[工学]系统的状态变量分析法
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系统的状态变量分析
Chap.9 系统的状态变量分析1.系统状态及状态方程的基本概念2. 信号流图signal flow graph信号流图的代数运算1. 只有一个输入支路的结点值等于输入信号乘以支路增益。
3. 并联支路的合并：并联支路的总增益等于所有各支路增益之和（并联相加）。
2. 串联支路的合并：串联支路的总增益等于所有各支路增益的乘积（串联相乘）。
x 3信号流图的代数运算（续）4.结点的吸收和变换：输出结点可以消掉，混合结点也可以通过增加一个具有单位传输的支路变为输出结点。
5. 环路吸收：带有环路系统的总增益等于断开环路后所有输入输出支路增益乘积除以因式（1-环路增益）。
信号流图简化步骤环路吸收，去掉结点1X 例2结点吸收环路吸收信号流图简化步骤（续）环路吸收，去掉结点闭环4X 结点吸收，去掉结点4X信号流图简化步骤（续）442233221432443322432133222244444321332243211)1)(1(1)1)(1(G H G H G H G H G H H H G H G H G H H H H H H G H G G H H G H G H H H G H G H G H H H H H ++++++=++−−−−++=得到系统函数并联相加环路吸收)()(14422332214324433224321G H G H G H G H G H H H G H G H G H H H H H H ++++++=对于例2, 用梅森公式求系统的转移函数。
求信号流图的特征行列式△△=1+(H 2G 2+ H 3G 3+ H 4G 4+H 2H 3H 4G 1)+(H 2G 2H 3G 3+ H 2G 2H 4G 4)系统具有4个环路，分别为：L1=（X 1→X 2→X 1）=-H 2G 2L2= （X 3→X 4→X 3）=-H 3G 3L3= （X 4→Y →X 4）=-H 4G 4L4= （X 1→X 2→X 3→X 4→Y →X 1）=-H 2H 3H 4G 1互不接触环路为：L1和L2, L1和L3前向通路只有一条：g1=H 1H 2H 3H 4，其特征行列式的余子式△1为△1=1 –0 + 0 -……22)()0t e b)(t e i βp 1i α−1)(t r i p α+321===λλλ&&&321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡λλλ&&&。
第6章系统的状态变量分析法
• 其中x(0_)为初始条件的列矩阵，式(6. 3.10)即为方程(6. 3. 8}的一般 解。将此结果代入输出方程有:
• 将时域求解结果式(6. 3. 10)和式(6. 3. 11)与变换域求解结果式(6. 3. 4) 相比较，不难发现(SI -A)-1就是eAt的拉普拉斯变换，也即:
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•及 •或 • 将上面两式联立可以写成:
• 在状态变量法中，也可将状态方程用矢量和矩阵的形式表示，式((6. 1. 4)改写为:
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6. 1状态变量与状态方程
• 对于图6.1.1电路，若指定电容电压为输出信号，用y(t)表示，则输出 方程的矩阵形式为:
• 结合上面的例子，下面给出系统状态变量分析法中相关的几个名词的 定义。
• 定义状态矢量x(t)和状态矢量的一阶导数x‘(t)分别为:
•
代表矩阵的转置，再定义输入矢量e(t)为:
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6. 2连续时间系统状态方程的建立
• 另外，把由系数aσ组成的n行n列的矩阵记为A，把由系数bσ组成的n 行m列的矩阵记为B，则:
• 把式(6.2.5)、式(6.2.6)和式(6.2.7)代人式(6.2.3)中，可将状态方程简 写为:
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6. 4离散时间系统状态方程的建立
• 式中x(k)为状态矢量，e(k)为输入矢量，Y(k)为输出矢量，A, B, C, D 为相应的系数矩阵:
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6. 5离散时间系统状态方程的求解
• 6. 5. 1离散时间系统状态方程的时域求解
• 一般离散时间系统的状态方程表示为: • 此式为一阶差分方程，可以应用迭代法求解。 • 设给定系统的初始条件为x(0)，将k等于0，1, 2等依次代人式(6.5.1)
