人教版高中数学-角的范围多大才合适.

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人教版高中数学-你会正确表示角么

你会正确表示“角”吗？同学们学习了角的概念推广后，是否觉得有关角的概念特别多，表示形式也很复杂．为了进一步学好三角函数，正确掌握常用角的集合表示法显得非常重要．特别是以下常见的角的集合表示，你会表示吗？1．终边相同的角这是角的概念推广后，最重要的一个概念，是指具有同一终边的角的集合．例1写出终边在第二象限的角平分线上的角的集合.解：｛｜＝135°＋k·360°，k∈Z｝，或｛｜＝3π2π4k，k∈Z｝．2．终边共线且反向的角是指终边互为反向延长线的角的集合．例2写出终边在第二、四象限的角平分线上的角的集合．解：｛｜＝135°＋k·３６0°，k∈Z｝，与｛｜＝－４５°＋k·360°，k∈Z｝．3．区间角介于两个角之间的角的集合．如x∈［30°，150°］等．4．区域角介于某两条终边间的角的集合叫做区域角．显然区域角是无数个区间角的集合．区域角的写法是：首先依逆时针方向由小到大找到一个区间角，再在两端加2kπ或k·360°（k∈Z）．如：ππ|2π<2πZ63k k k，或｛｜３０°＋k·360°＜＜６０°＋k·360°，k∈Ｚ｝．5．象限角当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么终边（除端点外）在第几象限，就称这个角是第几象限的角，它是特殊的区域角．如第二象限角为：｛｜90°＋k·360°＜＜180°＋k·360°，k∈Z｝或｛｜π2＋２kπ＜＜π＋2kπ，k∈Ｚ｝．6．轴线角轴线角是指终边落在坐标轴上的角，它不属于任何象限．轴线角有以下七种：（１）终边在x轴的非负半轴上，即｛｜＝k·360°，k∈Z｝或｛｜＝２kπ，k∈Z｝；（２）终边在x轴的非正半轴上，即｛｜＝180°＋k·360°，k∈Z｝或｛｜＝π＋２kπ，k∈Z｝；（３）终边在y轴的非负半轴上，即｛｜＝90°＋k·360°，k∈Z｝或｛｜＝π2＋2kπ，k∈Ｚ｝；（４）终边在y轴的非正半轴上，即｛｜＝270°＋k·360°，k∈Z｝或｛｜＝3π2＋2kπ，k∈Ｚ｝；（５）终边在x轴上，即｛｜＝k·180°，k∈Z｝或｛｜＝kπ，k∈Z｝；（６）终边在y轴上，即｛｜＝90°＋k·180°，k∈Z｝或｜＝π2＋kπ，k∈Ｚ；（７）终边在坐标轴上，即｛｜＝k·90°，k∈Z｝或｛｜＝π2k，k∈Ｚ｝．7．锐角，0°90°的角，小于90°的角，第一象限的角锐角是0°＜＜90°的角；0°~90°的角是0°≤＜90°的角；小于90°的角是＜90°的角，显然其中包括锐角、0°角和负角；第一象限角的集合是｛|k·360°＜＜90°＋k·360°，k∈Z｝．。

人教版高中数学必修二反三角函数的所有公式

人教版高中数学必修二反三角函数的所有公式人教版高中数学必修二有哪些反三角函数的公式呢?下面就为大家详细介绍下，希望能对大家有所帮助。

反三角函数——反正切函数人教版高中数学正切函数y=tan x在(-π/2，π/2)上的反函数，叫做反正切函数。

记作arctanx，表示一个正切值为x的角，该角的范围在(-π/2，π/2)区间内。

定义域R，值域(-π/2，π/2)。

反三角函数——反余切函数人教版高中数学余切函数y=cot x在(0，π)上的反函数，叫做反余切函数。

记作arccotx表示一个余切值为x的角，该角的范围在(0，π)区间内。

定义域R，值域(0，π)。

小编推荐：高中数学辅导书排行榜学霸用过的辅导书有哪些反三角函数——反正割函数人教版高中数学正割函数y=sec x在[0,π/2)U(π/2,π]上的反函数，叫做反正割函数。

