大学数学微积分第1章练习题

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大学数学微积分练习题及答案

大学数学微积分练习题及答案本文为大学数学微积分练习题及答案的整理，旨在帮助读者巩固和提高微积分的知识和技能。

以下是一些常见的微积分练习题及其解答，供读者参考。

1. 求函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1的导数。

解答：我们可以使用导数的定义来求解。

根据定义，导数f'(x)为函数在任意一点x处的斜率，可以通过求极限得到。

根据导数的性质，多项式的导数等于各项的导数之和。

因此，我们可以按照导数的定义，先求出各项的导数，然后相加得到f'(x)。

f'(x) = (3x^2)' - (2x)' + (1)'= 6x - 2所以，函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1的导数为f'(x) = 6x - 2。

2. 求函数f(x) = e^x的不定积分。

解答：根据指数函数e^x的积分规则，不定积分∫e^xdx等于e^x再乘上一个常数C。

因此，∫e^xdx = e^x + C3. 求函数f(x) = sin(x)的定积分∫(0 to π/2)sinx dx。

解答：我们可以利用定积分的定义来求解。

根据定积分的定义，∫(0 to π/2)sinx dx表示在区间[0, π/2]上sinx的面积。

因为sinx在[0, π/2]上是正值，所以∫(0 to π/2)sinx dx等于sinx在[0, π/2]上的图像所围成的面积。

又因为sinx在[0, π/2]上是递增的，所以面积等于∫(0 to π/2)sinx dx等于单位圆上π/2对应的弧长，即π/2。

所以，∫(0 to π/2)sinx dx = π/2。

4. 求函数f(x) = x^3在[1, 2]上的平均值。

解答：函数f(x) = x^3在[1, 2]上的平均值可以通过计算积分的平均值得到。

根据积分的定义，函数在区间[1, 2]上的平均值等于函数在该区间上的积分除以区间的长度。

平均值= ∫(1 to 2)x^3 dx / (2 - 1)= [1/4*x^4] (1 to 2) / 1= (2^4-1^4) / 4= (16-1) / 4= 15/4所以，函数f(x) = x^3在[1, 2]上的平均值为15/4。

高数第一部分5_一元微积分证明题

( ) f '( x) = 4 + 4 ln3 x − 4 = 4 ln3 x − 1 + x x xx
⎧< 0,
f
'(
x
)
⎪ ⎨
=
0,
⎪⎩> 0,
0< x<1 x =1 1< x
由于 lim f ( x)= lim f ( x)=+∞，因此f ( x)无最大值
x→0
x → +∞
f ( x)的最小值为f (1) = 4 − k
定理：若函数f ( x)在[a, b]上连续，在
(a, b)内可导，则存在ξ ∈ (a, b)，使得
f (b) − f (a) = f '(ξ )(b − a);
(II)证明：若函数f ( x)在x = 0处连续，
在(0,δ )(δ > 0)内可导，且 lim f '( x) = A， x → 0+
f ( x)的图形为U型，故其在(0, +∞)零点有三种情形： (1) f ( x)的最小值大于零，即k < 4 ⇒ 无零点 (2) f ( x)的最小值小于零，即k > 4 ⇒ 2零点 (3) f ( x)的最小值等于零，即k = 4 ⇒ 1零点
⎧(1) k < 4时无交点 ⇒ ⎨⎪(2) k > 4时两个交点
2
π
−
0 > k > m ⇒ 2零点
k = m ⇒ 1零点
π2
4
⎞ − 1 ⎟⎟⎠ 或k
>
0
⇒
无零点
(03年数二，12分) 讨论曲线y = 4 ln x + k 与y = 4 x + ln4 x的交点个数.

大学数学：微积分练习题

大学数学：微积分练习题1. 概述本文档为大学数学微积分练题，旨在帮助学生巩固和加深对微积分概念和技巧的理解。

题目覆盖了微积分的各个方面，包括导数、定积分、微分方程等内容。

2. 练题1. 计算函数 $f(x) = 3x^2 - 2x + 1$ 在点 $x = 2$ 处的导数。

2. 求函数 $f(x) = x^3 - 2x^2 + 5x - 3$ 在区间 $[-1, 2]$ 上的定积分。

3. 求函数 $y(x)$ 满足微分方程 $\frac{dy}{dx} = x^2 + 1$，并满足初始条件 $y(0) = 1$。

4. 计算曲线 $y = x^2 + 1$ 与直线 $y = -2x + 3$ 的交点坐标。

5. 设函数 $f(x) = \sqrt{x}$，计算曲线 $y = f(x)$ 与 $x$ 轴所围成的面积。

3. 解答1. 对函数 $f(x) = 3x^2 - 2x + 1$ 进行求导，得到 $f'(x) = 6x - 2$。

代入 $x = 2$，得到导数的值为 $f'(2) = 10$。

2. 使用定积分的性质，对函数 $f(x) = x^3 - 2x^2 + 5x - 3$ 在区间 $[-1, 2]$ 上进行求积分，得到 $\int_{-1}^{2} f(x) dx =\frac{29}{4}$。

3. 对微分方程 $\frac{dy}{dx} = x^2 + 1$ 进行求解，可得 $y(x)= \frac{1}{3}x^3 + x + C$，其中 $C$ 为常数。

代入初始条件 $y(0) = 1$，解得 $C = \frac{2}{3}$，所以符合条件的解为 $y(x) =\frac{1}{3}x^3 + x + \frac{2}{3}$。

4. 将曲线 $y = x^2 + 1$ 和直线 $y = -2x + 3$ 相交，即求解方程$x^2 + 1 = -2x + 3$。

解方程可得 $x = 1$，代入方程得到对应的 $y= 2$，所以交点坐标为 $(1, 2)$。

大学数学微积分第二版上册课后练习题含答案

大学数学微积分第二版上册课后练习题含答案前言数学是一门抽象的学科，需要大量的练习才能真正理解和掌握。

微积分作为数学中的基础学科，更是如此。

本文将为大家提供大学数学微积分第二版上册的课后习题及其答案，供大家参考和练习。

课后习题及答案第一章函数与极限习题1.11.计算以下极限:1.$\\lim\\limits_{x\\rightarrow 1}\\frac{x-1}{x^2-1}$2.$\\lim\\limits_{x\\rightarrow 0}\\frac{\\sqrt{1+x}-1}{x}$3.$\\lim\\limits_{x\\rightarrow 0}(\\frac{1}{\\sin{x}}-\\frac{1}{x})$答案：1.$\\frac{1}{2}$2.$\\frac{1}{2}$3.02.求曲线$y=\\frac{1}{x}$与直线y=x在第一象限中形成的夹角。

答案：$\\frac{\\pi}{4}$3.证明：$\\lim\\limits_{x\\rightarrow 0}x\\sin\\frac{1}{x}=0$答案：对任意$\\epsilon>0$，取$\\delta=\\epsilon$，则当$0<|x|<\\delta$时，有$|x\\sin\\frac{1}{x}-0|<|x|<\\delta=\\epsilon$ 习题1.21.求下列函数的导数：1.y=2x3+3x2−4x+12.$y=\\frac{1}{2}x^3-x^2+2x-1$3.$y=\\frac{1}{\\sqrt{x}}+x\\ln{x}$答案：1.y′=6x2+6x−42.$y'=\\frac{3}{2}x^2-2x+2$3.$y'=-\\frac{1}{2x^{\\frac{3}{2}}}+\\ln{x}+1$2.求函数y=xe x在x=1处的导数。

