圆锥曲线的相关公式

圆锥曲线的相关公式

注：平面内到定点F(1,1)和到定直线l：x+2y=3距离相等的点的轨迹是？过定点F垂直直线l的一条直线

当A为短轴端点时，角最大，面积也最大，为bc,椭圆中焦点三角形的周长为2（a+c）

计算a，b，c相关值时，要对应标准方程，所以记得化为标准方程的形式

附录：定理1(椭圆中点弦的斜率公式)：

y

x

M

F1F2

O

A

B

设00(,)M x y 为椭圆22221x y a b +=弦AB （AB 不平行y 轴）的中点，则有：2

2AB OM b k k a

⋅=-

证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有1212

AB

y y k x x -=-，22

1122

22

2222

11x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相减得：22221212220x x y y a b --+=整理得：22

21222

212y y b x x a -=--，即2

121221212()()()()y y y y b x x x x a

+-=-+-，因为00(,)M x y 是弦AB 的中点，所以0012

0012

22OM

y x y y k x y x x +===

+，所以22AB OM b k k a ⋅=-

定理2(双曲线中点弦的斜率公式)：

设00(,)M x y 为双曲线22221x y a b -=弦AB （AB 不平行y 轴）的中点，则有2

2AB OM b k k a

⋅=

证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有1212

AB

y y k x x -=-，22

1122

22

2222

11x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 两式相减得：22221212220x x y y a b ---=整理得：22

2

1222

212y y b x x a -=-，即2121221212()()()()y y y y b x x x x a

+-=+-，因为00(,)M x y 是弦AB 的中点，所以0012

0012

22OM

y x y y k x y x x +===

+，所以22AB OM b k k a ⋅= 定理3（抛物线中点弦斜率公式）

在抛物线)0(22

≠=m mx y 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m y k MN =⋅0.（斜率存在并有两个交点）

证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有⎪⎩⎪⎨⎧==)

2(.2)

1(,222212

1 m x y m x y

)2()1(-，得).(2212

221x x m y y -=-

.2)(121

21

2m y y x x y y =+⋅--∴

又0121

21

22,y y y x x y y k MN =+--=

.

m y k MN =⋅∴0.

注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在.

同理可证，在抛物线)0(22≠=m my x 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则

m x k MN

=⋅01.

注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在，且不等于零.