利用面积法证明平行线分线段成比例定理微练习
平行线分线段成比例经典例题与变式练习(含答案)
平行线分线段成比例知识梳理1. 平行线分线段成比例定理如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB ACDE DF=. l 3l 2l 1FE D CB A2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则AD AE DEAB AC BC==ABCD EED C B A3. 平行的判定定理：如上图，如果有BCDEAC AE AB AD ==，那么DE ∥BC 。
专题讲解专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用【例1】 如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。
EDCBA【例2】 如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：111c a b=+.FE DCBA【巩固】如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F .证明：111AB CD EF+=.FEDCBA【巩固】如图，找出ABD S ∆、BED S ∆、BCD S ∆之间的关系，并证明你的结论.FE DCBA【例3】 如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥， 129AB CD ==，，过对角线交点O 作EF CD ∥交AD BC ，于E F ，，求EF 的长。
OFED CBA【巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD a BC b E F ==，，，分别是AD BC ，的中点，AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，求PQ 的长。
QPFED CBA专题二、定理及推论与中点有关的问题 【例4】 （2007年北师大附中期末试题）（1）如图（1），在ABC ∆中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且14AE AB =， 连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则BCCD=_______. （2）如图（2），已知ABC ∆中，:1:3AE EB =，:2:1BD DC =，AD 与CE 相交于F ，则EF AFFC FD+ 的值为（ ）A.52B.1C.32D.2(1)MEDC BA(2)F ED CBA【例5】 （2001年河北省中考试题）如图，在ABC ∆中，D 为BC 边的中点，E 为 AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O .（1）当1A 2AE C =时，求AOAD 的值； （2）当11A 34AE C =、时，求AOAD的值； （3）试猜想1A 1AE C n =+时AOAD 的值，并证明你的猜想. 【例6】 （2003年湖北恩施中考题）如图，AD 是ABC ∆的中线，点E 在AD 上，F 是BE 延长线与AC 的交点.（1）如果E 是AD 的中点，求证：12AF FC =；（2）由（1）知，当E 是AD 中点时，12AF AEFC ED=⋅成立，若E 是AD 上任意一点（E 与A 、D 不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由.F E DA【巩固】（天津市竞赛题）如图，已知ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上的一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F 。
平行线分线段成比例定理
平行线分线段成比例定理引言在平面几何中，平行线分线段成比例定理是指当两条平行线与一条横截线相交时，它们所截取的线段之间的比例保持不变。
这个定理在很多几何证明和应用中都有重要的地位。
本文将介绍平行线分线段成比例定理的定义、证明以及应用，以及一些相关的例题。
定理描述设有两条平行线l1和l2，横截线AB与l1和l2相交于点C和D，若线段AC与线段DB所截取的部分成比例，即：AC/DB = AE/EB其中，E为AB的任意一点。
示意图示意图证明为了证明平行线分线段成比例定理，我们可以利用相似三角形的性质。
由于线段AC与线段DB所截取的部分成比例，可设AC = k • AE，DB = k • EB。
考虑△ACD和△EBD，根据平行线的定义，我们知道∠ACD = ∠EBD（对顶角）。
又因为∠CDA = ∠EDB（平行线与横截线交角），所以△ACD与△EBD相似。
根据相似三角形的性质，我们知道线段AC与线段DB的比例等于其余对应边的比例，即：AC/DB = AD/DE。
而根据比例的传递性，AD/DE = AE/EB。
综上所述，我们可以得到AC/DB = AE/EB，即平行线分线段成比例定理成立。
