最新新版人教八年级数学下册第二次月考试卷及答案

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人教版八年级(下)学期第二次月考检测数学试题含答案

一、选择题1．如图，正方形ABCD 的对角线相交于O 点，BE 平分∠ABO 交AO 于E 点，CF ⊥BE 于F 点，交BO 于G 点，连接EG 、OF ，下列四个结论：①CE=CB ；②AE=2OE ；③OF=12CG ,其中正确的结论只有( )A ．①②③B ．②③C ．①③D ．①②2．如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，△AEF 是等边三角形连接AC 交EF 于G ，下列结论: ①BE ＝DF ，②∠DAF ＝15°，③AC ⊥EF ，④BE+DF ＝EF ，⑤EC ＝FG ；其中正确结论有( )个A ．2B ．3C ．4D ．53．如图，平行四边形ABCD 中，AE 平分BAD ∠，交BC 于点E ，且AB AE =，延长AB 与DE 的延长线交于点F ，连接AC ，CF ．下列结论：①ABC EAD ∆∆≌；②ABE ∆是等边三角形；③AD BF =；④BEF ACD S S ∆∆=；⑤CEF ABE S S ∆∆=中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．如图所示，在Rt ABC ∆中，90ABC ︒∠=，30BAC ︒∠=，分别以直角边AB 、斜边AC 为边，向外作等边ABD ∆和等边ACE ∆，F 为AC 的中点，DE 与AC 交于点O ，DF 与AB 交于点G ．给出如下结论：①四边形ADFE 为菱形；②DF AB ⊥；③14AO AE =；④4CE FG =；其中正确的是( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④5．如图，一张长方形纸片的长4=AD ，宽1AB =，点E 在边AD 上，点F 在边BC 上，将四边形ABFE 沿着EF 折叠后，点B 落在边AD 的中点G 处，则EG 等于（）A ．3B ．23C ．178D ．546．如图，正方形ABCD （四边相等、四内角相等）中，AD ＝5，点E 、F 是正方形ABCD 内的两点，且AE ＝FC ＝4，BE ＝DF ＝3，则EF 的平方为（）A ．2B ．125C ．3D ．47．将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，AE 、EF 为折痕，∠BAE =30°，AB =3 ，折叠后，点C 落在AD 边上的C 1处，并且点B 落在EC 1边上的B 1处．则BC 的长为（）A 3B ．3C ．2D ．38．如图，正方形ABCD 中，AB=12，点E 在边CD 上，且BG=CG ，将△ADE 沿AE 对折至△AFE，延长EF 交边BC 于点G ，连接AG 、CF ，下列结论：①△ABG≌△AFG；②∠EAG=45°；③CE=2DE；④AG∥CF；⑤S△FGC=725.其中正确结论的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个9．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为（）A．0.5 B．2.5 C．2D．110．如图，已知△ABC的面积为12，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BF=4CF，四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题11．在平行四边形ABCD 中， BC边上的高为4 ，AB=5 ，25AC ，则平行四边形ABCD 的周长等于______________ ．12．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，点E、F分别是直线AB、AC上的动点，∠EDF＝90°，M、N分别是EF、AC的中点，连结AM、MN，若AC=6，AB=5，则AM-MN的最大值为________．13．如图，四边形ABCD ，四边形EBFG ，四边形HMPN 均是正方形，点E 、F 、P 、N 分别在边AB 、BC 、CD 、AD 上，点H 、G 、M 在AC 上，阴影部分的面积依次记为1S ，2S ，则12:S S 等于__________．14．已知在矩形ABCD 中，3,3,2AB BC ==点P 在直线BC 上，点Q 在直线CD 上，且,AP PQ ⊥当AP PQ =时，AP =________________．15．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝2AB ，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，DH ⊥AE 于点H ，连接BH 并延长交CD 于点F ，连接DE 交BF 于点O ，下列结论：①∠AED ＝∠CED ；②OE ＝OD ；③BH ＝HF ；④BC ﹣CF ＝2HE ；⑤AB ＝HF ，其中正确的有_____．16．如图，四边形纸片ABCD 中，AB BC =, 90ABC ADC ∠=∠=︒．若该纸片的面积为10 cm 2，则对角线BD =______cm ．17．菱形OBCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B （30），∠DOB ＝60°，点P 是对角线OC 上一个动点，E （0，－1），则EP 十BP 的最小值为__________．18．菱形ABCD 的周长为24，∠ABC=60°，以AB 为腰在菱形外作底角为45°的等腰△ABE ，连结AC ，CE ，则△ACE 的面积为___________.19．在平行四边形 ABCD 中，AE 平分∠BAD 交边 BC 于 E ，DF 平分∠ADC 交边 BC 于 F ，若 AD=11，EF=5，则 AB= ___．20．已知：如图，在ABC 中，AD BC ⊥，垂足为点D ，BE AC ⊥，垂足为点E ，M 为AB 边的中点，连结ME 、MD 、ED ，设4AB =，30DAC ∠=︒则EM =______；EDM 的面积为______，三、解答题21．如图，在矩形ABCD 中，AD nAB =，E ，F 分别在AB ，BC 上．（1）若1n =，①如图，AF DE ⊥，求证：AE BF =；②如图，点G 为点F 关于AB 的对称点，连结AG ，DE 的延长线交AG 于H ，若AH AD =，猜想AE 、BF 、AG 之间的数量关系，并证明你的猜想．（2）如图，若M 、N 分别为DC 、AD 上的点，则EM FN 的最大值为_____（结果用含n 的式子表示）；（3）如图，若E 为AB 的中点，ADE EDF ∠=∠．则CF BF的值为_______（结果用含n 的式子表示）．22．如图，平行四边形ABCD 中，3AB cm =，5BC cm =，60B ∠=， G 是CD 的中点，E 是边AD 上的动点，EG 的延长线与BC 的延长线交于点F ，连接CE ，DF ．（1）求证：四边形CEDF 是平行四边形；（2） ①当AE 的长为多少时，四边形CEDF 是矩形；②当AE = cm 时，四边形CEDF 是菱形，（直接写出答案，不需要说明理由）．23．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，30C ∠=︒，12AC cm =，点E 从点A 出发沿AB 以每秒1cm 的速度向点B 运动，同时点D 从点C 出发沿CA 以每秒2cm 的速度向点A 运动，运动时间为t 秒（06t <<），过点D 作DF BC ⊥于点F ．（1）试用含t 的式子表示AE 、AD 、DF 的长；（2）如图①，连接EF ，求证四边形AEFD 是平行四边形；（3）如图②，连接DE ，当t 为何值时，四边形EBFD 是矩形？并说明理由．24．在矩形ABCD 中，将矩形折叠，使点B 落在边AD （含端点）上，落点记为E ，这时折痕与边BC 或者边CD （含端点）交于点F （如图1和图2），然后展开铺平，连接BE ，EF ．（1）操作发现：①在矩形ABCD 中，任意折叠所得的△BEF 是一个三角形；②当折痕经过点A 时，BE 与AE 的数量关系为．（2）深入探究：在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝23．