北京大学2000入学考试试题. 量子力学

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量子力学习题及解答

量子力学习题及解答第一章量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。

解根据普朗克的黑体辐射公式dv e chv d kThv v v 11833-⋅=πρ，（1）以及 c v =λ，（2）λρρd dv v v -=，（3）(有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。

本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。

但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kThc kT hc e kT hc e hcλλλλλπρ ⇒ 0115=-⋅+--kT hce kThc λλ ⇒ kThce kT hc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为x e x =--)1(5:这是一个超越方程。

首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。

据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。

1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。

解根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λhP =】如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph =λ nmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及,eVc e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。

量子力学真题和答案解析

量子力学真题和答案解析是物理学中的一个重要分支，研究微观领域的宇宙现象和微观粒子的行为规律。

具有复杂的数学理论基础，因此在学习和研究过程中常常会遇到各种难题和问题。

为了更好地理解和应用，解析真题和答案是非常重要的一步。

首先，解析真题前，我们需要了解一些基本概念和原理。

描述了微观粒子的行为，其中最基本的概念是量子态和波函数。

量子态描述了粒子的所有性质，而波函数则是的核心数学工具，用于描述粒子的状态和演化规律。

在研究真题时，我们需要仔细分析题目中给出的信息和条件。

通常，题目会给出一些实验或者观测结果，然后要求利用所学知识来推断和解释这些结果。

这就需要我们从题目中提取关键信息，并应用的原理进行分析。

解析真题时，我们可以采用逐步推导的方法。

首先，根据题目中给定的信息，我们可以确定所研究系统的量子态。

然后，根据波函数的演化规律，我们可以利用薛定谔方程或者时间演化算符来推导出系统的时间演化。

最后，我们可以根据所给条件和结果来验证和解释我们的推导和计算结果。

在解析真题时，我们还需要注意一些常见的问题和误区。

首先，是一种概率性理论，因此我们无法准确预测每一次实验的结果。

我们只能给出在大量重复实验中的平均结果。

其次，波函数的坍缩现象是的核心特征之一。

在测量时，波函数会坍缩到某一特定的量子态，从而给出确定的结果。

最后，量子纠缠是中的一个重要现象。

它描述了在某些情况下，两个或多个微观粒子之间存在着密切的关联，无论它们之间的距离有多远。

总结一下，解析真题和答案是学习和研究的重要一步。

我们需要了解的基本概念和原理，并且可以采用逐步推导的方法来分析和解决问题。

我们还需要注意中的一些常见问题和误区，以便更好地理解和应用的原理和概念。

通过解析真题和答案，我们可以提高对的理解，并且能够更好地应用于实际问题和研究中。

北京大学-量子力学习题集1

容易看出粒子的波函数
ψ ( x, t ) = α xe
2
2μ E 2 μα = 2 − = =2
(6)
式(6)两边平方，得
2μ E ⎞ 1 ⎛ 2 μα 2 = ⎜ 2 − V0 ⎟ 2 2α ⎝ = = ⎠
(7)
显然 E 有解的条件是 2 2 = V0 2 μα 2 > V0 , 或 α > 2 2μ = 这正是存在束缚态的条件.由式(7)得
⎛ 2 μα ⎞ − V0 ⎟ E = 2 ⎜ 2 8μα ⎝ = ⎠ =
Δx ⋅ Δp ≥
4
解先对态ψ(x) 进行归一化.由波函数的归一化条件
∫
有得于是
∞
−∞
ψ ( x) dx = 1
dx = A 4λ
2 3
2
∫
∞
0
A x e
2
2 −2 λ x
=1
A = 2λ 3 / 2
⎧2λ 3/ 2 xe − λ x , x ≥ 0 ψ ( x) = ⎨ x<0 ⎩0,
(I)粒子坐标的概率分布函数为
⎡ =2 ∂ ⎤ ∂ ⋅ 2 + V ( x ) ⎥ψ ( x, t ) i = ψ ( x, t ) = ⎢ − ∂t ⎣ 2 M ∂x ⎦
则得
= −γ x = − ( β 2 x − 2 β ) + V ( x) x 2M
2
由此可解出 x > 0 时的势
=2 V ( x) = −γ + 2M ⎛ 2 2β ⎞ ⎜β − ⎟ x ⎝ ⎠
则有
= 1 d ⋅ 2 ψ E ( x), V ( x) = E + 2m ψ E ( x) dx
2 2
(1) 如果给定一个定态波函数ψ E ( x) ，则由式(1) 可给出 V ( x) − E ，欲分别求出 E和 V ( x)，还需