记作arcsecx，表示一个正割值为x的角，该角的范围在[0,π/2)U(π/2,π]区间内。

定义域(-∞,-1]U[1,+∞),值域[0,π/2)U(π/2,π]。

反三角函数——反余割函数人教版高中数学余割函数y=csc x在[-π/2,0)U(0,π/2]上的反函数，叫做反余割函数。

记作arccscx，表示一个余割值为x的角，该角的范围在[-π/2,0)U(0,π/2]区间内。

定义域(-∞,-1]U[1,+∞),值域[-π/2,0)U(0,π/2]。

反三角函数简介人教版高中数学反三角函数(inverse trigonometric function)是一类初等函数。

指三角函数的反函数。

由于基本三角函数具有周期性，所以反三角函数是多值函数。

这种多值的反三角函数包括：反正弦函数、反余弦函数、反正切函数、反余切函数、反正割函数、反余割函数，。

人教版高中数学-特殊角(或区域角)的表示

特殊角(或区域角)的表示在角的概念推广的题形中,对于特殊角及区域集合表示问题,学生往往感到很难动笔.下面就这个问题进行分析、归纳、整理，供参与.一、终边相同角的集合的表示1.终边落在以原点为端点的射线OA 上的角的集合可表示为(如图1.1){β|β=k·360︒+α,k ∈Z }；其中，α为射线OA 与x 轴的非负半轴所成的最小正角.2.终边落在过原点的直线l 上的角的集合可表示为(如图1.2)：{β|β=k·180︒+α,k ∈Z }；其中，α为直线l 与x 轴的非负半轴所成角的最小正角.事实上，因为终边落在直线l 上的角可看成是终边落在直线l 的两条射线上的角的集合的并集，即{β|β=k·360︒+α,k ∈Z }∪{β|β=k·360︒+180︒+α,k ∈Z }={β|β=2k·180︒+α,k ∈Z }∪{β|β=(2k+1)·180︒+α,k ∈Z }={β|β=k·180︒+α,k ∈Z }. 3.如图1.3，终边落在以原点为端点的三条两两所成角相等的射线OA 1,OA 2,OA 3上的角的集合可表示为：{β|β=k·120︒+α,k ∈Z }；α为三射线与x 轴的非负半轴所成角的最小正角. 事实上，终边落在三条射线OA 1,OA 2,OA 3上的角可看成是终边分别落在三条射线OA 1,OA 2,OA 3上的角的集合的并集，即{β|β=k·360︒+α,k ∈Z }∪{β|β=k360︒+120︒+α,k ∈Z }∪{β|β=k360︒+240︒+α,k ∈Z }={β|β=3k·120︒+α,k ∈Z }∪{β|β=(3k+1)·120︒+α,k ∈Z }∪{β|β=(3k+2)·120︒+α,k ∈Z } ={β|β=k·120︒+α,k ∈Z }4.如图1.4，终边落在过原点的两条相互垂直的直线l 1,l 2上的角的集合可表示为：{β|β=k·90︒+α,k ∈Z }；α可规定为直线l 1与x 轴的非负半轴所成角的最小正角.事实上，因为终边落在二直线l 1,l 2上的角可看成是终边分别落在两直线l 1,l 2上的角的集合的并集，即{β|β=k·180︒+α,k ∈Z }∪{β|β=k·180︒+90︒+α,k ∈Z } ={β|β=2k·90︒α,k ∈Z }∪{β|β=(2k+1)·90︒+α,k ∈Z }={β|β=k ·90︒+α,k ∈Z }推广：一般地,终边落在以原点为端点的等分圆周角的射线上的角的集合可表示为:{β|β=k·360︒n+α,k ∈Z } 二、特殊区域角的集合表示1.任意两条射线所形成区域角的表示如图2.1,阴影部分的角的集合可看成是射线OA 绕原点O 逆时针方向旋转到射线OB 所成区域角.设α1是射线OA 上的最小正角,α2是射线OB 的角,α2>α1且α2-α1∈ (0︒,360︒)，则射线OA 和射线OB 所成区域的角的集合为{β|k ·360︒+α1<β<k·360︒+α2,k ∈Z }.图1.1 图1.2图1.3图1.4 图2.12.对顶角区域的角的集合的表示如图2.2，阴影部分的角的集合可看成是直线l1绕原点O逆时针方向旋转到直线l2所成区域角,设α1是直线l1上的最小正角,α2是直线l2的角,α2>α1且α2-α1(0︒,180︒)，则终边落在直线l1上的角的集合为：{β|β=k·180︒+α1,k∈Z},终边落在直线l2上的角的集合为：{β|β=k·180︒+α2,k∈Z},故阴影部分的角可表示为： {β|k·180︒+α1<β<k·180︒+α2,k∈Z}.3.如图2.3,两组三等分圆周角的三条射线所成区域角的表示因为射线OA1,OA2,OA3和射线OB1,OB2,OB3两两所成角相等,则阴影部分的角可看成是一组三等分圆周角三射线OA1,OA2,OA3同时绕原点O逆时针方向旋转到三射线OB1,OB2,OB3所成区域角,设α1是三射线OA1,OA2,OA3与x轴非负半轴所成角中最小的正角，α2是三射线OB1,OB2,OB3角,α2>α1且α2-α1∈ (0︒,120︒)，则终边落在三射线OA1,OA2,OA3上的角的集合为：{β|β=k·120︒+α1,k∈Z}；终边落在三射线OB1,OB2,OB3上的角的集合为：{β|β=k·120︒+α2,k∈Z}；故终边落在阴影部分的角可表示为：{β|k·120︒+α1<β<k·120︒+α2,k∈Z}.4.如图2.4,两组相互垂直的直线所成区域角的表示因为l1和l2相互垂直,直线m1和m2相互垂直,则阴影部分的角可看成是相互垂直的两条直线l1,l2同时绕原点逆时针方向旋转到直线m1，m2所成区域角,设α1是直线l1,l2上角中最小的正角,α2是直线m1,m2上的角,α2>α1且α2-α1∈ (0︒,90︒)，则终边落在直线l1,l2上的角的集合为：{β|β=k·90︒+α1,k∈Z}；终边落在直线m1，m2上的角的集合为：{β|β=k·90︒+α2,k∈Z}；故终边落在阴影部分的角可表示为: {β|k·90︒+α1<β<k·90︒+α2,k∈Z}.图2.2图2.3图2.4。

