高中数学 圆的方程 PPT课件
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高中数学必修二课件：圆的一般方程(42张PPT)
此方程表示以(1，－2)为圆心，2为半径长的圆．
问题2：方程x2＋y2＋2x－2y＋2＝0表示什么图形？
提示：对方程x2＋y2＋2x－2y＋2＝0配方得
(x＋1)2＋(y－1)2＝0，即x＝－1且y＝1. 此方程表示一个点(－1,1)． 问题3：方程x2＋y2－2x－4y＋6＝0表示什么图形？ 提示：对方程x2＋y2－2x－4y＋6＝0配方得 (x－1)2＋(y－2)2＝－1. 由于不存在点的坐标(x，y)满足这个方程，所以这 个方程不表示任何图形．
3．若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求 (1)实数m的取值范围； (2)圆心坐标和半径．
解：(1)根据题意知D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－ 1 4(m ＋5m)>0，即4m ＋4－4m －20m>0，解得m<5，
2 2 2
1 故m的取值范围为(－∞，5)．
(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准 方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m， 故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝ 1－5m.
第 二 章 解 析 几 何 初 步
§2 圆 与 圆 的 方 程
2.2
圆 的 一 般 方 程
理解教材新知
把 握 热 点 考 向
考点一 考点二 考点三
应用创新演练
把圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2展开得，x2＋y2 －2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，这是一个二元二次方程的形 式，那么，是否一个二元二次方程都表示一个圆呢？ 问题1：方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0表示什么图形？ 提示：对x2＋y2－2x＋4y＋1＝0配方得 (x－1)2＋(y＋2)2＝4.
1．若x2＋y2－x＋y－m＝0表示一个圆的方程，则m的取值 范围是 1 A．m>－2 1 C．m<－2 1 B．m≥－2 D．m>－2 ( )
高中数学必修二4.1.2圆的一般方程课件(1)
1. 圆的一般方程和标准方程； 2. 配方法和待定系数法.
课后作业
P124 A组 第6题 B组 第3题
小 结： 用待定系数法求圆的方程的步骤：
小 结：
用待定系数法求圆的方程的步骤： 1. 根据题意设所求圆的方程为标准式或
一般式；
小 结：
用待定系数法求圆的方程的步骤： 1. 根据题意设所求圆的方程为标准式或
一般式； 2. 根据条件列出关于a、b、r或D、E、F
的方程；
小 结：
用待定系数法求圆的方程的步骤： 1. 根据题意设所求圆的方程为标准式或
例3.已知线段AB的端点B的坐标是 (4, 3)，端点A在圆(x＋1)2 ＋y2＝4 上运动，求线段AB的中点M的轨迹 方程．
例4. 等腰三角形的顶点A的坐标是 (4, 2)，底边一个端点B的坐标是 (3, 5)，求另一端点C的轨迹方程， 并说明它是什么图形.
例4. 等腰三角形的顶点A的坐标是
(4, 2)，底边一个端点B的坐标是
(3, 5)，求另一端点C的轨迹方程，
并说明它是什么图形.
解：设c点坐标为(a,b) 则 (a-4)^2+(b-2)^2=(4-3)^2+(2-5)^2=10 端点C的轨迹方程以（4，2）为圆心 10 为半径的圆 A，B，C三点不共线，点（5， -1）除外，B点除外
＝
1 4
( (x
x 2＋y2 ) －3 )2＋y2
＝
1 2
①
化简得： x2 ＋ y2＋2x－3＝0 ②
这就是所求的曲线方程。
y
把 ② 左边配方得(x＋1)2＋ y 2＝ 4
所以方程 ② 的曲线是以C( —1，0） M.
为圆心，2为半径的圆， 它的图形如图：
课后作业
P124 A组 第6题 B组 第3题
小 结： 用待定系数法求圆的方程的步骤：
小 结：
用待定系数法求圆的方程的步骤： 1. 根据题意设所求圆的方程为标准式或
一般式；
小 结：
用待定系数法求圆的方程的步骤： 1. 根据题意设所求圆的方程为标准式或
一般式； 2. 根据条件列出关于a、b、r或D、E、F
的方程；
小 结：
用待定系数法求圆的方程的步骤： 1. 根据题意设所求圆的方程为标准式或
例3.已知线段AB的端点B的坐标是 (4, 3)，端点A在圆(x＋1)2 ＋y2＝4 上运动，求线段AB的中点M的轨迹 方程．
例4. 等腰三角形的顶点A的坐标是 (4, 2)，底边一个端点B的坐标是 (3, 5)，求另一端点C的轨迹方程， 并说明它是什么图形.