应用平行线分线段成比例定理在实际问题中有很多应用，以下是其中一些常见的应用场景：1. 三角形分线段在三角形中，如果有一条平行线与两边相交，根据平行线分线段成比例定理，我们可以利用已知的线段长度，求解未知的线段长度。
这在解题中经常用到。
2. 相似三角形在相似三角形中，如果有两条平行线各自与两个相似三角形的对应边相交，并且已知其中一个对应边的长度，根据平行线分线段成比例定理，我们可以求解另一个对应边的长度。
这对于解决相似三角形问题非常有用。
3. 求解比例问题平行线分线段成比例定理可以作为解决比例问题的一种工具。
当我们遇到线段的比例问题时，可以利用此定理来寻找线段之间的比例关系，从而求解未知线段的长度。
例题现给出一个例题来进一步理解平行线分线段成比例定理的应用：例题：在△ABC中，AD是BC的平分线，E是AB上的一点，DE与AC延长线交于F，若AB = 12cm，BC = 8cm，AD = 6cm，求EF的长度。
平行线分线段成比例经典例题与变式练习
平行线分线段成比例平行线分线段成比例定理及其推论1. 平行线分线段成比例定理如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB ACDE DF=.2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中， 如果DE BC ∥，则AD AE DEAB AC BC==3. 平行的判定定理：如上图，如果有BCDEAC AE AB AD ==，那么DE ∥ BC 。
1、如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。
2、 如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：111c a b=+.3、如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F .证明：111AB CD EF+=.4、如图，找出ABD S ∆、BED S ∆、BCD S ∆之间的关系，并证明你的结论.l 3l 2l 1FE D CB A ABCDEE DC B AEDCBAFE DCBAFEDCBAFE DCBA5、如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥， 129AB CD ==，，过对角线交点O 作 EF CD ∥交AD BC ，于E F ，，求EF 的长。
6、（上海市数学竞赛题）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD a BC b E F ==，，，分别是AD BC ，的中点，AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，求PQ 的长。
7、（1）如图（1），在ABC ∆中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且14AE AB =，连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则BCCD=_______. （2）如图（2），已知ABC ∆中，:1:3AE EB =，:2:1BD DC =，AD 与CE 相交于F ，则EF AFFC FD+ 的值为（ ） A.52 B.1 C.32D.28、如图，在ABC ∆中，D 为BC 边的中点，E 为 AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O .（1）当1A 2AE C =时，求AOAD的值；（2）当11A 34AE C =、时，求AOAD的值； （3）试猜想1A 1AE C n =+时AOAD的值，并证明你的猜想.9、如图，AD 是ABC ∆的中线，点E 在AD 上，F 是BE 延长线与AC 的交点.（1）如果E 是AD 的中点，求证：12AF FC =； （2）由（1）知，当E 是AD 中点时，12AF AEFC ED=⋅成立，若E 是AD 上任意一点（E 与A 、D 不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由.10、如图，已知ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上的一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F 。
平行线分线段成比例经典例题与变式练习(精选题目)
