多元函数的极值及最值(参考)
多元函数的极值与最值例题极其解析
多元函数的极值与最值1.求函数z=x3+y3−3xy的极值。
步骤：1)先求驻点(另偏导数等于0，联立)2)再求ABCA=f xx(x0, y0)B=f xy(x0, y0)C=f yy(x0, y0)3)(1)当B2-AC<0时，f(x，y)在点(x o，y o)处取得极值，且当A<0时取得极大值f(x o，y o)，当A>0时取得极小值f(x o，y o),当A<0时取得极大值f(x o，y o);(2)当B2-AC>0时，f(x o, y o )不是极值;(3)当B2-AC=0时，f(x o,y o)是否为极值不能确定，需另做讨论.=3x2−3y=0解：∂z∂x∂z=3y2−3x=0∂y联立得驻点为(0,0),(1,1)A=f xx(x0, y0)=6x(对x求偏导,再对x求偏导)B=f xy(x0, y0)=-3(对x求偏导,再对y求偏导)C=f yy(x0, y0)=6y(对y求偏导,再对y求偏导)在点(0,0)处，A=0,B=-3，C=0,由B2-AC=9>0,故在此处无极值。
在点(1,1)处，A=6,B=-3,C=0, B2-AC=-27<0,又因为A>0,故在此处为极小值点，极小值为F (1, 1) =x3+y3−3xy=−12.求函数f(x, y)=x2+(y−1)2的极值。
解：f x’=2x=0F y’=2y-2=0联立得驻点为(0,1)A=f xx(x0, y0) =2B=f xy(x0, y0) =0C=f yy(x0, y0) =2在点(0,1)处A=2，B=0，C=2由B2-AC=-4<0,又因为A>0,故在此处为极小值点，极小值为F (0, 1) = 03.制造一个容积为a的无盖长方体，使之用料最少，则长宽高为多少？解：另长宽高分别为x, y, z故xyz=a, z=axyS=xy+2(x axy +y axy)=xy+2(ay+ax)S x’=y+2(−ax2)=0S y ’= x+2(−ay2)=0解得当X=Y=Z=3√2a的时候用料最少。
多元函数的极值与最值
第八节 多元函数的极值及其求法
一、多元函数极值及最大、最小值
1.定义：若函数z=f (x, y)在(x0, y0)的某邻域内有 f (x, y)≤f(x0, y0)（或f (x, y)≥f(x0, y0)）
则称函数z=f (x, y)在(x0, y0)有极大值f(x0, y0) （极小值f(x0, y0)）， (x0, y0)称为函数z=f (x, y) 的极大值点（极小值点）。
)?
0
sin? ? 0 , x ? 0
?12 ? 2x ? x cos? ? 0
?
? ?
24cos
?
?
2x cos?
?
x(2cos 2 ?
? 1) ?
0
（1） （2）
(2)－(1)2cos? ，得： 2xcos? －x = 0
? ? ? ? 60 , x ? 8 (cm)
3
解得:
2019年3月9日星期六
A ? 1 (24 ? 2x ? 2x cos? ? 24 ? 2x ) ?x sin ?
2
? 24x sin? ? 2x 2 sin? ? x2 cos? sin? ( D : 0 ? x ? 12, 0 ? ? ? π )
2
?x
x?Байду номын сангаас
24 ? 2x
2019年3月9日星期六
8
高等数学（下）主讲杨益民
xy z ? ? ex2? y2
极大值与极小值统称为极值；极大值点 与极小值点统称为极值点；
注意：极大值(或极 小值)是局部的最大 值(或最小值)。
2019年3月9日星期六
1
高等数学（下）主讲杨益民
多元函数的极值及最大值
例5 求表面积为 a 而体积为最大的长方体 的体积 .
2
三、最小二乘法
作业：P70 1 5 8
要找函数z f ( x, y)在附加条件 ( x, y) 0 下的可能极值点，可以 先构成辅助函数 F ( x, y) f ( x, y) ( x, y) f x ( x, y ) x ( x, y ) 0 由： f y ( x, y ) y ( x, y ) 0 ( x, y ) 0
例3：某厂要用铁板做成一 个体积为2m 的有盖 长方形水箱 .问长、宽、高各取怎样 的尺 寸时，才能使用料最省 ？
例4：有一宽为 24cm的长方形铁板，把它两 边 折起来做成一个断面为 等腰梯形的水槽 . 问怎样折法才能使断面 的面积最大？
3
二、条件极值 拉格郎日乘数法
无条件极值 条件极值 拉格郎日乘数法
(1) AC B 2 0时具有极值，且当 A 0时有极大 值，当A 0时有极小值；
(2) AC B2 0时没有极值；
(3) AC B 2 0时可能有极值，也可能 没有极值， 还需另作讨论 . 3 3 2 2 例2：求函数f ( x, y) x y 3x 3 y 9x的极值 .