①当△BEF 是等边三角形时，求出BF 的长；②△BEF 的面积是否存在最大值，若存在，求出此时EF 的长；若不存在，请说明理由．25．社团活动课上，数学兴趣小组的同学探索了这样的一个问题：如图1，90MON ∠=，点A 为边OM 上一定点，点B 为边ON 上一动点，以AB 为一边在∠MON 的内部作正方形ABCD ，过点C 作CF OM ⊥，垂足为点F （在点O 、A 之间），交BD 与点E ，试探究AEF ∆的周长与OA 的长度之间的等量关系该兴趣小组进行了如下探索：（动手操作，归纳发现）（1）通过测量图1、2、3中线段AE 、AF 、EF 和OA 的长，他们猜想AEF ∆的周长是OA 长的_____倍．请你完善这个猜想（推理探索，尝试证明）为了探索这个猜想是否成立，他们作了如下思考，请你完成后续探索过程：（2）如图4，过点C 作CG ON ⊥，垂足为点G则90CGB ∠=90GCB CBG ∴∠+∠= 又四边形ABCD 正方形，AB BC =，90ABC ∠=则90CBG ABO ∠+∠=GCB ABO ∴∠=∠在CBE ∆与ABE ∆中，（类比探究，拓展延伸）（3）如图5，当点F 在线段OA 的延长线上时，直接写出线段AE 、EF 、AF 与OA 长度之间的等量关系为．26．已知如图1,四边形ABCD 是正方形，45EAF ︒∠= ．()1如图1,若点,E F 分别在边BC CD 、上,延长线段CB 至G ,使得BG DF =,若3,2BE BG ==，求EF 的长；()2如图2，若点,E F 分别在边CB DC 、延长线上时，求证： .EF DF BE =-()3如图3,如果四边形ABCD 不是正方形，但满足,90,45,AB AD BAD BCD EAF ︒︒=∠=∠=∠=且7, 13,5BC DC CF ===，请你直接写出BE 的长．27．在平面直角坐标中，四边形OCNM 为矩形，如图1，M 点坐标为（m ，0），C 点坐标为（0，n ），已知m ，n 满足550n m -+-=．（1）求m ，n 的值；（2）①如图1，P ，Q 分别为OM ，MN 上一点，若∠PCQ ＝45°，求证：PQ ＝OP+NQ ； ②如图2，S ，G ，R ，H 分别为OC ，OM ，MN ，NC 上一点，SR ，HG 交于点D ．若∠SDG ＝135°，55HG =，则RS ＝______；（3）如图3，在矩形OABC 中，OA ＝5，OC ＝3，点F 在边BC 上且OF ＝OA ，连接AF ，动点P 在线段OF 是（动点P 与O ，F 不重合），动点Q 在线段OA 的延长线上，且AQ ＝FP ，连接PQ 交AF 于点N ，作PM ⊥AF 于M ．试问：当P ，Q 在移动过程中，线段MN 的长度是否发生变化？若不变求出线段MN 的长度；若变化，请说明理由．28．如图，四边形ABCD 为矩形，C 点在x 轴上，A 点在y 轴上，D(0，0)，B(3，4)，矩形ABCD 沿直线EF 折叠，点B 落在AD 边上的G 处，E 、F 分别在BC 、AB 边上且F(1，4)．(1)求G 点坐标(2)求直线EF 解析式(3)点N 在坐标轴上，直线EF 上是否存在点M ，使以M 、N 、F 、G 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出M 点坐标；若不存在，请说明理由29．如图，矩形ABCD 中，点O 是对角线BD 的中点，过点O 的直线分别交AB ，CD 于点E ，F ．（1）求证：四边形DEBF 是平行四边形；（2）若四边形DEBF 是菱形，则需要增加一个条件是_________________，试说明理由；（3）在（2）的条件下，若AB=8，AD=6，求EF 的长．30．如图，ABCD 的对角线,AC BD 相交于点,,6,10O AB AC AB cm BC cm ⊥==，点P 从点A 出发，沿AD 方向以每秒1cm 的速度向终点D 运动，连接PO ，并延长交BC 于点Q ．设点P 的运动时间为t 秒．（1）求BQ 的长（用含t 的代数式表示）；（2）当四边形ABQP 是平行四边形时，求t 的值；（3）当325t =时，点O 是否在线段AP 的垂直平分线上？请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】根据正方形对角性质可得∠CEB=∠CBE，CE=CB；根据等腰直角三角形性质，证△ECG≌△BCG，可得2OE；根据直角三角形性质得OF=12BE=12CG.【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABO=∠ACO=∠CBO=45°，AB=BC，OA=OB=OC，BD⊥AC，∵BE平分∠ABO，∴∠OBE=12∠ABO=22.5°，∴∠CBE=∠CBO+∠EBO=67.5°，在△BCE中，∠CEB=180°-∠BCO-∠CBE=180°-45°-67.5°=67.5°，∴∠CEB=∠CBE，∴CE=CB；故①正确；∵OA=OB，AE=BG，∴OE=OG，∵∠AOB=90°，∴△OEG是等腰直角三角形，∴2OE，∵∠ECG=∠BCG，EC=BC，CG=CG，∴△ECG≌△BCG，∴BG=EG，∴2OE；故②正确；∵∠AOB=90°，EF=BF，∵BE=CG，∴OF=12BE=12CG ．故③正确．故正确的结论有①②③．故选A ．【点睛】运用了正方形的性质、等腰三角形的性质、等腰梯形的判定、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质．此题难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．2．B解析：B【分析】根据已知条件易证△ABE ≌△ADF ，根据全等三角形的性质即可判定①②；由正方形的性质就可以得出EC=FC ，就可以得出AC 垂直平分EF ，即可判定③；设EC=FC=x ，由勾股定理和三角函数计算后即可判定④⑤．【详解】∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC=CD=AD ，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．∵△AEF 等边三角形，∴AE=EF=AF ，∠EAF=60°．∴∠BAE+∠DAF=30°．在Rt △ABE 和Rt △ADF 中，AE AF AB AD ⎧⎨⎩＝＝ , Rt △ABE ≌Rt △ADF （HL ），∴BE=DF （故①正确）．∠BAE=∠DAF ，∴∠DAF+∠DAF=30°，即∠DAF=15°（故②正确），∵BC=CD ，∴BC-BE=CD-DF ，即CE=CF ，∵AE=AF ，∴AC 垂直平分EF ．（故③正确）．设EC=FC=x ，由勾股定理，得:,EF CG FG x ===, ∴EC ≠FG （⑤错误）在Rt △AEG 中，sin 60sin 602sin 60AG AE EF CG ︒︒︒===⨯=,2AC ∴=,AB ∴=,BE x ∴==,BE DF x ∴+=-≠，（故④错误），综上所述，正确的结论为①②③，共3个，故选B ．【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题的关键．3．C解析：C【分析】由平行四边形的性质得出AD ∥BC ，AD=BC ，由AE 平分∠BAD ，可得∠BAE=∠DAE ，可得∠BAE=∠BEA ，得AB=BE ，由AB=AE ，得到△ABE 是等边三角形，②正确；则∠ABE=∠EAD=60°，由SAS 证明△ABC ≌△EAD ，①正确；由△FCD 与△ABD 等底（AB=CD ）等高（AB 与CD 间的距离相等），得出S △FCD =S △ABD ，由△AEC 与△DEC 同底等高，所以S △AEC =S △DEC ，得出S △ABE =S △CEF ，⑤正确．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD=BC ，∴∠EAD=∠AEB ，又∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE=∠DAE ，∴∠BAE=∠BEA ，∴AB=BE ，∵AB=AE ，∴△ABE 是等边三角形；②正确；∴∠ABE=∠EAD=60°，∵AB=AE ，BC=AD ，在△ABC 和△EAD 中，AB AE ABE EAD BC AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△EAD （SAS ）；①正确；∵△FCD与△ABC等底（AB=CD）等高（AB与CD间的距离相等），∴S△FCD=S△ABC，又∵△AEC与△DEC同底等高，∴S△AEC=S△DEC，∴S△ABE=S△CEF；⑤正确；若AD与AF相等，即∠AFD=∠ADF=∠DEC，即EC=CD=BE，即BC=2CD，题中未限定这一条件，∴③④不一定正确；故选C．