2256()2(1)22L θθθθθθθ=⋅⋅-=-45ln()10120d d θθθθ=-= 得5ˆ6θ= 二、（本题14分）某工厂正常生产时，排出的污水中动植物油的浓度)1,10(~N X ，今阶段性抽取10个水样，测得平均浓度为10.8（mg/L ），标准差为1.2（mg/L ），问该工厂生产是否正常？（220.0250.0250.9750.05,(9) 2.2622,(9)19.023,(9) 2.700t αχχ====）解：（1）检验假设H 0：σ2=1，H 1：σ2≠1；取统计量：2022)1(σχs n -=；拒绝域为：χ2≤)9()1(2975.0221χχα=--n =2.70或χ2≥2025.022)1(χχα=-n =19.023，经计算：96.1212.19)1(2222=⨯=-=σχs n ，由于)023.19,700.2(96.122∈=χ2，故接受H 0，即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为σ2=1。

（2）检验假设101010≠'='μμ：，：H H ；取统计量：10/10S X t -=~ )9(2αt ；拒绝域为2622.2)9(025.0=≥t t ；1028.210/2.1108.10=-=t <2.2622 ，所以接受0H '，即可以认为排出的污水中动植物油的平均浓度是10（mg/L ）。

综上，认为工厂生产正常。

三、在单因素方差分析中，因素A 有3个水平，每个水平各做4次重复实验，完成下列方差分析表，在显著水平0.05α=下对因素A 是否显著做检验。

工科高数复习题

工科高数复习题一、极限1. 求极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。

2. 计算 \(\lim_{x \to \infty} (x^2 + 3x + 2)\)。

3. 判断 \(\lim_{x \to 1} \frac{1}{x - 1}\) 是否存在，并说明理由。

二、导数与微分4. 求函数 \(f(x) = 3x^3 - 2x^2 + x - 5\) 的导数。

5. 确定函数 \(g(x) = \ln(x + 1)\) 的单调区间。

6. 计算复合函数 \(h(x) = \sin(2x + 1)\) 的导数。

三、积分7. 计算定积分 \(\int_{0}^{1} x^2 dx\)。

8. 解决物理问题：求物体在初速度为零，加速度为 \(a(t) = 2t\) 的情况下，从 \(t = 0\) 到 \(t = 1\) 的位移。

9. 求 \(\int \frac{1}{x^2 + 1} dx\) 的原函数。

四、级数10. 判断级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\) 是否收敛。

11. 求幂级数 \(\sum_{n=0}^{\infty} x^n\) 的收敛半径。

12. 利用泰勒展开式求 \(e^x\) 在 \(x = 0\) 处的近似值。

五、微分方程13. 解一阶微分方程 \(\frac{dy}{dx} = x + y\)，初始条件为\(y(0) = 1\)。

14. 求解二阶线性非齐次微分方程 \(y'' - 2y' + y = e^x\)。

15. 确定微分方程 \(\frac{d^2y}{dx^2} + 4\frac{dy}{dx} + 4y = 0\) 的特征方程和通解。

六、多元函数微分学16. 求函数 \(F(x, y) = x^2 + xy + y^2\) 的偏导数。

17. 计算函数 \(G(x, y, z) = x^2y + yz + z^2\) 在点 \((1, 1, 1)\) 处的方向导数。

《高等工程数学》12级硕士研究生