驻点：能使 f x ( x, y) 0, f y ( x, y) 0同时成立的点 .
可导：极值点 驻点. 驻点 ？极值点.
定理2(充分条件)：设函数z f ( x, y )在点( x0 , y0 )的 某邻域内连续且有一阶 及二阶连续偏导数，又 f x ( x0 , y0 ) 0, f y ( x0 , y0 ) 0.令 f xx ( x0 , y0 ) A, f xy ( x0 , y0 ) B, f yy ( x0 , y0 ) C , 则f ( x, y )在( x0 , y0 )处是否取得极值的条件 如下：
多元函数的极值与最值
多元函数的极值与最值多元函数是在多个自变量的基础上建立起来的函数，其中每个自变量可以取不同的取值范围。
函数中的每个自变量都有可能对因变量产生影响，因此在寻找该类函数的极值和最值时，需要使用二元函数求导以及极值的方法进行研究分析。
本文将详细阐述多元函数的极值与最值的相关概念和定理，并探讨如何应用这些方法进行问题解决。
一、多元函数的极值和最值1. 极值极值是指一个函数在可定义范围内的自变量取值中，使得该函数取得最大值或者最小值的某个特定点。
当函数在该点处的导数为0时，这个点被称为函数的驻点；如果在该点处导数变号，那么该点就是函数的极值点。
因此，求多元函数的极值就需要用到多元函数求导的技巧，从而找到导函数为0的点。
2. 最值最值是指一种特殊的极值，它是多元函数在所有可定义自变量取值范围内所取得的最大值或最小值。
一般来说，函数的最值不一定是在驻点处取得，而是可能在该函数的可定义区间的极点或边界处取得。
二、多元函数的求导方法多元函数的求导方法一般可以通过偏函数求导的方式实现。
即，将多元函数转化为一组由每个自变量为变量的一元函数，再对每个一元函数分别求导。
由于多元函数的求导方法较为复杂，因此需要有以下几个步骤：1. 将多元函数转化为一系列一元函数可以将多元函数按照自变量分别取值范围确定的函数写成形如f(x1,x2,...,xn) = y的形式。
其中，x1,x2,...,xn表示自变量，y为因变量。
2. 对每一个自变量求偏导数在多元函数中，并不是所有自变量对函数的影响都是一样的。
因此，我们必须分别计算每个自变量的导数，即偏导数。
在对每个自变量求偏导数时，其他变量都被视为常量，只对当前变量进行求导操作。
3. 求出最终导数表达式在求出所有的偏导数之后，需要根据求导规则求出最终的导数表达式。
为了求出多元函数的驻点，需要将各个偏导数求出的结果联立，并得到所有自变量为未知数的方程组。
4. 解方程组求得极值或最值最后，我们可以使用解线性方程组的方法，从而求得多元函数的极值或最值点。
多元函数的极值点与最值问题
多元函数的极值点与最值问题一、引言在数学中，多元函数的极值点与最值问题是一个重要且常见的研究课题。
通过寻找函数取得极值的点以及确定函数的最值，可以帮助我们更好地理解和分析多元函数的特性。
本文将介绍多元函数的极值点与最值问题的基本概念和方法。
二、多元函数的极值点1. 极值点的定义对于一个多元函数而言，极值点是指在定义域内存在的局部极大值或局部极小值点。
具体地说，设函数f(x₁, x₂,..., xₙ)在点(a₁, a₂,..., aₙ)处有定义，如果存在一个邻域N(a₁, a₂,..., aₙ)，对于任意点(x₁, x₂,..., xₙ)∈N(a₁, a₂,..., aₙ)，有f(x₁, x₂,..., xₙ)≤f(a₁, a₂,..., aₙ)或f(x₁, x₂,..., xₙ)≥f(a₁, a₂,..., aₙ)，则称点(a₁, a₂,..., aₙ)是函数f(x₁, x₂,..., xₙ)的一个极值点。
2. 寻找极值点的方法（1）求偏导数为了确定函数的极值点，我们可以先求出函数的偏导数。
对于一个具有n个自变量的函数，可以分别对每个自变量求偏导数，将得到的偏导数方程组称为梯度向量。
（2）解偏导数方程组接下来，我们需要解偏导数方程组，即找到梯度向量的零点。
这些零点就是函数可能的极值点。
3. 极值点的分类根据二阶偏导数的符号，可以将极值点分为以下几种情况：（1）二阶偏导数恒正：该点为局部极小值点；（2）二阶偏导数恒负：该点为局部极大值点；（3）二阶偏导数存在正负交替：该点即可能为局部极小值点，也可能为局部极大值点；（4）二阶偏导数不存在：需要通过额外的分析判断。
