大学微积分的教程
零基础微积分入门基本教程
零基础微积分入门基本教程1 前言微积分是数学中的一门重要学科，可以用来研究变化率和极值等问题。
在高等数学中，微积分是必修课程。
然而，对于零基础的学生来说，学习微积分可能会显得困难和枯燥。
因此，本文将提供一个基础的入门教程，以帮助零基础的学生理解微积分的概念和应用。
2 微积分的定义微积分主要分为微分和积分两个部分。
微分可以用来研究函数的变化率，积分可以用来计算曲线下面的面积。
具体来说，微积分可以用以下公式表示：微分：dy/dx=f’(x)积分：∫f(x)dx其中，f’(x)表示函数f(x)在x点的导数，∫f(x)dx表示f(x)在积分区间上的面积或整体。
3 基础概念微积分中有许多基础概念，其中包括：导数：导数表示函数在某一点处的变化率，是微积分中的重要概念之一。
极值：极值是函数的最大值或最小值，可以通过导数的概念来计算。
积分：积分可以用来计算函数在一定区间上的面积，也可以用来计算反常积分和定积分等。
4 应用微积分在实际中有许多应用，其中包括：物理：微积分在物理学中是必不可少的，可以用来研究物体在空间中的运动轨迹。
工程：微积分在工程学中也可以发挥重要的作用，可以用来研究建筑物的结构和稳定性等问题。
经济学：微积分在经济学中也有许多应用，可以用来研究经济数据的变化规律和趋势。
5 结论微积分是一门重要的数学学科，可以用来研究变化率和极值等问题。
然而，对于零基础的学生来说，学习微积分可能会显得困难和枯燥。
因此，建议学生在学习微积分之前，要先掌握一些基础概念和方法，逐步提高自己的学习能力。
同时，学生应该注重理论的学习和实践的应用，通过多方面的学习和实践，来提高自己的微积分水平。
《微积分》讲义
《微积分》讲义第一章极限一、函数极限的概念：f＝A要点：⑴x 为变量；⑵A 为一常量。
二、函数极限存在的充分必要条件：f＝A f＝A，f＝A 例：判定是否存在？三、极限的四则运算法则⑴＝f±g⑵＝f·g⑶＝……g≠0⑷k·f＝k·f四、例：⑴⑵⑶⑷五、两个重要极限⑴＝1 ＝1⑵＝e ＝e ………型理论依据：⑴两边夹法则：若f≤g≤h，且limf＝limh＝A，则：limg＝A⑵单调有界数列必有极限。
例题：⑴＝⑵＝⑶＝⑷＝⑸＝六、无穷小量及其比较1、无穷小量定义：在某个变化过程中趋向于零的变量。
2、无穷大量定义：在某个变化过程中绝对值无限增大的变量。
3、高阶无穷小，低阶无穷小，同阶无穷小，等价无穷小。
4、定理：f＝A f＝A＋a （a＝0）七、函数的连续性1、定义：函数y＝f在点处连续……在点处给自变量x一改变量x：⑴x0时，y0。
即：y＝0⑵f＝f⑶左连续：f＝f右连续：f＝f2、函数y＝f在区间上连续。
3、连续函数的性质：⑴若函数f和g都有在点处连续，则：f±g、f·g、（g()≠0）在点处连续。
⑵若函数u＝j在点处连续，而函数y＝f在点＝j()处连续，则复合函数f(j(x)) 在点处连续。
例：＝＝＝4、函数的间断点：⑴可去间断点：f＝A，但f不存在。
⑵跳跃间断点：f＝A ，f＝B，但A≠B。
⑶无穷间断点：函数在此区间上没有定义。
5、闭区间上连续函数的性质：若函数f在闭区间上连续，则：⑴f在闭区间上必有最大值和最小值。
⑵若f与f异号，则方程f＝0 在内至少有一根。
例：证明方程式－4＋1＝0在区间内至少有一个根。
第二章一元函数微分学一、导数1、函数y＝f在点处导数的定义：x y＝f－f＝A f'＝A ……y'，，。
2、函数y＝f在区间上可导的定义：f'，y'，，。
3、基本初等函数的导数公式：⑴＝0⑵＝n·⑶＝，＝⑷＝·lnɑ，＝⑸＝cosx，＝－sinx＝x，＝－＝secx·tanx，＝－cscx·cotx⑹＝－＝－4、导数的运算：⑴、四则运算法则：＝±＝·g(x)＋f(x)·＝例：求下列函数的导数y＝2－5＋3x－7f(x)＝＋4cosx－siny＝⑵、复合函数的求导法则：y u，u v，v w，w x y x'＝''''例：y＝lntanxy＝lny＝arcsin⑶、隐函数的求导法则：把y看成是x的复合函数，即遇到含有y 的式子，先对y求导，然后y再对x求导。
大学微积分课件(PPT幻灯片版)pptx
高阶导数计算
高阶导数的计算一般采用归纳法 或莱布尼茨公式等方法进行求解。 需要注意的是，在计算过程中要 遵循求导法则和运算顺序。