例4. 等腰三角形的顶点A的坐标是
(4, 2)，底边一个端点B的坐标是
(3, 5)，求另一端点C的轨迹方程，
并说明它是什么图形.
解：设c点坐标为(a,b) 则 (a-4)^2+(b-2)^2=(4-3)^2+(2-5)^2=10 端点C的轨迹方程以（4，2）为圆心 10 为半径的圆 A，B，C三点不共线，点（5， -1）除外，B点除外
＝
1 4
( (x
x 2＋y2 ) －3 )2＋y2
＝
1 2
①
化简得： x2 ＋ y2＋2x－3＝0 ②
这就是所求的曲线方程。
y
把 ② 左边配方得(x＋1)2＋ y 2＝ 4
所以方程 ② 的曲线是以C( —1，0） M.
为圆心，2为半径的圆， 它的图形如图：
高中数学课件-专题9 直线和圆的方程 (共55张PPT)
2.自一点引圆 的切线的条数
3.弦长公式
考点53 直线与圆的位置关系
1.直线与圆 的位置关系
2.自一点引圆 的切线的条数
(1)若点在圆外,则过此点可以作圆的两条切线； (2)若点在圆上,则过此点只能作圆的一条切线,且此点是切 点； (3)若点在圆内,则过此点不能作圆的切线．
3.弦长公式
考点53 直线与圆的位置关系
2.距离公式 的应用
（2）已知距离求有关方程或有关量
借助于距离公式建立方程（组）得出参数的值或
满足的关系式，然后可结合题中其他条件确定方
程、点的坐标等.
【注意】若已知点到直线的距离求直线方程，用
一般式可避免讨论.否则，应讨论斜率是否存在.
23
24
第2节 圆的方程及直线、圆的位置关系
600分基础 考点&考法
8
10
考法2 求直线方程
常用的方法 1.直接法 2.待定系数法
确定定点和斜率或确定两点, 套用直线方程的相应形式, 写出方程．
11
考法2 求直线方程
常用的方法 1.直接法 2.待定系数法
一般步骤： ①设所求直线方程的某种形式； ②由条件（直线的截距、直线上的点、有关图形的面 积等）建立所求参数的方程(组)； ③解这个方程(组)求参数； ④把所求的参数值代入所设直线方程．
1.两条直线的 位置关系
2.两条直线 的交点坐标
3.距离公式 距离公式
考点51 两条直线的位置关系
1.两条直线的 位置关系
2.两条直线 的交点坐标
3.距离公式 距离公式
两直线的方程组成的方程组的解
考法3 两直线平行与垂直的判定及应用
1.两直线平行或 垂直的判定方法
高中数学圆的标准方程(微课)公开课ppt课件
所以所求圆的方程为 (x 2)2 (y 3)2 25.
例2. 已知圆M过两点A(1,-1),B(-1,1)且圆心M在x+y-
2=0上，求圆M的方程.
【解】设圆M的方程为：(x-a)2+(y-b)2=r2(r＞0),
1- a2 + -1- b2 = r2, 根据题意得：-1- a2 + 1- b2 = r2 ,
所以圆心C的坐标是 (3, 2)，
圆心为C的圆的半径长r | AC | (1 3)2 (1 2)2 5.
所以，圆心为C的圆的标准方程是
(x 3)2 ( y 2)2 25.
1.圆心为C(a,b)，半径为r 的圆的标准方程为
(x a)2 ( y b)2 r2.
当圆心在原点时，a=b=0，圆的标准方程为： x2 y2 r2.
根据两点间距离公式： P1P2 x2 x1 2 y2 y1 2 .
则点M、A间的距离为：MA x a2 y b2 .
即：
代入
(x a)2 ( y b)2 r
(x a)2 ( y b)2 r2
化简
回顾
1,求圆的 标准方程的数学思想方法解？析思想
形
平面直角坐标系中
数
2,如何得到圆的标准方程？
a + b - 2 = 0,
解得：a=b=1,r=2, 故所求圆M的方程为：(x-1)2+(y-1)2=4.