• 将时域求解结果式(6. 3. 10)和式(6. 3. 11)与变换域求解结果式(6. 3. 4) 相比较，不难发现(SI -A)-1就是eAt的拉普拉斯变换，也即:
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•及 •或 • 将上面两式联立可以写成:
• 在状态变量法中，也可将状态方程用矢量和矩阵的形式表示，式((6. 1. 4)改写为:
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6. 1状态变量与状态方程
• 对于图6.1.1电路，若指定电容电压为输出信号，用y(t)表示，则输出 方程的矩阵形式为:
• 结合上面的例子，下面给出系统状态变量分析法中相关的几个名词的 定义。
• 定义状态矢量x(t)和状态矢量的一阶导数x‘(t)分别为:
•
代表矩阵的转置，再定义输入矢量e(t)为:
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6. 2连续时间系统状态方程的建立
• 另外，把由系数aσ组成的n行n列的矩阵记为A，把由系数bσ组成的n 行m列的矩阵记为B，则:
• 把式(6.2.5)、式(6.2.6)和式(6.2.7)代人式(6.2.3)中，可将状态方程简 写为:
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6. 4离散时间系统状态方程的建立
• 式中x(k)为状态矢量，e(k)为输入矢量，Y(k)为输出矢量，A, B, C, D 为相应的系数矩阵:
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6. 5离散时间系统状态方程的求解
• 6. 5. 1离散时间系统状态方程的时域求解
• 一般离散时间系统的状态方程表示为: • 此式为一阶差分方程，可以应用迭代法求解。 • 设给定系统的初始条件为x(0)，将k等于0，1, 2等依次代人式(6.5.1)
第七章 系统的状态变量分析法
1.由系统的模拟框图列写
方法是选取积分器的输出信号作为状态变量。
例1：如图以 x1(t), x2 (t) 为状态变量，以 yt 为响应写出状态方程和输出
方程
b1
et
q''
q'
x2 '(t) x2(t)
a1
q
x1(t)
a0
yt
b0
解：x1'(t) x2(t)
x2'(t) a0x1(t) a1x2(t) e(t)
例2：已知一系统函数bs33s
3 b2s a2s2
2 b1s b0 a1s a0
解：此时：m n b3
b2
es
s3q(s) sx3 (s)
1 s2q(s) s x3(s)
1 sq(s) s x2 (s)
b1
1 q(s)
s x1(s)
b0
a2 a1
a0
ys
x1' ( t ) 0 1 0x1( t ) 0
1
f
2
(t)ຫໍສະໝຸດ Y CX DF输出方程------ 用状态变量和输入激励表示输出量的方程。其中每一
等式左边是输出变量，右边是只包含系统参数，状态
变量和激励的一般函数表达式，其中没有变量的微分 和积分运算。
7.2 连续时间系统状态方程的建立
一.状态方程和输出方程的一般形式
假设有一个系统
有n个状态变量x1, x2 xn
例1：列写图示电路的状态方程
(1)选i(t),uc (t)作为状态变量
+
u(s)
duc dt
1i c
-
di
dt
1 L
u
系统的状态变量分析法
出
状
方
态
程
方
程
9-1 连续系统状态空间方程建立
一、引例 t<0，K在2；t=0，K从2打到1。求t>0时，电压uR和uL。
（
状
态
方
程
）
（ 输 出
uR t Ri(t)
方 程
uL t Ri(t) uc (t) us (t)
）
状态方程和输出方程通称为
状态空间方程
uc(t)和i(t)称为状态变量
说明：同一系统函数或微分方程，可以有不同的模拟图或信号流图，所以 可以得到不同的状态方程和输出方程，但特征根相同，同一系统，它的系 统矩阵A相似。
练习1：列写状态方程和输出方程，已知系统函数为
状态变量：选积分器输出。
练习2：已知系统函数，用级联型信号流图列写状态方程和 输出方程
状态变量：选积分器输出。来自3、系统函数矩阵与单位冲激响应矩阵 1）系统函数矩阵
2）单位冲激响应矩阵： 3）系统自然频率：
意义：第j个激励单独作用时 与所产生的第i个响应之间的 关系。
3、状态方程：描述系统状态变量和激励与状态变量一阶导数关系 的微分方程组。
4、输出方程：描述系统状态变量和激励与输出响应关系的代数方程组。 5、状态向量：由状态变量做分量所构成的向量。（n维） 6、状态空间：状态变量所有取值的集合。即状态向量所在的空间。 7、状态轨迹：在状态空间中状态向量端点随时间变化所形成的轨迹。