答案：y′=e+13.求f(x)=|x−2|的导函数。

高等数学微积分习题册上册答案

|
x2 − 2x2 +1
1 |= 2
1 2(2 x2
+ 1)
<
1 x2
<ε
→
x>
1 ε
取X =
1 ε
，当| x |>
X
,
|
2
x2 x2 +
1
−
1 2
|<
ε
，所以
lim
x→∞
x2 2x2 +
1
=
1。 2
四、证明 lim x = 1，并求正数 X ，使得当 x > X 时，就有| x −1|< 0.01 .
;
根据
lim
k→∞
x2k
= a ,存在 N2>0,
当 k>N2 时 | x2k
− a |< ε
.
取N
=
2max( N1, N 2) + 1，当
n>N
时|
xn
− a |<
ε
，所以
lim
n→∞
xn
=
a。
四川大学数学学院高等数学教研室编
2
学院
姓名
学号
一、根据函数极限的定义证明下列极限：
日期
1.3 函数的极限
证明：对任意ε，解不等式 | 2n − 3 − 2 |= 17 < 1 < ε → n > 1
5n + 1 5 5(5n + 1) n
ε
取 N = [ 1 ]，当 n>N 时| 2n − 3 − 2 |< ε ，所以 lim 2n − 3 = 2 。
ε

微积分1第三版习题答案

微积分1第三版习题答案微积分是数学中的重要分支，它研究的是函数的变化规律和求解各种问题的方法。

微积分1是大学数学课程中的一门基础课程，通过学习微积分1，我们可以掌握函数的基本概念、极限、导数和积分等重要知识。

而《微积分1第三版》是一本经典的教材，它提供了丰富的习题用于巩固和加深对微积分1知识的理解。

在本文中，我将为大家提供《微积分1第三版》习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。

在开始提供答案之前，我想强调一点，那就是习题的答案只是一种参考，通过自己思考和解答习题，我们才能真正理解微积分的概念和方法。

因此，在查看答案之前，我建议大家先尝试自己解答习题，再对照答案进行对照和讨论。

下面是《微积分1第三版》部分习题的答案：1. 求函数f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x + 5在x = 2处的导数。

答案：f'(2) = 2(2)^3 + 3(2)^2 - 12(2) + 5 = 16 + 12 - 24 + 5 = 92. 求函数f(x) = sin(x) + cos(x)在x = π/4处的导数。

答案：f'(π/4) = cos(π/4) - sin(π/4) = √2/2 - √2/2 = 03. 求函数f(x) = ln(x^2 + 1)在x = 1处的导数。

答案：f'(1) = 2(1)/(1^2 + 1) = 1/1 = 14. 求函数f(x) = e^x在x = 0处的导数。

答案：f'(0) = e^0 = 15. 求函数f(x) = 3x^2 + 2x + 1的不定积分。

答案：∫(3x^2 + 2x + 1)dx = x^3 + x^2 + x + C，其中C为常数。

6. 求函数f(x) = 2sin(x) + 3cos(x)的不定积分。

答案：∫(2sin(x) + 3cos(x))dx = -2cos(x) + 3sin(x) + C，其中C为常数。

大学数学高数微积分专题一第1讲集合常用逻辑用语不等式课堂讲解

围，还可以考虑从集合的角度来思考，将问题转化为集合间
的运算．
热点分类突破
(1)(2013·课标全国Ⅰ)已知命题p：∀x∈R,2x<3x；命题q：∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是( )
A．p∧q B．綈p∧q C．p∧綈q D．綈p∧綈q
本
讲栏
(2)已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：
目开
C．存在一个有理数，它的平方是有理数
关 D．存在一个无理数，它的平方不是有理数
(B )
解析 (1)通过否定原命题得出结论．
原命题的否定是“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．
热点分类突破
(2)已知命题p：抛物线y＝2x2的准线方程为y＝－
1 2
；命题q：
若函数f(x＋1)为偶函数，则f(x)关于x＝1对称．则下列命题是
大学数学高数微积分专题一第1讲集合常用逻辑用语不等式课堂讲解
第1讲集合与常用逻辑用语
【高考考情解读】
1．本讲在高考中主要考查集合的运算、充要条件的判定、含
本讲
有一个量词的命题的真假判断与否定，常与函数、不等
栏目
式、三角函数、立体几何、解析几何、数列等知识综合在
开关
一起考查.
2．试题以选择题、填空题方式呈现，考查的基础知识和基本
D．(－∞，－1]∪(0,1)
热点分类突破
弄清“集合的代表元素”是解决集合问题的关键．
解析 (1)∵B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，
A＝{1,2,3,4,5}，
本
讲栏
∴x＝2，y＝1；x＝3，y＝1,2；x＝4，y＝1,2,3；x＝5，
目开

