人教版高中数学-角的范围多大才合适.

角的范围多大才合适

同学们在学习三角知识时，往往对角的范围问题产生困惑，并且常常由于对角的范围限制不得当，从而致错．首先看下面这道例题．

题目：已知1sin cos 5

θθ+=，(0π)θ∈，，则tan θ的值是 ． 误：由1sin cos 5θθ+=，得12sin cos 25

θθ=-·， 即222sin cos tan 12sin cos sin cos tan 125

θθθθθθθθ===-++··， 解得3tan 4θ=-或43

-． sin cos 0θθ<·，(0π)θ∈，，sin 0θ∴>，cos 0θ<．

ππ2θ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭

，．3tan 4θ∴=-或43-． 析：本题致错的主要原因是没有进一步挖掘题目中的条件，对角θ的范围限制不当，从而产生了增根． 正：ππ2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭

，，且1sin cos 05θθ+=>， sin cos θθ∴>．π3,π24θ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭

．4tan 3θ∴=-． 由这道例题我们产生了疑问———角的范围多大才合适呢？如何确定角的范围呢？ １．根据三角函数的符号确定角的范围

各种三角函数在不同的象限内有确定的符号，根据三角函数的符号确定角的范围是经常遇见的类型．

例1 已知tan tan αβ，是方程240x ++=的两根，且ππ22αβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭

，，，则αβ+等于（ ） Ａ．π3

Ｂ．π3或2π3- Ｃ．π3-或2π3 Ｄ．2π3-

解：由根与系数的关系，得tan tan αβ+=-tan tan 4αβ=·，

tan tan

tan()1tan tan αβαβαβ

+∴+==-· ππ,22

αβ⎛⎫

∈- ⎪⎝⎭

，，(ππ)αβ∴+∈-，． 又tan tan 0αβ+<，tan tan 0αβ>·，tan 0tan 0αβ∴<<，， π02αβ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭

，，，π<0αβ∴-+<，2π3αβ∴+=-．选Ｄ． ２．根据三角函数的单调性确定角的范围

角与角之间的大小关系与三角函数的单调性密不可分，特别牵涉到求两角之差的范围时应首先考虑单调性．

例2 设π02αβγ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭

，，，，且sin sin sin αγβ+=，cos cos cos βγα+=，则βα-等于

（ ） Ａ．π3- Ｂ．π6 Ｃ．π3或π3

- Ｄ．π3

解：由sin sin sin αγβ+=，得sin sin sin γβα=-．（1）

由cos cos cos βγα+=，得cos cos cos γαβ=-．（2）

由22(1)(2)+， 得221(sin sin )(cos cos )22sin sin 2cos cos 22cos()βααββααββα=-+-=--=--． 1cos()2

βα∴-=． π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭

，，，ππ22βα∴-<-<． 又π02γ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭

，，sin 0γ∴>，由（1）得sin sin βα<． 正弦函数sin y x =在区间π02⎛⎫ ⎪⎝⎭

，上是增函数， βα∴>，π02βα∴<-<，π3

βα∴-=．故选Ｄ． 注：本题易忽略sin 0γ>这一条件，从而不能进一步确定角βα-的范围． ３．根据三角形内角和定理确定角的范围

在三角形中研究角的范围大小问题，一般情况下离不开三角形内角和定理．

例3 在ABC △中，若4sin 2cos 1A B +=，2sin 4cos B A +=则C ∠的大小是（ ） Ａ．π6 Ｂ．5π6 Ｃ．π6或5π6 Ｄ．π3或2π3

解：4sin 2cos 1A B +=，（1）

2sin 4cos B A +=，（2）

22(1)(2)+，得2016(sin cos cos sin )28A B A B ++=，即1sin()sin(π)sin 2

A B C C +=-=． 由（1）得2cos 14sin B A =-，

sin 0A >，2cos 1B ∴<，即1cos 2

B <． 余弦函数cos y x =在(0π)，上是减函数，

π3B ∴>，由三角形内角和定理得2ππ3

C A B =--<， 又1sin 2C ∴=，π6C ∴=．故选Ａ． 例4 在ABC △中，已知3sin 5A =，5cos 13

B =，则cos

C = ． 解：510cos 132B <=<，ππ32B ∴<<且12sin 13

B =．

13sin 25A <=< ππ64A ∴<<，或35ππ46

A <<． 当35ππ46A <<时，134ππ123

A B <+<，与内角和定理矛盾，不合题意． ππ64A ∴<<，4cos 5

A ∴=， 4531216cos cos(π)cos()cos cos sin sin 51351365

C A B A B A B A B ∴=--=-+=-+=-⨯+⨯=． 三种确定角的范围的方法并不是孤立的，有时一个题目中要用到多种方法．角的范围多大才合适，不同的题目有不同的要求．只要同学们掌握一定的方法，并注意挖掘题目中的隐含条件，就可避免出错．