（2）便捷的运用到多输入多输出系统； （3）可以分析系统的“可观测性”和“可控制性”； （4）可以描述非线性系统和时变系统； （5）便于计算机求解（一阶微分方程、差分方程）。
4、分析方法：状态变量法
以系统内部的状
第6章系统的状态变量分析法
∴ dv c ( t ) 1 1 1 = iL (t ) − vc (t ) + x 2 (t ) dt C R2 C R2C
写成标准形式
d λ1 (t ) R R 1 = − 1 λ1 (t ) − λ 2 ( t ) + 1 x1 ( t ) dt L L L d λ 2 (t ) 1 1 1 = λ1 ( t ) − λ 2 (t ) + x 2 (t ) dt C R2C R2C
例如：电路如图中所示，以两电阻上的电压为输出，试列出电路的
iL L x1
R1 R2
C
y1
vc
y2
状态方程与输出方程。
x2
解：⑴ 选择状态变量。选择电感电 流与电容电压为状态变量
λ1 (t ) = iL (t )
λ 2 (t ) = v c (t )
⑵ 列状态方程。列包含电感支路的回路电压方程，
L di L ( t ) = [ x 1 ( t ) − i L ( t )] R 1 − v c ( t ) dt
二、 状态方程
系统的状态方程，是一组一阶微分方程组。以状态变量与激励 的线性组合，表示一个状态变量的导数。 例如：串联的RLC回路，可以由以下的状态方程描述。
⎛ c11 c12 ⎜ c22 ⎜c C = ⎜ 21 M M ⎜ ⎜c ⎝ L1 cL 2
R
L
iL (t )
C
L
diL (t ) = − RiL (t ) − uC (t ) + x(t ) dt duC (t ) = iL (t ) dt
X (s)
bM
s −1 λ N
a N −1
aN −2
bM −1
s −1 λ N −1 λ2 s −1 λ1 b0
写成标准形式
d λ1 (t ) R R 1 = − 1 λ1 (t ) − λ 2 ( t ) + 1 x1 ( t ) dt L L L d λ 2 (t ) 1 1 1 = λ1 ( t ) − λ 2 (t ) + x 2 (t ) dt C R2C R2C
例如：电路如图中所示，以两电阻上的电压为输出，试列出电路的
iL L x1
R1 R2
C
y1
vc
y2
状态方程与输出方程。
x2
解：⑴ 选择状态变量。选择电感电 流与电容电压为状态变量
λ1 (t ) = iL (t )
λ 2 (t ) = v c (t )
⑵ 列状态方程。列包含电感支路的回路电压方程，
L di L ( t ) = [ x 1 ( t ) − i L ( t )] R 1 − v c ( t ) dt
二、 状态方程
系统的状态方程，是一组一阶微分方程组。以状态变量与激励 的线性组合，表示一个状态变量的导数。 例如：串联的RLC回路，可以由以下的状态方程描述。
⎛ c11 c12 ⎜ c22 ⎜c C = ⎜ 21 M M ⎜ ⎜c ⎝ L1 cL 2
R
L
iL (t )
C
L
diL (t ) = − RiL (t ) − uC (t ) + x(t ) dt duC (t ) = iL (t ) dt
X (s)
bM
s −1 λ N
a N −1
aN −2
bM −1
s −1 λ N −1 λ2 s −1 λ1 b0
第十二章系统的状态变量分析
1 + b0i z −1 H i (z ) = 1 + a0i z −1
1 + b1i z −1 + b0i z − 2 H i (z ) = 1 + a1i z −1 + a0i z − 2
一阶节为
x1 = x − a0i z −1 x1 x = x1 (1 + a0i z −1 )
x2 = x1 + b0i z −1 x1 = x1 (1 + b0i z −1 ) x2 1 + b0i z −1 Hi ( z ) = = x 1 + a0i z −1
b1i H i (z ) = 1 + a0i z −1
b2i + b1i z −1 H i (z ) = 1 + a1i z −1 + a0i z − 2
例：某连续系统的转移函数为
2s + 4 H (s ) = 3 s + 3s 2 + 5s + 3
试用几种形式模拟此系统。 解：1）直接形式
H (s ) =
三、信号流图的性质 1、信号只能沿箭头方向传输，支路的输出是该支路输入与支路 增益的乘积。 2、结点可以把所有输入支路的信号叠加，并把总和信号传送到 所有输出支路。 3、具有输入和输出支路的混合结点，通过增加一个具有单位传 输的支路，可以把它变成输出结点来处理。
4、给定系统，信号流图形式不是唯一的。 5、流图转置后，其转移函数保持不变。 *转置：把流图中各支路的信号传输方向调转，同时把输入、输 出结点对换。
与书p290页式11－73一致 四、信号流图得化简（代数运算） 1、只有一个输入支路得结点值等于输入信号乘以支路增益。
2、串联支路：