北京邮电大学高等函授教育《微积分》综合练习题

北京邮电大学高等函授教育一年级第一学期《高等数学(微积分)》综合练习题与解答经济管理、电子邮政专业第一部分练习题一、判断题1. 设)(x f 的定义域为)1,(-∞，则)11(2x f -的定义域为（0，1）. 2. 设)(x f 的值域为)1,(-∞,则)(x arctgf 的值域为)4,2(ππ-. 3. 2)1(--x e 是偶函数. 4. xxy +-=11ln是奇函数. 5. e x xx =+∞→1)1(lim6. 设)(u f 是可导函数，则2sin 22)(cos 2)(sin x u u f x x x f dxd='=. 7. 设函数)(x e f y -=可微,则dx e f e dy x x )(--=. 8. 设dx xx df 211)(+=,则arctgx x f ='')(. 9. ⎰=)()()()(x df x f x df x f dxd. 10. ⎰+'=''c x f dx x f )()(.11.0sin 2112=+⎰-dx x tgx.12. 如果1102=+⎰+∞dx x A ,则常数π2=A .13. 如果级数∑∞=1n nu发散,则0lim ≠∞→n n u .14. 级数)0(1>∑∞=x xn n收敛的充分必要条件是1<x .15. 级数∑∞=11n pn收敛的充分必要条件是1>p . 16. 如果1)43(1=∑∞=n na ,则常数41=a . 17.0),(),(0x x y y x x y x f y x f x==='=∂∂.18. 设xy x z =,则1-=∂∂xy xyx xz. 19.)()](,[x y f f x y x f dxdy x ''+'=. 20. 设v u f 、、都是可微函数,则xv f x u f y x v y x u f x v u ∂∂'+∂∂'=∂∂)],(),,([. 二、单项选择题1. 设⎪⎩⎪⎨⎧-≤<<--≤≤=2,202,20,)(x x x x x x f 则)(x f 的定义域为___________.A.),(+∞-∞B.)2,2[-C.]2,(-∞D.]2,2[- 2. 设)(x f 的定义域为),0,(-∞则函数)(ln x f 的定义域是_______. A.),0(+∞ B.]1,0( C.),1(+∞ D.(0,1) 3. 设)1()1(-=-x x x f ,则)(x f =_________.A.)1(-x xB.)1(+x xC.)2)(1(--x xD.2x 4. 下列函数中,奇函数为____________. A.)sin(cos x B.)1ln(2++x x C.xx tgx -+11lnD.xe sin 5. =+∞→1sin limn nn _____________.A.0B.1C.1-D.∞6. 当0x x →时,α和β都是无穷小,下列变量中,当0x x →时可能不是无穷小的是___________.A.βα+B.βα-C.αβD.)0(≠ββα7. 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+=<=0,11sin 0,0,sin 1)(x x x x k x x x x f 且)(x f 在0=x 处连续,则=k _________.A.0B.1C.2D.1- 8. 设)(x f 在点0x 可导,则=--+→hh x f h x f h 2)()(lim000___________.A.)(0x f 'B. )(0x f '-C. )(20x f 'D. )(20x f '- 9. 设)(u f 可导,则=)(sin 2x f dxd____________. A.)(sin sin 22x f x ' B.)(sin cos 22x f x 'C. )(sin 2sin 2x f x 'D. )(sin cos sin 2x f x x '10. 已知3)0(,0)0(='=f f ,则=→xx f x )2(lim 0___________.A.3B.3-C.6-D.611. ___________满足罗尔定理的条件.A.2)(x x f =在]3,0[上B.21)(x x f =在]1,1[-上 C.x x x f -=3)( 在]3,0[上 D.x x f =)(在]1,1[-上 12. =)(x f ________是2sin x x 的一个原函数.A.2c os 21x B. 2cos 2x C. 2cos 2x - D. 2cos 21x - 13. 设)(x f 在],[b a 上连续,),(0b a x ∈且是常数,则=⎰0)(x adt t f dx d _________.A.)(0x fB.0C.)()(0a f x f -D.)(0x f ' 14.=⎰-883dx e x ________.A.0B. ⎰8032dx exC.⎰-22dx e xD.⎰-2223dx e x x15. 设1012=+⎰+∞∞-dx x A,则=A ___________. A.π10 B.10π C.π10 D.π10- 16. 如果0lim =∞→n n u ,则级数∑∞=1n nu___________.A.必收敛B.必发散C.可能收敛D.必绝对收敛 17. 如果级数∑∞=-111n p n收敛,则p 应满足___________.A.2>pB.1>pC.0>pD.0<p 18. 设常数0>k ，则级数∑∞=--112)1(n nn k___________. A.发散 B.条件收敛 C.绝对收敛 D.收敛性与k 有关19. 设yx z +=12,则=∂∂y z__________.A.y x+12 B.22)1(y x +- C.221y x +- D.22)1(y x + 20. 二次积分交换积分顺序后=⎰⎰yydx y x f dy ),(1____________.A. ⎰⎰102),(x xdy y x f dx B.⎰⎰12),(xx dy y x f dxC.⎰⎰21),(xxdy y x f dx D.⎰⎰21),(x xdy y x f dx三、填空题1. 函数xxy -+=11ln的定义域是_______________________________.2. 设⎩⎨⎧>≤+=0,ln 0,3)(x x x x x f ⎩⎨⎧>≤=1,ln 1,)(x x x e x g x 则=)]1([g f ___________,当1>x 时, )]([x g f 的表达式为____________________.3. 函数1--=x y 的反函数为_____________________.4. 设函数)(x f 满足x x f =)(log 2, 则)(x f =_________________.5. 设xxx f +-=11)(, 则=)]([x f f __________________________. 6. 函数x y 2cos1π+=的最小正周期是_______________.7. 设x e x f =)(且0>x ,则=-)ln (x f __________________.8. 设函数)(x f 在0=x 处连续,且0≠x 时,xx x f 1)21()(-=,则=)0(f __________. 9. 设1)0(='f ，则=-→xf x f x )0()2(lim_______________.10. 曲线x x y ln 2-=在点(1,1)处的切线方程为_______________________. 11. 设)(x f 可导且2)1(='f , 则==1)(x x f dxd_______________.12. 设1)(+=x xx f ，则=)(x df _______________________. 13. 设x x f dxd=)(ln , 则='')(x f ______________________. 14. 设)1(1)(22x d xx x df +=, 则=)(x f _________________, =')(x f ____________, ='')(x f ___________________________.15. 设)(x f 的一个原函数为x ln , 则=')(x f ________________. 16. 设c x dx x f ++=⎰211)(, 则)(x f =_____________________.17.=''⎰dx x f x )(_________________________________________.18. ⎰=)(x xdf d ______________dx . 19. 设)(x f 是连续函数, 若⎰=+xcdt t f x )(4053, 则=)(x f __________,=c _____.20. =⎰ax dt t f dx d )(_______________________.21. =⎰xdt t xf dxd 0)(_________________________________. 22. 设112=⎰adx x , 则=a ______________________.23.='⎰xdt t f t 02)(______________________________.24. 设)(x f 在[0,1]上连续, 则积分⎰1)(dt at f 经变换)0(≠=a at u 后为___________________________________. 25. 设)(x f 在],[l l -上连续,且为奇函数,2)(0=⎰ldx x f , 则=⎰-0)(ldx x f __________.26. 在],[b a 上, 函数)(x f 连续且0)(≤x f , 则由曲线)(x f y =与直线b x a x ==,及x 轴所围图形的面积S 的积分表达式为__________________________________.当b a =时, S=_______________.27. 如果级数∑∞=1)31(n na 的和为1, 则=a ___________________. 28. 设x xy z )(=, 则=∂∂xz__________________. 