几所高校量子力学硕士试题

高校量子力学研究生招生试题汇总一．复旦大学1999硕士入学量子力学试题二．天津大学1999硕士入学量子力学试题（1）三．北京大学2000年研究生入学考试试题考试科目：量子力学考试时间：2000.1.23下午招生专业：物理系各专业研究方向：各研究方向试题：一．（20分）质量为m 的粒子，在位势V x x V '+=)()(αδ 0<a00{V V ='00><x x 00>V中运动，a. 试给出存在束缚态的条件，并给出其能量本征值和相应的本征函数；b. 给出粒子处于x >0区域中的几率。

它是大于1/2，还是小于1/2，为什么？二．（10分）若|α>和|β>是氢原子的定态矢（电子和质子的相互作用为库仑作用，并计及电子的自旋—轨道耦合项）a. 给出|α>和|β>态的守恒量完全集；b. 若0ˆˆ)(≠⋅αβr sr f ,则|α>和|β>态的那些量子数可能是不同的，为什么？（注：f(r)是r 的非零函数，r s ˆ,ˆ为电子的自旋和坐标算符。

）三．（16分）三个自旋为1/2的粒子，它们的哈密顿量为)ˆˆˆˆˆˆ(ˆ1332210s s s s s s C H ⋅+⋅+⋅= 求本征值和简并度。

四．（22分）两个自旋为1/2的粒子，在),(21z z s s 表象中的表示为))((2211βαβα，其中，2iα是第i 个粒子自旋向上的几率，2iβ是第i 个粒子自旋向下的几率。

a. 求哈密顿量)(ˆ21210xy y x V H σσσσ-= 的本征值和本征函数；（V 0为一常数）b. t=0时，体系处于态121==βα，012==βα，求t 时刻发现体系在态021==βα，112==βα的几率。

（注：iy ix σσ,为第i 个粒子泡利算符的x, y 分量）五．（10分）考虑一维谐振子，其哈密顿量)21(ˆ+=+a a h H ϖ，而0],[],[==++a a a a ,1],[=+a a a. 若|0〉是归一化的基态矢（a|0）=0），则第n 个激发态为)(n n a N n +=试求归一化因子n N ； c. 若外加一微扰，aa a ga H ++='ˆ，试求第n 个激发态的能量本征值（准至g 一级）。

《量子力学》大一题集

《量子力学》大一题集一、选择题（每题5分，共50分）1.量子力学的研究对象主要是？A. 宏观物体的运动规律B. 微观粒子的运动规律C. 宇宙天体的运动规律D. 生命现象的运动规律2.下列哪位科学家是量子力学的奠基人之一？A. 牛顿B. 爱因斯坦C. 薛定谔D. 伽利略3.波粒二象性是指？A. 粒子只具有波动性B. 粒子只具有粒子性C. 粒子同时具有波动性和粒子性D. 波动和粒子是两种不同的物质4.在量子力学中，描述微观粒子状态的数学工具是？A. 牛顿运动定律B. 麦克斯韦方程组C. 波函数D. 爱因斯坦场方程5.下列哪个实验是量子力学发展史上的重要里程碑？A. 迈克尔逊-莫雷实验B. 双缝干涉实验C. 托马斯·杨的光干涉实验D. 薛定谔的猫实验6.量子力学中的“不确定性原理”是由谁提出的？A. 玻尔B. 海森堡C. 狄拉克D. 费曼7.在量子力学中，观测者对系统的影响称为？A. 观测者效应B. 量子纠缠C. 超位置D. 量子跃迁8.下列哪个现象是量子力学特有的，而经典力学无法解释？A. 光的折射B. 物体的自由落体C. 电子的双缝干涉D. 行星的运动9.量子纠缠是指？A. 两个粒子之间的引力作用B. 两个粒子之间的电磁作用C. 两个粒子之间的量子态的关联D. 两个粒子之间的强相互作用10.量子计算机相比经典计算机的最大优势是？A. 计算速度更快B. 存储容量更大C. 能耗更低D. 体积更小二、填空题（每题5分，共20分）1.在量子力学中，描述微观粒子运动状态的波函数需要满足_______方程。