应用举例
高阶导数在物理学、工程学等领 域有着广泛的应用。例如，在物 理学中，加速度是速度的一阶导 数，而速度是位移的一阶导数； 在工程学中，梁的挠度是荷载的 一阶导数等。
03 一元函数积分学
VS
几何意义
函数$y = f(x)$在点$x_0$处的导数 $f'(x_0)$在几何上表示曲线$y = f(x)$在点 $(x_0, f(x_0))$处的切线的斜率。
求导法则与技巧总结
基本求导法则
包括常数的导数、幂函数的导数、指数函数的导数、对数函数的导 数、三角函数的导数、反三角函数的导数等。
求导技巧
连续性与可微性关系
连续性
函数在某一点连续意味着函数在 该点有定义，且左右极限相等并 等于函数值。连续性是函数的基 本性质之一。
可微性
函数在某一点可微意味着函数在 该点的切线斜率存在，即函数在 该点有导数。可微性反映了函数 局部变化的快慢程度。
连续性与可微性关
系
连续不一定可微，但可微一定连 续。即函数的连续性是可微性的 必要条件，但不是充分条件。
历史发展
微积分起源于17世纪，由牛顿和莱布尼 茨独立发展。经过数百年的完善，已成 为现代数学的重要基础。
极限思想与运算规则
极限思想
极限是微积分的基本概念，表示函数在某一点或无穷远处的变 化趋势。通过极限思想，可以研究函数的局部和全局性质。
运算规则
极限的运算包括极限的四则运算、复合函数的极限、无穷小量 与无穷大量的比较等。这些规则为求解复杂函数的极限提供了 有效方法。
大学数学基础教程：一元函数微积分
大学数学基础教程：一元函数微积分一、函数微积分的主要课题在于研究变量的变化形态。
这个说法很抽象。
说的直白一点，就是研究一个量的变化过程。
这个量可以是速度，可以是加速度，可以是生产率等等。
这些是变化的，我们称之为变量。
中学时，已经学过，描述变量的数学模型是函数。
因此从函数开始说起。
函数是中学数学的主要内容，概念这里就不重复了。
对函数概念的的理解需要重点把握定义域和对应法则，有了定义域和对应法则就确定一个函数，换句话说，确定两个函数是否相同，定义域和对应法则缺一不可。
这里有一些考题，容易因为忽视了定义域而出现错误。
函数的表示形式有多种，运用数形结合的思想，在坐标系中画函数图像，可以探索函数的性质（如单调性、周期性、奇偶性）。
研究函数的性质，有时可以在积分运算过程中简化运算。
掌握了研究方法后，复合函数、反函数和初等函数都可以自己来研究。
二、无穷小量极限方法的本质就是无穷小量的分析。
因此首先学习无穷小量。
定义设有数列{εn},如果对于任意给定的正数η>0，都能取到正整数N，使得当n>N时成立|εn|<η,则称n→∞时，{εn}是无穷小量，记作εn=ο（1）,n→∞.由定义可以看出，无穷小量的本质是可以任意小的变量。
这个需要好好理解。
掌握了该定义后，无穷小量的运算和无穷大量的定义都可以自己给出。
无穷小量之间的关系有高阶、低阶、同阶、等价。
这些概念要熟记。
三、极限极限是刻画变量变化趋势的重要工具。
好多教材中数列的极限、函数的极限、单侧极限的概念是分别给出的。
对比这些概念，给出的方法都相同，即ε-δ（N）语言。
通用模型是这样的：对于任意ε，存在δ，使得当****时成立，|f（x）-A|<ε,则称f（x）在x→**时以A为极限，记作或称f（x）收敛于A。
数列是定义域为整数集的特殊函数，函数极限的概念也可以用数列极限的形式来表述。
这里有许多题型，主要题型是：证明这类题目的一般解法是解不等式，用ε表示δ。
大一上册微积分教程《CalculusI》
1.1 Rates of Change and Limits
The Tangent Problem
Let f be a function and let P(a, f(a)) be a point on the graph of f. To find the slope m of the tangent line l at P(a, f(a)) on the graph of f, we first choose another nearby point Q(x, f(x)) on the graph (see Figure 1) and then compute the slope mPQ of the secant line PQ.