三、多元函数的最值问题1. 最值的定义对于一个多元函数而言，最大值和最小值是函数在定义域内取得的极值中的特殊点。
具体地说，设函数f(x₁, x₂,..., xₙ)在定义域D内有定义，如果对于任意(x₁, x₂,..., xₙ)∈D，有f(x₁, x₂,..., xₙ)≤f(a₁,a₂,..., aₙ)，则称函数f(x₁, x₂,..., xₙ)在点(a₁, a₂,..., aₙ)处取得最大值。
多元函数极值与最值
多元函数极值与最值在微积分中，我们学习了一元函数的极值与最值问题。
而在现实生活中，很多问题涉及到多个变量的函数，即多元函数。
对于多元函数来说，我们也需要研究其极值与最值问题。
本文将介绍多元函数的极值与最值的求解方法，并通过几个例子进行说明。
1. 极值与最值的定义在进行多元函数的极值与最值问题的求解之前，首先需要了解各种极值与最值的定义。
（这里插入合适的图表和示意图）1.1 局部极值：若对于一个给定的多元函数，存在某个点使得在该点的某个邻域内，函数值在该点之上或之下都小于等于（或大于等于）该点的函数值，那么称该点是该函数的一个局部极值点。
1.2 全局极大值与极小值：若对于一个给定的多元函数，如果函数的取值在定义域上的每个点上都大于等于（或小于等于）其它点，那么称该函数在该定义域上有全局极大值或极小值。
1.3 最大值与最小值：若对于一个给定的多元函数，对于其定义域上的每个点，函数值都小于等于（或大于等于）某个常数，那么称该常数为该函数在定义域上的最小值或最大值。
2. 求解方法接下来，我们将介绍两种常用的方法来求解多元函数的极值与最值问题。
2.1 梯度法梯度法是一种常用的用于求解多元函数极值的方法。
它利用函数在某个点的梯度方向可以指示函数值增大或减小的趋势。
具体步骤如下：（这里插入梯度法求解极值的算法步骤）2.2 拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法是另一种常用的求解多元函数极值与最值的方法。
它适用于含有约束条件的优化问题，即在满足一定条件下求取函数的极值或最值。
具体步骤如下：（这里插入拉格朗日乘子法求解极值的算法步骤）3. 实例分析为了更好地理解多元函数的极值与最值问题的求解方法，我们将通过几个实例来进行分析。
3.1 示例一：二元函数我们考虑一个二元函数示例，如下所示：（这里插入具体示例的函数表达式和图形展示）通过梯度法和拉格朗日乘子法，我们可以求解该函数的极值与最值，并得出结果。
3.2 示例二：三元函数我们再考虑一个三元函数示例，如下所示：（这里插入具体示例的函数表达式和图形展示）同样地，我们可以利用梯度法和拉格朗日乘子法来求解该函数的极值与最值。
多元函数的极值与最值
（2） B AC
2
B C 0 时没有极值；
正定
B 2 AC 0 时可能有极值,也可能没有极值， （3）
还需另作讨论．
13
例4 求函数 f ( x, y) x 3 y 3 3 x2 3 y2 9 x 的极值.
f x 3 x 2 6 x 9 0 x 3, 1 解 令 f y 3 y 2 6 y 0 y 0, 2 求得驻点： (3,0), (1,0), (3,2), (1,2) ,
其中 为参数， Fx f x ( x , y ) ( x , y ) 0 x 令 F y f y ( x , y ) ( x , y ) 0 , y F ( x , y ) 0 解出 x , y , ，其中 x, y 就是可能的极值点的坐标.
在实际问题中,经常要求某多元函数在已知区 域D内的最大值和最小值.根据实际情况,我们往往
可以判断最大值或最小值在区域D的内部达到，若
函数在D内仅有一个驻点，则可以断定，该驻点就 是最大值点或最小值点.
26
例9 在周长为2 p 的一切三角形中,求出面积最大的三角形. 解 设三角形的三条边长分别为 x , y, z ,
注意到 x 0, sin 0 ,化简后解得 x 8, , 3
由实际问题可知,S 必有最大值,且内部唯一驻点,故当
x 8,
3
时,槽的截面积最大, S最大 48 3 .