例3 已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2)，且
圆心C 在直线l：x-y+1=0上，求圆心为C的圆的标
准方程.
y A(1,1)
O C
x B(2,-2)
l : x y 1 0
解：因为A(1, 1)和B(2,－2)，所以线段AB的中点D
圆的标准方程 圆的一般方程 教学课件(共39张PPT)高中数学北师大版(2019)选择性必修第一册
(, )
r
由两点间的距离公式得
x
a
2
y b
2
r，
(, )
O
将上式两边平方得 x a
2
y b
2
r 2 .①
x
思考一下
以方程①的解为坐标点一定在圆 C 上吗？
设以方程①的任意解 x, y 为坐标的点记为点 Q ，
因为 x, y 是方程①的解，代入方程①可得： x a 2 y b 2 r 2
10
D +3E
20
4 D+2 E
F050ຫໍສະໝຸດ 5D 5EF0
解得 D
F
2, E
0
4, F
2
2
x
+
y
故所求圆的方程为
20 ，
2x
4y
20
0.
例 5：讨论方程 x +y
2
2
x 3
解： 将原方程组整理为 1 2 x2
当
2
y2 表示的是什么图形？
1 y2
2
0，
6x 9
1 时，方程（1）是一元一次方程 6x 9
思考交流
对于点 Px0 , y0 和圆 C : x a 2 y b 2 r 2 ，由圆的标准方程的概念，可知点 P
在圆 C 上的充要条件是 x0 a2 y0 b2 r 2 .
2
2
当点 P 不在圆 C 上时，一定有 x0 a y0 b r 2 ，此时，存在以下两种情况：
PC r
x0 a 2 y0 b2
r
x0 a y0 b r 2
圆的参数方程 高中数学课件
1 1
设P（x，y）为圆O1上与P1对应的点，
x r cos x 则有： y r sin
1 1
1
1
1
1
为圆心(a,b)为半径r为的圆的参数方程
一般的，在取定的坐标系中，如果曲线上 任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数， 即 x f t ③ 并且对于t 的每一个允值， y g t
由方程组 ③ 所确定的点都在这条直线上，那么 方程组 ③ 就叫做这条曲线的参数方程，联系x， y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数。参数 方程中的参数可以是有物理，几何意义的变数， 也可以没有明显意义的变数。 相对于参数方程来说，圆的标准方程和一 般方程叫做圆的普通方程。
例6 如图，已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点， 点A是x轴上的定点，坐标为（12，0）.当点P在圆上运 动时,线段PA的中点M的轨迹是什么? （看看动画吧） y 解: 设点M的坐标是 P (x,y).因为圆x2+y2=16 M 的参数方程为 x 4 cos O Ax y 4 sin
解： 设点Px , y 且Mx, y ，
0 0
y
P
依题意得：
即 : x 2x 12, y 2 y
点Px , y 在圆上，
0 0 2 2 0 0
x 12 y x ,y 2 2
0
O
M
Ax
0
0
0
x y 16 即：2x 12 2 y 16
x r cos ① 即 y r sin 我们把方程组① 叫做圆心为原点，半O1（a，b）半径为r的圆的参数方程呢？ y P(x,y)圆心为O1(a,b),半径为r的圆
设P（x，y）为圆O1上与P1对应的点，
x r cos x 则有： y r sin
1 1
1
1
1
1
为圆心(a,b)为半径r为的圆的参数方程
一般的，在取定的坐标系中，如果曲线上 任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数， 即 x f t ③ 并且对于t 的每一个允值， y g t
由方程组 ③ 所确定的点都在这条直线上，那么 方程组 ③ 就叫做这条曲线的参数方程，联系x， y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数。参数 方程中的参数可以是有物理，几何意义的变数， 也可以没有明显意义的变数。 相对于参数方程来说，圆的标准方程和一 般方程叫做圆的普通方程。
例6 如图，已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点， 点A是x轴上的定点，坐标为（12，0）.当点P在圆上运 动时,线段PA的中点M的轨迹是什么? （看看动画吧） y 解: 设点M的坐标是 P (x,y).因为圆x2+y2=16 M 的参数方程为 x 4 cos O Ax y 4 sin
解： 设点Px , y 且Mx, y ，
0 0
y
P
依题意得：
即 : x 2x 12, y 2 y
点Px , y 在圆上，
0 0 2 2 0 0
x 12 y x ,y 2 2
0
O
M
Ax
0
0
0
x y 16 即：2x 12 2 y 16
x r cos ① 即 y r sin 我们把方程组① 叫做圆心为原点，半O1（a，b）半径为r的圆的参数方程呢？ y P(x,y)圆心为O1(a,b),半径为r的圆
高中数学-圆的标准方程课件
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1.求圆的标准方程有两种方法：①直接法：据已知 条件求得圆心和半径，直接写出圆的标准方程.② 待定系数法：设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2， 根据条件列方程组求待定系数a,b,r即得. 2.掌握点与圆的位置关系.