2.量子力学中的“不确定性原理”表明，微观粒子的位置和动量是不确定的，其不确定度的乘积有一个_______的下限。

3.量子纠缠是_______之间的一种特殊关联，当其中一个粒子的状态发生改变时，另一个粒子的状态也会瞬间发生改变。

4.在量子力学中，观测者对系统的影响是不可忽视的，这种影响被称为_______。

北京大学统计物理与热力学2000真题

考试科目：统计物理与热力学考试时间：2000年1月24日上午
招生专业：理论物理研究方向：凝聚态理论与统计物理等试题：
已知某均匀系的内能（U）作为熵（S）与体积（V）的函数可以表为
U=C*S^(4/3)*V^(-1/3) （C为正常函数）
求该体系的压强（P），自由能（F），吉布斯函数（G），Cv与Cp 。

2、简要回答下列问题（不必计算）：
（1）固体比热的爱因斯坦理论与德拜理论的区别是什么？哪个理论更符合实验，为什么？
（2）什么条件下微正则、正则与巨正则系统在计算力学量的平均值时是等价的，为什么？
（3）经典能量均分定理的适用条件是什么？试尽你所知举出不满足经典能量均分定理的情形。

（4）若在玻尔兹曼方程中略去碰撞项，问系统的熵是否随时间改变，为什么？
3、对处于平衡态下的理想玻色气体，引入巨配分函数
Ξ = Π( 1 - e^(-α-β*ε_l)^( - ω_l)
l
其中ε_l与ω_l分别代表粒子的能级与该能级的简并度。

导出总粒子数平均值（N{bar}）,内能（E{bar}），外界作用力的平均值（Y{bar}_λ）及熵（S）用lnΞ表达的统计表达式。

在非简并条件（即e^α>>1）下，由上述公式出发，通过将lnΞ作泰勒展开并保持到最低阶的近似，导出N{bar},E{bar},Y{bar}_λ,S用lnz的表达式，其中z = Σω_l * e^(-β*ε_l) 为子系配分函数。

北京大学-量子力学习题集5

a A 6.设 V (r ) = − + 2 , (a, A > 0) ,求粒子能 r r
量本征值。
解：取守恒量完全集为 ( H , L , Lz ) ，其共同本征函数为 χ (r ) Ylm (θ , ϕ ) ψ (r , θ , ϕ ) = R(r )Ylm (θ , ϕ ) = r χ (r ) 满足的径向方程
ψ ( x) =
1 2π
∫ ϕ ( P ')e
i − ( p '+ p ) x
dp ' = e
i − xp
ψ 0 ( x)
⎛α ⎞ 其中 ψ 0 ( x) = ⎜ π ⎟ ⎝ ⎠
2
1/ 4
e
−α 2 x 2 2
⎛ mω ⎞ α =⎜ ⎟ ，故有， ⎝ ⎠
2 p2 − 2 mω
1/ 2
P = ∫ψ ( x)ψ ( x)dx = e
任何位置，单位体积内测到一个粒子的概率为1. 若沿用上面的方法来求归一化系数，则会出现
∫
∞
−∞
Ae
2 − ikx ikx
e dx = ∫ A dx = ∞ ⋅ A
2 −∞
∞
2
要使积分为1，必须A=0，因此波函数不能归一，只能归一为δ函数。
1 ∫−∞ 2π exp {−ik ′x} exp {ikx} dx = δ (k − k ′)
⎛a⎞ 2 2 设归一化的本征态为 ⎜ ⎟ ， a + b = 1则 b⎠ ⎝ 由本征方程
⎛ B −iA ⎞ ⎛ a ⎞ ⎛a⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = λ ⎜ ⎟ ⎝ iA − B ⎠ ⎝ b ⎠ ⎝b⎠
可以解出本征态为
Ψ± ⎡ ⎤ 1 =⎢ ⎥ 2 2 2 2 ⎢ ⎣ A + (B ∓ A + B ) ⎥ ⎦

