第2章确知信号

0
1
2 (4n 2 1)
s (t )
2

n
4n
1
2
1
e j 2 nt
由于此波形为偶函数，故其频谱为实函数。
非周期信号的傅立叶变换
F ( )

f (t )e j t dt

1 f (t ) 2

F ( )e j t d
幅度频谱：F ( )
s(t )
n
Ce
n

j 2 nf 0t
V n j 2 nf0t sin c e T n T

Cn
欧拉公式e j cos j sin
【例2】试求图所示周期性方波的频谱。
V , s(t ) 0, s(t ) s(t T ), 0 t t T t

即能量信号可以分解为无数个频率为f ，复振幅为 S ( f )df 的 指数信号 e j 2 ft 的线性组合。
S(f)和Cn的主要区别：
S(f)是连续谱，Cn是离散谱； S(f)的单位是V/Hz，而Cn的单位是V。
注意：在针对能量信号讨论问题时，也常把频谱密度简
称为频谱。 实能量信号：负频谱和正频谱的模偶对称，相位奇对称 ，即复数共轭，因
将时域周期型号转换为频域的频谱信号
2.1 功率信号的频谱
设 s(t ) 是一个周期为T0 的周期功率信号。则可展开 成指数型傅里叶级数：
s (t )
n


Cn e j 2 nt /T0
0
即功率信号可以分解为谐波频率为 nf ，复振幅为 Cn 的指数信号 e j 2 nf t 的线性组合。其中，傅里叶级数的系数为： 1 T0 /2 Cn C (nf 0 ) s(t )e j 2 nf0t dt (2.1-1) T0 T0 /2
通 信 原 理 概 论
第二章 确知信号
主讲教师：李士林
中北大学朔州电力学院
本章要点
1.1 1.2 确知信号与非确知信号 确知信号的频域性质
1.3
1.4
确知信号的时域性质
考研真题讲解
1.确知信号与非确知信号
可以用明确数学关系式描述的信号称为确知信号。不能用数
学关系式描述的信号称为非确知信号。
信号 确定性信号 周期信号 简单周期信号 复杂周期信号 非周期信号 非确定性信号 平稳随机信号 非平稳随机信号 准周期信号 瞬态信号
一般持续时间无限的信号都属于功率信号。
以上分析表明，信号分成两类：

1.能量信号：能量等于一个有限正值，但平 均功率为0。

2.功率信号：平均功率是一个有限值，但能 量为无限大。

注意：能量信号和功率信号的分类对于确知 信号和非确知信号都适用。
at 例：信号 x(t ) e , t 0 ，其中a > 0；说明此信号为能量
a sin(2t ) b sin(5t )
2
如果包含有n个不同频率余弦分量的角频 率w1:w2:…:wn=m1:m2::…:mn,其中mi是正整数，则 该复合信号是一个周期为 T mi 2π
wi
如果复合信号中某分量频率为无理数，则该信号是非 周期信号 例如 sin(t ) sin( 2t) 的信号，就是个非周期信号
能量信号和功率信号
用s(t)代表时间t时刻的电流或电压，则s2(t)代表瞬时功 率，信号能量为：
如果信号能量的值有限，则信号s(t)为能量信号。
其特征：信号的振幅和持续时间均有限，非周期性。例如，单个矩形脉冲。
在所分析的区间，能量为有限值的信号称为能量信号，满足 条件：



s (t )dt

-T
s(t)
V 0
T
由式(2.1-1)：
1 Cn T 1 T
t

/2
/2
Ve j 2 nf0t dt
/2
V j 2 nf 0t e j 2 nf 0 / 2
V e j 2 nf0 / 2 e j 2 nf0 / 2 T j 2 nf 0 V V n sin nf 0 sin c nf 0T T T
2
一般持续时间有限的瞬态信号是能量信号。
在所分析的区间（-∞，∞），能量不是有限 值。此时，研究信号的平均功率更为合适。
若信号的平均功率是一个正的有限值，即
1 T2 2 0 P lim s (t )dt T T T 2
则称此信号为功率信号。 其特征是：信号的持续时间无限。 例如：直流信号、周期信号和随机信号。
指数形式：
f (t )
n n
Ce
n
j n t
2 / T 是角频率
j 2 n t 1 T /2 T cn f (t )e T / 2 T an bn , n0 2 a0 cn , n0 2 an jbn , n0 2

nT0 / 2
nT0 / 2
| x(t ) |2 dt
n lim n nT 0
T0 / 2 1 2 | x ( t ) | dt lim | x ( t ) | dt T0 / 2 T / 2 n 0 T0
周期信号功率等于该信号一个周期内的平均功率
2、确知信号的频域特性
相位频谱： ( )
F () F () e
j ( )
2.2 能量信号的频谱密度
频谱密度的定义： 能量信号s(t) 的傅里叶变换：
S ( f ) s(t )e j 2 ft dt

Fra Baidu bibliotek
S(f)的逆傅里叶变换为原信号：
s(t ) S ( f )e j 2 ft df

因为此信号不是偶函数，其频谱Cn是复函数。
【例3】试求图中周期波形的频谱。
s(t ) sin( t ) s(t ) f (t 1)
1
0 t 1 t
s(t)
t
由式(2.1-1)：
Cn 1 T

