2021年中考数学解答题压轴题每日一题 (30)
2021年中考数学压轴题精选含答案
2021年中考数学压轴题精选含答案1．如图，正方形ABCD 的边长为8，M 是AB 的中点，P 是BC 边上的动点，连结PM ，以点P 为圆心，PM 长为半径作⊙P ．（1）当BP ＝ 时，△MBP ～△DCP ；（2）当⊙P 与正方形ABCD 的边相切时，求BP 的长；（3）设⊙P 的半径为x ，请直接写出正方形ABCD 中恰好有两个顶点在圆内的x 的取值范围．2．如图，已知抛物线()2y ax bx 2a 0=+-≠与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，直线BD 交抛物线于点D ，并且()D 2,3，()B 4,0-．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M 为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B 、M 、C ，求BMC 面积的最大值；（3）在（2）中BMC 面积最大的条件下，过点M 作直线平行于y 轴，在这条直线上是否存在一个以Q 点为圆心，OQ 为半径且与直线AC 相切的圆？若存在，求出圆心Q 的坐标；若不存在，请说明理由．3．已知抛物线217222y x mx m 的顶点为点C ． （1）求证：不论m 为何实数，该抛物线与x 轴总有两个不同的交点；（2）若抛物线的对称轴为直线3x =，求m 的值和C 点坐标；（3）如图，直线1y x =-与（2）中的抛物线并于AB 、两点，并与它的对称轴交于点D ，直线x k =交直线AB 于点M ，交抛物线于点N ．求当k 为何值时，以CD M N 、、、为顶点的四边形为平行四边形．4．如图，在四边形ABCD 中，∠B=90°，AD//BC ，AD=16，BC=21，CD=13．（1）求直线AD 和BC 之间的距离；（2）动点P 从点B 出发，沿射线BC 以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q 从点A 出发，在线段AD 上以每秒1个单位长度的速度运动，点P 、Q 同时出发，当点Q 运动到点D 时，两点同时停止运动，设运动时间为t 秒．试求当t 为何值时，以P 、Q 、D 、C 为顶点的四边形为平行四边形？（3）在（2）的条件下，是否存在点P ，使△PQD 为等腰三角形？若存在，请直接写出相应的t 值，若不存在，请说明理由．5．如图，在菱形ABCD 中，AB a ，60ABC ∠=︒，过点A 作AE BC ⊥，垂足为E ，AF CD ⊥，垂足为F ．（1）连接EF ，用等式表示线段EF 与EC 的数量关系，并说明理由；（2）连接BF ，过点A 作AK BF ⊥，垂足为K ，求BK 的长(用含a 的代数式表示)； （3）延长线段CB 到G ，延长线段DC 到H ，且BG CH =，连接AG ，GH ，AH ． ①判断AGH 的形状，并说明理由；②若12,(33)2ADH a S ==+，求sin GAB ∠的值．6．问题提出（1）如图①，在ABC 中，42,6,135AB AC BAC ==∠=，求ABC 的面积．问题探究（2）如图②，半圆O 的直径10AB =，C 是半圆AB 的中点，点D 在BC 上，且2CD BD =，点P 是AB 上的动点，试求PC PD +的最小值．问题解决（3）如图③，扇形AOB 的半径为20,45AOB ∠=在AB 选点P ，在边OA 上选点E ，在边OB 上选点F ，求PE EF FP ++的长度的最小值．7．如图，在ABC ∆中，14AB =，45B ∠=︒，4tan 3A =，点D 为AB 中点．动点P 从点D 出发，沿DA 方向以每秒1个单位长度的速度向终点A 运动，点P 关于点D 对称点为点Q ，以PQ 为边向上作正方形PQMN ．设点P 的运动时间为t 秒．（1）当t =_______秒时，点N 落在AC 边上．（2）设正方形PQMN 与ABC ∆重叠部分面积为S ，当点N 在ABC ∆内部时，求S 关于t 的函数关系式．（3）当正方形PQMN 的对角线所在直线将ABC ∆的分为面积相等的两部分时，直接写出t 的值．8．对于平面直角坐标系xOy 中的图形W 1和图形W 2．给出如下定义：在图形W 1上存在两点A ，B （点A ，B 可以重合），在图形W 2上存在两点M ，N ，（点M 于点N 可以重合）使得AM=2BN ，则称图形W 1和图形W 2满足限距关系(1)如图1，点C(1，0)，D(-1，0)，E(03，点P 在线段DE 上运动(点P 可以与点D ，E 重合)，连接OP ，CP ．①线段OP 的最小值为_______，最大值为_______；线段CP 的取值范直范围是_____； ②在点O ，点C 中，点____________与线段DE 满足限距关系；(2)如图2，⊙O 的半径为1，直线3y x b =+(b>0)与x 轴、y 轴分别交于点F ，G ．若线段FG 与⊙O 满足限距关系，求b 的取值范围；(3)⊙O 的半径为r(r>0)，点H ，K 是⊙O 上的两个点，分别以H ，K 为圆心，1为半径作圆得到⊙H 和 K ，若对于任意点H ，K ，⊙H 和⊙K 都满足限距关系，直接写出r 的取值范围．9．如图，在平面直角坐标系中，点(1,2)A ，(5,0)B ，抛物线22(0)y ax ax a =->交x 轴正半轴于点C ，连结AO ，AB ．（1）求点C 的坐标；（2）求直线AB 的表达式； （3）设抛物线22(0)y ax ax a =->分别交边BA ，BA 延长线于点D ，E ．①若2AE AO =，求抛物线表达式；②若CDB △与BOA △相似，则a 的值为 ．（直接写出答案）10．如图，射线AM 上有一点B ，AB ＝6．点C 是射线AM 上异于B 的一点，过C 作CD ⊥AM ，且CD ＝43AC ．过D 点作DE ⊥AD ，交射线AM 于E . 在射线CD 取点F ，使得CF ＝CB ，连接AF 并延长，交DE 于点G ．设AC ＝3x ．（1） 当C 在B 点右侧时，求AD 、DF 的长．(用关于x 的代数式表示)（2）当x 为何值时，△AFD 是等腰三角形．（3）若将△DFG 沿FG 翻折，恰使点D 对应点'D 落在射线AM 上，连接'FD ，'GD ．此时x 的值为 （直接写出答案）11．已知：如图，四边形ABCD ，AB DC ，CB AB ⊥，16AB cm =，6BC cm =，8CD cm =，动点Q 从点D 开始沿DA 边匀速运动，运动速度为1/cm s ，动点P 从点A 开始沿AB 边匀速运动，运动速度为2/cm s ．点P 和点Q 同时出发，O 为四边形ABCD 的对角线的交点，连接 PO 并延长交CD 于M ，连接QM ．设运动的时间为()t s ，08t <<．（1）当t 为何值时，PQ BD ？（2）设五边形QPBCM 的面积为()2S cm ，求S 与t 之间的函数关系式； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使PQM 的面积等于五边形面积的1115？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由； （4）在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使点Q 在MP 的垂直平分线上？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．12．如图1，平面直角坐标系xoy 中，A (－4，3)，反比例函数(0)k y k x=<的图象分别交矩形ABOC 的两边AC ，BC 于E ，F （E ，F 不与A 重合），沿着EF 将矩形ABOC 折叠使A ，D 重合．（1）①如图2，当点D 恰好在矩形ABOC 的对角线BC 上时，求CE 的长；②若折叠后点D落在矩形ABOC内（不包括边界），求线段CE长度的取值范围．（2）若折叠后，△ABD是等腰三角形，请直接写出此时点D的坐标．13．如图1，已知点B（0，9），点C为x轴上一动点，连接BC，△ODC和△EBC都是等边三角形．（1）求证：DE＝BO；（2）如图2，当点D恰好落在BC上时．①求点E的坐标；②在x轴上是否存在点P，使△PEC为等腰三角形？若存在，写出点P的坐标；若不存在，说明理由；③如图3，点M是线段BC上的动点（点B，点C除外），过点M作MG⊥BE于点G，MH⊥CE于点H，当点M运动时，MH＋MG的值是否发生变化？若不会变化，直接写出MH＋MG的值；若会变化，简要说明理由．14．在综合与实践课上老师将直尺摆放在三角板上，使直尺与三角板的边分别交于点P、M、N、Q，（1）如图①所示．当∠CNG＝42°，求∠HMC 的度数．（写出证明过程）（2）将直尺向下平移至图 2 位置，使直尺的边缘通过点 C，交 AB 于点 P，直尺另一侧与三角形交于 N、Q 两点。
2021年全国各地中考数学压轴题分类汇编(通用版)函数(二)(含答案与解析)
2021年全国各地中考数学压轴题分类汇编（通用版）函数（二）参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．（2021•丹东）如图，点A在曲线到y1＝（x＞0）上，点B在双曲线y2＝（x＜0）上，AB//x 轴，点C是x轴上一点，连接AC、BC，若△ABC的面积是6，则k的值（）A．﹣6B．﹣8C．﹣10D．﹣12解：如图，连接OA，OB，AB与y轴交于点M，∵AB∥x轴，点A在曲线到y1＝（x＞0）上，点B在双曲线y2＝（x＜0）上，∴S△AOM＝×|2|＝1，S△BOM＝×|k|＝﹣k，∵S△ABC＝S△AOB＝6，∴1﹣k＝6，∴k＝﹣10．故选：C．2．（2021•丹东）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0），且a+b+c＝﹣，a﹣b+c＝﹣．判断下列结论：①abc＜0；②2a+2b+c＞0；③抛物线与x轴正半轴必有一个交点；④当2≤x≤3时，y最小＝3a；⑤该抛物线与直线y＝x﹣c有两个交点，其中正确结论的个数（）A．2B．3C．4D．5解：∵a+b+c＝﹣，a﹣b+c＝﹣，∴两式相减得b＝，两式相加得c＝﹣1﹣a，∴c＜0，∵a＞0，b＞0，c＜0，∴abc＜0，故①正确；∴2a+2b+c＝2a+2×﹣1﹣a＝a＞0，故②正确；∵当x＝1时，则y＝a+b+c＝﹣，当x＝﹣1时，则有y＝a﹣b+c＝﹣，∴当y＝0时，则方程ax2+bx+c＝0的两个根一个小于﹣1，一个根大于1，∴抛物线与x轴必有一个交点，故③正确；由题意知抛物线的对称轴为直线x＝＝，∴当2≤x≤3时，y随x的增大而增大，∴当x＝2时，有最小值，即为y＝4a+2b+c＝4a+1﹣1﹣a＝3a，故④正确；联立抛物线y＝ax2+bx+c及直线y＝x﹣c可得：x﹣c＝ax2+bx+c，整理得：，∴Δ＝，∴该抛物线与直线y＝x﹣c有两个交点，故⑤正确；∴正确的个数有5个；故选：D．3．如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，过点A作x轴的垂线，与函数y＝﹣（x＞0）的图象交于点C，连结BC交x轴于点D．若点A的横坐标为1，BC ＝3BD，则点B的横坐标为（）A．B．2C．D．3解：作BE⊥x轴于E，∴AC∥BE，∴△CDF∽△BDE，∴＝＝，∵BC＝3BD，∴＝＝，∴CF＝2BE，DF＝2DE，设B（，b），∴C（1，﹣2b），∵函数y＝﹣（x＞0）的图象交于点C，∴﹣k＝1×（﹣2b）＝﹣2b，∴k＝2b，∴B的横坐标为＝＝2，故选：B．4．（2021•营口）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的边BC与x轴平行，A，B两点纵坐标分别为4，2，反比例函数y＝经过A，B两点，若菱形ABCD面积为8，则k值为（）A．﹣8B．﹣2C．﹣8D．﹣6解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AD∥BC，∵A、B两点的纵坐标分别是4、2，反比例函数y＝经过A、B两点，∴x B＝，x A＝，即A（，4），B（，2），∴AB2＝（﹣）2+（4﹣2）2＝+4，∴BC＝AB＝，又∵菱形ABCD的面积为8，∴BC×（y A﹣y B）＝8，即×（4﹣2）＝8，整理得＝4，解得k＝±8，∵函数图象在第二象限，∴k＜0，即k＝﹣8，故选：A．5．（2021•陕西）在平面直角坐标系中，若将一次函数y＝2x+m﹣1的图象向左平移3个单位后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为（）A．﹣5B．5C．﹣6D．6解：将一次函数y＝2x+m﹣1的图象向左平移3个单位后，得到y＝2（x+3）+m﹣1，把（0，0）代入，得到：0＝6+m﹣1，解得m＝﹣5．故选：A．6．（2021•本溪）如图，在矩形ABCD中，BC＝1，∠ADB＝60°，动点P沿折线AD→DB运动到点B，同时动点Q沿折线DB→BC运动到点C，点P，Q在矩形边上的运动速度为每秒1个单位长度，点P，Q在矩形对角线上的运动速度为每秒2个单位长度．设运动时间为t秒，△PBQ的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（）A．B．C．D．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝1，∠A＝∠C＝90°，AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC＝60°，∴∠ABD＝∠CDB＝30°，∴BD＝2AD＝2，当点P在AD上时，S＝•（2﹣2t）•（1﹣t）•sin60°＝（1﹣t）2（0＜t＜1），当点P在线段BD上时，S＝（4﹣2t）•（t﹣1）＝﹣t2+t﹣（1＜t≤2），观察图象可知，选项D满足条件，故选：D．7．（2021•陕西）下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：x…﹣2013…y…6﹣4﹣6﹣4…下列各选项中，正确的是（）A．这个函数的图象开口向下B．这个函数的图象与x轴无交点C．这个函数的最小值小于﹣6D．当x＞1时，y的值随x值的增大而增大解：设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，由题知，解得，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣3x﹣4＝（x﹣4）（x+1）＝（x﹣）2﹣，∴（1）函数图象开口向上，（2）与x轴的交点为（4，0）和（﹣1，0），（3）当x＝时，函数有最小值为﹣，（4）函数对称轴为直线x＝，根据图象可知当x＞时，y的值随x值的增大而增大，故选：C．二．填空题（共2小题）8．（2021•长春）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，4）在抛物线y＝ax2上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F 两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为﹣2+2．解：把A（2，4）代入y＝ax2中得4＝4a，解得a＝1，∴y＝x2，设点C横坐标为m，则CD＝CE＝2m，∴点E坐标为（m，4﹣2m），∴m2＝4﹣2m，解得m＝﹣1﹣（舍）或m＝﹣1+．∴CD＝2m＝﹣2+2．故答案为：﹣2+2．9．（2021•陕西）若A（1，y1），B（3，y2）是反比例函数y＝（m＜）图象上的两点，则y1、y2的大小关系是y1＜y2.（填“＞”、“＝”或“＜”）解：∵2m﹣1＜0（m＜），∴图象位于二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大，又∵0＜1＜3，∴y1＜y2，故答案为：＜．三．解答题（共16小题）10．（2021•吉林）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣2的图象与y轴相交于点A，与反比例函数y＝在第一象限内的图象相交于点B（m，2），过点B作BC⊥y轴于点C．（1）求反比例函数的解析式；（2）求△ABC的面积．解：（1）∵B点是直线与反比例函数交点，∴B点坐标满足一次函数解析式，∴，∴m＝3，∴B（3，2），∴k＝6，∴反比例函数的解析式为；（2）∵BC⊥y轴，∴C（0，2），BC∥x轴，∴BC＝3，令x＝0，则y＝，∴A（0，﹣2），∴AC＝4，∴，∴△ABC的面积为6．11．（2021•陕西）已知抛物线y＝﹣x2+2x+8与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求点B、C的坐标；（2）设点C′与点C关于该抛物线的对称轴对称．在y轴上是否存在点P，使△PCC′与△POB 相似，且PC与PO是对应边？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵y＝﹣x2+2x+8，取x＝0，得y＝8，∴C（0，8），取y＝0，得﹣x2+2x+8＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝4，∴B（4，0）；（2）存在点P，设P（0，y），若CC'是斜边，则PC＞PO，不合题意，舍去，∵CC'∥OB，且PC与PO是对应边，∴，即：，解得：y1＝16，，∴P（0，16）或P（0，）．12．（2021•长春）在平面直角坐标系中，抛物线y＝2（x﹣m）2+2m（m为常数）的顶点为A．（1）当m＝时，点A的坐标是（，1），抛物线与y轴交点的坐标是（0，）；（2）若点A在第一象限，且OA＝，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写出函数值y 随x的增大而减小时x的取值范围；（3）当x≤2m时，若函数y＝2（x﹣m）2+2m的最小值为3，求m的值；（4）分别过点P（4，2）、Q（4，2﹣2m）作y轴的垂线，交抛物线的对称轴于点M、N．当抛物线y＝2（x﹣m）2+2m与四边形PQNM的边有两个交点时，将这两个交点分别记为点B、点C，且点B的纵坐标大于点C的纵坐标．若点B到y轴的距离与点C到x轴的距离相等，直接写出m 的值．解：（1）当m＝时，y＝2（x﹣）2+1，∴顶点A（，1），令x＝0，得y＝，∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，），故答案为：（，1），（0，）；（2）∵点A（m，2m）在第一象限，且OA＝，∴m2+（2m）2＝（）2，且m＞0，解得：m＝1，∴抛物线的解析式为y＝2（x﹣1）2+2，当x＜1时，函数值y随x的增大而减小；（3）∵当x≤2m时，若函数y＝2（x﹣m）2+2m的最小值为3，∴分两种情况：2m＜m，即m＜0时，或2m＞m，即m＞0时，①当m＜0时，2（2m﹣m）2+2m＝3，解得：m＝（舍）或m＝﹣，②当m＞0时，2（m﹣m）2+2m＝3，解得：m＝，综上所述，m的值为或﹣；（4）如图1，当m＞0时，∵P（4，2）、Q（4，2﹣2m），∴M（m，2），N（m，2﹣2m），抛物线y＝2（x﹣m）2+2m与四边形PQNM的边有两个交点，若点B在PM边上，点C在MN边上，∴令y＝2，则2＝2（x﹣m）2+2m，∴x＝m+或x＝m﹣（不合题意，应舍去），∴B（m+，2），C（m，2m），根据题意，得2m＝m+，解得：m＝或m＝（不合题意，应舍去）；若点B在PM边上，点C在NQ边上，则2﹣2m＝m+，解得：m＝，经检验，m＝不符合题意，舍去，∴m＝，若点B在PQ边上，点C在NQ边上，则4＝2﹣2m，解得：m＝﹣1＜0，不合题意，舍去；当m＜0时，如图2，若点B在NQ边上，点C在PM边上，则2﹣2m＝2（x﹣m）2+2m，∴x＝m+或x＝m﹣（舍去），∴|m+|＝2，当m+＝2时，得m2﹣2m+3＝0，∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×3＝﹣8＜0，∴该方程无解；当m+＝﹣2时，得m2﹣6m+3＝0，解得：m＝3﹣或m＝3+，∵m＜0，∴均不符合题意；若点B在NQ边上，点C在MN边上，则|m+|＝|2m|，∴m+＝﹣2m或m+＝2m，∵m＜0，∴m＝﹣或m＝﹣1﹣，经验证，m＝﹣时，不符合题意；∴m＝﹣1﹣；若点B在PQ边上，点C在PM边上，显然点B到y轴的距离为4，点C到x轴的距离为2，不符合题意；综上所述，m的值为或或﹣1﹣．13．（2021•丹东）某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本．（1）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围）（2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？（3）超市的销售人员发现：当该商品每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而减小的情况，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？解：（1）∵依题意，得：y＝50+（100﹣x）××10＝﹣5x+550，∴y与x的函数关系式为y＝﹣5x+550；（2）∵依题意得：y（x﹣50）＝4000，即（﹣5x+550）（x﹣50）＝4000，解得：x1＝70，x2＝90，∵70＜90，∴当该商品每月销售利润为4000，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为70元；（3）设每月总利润为w，依题意得w＝y（x﹣50）＝（﹣5x+550）（x﹣50）＝﹣5x2+800x﹣27500＝﹣5（x﹣80）2+4500，∵﹣5＜0，此图象开口向下，∴当x＝80时，w有最大值为4500元，∴为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为80元．14．（2021•吉林）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，﹣），点B（1，）．（1）求此二次函数的解析式；（2）当﹣2≤x≤2时，求二次函数y＝x2+bx+c的最大值和最小值；（3）点P为此函数图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ∥x轴，点Q的横坐标为﹣2m+1．已知点P与点Q不重合，且线段PQ的长度随m的增大而减小．①求m的取值范围；②当PQ≤7时，直接写出线段PQ与二次函数y＝x2+bx+c（﹣2≤x＜）的图象交点个数及对应的m的取值范围．解：（1）将A（0，﹣），点B（1，）代入y＝x2+bx+c得：，解得，∴y＝x2+x﹣．（2）∵y＝x2+x﹣＝（x+）2﹣2，∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣．∴当x＝﹣时，y取最小值为﹣2，∵2﹣（﹣）＞﹣﹣（﹣2），∴当x＝2时，y取最大值22+2﹣＝．（3）①PQ＝|﹣2m+1﹣m|＝|﹣3m+1|，当﹣3m+1＞0时，PQ＝﹣3m+1，PQ的长度随m的增大而减小，当﹣3m+1＜0时，PQ＝3m﹣1，PQ的长度随m增大而增大，∴﹣3m+1＞0满足题意，解得m＜．②∵0＜PQ≤7，∴0＜﹣3m+1≤7，解得﹣2≤m＜，如图，当x＝﹣时，点P在最低点，PQ与图象有1交点，m增大过程中，﹣＜m＜，点P与点Q在对称轴右侧，PQ与图象只有1个交点，直线x＝关于抛物线对称轴直线x＝﹣对称后直线为x＝﹣，∴﹣＜m＜﹣时，PQ与图象有2个交点，当﹣2≤m≤﹣时，PQ与图象有1个交点，综上所述，﹣2≤m≤﹣或﹣≤m时，PQ与图象交点个数为1，﹣＜m＜﹣时，PQ 与图象有2个交点．15．（2021•大连）某电商销售某种商品一段时间后，发现该商品每天的销售量y（单位：千克）和每千克的售价x（单位：元）满足一次函数关系（如图所示），其中50≤x≤80．（1）求y关于x的函数解析式；（2）若该种商品的成本为每千克40元，该电商如何定价才能使每天获得的利润最大？最大利润是多少？解：（1）设y＝kx+b，将（50，100）、（80，40）代入，得：，解得：∴y＝﹣2x+200 （50≤x≤80）；（2）设电商每天获得的利润为w元，则w＝（x﹣40）（﹣2x+200）＝﹣2x2+280x﹣8000＝﹣2（x﹣70）2+1800，∵﹣2＜0，且对称轴是直线x＝70，又∵50≤x≤80，∴当x＝70时，w取得最大值为1800，答：该电商售价为70元时获得最大利润，最大利润是1800元．16．（2021•丹东）如图，已知点A（﹣8，0），点B（﹣5，﹣4），直线y＝2x+m过点B交y轴于点C，交x轴于点D，抛物线y＝ax2+x+c经过点A、C、D，连接AB、AC．（1）求抛物线的表达式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）E为直线AC上方的抛物线上一点，且tan∠ECA＝，求点E的坐标；（4）N为线段AC上的动点，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BN运动到点N，再以每秒个单位长度的速度沿线段NC运动到点C，又以每秒1个单位长度的速度沿线段CO向点O运动，当点P运动到点O后停止，请直接写出上述运动时间的最小值及此时点N的坐标．解：（1）∵直线y＝2x+m过点B（﹣5，4），交y轴于点C，∴﹣4＝2×（﹣5）+m，解得：m＝6，∴C（0，6），将A（﹣8，0）、C（0，6）代入，得：，解得：，∴抛物线的表达式为；（2）△ABC为直角三角形，且∠BAC＝90°，理由如下：∵点A（﹣8，0），点B（﹣5，﹣4），点C（0，6），∴AB2＝（﹣8+5）2+（0+4）2＝25，AC2＝（﹣8+0）2+（0﹣6）2＝100，BC2＝（﹣5+0）2+（﹣4﹣6）2＝125，∴AC2+AB2＝BC2，∴△ABC为直角三角形，且∠BAC＝90°；（3）由（2）知AB＝5，AC＝10，∴tan∠BCA＝＝tan∠ECA，∴∠BCA＝∠ECA，如图1，延长BA至F，使AF＝AB，连接CF，则点B、F关于点A对称，∴F（﹣11，4），∵∠BAC＝∠F AC＝90°，AF＝AB，AC＝AC，∴△F AC≌△BAC（SAS），∴∠BCA＝∠FCA，∴点E为直线CF与抛物线的交点，设直线CF的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线CF的解析式为，联立方程组，解得：或（舍去），故点E坐标为（，）；（4）过N作MN⊥BC于M，过F作FM'⊥BC交AC于N'，连接FN，则FN＝BN，∵AB＝5，BC＝，∴sin∠BCA＝，∴MN＝，又CO＝6，∴点P运动时间t＝＝BN+MN+6＝FN+MN+6≥FM'+6，当F、N、M三点共线时，t最小，∵AC＝10，BC＝，∴sin∠ABC＝，∴FM'＝，∴点P运动时间t的最小值为，由直线BC的表达式y＝2x+6得点D坐标为（﹣3，0），∵FD＝，∴点D与点M'重合，则点N（即N'）为直线FD与直线AC的交点，由点A（﹣8，0）和C（0，6）得直线AC的表达式为，由点F（﹣11，4）和D（﹣3，0）得直线FD的表达式为，联立方程组，解得：，∴此时N坐标为（﹣6，）．17．（2021•营口）某商家正在热销一种商品，其成本为30元/件，在销售过程中发现随着售价增加，销售量在减少．商家决定当售价为60元/件时，改变销售策略，此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用150元．该商品销售量y（件）与售价x（元/件）满足如图所示的函数关系（其中40≤x≤70，且x为整数）．（1）直接写出y与x的函数关系式；（2）当售价为多少时，商家所获利润最大，最大利润是多少？解：（1）设线段AB的表达式为：y＝kx+b（40≤x≤60），将点（40，300）、（60，100）代入上式得：，解得：，∴函数的表达式为：y＝﹣10x+700（40≤x≤60），设线段BC的表达式为：y＝mx+n（60＜x≤70），将点（60，100）、（70，150）代入上式得：，解得：，∴函数的表达式为：y＝5x﹣200（60＜x≤70），∴y与x的函数关系式为：y＝；（2）设获得的利润为w元，①当40≤x≤60时，w＝（x﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10（x﹣50）2+4000，∵﹣10＜0，∴当x＝50时，w有值最大，最大值为4000元；②当60＜x≤70时，w＝（x﹣30）（5x﹣200）﹣150（x﹣60）＝5（x﹣50）2+2500，∵5＞0，∴当60＜x≤70时，w随x的增大而增大，∴当x＝70时，w有最大，最大值为：5（70﹣50）2+2500＝4500（元），综上，当售价为70元时，该商家获得的利润最大，最大利润为4500元．18．（2021•大连）已知函数y＝，记该函数图象为G．（1）当m＝2时，①已知M（4，n）在该函数图象上，求n的值；②当0≤x≤2时，求函数G的最大值．（2）当m＞0时，作直线x＝m与x轴交于点P，与函数G交于点Q，若∠POQ＝45°时，求m 的值；（3）当m≤3时，设图象与x轴交于点A，与y轴交与点B，过点B作BC⊥BA交直线x＝m于点C，设点A的横坐标为a，C点的纵坐标为c，若a＝﹣3c，求m的值．解：（1）当m＝2时，y＝，①∵M（4，n）在该函数图象上，∴n＝42﹣2×4+2＝10；②当0≤x＜2时，y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣）2+2，∵﹣＜0，∴当x＝时，y有最大值是2，当x＝2时，y＝22﹣2×2+2＝2，∵2＜2，∴当0≤x≤2时，函数G的最大值是2；（2）分两种情况：①如图1，当Q在x轴上方时，由题意得：OP＝m，∵∠POQ＝45°，∠OPQ＝90°，∴△POQ是等腰直角三角形，∴OP＝PQ，∴m＝﹣+m+m，解得：m1＝0，m2＝6，∵m＞0，∴m＝6；②当Q在x轴下方时，同理得：m＝﹣﹣m 解得：m1＝0，m2＝14，∵m＞0，∴m＝14；综上，m的值是6或14；（3）分两种情况：①如图2，当0≤m≤3时，过点C作CD⊥y轴于D，当x＝0时，y＝m，∴OB＝m，∵CD＝m，∴CD＝OB，∵AB⊥BC，∴∠ABC＝∠ABO+∠CBD＝90°，∵∠CBD+∠BCD＝90°，∴∠ABO＝∠BCD，∵∠AOB＝∠CDB＝90°，∴△ABO≌△BCD（ASA），∴OA＝BD，当x＜m时，y＝0，即﹣x2+x+m＝0，x2﹣x﹣2m＝0，解得：x1＝，x2＝，∴OA＝，且﹣≤m≤3，∵点A的横坐标为a，C点的纵坐标为c，若a＝﹣3c，∴OD＝c＝﹣a，∴BD＝m﹣OD＝m+a，∵OA＝BD，∴＝m+，解得：m1＝0（此时，A，B，C三点重合，舍），m2＝；②当m＜0时，如图3，过点C作CD⊥y轴于D，同理得：OA＝BD，当x≥m时，y＝0，则x2﹣mx+m＝0，解得：x1＝，m2＝（舍），∴OA＝＝a，∴＝c﹣m＝﹣a﹣m，解得：m1＝0，m2＝﹣；综上，m的值是或﹣．19．（2021•营口）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝3x2+bx+c过点A（0，﹣2），B（2，0），点C为第二象限抛物线上一点，连接AB，AC，BC，其中AC与x轴交于点E，且tan∠OBC ＝2．（1）求点C坐标；（2）点P（m，0）为线段BE上一动点（P不与B，E重合），过点P作平行于y轴的直线l与△ABC的边分别交于M，N两点，将△BMN沿直线MN翻折得到△B′MN，设四边形B′NBM的面积为S，在点P移动过程中，求S与m的函数关系式；（3）在（2）的条件下，若S＝3S△ACB′，请直接写出所有满足条件的m值．解：（1）∵抛物线y＝3x2+bx+c过点A（0，﹣2），B（2，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝3x2﹣5x﹣2，如图1中，设BC交y轴于D．∵tan∠OBD＝2＝，OB＝2，∴OD＝4，∴D（0，4），设直线BD的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线BD的解析式为y＝﹣2x+4，由，解得（即点B）或，∴C（﹣1，6）．（2）∵A（0，﹣2），B（2，0），C（﹣1，6），∴直线AB的解析式为y＝x﹣2，直线AC的解析式为y＝﹣8x﹣2，∴E（﹣，0），当0＜m＜2时，∵P（m，0），∴M（m，﹣2m+4），N（m，m﹣2），∴MN＝﹣2m+4﹣m+2＝﹣3m+6，∴S＝•BB′•MN＝×2（2﹣m）×（﹣3m+6）＝3m2﹣12m+12．当﹣＜m≤0时，如图2中，∵P（m，0），∴M（m，﹣2m+4），N（m，﹣8m﹣2），∴MN＝﹣2m+4+8m+2＝6m+6，∴S＝•BB′•MN＝×2（2﹣m）×（6m+6）＝﹣6m2+6m+12．综上所述，S＝．（3）∵直线AC交x轴于（﹣，0），B′（2m﹣2），当﹣6m2+6m+12＝3××|2m﹣2+|×8，解得m＝或（都不符合题意舍弃），当3m2﹣12m+12＝3××|2m﹣2+|×8，解得m＝1或11（舍弃）或﹣2+或﹣2﹣（舍弃），综上所述，满足条件的m的值为1或﹣2+．20．（2021•本溪）某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个40元，在销售过程中发现，这款蒸蛋器销售单价为60元时，每星期卖出100个．如果调整销售单价，每涨价1元，每星期少卖出2个，现网店决定提价销售，设销售单价为x元，每星期销售量为y个．（1）请直接写出y（个）与x（元）之间的函数关系式；（2）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润是2400元？（3）当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？解：（1）由题意，得：y＝100﹣2（x﹣60）＝﹣2x+220，∴y＝﹣2x+220；（3）W＝﹣2x2+300x﹣8800＝﹣2（x﹣75）2+2450，∵﹣2＜0，∴当x＝75时，W有最大值，最大值为2450元，答：每件定价为75元时利润最大，最大利润为2450元．21．（2021•吉林）疫苗接种，利国利民．甲、乙两地分别对本地各40万人接种新冠疫苗．甲地在前期完成5万人接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种，甲地经过a天后接种人数达到25万人，由于情况变化，接种速度放缓，结果100天完成接种任务，乙地80天完成接种任务，在某段时间内，甲、乙两地的接种人数y（万人）与各自接种时间x（天）之间的关系如图所示．（1）直接写出乙地每天接种的人数及a的值；（2）当甲地接种速度放缓后，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）当乙地完成接种任务时，求甲地未接种疫苗的人数．解：（1）乙地接种速度为40÷80＝0.5（万人/天），0.5a＝25﹣5，解得a＝40．（2）设y＝kx+b，将（40，25），（100，40）代入解析式得：，解得，∴y＝x+15（40≤x≤100）．（3）把x＝80代入y＝x+15得y＝×80+15＝35，40﹣35＝5（万人）．22．（2021•山西）综合与探究如图，抛物线y＝x2+2x﹣6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC．（1）求A、B，C三点的坐标并直接写出直线AC，BC的函数表达式．（2）点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线l，交线段AC于点D．①试探究：在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由；②设抛物线的对称轴与直线l交于点M，与直线AC交于点N．当S△DMN＝S△AOC时，请直接写出DM的长．解：（1）当y＝0时，x2+2x﹣6＝0，解得x1＝﹣6，x2＝2，∴A（﹣6，0），B（2，0），当x＝0时，y＝﹣6，∴C（0，﹣6），∵A（﹣6，0），C（0，﹣6），∴直线AC的函数表达式为y＝﹣x﹣6，∵B（2，0），C（0，﹣6），∴直线BC的函数表达式为y＝3x﹣6；（2）①存在：设点D的坐标为（m，﹣m﹣6），其中﹣6＜m＜0，∵B（2，0），C（0，﹣6），∴BD2＝（m﹣2）2+（m+6）2，BC2＝22+62＝40，DC2＝m2+（﹣m﹣6+6）2＝2m2，∵DE∥BC，∴当DE＝BC时，以点D，C，B，E为顶点的四边形为平行四边形，分两种情况：如图，当BD＝BC时，四边形BDEC为菱形，∴BD2＝BC2，∴（m﹣2）2+（m+6）2＝40，解得：m1＝﹣4，m2＝0（舍去），∴点D的坐标为（﹣4，﹣2），∴点E的坐标为（﹣6，﹣8）；如图，当CD＝CB时，四边形CBED为菱形，∴CD2＝CB2，∴2m2＝40，解得：m1＝﹣2，m2＝2（舍去），∴点D的坐标为（﹣2，2﹣6），∴点E的坐标为（2﹣2，2）；综上，存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为（﹣6，﹣8）或（2﹣2，2）；②设点D的坐标为（m，﹣m﹣6），其中﹣6＜m＜0，∵A（﹣6，0），B（2，0），∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，∵直线BC的函数表达式为y＝3x﹣6，直线l∥BC，∴设直线l的解析式为y＝3x+b，∵点D的坐标（m，﹣m﹣6），∴b＝﹣4m﹣6，∴M（﹣2，﹣4m﹣12），∵抛物线的对称轴与直线AC交于点N．∴N（﹣2，﹣4），∴MN＝﹣4m﹣12+4＝﹣4m﹣8，∵S△DMN＝S△AOC，∴（﹣4m﹣8）（﹣2﹣m）＝×6×6，整理得：m2+4m﹣5＝0，解得：m1＝﹣5，m2＝1（舍去），∴点D的坐标为（﹣5，﹣1），∴点M的坐标为（﹣2，8），∴DM＝＝3，答：DM的长为3．23．（2021•本溪）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点C（﹣1，0），与y轴交于点B（0，3），连接AB，BC，点P是抛物线第一象限上的一动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交AB于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，作PF⊥PD于点P，使PF＝OA，以PE，PF为邻边作矩形PEGF．当矩形PEGF 的面积是△BOC面积的3倍时，求点P的坐标；（3）如图2，当点P运动到抛物线的顶点时，点Q在直线PD上，若以点Q、A、B为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出点Q纵坐标n的取值范围．解：（1）由题意得：，解得，故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+3；（2）对于y＝﹣x2+x+3，令y＝﹣x2+x+3＝0，解得x＝4或﹣1，故点A的坐标为（4，0），则PF＝2，由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为y＝﹣x+3，设点P的坐标为（x，﹣x2+x+3），则点E（x，﹣x+3），则矩形PEGF的面积＝PF•PE＝2×（﹣x2+x+3+x﹣3）＝3S△BOC＝3××BO•CO＝×3×1，解得x＝1或3，故点P的坐标为（1，）或（3，3）；（3）由抛物线的表达式知，其对称轴为x＝，故点Q的坐标为（，n），当∠ABQ为直角时，如图2﹣1，设BQ交x轴于点H，由直线AB的表达式知，tan∠BAO＝，则tan∠BHO＝，故设直线BQ的表达式为y＝x+t，该直线过点B（0，3），故t＝3，则直线BQ的表达式为y＝x+3，当x＝时，y＝x+3＝5，即n＝5；②当∠BQA为直角时，过点Q作直线MN交y轴于点N，交过点A与y轴的平行线于点M，∵∠BQN+∠MQA＝90°，∠MQA+∠MAQ＝90°，∴∠BQN＝∠MAQ，∴tan∠BQN＝tan∠MAQ，即，则，解得n＝；24．（2021•陕西）在一次机器“猫”抓机器“鼠”的展演测试中，“鼠”先从起点出发，1min后，“猫”从同一起点出发去追“鼠”，抓住“鼠”并稍作停留后，“猫”抓着“鼠”沿原路返回．“鼠”、“猫”距起点的距离y（m）与时间x（min）之间的关系如图所示．（1）在“猫”追“鼠”的过程中，“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是1m/min；（2）求AB的函数表达式；（3）求“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间．解：（1）由图象知：“鼠”6min跑了30m，∴“鼠”的速度为：30÷6＝5（m/min），“猫”5min跑了30m，∴“猫”的速度为：30÷5＝6（m/min），∴“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是1（m/min），故答案为：1；（2）设AB的解析式为：y＝kx+b，∵图象经过A（7，30）和B（10，18），把点A和点B坐标代入函数解析式得：，解得：，∴AB的解析式为：y＝﹣4x+58；（3）令y＝0，则﹣4x+58＝0，∴x＝14.5，∵“猫”比“鼠”迟一分钟出发，∴“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间为14.5﹣1＝13.5（min）．答：“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间13.5min．25．（2021•长春）《九章算术》中记载，浮箭漏（图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校STEAM小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究：【实验观察】实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到如表：供水时间x（小时）02468箭尺读数y（厘米）618304254【探索发现】①建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示供水时间x．纵轴表示箭尺读数y，描出以表格中数据为坐标的各点．②观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由．【结论应用】应用上述发现的规律估算：①供水时间达到12小时时，箭尺的读数为多少厘米？②如果本次实验记录的开始时间是上午8：00，那当箭尺读数为90厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米）解：【探索发现】①如图②，②观察上述各点的分布规律，可得它们是否在同一条直线上，设这条直线所对应的函数表达式为y＝kx+b，则，解得：，∴y＝6x+6；【结论应用】应用上述发现的规律估算：①x＝12时，y＝6×12+6＝78，∴供水时间达到12小时时，箭尺的读数为78厘米；②y＝90时，6x+6＝90，解得：x＝14，∴供水时间为14小时，∵本次实验记录的开始时间是上午8：00，8：00+14＝22：00，∴当箭尺读数为90厘米时是22点钟．。