北大物理部分真题

北大物理部分真题北京大学量子力学真题部分北京大学量子力学的部分真题。

1992年4.设粒子处于半径为a的球壁内,(1)求基态能量。

(2)求基态粒子对球壁的压强。

1994年6.假设两个质量为m=70Me/c2的夸克可以通过位势V=-a(?1.?2-b)r2束缚在一起,其中r是两个夸克之间的距离?1和?2分别为夸克1和夸克2的包利自旋矩阵,a=68.99Me/fm2,而b是一个待定的参数,(1)b 应取什么值,才能使两个夸克束缚在一起?(2)设两个夸克是不同类型的,并取b=3/2,试求基态能量和简并度,(3)设两个夸克是同一类型的,并取b=3/2,试求基态能量和简并度。

(4)当b=0时,求两个全同夸克在基态的方均根距离, hc=1.97.3MeV.fm.为自旋1和自旋2,h都是带横岗的1995年5.设L为轨道角动量。

在(L2,Lz)表象(即以Ilm>为基矢的表象)中,写出L=1的子空间中Lx的矩阵表示式,并求出它的本征值和本征态。

1998年7.在一维无限深位阱中,V(x)=0,0<xa.</x(1)求一维无限深位阱的能量本征值,及相应的本征函数。

(2)如果有两个无相互作用的自旋为1/2的全同粒子在此中,试写出此位阱系统基态和第一激发态的能量值和波函数。

1999年6.一个质量为m的粒子在一维势场V(x)=正无穷,x<0.V(x)=1/2mw平方x平方,x>0中运动,求其能级,不必作详细计算。

2000年6.考虑体系H=T+V(x),V(x)=无穷x<0,V(x)=Ax,x>0(A>0).(1)利用变分法,取试探波函数函数1=(2比b根号π）1/2e的-x平方/2b平方,求基态能量上限E1;(2)我们知道,如试探波函数为函数2==(1比b根号π）1/2(2x/b)e 的-x平方/2b平方,则基态能量上限为E2=(81/4π)根号1/3(A平方h 平方/m)根号1/3,对这两个基态的能量上限,你能接受哪一个,为什么?2001年6.质量为m的粒子在位势V=无穷,x<0,V=cx平方,x>0中运动,c>0,(1)试利用变分法估计体系基态能量;(2)它是精确解的上限还是下限?你能给出精确的基态能量吗?2007年5.H(t)=-h平方/2mx导数平方+1/2mw零平方x平方(1+1/cosh 平方兰姆达t)t趋向于负无穷时刻,该体系处在谐振子基态I0>.在t趋向于正无穷时刻态体系跃迁到激发态In>的概率记为p零趋向于n.(a)求(b)当(c)讨论2008年VI.质量为m的粒子在位势V(x)=-兰姆达扥特(x),(兰姆达>0)中运动。

[理学]《量子力学导论》习题答案曾谨言版_北京大学1

第一章量子力学的诞生1.1设质量为m 的粒子在一维无限深势阱中运动， ⎩⎨⎧<<><∞=ax ax x x V 0,0,0,)(试用de Broglie 的驻波条件，求粒子能量的可能取值。

解：据驻波条件，有 ),3,2,1(2=⋅=n n a λn a /2=∴λ （1）又据de Broglie 关系 λ/h p = （2）而能量(),3,2,12422/2/2222222222==⋅===n ma n a m n h m m p E πλ （3）1.2设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。

解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。

假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。

动量大小不改变，仅方向反向。

选箱的长、宽、高三个方向为z y x ,,轴方向，把粒子沿z y x ,,轴三个方向的运动分开处理。

利用量子化条件，对于x 方向，有()⎰==⋅ ,3,2,1,x x xn h n dx p即 h n a p x x =⋅2 （a 2：一来一回为一个周期）a h n p x x 2/=∴,同理可得， b h n p y y 2/=, c h n p z z 2/=,,3,2,1,,=z y x n n n粒子能量 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=222222222222)(21c n b n a n mp p p m E z y x z y x n n n zy x π ,3,2,1,,=z y x n n n1.3设质量为m 的粒子在谐振子势2221)(x m x V ω=中运动，用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。