第9章系统的状态变量分析
状态变量法不仅关心输入和输出间的关系，而且可提供系 统内部各变量的情况。它是用两组方程来描述系统，即： （1）状态方程，它描述了系统内部状态变量与激励之间的关 系。对于线性时不变系统是一阶常系数微分方程组（连续系统） 和一阶差分方程组（离散系统）； （2）输出方程，它描述了系统的响应与状态变量和激励的关 系，输出方程通常是代数方程。因而特别适用于多输入、多输 出系统。它不仅适用于线性时不变系统，也便于推广应用于时 变系统和非线性系统。
(9.1-1)
式中 a ij，bij 是由系统参数组成的系数。对于线性非时变系统，
它们都是常数。
用矩阵形式表达为 x(t) Ax(t) Bf (t)
式中
def
x(t) x1(t)
def
x(t) x1(t)
def
f (t) f1(t)
x2 (t) xn (t)T x2 (t) xn (t)T f2 (t) fn (t)T
(9.1-2)
a11
A
a21
an1
a12 a1n
a22
a2n
(9.1-3)
an2
ann
b11
B
b21
bn1
b12 b1p
b22
b2 p (9.1-4)
bn2 bnp
分别为系数矩阵，对于线性非时变系统，它们都是常量矩阵， 其中A为n×n方阵，常称为系统矩阵，B为n×n矩阵，常称为
第9章 系统的状态变量分析
9.1 系统状态方程与输出方程 9.2 状态方程、输出方程的时域求解方法 9.3 状态方程、输出方程的变换求解方法
9 .1 系统状态方程与输出方程
9.1.1 状态变量与状态方程的基本概念 9.1.2 状态方程、输出方程的建立方法 9.1.3 系统的可控性和可观察性
(9.1-1)
式中 a ij，bij 是由系统参数组成的系数。对于线性非时变系统，
它们都是常数。
用矩阵形式表达为 x(t) Ax(t) Bf (t)
式中
def
x(t) x1(t)
def
x(t) x1(t)
def
f (t) f1(t)
x2 (t) xn (t)T x2 (t) xn (t)T f2 (t) fn (t)T
(9.1-2)
a11
A
a21
an1
a12 a1n
a22
a2n
(9.1-3)
an2
ann
b11
B
b21
bn1
b12 b1p
b22
b2 p (9.1-4)
bn2 bnp
分别为系数矩阵，对于线性非时变系统，它们都是常量矩阵， 其中A为n×n方阵，常称为系统矩阵，B为n×n矩阵，常称为
第9章 系统的状态变量分析
9.1 系统状态方程与输出方程 9.2 状态方程、输出方程的时域求解方法 9.3 状态方程、输出方程的变换求解方法
9 .1 系统状态方程与输出方程
9.1.1 状态变量与状态方程的基本概念 9.1.2 状态方程、输出方程的建立方法 9.1.3 系统的可控性和可观察性
8.系统分析的状态变量法_信号与系统
8 系统分析的状态变量法
8.2.1 连续时间系统状态方程的建立
一个动态连续系统的时域数学模型可利用信号 的各阶导数来描述。 的各阶导数来描述 。 作为连续系统的状态方程表现 为状态变量的联立一阶微分方程组. 为状态变量的联立一阶微分方程组 标准形式的状态方程为
或记为
8 系统分析的状态变量法 表示状态变量， 式中 表示状态变量， 为常数矩阵。 和 为常数矩阵。 是与外加信号有关的项， 是与外加信号有关的项，
8 系统分析的状态变量法 6．状态轨迹 在描述一个动态系统的状态空间中， 在描述一个动态系统的状态空间中，状态向 量的端点随时间变化所经历的路径称为系统的状 态轨迹。一个动态系统的状态轨迹不仅取决于系 态轨迹。 统的内部结构，还与系统的输入有关，因此， 统的内部结构，还与系统的输入有关，因此，系 统的状态轨迹可以形象地描绘出在确定的输入作 用下系统内部的动态过程。 用下系统内部的动态过程。
8 系统分析的状态变量法 【例】 试写出下图所示电路的状态方程。 试写出下图所示电路的状态方程。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
根据电路结构可知，电容电压、 根据电路结构可知，电容电压、电感电流 可作为为状态变量即 . 建立状态变量 之间的方程为 和激励
8 系统分析的状态变量法 状态变量分析法优点: 状态变量分析法优点: (1)便于研究系统内部物理量的变化 (1)便于研究系统内部物理量的变化 (2)适合于多输入多输出系统 (2)适合于多输入多输出系统 (3)也适用于非线性系统或时变系统 (3)也适用于非线性系统或时变系统 (4)便于分析系统的稳定性 (4)便于分析系统的稳定性 (5)便于采用数字解法 便于采用数字解法， (5)便于采用数字解法，为计算机分析系统提供了 有效途径 (6)引出了可观测性和可控制性两个重要概念 引出了可观测性和可控制性两个重要概念。 (6)引出了可观测性和可控制性两个重要概念。
信号与系统第9章系统的状态变量分析法
0
1
C