29. 设22yx xz +=, 则=∂∂x z __________________. 30. 交换积分顺序后, =⎰⎰102),(yy dx y x f dy _______________________________.四、计算题1. 求下列各极限(1)2211limxx x +-→ (2)22312lim4---+→x x x(3))11(lim 22+--+++∞→x x x x x (4)11lim 31--→x x x(5)x x x )21(lim -∞→ (6)xx x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→11lim(7)]ln )1[ln(lim x x x x -++∞→ (8)xx x 220sin arcsin lim → (9)设⎪⎩⎪⎨⎧<+>-+=0,30,sin 11)(x a x x x x x f 且)(lim 0x f x →存在,求常数a 的值.(10)30)1(2)1(lim x e e x x x x --+→ (11))1(log 22lim 20x xx x +--→(12)x ctgx x ln ln lim 0+→ (13)x x x cos 1)1ln(lim 20-+→(14)20)1(lim tgx e x x x -→ (15))sin 11(lim 0x x x -→ (16)xtdt xx ⎰→02sin lim(17)3sin lim2xx dt e xt x -⎰→(18))12753(lim 2222nn n n n n +++++∞→ 2. 求导数或微分(1) 设212sin xxy +=,求y '. (2) 设)1ln(2x x y ++=,求y '. (3) 设x x xarctg y ln 1+=,求y ''. (4) 设)(2)(x fe x =ϕ,且)(1)(x f x f =',证明:)(2)(x x ϕϕ='. (5) 设1)sin(=-y xy ,求dy . (6) 设133=-+y y x ，求y '.(7) 设y y x -=+3)ln(2,求dy . (8) 设y xe y +=1,求y y x '''=,0.(9) 设x x y )(ln =,求y ' (10) 设x x x x y sin +=,求y '. (11) 设)ln(22a x x xa y x +++=,1,0(≠>a a 且为常数),求0='x y .(12) 设x xy n ln )2(=-,求nn dxy d . (13) 求⎰-12x t dt e dxd (14) 设⎰+=2211)(x xdt tx p ,求)(x p '.(15) 设)sin(x ye z x +=,求yzx z ∂∂∂∂,. (16) 设xyxe z =,求yzx z ∂∂∂∂,. (17) 设y x e z xy 2+=,求yz x z ∂∂∂∂,. (18) 设z y z x ln =,求yzx z ∂∂∂∂,. 3. 计算下列各积分 (1)⎰+dx x x x sin cos 2cos (2)⎰-dx x sin 11(3)⎰+dx xxln 11 (4)⎰+++dx x arctgxx 211(5)⎰-dx x x2211(6)⎰xdx x ln 2(7)⎰xdx x ln (8)⎰xdx x 2cos(9)⎰xdx x 2sin (10)⎰xdx arcsin(11)⎰dx x sin (12)⎰+101dx e e xx(13)⎰++4122dx x x (14)⎰-312dx x(15)设⎩⎨⎧<≥=0,0,)(x e x x x f x求⎰-21)(dx x f(16)⎰-4sin ππdx x (17)⎰''tdx x f x 0)((18)⎰+∞-02dx e x x(19)D ydxdy xD,2⎰⎰是由曲线2,2,1===y x xy 所围成的区域.(20)⎰⎰++Ddxdy y x2211,其中1:22≤+y x D .五、判断下列各级数的收敛性，若收敛，指出绝对收敛还是条件收敛 1.∑∞=+131n n n 2.∑∞=+1)1(1n n n 3.∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+112n n n n 4.∑∞=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-1sin 321n nn n n 5.∑∞=1!n n n n 6.∑∞=--111)1(n n n7.∑∞=+-1)!12()1(n n n 8.∑∞=-+-11)1ln(1)1(n n n9.∑∞=+131cos n n n 10.∑∞=-121)1(n nn六、应用题1. 设曲线x x y ln 2+=上的点),(00y x M 处的切线平行于直线x y 4=,求点M 的坐标.2. 讨论函数2332x x y -=的单调性与极值.3. 求函数x x e e y -+=2的极值.4. 求由曲线0,1,3===x y x y 所围成的平面图形的面积(要画图).5. 求由曲线2,1,4===x xy x y 及x 轴所围平面图形的面积(要画图).6. 求由曲线212x y +=与2x y =所围平面图形的面积. 七、证明题1. 已知)(2)(x fa x =ϕ且ax f x f ln )(1)(=',证明:)(2)(x x ϕϕ='2. 证明:⎰⎰-+=-aaadx x f x f dx x f 0)]()([)(.第二部分解答一、判断题1. ×2. √3. ×4. √5.×6. √7. ×8. ×9. × 10.√ 11. √ 12. √ 13. × 14. √ 15. √ 16. × 17. √ 18. × 19. √ 20. √ 二、单项选择题1.C2.D3.B4.B5.A6.D7.B8.A9.C 10.D 11.C 12.D 13.B 14.D 15.A 16.C 17.A 18.B 19.B 20.B 三、填空题1.)1,1(-2. 1, x ln ln3.0,12≤+=x x y4. x 25. x6. 47.x18. 2-e 9. 2 10. x y =11. 1 12.dx x x x 2)1(21+-13. x e 22 14. 222)1(2,11,x xxc arctgx ++-+- 15.21x - 16. 22)1(2x x +- 17. c x f x f x +-')()( 18. )(x f x ' 19. 2,152-x 20. )(x f -21. )()(0x xf dt t f x+⎰22. 32-23.)]0()([212f x f - 24. ⎰adu u f a)(125. 2- 26. ⎰-b adx x f )(, 027. 2 28. )]ln(1[)(xy xy x +29. 22222)(y x x y +- 30. ⎰⎰xxdy y x f dx ),(1四、计算题 1.求下列极限 (1) 2)11(lim 11lim2022-=++-=+-→→x x x x x(2) 232312)22(2lim22312lim44=+++-=---+→→x x x x x x(3) 112lim )11(lim 2222+-+++=+--+++∞→+∞→x x x x xx x x x x x11111112lim22=+-+++=+∞→xx x x x(4) )1()1)(1(lim11lim 2131-++-=--→→x x x x x x x x 3)1(lim 21=++=→x x x(5) 222])21[(lim )21(lim ---∞→∞→=-+=-e xx xx x x(6) 2)11()11(lim 11lim e xx x x xxx xx =-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→∞→ (7) 1)11ln(lim ]ln )1[ln(lim =+=-++∞→+∞→xx x xx x x (8) 1arcsin sin lim sin arcsin lim22220220==→→x x x x x x x x (9) 21111sin limsin 11lim )(lim 00=++=-+=+++→→→x x xxx x f x x x a a x x f x x =+=--→→)3(lim )(lim 0)(lim 0x f x → 存在)(lim )(lim 0x f x f x x +-→→=∴ 21=a （10）203031lim )1(2)1(lim xe xe x e e x x x x x x x +-=--+→→ （罗必塔法则）x xe xx 6lim0→= （罗必塔法则） 61= （11）exx x x x x x x 2020log 112ln )22(lim )1(log 22lim ++=+--→-→ （罗必塔法则）22)2(ln 2log 2ln 2==e（12）xx x xctgx x x 1cos sin 1lim ln ln lim 00-=++→→ （罗必塔法则） 1cos sin lim 0-=-=+→xx xx（13）xx x x x x x sin 12limcos 1)1ln(lim 2020+=-+→→ （罗必塔法则） 2sin )1(2lim20=+=→xx xx（14）22020cos 21lim )1(lim x x e xe tgx e x x x x x x -+=-→→ （罗必塔法则）x e xe x x x 21lim 0-+=→122lim 0=+=→xx x e xe （15）x x xx xx x x sin sin lim )sin 11(lim 00-=-→→ xx x x x cos sin 1cos lim 0+-=→ （罗必塔法则） x x x xx sin cos 2sin lim 0--=→ （罗必塔法则） 0=（16）xxx tdt x xx 22sin lim2sin lim02→→=⎰ （罗必塔法则）1= (17) 233cos limsin lim22xxex x dt e x x xt x -=-→→⎰（罗必塔法则） 216s i n 2l i m 20=+=→x x xe x x(18) 1)2(lim )12753(lim 22222=+=+++++∞→∞→n n n n n n n n n n2.