平行线分线段成比例 【2 】平行线分线段成比例定理及其推论1. 平行线分线段成比例定理如下图,假如1l ∥2l ∥3l ,则BC EF AC DF =,AB DE AC DF =,AB ACDE DF=. l 3l 2l 1FE D CB A2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图,在三角形中,假如DE BC ∥,则AD AE DEAB AC BC==ABCDEEDC B A3. 平行的剖断定理：如上图,假如有BCDEAC AE AB AD ==,那么DE ∥BC .专题一.平行线分线段成比例定理及其推论根本运用【例1】 如图,DE BC ∥,且DB AE =,若510AB AC ==，,求AE 的长.EDCBA【例2】 如图,已知////AB EF CD ,若AB a =,CD b =,EF c =,求证：111c a b=+.FE DCBA【巩固】如图,AB BD ⊥,CD BD ⊥,垂足分离为B .D ,AC 和BD 订交于点E ,EF BD ⊥,垂足为F .证实：111AB CD EF+=. FEDCBA【巩固】如图,找出ABD S ∆.BED S ∆.BCD S ∆之间的关系,并证实你的结论.FE DCBA【例3】 如图,在梯形ABCD 中,AB CD ∥, 129AB CD ==，,过对角线交点O 作EF CD ∥交AD BC ，于E F ，,求EF 的长.OFED CBA【巩固】（上海市数学比赛题）如图,在梯形ABCD 中,AD BC ∥,AD a BC b E F ==，，，分离是AD BC ，的中点,AF 交BE 于P ,CE 交DF 于Q ,求PQ 的长.QPFED CBA专题二.定理及推论与中点有关的问题 【例4】 （2012年北师大附中期末试题）（1）如图（1）,在ABC ∆中,M 是AC 的中点,E 是AB 上一点,且14AE AB =, 衔接EM 并延伸,交BC 的延伸线于D ,则BCCD=_______. （2）如图（2）,已知ABC ∆中,:1:3AE EB =,:2:1BD DC =,AD 与CE 订交于F ,则EF AFFC FD+ 的值为（ ）A.52B.1C.32D.2(1)MEDC BA(2)F ED CBA【例5】 （2011年河北省中测验题）如图,在ABC ∆中,D 为BC 边的中点,E 为AC 边上的随意率性一点,BE 交AD 于点O .（1）当1A 2AE C =时,求AOAD的值; （2）当11A 34AE C =、时,求AOAD 的值; E D CBAO（3）试猜想1A 1AE C n =+时AOAD 的值,并证实你的猜想.【例6】 （2013年湖北恩施中考题）如图,AD 是ABC ∆的中线,点E 在AD 上,F 是BE 延伸线与AC 的交点. （1）假如E 是AD 的中点,求证：12AF FC =; （2）由（1）知,当E 是AD 中点时,12AF AEFC ED=⋅成立,若E 是AD 上随意率性一点（E 与A .D 不重合）,上述结论是否仍然成立,若成立请写出证实,若不成立,请解释来由.F E DCA【巩固】（天津市比赛题）如图,已知ABC ∆中,AD 是BC 边上的中线,E 是AD 上的一点,且BE AC =,延伸BE 交AC 于F .求证：AF EF =.FEDCBA【例7】 （宁德市中考题）如图,ABC ∆中,D 为BC 边的中点,延伸AD 至E , 延伸AB 交CE 的延伸线于P .若2AD DE =,求证:3AP AB =.PEDCBA【巩固】（济南市中考题;安徽省中考题）如图,ABC ∆中,BC a =,若11D E ，分 别是AB AC ，的中点,则1112D E a =;若22D E 、分离是11D B E C 、的中点,则2213224a D E a a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭; 若33D E 、分离是22D B E C 、的中点,则33137248D E a a a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭;…………若n n D E 、分离是-1-1n n D B E C 、的中点,则n n D E =_________.E n D n E 3D 3E 2D 2E 1D 1CBA专题三.运用平行线转化比例【例8】 如图,在四边形ABCD 中,AC 与BD 订交于点O ,直线l 平行于BD ,且 与AB .DC .BC .AD 及AC 的延伸线分离订交于点M .N .R .S 和P . 求证：PM PN PR PS ⋅=⋅lSR PNMODC BA【巩固】已知,如图,四边形ABCD ,两组对边延伸后交于E .F ,对角线BD EF ∥,AC 的延伸线交EF 于G ．求证：EG GF =．G FECDBA【例9】 已知：P 为ABC ∆的中位线MN 上随意率性一点,BP .CP 的延伸线分离交对 边AC .AB 于D .E ,求证：1AD AEDC EB+= PNME D CBA【例10】 在ABC ∆中,底边BC 上的两点E .F 把BC 三等分,BM 是AC 上的中线,AE .AF 分离交BM 于G .H 两点,求证：::5:3:2BG GH HM =MH G FECBA【例11】 如图,M .N 为ABC ∆边BC 上的两点,且知足BM MN NC ==,一条平行于AC 的直线分离交AB .AM 和AN 的延伸线于点D .E 和F . 