二次函数培优试题(30道解答题)
二次函数培优试题〔30道解答题〕注：全是2021年各地市中考题，不少是压轴题一．解答题〔共30小题〕1．设m是不小于﹣1的实数，使得关于x的方程x2+2〔m﹣2〕x+m2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x1，x2．〔1〕假设+=1，求的值；〔2〕求+﹣m2的最大值．2．用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米，面积为y平方米．〔1〕求y关于x的函数关系式；〔2〕当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？〔3〕能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．3．如图1，反比例函数y=〔x＞0〕的图象经过点A〔2，1〕，射线AB与反比例函数图象交于另一点B〔1，a〕，射线AC与y轴交于点C，∠BAC=75°，AD⊥y轴，垂足为D．〔1〕求k的值；〔2〕求tan∠DAC的值及直线AC的解析式；〔3〕如图2，M是线段AC上方反比例函数图象上一动点，过M作直线l⊥x轴，与AC相交于点N，连接CM，求△CMN面积的最大值．4．如图，二次函数y=a〔x﹣h〕2+的图象经过原点O〔0，0〕，A〔2，0〕．〔1〕写出该函数图象的对称轴；〔2〕假设将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点？5．假设两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，那么称这两个二次函数为“同簇二次函数〞．〔1〕请写出两个为“同簇二次函数〞的函数；〔2〕关于x的二次函数y1=2x2﹣4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5，其中y1的图象经过点A〔1，1〕，假设y1+y2与y1为“同簇二次函数〞，求函数y2的表达式，并求出当0≤x≤3时，y2的最大值．6．如果二次函数的二次项系数为l，那么此二次函数可表示为y=x2+px+q，我们称[p，q]为此函数的特征数，如函数y=x2+2x+3的特征数是[2，3]．〔1〕假设一个函数的特征数为[﹣2，1]，求此函数图象的顶点坐标．〔2〕探究以下问题：①假设一个函数的特征数为[4，﹣1]，将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，求得到的图象②假设一个函数的特征数为[2，3]，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3，4]？7．抛物线C：y=﹣x2+bx+c经过A〔﹣3，0〕和B〔0，3〕两点，将这条抛物线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N．〔1〕求抛物线C的表达式；〔2〕求点M的坐标；〔3〕将抛物线C平移到抛物线C′，抛物线C′的顶点记为M′，它的对称轴与x轴的交点记为N′．如果以点M、N、M′、N′为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C怎样平移？为什么？8．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象过A〔2，0〕，B〔0，﹣1〕和C〔4，5〕三点．〔1〕求二次函数的解析式；〔2〕设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；〔3〕在同一坐标系中画出直线y=x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．9．如图，抛物线y=ax2+2x+c经过点A〔0，3〕，B〔﹣1，0〕，请解答以下问题：〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长．注：抛物线y=ax2+bx+c〔a≠0〕的顶点坐标是〔﹣，〕．10．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n经过点A〔0，﹣2〕，B〔3，4〕．〔1〕求抛物线的表达式及对称轴；〔2〕设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，B之间的局部为图象G〔包含A，B两点〕．假设直线CD 与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围．11．如图，二次函数的图象与x轴交于A〔﹣3，0〕和B〔1，0〕两点，交y轴于点C〔0，3〕，点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．〔1〕请直接写出D点的坐标．〔2〕求二次函数的解析式．〔3〕根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．12．关于x的方程x2﹣〔2k﹣3〕x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1、x2．〔1〕求k的取值范围；〔2〕试说明x1＜0，x2＜0；〔3〕假设抛物线y=x2﹣〔2k﹣3〕x+k2+1与x轴交于A、B两点，点A、点B到原点的距离分别为OA、OB，且OA+OB=2OA•OB﹣3，求k的值．13．二次函数y=x2﹣4x+3．〔1〕用配方法求其图象的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的情况；〔2〕求函数图象与x轴的交点A，B的坐标，及△ABC的面积．14．利用二次函数的图象估计一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的近似根〔精确到0.1〕．15．实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y〔毫克/百毫升〕与时间x〔时〕的关系可近似地用二次函数y=﹣200x2+400x刻画；1.5小时后〔包括1.5小时〕y与x可近似地用反比例函数y=〔k＞0〕刻画〔如下图〕．〔1〕根据上述数学模型计算：①喝酒后几时血液中的酒精含量到达最大值？最大值为多少？②当x=5时，y=45，求k的值．〔2〕按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶〞，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由．16．九〔1〕班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x〔1≤x≤90〕天的售价与销量的相关信息如下表：时间x〔天〕1≤x＜50 50≤x≤90售价〔元/件〕x+40 90每天销量〔件〕200﹣2x该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．〔1〕求出y与x的函数关系式；〔2〕问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？〔3〕该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．17．某小商场以每件20元的价格购进一种服装，先试销一周，试销期间每天的销量〔件〕与每件的销售价x〔元/件〕如下表：x〔元/件〕38 36 34 32 30 28 26t〔件〕 4 8 12 16 20 24 28假定试销中每天的销售量t〔件〕与销售价x〔元/件〕之间满足一次函数．〔1〕试求t与x之间的函数关系式；〔2〕在商品不积压且不考虑其它因素的条件下，每件服装的销售定价为多少时，该小商场销售这种服装每天获得的毛利润最大？每天的最大毛利润是多少？〔注：每件服装销售的毛利润=每件服装的销售价﹣每件服装的进货价〕18．“丹棱冻粑〞是眉山著名特色小吃，产品畅销省内外，现有一个产品销售点在经销时发现：如果每箱产品盈利10元，每天可售出50箱；假设每箱产品涨价1元，日销售量将减少2箱．〔1〕现该销售点每天盈利600元，同时又要顾客得到实惠，那么每箱产品应涨价多少元？〔2〕假设该销售点单纯从经济角度考虑，每箱产品应涨价多少元才能获利最高？19．某商场在1月至12月份经销某种品牌的服装，由于受到时令的影响，该种服装的销售情况如下：销售价格y1〔元/件〕与销售月份x〔月〕的关系大致满足如图的函数，销售本钱y2〔元/件〕与销售月份x〔月〕满足y2=，月销售量y3〔件〕与销售月份x〔月〕满足y3=﹣10x+20．〔1〕根据图象求出销售价格y1〔元/件〕与销售月份x〔月〕之间的函数关系式；〔6≤x≤12且x为整数〕〔2〕求出该服装月销售利润W〔元〕与月份x〔月〕之间的函数关系式，并求出哪个月份的销售利润最大？最大利润是多少？〔6≤x≤12且x为整数〕20．某商品的进价为每件20元，售价为每件25元时，每天可卖出250件．市场调查反映：如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件．〔1〕求出每天所得的销售利润w〔元〕与每件涨价x〔元〕之间的函数关系式；〔2〕求销售单价为多少元时，该商品每天的销售利润最大；〔3〕商场的营销部在调控价格方面，提出了A，B两种营销方案．方案A：每件商品涨价不超过5元；方案B：每件商品的利润至少为16元．请比拟哪种方案的最大利润更高，并说明理由．21．在机器调试过程中，生产甲、乙两种产品的效率分别为y1、y2〔单位：件/时〕，y1、y2与工作时间x〔小时〕之间大致满足如下图的函数关系，y1的图象为折线OABC，y2的图象是过O、B、C三点的抛物线一局部．〔1〕根据图象答复：•调试过程中，生产乙的效率高于甲的效率的时间x〔小时〕的取值范围是_________； 说明线段AB的实际意义是_________．〔2〕求出调试过程中，当6≤x≤8〔3〕时，生产甲种产品的效率y1〔件/时〕与工作时间x〔小时〕之间的函数关系式．〔3〕调试结束后，一台机器先以图中甲的最大效率生产甲产品m小时，再以图中乙的最大效率生产乙产品，两种产品共生产6小时，求甲、乙两种产品的生产总量Z〔件〕与生产甲所用时间m〔小时〕之间的函数关系式．22．某研究所将某种材料加热到1000℃时停止加热，并立即将材料分为A、B两组，采用不同工艺做降温比照实验，设降温开始后经过x min时，A、B两组材料的温度分别为y A℃、y B℃，y A、y B与x的函数关系式分别为y A=kx+b，〔1〕分别求y A、y B关于x的函数关系式；〔2〕当A组材料的温度降至120℃时，B组材料的温度是多少？〔3〕在0＜x＜40的什么时刻，两组材料温差最大？23．某旅游景点的门票价格是20元/人，日接待游客500人，进入旅游旺季时，景点想提高门票价格增加盈利．经过市场调查发现，门票价格每提高5元，日接待游客人数就会减少50人．设提价后的门票价格为x〔元/人〕〔x＞20〕，日接待游客的人数为y〔人〕．〔1〕求y与x〔x＞20〕的函数关系式；〔2〕景点每日的接待本钱为z〔元〕，z与y满足函数关系式：z=100+10y．求z与x的函数关系式；〔3〕在〔2〕的条件下，当门票价格为多少时，景点每日获取的利润最大？最大利润是多少？〔利润=门票收入﹣接待本钱〕24．某企业设计了一款工艺品，每件的本钱是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于本钱．〔1〕求出每天的销售利润y〔元〕与销售单价x〔元〕之间的函数关系式；〔2〕求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？〔3〕如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总本钱不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？〔每天的总本钱=每件的本钱×每天的销售量〕25．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次〔最低档次〕的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．〔1〕假设生产第x档次的产品一天的总利润为y元〔其中x为正整数，且1≤x≤10〕，求出y关于x的函数关系式；〔2〕假设生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次．26．某商家方案从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台，空调的采购单价y1〔元/台〕与采购数量x1〔台〕满足y1=﹣20x1+1500〔0＜x1≤20，x1为整数〕；冰箱的采购单价y2〔元/台〕与采购数量x2〔台〕满足y2=﹣10x2+1300〔0＜x2≤20，x2为整数〕．〔1〕经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的，且空调采购单价不低于1200元，问该商家共有几种进货方案？〔2〕该商家分别以1760元/台和1700元/台的销售单价售出空调和冰箱，且全部售完．在〔1〕的条件下，问采购空调多少台时总利润最大？并求最大利润．27．某店因为经营不善欠下38400元的无息贷款的债务，想转行经营服装专卖店又缺少资金．“中国梦想秀〞栏目组决定借给该店30000元资金，并约定利用经营的利润归还债务〔所有债务均不计利息〕．该店代理的品牌服装的进价为每件40元，该品牌服装日销售量y〔件〕与销售价x〔元/件〕之间的关系可用图中的一条折线〔实线〕来表示．该店应支付职工的工资为每人每天82元，每天还应支付其它费用为106元〔不包含债务〕．〔1〕求日销售量y〔件〕与销售价x〔元/件〕之间的函数关系式；〔2〕假设该店暂不考虑归还债务，当某天的销售价为48元/件时，当天正好收支平衡〔收人=支出〕，求该店职工的人数；〔3〕假设该店只有2名职工，那么该店最早需要多少天能还清所有债务，此时每件服装的价格应定为多少元？28．在2021年巴西世界杯足球赛前夕，某体育用品店购进一批单价为40元的球服，如果按单价60元销售，那么一个月内可售出240套．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套．设销售单价为x〔x≥60〕元，销售量为y套．〔1〕求出y与x的函数关系式．〔2〕当销售单价为多少元时，月销售额为14000元；〔3〕当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？[参考公式：抛物线y=ax2+bx+c〔a≠0〕的顶点坐标是]．29．某经销商销售一种产品，这种产品的本钱价为10元/千克，销售价不低于本钱价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y〔千克〕与销售价x〔元/千克〕之间的函数关系如下图：〔1〕求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；〔2〕求每天的销售利润W〔元〕与销售价x〔元/千克〕之间的函数关系式．当销售价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？〔3〕该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？30．某公司经营杨梅业务，以3万元/吨的价格向农户收购杨梅后，分拣成A、B两类，A类杨梅包装后直接销售；B类杨梅深加工后再销售．A类杨梅的包装本钱为1万元/吨，根据市场调查，它的平均销售价格y〔单位：万元/吨〕与销售数量x〔x≥2〕之间的函数关系如图；B类杨梅深加工总费用s〔单位：万元〕与加工数量t〔单位：吨〕之间的函数关系是s=12+3t，平均销售价格为9万元/吨．〔1〕直接写出A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式；〔2〕第一次，该公司收购了20吨杨梅，其中A类杨梅有x吨，经营这批杨梅所获得的毛利润为w万元〔毛利润=销售总收入﹣经营总本钱〕．①求w关于x的函数关系式；②假设该公司获得了30万元毛利润，问：用于直销的A类杨梅有多少吨？〔3〕第二次，该公司准备投入132万元资金，请设计一种经营方案，使公司获得最大毛利润，并求出最大毛利润．参考答案与试题解析一．解答题〔共30小题〕1．设m是不小于﹣1的实数，使得关于x的方程x2+2〔m﹣2〕x+m2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x1，x2．〔1〕假设+=1，求的值；〔2〕求+﹣m2的最大值．考点：根与系数的关系；根的判别式；二次函数的最值．专题：代数综合题．分析：〔1〕首先根据根的判别式求出m的取值范围，利用根与系数的关系，求出符合条件的m的值；〔2〕把利用根与系数的关系得到的关系式代入代数式，细心化简，结合m的取值范围求出代数式的最大值．解答：解：∵方程有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=4〔m﹣2〕2﹣4〔m2﹣3m+3〕=﹣4m+4＞0，∴m＜1，结合题意知：﹣1≤m＜1．〔1〕∵x1+x2=﹣2〔m﹣2〕，x1x2=m2﹣3m+3，∴+===1解得：m1=，m2=〔不合题意，舍去〕∴=﹣2．〔2〕+﹣m2=﹣m2=﹣2〔m﹣1〕﹣m2=﹣〔m+1〕2+3．当m=﹣1时，最大值为3．点评：此题考查根与系数的关系，一元二次方程的根的判别式△=b2﹣4ac来求出m的取值范围；解答此题的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：x1+x2=﹣，x1x2=．2．用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米，面积为y平方米．〔1〕求y关于x的函数关系式；〔2〕当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？〔3〕能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．考点：一元二次方程的应用；根据实际问题列二次函数关系式．专题：几何图形问题．分析：〔1〕根据矩形的面积公式进行列式；〔2〕、〔3〕把y的值代入〔1〕中的函数关系，求得相应的x值即可．解答：解：〔1〕设围成的矩形一边长为x米，那么矩形的邻边长为：32÷2﹣x．依题意得y=x〔32÷2﹣x〕=﹣x2+16x．答：y关于x的函数关系式是y=﹣x2+16x；〔2〕由〔1〕知，y=﹣x2+16x．当y=60时，﹣x2+16x=60，即〔x﹣6〕〔x﹣10〕=0．解得x1=6，x2=10，即当x是6或10时，围成的养鸡场面积为60平方米；〔3〕不能围成面积为70平方米的养鸡场．理由如下：由〔1〕知，y=﹣x2+16x．当y=70时，﹣x2+16x=70，即x2﹣16x+70=0因为△=〔﹣16〕2﹣4×1×70=﹣24＜0，所以该方程无解．即：不能围成面积为70平方米的养鸡场．点评：此题考查了一元二次方程的应用．解题的关键是熟悉矩形的周长与面积的求法，以及一元二次方程的根的判别式．3．如图1，反比例函数y=〔x＞0〕的图象经过点A〔2，1〕，射线AB与反比例函数图象交于另一点B〔1，a〕，射线AC与y轴交于点C，∠BAC=75°，AD⊥y轴，垂足为D．〔1〕求k的值；〔2〕求tan∠DAC的值及直线AC的解析式；〔3〕如图2，M是线段AC上方反比例函数图象上一动点，过M作直线l⊥x轴，与AC相交于点N，连接CM，求△CMN面积的最大值．考点：反比例函数综合题；一次函数的性质；二次函数的最值．专题：代数几何综合题．分析：〔1〕根据反比例函数图象上点的坐标特征易得k=2；〔2〕作BH⊥AD于H，如图1，根据反比例函数图象上点的坐标特征确定B点坐标为〔1，2〕，那么AH=2﹣1，BH=2﹣1，可判断△ABH为等腰直角三角形，所以∠BAH=45°，得到∠DAC=∠BAC﹣∠BAH=30°，根据特殊角的三角函数值得tan∠DAC=；由于AD⊥y轴，那么OD=1，AD=2，然后在Rt△OAD中利用正切的定义可计算出CD=2，易得C点坐标为〔0，﹣1〕，于是可根据待定系数法求出直线AC的解析式为y=x﹣1；〔3〕利用M点在反比例函数图象上，可设M点坐标为〔t，〕〔0＜t＜1〕，由于直线l⊥x轴，与AC相交于点N，得到N点的横坐标为t，利用一次函数图象上点的坐标特征得到N点坐标为〔t，t﹣1〕，那么MN=﹣t+1，根据三角形面积公式得到S△OMN=•t•〔﹣t+1〕，再进行配方得到S=﹣〔t﹣〕2+〔0＜t＜1〕，最后根据二次函数的最值问题求解．解答：解：〔1〕把A〔2，1〕代入y=得k=2×1=2；〔2〕作BH⊥AD于H，如图1，把B〔1，a〕代入反比例函数解析式y=得a=2，∴B点坐标为〔1，2〕，∴AH=2﹣1，BH=2﹣1，∴△ABH为等腰直角三角形，∴∠BAH=45°，∵∠BAC=75°，∴∠DAC=∠BAC﹣∠BAH=30°，∴tan∠DAC=tan30°=；∵AD⊥y轴，∴OD=1，AD=2，∵tan∠DAC==，∴CD=2，∴OC=1，∴C点坐标为〔0，﹣1〕，设直线AC的解析式为y=kx+b，把A〔2，1〕、C〔0，﹣1〕代入得，解，∴直线AC的解析式为y=x﹣1；〔3〕设M点坐标为〔t，〕〔0＜t＜1〕，∵直线l⊥x轴，与AC相交于点N，∴N点的横坐标为t，∴N点坐标为〔t，t﹣1〕，∴MN=﹣〔t﹣1〕=﹣t+1，∴S△OMN=•t•〔﹣t+1〕=﹣t2+t+=﹣〔t﹣〕2+〔0＜t＜1〕，∵a=﹣＜0，∴当t=时，S有最大值，最大值为．点评：此题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征和待定系数法求一次函数解析式；理解坐标与图形的性质；会利用二次函数的性质解决最值问题．4．如图，二次函数y=a〔x﹣h〕2+的图象经过原点O〔0，0〕，A〔2，0〕．〔1〕写出该函数图象的对称轴；〔2〕假设将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点？考点：二次函数的性质；坐标与图形变化-旋转．分析：〔1〕由于抛物线过点O〔0，0〕，A〔2，0〕，根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=1；〔2〕作A′B⊥x轴与B，先根据旋转的性质得OA′=OA=2，∠A′OA=60°，再根据含30度的直角三角形三边的关系得OB=OA′=1，A′B=OB=，那么A′点的坐标为〔1，〕，根据抛物线的顶点式可判断点A′为抛物线y=﹣〔x﹣1〕2+的顶点．解答：解：〔1〕∵二次函数y=a〔x﹣h〕2+的图象经过原点O〔0，0〕，A〔2，0〕．解得：h=1，a=﹣，∴抛物线的对称轴为直线x=1；〔2〕点A′是该函数图象的顶点．理由如下：如图，作A′B⊥x轴于点B，∵线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，∴OA′=OA=2，∠A′OA=60°，在Rt△A′OB中，∠OA′B=30°，∴OB=OA′=1，∴A′B=OB=，∴A′点的坐标为〔1，〕，∴点A′为抛物线y=﹣〔x﹣1〕2+的顶点．点评：此题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕的顶点坐标为〔﹣，〕，对称轴直线x=﹣，二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c〔a≠0〕的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c〔a≠0〕的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．也考查了旋转的性质．5．假设两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，那么称这两个二次函数为“同簇二次函数〞．〔1〕请写出两个为“同簇二次函数〞的函数；〔2〕关于x的二次函数y1=2x2﹣4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5，其中y1的图象经过点A〔1，1〕，假设y1+y2与y1为“同簇二次函数〞，求函数y2的表达式，并求出当0≤x≤3时，y2的最大值．考点：二次函数的性质；二次函数的最值．专题：代数综合题；新定义．分析：〔1〕只需任选一个点作为顶点，同号两数作为二次项的系数，用顶点式表示两个为“同簇二次函数〞的函数表达式即可．〔2〕由y1的图象经过点A〔1，1〕可以求出m的值，然后根据y1+y2与y1为“同簇二次函数〞就可以求出函数y2的表达式，然后将函数y2的表达式转化为顶点式，在利用二次函数的性质就可以解决问题．解答：解：〔1〕设顶点为〔h，k〕的二次函数的关系式为y=a〔x﹣h〕2+k，当a=2，h=3，k=4时，二次函数的关系式为y=2〔x﹣3〕2+4．∵2＞0，∴该二次函数图象的开口向上．当a=3，h=3，k=4时，二次函数的关系式为y=3〔x﹣3〕2+4．∵3＞0，∴该二次函数图象的开口向上．∵两个函数y=2〔x﹣3〕2+4与y=3〔x﹣3〕2+4顶点相同，开口都向上，∴两个函数y=2〔x﹣3〕2+4与y=3〔x﹣3〕2+4是“同簇二次函数〞．∴符合要求的两个“同簇二次函数〞可以为：y=2〔x﹣3〕2+4与y=3〔x﹣3〕2+4．〔2〕∵y1的图象经过点A〔1，1〕，∴2×12﹣4×m×1+2m2+1=1．整理得：m2﹣2m+1=0．解得：m1=m2=1．∴y1=2x2﹣4x+3=2〔x﹣1〕2+1．∴y1+y2=2x2﹣4x+3+ax2+bx+5=〔a+2〕x2+〔b﹣4〕x+8∵y1+y2与y1为“同簇二次函数〞，∴y1+y2=〔a+2〕〔x﹣1〕2+1=〔a+2〕x2﹣2〔a+2〕x+〔a+2〕+1．其中a+2＞0，即a＞﹣2．∴．解得：．∴函数y2的表达式为：y2=5x2﹣10x+5．∴y2=5x2﹣10x+5=5〔x﹣1〕2．∴函数y2的图象的对称轴为x=1．∵5＞0，∴函数y2的图象开口向上．①当0≤x≤1时，∵函数y2的图象开口向上，∴y2随x的增大而减小．∴当x=0时，y2取最大值，最大值为5〔0﹣1〕2=5．②当1＜x≤3时，∵函数y2的图象开口向上，∴y2随x的增大而增大．∴当x=3时，y2取最大值，最大值为5〔3﹣1〕2=20．综上所述：当0≤x≤3时，y2的最大值为20．点评：此题考查了求二次函数表达式以及二次函数一般式与顶点式之间相互转化，考查了二次函数的性质〔开口方向、增减性〕，考查了分类讨论的思想，考查了阅读理解能力．而对新定义的正确理解和分类讨论是解决第二小题的关键．6．如果二次函数的二次项系数为l，那么此二次函数可表示为y=x2+px+q，我们称[p，q]为此函数的特征数，如函数y=x2+2x+3的特征数是[2，3]．〔1〕假设一个函数的特征数为[﹣2，1]，求此函数图象的顶点坐标．〔2〕探究以下问题：①假设一个函数的特征数为[4，﹣1]，将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，求得到的图象对应的函数的特征数．②假设一个函数的特征数为[2，3]，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3，4]？考点：二次函数图象与几何变换；二次函数的性质．专题：新定义．分析：〔1〕根据题意得出函数解析式，进而得出顶点坐标即可；〔2〕①首先得出函数解析式，进而利用函数平移规律得出答案；②分别求出两函数解析式，进而得出平移规律．解答：解：〔1〕由题意可得出：y=x2﹣2x+1=〔x﹣1〕2，∴此函数图象的顶点坐标为：〔1，0〕；〔2〕①由题意可得出：y=x2+4x﹣1=〔x+2〕2﹣5，∴将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位后得到：y=〔x++2﹣1〕2﹣5+1=〔x+1〕2﹣4=x2+2x﹣3，∴图象对应的函数的特征数为：[2，﹣3]；②∵一个函数的特征数为[2，3]，∴函数解析式为：y=x2+2x+3=〔x+1〕2+2，∵一个函数的特征数为[3，4]，∴函数解析式为：y=x2+3x+4=〔x+〕2+，∴原函数的图象向左平移个单位，再向下平移个单位得到．点评：此题主要考查了二次函数的平移以及配方法求函数解析式，利用特征数得出函数解析式是解题关键．7．抛物线C：y=﹣x2+bx+c经过A〔﹣3，0〕和B〔0，3〕两点，将这条抛物线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N．〔1〕求抛物线C的表达式；〔2〕求点M的坐标；〔3〕将抛物线C平移到抛物线C′，抛物线C′的顶点记为M′，它的对称轴与x轴的交点记为N′．如果以点M、N、M′、N′为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C怎样平移？为什么？考点：二次函数图象与几何变换；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质．专题：分类讨论．分析：〔1〕直接把A〔﹣3，0〕和B〔0，3〕两点代入抛物线y=﹣x2+bx+c，求出b，c的值即可；〔2〕根据〔1〕中抛物线的解析式可得出其顶点坐标；〔3〕根据平行四边形的定义，可知有四种情形符合条件，如解答图所示．需要分类讨论．解答：解：〔1〕∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A〔﹣3，0〕和B〔0，3〕两点，∴，解得，故此抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3；〔2〕∵由〔1〕知抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3，∴当x=﹣=﹣=﹣1时，y=4，∴M〔﹣1，4〕．〔3〕由题意，以点M、N、M′、N′为顶点的平行四边形的边MN的对边只能是M′N′，∴MN∥M′N′且MN=M′N′．∴MN•NN′=16，∴NN′=4．i〕当M、N、M′、N′为顶点的平行四边形是▱MNN′M′时，将抛物线C向左或向右平移4个单位可得符合条件的抛物线C′；ii〕当M、N、M′、N′为顶点的平行四边形是▱MNM′N′时，将抛物线C先向左或向右平移4个单位，再向下平移8个单位，可得符合条件的抛物线C′．∴上述的四种平移，均可得到符合条件的抛物线C′．点评：此题考查了抛物线的平移变换、平行四边形的性质、待定系数法及二次函数的图象与性质等知识点．第〔3〕问需要分类讨论，防止漏解．8．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象过A〔2，0〕，B〔0，﹣1〕和C〔4，5〕三点．〔1〕求二次函数的解析式；〔2〕设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；〔3〕在同一坐标系中画出直线y=x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．考点：待定系数法求二次函数解析式；一次函数的图象；抛物线与x轴的交点；二次函数与不等式〔组〕．专题：代数综合题．分析：〔1〕根据二次函数y=ax2+bx+c的图象过A〔2，0〕，B〔0，﹣1〕和C〔4，5〕三点，代入得出关于a，b，c的三元一次方程组，求得a，b，c，从而得出二次函数的解析式；〔2〕令y=0，解一元二次方程，求得x的值，从而得出与x轴的另一个交点坐标；〔3〕画出图象，再根据图象直接得出答案．解答：解：〔1〕∵二次函数y=ax2+bx+c的图象过A〔2，0〕，B〔0，﹣1〕和C〔4，5〕三点，。
2021年中考数学必刷压轴题专题：抛物线之最值问题(含解析)-个人用心整理
中考数学抛物线压轴题之最值问题1．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，经过B，C两点的直线为y＝．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P为抛物线上的动点，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点M，连接PC，若△PCM为直角三角形，求点P的坐标；（3）当P满足（2）的条件，且点P在直线BC上方的抛物线上时，如图2，将抛物线沿射线BC方向平移，平移后B，P两点的对应点分别为B′，P′，取AB的中点E，连接EB′，EP′，试探究EB'+EP'是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．2．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A（3，0）、B两点，与y轴交于点C（0，3），点B在x轴的负半轴上，且OA＝3OB．（1）求抛物线的函数关系式；（2）若P是抛物线上且位于直线AC上方的一动点，求△ACP的面积的最大值及此时点P的坐标；（3）在线段OC上是否存在一点M，使BM+CM的值最小？若存在，请求出这个最小值及对应的M点的坐标；若不存在，请说明理由．3．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B，C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P为线段BC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，是否存在这样的P点，使线段PD的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，抛物线的顶点为E，EF⊥x轴于点F，N是直线EF上一动点，M（m，0）是x轴一个动点，请直接写出CN+MN+MB的最小值以及此时点M、N的坐标，直接写出结果不必说明理由．4．如图1，点A在x轴上，OA＝4，将OA绕点O逆时针旋转120°至OB的位置．（1）求经过A、O、B三点的抛物线的函数解析式；（2）在此抛物线的对称轴上是否存在点P使得以P、O、B三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3 ）如图2，OC＝4，⊙A的半径为2，点M是⊙A上的一个动点，求MC+OM的最小值．5．如图，二次函数y＝﹣x2+x+2的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．点P是该函数图象上的动点，且位于第一象限，设点P的横坐标为x．（1）写出线段AC，BC的长度：AC＝，BC＝；（2）记△BCP的面积为S，求S关于x的函数表达式；（3）过点P作PH⊥BC，垂足为H，连结AH，AP，设AP与BC交于点K，探究：是否存在四边形ACPH为平行四边形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由，并求出的最大值．6．如图，直线y＝x+2与抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，抛物线的对称轴与直线AB交于点M．（1）当四边形CODM是菱形时，求点D的坐标；（2）若点P为直线OD上一动点，求△APB的面积；′（3）作点B关于直线MD的对称点B'，以点M为圆心，MD为半径作⊙M，点Q是⊙M上一动点，求QB'+ QB的最小值．7．如图，对称轴x＝﹣1的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（2，0），B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P是直线BC下方的抛物线上的动点，求△BPC的面积的最大值；（3）若点P在抛物线对称轴的左侧运动，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，且PE＝OD，求点P的坐标；（4）在对称轴上是否存在一点M，使△AMC的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△AMC周长的最小值；若不存在，请说明理由．8．已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点M（﹣4，6）和点N（2，﹣6）．（1）试确定该抛物线的函数表达式；（2）若该抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C①试判断△ABC的形状，并说明理由；②在该抛物线的对称轴上是否存在点P，使PM+PC的值最小？若存在，求出它的最小值；若不存在，请说明理由．9．如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点C（0，﹣2），顶点D的坐标为（1，﹣），与x轴交于A、B 两点．（1）求抛物线的解析式．（2）连接AC，E为直线AC上一点，当△AOC∽△AEB时，求点E的坐标和的值．（3）点F（0，y）是y轴上一动点，当y为何值时，FC+BF的值最小．并求出这个最小值．（4）点C关于x轴的对称点为H，当FC+BF取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QHF 是直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．10．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，当△CDP为等腰三角形时，求点P的坐标；（3）如图2，抛物线的顶点为E，EF⊥x轴于点F，N是直线EF上一动点，M（m，0）是x轴一个动点，请直接写出CN+MN+MB的最小值以及此时点M、N的坐标．11．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0），B（9，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P沿AC以每秒1个单位长度的速度由点A向点C运动，同时，点Q沿BO以每秒2个单位长度的速度由点B 向点O运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连接PQ，过点Q作QD⊥x轴，与抛物线交于点D，连接PD与BC交于点E．设点P的运动时间为t秒（t＞0）（1）求抛物线的表达式；（2）①直接写出P，D两点的坐标（用含t的代数式表示，结果需化简）．②在点P，Q运动的过程中，当PQ＝PD时，求t的值；（3）点M为线段BC上一点，在点P，Q运动的过程中，当点E为PD中点时，是否存在点M使得PM+BM 的值最小？若存在，请求出PM+BM的最小值；若不存在，请说明理由．12．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，OC＝3．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）过点A作AM⊥BC，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形；（3）点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；（4）若点Q为线段OC上的一动点，问：AQ+QC是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由．13．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与直线AB相交，与x轴、y轴交于A（2，0）、B．（1）求点O关于AB的对称点P的坐标；（2）若点P在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，求二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的关系式．（3）在（2）的条件下，在△ABP内存在点M，使得MA+MB+MP的值最小，则相应点M的坐标为．14．如图（1），二次函数y＝ax2﹣bx（a≠0）的图象与x轴、直线y＝x的交点分别为点A（4，0）、B（5，5）．（1）a＝，b＝，∠AOB＝°；（2）连接AB，点P是抛物线上一点（异于点A），且∠PBO＝∠OBA，求点P的坐标；（3）如图（2），点C、D是线段OB上的动点，且CD＝2．设点C的横坐标为m．①过点C、D分别作x轴的垂线，与抛物线相交于点F、E，连接EF．当CF+DE取得最大值时，求m的值并判断四边形CDEF的形状；②连接AC、AD，求m为何值时，AC+AD取得最小值，并求出这个最小值．15．如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做“半高三角形”．