Let
min(1,
).
7
x3 ,
7
2.Showing that this works.
given 0,
Let
min(1, )
7
If
0 x3 ,
then x2 9
Therefore , by the definition of a limit, lim x2 9 x3
1.2 Finding Limits and One-Sided Limits
of the secant lines, i.e
P(a,f(a)) 0
m lim f (x) f (a) . xa x a
The velocity problem
Suppose an object moves along a straight line according to an equation of motion
微积分基础教程
微积分教程【1】微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。
它是数学的一个基础学科。
内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。
微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。
它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。
积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。
微积分的基本介绍微积分学基本定理指出，求不定积分与求导函数互为逆运算[把上下限代入不定积分即得到积分值，而微分则是导数值与自变量增量的乘积]，这也是两种理论被统一成微积分学的原因。
我们可以以两者中任意一者为起点来讨论微积分学，但是在教学中，微分学一般会先被引入。
微积分学是微分学和积分学的总称。
它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。
十七世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨完成了许多数学家都参加过准备的工作，分别独立地建立了微积分学。
他们建立微积分的出发点是直观的无穷小量，但是理论基础是不牢固的。
因为“无限”的概念是无法用已经拥有的代数公式进行演算，所以，直到十九世纪，柯西和维尔斯特拉斯建立了极限理论，康托尔等建立了严格的实数理论，这门学科才得以严密化。
学习微积分学，首要的一步就是要理解到，“极限”引入的必要性：因为，代数是人们已经熟悉的概念，但是，代数无法处理“无限”的概念。
所以，必须要利用代数处理代表无限的量，这时就精心构造了“极限”的概念。
在“极限”的定义中，我们可以知道，这个概念绕过了用一个数除以0的麻烦，相反引入了一个过程任意小量。
就是说，除的数不是零，所以有意义，同时，这个小量可以取任意小，只要满足在德尔塔区间，都小于该任意小量，我们就说他的极限为该数——你可以认为这是投机取巧，但是，他的实用性证明，这样的定义还算比较完善，给出了正确推论的可能性。
这个概念是成功的。
微积分是与实际应用联系着发展起来的，它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学等多个分支中，有越来越广泛的应用。
微积分_(中国人民大学出版社)
(x2 y2)y2
,
z y
[2 y
x
2y2 (x2
x y2
xy
]e ( x2 y2 ) . )
三、 dz e x (1 x) . dx 1 x 2e 2x
四、 z x
2 xf1
ye xy
f
2
,
z y
2 yf1
xe xy
f 2.
五、u f (1 y yz), u f ( x xz), u xyf .
z v dx v dy v x y
z du z dv. u v
例 4 已知exy 2z e z 0，求z 和z . x y
解 d(exy 2z ez ) 0,
exyd( xy) 2dz ezdz 0,
(ez 2)dz exy ( xdy ydx)
dz
ye xy (ez 2)
u
z
v
t
w
以上公式中的导数
dz dt
称为全导数.
上定理还可推广到中间变量不是一元函数
而是多元函数的情况：z f [( x, y), ( x, y)].