提示：利用 )]([2,,2,1,x V E m p n nh x d p -===⋅⎰)(x V解：能量为E 的粒子在谐振子势中的活动范围为 a x ≤ （1）其中a 由下式决定：221()2x a E V x m a ω===。

北京大学-量子力学习题集4

1 = [C0Y11 + C0Y1−1 + (C1 + C−1 )Y10 ] 2
比较后得
1 C1 = C0 2
1 ， C−1 = C0 2
由波函数归一得
1 C0 = 2
。
1 ψ = [Y11 + Y1−1 + 2Y10 ] 2
ˆ2 = B ˆ 2 = 1， 5. Hermite算符与满足 A ，，均无简并，求（1）在A表象中与的矩阵表达式，并求的本征函数表示式；（2）在B表象中与的矩阵表达式，并求的本征函数表示式；（3）A表象到B表象的幺正变换矩阵S。
= C1Φ1 +C2Φ2
（4）
其中
C1 = (exp(−iω1t ) + exp(−iω2t )) / 2 ，
C2 = (exp( −iω1t ) − exp( −iω2t )) / 2
（5）
| C1 |2 = {1 + cos(ω1 − ω2 )t}2 ，
| C2 |2 = {1 − cos(ω1 − ω2 )t}2
其中所以静电势能为
由
，得
所以
体系的Hamilton量为
所以
因为
考虑到这里不过是一级微扰论，而H '又只是在核子体积内起作用。这里a为 Bohr半径。
所以计算中可略去径向波函数中的指数，认为，由此得1s态能移
2p态能移
10. 粒子在二维无限深方势阱中运动,
0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ a ⎧ 0, V =⎨ ⎩ ∞, x < 0, x > a , y < 0, y > a
A = (a1 + a2 ) / 2 + ((a1 − a2 ) / 2) cos( E1 − E2 )t /

(NEW)北京大学物理学院量子力学历年考研真题汇编

目录
第1部分北京大学量子力学考研真题 2000年北京大学量子力学考研真题 2001年北京大学量子力学考研真题 2003年北京大学量子力学考研真题 2004年北京大学量子力学考研真题
第2部分其他院校量子力学考研真题 2017年华南理工大学630量子力学考研真题 2017年南京航空航天大学618量子力
3．两个自旋ห้องสมุดไป่ตู้1/2的全同粒子在一维无限深势阱中，试求两粒子处于基态的总自旋波函数。
∧
∧∧
∧
∧∧
4．σ±＝σx±iσy，求σ±2，（σ＋σ－）2。
∧
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∧∧
5．L±＝Lx±iLy，求[Lα,L±]，[L＋,L－]，[L2,L±]。
6．在中心力场中，基态的轨道角动量为何值？并做简要解释。
三、（共65分）
学考研真题
第1部分北京大学量子力学考研真题 2000年北京大学量子力学考研真题
2001年北京大学量子力学考研真题
2003年北京大学量子力学考研真题
2004年北京大学量子力学考研真题
一、（共45分）
1．解释态迭加原理，全同性原理和态的统计解释。
2．写出非简并微扰论的一级、二级能量修正公式。
第2部分其他院校量子力学考研真题 2017年华南理工大学630量子力学考研真题
2017年南京航空航天大学618量子力学考研真题
4．（11分）已知
且有|x|→∞时，有V(x)→0，试求势能V(x)的具体表达式。
5．（11分）已知5个自旋为1，质量为m的全同粒子处于一个平面上的半径为R的一个圆周，并且这5个粒子组成五边形，5个粒子绕通过圆心的轴线转动而构成动体系。
（1）写出上述体系的哈密顿量，并讨论基守恒量有哪些？

硕士学位研究生入学量子力学试卷

附件中国科学院-中国科技大学2000年招收攻读硕士学位研究生入学试卷试卷名称：量子力学（理论型）选做五题，毎题20分1、一个质量为m 的粒子被限制在一维区域0x a ≤≤运动，0t =的波函数为(),012cos sin x x x t A a a ππψ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ A 为常数。