求导数或微分（1）222)1(2sin 22cos )1(2x xx x x y +-+=' （2）22211]11[11xxx xx y +=++++='（3）21ln 1)1(1122++-+='x x x y21ln 112+++-=x xx x x y 21)1(222++='' （4）)()(2)()(2x f x f e x x f'⋅⋅='ϕ)(22x f e= ))(1)((x f x f =' )(2x ϕ= （5）等号两边微分0])[cos(=-+dy ydx xdy xy0)cos(]1)cos([=+-dx xy y dy xy xdx xy x xy y dy )cos(1)cos(-=∴（6）等号两边对x 求导03322='-'+y y y x22313y x y -='∴ （7）等号两边微分dy dy xdx yx -=++]2[12dy y x dx y x x )11(222++-=+dx y x xdy 122++-=∴ （8）等号两边对x 求导y xe e y y y '+=' （*）yyxee y -='∴1 （因当0=x 时，1=y ） e y x ='∴=0（*）式两边再求导y xe y xe y e y e y y y y y ''+'+'+'=''2)( 2)(2)1(y xe y e y xe y y y '+'=''-232)1(12y yy y xe xe xe e -+-=232)1(2y yy xe xe e --= 32)1()2(y yy xe e xe y --=''∴ （9）x x x e x y ln ln )(ln ==]ln 1ln [ln )(ln ]ln 1ln [ln ln ln xx x x x e y x x x +=+=' (10) x x x x x x e e x x y ln sin ln sin +=+=]sin ln [cos ]1[ln ln sin ln xxx x e x e y x x x x +++=' ]s i n ln [cos ]1[ln sin xxx x xx x xx+++= (11) ]1[1ln 2222ax x ax x a xa a y xx++++++='221]ln 1[ax a x a x +++=ay x 110+=='∴= (12) x x x x dx y d n n 211ln 1ln ln -='⎪⎭⎫ ⎝⎛=-- xx x x x x xx x dx y d n n 342ln ln 2ln )1(ln ln 2ln 1-=--=∴ (13)][1122⎰⎰---=x t x t dt e dx d dt e dx d x e x21-=(14) ⎰⎰+++=2221111)(x xdt tdt tx p⎰⎰+++-=xx dt tdt t 02221111421211)(xx xx p +++-='∴(15))1)(cos(++=∂∂x x ye x ye xz)cos(x ye e yzx x +=∂∂ (16) x yx yx ye xy e x y e x z )1(-=-=∂∂x ye yz=∂∂ (17)xy ye xzxy 2+=∂∂ 2x xe yzxy +=∂∂ (18) 设zy z x z y x F ln ),,(-=221,1,1zxz z z x F y F z F z y x -=+-=-==z x z F F x z z x -=-=∂∂∴， )(2x z y z F F y z z y -=-=∂∂ 3.计算下列各积分(1)⎰⎰++=-=+c x x dx x x dx x x xcos sin )sin (cos sin cos 2cos(2) ⎰⎰+=-dx xxdx x 2cos sin 1sin 11 ⎰⎰-=x d x dx xcos cos 1cos 122 c xtgx ++=cos 1(3)⎰⎰-+=+x d x dx xxln )ln 1(ln 1121c x ++=ln 12 (4)⎰⎰+++++=+++dx x arctgxx x x dx x arctgx x )1111(112222⎰⎰⎰++++=tgx arctgxdarc dx x dx x222112111 c arctgx x arctgx ++++=22)(21)1ln(21(5) 令 tdt dx t x cos ,sin ==⎰⎰+-==-c c t g t dt tdx x x222sin 111c xx +--=21（6）⎰⎰=)31(ln ln 32x xd xdx x⎰-=dx x x x 2331ln 31 c x x x +-=3391ln 31 （7）⎰⎰=)32(ln ln 23x xd xdx x⎰-=dx x x x 212332ln 32 c x x x +-=232394ln 32 （8）⎰⎰=)2sin 21(2cos x xd xdx x ⎰-=x d x x x 2s i n 212s i n 21c x x x ++=2c o s 412s i n 21 （9）⎰⎰-=dx xx xdx x 22cos 1sin 2⎰⎰-=x d x x x d x 2c o s 2121c x x x x +--=2c o s 812s i n 41412(10)⎰⎰--=dx xx x x xdx 21arcsin arcsinc x x x +-+=21arcsin(11) 令tdt dx t x 2,==⎰⎰⎰-==)cos (2sin 2sint td tdt t dx x⎰+-=t d t t t c o s 2c o s 2c t t t ++-=s i n 2c o s2 c x x x ++-=s i n 2c o s 2（12）2ln )1ln()1ln(11010-+=+=+⎰e e dx e e x xx （13）令udu dx u x u x =-==+,2121,122 ⎰⎰+=++3124)2321(122du u dx x x 322)2361(313=+=u u （14）⎰⎰⎰-+-=-322131)2()2(2dx x dx x dx x=1 (15) 121213)(----=+=⎰⎰⎰e xdx dx e dx xf x(16)⎰-4sin ππdx x ⎰⎰--=040sin sin ππxdx xdx223cos cos 040-=+-=-ππxx(17)⎰⎰'-'=''tt tdx x f x f x dx x f x 000)()()()0()()()()(0f t f t f t x f t f t t +-'=-'=(18)⎰⎰+∞-∞+-+∞-+-=002022dx xe ex dx e x x x x⎰+∞-∞+-+-=0022dx e xex x220=-=+∞-xe(19)⎰⎰⎰⎰=2122122xDydy dx x ydxdy x ⎰-=2212)212(dx x29)2132(2213=-=x x (20)⎰⎰⎰⎰+=++1022022111dr r rd dxdy y xDπθ2ln π=五、判断下列级数的收敛性, 若收敛, 指出绝对收敛还是条件收敛. 1. )(113∞→→+=n n nu n , 所以发散 2. ,2,1,11)1(1=+≥+=n n n n u n 而级数∑∞=+111n n 发散, 由比较法知原级数发散. 3. ,2,1,)21()12(=≤+=n n n u n n n而级数∑∞=1)21(n n 收敛,由比较法知, 级数收敛(绝对收敛). 4. n n n n n n n n n u )21()2()sin 321(=≤+-= 而级数∑∞=1)21(n n收敛, 由比较法知, 级数收敛(绝对收敛)5. ,!n n u nn =e n n n n n u u n n nn n nn n =+=++=∞→+∞→+∞→)11(lim !)!1()1(lim lim111> 由比值法知, 级数发散 6. 这是交错级数, nu n 1=,2,1,111=+≥n n n,2,1,1=≥∴+n u u n n又∴==∞→∞→,01limlim nu n n n 级数收敛.但∑∑∞=∞=-=-11111)1(n n n nn发散, 所以此级数条件收敛.7.∑∞=+-1)!12()1(n n n ∑∑∞=∞==+=11)!12(1n n n u n)!12(1)!32(1lim lim1++=∞→+∞→n n u u n nn n 0)22)(32(1lim=++=∞→n n n由比值法知,∑∞=+1)!12(1n n 收敛,所以原级数绝对收敛. 8. 这是交错级数, )1ln(1+=n u n ,,2,1,)2ln(1)1ln(1=+≥+n n n,2,1,1=≥∴+n u u n n ; 又0)1ln(1limlim =+=∞→∞→n u n n n所以级数收敛. 但∑∑∞=∞=-+=+-111)1ln(1)1ln(1)1(n n n n n 发散, 所以原级数条件收敛. 9. 23331111cos nn n n u n ≤+≤+=而级数∑∞=1231n n收敛, 由比较法知∑∞=+131cos n n n 收敛,所以原级数收敛且绝对收敛.10. 221)1(n n u n n =-=, 而∑∞=121n n 收敛, 所以原级数绝对收敛. 六、应用题 1. ,412)(00=+='x x y2ln 1ln 2,210000-=+==∴x x y xM ∴点的坐标为 )2ln 1,21(- 2. 定义域为),(∞+-∞ )1(6662-=-='x x x x y令 0='y 得 1,0==x x 列表讨论在(－∞，0)，（1，+∞）内单调增，在（0，1）内单调减，有极大值0)0(=y ，极小值1)1(-=y . 3. x x e e y --='2，x x e e y +=''2 令 0='y ，得驻点 2ln 21-=x 022)2ln 21(>=-''y 22)2ln 21(=-∴y 为极小值。