人教版(新教材)高中数学第一册(必修1)优质课件：5.1.1任意角

规律方法判断角的概念问题的关键与技巧 (1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念. (2)技巧：判断一种说法正确需要证明，而判断一种说法错误只要举出反例即可.
①终边落在第一象限的角为锐角； ②锐角是第一象限角； ③第二象限角为钝角； ④小于90°的角一定为锐角； ⑤角α与－α的终边关于x轴对称.
(2)如图，射线OA先绕端点O逆时针方向旋转60°到OB处，再按顺时针方向旋转820°至OC处，则β＝________.
解析 (1)终边落在第一象限的角不一定是锐角，如400°的角是第一象限角，但不是锐角，故①的说法是错误的；同理第二象限角也不一定是钝角，故③的说法也是错误的；小于90°的角不一定为锐角，比如负角，故④的说法是错误的. (2)两次旋转后形成的角为60°＋(－820°)＝－760°，β＝－760°＋720°＝－40°. 答案 (1)②⑤ (2)－40°
[微思考] 1.角的概念推广后角的范围有怎样的变化？
提示角的概念推广后，角度的范围不限于0°～360°，而是任意的角，包括正角、负角与零角. 2.终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗？提示当角的始边相同时，若角相等，则终边相同，但若角终边相同，则不一定相等.
题型一与任意角有关的概念辨析【例1】 (1)下列说法中，正确的是________(填序号).
三角学与其天文学的应用在埃及的托勒密时代达到了高峰，托勒密在《数学汇编》中计算了36度角和72度角的正弦值，还给出了计算和角公式和半角公式的方法.托勒密还给出了所有0度到180度的所有整数和半整数弧度对应的正弦值.
喜帕恰斯
[读图探新]——发现现象背后的知识伦敦眼(英文名：The London Eye)，全称英国航空伦敦眼 (The British Airways London Eye)，又称千禧之轮，坐落在伦敦泰晤士河畔，是世界第四大摩天轮，是伦敦的地标之一，也是伦敦最吸引游人的观光点之一.伦敦眼于1999年年底开幕，总高度135米(443英尺).伦敦眼共有32个乘坐舱，因舱内外用钢化玻璃打造，所以设有空调系统.每个乘坐舱可载客约25名，回转速度约为每秒0.26米，即一圈需时30分钟.

平面与平面垂直二面角—山东省滕州市第一中学人教版高中数学新教材必修第二册课件

构成
讲
课人：
表示法
邢
启
强
平面与平面垂直二面角—山东省滕州市第一中学人教版高中数学新教材必修第二册课件
边—点—边（顶点）
∠AOB
二面角
A 棱a 面
B面
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
面—直线—面（棱）
二面角—l— 或二面角—AB—
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典型例题平面与平面垂直二面角—山东省滕州市第一中学人教版高中数学新教材必修第二册课件
D’ A’
C’ B’
讲课人：邢启强
平面与平面垂直二面角—山东省滕州市第一中学人教版高中数学新教材必修第二册课件
D
C
A
OB
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学习新知平面与平面垂直二面角—山东省滕州市第一中学人教版高中数学新教材必修第二册课件
角与二面角的比较
图形
角
顶点 O
A 边
边B
定义
从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。
4. 二面角的平面角
(1)定义:在二面角的棱上任取一点O，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
如图，OA l,OB l ，则∠AOB叫做二面角 l
的平面角. 它的大小与点O的选取无关.
l
讲
课人：
邢
启
强
平面与平面垂直二面角—山东省滕州市第一中学人教版高中数学新教材必修第二册课件
例1、已知二面角－ l －，A为面内一点，A到的距离为2 3 ,到 l 的距离为 4.求二面角－ l －的大小.
A.
DO l

倍角的取值范围

倍角的取值范围
嘿，朋友！咱们来聊聊倍角的取值范围这个有趣的话题。

你知道吗，倍角就像是一个调皮的小精灵，总是在数值的世界里跳来跳去，让人又爱又恼。

比如说，我们先从最简单的锐角开始。

假如有个锐角是 30 度，那它的两倍角就是 60 度，是不是还在锐角的范围内？可要是这个角变成45 度，它的两倍角就成了 90 度，这一下子就从锐角跳到直角啦！
再想想钝角，一个 120 度的钝角，它的两倍角可就是 240 度，远远超过了 180 度。

这就好比你本来在平地上慢慢走，突然就跑到山顶上去了，是不是很神奇？
那要是周角呢？周角可是 360 度，它的两倍角就是 720 度，这就像一个不停旋转的大风车，一圈又一圈，没有尽头。

咱们再来说说直角。

直角是 90 度，它的两倍角是 180 度，直接从直角变成了平角，这变化是不是有点大？就好像是从一个安静的小房间一下子走进了一个宽敞的大客厅。

其实倍角的取值范围，就像是一个神秘的宝藏，需要我们一点点去挖掘，去探索。

你想想，如果我们不知道倍角的取值范围，就像是在黑暗中摸索，容易迷路，不是吗？
而且在数学的世界里，倍角的取值范围可不是孤立存在的，它和三角函数、几何图形都有着千丝万缕的联系。

比如说，在三角形中，如果知道了一个角的大小，要想求出它的倍角的取值范围，就得考虑三角形的内角和定理，这就像是给我们的探索之路点亮了一盏明灯。

所以啊，弄清楚倍角的取值范围，对于我们解决数学问题，就像是拥有了一把神奇的钥匙，能够打开一扇又一扇知识的大门。

总之，倍角的取值范围是数学中一个非常重要且有趣的部分，咱们可得好好掌握它，才能在数学的海洋里畅游无阻！。

直线夹角取值范围

直线夹角取值范围
直线夹角的取值范围是0到180度（开区间），即不包括0度和180度。

直线夹角是指两条直线之间的夹角，夹角的大小可用度数来表示。

夹角的度数为0度时，表示两条直线重合，夹角的度数为180度时，表示两条直线平行但不重合。

在0度和180度之间，夹角的度数可以有无限种取值，例如10度、45度、90度等等。

注意夹角的度数是有方向性的，也就是说度数的大小是基于一个参考方向确定的，例如逆时针方向或顺时针方向。

所以从0度到180度之间都有相等的正角（逆时针方向）和负角（顺时针方向）。

夹角的度数还可以用弧度来表示，1弧度约等于57.3度。

夹角的大小可以通过几何方法、三角函数等方法来计算。

平面与平面垂直的判定定理(高中数学人教版必修二)

