保持函数凸性的几种变换
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［9］甘志国.初等数学研究.哈尔滨[M].哈尔滨工业大学出版社.2008
推论 l若 ,则 . (第39届国际数学奥林匹克竞赛预选题)
证明在定理1中取 即得.
推论 2若 ,则 . (2000年俄罗斯数学奥林匹克试题)
证明定理 1中取 , 即得.(2000年俄罗斯数学奥林匹克试题)
推论 3若 ,
则 (温州大学学报.自然科学版(2010)第31卷第3期)
证明 在定理1中取 即得
变量代换就是用新的变量替换原来的变量,它是一种重要的数学思想方法,中学数学中的许多问题可通过变量代换使之化繁就简,化难为易.在初中阶段有意识地将变量代换思想渗透到数学教学中,对于提高学生的解题能力,很有帮助.
1.1
例1解方程组
若按常规解法,先转化为整式方程,但转化后的整式方程组是二元二次方程组,这对于初一学生来说,还无法求解,因而可引入辅助变量解此方程组.
1.2
根据无理方程特征,引入新的变量,有时便可使解题十分简单.
例3解方程
解两根式内有两项相同,
可设 , ,
即
解之得
（或 ）
解得
经检验均是原方程的根.
无理方程类型较多,只要善于分析方程中各种情况,适当引入变量,往往能找到解题的捷径.
1.3
对于项数较多的多项式进行因式分解时,利用变量代换常常可以化成二次三项式型再分解.
变量代换法本身并不复杂,但是它的应用时广泛而多变的.变量代换法在高等数学中不仅是一种重要的解题技巧,也是一种重要的数学思维方法,掌握这种方法以便学生在学习高等数学时能充分掌握并且能够熟练、灵活地运用“变量代换法”,从而提高学生的解题能力.
在泛函分析和应用数学及其相关领域中,对函数的凸性的研究一直是一个倍受关注和吸引人的重要领域.数学分析中对函数凸性的刻画还需进一步的细化.本文利用算术平均数与几何平均数的不同组合方式引申出几何平均凸函数对数凸函数与几何凸函数等概念,通过变量代换的途径直接从通常的凸函数的性质中获得这些引申出来的函数的性质,建立了若干新的不等式,使得某些不等式证明问题作为其特例得以解决,从而避免了构造函数这个难题.当然变量代换和函数凸性的推广还有很多内容值得我们做进一步的探讨与研究.
［1］龚成通.李红英.王刚.高等数学例题与习题[M].
［2］匡继昌.常用不等式[M].济南.山东科学技术出版社.2004:348-356
［3］夏红卫.凸函数与不等式[J].常州工学院学报.2005(2):4-6
［4］岳嵘.几何平均凸(凹)函数及其性质[J].高等数学研究.2009(3):18-19
解设
则原方程组化为
这是Biblioteka Baidu个二元一次方程组,易求得
由 ,得 ,即
,得 ,即
经检验原方程组的解是
例2解方程
分析若去分母,将得一个关于 的四次方程,不易求解,仔细观察,
方程中 与 互为倒数,
因此可设 ,
原方程化为
解之,得 ,
即 , （此方程无解,应舍去）
解之 ,
经检验, ,是原方程的根.
以上通过变量代换,把分式方程转化为整式方程,或更简单的分式方程,便于求解.
综上所述,本文利用算术平均数与几何平均数的不同组合方式引申出几何平均凸函数对数凸函数与几何凸函数等概念,通过变量代换的途径直接从通常的凸函数的性质中获得这些引申出来的函数的性质,建立了若干新的不等式,使得某些不等式证明问题(以一些国际数学奥林匹克竞赛题与大学学报内容为例)作为其特例得以解决,从而避免了构造函数这个难题.
关键词：变量代换；函数凸性；几何平均凸函数；对数凸函数；几何凸函数
以高等数学知识为背景的“高观点题”在近几年高考或竞赛中层出不穷,它们以新符号、新概念的形式出现,或以高等数学中的定理为依托.这些题目从不同的角度抓住了初、高等数学的衔接点,立意新、背景深,深受命题老师的喜爱.而作为高中数学主体内容之一的函数更是受到命题老师的青睐.以函数的凸性为背景的试题更是一大热点,虽然这一内容在高中教材中没有明确指出,但是通过第二课堂借助此内容启发学生对知识进行纵向探究及横向发散都是大有裨益的.