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质．此题比较复杂，注意将每个问题仔细分析．4．D解析：D【分析】由题意得出条件证明△ABC≌△DAF,根据对应角相等可推出②正确;由F是AB中点根据边长转换可以推出④正确;先推出△ECF≌△DFA得出对应边相等推出ADFE为平行四边形且有组临边不等得出①错误;再由以上全等即可得出④正确.【详解】∵△ABD是等边三角形，∴∠BAD=60°，AB=AD，∵∠BAC=30°，知∴∠FAD=∠ABC=90°，AC=2BC，∵F为AC的中点道，∴AC=2AF，∴BC=AF，∴△ABC≌△DAF，∴FD=AC，∴∠ADF=∠BAC=30°，∴DF⊥AB，故②正确，∵EF⊥AC，∠ACB=90°，∴FG∥BC，∵F是AB的中点，∴GF=12 BC，∵BC=12AC ，AC=CE ， ∴GF=14CE ，故④说法正确； ∵AE=CE ，CF=AF ，∴∠EFC=90°，∠CEF=30°，∵∠FAD=∠CAB+∠BAD=90°，∴∠EFC=∠DAF ，∵DF ⊥AB ，∴∠ADF=30°，∴∠CEF=∠ADF ，∴△ECF ≌△DFA （AAS ），∴AD=EF ，∵FD=AC ，∴四边形属ADFE 为平行四边形，∵AD≠DF ，∴四边形ADFE 不是菱形；故①说法不正确；∴AO=12AF ， ∴AO=12AC ， ∵AE=AC ，则AE=4AO ，故③说法正确，故选D ．【点睛】本体主要考查平行四边形的判定，等边三角形，三角形全等的判定，关键在于熟练掌握基础知识，根据图形结合知识点进行推导.5．D解析：D【分析】连接BE ，根据折叠的性质证明△ABE ≌△A GE '，得到BE=EG ，根据点G 是AD 的中点，AD=4得到AE=2-EG=2-BE ，再根据勾股定理即可求出BE 得到EG.【详解】连接BE ，由折叠得：AE A E '=，A A '∠=∠=90°，AB A G '=,∴△ABE ≌△A GE ',∴BE=EG,∵点G 是AD 的中点，AD=4，∴AG=2，即AE+EG=2，∴AE=2-EG=2-BE ，在Rt △ABE 中，222BE AE AB =+，∴ 222(2)1BE BE =-+,∴EG=5BE 4=，故选：D.【点睛】此题考查折叠的性质，勾股定理，三角形全等的判定及性质，利用折叠证明三角形全等，目的是证得EG=BE ，由此利用勾股定理解题.6．A解析：A【分析】根据AB=5，AE=4，BE=3，可以确定△ABE 为直角三角形，延长BE 构建出直角三角形，在利用勾股定理求出EF 的平方即可.【详解】∵四边形ABCD 是正方形,∴AB=BC=CD=AD=5，如图，延长BE 交CF 于点G ，∵AB=5，AE=4，BE=3，∴AE 2+BE 2=AB 2，∴△ABE 是直角三角形，同理可得△DFC 是直角三角形，∵AE=FC=4,BE=DF=3,AB=CD=5，∴△ABE≌△CDF,∴∠BAE=∠DCF,∵∠ABC=∠AEB=902，∴∠CBG=∠BAE，同理可得，∠BCG=∠CDF=∠ABE，△ABE≌△BCG，∴CG=BE=3，BG=AE=4，∴EG=4-3=1，GF=4-3=1，∴EF2=EG2+GF2=1+1=2故选择:A【点睛】此题考查三角形的判定，勾股定理的运用，根据已知条件构建直角三角形求值是解题的关键.7．B解析：B【解析】试题分析：由三角函数易得BE，AE长，根据翻折和对边平行可得△AEC1和△CEC1为等边三角形，那么就得到EC长，相加即可．解：连接CC1.在Rt△ABE中,∠BAE=30°,AB3∴BE=AB×tan30°=1,AE=2,∠AEB1=∠AEB=60°，∵四边形ABCD是矩形∴AD∥BC，∴∠C1AE=∠AEB=60°，∴△AEC1为等边三角形，同理△CC1E也为等边三角形，∴EC=EC1=AE=2，∴BC=BE+EC=3，故选B.8．D解析：D【分析】根据翻折变换的性质和正方形的性质可证Rt△ABG≌Rt△AFG；根据角的和差关系求得∠GAF=45°；在直角△ECG中，根据勾股定理可证CE=2DE；通过证明∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，由平行线的判定可得AG∥CF；求出S△ECG，由S△FCG=35GCE S即可得出结论．【详解】①正确．理由：∵AB=AD=AF，AG=AG，∠B=∠AFG=90°，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）；②正确．理由：∵∠BAG=∠FAG，∠DAE=∠FAE．又∵∠BAD=90°，∴∠EAG=45°；③正确．理由：设DE=x，则EF=x，EC=12-x．在直角△ECG中，根据勾股定理，得：（12﹣x）2+62=（x+6）2，解得：x=4，∴DE=x=4，CE=12-x=8，∴CE=2DE；④正确．理由：∵CG=BG，BG=GF，∴CG=GF，∴∠GFC=∠GCF．又∵Rt△ABG≌Rt△AFG，∴∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=2∠AGB=∠GFC+∠GCF=2∠GFC=2∠GCF，∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，∴AG∥CF；⑤正确．理由：∵S△ECG=12GC•CE=12×6×8=24．∵S△FCG=35GCES∆=3245⨯=725．故选D．【点睛】本题考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用．9．B解析：B【分析】由题意分析可知，点F为主动点，G为从动点，所以以点E为旋转中心构造全等关系，得到点G的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得CG最小值．【详解】由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动，如图，将ΔEFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到ΔEFB≅ΔEHG，从而可知ΔEBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上，如图，作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值，作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，则1351=2.5222CM MP CP HE EC=+=+=+=.故选B．【点睛】本题考查了线段极值问题，构造图形计算，是极值问题中比较典型的类型．分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点G的运动轨迹，是解本题的关键．10．C解析：C【分析】想办法证明S阴＝S△ADE＋S△DEC＝S△AEC，再由EF∥AC，可得S△AEC＝S△ACF解决问题.【详解】连接AF、EC．∵BC＝4CF，S△ABC＝12，∴S△ACF＝13×12＝4，∵四边形CDEF是平行四边形，∴DE∥CF，EF∥AC，∴S△DEB＝S△DEC，∴S阴＝S△ADE＋S△DEC＝S△AEC，∵EF∥AC，∴S△AEC＝S△ACF＝4，∴S阴＝4．故选C．【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的面积、等高模型等知识，解题的关键是熟练掌握等高模型解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．二、填空题11．12或20【分析】根据题意分别画出图形，BC边上的高在平行四边形的内部和外部，进而利用勾股定理求出即可．