解:因为 CDG 是坡面,设 DH 是地平面的垂线
段,DH 就是所求的高度.作 HG⊥AB,垂足为 G,
那么 DG⊥AB,∠DGH 就是坡面和地平面所成
的二面角的平面角,所以∠DGH=600 .
D
又 CD 与 AB 所成角为∠DCG= 300 .
DH DG sin 600 CD sin 300 sin 600 100 sin 300 sin 600 25 3 43.3(m)
证明：由AB是圆O的直径，可得AC⊥BC
PA 平面ABC
BC
平面ABC
PA BC BC AC
P
PA AC A
BC 平面PAC
C
BC 平面PBC
A
O
B 平面PAC⊥平面PBC
练习
例2、已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面，A为垂足。求证：平面PAC平面PBD。证明：
P
A
A
∪
∵AB⊥β，CD β，∴AB⊥CD.
a
在平面β内过B点作直线BE⊥CD，则
C
B
D
∠ABE就是二面角α-CD-β的平面角，
β
E
∪
∵AB⊥β，BE β，
∴AB⊥BE. ∴二面角α-CD-β是直二面角，∴α⊥β.
back
例1: 如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面于A，C是圆O上不同于A、B的任意一点. 求证：平面PAC⊥平面PBC
A
二面角画法
3、举出二面角的实例，并画出二面角。
直立式
平卧式
由上可知：各二面角的“张角”不同，那么如何度量二面角的大小呢？
(4) 二面角的平面角
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.

人教版高中数学必修4-1.1《任意角》教学设计

《任意角》教学设计一、教学目标（一）核心素养：通过这节课了解任意角的概念，掌握正角，负角，零度角及象限角的定义，掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；培养学生通过观察生活实例发现相关的数学问题，培养学生运用运动变化的观点认识事物，能够达到学会用已学习的知识类比到新知识的能力．（二）学习目标1.推广角的概念、引入大于360︒角和负角；2.理解并掌握正角、负角、零角的定义；3.理解任意角以及象限角的概念；4.掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；（三）学习重点理解任意角的概念；掌握终边相同角的表示方法．（四）学习难点掌握终边相同角的表示．二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）回顾初中学习的角的概念．（2）阅读教材第2页到第5页的内容．2.预习自测（1）下列角中终边与330°相同的角是（）A．30°B．－30°C．630°D．－630°【知识点】终边相同的角【解题过程】先作出330°的角的终边，在选项里面寻找预期终边相同．【思路点拨】作图注意旋转方向【答案】B．（2）－1120°角所在象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【知识点】终边相同的角，象限角概念【解题过程】先作出－1120°的角的终边，在选项里面寻找其所在的象限．【思路点拨】作图注意旋转方向【答案】D．（3）若时针走过2小时40分，则分针走过的角是多少？【知识点】时间单位的转换，表盘一圈360°【解题过程】先算出2小时分针转过的角度，再加上40分钟所旋转的角度．【思路点拨】作图注意旋转方向【答案】480︒-(二)课堂设计1.知识回顾本节课是章始课，需要联系和回顾的是初中学习的角的概念．2.问题探究探究一从生活中感受角的新定义．●活动①生动展示旋转过程，并增强了爱国教育．观看一段跳水运动员的视频，重点是空中转体部分，并用慢动作回放过程．提问中间提及的角度我们以前没有学习过，那么该如何定义这个新的量呢？【设计意图】通过视频生动的让学生感受大于360°的角是怎么样形成的，引出任意角的必要性●活动②贴近自己的生活实际，再次切身体会任意角形成的过程．思考：你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？[取出一个钟表，实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到。