求证：3EF DE =.F NMED CBA【例12】 已知：如图,在梯形ABCD 中,//AB CD ,M 是AB 的中点,分离连接AC .BD .MD .MC ,且AC 与MD 交于点E ,DB 与MC 交于F . （1）求证：//EF CD（2）若AB a =,CD b =,求EF 的长.FEMDCBA【巩固】（山东省初中数学比赛题）如图,在梯形ABCD 中,AD BC ∥,396AD BC AB ===，，,4CD =,若EF BC ∥,且梯形AEFD 与梯形EBCF 的周长相等,求EF 的长.F E DCBA【例13】（山东省比赛题）如图,ABCD 的对角线订交于点O ,在AB 的延长线上任取一点E ,衔接OE 交BC 于点F ,若AB a AD c BE b ===，，,求BF 的值.OFE DCBA【例14】已知等腰直角ABC ∆中,E .D 分离为直角边BC .AC 上的点,且CE CD =,过E .D 分离作AE 的垂线,交斜边AB 于L ,K ．求证：BL LK =．L KEDC BA【习题1】 如已知DE AB ∥,2OA OC OE =⋅,求证：AD BC ∥.DOECB【习题2】 在ABC ∆中,BD CE =,DE 的延伸线交BC 的延伸线于P ,求证：AD BP AE CP ⋅=⋅.PE D CBA【习题3】 如图,在ABC ∆的边AB 上取一点D ,在AC 取一点E ,使AD AE =, 直线DE 和BC 的延伸线订交于P ,求证：BP BDCP CE=PEDCBA专题讲授1．选择题（1）如图5-27,△ABC 中,D 在AB 上,E 在AC 上,下列前提中,能剖断DE ∥BC 的是（ ）图5-27A ．AB AE AC AD ⋅⋅= B ．DB EC AE AD ⋅⋅= C ．AC AE AB AD ⋅⋅= D ．AB AE AC BD ⋅⋅=（2）如图5-28,321////l l l ,4l 与5l 交于点P ,P A ＝a ,AB ＝b ,BC ＝c ,PD ＝d ,DE ＝e ,EF ＝f ,则bf ＝（ ）图5-28A ．abB ．bdC ．aeD ．ce （3）如图5-29,△ABC 中,21==AC AE AB AD ,则OE ∶OB ＝（ ）图5-29A ．21 B ．31 C ．41 D ．51 （4）如图5-30,已知BN ∥AM ,ND ∥MC ,那么有（ ）图5-30A ．NM PN DA PD = B ．PD PCPB PA = C ．MCNDPB PA = D ．以上答案都不对 （5）如图5-31,H 为□ABCD 中AD 边上一点,且AH ＝21DH ,AC 和BH 交于点K ,则AK ∶KC 等于（ ）图5-31A ．1∶2B ．1∶1C ．1∶3D ．2∶3 2．填空题（1）如图5-32,梯形ABCD 中,AD ∥BC ,延伸两腰交于点E ,若AD ＝2,BC ＝6,AB ＝4,则ECED＝________,DCDE＝________;图5-32（2）如图5-33,梯形ABCD 中,DC ∥AB ,DC ＝4,AB ＝7,且MN ∥PQ ∥AB ,DM ＝MP ＝P A ,则MN ＝________,PQ ＝________;图5-33（3）如图5-34,梯形ABCD 中,AB ∥CD ,M 为AB 中点,分离贯穿连接AC .BD .MD .MC ,且AC 与MD 交于E ,BD 与MC 交于F ,则EF 与AB 的地位关系是________;3．如图5-35,△ABC 中,M 为AC 的中点,E 为AB 上一点,且AB AE 41=,贯穿连接EM 并延伸,交BC 的延伸线于D ,求证：BC ＝2CD ．4．如图5-36,在△ABC 中,EF ∥CD ,DE ∥BC ,求证：DBADFD AF =．5．如图5-37,△ABC 中,AF ∶FD ＝1∶5,BD ＝DC ,求：AE ∶EC ．6．如图5-38,M 为□ABCD 的边BC 的中点,F 为DC 边上的点,BF 交AM 于N ,交AC 于E ,且AN ＝3MN ,求FC∶AB的值．7．如图5-39,已知D是△ABC中AB边上一点,DE∥BC交AC于E,贯穿连接CD,过E作EF∥CD交AB于F,求证：AD是AF和AB的比例中项．8．如图5-40,已知△ABC中,AB＞AC,AD⊥BC于D,F为BC中点,过F作BC垂线交AB于E,BD＝6cm,DC＝4cm,AB＝8cm,求AE.BE的长．9．如图5-41,已知△ABC 中,∠ACB ＝90°,BFC S ∆∶AFC S ∆＝1∶3,BC ＝12cm,FE ⊥BC 于E ,求EB 的长．10．如图5-42,已知：□ABCD 对角线交于O ,OE ⊥BC 于E ,交AB 的延伸线于F ,若AB ＝a ,BC ＝b ,BF ＝c ,求BE 的长．参考答案1．（1）A （2）D （3）A （4）B （5）C 2．（1）31,21（2）5,6 （3）平行 3．提醒：过点C 作CN ∥DE 交AB 于N ．4．略 5．1∶10 6．32 7．略 8．cm 34,cm 320 9．3cm 10．ca bc2。
平行线分线段成比例经典例题与变式练习(题目)(教育相关)
A
E
D
M
N
P
B
C
【例10】 在 ABC 中，底边 BC 上的两点 E 、 F 把 BC 三等分， BM 是 AC 上的中 线， AE 、 AF 分别交 BM 于 G 、 H 两点，求证： BG :GH : HM 5:3: 2
A
M GH
BE
【例11】 如图， M 、 N 为 ABC 边 BC 上的两点，且满足 BM MN NC ，一条 平行于 AC 的直线分别交 AB 、 AM 和 AN 的延长线于点 D 、 E 和 F . 求证： EF 3DE .