【详解】解：情况一：当BC边上的高在平行四边形的内部时，如图1所示：在平行四边形ABCD中，BC边上的高为4，AB=5，AC=25，在Rt△ACE中，由勾股定理可知：2222CE AC AE，(25)42在Rt△ABE中，由勾股定理可知：2222BE AB AE543=-=-=,∴BC=BE+CE=3+2=5,此时平行四边形ABCD的周长等于2×(AB+BC)=2×(5+5)=20；情况二：当BC边上的高在平行四边形的外部时，如图2所示：在平行四边形ABCD中，BC边上的高为AE=4，AB=5，AC=25在Rt △ACE 中，由勾股定理可知：2222(25)42CE AC AE ，在Rt △ABE 中，由勾股定理可知：2222BE AB AE 543=-=-=,∴BC=BE-CE=3-2=1,∴平行四边形ABCD 的周长为2×(AB+BC)=2×(5+1)=12,综上所述，平行四边形ABCD 的周长等于12或20．故答案为：12或20．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理等知识，分高在平行四边形内部还是外部讨论是解题关键．12．52【分析】连接DM ，直角三角形斜边中线等于斜边一半，得AM=DM ，利用两边之差小于第三边得到AM MN DN -≤，又根据三角形中位线的性质即可求解．【详解】连接DM ，如下图所示，∵90BAC EDF ∠=∠=︒又∵M 为EF 中点∴AM=DM=12EF ∴AM MN DM MN DN -=-≤（当D 、M 、N 共线时，等号成立）∵D 、N 分别为BC 、AC 的中点，即DN 是△ABC 的中位线∴DN=12AB=52∴AM MN -的最大值为52 故答案为52．【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，三角形的三边关系，关键是确定AM MN -的取值范围．13．4:9【分析】设DP ＝DN ＝m ，则PN m ，PC ＝2m ，AD ＝CD ＝3m ，再求出FG=CF=12BC=32m ，分别求出两个阴影部分的面积即可解决问题．【详解】根据图形的特点设DP ＝DN ＝m ，则PN m ，∴m=MC ，，∴BC ＝CD ＝PC+DP=3m ，∵四边形HMPN 是正方形，∴GF ⊥BC∵∠ACB ＝45︒，∴△FGC 是等腰直角三角形，∴FG=CF=12BC=32m ， ∴S 1＝12DN×DP=12m 2，S 2＝12FG×CF=98m 2， ∴12:S S =12m 2: 98m 2=4:9，故答案为4：9．【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．14【分析】根据点P 在直线BC 上，点Q 在直线CD 上，分两种情况：1.P 、Q 点位于线段上；2.P 、Q 点位于线段的延长上，再通过三角形全等得出相应的边长，最后根据勾股即可求解.【详解】解：当P 点位于线段BC 上，Q 点位于线段CD 上时:∵四边形ABCD 是矩形,AP PQ ⊥∴∠BAP=∠CPQ ，∠APB=∠PQC∵AP PQ =∴ABP PCQ ≅∴PC=AB=32，BP=BC-PC=3-32=32∴当P 点位于线段BC 的延长线上，Q 点位于线段CD 的延长线上时:∵四边形ABCD 是矩形,AP PQ ⊥∴∠BAP=∠CPQ ，∠APB=∠PQC∵AP PQ =∴ABP PCQ ≅∴PC=AB=32，BP=BC+PC=3+32=92∴223922+（）（）31023223102【点睛】此题主要考查三角形全等的判定及性质、勾股定理，熟练运用判定定理和性质定理是解题的关键.15．①②③④【分析】①根据角平分线的定义可得∠BAE =∠DAE =45°，可得出△ABE 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AE 2=，从而得到AE =AD ，然后利用“角角边”证明△ABE 和△AHD 全等，根据全等三角形对应边相等可得BE =DH ，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ADE =∠AED =67.5°，根据平角等于180°求出∠CED =67.5°，从而判断出①正确； ②求出∠AHB =67.5°，∠DHO =∠ODH =22.5°，然后根据等角对等边可得OE =OD =OH ，判断出②正确；③求出∠EBH =∠OHD =22.5°，∠AEB =∠HDF =45°，然后利用“角边角”证明△BEH 和△HDF 全等，根据全等三角形对应边相等可得BH =HF ，判断出③正确；④根据全等三角形对应边相等可得DF =HE ，然后根据HE =AE ﹣AH =BC ﹣CD ，BC ﹣CF =BC ﹣（CD ﹣DF ）=2HE ，判断出④正确；⑤判断出△ABH 不是等边三角形，从而得到AB ≠BH ，即AB ≠HF ，得到⑤错误．【详解】∵在矩形ABCD 中，AE 平分∠BAD ，∴∠BAE =∠DAE =45°，∴△ABE 是等腰直角三角形，∴AE =． ∵AD =，∴AE =AD ．在△ABE 和△AHD 中，∵90BAE DAE ABE AHD AE AD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△AHD （AAS ），∴BE =DH ，∴AB =BE =AH =HD ，∴∠ADE =∠AED 12=（180°﹣45°）=67.5°，∴∠CED =180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，∴∠AED =∠CED ，故①正确；∵∠AHB 12=（180°﹣45°）=67.5°，∠OHE =∠AHB （对顶角相等），∴∠OHE =∠AED ，∴OE =OH ．∵∠DOH =90°﹣67.5°=22.5°，∠ODH =67.5°﹣45°=22.5°，∴∠DOH =∠ODH ，∴OH =OD ，∴OE =OD =OH ，故②正确；∵∠EBH =90°﹣67.5°=22.5°，∴∠EBH =∠OHD ．在△BEH 和△HDF 中，∵EBH OHD BE DH AEB HDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BEH ≌△HDF （ASA ），∴BH =HF ，HE =DF ，故③正确；由上述①、②、③可得CD =BE 、DF =EH =CE ，CF =CD ﹣DF ，∴BC ﹣CF =（CD +HE ）﹣（CD ﹣HE ）=2HE ，所以④正确；∵AB =AH ，∠BAE =45°，∴△ABH 不是等边三角形，∴AB ≠BH ，∴即AB ≠HF ，故⑤错误；综上所述：结论正确的是①②③④．故答案为①②③④．【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点．16．【分析】作BE ⊥AD 于E ，BF ⊥CD 于F ，则四边形BEDF 是矩形，证明△ABE ≌△CBF （AAS ），得出BE=BF ，△ABE 的面积=△CBF 的面积，则四边形BEDF 是正方形，四边形ABCD 的面积=正方形BEDF 的面积，求出，即可求得BD 的长．【详解】解：作BE ⊥AD 交DA 延长线于E ，BF ⊥CD 于F ，如图所示：则∠BEA=∠BFC=90°，∵∠ADC=90°，∴四边形BEDF 是矩形，∴∠EBF=90°，∵∠ABC=90°，∴∠EBF=∠ABC=90°，∴∠ABE=∠CBF ，在△ABE 和△CBF 中，BEA BFC ABE CBF AB CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△CBF （AAS ），∴BE=BF ，△ABE 的面积=△CBF 的面积，∴四边形BEDF 是正方形，四边形ABCD 的面积=正方形BEDF 的面积，∴BE=DE ，BE 2=10 cm 2，∴10(cm)，∴25．故答案为：5【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．1719【分析】先根据菱形的性质可得OC 垂直平分BD ，从而可得=DP BP ，再根据两点之间线段最短可得EP BP +的最小值为DE ，然后利用等边三角形的判定与性质求出点D 的坐标，最后利用两点之间的距离公式即可得．