最新人教版高中数学必修4第一章《角的概念的推广》示范教案

示范教案整体设计教学分析教材分三段编写，首先复习初中学过的角的概念，然后设置“观览车”问题情境，推广角的概念，最后研究象限角的性质及表达式．这样可以使学生在已有经验(生活经验、数学学习经验)的基础上，更好地认识任意角、象限角、终边相同的角等概念．让学生体会到把角推广到任意角的必要性，引出角的概念的推广问题．本节充分结合角和平面直角坐标系的关系，建立了象限角的概念，使得任意角的讨论有一个统一的载体．教学中要特别注意这种利用几何的直观性来研究问题的方法，引导学生善于利用数形结合的思想方法来认识问题、解决问题，让学生初步学会在平面直角坐标系中讨论任意角．能熟练写出与已知角终边相同的角的集合，是本节的一个重要任务．学生的活动过程决定着课堂教学的成败，教学中应反复挖掘“探究”栏目及“探究”示图的过程功能，在这个过程上要不惜多花些时间，让学生进行操作与思考，自然地、更好地归纳出终边相同的角的一般形式，也就自然地理解了集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}的含义．如能借助信息技术，则可以动态表现角的终边旋转的过程，更有利于学生观察角的变化与终边位置的关系，让学生在动态的过程中体会，既要知道旋转量，又要知道旋转方向，才能准确刻画角的形成过程的道理，更好地了解任意角的深刻涵义．与以往教材不同的是，把旋转的合成与角度的加法运算对应起来，使数与形紧密结合，以加深学生对角度运算的直观认识．书中通过4个例题，要求学生能熟练地掌握旋转与角度的加法运算关系象限角的概念、象限角和终边落在坐标轴上的角的代数表示．要求练习A、B组习题全做，但B组5题为扩展题，可让学生选做．三维目标1．通过实例的展示，使学生理解角的概念推广的必要性，理解并掌握正角、负角、零角、象限角、终边相同角的概念及表示，树立运动变化的观点，并由此深刻理解推广之后的角的概念．2．通过自主探究、合作学习，认识集合S中k、α的准确含义，明确终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无限多个，它们相差360°的整数倍．3．通过类比正、负数的规定，让学生认识正角、负角并体会类比、数形结合等思想方法的运用，为今后的学习与发展打下良好的基础．重点难点教学重点：将0°～360°范围的角推广到任意角，终边相同的角的集合．教学难点：用集合来表示终边相同的角．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(情境导入)如图1，在许多学校的门口都有摆设的一些游戏机，只要指针旋转到阴影部分即可获得高额奖品．由此提问：指针怎样旋转，旋转多少度才能赢？还有我们所熟悉的体操运动员旋转的角度；自行车车轮旋转的角度；螺丝扳手的旋转角度，这些角度都怎样解释？在学生急切想知道的渴望中引入角的概念的推广．图1思路2.在日常生活中，只要我们用心去观察，又勤于思考，就会发现许多与数学有关的事情．游乐园是人们爱去的地方，各种神奇的游戏器械吸引着人们去玩耍，那高大的观览车绕轴转动着，边缘上悬挂的座椅，带着游人在空中旋转，给游人带来乐趣！你想过吗？图2从你的座位开始转动的时刻到某个时刻，你的座位转了多少角度？由此让学生展开讨论，进而引入角的概念的推广问题．推进新课新知探究提出问题(1)你的手表慢了5分钟，你将怎样把它调整准确？假如你的手表快了1.25小时，你应当怎样将它调整准确？当时间调整准确后，分针转过了多少度角？(2)体操运动中有转体两周，在这个动作中，运动员转体多少度？(3)请两名男生(或女生、或多名男女学生)起立，做由“面向黑板转体背向黑板”的动作.在这个过程中，他们各转体了多少度？活动：让学生到讲台利用准备好的教具——钟表，实地演示拨表的过程；让学生站立原地做转体动作．教师强调学生观察旋转方向和旋转量，并思考怎样表示旋转方向．对回答正确的学生及时给予鼓励、表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路．角可以看作是平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形，设一条射线的端点是O，它从起始位置OA按逆时针方向旋转到终止位置OB，则形成了一个角α，点O是角的顶点，射线OA、OB分别是角α的始边和终边．我们规定：一条射线绕着它的端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．钟表的时针和分针在旋转过程中所形成的角总是负角，为了简便起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可以简记作“α”．如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角，零角的始边和终边重合，如果α是零角，那么α＝0°.讨论结果：(1)顺时针方向旋转了30°；逆时针方向旋转了450°.(2)顺时针方向旋转了720°或逆时针方向旋转了720°.(3)－180°或＋180°或－540°或＋540°或900°……提出问题(1)能否以同一条射线为始边作出下列角：210°，－45°，45°，－315°，124°，405°.(2)如何在坐标系中作出这些角，象限角是什么意思？0°角又是什么意思？活动：先让学生看书、思考、并讨论这些问题，教师提示、点拨，并对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生，教师提示、引导考虑问题的思路．学生作这样的角，使用一条射线作为始边，没有固定的参照，所以会作出很多形式不同的角．教师可以适时地提醒学生：如果将角放到平面直角坐标系中，问题会怎样呢？并让学生思考讨论在直角坐标系内讨论角的好处：使角的讨论得到简化，还能有效地表现出角的终边“周而复始”的现象．今后我们通常在平面直角坐标系中研究和讨论角．平面内任意一个角都可以通过移动使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．要特别强调角与直角坐标系的关系——角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．讨论结果：(1)能．如图3中的(1)、(2)．图3(2)使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．这样：上图(1)中的45°，－315°，405°角都是第一象限角．(2)中的124°角是第二象限的角，210°角是第三象限的角，－45°角是第四象限的角．特别地，终边落在坐标轴上的角不属于任何一个象限，比如0°角．可以借此进一步设问：锐角是第几象限角？钝角是第几象限角？直角是第几象限角？反之如何？将角按照上述方法放在直角坐标系中，给定一个角，就有唯一一条终边与之对应，反之，对于直角坐标系中的任意一条射线OB，以它为终边的角是否唯一？如果不唯一，那么终边相同的角有什么关系？提出问题(1)在直角坐标系中标出210°，－150°的角的终边，你有什么发现？它们有怎样的数量关系？328°，－32°，－392°角的终边及数量关系是怎样的？终边相同的角有什么关系？(2)所有与α终边相同的角，连同角α在内，怎样用一个式子表示出来？活动：让学生从具体问题入手，探索终边相同的角的关系，再用所准备的教具或是多媒体给学生演示：演示象限角、终边相同的角，并及时地引导终边相同的一系列角与0°到360°间的某一角有什么关系，从而为终边相同的角的表示作好准备．为了使学生明确终边相同的角的表示方法，还可以用教具作一个32°角，放在直角坐标系内，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，形成－32°角后提问学生这是第几象限角？是多少度角？讨论结果：(1)210°与－150°角的终边相同；328°，－32°，－392°角的终边相同．终边相同的角相差360°的整数倍．设S＝{β|β＝－32°＋k·360°，k∈Z}，则328°，－392°角都是S的元素，－32°角也是S 的元素(此时k＝0)．因此，所有与－32°角的终边相同的角，连同－32°在内，都是集合S的元素；反过来，集合S的任何一个元素与－32°角终边相同．(2)所有与α终边相同的角，连同角α在内，可以构成一个集合S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．