AB AC BC
A D
E E
D A
B
CB
C
3. 平行的判定定理：如上图，如果有 AD AE DE ，那么 DE ∥ BC 。 AB AC BC
专题讲解
专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用 【例1】如图， DE ∥BC ，且 DB AE ,若 AB 5，AC 10 ，求 AE 的长。
（1）如图（1），在 ABC 中， M 是 AC 的中点， E 是 AB 上一点，且 AE 1 AB ，
4
连接 EM 并延长，交 BC 的延长线于 D ，则 BC _______.
CD
（2）如图（2），已知 ABC 中， AE : EB 1: 3， BD: DC 2:1， AD 与 CE 相交于 F ，则 EF AF
A
F E
B
D
C
【例7】（宁德市中考题）如图， ABC 中， D 为 BC 边的中点，延长 AD 至 E ， 延长 AB 交 CE 的延长线于 P 。若 AD 2DE ，求证: AP 3AB 。
A
B P
平行线分线段成比例经典例题与变式练习(精选题目)备课讲稿
平行线分线段成比例经典例题与变式练习(精选题目)平行线分线段成比例平行线分线段成比例定理及其推论1. 平行线分线段成比例定理如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB ACDE DF=. l 3l 2l 1FE D CB A2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则AD AE DEAB AC BC==ABCDEEDC B A3. 平行的判定定理：如上图，如果有BCDEAC AE AB AD ==，那么DE ∥ BC 。
专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用【例1】 如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。
EDCBA【例2】 如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：111c a b=+.FE DCBA【巩固】如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F .证明：111AB CD EF+=. FEDCBA【巩固】如图，找出ABD S ∆、BED S ∆、BCD S ∆之间的关系，并证明你的结论.FE DCBA【例3】 如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥， 129AB CD ==，，过对角线交点O 作EF CD ∥交AD BC ，于E F ，，求EF 的长。
OFED CBA【巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD a BC b E F ==，，，分别是AD BC ，的中点，AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，求PQ 的长。
QPFED CBA专题二、定理及推论与中点有关的问题 【例4】 （2012年北师大附中期末试题）（1）如图（1），在ABC ∆中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且14AE AB =，连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则BCCD=_______. （2）如图（2），已知ABC ∆中，:1:3AE EB =，:2:1BD DC =，AD 与CE 相交于F ，则EF AFFC FD+ 的值为（ ） A.52 B.1 C.32D.2 (1)MEDC BA(2)F ED CBA【例5】 （2011年河北省中考试题）如图，在ABC ∆中，D 为BC 边的中点，E 为 AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O .（1）当1A 2AE C =时，求AOAD的值；（2）当11A 34AE C =、时，求AOAD 的值； （3）试猜想1A 1AE C n =+时AOAD 的值，并证明你的猜想.E D CAO【例6】 （2013年湖北恩施中考题）如图，AD 是ABC ∆的中线，点E 在AD 上，F 是BE 延长线与AC 的交点.（1）如果E 是AD 的中点，求证：12AF FC =； （2）由（1）知，当E 是AD 中点时，12AF AEFC ED=⋅成立，若E 是AD 上任意一点（E 与A 、D 不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由.F E DCBA【巩固】（天津市竞赛题）如图，已知ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上的一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F 。
初中数学例题：平行线分线段成比例及其推论的应用