vC
(t)
0
1
0 R2
iL1 iL2
(t ) (t)
L1 0
L2
0
0
e1 e2
(t) (t)
1
L2
（9.1-5）
v(t) 0 iC (t) 0
0 1
R2 1
vC iL1 iL2
(t) (t) (t)
0 0
1 e1(t)
0
e2
(t
)
（9.1-6）
第9章 系统的状态变量分析法
9.1.2 连续系统的状态方程和输出方程
对于一个 n 阶多输入/多输出的连续时间系统，其状态方程和输出 方程的一般形式可以表示为
状
d1(t)
dt
f1 1(t), 2 (t),
, n (t); e1(t), e2 (t),
, em (t), t
态 方
d2 (t) dt
dvC
(t
)
dt
1 C
iL1
(t)
1 C
iL2
(t)
diL1 (t dt
)
1 L1
vC
(t)
R1 L1
iL1
(t)
1 L1
e1 (t )
diL2
(t
)
dt
1 L2
vC (t)
R2 L2
iL2
(t)
1 L2
e2 (t)
（9.1-3）
第9章 系统的状态变量分析法
式（9.1-3）是由三个内部变量 vC (t) 、 iL1 (t) 和 iL2 (t) 构成的一阶微分联立方程组。由微分方程理论 可知，如果这三个变量在初始时刻 t t0 的值 vC (t0 ) 、iL1 (t0 ) 和 iL2 (t0 ) 已知，那么根据 t t0 时的激励 e1(t) 和 e2 (t) ，就可以唯一地确定该一阶微分方程组在 t t0 时的解 vC (t) 、iL1 (t) 和 iL2 (t) 。这样，系统的输出 v(t) 和 iC (t) 就可以很容易通过这三个内部变量 vC (t) 、 iL1 (t) 、 iL2 (t) 和系统的激励 e1(t) 、 e2 (t) 求出，此时
1
C
vC
(t)
0
1
0 R2
iL1 iL2
(t ) (t)
L1 0
L2
0
0
e1 e2
(t) (t)
1
L2
（9.1-5）
v(t) 0 iC (t) 0
0 1
R2 1
vC iL1 iL2
(t) (t) (t)
0 0
1 e1(t)
0
e2
(t
)
（9.1-6）
第9章 系统的状态变量分析法
9.1.2 连续系统的状态方程和输出方程
对于一个 n 阶多输入/多输出的连续时间系统，其状态方程和输出 方程的一般形式可以表示为
状
d1(t)
dt
f1 1(t), 2 (t),
, n (t); e1(t), e2 (t),
, em (t), t
态 方
d2 (t) dt
dvC
(t
)
dt
1 C
iL1
(t)
1 C
iL2
(t)
diL1 (t dt
)
1 L1
vC
(t)
R1 L1
iL1
(t)
1 L1
e1 (t )
diL2
(t
)
dt
1 L2
vC (t)
R2 L2
iL2
(t)
1 L2
e2 (t)
（9.1-3）
第9章 系统的状态变量分析法
式（9.1-3）是由三个内部变量 vC (t) 、 iL1 (t) 和 iL2 (t) 构成的一阶微分联立方程组。由微分方程理论 可知，如果这三个变量在初始时刻 t t0 的值 vC (t0 ) 、iL1 (t0 ) 和 iL2 (t0 ) 已知，那么根据 t t0 时的激励 e1(t) 和 e2 (t) ，就可以唯一地确定该一阶微分方程组在 t t0 时的解 vC (t) 、iL1 (t) 和 iL2 (t) 。这样，系统的输出 v(t) 和 iC (t) 就可以很容易通过这三个内部变量 vC (t) 、 iL1 (t) 、 iL2 (t) 和系统的激励 e1(t) 、 e2 (t) 求出，此时
[工学]系统的状态变量分析法
![[工学]系统的状态变量分析法](https://img.taocdn.com/s3/m/c9620f475acfa1c7aa00cc60.png)
前向通路的增益 : g1 H1H2H3
由于所有环路都与该条 前向通路接触
H1(s) g111
H1H2H3
1[H1H2G1 H2H3G3 H3G2 H1H2H3G1G2]
§9.4连续时间系统状态方程的建立
状态方程的建立方法
直接编写法
直观编写 网络拓扑分析编写 系统编写（借助计算机自动编写）
+
e(t-)
I1 L
uL I2
UR
ห้องสมุดไป่ตู้
I 2 (s) [uL (s) uR (s)]c2 s
uR (s) RI2 (s)
E(s)
I1(s)
uL (s)
I2 (s)
uR (s)
R(s)
c1s
Ls
c2s
R
1
c1s ls c2s
H (s) 1
k
Tk k
1 (Lc1s 2 Lc2 s 2 Rc2 s) Lc1c2 Rs 3
a
nn
x
n
b n1
b12 . b1n f1
b 22
.
b
2p
f
2
. . . .
bn2
.
b
2p
f
p
n p
y1 c11 c12 .
y .
2
c 21 .
c 22 .