如图1，对于△ABC，BC边上的高AD等于BC的一半，△ABC就是半高三角形，此时，称△ABC是BC类半高三角形；如图2，对于△EFG，EF边上的高GH等于EF的一半，△EFG就是半高三角形，此时，称△EFG是EF类半高三角形．（1）直接写出下列3个小题的答案．①若一个三角形既是等腰三角形又是半高三角形，则其底角度数的所有可能值为．②若一个三角形既是直角三角形又是半高三角形，则其最小角的正切值为．③如图3，正方形网格中，L，M是已知的两个格点，若格点N使得△LMN为半高三角形，且△LMN为等腰三角形或直角三角形，则这样的格点N共有个．（2）如图，平面直角坐标系内，直线y＝x+2与抛物线y＝x2交于R，S两点，点T坐标为（0，5），点P是抛物线y＝x2上的一个动点，点Q是坐标系内一点，且使得△RSQ为RS类半高三角形．①当点P介于点R与点S之间（包括点R，S），且PQ取得最小值时，求点P的坐标．②当点P介于点R与点O之间（包括点R，O）时，求PQ+QT的最小值．16．如图1，抛物线y＝ax2+（a+2）x+2（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点P（m，0）（0＜m＜4），过点P作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点M．（1）求a的值；（2）若PN：MN＝1：3，求m的值；（3）如图2，在（2）的条件下，设动点P对应的位置是P1，将线段OP1绕点O逆时针旋转得到OP2，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接AP2、BP2，求AP2+BP2的最小值．17．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，0），点B（4，0），点D（2，4），与y轴交于点C，作直线BC，连接AC，CD．（1）求抛物线的函数表达式；（2）E是抛物线上的点，求满足∠ECD＝∠ACO的点E的坐标；（3）点M在y轴上且位于点C上方，点N在直线BC上，点P为第一象限内抛物线上一点．若以点C，M，N，P为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长．（4）如图2，E为OB的中点，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′B、E′C，求E′B+E′C的最小值，请直接写出答案．18．如图1，抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若＝，求m的值；（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E′A+E′B的最小值．19．在平面直角坐标系中，已知y＝﹣x2+bx+c（b、c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A 的坐标为（0，﹣1），点C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限．（1）如图，若抛物线经过A、B两点，求抛物线的解析式．（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上并沿AC方向滑动距离为时，试证明：平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点．（3）在（2）的情况下，若沿AC方向任意滑动时，设抛物线与直线AC的另一交点为Q，取BC的中点N，试探究NP+BQ是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由．20．如图，已知一条直线过点（0，4），且与抛物线y＝x2交于A，B两点，其中点A的横坐标是﹣2．（1）求这条直线的函数关系式及点B的坐标．（2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由．（3）过线段AB上一点P，作PM∥x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N（0，1），当点M的横坐标为何值时，MN+3MP的长度最大？最大值是多少？21．如图，抛物线y＝x2﹣4x与x轴交于O，A两点，P为抛物线上一点，过点P的直线y＝x+m与对称轴交于点Q．（1）这条抛物线的对称轴是，直线PQ与x轴所夹锐角的度数是；（2）若两个三角形面积满足S△POQ＝S△PAQ，求m的值；（3）当点P在x轴下方的抛物线上时，过点C（2，2）的直线AC与直线PQ交于点D，求：①PD+DQ的最大值；②PD•DQ的最大值．22．如图，已知一次函数y1＝x+b的图象l与二次函数y2＝﹣x2+mx+b的图象C′都经过点B（0，1）和点C，且图象C′过点A（2﹣，0）．（1）求二次函数的最大值；（2）设使y2＞y1成立的x取值的所有整数和为s，若s是关于x的方程＝0的根，求a的值；（3）若点F、G在图象C′上，长度为的线段DE在线段BC上移动，EF与DG始终平行于y轴，当四边形DEFG的面积最大时，在x轴上求点P，使PD+PE最小，求出点P的坐标．23．如图，抛物线y＝（x+1）2+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）；（1）求抛物线的对称轴及k的值；（2）抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得|PB﹣PC|的值最大？若存在，求出点P的坐标；（3）如果点M是抛物线在第三象限的一动点；当M点运动到何处时，M点到AC的距离最大？求出此时的最大距离及M的坐标．24．如图（1）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠o）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）（1）求抛物线的函数解析式；（2）如图（2）T是抛物线上的一点，过点T作x轴的垂线，垂足为点M，过点M作MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，若△DNM∽△BMD，求点T的坐标；（3）如图（3），过点A的直线与抛物线相交于E，且E点的横坐标为2，与y轴交于点F；直线PQ是抛物线的对称轴，G是直线PQ上的一动点，试探究在x轴上是否存在一点H，使D、G、H、F四点围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由．25．如图，已知抛物线的顶点坐标为M（1，4），且经过点N（2，3），与x轴交于A、B两点（点A在点B 左侧），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式及点A、B、C的坐标；（2）直线AN交y轴于点F，P是抛物线的对称轴x＝1上动点，H是X轴上一动点，请探索：是否存在这样的P、H，使四边形CFHP的周长最短？若存在，请求出四边形CFHP的最短周长和点P、H的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点Q是∠MDB的角平分线上动点，点R是线段DB上的动点，Q、R在何位置时，BQ+QR的值最小．请直接写出BQ+QR的最小值和Q、R的坐标．26．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c（b，c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限．（1）如图，若该抛物线过A，B两点，求该抛物线的函数表达式；（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q．（i）若点M在直线AC下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标；（ii）取BC的中点N，连接NP，BQ．试探究是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．27．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在x轴正半轴上，且OD＝OC．（1）求直线CD的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：△CEQ∽△CDO；（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．28．已知如图，二次函数y＝ax2+2ax﹣3a（a≠0）图象的顶点为H，与x轴交于A、B两点（B在A点右侧），点H、B关于直线l：对称．（1）求A、B两点坐标，并证明点A在直线l上；（2）求二次函数解析式；（3）设点s是三角形ABH上的一动点，从点A沿着AHB方向以每秒1个单位长度移动，运动时间为t秒，到达点B时停止运动．当t为何值时，以点s为圆心的圆与两坐标轴都相切．（4）过点B作直线BK∥AH交直线l于K点，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连接HN、NM、MK，求HN+NM+MK和的最小值．1．【解答】解：（1）y＝，过点B，C，则点B、C的坐标分别为：（3，0）、（0，），则c＝，将点B的坐标代入抛物线表达式并解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+；（2）①当∠PCM＝90°时，由点A、B、C的坐标知，△ABC为直角三角形，故AC⊥BC，当△PCM为直角三角形时，点P与点A重合，∴点P（﹣1，0）；②当∠CPM＝90°时，则点C、P关于函数对称轴对称，此时点P（2，），故点P的坐标为（﹣1，0）或（2，）；（3）存在，理由：点P（2，），设图象沿BC方向向左平移3m个单位，则向上平移m个单位，则平移后点B′、P′的坐标分别为：（3﹣3m，m）、（2﹣3m，m+），点E（1，0），分别过点A、E作直线BC的平行线n、m，过点B′作直线m的对称点B″，则EB′＝EB″，当B″、E、P′三点共线时，EB'+EP'＝EB″+EP′＝B″P′最小；点E是AB的中点，则直线m与直线n、直线m与直线AC等距离，则点B″在直线n上，直线BC的倾斜角为30°，则直线B′B″的倾斜角为60°，则设直线B′B″的表达式为：y＝x+b，将点B′的坐标代入上式并解得：直线B′B″表达式为：y＝x+（4m﹣3）…①，设过点A的直线n的表达式为：y＝﹣x+b′，将点A的坐标代入上式并解得：直线n的表达式为：y＝﹣（x+1）…②，联立①②并解得：x＝2﹣3m，故点B″（2﹣3m，m﹣），而P′（2﹣3m，m+），故EB'+EP'的最小值B″P′＝2．2．【解答】解：（1）OA＝3OB＝3，则点B（﹣1，0），抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），即﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）过点P作y轴的平行线交CA于点H，由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x+3△ACP的面积＝PH×OA＝3×（x2﹣2x+3+x﹣3）＝（﹣x2+3x），当x＝时，△ACP的面积的最大，最大值为：，此时点P（，）；（3）过点M作MN⊥AC，则MN＝CM，故当B、M、N三点共线时，BM+CM＝BN最小，直线CA的倾斜角为45°，BN⊥AC，则∠NBA＝45°，即BN＝AB＝2＝AN，则点N（1，2），由点B、N的坐标得，直线BN的表达式为：y＝x+1，故点M（0，1）．3．【解答】解：（1）y＝﹣x2+bx+c经过点C，则c＝3，将点A的坐标代入抛物线表达式：y＝﹣x2+bx+3并解得：b＝2，抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）存在，理由：令y＝0，则x＝﹣1或3，故点B（3，0），将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，设点D（x，﹣x2+2x+3），则点P（x，﹣x+3），则PD＝（﹣x2+2x+3）﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x，当x＝时，PD最大值为：；（3）过点B作倾斜角为30°的直线BH，过点C作CH⊥BH交于点H，CH交对称轴于点N，交x轴于点M，则点M、N为所求，直线BH表达式中的k值为，则直线CH的表达式为：y＝﹣x+3，当x＝1时，y＝3﹣，当y＝0时，x＝，故点N、M的坐标分别为：（1，3﹣）、（，0），CN+MN+MB的最小值＝CH＝CM+FH＝．4．【解答】解：（1）如图1，过点B作BD⊥x轴于点D，∴∠BDO＝90°，∵OA绕点O逆时针旋转120°至OB，∴OB＝OA＝4，∠AOB＝120°，B在第二象限，∴∠BOD＝60°，∴sin∠BOD＝，cos∠BOD＝，∴BD＝OB＝2，OD＝OB＝2，∴B（﹣2，2），设过点A（4，0），B（﹣2，2），O（0，0）的抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，∴，解得：，∴抛物线的函数解析式为y＝x2﹣x；（2）存在△POB为等腰三角形，∵抛物线与x轴交点为A（4，0），O（0，0），∴对称轴为直线x＝2，设点P坐标为（2，p），则OP2＝22+p2＝4+p2，BP2＝（2+2）2+（p﹣2）2＝p2﹣4p+28，①若OP＝OB＝4，则4+p2＝42解得：p1＝2，p2＝﹣2，当p＝﹣2时，∠POA＝60°，即点P、O、B在同一直线上，∴p≠﹣2，∴P（2，2），②若BP＝OB＝4，则p2﹣4p+28＝42解得：p1＝p2＝2，∴P（2，2）；③若OP＝BP，则4+p2＝p2﹣4p+28，解得：p＝2，∴P（2，2）；综上所述，符合条件的点P只有一个，坐标为（2，2）；（3）在OA上取点K，使AK＝1，连接CK交圆与点M，连接OM、CM，此时，MC+OM＝MC+KM＝CK为最小值，理由：∵AK＝1，MA＝2，OA＝4，∴AM2＝AK•OA，而∠MAO＝∠OAM，∴△AKM∽△AMO，∴＝，即：MC+OM＝MC+KM＝CK，CK＝＝5，即：MC+OM的最小值为CK＝5．5．【解答】解：（1）二次函数y＝﹣x2+x+2，当x＝0时，y＝2，∴C（0，2），∴OC＝2，当y＝0时，﹣x2+x+2＝0，解得：x1＝4，x2＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（4，0），∴OA＝1，OB＝4，由勾股定理得：AC＝＝，BC＝＝2；故答案为：，2；（4分）（2）∵B（4，0），C（0，2），∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+2，如图1，过P作PD∥y轴，交直线BC于D，设P（x，﹣x2+x+2），则D（x，﹣x+2），∴PD＝（﹣x2+x+2）﹣（﹣x+2）＝﹣x2+2x，有S＝PD•OB＝×4（﹣+2x）＝﹣x2+4x（0＜x＜4）；（6分）（3）不存在，如图2，∵AC2+BC2＝＝25＝AB2，∴△ABC为直角三角形，即AC⊥BC，∵PH⊥BC，∴AC∥PH，要使四边形ACPH为平行四边形，只需满足PH＝AC＝，（10分）∴S＝BC•PH＝×2×＝5，∵而S＝﹣x2﹣4x＝﹣（x﹣2）2+4≤4，所以不存在四边形ACPH为平行四边形，∵AC∥PH，∴△AKC∽△PHK，∴＝＝＝S≤；∴的最大值是．（12分）（说明：写出不存在给1分，其他说明过程酌情给分）6．【解答】解：（1）∵D（m，m），OD＝m，四边形CODM为菱形，∴OD＝OC＝2＝m，∴m＝，∴D（）；（2）∵y＝x+2与抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m交于A、B两点，∴联立，解得，，∵点A在点B的左侧，∴A（m﹣1，m+1），B（m+2，m+4），∴AB＝＝3，∵直线OC的解析式为y＝x，直线AB的解析式为y＝x+2，∴AB∥OC，两直线AB、OC之间距离h＝2×＝，∴S△APB＝AB•h＝×3×＝3；（3）∵A（m﹣1，m+1），B（m+2，m+4），∴AM＝1×＝，BM＝2×＝2，由M点坐标（m，m+2），D点坐标（m，m）可知以MC为半径的圆的半径为（m+2）﹣m＝2，取MB的中点N，连接QB、QN、QB′，∴MN＝BM＝，∵，∠QMN＝∠BMQ，∴△MNQ∽△MQB，∴，∴，由三角形三边关系，当Q、N、B′三点共线时QB′+QB最小，∵直线AB的解析式为y＝x+2，∴直线AB与对称轴夹角为45°，∵点B、B′关于对称轴对称，∴∠BMB′＝90°，由勾股定理得，QB′+QB最小值为B'N＝＝＝．即QB'+QB的最小值是．7．【解答】解：（1）∵对称轴x＝﹣1的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（2，0），B两点，∴B（﹣4，0）．设抛物线解析式是：y＝a（x+4）（x﹣2）（a≠0）．把C（0，﹣2）代入，得a（0+4）（0﹣2）＝﹣2．解得a＝．故该抛物线解析式是：y＝（x+4）（x﹣2）或y＝x2+x﹣2；（2）设直线BC的解析式为y＝mx+n，把B（﹣4，0），C（0，﹣2）代入得，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x﹣2；作PQ∥y轴交BC于Q，如图，设P（t，t2+t﹣2），则Q（t，﹣t﹣2），则PQ＝﹣t﹣2﹣（t2+t﹣2）＝﹣t2﹣t，S△PBC＝S△PBQ+S△PCQ＝•PQ•4＝﹣t2﹣2t＝﹣（t+2）2+2，当t＝﹣2时，△PBC面积有最大值，最大值为2，此时P点坐标为（﹣2，﹣2）；（3）设D（m，0），∵DP∥y轴，∴E（m，﹣m﹣2），P（m，m2+m﹣2），∵PE＝OD，∴|﹣m|＝4|﹣m﹣2﹣m2﹣m+2|，∴m2+3m＝0或m2+5m＝0，∴m＝﹣3，m＝0（舍去）或m＝﹣5，m＝0（舍去）∴P（﹣3，﹣）或P（﹣5，）；（4）∵点A、B关于对称轴对称，∴点M为BC与对称轴的交点时，MA+MC的值最小，此时△AMC的周长最小．∵直线BC的解析式为y＝﹣x﹣2．抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．∴当x＝﹣1时，y＝﹣．∴抛物线对称轴上存在点M（﹣1，﹣）符合题意，此时△AMC周长的最小值为AC+BC＝2+2．8．【解答】解：（1）将点M、N的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣4；（2）①y＝x2﹣x﹣4，令y＝0，则x＝﹣2或8，x＝0，则y＝﹣4，故点A、B、C的坐标分别为：（﹣2，0）、（8，0）、（0，﹣4），则函数的对称轴为：x＝3，则AB＝10，BC＝，AC＝，则AB2＝BC2+AC2，故△ABC为直角三角形；②作点M关于函数对称轴的对称点D（10，6），连接CD交函数对称轴于点P，则点P为所求，将点CD的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：直线CD的表达式为：y＝x﹣4，当x＝3时，y＝﹣1，故点P（3，﹣1），此时PM+PC的值最小为CD＝10．9．【解答】解：（1）由题可列方程组：，解得：∴抛物线解析式为：y＝x2﹣x﹣2；（2）如图1，∠AOC＝90°，AC＝，AB＝4，设直线AC的解析式为：y＝kx+b，则，解得：，∴直线AC的解析式为：y＝﹣2x﹣2；当△AOC∽△AEB时＝（）2＝（）2＝，∵S△AOC＝1，∴S△AEB＝，∴AB×|y E|＝，AB＝4，则y E＝﹣，则点E（﹣，﹣）；由△AOC∽△AEB得：∴；（3）如图2，连接BF，过点F作FG⊥AC于G，则FG＝CFsin∠FCG＝CF，∴CF+BF＝GF+BF≥BE，当折线段BFG与BE重合时，取得最小值，由（2）可知∠ABE＝∠ACO∴BE＝ABcos∠ABE＝ABcos∠ACO＝4×＝，|y|＝OBtan∠ABE＝OBtan∠ACO＝3×＝，∴当y＝﹣时，即点F（0，﹣），CF+BF有最小值为；（4）①当点Q为直角顶点时（如图3）：由（3）易得F（0，﹣），∵C（0，﹣2）∴H（0，2）设Q（1，m），过点Q作QM⊥y轴于点M．则Rt△QHM∽Rt△FQM∴QM2＝HM•FM，∴12＝（2﹣m）（m+），解得：m＝，则点Q（1，）或（1，）当点H为直角顶点时：点H（0，2），则点Q（1，2）；当点F为直角顶点时：同理可得：点Q（1，﹣）；综上，点Q的坐标为：（1，）或（1，）或Q（1，2）或Q（1，﹣）．10．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B、C，把A（﹣1，0），C（0，3）代入解析式得，∴，解得b＝2，c＝3．故该抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3．（2）令﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，即B（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b′，则，解得：，故直线BC的解析式为y＝﹣x+3；∴设P（t，3﹣t），∴D（t，﹣t2+2t+3），∴PD＝（﹣t2+2t+3）﹣（3﹣t）＝﹣t2+3t，∵OB＝OC＝3，∴△BOC是等腰直角三角形，∴∠OCB＝45°，当CD＝PC时，则∠CPD＝∠CDP，∵PD∥y轴，∴∠CPD＝∠OCB＝45°，∴∠CDP＝45°，∴∠PCD＝90°，∴直线CD的解析式为y＝x+3，解得或，∴D（1，4），此时P（1，2）；当CD＝PD时，则∠DCP＝∠CPD＝45°，∴∠CDP＝90°，∴CD∥x轴，∴D点的纵坐标为3，代入y＝﹣x2+2x+3得，3＝﹣x2+2x+3，解得x＝0或x＝2，此时P（2，1）；当PC＝PD时，∵PC＝t，∴t＝﹣t2+3t，解得t＝0或t＝3﹣，此时P（3﹣，）；综上，当△CDP为等腰三角形时，点P的坐标为（1，2）或（2，1）或（3﹣，）．（3）CN+MN+MB的最小值为，N坐标为（1，3﹣），M坐标为（，0）．理由如下：如图，取G点坐标为（0，﹣），连接BG，∵B（3，0），∴直线BG解析式为：y＝，∴tan∠GBO＝，∴∠GBO＝30°，过M点作MB′⊥BG，∴，∴CN+MN+MB＝CN+MN+B′M，∴CN+MN+MB取最小值时，C、M、N、B′在同一条直线上，即CB′⊥BG，设直线CB′解析式为，∵C（0，3）故直线CB′解析式为为，∵抛物线的顶点为E坐标为（1，4），EF⊥x轴，N在EF、CB′上，∴N坐标为（1，3﹣），M（m，0）是x轴一个动点，也是CB′与x轴交点，∴M（，0）．∵CG＝3+，∠CGB＝60°，∴CB′＝CGsin∠CGB＝（3+）×＝，综上所述：CN+MN+MB的最小值为，N坐标为（1，3﹣），M坐标为（，0）．11．【解答】解：（1）将A（﹣3，0），B（9，0）代入y＝ax2+bx+3，得：，解得：，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+3…①；（2）由题意得：∠ACO＝∠OBC＝30°，∠ACB＝90°，将点B、C（0，3）的坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y＝﹣x+3…②；①点P的坐标为（﹣3+t，t），点Q（9﹣2t，0），将点Q的坐标代入①式并整理得：点D[9﹣2t，（6t﹣t2）]；②当PQ＝PD时，则DQ中点的纵坐标＝点P的纵坐标，即：[（6t﹣t2）]＝t，解得：t＝；（3）点P的坐标为（﹣3+t，t）、点D[9﹣2t，（6t﹣t2）]，点E是PQ的中点，则点E[3﹣t，t+（6t﹣t2）]，将点E的坐标代入②式并整理得：t2﹣6t+9＝0，解得：t＝3，即点P（﹣，）即点P是AC的中点，作点P关于直线BC的对称点P′，过点P′作P′H⊥x轴、BC于点H、M，过点P作PN⊥y轴于点N，则MH＝MB，则此时，PM+BM＝PM+MH＝P′H为最小值，∵∠ACB＝90°，PC＝P′C，∠P′CM＝∠NCP，∠P′MC＝∠PNC＝90°，∴△P′MC≌△PNC（AAS），∴MC＝NC＝OC，OM＝OC＝＝P′H，故PM+BM的最小值为．12．【解答】解：（1）函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3），即：3a＝3，解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3，则顶点D（2，﹣1）；（2）∵OB＝OC＝3，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，AM＝MB＝ABsin45°＝＝AD＝BD，则四边形ADBM为菱形，而∠AMB＝90°，∴四边形ADBM为正方形；（3）将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n并解得：直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，过点P作y轴的平行线交BC于点H，设点P（x，x2﹣4x+3），则点H（x，﹣x+3），则S△PBC＝PH×OB＝（﹣x+3﹣x2+4x﹣3）＝（﹣x2+3x），∵﹣＜0，故S△PBC有最大值，此时x＝，故点P（，﹣）；（4）存在，理由：如上图，过点C作与y轴夹角为30°的直线CH，作QH⊥CH，垂足为H，则HQ＝CQ，AQ+QC最小值＝AQ+HQ＝AH，直线HC所在表达式中的k值为，直线HC的表达式为：y＝x+3…①则直线AH所在表达式中的k值为﹣，则直线AH的表达式为：y＝﹣x+s，将点A的坐标代入上式并解得：则直线AH的表达式为：y＝﹣x+…②，联立①②并解得：x＝，故点H（，），而点A（1，0），则AH＝，即：AQ+QC的最小值为．13．【解答】解：（1）连接AB，过点O作OP⊥AB交AB于点G，过点P作PH⊥x轴于点H，∵点O关于AB的对称点P，∴OG＝PG，tan∠BAO＝＝，则∠BAO＝60°，则∠GOA＝∠GPA＝30°，∠GAO＝∠GAP＝∠PAH＝60°，则GA＝OA＝1，∵∠GAP＝∠PAH，∴AH＝AG＝1，则PH＝AHtan60°＝，故点P（3，）；（2）将点A，B，P的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x+2；（3）连接PB，由题意得：AB＝4，AP＝AO＝2，BP＝BO＝＝2，则△ABP为直角三角形，△ABO、△ABP是两个全等的，均有一个角为30°的直角三角形，即AB＝OB＝2，AB＝4，AP＝OA＝2，∠PBA＝∠BAO＝30°，∠BAO＝∠BAP＝60°，当∠BMA＝∠BMC＝∠AMC＝120°时，MA+MB+MP的值最小（证明见备注），以BP边向上作等边三角形APA′，以AP边为基础向右作等边三角形APB′，连接AA′、BB′交于点M，则点M为所求点，BP＝2，则∠A′BO＝∠OBA+∠PBA+∠PBA′＝30°+30°+60°＝120°，则直线A′B的长度为2，倾斜角为30°，则x A′＝A′Bcos30°＝3，同理y A′＝3，故点A′（3，3），由点AA′的坐标可得，直线AA′的表达式为：y＝3（x﹣2）…①；同理可得：直线BB′的表达式为：y＝x+2…②，联立①②并解得：x＝，故点M（，），故答案为：（，）．备注：已知三角形ABC，在其内部找一点P，使得PA+PB+PC为最小．如图，将三角形ABP逆时针旋转60度至三角形A'BP'，连接PP'，CA'．根据旋转变换，三角形P'BP为等边三角形，所以有PA+PB+PC＝P'A'+PP'+PC．利用两点之间线段最短，当点P，P'在直线CA'上时，所求为最短，于是，转化为下图：则∠BPC＝180°﹣∠BPP′＝180°﹣60°＝120°，∠BPA＝∠BP′A′＝180°﹣∠BP′P＝120°，故∠APC＝120°，故满足P的点，必须使∠APB＝∠BPC＝∠APB＝120°．14．【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故二次函数表达式为：y＝x2﹣4x，故：答案为：1，4，45°；（2）设直线BP交y轴于点H，∵∠HOB＝∠AOB＝45°，∠PBO＝∠OBA，BO＝BO，∴△HOB≌△AOB（AAS），∴OA＝OH＝4，即点H（0，4），则直线PB的表达式为：y＝kx+4，将点B坐标代入上式并解得：直线PB的表达式为：y＝x+4，将上式与二次函数表达式联立并解得：x＝5或﹣（舍去正值），则点P（﹣，）；（3）①由题意得：直线OB的表达式为：y＝x，设点C（m，m），CD＝2，直线OB的倾斜角为45度，则点D（m+2，m+2），则点F（m，m2﹣4m），点E[（m+2），（m+2）2﹣4（m+2）]，则CF+DE＝m﹣m2+4m+（m+2）﹣[（m+2）2﹣4（m+2）]＝﹣2m2+6m+6，∵﹣2＜0，故CF+DE有最大值，此时，m＝，则点C、F、D、E的坐标分别为（，）、（，﹣）、（，）、（，﹣），则CF＝DE＝，CF∥ED，故四边形CDEF为平行四边形；②如图所示，过点A作CD的平行线，过点D作AC的平行线，交于点G，则四边形ACDG是平行四边形，。
2021年江苏中考数学压轴题精练试卷(解析版)
最新 Word中考数学压轴题优选精练一、选择题1．如图，在 ? ABCD 中， CD ＝ 8，BC ＝10，按以下步骤作图： ① 以点 C 为圆心，适合长度 为半径作弧，分别交BC ， CD 于 M ， N 两点； ② 分别以点M ， N 为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧在 ? ABCD 的内部交于点 P ；③ 连结 CP 并延伸交 AD 于点 E ，交BA 的延伸线于点 F ，则 AF 的长为（）A ．2B ．3C ．4D ．52．如图 ① ，在 Rt △ABC 中，∠ ACB ＝ 90°，∠ A ＝ 30°，动点 D 从点 A 出发，沿 A → C → B以 1cm/s 的速度匀速运动到点B ，过点 D 作 DE ⊥ AB 于点 E ，图 ② 是点 D 运动时， △ ADE的面积 y （ cm 2）随时间 x （ s ）变化的关系图象，则AB 的长为（）A ．4cmB ．6cmC ． 8cmD ． 10cm3．如图，在△ ABC 中，点 D 、 E 、 F 分别在 AB 、 AC 、 BC 边上， DE ∥BC ， EF ∥ AB ，则下列比率式中错误的选项是（ ）A ．B ．C ．D ．第3题 第4题4．如图，在平面直角坐标系xOy 中， A（﹣ 3，0）， B（3， 0），若在直线y＝﹣ x+m 上存在点 P 知足∠ APB＝ 60°，则 m 的取值范围是（）A．C．﹣2≤m≤≤ m≤+2B．﹣D．﹣﹣5﹣2≤ m≤≤ m≤+5+25．如图， A、 C 两点在反比率函数 y＝象上，AB⊥ x 轴于点 E，CD ⊥ x 轴于点的图象上， B、 D 两点在反比率函数y＝F ，AB＝ 3，CD＝ 2，EF ＝，则k1﹣k2的值为（的图）A．﹣3 B．﹣ 2 C．D．﹣ 16．如图，以矩形ABCD 对角线AC 为底边作等腰直角△ACE，连结BE，分别交AD ，AC于点 F， N， CD＝ AF，AM均分∠BAN．以下结论：① EF⊥ ED；②∠ BCM＝∠ NCM；③FM ，此中正确结论的个数是（）AC＝EM；④BN2+EF2＝ EN2；⑤AE?AM＝ NE?A ．2B ．3 C．4D． 5二、填空题1．如图，在扇形AOB 中，∠ AOB＝ 120°，连结AB，以OA 为直径作半圆 C 交AB 于点D ，若 OA＝ 4，则暗影部分的面积为．2．在△ ABC 中， AB＝ 4，∠ C＝ 60°，∠ A≠∠ B，则 BC 的长的取值范围是________．3．如图，点于 F，若G 是矩形 ABCD 的对角线BD 上一点，过点G 作 EF∥ ABEG＝ 5， BF ＝2，则图中暗影部分的面积为．交AD于E，交BC第 3 题第 4 题4．如图为二次函数2y＝ t（ t＞ 0）与抛物线交于A， B 两点， A，B y＝ ax +bx+c 图象，直线两点横坐标分别为m，n．依据函数图象信息有以下结论：① abc＞ 0；②若对于 t＞0 的随意值都有m＜﹣ 1，则 a≥1；③m+n＝ 1；④ m＜﹣ 1；⑤当 t 为定值时，若 a 变大，则线段 AB 变长．此中，正确的结论有（写出全部正确结论的序号）5．如图，在Rt△ ABC 中，∠ C＝ 90°， AC＝ BC．将△ ABC 绕点 A 逆时针旋转15°获得 Rt △ AB′ C′，B′ C′交 AB 于点 E，若图中暗影部分面积为2，则B′ E的长为．第5题第6题6．如图，在矩形ABCD 中，已知 AB ＝3， BC＝4，点 P 是边 BC 上一动点（点C 重合），连结 AP，作点 B 对于直线AP 的对称点M，连结 MP ，作∠ MPC交边 CD 于点 N．则线段 MN 的最小值为．P 不与点 B，的角均分线三、解答题1．如图 1，平行四边形 ABCD 中， AB⊥ AC，AB＝ 6，AD ＝ 10，点 P 在边 AD 上运动，以 P 为圆心， PA 为半径的⊙ P 与对角线 AC 交于 A， E 两点．（1）线段 AC 的长度是 ________．（2）如图 2，当⊙ P 与边 CD 相切于点 F 时，求 AP 的长；（3）不难发现，当⊙ P 与边 CD 相切时，⊙ P 与平行四边形 ABCD 的边有三个公共点，随着 AP 的变化，⊙ P 与平行四边形 ABCD 的边的公共点的个数也在变化，若共点的个数为4，直接写出相对应的 AP 的值的取值范围 ________________ ．2．阅读理【分析】解：在平面直角坐标系中，若两点P、Q的坐标分别是P（ x1， y1）、Q（x2，y2），则P、Q 这两点间的距离为|PQ|＝．如P（ 1， 2），Q（ 3，4），则 | PQ| ＝＝2 ．对于某种几何图形给出以下定义：切合必定条件的动点形成的图形，叫做切合这个条件的点的轨迹．如平面内到线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直均分线．解决问题：如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，直线y＝kx＋交 y 轴于点A，点A 对于x 轴的对称点为点B，过点B 作直线 l 平行于 x 轴．（1）到点 A 的距离等于线段AB 长度的点的轨迹是（2）若动点 C（ x，y）知足到直线l 的距离等于线段式；____________.CA 的长度，求动点C 轨迹的函数表达问题拓展：（ 3）若（2）中的动点C 的轨迹与直线y＝ kx＋交于E、F两点，分别过E、 F作直线l 的垂线，垂足分别是M、 N，求证：①EF 是△AMN外接圆的切线；②＋为定值．5．如图，已知点 A（ 1， 0）， B（ 0， 3），将△ AOB 绕点 O 逆时针旋转 90°，获得△ COD ，设E为AD的中点．（ 1）若 F 为 CD 上一动点，求出当△DEF 与△ COD 相像时点 F 的坐标；（ 2）过 E 作 x 轴的垂线 l ，在直线 l 上能否存在一点 Q，使∠ CQO＝∠ CDO ？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明原因．6．如图 1，在平面直角坐标系中，直线y＝ x+4 与抛物线y＝﹣x2+bx+c（ b，c 是常数）交于 A、 B 两点，点 A 在 x 轴上，点 B 在 y 轴上．设抛物线与x 轴的另一个交点为点C．（ 1）求该抛物线的分析式；（ 2）P 是抛物线上一动点（不与点A、 B 重合），①如图 2，若点 P 在直线 AB 上方，连结OP 交 AB 于点 D ，求的最大值；②如图 3，若点 P 在 x 轴的上方，连结PC，以 PC 为边作正方形CPEF，跟着点P 的运动，正方形的大小、地点也随之改变．当极点 E 或 F 恰巧落在 y 轴上，直接写出对应的点 P 的坐标．5．定义：在平面内，我们把既有大小又有方向的量叫做平面向量．平面向量能够用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．此中大小相等，方向同样的向量叫做相等向量．如以正方形ABCD 的四个极点中某一点为起点，另一个极点为终点作向量，能够作出8 个不一样的向量：、、、、、、、（因为和是相等向量，所以只算一个）．（1）作两个相邻的正方形（如图一）．以此中的一个极点为起点，另一个极点为终点作向量，能够作出不一样向量的个数记为f （2），试求 f（2）的值；（2）作 n 个相邻的正方形（如图二）“一字型”排开．以此中的一个极点为起点，另一个极点为终点作向量，能够作出不一样向量的个数记为f（ n），试求 f（ n）的值；（ 3）作 2× 3 个相邻的正方形（如图三）排开．以此中的一个极点为起点，另一个极点为终点作向量，能够作出不一样向量的个数记为f（2× 3），试求 f（ 2× 3）的值；（ 4）作 m× n 个相邻的正方形（如图四）排开．以此中的一个极点为起点，另一个极点为终点作向量，能够作出不一样向量的个数记为f（m×n），试求 f （m× n）的值．2 订交于点 A（﹣ 1， 0）和点 B（ 2， m）两6．如图，已知直线 y＝ x+1 与抛物线 y＝ ax +2x+c点（ 1）求抛物线的函数表达式；（ 2）若点 P 是位于直线 AB 上方抛物线上的一动点，当△PAB 的面积 S 最大时，求此时△ PAB 的面积 S 及点 P 的坐标；（ 3）在 x 轴上能否存在点 Q，使△ QAB 是等腰三角形？若存在，直接写出点Q 的坐标（不用说理）；若不存在，请说明原因．【答案与分析】一、选择题1．【剖析】 依据角均分线的定义以及平行四边形的性质，即可获得BF ，BA 的长，从而获得AF 的长．【解答】 解：由题可得， CF 是∠ ACD 的均分线，∴∠ BCF ＝∠ DCF ，∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AB ∥ CD ，AB ＝ CD ＝ 8，∴∠ F ＝∠ DCF ，∴∠ BCF ＝∠ F ，∴ BF ＝ BC ＝ 10，∴ AF ＝ BF ﹣ AB ＝ 10﹣ 8＝ 2．应选： A ．2．【剖析】 依据题意可得，△ ADE 的最大面积是 6 三角形 ADE 的面积即可求出 DE ＝ 2 ，再依据【解答】 解：依据题意可知：2（ cm ），此时点 D 与点 C 重合，依据30 度特别角即可求出 AB 的长．△ ADE 的最大面积是 6 （ cm 2），此时点 D 与点 C 重合，如图，在 Rt △ADE 中，∠ A ＝ 30°，设 DE ＝ x ，则 AE ＝x ，∴ S △ADE ＝ AE ?DE＝ ×x?x＝x 2，∴x 2＝ 6 ，解得 x＝2（负值舍去），∴DE＝ 2，∴ AD＝ AC＝ 2DE＝ 4，在 Rt△ABC 中，∠ A＝ 30°，∴ cos30°＝＝，∴＝，∴AB＝ 8cm．应选： C．3．【剖析】依据平行线分线段成比率定理列出比率式，再分别对每一项进行判断即可．【解答】 A．∵ EF ∥AB，∴＝，故本选项正确，B．∵ DE∥ BC，∴＝，∵EF∥ AB，∴DE＝BF，∴＝，∴＝，故本选项正确，C．∵ EF∥ AB，∴＝，∵CF≠ DE，∴≠ ，故本选项错误，D ．∵ EF∥ AB，∴＝，∴＝，故本选项正确，应选： C．4．【剖析】作等边三角形ABE，而后作外接圆，求得直线y＝﹣ x+m 与外接圆相切时的m 的值，即可求得 m 的取值范围．【解答】解：如图，作等边三角形ABE，∵A（﹣ 3， 0）， B（ 3，0），∴ OA＝ OB＝ 3，∴ E 在 y 轴上，当 E 在 AB 上方时，作等边三角形 ABE 的外接圆 ⊙ Q ，设直线 y ＝﹣ x+m 与 ⊙ Q 相切，切点为 P ，当 P 与 P 1 重合时 m 的值最大，当 P 与 P 1 重合时，连结 QP 1，则 QP 1⊥直线 y ＝﹣ x+m ， ∵ OA ＝ 3， ∴ OE ＝3 ，设 ⊙ Q 的半径为 x ，则 x 2＝ 32+（3﹣ x ）2，解得 x ＝2 ，∴ EQ ＝ AQ ＝PQ ＝ 2 ，∴ OQ ＝ ，由直线 y ＝﹣ x+m 可知 OD ＝ OC ＝ m ， ∴ DQ ＝m ﹣ ， CD ＝ m ，∵∠ ODC ＝∠ P 1DQ ，∠ COD ＝∠ QP 1D ， ∴△ QP 1D ∽△ COD ，∴＝，即 ＝ ，解得 m ＝+2，当 E 在 AB 下方时，作等边三角形ABE 的外接圆 ⊙ Q ，设直线 y ＝﹣ x+m 与 ⊙ Q 相切，切点为 P ，当 P 与 P 2 重合时 m 的值最小，当 P 与 P 2 重合时，同理证得 m ＝﹣ ﹣ 2 ， ∴ m 的取值范围是﹣﹣ 2 ≤ m ≤+2 ，应选： D ．1．【剖析】 直接利用反比率函数的性质和k 的意义剖析得出答案．【解答】 解：过点 A 作 AM ⊥ y 轴， BN ⊥ y 轴， DQ ⊥ y 轴， CN ⊥y 轴垂足分别为 M ， N ， Q ，R ，由题意可得： S 矩形 AMEQ ＝ S 矩形 FCRO ＝﹣ k 1， S 矩形 EBNO ＝ S 矩形 QDFO ＝ k 2， 则 S 矩形 AMEQ +S 矩形 EBNO ＝S 矩形 FCRO +S 矩形 QDFO ＝﹣ k 1+k 2， ∵ AB ＝ 3， CD ＝ 2， ∴设 EO ＝2x ，则 FO ＝3x ，∵EF ＝，∴ EO ＝ 1，FO ＝，最新 Word∴S 矩形ABNM＝1× 3＝ 3，则﹣ k1+k2＝ 3，故 k1﹣ k2＝﹣3．应选： A．2．【剖析】①正确，只需证明A， B，C，D ， E 五点共圆即可解决问题；②正确，只需证明点M 是△ ABC 的心里即可；③正确，想方法证明EM＝AE ，即可解决问题；④正确．如图 2 中，将△ ABN 逆时针旋转 90°获得△ AFG ，连结 EG．想方法证明△ GEF 是直角三角形，利用勾股定理即可解决问题；⑤ 错误．利用反证法证明即可；【解答】解：如图 1 中，连结BD 交 AC 于 O，连结 OE．