【详解】如图，连接BP 、DP 、EP 、DE 、BD ，过点D 作DA OB ⊥于点A ， (23,0)B ，23OB ∴=四边形ABCD 是菱形，OC ∴垂直平分BD ，23OB OD ==，点P 是对角线OC 上的点，DP BP ∴=，EP BP EP DP ∴+=+，由两点之间线段最短可知，EP DP +的最小值为DE ，即EP BP +的最小值为DE ， ,60OB OD DOB =∠=︒，BOD ∴是等边三角形，DA OB ⊥，132OA OB ∴==，2222(23)(3)3AD OD OA =-=-=， (3,3)D ∴，又(0,1)E -，22(30)(31)19DE ∴=-++=，即EP BP +的最小值为19，故答案为：19．【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、两点之间的距离公式等知识点，根据两点之间线段最短得出EP BP +的最小值为DE 是解题关键．18．9或31)．【分析】分两种情况画图，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理矩形计算即可．【详解】解：①如图1，延长EA 交DC 于点F ，∵菱形ABCD 的周长为24，∴AB=BC=6，∵∠ABC=60°，∴三角形ABC 是等边三角形，∴∠BAC=60°，当EA ⊥BA 时，△ABE 是等腰直角三角形，∴AE=AB=AC=6，∠EAC=90°+60°=150°，∴∠FAC=30°，∵∠ACD=60°，∴∠AFC=90°，∴CF=12AC=3，则△ACE的面积为：12AE×CF=12×6×3=9；②如图2，过点A作AF⊥EC于点F，由①可知：∠EBC=∠EBA+∠ABC=90°+60°=150°，∵AB=BE=BC=6，∴∠BEC=∠BCE=15°，∴∠AEF=45°-15°=30°，∠ACE=60°-15°=45°，∴AF=12AE，AF=CF=22AC=32∵AB=BE=6，∴AE=2∴2236AE AF-=∴EC=EF+FC=3632则△ACE的面积为：12EC×AF=1(3632)329(31)2⨯⨯=．故答案为：9或31)．【点睛】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．19．8或3【分析】根据AE和DF是否相交分类讨论，分别画出对应的图形，根据平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义和等角对等边即可得出结论．【详解】解：①当AE和DF相交时，如下图所示∵四边形ABCD为平行四边形，AD=11，EF=5，∴BC=AD=11，AD∥BC，AB=CD∴∠DAE=∠BEA，∠ADF=∠CFD∵AE 平分∠BAD，DF 平分∠ADC∴∠DAE=∠BAE，∠ADF=∠CDF∴∠BEA=∠BAE，∠CFD=∠CDF∴BE=AB，CF=CD∴BE=AB= CD= CF∵BE＋CF=BC＋EF∴2AB=11＋5解得：AB=8；②当AE和DF不相交时，如下图所示∵四边形ABCD为平行四边形，AD=11，EF=5，∴BC=AD=11，AD∥BC，AB=CD∴∠DAE=∠BEA，∠ADF=∠CFD∵AE 平分∠BAD，DF 平分∠ADC∴∠DAE=∠BAE，∠ADF=∠CDF∴∠BEA=∠BAE，∠CFD=∠CDF∴BE=AB，CF=CD∴BE=AB= CD= CF∵BE＋CF＋EF =BC∴2AB＋5=11解得：AB=3综上所述：AB=8或3故答案为：8或3．【点睛】此题考查的是平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义和等腰三角形的性质，掌握平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义和等角对等边是解决此题的关键．20．23【分析】根据EM 是Rt ABE △斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出EM 的长；根据已知条件推导出DME 是等边三角形，且边长为2，进一步计算即可得解．【详解】解：∵AD BC ⊥，M 为AB 边的中点，4AB =∴在Rt ABD △中，114222DM AM AB ===⨯= 同理，在Rt ABE △中，114222EM AM AB ===⨯= ∴MDA MAD ∠=∠，MEA MAE ∠=∠∵2BME MEA MAE MAE ∠=∠+∠=∠，2BMD MDA MAD MAD ∠=∠+∠=∠ ∴DME BME BMD ∠=∠-∠ 22MAE MAD =∠-∠()2MAE MAD =∠-∠2DAC =∠60=︒∵=DM EM∴DME 是等边三角形，且边长为2∴122EDM S =⨯=故答案是：2【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质、三角形的外角定理、角的和差以及等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是进行推理论证的前提．三、解答题21．（1）①见解析；②AG FB AE =+，证明见解析；（2；（3）241n -【分析】（1）①证明△ADE ≌△BAF （ASA ）可得结论．②结论：AG=BF+AE ．如图2中，过点A 作AK ⊥HD 交BC 于点K ，证明AE=BK ，AG=GK ，即可解决问题．（2）如图3中，设AB=a ，AD=na ，求出ME 的最大值，NF 的最小值即可解决问题．（3）如图4中，延长DE 交CB 的延长线于H ．设AB=2k ，则AD=BC=2kn ，求出CF ，BF 即可解决问题．【详解】（1）①证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，n=1，∴AD=AB，∴四边形ABCD是正方形，∴∠DAB=∠B=90°，∵AF⊥DE，∴∠ADE+∠DAF=90°，∠DAF+∠BAF=90°，∴∠ADE=∠BAF，∴△ADE≌△BAF（ASA），∴AE=BF；②结论：AG=BF+AE．理由：如图2中，过点A作AK⊥HD交BC于点K，由（1）可知AE=BK，∵AH=AD，AK⊥HD，∴∠HAK=∠DAK，∵AD∥BC，∴∠DAK=∠AKG，∴∠HAK=∠AKG，∴AG=GK，∵GK=GB+BK=BF+AE，∴AG=BF+AE；（2）如图3中，设AB=a，AD=na，当ME 的值最大时，NF 的值最小时，ME NF 的值最大，当ME 是矩形ABCD 的对角线时，ME 的值最大，最大值=()222na 1a n +=+•a ，当NF ⊥AD 时，NF 的值最小，最小值=a ，∴ME NF 的最大值=21a n +⋅=21n +，故答案为：21n +；（3）如图4中，延长DE 交CB 的延长线于H ．设AB=2k ，则AD=BC=2kn ，∵AD ∥BH ，∴∠ADE=∠H ，∵AE=EB=k ，∠AED=∠BEH ，∴△AED ≌△BEH （ASA ），∴AD=BH=2kn ，∴CH=4kn ，∵∠ADE=∠EDF ，∠ADE=∠H ，∴∠H=∠EDF ，∴FD=FH ，设DF=FH=x ，在Rt △DCF 中，∵CD 2+CF 2=DF 2，∴(2k)2+(4kn-x)2=x 2，∴2142n x k n+=⋅，∴221441422n n CF kn k k n n +-=-⋅=⋅，241222n k BF kn k n n-=-⋅=， ∴22412412n k CF n n k BFn-⋅==-，故答案为：241n -．【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．22．（1）证明见解析；（2）①当AE=3.5时，平行四边形CEDF 是矩形；②2【分析】（1）证明△FCG ≌△EDG （ASA ），得到FG=EG 即可得到结论；（2）①当AE=3.5时，平行四边形CEDF 是矩形.过A 作AM ⊥BC 于M ，求出BM=1.5，根据平行四边形的性质得到∠CDA=∠B=60°，DC=AB=3，BC=AD=5，求出DE=1.5=BM ，证明△MBA ≌△EDC(SAS)，得到∠CED=∠AMB=90°，推出四边形CEDF 是矩形；②根据四边形CEDFCEDF 是菱形，得到CD ⊥EF ，DG=CG=1212CD=1.5，求出∠DEG=30°，得到DE=2DG=3，即可求出AE=AD-DE=5-3=2.