微积分1参考答案

微积分1参考答案微积分1参考答案微积分1是大学数学中的一门重要课程，对于理工科学生来说尤为重要。

在学习微积分1的过程中，我们会遇到各种各样的问题，需要通过练习来巩固所学知识。

为了帮助大家更好地理解和掌握微积分1的知识，我将提供一些常见问题的参考答案，希望能对大家有所帮助。

1. 求函数f(x) = x^2在区间[1,3]上的定积分。

答案：首先，我们需要求出函数f(x)在区间[1,3]上的原函数F(x)。

由于f(x) = x^2，我们可以得到F(x) = (1/3)x^3。

然后，根据定积分的定义，我们可以得到定积分的值为F(3) - F(1) = (1/3) * 3^3 - (1/3) * 1^3 = 8 - 1/3 = 7 2/3。

2. 求函数f(x) = 2x在区间[0,4]上的定积分。

答案：同样地，我们需要求出函数f(x)在区间[0,4]上的原函数F(x)。

由于f(x) =2x，我们可以得到F(x) = x^2。

然后，根据定积分的定义，我们可以得到定积分的值为F(4) - F(0) = 4^2 - 0^2 = 16。

3. 求函数f(x) = sin(x)在区间[0,π]上的定积分。

答案：函数f(x) = sin(x)在区间[0,π]上的定积分可以表示为∫[0,π] sin(x) dx。

由于sin(x)的原函数为-cos(x)，我们可以得到定积分的值为-cos(π) - (-cos(0)) = 1- (-1) = 2。

4. 求函数f(x) = e^x在区间[0,1]上的定积分。

答案：函数f(x) = e^x在区间[0,1]上的定积分可以表示为∫[0,1] e^x dx。

由于e^x的原函数为e^x，我们可以得到定积分的值为e^1 - e^0 = e - 1。

5. 求函数f(x) = 1/x在区间[1,2]上的定积分。

答案：函数f(x) = 1/x在区间[1,2]上的定积分可以表示为∫[1,2] 1/x dx。

高等数学一元微积分学课后练习题含答案

高等数学一元微积分学课后练习题含答案概述高等数学一元微积分是大学数学中的重要课程，掌握好微积分理论和应用，对于理解和学习后续相关数学课程都有非常重要的作用。

在学习一元微积分的过程中，做好练习题也是非常重要的一环。

因此，本文档提供了一些高等数学一元微积分学课后练习题和答案，供大家练习和参考，希望能够帮助大家更好地掌握这门课程。

练习题与答案题目 1已知点A(0,1)和点B(2,5)，则过点 A 且斜率为 3 的直线方程为？答案利用两点式，设所求直线方程为y=kx+1，则有：$$ k = \\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \\frac{5 - 1}{2 - 0} = 2 $$因为所求直线的斜率为 3，所以有k=3，代入上式得：y=3x+1所以答案为y=3x+1。

题目 2已知函数f(x)=x3−6x2+11x−6，求其零点。

答案为了求出函数f(x)的零点，我们需要通过解方程f(x)=0来得到。

对于一个三次函数，我们可以通过因式分解或利用根的判别式来求解。

首先，我们尝试对f(x)进行因式分解：f(x)=x3−6x2+11x−6=(x−1)(x−2)(x−3)因此，函数f(x)的零点为x=1,2,3。

题目 3求函数f(x)=x3−3x+2在[−1,2]上的最大值和最小值。

答案为了求出函数f(x)在[−1,2]上的最大值和最小值，我们需要使用微积分中的极值定理。

首先，求出函数f(x)的导数：f′(x)=3x2−3=3(x+1)(x−1)f′(x)在[−1,1]上是负数，在(1,2]上是正数，因此，f(x)在x=1处取得极大值，f(x)在x=−1和x=2处取得极小值。

当x=−1时，有f(−1)=(−1)3−3(−1)+2=6，即最小值为 6。

当x=1时，有f(1)=13−3(1)+2=0，即最大值为 0。

当x=2时，有f(2)=23−3(2)+2=4，即最小值为 4。

因此，函数f(x)在[−1,2]上的最大值为 0，最小值为 4。

大学数学微积分第三版李辉来习题详解

1. 设函数f (x,y )=x 2−2xxxx +3xx 2,求 (1) f （-2,3）；（2）f �1xx ，2yy�；（3）ff (xx ,yy+ℎ)−ff (xx ,yy )ℎ. 解：（1）f (−2,3)=(−2)2−2(−2)×3+3×32=43(2)f �1xx ，2yy �=(1xx )2−2�1xx ��2yy �+3×�2yy �2=1xx 2yy 2(xx 2−4xxxx +12xx 2) (3) ff (xx ,yy+ℎ)−ff (xx ,yy )ℎ=−2xx +6ℎ+3ℎ 2. 确定下列函数的定义域D ，指出D 是否为区域，是开区域还是闭区域，是否有界，并画出D 的图形。

(1) f (x,y )=ln[(16−xx 2−xx 2)(xx 2+xx 2−4)]; (2) f (x,y )=�6−2xx −3xx ;(3) f (x,y )=√1−xx 2+�xx 2−1; (4) f (x,y )=12.解：(1)D:(16−xx 2−xx 2)(xx 2+xx 2−4)>0 4<xx 2+xx 2<16,+xx 2<16}，有界，开区域。