国防科技大学12级硕士研究生高等工程数学试题一、填空题（本题共10小题，每小题3分，满分30分. 把答案填在题中的横线上）1．设1234A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则A 在基： 1011000000001011⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭，，，下的坐标为________．2．设12αα，是欧氏空间n V 中两个线性无关向量，记{|,0,1,2}i W i ξαξ=<>==．则dim() W =3．若矩阵T A =⋅11，其中[1,1,,1]T n =∈1 ，则+=A ．4．设10i 012i 25A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，则12||||||||A A ⋅= ． 5．将[2,1,2]T x =变换为[3,0,0]T y =的Householder 矩阵H = ．6．设1210,,,X X X 是来自总体总体(10,10)N 的样本，样本均值101110i i X X ==∑，则1~X X - ． 7．设总体X 的概率密度函数为0.75, 1,()0.25, 1,0, x f x x others θθθθ<≤+⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩1210,,,X X X 是来自该总体的样本，则未知参数θ的矩估计量ˆθ= ．8．对一批电子元件随机抽取5只进行寿命试验，测得寿命的样本平均值116()x h =，样本标准差10()s h =.设寿命服从正态分布2(,)N μσ，则该批电子元件寿命均值μ的置信度为95%的单侧置信区间下限为________. 9．已知随机向量123[,,]T X x x x =的协方差矩阵为5353225210V -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦且1233)y x x x =+-是X 的一个主成分，则主成分y 的贡献率为 . 10．今有某型号的电池3批，它们分别是A 、B 、C 三个工厂所生产，为了考察其质量，分别从3批电池中各抽取5个测量其寿命值，从3组样本观测值算得方差分析表的部分数据如下：在显著性水平0.05下，因为，故可认为三批电池存在显著差异.二（10分）设矩阵311221220A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，问A 是否可以对角化？请说明理由，并写出A 的相似标准形.三（10分）定义2222⨯⨯→ 的线性变换如下：2211, 11TA A A ⨯-⎡⎤=∈⎢⎥-⎣⎦（1）求T 在基123410010000,,,00001001E E E E ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦下的矩阵；（2）求值空间()R T 的一个基.四（10分）已知5117A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求k A (k 为正整数)，并计算A e .五（10分）已知矩阵110111002A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦. （1）求矩阵A 的三角分解；（2）求矩阵A 的正交三角分解.六（10分）设总体X 服从几何分布，其分布律：1{}(1), 1,2,3,k P X k p p k -==-=其中 (01)p p <<为未知参数，12,,,n X X X 是来自总体X 的样本. （1）求未知参数1p θ- 的极大似然估计量ˆθ；（2）证明ˆθ是θ的最小方差无偏估计.七（10分）从城市的A 区中抽取16名小学生测试器智商，平均值为112，修正的样本方差为100，而该城市的B 区中抽取的16名小学生的智商平均值为107，修正的样本方差为64，在显著性水平0.10α=下，可否认为这两组学生来自同一个总体？假设学生的智商服从正态分布.八（10分）设有正态线性回归模型：11234121232312434124222222~(0,),cov(,),,1,2,3,4i i j ij y y y y N i j ββββεβββεβββεββεεσεεδσ=++++⎧⎪=+-+⎪⎪=+-+⎨⎪=-+⎪⎪==⎩其中1234,,,y y y y 是已知的观测值.（1）求参数1234,,,ββββ的最小二乘估计1234ˆˆˆˆ,,,ββββ；（2） 12ˆˆ(,)ββ与34ˆˆ(,)ββ是否独立？为什么？。

高等工程数学考试题及参考解答(仅供参考)