18
例7
已知某产品的需求函数为 Q 200000 1.5 x 0.1 y 0.3 ， p
解出 x , y , z ，就是可能的极值点的坐标 .
大学数学多元函数的极值与最值
大学数学多元函数的极值与最值多元函数是数学领域中的重要概念之一，研究多元函数的极值与最值对于优化问题的解决具有重要作用。
在本文中，将介绍多元函数的极值与最值的概念、计算方法以及应用。
一、多元函数的极值与最值概念多元函数是指涉及多个自变量和依赖变量的函数。
对于多元函数而言，极值即为函数在某个特定点上取得的最大值或最小值。
最值则是指函数在整个定义域上取得的最大值和最小值。
二、求多元函数的极值与最值的方法1. 隐函数求导法当函数无法直接表示为显式解析式时，可以通过隐函数求导的方法来求解极值。
该方法主要依靠链式法则来计算导数，进而确定极值的位置。
2. 梯度法梯度法是一种常用的优化算法，可以用来求解多元函数的极值问题。
其基本思想是沿着函数值下降最快的方向进行搜索，直到找到极值点。
3. 条件极值对于多元函数在一定条件下的极值问题，可以利用拉格朗日乘数法求解。
该方法通过引入约束条件，将多元函数的极值问题转化为带约束条件的无条件极值问题。
三、多元函数极值与最值的应用1. 经济学中的应用多元函数的极值与最值在经济学中有着广泛的应用。
以生产成本函数为例，通过求取其极小值可以得到最低成本的生产方案，帮助企业提高效益。
2. 工程优化问题在工程领域中，多元函数的极值与最值的求解能够帮助工程师找到最优设计方案，减少资源的浪费，提高整体效益。
3. 金融学中的投资问题在金融学中，多元函数的极值与最值的计算可以被应用于投资组合方面。
通过求取最大收益或最小风险的投资组合，可以帮助投资者制定合理的投资策略。
四、总结通过本文对大学数学多元函数的极值与最值的介绍，我们了解了多元函数极值的概念以及求解方法。
多元函数的极值与最值在实际问题中有着广泛应用，对于优化问题的解决具有重大意义。
因此，学好多元函数的极值与最值的相关知识，对于我们深入理解数学的应用和发展具有重要意义。
多元函数的极值与最值
=0
不能确定的
5. 极值的充分条件
并设：A = fx′′x (P0 ), B = fx′′y (P0 ),C = f y′′y (P0 ),则：
B2 − AC A <0
<0 >0
>0
f (P0 )是 极大值
极小值 非极值
=0
不能确定的
例1 求 f ( x, y ) = x 2 + y 2的极值。
A B2 − AC
Pi是 f (Pi )是
P1 −12
72 驻点 非极值
P2 −12 − 72 极大值点 极大值
P3 12 − 72 极小值点 极小值
P4 12 72 驻点 非极值
6. 极值的充要条件举例
例3 设 z = f ( x, y ) = x 2 + xy + 2 y 2的极值。
令
令
解：z′x = 3x + y = 0且z′y = x + 4 y = 0
令
令
解：f x′ = 3x2 + 6x − 9 = 0且f y′ = −3 y 2 + 6 y = 0
⇒ P1(−3,0), P2 (−3,2), P3 (1,0), P4 (1,2)为驻点 A = f x′x′ = 6x + 6, B = f x′y′ = 0, C = f y′′y = −6 y + 6
7. 多元函数的极值（广义的定义）
f 在顶点A、B、C、D处有极大值
z
B
A
C
D
z=f(x,y)
0
y
x
7. 多元函数的极值（广义的定义）
D是尖点，f 在点D处有极大值
多元函数的极值与最值
多元函数的极值与最值多元函数是指含有多个变量的函数。
在数学中，多元函数的极值和最值是研究函数在定义域内取得的最大值或最小值的问题。
本文将探讨多元函数的极小值与极大值，以及如何确定极值的方法。
1. 极值的定义和判断方法多元函数的极大值和极小值定义如下：对于函数f(x1, x2, ..., xn)，若存在一个点P(x1, x2, ..., xn)使得在点P的某个邻域内，对于任意(x1', x2', ..., xn')，f(x1', x2', ..., xn') ≤ f(x1, x2, ..., xn)，则称f(x1, x2, ..., xn)在点P取得极小值；若存在一个点Q(x1, x2, ..., xn)使得在点Q的某个邻域内，对于任意(x1', x2', ..., xn')，f(x1', x2', ..., xn') ≥ f(x1, x2, ..., xn)，则称f(x1, x2, ..., xn)在点Q取得极大值。
判断函数极值的方法常用的有以下几种：- 一阶导数法：求出函数的所有一阶偏导数，并解方程组求出所有临界点，再通过二阶偏导数或利用一阶导数的符号变化判断临界点的性质（极大值或极小值）。
- 二阶导数法：计算函数的所有二阶偏导数，并判断二阶导数的符号确定临界点的性质。
- 极值判别法：利用Hessian矩阵来判断函数的极值，若Hessian矩阵是正定的，则函数取得极小值；若Hessian矩阵是负定的，则函数取得极大值。
2. 寻找多元函数的最值寻找多元函数的最值的方法有以下几种：- 符号法：将函数在定义域边界上的取值代入函数，通过比较得到最大值和最小值。
- 拉格朗日乘数法：当函数的自变量受到一定的限制条件时，可以利用拉格朗日乘数法来求解函数的最值。
- 最优化算法：通过迭代计算的方式，利用数值优化算法来求解函数的最值，例如梯度下降法、牛顿法等。
多元函数微分法应用-极值与最值
2)0 x2 2)0 y2
得驻点 ( 3 2 , 3 2 )
根据实际问题可知最小值在定义域内应存在, 因此可 断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为 3 2
高为 3 23
2 2
3 2 时, 水箱所用材料最省.