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开始
学点一
学点二
பைடு நூலகம்
1.平面内到 定点的距离等于定长定点定长 的点的集合叫 做圆.就是圆心，就是半径.
2.方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)叫做以(a,b)为圆心，r为半径的圆
的 标准方程 .特别地，当圆心为原点O(0,0)时，圆的方程
为 x2+y2=r2
.
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学点一 求圆的标准方程 求满足下列条件的各圆的方程. （1）圆心C（8,-3）且过点P(5,1); （2）圆心在直线5x-3y=8上，圆与坐标轴相切.
(3-1)2+(2-4)2=8,
∴点M在圆内，点N在圆外，点Q在圆上.
【评析】（1）以A（x1,y1）,B(x2,y2)为直径两端点的圆的方 程可表示为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.仿照例题自己推导. （2）判定P(x0,y0)与（x-a）2+(y-b)2=r2的位置关系时，只需 比较(x0-a)2+(y0-b)2与r2的大小即可.
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若点(a,a)不在圆(x-1)2+(y-1)2=2的内部，求a的取值范围. 解:因为点(a,a)不在圆的内部，所以点(a,a)应在圆上或圆 外，故有(a-1)2+(a-1)2≥2. 解得a≥2或a≤0.
1.求圆的标准方程有两种方法：①直接法：据已知 条件求得圆心和半径，直接写出圆的标准方程.② 待定系数法：设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2， 根据条件列方程组求待定系数a,b,r即得. 2.掌握点与圆的位置关系.
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学点一
学点二
பைடு நூலகம்
1.平面内到 定点的距离等于定长定点定长 的点的集合叫 做圆.就是圆心，就是半径.
2.方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)叫做以(a,b)为圆心，r为半径的圆
的 标准方程 .特别地，当圆心为原点O(0,0)时，圆的方程
为 x2+y2=r2
.
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学点一 求圆的标准方程 求满足下列条件的各圆的方程. （1）圆心C（8,-3）且过点P(5,1); （2）圆心在直线5x-3y=8上，圆与坐标轴相切.
(3-1)2+(2-4)2=8,
∴点M在圆内，点N在圆外，点Q在圆上.
【评析】（1）以A（x1,y1）,B(x2,y2)为直径两端点的圆的方 程可表示为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.仿照例题自己推导. （2）判定P(x0,y0)与（x-a）2+(y-b)2=r2的位置关系时，只需 比较(x0-a)2+(y0-b)2与r2的大小即可.
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若点(a,a)不在圆(x-1)2+(y-1)2=2的内部，求a的取值范围. 解:因为点(a,a)不在圆的内部，所以点(a,a)应在圆上或圆 外，故有(a-1)2+(a-1)2≥2. 解得a≥2或a≤0.
高中数学《参数方程-圆的参数方程》课件
探究四
2
2
【典型例题 5】 如图,设 P 为等轴双曲线 x -y =1 上的一点,F1,F2 是两
个焦点,证明:|PF1|·
|PF2|=|OP|2.
思路分析:设 P
1
,tan
cos
,证明等式两边等于同一个式子即可.
首 页
探究一
探究二
∴|PF1|=
|PF2|=
1
cos
∴|PF1|·
|PF2|=
= 0 + bsin
圆上一点 P 和椭圆中心 C 的连线 CP 与 x 轴正半轴的夹角.
2
(1)椭圆 2
2
J 基础知识 Z 重点难点
首 页
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
自主思考 1 椭圆的参数方程中参数 φ 的几何意义是什
问题.
【典型例题 3】 在平面直角坐标系 xOy 中,设
一个动点,求 x+y 的最大值.
2 2
P(x,y)是椭圆 +y =1
3
上
思路分析:将普通方程化为参数方程,利用三角函数的相关知识求最值.
J 基础知识 Z 重点难点
首 页
探究一
探究二
探究三
2 2
解:椭圆方程 +y =1
3
ICHU ZHISHI
2
2
数).因此,参数 φ 的几何意义应是椭圆上任意一点 M 所对应的圆的半径
OA(或 OB)的旋转角(称为离心角),而不是 OM 的旋转角,如图.