定义11)设 是定义在区间 上的函数.若 ,总有 ,则称 为 上的凸函数（不等号反向称其为凹函数） ;
2）设 是定义在区间 上的函数.若 ,总有 ,
则称 为 的几何平均凸函数（不等号反向称其为几何平均凹函数） ;
3)设 是定义在区间 上的正值函数.若 ,总有 ,
则称 为 上的对数凸函数 (不等号反向称其为对数凹函数) ;
方法一作为齐次方程,
令 ,
即 ,
则有
代入原方程得 ,
即
分离变量, 时积分得 ,
以 代回,
得 ,
另有特解 未包含于通解中.
方法二作为伯努利方程,
令 ,
原方程可化为线性方程 ,
化成恰当方程 ,
积分得
以 代回
得 ,
另有一个特解
综上所述,运用变量代换法可以将复杂的问题化成我们熟悉的简单问题,事实上,很多数学问题都可以用变量代换方法解决,如多元函数微分,幂级数展开等.而同一个问题的解法可能有多种,我们在解决问题时要选择最恰当的方法.这需要我们在平时的学习过程中不断总结,不断提高.
例4分解因式
解设
原式化解为
再代回原式
原式
本例也可设
则原式化为 再化解即可将此因式分解.
例5计算
解设 ,
原式
变量代换法也称换元法,就是指某些变量的解析表达式用另一些新的变量来代换,而使原有的问题转化为较简单的、易解决的问题的方法.在数学学习的过程中,恰当的应用变量代换的方法,可以化简为易,化简计算.常见代换方法有:比值代换、均值代换、倒代换、算式代换、整体代换、方程代换、三角代换、常数代换等等.本文主要总结了变量代换法在求解函数表达式、极限、积分和微分方程中的应用.
保持函数凸性的几种变换
及变量代换在数学中的应用
摘要
变量代换是一种常见而有效的解题方法,在解决一些数学问题方面发挥了重要的作用.本文主要总结了变量代换法在初等数学和高等数学中的应用.凸性是函数的一种重要性质,在不等式证明中有广泛的应用.现在许多人致力于函数凸性概念的推广.这些广义的凸函数在一定程度上保留了凸函数的某些性质.本文当中介绍了几类广义凸函数,例如几何平均凸函数,对数凸函数,几何凸函数等.通过变量代换的方法证明了这些函数的性质,并由此建立了若干新的不等式,使某些不等式证明问题作为特例得以解决,这样做使我们避免了在证明过程中构造函数这一难题.
3.2
定理 1
1) 若 ,且 ,
则 ;
2) 若 ,且 ,
则 ;
3) 若 ,且 ,
则 ;
4) 若 ,且 ,
则 .
进一步,当且仅当所有自变量取值相等时等号成立.
证明设 ,
则 ,
由凸函数的Jensen不等式及函数的单调性可知,l)成立,且2)与3) 的第一个不等式也成立;
又设 ,
则 ,
则由几何平均凸函数的Jensen不等式 及函数的单调性可知,2)与3)的第二个不等式及4)成立.
例1设对任一非零实数 总有 ,求 .
分析解这种问题时,需找出这样的换元:在将 便成为 的同时将 变成 ,这样的换元显然就是 .
解令 ,
则有
即 ,
与原方程联立,解得 ,
即 .
2.2
求解函数极限的方法很多,而最常用的方法就是罗比达法则,它主要用于求解 和 型未定式,还有延伸的类型 , 以及一些幂指数形式的极限.但并不是所有这样的类型都可以或者可以直接运用此法则.对于一些特殊的情况,可以通过变量代换将其转化成可以运用罗比达法则求解的形式.常见的有两种.
则 ,
>0
若令 ,
同理可得 >0,
若令 ,
则 ,
< 0.
对 用几何凸函数的Jensen不等式可得2)
推论6若 >0, >0 ,
则 .（美国普特普特南数学竞赛题）
证明原不等式两边同除以 ,在定理3的1)中,令第一个不等式的 , 即得.
推论7若 ,且 （正常数）,
则 .
进一步,当且仅当 时等号成立.
证明令 ,则 ,在定理3的2）中,令 ,再两边开方即得.