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例3. 要设计一个容量为 V0 的长方体开口水箱, 试问
2( x y 2 z 2) 2 x 0 Fx
令
2( x y 2 z 2) 2 y 0 Fy
Fz 2( x y 2 z 2)(2) 0
z x2 y2
1 1 1 解此方程组得唯一驻点 x , y , z . 4 4 8 由实际意义最小值存在 , 故
f x ( x, y ) 0 f ( x, y ) 0 y 第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点 . 2. 函数的条件极值问题
(1) 简单问题用代入法
(2) 一般问题用拉格朗日乘数法
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结束
如求二元函数 z f ( x, y )在条件 ( x, y ) 0下的极值, 设拉格朗日函数 F f ( x, y ) ( x, y )
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定理2 (充分条件) 若函数 z f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且 A<0 时取极大值;
2
A>0 时取极小值.
2
结束
二、 多元函数的极值的一般步骤
1. 函数的极值问题 第一步 利用必要条件在定义域内找驻点. 如对二元函数 z f ( x, y ) , 即解方程组
第六节多元函数的极值与最值
(2)求偏导
F f 0
x x x
令
F f 0
y y y
解得 (x, y) 及
F
0
(3)判断求出的点(x, y) 是否为条件极值点,
通常都是根据问题本身的实际意义确定.
例6 设长方体三边长度之和为a,试问三边
各取什么值时所得长方体的体积最大?
解 设三边长度各为 x, y, z 体积为V
A f xx ( x0 , y0 ) B fxy ( x0 , y0 ) C f yy( x0 , y0 ) D B2 AC
(1)若 D 0, 且A 0, 则 (x0, y0 )是极大值点 (2)若 D 0, 且A 0, 则 (x0, y0 )是极小值点 (3)若 D 0, 则(x0, y0 ) 不是极值点
D B2 AC 9 36xy
对 (0,0) D 9 0 不是极值点
对 (1,1) D 27 0 且 A 6 0是极小值点
此时极小值为 f (1,1) 1.
补充 求 f (x, y) x2(2 y2 ) y ln y 的极值.
(2009年考研真题9分)
解 zx 2x(2 y2 ) zy 2x2 y ln y 1
(4)若 D 0, 则(x0, y0 ) 不确定.
例1 求 z x3 y3 3xy 的极值.