（1）后来某一时刻0t t =时波函数是什么？（2）体系在0t t =和0t =时平均能量是多少？（3）在0t t =时于势阱右半部（即2ax a ≤≤）发现粒子的几率是多少？ 2、3、设粒子处于(),lm Y θϕ状态，计算角动量的x 分量和y 分量的方均差22,x y l l ∆∆4、记123,,σσσ为Pauli 矩阵，定义12,i σσσ±=±（1）计算[][][]()233,,,,,,σσσσσσσ+-+-+和()2σ-，（2）证明（ξ为常数）332e e e ξσξσξσσ±±±=，证：[]3,2σσσ±±=± ()33322σσσσσσσ±±±±∴=±=±()()2233333322σσσσσσσσσσ±±±±==±=±反复利用即得()332nn σσσσ±±=± 两边同乘实数nξ得 ()332nn n nξσσσξσ±±=± 即()33322e ee e ξσξσξσξσσσ±±±±±==（3）化简下面二式331112,e e e e ξσξσξσξσσσ--。

5、设0H 为一量子系统的能量算符，其本征态为0,1,2,⋅⋅⋅若体系受到微扰作用，微扰算符为ˆˆˆ,(H i A B λλ⎡⎤'=⎣⎦为实数），ˆA为厄密算符，ˆˆ,B C 为另外的厄密算符，且ˆˆˆ,.C i A B ⎡⎤=⎣⎦如在微扰作用前的基态0中，ˆˆˆ,,A B C 的平均值已知为000,,A B C ，试对微扰后的基态（非简并）计算厄密算符ˆB的平均值B ，精确到量级λ。

大学物理量子力学习题答案解析

一、简答题（1——8题，每题5分，共40分）1. 用球坐标表示，粒子波函数表为()ϕθψ,,r 。

写出粒子在),(ϕθ方向的立体角Ωd 中且半径在a r <<0范围内被测到的几率。

解：()⎰Ω=adrr r d P 022,,ϕθψ。

2. 写出三维无限深势阱⎩⎨⎧∞<<<<<<=其余区域,0,0,0,0),,(cz b y a x z y x V中粒子的能级和波函数。

解：能量本征值和本征波函数为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++222222222c n b n a n mE z yx n n n zy x π ，,3,2,1,00,0,0,sin sin sin 8),,(=⎪⎩⎪⎨⎧<<<<<<=n c z b y a x czn b y n a x n abc z y x z y x n n n z y x 其余区域πππψ3. 量子力学中，一个力学量Q 守恒的条件是什么？用式子表示。

解：有两个条件：0],[,0==∂∂H Q t Q。

4.）（z L L ,2 的共同本征函数是什么？相应的本征值又分别是什么？解：()zL L,2的共同本征函数是球谐函数),(ϕθlmY。

),(),(,),()1(),(22ϕθϕθϕθϕθlm lm z lm lm Y m Y L Y l l Y L =+=。

5. 量子力学中，体系的任意态)(x ψ可用一组力学量完全集的共同本征态)(x n ψ展开：∑=nn n x c x )()(ψψ，写出展开式系数n c 的表达式。

解： ()dxx x x x c n n n ⎰==)()()(,)(*ψψψψ。

6. 一个电子运动的旋量波函数为()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2,2,,r r s r z ψψψ，写出表示电子自旋向上、位置在r处的几率密度表达式，以及表示电子自旋向下的几率的表达式。