2.1
当已知与函数有关的等式求函数本身时,可通过变量代换来求解.这里仅以三种情况作说明.
2.1.1已知 求 .
分析令 后可直接求出 ,代入原式进一步求解即可.
2.1.2 已知 ,求 .
分析令 ,
并不能直接求出 ,这时需要观察等式右边的特点,看能否化为 的函数,
如
.
2.1.3 当问题比较复杂出现多个变量时,要根据情况选择恰当的变量代换.
3.3
定理2若 >0 ,且 ,则 .进一步,等号成立当且仅当 .
证明令 ,
则 , ,
由对数凸函数的Jensen不等式可得 ,
两边 次方即得 .
推论4若 均大于1,且 ,则 ,
等号成立当且仅当 .
证明令 ,
则 < <1 ,且 ,
代入重新整理可得,原不等式等价于 .
再由 ,
只须证 ,此即定理2.
推论 5若 < < ,则 < <
4)设 是定义在区间 上的正值函数.若 ,总有 ,
则称 为 上的几何凸函数 (不等号反向称其为几何凹函数) .
引理 11) 设 是定义在区间 上的函数. 是 上的几何平均凸函数,当且仅当 是某区间 上的凸函数;
2) 设 是定义在区间 上的函数. 是 上的对数凸函数,当且仅当 是 上的凸函数;
3) 设 是定义在区间 上的正值函数.若 是 上的几何凸函数,当且仅当 是某区间 上的凸函数.
凸函数是一类性质独特的函数.凸函数的性质在不等式证明中有广泛应用,本文在凸函数的前提下,进一步研究了对数凸函数,并给出了它在不等式研究中的应用;给出了几何凸函数的一些性质,建立了关于几何凸函数的琴生型不等式,并给出了其在证明较难不等式中的简便应用,从而克服了构造函数这一难题.
3.1
为应用方便,首先介绍相关概念.
证明不难用平均值不等式推证左边的不等式,这里仅证明右边的不等式.
易见原不等式(右边)等价于 > ,
在定理2中取 , 即得.
3.4
定理3
1) 若 >0 ( =1,2, ), 为非零常数,
则 , ;
2) 若 >0( =1,2, ), 为非零实数,则
进一步,当且仅当所有自变量取相同值时等号成立.
证明令 ,
2.3
变量代换法在这部分的应用称为换元法,主要分为第一换元法（凑微分法）和第二换元法.求不定积分和定积分的换元法基本相同,不同的是求定积分时,换元换限.常用的方法是倒代换,指数代换.
2.3.1 倒代换
积分表达式分母中两个自变量的幂之差大于1时,可以运用倒代换.
例4求不定积分
解令 ,
则
2.3.2指数代换
例5求不定积分
解令
则 ,
代入得
2.4
微分方程是一类重要的数学模型,其中一阶微分方程是最简单的也是最重要的,因此我们要掌握其求解方法.有的一阶方程（如齐次方程、伯努利方程）不能直接求解,通过变量代换便可转化成可分离变量方程或者一阶线性方程,下面举例说明.
例6求微分方程 的通解.
分析本题既是一阶齐次方程,又是伯努利方程,两种解法都要换元.
例2求极限
分析这是 型未定式,但直接运用罗比达法则求解后幂函数次数越来越高,所以必须找一个新的变量将幂次降低,于是可以令 .
解令
则
本题是运用变量代换将 型未定式转化成 型,然后通过多次运用罗比达法则,从而求得极限.
例3求极限
分析这是 型未定式,解题思路是先将 转化为 .
解令 ,
则
像例3这样的问题很多,都可以用同样的方法求解.
［5］吴善和.对数凸函数与琴生型不等式[J].高等数学研究.2004(5):61-64
［6］吴善和.几何凸函数与琴生不等式[J].高等数学研究.2004(2):155-163
［7］李世杰.几何凸函数的若干性质[J].湖北中学数学.1999(5):28-30
［8］裴礼文.数学分析中的典型问题和方法[M].高等教育出版社.1988
在学习数学的过程中,我们常常觉得一些公式、等式的变化很难理解,在解题时,对于一些形式繁杂、怪异的数学表达式往往感到很难下手,于是思想上对数学产生畏惧、厌倦情绪,要消除这些障碍,除了需要掌握好相应的数学知识外,我们还需要掌握必要的数学思维方法或解题方法,变量代换法是众多数学方法中易于掌握而行之效的方法.