考试题及参考解答(参考)一、填空题（每小题3分，共15分） 1，设总体X 服从正态分布(0,4)N ，而1215(,,)X X X 是来自X 的样本，则221102211152()X X U X X ++=++服从的分布是_______ .解：(10,5)F ．2，ˆnθ是总体未知参数θ的相合估计量的一个充分条件是_______ . 解：ˆˆlim (), lim Var()0n nn n E θθθ→∞→∞==． 3，分布拟合检验方法有_______ 与____ ___. 解：2χ检验、柯尔莫哥洛夫检验． 4，方差分析的目的是_______ .解：推断各因素对试验结果影响是否显著．5，多元线性回归模型=+Y βX ε中，β的最小二乘估计ˆβ的协方差矩阵ˆβCov()=_______ . 解：1ˆσ-'2Cov(β)=()X X ．二、单项选择题（每小题3分，共15分）1，设总体~(1,9)X N ，129(,,,)X X X 是X 的样本，则___B___ .（A ）1~(0,1)3X N -；（B ）1~(0,1)1X N -；（C ）1~(0,1)9X N -；（D ~(0,1)N ． 2，若总体2(,)XN μσ，其中2σ已知，当样本容量n 保持不变时，如果置信度1α-减小，则μ的置信区间____B___ .（A ）长度变大；（B ）长度变小；（C ）长度不变；（D ）前述都有可能.3，在假设检验中，就检验结果而言，以下说法正确的是____B___ . （A ）拒绝和接受原假设的理由都是充分的；（B ）拒绝原假设的理由是充分的，接受原假设的理由是不充分的；（C ）拒绝原假设的理由是不充分的，接受原假设的理由是充分的；（D ）拒绝和接受原假设的理由都是不充分的.4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设T S 为总离差平方和，e S 为误差平方和，A S 为效应平方和，则总有___A___ .（A ）T e A S S S =+；（B ）22(1)AS r χσ-；（C ）/(1)(1,)/()A e S r F r n r S n r ----；（D ）A S 与e S 相互独立.5，在多元线性回归分析中，设ˆβ是β的最小二乘估计，ˆˆ=-εY βX 是残差向量，则___B____ . （A ）ˆn E ()=0ε；（B ）1ˆ]σ-''-εX X 2n Cov()=[()I X X ；（C ）ˆˆ1n p '--εε是2σ的无偏估计；（D ）（A ）、（B ）、（C ）都对.三、（本题10分）设总体21(,)XN μσ、22(,)Y N μσ，112(,,,)n X X X 和212(,,,)n Y Y Y 分别是来自X 和Y 的样本，且两个样本相互独立，X Y 、和22X Y S S 、分别是它们的样本均值和样本方差，证明12(2)X Y t n n +-，其中2221212(1)(1)2X Yn S n S S n n ω-+-=+-.证明：易知221212(,)X YN n n σσμμ--+，(0,1)X Y U N =．由定理可知22112(1)(1)Xn S n χσ--，22222(1)(1)Yn S n χσ--．由独立性和2χ分布的可加性可得222121222(1)(1)(2)XYn S n S V n n χσσ--=++-．由U 与V 得独立性和t 分布的定义可得12(2)X Y t n n =+-．四、（本题10分）设总体X 的概率密度为1, 0,21(;), 1,2(1)0, x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他，其中参数01)θθ<<（未知，12()n X X X ，，，是来自总体的一个样本，X 是样本均值，（1）求参数；的矩估计量θθˆ（2）证明24X 不是2θ的无偏估计量．解：（1）101()(,)22(1)42x x E X xf x dx dx dx θθθθθθ+∞-∞==+=+-⎰⎰⎰，令()X E X =，代入上式得到θ的矩估计量为1ˆ22X θ=-．（2）222211141 (4)44[()]4()424E X EX DX EX DX DX n nθθθ⎡⎤==+=++=+++⎢⎥⎣⎦，因为()00D X θ≥>，，所以22(4)E X θ>．故24X 不是2θ的无偏估计量．五、（本题10分）设总体X 服从[0,](0)θθ>上的均匀分布，12(,,)n X X X 是来自总体X 的一个样本，试求参数θ的极大似然估计．解：X 的密度函数为1,0;(,)0,x f x θθθ≤≤⎧=⎨⎩其他, 似然函数为1,0,1,2,,,()0,n i x i n L θθθ<<=⎧⎪=⎨⎪⎩其它显然0θ>时，()L θ是单调减函数，而{}12max ,,,n x x x θ≥，所以{}12ˆmax ,,,n X X X θ=是θ的极大似然估计．六、（本题10分）设总体X 服从(1,)B p 分布，12(,,)n X X X 为总体的样本，证明X 是参数p 的一个UMVUE ．证明：X 的分布律为1(;)(1),0,1x x f x p p p x -=-=．容易验证(;)f x p 满足正则条件，于是21()ln (;)(1)I p E f x p p p p ⎡⎤∂==⎢⎥∂-⎣⎦．另一方面1(1)1Var()Var()()p p X X n n nI p -===，即X 得方差达到C-R 下界的无偏估计量，故X 是p 的一个UMVUE ．七、（本题10分）某异常区的磁场强度服从正态分布20(,)N μσ，由以前的观测可知056μ=．现有一台新仪器, 用它对该区进行磁测, 抽测了16个点, 得261, 400x s ==, 问此仪器测出的结果与以往相比是否有明显的差异(α=0.05)．附表如下：t 分布表 χ2分布表解：设0H ：560==μμ．构造检验统计量)15(~0t ns X t μ-=，确定拒绝域的形式2t t α⎧⎫>⎨⎬⎩⎭．由05.0=α，定出临界值1315.2025.02/==t t α，从而求出拒绝域{}1315.2>t ．而60,16==x n ，从而 ||0.8 2.1315t ===<，接受假设0H ，即认为此仪器测出的结果与以往相比无明显的差异．八、（本题10分）已知两个总体X 与Y 独立，211~(,)X μσ，222~(,)Y μσ，221212, , , μμσσ未知，112(,,,)n X X X 和212(,,,)n Y Y Y 分别是来自X 和Y 的样本，求2122σσ的置信度为1α-的置信区间.解：设布定理知的样本方差，由抽样分，分别表示总体Y X S S 2221 , []/2121/212(1,1)(1,1)1P F n n F F n n ααα---<<--=-，则222221211221/2122/212//1(1,1)(1,1)S S S S P F n n F n n αασασ-⎛⎫<<=- ⎪----⎝⎭，所求2221σσ的置信度为α-1的置信区间为 222212121/212/212//, (1,1)(1,1)S S S S F n n F n n αα-⎛⎫ ⎪----⎝⎭．九、(本题10分)试简要论述线性回归分析包括哪些内容或步骤．答：建立模型、参数估计、回归方程检验、回归系数检验、变量剔除、预测。