如果u ( x, y)及v ( x, y) 都在点( x, y)
具有对x 和y 的偏导数，且函数z f (u,v) 在对应
点( u, v ) 具有连续偏导数，则复合函数
u v 时，有dz z dx z dy .
x y
全微分形式不变形的实质：
无论 z是自变量u、v的函数或中间变量u、v
的函数，它的全微分形式是一样的.
dz z dx z dy x y
z u
u x
z v
v x
dx
z u
u y
《微积分入门》课件
隐函数求导法与全微分与微分近
2
掌握它们在数学和物理中的应用。
似
了解隐函数求导法、全微分和微分近似
的方法，能够应用于解决多元函数问题。
3
多元函数的积分及其应用
研究多元函数的积分和应用，掌握多元
函数积分的求解技巧。
麦克劳林展开与泰勒展开
4
深入了解麦克劳林展开和泰勒展开，了 解它们在数学和物理中的应用。
结语：微积分的学习方法与技 巧
线性化与近似计算
学习线性化与近似计算的方法，能够利用导数进 行近似计算。
导数的运算法则
掌握导数的运算法则，能够求解各种导数问题。
高阶导数及其应用
研究高阶导数的性质和应用，掌握高阶导数在数 学和物理中的重要性。
积分与微积分基本定理
积分的概念
了解积分的概念和意义，学习积分在微积分中的应 用。
不定积分与基本积分公式
学习微积分是一项具有挑战的任务，需要加强理论学习，并运用到实际问题 中。掌握好学习方法和技巧，能够事半功倍地掌握微积分知识。
微积分的应用前景与展望
微积分的应用范围广泛，几乎涉及到所有科学和工程领域。未来，微积分将继续发展，推动科技进步，改变我 们的生活。 **谢谢收听！**
极限的运算法则
2
积分中的重要性。
掌握极限运算法则，能够灵活应用于解
决各种数学问题。
3
连续的概念与判定方法
研究连续函数的概念和判定方法，了解
中值定理及其应用
4
连续性在数学中的意义。
深入了解中值定理的原理和应用，掌握 使用中值定理解决实际问题的方法。
导数与微分
导数的定义与性质
学习导数的定义与性质，理解导数在几何和物理 中的意义。
大学微积分入门
（1）分割 T1 t0 t1 t2 tn1 tn T2
ti ti ti1
si v( i )ti
部分路程值
某时刻的速度
n
（2）求和 s v( i )ti
i 1
（3）取极限 max{t1,t2 ,,tn }
n
路程的精确值
s
lim
0
i 1
v(
i
)ti
二、定积分的定义
定义 设函数 f ( x)在[a, b]上有界，在[a, b]中任意插入
a
f
(
x
)dx
(k 为常数).
证
b
kf
a
( x)dx
lim
0
n
kf
i 1
(i )xi
n
n
lim k 0 i1
f (i )xi
k lim 0 i1
f (i )xi
b
k a f ( x)dx.
性质3 假设a c b
b
c
b
a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx.
三、存在定理
定理1 当函数 f ( x)在区间[a, b]上连续时， 称 f ( x)在区间[a, b]上可积.
定理2 设函数 f ( x)在区间[a, b]上有界，
且只有有限个第一类的 间断点，
则 f ( x)在 区间[a, b]上可积.
四、定积分的几何意义
f ( x) 0, f ( x) 0,
b
a
f
(
x)dx
b
a
g(
x)dx
.