. .
yq
cq1
1RL
C
1 L 0
iL (t) vC (t)
第8章 系统的状态变量分析
+ annλn (t) + bn1x1(t) + bn2 x2 (t) +
+ b1m xm (t) + b2m xm (t)
+ bnm xm (t)
（8-4）
和
⎧ y1(t) = c11λ1(t) + c12λ2 (t) +
⎪⎪ ⎨
y2
(t
)
=
c21λ1
(t
)
+
c22λ2
(t
)
+
⎪
⎪⎩ yr (t) = cr1λ1(t) + cr2λ2 (t) +
的一阶导数与状态变量和激励的关系。式(8-3)形式的代数方程称为输出方程(output equation)，
它描述了系统输出与状态变量和激励之间的关系。
状态变量分析法对于离散时间系统也是同样适用的，即上面给出的概念对离散时间系统同
样有效。只不过对于离散时间系统，其状态方程是一阶联立差分方程组，状态变量λ[n]是离散
输出方程可写为
λ(t)n×1 = An×n λ(t)n×1 + Bn×m x(t)m×1
（8-6）
y(t)r×1 = Cr×n λ(t)n×1 + Dr×m x(t)m×1
（8-7）
其中
λ(t) = ⎡⎣λ1(t), λ2 (t), , λn (t)⎤⎦T ， λ (t ) = [λ1(t)，λ 2 (t)，… , λ n ( t )]T,
(constant matrix)；如果系数矩阵中有的是时间 t 的函数，则此系统是线性时变系统。
2. 离散时间系统状态方程和输出方程的一般形式
对于一个动态的离散时间系统，它的时域数学模型是一个高阶差分方程。作为其状态方程
+ b1m xm (t) + b2m xm (t)
+ bnm xm (t)
（8-4）
和
⎧ y1(t) = c11λ1(t) + c12λ2 (t) +
⎪⎪ ⎨
y2
(t
)
=
c21λ1
(t
)
+
c22λ2
(t
)
+
⎪
⎪⎩ yr (t) = cr1λ1(t) + cr2λ2 (t) +
的一阶导数与状态变量和激励的关系。式(8-3)形式的代数方程称为输出方程(output equation)，
它描述了系统输出与状态变量和激励之间的关系。
状态变量分析法对于离散时间系统也是同样适用的，即上面给出的概念对离散时间系统同
样有效。只不过对于离散时间系统，其状态方程是一阶联立差分方程组，状态变量λ[n]是离散
输出方程可写为
λ(t)n×1 = An×n λ(t)n×1 + Bn×m x(t)m×1
（8-6）
y(t)r×1 = Cr×n λ(t)n×1 + Dr×m x(t)m×1
（8-7）
其中
λ(t) = ⎡⎣λ1(t), λ2 (t), , λn (t)⎤⎦T ， λ (t ) = [λ1(t)，λ 2 (t)，… , λ n ( t )]T,
(constant matrix)；如果系数矩阵中有的是时间 t 的函数，则此系统是线性时变系统。
2. 离散时间系统状态方程和输出方程的一般形式
对于一个动态的离散时间系统，它的时域数学模型是一个高阶差分方程。作为其状态方程
第8章 系统的状态变量分析
x1(t0 ), x2 (t0 )......, xn (t0 ).
8.1 系统的状态空间描述
说明：系统状态的数目是一定的,但状态的选择不唯一。
例：设二阶系统的初始状态为x1(t0 ), x2 (t0 )并且
g1(t0 ) a1x1(t0 ) a2 x2 (t0 )
g
2
(t0
)
b1
x1
(t0
用系统的状态方程和输出方程描述系统输入、状态变量、 输出之间的关系。
状态方程：表示系统状态变量与输入之间的关系/方程。 对n阶系统，状态方程是由n个一阶微分方程（差分方程）组 成的方程组。
输出方程：表示系统输出与输入和状态变量之间的关系/ 方程。
对n阶系统，若有q个输出，输出方程是由q个代数方程组 成的方程组。
（1）初始状态：设初始时刻 K0 0 ，对n阶系统， 初始状态通常指：y(1) , y(2) , , y(n) .
K0 时刻状态的一般定义： K0 时刻的状态是数目最少的一组数，知道了这组数
和 K0, K 区间上的输入，就可完全确定系统在K时
刻的输出。
8.1 系统的状态空间描述
（2）状态变量、状态矢量： 状态变量：表示状态随时间变化的一组变量。
C
R
f1
L2 uL2
f2
b
列状态方程:
选状态变量:
x1 iL1 , x2 iL2 , x3 iC。
设输出为:
y1 uL2 , y2 uab
第一步: 关于L1x1, L2 x（2 电感电压）列KVL方程： L1x1 uL1 f1 x3 R(x1 x2 ) f2 Rx1 Rx2 x3 f1 f2 L2 x2 uL2 x3 R(x1 x2 ) f2 Rx1 Rx2 x3 f2
8.1 系统的状态空间描述
说明：系统状态的数目是一定的,但状态的选择不唯一。
例：设二阶系统的初始状态为x1(t0 ), x2 (t0 )并且
g1(t0 ) a1x1(t0 ) a2 x2 (t0 )
g
2
(t0
)
b1
x1
(t0
用系统的状态方程和输出方程描述系统输入、状态变量、 输出之间的关系。
状态方程：表示系统状态变量与输入之间的关系/方程。 对n阶系统，状态方程是由n个一阶微分方程（差分方程）组 成的方程组。
输出方程：表示系统输出与输入和状态变量之间的关系/ 方程。
对n阶系统，若有q个输出，输出方程是由q个代数方程组 成的方程组。
（1）初始状态：设初始时刻 K0 0 ，对n阶系统， 初始状态通常指：y(1) , y(2) , , y(n) .