推论 l若 ,则 . (第39届国际数学奥林匹克竞赛预选题)
证明在定理1中取 即得.
推论 2若 ,则 . (2000年俄罗斯数学奥林匹克试题)
证明定理 1中取 , 即得.(2000年俄罗斯数学奥林匹克试题)
推论 3若 ,
则 (温州大学学报.自然科学版(2010)第31卷第3期)
证明 在定理1中取 即得
变量代换就是用新的变量替换原来的变量,它是一种重要的数学思想方法,中学数学中的许多问题可通过变量代换使之化繁就简,化难为易.在初中阶段有意识地将变量代换思想渗透到数学教学中,对于提高学生的解题能力,很有帮助.
1.1
例1解方程组
若按常规解法,先转化为整式方程,但转化后的整式方程组是二元二次方程组,这对于初一学生来说,还无法求解,因而可引入辅助变量解此方程组.
1.2
根据无理方程特征,引入新的变量,有时便可使解题十分简单.
例3解方程
解两根式内有两项相同,
可设 , ,
即
解之得
（或 ）
解得
经检验均是原方程的根.
无理方程类型较多,只要善于分析方程中各种情况,适当引入变量,往往能找到解题的捷径.
1.3
对于项数较多的多项式进行因式分解时,利用变量代换常常可以化成二次三项式型再分解.
变量代换法本身并不复杂,但是它的应用时广泛而多变的.变量代换法在高等数学中不仅是一种重要的解题技巧,也是一种重要的数学思维方法,掌握这种方法以便学生在学习高等数学时能充分掌握并且能够熟练、灵活地运用“变量代换法”,从而提高学生的解题能力.
在泛函分析和应用数学及其相关领域中,对函数的凸性的研究一直是一个倍受关注和吸引人的重要领域.数学分析中对函数凸性的刻画还需进一步的细化.本文利用算术平均数与几何平均数的不同组合方式引申出几何平均凸函数对数凸函数与几何凸函数等概念,通过变量代换的途径直接从通常的凸函数的性质中获得这些引申出来的函数的性质,建立了若干新的不等式,使得某些不等式证明问题作为其特例得以解决,从而避免了构造函数这个难题.当然变量代换和函数凸性的推广还有很多内容值得我们做进一步的探讨与研究.
［1］龚成通.李红英.王刚.高等数学例题与习题[M].
［2］匡继昌.常用不等式[M].济南.山东科学技术出版社.2004:348-356
［3］夏红卫.凸函数与不等式[J].常州工学院学报.2005(2):4-6
［4］岳嵘.几何平均凸(凹)函数及其性质[J].高等数学研究.2009(3):18-19
解设
则原方程组化为
这是Biblioteka Baidu个二元一次方程组,易求得
由 ,得 ,即
,得 ,即
经检验原方程组的解是
例2解方程
分析若去分母,将得一个关于 的四次方程,不易求解,仔细观察,
方程中 与 互为倒数,
因此可设 ,
原方程化为
解之,得 ,
即 , （此方程无解,应舍去）
解之 ,
经检验, ,是原方程的根.
以上通过变量代换,把分式方程转化为整式方程,或更简单的分式方程,便于求解.
综上所述,本文利用算术平均数与几何平均数的不同组合方式引申出几何平均凸函数对数凸函数与几何凸函数等概念,通过变量代换的途径直接从通常的凸函数的性质中获得这些引申出来的函数的性质,建立了若干新的不等式,使得某些不等式证明问题(以一些国际数学奥林匹克竞赛题与大学学报内容为例)作为其特例得以解决,从而避免了构造函数这个难题.
关键词：变量代换；函数凸性；几何平均凸函数；对数凸函数；几何凸函数
以高等数学知识为背景的“高观点题”在近几年高考或竞赛中层出不穷,它们以新符号、新概念的形式出现,或以高等数学中的定理为依托.这些题目从不同的角度抓住了初、高等数学的衔接点,立意新、背景深,深受命题老师的喜爱.而作为高中数学主体内容之一的函数更是受到命题老师的青睐.以函数的凸性为背景的试题更是一大热点,虽然这一内容在高中教材中没有明确指出,但是通过第二课堂借助此内容启发学生对知识进行纵向探究及横向发散都是大有裨益的.