首 页
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
人教版高中数学直线与圆的方程的应用(共20张PPT)教育课件
:
那
你
的
第
一
口
罗
没
有
我
和
他
不
同
。
我
是
从
底
层
但
是
当
我
拍
完
但
是
我
年
轻
时
有
一
个
想
法
就
是
如
果
我
告
诉
你
怎
么
弄
■
电
:
“
口
罗
部
爬
一
，
1
戏
有
上
来
的
我
个
5
分
钟
后
你
还
色
其
没
清
镜
没
有
楚 弄
有 怎
完 情
么
头
我
就
胆
怯
，
像
运
作
这
个
东
西
(
，
下
不
耐
烦
像
如
果
我
自
己
弄
费
电
影
一
五
分
钟
男
女
实
里
拍
个
就
弄
尼
摄
)
所
镜
完
所
以
最
是
拍 以
后
通
不
第
一
为
则四个顶点坐标分别为 A(a,0),B(0,b),C(0,c),D(0,d)
第一步:建立坐 标y系，用坐标表 示B有(0关,b的) 量。
人教A版高中数学必修二4.1.1 圆的标准方程 课件(共16张PPT)
设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2。
六.小结
1.圆心是 A(a,b)，半径为r的圆A的标准方程是(x–a)2+(y–b )2=r2 2.点M(x0，y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系
几何法 先求出点M与圆心A的距离d
（1）若点M在圆A上，则d=r; （2）若点M在圆A内，则 d<r; （3）若点M在圆A外，则 d>r.
数与形,本是相倚依 焉能分作两边飞 数无形时少直觉 形少数时难入微 数形结合百般好 隔离分家万事休 切莫忘,几何代数统一体 永远联系莫分离
—— 华罗庚
O
平面直角坐标系
数
直线方程 1.点斜式方程 ������ − ������������ = ������(������ − ������������)
r2
③
展开平方后，
(x–2)2+(y+3)2=y25.
① ②得:a 2b 8 0
A(5,1)
③-②得:a b 1 0
几
解得a=2,b=-3,r=5.
代
何
O M
(6,-1) x B(7,-3)
∴ △ABC的外接圆方程为
数
(x–2)2+(y+3)2=25.
法
C(2,-8)
kAB 2
(1 a)2 (1 b)2 r 2
(2 a)2 (2 b)2 r 2
ab1 0
a 3 解得 b 2
r 5
∴圆C方程是(x-3)2+(y-2)2=25.
代
何
O
x
数
法
C
六.小结
1.圆心是 A(a,b)，半径为r的圆A的标准方程是(x–a)2+(y–b )2=r2 2.点M(x0，y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系
几何法 先求出点M与圆心A的距离d
（1）若点M在圆A上，则d=r; （2）若点M在圆A内，则 d<r; （3）若点M在圆A外，则 d>r.
数与形,本是相倚依 焉能分作两边飞 数无形时少直觉 形少数时难入微 数形结合百般好 隔离分家万事休 切莫忘,几何代数统一体 永远联系莫分离
—— 华罗庚
O
平面直角坐标系
数
直线方程 1.点斜式方程 ������ − ������������ = ������(������ − ������������)
r2
③
展开平方后，
(x–2)2+(y+3)2=y25.
① ②得:a 2b 8 0
A(5,1)
③-②得:a b 1 0
几
解得a=2,b=-3,r=5.
代
何
O M
(6,-1) x B(7,-3)
∴ △ABC的外接圆方程为
数
(x–2)2+(y+3)2=25.
法
C(2,-8)
kAB 2
(1 a)2 (1 b)2 r 2
(2 a)2 (2 b)2 r 2
ab1 0
a 3 解得 b 2
r 5
∴圆C方程是(x-3)2+(y-2)2=25.