即任一与角α终边相同的角，都可以表示成α与整数个周角的和．适时引导学生认识：①k∈Z；②α是任意角；③终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍．应用示例例1射线OA绕端点O顺时针旋转80°到OB位置，接着逆时针旋转250°到OC位置，然后再顺时针旋转270°到OD位置，求∠AOD的大小．活动：这是本节教材安排的例1，目的在于巩固刚推广的正、负角概念，教师不要讲解，由学生自己探究完成，对有困难的学生，教师可给予适当的点拨．解：由题意知∠AOB＝－80°，∠BOC＝250°，∠COD＝－270°，因此∠AOD＝∠AOB ＋∠BOC＋∠COD＝－80°＋250°－270°＝－100°.点评：在学生独立完成的基础上，教师引导学生进一步通过作图来验证运算结果．例2在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.解：(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°终边相同的角是210°角，它是第三象限的角；(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°终边相同的角是290°角，它是第四象限的角；(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′终边相同的角是129°45′，它是第二象限的角．例3写出终边在x轴上的角的集合．活动：终边落在x轴上，应分x轴的正方向与x轴的负方向两个．学生很容易分别写出所有与0°，180°的终边相同的角构成的集合，这时应启发引导学生进一步思考：能否化简这两个式子，用一个式子表示出来．让学生观察、讨论、思考，并逐渐形成共识，教师再规范地板书出来．并强调数学的简洁性．在数学表达式子不唯一的情况下，注意采用简约的形式．解：在0°～360°范围内，终边在x轴上的角有两个，即0°和180°，与这两个角终边相同的角组成的集合依次为S1＝{β|β＝k·360°，k∈Z}，S2＝{β|β＝180°＋k·360°，k∈Z}．为简便起见，我们把集合S1和S2的表示方法作如下变化S1＝{β|β＝2k·180°，k∈Z}，S2＝{β|β＝(2k＋1)180°，k∈Z}．因为{m|m＝2k，k∈Z}∪{m|m＝2k＋1，k∈Z}＝Z，所以S＝S1∪S2＝{β|β＝m·180°，m∈Z}，即集合S是终边在x轴上的角的集合．点评：本例是让学生理解终边在坐标轴上的角的表示．教学中，应引导学生体会用集合例4分别写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中满足不等式－360°≤β<720°的元素β写出来．(1)60°；(2)－21°；(3)363°14′.解：(1)S＝{β|β＝k·360°＋60°，k∈Z}．S中满足－360°≤β<720°的元素是(－1)×360°＋60°＝－300°，0×360°＋60°＝60°，1×360°＋60°＝420°.(2)S＝{β|β＝k·360°－21°，k∈Z}．S中满足－360°≤β<720°的元素是0×360°－21°＝－21°，1×360°－21°＝339°，2×360°－21°＝699°.(3)S＝{β|β＝k·360°＋363°14′，k∈Z}．S中满足－360°≤β<720°的元素是(－2)×360°＋363°14′＝－356°46′，(－1)×360°＋363°14′＝3°14′，0×360°＋363°14′＝363°14′.点评：本例是让学生用集合表示出终边相同角，这是本节的重点，也是难点，接着找出某一范围的所有的角，即按一定顺序取k的值，应训练学生掌握这一方法.图4{β|β＝225°＋k·360°，k∈的元素是：例5写出在下列象限的角的集合：(1)第一象限；(2)第二象限；(3)第三象限；(4)第四象限．活动：本题关键是写出第一象限的角的集合，其他象限的角的集合依此类推即可，如果学生阅读例题后没有解题思路，或者把(1)中的范围写成0°～90°，可引导学生分析360°～450°范围的角是不是第一象限的角呢？进而引导学生写出所有终边相同的角．解：(1)终边在第一象限的角的集合：{β|n·360°<β<n·360°＋90°，n∈Z}．(2)终边在第二象限的角的集合：{β|n·360°＋90°<β<n·360°＋180°，n∈Z}．(3)终边在第三象限的角的集合：{β|n·360°＋180°<β<n·360°＋270°，n∈Z}．(4)终边在第四象限的角的集合：{β|n·360°＋270°<β<n·360°＋360°，n∈Z}．点评：教师给出以上解答后可进一步提问：以上的解答形式是唯一的吗？充分让学生思考、讨论后形成共识，并进一步深刻理解终边相同角的意义．课堂小结本节课推广了角的概念；学习了正角、负角、零角的定义，象限角的概念以及终边相同的角的表示方法；零角是射线没有作任何旋转．一个角是第几象限的角，关键是看这个角的终边落在第几象限，终边相同的角的表示有两方面的内容：(1)与角α终边相同的角，这些角的集合为S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}；(2)在0°～360°内找与已知角终边相同的角α，其方法是用所给的角除以360°，所得的商为k，余数为α(α必须是正数)，α即为所找的角．数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法．作业课本本节练习B 1、2、3、4.设计感想1．本节课设计的容量较大，学生的活动量也较大，若用信息技术辅助教学效果会很好．教师可充分利用多媒体，在课堂上演示给学生，有条件的学校，可以让学生利用计算机或计算器进行探究，让学生在动态中掌握知识、提炼方法．2．本节课设计的指导思想是加强教学的直观性，充分利用几何直观有利于对抽象概念的理解．在学生得出象限角的概念后，可以让学生讨论在直角坐标系中研究角的好处，引导学生体会：在直角坐标系中角的“周而复始”的变化规律，为研究三角函数的周期性奠定基础．3．几点说明：(1)列举不在0°～360°的角时，应注意所有的角在同一个平面内，且终边在旋转的过程中，角的顶点不动．(2)在研究终边相同的两个角的关系时，k的正确取值是关键，应让学生独立思考领悟．(3)在写出终边相同的角的集合时，可根据具体问题，对相应的集合内容进行复习．备课资料备用习题1．若角α与β终边相同，则一定有()A．α＋β＝180°B．α＋β＝0°C．α－β＝k·360°(k∈Z) D．α＋β＝k·360°(k∈Z)2．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β<180°}，则A∩B等于() A．{－36°，54°} B．{－126°，144°}C．{－126°，－36°，54°，144°} D．{－126°，54°}3．在直角坐标系中，若角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系是( )A ．β＝α＋90°B ．β＝α±90°C ．β＝α＋90°＋k·360°(k ∈Z )D ．β＝α±90°＋k·360°(k ∈Z )4．已知角θ的终边与168°角的终边相同，则在(0°，360°)范围内终边与θ3角的终边相同的角是__________．5．若集合A ＝{α|k·180°＋30°<α<k·180°＋90°，k ∈Z }，集合B ＝{β|k·360°＋315°<β<k·360°＋405°，k ∈Z }，求A ∩B.参考答案：1．C 2.C3．D 点拨：将角的终边按逆(或顺)时针旋转90°后，知α±90°与角β的终边重合．4．56°，176°，296° 点拨：根据已知条件有θ＝k·360°＋168°，k ∈Z ，θ3＝k·120°＋56°，k ∈Z .又0≤k·120°＋56°<360°，满足条件的k 为0,1,2.5．解：B ＝{β|k·360°－45°<β<k·360°＋45°，k ∈Z }．采用数形结合法，在直角坐标系内，分别寻找集合A 和集合B 中的角的终边所在的区域，终边在这两个区域的公共部分内的角的集合就是A ∩B ，可以求得A ∩B ＝{x|30°＋k·360°<x<45°＋k·360°，k ∈Z }．。