解：电子自旋向上（2 =z s ）、位置在r 处的几率密度为()22/, r ψ；电子自旋向下（2 -=z s ）的几率为()232/,⎰-r r d ψ。

北京大学量子力学习题集2

+
p2c2
− mc2
=
mc2
⎛⎜1 + ⎝
p2 m2c2
⎞1/ 2 ⎟ ⎠
− mc2
考虑了 T
与 p 关系的相对论修正至
1阶
c2
T
≈
mc2
⎛ ⎜1
+
⎝
p2 2m2c2
−
p4 8m4c4
⎞ ⎟ ⎠
−
mc2
= p2 − p4 2m 8m3c2
而相对论修正项 − p4 可看作微扰.
8m3c2
由微扰论，基态能量的移动为
+
pz
z
)
⎤ ⎥⎦
c为归一化常数.
[17] 在无限长圆筒中运动粒子的能量设粒子在无限长的圆筒中运动，筒半径为 a , 求粒子能量.
解柱坐标下的Schrodinger方程
⎡ ⎢ ⎣
−
2
2m
⎛ ⎜ ⎝
∂2
∂ρ 2
+
1
ρ
⋅∂
∂ρ
⎞ ⎟
+
⎠
L2z
2mρ 2
−
2
2m
⋅
∂2 ∂z 2
⎤⎥ψ
⎦
=
Eψ
用分离变量法求解方程
可见这里 y = a′ = 4 2 / me2 = 4a0 (a0是Bohr半径) ,表示电子基态最大概率之所在.
(V) 能量完备集为
En, px , pz
= − me4 32 2n2
+
1 2m
(
px2
+
py2 )
波函数为
ψ n, px , py
(r)
=

北京大学量子力学期中考试题

3. 若粒子处于 ψ(r, t) = e 2a 态中。试计算发现粒子在区域
x0 — x0 + dx 中的几率；
4.
试将算符
Aˆ (1
−
1 Aˆ
−1Bˆ )
表为
Aˆ ,
Bˆ
算符的幂级数的形式；
5．若波函数 ψ1,ψ2 ,ψ3 是线性无关的，试构成三个正交、归一的波函数（归一化因子的具体表达式不用给出）；
激发态, u1 ,的叠加态 ψ(x,0) 上。其几率振幅分别为 cosθ 和 sin θ ，位相差为 η = η0 − η1 1．试给出 ψ(x,t) ；
2．求 t 时刻， H, H2 ；
3．计算 t 时刻， x, x2 。
三．（16 分）质量为 m 的粒子，在位势
∞
x < 0, x > a
若三维自由粒子的哈密顿量为h?试判断下述力学量组中那些是守恒量完全集
姓名:
2000级物理系量子力学期中测验
by yixiansheng
学总分成绩
一．（29 分）试回答下列问题
1. = = ? （准至小数 2 位）
2. 写出粒子的几率流密度矢公式;
− r −iωt
Ψ(x) = Ae−λ x
1．求归一化常数 A；
2．已知它所处的位势 V(x)→0( 当 x→±∝)，试求其能
量本征值；
3．给出粒子运动的位势 V(x)。
6．请化简下列两重积分
∫ ∫ b1
a1
dx1
b2 a2
f (x1, x2 )δ (x1 −
x2 )dx2
其中， b1 > a1,b2 > a2 ；
7．若三维自由粒子的哈密顿量为 Hˆ ，试判断下述力学量组中

量子力学试题含答案

一、填空题：（每题 4 分，共 40 分）1. 微观粒子具有波粒二象性。

2．德布罗意关系是粒子能量E 、动量P 与频率ν、波长λ之间的关系，其表达式为：E=h ν, p=/h λ 。

3．根据波函数的统计解释，dx t x 2),(ψ的物理意义为：粒子在x —dx 范围内的几率。

4．量子力学中力学量用厄米算符表示。

5．坐标的x 分量算符和动量的x 分量算符x p 的对易关系为：[],x p i = 。

6．量子力学关于测量的假设认为：当体系处于波函数ψ(x)所描写的状态时，测量某力学量F 所得的数值，必定是算符Fˆ的本征值。

7．定态波函数的形式为： t E in n ex t x-=)(),(ϕψ。

8．一个力学量A 为守恒量的条件是：A 不显含时间，且与哈密顿算符对易。

9．根据全同性原理，全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性，费米子体系的波函数是_反对称的_____________,玻色子体系的波函数是_对称的_______ _。