证
b
a[
f
(
x)
g(
x)]dx
大学微积分第三章函数的求导法则ppt课件
f( x) f(0)
x0
lim
x0
xe x 0 1 x
f ( 0 ) 1
f
(x)
e x
xex
,
x0
1,
x0
（讨论分断点的可导性用定义）
24
小结
(1) 掌握求导数的四则运算法则 (2) 熟记16个求导数公式
两条经验
(1).一般函数的求导用公式 (2).求分断点的导数用定义
25
作业 P82 1单 2单 3
h0
h
u( x h ) u( x )
v( x h ) v( x )
lim
v( x h ) lim
u( x )
h0
h
h0
h
u(x) v(x) u(x) v(x)
即 [u(x) v(x)] u(x) v(x) u(x) v(x)
7
3、商的导数
设函数 u u(x), v v(x)在点 x 处可导，(v(x) 0) 则
3x2 cos x ln x x3 sin x ln x x2 cos x
x
11
例4. y tan x 求 y
解
y
(tan
x)
sin
x
cos x
(sin
x)cos x sin cos2 x
x(cos
x)
cos2 x sin 2 cos2 x
x
1 cos2
x
sec2
x
即 (tan x) sec2 x (cot x) csc2 x
x sin y
在
Iy
2
,
2
内单调、可导，且 (sin y) cos y 0
微积分第一章
高等数学教案、第一章 函数、极限与与连续本章将在分别研究数列的极限与函数的极限的基础上，讨论极限的一些重要性质以及运算法则,函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。
具体的要求如下：1． 理解极限的概念（理解极限的描述性定义,对极限的N -ε、δε-定义可在学习过程中逐步加深理解,对于给出ε求N 或δ不作过高要求）。
2． 掌握极限四则运算法则。
3． 了解极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限。
4． 了解无穷小、无穷大及无穷小的阶的概念.能够正确运用等价无穷小求极限。
5。
理解函数在一点连续的概念,理解区间内（上）连续函数的概念。
6. 了解间断点的概念，会求函数的间断点并判别间断点的类型。
7. 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（最大、最小值定理、零点定理、介值定理）。
第一章共12学时,课时安排如下绪论 §1.1、函数 §1.2初等函数 2课时 §1。
4数列极限及其运算法则 2课时 §1.4函数极限及其运算法则 2课时 §1。
4两个重要极限 无穷小与无穷大 2课时 §1.4函数的连续性 2课时 第一章 习题课 2课时绪论数学:数学是研究空间形式和数量关系的一门学科，数学是研究抽象结构及其规律、特性的学科.数学具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性。
关于数学应用和关于微积分的评价：恩格斯：在一切理论成就中,未必再有像17世纪下叶微积分的微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。
如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那就正是这里.华罗庚：宇宙之大,粒子之微，火箭之速，化工之巧,地球之变，生物之迷,日用之繁,无处不用数学。
张顺燕:微积分是人类的伟大结晶，它给出了一整套科学方法，开创了科学的新纪元，并因此加强和加深了数学的作用。
……有了微积分，人类才有能力把握运动和过程;有了微积分，就有了工业革命，有了大工业生产,也就有了现代的社会。
大学课程《微积分》PPT课件：微积分3章1节
柯西中值定理的应应用 例11 验证柯西中值定理对函数 f (x) x3 1, g(x) x2 在区间 [1,2]上的正确性.
例12 (讲义例5) 设函数 f (x) 在[0, 1]上连续, 在(0, 1)内可导. 试证明至少存在一点 (0,1), 使 f ( ) 2[ f (1) f (0)].
第三章 导数的应用
第一节 中值定理
内容要点：
一、罗尔定理：在闭区间[a, b]上连续；在开区间(a, b)内 可导；在区间端点的函数值相等, 即 (a b), 结论：在(a, b)内至少存在一点 f (a) f (b). 使得 f ( ) 0.
注：罗尔定理的三个条件是十分重要的,如果有一个不满足, 定理的结论就可能不成立. 分别举例说明之.
2 再由arcsin x, arccos x得定义知当x 1, x 1有
arcsin x arccos x
2
从而:arcsin x arccos x , x [1,1]
2
•证明当
x0
时,
x ln(1 x) x 1 x
证明：设 f (x) ln(1 x)，显然，f (x) 在[0, x]
论：在(a, b)内至少存在一点 (a b),使得 f (b) f (a) f ( )(b a)
拉格朗日中值公式反映了可导函数在 上整体平均变化率与在 内某点 处函 数的局部变化率的关系. 若从力学角度看,公式表示整体上的平均速度等于 某一内点处的瞬时速度. 因此,拉格朗日中值定理是联结局部与整体的纽带.
f (a) f (b) f ( ) g(a) g(b) g( )
显然, 若取 g(x) x, 则 g(b) g(a) b a, g(x) 1,
因而柯西中值定理就变成拉格朗日中值定理(微分中值定理)了. 所以柯西中值定 理又称为广义中值定理.