∵四边形ABCD 是矩形，∴OA＝ OC＝OD ＝ OB，∵∠ AEC＝ 90°，∴OE＝ OA＝OC，∴OA＝ OB＝OC＝ OD ＝ OE，∴A， B， C， D， E 五点共圆，∵ BD 是直径，∴∠ BED＝ 90°，∴EF⊥ ED ，故①正确，∵CD ＝ AB＝AF ，∠ BAF ＝ 90°，∴∠ ABF ＝∠ AFB ＝∠ FBC ＝45°，∴BM 均分∠ ABC ，∵ AM 均分∠ BAC ，∴点 M 是△ ABC 的心里，∴CM 均分∠ ACB，最新 Word∴∠ MCB ＝∠ MCA ，故②正确，∵∠ EAM＝∠ EAC+∠ MAC ，∠ EMA ＝∠ BAM+∠ ABM ，∠ ABM ＝∠ EAC ＝ 45°，∴∠ EAM＝∠ EMA ，∴EA＝ EM ，∵△ EAC 是等腰直角三角形，∴ AC＝EA＝EM ，故③正确，EG，如图 2 中，将△ ABN 绕点 A 逆时针旋转90°，获得△AFG ，连结∵∠ NAB＝∠ GAF ，∴∠ GAN＝∠ BAD＝ 90°，∵∠ EAN＝ 45°，∴∠ EAG＝∠ EAN＝45°，∵AG＝ AN，AE ＝ AE，∴△ AEG≌△ AEN（SAS），∴EN＝ EG，GF ＝ BN，∵∠ AFG＝∠ ABN＝∠ AFB ＝ 45°，∴∠ GFB＝∠ GFE＝ 90°，2 2 2，∴ EG ＝ GF +EF22 2∴BN +EF ＝EN ，故④正确，∵ AE＝ EC，∴＝，∴只有△ ECN ∽△ MAF 才能建立，∴∠ AMF ＝∠ CEN，∴CE∥ AM，∵ AE⊥ CE，∴MA ⊥AE（矛盾），∴假定不建立，故⑤ 错误，应选：C．二、填空题1．【剖析】连结 OD、CD ，依据圆周角定理获得OD⊥ AB，依据等腰三角形的性质获得AD ＝ DB，∠ OAD ＝ 30°，依据扇形面积公式、三角形的面积公式计算即可．【解答】解：连结OD 、 CD ，∵ OA 为圆 C 的直径，∴ OD ⊥AB，∵ OA＝ OB，∠ AOB ＝ 120°，∴ AD＝ DB，∠ OAD ＝30°，∴OD＝OA＝ 2，由勾股定理得，AD＝＝2，∴△ AOB 的面积＝×AB×OD＝4，∵OC＝ CA，BD ＝ DA，∴ CD ∥ OB，CD ＝ OB，∴∠ ACD＝∠ AOB＝ 120°，△ ACD 的面积＝×△ AOB的面积＝，∴暗影部分的面积＝﹣△ AOB 的面积﹣（﹣△ ACD的面积）＝π﹣4﹣π+＝4π﹣ 3 ，故答案为： 4π﹣ 3 ．2.解：作△ ABC 的外接圆，以下图：当∠BAC＝ 90°时， BC 是直径最长，∵∠ C＝60°，∴∠ ABC＝ 30°，∴ BC＝ 2AC， AB＝3 AC＝4，∴AC＝4 3，∴BC＝2AC＝8 3，3 3当∠ A＝∠ B 时，△ ABC 为等边三角形，∴BC ＝AB＝ 4，则 BC 的长的取值范围是0＜ BC≤83且BC≠4，3故答案为： 0＜ BC≤83且BC≠4．33．【剖析】由矩形的性质可证明S 矩形AEGM＝ S 矩形CFGN＝2× 5＝ 10，即可求解．【解答】解：作 GM ⊥AB 于 M，延伸 MG 交 CD 于 N．则有四边形AEGM ，四边形DEGN ，四边形CFGN ，四边形BMGF 都是矩形，∴AE＝ BF ＝ 2，S△ADB＝ S△DBC， S△BGM＝ S△BGF， S△DEG＝ S△DNG，∴S 矩形AEGM＝ S 矩形CFGN＝ 2× 5＝10，∴ S 阴＝S 矩形CFGN＝ 5，故答案为： 5．4．【剖析】由图象分别求出a＞ 0， c＝﹣ 2， b＝﹣ a＜ 0，则函数分析式为y＝ ax2﹣ ax﹣2，则对称轴 x＝，由张口向上的函数的图象张口与 a 的关系可得：当 a 变大，函数 y＝ ax2 ﹣ ax﹣2 的张口变小，依照这个性质判断m 的取值状况．【解答】解：由图象可知，a＞ 0， c＝﹣ 2，∵对称轴 x＝﹣＝，∴b＝﹣ a＜ 0，∴abc＞0；∴① 正确；A、B 两点对于x＝对称，∴m+n＝ 1，∴③ 正确；2a＞ 0 时，当 a 变大，函数y＝ ax ﹣ ax﹣ 2 的张口变小，∴ ⑤ 不正确；若 m＜﹣ 1，n＞ 2，由图象可知n＞1，∴ ④ 不正确；当 a ＝1 时，对于 t ＞0 的随意值都有 m ＜﹣ 1， 当 a ＞1 时，函数张口变小，则有 m ＞﹣ 1 的时候，∴ ② 不正确； 故答案 ①③ ．5．【剖析】 求出∠ C ′ AE ＝ 30°，推出 AE ＝ 2C ′E ， AC ′＝C ′ E ，依据暗影部分面积为2得出×C ′E ×C ′E ＝2，求出C ′ E ＝ 2，即可求出C ′ B ′，即可求出答案．【解答】 解：∵将 Rt △ ACB 绕点 A 逆时针旋转 15°获得 Rt △ AB ′ C ′， ∴△ ACB ≌△ AC ′ B ′，∴ AC ＝ AC ′， CB ＝C ′ B ′，∠ CAB ＝∠ C ′ AB ′，∵在 Rt △ ABC 中，∠ C ＝90°， AC ＝ BC ，∴∠ CAB ＝ 45°， ∵∠ CAC ′＝ 15°， ∴∠ C ′ AE ＝ 30°，∴ AE ＝ 2C ′ E ，AC ′＝C ′ E ， ∵暗影部分面积为 2 ，∴ × C ′E × C ′E ＝ 2 ， ∴ C ′ E ＝ 2，∴ AC ＝ BC ＝ C ′ B ′＝C ′ E ＝ 2 ，∴ B ′E ＝ 2 ﹣2， 故答案为： 2﹣ 2．6．【剖析】 过 N 作 NH ⊥ PM 交直线 PM 于 H ，则 MN 2＝ NH 2+MH 2，得出当点 M 与点 H 重合时， MN 长最小，易证 NH ＝NC ，∠ HPN ＝∠ CPN ，由 AAS 证得△ PNH ≌△ PNC ，得出 PC ＝ PH ，NC ＝ NH ，由点 B 对于直线 AP 的对称点 M ，得出 BP ＝ PM ，∠ BPA ＝∠ MPA ，当点 M 与点 H 重合时， BP ＝ PH ＝PC ＝ BC ＝ 2，由∠ HPN +∠ CPN+∠ BPA+∠ MPA ＝180°，推出∠ APN ＝ 90°，证明△ ABP ∽△ PCN ，得出 ＝ ，得出 NC ＝ ，即可得出结果．【解答】 解：过 N 作 NH ⊥ PM 交直线 PM 于 H ，以下图：则 MN 2＝ NH 2+MH 2，∴当点 M 与点 H 重合时， MN 长最小， ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ B ＝∠ C ＝ 90°，∵ PN 是∠ MPC 的角均分线， ∴ NH ＝ NC ，∠ HPN ＝∠ CPN ，在△ PNH 和△ PNC 中，，△PNH≌△ PNC（ AAS），∴ PC＝ PH，NC＝ NH，∵点 B 对于直线 AP 的对称点 M，∴BP＝ PM ，∠ BPA＝∠ MPA，∴当点 M 与点 H 重合时， BP＝ PH＝ PC＝BC＝ 2，∵∠ HPN+∠ CPN+∠ BPA+∠MPA＝ 180°，∴∠ APN＝ 90°，∴∠ APB+∠ NPC＝ 90°，∵∠ APB+∠ PAB＝ 90°，∴∠ PAB＝∠ NPC ，∵∠ B＝∠ C＝ 90°，∴△ ABP∽△ PCN ，∴＝，∴NC＝＝＝，∴当点 M 与点 H 重合时， MN ＝NC＝，故答案为：．三、解答题1.解：（ 1）∵平行四边形ABCD 中， AB ＝ 6， AD＝ 10，∴ BC＝ AD ＝ 10，∵AB ⊥AC，∴在 Rt△ ABC 中，由勾股定理得：AC＝BC2AB2＝102－62＝8，故答案为： 8；（2）如图 2 所示，连结 PF，设 AP＝ x，则 DP ＝ 10－ x， PF＝ x，∵⊙ P 与边 CD 相切于点 F，∴ PF⊥ CD ，∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AB∥ CD ，∵AB ⊥AC，∴ AC⊥ CD ，∴ AC∥ PF，∴△ DPF ∽△ DAC ，∴PFPD ，∴ x10 x，∴ x＝40，即 AP＝40；AC AD81099（3）当⊙ P 与 BC 相切时，设切点为G，如图 3，□ABCD ＝1 24 ，S ×××＝ 10PG，∴ PG＝52 40＜AP＜24，①当⊙ P 与边 AD 、 CD 分别有两个公共点时，9 5 即此时⊙ P 与平行四边形 ABCD 的边的公共点的个数为4；②⊙ P 过点 A、C、D 三点，如图 4，⊙ P 与平行四边形ABCD 的边的公共点的个数为4，此时 AP＝5，综上所述， AP 的值的取值范围是：40＜AP＜24或 AP＝ 5，9 5故答案为：40＜AP＜24或AP＝5．9 52.解：（ 1）设到点 A 的距离等于线段 AB 长度的点 D 坐标为（ x，y），∴AD 2＝x2＋（ y﹣） 2，∵直线y＝ kx＋交 y 轴于点A，∴ A（ 0，），∵点A 对于x 轴的对称点为点B，∴B（ 0，﹣），∴ AB＝ 1，∵点D 到点 A 的距离等于线段AB 长度，∴x2＋（ y﹣）2＝ 1，故答案为： x2＋（ y﹣）2＝ 1；（2）∵过点 B 作直线 l 平行于 x 轴，∴直线l 的分析式为y＝﹣，∵C（ x， y）， A（0，），∴AC 2＝ x2＋（ y﹣）2，点C到直线l的距离为：（y＋），∵动点 C（ x， y）知足到直线l 的距离等于线段CA 的长度，∴x2＋（ y﹣）2＝（y＋）2，∴动点 C 轨迹的函数表达式y＝x2，（3）连结 AM， AN，取 MN 的中点 Q，连结 AQ.①设 E（ x1，y1），F （ x2， y2），由（ 2）得， EA＝ EM， FA＝ FN，∴，∴x2﹣2kx﹣ 1＝ 0，∴ x1＋ x2＝ 2k， x1x2＝﹣ 1，∵BM · BN＝ |x1x2|＝ 1， AB＝ 1，∴AB 2＝ BM· BN，又∠ ABM＝∠ NBA，∴△ ABM∽△ NBA，∴∠ MAB＝∠ ANB，而∠ NAB＋∠ ANB＝ 90°，∴∠ NAB＋∠ MAB ＝ 90°，即∠ MAN ＝90° .∴AQ＝ QN，∴∠ QAN＝∠ QNA，∵F A＝FN，∴∠ FAN＝∠ FNA ，∴∠ FAG＝∠ FNG ＝90°，∴所以EF 是△ AMN 外接圆的切线 .②证明：∵点E（m， a）点 F （n， b）在直线 y＝ kx＋上，∴a＝ mk＋， b＝ nk＋，∵ME ， NF ， EF 是△ AMN 的外接圆的切线，∴AE ＝ME ＝ a＋＝mk＋1，AF＝NF＝b＋＝nk＋1，∴＋＝＋＝＝＝＝2，即：＋为定值，定值为2．5．【剖析】（ 1）当△ DEF ∽△ COD 时，＝，DF＝DEcos∠ CDO＝，据此求出EF 的长度和点 F 的坐标即可；（2）第一以 CD 为直径作圆，设其圆心为 P，交直线由圆周角定理，可得∠ CQO ＝∠ CQ′ O＝∠ CDO ，在a 于点 Q、Q′，连结 PQ，P Q′，Rt△ CDO 中，由勾股定理可得 CD＝，则 PQ＝CD＝；而后求出点P 的坐标是多少；设Q（﹣ 1， a），则（）2+（ a﹣）2＝，据此求出 a 的值是多少，从而求出Q 点坐标是多少即可．【解答】解：（ 1）∵ A（1， 0），B（ 0， 3），∴OA＝ 1，OB＝ 3，∵将△ AOB 绕点 O 逆时针旋转90°，获得△ COD ，∴OC＝1，OD ＝3，∴C（ 0， 1），D （﹣ 3， 0），如图 1，当△ DEF ∽△ COD 时，＝∴EF＝，∴F（﹣ 1，）；当△ DEF ∽△ COD 时， DF ＝ DE cos∠ CDO ＝，作 FK⊥OD 于 K，则 FK ＝ DF sin∠ CDO ＝，DK＝DF cos∠ CDO＝，∴F（﹣，）；（2）如图 2，以 CD 为直径作圆，设其圆心为 P，交直线 a 于点 Q、Q′，连结 PQ，P Q′，由圆周角定理，可得∠ CQO ＝∠ CQ′ O＝∠ CDO ，在 Rt△CDO 中，由勾股定理可得CD＝，则 PQ＝CD＝，又∵P为 CD中点， P（﹣，），设 Q（﹣ 1，a），则（）2+（a﹣）2＝，解得 a＝ 2 或﹣ 1，∴ Q（﹣ 1，2）或（﹣ 1，﹣ 1）．6．【剖析】（ 1）利用直线分析式求出点A、 B 的坐标，再利用待定系数法求二次函数分析式解答；（ 2）作 PF∥ BO 交 AB 于点 F ，证△ PFD ∽△ OBD，得比率线段，则PF取最大值时，求得的最大值；（ 3）（ i ）点 F 在 y 轴上时， P 在第一象限或第二象限，如图2，3，过点 P 作 PH ⊥x 轴于 H，依据正方形的性质可证明△CPH≌△ FCO ，依据全等三角形对应边相等可得PH ＝CO＝ 2，而后利用二次函数分析式求解即可；（ii）点E在y轴上时，过点PK ⊥ x 轴于 K ，作 PS⊥ y 轴于 S，同理可证得△EPS≌△ CPK ，可得 PS＝ PK ，则 P 点的横纵坐标互为相反数，可求出P 点坐标；点 E 在 y 轴上时，过点PM ⊥ x 轴于 M，作 PN⊥ y 轴于 N，同理可证得△PEN≌△PCM ，可得 PN＝ PM，则 P 点的横纵坐标相等，可求出P 点坐标．由此即可解决问题．【解答】解：（ 1）直线 y＝x+4 与坐标轴交于A、 B 两点，当 x＝ 0 时， y＝ 4，x＝﹣ 4 时， y＝0，∴ A（﹣ 4， 0）， B（ 0， 4），把 A， B 两点的坐标代入分析式得，，解得，，∴抛物线的分析式为；（2）如图 1，作 PF ∥BO 交 AB 于点 F，∴△ PFD ∽△ OBD，∴，∵ OB 为定值，∴当 PF 取最大值时，有最大值，设 P（ x，），此中﹣4＜x＜0，则F（x，x+4），∴PF＝＝，∵且对称轴是直线x＝﹣ 2，∴当 x＝﹣ 2 时， PF 有最大值，此时 PF＝2，；（ 3）∵点 C（2， 0），∴CO＝2，（ i）如图 2，点 F 在 y 轴上时，若 P 在第二象限，过点 P 作 PH ⊥x 轴于 H，在正方形 CPEF 中， CP＝ CF，∠ PCF ＝ 90°，∵∠ PCH+∠ OCF＝ 90°，∠ PCH +∠ HPC ＝ 90°，∴∠ HPC＝∠ OCF，在△ CPH 和△ FCO 中，，∴△ CPH≌△ FCO（ AAS），∴PH＝ CO＝2，∴点 P 的纵坐标为 2，∴，解得，， x＝﹣ 1+（舍去）．∴，如图 3，点 F 在 y 轴上时，若P 在第一象限，同理可得点 P 的纵坐标为2，此时 P2点坐标为（﹣ 1+ ，2）（ ii ）如图 4，点 E 在 y 轴上时，过点 PK⊥x 轴于 K，作 PS⊥ y 轴于S，同理可证得△EPS≌△ CPK ，∴PS＝ PK ，∴P 点的横纵坐标互为相反数，∴，解得 x＝2（舍去），x＝﹣2，∴，如图 5，点 E 在 y 轴上时，过点PM ⊥ x 轴于 M，作 PN⊥ y 轴于 N，同理可证得△ PEN ≌△ PCM ，∴ PN ＝ PM ，∴ P 点的横纵坐标相等，∴，解得，（舍去），∴，综合以上可得P 点坐标为，，．5．【剖析】（ 1）依据图形，即可求得 f （ 2）的值；（ 2）第一求 f （ 1），f （ 2）， f （ 3）， f （ 4），所以获得规律为： f （n ）＝ 6n+2； （ 3）依据图形，即可求得f （2× 3）的值；（ 4）先剖析特别状况，再求得规律：f （ m ×n ）＝ 2（m+n ） +4mn ．【解答】 解：（ 1）作两个相邻的正方形，以此中的一个极点为起点，另一个极点为终点 作向量，能够作出不一样向量的个数 f （ 2）＝ 14； （ 2）分别求出作两个、三个、四个相邻的正方形（如图1）．以此中的一个极点为起点，另一个极点为终点作向量，能够作出不一样的向量个数，找出规律，∵ f （1 ）＝ 6× 1+2 ＝ 8， f （ 2）＝ 6× 2+2 ＝ 14， f （ 3）＝ 6× 3+2＝ 20， f （ 4）＝ 6× 4+2 ＝ 26，∴ f （ n ）＝ 6n+2 ；（ 3） f （ 2×3）＝ 34；（ 4）∵ f （ 2× 2）＝ 24， f （ 2× 3）＝ 34， f （ 2× 4）＝ 44， f （ 3× 2）＝ 34， f （ 3× 3）＝ 48， f （ 3×4）＝ 62∴ f （ m × n ）＝ 2（ m+n ） +4mn ．6．【剖析】（ 1）先依据点 B 在直线 y ＝ x+1 求出其坐标，再将 A ， B 坐标代入抛物线分析式求解可得；（ 2）作 PM ⊥ x 轴于点 M ，交 AB 于点 N ，设点 P 的坐标为（ m ，﹣ m 2+2m+3），点 N 的坐标为（ m ， m+1），依照 S △ PAB ＝ S △ PAN +S △PBN 列出函数分析式，利用二次函数的性质求解可得；（ 3）设点 Q 坐标为（ n ，0），联合各点坐标得出 QA 2＝（﹣ 1﹣ n ）2，QB 2＝（ 2﹣n ）2 +9，AB 2＝ 18，再依据等腰三角形的定义分三种状况分别求解可得．【解答】 解：（ 1）∵点 B （ 2， m ）在直线 y ＝ x+1 上， ∴ m ＝ 2+1 ＝3，∴点 B 坐标为（ 2， 3），∵点 A （﹣ 1，0）和点 B （ 2， 3）在抛物线y ＝ ax 2+2x+c 上，最新 Word∴，解得，∴所求抛物线分析式为 y ＝﹣ x 2+2 x+3；（ 2）过点 P 作 PM ⊥ x 轴于点 M ，交 AB 于点 N ，设点 P 的横坐标为 m ，则点 P 的坐标为（ m ，﹣ m 2+2 m+3），点 N 的坐标为（ m ， m+1 ）， ∵点 P 是位于直线 AB 上方，∴ PN ＝ PM ﹣MN ＝﹣ m 2+2m+3﹣（ m+1）＝﹣ m 2+m+2 ，∴ S △PAB ＝ S △ PAN +S △PBN＝×（﹣ m 2+m+2）（ m+1） + ×（﹣ m 2+m+2）（ 2﹣ m ）＝ （﹣ m 2+m+2）＝﹣（ m ﹣ ） 2+，∵﹣＜ 0，∴抛物线张口向下， 又﹣ 1＜ m ＜2，∴当 m ＝时，△ PAB 的面积的最大值是，此时点 P 的坐标为（，）．（ 3）设点 Q 坐标为（ n ， 0），∵ A （﹣ 1， 0）， B （ 2， 3），∴ QA 2＝（﹣ 1﹣ n ）2， QB 2＝（ 2﹣n ） 2+9，AB 2＝18，① 当 QA 2＝QB 2 时，（﹣ 1﹣n ） 2＝（ 2﹣ n ） 2+9，解得 n ＝ 2，即 Q （ 2，0）；② 当 QA 2＝AB 2时，（﹣ 1﹣ n ） 2＝18，解得： n ＝﹣ 1±3，即 Q （﹣ 1+3， 0）或（﹣ 1﹣ 3， 0）；2＝AB 22＝ 18，③当QB 时，（ 2﹣ n ） +9解得： n ＝﹣ 1（舍）或 n ＝ 5，即 Q （ 5，0）；综上， Q 的坐标为（ 2， 0）或（﹣ 1+3 ， 0）或（﹣ 1﹣3， 0）或（ 5，0）．。
2021年天津市中考数学压轴题总复习(附答案解析)
4．如图①，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3．点P从点A出发，沿折线AB﹣BC以每秒5个单位长度的速度向点C运动，同时点D从点C出发，沿CA以每秒2个单位长度的速度向点A运动，点P到达点C时，点P、D同时停止运动．当点P不与点A、C重合时，作点P关于直线AC的对称点Q，连结PQ交AC于点E，连结DP、DQ．设点P的运动时间为t秒．
2．如图，一次函数y＝kx+b和反比例函数 的图象相交于A（2，4）、B（﹣1，n）两点，一次函数的图象交x轴于点D．
（1）直接写出一次函数与反比例函数的解析式．
（2）请结合函数图象，直接写出不等式 的解集．
（3）过点A作直线AC⊥x轴，垂足为点C，过点B的直线交x轴于点E，交直线AC于点F，若△ECF∽△ACD，求点E的坐标．
③在②的条件下，若点A与A′B′的中点重合，A′B′＝4，AB＝2，在整个旋转过程中，当点P与点M重合时，请直接写出线段BM的长．
9．【了解概念】
有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线．
【理解运用】
（1）如图①，对余四边形ABCD中，AB＝5，BC＝6，CD＝4，连接AC．若AC＝AB，求sin∠CAD的值；
（1）求二次函数y x2+bx+c的表达式；
（2）判断△ABD的形状，并说明理由；
（3）在点E的运动过程中，直线BD上存在一点G，使得四边形AFGE为矩形，请判断此时AG与BD的数量关系，并求出点E的坐标；
（4）点H是抛物线的顶点，在（3）的条件下，点P是平面内使得∠EPF＝90°的点，在抛物线的对称轴上，是否存在点Q，使得△HPQ是以∠PQH为直角的等腰直角三角形，若存在，直接写出符合条件的所有点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2021中考数学压轴题预测30题(含答案)
1．关于x 的方程220mx mx m n -++=有两个实数根．（1）求实数m ，n 需满足的条件；（2）写出一组满足条件的m ，n 的值，并求此时方程的根．2．如图，在□ABCD 中，∠ABD =90°，延长AB 至点E ，使BE =AB ，连接CE ． （1）求证：四边形BECD 是矩形；（2）连接DE 交BC 于点F ，连接AF ，若CE =2，∠DAB =30°，求AF 的长．3．如图，△ABC 内接于以AB 为直径的⊙O ，过点A 作⊙O 的切线，与BC 的延长线相交于点D ，在CB 上截取CE =CD ，连接AE 并延长，交⊙O 于点F ，连接CF ． （1）求证：AC =CF ；（2）若AB =4，3sin 5B =，求EF 的长．4．在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数ky x=的图象经过点P （3，4）． （1）求k 的值； （2）求OP 的长；（3）直线(0)y mx m =≠与反比例函数的图象有两个交点A ，B ，若AB >10，直接写出m 的取值范围．5．先化简，再求值：（x +2y ）（x ﹣2y ）+（20xy 3﹣8x 2y 2）÷4xy ，其中x ＝2018，y ＝2019． 6．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率；（2）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？19．如图，已知反比例函数y＝的图象与一次函数y＝x+b的图象交于点A（1，4），点B （﹣4，n）．（1）求n和b的值；（2）求△OAB的面积；（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围．20．如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知AB⊥BC于点B，底座BC的长为1米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB＝60°，点H在支架AF上，篮板底部支架EH∥BC，EF⊥EH于点E，已知AH长米，HF长米，HE长1米．（1）求篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数．（2）求篮板底部点E到地面的距离．（结果保留根号）21．某校为了解全校学生对新闻，体育，动画，娱乐，戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中只选出一类最喜爱的电视节目，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．类别A B C D E节目新闻体育动画娱乐戏曲人数12304554m请你根据以上的信息，回答下列问题：（1）被调查学生的总数为人；（2）统计表中m的值为，统计图中n的值为．（3）在图中，A类所对应扇形的圆心角的度数为．（4）该校共有3000名学生，根据调查结果，估计该校最喜爱新闻节目的学生数为．22．阅读下列材料：我们定义：若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如正方形就是和谐四边形．结合阅读材料，完成下列问题：（1）下列哪个四边形一定是和谐四边形．A．平行四边形B．矩形C．菱形D．等腰梯形（2）命题：“和谐四边形一定是轴对称图形”是命题（填“真”或“假”）．（3）如图，等腰Rt△ABD中，∠BAD＝90°．若点C为平面上一点，AC为凸四边形ABCD的和谐线，且AB＝BC，请求出∠ABC的度数．23．已知，抛物线y＝ax2+ax+b（a≠0）与直线y＝2x+m有一个公共点M（1，0），且a＜b．（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；（3）a＝﹣1时，直线y＝﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围．20．如图，现将平行四边形ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落在点B′处．AB′与CD 交于点E．（1）求证：△AED≌△CEB′；（2）过点E作EF⊥AC交AB于点F，连接CF，判断四边形AECF的形状并给予证明．21．现在的青少年由于沉迷电视、手机、网络游戏等，视力日渐减退，我市为了解学生的视力变化情况，从全市八年级随机抽取了1200名学生，统计了每个人连续三年视力检查的结果，根据视力在4.9以下的人数变化制成折线统计图，并对视力下降的主要因素进行调查，制成扇形统计图．解答下列问题：（1）图中“其他”所在扇形的圆心角度数为；（2）若2016年全市八年级学生共有24000名，请你估计视力在4.9以下的学生约有多少名？（3）根据扇形统计图信息，你认为造成中学生视力下降最主要的因素是什么，你觉得中学生应该如何保护视力？22．如图，已知反比例函数y＝的图象与一次函数y＝x+b的图象交于点A（1，4），点B （﹣4，n）．（1）求n和b的值；（2）求△OAB的面积；（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围．23．化简：2＜x＜4时，﹣＝．24．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝5，AB＝3，点D是线段BC上一动点，连接AD，以AD为边作△ADE∽△ABC，点N是AC的中点，连接NE，当线段NE最短时，线段CD的长为．25．已知Rt△ABC，∠BAC＝90°，点D是BC中点，AD＝AC，BC＝4，过A，D两点作⊙O，交AB于点E，（1）求弦AD的长；（2）如图1，当圆心O在AB上且点M是⊙O上一动点，连接DM交AB于点N，求当ON等于多少时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形？（3）如图2，当圆心O不在AB上且动圆⊙O与DB相交于点Q时，过D作DH⊥AB（垂足为H）并交⊙O于点P，问：当⊙O变动时DP﹣DQ的值变不变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．26．我们知道不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．不等式组是否也具有类似的性质呢？请解答下列问题．（1）完成下列填空：已知用“＜”或“＞”填空5+23+1﹣3﹣1﹣5﹣21﹣24+1（2）一般地，如果那么a+c b+d（用“＜”或“＞”填空）．请你说明上述性质的正确性．27．某宾馆有若干间住房，住宿记录提供了如下信息：（1）4月17日全部住满，一天住宿费收入为12000元；（2）4月18日有20间房空着，一天住宿费收入为9600元；（3）该宾馆每间房每天收费标准相同．①一个分式方程，求解该宾馆共有多少间住房，每间住房每天收费多少元？②通过市场调查发现，每间住房每天的定价每增加10元，就会有5个房间空闲；已知该宾馆空闲房间每天每间支出费用10元，有顾客居住房间每天每间支出费用20元，问房价定为多少元时，该宾馆一天的利润为11000元？（利润＝住宿费收入﹣支出费用）③在（2）的计算基础上，你能发现房价定为多少元时，该宾馆一天的利润最大？请直接写出结论．28．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y 轴交于点N，其顶点为D．（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．28．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线EF，交AB和AC的延长线于E、F．（1）求证：FE⊥AB；（2）当AE＝6，sin∠CFD＝时，求EB的长．29．如图，一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，点A坐标为（m，2），点B坐标为（﹣4，n），OA与x轴正半轴夹角的正切值为，直线AB交y轴于点C，过C作y轴的垂线，交反比例函数图象于点D，连接OD、BD．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求四边形OCBD的面积．30．如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60度．如果这时气球的高度CD为90米．且点A、D、B在同一直线上，求建筑物A、B间的距离．31．如图，直线AB和抛物线的交点是A（0，﹣3），B（5，9），已知抛物线的顶点D的横坐标是2．（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；（2）在x轴上是否存在一点C，与A，B组成等腰三角形？若存在，求出点C的坐标，若不在，请说明理由；（3）在直线AB的下方抛物线上找一点P，连接PA，PB使得△PAB的面积最大，并求出这个最大值．。
2021年浙江省宁波市中考数学压轴题总复习(附答案解析)
2021年浙江省宁波市中考数学压轴题总复习中考数学压轴题是想获得高分甚至满分必须攻破的考题，得分率低，需要引起重视。
从近10年中考压轴题分析可得中考压轴题主要考查知识点为二次函数，圆，多边形，相似，锐角三角形等。
预计2021年中考数学压轴题依然主要考查这些知识点。
1．对于平面内的点P和图形M，给出如下定义：以点P为圆心，以r为半径作⊙P，使得图形M上的所有点都在⊙P的内部（或边上），当r最小时，称⊙P为图形M的P点控制圆，此时，⊙P的半径称为图形M的P点控制半径．已知，在平面直角坐标系中，正方形OABC的位置如图所示，其中点B（2，2）．（1）已知点D（1，0），正方形OABC的D点控制半径为r1，正方形OABC的A点控制半径为r2，请比较大小：r1r2；（2）连接OB，点F是线段OB上的点，直线l：y=√3x+b；若存在正方形OABC的F 点控制圆与直线l有两个交点，求b的取值范围．2．已知：点P为图形M上任意一点，点Q为图形N上任意一点，若点P与点Q之间的距离PQ始终满足PQ＞0，则称图形M与图形N相离．（1）已知点A（1，2）、B（0，﹣5）、C（2，﹣1）、D（3，4）．①与直线y＝3x﹣5相离的点是；②若直线y＝3x+b与△ABC相离，求b的取值范围；（2）设直线y=√3x+3、直线y=−√3x+3及直线y＝﹣2围成的图形为W，⊙T的半径为1，圆心T的坐标为（t，0），直接写出⊙T与图形W相离的t的取值范围．3．在平面直角坐标系xOy中，过点N（6，﹣1）的两条直线l1，l2，与x轴正半轴分别交于M、B两点，与y轴分别交于点D、A两点，已知D点坐标为（0，1），A在y轴负半轴，以AN为直径画⊙P，与y轴的另一个交点为F．（1）求M点坐标；（2）如图1，若⊙P经过点M．①判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；②求弦AF的长；（3）如图2，若⊙P与直线l1的另一个交点E在线段DM上，求√10NE+AF的值．。
2021年全国中考数学真题分项汇编-专题33几何综合压轴问题(解答题)(解析版)
2021年中考数学真题分项汇编【全国通用】（第01期）专题33几何综合压轴问题（解答题）一、解答题1．（湖南省郴州市2021年中考数学试卷）如图1，在等腰直角三角形ABC 中，90BAC ∠=︒．点E ，F 分别为AB ，AC 的中点，H 为线段EF 上一动点（不与点E ，F 重合），将线段AH 绕点A 逆时针方向旋转90︒得到AG ，连接GC ，HB ．（1）证明：AHB AGC ≌；（2）如图2，连接GF ，HC ，AF 交AF 于点Q ．①证明：在点H 的运动过程中，总有90HFG ∠=︒；①若4AB AC ==，当EH 的长度为多少时，AQG 为等腰三角形？【答案】（1）见详解；（2）①见详解；①当EH 的长度为2时，AQG 为等腰三角形【分析】（1）由旋转的性质得AH =AG ，①HAG =90°，从而得①BAH =①CAG ，进而即可得到结论；（2）①由AHB AGC ≌，得AH =AG ，再证明AEH AFG ≌，进而即可得到结论；①AQG 为等腰三角形，分3种情况：（a ）当①QAG =①QGA =45°时，（b ）当①GAQ =①GQA =67.5°时，（c ）当①AQG =①AGQ =45°时，分别画出图形求解，即可．【详解】解：（1）①线段AH 绕点A 逆时针方向旋转90︒得到AG ，①AH =AG ，①HAG =90°，①在等腰直角三角形ABC 中，90BAC ∠=︒，AB =AC ，①①BAH =90°-①CAH =①CAG ，①AHB AGC ≌；（2）①①在等腰直角三角形ABC 中，AB =AC ，点E ，F 分别为AB ，AC 的中点，①AE =AF ，AEF 是等腰直角三角形，①AH =AG ，①BAH =①CAG ，①AEH AFG ≌，①①AEH =①AFG =45°，①①HFG =①AFG +①AFE =45°+45°=90°，即：90HFG ∠=︒；①①4AB AC ==，点E ，F 分别为AB ，AC 的中点，①AE =AF =2，①①AGH =45°，AQG 为等腰三角形，分3种情况：（a ）当①QAG =①QGA =45°时，如图，则①HAF =90°-45°=45°，①AH 平分①EAF ，①点H 是EF 的中点，①EH 12==（b ）当①GAQ =①GQA =（180°-45°）÷2=67.5°时，如图，则①EAH =①GAQ =67.5°，①①EHA =180°-45°-67.5°=67.5°，①①EHA =①EAH ，①EH =EA =2；（c ）当①AQG =①AGQ =45°时，点H 与点F 重合，不符合题意，舍去，综上所述：当EH 的长度为2时，AQG 为等腰三角形．【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定定理，根据题意画出图形，进行分类讨论，是解题的关键．2．（2021·湖北中考真题）问题提出 如图（1），在ABC 和DEC 中，90ACB DCE ∠=∠=︒，BC AC =，EC DC =，点E 在ABC 内部，直线AD 与BE 交于点F ，线段AF ，BF ，CF 之间存在怎样的数量关系？问题探究 （1）先将问题特殊化．如图（2），当点D ，F 重合时，直接写出一个等式，表示AF ，BF ，CF 之间的数量关系；（2）再探究一般情形．如图（1），当点D ，F 不重合时，证明（1）中的结论仍然成立．问题拓展 如图（3），在ABC 和DEC 中，90ACB DCE ∠=∠=︒，BC kAC =，EC kDC =（k 是常数），点E 在ABC 内部，直线AD 与BE 交于点F ，直接写出一个等式，表示线段AF ，BF ，CF 之间的数量关系．【答案】（1）BF AF -=．（2）见解析；问题拓展：BF k AF -⋅=． 【分析】（1）先证明①BCE ①①ACD ,得到AF =BE ，BF -BE =BF -AF =EF ；（2）过点C 作CG CF ⊥交BE 于点G ，证明ACD BCE ≅△△，ACF BCG ≅△△，CGF △是等腰直角三角形即可；利用前面的方法变全等为相似证明即可．【详解】问题探究 （1）BF AF -=．理由如下：如图（2），①①BCA =①ECF =90°，①①BCE =①ACF ，①BC =AC ，EC =CF ，①BCE ①①ACF ，①BE =AF ，①BF -BE =BF -AF =EF ；（2）证明：过点C 作CG CF ⊥交BE 于点G ，则90FCG ACB ∠=∠=︒，①90ACB DCE ∠=∠=︒，①BCE ACD ∠=∠．又①AC BC =，DC EC =，①ACD BCE ≅△△，①CAF CBG ∠=∠．①ACF BCG ≅△△．①AF BG =，CF CG =，①CGF △是等腰直角三角形．①GF =．①BF AF BF BG GF -=-==．问题拓展 BF k AF -⋅．理由如下：①①BCA =①ECD =90°，①①BCE =①ACD ，①BC =kAC ，EC =kCD ，①①BCE ①①ACD ，①①EBC =①F AC ，过点C 作CM CF ⊥交BE 于点M ，则90FCM ACB ∠=∠=︒，①①BCM ①①ACF ，①BM :AF =BC :AC =MC :CF =k ，①BM =kAF ,MC =kCF ，①BF -BM =MF ，MF =①BF - kAF ．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，熟练掌握三角形全等的判定，三角形相似的判定，勾股定理是解题的关键．3．（2021·浙江中考真题）（证明体验）（1）如图1，AD 为ABC 的角平分线，60ADC ∠=︒，点E 在AB 上，AE AC =．求证：DE 平分ADB ∠．（思考探究）（2）如图2，在（1）的条件下，F 为AB 上一点，连结FC 交AD 于点G ．若FB FC =，2DG =，3CD =，求BD 的长．（拓展延伸）（3）如图3，在四边形ABCD 中，对角线AC 平分,2BAD BCA DCA ∠∠=∠，点E 在AC 上，EDC ABC ∠=∠．若5,2BC CD AD AE ===，求AC 的长．【答案】（1）见解析；（2）92；（3）163 【分析】（1）根据SAS 证明EAD CAD ≌△△，进而即可得到结论；（2）先证明EBD GCD ∽，得BD DE CD DG=，进而即可求解；（3）在AB 上取一点F ，使得AF AD =，连结CF ，可得AFC ADC ≌，从而得DCE BCF ∽，可得,CD CE CED BFC BC CF=∠=∠，4CE =，最后证明EAD DAC ∽，即可求解． 【详解】解：（1）①AD 平分BAC ∠，①EAD CAD ∠=∠，①,==AE AC AD AD ，①()EAD CAD SAS ≌，①60ADE ADC ∠=∠=︒，①18060EDB ADE ADC ∠=︒-∠-∠=︒，①BDE ADE =∠∠，即DE 平分ADB ∠；（2）①FB FC =，①EBD GCD ∠=∠，①60BDE GDC ∠=∠=︒，①EBD GCD ∽， ①BD DE CD DG=． ①EAD CAD ≌△△，①3DE DC ==．①2DG =， ①92BD =； （3）如图，在AB 上取一点F ，使得AF AD =，连结CF ．①AC 平分BAD ∠，①FAC DAC ∠=∠①AC AC =，①()AFC ADC SAS ≌，①,,CF CD ACF ACD AFC ADC =∠=∠∠=∠．①2ACF BCF ACB ACD ∠+∠=∠=∠，①DCE BCF ∠=∠．①EDC FBC ∠=∠，①DCE BCF ∽， ①,CD CE CED BFC BC CF=∠=∠．①5,BC CF CD ===，①4CE =．①180180AED CED BFC AFC ADC ∠=︒-∠=︒-∠=∠=∠，又①EAD DAC ∠=∠，①EAD DAC ∽ ①12EA AD AD AC ==， ①4AC AE =， ①41633AC CE ==． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，添加辅助线，构造全等三角形和相似三角形，是解题的关键．4．（2021·浙江中考真题）如图1，四边形ABCD 内接于O ，BD 为直径，AD 上存在点E ，满足AE CD =，连结BE 并延长交CD 的延长线于点F ，BE 与AD 交于点G ．（1）若DBC α∠=，请用含α的代数式表列AGB ∠．（2）如图2，连结,CE CE BG =．求证；EF DG =．（3）如图3，在（2）的条件下，连结CG ，2AD =．①若tan ADB ∠=，求FGD 的周长． ①求CG 的最小值．【答案】（1）90AGB α∠=︒-；（2）见解析；（3） 【分析】（1）利用圆周角定理求得90BAD ∠=︒，再根据AE CD =，求得ABG DBC α∠=∠=，即可得到答案； （2）由90BEC BDC α∠=∠=︒-，得到BEC AGB ∠=∠，从而推出CEF BGD ∠=∠，证得()CFE BDG ASA ≌，由此得到结论；（3）①连结DE ．利用已知求出2AB AD ==，证得DA CE =，得到2BG AD ==，利用Rt ABG 中，根据正弦求出160,12AGB AG BG ∠=︒==，求出EF 的长，再利用Rt DEG △中，60EGD ∠=︒，求出EG 及DE ，再利用勾股定理求出DF 即可得到答案；①过点C 作CH BF ⊥于H ，证明()BAD CHF AAS ≌，得到FH AD =，证明BHC CHF ∽，得到BH CH CH FH=，设GH x =，得到()222CH x =-，利用勾股定理得到222CG GH CH =+ ，求得2222(2)(1)3CG x x x =+-=-+，利用函数的最值解答即可．【详解】解：（1）①BD 为O 的直径，①90BAD ∠=︒，①AE CD =， ①ABG DBC α∠=∠=，①90AGB α∠=︒-．（2）①BD 为O 的直径，①90BCD ∠=︒，①90BEC BDC α∠=∠=︒-，①BEC AGB ∠=∠，①180,180CEF BEC BGD AGB ∠=︒-∠∠=︒-∠， ①CEF BGD ∠=∠．又①,CE BG ECF GBD =∠=∠，①()CFE BDG ASA ≌，①EF DG =．（3）①如图，连结DE ．①BD 为O 的直径，①90A BED ∠=∠=︒．在Rt ABD △中，tan ADB ∠=，2AD =，①AB AD ==．①AE CD =，①AE DE CD DE +=+，即DA CE =，①AD CE =．①CE BG =，①2BG AD ==．①在Rt ABG 中，sin 2AB AGB BG ∠==， ①160,12AGB AG BG ∠=︒==， ①1EF DG AD AG ==-=．①在Rt DEG △中，60EGD ∠=︒，①11,2222EG DG DE DG ====．在Rt FED 中，DF ==，①52FG DG DF +++=，①FGD ①如图，过点C 作CH BF ⊥于H ．①BDG CFE ≌，①,BD CF CFH BDA =∠=∠．①90BAD CHF ∠=∠=︒，①()BAD CHF AAS ≌．①FH AD =，①AD BG =，①FH BG =．①90BCF ∠=︒，①90BCH HCF ∠+∠=︒．