定义11)设 是定义在区间 上的函数.若 ,总有 ,则称 为 上的凸函数（不等号反向称其为凹函数） ;
2）设 是定义在区间 上的函数.若 ,总有 ,
则称 为 的几何平均凸函数（不等号反向称其为几何平均凹函数） ;
3)设 是定义在区间 上的正值函数.若 ,总有 ,
则称 为 上的对数凸函数 (不等号反向称其为对数凹函数) ;
方法一作为齐次方程,
令 ,
即 ,
则有
代入原方程得 ,
即
分离变量, 时积分得 ,
以 代回,
得 ,
另有特解 未包含于通解中.
方法二作为伯努利方程,
令 ,
原方程可化为线性方程 ,
化成恰当方程 ,
积分得
以 代回
得 ,
另有一个特解
综上所述,运用变量代换法可以将复杂的问题化成我们熟悉的简单问题,事实上,很多数学问题都可以用变量代换方法解决,如多元函数微分,幂级数展开等.而同一个问题的解法可能有多种,我们在解决问题时要选择最恰当的方法.这需要我们在平时的学习过程中不断总结,不断提高.
例4分解因式
解设
原式化解为
再代回原式
原式
本例也可设
则原式化为 再化解即可将此因式分解.
例5计算
解设 ,
原式
变量代换法也称换元法,就是指某些变量的解析表达式用另一些新的变量来代换,而使原有的问题转化为较简单的、易解决的问题的方法.在数学学习的过程中,恰当的应用变量代换的方法,可以化简为易,化简计算.常见代换方法有:比值代换、均值代换、倒代换、算式代换、整体代换、方程代换、三角代换、常数代换等等.本文主要总结了变量代换法在求解函数表达式、极限、积分和微分方程中的应用.
保持函数凸性的几种变换
及变量代换在数学中的应用
摘要
变量代换是一种常见而有效的解题方法,在解决一些数学问题方面发挥了重要的作用.本文主要总结了变量代换法在初等数学和高等数学中的应用.凸性是函数的一种重要性质,在不等式证明中有广泛的应用.现在许多人致力于函数凸性概念的推广.这些广义的凸函数在一定程度上保留了凸函数的某些性质.本文当中介绍了几类广义凸函数,例如几何平均凸函数,对数凸函数,几何凸函数等.通过变量代换的方法证明了这些函数的性质,并由此建立了若干新的不等式,使某些不等式证明问题作为特例得以解决,这样做使我们避免了在证明过程中构造函数这一难题.
3.2
定理 1
1) 若 ,且 ,
则 ;
2) 若 ,且 ,
则 ;
3) 若 ,且 ,
则 ;
4) 若 ,且 ,
则 .
进一步,当且仅当所有自变量取值相等时等号成立.
证明设 ,
则 ,
由凸函数的Jensen不等式及函数的单调性可知,l)成立,且2)与3) 的第一个不等式也成立;
又设 ,
则 ,
则由几何平均凸函数的Jensen不等式 及函数的单调性可知,2)与3)的第二个不等式及4)成立.
例1设对任一非零实数 总有 ,求 .
分析解这种问题时,需找出这样的换元:在将 便成为 的同时将 变成 ,这样的换元显然就是 .
解令 ,
则有
即 ,
与原方程联立,解得 ,
即 .
2.2
求解函数极限的方法很多,而最常用的方法就是罗比达法则,它主要用于求解 和 型未定式,还有延伸的类型 , 以及一些幂指数形式的极限.但并不是所有这样的类型都可以或者可以直接运用此法则.对于一些特殊的情况,可以通过变量代换将其转化成可以运用罗比达法则求解的形式.常见的有两种.
则 ,
>0
若令 ,
同理可得 >0,
若令 ,
则 ,
< 0.
对 用几何凸函数的Jensen不等式可得2)
推论6若 >0, >0 ,
则 .（美国普特普特南数学竞赛题）
证明原不等式两边同除以 ,在定理3的1)中,令第一个不等式的 , 即得.
推论7若 ,且 （正常数）,
则 .
进一步,当且仅当 时等号成立.
证明令 ,则 ,在定理3的2）中,令 ,再两边开方即得.
2.1
当已知与函数有关的等式求函数本身时,可通过变量代换来求解.这里仅以三种情况作说明.