解 zx 3x2 3 y zy 3 y2 3x
令
zx 3x2 3 y 0
zy 3 y2 3x 0
解得 (0,0) (1,1)
A zxx 6x B zxy 3 C zyy 6 y
令
zx
2x(2
y2)
0
zy 2x2 y ln y 1 0
解得 (0, 1 )
e
多元函数的极值及最值问题
多元函数的极值及最值问题多元函数的极值及最值问题在数学中是一个重要的研究领域。
它涉及到了多元函数的最大值和最小值，以及如何求取这些值的方法。
本文将从定义、求解方法和实例等方面来讨论多元函数的极值及最值问题。
一、定义首先，我们先来了解一下多元函数的极值和最值的定义。
对于一个多元函数 f(x1, x2, ..., xn)，如果存在一个点 (x1*, x2*, ..., xn*)，使得在其邻域内的任意点 (x1, x2, ..., xn) 都满足f(x1*, x2*, ..., xn*) ≥ f(x1,x2, ..., xn)，则称该点为函数的极大值点。
类似地，如果存在一个点(x1*, x2*, ..., xn*)，使得在其邻域内的任意点 (x1, x2, ..., xn) 都满足f(x1*, x2*, ..., xn*) ≤ f(x1, x2, ..., xn)，则称该点为函数的极小值点。
最大值和最小值是多元函数的最值问题，即求取函数在给定定义域内取得的最大值和最小值。
最大值和最小值统称为最值。
二、求解方法在求解多元函数的极值和最值问题时，可以采用以下方法：1. 极值的存在性判断对于一个具体的多元函数，首先需要确定它的定义域。
然后，通过求取函数的偏导数，判断其偏导数是否为零（或不存在）。
若存在某一点使得偏导数为零（或不存在），则该点可能是函数的极值点。
2. 极值的求解在确定了可能的极值点后，可以进一步进行求解。
常用的方法有以下几种：- 梯度法：通过计算函数的梯度向量，并将其置为零，求解出使得梯度向量为零的点，即可能的极值点。
- 条件极值法：若多元函数受到一些条件约束，可以通过引入拉格朗日乘子法进行求解。
在建立拉格朗日函数后，将其偏导数为零的点作为可能的极值点。
3. 讨论临界点求得极值点后，需要进行分类讨论。
通过计算函数的二阶偏导数或者使用黑塞矩阵等方法，可以判断极值点是极大值、极小值还是鞍点。
三、实例分析下面我们通过一个实例来具体讨论多元函数的极值及最值问题。
大学四年级多元函数的极值与最值
大学四年级多元函数的极值与最值多元函数是在多个自变量的情况下，由一个或多个变量决定的函数。
在大学四年级的高等数学课程中，我们学习了多元函数的极值与最值问题。
本文将探讨多元函数的极值与最值的概念、求解方法以及一些典型例题。
一、多元函数的极值与最值概念多元函数的极值与最值是指函数在一定自变量范围内取得的最大值或最小值。
与一元函数类似，多元函数的极值与最值也是通过求导数来确定的。
对于一个二元函数f(x, y)，其极大值和极小值的定义如下：1. 极大值：如果对于函数f(x, y)的定义域中的每一个点(x0, y0)，在其邻域内，f(x0, y0)都小于或等于f(x, y)，则称f(x0, y0)为f(x, y)的极大值；2. 极小值：如果对于函数f(x, y)的定义域中的每一个点(x0, y0)，在其邻域内，f(x0, y0)都大于或等于f(x, y)，则称f(x0, y0)为f(x, y)的极小值。
类似地，可以将极值和最值的概念推广到三元函数、四元函数等更高维度的函数中。
二、多元函数的极值与最值求解方法1. 求取极值的方法之一是利用一元函数的方法进行转化。
首先可以将多元函数转化为含有一个变量的函数，然后对该一元函数进行求导、化简等操作，最后得到极值点的坐标。
2. 可以通过对多元函数的所有自变量进行求偏导数，并令偏导数等于零，解方程组求得极值点。
需要注意的是，求得的极值点可能是真正的极值点，也可能是鞍点，需要进一步判断。
3. 当多元函数的定义域是一个闭区域时，可以利用闭区域上的最值定理来确定其最值。
该定理指出，闭区域上的连续函数必然存在最大值和最小值，并且这两个值一定在区域的边界上或者在内部的某个点。
三、典型例题1. 求多元函数f(x, y) = x^2 + y^2 + xy - 2x - 3y + 1 的极值。
解：首先对x和y分别求偏导数，得到：∂f/∂x = 2x + y - 2∂f/∂y = 2y + x - 3令偏导数等于零，解方程组得到极值点(x0, y0)：2x0 + y0 - 2 = 02y0 + x0 - 3 = 0解得(x0, y0) = (1, 1)。
多元函数的极值与最大值最小值
多元函数的极值与最大值最小值多元函数的极值与最大值最小值是数学分析领域中重要的概念。
在实际问题中，我们经常需要确定一个函数在给定条件下的最大值或最小值，这对于优化问题求解、经济学建模、物理学模型等都具有重要的应用价值。
本文将介绍多元函数的极值和最大最小值的概念、求解方法以及一些实际应用。
一、多元函数的极值多元函数是指含有两个或多个自变量的函数，通常表示为f(x1,x2,...,xn)，其中x1,x2,...,xn为自变量。
对于多元函数来说，极值的概念与一元函数类似，都是函数在某一区间内取得的最大值或最小值。