《高等工程数学》试题+解答

《高等工程数学》试题解答（工程硕士及进修生用 2003.1）考生注意：1、可不抄题,答案必须写在统一配发的专用答题纸上； 2、本试题可能用到的常数：5752961 64199509750950 . ,. ,....===u u u . 一、填空题 (每空3分,共30分)。

(1) ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=010100001H ；(2) 1)(Cond 2=U ；(3) 7 3 , ；(4) )1 1 (~)()(221221,F X X X X -+；(5) X 2ˆ=θ； (6) 664≥n ；(7) e A SS SS SS +=.二、(10分)[解] 记)(21A A diag A ,=，则21A A ,的特征多项式为2)1()()(21-==λλλA A f f ， ∵ O I A ≠21 -，O I A ≠22 -，∴ 2)1()()(21-==λλλA A m m ，取)( )(21λλA A m m ,的最小公倍式，得 2)1()(-=λλA m ，故A 的Jordan 标准形为⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 111111 , diag . 三、(10分)[解一] 记⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=πππ021 A ,其特征值为πλ-=1 (二重根),记则令 ⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧=-=-⇒⎩⎨⎧'='=t t a t t t a t t a t a a g f g f 1 0 1 101 1 1 1 c o s sin cos cos sin )()()()(πππππππλλλλ ∴ . ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==t t t t t A f g A g g A g At sin 00cos sin 000sin )()()()()(sin 2 11πππππππ[解二] ∵ J A 2 2001200022ππ∆⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--= ∴ . ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---==t t t t t t t t t t J t At sin 00cos 2sin 000sin )2(2sin 00)2(2cos 2)2(2sin 00022sin )2sin(sin πππππππππππ 四、(10分)[解] 对A 进行行初等变换故⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-==--21 12 121 1 211 121)(11 R L L , 从而A 有Doolittle 分解：五、(10分)[证] 将ω扩充为nV 的一个标准正交基 B } {n ααω,,,2 =则∴ T B =-==} {} {n n T T T ααααωω,,,,,,22 B P 其中} 1 1 1 {,,, -=diagP 为对称和正交矩阵，故T 是对称变换和正交变换。

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