①90BCH HBC ∠+∠=︒，①HCF HBC ∠=∠，①90BHC CHF ∠=∠=︒，①BHC CHF ∽， ①BH CH CH FH=． 设GH x =，①2BH x =-，①()222CH x =-． 在Rt GHC 中，222CG GH CH =+ ，①2222(2)(1)3CG x x x =+-=-+，当1x =时，2CG 的最小值为3，①CG【点睛】此题考查圆周角的定理，弧、弦和圆心角定理，全等三角形的判定及性质，勾股定理，三角函数，相似三角形的判定，函数的最值问题，是一道综合的几何题型，综合掌握各知识点是解题的关键．5．（2021·浙江中考真题）在扇形AOB 中，半径6OA =，点P 在OA 上，连结PB ，将OBP 沿PB 折叠得到O BP '．（1）如图1，若75O ∠=︒，且BO '与AB 所在的圆相切于点B ．①求APO ∠'的度数．①求AP 的长．（2）如图2，BO '与AB 相交于点D ，若点D 为AB 的中点，且//PD OB ，求AB 的长．【答案】（1）①60°；①6-（2）125π 【分析】(1)根据图像折叠的性质，确定角之间的关系，通过已知的角度来间接求所求角的角度；求AP 的长，先连接'OO ，先在Rt OBQ △中，求出OQ ；再在Rt OPQ 中，求出OP 即可得到答案；（2）要求AB 的长，扇形的半径已知，就转化成求AOB ∠的度数，连接'OO ，通过条件找到角之间的等量关系，再根据三角形内角和为180︒，建立等式求出AOB ∠，最后利用弧长的计算公式进行计算．【详解】解：（1）①如图1，'BO 为圆的切线'90OBO ∴∠=︒．由题意可得，'45O BP OBP ∠=∠=︒，'O PB OPB ∠=∠．180180754560OPB BOP OBP ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒'60O PB OPB ∴∠=∠=︒'60APO ∴∠=︒，①如图1，连结'OO ，交BP 于点Q ．则有'BP OO ⊥．在Rt OBQ △中，sin 45OQ OB =⨯︒=在Rt OPQ △中，sin 60OQ OP ==︒6AP OA OP ∴=-=-（2）如图2．连结OD ．设1a ∠=．①点D 为AB 的中点．BD AD ∴=21a ∴∠=∠=//PD OB321a ∴∠=∠=∠=．PD PO ∴=由题意可得，','PO PO O BOP =∠=∠．'PD PO ∴=''2PDO O BOP a ∴∠=∠=∠=又//,''2PD OB OBO PDO a ∴∠=∠=,4'2OB OD OBO a =∴∠=∠=43'180PDO ∠+∠+∠=︒，22180a a a ∴++=︒，解得36a =︒．72AOB ∴∠=︒726121801805n R AB πππ⨯∴===． 【点睛】本题考查了求线段的长度和弧长的长度问题，解题的关键是：根据题目中的条件，找到边角之间的等量关系，通过等量代换的思想间接求出所需要求的量．6．（2021·浙江中考真题）已知在ACD △中，Р是CD 的中点，B 是AD 延长线上的一点，连结,BC AP ．（1）如图1，若90,60,,ACB CAD BD AC AP ︒∠=︒∠===BC 的长．（2）过点D 作//DE AC ，交AP 延长线于点E ，如图2所示．若60,CAD BD AC ∠︒==，求证：2BC AP =．（3）如图3，若45CAD ∠=︒，是否存在实数m ，当BD mAC =时，2BC AP =？若存在，请直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）见解析；（3）存在，m =【分析】（1）先解直角三角形ABC 得出2AB AC =，从而得出ADC 是等边三角形，再解直角三角形ACP 即可求出AC 的长，进而得出BC 的长；（2）连结BE ，先利用AAS 证出≌CPA DPE ，得出AE =2PE ，AC =DE ，再得出ADC 是等边三角形，然后由SAS 得出≌CAB EBA ，得出AE =BC 即可得出结论；（3）过点D 作//DE AC ，交AP 延长线于点E ，连接BE ，过C 作CG ①AB 于G ，过E 作EN ①AB 于N ，由（2）得AE =2AP ，DE =AC ，再证明≌AEN BCG ，从而得出≌CAB EBA 得出DE =BE ，然后利用勾股定理即可得出m 的值．【详解】（1）解 90,60ACB CAD ∠=∠=︒︒，2cos60AC AB AC ︒==， BD AC =，AD AC =∴，ADC ∴是等边三角形，60ACD ∴∠=︒ Р是CD 的中点，AP CD ∴⊥，在Rt APC 中，AP =2sin 60AP AC ∴==︒，tan 60BC AC =︒=∴（2）证明：连结BE ，//DE AC ，CAP DEP ∴∠=∠，,CP DP CPA DPE =∠=∠，()CPA DPE AAS ∴≌，1,2AP EP AE DE AC ∴===， BD AC =，BD DE ∴=，又//DE AC ，60BDE CAD ∴∠=∠=︒，BDE ∴是等边三角形，,60BD BE EBD ∴=∠=︒BD AC =，AC BE ∴=，又60,CAB EBA AB BA ∠=∠=︒=，()CAB EBA SAS ∴≌，AE BC ∴=，2BC AP ∴=．（3）存在这样的,m m =过点D 作//DE AC ，交AP 延长线于点E ，连接BE ，过C 作CG ①AB 于G ，过E 作EN ①AB 于N ，则45∠=∠=︒BDE CAD ，sin 45∴=⨯CG AC ，sin 45=⨯EN DE由（2）得AE =2AP ，DE =AC ，①CG =EN ，①2BC AP =，①AE =BC ，①①ANE =①BGC =90°，≌∴AEN BCG ，①①EAN =①CBG①AE =BC ，AB =BA ，①≌CAB EBA①AC =BE ，①DE =BE ，①①EDB =①EBD =45°，①①DEB =90°，①=BD ，①BD mAC = ①m =【点睛】本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形，全等三角形的性质与判定，等边三角形和等腰三角形的性质、勾股定理，解题的关键是合理添加辅助线，有一定的难度．7．（2021·安徽中考真题）如图1，在四边形ABCD 中，ABC BCD ∠=∠，点E 在边BC 上，且//AE CD ，//DE AB ，作CF //AD 交线段AE 于点F ，连接BF ．（1）求证：ABF EAD △≌△；（2）如图2，若9AB =，5CD =，ECF AED ∠=∠，求BE 的长；（3）如图3，若BF 的延长线经过AD 的中点M ，求BE EC的值．【答案】（1）见解析；（2）6；（3）1【分析】（1）根据平行线的性质及已知条件易证ABE AEB ∠=∠，DCE DEC ∠=∠，即可得AB AE =，DE DC =；再证四边形AFCD 是平行四边形即可得AF CD =，所以AF DE =，根据SAS 即可证得ABF EAD △≌△；（2）证明EBF EAB ∽△△，利用相似三角形的性质即可求解；（3）延长BM 、ED 交于点G ．易证ABE DCE ∽，可得AB AE BE DC DE CE==；设1CE =，BE x =，DC DE a ==，由此可得AB AE ax ==，AF CD a ==；再证明MAB MDG △≌△，根据全等三角形的性质可得DG AB ax ==．证明FAB FEG △∽△，根据相似三角形的性质可得FA AB FE EG =，即(1)(1)a ax a x a x =-+，解方程求得x 的值，继而求得BE EC的值． 【详解】（1）证明：//AE CD ，AEB DCE ∴∠=∠；//DE AB ，ABE DEC ∴∠=∠，12∠=∠，ABC BCD ∠=∠，ABE AEB ∴∠=∠，DCE DEC ∠=∠，AB AE =∴，DE DC =，//AF CD ，//AD CF ，∴四边形AFCD 是平行四边形AF CD ∴=在ABF 与EAD 中．12AB EAAF ED=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABF EAD SAS ∴△≌△（2）ABF EAD △≌△，BF AD ∴=，在AFCD □中，AD CF =，BF CF ∴=，FBC FCB ∴∠=∠，又2FCB ∠=∠，21∠=∠，1FBC ∴∠=∠，在EBF △与EAB 中．1EBF BEF AEB∠=∠⎧⎨∠=∠⎩，EBF EAB ∴△∽△；EBEFEA EB ∴=；9AB =，9AE ∴=；5CD =，4EF ∴=，49EB EB∴=， 6BE ∴=或6-（舍）； （3）延长BM 、ED 交于点G ．ABE 与DCE 均为等腰三角形，ABC DCE ∠=∠， ABE DCE ∴△∽△，AB AE BE DC DE CE∴==， 设1CE =，BE x =，DC DE a ==， 则AB AE ax ==，AF CD a ==， (1)EF a x ∴=-，//AB DG ，3G ∴∠=∠；在MAB △与MDG 中，345G MA MD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()MAB MDG AAS ∴△≌△；DG AB ax ∴==．(1)EG a x ∴=+；//AB EG ，FAB FEG ∴△∽△，FA AB FE EG ∴=， (1)(1)a ax a x a x ∴=-+， (1)1x x x -∴=+，2210x x ∴--=，2(1)2x ∴-=，1x ∴=±11x ∴=，21x =1BE EC∴=+ 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质及判定、相似三角形的性质及判定，熟练判定三角形全等及相似是解决问题的关键．8．（2021·四川中考真题）在等腰ABC 中，AB AC =，点D 是BC 边上一点（不与点B 、C 重合），连结AD ．（1）如图1，若60C ∠=°，点D 关于直线AB 的对称点为点E ，结AE ，DE ，则BDE ∠=________；（2）若60C ∠=°，将线段AD 绕点A 顺时针旋转60︒得到线段AE ，连结BE ．①在图2中补全图形；①探究CD 与BE 的数量关系，并证明；（3）如图3，若AB AD k BC DE ==，且ADE C ∠=∠，试探究BE 、BD 、AC 之间满足的数量关系，并证明．【答案】（1）30°；（2）①见解析；①CD BE =；见解析；（3）()AC k BD BE =+，见解析【分析】（1）先根据题意得出①ABC 是等边三角形，再利用三角形的外角计算即可（2）①按要求补全图即可①先根据已知条件证明①ABC 是等边三角形，再证明AEB ADC △≌△，即可得出CD BE =（3）先证明AC BC AD DE=，再证明ACB ADE △∽△，得出BAC EAD ∠=∠，从而证明AEB ADC △≌△，得出BD BE BC +=，从而证明()AC k BD BE =+【详解】解：（1）①AB AC =，60C ∠=°①①ABC 是等边三角形①①B =60°①点D 关于直线AB 的对称点为点E①AB ①DE ，①BDE ∠=30故答案为：30；（2）①补全图如图2所示；①CD 与BE 的数量关系为：CD BE =；证明：①AB AC =，60BAC ∠=︒．①ABC 为正三角形，又①AD 绕点A 顺时针旋转60︒，①AD AE =，60EAD ∠=︒，①60BAD DAC ∠+∠=︒，60BAD BAE ∠+∠=︒，①BAE DAC ∠=∠，①AEB ADC △≌△，①CD BE =．（3）连接AE ．①AB AD k BC DE ==，AB AC =，①AC AD BC DE=． ①AC BC AD DE =． 又①ADE C ∠=∠，①ACB ADE △∽△，①BAC EAD ∠=∠．①AB AC =，①AE AD =，①BAD DAC BAD BAE ∠+∠=∠+∠，①DAC BAE ∠=∠，①AEB ADC △≌△，CD BE =．①BD DC BC +=，①BD BE BC +=．又①AC k BC=， ①()AC k BD BE =+．【点睛】本题考查相似三角形的证明及性质、全等三角形的证明及性质、三角形的外角、轴对称，熟练进行角的转换是解题的关键，相似三角形的证明是重点9．（2021·山东中考真题）如图1，O 为半圆的圆心，C 、D 为半圆上的两点，且BD CD =．连接AC 并延长，与BD 的延长线相交于点E ．（1）求证：CD ED =；（2）AD 与OC ，BC 分别交于点F ，H ．①若CF CH =，如图2，求证：CF AF FO AH ⋅=⋅；①若圆的半径为2，1BD =，如图3，求AC 的值．【答案】（1）见解析；（2）①见解析；①72AC =【分析】（1）连接BC ，根据90ACB BCE ∠=∠=︒，90ECD BCD ∠+∠=︒且BD CD =，则E ECD ∠=∠，即可推导出CD ED =；（2）①CF CH =，则AFO CHF ∠=∠，又BD CD =，CAD BAD ∠=∠，则AFO AHC △∽△，进而推导出CF AF FO AH ⋅=⋅；①连接OD 交BC 于G ，设OG x =，则2DG x =-，根据在Rt OGB △和Rt BGD △中列式222221(2)x x -=--，进而求得x 的值，再根据中位线定理求出AC 的长．【详解】证明：（1）连接BC ，①AB 为直径①90ACB BCE ∠=∠=︒ 90ECD BCD ∠+∠=︒①BD CD =①EBC BCD ∠=∠①E ECD ∠=∠①CD ED =．（2）①①CF CH =①CFH CHF ∠=∠又①AFO CFH ∠=∠①AFO CHF ∠=∠又①BD CD =①CAD BAD ∠=∠①AFO AHC △∽△ ①AF OF AH CH= ①AF OF AH CF = ①CF AF OF AH ⋅=⋅①连接OD 交BC 于G ．设OG x =，则2DG x =-①CD BD =①COD BOD ∠=∠又①OC OB =①OD BC ，CG BG =在Rt OGB △和Rt BGD △中2222 21(2)x x -=--①74x=即74OG=①OA OB=①OG是ABC的中位线①12 OG AC=①72 AC=．【点睛】本题考查了等弧对等角、相似三角形、等腰三角形、中位线等有关知识点，属于综合题型，借助辅助线是解决这类问题的关键．10．（2021·江苏中考真题）在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．（1）ABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一点，且1AE=，小亮以BE为边作等边三角形BEF，如图1，求CF的长；（2）ABC是边长为3的等边三角形，E是边AC上的一个动点，小亮以BE为边作等边三角形BEF，如图2，在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长；（3）ABC是边长为3的等边三角形，M是高CD上的一个动点，小亮以BM为边作等边三角形BMN，如图3，在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长；（4）正方形ABCD 的边长为3，E 是边CB 上的一个动点，在点E 从点C 到点B 的运动过程中，小亮以B 为顶点作正方形BFGH ，其中点F 、G 都在直线AE 上，如图4，当点E 到达点B 时，点F 、G 、H 与点B 重合．则点H 所经过的路径长为______，点G 所经过的路径长为______．【答案】（1）1；（2）3；（3（4）34π；4 【分析】（1）由ABC ∆、BEF ∆是等边三角形，BA BC =，BE BF =， ABE CBF ∠=∠，可证ABE CBF ∆∆≌即可；（2）连接CF ，ABC ∆、BEF ∆是等边三角形，可证ABE CBF ∆∆≌，可得BCF ABC ∠=∠，又点E 在C 处时，CF AC =，点E 在A 处时，点F 与C 重合．可得点F 运动的路径的长3==AC ；（3）取BC 中点H ，连接HN ，由ABC ∆、BMN ∆是等边三角形，可证≌∆∆DBM HBN ，可得NH BC ⊥．又点M 在C 处时，==HN CD M 在D 处时，点N 与H 重合．可求点N 所经过的路径的长==CD （4）连接CG ,AC ，OB ，由①CGA =90°，点G 在以AC 中点为圆心，AC 为直径的BC 上运动，由四边形ABCD 为正方形，BC 为边长，设OC =x ，由勾股定理222CO BO BC +=即，可求x =G 所经过的路径长为BC 长=4，点H 所经过的路径长为BN 的长34π=． 【详解】 解:（1）①ABC ∆、BEF ∆是等边三角形，①BA BC =，BE BF =，60∠=∠=︒ABC EBF ．①∠+∠=∠+∠ABE CBE CBF CBE ，①ABE CBF ∠=∠，①ABE CBF ∆∆≌，①1CF AE ==；（2）连接CF ，①ABC ∆、BEF ∆是等边三角形，①BA BC =，BE BF =，60∠=∠=︒ABC EBF ．①∠+∠=∠+∠ABE CBE CBF CBE ，①ABE CBF ∠=∠，①ABE CBF ∆∆≌，①CF AE =，60∠=∠=︒BCF BAE ，①60ABC ∠=︒，①BCF ABC ∠=∠，①//CF AB ，又点E 在C 处时，CF AC =，点E 在A 处时，点F 与C 重合．①点F 运动的路径的长3==AC ；（3）取BC 中点H ，连接HN ， ①12BH BC =， ①12=BH AB ， ①CD AB ⊥， ①12BD AB =，①BH BD =，①ABC ∆、BMN ∆是等边三角形，①BM BN =，60∠=∠=︒ABC MBN ，①∠+∠=∠+∠DBM MBH HBN MBH ，①∠=∠DBM HBN ，①≌∆∆DBM HBN ，①=HN DM ，90∠=∠=︒BHN BDM ，①NH BC ⊥，又点M 在C 处时，2==HN CD ，点M 在D 处时，点N 与H 重合，①点N 所经过的路径的长==CD （4）连接CG ,AC ，OB ，①①CGA =90°， ①点G 在以AC 中点为圆心，AC 为直径的BC 上运动，①四边形ABCD 为正方形，BC 为边长，①①COB =90°，设OC =x ，由勾股定理222CO BO BC +=即2223x x +=，①x =点G 所经过的路径长为BC 长=124π⨯=⎝⎭， 点H 在以BC 中点为圆心，BC 长为直径的弧BN 上运动，点H 所经过的路径长为BN 的长度，①点G 运动圆周的四分之一，①点H 也运动圆周的四分一，点H 所经过的路径长为BN 的长=1332424ππ⨯⨯=，故答案为34π．【点睛本题考查等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，90°圆周角所对弦是直径，圆的弧长公式，掌握等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，90°圆周角所对弦是直径，圆的弧长公式是解题关键．11．（2021·吉林中考真题）实践与探究操作一：如图①，已知正方形纸片ABCD ，将正方形纸片沿过点A 的直线折叠，使点B 落在正方形ABCD 的内部，点B 的对应点为点M ，折痕为AE ，再将纸片沿过点A 的直线折叠，使AD 与AM 重合，折痕为AF ，则EAF ∠= 度．操作二：如图①，将正方形纸片沿EF 继续折叠，点C 的对应点为点N ．我们发现，当点E 的位置不同时，点N 的位置也不同．当点E 在BC 边的某一位置时，点N 恰好落在折痕AE 上，则∠=AEF 度． 在图①中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：（1）设AM 与NF 的交点为点P ．求证ANP FNE △≌△：．（2）若AB =AP 的长为 ．【答案】操作一：45°，操作二：60°；（1）证明见解析；（2）2【分析】操作一：直接利用折叠的性质，得出两组全等三角形，从而得出BAE EAM ∠=∠,,MAF FAD ,从而得出①EAF 的值；操作二：根据折叠的性质得出,ABEAME CEF NEF ,从而得出BEA AEF FEC ，即可求得AEF ∠的度数；（1）首先利用60AEF ∠=︒ ,得出30,15NAP PAF ,则45NAF ∠=︒,从而得出①ANF 为等腰直角三角形，即可证得ANP FNE △≌△；（2）利用三角函数或者勾股定理求出BE 的长，则BE EM =,设DF =x ，那么FC x ，在Rt ①EFC 中，利用勾股定理得出DF 的长，也就是MF 的长，即可求得EF 的长，进而可得结果．【详解】操作一：45°，证明如下：①ABE △折叠得到AME △ ,ADF 折叠得到AMF ,①,ABEAME ADF AMF , ①11,22BAEMAE BAM MAF DAF MAD , ①111()222EAF EAM MAF BAM MAD BAM MAD190452=⨯︒=︒, 故填：45°；操作二：60°，证明如下：①ABE AME ， ①BEA AEM ,又①CEF △沿着EF 折叠得到ENF △ ,①CEF NEF ， ①NEF FEC , ①1603BEAAEF FEC BEC , 故填：60°；（1）证明：由上述证明得CEF NEF ,60NEC CEF , ①NFE CFE ,CENF ①四边形ABCD 为正方形，①①C =①D =90°，①30CFE NFE ,90ENF ANF , 又①ADFAMF , ①90D AMF ,在ANP 和PMF △中，①90,ANPPMF NPA MPF , ①30NAPMFP , ①30BAENAP , ①15MAFFAD ， ①301545NAF NAP PAF ,①ANF 为等腰直角三角形，即AN =NF ,在ANP 和FNE 中：①NAP NFE AN NF ANP ENF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩①()ANP FNE ASA △≌△（2）由题可知ABE △是直角三角形，30BAE ∠=︒, ①3tan 33BE BE BAEAB , 解得BE =1,①BE =EM =1,31EC ,设DF =x，则MF =x ，CF x ，在Rt ①CEF 中，222CECF EF +=2221)(3)(1)x x，解得x =3， 则1232x EF ，①()ANP FNE ASA △≌△①AP =EF =2-．【点睛】本题考查正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定，勾股定理，解题的关键是熟练运用折叠的性质，找出全等三角形．12．（2021·湖南中考真题）如图，在ABC 中，AB AC =，N 是BC 边上的一点，D 为AN 的中点，过点A 作BC 的平行线交CD 的延长线于T ，且AT BN =，连接BT ．（1）求证：BN CN =；（2）在如图中AN 上取一点O ，使AO OC =，作N 关于边AC 的对称点M ，连接MT 、MO 、OC 、OT 、CM 得如图．①求证：TOM AOC ∽；①设TM 与AC 相交于点P ，求证：1//,2PD CM PD CM =． 【答案】(1)见解析；(2)①见解析，①见解析．【分析】（1）先用//AT BN ，且AT BN =证明出四边形ATBN 是平行四边形，得到①TAD ①①CND ，用对应边相等与等量代换，从而得出结论．（2）①连接AM 、MN ，利用矩形的性质与等腰三角形的性质，证明出①OCM 是直角三角形，证明出Rt ①OAT ①Rt ①OCM ，得到对应角相等，则得到答案；①连接OP ，由①中TOM AOC ∽，得到①OTM =①OAP ，点O 、T 、A 、P 共圆，由直径所对的圆周角为直角，证明出①OPT =90①，再根据等腰三角形的三线合一性得出结论．【详解】证明：（1）①//AT BC ，且AT BN =①//AT BN ，且AT BN =，①四边形ATBN 是平行四边形，①//AN TB ，①①DTA =①DCN ，①①ADT =①NDC ，①点D 为AN 的中点，①AD =ND ，①①TAD ①①CND （AAS ）①TA=CN，①AT BN，①BN=CN，（2）①如图所示，连接AM、MN，①点N关于边AC的对称点为M，①①ANC①①AMC，①①ACN=①ACM，①AB=AC，点N为AC的中点，①平行四边形ATBN是矩形，①①TAB=①ABN=①ACN=①ACM，①BAN=①MAC=①CAN，AT=BN=NC=MC，①OA=OC，①①CAN=①ACO，①①TAB+①BAN=①ACM+①ACO=90①，①①OAT=①OCM=90①，在Rt①OAT和Rt①OCM中，①AT=CM，①OAT=①OCM ，OA=OC，①Rt①OAT①Rt①OCM（SAS），①①AOT=①COM，OT=OM，①①AOT+①AOM=①COM+①AOM，①①TOM=①AOC①OA=OC，OT=OM，①OT OM OA OC=，①TOM AOC∽；①如图所示，连接OP，①TOM AOC∽，①①OTM=①OAP，①点O、T、A、P共圆，①①OAT=90①，①OT为圆的直径，①①OPT=90①，①OT=OM，①点P为TM的中点，①由（1）得①TAD①①CND，①TD=CD，①点D为TC的中点，①DP为①TCM的中位线，①1//,2PD CM PD CM．【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质、以及相似三角形的判定与性质、圆中直径的性质，关键在于通过等量代换，换出角相等，证明出直角三角形全等，再证明三角形相似．13．（2021·浙江台州市·中考真题）如图，BD是半径为3的①O的一条弦，BD＝，点A是①O上的一个动点（不与点B，D重合），以A，B，D为顶点作平行四边形ABCD．（1）如图2，若点A是劣弧BD的中点．①求证：平行四边形ABCD是菱形；①求平行四边形ABCD的面积．（2）若点A运动到优弧BD上，且平行四边形ABCD有一边与①O相切．①求AB的长；①直接写出平行四边形ABCD对角线所夹锐角的正切值．【答案】①证明见解析；①（2）①AB；【分析】=，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得证；①连接AO，（1）①利用等弧所对的弦相等可得AD AB交BD于点E，连接OD，根据垂径定理可得DE BE==OE的长，即可求解；（2）①分情况讨论当CD与O相切时、当BC与O相切时，利用垂径定理即可求解；①根据等面积法求出AH的长度，利用勾股定理求出DH的长度，根据正切的定义即可求解．【详解】解：（1）①①点A是劣弧BD的中点，①AD AB=，①AD AB=，①四边形ABCD是平行四边形，①平行四边形ABCD是菱形；①连接AO，交BD于点E，连接OD，，①点A 是劣弧BD 的中点，OA 为半径，①OA BD ⊥，OA 平分BD ，①DE BE ==①平行四边形ABCD 是菱形，①E 为两对角线的交点，在Rt ODE △中，1OE ==,①2AE =，①122ABCD S BD AE =⋅⨯=； （2）①如图，当CD 与O 相切时，连接DO 并延长，交AB 于点F ，①CD 与O 相切，①DF CD ⊥，①2AB BF =，①四边形ABCD 是平行四边形，①//AB CD ，①DF AB ⊥，在Rt BDF △中，()2222323BF BD DF OF =-=-+，在Rt BOF △中，22229BF BO OF OF =-=-，①()223239OF OF -+=-，解得73OF =，①BF =①2AB BF == 如图，当BC 与O 相切时，连接BO 并延长，交AD 于点G ，同理可得AG DG ==73OG =，所以AB ==综上所述，AB ①过点A 作AH BD ⊥，，由（2）得：7163,33BD AD BG ===+= 根据等面积法可得1122BD AH AD BG ⋅=⋅， 解得329AH =，在在Rt ADH 中，DH ==①HI ==①tan AH AIH HI ∠== 【点睛】本题考查垂径定理、平行四边形的判定与性质、解直角三角形等内容，掌握分类讨论的思想是解题的关键． 14．（2021·青海中考真题）在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，若身旁没有量角器或三角尺，又需要作60,30,15︒︒︒等大小的角，可以采用如下方法：操作感知：第一步：对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展开（如图13-1）． 第二步：再一次折叠纸片，使点A 落在EF 上，并使折痕经过点B ，得到折痕BM ，同时得到线段BN （如图13-2）．猜想论证：（1）若延长MN 交BC 于点P ，如图13-3所示，试判定BMP 的形状，并证明你的结论．拓展探究：（2）在图13-3中，若AB a BC b ==，，当a b ，满足什么关系时，才能在矩形纸片ABCD 中剪出符（1）中的等边三角形BMP ？【答案】(1)BMP 是等边三角形，理由见解析；（2）a ≤，理由见解析 【分析】（1）连接AN ，由折叠性质可得ABN 是等边三角形， 30PBN ∠=︒，30ABM NBM ∠=∠=︒，然后可得到 60MBP BMP ∠=∠=︒，即可判定 BMP 是等边三角形．（2）由折叠可知BC BP ≥，由（1）可知BP BM =，利用 30︒的三角函数即可求得．【详解】（1）解：BMP 是等边三角形，证明如下：连接AN ．由折叠可知：AB BN =，EF 垂直平分AB ．①AN BN =，①AN AB BN ==，①ABN 为等边三角形，①60ABN ∠=︒，①30PBN ∠=︒，①30ABM NBM ∠=∠=︒，90BNM BAM ∠=∠=︒，①60BMP ∠=︒，①60MBP BMP BPM ∠=∠=∠=︒，①BMP 是等边三角形．（2）解：方法一：要在矩形纸片ABCD 上剪出等边BMP ，则BC BP ≥，在Rt BNP △中，BN BA a ==，30PBN ∠=︒，①cos30a BP ==︒， ①BC BP ≥，①b ≥，即a ≤，当a ≤或（b a ≥）时，在矩形纸片上能剪出这样的等边BMP ． 方法二：要在矩形纸片ABCD 上剪出等边BMP ，则BC BP ≥，在Rt BNP △中，30NBP ∠=︒，BN AB a ==，设NP x =，则2BP x =，①222BP NP BN -=，即()2222x x a -=，得3x a =，①BP =， ①BC BP ≥，①3b a ≥，即2a ≤，当a ≤（或b a ≥）时，在矩形纸片上能剪出这样的等边BMP ． 【点睛】本题考查了折叠的性质，及锐角三角函数的应用，正确理解折叠性质灵活运用三角函数解直角三角形是解本题的关键．15．（2021·海南中考真题）如图1，在正方形ABCD 中，点E 是边BC 上一点，且点E 不与点B C 、重合，点F 是BA 的延长线上一点，且AF CE =．（1）求证：DCE DAF ≌；（2）如图2，连接EF ，交AD 于点K ，过点D 作DH EF ⊥，垂足为H ，延长DH 交BF 于点G ，连接,HB HC ．①求证：HD HB =；①若DK HC ⋅=，求HE 的长．【答案】（1）见解析；（2）①见解析；①1HE =．【分析】（1）直接根据SAS 证明即可；（2）①根据（1）中结果及题意，证明DFE △为等腰直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线即可证明HD HB =；①根据已知条件，先证明DCH BCH ≌，再证明DKF HEC ∽，然后根据等腰直角三角形的性质即可求出HE 的长．【详解】（1）证明：①四边形ABCD 是正方形，,90CD AD DCE DAF ∴=∠=∠=︒．又CE AF =，DCE DAF ∴≌．（2）①证明；由（1）得DCE DAF ≌，,DE DF CDE ADF ∴=∠=∠．90FDE ADF ADE CDE ADE ADC ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒．DFE ∴为等腰直角三角形．又DH EF ⊥，∴点H 为EF 的中点．12HD EF ∴=． 同理，由HB 是Rt EBF △斜边上的中线得，12HB EF =． HD HB ∴=．①①四边形ABCD 是正方形，CD CB ∴=．又,HD HB CH CH ==，DCH BCH ∴≌．45DCH BCH ∴∠=∠=︒．又DEF 为等腰直角三角形，45DFE ∴∠=︒．HCE DFK ∴∠=∠．四边形ABCD 是正方形，//AD BC ∴．DKF HEC ∴∠=∠．DKF HEC ∴∽．DK DF HE HC∴=． DK HC DF HE ∴⋅=⋅．又①在等腰直角三角形DFH 中，DF ==2DK HC DF HE ∴⋅=⋅==1HE ∴=．【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线以及等腰直角三角形的性质，熟知图形的性质与判定是解决本题的关键．16．（2021·甘肃中考真题）问题解决：如图1，在矩形ABCD 中，点,E F 分别在,AB BC 边上，,DE AF DE AF =⊥于点G ．（1）求证：四边形ABCD 是正方形；（2）延长CB 到点H ，使得BH AE =，判断AHF △的形状，并说明理由．类比迁移：如图2，在菱形ABCD 中，点,E F 分别在,AB BC 边上，DE 与AF 相交于点G ，,60,6,2DE AF AED AE BF =∠=︒==，求DE 的长．【答案】问题解决：（1）见解析；（2）等腰三角形，理由见解析；类比迁移：8【分析】问题解决：（1）证明矩形ABCD 是正方形，则只需证明一组邻边相等即可．结合DE AF ⊥和90DAE ∠=︒可知BAF ADG ∠=∠，再利用矩形的边角性质即可证明ABF DAE ≌，即AB AD =，即可求解； （2）由（1）中结论可知AE BF =，再结合已知BH AE =，即可证明ABH DAE △≌△，从而求得AHF △是等腰三角形；类比迁移：由前面问题的结论想到延长CB 到点H ，使得6BH AE ==，结合菱形的性质，可以得到ABH DAE ∆∆≌，再结合已知60AED ∠=︒可得等边AHF ∆，最后利用线段BF 长度即可求解．【详解】解：问题解决：（1）证明：如图1，①四边形ABCD 是矩形，90ABC DAB ∴∠=∠=︒．90BAF GAD ∴∠+∠=︒．,90DE AF ADG GAD ⊥∴∠+∠=．BAF ADG ∴∠=∠．又,,AF DE ABF DAE AB AD =∴∴=≌．①矩形ABCD 是正方形．（2）AHF △是等腰三角形．理由如下：,90,AB AD ABH DAE BH AE =∠=∠=︒=，,ABH DAE AH DE ∴∴=≌．又,DE AF AH AF =∴=，即AHF △是等腰三角形．类比迁移：如图2，延长CB 到点H ，使得6BH AE ==，连接AH ．①四边形ABCD 是菱形，,,AD BC AB AD ABH BAD ∴=∴∠=∠∥．,BH AE ABH DAE =∴∆≌．,60AH DE AHB DEA ∴=∠=∠=︒．又,DE AF AH AF =∴=．60,AHB AHF ∠=︒∴是等边三角形，AH HF ∴=，628DE AH HF HB BF ∴===+=+=．【点睛】本题考查正方形的证明、菱形的性质、三角形全等的判断与性质等问题，属于中档难度的几何综合题．理解题意并灵活运用，做出辅助线构造三角形全等是解题的关键．17．（2021·四川中考真题）如图1，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 是AB 边上一点（含端点A 、B ），过点B 作BE 垂直于射线CD ，垂足为E ，点F 在射线CD 上，且EF BE =，连接AF 、BF ．（1）求证：ABF CBE ∽；（2）如图2，连接AE ，点P 、M 、N 分别为线段AC 、AE 、EF 的中点，连接PM 、MN 、PN ．求PMN∠的度数及MN PM的值；（3）在（2）的条件下，若BC =PMN 面积的最大值．【答案】（1）证明见解析；（2）135PMN ∠=；MN PM（3）14 【分析】（1）根据两边对应成比例，夹角相等判定即可． （2）PMN ∠的值可以根据中位线性质，进行角转换，通过三角形内角和定理求解即可，MN PM 的比值转换为AF CE的比值即可求得. （3）过点P 作PQ 垂直于NM 的延长线于点Q ，12PMN S MN PQ =△，将相关线段关系转化为CE ，可得关系218PMN S CE =△，观察图象，当CE BC == 【详解】（1）证明：①90ACB ∠=︒，AC BC =。
2021年中考数学压轴题100题精选(附答案解析)
【003】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B （4，0）、C （8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax 2+bx 过A 、C 两点.(1)直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)动点P 从点A 出发．沿线段AB 向终点B 运动，同时点Q 从点C 出发，沿线段CD 向终点D 运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t 秒.过点P 作PE ⊥AB 交AC 于点E ，①过点E 作EF ⊥AD 于点F ，交抛物线于点G.当t 为何值时，线段EG 最长?②连接EQ ．在点P 、Q 运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ 是等腰三角形? 请直接写出相应的t 值。
【004】如图，已知直线128:33l y x =+与直线2:216l y x =-+相交于点C l l 12，、分别交x 轴于A B 、两点．矩形DEFG 的顶点D E 、分别在直线12l l 、上，顶点F G 、都在x 轴上，且点G 与点B 重合．（1）求ABC △的面积；（2）求矩形DEFG 的边DE 与EF 的长；（3）若矩形DEFG 从原点出发，沿x 轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移， 设移动时间为(012)t t ≤≤秒，矩形DEFG 与ABC △重叠部分的面积为S ，求S 关t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围．A DB EO C F x y1l 2l （G ） （第4题）【005】如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，，60B =︒∠. （1）求点E 到BC 的距离； （2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP x =. ①当点N 在线段AD 上时（如图2），PMN △的形状是否发生改变？若不变，求出PMN △的周长；若改变，请说明理由；②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使PMN △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由.【006】如图13，二次函数)0(2<++=p q px x y 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，-1），ΔABC 的面积为45。
2021年安徽省中考数学专题 —— 二次函数压轴题
