高考数学一轮复习 第二章 第8课时 幂函数及基本初等函数的应用 理

第二章 函数与基本初等函数
第8课时 幂函数及基本初等函数的应用
1．了解幂函数的概念． 2．结合函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x12的图像， 了解它们的变化情况． 请注意 从近几年的新课标高考试题来看，幂函数的内容要求较 低，只要求掌握简单幂函数的图像与性质．
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2
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(1.1)3＝(1.12)3＝1.213.
幂函数 y＝x23在(0，＋∞)上是增函数，且170< 22<1.21. ∴(－170)－23<(－ 22)23<(－1.1)43.
1
1
【答案】 (1)0.92<1<1.12
(2)(－170)－23<(－ 22)23<(－1.1)43 探究2 利用幂函数的单调性比较大小要注意以下几点： (1)将要比较的两个数都写成同一个函数的函数值的形 式． (2)构造的幂函数，要分析其单调性． (3)注意两个函数值要在同一个单调区间上取到． (4)若直接不易比较大小，可构造中间值，间接比较其大 小．
∴8－78>9－78＝(19)78.
2
(3)∵y＝x－3在(0，＋∞)上单调递减且为偶函数，
∴y＝x－23在(－∞，0)上单调递增且－23<－π6.
∴(－23)－23<(－π6)－23.
3
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(4)(－1.9)－5<3.8－3<(4.1)5.
【答案】
(4)当α为奇数时，幂函数为 奇函数 ，当α为偶数时，
幂函数为 偶函数 ．
1．判断下列说法是否正确(打“√”或“×”)．
(1)y＝x0的图像是一条直线．
(2)幂函数的图像都经过点(0,0)，(1,1)． (3)幂函数的图像不可能出现在第四象限．
(4)当n>0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上是增函数． (5)若幂函数y＝xn是奇函数，则y＝xn是增函数．
D．3
答案 C
解析 画出函数 y＝(13)x 与 y＝|log3x|的图像，其交点个数 为 2.
5．已知函数 f(x)＝2x－xm，且 f(4)＝－72. (1)求 m 的值； (2)判断 f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明．
答案 (1)m＝1 (2)单调ຫໍສະໝຸດ Baidu减
解析 (1)∵f(4)＝－72，∴24－4m＝－72.∴m＝1. (2)f(x)＝2x－x 在(0，＋∞)上单调递减，证明如下：
(2)(－ 22)23，(－170)－23，(－1.1)43.
1
1
【解析】 (1)把 1 看作 12，考查幂函数 y＝x2，在(0，
＋∞)上它是增函数．
11
1
∵0<0.9<1<1.1，∴0.92<12<1.12.
1
1
即 0.92<1<1.12.
(2)因为(－ 22)23＝( 22)23，
(－170)－23＝(－170)23＝(170)23，
A．－1<n<0<m<1 B．n<－1,0<m<1 C．－1<n<0，m>1 D．n<－1，m>1
【 解 析 】 借 助 y ＝ x ， y ＝ x － 1 的 图 像 易 知 ， n< － 1,0<m<1，故选B.
【答案】 B
题型二 幂函数的性质
例 2 比较下列各组数的大小．
1
1
(1)1.12，0.92，1；
答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×
解析 (1)中y＝x0的图像是一条直线去掉了(0,1)点． (2)中y＝x－1不过(0,0)点． (5)中y＝x－1是(－∞，0)，(0，＋∞)上的减函数．
2．把幂函数y＝x－2向左平移2个单位后的函数为( )
A．y＝x－2－2
B．y＝x－2＋2
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1．幂函数的定义
函数 y＝xα
叫做幂函数，其中x是自变量，α是常
数．
2．幂函数的图像(如下图)
3．幂函数的性质 (1)所有的幂函数在(0，＋∞)有定义，并且图像都通过 点(1,1) ．
(2)如果α>0，那么幂函数的图像过原点，并且在区间
[0，＋∞)上为 增函数 ．
(3) 如 果 α<0 ， 那 么 幂 函 数 图 像 在 区 间 (0 ， ＋ ∞ ) 上 是 __减__函__数__．在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图像在 y轴右方无限地逼近y轴，当x趋向于＋∞时，图像在x轴上方 无限地逼近x轴．
【答案】 C 探究1 幂函数的图像一定会出现在第一象限，一定不会 出现在第四象限，是否在第二、三象限内出现，要看奇偶
性；在(0,1)上幂函数中指数愈大，函数图像愈靠近x轴(简记
“指大图低”)在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图
像越远离x轴．
思考题1 如图是幂函数y＝xm和y＝xn在第一象限
内的图像，则( )
任取 0<x1<x2，则 f(x1)－f(x2)＝(x21－x1)－(x22－x2) ＝(x2－x1)(x12x2＋1)． ∵0<x1<x2，∴x2－x1>0，x12x2＋1>0. ∴f(x1)－f(x2)>0，∴f(x1)>f(x2)． 即 f(x)＝2x－x 在(0，＋∞)上单调递减．
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题型一 幂函数的图像
例1 如图，为幂函数y＝xn在第一象限的图像，则C1， C2，C3，C4的大小关系为( )
A．C1>C2>C3>C4 B．C2>C1>C4>C3 C．C1>C2>C4>C3 D．C1>C4>C3>C2
【 解 析 】 观 察 图 形 可 知 ， C1>0 ， C2>0 ， 且 C1>1 ， 而 0<C2<1，C3<0，C4<0，且C3<C4.
C．y＝(x－2)－2
D．y＝(x＋2)－2
答案 D
3．设 a＝log132，b＝log1213，c＝(12)0.3，则(
)
A．a<b<c
B．a<c<b
C．b<c<a 答案 B
D．b<a<c
解析 因为a<0，b>1,0<c<1，故选B.
4．方程(13)x＝|log3x|解的个数是(
)
A．0
B．1
C．2
思考题2 比较下列各组数的大小．
5
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(1)3－2和 3.1－2；
(2)8－78和(19)78；
(3)(－23)－23和(－π6)－23；
2
2
3
(4)4.15，3.8－3和(－1.9)－5.
5
【解析】 (1)∵y＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，且
0<3<3.1，
5
5
∴3－2>3.1－2.
7
(2)∵y＝x－8在(0，＋∞)上单调递减且 0<8<9，