大学微积分课件第一讲
微积分的意义和应用举例
1 解决变化问题
2 优化问题
微积分可以帮助我们理解 和解决与变化相关的问题， 如速度、加速度、积分面 积等。
微积分可以应用于优化问 题，通过求导和查找最值 点来获得最佳解答。
3 物理和工程应用
微积分在物理学和工程学 中有广泛的应用，如力学、 电磁学、流体力学等领域。
微积分的发展历程和价值
2
无穷小量具有相对较小的数值，但在某
处仍有定义，可以通过无穷小量来描述
变化的趋势。
3
概念
无穷小量是微积分中用于描述极小变化 的数学概念，广泛应用于计算微分和解 决实际问题。
应用
无穷小量在物理、经济、生物等领域中 的应用广泛，用于描述变化的微小差异 和近似计算。
导数的概念及计算方法
概念
导数是描述函数变化率的数学工 具，表示函数在某一点上的斜率 或切线的倾斜程度。
微积分是自然科学和工程技术中不可或缺的数学工具，为探索和解决问题提 供了重要的理论和计算方法。
文献资料和参考书籍
文献资料
微积分领域有许多经典的文献资料可以深入学习和 研究，包括牛顿、莱布尼茨等大师的著作。
参考书籍
在学习微积分过程中，有许多优秀的教材和参考书 籍可供选择，如《微积分原理》等。
大学微积分课件第一讲
微积分是数学的重要分支，掌握微积分的概念与方法对于解决实际问题和深 入理解数学的发展至关重要。
导论微积分的概念和作用
微积分是研究变化和积分的数学分支，不仅在数学领域有着重要应用，还在 自然科学和工程技术等领域具有广泛的应用。
微积分中的基本概念
变量和函数的定义
理解变量和函数的概念是学习微积分的基础， 它们是描述数学关系和变化过程的工具。
《微积分学教程》-菲赫金哥尔茨
解：因为 | M1M2|2 =(74)2(13)2(21)2=14，
| M2M3|2 =(57)2(21)2(32)2=6，
| M1M3|2 =(54)2(23)2(31)2=6， 所以| M2M3|=| M1M3|，即DM1M2M3为等腰三角形。
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铃
例5 作z=c(c为常数)的图形。 解 ： 方 程 z=c 中 不 含 x 、 y ， 这意味着x与y可取任意值而总有 z=c ， 其 图 形 是 平 行 于 xy 平 面 的 平面。
z
c M(x, y, c)
O
x
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y
铃
平面方程： 前面讨论了几个平面的方程，它们都是一次方程，
可以证明空间内任意一个平面的方程为三元一次方程 AxByCzD=0，
二、空间两点间的距离
设M1(x1, y1, z1)、M2(x2, y2, z2)为空间两点，则两点间 的距离为
d =| M1M2| = (x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 (z2 z1 ) 2 。 例2 在 z 轴上求与两点 A(4, 1, 7)和 B(3, 5, 2)等距 离的点。 解：设所求的点为M(0, 0, z)，则有|MA| 2=|MB| 2，
(x 1) 2 ( y 1) 2 z 2 = (x 2) 2 y 2 (z 2) 2 。
化简后可得点M的轨迹方程为 xy2z3=0。
动点M的轨迹是线段M1M2的垂直平分面，因此上面 所求的方程是该平面的方程。
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铃
例4 求三个坐标平面的方程。 解：注意到xOy面上任一点的坐标必有z=0，而满足 z=0的点也必然在xOy面上，所以xOy面的方程为z=0。 同理，yOz面的方程为x=0；zOx面的方程为y=0。
大学微积分教材_第六章
定理1(微积分基本定理) 设函数 f ( x) 在[a, b]上连续,
构作积分上限函数
y y= f(x)
(x) x f(t)dt，x[a,b] a
G(x)
x
0a
x
第三节 微积分基本公式
用定义求定积分实际上是行不通的,下面介绍 计算定积分的新方法.
定理1(微积分基本定理) 设函数 f ( x) 在[a, b]上连续,
在 区 间 [a,b]上 至 少 存 在 一
个 点 ， 使 得 以 区 间 [ a ,b ] 为
底 边 ， 以 曲 线 yf(x )
为 曲 边 的 曲 边 梯 形 的 面 积
等 于 同 一 底 边 而 高 为 f()
b x的 一 个 矩 形 的 面 积 。
一般称 1
b
f(x)dx为连续函数f(x) 在[a,b]
（此性质可以推广到有限多个函数和的情况）
性质2
b
b
k(fx)dxk f(x)dx
(k为常数)
a
a
性质1,2合称线性性质.
b
c
b
性质3 af(x)d xaf(x)d xcf(x)d x
说明：不论a, b, c的相对位置如何, 上式总成立.