T /2
T / 2
s (t )e j 2 nf0t dt sin( t )e j 2 nt dt
由以上得知x(t)的能量和平均功率皆为，因此此信号既非
能量信号也非功率信号。
注意：此例题表明某些信号既不是能量信 号，也不是功率信号。
周期信号是功率信号？
对任意周期为T0的周期信号，其能量为：
E lim
T n
T /2
T / 2
| x(t ) | dt lim
2 n
0 ,
else
信号或功率信号。
解析：计算x(t)的总能量
E

x(t ) dt
2

0
1 2 at e 2 at dt e 2a


0
1 2a
因为x(t)的能量有限，此信号为能量信号。
t, 例：信号 x(t )
0 ,
t 0 ；说明此信号类型。 else
0
n ；傅里叶系数 Cn 反 f0 1 T0 n为整数， 式中， 映了信号中各次谐波的幅度值和相位值，因此称 Cn 为信 号的频谱。
【例1】试求图所示周期性方波的频谱。
V , s(t ) 0, s(t ) s(t T ), / 2 t / 2 / 2 t (T / 2) t
nT0 / 2
nT0 / 2
| x(t ) |2 dt
lim n
1 P lim T T
T0 / 2
T0 / 2
| x (t ) |2 dt
因此，周期信号不是能量型信号，其功率为
1 | x ( t ) | dt lim T / 2 n nT 0
T /2 2 T0 / 2 2



s(t )e
j 2 ft
dt s(t )e j 2 ft dt ,


S ( f ) S ( f )

【例4】试求一个矩形脉冲的频谱密度。
设
1 g a (t ) 0
/2
t / 2 t / 2
－单位门函数
它的傅里叶变换为
Ga ( f )
/2
e j 2 ft dt
1 (e j f e j f ) j 2 f
sin( f ) sin c( f ) f
1
0
t (b) Ga(f)
图2-5 单位门函数
矩形脉冲的带宽等于其脉冲持续时间的倒数，在这里它等于(1/) Hz。
3. 非确知信号：不能用数学式描述，其幅值、相位变 化不可预知，所描述物理现象是一种随机过程。
噪声信号(平稳)
噪声信号(非平稳)
能量信号和功率信号 在通信理论中，把功率定义为在单位 电阻上(1Ω)消耗的功率（归一化功率）。
P = V 2 / R = I 2 R = V 2 = I 2 ( w)
这样，电流的平方和电压的平方都等于功率。
-T
s(t)
V 0
T
t
由式(2.1-1) ：

1 1 V j 2 nf 0t j 2 nf 0t Cn Ve dt e 0 T T j 2 nf 0 0 V 1 e j 2 nf0 V 1 e j 2 n /T T j 2 nf 0 j 2 n
函数的性质1： 函数可以用抽样函数的极限表示：
(t ) lim
k
k

sin c( kt )
因为，可以证明 sin c(kt )dt 1

k
式中k越大、振幅越大、波形零点的间隔越小、波形 振荡的衰减越快，但积分等于1。
（见左图）
t
和下式比较：



(t )dt 1
1.周期信号：经过一定时间可以重复出现的信号
简单周期信号 复杂周期信号
2. 非周期信号：再不会重复出现的信号
准周期信号:由多个周期信号合成，但各信号频率 不成公倍数
瞬态信号:持续时间有限的信号
试判断下列信号是周期信号还是非周期信号
a sin(t ) b sin(3t ) a sin(4t ) b cos(7t ) a sin(4t ) b cos(πt )
a sin(2t ) b sin(5t )
2
a 2 sin 2 (2t ) b 2 sin 2 (5t ) 2ab sin(2t ) sin(5t ) a2 b2 1 cos(4t ) 1 cos(10t ) ab cos(3t ) cos(7t ) 2 2
【例5】试求单位冲激函数(函数)的频谱密度。
函数的定义：



(t )dt 1
t0
(t ) 0
函数的频谱密度：
( f ) (t )e
j 2 ft
dt 1 (t )dt 1


函数的物理意义： 一个高度为无穷大、宽度为无穷小、面积为1的脉冲。
确知信号在频域中的性质，即频率特性，由其各个频率 分量的分布表示。
它是信号最重要的性质之一，和信号的占用频带宽度和
信号的抗噪声能力有密切的关系。 信号的频率特性有4种：
1.功率信号的频谱
2.能量信号的频谱密度 3.能量信号的能量谱密度 4.功率信号的功率谱密度
周期函数的傅立叶级数
三角函数形式：
a0 n f (t ) ( an cos nt bn sin nt ) 2 n 1 2 T /2 2 n an f (t ) cos( t ) dt , n 0,1, 2,... T T / 2 T 2 T /2 2 n bn f (t ) sin( t ) dt , n 1, 2, 3,... T T / 2 T

解析：计算x(t)的总能量 E 计算x(t)的平均功率
x(t ) dt t 2 dt
2 0

t 3
3

0
1 T /2 2 1 (T / 2)3 T2 P lim t dt lim lim 0 T T T T T 24 3