代
何
O
x
数
法
C
高中数学课件-2 圆的一般方程
【例2】 圆经过P(－2, 4), Q(3, －1)两点，并且在x轴上截得的 弦长等于6，求圆的方程？
解 解::((11))设 设圆 圆的 的方 方程 程为 为 xx22＋ ＋yy22＋ ＋DDxx＋ ＋EEyy＋ ＋FF＝ ＝00， ，
解将 将:(1PP)设、 、圆QQ 的点 点方的 的程坐 坐为标 标分 分x2＋别 别y代 代2＋入 入D得 得x＋Ey＋F＝0，
(1)x2 y2 2x 4 y 1 0
配方得：(x 1)2 (y 2)2 4
(2)2x2 2y2 2x 2y 1 0
配方得： x
1
2
2
Hale Waihona Puke y122
0
(3)x2 y2 4x 6 y 15 0
配方得：(x 2)2 (y 3)2 2
(1)x2 y2 2x 4 y 1 0
特别的：若圆心为O（0，0），则圆的方 程为：
x2 y2 r2
探究 1：将圆的标准方程展开是什么形式？
(x a)2 (y b)2 r2
将圆的标准方程展开得：
x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2 =0
由于a,b,r均为常数
令 2a D,2b E,a2 b2 r 2 F
探索3 ：将下列方程通过配方成化成圆的 标准方程！并思考，是否一定表示圆？
x2 y2 Dx Ey F 0
方程配方为：
x
D 2
2
y
E 2
2
D2
E2 4
4F
（1）当 D2 E 2 4F 0 时，表示圆，
圆心
-
D 2
,
E 2
（2）当 D2 E 2 4F
r D2 E2 4F 2
圆的一般方程(20张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
2024课件
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第二章直线和圆的方程2.4.2圆的一般方程
0 1在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程.0 2能够应用圆的方程解决简单的数学问题和实际问题.0 3初步了解用代数方法处理几何问题的基本思想和基本方法Dx+E y+F=0 叫做圆的一般方程，且D²+E²-4F >0,
圆的一般方程
为圆心，
将方程x²+y²+Dx+Ey+ F=0(2) 的左边配方，并把常数项移到右 边 ，( 1 ) 当D²+E²-4F>0 时，比较方程①和圆的标准方程，可以看出方程(2)表示 为圆心， 为半径的圆；( 2 ) 当D²+E²-4F=0 时，方程(2)只有实数解 声 手它表示一个点( 3 ) 当D²+E²-4F<0 时，方程(2)没有实数解，它不表示任何图形.
例题巩固例1 求过三点0(0,0),M ₁(1,1), M ₂ (4,2)的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径.
解：设圆的方程是x²+y²+Dx+Ey+F=0.①因为0 ,M₁ ,M₂ 三点都在圆上，把它们的坐标依次代入方程①,
所以所求圆的方程是x²+y²-8x+6y=0.故所求圆的圆心坐标是(4,-3),半径
解得
(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a,b,r 或 D,E,F 的方程组；(3)解出a,b,r 或 D,E,F, 得到标准方程或一般方程.
求圆的方程常用待定系数法的步骤
例2已知线段 AB的端点B的坐标是(4,3),端点A 在圆(x+1)²+y²=4上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.
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第二章直线和圆的方程2.4.2圆的一般方程
0 1在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程.0 2能够应用圆的方程解决简单的数学问题和实际问题.0 3初步了解用代数方法处理几何问题的基本思想和基本方法Dx+E y+F=0 叫做圆的一般方程，且D²+E²-4F >0,
圆的一般方程
为圆心，
将方程x²+y²+Dx+Ey+ F=0(2) 的左边配方，并把常数项移到右 边 ，( 1 ) 当D²+E²-4F>0 时，比较方程①和圆的标准方程，可以看出方程(2)表示 为圆心， 为半径的圆；( 2 ) 当D²+E²-4F=0 时，方程(2)只有实数解 声 手它表示一个点( 3 ) 当D²+E²-4F<0 时，方程(2)没有实数解，它不表示任何图形.
例题巩固例1 求过三点0(0,0),M ₁(1,1), M ₂ (4,2)的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径.
解：设圆的方程是x²+y²+Dx+Ey+F=0.①因为0 ,M₁ ,M₂ 三点都在圆上，把它们的坐标依次代入方程①,
所以所求圆的方程是x²+y²-8x+6y=0.故所求圆的圆心坐标是(4,-3),半径
解得
(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a,b,r 或 D,E,F 的方程组；(3)解出a,b,r 或 D,E,F, 得到标准方程或一般方程.
求圆的方程常用待定系数法的步骤
例2已知线段 AB的端点B的坐标是(4,3),端点A 在圆(x+1)²+y²=4上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.
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与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：
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求圆的方程的两种方法 (1)直接法：根据圆的几何性质，直接求 出圆心坐标和半径，进而写出方程 . (2)待定系数法：若已知条件与圆心(a，b) 和半径r有关，则设圆的标准方程，依据 已知条件列出关于a，b，r的方程组，从 而求出a，b，r的值．