（2）D ={(x,y )|6−2x −3y ≥0},无界闭区域（3）D ={(x,y )|xx 2≤1,xx 2≥1}<=>{(x,y )||xx |≤1,|xx |≥1},不是区域（全书详解请关注vx gzh 高校课后习题）(4)D ={(x,y)|xx 2−2xxxx >0}<=>�(x,y )�x >0,x >2y 或x <0,x <2y � 不是区域3. 设f �x +y,yy xx�=xx 2−xx 2求f (x,y ). 解：设x =x +y,y =yy xx =>xx =xx yy+1,xx =xxyy yy+1,=>ff (xx ,xx )=xx 2(yy+1)−xxyy (yy+1)2,=>ff (xx ,xx )=xx 2(1−yy )1+yy 4. f ��xx 2+xx 2,arctan yy xx �=xxyy (xx +yy ),求f (x,y ). 解：令x =r cos θθ,xx =rr sin θθ,则f (r,θ)=rr 2cos θθsin θθrr 4=cos θθsin θθrr 2=>ff (xx ,xx )=cos yy sin yy xx（A）1.求下列函数的极限：（1）lim（x,y）→(1,0)ln (xx+ee yy)22；（2）lim（x,y）→(0,0)�1+xxyy−1xxyy；(3)limxx→+∞yy→−∞(xx2+yy2)ee−(xx+yy)；（4）lim xx→∞yy→∞xx2+yy2xx4+yy4.解：（1）x=1,y=0代入得ln2（2）�−1=xxyy�1+xxyy+1，原式=12（3）0≤(xx2+yy2)ee−(xx+yy)≤(xx+yy)2ee−(xx+yy)，原式=0 （4）0≤xx2+yy2xx+yy≤2(xx2+yy2)(xx+yy)=2xx+yy→0，原式=02.设f(xx,yy)=xx−yy xx+yy（1）验证当（x，y）沿着直线y=kx（k≠−1）趋于（0,0）时，f(x,y)趋于1−kk1+kk；（2）求limyy→0lim xx→0ff(xx,yy)和lim xx→0lim yy→0ff(xx,yy)；（3）证明lim(xx,yy)→(0,0)ff(xx,yy)不存在.解：（1）f(x,kx)=xx−kkxx xx+kkxx=1−kk1+kk(kk≠−1)（2）limyy→0lim xx→0ff=lim yy→0−yy yy=−1；lim xx→0lim yy→0ff=lim xx→0xx xx=1；（3）由（1）得，极限不存在（B）1.证明：（1）不存在；（2）lim(xx,yy)→(0,0)�1+xxyy−1xx+yy不存在；（3）lim(xx,yy)→(0,0)�xx 2yy2+1−1xx+yy=0.解：（1）以y=kx（k≠−1）趋于（0,0），原式=limxx→0kkxx1+kk，k=−1时，极限不存在（2）�1+xxyy−1xx+yy=xxyy xx+yy×1�1+xxyy+1，左极限不存在，右极限为12，则极限不存在（3）�xx2yy2+1−1xx+yy=xx2yy2xx+yy×1220≤xx2yy2xx2+yy2≤xxyy2→0，则原式=02.求下列极限：（1）lim(xx,yy)→(0,0)xxyy ln(xx2+yy2)；（2）lim(xx,yy)→(0,0)(xx+yy)ln(xx2+yy2)；（3）lim(xx,yy)→(0,0)(xx2+yy2)xx2yy2.解：（1）xxyy ln(xx2+yy2)≤12[(xx2+yy2)ln(xx2+yy2)]lim rr→0rr ln rr=0，则原式=0（2）xx2+yy2≤1时，(xx+yy)ln(xx2+yy2)≤|xx ln xx2|+|yy ln yy2|→0（3）(xx2+yy2)xx2yy2=ee(xx2+yy2)ln(xx2+yy2)→13.设f(xx,yy)=(xx+yy)sin1xx sin1yy，证明：全书详解请关注vx gzh 高校课后习题（1）极限lim(xx,yy)→(0,0)f(xx,yy)=0；（2）二次极限limyy→0lim xx→0ff(xx,yy)和lim xx→0lim yy→0ff(xx,yy)不存在.证明：（1）|f(xx,yy)|≤�xx sin1xx�+�yy sin1yy�→0（2）limxx→0ff(xx,yy)=lim xx→0ysin1xx sin1yy，极限不存在，从而lim yy→0lim xx→0ff不存在。

大学微积分(常见问题与解答)

辅导答疑第一章微积分的基础和研究对象1. 问：如何理解微积分（大学数学）的发展历史？微积分与初等数学的主要区别是什么？答：微积分的基础是---集合、实数和极限，微积分的发展历史可追溯到17世纪，在物理力学等实际问题中出现大量的（与面积、体积、极值有关的）问题，用微积分得到了很好的解决。

到19世纪，经过无数数学家的努力，微积分的理论基础才得以奠定。

可以说，经过300多年的发展，微积分课程的基本内容已经定型，并且已经有了为数众多的优秀教材。

但是，人们仍然感到微积分的教与学都不是一件容易的事，这与微积分学科本身的历史进程有关。

微积分这座大厦是从上往下施工建造起来的。

微积分从诞生之初就显示了强大的威力，解决了许多过去认为高不可攀的困难问题，取得了辉煌的胜利，创始微积分数学的大师们着眼于发展强有力的方法，解决各式各样的问题，他们没来得及为这门学科建立起严格的理论基础。

在以后的发展中，后继者才对逻辑细节作了逐一的修补。

重建基础的细致工作当然是非常重要的，但也给后世的学习者带来了不利的影响，今日的初学者在很长一段时间内只见树木不见森林。

微积分重用极限的思想，重用连续的概念，主要是在研究函数，属于变量数学的范畴。

而初等数学研究不变的数和形，属于常量数学的范畴。

2．问：大学数学中研究的函数与初等数学研究的函数有何不同之处？答：在自然科学，工程技术甚至社会科学中，函数是被广泛应用的数学概念之一，其意义远远超过了数学范围，在数学中函数处于基础核心地位。

函数不仅是贯穿中学《代数》的一条主线，它也是《大学数学》这门课程的研究对象。

《大学数学》课程中，将在原有初等数学的基础上，对函数的概念、性质进行重点复习和深入的讨论，并采用极限为工具研究函数的各种分析性质，进而应用函数的性质去解决实际问题。

第二章微积分的直接基础-极限1．问：阿基里斯追赶乌龟的悖论到底如何解决的？答：阿基里斯追赶乌龟的悖论是一个很有趣的悖论。

如果芝诺的结论是正确的，则追赶者无论跑得多么快也追不上在前面跑的人，这显然与我们在生活中经常见到的现象相违背。

大学数学2015-2016(1) 微积分B(1) 练习题参考答案

x x 0 x 0 x 0 x 0
而 f (0) a, 故要使 lim f ( x) lim f ( x) f (0) ，须且只须 a 1 .
x 0 x 0
所以当且仅当 a 1 时，函数 f ( x) 在 x 0 处连续．（2）因为 lim f ( x) lim
5 t
1 t lim 1 t t
5
e 5 . e
1 2x
（13）因为 (1 2 x)
(1 2 x) lim e
x 0
x 1 6 2 x sin x
e
1
x 1 6 ln(1 2 x ) 2 x sin x
3 2
所以方程 x 4 x 1 0 在 (0,1) 内至少有一个根.
3 2
（2）设 f ( x ) e 3 x ，则 f ( x ) 在 [0,1] 上连续，
x
且 f ( 0) 1 0, f (1) e 3 0 ，故由零点定理知方程在 (0,1) 内至少有一个根.
x 0
所以， lim f ( x) 0 ，且 f (0) 0 ，因此，函数在 x 0 处连续．
x 0
f ( x) f (0) f ( x) f (0) 1 ， f ' (0) lim 1 ， x 0 x 0 x0 x0 所以函数在 x 0 处可导． f ' (0) lim
18、 y
1 2 1 x ，所以 y ( 4 ) x 2 2 2
1
1
x4