人教版高中数学-角的终边所在位置的判定方法

角的终边所在位置的判定方法确定角的终边所在的象限属于三角函数概念的内容，而此内容是进一步研究三角函数的基础，是学好三角内容的基石，考查题型主要以选择题和填空题为主，为此，要引起重视.下面介绍几种判定切实可行的方法.一、利用终边相同的角的表示法定位置例1 确定角所在的象限（1）-1770︒ （2）3415π 解:（1）∵-1770︒=-5×360︒+30︒，∴-1770︒与30︒的终边相同，∴ -1770︒在第一象限.（2）∵3435π＝68π+35π，∴3435π与35π的终边相同，∴3435π在第二象限. 评注：判定一个角的终边所在的位置，可先将此角化为k ·360︒+α或2k π+α(0︒≤α＜360︒，k ∈Z)的形式，找出与此角终边相同的角α，再由角α的象限来判断此角的位置.二、确定角的范围定位置例2 已知α是第二象限的角，则角α2所在象限为( ) A.第一、三象限 B.第一、四象限 C.第二、三象限D.第三、四象限角解：∵α是第二象限的角，则k ·360°+90°<α<k ·360°+180°，∴k ·180°+45°<α2<k ·180°+90°，当k=2n(n ∈Z)时，n ·360°+45°<α2<n ·360°+90°，∴α2为第一象限的角，当k=2n+1(n ∈Z)时，n ·360°+225°<α2<n ·360°+270°，∴α2为第三象限的角. ∴α2为第一或第三象限的角，故选A . 评注：利用上面的判定方法可得，当α是第一、二象限的角时，α2为第一或第三象限的角；当α是第三、四象限的角时，α2为第二或第四象限的角. 三、利用旋与对称转定位置例3 若角θ是第四象限的角，则π﹣θ是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角解：∵角θ是第四象限的角，且﹣θ与θ关于x 轴对称，∴﹣θ是第一象限的角，此时，π﹣θ可以看成是角﹣θ按逆时针方向旋转π弧度所成的角，即为第三象限的角，故选C .评注：注意旋转方向与“±”号的关系：“＋”号表示按照逆时针方向旋转；“－”号表示按照顺时针方向旋转.反之也然.四、利用三角函数的符号定位置例4 已知cos θ·cot θ＞0，则角θ所在象限.A.第一、二象限B.第一、三象限C.第二、三象限D.第三、四象限角解：由cos θ·cot θ＞0，知cos θ与cot θ同号，当cos θ＞0，cot θ＞0时，θ在第一象限；当cos θ＜0，cot θ＜0时，θ在第二象限. 故θ在第一、二象限，故选A .评注：必须要理解并熟记每种三角函数在各个象限的符号，它们可用口诀：“全正，s 正，t 正，c 正”来帮助记忆.五、利用构成三角形的条件定位置例5 能使sin θ+cos θ＞1成立的角θ所在的象限是( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限角解：在单位圆中，当θ所在的象限是第一象限角时，sin θ＞0，cos θ＞0，根据构成三角形的条件知，两边之和大于第三边，正弦线与余弦线的和大于半径1，即sin θ+cos θ＞1，故满足条件，选A.评注：本题在利用构成三角形的条件的同时，还利用了单位圆中的三角函数线，因此要求我们在解三角的基础题时，不要忘记三角函数线的作用.六、分类讨论定位置例4 确定满足条件|sinx|sinx +cosx |cosx|+|tanx|tanx +cotx |cost|=﹣2的角x 所在的位置. 解：令y=|sinx|sinx +cosx |cosx|+|tanx|tanx +cotx |cost|，由等式易知，角的终边不可能落在坐标轴上，因此，当x 在第一象限时，y=4，不满足条件；当x 在第二象限时，y=-2，满足条件；当x 在第三象限时，y=0，不满足条件；当x 在第四象限时，y=-2，满足条件.综上所述，角x 的所在的象限为第二、四象限.评注：分类讨论主要从角的终边落在四个象限及坐标轴上进行考虑.七、利用三角函数的定义定角的位置例8 已知tan α＞0，且sin α+csc α＞0，则角α所在象限为( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限角解：设P(x ，y)是角α终边上异于原点的任一点，且|OP|=r(r ＞0)，且x ≠0，否则tan α无意义，则由已知sin α+csc α＞0，得y r ＋x r＞0，∴x ＋y ＞0 ① 又由已知tan α＞0，y x＞0 ② 由①②知 x ＞0，，y ＞0，所以α是第一象限的角，故选A .评注：利用三角函数的定义，就是把所涉及的三角式转化为关于x 、y 的代数式，判断出x ，y 的符号，进而确定角所在的位置.。