【详解】（1）证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ CF ∥ED ，∴ ∠FCG ＝∠EDG ，∵ G 是CD 的中点，∴ CG ＝DG ，在△FCG 和△EDG 中，FCG EDG CG DG CGF DGE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴ △FCG ≌△EDG （ASA ），∴ FG ＝EG ，∵ CG ＝DG ，∴ 四边形CEDF 是平行四边形；（2）解：①当AE=3.5时，平行四边形CEDF 是矩形，理由是：过A 作AM ⊥BC 于M ，∵∠B=60°，∴∠BAM=30°，∵AB=3，∴BM=1.5，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠CDA=∠B=60°，DC=AB=3，BC=AD=5，∵AE=3.5，∴DE=1.5=BM ，在△MBA 和△EDC 中，BM DE B CDE AB CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MBA ≌△EDC(SAS)，∴∠CED=∠AMB=90°，∵四边形CEDF 是平行四边形，∴四边形CEDF 是矩形；②∵四边形CEDFCEDF 是菱形，∴CD ⊥EF ，DG=CG=1212CD=1.5，∵∠CDE=∠B=60∘∠B=60∘，∴∠DEG=30°，∴DE=2DG=3，∴AE=AD-DE=5-3=2，故答案为：2.【点睛】此题考查了平行四边形的性质，矩形的判定定理，菱形的性质定理，直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半，三角形全等的判定及性质定理，熟练掌握各定理并运用解答问题是解题的关键.23．（1）AE t =；122AD t =-；DF t =；（2）证明见解析；（3）3t =；理由见解析．【分析】（1）根据题意用含t 的式子表示AE 、CD ，结合图形表示出AD ，根据直角三角形的性质表示出DF ；（2）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形证明；（3）根据矩形的定义列出方程，解方程即可．【详解】解：（1）由题意得，AE t =，2CD t =，则122AD AC CD t =-=-，∵DF BC ⊥，30C ∠=︒，∴12DF CD t == （2）∵90ABC ∠=︒，DF BC ⊥，∴AB DF ，。

2022-2023学年人教版八年级数学下学期第二次月考卷附答案解析

2022-2023学年八年级数学下学期第二次月考卷（考试时间120分钟，试卷满分120分）卷Ⅰ（选择题，共42分）一、选择题（本大题有16个小题，共42分．1~10小题各3分，11~16小题各2分．）1．函数y =x 的取值范围是（）A ．1x ≥-B ．1x ≥-且3x ≠C ．1x >-D ．1x ≠-且3x ≠2．球的体积是V ，球的半径为R ，则343V R π=，其中变量和常量分别是（）A ．变量是V ，R ；常量是43，πB ．变量是R ，π；常量是43C ．变量是V ，R ，π；常量是43D ．变量是V ，3R ；常量是π3．如图，在平行四边形ABCD 中，ABC ∠的平分线交AD 于点E ，BCD ∠的平分线交AD 于点F ．若3AB =，4AD =，则EF 的长是（）A ．2B ．1C ．3D ．3.54．已知点(,)k b 在第二象限内，则一次函数y kx b =-+的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．5．点1(,)A a y ，2(2,)B a y +都在一次函数3y x =-+图象上，则1y ，2y 的大小关系是（）A ．12y y =B ．12y y >C ．12y y <D ．不确定6．甲、乙、丙、丁四个人所行的路程和所用的时间如图所示，按平均速度计算，走得最快的是（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁7．在平面直角坐标系中，直线5y x =-+与直线4y kx =-相交于点(3,)P n ，则关于x ，y 的方程组5,4y x y kx =-+⎧⎨=-⎩的解为（）A ．3,1x y =⎧⎨=⎩B ．3,0x y =⎧⎨=⎩C ．3,2x y =⎧⎨=⎩D ．4,1x y =⎧⎨=⎩8．如图，折线ABCDE 描述了一辆汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s （km ）与行驶时间t （h ）之间的函数关系，根据图中提供的信息，判断下列结论正确的选项是（）①汽车在行驶途中停留了0.5小时；②汽车在整个行驶过程的平均速度是60km/h ；③汽车共行驶了240km ；④汽车出发4h 离出发地40km ．A ．①②④B ．①②③C ．①③④D ．①②③④9．如图，在菱形ABCD 中，2AD =，120ABC ∠=︒，E 是BC 的中点，P 为对角线AC 上的一个动点，则PE PB +的最小值为（）A B ．2C ．1D ．510．如图1，在矩形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC ，CD ，DA 运动至点A 停止，设点P 运动的路程为x ，ABP △的面积为y ，y 关于x 的函数图象如图2所示，若25b a -=，则矩形A BCD 的周长为（）图1图2A ．20B ．18C ．16D ．2411．若0a <的结果是（）A ．-B ．-C ．D ．12．如图，在ABC △中，90C ∠=︒，30B ∠=︒．按下列步骤作图：以A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB ，AC 于点M ，N ．再分别以M ，N 为圆心，大于MN 一半的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法不正确的是（）A ．60ADC ∠=︒B ．AD BD=C ．2BD CD =D ．4AB CD=13．如图，P 为线段AB 上任意一点，分别以AP ，PB 为边在AB 同侧作正方形APCD ，PBEF ．若28CBE ∠=︒，则AFP ∠的度数为（）A ．56︒B ．62︒C ．73︒D ．76︒14．在平面直角坐标系中，有四个点(2,5)A ，(1,3)B ，(3,1)C ，(2,3)D --，其中不在同一个一次函数图象上的是（）A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D15．某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据（如下表）：温度/℃20-10-0102030声速/（m/s ）318324330336342348下列说法错误的是（）A ．在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速B ．空气温度越高，声速越快C ．当空气温度为20℃时，声速为342m/sD ．当空气温度每升高10℃，声速增加8m/s6．如图，购买一种苹果，所付款金额y （元）与购买量x （千克）之间的函数图象由线段OA 和射线AB 组成，则一次购买6千克这种苹果比分六次购买1千克这种苹果可节省的金额为（）A ．5元B ．6元C ．7元D ．8元卷Ⅱ（非选择题，共78分）二、填空题（本大题有3个小题，每小题3分，共9分．其中18小题第一空2分，第二空1分；19小题每空1分把答案写在题中横线上）17．在平面直角坐标系中，直线36y x =-沿y 轴向上平移m 个单位长度后，经过点(1,2)A ，则m 的值为________．18．如图9，在ABC △中，90ACB ∠=︒，AC =BC =（1）AB 的长为________；（2）已知D 是AB 上一点，连接CD ，当CD 的长度最短时，AD 的长为________．19．如图，一次函数334y x =+的图象与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，C 是OA 上的一点．（1）点A 的坐标为________，ABO △的面积为________；（2）若将ABC △沿BC 翻折，点A 恰好落在y 轴上的点A '处，则点C 的坐标是________．三、解答题（本大题有7个小题，共69分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．（本小题满分9分）先化简，再求值：263193a a a a +⎛⎫÷+ ⎪--⎝⎭，其中3a =-．21．（本小题满分9分）已知y 关于x 的函数(24)2y m x m =++-．