初中数学例题：平行线分线段成比例及其推论的应用3、如图，已知梯形ABCD中，AB∥DC，△AOB的面积等于9，△AOD的面积等于6，AB=7，求CD的长．【思路点拨】根据△AOB的面积等于9，△AOD的面积等于6，可知OB：OD的值，再根据平行线分线段成比例即可求解．【答案与解析】解：∵AB∥DC，==4∵△AOB的面积等于9，△AOD的面积等于6，==CO∵AB=7，∴CD=【总结升华】主要考查了平行线分线段成比例和等高三角形的面积的比等于对应底边的比的性质，熟练掌握性质是解题的关键．举一反三【变式】如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE=A ．4.5B ．8C ．10.5D ．14【答案】解：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ，=6EC ==+解得：EC=8．故选：B ．4、如图，直线l 1∥l 2∥l 3，若AB=2，BC=3，DE=1，则EF 的值为（ ）A 23B 32C 6D 16【答案】B.【解析】解：∵直线l 1∥l 2∥l 3，=∵AB=2，BC=3，DE=1，故选B ．【总结升华】本题考查平行线分线段成比例定理的应用，注意：一组平行线截两条直线，所截的对应线段成比例．举一反三【变式】如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB=3：5，那么CF：CB 等于（）A．5：8 B．3：8 C．3：5 D．2：5【答案】解：∵AD：DB=3：5，∴BD：AB=5：8，∵DE∥BC，∴CE：AC=BD：AB=5：8，∵EF∥AB，∴CF：CB=CE：AC=5：8．故选A．。
初二数学平行线分线段成比例定理讲义及练习
平行线分线段成比例定理一、主要知识点1．平行线分线段成比例定理,三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.2．三角形一边平行线的性质定理（即平行线分线段成比例定理的推论）:平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.3．三角形一边的平行线的判定定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.4．三角形一边的平行线的性质定理2（即课本例6）:平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线)相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。
二、重点剖析1．平行线分线段成比例定理，是研究相似的最重和最基本的理论，同时，它也是直接证明线段成比EFBC=, 可以说成“上比下等于上比下"DEAB=, 可以说成“上比全等于上比全"又∵43=EC AE ∴ 73=AC AE ∴73=DC EG极 EG=3X , DC=7X （X>0），则∵32=DC BD ∴ DB=x x DC 31473232=⨯= ∴9143314==x xEG BD10例3求证分析 BC//FE 证明:∵则例4 分别连结E ，DB 分析:首先观察证明：∵点评 （1（3 例5 求证分析 例6 分析在△②—①得-AB AD BF BC 例7 如图11,AD BF ⊥AD 的延长线于交BC 的延长线于M 求证：AE=EM分析 要证AE=EM,可延长BF 交AC 证明：延长BF 交AC ∴△ABF ≌△ANF8． 图,GB AF l l 52,//21=,BC=4CD ， 91011AE 1213① 求证ME=NF② 当EF 向上平移 图（2)各个位置其他条件不变时， ①的结论是否成立，请证明你的判断。
［练习与测试参考解答或提示]1．215;2．18cm ； 3．52,35； 4．9:4; 5．9； 6．10,18； 7．9：1； 8．2； 9．6 10．提示,过D 作DH//AC 交BG 于H 点，则DH AEGD AG =，DHEC BD BC =，又AE=EC ，BD=AB,即可得结论。
平行线分线段成比例经典例题与变式练习(精选题目)
平行线分线段成比例知识梳理平行线分线段成比例定理及其推论1.平行线分线段成比例定理如下图，如果h // I2 // I3，则BCACABDEACDF2.平行线分线段成比例定理的推论:3.平行的判定定理:AB DEAC12DF，EFDF如图，在三角形中，如果ADDE // BC，贝U --ABAEACDEBC 如上图，如果有ADABAEACDEBC，那么DE // BC专题讲解专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用【例1】如图，DE // BC，且DB AE,若AB 5, AC 10，求AE的长。
【例2】如图，已知AB//EF//CD，若AB a , CD b , EF c ,求证：111. cab 【巩固】如图，AB BD，CD BD，垂足分别为B、D，AC和【巩固】如图，找出S ABD、S BED、S BCD之间的关系，并证明你的结论BD相交于点E，EF BD，垂足为F .证明:1 1AB CD1EFA连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ， 则CC （2）如图（2），已知 ABC 中，AE:EB 1:3，BD :DC 2:1，AD 与CE 相交于F ，则EF FCAF FD的值为（）A.|B.1C.【例5】（2001年河北省中考试题）如图，在 AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O .【例3】如图，在梯形ABCD 中，AB // CD , AB 12 , CD 9，过对角线交点0作EF // CD 交 AD , BC 于 E , F ，求 EF 的长。
【巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形 ABCD 中，AD // BC ，AD a ，BC b ，E ，F 分别 是AD ，BC 的中点，AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，求PQ 的长。
专题二、定理及推论与中点有关的问题 【例4】（2007年北师大附中期末试题）1（1）如图（1），在 ABC 中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且AE - AB ，43 2D.2A(1)当AE-时，求AO的值；AC2AD(2)当AE 1 1 口」、—求A0的值；AC 3 4AD(3)试猜想AE 1AC n 1时A0的值，并证明你的猜想AD【例6】（2003年湖北恩施中考题）如图，AD是ABC的中线，点E在AD上，F 是BE延长线与AC的交点.（1）如果E是AD的中点，求证：圧 -；FC 2（2）由（1）知，当E是AD中点时，圧-成立，若E是AD上任意一点（E与A、DFC 2 ED不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由.【巩固】（天津市竞赛题）如图，已知ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD 上的一点，且BE AC，延长BE交AC于F。
中学初二数学平行线分线段成比例定理讲义及学习练习
平行线分线段成比率定理一、主要知识点1．平行线分线段成比率定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比率。
2．三角形一边平行线的性质定理（即平行线分线段成比率定理的推论）：平行于三角形一边的直线截其余两边（或两边的延伸线），所得的对应线段成比率。
3．三角形一边的平行线的判断定理：假如一条直线截三角形的两边（或两边的延伸线）所得的对应线段成比率，那么这条直线平行于三角形的第三边。
4．三角形一边的平行线的性质定理2（即课本例6）：平行于三角形的一边，而且和其余两边（或两边的延伸线）订交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比率。
二、要点解析1．平行线分线段成比率定理，是研究相像的最重和最基本的理论，同时，它也是直接证明线段成比例的最重要方法之一。
定理的基本图形DL1D AL1A(D)L1D AL1AEL2E BL2B EL2B(E)L2BFL3C FL3C FL3C FL3C图1-（1）图1-（2）图1-（3）图1-（4）∵l1∥l2∥l3AB DE AB DE BC EF ∴EF AC DF AC DF BC①对应线段是指一条直线被两条平行直线截得的线段与另一条直线被这两条平行直线截得的线段对应。
②为了重申对应和记忆，能够使用一些简单形象化语言记忆上边所列三组比率式：AB DE，能够说成“上比低等于上比下”BC EFAB DE，能够说成“上比全等于上比全”AC DFBC EF，能够说成“下比全等于下比全”等AC DF2．三角形一边平行线的性质定理1（即平行线分线段比率定理的推论）基本图形A E DAAB CD EB C B CD E图2-(1)图2-(2)图2-(3)∵DE∥BC∴AD AE AD AE DB CEDB EC AB AC AB AC①图2—（1），图2—（3）称为“A”型，图2—（2）称为“X”型②推论中“或两边的延伸线”是指三角形两边在第三边同一侧的延伸线优选3．三角形一边平行线的判断定理是平行线分线段成比率的推论的抗命题。
平行线分线段成比例专题培优提高训练(最新编写)
A
E
D
P
Q
B
F
C
专题二、定理及推论与中点有关的问题
【例4】（2007 年北师大附中期末试题） （1）如图（1），在 ABC 中， M 是 AC 的中点， E 是 AB 上一点，且 AE 1 AB ，
4
连接 EM 并延长，交 BC 的延长线于 D ，则 BC _______.
CD
（2）如图（2），已知 ABC 中， AE : EB 1: 3 ， BD : DC 2 :1， AD 与 CE 相交于 F ，
3
A
F E
B
D
C
【例6】（宁德市中考题）如图， ABC 中， D 为 BC 边的中点，延长 AD 至 E ，
延长 AB 交 CE 的延长线于 P 。若 AD 2DE ，求证:
AP 3AB 。
A
B D
P
E
C
【巩固】（济南市中考题；安徽省中考题）如图， ABC 中， BC a ，若 D1 ，E1
C
D
E
O
A
B
【习题2】 在 ABC 中， BD CE ， DE 的延长线交 BC 的延长线于 P ，
求证： AD BP AE CP .
A
D
E
B
C
P
【习题3】 如图，在 ABC 的边 AB 上取一点 D ，在 AC 取一点 E ，使 AD AE ， 直线 DE 和 BC 的延长线相交于 P ，求证： BP BD
AD
（2）当 AE 1、1 时，求 AO 的值；
AC 3 4
AD
A
（3）试猜想 AE 1 时 AO 的值，并证明你的猜想.