1.1 局部极值多元函数的局部极值是指函数在某一点附近取得的最大值或最小值。
对于局部极值点(x1,x2,...,xn)，满足以下条件：1) 在(x1,x2,...,xn)点的某个邻域内，函数值在该点处达到极值；2) 对于(x1,x2,...,xn)点的某个邻域内的任一点(x1+Δx1,x2+Δx2,...,xn+Δxn)，函数值均小于(或大于)在(x1,x2,...,xn)点处的函数值。
寻找多元函数的局部极值需要使用偏导数的概念。
偏导数是指将多元函数对某一个变量求导时，将其他变量视为常数进行求导。
具体计算方法为在函数中对每个自变量分别求偏导数，然后令偏导数等于零，解方程组找到所有偏导数为零的点，即为可能的极值点。
再通过二阶偏导数的符号确定每个极值点的极值类型。
1.2 全局极值多元函数的全局极值是指函数在定义域内取得的最大值或最小值。
与一元函数的全局极值类似，全局极值点是指函数在整个定义域中取得最大值或最小值的点。
寻找多元函数的全局极值需要通过计算函数的驻点和边界上的函数值，并比较它们的大小。
驻点是指函数的偏导数为零的点，边界上的函数值可以通过限制条件将多元函数转化为一元函数，然后使用求一元函数的最大值或最小值的方法进行求解。
根据驻点和边界上的函数值，比较它们的大小即可确定全局极值。
二、多元函数的最大值与最小值在实际问题中，我们经常需要求解多元函数在给定约束条件下的最大值或最小值，这可以通过求解最优化问题来实现。
多元函数的极值
课堂练习 求函数 f ( x , y ) = x 3 + y 3 − 3 xy 的极值 . 解 取到极值的必要条件 : f x ( x , y ) = 3 x 2 − 3 y = 0, x 2 − y = 0, 定理1 用P110定理 定理 即 2 2 y − x = 0. f y ( x , y ) = 3 y − 3 x = 0, y = x2, y = x2, y = x2, 即 2 2 即 即 3 ( x ) − x = 0 . x ( x − 1 ) = 0 . x = 0 或 x = 1 . 得驻点 (1,1), ( 0,0 ).
又, A = f xx( x, y) = 6x, B = f xy ( x, y) = −3, C = f yy ( x, y) = 6 y.
∵ AC − B2 = 6 ⋅ 6 − (−3)2 > 0, 又 A > 0, 点(1,1 )处 ,
定理2 用P110定理 定理
∴ f (1,1) = − 1是极小值 ;
又设 又设 ϕ ( x , y ) = 0 可确定一个具有连续导 数的 隐函数 y = y ( x )且 y 0 = y ( x 0 ); 15
又设 又设 ϕ ( x , y ) = 0 可确定一个具有连续导 数的 隐函数 y = y ( x )且 y 0 = y ( x 0 ); 代入得 z = f [ x , y( x )], 化成了无条件极值 一元函 数 z = f [ x , y ( x )] 在 x 0 处取得极值的 dz 由隐函数求导公式得到 必要条件是 x = x0 = 0, dx dy 即 [ f x ( x , y ( x )) + f y ( x , y ( x )) ⋅ ] x = x 0 = 0, dx dx ϕ x ( x 0 , y0 ) ) = 0, 即 f x ( x0 , y0 ) + f y ( x0 , y0 )( − ϕ y ( x 0 , y0 ) f x ( x 0 , y0 ) f y ( x 0 , y0 ) 令 即 = =− λ, ϕ x ( x 0 , y0 ) ϕ y ( x 0 , y0 )
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sin 0 , x 0
12 2x x cos 0
24cos 2x cos x(cos2 sin2 ) 0
解得:
60 , x 8 (cm)
3
由题意知,最大值在定义域D 内达到, 而在域D 内只有
一个驻点, 故此点即为所求.
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三、条件极值
无条件极值: 对自变量只有定义域限制 极值问题
条 件 极 值 : 对自变量除定义域限制外,
还有其它条件限制 条件极值的求法:
方法1 代入法. 例如 ,
在条件 (x, y) 0下, 求函数 z f (x, y) 的极值
转 化
从条件(x, y) 0中解出 y (x)
求一元函数 z f (x, (x)) 的无条件极值问题
例3. 某厂要用铁板做一个体积为2 的有盖长方体水箱
问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?
解: 设水箱长,宽分别为
x , y m ,则高为
2 xy
m
,
则水箱所用材料的面积为
2x y
2 x
2 y
令
Ax
2( y
2 x2
)
0
得驻点 ( 3 2 , 3 2 )
Ay
2( x
2 y2
)
0
根据实际问题可知最小值在定义域内应存在, 因此可
o
x
得 x1 0, x2 4 y 6 x |x4 2,
f (4,2) 64,
比较后可知 f (2,1) 4为最大值,
f (4,2) 64为最小值.