（1）若该函数是正比例函数，求m 的值；（2）若点(1,5)在函数图象上，求m 的值．22．（本小题满分9分）如图，一次函数1:22l y x =-的图象与x 轴交于点D ，一次函数2:l y kx b =+的图象与x 轴交于点A ，且经过点(3,1)B ，两函数图象交于点(,2)C m ．（1）求m 的值和一次函数2:l y kx b =+的解析式；（2）根据图象，直接写出22kx b x +<-的解集．23．（本小题满分10分）如图，在ABC △中，AB AC =，点D 在AC 边上（不与点A ，C 重合），连接BD ，BD AB =．（1）当50C ∠=︒时，求ABD ∠的度数；（2）若5AB =，6BC =，求AD 的长．24．（本小题满分10分）学校准备购进一批甲、乙两种办公桌若干张，若学校购进20张甲种办公桌和15张乙种办公桌共花费24000元；购买10张甲种办公桌比购买5张乙种办公桌多花费2000元．（1）求甲、乙两种办公桌每张各多少元？（2）若学校购买甲、乙两种办公桌共40张，且甲种办公桌数量不多于乙种办公桌数量的3倍，请你给出一种费用最少的方案．25．（本小题满分10分）如图1所示为某一深50cm ，底面为正方形的长方体的容器，底部放入一小长方体铁块，现在以均匀的速度往容器中注水，图2是容器内水面高度y 随时间x 变化的函数关系图象，观察图中所提供的信息，解答下列问题：（1）容器内小长方体铁块的高为________cm ；（2）求直线AB 的函数解析式；（3）该容器注满水需多少分钟？图1图226．（本小题满分12分）在矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，点E 是线段BC 上一个动点，连接AE 并延长交线段DC 的延长线于点F ，将ABE △沿AE 翻折到AB E '△，延长AB '与线段CD 相交于点M ．（1）如图1，若点E 在线段BC 上，求证：AM MF =；（2）如图2，当点E 是边BC 的中点时，求CM 的长；（3）当2CF =时，求CM 的长．图1图2。

人教版八年级数学(下)学期第二次月考检测测试卷含答案

三、解答题
21．在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=8cm，AD=16cm，BC=22cm，∠ABC=90°．点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）当t=时，四边形ABQP成为矩形？
（2）如图2，将原问题中的正方形和正方形换成菱形和菱形，且，探究与的位置关系及的值，写出你的猜想并加以证明；
（3）当时，菱形和菱形的顶点都按逆时针排列，且．若点在一条直线上，如图2，则 ________；若点在一条直线上，如图3，则 ________．
24．在矩形ABCD中，将矩形折叠，使点B落在边AD（含端点）上，落点记为E，这时折痕与边BC或者边CD（含端点）交于点F（如图1和图2），然后展开铺平，连接BE，EF．
15．如图正方形ABCD中，E是BC边的中点，将△ABE沿AE对折至△AFE，延长EF交CD于G，接CF，AG．下列结论：①AE∥FC;②∠EAG45°，且BEDGEG；③ ；④AD3DG，正确是_______(填序号)．
16．如图，在正方形ABCD中，AC=6 ，点E在AC上，以AD为对角线的所有平行四边形AEDF中，EF最小的值是_________．
一、选择题
1．点E是正方形ABCD对角线AC上，且EC=2AE，Rt△FEG的两条直角边EF、EG分别交BC、DC于M、N两点，若正方形ABCD的边长为a，则四边形EMCN的面积（）
A． a2B． a2C． a2D． a2
2．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AC上的一点，且AB=AE，过点A作AF⊥BE，垂足为F，交BD于点G，点H在AD上，且EH∥AF.若正方形ABCD的边长为2，下列结论：①OE=OG；②EH=BE；③AH= ，其中正确的有（）

(完整版)八年级数学下学期第二次月考试卷(含解析)新人教版

2015-2016 学年广西南宁四十九中八年级（下）第二次月考数学试卷一、选择题（此题共 12 小题，每题 3 分，共 36分）1．已知是二次根式，则 a 的值可以是（）A．﹣ 2 B．﹣ 1 C． 2D．﹣ 72．以下四组木棒中，哪一组的三条可以恰好做成直角三角形的木架（）A． 7 厘米， 12 厘米， 15 厘米B． 7 厘米， 12 厘米， 13 厘米C． 8 厘米， 15 厘米， 16 厘米D． 3 厘米， 4 厘米， 5 厘米3．正方形拥有，而菱形不用然拥有的性质是（）A．四条边都相等 B ．对角线垂直且相互均分C．对角线相等D．对角线均分一组对角4．已知 m=+1，n=，则 m和 n 的大小关系为（）A． m=n B． mn=1 C． m=﹣ n D． mn=﹣ 15．在一块平川上，张大爷家屋前9 米远处有一颗大树，在一次强风中，这课大树从离地面6 米处折断倒下，量得倒下部分的长是10 米，大树倒下时能砸到张大爷的房屋吗？（）A．必定不会 B ．可能会C．必定会D．以上答案都不对6．在平行四边形ABCD中，∠ B=110°，延伸 AD至 F，延伸 CD至 E，连结 EF，则∠ E+∠F=（）A．110°B．30° C ．50° D ．70°7．若=﹣ a 建立，则知足的条件是（）A． a＞ 0 B． a＜ 0 C ． a≥ 0 D ． a≤ 08．预计×+的运算结果是（）A． 3 到 4 之间B． 4 到 5 之间C． 5 到 6 之间D． 6 到 7 之间9．如图，已知暗影部分是一个正方形，AB=4，∠ B=45°，此正方形的面积（）A． 16B． 8C． 4D． 210．如图，由四个边长为 1 的正方形组成的田字格，只用没有刻度的直尺在田字格中最多可以作长为的线段（）A． 4 条B． 6 条C． 7 条D． 8 条11．如图，在平面直角坐标系中，以O（ 0， 0）， A（1， 1），B（3， 0）为极点，结构平行四边形，以下各点中不可以作为平行四边形极点坐标的是（）A．（﹣ 3， 1）B．（ 4， 1） C．（﹣ 2， 1）D．（ 2，﹣ 1）12．如图，分别以直角△ ABC的斜边 AB，直角边 AC为边向△ ABC外作等边△ ABD和等边△ ACE，F 为 AB的中点， DE与 AB 交于点 G， EF 与 AC交于点 H，∠ ACB=90°，∠ BAC=30°．给出以下结论：①EF⊥ AC；②四边形 ADFE为菱形；③ AD=4AG；④ FH=BD；此中正确结论的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④二、填空题（此题共 6 小题，每题 3 分，共21 分）13．二次根式是一个整数，那么正整数 a 最小值是．14．一个四边形的边长挨次为a、b、c、d，且 a2+b2+c2+d2﹣2ac﹣ 2bd=0，则这个四边形的形状是．15．已知一个三角形的三条边的长分别为、和，那么这个三角形的最大内角度数为．16．在?ABCD中，∠ABC和∠ BCD的均分线分别交AD于点 E 和点 F，AB=3cm，EF=1cm，则?ABCD 的边 AD的长是．17．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、 3dm、2dm．A 和 B 是这个台阶上两个相对的端点，点 A 处有一只蚂蚁，想到点 B 处去吃爽口的食品，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点 B 的最短行程为dm．18．如图，正方形 OABC的边长为 6，点 A、 C 分别在 x 轴， y 轴的正半轴上，点D（ 2， 0）在 OA上， P 是 OB上一动点，则 PA+PD的最小值为．三、（此题共 1 小题，共10 分）19．计算：①（ 4﹣ 6）÷ 2②﹣（﹣ 2）0+．四、（此题共1 小题，共14 分）20．已知： x=+，y=﹣，求代数式x2﹣ y2+5xy 的值．五、（此题共2 小题，共14 分）21．如图，已知，在四边形ABCD中： AO=BO=CO=DO．求证：四边形ABCD是矩形．22．如图，在Rt △ ABC中，∠ ACB=90°，点D，E 分别是边AB，AC的中点，延伸BC到点 F，使CF= BC．若 AB=12，求 EF的长．六、（此题共1 小题，共7 分）23．