第一章 习题答案
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1.1对于体积V 内N 个电子的自由电子气体，证明
（1）电子气体的压强()()V p 02ξ⨯=，其中0ξ为电子气体的基态能量。
（2）体弹性模量()V p V K ∂∂-=为
V 9100ξ
解：（1）
()
3
2
352
225
223101101-
==V N m h V m k h F πππξ
（1.1.1）
()
()
()
()()
V V N
m h V N m h V N m h V V p 035
352223535222323522223101323231013101ξππππππξ⨯==⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂-=---
（1.1.2） （2）
()
()
()
()
V
V N m h V N m h V V N m h V
V
V p V K 1031019103531013231013203
8
35222
38352
22353522
2ξππππππ==⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂-=∂-=---
（1.1.3）
1.2 He 3
原子是具有自旋1/2的费米子。在绝对零度附近，液体He 3
的密度为0.081g •cm -3。
计算费米能量F ε和费米温度F T 。He 3
原子的质量为g m 24105-⨯≈。
解：把 He 3
原子当作负电背景下的正电费米子气体. Z=1.
3
2832224
1062.11062.1105081
.01m cm m Z n m ⨯=⨯=⨯⨯==
--ρ
（1.2.1） (
)
19173
1
2
108279.7108279.73--⨯=⨯==m cm n k F π
（1.2.2）
()
eV
J m k F F 42327
2
9
3422102626.41080174.6100.52108279.710055.12----⨯=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=
= ε （1.2.3）
K k T B F F 92.410381.1106.801742323=⨯⨯==--ε
（1.2.4）
1.3低温下金属钾的摩尔电子热容量的实验测量结果为1108.2--⋅=K mol TmJ C e ，在自由电子气体模型下估算钾的费米温度F T 及费米面上的态密度()F g ε。
解：
()F B A F B A V A e T T k N n T T
nk N n C N C 2222ππ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==
（1.3.1）
K T
T C T k N T e B A
F 33
232
232
1073.191008.210381.1210022.62⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==--ππ （1.3.2）
()3
1463
233281071.71073.1910381.1104.1232323----⨯=⨯⨯⨯⨯===m J m T k n n g F B F F εε
（1.3.3）
1.4铜的密度为3
95.8cm g m =ρ。室温下的电阻率为
cm ⋅Ω⨯=-61055.1ρ。计算 （1）导电电子浓度； （2）驰豫时间；
（3）费米能量F ε，费米速度F v ； （4）费米面上电子的平均自由程F l 。 （5）等离子体的振荡频率ωp. 解： （1）
322231048.8546.6395
.8110022.6-⨯=⨯⨯⨯==cm A Z N n m A
ρ
（1.4.1） （2）
()()()
s ne m ne m 14
262196223122107.210
1055.110602.1101048.810110.9-----⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯===ρστ（1.4.2） （3）()(
)
110183
1222
3
12
1036.11036.110
48.833--⨯=⨯=⨯⨯==m cm n k F ππ
（1.4.3）
()
eV
J m k F F 05.71013.11011.921036.110055.121831
2
10
3422=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=
=--- ε
（1.4.4）
()
s m m k v F F 6
31
10341057.11011.91036.110055.1⨯=⨯⨯⨯⨯==--
（1.4.5）
（4）m v l F
8
1461025.4107.21057.1--⨯=⨯⨯⨯==τ （1.4.6） （5）等离子体的振荡频率
Hz
m ne e
p 1602
1064.1⨯==εω.
1.5考虑一在球形区域内密度均匀的自由电子气体，电子系统相对于等量均匀正电荷背景有一小的整体位移。证明在这一位移下系统是稳定的，并给出这一小振动问题的特征频率。 解：（仅供参考）
(
)2
1
02
201cos 2θ
k k k k k ∆+∆+=
（1.5.1）
E k ∆ 0k
1k
偶极矩强度为：
()
()
()()()
()(
)
θ
θθθθπθ
θθπθ
θθπθ
θθπθθϕθπ
π
π
π
π
π
d cos sin cos 2cos 2d cos sin d cos sin d cos sin d 4cos 2d d d sin 20
02022
020
20
2
02
1
2
2120
4
04
120
320
20
21
010⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰
∆+∆∆+∆++-=-+-=--=-=-=k k k k k k k k
ne k k
k k ne k k ne k k ne k k k ne P k k k k
（1.5.2）
取近似，忽略k ∆的2阶以上无穷小量
k
nek k
nek k nek k k k ne P ∆-=∆=∆=∆⨯-=⎰⎰3020
3
3
020
3
020
02
03
43
cos 4d cos sin cos 4d cos sin cos 22πθ
πθ
θθθπθθθθππ
π
π
（1.5.3）
电极化强度为