K0 时刻状态的一般定义： K0 时刻的状态是数目最少的一组数，知道了这组数
和 K0, K 区间上的输入，就可完全确定系统在K时
刻的输出。
8.1 系统的状态空间描述
（2）状态变量、状态矢量： 状态变量：表示状态随时间变化的一组变量。
C
R
f1
L2 uL2
f2
b
列状态方程:
选状态变量:
x1 iL1 , x2 iL2 , x3 iC。
设输出为:
y1 uL2 , y2 uab
第一步: 关于L1x1, L2 x（2 电感电压）列KVL方程： L1x1 uL1 f1 x3 R(x1 x2 ) f2 Rx1 Rx2 x3 f1 f2 L2 x2 uL2 x3 R(x1 x2 ) f2 Rx1 Rx2 x3 f2
§6.01 系统的状态变量分析-全章
i1 (t ) iS (t ) i2 (t ) iS (t ) 2 (t )
根据电容回路的KVL有，
根据电感节点的KCL有，
电容C1所在的节点 a 的 KCL
d d 1 C1 1 (t ) C2 v2 (t ) v2 (t ) 2 (t ) dt dt R2
根据C1 L2 L1 R1 组成的回路KVL有
d L1 1 (t ) R11 (t ) 3 (t ) x1 (t ) dt d L2 2 (t ) R22 (t ) x2 (t ) 3 (t ) dt
上述三个方程代入具体参数得
1 (t ) 2 0 1 1 (t ) 1 0 (t ) 0 3 x1 (t ) 2 (t ) 0 3 3 2 x (t ) 2 2 0 (t ) 0 0 2 3 3 (t )
信号与系统
三、由电路图建立状态方程
R1
L1
a
例：列写如图所示电路的状态方程
1 t v1 t
i1 t
L2
v S t
பைடு நூலகம்
C1 C2
v 2 t
2 t i2 t iS t
R2
解：电源 Vs(t) 与电容 C1、C2 组成一个回路，所以只能选一个电容电压作 为状态变量，同样，电源 is(t) 与电感 L1、L2 组成一个节点，所以也只能选
设系统有 p 个激励 x1 (t ), x2 (t ),, x p (t )
系统有 q 个响应
y1 (t ), y2 (t ),, yq (t )
根据电容回路的KVL有，
根据电感节点的KCL有，
电容C1所在的节点 a 的 KCL
d d 1 C1 1 (t ) C2 v2 (t ) v2 (t ) 2 (t ) dt dt R2
根据C1 L2 L1 R1 组成的回路KVL有
d L1 1 (t ) R11 (t ) 3 (t ) x1 (t ) dt d L2 2 (t ) R22 (t ) x2 (t ) 3 (t ) dt
上述三个方程代入具体参数得
1 (t ) 2 0 1 1 (t ) 1 0 (t ) 0 3 x1 (t ) 2 (t ) 0 3 3 2 x (t ) 2 2 0 (t ) 0 0 2 3 3 (t )
信号与系统
三、由电路图建立状态方程
R1
L1
a
例：列写如图所示电路的状态方程
1 t v1 t
i1 t
L2
v S t
பைடு நூலகம்
C1 C2
v 2 t
2 t i2 t iS t
R2
解：电源 Vs(t) 与电容 C1、C2 组成一个回路，所以只能选一个电容电压作 为状态变量，同样，电源 is(t) 与电感 L1、L2 组成一个节点，所以也只能选
设系统有 p 个激励 x1 (t ), x2 (t ),, x p (t )
系统有 q 个响应
y1 (t ), y2 (t ),, yq (t )
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*.状态空间:由x1,x2…xn所组成的n维空间称为状态空间.
2.写一个包含电感电流一阶导数在内的回路电压方程和电 容电压一阶导数在内的节点电流方程.
L
diL dt
RiL (t)
vC (t)
Eu(t)
1
dvC (t) dt
1 C
iL
(t)
2
iL'
(t)
vC ' (t )
cq2
.
qn
c1n x1 d11
c
2n
.
x .