10．每个电子具有自旋角动量S ，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值为： 2± 。

二、证明题：（每题10分，共20分）1、（10分）利用坐标和动量算符的对易关系，证明轨道角动量算符的对易关系：证明：zy x L i L L ˆ]ˆ,ˆ[ =]ˆˆ,ˆˆ[]ˆ,ˆ[z x y z yx p x p z p z p y L L --=2、（10分）由Schr ödinger 方程证明几率守恒：其中几率密度几率流密度证明：考虑 Schr ödinger 方程及其共轭式：2|),(|),(),(),(t r t r t r t rψ=ψψ=*ω22(,)[()](,)2i r t V r r t t μ∂ψ=-∇+ψ∂0=∙∇+∂∂J tω][2ψ∇ψ-ψ∇ψ=**μi J ]ˆˆ,ˆ[]ˆˆ,ˆ[z x y z x z p x p z p z p x p z py ---=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x y z z x z p x p z p z p z p x p y p z py +--=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x z p x p z p z py +=y z z y z x x z p p x z p x p z p p z y p z py ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+++=y z x z p p x z p z py ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+=y z y z x z x z p p x z p p z x p z p y p pyz ˆˆ],[ˆ]ˆ,[ˆ],ˆ[]ˆ,ˆ[+++=y x p i x pi y ˆ)(ˆ)( +-=]ˆˆ[x y p y px i -= zL i ˆ =在空间闭区域τ中将上式积分，则有：三、计算题：（共40分）1、（10分）设氢原子处于状态),()(23),()(21),,(11211021ϕθϕθϕθψ--=Y r R Y r R r 求氢原子能量E 、角动量平方L 2、角动量Z 分量L Z 的可能值及这些可能值出现的几率。

《量子力学导论》习题答案(曾谨言版-北京大学)1

第一章量子力学的诞生1.1设质量为m 的粒子在一维无限深势阱中运动， ⎩⎨⎧<<><∞=ax ax x x V 0,0,0,)(试用de Broglie 的驻波条件，求粒子能量的可能取值。

解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。

假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。

动量大小不改变，仅方向反向。

选箱的长、宽、高三个方向为z y x ,,轴方向，把粒子沿z y x ,,轴三个方向的运动分开处理。

提示：利用 )]([2,,2,1,x V E m p n nh x d p -===⋅⎰)(x V解：能量为E 的粒子在谐振子势中的活动范围为 a x ≤ （1）其中a 由下式决定：221()2x a E V x m a ω===。

量子力学考试题讲解及答案

量子力学考试题讲解及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 量子力学中，波函数的平方代表的是：A. 粒子的位置B. 粒子的动量C. 粒子出现的概率密度D. 粒子的能量答案：C2. 根据海森堡不确定性原理，下列说法正确的是：A. 粒子的位置和动量可以同时精确测量B. 粒子的位置和动量不能同时精确测量C. 粒子的能量和时间可以同时精确测量D. 粒子的能量和时间不能同时精确测量答案：B3. 薛定谔方程是用来描述：A. 经典力学系统B. 热力学系统C. 量子力学系统D. 电磁学系统答案：C4. 量子力学中的波粒二象性是指：A. 粒子有时表现为波动性，有时表现为粒子性B. 粒子总是同时具有波动性和粒子性C. 粒子只具有波动性D. 粒子只具有粒子性答案：B5. 量子力学中，哪个假设是关于测量的？A. 叠加原理B. 波函数坍缩C. 泡利不相容原理D. 量子纠缠答案：B二、填空题（每题2分，共10分）1. 量子力学中的波函数通常用希腊字母________表示。

答案：Ψ2. 量子力学中的德布罗意波长公式为λ = ________。

答案：h/p3. 在量子力学中，一个粒子的总能量可以表示为E = ________ + V。

答案：K.E.4. 费米子遵循的统计规律是________统计。

答案：费米-狄拉克5. 量子力学中的测不准原理是由海森堡提出的，其数学表述为ΔxΔp ≥ ________。

答案：h/4π三、简答题（每题5分，共20分）1. 简述量子力学中的波函数坍缩概念。

答案：波函数坍缩是指在量子力学中，当一个量子系统的状态被测量时，系统的波函数会从多个可能的状态中“选择”一个确定的状态，这个过程称为波函数坍缩。

2. 解释量子力学中的叠加原理。

答案：叠加原理是指在量子力学中，一个量子系统可以同时处于多个状态的叠加，即系统的波函数可以是多个不同状态波函数的线性组合。

3. 描述量子力学中的泡利不相容原理。

答案：泡利不相容原理指出，两个相同的费米子（如电子）不能处于同一个量子态，即它们不能具有相同的一组量子数。