安徽省中考数学专题---二次函数压轴题一、解答题（本大题共20小题，共224.0分）1.已知二次函数y=−x2+bx+c和一次函数y=mx+n的图象都经过点A(−3,0)，且二次函数y=−x2+bx+c的图象经过点B(0,3)，一次函数y=mx+n的图象经过点C(0,−1)．(1)分别求m、n和b、c的值；(2)点P是二次函数y=−x2+bx+c的图象上一动点，且点P在x轴上方，写出△ACP的面积S关于点P的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．2.有一家苗圃计划种植桃树和柏树，根据市场调查与预测，种植桃树的利润y1(万元)与投资成本x(万元)满足如图所示的二次函数y1=ax2；种植柏树的利润y2(万元)与投资成本x(万元)满足如图所示的正比例函数y2=kx．(1)分别求出利润y1(万元)和利润y2(万元)关于投资成本x(万元)的函数关系式；(2)如果这家苗圃以10万元资金投入种植桃树和柏树，桃树的投资成本不低于6万元且不高于8万元，苗圃至少获得多少利润？3.合肥市在党中央实施“精准扶贫”政策的号召下，大力开展科技扶贫工作，帮助农民组建农副产品销售公司，某农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y(万元)与年产量x(万件)之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分(如图①所示)；该产品的销售单价z(元/件)与年销售量x(万件)之间的函数图象是如图②所示的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获毛利润为W万元．(毛利润=销售额−生产费用)(1)请直接写出y与x以及z与x之间的函数关系式；(写出自变量x的取值范围)(2)求W与x之间的函数关系式；(写出自变量x的取值范围)；并求年产量多少万件时，所获毛利润最大？(3)由于受资金的影响，今年投入生产的费用不会超过360万元，今年最多可获得多少万元的毛利润？4.如图，已知抛物线y=x2+bx+c过点A(0,−2)，B(−√2,0)，G(x1,y1)，H(x2,y2)是抛物线上任意不同两点．(1)求抛物线的解析式；(2)若直线GH与直线y=2x平行，求y1+y2的最小值．5.已知：二次函数y=x2−2mx−m2+4m−2的对称轴为l，抛物线与y轴交于点C，顶点为D．(1)判断抛物线与x轴的交点情况；(2)如图1，当m=1时，点P为第一象限内抛物线上一点，且△PCD是以PD为腰的等腰三角形，求点P的坐标；(3)如图2，直线y=14mx和抛物线交于点A、B 两点，与l交于点M，且MO=MB，点Q(x0,y0)在抛物线上，当m>1时，ℎ+12≤−my02−6my0时，求h的最大值．6.某水果店计划购进甲、乙两种高档水果共400千克，每千克的售价、成本与购进数量(千克)之间关系如表：每千克售价(元)每千克成本(元)甲−0.1x+10050乙−0.2x+120(0<x≤200)606000x+50(200<x≤400)(1)若甲、乙两种水果全部售完，求水果店获得总利润y(元)与购进乙种水果x(千克)之间的函数关系式(其他成本不计)；(2)若购进两种水果都不少于100千克，当两种水果全部售完，水果能获得的最大利润．7.经销商购进某种商品，当购进量在20千克～50千克之间(含20千克和50千克)时，每千克进价是5元；当购进量超过50千克时，每千克进价是4元，此种商品的日销售量y(千克)与销售价x(元/千克)的影响较大，该经销商试销一周后获得如下数据：解决下列问题：(1)求y关于x的一次函数表达式；(2)若每天购进的商品能够全部销售完，且当日销售价不变，日销售利润w元，那么销售价定为多少时，该经销商销售此种商品的当日利润最大？最大利润是多少？此时购进量应该为多少千克？【注：当日利润=(销售价−进货价)×日销售量】8.为鼓励下岗工人再就业，某地市政府规定，企业按成本价提供产品给下岗人员自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担，老李按照政策投资销售本市生产的一种儿童面条．已知这种儿童面条的成本价为每袋12元，出厂价为每袋16元，每天销售y(袋)与销售单价x(元)之间的关系近似满足y=−3x+90．(1)老李在开始创业的第1天将销售单价定为17元，那么政府这一天为他承担的总差价为多少元？(2)设老李获得的利润为w(元)，当销售单价为多少元时，每天可获得最大利润？(3)物价部门规定，这种面条的销售单价不得高于24元，如果老李想要每天获得的利润不低于216元，那么政府每天为他承担的总差价最少为多少元？9.某市政府为了扶贫，鼓励当地农民养殖小龙虾，如图：张叔叔顺着圩梗AN、AM(AN=3√2m,AM=10m,∠MAN=45°)，用8m长的渔网搭建了一个养殖水域(即四边形ABCD)，圩梗边不需要渔网，AB//CD，∠C=90°.设BC=xm，四边形ABCD面积为S(m2).(1)求出S关于x的函数表达式及x的取值范围；(2)x为何值时，围成的养殖水域面积最大？最大面积是多少？10.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2−2x+c与直线y=kx+b都经过A(0,−3)、B(3,0)两点，该抛物线的顶点为C．(1)求此抛物线和直线AB的解析式；(2)设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点M，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由；(3)设点P是直线AB下方抛物线上的一动点，当△PAB面积最大时，求点P的坐标，并求△PAB面积的最大值．11.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−12x2+bx+c与x轴交于A，B(4,0)两点，与y轴交于点C(0,4)．(1)求此抛物线的函数表达式及点A的坐标；(2)已知点D(1,−1)，在直线AD上方的抛物线上有一动点P(x,y)(1<x<4)，求△ADP面积的最大值．12.随着时代的不断发展，新颖的网络购进逐渐融入到人们的生活中，“拼一拼”电商平台上提供了一种拼团购买方式，当拼团(单数不超过15单)成功后商家将会让利一定的额度给予顾客实惠．现在某商家准备出手一种每件成本25元/件的新产品，经市场调研发现，单价y(单位：元)、日销售量m(单位：件)与拼单数x(单位：单)之间存在着如表的数量关系：拼单数x(单位：单)24812单价y(单位：元)34.5034.0033.0032.00日销售量m(单位：件)687692108请根据以上提供的信息解决下列问题：(1)请直接写出单价y和日销售量m分别与拼单数x之间的一次函数关系式；(2)拼单数设置为多少单时的日销售利润最大，最大的销售利润是多少？(3)在实际销售过程中，厂家希望能有更多的商品出售，因此对电商每销售一件商品厂家就给予电商补助a元(a≤2)，那么电商在获得补助之日后日销售利润能够随单数x的增大而增大，那么a的取值范围是什么？13.某水果连锁店销售热带水果，其进价为20元/千克，销售一段时间后发现：该水果的日销售y(千克)与售价x(元/千克)的函数图象关系如图所示：(1)求y关于x的函数解析式；(2)当售价为多少元/千克时，当日销售利润最大，最大利润为多少元？(3)由于某种原因，该水果进价提高了m元/千克(m>0)，物价局规定该水果的售价不得超过40元/千克，该连锁店在今后的销售中，日销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系．若日销售最大利润是1280元，请直接写出m的值．14.茶叶是安徽省主要经济作物之一．2020年新茶上市期间，某茶厂为获得最大利益，根据市场行情，把新茶价格定为400元/kg，并根据历年的相关数据整理出第x天(1≤x≤15，且x为整数)制茶成本(含采摘和加工)和制茶量的相关信息如表．假定该茶厂每天制作和销售的新茶没有损失，且能在当天全部售出(当天收入=日销售额−日制茶成本)．制茶成本(元/kg)150+10x制茶量(kg)40+4x(1)求出该茶厂第10天的收入；(2)设该茶厂第x天的收入为y(元)，试求出y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值及此时x的值．15.浩然文具店新到一种计算器，进价为25元，营销时发现：当销售单价定为30元时，每天的销售量为150件，若销售单价每上涨1元，每天的销售量就会减少10件．(1)写出商店销售这种计算器，每天所得的销售利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；(2)求销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大值是多少？(3)商店的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：方案A：为了让利学生，该计算器的销售利润不超过进价的24%；方案B：为了满足市场需要，每天的销售量不少于120件．请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．16.为满足市场需求，某超市购进一种品牌糕点，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现，当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．(1)试求出每天的销售量y(盒)与每盒售价x(元)之间的函数关系式；(2)当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P(元)最大？最大利润是多少？(3)为稳定物价，有关管理部门限定：这种糕点的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售糕点多少盒？17.某超市销售一种高档蔬菜“莼菜”，其进价为16元/kg.经市场调查发现：该商品的日销售量y(kg)是售价x(元/kg)的一次函数，其售价、日销售量对应值如表：(1)求y关于x的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)；(2)x为多少时，当天的销售利润w(元)最大？最大利润为多少？(3)由于产量日渐减少，该商品进价提高了a元/kg(a>0)，物价部门规定该商品售价不得超过36元/kg，该商店在今后的销售中，日销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系．若日销售最大利润是864元，求a的值．18.已知二次函数y=mx2+(1−2m)x+1−3m．(1)当m=2时，求二次函数图象的顶点坐标；(2)已知抛物线与x轴交于不同的点A、B．①求m的取值范围；②若3≤m≤4时，求线段AB的最大值及此时二次函数的表达式．19.某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．(1)当销售单价为70元时，每天的销售利润是多少？(2)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；(3)如果该企业每天的总成本不超过7000元，那么销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？(每天的总成本=每件的成本×每天的销售量)20.随着新冠肺炎的爆发，市场对口罩的需求量急剧增大．某口罩生产商自二月份以来，一直积极恢复产能，每日口罩生产量y(百万个)与天数x(1≤x≤29，且x为整数)的函数关系图象如图所示，而该生产商对口供应市场对口罩的需求量z(百万个)与天数x呈抛物线型，第1天市场口罩缺口(需求量与供应量差)就达到7.5(百万个)，之后若干天，市场口罩需求量不断上升，在第10天需求量达到最高峰60(百万个)．(1)求出y与x的函数解析式；(2)当市场供应量不小于需求量时，市民买口罩才无需提前预约，那么在整个二月份，市民无需预约即可购买口罩的天数共有多少天？答案和解析1.【答案】解：(1)∵二次函数y=−x2+bx+c和一次函数y=mx+n的图象都经过点A(−3,0)，一次函数y=mx+n的图象经过点C(0,−1)，∴{−3m+n=0n=−1，∴{m=−1 3n=−1，∵二次函数y=−x2+bx+c和一次函数y=mx+n的图象都经过点A(−3,0)，二次函数y=−x2+bx+c的图象经过点B(0,3)，∴{−9−3b+c=0c=3，∴{b=−2c=3．(2)由(1)知一次函数与二次函数的解析式分别为：y=−13x−1或y=−x2−2x+3，①当点P在y轴左侧时，过点P作PD//y轴交AC于点D，则S△PAC=12×PD×|−3|=32PD，②当点P在y轴右侧时，过点P作PD//y轴交AC的延长线于点D，则S△PAC=12×PD×|x+3−x|=32PD，∵点P在抛物线上，设P(x,−x2−2x+3)，则D(x,−13x−1)，∴PD=−x2−2x+3+13x+1=−x2−53x+4，∴S△PAC=32PD=−32(x2+53x+4)=−32(x+56)2+16924，即当x =−56时，S △PAC 最大=16924．【解析】(1)把直线和曲线经过的点代入得到方程组，求解即可得到答案；(2)分两种情况：①当点P 在y 轴左侧时，过点P 作PD//y 轴交AC 于点D ，②当点P 在y 轴右侧时，过点P 作PD//y 轴交AC 的延长线于点D ，分别根据三角形面积公式得到关系式，利用函数式表示三角形PAC 的面积，配方可得答案．本题考查的是二次函数综合运用，涉及一次函数、图形面积的计算等，掌握其性质及运算是解决此题关键， 2.【答案】解：(1)把(4,1)代入y 1=ax 2中得：16a =1，a =116，∴y 1=116x 2，把(2,1)代入y 2=kx 中得：2k =1，k =12，∴y 2=12x ；(2)设种植桃树的投资成本x 万元，总利润为W 万元，则种植柏树的投资成本(10−x)万元，则W =y 1+y 2=116x 2+12(10−x)=116(x −4)2+4，6≤x ≤8由图象得：当6≤x ≤8时，当x =6时，W 有最小值，W 小=174，当x =8时，W 有最大值，W 大=116(8−4)2+4=5，答：苗圃至少获得174万元利润，最多能获得5万元利润．【解析】本题考查了函数的应用，考查了利用待定系数法求函数的解析式；对于二次函数，在求最值问题时，不一定都是顶点坐标，要根据实际情况和图象结合考虑，得出结论．(1)利用待定系数法求两个函数的解析式；(2)根据总投资成本为10万元，设种植桃树的投资成本x 万元，总利润为W 万元，则种植柏树的投资成本(10−x)万元，列函数关系式，发现是二次函数，画出函数图象，找出当6≤x ≤8时的最小利润和最大利润．3.【答案】解：(1)设y 与x 之间的函数关系式为y =ax 2，1000=a ×1002，得a =110，即y 与x 之间的函数关系式为y =110x 2(0≤x ≤100)；设z 与x 的函数关系式为z =kx +b ，{b =30100k +b =20，得{k =−110b =30， 即z 与x 的函数关系式为z =−110x +30(0≤x ≤100)；(2)由题意可得，W =zx −y =(−110x +30)x −110x 2=−15(x −75)2+1125， 即W 与x 之间的函数关系式为W =−15(x −75)2+1125(0≤x ≤100)，∵W =−15(x −75)2+1125， ∴当x =75时，W 取得最大值，此时W =1125，即年产量75万件时，所获毛利润最大；(3)∵今年投入生产的费用不会超过360万元，∴y ≤360，即110x 2≤360，∴x ≤60，∵W =−15(x −75)2+1125，∴当x =60时，W 取得最大值，此时W =1080，即今年最多可获得1080万元的毛利润．【解析】(1)根据函数图象中的数据，可以分别求得y与x以及z与x之间的函数关系式；(2)根据(1)中的结果和题意，可以写出W与x之间的函数关系式；(3)根据题意，可以求得x的取值范围，再根据二次函数的性质，即可得到今年最多可获得多少万元的毛利润．本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．4.【答案】解：(1)∵抛物线过点A(0,−2)，B(−√2,0)∴{(−√2)2−√2b+c=0c=−2∴{b=0c=−2则抛物线解析式为y=x2−2；(2)由(1)知，G(x1,x12−2)，H(x2,x22−2)，∵GH与直线y=2x平行，∴设直线GH的解析式为y=2x+m，令x2−2=2x+m，即(x−1)2=m+3，解得x1=1−√m+3，x1=1+√m+3，∴y1+y2=x12+x22−4=(1−√m+3)2+(1+√m+3)2−4=2+2m+6−4=2m+4，∵(x−1)2=m+3，∴m=(x−1)2−3，∴y1+y2=2[(x−1)2−3]+4=2(x−1)2−2，∴当x=1时，y1+y2取小值−2．【解析】(1)根据待定系数法求得即可；(2)根据题意设直线GH的解析式为y=2x+m，x2−2=2x+m，即(x−1)2=m+3，解得x1，x2的值，代入y1+y 2中，即可得出y1+y2=2[(x−1)2−3]+4=2(x−1)2−2，根据二次函数的性质即可求得．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，直线的平行问题，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来．5.【答案】解：(1)针对于二次函数y=x2−2mx−m2+4m−2，令y =0，则x 2−2mx −m 2+4m −2=0，∴△=(−2m)2−4×1×(−m 2+4m −2)=4m 2+4m 2−16m +8=8(m −1)2≥0，∴抛物线与x 轴必有交点，即当m =1时，有一个交点，当m ≠1时，有两个交点；(2)当m =1时，抛物线的解析式为y =x 2−2x +1=(x −1)2①，∴C(0,1)，D(1,0)，∵△PCD 是以PD 为腰的等腰三角形，如图1，①当PC =PD 时，点P 是CD 的垂直平分线上，∵C(0,1)，D(1,0)，∴OC =OD =1，∴CD 的垂直平分线的解析式为y =x②，联立①②解得，{x =3+√52y =3+√52或{x =3−√52y =3−√52，∴点P 的坐标为(3+√52,3+√52)或(3−√52,3−√52)，②当PD =CD 时，点D 是CP 的垂直平分线上，∴点P 的纵坐标为1，则x 2−2x +1=1，∴x =0或x =2，∴P(2,1)，即满足条件的点P 的坐标为(3+√52,3+√52)或(3−√52,3−√52)或(2,1)；(3)∵二次函数y =x 2−2mx −m 2+4m −2的对称轴为l ，∴抛物线的对称轴l 为x =m ，∴点M 的横坐标为m ，∵点M 在直线y =14mx 上，∴M(m,14m 2)，∵MO =MB ，∴点B(2m,12m 2)，将点B(2m,12m 2)代入二次函数y =x 2−2mx −m 2+4m −2得，12m 2=4m 2−4m 2−m 2+4m −2， ∴m =1或m =43，∵m >1，∴m =43，∴抛物线的解析式为y =x 2−83x +149=(x −43)2−29， ∵点Q(x 0,y 0)在抛物线上，∴y 0=(x 0−43)2−29， ∴−my 02−6my 0=−m(y 02+6y 0)=−43[(y 0+3)2−9]=−43[(x 0−43)2−29+3]2+12=−43[(x 0−43)2+259]2+12，∵ℎ+12≤−my 02−6my 0，∴ℎ≤−43[(x 0−43)2+259]2， 当x 0=43时，ℎ最大=−2500243．【解析】(1)令y =0，转化为一元二次方程，求出△=8(m −1)2，即可得出结论；(2)先求出点C ，D 坐标，再分两种情况，判断出点P 是CD 的中垂线或CP 的中垂线，即可得出结论；(3)利用点M 在抛物线对称轴上，和MO =BM 表示出点B 坐标，代入抛物线解析式中，求出m ，进而得出抛物线解析式，再得出−my 02−6my 0=−43[(x 0−43)2+259]2+12，即可得出结论．此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线与x 轴的交点个数的判断，等腰三角形的性质，中垂线，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．6.【答案】解：(1)当0<x <200时，y =(−0.2x +120−60)x +[−0.1(400−x)+100−50]×(400−x)=−0.3x 2+90x +4000；当200≤x ≤400时，y =(6000x +50−60)x +[−0.1(400−x)+100−50]×(400−x)=−0.1x 2+20x +10000；(2)若100≤x <200，则y =−0.3x 2+90x +4000=−0.3(x −150)2+10750，当x =150时，y 的最大值为10750；若200≤x ≤300时，y =−0.1x 2−16x +10000=−0.1(x −100)2+11000，∵x >100时，y 随x 的增大而减小，∴当x =200时，y 取得最大值，最大值为10000元；∵10750>10000，故x =150，综上，当购进甲种水果150千克、乙种水果250千克时，才能使获得的利润最大．【解析】(1)分0<x <200和200≤x ≤400两种情况，根据总利润=甲种水果的利润+乙种水果的利润，列出函数解析式；(2)分100≤x <200和200≤x ≤300两种情况，将对应解析式配方成顶点，再利用二次函数的性质求解可得．本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并据此列出函数解析式及二次函数的性质与分类讨论思想的运用．7.【答案】解：(1)设函数表达式为：y =kx +b ，在表格取两组数值(5,90)，(6,60)代入上式得{5k +b =906k +b =60，解得{k =−30b =240， 故函数表达式为：y =−30x +240；(2)①当20≤y ≤50时，w =(x −5)y =(x −5)(−30x +240)=−30(x −6.5)2+67.5，故销售价x =6.5元时，利润的最大值为67.5元，日销售量y =45千克；②当y >50时，w =(x −4)y =(x −4)(−30x +240)=−30(x −6)2+120，即销售价x =6元时，利润的最大值w 为120元，日销售量y =60千克；综上，当销售价为6元时，利润最大，故当销售价为6元时，获利最大，最大利润为120元，此时购买量为60千克．【解析】(1)设函数表达式为：y =kx +b ，在表格取两组数值(5,90)，(6,60)代入上式，即可求解；(2)分20≤y ≤50、y >50分别计算销售利润，进而求解．本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．8.【答案】解：(1)当x =17时，y =−3x +90=−3×17+90=39，39×(16−12)=156(元)，即政府这一天为他承担的总差价为156元．(2)依题意得，w=(x−12)(−3x+90)=−3(x−21)2+243(x≥12)，∵a=−3<0，∴当x=21时，w有最大值243．∴当销售单价定为21元时，每天可获得最大利润243元．(3)由题意得：−3(x−21)2+243=216，解得：x1=18，x2=24．∵a=−3<0，抛物线开口向下，∴当18≤x≤24时，w≥216．∵y=−3x+90，−3<0，∴y随x的增大而减小，∴当x=24时，y最小=−3×24+90=18(元)，∴18×(16−12)=72(元)．即销售单价定为24元时，政府每天为他承担的总差价最少为72元．【解析】(1)把x=17代入y=−3x+90求出销售的件数，然后求出政府承担的成本价与出厂价之间的差价；(2)由总利润=销售量⋅每件纯赚利润，得w=(x−12)(−3x+90)，把函数转化成顶点坐标式，根据二次函数的性质求出销售单价及最大利润；(3)令−3(x−21)2+243=216，求出x的值，求出利润的范围，然后根据一次函数的性质求出总差价的最小值．本题考查了一次函数和二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并明确相应的函数性质是解题的关键．9.【答案】解：(1)过D作DE⊥AB于E，∵BC=x，∴DE=x，∵∠A=45°，∴AE=x，∴S=S△AED+S矩形DEBC =12x2+(8−x)⋅x=−12x2+8x，∵AB=AE+EB=x+(8−x)=8，∴B 点为定点，∴DE 最大为3，∴0<x ≤3；(2)∵S =−12x 2+8x =−12(x −8)2+32， ∴当x <8时，S 随x 的增大而增大，∵0<x ≤3，∴当x =3时，S 取得最大值，S 最大=−12×(3−8)2+32=392， 答：当x =3时时，围成的养殖水域面积最大，最大面积是392．【解析】(1)过D 作DE ⊥AB 于E ，根据矩形的性质得到DE =x ，求得AE =x ，根据三角形和矩形的面积公式即可得到结论；(2)根据二次函数的性质即可得到结论．本题考查了二次函数的应用，矩形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．10.【答案】解：(1)∵抛物线y =ax 2−2x +c 经过A(0,−3)、B(3,0)两点，∴{9a −6+c =0c =−3， ∴{a =1c =−3， ∴抛物线的解析式为y =x 2−2x −3，∵直线y =kx +b 经过A(0,−3)、B(3,0)两点，∴{3k +b =0b =−3，解得：{k =1b =−3， ∴直线AB 的解析式为y =x −3；(2)存在.理由：∵y =x 2−2x −3=(x −1)2−4，∴抛物线的顶点C 的坐标为(1,−4)，∵E 为抛物线的对称轴x =1与直线y =x −3的交点，∴E(1,−2)，∴CE =2．①如图，若点M 在x 轴下方，四边形CEMN 为平行四边形，则CE =MN ，设M(a,a −3)，则N(a,a 2−2a −3)，∴MN =a −3−(a 2−2a −3)=−a 2+3a ，∴−a 2+3a =2，解得：a =2，a =1(舍去)，∴M(2,−1)，②如图，若点M 在x 轴上方，四边形CENM 为平行四边形，则CE =MN ，设M(a,a −3)，则N(a,a 2−2a −3)，∴MN =a 2−2a −3−(a −3)=a 2−3a ，∴a 2−3a =2，解得：a =3+√172，a =3−√172(舍去)， ∴M(3+√172,−3+√172)， 综合可得M 点的坐标为(2,−1)或(3+√172,−3+√172). (3)如图，作PG//y 轴交直线AB 于点G ，设P(m,m2−2m−3)，则G(m,m−3)，∴PG=m−3−(m2−2m−3)=−m2+3m，∴S△PAB=S△PGA+S△PGB=12PG⋅OB=12×(−m2+3m)×3=−32m2+92m=−32(m−32)2+278，∴当m=32时，△PAB面积的最大值是278，此时P点坐标为(32,−154).【解析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数求最值问题，以及二次函数与平行四边形、三角形面积有关的问题．(1)将A(0,−3)、B(3,0)两点坐标分别代入二次函数的解析式和一次函数解析式即可求解；(2)先求出C点坐标和E点坐标，则CE=2，分两种情况讨论：①若点M在x轴下方，四边形CEMN为平行四边形，则CE=MN，②若点M在x轴上方，四边形CENM为平行四边形，则CE=MN，设M(a,a−3)，则N(a,a2−2a−3)，可分别得到方程求出点M的坐标；(3)作PG//y轴交直线AB于点G，设P(m,m2−2m−3)，则G(m,m−3)，可由S△PAB=12PG⋅OB，得到m 的表达式，利用二次函数求最值问题配方即可．11.【答案】解：(1)把B(4,0)和C(0,4)代入y=−12x2+bx+c中得，{−8+4b+c=0c=4，∴{b=1c=4，∴抛物线的解析式为：y=−12x2+x+4，令y=0，得y=−12x2+x+4=0，解得，x=4(舍)，或x=−2，∴A(−2,0)；(2)设直线AD 的解析式为：y =kx +m(k ≠0)，则{−2k +m =0k +m =−1， 解得{k =−13m =−23， ∴AD 的解析式为：y =−13x −23， 过点P 作PE ⊥x 轴于F ，与AD 交于点E ，如图，∵P(x,y)，即P(x,−12x 2+x +4)，∴E(x,−13x −23)，∴PE =−12x 2+43x +4， △ADP 面积=12PE ⋅(x D −x A )=12×(−12x 2+43x +4)×(1+2)=−34x 2+2x +6=−34(x −43)2+223，∵1<43<4， ∴△ADP 面积的最大值为223．【解析】(1)用待定系数法求得解析式，再把y =0代入求得的解析式，便可求得A 点坐标；(2)用待定系数法求出直线AD 的解析式，再过P 作PE ⊥x 轴于F ，与AD 交于点E ，由三角形的面积公式求出解析式，进而根据二次函数的性质求得得符合条件的最大值便可．本题考查了二次函数综合题，解(1)的关键是待定系数法；解(2)的关键是求出三角的面积关于x 的二次函数解析式．12.【答案】解：(1)设单价y 与拼单数x 之间的一次函数关系式为y =kx +b ，∴{2k +b =34.504k +b =34.00，解得：{k =−14b =35， ∴单价y 与拼单数x 之间的一次函数关系式为y =−14x +35；设日销售量m 与拼单数x 之间的一次函数关系式为m =ax +n ，∴{2a +n =684a +n =76， 解得：{a =4n =60， ∴日销售量m 与拼单数x 之间的一次函数关系式为m =4x +60；(2)根据题意得，w =(−14x +35−25)(4x +60)=−x 2+25x +600=−(x −252)2+30254；∵x 取整数且1≤x ≤15；∴当x =12或13时，w 最大=756.5元；(3)设电商获得补助之日后日销售利润为w′，根据题意得，w′=−x 2+25x +600+(4x +60)×a =−x 2+(25+4a)x +600+60a ；销售利润随单数x 的增大而增大；所以对称轴x =25+4a −2×(−1)≥15；解得：a ≥54；所以：a 的取值范围是54≤a ≤2．【解析】(1)设单价y 与拼单数x 之间的一次函数关系式为y =kx +b ，根据题意解方程组得到单价y 与拼单数x 之间的一次函数关系式为y =−14x +35；设日销售量m 与拼单数x 之间的一次函数关系式为m =ax +n ，根据题意解方程组得到日销售量m 与拼单数x 之间的一次函数关系式为m =4x +60；(2)根据题意得到w =(−14x +35−25)(4x +60)=−x 2+25x +600=−(x −252)2+30254；由于x 取整数且1≤x ≤15；于是得到结论；(3)设电商获得补助之日后日销售利润为w′，根据题意得二次函数解析式；根据销售利润随单数x 的增大而增大得到结论．本题考查了二次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，利用二次函数的增减性求二次函数的最值问题，理清题目数量关系列出利润表达式是解题的关键． 13.【答案】解：(1)设y =kx +b(k,b 为常数，k ≠0)根据题意得：{25k +b =11030k +b =100，解得：{k =−2b =160，∴y关于x的函数解析式为y=−2x+160；(2)设当该商品的售价是x元/件时，月销售利润为w元，根据题意得：w=(−2x+160)(x−20)=−2x2+200x−3200=−2(x−50)2+1800∴当x=50时w有最大值，最大值为1800(元)，答：当该商品的售价是50元/件时，月销售利润最大，最大利润是1800元；(3)根据题意得，w=(x−20−m)(−2x+160)=−2x2+(200+2m)x−3200−160m，∵对称轴x=100+m2，∴①当=100+m2<40时(舍)，②当=100+m2≥40时，x=40时，w取最大值为1280，解得：m=4，【解析】(1)依题意设y=kx+b，解方程组即可得到结论；(2)根据题意列方程，解方程即可得到结论；(2)根据题意得列函数解析式，根据二次函数的性质即可得到结论．本题考查了二次函数在实际生活中的应用，重点是掌握求最值的问题．注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用二次函数求最值．14.【答案】解：(1)当x=10时，制茶成本为：150+10x=150+10×10=250(元/千克)；制茶量为：40+4x=40+4×10=80(kg)；该茶厂第10天的收入为：(400−250)×80=12000(元)．∴该茶厂第10天的收入为12000元；(2)根据题意得：y=[400−(150+10x)]⋅(40+4x)=−40x2+600x+10000=−40(x−7.5)2+12250，∵a=−40<0，1≤x≤15，且x是正整数，∴x=7或8时，y取得最大值12240元．∴y与x之间的函数关系式为y=−40x2+600x+10000，x=7或8时，y取得最大值12240元．【解析】(1)将x=10分别代入表格中的代数式可得制茶成本及制茶量，然后根据当天收入=日销售额−日制茶成本可得第七天的收入；(2)根据利润等于(售价−成本)×制茶量，列出函数关系式并写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案．本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并明确二次函数的性质是解题的关键．15.【答案】解：(1)由题意得，销售量=150−10(x−30)=−10x+450，则w=(x−25)(−10x+450)=−10x2+700x−11250；(2)w=−10x2+700x−11250=−10(x−35)2+1000，∵−10<0，∴函数图象开口向下，w有最大值，当x=35时，w最大=1000元，故当单价为35元时，该计算器每天的利润最大；(3)B方案利润高．理由如下：A方案中：∵25×24%=6，此时w A=6×(150−10)=840元，B方案中：每天的销售量为120件，单价为33元，∴最大利润是120×(33−25)=960元，此时w B=960元，∵w B>w A，∴B方案利润更高．【解析】本题考查了二次函数的应用，难度较大，最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取时取得．值范围内求最大值(或最小值)，也就是说二次函数的最值不一定在x=−b2a(1)根据利润=(单价−进价)×销售量，列出函数关系式即可；(2)根据(1)式列出的函数关系式，运用配方法求最大值；(3)分别求出方案A、B中x的取值，然后分别求出A、B方案的最大利润，然后进行比较．。
2021年数学中考压轴题大全(含答案、详细解析版)之欧阳学文创编
【最新】中考数学压轴题大全欧阳光明（2021.03.07）（安徽）按右图所示的流程，输入一个数据x，根据y与x的关系式就输出一个数据y，这样可以将一组数据变换成另一组新的数据，要使任意一组都在20～100（含20和100）之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求：（Ⅰ）新数据都在60～100（含60和100）之间；（Ⅱ）新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应的新数据也较大。
（1）若y与x的关系是y＝x＋p(100－x)，请说明：当p＝12时，这种变换满足上述两个要求；（2）若按关系式y=a(x－h)2＋k(a>0)将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式。
（不要求对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过程）【解】（1）当P=12时，y=x＋()11002x-,即y=1502x+。
∴y随着x的增大而增大，即P=12时，满足条件（Ⅱ）……3分又当x=20时，y=1100502⨯+=100。
而原数据都在20～100之间，所以新数据都在60～100之间，即满足条件（Ⅰ），综上可知，当P=12时，这种变换满足要求；……6分（2）本题是开放性问题，答案不唯一。
若所给出的关系式满足：（a ）h≤20；（b ）若x=20,100时，y 的对应值m ，n 能落在60～100之间，则这样的关系式都符合要求。
如取h=20,y=()220a x k -+,……8分∵a ＞0，∴当20≤x≤100时，y 随着x 的增大…10分 令x=20,y=60，得k=60 ① 令x=100,y=100，得a×802＋k=100 ②由①②解得116060a k ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴()212060160y x =-+。
………14分2、（常州）已知(1)A m -，与(2B m +，是反比例函数k y x=图象上的两个点．（1）求k 的值；（2）若点(10)C -，，则在反比例函数ky x=图象上是否存在点D ，使得以A B C D ，，，四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）由(1)2(33)m m -=+，得m =-k =2分（2）如图1，作BE x ⊥轴，E 为垂足，则3CE =，BE =BC =因此30BCE =∠．由于点C 与点A 的横坐标相同，因此CA x ⊥轴，从而120ACB =∠．当AC 为底时，由于过点B 且平行于AC 的直线与双曲线只有一个公共点B ，故不符题意．3分当BC 为底时，过点A 作BC 的平行线，交双曲线于点D ， 过点A D ，分别作x 轴，y 轴的平行线，交于点F ．由于30DAF =∠，设11(0)DF m m =>，则1AF ，12AD m =，由点(1A --，，得点11(1)D m --，．因此11(1)(23)m --+= 解之得1m=10m =舍去），因此点6D ⎛ ⎝⎭．5分 H 为则60DCH =∠，设22(0)CH m m =>，则2DH =，22CD m =由点(10)C -，，得点22(1)D m -+， 因此22(1)3m m -+=．解之得22m =（21m =-舍去），因此点(1D ． 图1图2此时4CD =，与AB 的长度不相等，故四边形ABDC 是梯形．7分 如图3，当过点C 作AB 的平行线，与双曲线在第三象限内的交点为D 时，同理可得，点(2D -，，四边形ABCD 是梯形．9分 综上所述，函数y x=图象上存在点D ，使得以A B C D ，，，四点为顶点的四边形为梯形，点D的坐标为：6D ⎛ ⎝⎭或(1D或(2D --，．10分3、（福建龙岩）如图，抛物线254y ax ax =-+经过点，已知BC x ∥轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且（1）求抛物线的对称轴；（2）写出A B C ，，三点的坐标并求抛物线的解析式；（3）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在PAB △是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P 坐标；不存在，请说明理由．解：（1）抛物线的对称轴5522a x a -=-= (2)分（2）(30)A -，(54)B ，(04)C ，…………5分 图3把点A 坐标代入254y ax ax =-+中，解得16a =-………6分215466y x x ∴=-++…………………………………………7分（3）存在符合条件的点P 共有3个．以下分三类情形探索．设抛物线对称轴与x 轴交于N ，与CB 交于M ．过点B 作BQ x ⊥轴于Q ，易得4BQ =，8AQ =， 5.5AN =，52BM =① ······································································································· 以AB 为腰且顶角为角A 的PAB △有1个：1P AB △．222228480AB AQ BQ ∴=+=+=8分在1Rt ANP △中，1PN ====152P ⎛∴- ⎝⎭，9分 ②以AB 为腰且顶角为角B 的PAB △有1个：2P AB △． 在2Rt BMP △中，22MP ====10分252P ⎛∴ ⎝⎭11分③以AB 为底，顶角为角P 的PAB △有1个，即3P AB △．画AB 的垂直平分线交抛物线对称轴于3P ，此时平分线必过等腰ABC △的顶点C ．过点3P 作3P K 垂直y 轴，垂足为K ，显然3Rt Rt PCK BAQ △∽△． 312P K BQ CK AQ ∴==． 3 2.5P K =5CK ∴= 于是1OK =13分3(2.51)P ∴-，14分注：第（3）小题中，只写出点P 的坐标，无任何说明者不得分． 4、（福州）如图12，已知直线12y x =与双曲线(0)k y k x=>交于A B ，两点，且点A 的横坐标为4．（1）求k 的值；（2）若双曲线(0)ky k x=>上一点C 的纵坐标为8，求AOC △的面积；（3）过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)ky k x=>于P Q ，两点（P 点在第一象限），若由点A B P Q ，，，为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标．解：(1)∵点A 横坐标为4 , ∴当 x = 4时，y = 2 .图12∴ 点A 的坐标为（ 4，2 ）. ∵ 点A 是直线 与双曲线（k>0）的交点 , ∴k = 4 ×2 = 8 . (2) 解法一：如图12-1，∵ 点C 在双曲线上，当y = 8时，x = 1∴ 点C 的坐标为 ( 1, 8 ) . 过点A 、C 分别做x 轴、y 轴的垂线，垂足为M 、N ，得矩形DMON .S 矩形ONDM= 32 ， S △ONC = 4 ， S △CDA = 9， S △OAM = 4 .S △AOC= S 矩形ONDM - S △ONC - S △CDA - S △OAM = 32 - 4 - 9 - 4 = 15 .解法二：如图12-2，过点 C 、A 分别做x 轴的垂线，垂足为E 、F ， ∵ 点C 在双曲线8y x=上，当y = 8时，x = 1 . ∴ 点C 的坐标为 ( 1, 8 ). ∵ 点C 、A 都在双曲线8y x=上 ,∴ S △COE = S △AOF = 4 。
2021年中考数学压轴题及答案40例(6)题型归纳
2021年中考数学压轴题及答案40例（6）题型归纳中考频道提供大量中考资料，在第一时间更新中考资讯。