2
d 21 .
c
q
3
x
n
d q1
d12 . d1p f1
d 22
.
d
2p
f
2
. . . .
dq2
.
d
qp
fp
q p
X' AX Bf Y CX Df
bn1 f1 bn2 f 2 . bnp f p
xx，’12
.
x'n
a11 a 21 . an1
a12 a 22 . an2
. . . .
nn
a1n x1 b11
a
2n
x
2
b
21
. . .
x3 T53 x5
x4 T54 x5
or
1RL
C
1 L 0
iL (t) vC (t)
1 0L
[Eu(t
)]
d 2vC dt 2
R L
dvC dt
1 LC vC
E u(t) LC
iL (t)
当iL (0 ) 0, vc (0 ) 0, R 0时，求得：
物理系统
流图
1942:C.E.shannon 1953:S.J.mason 1959:Coates 80年代:chan和Bapna
解答
一.信号流图的获得
F HY
FH
Y
F(s)
H1
H2
y(s)
F
x1
源点 H1
H2
x2
y(s)
1 沟点
二.术语和基本性质
ax y
ax by cz w
三.动态方程的一般形式(1.状态方程)
f1
f2
fp
x1
X
x2
.
xn
y1
y2
yq
dx1 dt
a11x1
a12 x2
. a1n x1n
b11 f1
b12 f 2
. b1n
fp
.
dxn dt
an1x1 an2 x2 . ann xnn
l.自环:从某一节点出发,只经过一个支路而又 终止在同一节点上。 m.不接触环路:两环路之间没有任何公共节点。 n.前向路径的增益:前向路径中,各支路转移函 数的乘积。
2.信号流图的性质:(p504) 3.某些流图的简化或变换
原图
等效图
备注
x1 x2 x3 x1
T12 T23
T12T23
x3 1.级 联 节 点
.系统的可控性和可观性
§9.1引言
一.系统数学摸型的描述方法
1.端口法(输入输出法,经典法) 状态方程
2.内部法(状态变量法,现代法) 输出方程 二.几个名词的定义(P495)
1.选择iL (t)及vC (t) 作为状态变量. Eu(t)
(t) ivLC((tt))
iL (t) vC (t)
e.汇点:只有输入支路的节点(应变量)。
f.混合节点:即有输入又有输出支路的节点。
g.路径:是从某一节点出发连续经过一些支路 (沿着支路方向)而终止另一个节点上;(或同一 节点上),构成的一种拓扑结构。
h.开路径:是从某节点连续经过一些支路 而终止在另一个节点上,且每个节点只通过一次的 路径。 i.前向路径:是从源点到汇点方向的路径。 j.环路:若路径的终点就是路径的起点, 且 与其它节点的相交不多于一次的拓扑结构。 k.环路增益:环路中各支路转移函数乘积。
vC (t) E(1 cos0t)
0
vC (t)
iL
(t)
1
0 L
E
sin
0t
状态方程的解
02
1 LC
t 0,iL (0) 0,vC (0) 0
t
0
,
iL
( 0
)
0,
vC
( 0
)
2E
t
(2n
1) 2 0
, vC
E, iL
E 0L
*.状态轨迹:在状态空 间中状态矢量随时间 变化而描出的路径.
状态变量描述系统 的标准形式
四. 主要优点(P496-497)
E(s)
X(s)
A (s)
F (s)
E(z)
X(z)
A (z)
F (z)
Y (s)
连续时间信号反馈系统
Y (z)
离散时间信号反馈系统
§9.3
1.信号流图的获得 2.信号流图的有关术语和基本性质 3.信号流图的简化规则 4.Mason信号流图公式
xa y
xa
yb
w
c
z
*.连接于存在因果关系的结点上。 *.它是有方向的。 *.支路是有权的。
1.术语的定义
3 x3
c
b
f
a
1
x1
d
2
4
x2
g x4
e
5
x5
a.节点:表示系统中变量或信号的点。
b.转移函数Biblioteka 两个节点之间的增益为转移函数。c.支路:连接两个节点之间的定向线段。
d.源点:只有输出支路的节点(自变量）。
x3 T12T23 x1
T12 '
x1 T12 ' T12''
x2
2.迭加
x1 T12 ''
x3
x T15 1
T53
T25
x5
T54
x4
x2
x3
T15T53
x
x1
2
T15T54
x4
x2 (T12 'T12 ' ' )x1
T25T53
x2
T25T54
3.合 并 一 个 节 点
x5 T15 x1 T25 x2 代入
a
nn
x
n
b n1
b12 . b1n f1
b 22
.
b
2p
f
2
. . . .
bn2
.
b
2p
f
p
n p
y1 c11 c12 .
y .
2
c 21 .
c 22 .
. .
yq
cq1
*本章的要点
信号流图 状态方程的普遍形式 连续时间系统状态方程的建立 离散时间系统状态方程的建立 连续时间系统状态方程的求解
离散时间系统状态方程的求解
.由系统框图或电路图画出对应的信号流图
.由系统的信号流图利用梅逊公式求系统的转移函 数
.状态方程和微分方程(差分方程)之间的互求
.连续时间系统和离散时间系统状态方程的列写和 求解