例如, abc,
c
b
c
af(x)d xaf(x)d xbf(x)d x
b
a
（ 2） 当 ba时 ，f(x)d xf(x)d x.
a
b
5. 定积分的几何意义：
f(x)0,
b
f (x)dx A
曲边梯形的面积
a
f(x)0, bf(x)dxA曲边梯形的面积的负值 a
大学微积分的教程 图文 图文
例6 证明方程
有且只有一个实根 .
证设
由连续函数的介值定理知, f (x) 在 (0, －1) 内至少有一个根 .
又因为
f (x) 在 (0, －1) 上单调递增 .
所以, f (x) 在 (0, －1) 内有且只有一个实根 .
二、曲线的凹凸性与拐点
问题: 如何研究曲线的弯曲方向 ?
B N
M A
函数曲线除了有上升和下降外, 还有 什么特点？
当 x < 0时, y?< 0, y 在 (－∞, 0) 上单调递减 ;
当 x > 0时, y?> 0, y 在 (0, +∞) 上单调递增 .
例1 求函数 f (x) = 2 x3－ 9 x2 + 12x－ 3 的增减性.
解 f ?(x) = 6 x2－18 x + 12
= 6 (x－1)( x － 2) 令 f ?(x) = 0 得: x1 = 1, x2 = 2 当 －∞ < x < 1时, f ?(x) > 0, 在 (－∞, 1) 上单调递增 ; 当 1 < x < 2时, f ?(x) < 0, 在 (1, 2) 上单调递减 ; 当 2 < x < +∞ 时, f ?(x) > 0, 在 (2, +∞) 上单调递增 .
拐点
上凹
下凹
定理 设函数 f (x) 在 [a, b] 上连续, 在 (a, b) 内二阶可导 .
(1) 如果
>
则曲线 y = f (x) 在 [a, b] 上是上凹的;
(2) 如果
<
则曲线 y = f (x) 在 [a, b] 上是下凹的;
微积分的基本解法
微积分的基本解法引言微积分是数学中的一门重要学科，用于研究变化与积累的关系。
它是现代科学和工程学的基石，对于解决许多实际问题具有重要意义。
本文将介绍微积分的基本解法。
一、导数的计算导数是微积分的重要概念，表示函数在某一点处的变化率。
计算导数的方法有以下几种：1.极限法：通过取极限的方式计算导数，简洁常用。
例如，对于函数f(x)=3x^2-2x+1，可使用极限法计算其导数为f'(x)=6x-2.1.极限法：通过取极限的方式计算导数，简洁常用。
例如，对于函数f(x)=3x^2-2x+1，可使用极限法计算其导数为f'(x)=6x-2.1.极限法：通过取极限的方式计算导数，简洁常用。
例如，对于函数f(x)=3x^2-2x+1，可使用极限法计算其导数为f'(x)=6x-2.2.基本函数的导数：基本函数的导数有固定的公式，例如多项式函数导数的计算公式为求每一项的导数，再相加。
其他常见函数的导数计算公式如指数函数、对数函数、三角函数等，通过记忆这些公式可以快速计算函数的导数。
2.基本函数的导数：基本函数的导数有固定的公式，例如多项式函数导数的计算公式为求每一项的导数，再相加。
其他常见函数的导数计算公式如指数函数、对数函数、三角函数等，通过记忆这些公式可以快速计算函数的导数。
2.基本函数的导数：基本函数的导数有固定的公式，例如多项式函数导数的计算公式为求每一项的导数，再相加。
其他常见函数的导数计算公式如指数函数、对数函数、三角函数等，通过记忆这些公式可以快速计算函数的导数。
3.隐函数求导：对于隐函数，可以通过求偏导数的方式计算导数。
例如，对于方程x^2 + y^2 = 1，可以通过对x和y分别求导得到dy/dx的表达式。
3.隐函数求导：对于隐函数，可以通过求偏导数的方式计算导数。
例如，对于方程x^2 + y^2 = 1，可以通过对x和y分别求导得到dy/dx的表达式。
3.隐函数求导：对于隐函数，可以通过求偏导数的方式计算导数。