1 ， 4
所以切线方程为 y 2
1 ( x 4) ，法线方程为 y 2 4( x 4) ． 4

南京大学微积分第一层次期末试卷

1 x
) dx
的敛散性.
1
x
6. 已知 u xy z2 ，求 u 在点 M (9,12,10) 梯度 grad u(M ) .
7.
求函数
f
(
x)
1
x
x
2
x
2
在 x 0 的幂级数展开式，并指出收敛范围
.
8.
求与两直线 L1 ：x 1, y
1 t, z
2
t.
及
L2：x
1
1
y2 2
z 1 都平行且过原点的 1
3 cos
t,
y
3sin
t,
z
3t
(0
t
2
)
.
2. (exsiny+8y)dx (ex cos y 7x)dy ,其中为由点 A(2, 0) 沿 (x 4)2 y2 9 到点
B(6, 0) 的一段 .
五. 计算曲面积分（2×10 分=20 分）.
1. 求 (x2 y2 z2 )dS ，其中为 x2 y2 z2 2z (1 z 2) .
2. 设为上半球面 z 4 x2 y2 的上侧，计算 zx3dydz zy3dzdx 6z2dxdy .
六.（8
分）判别级数
n1
(1)n1 n sin n
的敛散性（包括条件收敛或绝对收敛）.
七.（8 分）判别广义积分
sin
1 x
dx 的敛散性.
1 2 x
八.（10
分）将
d dx
n1
n 1 n
n 1 的敛散性 .
五、（10
分）求幂级数
n1
1
1 2
xn

大学数学基础教程课后答案(微积分)

z c -a
-b a x
O
b y
（4） D = ( x, y, z ) x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, x 2 + y 2 + z 2 < 1
{
}
z １
O x １
１
y
2
4．求下列各极限：（1） lim 1 − xy 1−0 = =1 2 2 x +y 0 +1 ln( x + e y ) = ln( 1 + e 0 ) = ln 2 1+ 0
4
t t t t z x = −2 sin 2( x − ), z t = sin 2( x − ), z xt = 2 cos 2( x − ), z tt = − cos 2( x − ) 2 2 2 2 t t 2 z tt + z xt = −2 cos 2( x − ) + 2 cos 2( x − ) = 0 . 2 2 y x 1 y 1 x e , z y = e x , dz = − 2 e x dx + e dy ; 2 x x x x
（1）为使函数表达式有意义，需 y − 2 x ≠ 0 ，所以在 y − 2 x = 0 处，函数间
（2）为使函数表达式有意义，需 x ≠ y ，所以在 x = y 处，函数间断。习题 1—2 1．（ 1） z =
x y + y x
∂z 1 y ∂z 1 x = − 2； = − . ∂x y x ∂y x y 2 (2) ∂z = y cos( xy) − 2 y cos( xy) sin( xy) = y[cos( xy) − sin( 2 xy)] ∂x ∂z = x cos( xy) − 2 x cos( xy) sin( xy) = x[cos( xy) − sin( 2 xy)] ∂y (3) ∂z = y (1 + xy) y −1 y = y 2 (1 + xy) y −1 , ∂x lnz= yln(1+xy)，两边同时对 y 求偏导得 1 ∂z x = ln( 1 + xy) + y , z ∂y 1 + xy

大学数学章节考试题及答案

大学数学章节考试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列哪个选项是微积分的基本定理？A. 牛顿第二定律B. 斯托克斯定理C. 费马原理D. 牛顿-莱布尼茨公式答案：D2. 在复数域中，下列哪个表达式表示复数的模？A. |z|B. z^2C. Re(z)D. Im(z)答案：A3. 以下哪个函数是周期函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = sin(x)C. f(x) = e^xD. f(x) = ln(x)答案：B4. 矩阵的特征值是什么？A. 矩阵的元素B. 矩阵的逆C. 使得方程Ax = λx 成立的标量λD. 矩阵的行列式答案：C5. 欧拉公式e^(iπ) + 1 = 0 中，i 代表什么？A. 自然对数的底数B. 虚数单位C. 圆周率πD. 2 的平方根答案：B二、填空题（每题3分，共15分）6. 极限 lim (x->0) [sin(x)/x] 的值是 __________。

答案：17. 函数 f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x 的拐点是 __________。

答案：(1, -2)8. 线性代数中，一个矩阵的秩是指 __________。

答案：矩阵中线性独立的最大行（列）向量组的个数9. 微分方程 dy/dx = y + x^2 的通解是 __________。

答案：y = e^x * (C - x^2/2)10. 概率论中，随机变量 X 的期望值 E(X) 是 __________。

答案：所有可能值的概率加权平均三、解答题（共75分）11. （15分）证明：如果函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续，并且不恒为零，则根据介值定理，存在一个c ∈ (a, b) 使得 f(c) = 0。

证明：略（根据介值定理的标准证明）12. （20分）计算定积分∫[0,1] x^2 dx。

解答：首先，我们需要找到函数 x^2 的原函数。

一个可能的原函数是 F(x) = (1/3)x^3。

高等数学微积分习题册上册答案

三、根据函数极限的定义证明下列极限.
（1）
lim
x→∞
1 x2
= 0；
证明：对任意ε>0，解不等式
|
1 x2
− 0 |=
1 x2
<ε
→|
x |>
1 ε
四川大学数学学院高等数学教研室编
3
学院
姓名
学号
日期
取X
= 1 ，当| x |> ε
X,
|
1 x2
−
0
|<
ε
，所以
lim
x→∞
1 x2
= 0。
1.3 函数的极限
证明：对任意ε>0，解不等式 | x2 − 4 + 4 |=| x + 2 |< ε x+ 2
取δ = ε ，当 0 <| x + 2 |< δ , | x2 − 4 + 4 |< ε ，所以 lim x2 − 4 = −4 。
x+2
x→−2 x + 2
二、证明 lim(4x −1) = 11，并求正数δ ，使得当| x − 3 |< δ 时，就有| (4x −1) −11|< 0.001. x→3
学院
姓名
学号
一、根据数列极限的定义证明下列极限：
日期
1.2 数列的极限
（1）
lim
n→∞
(−1) n2
n
= 0；
证明：对任意ε，解不等式
|
(−1)n n2
−
0 |=
1 n2
<
ε
→
n
>
1 ε

浙江大学微积分一习题解答第九章(春季)

π 4
该切线在 xoz 平面的投影直线的方程为 z-3=1(x-2),即 z=x+1.
z = x + 1 因此所有切线方程为 y = 2
『解 2』直接求出交线(曲线) 的切线方程可求得抛物面 z = 1 + 1 ( x 2 + y 2 ) 与平面 y=2 的交线方程 4
x = x x ' = 1 (x 2 + y 2 ) z = 1 + 1 4 即 y = 2 故 y' = 0 y = 2 1 1 2 z ' = 2 x = 1 z = 2 + 4 x
故
∂u ∂u ∂ 2u ∂ 2u + sin u ⋅ ＝ cos u ⋅ ∂x∂y ∂x ∂x ∂x 2
(2)
此式稍后备用。下面用数学归纳法证明第二个结论(ii)。 n=1 时显然成立。设 n 时成立，即
∂nu ∂y ∂ n +1 u ∂y
事实上，
n +1 n
=
∂ n −1 ∂x
n −1
(sin n u ⋅
＝＝而
∂n ∂x n
∂ n −1
n −1
∂ n −1
n −1
[(n + 1) sin n u cos u ⋅
(sin n +1 u ⋅ ∂ n −1 ∂x n −1
∂u ∂ n −1 ∂ ∂u )＝ [ (sin n +1 u ⋅ )] n −1 ∂x ∂x ∂x ∂x ∂u ∂u ∂ 2u + sin n +1 u ] ∂x ∂x ∂x 2
∂ n −1 ∂x ∂ n −1 ∂x n −1 ∂ n −1 ∂x ∂x

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