2.1.1已知 求 .
分析令 后可直接求出 ,代入原式进一步求解即可.
2.1.2 已知 ,求 .
分析令 ,
并不能直接求出 ,这时需要观察等式右边的特点,看能否化为 的函数,
如
.
2.1.3 当问题比较复杂出现多个变量时,要根据情况选择恰当的变量代换.
3.3
定理2若 >0 ,且 ,则 .进一步,等号成立当且仅当 .
证明令 ,
则 , ,
由对数凸函数的Jensen不等式可得 ,
两边 次方即得 .
推论4若 均大于1,且 ,则 ,
等号成立当且仅当 .
证明令 ,
则 < <1 ,且 ,
代入重新整理可得,原不等式等价于 .
再由 ,
只须证 ,此即定理2.
推论 5若 < < ,则 < <
4)设 是定义在区间 上的正值函数.若 ,总有 ,
则称 为 上的几何凸函数 (不等号反向称其为几何凹函数) .
引理 11) 设 是定义在区间 上的函数. 是 上的几何平均凸函数,当且仅当 是某区间 上的凸函数;
2) 设 是定义在区间 上的函数. 是 上的对数凸函数,当且仅当 是 上的凸函数;
3) 设 是定义在区间 上的正值函数.若 是 上的几何凸函数,当且仅当 是某区间 上的凸函数.
凸函数是一类性质独特的函数.凸函数的性质在不等式证明中有广泛应用,本文在凸函数的前提下,进一步研究了对数凸函数,并给出了它在不等式研究中的应用;给出了几何凸函数的一些性质,建立了关于几何凸函数的琴生型不等式,并给出了其在证明较难不等式中的简便应用,从而克服了构造函数这一难题.
3.1
为应用方便,首先介绍相关概念.
证明不难用平均值不等式推证左边的不等式,这里仅证明右边的不等式.
易见原不等式(右边)等价于 > ,
在定理2中取 , 即得.
3.4
定理3
1) 若 >0 ( =1,2, ), 为非零常数,
则 , ;
2) 若 >0( =1,2, ), 为非零实数,则
进一步,当且仅当所有自变量取相同值时等号成立.
证明令 ,
2.3
变量代换法在这部分的应用称为换元法,主要分为第一换元法（凑微分法）和第二换元法.求不定积分和定积分的换元法基本相同,不同的是求定积分时,换元换限.常用的方法是倒代换,指数代换.
2.3.1 倒代换
积分表达式分母中两个自变量的幂之差大于1时,可以运用倒代换.
例4求不定积分
解令 ,
则
2.3.2指数代换
例5求不定积分
解令
则 ,
代入得
2.4
微分方程是一类重要的数学模型,其中一阶微分方程是最简单的也是最重要的,因此我们要掌握其求解方法.有的一阶方程（如齐次方程、伯努利方程）不能直接求解,通过变量代换便可转化成可分离变量方程或者一阶线性方程,下面举例说明.
例6求微分方程 的通解.
分析本题既是一阶齐次方程,又是伯努利方程,两种解法都要换元.
例2求极限
分析这是 型未定式,但直接运用罗比达法则求解后幂函数次数越来越高,所以必须找一个新的变量将幂次降低,于是可以令 .
解令
则
本题是运用变量代换将 型未定式转化成 型,然后通过多次运用罗比达法则,从而求得极限.
例3求极限
分析这是 型未定式,解题思路是先将 转化为 .
解令 ,
则
像例3这样的问题很多,都可以用同样的方法求解.
［5］吴善和.对数凸函数与琴生型不等式[J].高等数学研究.2004(5):61-64
［6］吴善和.几何凸函数与琴生不等式[J].高等数学研究.2004(2):155-163
［7］李世杰.几何凸函数的若干性质[J].湖北中学数学.1999(5):28-30
［8］裴礼文.数学分析中的典型问题和方法[M].高等教育出版社.1988
在学习数学的过程中,我们常常觉得一些公式、等式的变化很难理解,在解题时,对于一些形式繁杂、怪异的数学表达式往往感到很难下手,于是思想上对数学产生畏惧、厌倦情绪,要消除这些障碍,除了需要掌握好相应的数学知识外,我们还需要掌握必要的数学思维方法或解题方法,变量代换法是众多数学方法中易于掌握而行之效的方法.