固体颗粒的群体沉降速度分析

固体颗粒的群体沉降速度分析

郑邦民1，夏军强2

(1.武汉大学河流系，湖北武汉430072; 2.清华大学水利系，北京100084)

摘要：从流体力学原理出发，数值模拟非均匀沙随机分布对流场的影响，推导出固体颗粒群体沉速的理论解。该公式不仅量纲和谐，浓度变化不超过极限浓度值，能反映含沙量与非均匀沙级配变化对群体沉速的影响，而且可避免其它公式量纲不和谐，计算中出现负值或降得过快的缺点。采用黄河实测资料对该公式进行了验证，计算结果与实测资料基本符合。

关键词：固体颗粒; 群体沉速; 干扰流核；极限浓度

1 引言

泥沙在静止的清水中等速下沉时的速度，称为泥沙的沉降速度。在多沙河流的浑水中，泥沙颗粒的沉降特性比清水中与低含沙水流中复杂。此时泥沙颗粒下沉相互干扰，部分颗粒或全部颗粒成群下沉，其下沉速度称为群体沉速［1,2］。群体颗粒沉降特性的研究具有十分重要的意义，它在多沙河流的河床演变分析和泥沙数学模型计算中广泛应用。单个颗粒的沉速与群体沉降可以相差10倍，故50年前有人说泥沙运动严格地讲只有一个半理论。为此应进一步分析颗粒群体沉降规律，使其在实际应用中不致有太大的误差。

本文在研究流体力学粘性流中圆球绕流规律的基础上，得出固体颗粒群体沉速的理论解，它可反映泥沙浓度与组成对群体沉速的影响。然后将该公式与现有的群体沉速公式进行比较，并用黄河实测资料进行验证。

2 理论前提

Navier_Stokes方程是流体力学的基本控制方程，它是求解流体力学诸多问题中普遍应用的方程。对不可压缩粘性流体，在有势外力作用下，可得Helmholtz 涡量方程

(1)

上式中为流速矢量：Δ为哈密顿算子(Hamilton Operator)；ν为流体的运动粘滞系数;t为时间。一般情况下，三维流函数为向量，它与流速

有如下关系

。而流速与涡量，亦呈旋度关系，

即。为了便于数值计算，它可写作一般曲线坐标系的张

量形式：

。其中

。式中ui为逆变分量，Δj 为协变导数，为协变基向量，

它不一定是正交基，也不一定为单位基。对正交曲线坐

标，则有

其中u k为单位正交(局部)基上的物理分量；H k为Lami系数或标量因子，它反映微元弧长dd i与坐标微元dξi之间的比，即ds i=H(i)dξi。

根据上述关系，我们可以将涡量方程写作一般曲线坐标形式或正交曲线坐标形式，以便于数值计算。它可以用来计算形体绕流等外部流动。对于二维流或在柱坐标、球坐标下的球对称，轴对称流动，式(2)可以简化。例如，在球坐标下有H1=1、H2=R、H3=Rsinθ，可得ds1=dR、ds2=dθ、

ds3=Rsinθdλ。上式中R、θ、λ为球坐标系下的三个坐标线。因轴对称时，且物理量只在R、θ方向上有变化，故有ψ3=ψ。同时可得R、θ坐标线上的速度分量

(3)

这对小雷诺数下的圆球绕流，上述沉降分析是合适的。恒定流情况有

惯性项均可忽略。对于外部绕流，流函数是无源场，则有

，因此可得。此时流函数与涡量的关系方程。如果是轴对称流动，则涡量只有3=Ω 为标量，流函数亦只有ψ3=ψ也为标量，而有

Ω+Δ2ψ=0(4)

即在小雷诺数时，对轴对称的圆球绕流，解Navier-Stokes方程，可变为解流函数ψ满足的重调和方程▽2▽2ψ＝0。

3 单个球形颗粒在粘性流中匀速沉降解

单个球形细颗粒在粘性流中匀速沉降的速度ω0，可从流体力学分析得到。单个球形颗粒在粘性流中绕流时，其Stokes流函数为ψ=1/4Vsin2θ（α3/R－3αR+2R2）。如将球坐标原点放在球心，利用(3)式，可得圆球绕流时R、θ坐标线上的流速分量分别为

(5-1)

(5-2)

通过对作用于球面上的压力积分，可求得圆球所受阻力为3πμdV，其中V为球与流体的相对速度，当球体均匀沉降时，有效重力(γs-γ)πd3/6与阻力相平衡。其中球体半径为α，直径为d。一个球体直径为d所占的距离为d+l，N个均匀颗粒占的距离当N(d+l)。一个球体体积为πd3/6，N个πd3/6，所占空间为

N3(d+l)3，体积比浓度

(6)

当l d时，则S v→0；当l→0，均匀沙排列均匀，得S v=0.5236。此为极限浓度S vm的下界，随机紧密填充可达S v=0.5612，如果为非均匀沙随机排列，该值还可

以再取高一些。如S vm≈0.65，但只要达到这种情况，流体将很难在颗粒间流动，因此，此下极限浓度值也是可用的，随着l/d的改变，浓度值变化如表1所示。

表1 浓度S v随l/d变化

Table 1 Concentration S v change with the variable l/d

l/d 100501075 2.710.50.30.2

4×10-4

0.0010.0240.010.06550.1550.23830.303

S v0.5×10-50.4×10-5

不论如何，只要我们随机地给出粒径大小d与它所在位置，我们可以求得其它函数ψ及阻力值。因为对于Stokes解，可以按奇异子线性叠加而得，可数值求解。而对于过渡区及紊流区，则非理论可解，而由实验决定。随着浓度Ｓv的增加，颗粒沉速有由过渡区趋向滞流区，紊流区趋向过渡区的趋势，因此重点放在理论分析滞流区沉降是合适的。

4 现有的群体沉速公式

目前，对单颗粒泥沙在静水中的沉降规律己基本掌握，但对群体颗粒的沉降规律还有待于深入研究。前人对颗粒群体沉速公式的研究，可大致划分为两类：一是粗颗粒均匀沙的沉速，二是含较多细颗粒的非均匀沙沉速[1]。

(1)Batchelor(1972)认为球体在低含沙水体中沉降时，颗粒间及颗粒与周围水体的相互影响，其沉速与其在无限清水中沉速的差异，是平均值不为0的随机变量[3]。他从统计理论出发，最后推导出低含沙量情况下群体沉速的理论公式 ωs/ω0=1－6.55S v(7)

上式中当S v≤0.05时，计算结果能与实验值基本符合；当S v较大则偏差大。