例
2.
求z
x2
x
y
y 2
的最大值和最小值.
1
解
由
( x2 y2 1) 2x( x y)
zx
( x2 y2 1)2
0,
解： 设所获得利润为L，
L 5Q 2x y 100 5x2 48x 10 y 2 24 y
收入
成本
• L 5Q 2x y 100 5x2 48x 10 y 2 24 y
Lx 10x 48 0
Ly 20 y 24 0
x 4.8
y 1.2
有问题的实际意义可知最大值一定存在，又求的唯一 驻点。所以函数在驻点处取得最大值。 最大利润为：L（4.8 1.2）=229.6 万元
再求 f ( x, y)在D边界上的最值，
在边界x 0和y 0 上 f ( x, y) 0,
z f x, y x2 y4 x y
在边界x y 6上，即y 6 x 于是 f ( x, y) x2(6 x)(2), 由 fx 4x( x 6) 2x2 0,
y
x y6
D
先求函数在D 内的驻点，
y
x y6
D
D
o
x
z f x, y x2 y4 x y
y
解方程组
x y6
D
fx( x, y) 2xy(4 x f y( x, y) x2(4 x
y) x2 y 0 y) x2 y 0
o
x
得区域D 内唯一驻点(2,1), 且 f (2,1) 4,
多元函数的最值应用
一、最值应用问题
依据
函数 f 在闭域上连续
函数 f 在闭域上可达到最值
最值可疑点
驻点 边界上的最值点
特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时,
f (P) 为极小(大) 值
f (P) 为最小(大) 值
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1、多元函数的最值
与一元函数相类似，我们可以利用函数的 极值来求函数的最大值和最小值.
2
2
无条件极值：对自变量除了限制在定义域内
外，并无其他条件.
• 例3：某工厂生产某种产品需要两种原料A、B. 单价分别为 2万元/吨 和 1万元/吨。已知该产 品产量Q（单位：吨）与A、B两种原料的投入 量 x, y有如下关系： Q 20 x2 10x 2 y2 5y
且该产品的出售价为5万元/吨，试确定两种 原料A、B 的投入量，使获得利润最大。
求最值的一般方法：
将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D
的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最 大者即为最大值，最小者即为最小值.
例 1. 求二元函数
z f ( x, y) x2 y(4 x y) 在直线 x y 6， x轴和 y 轴所围成的闭区域 D
上的最大值与最小值.
解 如图,
z f x, y x2 y4 x y
zy
(x2
y2 1) 2 y( x ( x2 y2 1)2
y)
0,
得驻点( 1 , 1 )和( 1 , 1 ),
22
22
因为lim x
x2
x
y y2
1
0
y
即边界上的值为零.
z( 1 , 1 ) 1 , z( 1 , 1 ) 1 ,
22 2
22
2
所以最大值为 1 ，最小值为 1 .
步骤Ⅰ 构造函数 F(x, y,) f (x, y) (x, y)
（为待定常数）
步骤Ⅱ 解方程组
Fx Fy
fx (x, y) x (x, y) 0 f y (x, y) y (x, y) 0
F
(x,
y)
0
求出实数解(x0,y0)和 ; 步骤Ⅲ 判别求出的点(x0,y0)是否为极值点(通常由实际问
为
1 (24 2x 2x cos
2
) x sin
24x sin 2x2 sin x2 cos sin
(DLeabharlann :0x12,
0
2
)
x 24
x
24 2x
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A 24x sin 2x2 sin x2 cos sin
(D:
0
x
12,
0
2
)
令
Ax 24sin 4x sin 2x sin cos 0 A 24x cos 2x2 cos x2 (cos2 sin2 ) 0
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2．求条件极值的方法
（1）代入法：将条件代入函数，化为无条件极 值问题来解。
（这对于一类其条件的表达形式较简单的问题，是方便的）
（2）Lagrange乘数法：构造辅助函数，化为无
条件极值问题。
Lagrange乘数法求z=f(x,y)在满足条件(x,y)=0
时的极值，方法为：
断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为 3 2
高为
3
2 23
2
3
2
时,
水箱所用材料最省.
（无条件极值）
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例4. 有一宽为 24cm 的长方形铁板 ,把它折起来做成
一个断面为等腰梯形的水槽, 问怎样折法才能使断面面
积最大.
解: 设折起来的边长为 x cm, 倾角为 , 则断面面积