两个面的夹角的取值范围

两个面的夹角的取值范围在数学中，夹角是指两个线段或射线之间的角度，经常在探索三角函数、几何图形等领域被应用。

夹角的取值范围是指夹角在数学中的大小范围，下面我们详细阐述夹角的取值范围。

1、度数制下的夹角取值范围度数制是常用的角度测量制，在此制度下，一个完整的圆，有360度。

一个度的大小有60分，一个分有60秒，如此形成一个完整的度数刻度。

夹角的度数制下的取值范围是0到360度。

其中，0和360度是同一个方向的完全角，例如：水平方向上的两条线段之间的夹角等于0度。

而180度是指两个相反方向上的直线。

例如：两条相交的直线的夹角等于180度。

此外，0度到90度之间的夹角被称为锐角，90度到180度之间的夹角称为钝角。

2、弧度制下的夹角取值范围弧度制是另一种角度测量制，它是以圆上弧长的长度作为度量单元，设一个圆的半径长度为r，则圆心角的弧长为r个弧度。

在此制度下，弧度的取值范围是0到2π（π≈3.14），其中2π表示全圆的弧长。

夹角的弧度制下的取值范围也是0到2π。

和度数制相似，夹角的弧度制下的取值也由总弧长的不同部分来表示，其中：0代表同一个方向的完整角，π代表半圆角，2π代表全圆角，而π/2代表直角。

3、编程语言中的夹角取值范围在编程语言中，夹角的单位通常为弧度。

然而，不同的编程语言对夹角的取值范围有不同的限制。

一般而言，C、C++、Java等语言中采用的是浮点数表示法，夹角的取值范围在0到360度之间。

而Mathematica、Python这些语言采用的是弧度浮点数表示法，其夹角的取值范围是0到2π。

在实际应用中，对于夹角的计算，我们需要根据所用的夹角取值制度来编写程序，并在应用之前对夹角的单位进行统一换算，才能得到准确的结果。

综上所述，夹角取值范围是指夹角在不同角度测量制下的大小范围。

不同的角度测量制有不同的数量级和单位，学习者在应用时须要注意单位的换算，以确保计算结果的正确性。

锐角钝角和直角

锐角钝角和直角在几何学中，锐角、钝角和直角是三种基本的角度类型。

它们在三角形和其他几何形状中起着重要的作用。

本文将详细介绍锐角、钝角和直角的定义、性质和应用。

一、锐角锐角是指小于90度的角。

具体来说，锐角的度数范围是0度到90度之间。

以角ABC为例，如果角ABC的度数为60度，那么它就是一个锐角。

锐角具有以下性质：1. 锐角的正弦值大于0，余弦值大于0，切线值大于0；2. 锐角的余弦值比正弦值要大；3. 锐角的正切值是正数。

锐角在实际生活中的应用非常广泛。

例如，在建筑工程中，设计师需要测量角度来确保建筑物的平面和角度符合标准要求。

此外，锐角还被应用于地理学、导航系统等领域。

二、钝角钝角是指大于90度但小于180度的角。

具体来说，钝角的度数范围是90度到180度之间。

以角DEF为例，如果角DEF的度数为120度，那么它就是一个钝角。

钝角具有以下性质：1. 钝角的正弦值大于0，余弦值小于0，切线值小于0；2. 钝角的余弦值比正弦值要小；3. 钝角的正切值是负数。

在实际生活中，钝角同样有广泛的应用。

例如，测量城市中两条道路的夹角，设计交通路口等都需要考虑到钝角的特性。

三、直角直角是指度数恰好为90度的角。

以角GHI为例，如果角GHI的度数为90度，那么它就是一个直角。

直角具有以下性质：1. 直角的正弦值等于1，余弦值等于0，切线值等于无穷大；2. 直角的正弦值较小；3. 直角的余切值是零。

直角在几何学中是非常重要的一种角度。

直角三角形和直角坐标系等概念都与直角有关。

此外，在建筑设计、电路设计等领域，直角也被广泛应用。

总结：锐角、钝角和直角是几何学中常见的角度类型。

锐角指小于90度的角，钝角指大于90度但小于180度的角，而直角则是恰好为90度的角。

它们在各个领域都有广泛的应用，无论是建筑工程、地理学还是导航系统等。

掌握锐角、钝角和直角的定义和性质对于几何学的学习至关重要。

通过了解它们的特点，我们可以更好地理解和应用它们。