以下是____中考数学压轴题及答案40例：21.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(4，0)、C(8，0)、D(8，8).抛物线y=a_ 2+b_过A、C两点.(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式;(2)动点P从点A出发，沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PEAB 交AC于点E.① 过点E作EFAD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?② 连接EQ，在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?请直接写出相应的t值.解：(1)点A的坐标为(4，8). 1分将A(4，8)、C(8，0)两点坐标分别代入y=a_ 2+b_，得解得a=- ，b=4.抛物线的解析式为y=- _ 2+4_. 3分(2)①在Rt△APE和Rt△ABC中，tanPAE= = ，即 = = .PE= AP= t，PB=8-t.点E的坐标为(4+ t，8-t).2点G的纵坐标为- (4+ t)2+4(4+ t)=- t 2+8. 5分EG=- t 2+8-(8-t)=- t 2+t∵- 0，当 =4时，线段EG最长为2. 7分②共有三个时刻. 8分t1= ，t2= ，t3=40- . 11分22.如图，抛物线y=-_ 2+2_+3与_轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C，顶点为D.(1)直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴;(2)连结BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m.①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形?②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式.解：(1)A(-1，0)，B(3，0)，C(0，3). 2分抛物线的对称轴是：_=1. 3分(2)①设直线BC的解析式为：y=k_+b.将B(3，0)，C(0，3)分别代入得：解得直线BC的解析式为y=-_+3.当_=1时，y=-1+3=2，E(1，2).当_=m时，y=-m+3，P(m，-m+3). 4分将_=1代入y=-_ 2+2_+3，得y=4，D(1，4).将_=m代入y=-_ 2+2_+3，得y=-m 2+2m+3.F(m，-m 2+2m+3). 5分线段DE=4-2=2，线段PF=-m 2+2m+3-(-m+3)=-m 2+3m 6分∵PF∥DE，当PF=DE时，四边形PEDF为平行四边形.由-m 2+3m=2，解得：m1=2，m2=1(不合题意，舍去).当m=2时，四边形PEDF为平行四边形. 7分②设直线PF与_轴交于点M.由B(3，0)，O(0，0)，可得：OB=OM+MB=3.则S=S△BPF +S△CPF 8分= PFBM+ PFOM= PFOB= (-m 2+3m)3=- m 2+ m(03)即S与m的函数关系式为：S=- m 2+ m(03). 9分23.如图，在矩形OABC中，已知A、C两点的坐标分别为A(4，0)、C(0，2)，D 为OA的中点.设点P是AOC平分线上的一个动点(不与点O重合).(1)试证明：无论点P运动到何处，PC总与PD相等;(2)当点P运动到与点B的距离最小时，试确定过O、P、D三点的抛物线的解析式;(3)设点E是(2)中所确定抛物线的顶点，当点P运动到何处时，△PDE的周长最小?求出此时点P的坐标和△PDE的周长;(4)设点N是矩形OABC的对称中心，是否存在点P，使CPN=90?若存在，请直接写出点P的坐标.解：(1)∵点D是OA的中点，OD=2，OD=OC.又∵OP是COD的角平分线，POC=POD=45.△POC≌POD，PC=PD; 3分(2)如图，过点B作AOC的平分线的垂线，垂足为P，点P即为所求.易知点F的坐标为(2，2)，故BF=2，作PMBF.∵△PBF是等腰直角三角形，PM= BF=1.点P的坐标为(3，3).∵抛物线经过原点可设抛物线的解析式为y=a_ 2+b_.又∵抛物线经过点P(3，3)和点D(2，0)解得过O、P、D三点的抛物线的解析式为y=_ 2-2_; 7分(3)由等腰直角三角形的对称性知D点关于AOC的平分线的对称点即为C点. 连接EC，它与AOC的平分线的交点即为所求的P点(因为PE+PD=EC，而两点之间线段最短)，此时△PED的周长最小.∵抛物线y=_ 2-2_的顶点E的坐标(1，-1)，C点的坐标(0，2)设CE所在直线的解析式为y=k_+b则解得 CE所在直线的解析式为y=-3_+2.联立，解得，故点P的坐标为( ， ).△PED的周长即是CE+DE= ; 11分(4)存在点P，使CPN=90，其坐标为( ， )或(2，2). 14分24.如图1，已知抛物线经过坐标原点O和_轴上另一点E，顶点M的坐标为(2，4);矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在_轴、y轴上，且AD=2，AB=3.(1)求该抛物线所对应的函数关系式;(2)将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿_轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒(03)，直线AB与该抛物线的交点为N(如图2所示).①当t= 时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由;②设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值?若存在，求出这个最大值;若不存在，请说明理由.解：(1)∵因所求抛物线的顶点M的坐标为(2，4)可设其对应的函数关系式为y=a(_ -2)2+4. 1分又抛物线经过坐标原点O(0，0)，a(0-2)2+4=0. 2分解得a=-1. 3分所求函数关系式为y=-(_ -2)2+4，即y=-_ 2+4_. 4分(2)①点P不在直线ME上，理由如下： 5分根据抛物线的对称性可知E点的坐标为(4，0).设直线ME的解析式为y=k_+b，将M(2，4)，E(4，0)代入，得解得 .直线ME的解析式为y=-2_+8. 6分当t= 时，OA=AP= ，P( ， ). 7分∵点P的坐标不满足直线ME的解析式y=-2_+8当t= 时，点P不在直线ME上. 8分②S存在最大值，理由如下： 9分∵点A在_轴的非负半轴上，且N在抛物线上，OA=AP=t.P(t，t)，N(t，-t 2+4t)，AN=-t 2+4t(03)PN=AN-AP=-t 2+4t-t=-t 2+3t=t(3-t)0 10分(ⅰ)当PN=0，即t=0或t=3时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是三角形，此三角形的高为AD.S= DCAD= 32=3. 11分(ⅱ)当PN0时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是四边形.∵PN∥CD，ADCD.S= (CD+PN)AD= (3-t 2+3t)2=-t 2+3t+3=-(t- )2+ (0当t= 时，S最大= . 12分综上所述，当t= 时，以点P，N，C，D为顶点的多边形面积S有最大值，最大值为 . 13分说明：(ⅱ)中的关系式，当t=0和t=3时也适合.25.如图1，已知抛物线y=a_ 2-2a_-3与_轴交于A、B两点，其顶点为C，过点A的直线交抛物线于另一点D(2，-3)，且tanBAD=1.(1)求抛物线的解析式;(2)连结CD，求证：AD(3)如图2，P是线段AD上的动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求线段PE长度的最大值;(4)点Q是抛物线上的动点，在_轴上是否存在点F，使以A，D，F，Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在，直接写出点F的坐标;若不存在，请说明理由. 解：(1)如图1，过点D作DH_轴于H，则OH=2，DH=3.∵tanB AD=1，AH=DH=3，AO=3-2=1. 1分A(-1，0). 2分把A(-1，0)代入y=a_ 2-2a_-3，得a+2a-3=0.a=1. 3分抛物线的解析式为y=_ 2-2_-3. 4分(2)∵y=_ 2-2_-3=(_-1)2-4C(1，-4). 5分连结AC，则AD 2=3 2+3 2=18，CD 2=(2-1)2+(-3+4)2=2，AC 2=(1+1)2+4 2=20. AD 2+CD 2=AC 2，△ACD是直角三角形，且ADC=90. 7分ADCD. 8分(3)设直线AD的解析式为y=k_+b，把A(-1，0)，D(2，-3)代入求得直线BC的解析式为y=-_-1. 9分设点P的横坐标为_，则P(_，-_-1)，E(_，_ 2-2_-3).∵点P在点E的上方EP=(-_-1)-(_ 2-2_-3)=-_ 2+_+2=-(_- )2+ 10分当_= 时，线段PE长度的最大值= . 12分(4)存在，点F的坐标分别为F1(-3，0)，F2(1，0)，F3( ，0)，F4( ，0).16分关于点F坐标的求解过程(原题不作要求，本人添加，仅供参考)如图3①若四边形ADQ1F1为平行四边形，则AF1=DQ1，DQ1∥AF1.点Q1的纵坐标为-3，代入y=_ 2-2_-3，得_ 2-2_-3=-3，_1=0，_2=2.∵D(2，-3)，Q1(0，-3)，DQ1=2，AF1=2.F1(-3，0).②若四边形AF2DQ2为平行四边形，同理可得F2(1，0).③若四边形AQ3F3D为平行四边形，则AQ3=DF3.点Q3的纵坐标为3，代入y=_ 2-2_-3，得_ 2-2_-3=3，_3= ，_4= .-1-( )= ，OF3=2-( )= .F3( ，0).④若四边形AQ4F4D为平行四边形，则OF4=( )-( )+( )= F4( ，0).26.已知二次函数y=a_ 2+b_+c(a0)的图象经过点A(1，0)，B(2，0)，C(0，-2)，直线_=m(m2)与_轴交于点D.(1)求二次函数的解析式;(2)在直线_=m(m2)上有一点E(点E在第四象限)，使得E、D、B为顶点的三角形与以A、O、C为顶点的三角形相似，求E点坐标(用含m的代数式表示);(3)在(2)成立的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形?若存在，请求出m的值及四边形ABEF的面积;若不存在，请说明理由.解：(1)∵二次函数y=a_ 2+b_+c的图象经过点A(1，0)，B(2，0)，C(0，-2) 解得二次函数的解析式y=-_ 2+3_-2. 2分(2)当△EDB∽△AOC时，有 = 或= ∵AO=1，CO=2，BD=m-2.当 = 时，得 = ，ED= .∵点E在第四象限，E1(m， ). 4分当 = 时，得 = ，ED=2m-4.∵点E在第四象限，E2(m，4-2m). 6分(3)假设抛物线上存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形，则EF=AB=1，点F的横坐标为m-1.当点E1的坐标为(m， )时，点F1的坐标为(m-1， ).∵点F1在抛物线的图象上， =-(m-1)2+3(m-1)-2.2m 2-11m+14=0，解得m1= ，m2=2(不合题意，舍去).F1( ，- ).S□ABEF =1 = . 9分当点E2的坐标为(m，4-2m)时，点F2的坐标为(m-1，4-2m).∵点F2在抛物线的图象上，4-2m=-(m-1)2+3(m-1)-2.m 2-7m+10=0，解得m1=5，m2=2(不合题意，舍去).F2(4，-6).S□ABEF =16=6. 12分注：其它解法可参照评分标准给分.27.已知：t1，t2是方程t 2+2t-24=0，的两个实数根，且t1(1)求这个抛物线的解析式;(2)设点P(_，y)是抛物线上一动点，且位于第三象限，四边形OPAQ是以OA为对角线的平行四边形，求□OPAQ的面积S与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围;(3)在(2)的条件下，当□OPAQ的面积为24时，是否存在这样的点P，使□OPAQ 为正方形?若存在，求出P点的坐标;若不存在，说明理由.解：(1)由t 2+2t-24=0，解得t1=-6，t2=4. 1分∵t1∵抛物线y= _ 2+b_+c的图象经过点A，B两点解得这个抛物线的解析式为y= _ 2+ _+4.4分(2)∵点P(_，y)在抛物线上，且位于第三象限，y0，即-y0.又∵S=2S△APO=2 | OA|| y |=| OA|| y |=6| y |S=-6y. 6分=-6( _ 2+ _+4)=-4(_ 2+7_+6)=-4(_+ )2+25. 7分令y=0，则 _ 2+ _+4=0，解得_1=-6，_2=-1.抛物线与_轴的交点坐标为(-6，0)、(-1，0)_的取值范围为-6(3)当S=24时，得-4(_+ )2+25=24，解得：_1=-4，_2=-3. 9分代入抛物线的解析式得：y1=y2=-4.点P的坐标为(-3，-4)、(-4，-4).当点P为(-3，-4)时，满足PO=PA，此时，□OPAQ是菱形.当点P为(-4，-4)时，不满足PO=PA，此时，□OPAQ不是菱形.10分要使□OPAQ为正方形，那么，一定有OAPQ，OA=PQ，此时，点的坐标为(-3，-3)，而(-3，-3)不在抛物线y= _ 2+ _+4上，故不存在这样的点P，使□OPAQ为正方形. 12分。
2021年中考数学解答题压轴题每日一题 (50)
2021年中考数学解答题压轴题每日一题1．如图，直线l：y＝x+m与x轴交于点A（4，0），与y轴交于B点，抛物线y＝ax2+bx+a （a≠0）经过A，B两点，且与x轴交于另一点C（﹣1，0）．（1）求直线及抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上一动点，当点P在直线l下方的抛物线上运动时，过点P作PM∥x 轴交/于点M，过点P作PN∥y轴交于点N，求PM+PN的最大值；（3）在（2）的条件下，当PM+PN的值最大时，将△PMN绕点N旋转，当点M落在x轴上时，直接写出此时点P的坐标．【分析】（1）把点A坐标代入y＝x+m，并解得：m＝﹣2；将点A、B、C坐标代入二次函数表达式，即可求解；（2）PN＝n﹣2﹣n2+n+2＝﹣n2+2n，PM＝﹣n2+4n，即可求解；（3）分点M旋转到y轴左侧、点M旋转到y轴右侧两种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）把点A坐标代入y＝x+m，并解得：m＝﹣2，直线的表达式为：y＝x ﹣2，令x＝0，则y＝﹣2，故点B（0，﹣2），将点A、B、C坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣2；（2）设点P（n，n2﹣n﹣2），则点N（n，n﹣2），则PN＝n﹣2﹣n2+n+2＝﹣n2+2n，同理PM＝﹣n2+4n，则PM+PN＝﹣n2+6n＝﹣（n﹣2）2+6，当n＝2时，PM+PN取得最大值为6；（3）①当点M旋转到y轴左侧时，如图Rt△MPN，过点P作x轴的平行线交过点M、N于y轴的平行线于点F、E，NE交x轴于点G，P（2，﹣3）、N（2，﹣1）、M（﹣2，﹣3），则MN＝2，PM＝4，PN＝2，∵∠MPF+∠PMF＝90°，∠NPE+∠MPF＝90°，∴∠NPE＝∠PMF，∴△MFP∽△PEN，∴，在Rt△GMN中，NG＝1，MN＝2，则MG＝＝，设点P（s，t），则PF＝s﹣（2﹣），FM＝﹣t，PE＝2﹣s，ME＝﹣1﹣t，∴，解得：，故点P（，）；②当点M旋转到y轴右侧时，如图Rt△M′P′N，同理可得点P（，），故点P（，或（，）．。
2021年中考数学解答题压轴题选讲(含答案)
2021年中考数学解答题压轴题选讲（含答案）一 、解答题（本大题共9小题，共0分）1.已知直线1:210=-+l y x 交y 轴于点A ，交x 轴于点B ，二次函数的图象过,A B 两点，交x 轴于另一点C ，4BC =，且对于该二次函数图象上的任意两点()111,P x y ，()222,P x y ，当125>≥x x 时，总有12y y >．（1）求二次函数的表达式；（2）若直线2:(10)=+≠l y mx n n ，求证：当2m =-时，21//l l ；（3）E 为线段BC 上不与端点重合的点，直线3:2=-+l y x q 过点C 且交直线AE 于点F ，求ABE ∆与CEF ∆面积之和的最小值．2.如图所示，抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且点A的坐标为()2,0A -，点C 的坐标为()0,6C ，对称轴为直线1x =.点D 是抛物线上一个动点，设点D 的横坐标为()14m m <<，连接AC ，BC ，DC ，DB ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当BCD 的面积等于AOC ∆的面积的34时，求m 的值； （3）在（2）的条件下，若点M 是x 轴上一动点，点N 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M ，使得以点,,,B D M N 为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．3.已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)A -，点(3,0)B ，与y 轴交于点(0,3)C ，顶点为点D ．（1）求抛物线的解析式；（2）若过点C 的直线交线段AB 于点E ，且:3:5ACECEBSS=，求直线CE 的解析式（3）若点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当以点D 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形时，求点P 的坐标；4.如图，四边形ABCD 是正方形，点O 为对角线AC 的中点．（1）问题解决：如图①，连接BO ，分别取CB ，BO 中点P ，Q ，连接PQ ，则PQ与BO 的数量关系是_____，位置关系是____；（2）问题探究：如图①，AO E ∆'是将图①中的AOB ∆绕点A 按顺时针方向旋转45︒得到的三角形，连接CE ，点P ，Q 分别为CE ，BO '的中点，连接PQ ，PB ．判断PQB∆的形状，并证明你的结论；（3）拓展延伸：如图①，AO E ∆'是将图①中的AOB ∆绕点A 按逆时针方向旋转45︒得到的三角形，连接BO '，点P ，Q 分别为CE ，BO '的中点，连接PQ ，PB ．若正方形ABCD 的边长为1，求PQB ∆的面积．5.某数学课外活动小组在学习了勾股定理之后，针对图1中所示的“由直角三角形三边向外侧作多边形，它们的面积1S ，2S ，3S 之间的关系问题”进行了以下探究：类比探究（1）如图2，在Rt ABC ∆中，BC 为斜边，分别以,,AB AC BC 为斜边向外侧作Rt ABD ∆，Rt ACE ∆，Rt BCF ∆，若123∠=∠=∠，则面积1S ，2S ，3S 之间的关系式为 ； 推广验证（2）如图3，在Rt ABC ∆中，BC 为斜边，分别以,,AB AC BC 为边向外侧作任意ABD ∆，ACE ∆，BCF ∆，满足123∠=∠=∠，D E F ∠=∠=∠，则（1）中所得关系式是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由； 拓展应用（3）如图4，在五边形ABCDE 中，105A E C ∠=∠=∠=，90ABC ∠=，AB =2DE =，点P 在AE 上，30ABP ∠=，PE =，求五边形ABCDE 的面积.6.将正方形ABCD 的边AB 绕点A 逆时针旋转至AB ' ，记旋转角为α．连接BB '，过点D作DE 垂直于直线BB '，垂足为点E ，连接,DB CE '，()1如图1，当60α=︒时，DEB '∆的形状为 ，连接BD ，可求出BB CE'的值为 ；()2当0360α︒<<︒且90α≠︒时，①()1中的两个结论是否仍然成立?如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；②当以点,,,B E C D '为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出'BEB E的值．7.如图1和图2，在ABC ∆中，AB AC =，8BC =，3tan 4C =．点K 在AC 边上，点M ，N 分别在AB ，BC 上，且2AM CN ==．点P 从点M 出发沿折线MB BN -匀速移动，到达点N 时停止；而点Q 在AC 边上随P 移动，且始终保持APQ B ∠=∠．（1）当点P 在BC 上时，求点P 与点A 的最短距离； （2）若点P 在MB 上，且PQ 将ABC∆面积分成上下4：5两部分时，求MP 的长；（3）设点P 移动的路程为x ，当03x ≤≤及39x ≤≤时，分别求点P 到直线AC 的距离（用含x 的式子表示）；（4）在点P 处设计并安装一扫描器，按定角APQ ∠扫描APQ ∆区域（含边界），扫描器随点P 从M 到B 再到N 共用时36秒．若94AK =，请直接．．写出点K 被扫描到的总时长．8.如图，半径为4的O 中，弦AB 的长度为C 是劣弧AB 上的一个动点，点D是弦AC 的中点，点E 是弦BC 的中点，连接DE ，OD ，OE ． （1）求AOB ∠的度数；（2）当点C 沿着劣弧AB 从点A 开始，逆时针运动到点B 时，求ODE ∆的外心P 所经过的路径的长度；（3）分别记,ODE CDE ∆∆的面积为12,S S ，当221221S S -=时，求弦AC 的长度．9.如图，抛物线经过点(3,0)A -、(1,0)B 、(0,3)C ．的（1）求抛物线解析式； （2）点(),Pm n 是抛物线上的动点，当30m -<<时，试确定m 的值，使得PAC 的面积最大；（3）抛物线上是否存在不同于点B 的点D ，满足226DA DC -=，若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．的0.2021年中考数学模拟试卷（含答案）答案解析一 、解答题1.解：（1）对于1:210=-+l y x ，当0x =时，10y =，所以()0,10A ；当0y =时，2100x -+=，5x =，所以()5,0B ， 又因为4BC =，所以()9,0C 或()1,0C ，若抛物线过()9,0C ，则当57x <<时，y 随x 的增大而减少，不符合题意，舍去． 若抛物线过()1,0C ，则当3x >时，必有y 随x 的增大而增大，符合题意． 故可设二次函数的表达式为210=++y ax bx ， 依题意，二次函数的图象过()5,0B ，()1,0C 两点，所以255100100a b a b ++=⎧⎨++=⎩，解得212a b =⎧⎨=-⎩ 所求二次函数的表达式为221210y x x =-+．（2）当2m =-时，直线2:2(10)=-+≠l y x n n 与直线1:210=-+l y x 不重合， 假设1l 和2l 不平行，则1l 和2l 必相交，设交点为()00,P x y ， 由00002102y x y x n =-+⎧⎨=-+⎩得002102-+=-+x x n ，解得10n =，与已知10n ≠矛盾，所以1l 与2l 不相交， 所以21//l l ． （3）如图，因为直线3:2=-+l y x q 过()1,0C ，所以2q，又因为直线1:210=-+l y x ，所以31//l l ，即//CF AB ， 所以∠=∠FCE ABE ，∠=∠CFE BAE ，所以∽∆∆FCE ABE ，所以2∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭FCE ABE S CE S BE ，设()04=<<BE t t ，则4CE t =-，1110522∆=⋅=⨯⨯=ABE S BE OA t t ， 所以2222(4)5(4)5∆∆--⎛⎫=⨯=⨯= ⎪⎝⎭FCEABE CE t t S S t BE t t ， 所以25(4)5∆∆-+=+ABE FCEt S S t t801040=+-t t21040=+所以当t =时，∆∆+ABE FCE S S的最小值为40-．2.（1）233642y x x =-++；（2）m 的值为3；（3）存在，点M 的坐标为()8,0，()0,0，，()．3.解：（1）方法1：设抛物线的解析式为(3)(1)ya x x将点(0,3)C 代入解析式中，则有1(03)31a a ⨯-=∴=-．①抛物线的解析式为()222323y x x x x =---=-++．方法二：①经过,,A B C 三点抛物线的解析式为2y ax bx c =++，将(1,0),(3,0),(0,3)A B C -代入解析式中，则有30930c a b c a b c =⎧⎪∴-+=⎨⎪++=⎩，解得：123a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩， ①抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++． （2）:3:5ACE CEB S S ∆∆=，132152AE COEB CO ⋅∴=⋅． :3:5AE EB ∴=．3334882AE AB ∴==⨯=． 31122E x ∴=-+=．E ∴的坐标为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭．又C 点坐标为(0,3)．∴直线CE 的解析式为63y x =-+．（3）2223(1)4y x x x =-++=--+．①顶点D 的坐标为(1,4)．①当四边形DCPQ 为平行四边形时，由DQ①CP ，DQ=CP 得：D Q C P y y y y -=-，即403P y -=-．1p y ∴=-．令1y =-，则2231x x -++=-．1x ∴=①点P的坐标为(11)-．①当四边形DCQP 为平行四边形时，由CQ①DP ，CQ=DP 得：c Q D p y y y y -=-，即304P y -=-1p y ∴=．令1y =，则2231x x -++=．1x ∴=±①点P 的坐标为(1．①综合得：点P 的坐标为(11),(1-± （4）①点A 或点B 关于对称轴1x =对称 ①连接BH 与直线1x =交点即为F 点． ①点H 的坐标为450,8⎛⎫⎪⎝⎭，点B 的坐标为(3,0)， ①直线BH 的解析式为：154588y x =-+． 令1x =，则154y =． 当点F 的坐标为151,4⎛⎫⎪⎝⎭时，HF AF +的值最小．11分 设抛物线上存在一点()00,K x y ，使得FK FG +的值最小．则由勾股定理可得：()222001514KF x y ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭． 又①点K 在抛物线上，()20014y x ∴=--+()20014x y ∴-=-代入上式中，()2220001517444KF y y y ⎛⎫⎛⎫∴=-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0174KF y ∴=-． 如图，过点K 作直线SK ，使//SK y 轴，且点S 的纵坐标为174．①点S 的坐标为017,4x ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 则0174SK y =-． 000171717,444y y y ⎛⎫<∴-=- ⎪⎝⎭（两处绝对值化简或者不化简者正确．）KF SK ∴=．KF KG SK KG ∴+=+当且仅当,,S K G 三点在一条直线上，且该直线干行于y 轴，FK FG +的值最小． 又①点G 的坐标为(2,0)，02x ∴=，将其代入抛物线解析式中可得：03y =．①当点K 的坐标为(2,3)时，KF KG +最小．4.解：（1）①点P 和点Q 分别为CB ，BO 的中点，①PQ 为①BOC 的中位线，①四边形ABCD 是正方形，①AC①BO ，①12PQ BO =，PQ BO ⊥； 故答案为：12PQ BO =，PQ BO ⊥； （2）PQB ∆的形状是等腰直角三角形．理由如下：连接O P '并延长交BC 于点F ，由正方形的性质及旋转可得AB BC =，①90ABC =°，AO E ∆'是等腰直角三角形，//O E BC '，O E O A '='．①O EP FCP ∠'=∠，'PO E PFC ∠=∠．又①点P 是CE 的中点，①CP EP =．① ()O PE FPC AAS ∆'∆≌．①''O E FC O A ==，'O P FP =．①AB O A CB FC -'=-，①BO BF '=．①'O BF ∆为等腰直角三角形．①'BP O F ⊥，'O P BP =．①BPO ∆'也为等腰直角三角形．又①点Q 为'O B 的中点，①'PQ O B ⊥，且PQ BQ =．①PQB ∆的形状是等腰直角三角形．（3）延长O E '交BC 边于点G ，连接PG ，'O P ．①四边形ABCD 正方形，AC 是对角线，①45ECG ∠=︒．由旋转得，四边形O ABG '是矩形，①O G AB BC '==，90EGC ∠=︒．①EGC ∆为等腰直角三角形．①点P 是CE 的中点，①PC PG PE ==，90CPG ∠=︒，45EGP ∠=︒．①' ()O GP BCP SAS ∆∆≌．①O PG BPC ∠'=∠，O P BP '=．①90O PG GPB BPC GPB ∠'-∠=∠-∠=︒．①'90O PB ∠=︒．①O PB ∆'为等腰直角三角形．①Q 是O B '的中点， ①12PQ O B BQ ='=，PQ O B ⊥'． ①1AB =，①2O A '=，O B '==，①BQ =①1132216PQB S BQ PQ ∆=⋅==．是5.（1）123;S S S +=（2）成立；①①1=①2=①3，①D=①E=①F ，①①ABD①①CAE①①BCF. ①22122233,.S S AB AC S BC S BC ==①221223.S S AB AC S BC++=①①ABC 为直角三角形①222AB AC BC +=.①1231S S S +=，①123S S S +=，①成立.（3）过点A 作AH ①BP 于点H.①①ABH=30°，AB=3,60AH BH BAH ==∠=︒.①①BAP=105°，.①AP =BP=BH+PH=3+①2ABP BP AH S ∆⋅===.连接PD.①2PE ED ==，①33PE EDAP AB ====. ①.PEEDAP AB =又①①E=①BAP=105°，①ABP①①EDP.①①EPD=①APB=45°，BD PEBP AP ==.①①BPD=90°，1PD =+①2311()3232BPD ABP S S ∆∆=⋅=⋅=连接BD.①32BPD PB PD S ∆⋅===.①tan①PBD=PDBP =①①PBD=30°.①①ABC=90°，①ABC=30°，①①DBC=30°①①C=105°，①①ABP①①EDP①①CBD.①S ①BCD =S ①ABP +S ①EDP 2+=.①S 五边形ABCDE =S ①ABP +S ①EDP +S ①BCD +S ①BPD2)3)7++=6.（1）由题知60BAB '∠=°，90BAD ∠=°，AB AD AB '==∴30B AD '∠=°，且ABB '为等边三角形∴60AB B '∠=°，1(18030)752AB D ︒︒︒'∠=-= ∴180607545DB E ︒︒︒︒'∠=--=∵DE BB '⊥∴90DEB '∠=°∴45B DE '∠=°∴DEB '△等腰直角三角形连接BD ，如图所示∵45BDC B DE '∠=∠=°∴BDC B DC B DE B DC '''∠-∠=∠-∠即BDB CDE '∠=∠∵2CD DE BD DB ==' ∴BDB CDE '△△∴2BB CE '=（2）①两个结论仍然成立连接BD ，如图所示：∵AB AB '=，BAB α'∠= ∴902ABB α︒'∠=- ∵90,B AD AD AB α︒''∠=-= ∴1352AB D α︒'∠=-∴45EB D AB D AB B ︒'''∠=∠-∠=∵DE BB '⊥∴45EDB EB D ︒''∠=∠=∴DEB '△是等腰直角三角形∴DB DE'=∵四边形ABCD正方形∴45BD BDC CD︒=∠= ∴BD DB CD DE'= ∵EDB BDC '∠=∠∴B DB EDC '∠=∠∴B DB EDC '△△∴BB BD CE CD'==∴结论不变，依然成立②若以点,,,B E C D '为顶点的四边形是平行四边形时，分两种情况讨论 第一种：以CD 为边时，则//CD B E '，此时点B '在线段BA 的延长线上， 如图所示：此时点E 与点A 重合，∴BE CE B E '==，得1BE B E='； ②当以CD 为对角线时，如图所示：此时点F 为CD 中点，∵DE BB '⊥∴CB BB ''⊥∵90BCD ︒∠=∴BCF CB F BB C ''△△△ ∴2BC CB BB CF B F CB ''===''∴4BB B F ''=∴6,2BE B F B E B F '''== ∴3BE B E=' 综上：BE B E '的值为3或1．7.（1）当点P 在BC 上时，PA①BC 时PA 最小，①AB=AC ，①ABC 为等腰三角形，①PA min =tanC·2BC =34×4=3； （2）过A 点向BC 边作垂线，交BC 于点E ，S 上=S ①APQ ，S 下=S 四边形BPQC ，①APQ B ∠=∠，①PQ①BC ，①①APQ①①ABC ， ①AP AD PQ AB AC BC==， ①2APQABC S AP S AB ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭， 当S S 上下=45时，24=9APQ ABC S AP S AB ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭， ①23AP AB =， AE=2BC ·tan 3C =， 根据勾股定理可得AB=5，①2253AP MP AB +==， 解得MP=43； （3）当0≤x≤3时，P 在BM 上运动， P 到AC 的距离：d=PQ·sinC ，由（2）可知sinC=35， ①d=35PQ ， ①AP=x+2， ①25AP x PQ AB BC+==， ①PQ=285x +⨯， ①d=23855x +⨯⨯=24482525x +， 当3≤x≤9时，P 在BN 上运动，BP=x -3，CP=8-（x -3）=11-x ， d=CP·sinC=35（11-x ）=-35x+335， 综上()()24480325253333955x x d x x ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪-+≤≤⎪⎩； （4）AM=2<AQ=94， 移动的速度=936=14， ①从Q 平移到K ，耗时：92414-=1秒， ①P 在BC 上时，K 与Q 重合时CQ=CK=5-94=114， ①①APQ+①QPC=①B+①BAP ，APQ B ∠=∠ ①①QPC=①BAP ，又①①B=①C ，①①ABP①①PCQ ，设BP=y ，CP=8-y ，AB BP PC CQ =，即51184y y =-， 整理得y 2-8y=554-， （y -4）2=94， 解得y 1=52，y 2=112， 52÷14=10秒， 112÷14=22秒， ①点K 被扫描到的总时长36-（22-10）-1=23秒．8.解：（1）如图，过O 作OH①AB 于H ，①AB =①12AH AB ==①AH cos OAH AO ===∠ ①30OAH =︒∠，①OA OB =，①30OBH OAH ==︒∠∠，①1803030120AOB =︒-︒-︒=︒∠；（2）如图，连接OC ，取OC 的中点G ，连接DG 、EG ，①D 是弦AC 的中点，点E 是弦BC 的中点，OA OB OC ==，①OD①AC ，OE①BC ，即①ODC=①OEC=90°， ①122OG DG GE GC OC =====， ①O 、D 、C 、E 四点共圆，G 为①ODE 的外心，①G 在以O 为圆心，2为半径的圆上运动，①120AOB ∠=︒，①运动路径长为120241803ππ⨯=； （3）当点C 靠近A 点时，如图，作CN①AB 交圆O 于N ，作CF①AB 交AB 于F ，交DE 于P ，作OM①CN 交CN 于M ，交DE 于Q ，交AB 于H ，连接OC ，①D 是弦AC 的中点，点E 是弦BC 的中点，①12DE AB ==， ①30OAH =︒∠，4OA =，①OH=2，设1OQ h =，2CP h =，由题可知12OM h h =+，12OH h h =-， ①1112S DE h =⨯⨯，2212S DE h =⨯⨯， ①()12121211112222S S DE h DE h DE h h DE OM +=⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯+=⨯⨯ ()12121211112222S S DE h DE h DE h h DE OH -=⨯⨯-⨯⨯=⨯⨯-=⨯⨯ ①()()2212121221S S S S S S -=+-=，①112122DE OM DE OH ⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即1122122OM ⎛⎫⎛⎫⨯⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 解得72OM =，①CM ==FH =由于AH =，①AF = 又①73222CF MH OM OH ==-=-=，①AC ==，同理当点C 靠近B 点时，可知AC ==综上所述，AC =-AC =9.解：（1）据题意可设抛物线的解析式为31y a x x =+-()()，将点()0,3C 代入，可得1a =-①抛物线的解析式为223y x x =--+；（2）设直线AC 的解析式为：y kx b =+，将(3,0)A -、(0,3)C 代入得033k b b =-+⎧⎨=⎩， 解得13k b =⎧⎨=⎩，①直线AC 的解析式：3y x ， 当30m -<<时，点(),P m n 在直线AC 上方，过点P 作x 轴的垂线与线段AC 相交于点Q ，将x m =分别代入223y x x =--+和3y x 得()2,23P m m m --+，(,3)Q m m +，①223(3)PQ m m m =--+-+23m m =--23924m ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭ ①30m -<<，①当且仅当32m =-时，PQ 取得最大值， 此时1322PAC S PQ AO PQ =⨯=最大， ①32m =-； （3）由(3,0)A -、(1,0)B 、(0,3)C 得4,1,3AB OB CO ===， ①210BC =，45CAO ︒∠=，①226BA BC -=，连接BC ，过B 作AC 的垂线交抛物线于点D ，交AC 于点H ，则90,45AHB DBA CAO ∠=︒∠=∠=︒，2222226DA DC HA HC BA BC -=-=-=，①CAO DBA ∠=∠，①BD 与AC 关于AB 的垂直平分线对称，即关于抛物线的对称轴1x =-对称， ①点D 与点C 关于抛物线的对称轴1x =-对称，又①()0,3C ，①点D 的坐标为（-2，3）．。
2021中考数学压轴题专项训练有答案解析-2021中考数学压轴题
2021中考数学压轴题专项训练有答案解析:2021中考数学压轴题20XX中考压轴题专项训练训练目标1.熟悉题型结构，辨识题目类型，调用解题方法；2.书写框架明晰，踩点得分（完整、快速、简洁）。
题型结构及解题方法压轴题综合性强，知识高度融合，侧重考查学生对知识的综合运用能力，对问题背景的研究能力以及对数学模型和套路的调用整合能力。
考查要点常考类型举例题型特征解题方法问题背景研究求坐标或函数解析式，求角度或线段长已知点坐标、解析式或几何图形的部分信息研究坐标、解析式，研究边、角，特殊图形。
模型套路调用求面积、周长的函数关系式，并求最值速度已知，所求关系式和运动时间相关① 分段：动点转折分段、图形碰撞分段；② 利用动点路程表达线段长；③ 设计方案表达关系式。
坐标系下，所求关系式和坐标相关① 利用坐标及横平竖直线段长；② 分类：根据线段表达不同分类；③ 设计方案表达面积或周长。
求线段和（差）的最值有定点（线）、不变量或不变关系利用几何模型、几何定理求解，如两点之间线段最短、垂线段最短、三角形三边关系等。
套路整合及分类讨论点的存在性点的存在满足某种关系，如满足面积比为9:10 ① 抓定量，找特征；② 确定分类；.③ 根据几何特征或函数特征建等式。
图形的存在性特殊三角形、特殊四边形的存在性① 分析动点、定点或不变关系（如平行）；② 根据特殊图形的判定、性质，确定分类；根据几何特征或函数特征建等式。
三角形相似、全等的存在性① 找定点，分析目标三角形边角关系；② 根据判定、对应关系确定分类；③ 根据几何特征建等式求解。
答题规范动作1.试卷上探索思路、在演草纸上演草。
2.合理规划答题卡的答题区域：两栏书写，先左后右。
作答前根据思路，提前规划，确保在答题区域内写完答案；同时方便修改。
3.作答要求：框架明晰，结论突出，过程简洁。
23题作答更加注重结论，不同类型的作答要点：几何推理环节，要突出几何特征及数量关系表达，简化证明过程；面积问题，要突出面积表达的方案和结论；几何最值问题，直接确定最值存在状态，再进行求解；存在性问题，要明确分类，突出总结。
2021中考数学真题分类专题14 二次函数解答压轴题(共32题含解析)