AC n 1 AD
利用面积法证明平行线分线段成比例定理
求证： AB BD
AC DC
E
证法一：
B
证明：分别过点D作 DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F
AD是BAC的平分线
DE DF
A F
D
又 S ABD BD S ACD DC
S ABD AB (不同底等高） S ACD AC
AB BD AC DC
C (不同底等高）
E
拓展练习：
归纳
基本事实：
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
l1 // l2 // l3 AB DE
BC EF
利用面积法证明平行线分线段成比例定理 面积法就是利用三角形的面积相等或者成比例， 来证明其他的线段相等或为成比例线段的方法。
（1）等底等高的两个三角形面积相等； （2）等底的两三角形面积之比等于其高之比； （3）等高的两三角形面积之比等于其底之比；
深圳市田东中学教师 陈海淑
2015年9月
如图，小方格的边长均为1，直线l1 // l2 // l3， 分别交直线m, n于格点A1, A2 , A3 , B1, B2 , B3.
（1）计算
A1A2 与 B1B2 的值，你有什么发现？
A2 A3 B2B3 A1 A2 B1B2 A2 A3 B2 B3
连接AE, CE
由图可知，△ABE和△CBE 分别以AB,BC为底，高相同
S ABE AB S CBE BC
同理连接 BD, BF可得：
S DBE DE S FBE EF
l1 // l2 SABE SDBE
(同底等高）
l2 // l3 SCBE SFBE
(同底等高）
S ABE S DBE
已知：如图，AD是△ABC的内角平分线，
2014-北师大版平行线分线段成比例定理讲义与习题练习
平行线分线段成比例定理讲义与习题练习问题：一组等距离的平行线截直线a 所得的线段相等吗？，那么在直线b 上所截的线段有什么关系呢？总结：一组等距离的平行线在直线a 所截得的线段相等，那么在直线b 上所截得的线段也相等. 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等， 那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等。
∵直线a // b // c ，AB = BC ∴A'B' = B'C'。
平行线分线段成比例定理：1.三条平行直线L 1//L 2//L 3截直线AE 上的线段AC 、CE 长度之间（除相等外）存在着什么关系呢？同样截直线BF 上的线段BD 、DF 长度之间存在着什么关系呢？ 板书：由L 1//L 2//L 3可得：32=CE AC ；32=DF BD 所以：32==DF BD CE AC2.平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等。
观察上图我们容易发现下面结论成立. 1．应用定理，等分线段（1）已知线段AB ，你能它三等分吗？依据是什么？ 已知：线段AB （如图7）。
如图7求作：线段AB 的三等分点。
选择题:(1)如右图，已知L 1//L 2//L 3，下列比例式中错误 的是：（ ）A ．DF BD CE AC = B.BF BDAE AC = C. BF DF AE CE = D.ACBDBF AE = (2)如右图，已知L 1//L 2//L 3，下列比例式中成立 的是：（ ）A B L 1C D L 2E F L 3 A B L 1C D L 2 A B L 1C D L 2E F L 3A B L 1C D L 2E F L 3cCB A A'B'C'BA ．BC CE DF AD = B.AF BCBE AD =C. BC AD DF CE =D.CEBEDF AF =根据学生的回答情况对定理内容最进行一 次总结，重点是对应两字.例题：如图，已知L 1//L 2//L 3, 证明：DFACEF BC DE AB ==.2．已知：如图13，AD 是△ABC 的中线，E 是AD 的中点，AE 的延长线交AC 于F 。
面积法证明平行线分线段成比例定理
面积法证明平行线分线段成比例定理
刘建海
【期刊名称】《中学数学研究（下半月）》
【年(卷),期】2014(000)010
【摘要】在九年级数学下册【1】第二十七章相似中，学习相似三角形判定前先介绍了平行线分线段成比例定理（教材第40—41页），然而该定理在教材中是通过让学生度量的方式引出就直接应用其结论，证明略去．我的教学感受是度量有操作有误差，不能很好的证明定理，或者学生凭着经验配合老师得到结论，证明显得苍白无力．所以有时干脆省略度量直接告诉学生这个定理的结论．有时想给出严格证明，结果发现课本、教参都没有．在教参【2】（第66页下方）的原话是“由于这个定理的证明涉及无理数、极限等知识，学生尚不能理解…”．
【总页数】1页(P18-18)
【作者】刘建海
【作者单位】广东省珠海市南屏中学,519060
【正文语种】中文
【中图分类】O174
【相关文献】
1.面积法在几何证明题中的妙用 [J], 张旭光
2.用面积法证明几何题 [J], 黄允钻
3.运用面积法证明平几的一个重要定理 [J], 赵敏
4.面积计算和面积法证明 [J], 吴跃林;;
5.一个不等式的面积法证明 [J], 蒋国盛
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