专题14二次函数解答压轴题（共32题）一、解答题1．（2021·北京中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，点()1,m 和点()3n ,在抛物线()20y ax bx a =+>上． （1）若3,15m n ==，求该抛物线的对称轴；（2）已知点()()()1231,,2,,4,y y y -在该抛物线上．若0mn <，比较123,,y y y 的大小，并说明理由．2．（2021·江苏南京市·中考真题）已知二次函数2y ax bx c =++的图像经过()()2,1,2,3--两点．（1）求b 的值．（2）当1c >-时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是________．（3）设()0m ,是该函数的图像与x 轴的一个公共点，当13m -<<时，结合函数的图像，直接写出a 的取值范围．3．（2021·安徽中考真题）已知抛物线221(0)y ax x a =-+≠的对称轴为直线1x =．（1）求a 的值；（2）若点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）都在此抛物线上，且110x -<<，212x <<．比较y 1与y 2的大小，并说明理由；（3）设直线(0)y m m =>与抛物线221y ax x =-+交于点A 、B ，与抛物线23(1)y x =-交于点C ，D ，求线段AB 与线段CD 的长度之比．4．（2021·浙江绍兴市·中考真题）小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，如图1，杯体ACB 是抛物线的一部分，抛物线的顶点C 在y 轴上，杯口直径4AB =，且点A ，B 关于y 轴对称，杯脚高4CO =，杯高8DO =，杯底MN 在x 轴上．（1）求杯体ACB 所在抛物线的函数表达式（不必写出x 的取值范围）．（2）为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如图2，杯体A CB ''所在抛物线形状不变，杯口直径//A B AB ''，杯脚高CO 不变，杯深CD '与杯高OD '之比为0.6，求A B ''的长．5．（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 为正方形，点A ，B 在x 轴上，抛物线2y x bx c =++经过点B ，()4,5D -两点，且与直线DC 交于另一点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）F 为抛物线对称轴上一点，Q 为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q ，F ，E ，B 为顶点的四边形是以BE 为边的菱形．若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）P 为y 轴上一点，过点P 作抛物线对称轴的垂线，垂足为M ，连接ME ，BP ．探究EM MP PB ++是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点M 的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2021·四川南充市·中考真题）如图，已知抛物线2()40y ax bx a =++≠与x 轴交于点A （1，0）和B ，与y 轴交于点C ，对称轴为52x =．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P 是线段BC 上的一个动点（不与点B ，C 重合），过点P 作y 轴的平行线交抛物线于点Q ，连接OQ ．当线段PQ 长度最大时，判断四边形OCPQ 的形状并说明理由．（3）如图2，在（2）的条件下，D 是OC 的中点，过点Q 的直线与抛物线交于点E ，且2DQE ODQ ∠=∠．在y 轴上是否存在点F ，使得BEF 为等腰三角形？若存在，求点F 的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2021·四川广元市·中考真题）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴分别相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，下表给出了这条抛物线上部分点(,)x y 的坐标值： x … 1- 0 1 2 3 …y 03 4 3 0 … （1）求出这条抛物线的解析式及顶点M 的坐标；（2）PQ 是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P 在点Q 上方），求AQ QP PC ++的最小值； （3）如图2，点D 是第四象限内抛物线上一动点，过点D 作DF x ⊥轴，垂足为F ，ABD △的外接圆与DF 相交于点E ．试问：线段EF 的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．8．（2021·湖北荆州市·中考真题）已知：直线1y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点C 为直线AB 上一动点，连接OC ，AOC ∠为锐角，在OC 上方以OC 为边作正方形OCDE ，连接BE ，设BE t =． （1）如图1，当点C 在线段AB 上时，判断BE 与AB 的位置关系，并说明理由；（2）真接写出点E 的坐标（用含t 的式子表示）；（3）若tan AOC k ∠=，经过点A 的抛物线()20y ax bx c a =++>顶点为P ，且有6320a b c ++=，POA 的面积为12k ．当2t =时，求抛物线的解析式．9．（2021·四川资阳市·中考真题）抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且()()1,0,0,3B C -．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P 是抛物线上位于直线AC 上方的一点，BP 与AC 相交于点E ，当:1:2PE BE =时，求点P 的坐标；（3）如图2，点D 是抛物线的顶点，将抛物线沿CD 方向平移，使点D 落在点D 处，且2DD CD '=，点M 是平移后所得抛物线上位于D 左侧的一点，//MN y 轴交直线OD '于点N ，连结CN ．5D N CN '+的值最小时，求MN 的长． 10．（2021·四川南充市·中考真题）超市购进某种苹果，如果进价增加2元/千克要用300元；如果进价减少2元/千克，同样数量的苹果只用200元．（1）求苹果的进价．（2）如果购进这种苹果不超过100千克，就按原价购进；如果购进苹果超过100千克，超过部分购进价格减少2元/千克．写出购进苹果的支出y （元）与购进数量x （千克）之间的函数关系式．（3）超市一天购进苹果数量不超过300千克，且购进苹果当天全部销售完．据统计，销售单价z （元/千克）与一天销售数量x （千克）的关系为112100z x =-+．在（2）的条件下，要使超市销售苹果利润w （元）最大，求一天购进苹果数量．（利润＝销售收入-购进支出）11．（2021·湖北十堰市·中考真题）已知抛物线25y ax bx =+-与x 轴交于点()1,0A -和()5,0B -，与y轴交于点C ，顶点为P ，点N 在抛物线对称轴上且位于x 轴下方，连AN 交抛物线于M ，连AC 、CM ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当tan 2ACM ∠=时，求M 点的横坐标；（3）如图2，过点P 作x 轴的平行线l ，过M 作MD l ⊥于D ，若3MD MN =，求N 点的坐标． 12．（2021·湖北十堰市·中考真题）某商贸公司购进某种商品的成本为20元/kg ，经过市场调研发现，这种商品在未来40天的销售单价y （元/kg ）与时间x （天）之间的函数关系式为：0.2530(120)35(2040)x x y x +≤≤⎧=⎨<≤⎩且x 为整数，且日销量()kg m 与时间x （天）之间的变化规律符合一次函数关系，如下表： 时间x （天） 1 3 6 10 …日销量()kg m 142 138 132 124 …填空：（1）m 与x 的函数关系为___________；（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？（3）在实际销售的前20天中，公司决定每销售1kg 商品就捐赠n 元利润（4n <）给当地福利院，后发现：在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x 的增大而增大，求n 的取值范围．13．（2021·四川达州市·中考真题）渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克．为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施．批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．（1）写出工厂每天的利润W 元与降价x 元之间的函数关系．当降价2元时，工厂每天的利润为多少元？ （2）当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？（3）若工厂每天的利润要达到9750元，并让利于民，则定价应为多少元？14．（2021·湖南怀化市·中考真题）某超市从厂家购进A 、B 两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如下表： 进货批次 A 型水杯（个） B 型水杯（个） 总费用（元）一100 200 8000 二 200 300 13000（1）求A 、B 两种型号的水杯进价各是多少元？（2）在销售过程中，A 型水杯因为物美价廉而更受消费者喜欢．为了增大B 型水杯的销售量，超市决定对B 型水杯进行降价销售，当销售价为44元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市应将B 型水杯降价多少元时，每天售出B 型水杯的利润达到最大？最大利润是多少？（3）第三次进货用10000元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个A 型水杯可获利10元，售出一个B 型水杯可获利9元，超市决定每售出一个A 型水杯就为当地“新冠疫情防控”捐b 元用于购买防控物资．若A 、B 两种型号的水杯在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时b 为多少？利润为多少？15．（2021·湖北黄冈市·中考真题）已知抛物线23y ax bx =+-与x 轴相交于(1,0)A -，(3,0)B 两点，与y轴交于点C ，点(,0)N n 是x 轴上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若3n <，过点N 作x 轴的垂线交抛物线于点P ，交直线BC 于点G ．过点P 作PD BC ⊥于点D ，当n 为何值时，PDG BNG ≌；（3）如图2，将直线BC 绕点B 顺时针旋转，使它恰好经过线段OC 的中点，然后将它向上平移32个单位长度，得到直线1OB ．①1tan BOB ∠=______；①当点N 关于直线1OB 的对称点1N 落在抛物线上时，求点N 的坐标．16．（2021·湖北黄冈市·中考真题）红星公司销售一种成本为40元/件的产品，若月销售单价不高于50元/件．一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元，月销售量就减少0.1万件．其中月销售单价不低于成本．设月销售单价为x （单位：元/件），月销售量为y （单位：万件）．（1）直接写出y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）当月销售单价是多少元/件时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？（3）为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款a 元．已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元，求a 的值．17．（2021·新疆中考真题）已知抛物线223(0)y ax ax a =-+≠． （1）求抛物线的对称轴；（2）把抛物线沿y 轴向下平移3a 个单位，若抛物线的顶点落在x 轴上，求a 的值；（3）设点()1,P a y ，()22,Q y 在抛物线上，若12y y >，求a 的取值范围．18．（2021·湖南长沙市·中考真题）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于y 轴对称，则把该函数称之为“T 函数”，其图象上关于y 轴对称的不同两点叫做一对“T 点”．根据该约定，完成下列各题．（1）若点()1,A r 与点(),4B s 是关于x 的“T 函数”()()240,0,0,.x x y tx x t t ⎧-<⎪=⎨⎪≥≠⎩是常数的图象上的一对“T 点”，则r =______，s =______，t =______（将正确答案填在相应的横线上）；（2）关于x 的函数y kx p =+（k ，p 是常数）是“T 函数”吗？如果是，指出它有多少对“T 点”；如果不是，请说明理由；（3）若关于x 的“T 函数”2y ax bx c =++（0a >，且a ，b ，c 是常数）经过坐标原点O ，且与直线:l y mx n =+（0m ≠，0n >，且m ，n 是常数）交于()11,M x y ，()22,N x y 两点，当1x ，2x 满足()11211x x --+=时，直线l 是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由．19．（2021·四川广安市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++的图象与坐标轴相交于A 、B 、C 三点，其中A 点坐标为()3,0，B 点坐标为()1,0-，连接AC 、BC ．动点P 从点A 出发，在线段AC C 做匀速运动；同时，动点Q 从点B 出发，在线段BA 上以每秒1个单位长度向点A 做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ ，设运动时间为t 秒．（1）求b 、c 的值；（2）在P 、Q 运动的过程中，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小，最小值为多少？（3）在线段AC 上方的抛物线上是否存在点M ，使MPQ 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．20．（2021·陕西中考真题）已知抛物线228y x x =-++与x 轴交于点A 、B （其中A 在点B 的左侧），与y轴交于点C ．（1）求点B 、C 的坐标；（2）设点C '与点C 关于该抛物线的对称轴对称在y 轴上是否存在点P ，使PCC '△与POB 相似且PC 与PO 是对应边？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．21．（2021·浙江杭州市·中考真题）在直角坐标系中，设函数21y ax bx =++（a ，b 是常数，0a ≠）．（1）若该函数的图象经过()1,0和()2,1两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标．（2）写出一组a ，b 的值，使函数21y ax bx =++的图象与x 轴有两个不同的交点，并说明理由．（3）已知1a b ==，当,x p q =（p ，q 是实数，p q ≠）时，该函数对应的函数值分别为P ，Q ．若2p q +=，求证6P Q +>．22．（2021·重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线24(0)y ax bx a =+-≠与x 轴交于点()1,0A -，()4,0B ，与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的解析式；（2）直线l 为该抛物线的对称轴，点D 与点C 关于直线l 对称，点P 为直线AD 下方抛物线上一动点，连接P A ，PD ，求PAD △面积的最大值；（3）在（2）的条件下，将抛物线24(0)y ax bx a =+-≠沿射线AD 平移42得到新的抛物线1y ，点E 为点P 的对应点，点F 为1y 的对称轴上任意一点，在1y 上确定一点G ，使得以点D ，E ，F ，G 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点G 的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程． 23．（2021·四川遂宁市·中考真题）如图，已知二次函数的图象与x 轴交于A 和B （－3，0）两点，与y 轴交于C （0，－3），对称轴为直线1x =-，直线y ＝－2x ＋m 经过点A ，且与y 轴交于点D ，与抛物线交于点E ，与对称轴交于点F ．（1）求抛物线的解析式和m 的值；（2）在y 轴上是否存在点P ，使得以D 、E 、P 为顶点的三角形与①AOD 相似，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由；（3）直线y ＝1上有M 、N 两点（M 在N 的左侧），且MN ＝2，若将线段MN 在直线y ＝1上平移，当它移动到某一位置时，四边形MEFN 的周长会达到最小，请求出周长的最小值（结果保留根号）．24．（2021·四川泸州市·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线213442y x x =-++与两坐标轴分别相交于A ，B ，C 三点 （1）求证：①ACB =90°（2）点D 是第一象限内该抛物线上的动点，过点D 作x 轴的垂线交BC 于点E ，交x 轴于点F ． ①求DE +BF 的最大值；①点G 是AC 的中点，若以点C ，D ，E 为顶点的三角形与AOG 相似，求点D 的坐标．25．（2021·云南中考真题）已知抛物线22y x bxc 经过点()0,2-，当4x <-时，y 随x 的增大而增大，当4x >-时，y 随x 的增大而减小．设r 是抛物线22yx bxc 与x 轴的交点（交点也称公共点）的横坐标，97539521601r r r r r m r r +-++-=+-． （1）求b 、c 的值：（2）求证：2242160r r r -+=；（3）以下结论：1,1,1m m m <=>，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论．26．（2021·山东泰安市·中考真题）二次函数2()40y ax bx a =++≠的图象经过点(4,0)A -，(1,0)B ，与y 轴交于点C ，点P 为第二象限内抛物线上一点，连接BP 、AC ，交于点Q ，过点P 作PD x ⊥轴于点D ．（1）求二次函数的表达式；（2）连接BC ，当2DPB BCO ∠=∠时，求直线BP 的表达式； （3）请判断：PQQB是否有最大值，如有请求出有最大值时点P 的坐标，如没有请说明理由． 27．（2021·江苏连云港市·中考真题）如图，抛物线()223(69)y mx m x m =++-+与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，已知(3,0)B ．（1）求m 的值和直线BC 对应的函数表达式；（2）P 为抛物线上一点，若PBC ABC S S =△△，请直接写出点P 的坐标； （3）Q 为抛物线上一点，若45ACQ ∠=︒，求点Q 的坐标．28．（2021·重庆中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =++经过A （0，﹣1），B （4，1）．直线AB 交x 轴于点C ，P 是直线AB 下方抛物线上的一个动点．过点P 作PD ①AB ，垂足为D ，PE ①x 轴，交AB 于点E ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当①PDE 的周长取得最大值时，求点P 的坐标和①PDE 周长的最大值；（3）把抛物线2y x bx c =++平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点P ．M 是新抛物线上一点，N 是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形的点M 的坐标，并把求其中一个点M 的坐标的过程写出来．29．（2021·浙江中考真题）今年以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数三月份为4万人，五月份为5.76万人．（1）求四月和五月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长百分之几； （2）若该景区仅有,A B 两个景点，售票处出示的三种购票方式如表所示： 购票方式 甲乙丙可游玩景点 ABA 和B门票价格100元/人80元/人160元/人据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2万、3万和2万．并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票．①若丙种门票价格下降10元，求景区六月份的门票总收入；①问：将丙种门票价格下降多少元时，景区六月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？30．（2021·湖北武汉市·中考真题）在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A ，B 两种农作物为原料开发了一种有机产品，A 原料的单价是B 原料单价的1.5倍，若用900元收购A 原料会比用900元收购B 原料少100kg ．生产该产品每盒需要A 原料2kg 和B 原料4kg ，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒． （1）求每盒产品的成本（成本＝原料费＋其他成本）；（2）设每盒产品的售价是x 元（x 是整数），每天的利润是w 元，求w 关于x 的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；（3）若每盒产品的售价不超过a 元（a 是大于60的常数，且是整数），直接写出每天的最大利润．31．（2021·四川乐山市·中考真题）已知二次函数2y ax bx c =++的图象开口向上，且经过点30,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，12,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭．（1）求b 的值（用含a 的代数式表示）；（2）若二次函数2y ax bx c =++在13x ≤≤时，y 的最大值为1，求a 的值；（3）将线段AB 向右平移2个单位得到线段A B ''．若线段A B ''与抛物线241y ax bx c a =+++-仅有一个交点，求a 的取值范围．32．（2021·四川自贡市·中考真题）如图，抛物线(1)()y x x a =+-（其中1a >）与x 轴交于A 、B 两点，交y 轴于点C ．（1）直接写出OCA ∠的度数和线段AB 的长（用a 表示）；（2）若点D 为ABC 的外心，且BCD △与ACO △104，求此抛物线的解析式； （3）在（2）的前提下，试探究抛物线(1)()y x x a =+-上是否存在一点P ，使得CAP DBA ∠=∠？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2021年中考数学真题分项汇编【全国通用】 专题14二次函数解答压轴题 试题解析（共32题）一、解答题1．（2021·北京中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，点()1,m 和点()3n ,在抛物线()20y ax bx a =+>上．（1）若3,15m n ==，求该抛物线的对称轴；（2）已知点()()()1231,,2,,4,y y y -在该抛物线上．若0mn <，比较123,,y y y 的大小，并说明理由． 【答案】（1）1x =-；（2）213y y y <<，理由见解析 【分析】（1）由题意易得点()1,3和点()3,15，然后代入抛物线解析式进行求解，最后根据对称轴公式进行求解即可；（2）由题意可分当0,0m n <>时和当0,0m n ><时，然后根据二次函数的性质进行分类求解即可． 【详解】解：（1）当3,15m n ==时，则有点()1,3和点()3,15，代入二次函数()20y ax bx a =+>得：39315a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得：12a b =⎧⎨=⎩， ①抛物线解析式为22y x x =+， ①抛物线的对称轴为12bx a=-=-； （2）由题意得：抛物线()20y ax bx a =+>始终过定点()0,0，则由0mn <可得：①当0,0m n ><时，由抛物线()20y ax bx a =+>始终过定点()0,0可得此时的抛物线开口向下，即0a <，与0a >矛盾； ①当0,0m n <>时，①抛物线()20y ax bx a =+>始终过定点()0,0，①此时抛物线的对称轴的范围为1322x <<，①点()()()1231,,2,,4,y y y -在该抛物线上， ①它们离抛物线对称轴的距离的范围分别为()3513571,2,4222222x x x <--<<-<<-<， ①0a >，开口向上，①由抛物线的性质可知离对称轴越近越小， ①213y y y <<． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．2．（2021·江苏南京市·中考真题）已知二次函数2y ax bx c =++的图像经过()()2,1,2,3--两点．（1）求b 的值．（2）当1c >-时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是________．（3）设()0m ,是该函数的图像与x 轴的一个公共点，当13m -<<时，结合函数的图像，直接写出a 的取值范围．【答案】（1）1b =-；（2）1；（3）0a <或45a >． 【分析】（1）将点()()2,1,2,3--代入求解即可得；（2）先求出二次函数的顶点的纵坐标，再利用完全平方公式、不等式的性质求解即可得； （3）分0a <和0a >两种情况，再画出函数图象，结合图象建立不等式组，解不等式组即可得． 【详解】解：（1）将点()()2,1,2,3--代入2y ax bx c =++得：421423a b c a b c -+=⎧⎨++=-⎩，两式相减得：44b -=， 解得1b =-；（2）由题意得：0a ≠，由（1）得：2211()24y ax x c a x c a a=-+=-+-， 则此函数的顶点的纵坐标为14c a-， 将点()2,3-代入2y ax x c =-+得：423a c -+=-，解得41a c -=+， 则1141c c a c -=++，下面证明对于任意的两个正数00,x y ，都有00x y +≥2000(0x x y -=+-≥，00x y ∴+≥00x y =时，等号成立）， 当1c >-时，10c +>，则11111111c c c c +=++-≥=++（当且仅当111c c +=+，即0c 时，等号成立）， 即114c a-≥， 故当1c >-时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是1；（3）由423a c -+=-得：41c a =--，则二次函数的解析式为241(0)y ax x a a =---≠，由题意，分以下两种情况：①如图，当0a <时，则当1x =-时，0y >；当3x =时，0y <，即141093410a a a a +-->⎧⎨---<⎩， 解得0a <；①如图，当0a >时，当1x =-时，14130y a a a =+--=-<，∴当3x =时，93410y a a =--->， 解得45a >， 综上，a 的取值范围为0a <或45a >． 【点睛】 本题考查了二次函数的图象与性质等知识点，较难的是题（3），熟练掌握函数图象法是解题关键．3．（2021·安徽中考真题）已知抛物线221(0)y ax x a =-+≠的对称轴为直线1x =．（1）求a 的值；（2）若点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）都在此抛物线上，且110x -<<，212x <<．比较y 1与y 2的大小，并说明理由；（3）设直线(0)y m m =>与抛物线221y ax x =-+交于点A 、B ，与抛物线23(1)y x =-交于点C ，D ，求线段AB 与线段CD 的长度之比．【答案】（1）1a =；（2）12y y >，见解析；（3【分析】（1）根据对称轴2b x a=-，代值计算即可 （2）根据二次函数的增减性分析即可得出结果（3）先根据求根公式计算出1x =±再表示出1(1)|AB =-，12CD x x =-=3=即可得出结论【详解】解：（1）由题意得：212x a-=-= 1a（2）抛物线对称轴为直线1x =，且10a =>∴当1x <时，y 随x 的增大而减小，当1x >时，y 随x 的增大而增大．∴当111x -<<时，y 1随x 1的增大而减小，1x =-时，4y =，0x =时，1y =114y ∴<<同理：212x <<时，y 2随x 2的增大而增大1x =时，0y =．2x =时，1y =201y ∴<<12y y ∴>（3）令221x x m -+=22(1)0x x m -+-=2(2)41(1)m ∆=--⋅⋅-4m =1x ∴==11x ∴=21x =|1(1)|AB ∴=-=令23(1)x m -= 2(1)3m x ∴-=113x ∴=+213x =-+ 12CD x x ∴=-=AB CD ∴==∴AB 与CD【点睛】本题考查二次函数的图像性质、二次函数的解析式、对称轴、函数的交点、正确理解二次函数的性质是关键，利用交点的特点解题是重点4．（2021·浙江绍兴市·中考真题）小聪设计奖杯，从抛物线形状上获得灵感，在平面直角坐标系中画出截面示意图，如图1，杯体ACB 是抛物线的一部分，抛物线的顶点C 在y 轴上，杯口直径4AB =，且点A ，B 关于y 轴对称，杯脚高4CO =，杯高8DO =，杯底MN 在x 轴上．（1）求杯体ACB 所在抛物线的函数表达式（不必写出x 的取值范围）．（2）为使奖杯更加美观，小敏提出了改进方案，如图2，杯体A CB ''所在抛物线形状不变，杯口直径//A B AB ''，杯脚高CO 不变，杯深CD '与杯高OD '之比为0.6，求A B ''的长．【答案】（1）24y x =+；（2）26【分析】（1）确定B 点坐标后，设出抛物线解析式，利用待定系数法求解即可；（2）利用杯深 CD ′ 与杯高 OD ′ 之比为0.6，求出OD ′ ，接着利用抛物线解析式求出B '或A '横坐标即可完成求解．【详解】解：（1）设24y ax =+，①杯口直径 AB =4 ，杯高 DO =8 ，①()2,8B将2x =，8y =代入，得1a =，24y x ∴=+．（2）0.6CD OD ''=， 0.64CD CD '∴=+'， 6CD ∴'=，10OD '=，当10y =时，2104x =+，1x =2x =A B ∴''=即杯口直径A B ''的长为【点睛】本题考查了抛物线的应用，涉及到待定系数法求抛物线解析式、求抛物线上的点的坐标等内容，解决本题的关键是读懂题意，找出相等关系列出等式等．5．（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 为正方形，点A ，B 在x 轴上，抛物线2y x bx c =++经过点B ，()4,5D -两点，且与直线DC 交于另一点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）F 为抛物线对称轴上一点，Q 为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q ，F ，E ，B 为顶点的四边形是以BE 为边的菱形．若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）P 为y 轴上一点，过点P 作抛物线对称轴的垂线，垂足为M ，连接ME ，BP ．探究EM MP PB ++是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）223y x x =+-；（2）存在以点Q ，F ，E ，B 为顶点的四边形是以BE 为边的菱形，点F的坐标为(-或(1,-或(1,5-或(1,5-+；（3）EM MP PB ++存在最小值，1+，此时点M 的坐标为51,4⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【分析】 （1）由题意易得5AD AB ==，进而可得()4,0A -，则有()10B ,，然后把点B 、D 代入求解即可； （2）设点()1,F a -，当以点Q ，F ，E ，B 为顶点的四边形是以BE 为边的菱形时，则根据菱形的性质可分①当BF BE =时，①当EF BE =时，然后根据两点距离公式可进行分类求解即可；（3）由题意可得如图所示的图象，连接OM 、DM ，由题意易得DM =EM ，四边形BOMP 是平行四边形，进而可得OM =BP ，则有1EM MP PB DM MO ++=++，若使EM MP PB ++的值为最小，即1DM MO ++为最小，则有当点D 、M 、O 三点共线时，1DM MO ++的值为最小，然后问题可求解．【详解】解：（1）①四边形ABCD 为正方形，()4,5D -，①5AD AB ==，()4,0A -，①4AO =，①OB =1，①()10B ,， 把点B 、D 坐标代入得：164510b c b c -+=⎧⎨++=⎩，解得：23b c =⎧⎨=-⎩， ①抛物线的解析式为223y x x =+-；（2）由（1）可得()10B ,，抛物线解析式为223y x x =+-，则有抛物线的对称轴为直线1x =-， ①点D 与点E 关于抛物线的对称轴对称，①()2,5E ，①由两点距离公式可得()()222120526BE =-+-=，设点()1,F a -，当以点Q ，F ，E ，B 为顶点的四边形是以BE 为边的菱形时，则根据菱形的性质可分：①当BF BE =时，如图所示：①由两点距离公式可得22BF BE =，即()()2211026a ++-=，解得：a =①点F 的坐标为(-或(1,-；①当EF BE =时，如图所示：①由两点距离公式可得22EF BE =，即()()2221526a ++-=，解得：5a =±①点F 的坐标为(1,5--或(1,5-；综上所述：当以点Q ，F ，E ，B 为顶点的四边形是以BE 为边的菱形，点F 的坐标为(-或(1,-或(1,5-或(1,5-； （3）由题意可得如图所示：连接OM 、DM ，由（2）可知点D 与点E 关于抛物线的对称轴对称，()10B ,， ①1OB =，DM =EM ，①过点P 作抛物线对称轴的垂线，垂足为M ，①1,//PM OB PM OB ==，①四边形BOMP 是平行四边形，①OM =BP ，①1EM MP PB DM MO ++=++，若使EM MP PB ++的值为最小，即1DM MO ++为最小，①当点D 、M 、O 三点共线时，1DM MO ++的值为最小，此时OD 与抛物线对称轴的交点为M ，如图所示：①()4,5D -，①OD ==①1DM MO ++1，即EM MP PB ++1+， 设线段OD 的解析式为y kx =，代入点D 的坐标得：54k =-， ①线段OD 的解析式为54y x =-， ①51,4M ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合、菱形的性质及轴对称的性质，熟练掌握二次函数的综合、菱形的性质及轴对称的性质是解题的关键．6．（2021·四川南充市·中考真题）如图，已知抛物线2()40y ax bx a =++≠与x 轴交于点A （1，0）和B ，与y 轴交于点C ，对称轴为52x =．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P 是线段BC 上的一个动点（不与点B ，C 重合），过点P 作y 轴的平行线交抛物线于点Q ，连接OQ ．当线段PQ 长度最大时，判断四边形OCPQ 的形状并说明理由．（3）如图2，在（2）的条件下，D 是OC 的中点，过点Q 的直线与抛物线交于点E ，且2DQE ODQ ∠=∠．在y 轴上是否存在点F ，使得BEF 为等腰三角形？若存在，求点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）254y x x =-+；（2）四边形OCPQ 是平行四边形，理由见详解；（3）（0，258）或（0，1）或（0，-1） 【分析】（1）设抛物线(1)(4)y a x x =--，根据待定系数法，即可求解；（2）先求出直线BC 的解析式为：y =-x +4，设P （x ，-x +4），则Q （x ，254x x -+），（0≤x ≤4），得到PQ =()224x --+，从而求出线段PQ 长度最大值，进而即可得到结论；（3）过点Q 作QM ①y 轴，过点Q 作QN ①y 轴，过点E 作EN ①x 轴，交于点N ，推出MDQ DQN EQN ∠=∠=∠，从而得MQ NEMD NQ=，进而求出E （5，4），设F （0，y ），分三种情况讨论，即可求解．。
2021年广东省中考数学解答题压轴题练习及答案 (5)
2021年广东省中考数学解答题压轴题练习1．如图，矩形OABC顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，点B的坐标为（8，6），点D是BC边上一点，且D为BC中点，OB与AD相交于点E，动点P从点O沿y轴向点C运动，运动速度为1单位长/秒，过点P的直线与x轴平行分别交OB、AD、AB于点M、N、Q，设点P的运动时间为t秒．（1）求点D的坐标和直线AD的解析式；（2）设线段MN的长度为l，求l与t的函数关系式，写出t的取值范围；（3）若点G为过三点O、M、N的圆的圆心（当M、N重合时，规定点G在过M点且与y 轴平行的直线上），当动点P从点O运动到点C，点G也随之运动，求点G的运动路径长．【分析】（1）点D（4，6），点A（8，0），将点AD的坐标代入一次函数表达式，即可求解；（2）分点E在MN上方、点E在MN上方，两种情况分别求解；（3）分点E在MN上方、点E在MN上方，两种情况分别求解．【解答】解：（1）点D（4，6），点A（8，0），将点AD的坐标代入一次函数表达式y＝kx+b得：，解得：，故直线AD的表达式为：y＝﹣x+12，同理直线OB的表达式为：y＝x，联立上述两式并解得：x＝，即点E（，4）；（2）①当点E在MN上方时，即0＜t≤4时，∵PM∥CD，则，即：，则PM＝t，此时点M（t，t），同理点N（8﹣t，t），l＝8﹣t﹣t＝8﹣2t，②当点E在MN上方时，即4＜t≤6时，点M、N的坐标不变；l＝t﹣8+t＝2t﹣8，即：l＝；（3））①当点E在MN上方时，即0＜t≤4时，线段MN的中垂线为x＝4+t，O、M中点的坐标为（t，t），OM中垂线的k值为﹣，则OM中垂线的表达式为：y＝﹣x+t，当x＝4+t时，y＝t﹣，即点G（4+，t﹣），在点G所在的直线表达式为：y＝x﹣，t＝0时，点G（4，﹣），t＝4时，点G（4+，﹣），点G运动的路径为直线即为两点间的距离＝＝，②当点E在MN上方时，即4＜t≤6时，点G所在的直线表达式不变，同理可得在此时间段点G运动的距离为：，故：点G的运动路径长＝+＝．。
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2021年中考数学解答题压轴题每日一题
1．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（8，0）．（1）求抛物线的解析式；
（2）点C是抛物线与y轴的交点，连接BC，设点P是抛物线上在第一象限内的点，PD⊥BC，垂足为点D．
①是否存在点P，使线段PD的长度最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
②当△PDC与△COA相似时，直接写出点P的坐标．
【分析】（1）把A（﹣2，0），B（8，0）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c，即可求解；
（2）①在Rt△PDE中，PD＝PE•sin∠PED＝PE•sin∠OCB＝PE，即可求解；②分∠PCD＝∠CBO、∠PCD＝∠BCO两种情况，分别求解．
【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（8，0）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c得：
y＝﹣（x+2）（x﹣8）＝﹣x2+x+4；
（2）由（1）知C（0，4），∵B（8，0），
将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线BC的解析式为：y＝﹣x+4，
①如图1，过P作PG⊥x轴于G，PG交BC于E，
Rt△BOC中，OC＝4，OB＝8，
∴BC＝＝4，
在Rt△PDE中，PD＝PE•sin∠PED＝PE•sin∠OCB＝PE，
∴当线段PE最长时，PD的长最大，
设P（t，﹣t2+t+4；），则E（t，﹣t+4），
∴PE＝﹣t2+t+4+t﹣4，（0＜t＜8），
当t＝4时，PE有最大值是4，此时P（4，6），
∴PD═，
即当P（4，6）时，PD的长度最大，最大值是；
②∵A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），
∴OA＝2，OB＝8，OC＝4，
∴AC2＝22+42＝20，AB2＝（2+8）2＝100，BC2＝42+82＝80，∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴△COA∽△BOC，
当△PDC与△COA相似时，就有△PDC与△BOC相似，
∵相似三角形的对应角相等，
∴∠PCD＝∠CBO或∠PCD＝∠BCO，
（I）若∠PCD＝∠CBO时，即Rt△PDC∽Rt△COB，
此时CP∥OB，
∵C（0，4），
∴y P＝4，
∴﹣t2+t+4＝4，
解得：x1＝6，x2＝0（舍），
即Rt△PDC∽Rt△COB时，P（6，4）；
（II）若∠PCD＝∠BCO时，
即Rt△PDC∽Rt△BOC，
如图2，过P作x轴的垂线PG，交直线BC于F，
∴PF∥OC，
∴∠PFC＝∠BCO，
∴∠PCD＝∠PFC，
∴PC＝PF，
设P（n，﹣n2+n+4），则PF＝﹣n2+2n，
过P作PN⊥y轴于N，
Rt△PNC中，PC2＝PN2+CN2＝PF2，
∴n2+（﹣n2+n+4﹣4）2＝（﹣n2+2n）2，
解得：n＝3，
即Rt△PDC∽Rt△BOC时，P（3，）；
综上所述，当△PDC与△COA相似时，点P的坐标为（6，4）或（3，）．。