如图，在四边形ABCD中， AB∥ CD， AB=12，BC=17， CD=20， AD=15．（1）请你在图中增添一条直线，将四边形ABCD分红一个平行四边形和一个三角形．（2）求四边形ABCD的面积？七、（此题共1 小题，共8 分）24．如图，北部湾海面上，一艘解放军军舰在基地 A 的正东方向且距 A 地 60 海里的 B 处训练，忽然接到基地命令，要该舰前去 C 岛，接送一名病危的渔民到基地医院救治．已知C岛在 A 的北偏东30°方向，且在 B 的北偏西60°方向，军舰从 B 处出发，均匀每小时行驶30 海里，需要多少时间才能把生病渔民送到基地医院．（精准到小时，≈ ）八、（此题共2 小题，共10 分）25．以以以下图，四边形 ABCD是正方形， M是 AB延伸线上一点．直角三角尺的一条直角边经过点 D，且直角极点 E在 AB边上滑动（点 E 不与点 A、B 重合），另向来角边与∠ CBM的均分线 BF 订交于点 F．（1）如图 1，当点 E 在 AB 边得中点地点时：①经过丈量DE、 EF的长度，猜想DE与 EF 知足的数目关系是．②连结点 E 与 AD边的中点N，猜想 NE与 BF 知足的数目关系是，请证明你的猜想．（2）如图 2，当点 E 在 AB边上的随意地点时，猜想此时DE与 EF有如何的数目关系，并证明你的猜想．26．如图， BD是菱形 ABCD的对角线，点 E，F 分别在边CD，DA上，且 CE=AF．求证： DE=DF．2015-2016 学年广西南宁四十九中八年级（下）第二次月考数学试卷参照答案与试题分析一、选择题（此题共12 小题，每题 3 分，共 36 分）1．已知是二次根式，则 a 的值可以是（）A．﹣ 2 B．﹣ 1 C． 2D．﹣ 7【考点】二次根式的定义．【分析】依据二次根式的被开方数是非负数，可得答案．【解答】解：是二次根式，则 a 的值可以是2，故 C 吻合题意；应选： C．2．以下四组木棒中，哪一组的三条可以恰好做成直角三角形的木架（）A． 7 厘米， 12 厘米， 15 厘米B． 7厘米， 12 厘米， 13 厘米C． 8 厘米， 15 厘米， 16 厘米D． 3厘米， 4 厘米， 5 厘米【考点】勾股定理的逆定理．【分析】由勾股定理的逆定理，只需考证两小边的平方和等于最长边的平方即可．222B、 72+122≠ 132，故不是直角三角形，故此选项错误；222C、 8 +15 =16 ，故不是直角三角形，故此选项错误；222D、 3 +4 =5 ，故不是直角三角形，故此选项正确．应选 D．3．正方形拥有，而菱形不用然拥有的性质是（）A．四条边都相等 B ．对角线垂直且相互均分C．对角线相等D．对角线均分一组对角【考点】正方形的性质；菱形的性质．【分析】举出正方形拥有而菱形不用然拥有的全部性质，即可得出答案．【解答】解：正方形拥有而菱形不用然拥有的性质是：①正方形的对角线相等，而菱形不用然对角线相等，②正方形的四个角是直角，而菱形的四个角不用然是直角，应选 C．4．已知 m= +1，n=，则m和n的大小关系为（）A． m=n B． mn=1 C． m=﹣ n D． mn=﹣ 1【考点】分母有理化．【分析】第一依据分母有理化的方法，把n=分母有理化，此后再把它和m比较大小，判断出 m和 n 的大小关系；最后求出mn的值是多少即可．【解答】解：由于n==，m=+1，因此 m=n；又由于 mn==4因此 mn≠ 1， mn≠﹣ 1，因此选项B、 D 错误．应选： A．5．在一块平川上，张大爷家屋前9 米远处有一颗大树，在一次强风中，这课大树从离地面6 米处折断倒下，量得倒下部分的长是10 米，大树倒下时能砸到张大爷的房屋吗？（）A．必定不会 B ．可能会C．必定会D．以上答案都不对【考点】勾股定理的应用．【分析】由题意知树折断的两部分与地面形成向来角三角形，依据勾股定理求出BC的长即可解答．【解答】解：以以以下图，AB=10米， AC=6米，依据勾股定理得，BC===8 米＜ 9 米．应选： A．6．在平行四边形ABCD中，∠ B=110°，延伸 AD至 F，延伸 CD至 E，连结 EF，则∠ E+∠F=（）A．110°B．30° C ．50° D ．70°【考点】平行四边形的性质．【分析】要求∠ E+∠ F，只需求∠ ADE，而∠ ADE=∠ A 与∠ B 互补，因此可以求出∠ A，从而求解问题．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ A=∠ADE=180°﹣∠ B=70°∵∠ E+∠ F=∠ ADE∴∠ E+∠F=70°应选 D．7．若=﹣ a 建立，则知足的条件是（）A． a＞ 0 B． a＜ 0 C ． a≥ 0 D ． a≤ 0【考点】二次根式的性质与化简．【分析】依据=，进行选择即可．【解答】解：∵=﹣ a，∴a≤ 0，应选 D．8．预计×+ 的运算结果是（）A． 3 到 4 之间B． 4 到 5 之间C． 5 到 6 之间D． 6 到 7 之间【考点】预计无理数的大小．【分析】先预计的范围，即可解答．【解答】解：原式 =，∵，∴，应选： B．9．如图，已知暗影部分是一个正方形，AB=4，∠ B=45°，此正方形的面积（）A． 16B． 8C． 4D． 2【考点】二次根式的应用．【分析】依据特别角的三角函数求得 AC的长，也就是正方形的边长，进一步求得面积即可．【解答】解：∵ AB=4，∠ B=45°，∴A C=AB?sin∠ B=4×=2 ，∴此正方形的面积为2×2=8．应选： B．10．如图，由四个边长为 1 的正方形组成的田字格，只用没有刻度的直尺在田字格中最多可以作长为的线段（）A． 4 条B． 6 条C． 7 条D． 8 条【考点】勾股定理．【分析】联合图形，获得1， 2，是一组勾股数，以以以下图，找出长度为的线段即可．【解答】解：依据勾股定理得：=，即 1， 2，是一组勾股数，以以以下图，在这个田字格中最多可以作出8 条长度为的线段．应选 D．11．如图，在平面直角坐标系中，以O（ 0， 0）， A（1， 1），B（3， 0）为极点，结构平行四边形，以下各点中不可以作为平行四边形极点坐标的是（）A．（﹣ 3， 1）B．（ 4， 1） C．（﹣ 2， 1）D．（ 2，﹣ 1）【考点】坐标与图形性质；平行四边形的性质．【分析】所给点的纵坐标与 A 的纵坐标相等，说明这两点所在的直线平行于x 轴，这两点的距离为： 1﹣（﹣ 3）=4；点 O和点 B 的纵坐标相等，这两点所在的直线平行于x 轴，这两点的距离为： 3﹣ 0，相对的边平行，但不相等，因此 A 选项的点不可以能是行四边形极点坐标．【解答】解：由于经过三点可结构三个平行四边形，即?AOBC1、 ?ABOC2、?AOC3B．依据平行四边形的性质，可知B、C、D正好是C1、C2、C3的坐标，应选 A．12．如图，分别以直角△ ABC的斜边 AB，直角边 AC为边向△ ABC外作等边△ ABD和等边△ ACE，F 为 AB的中点， DE与 AB 交于点 G， EF 与 AC交于点 H，∠ ACB=90°，∠ BAC=30°．给出以下结论：①EF⊥ AC；②四边形 ADFE为菱形；③ AD=4AG；④ FH=BD；此中正确结论的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④【考点】菱形的判断；等边三角形的性质；含30 度角的直角三角形．【分析】依据已知先判断△ ABC≌△ EFA，则∠ AEF=∠ BAC，得出 EF⊥ AC，由等边三角形的性质得出∠ BDF=30°，从而证得△ DBF≌△ EFA，则 AE=DF，再由 FE=AB，得出四边形 ADFE为平行四边形而不是菱形，依据平行四边形的性质得出AD=4AG，从而获得答案．【解答】解：∵△ ACE是等边三角形，∴∠ EAC=60°， AE=AC，∵∠ BAC=30°，∴∠ FAE=∠ACB=90°， AB=2BC，∵F 为 AB的中点，∴AB=2AF，∴BC=AF，∴△ ABC≌△ EFA，∴FE=AB，∴∠ AEF=∠BAC=30°，∴EF⊥ AC，故①正确，∵EF⊥ AC，∠ ACB=90°，∴HF∥ BC，∵F 是 AB的中点，∴HF=BC，∵BC=AB， AB=BD，∴HF=BD，故④说法正确；∵AD=BD， BF=AF，∴∠ DFB=90°，∠ BDF=30°，∵∠ FAE=∠BAC+∠CAE=90°，∴∠ DFB=∠EAF，∵EF⊥ AC，∴∠ AEF=30°，∴∠ BDF=∠AEF，∴△ DBF≌△ EFA（ AAS），∴AE=DF，∵FE=AB，∴四边形ADFE为平行四边形，∵AE≠ EF，∴四边形ADFE不是菱形；故②说法不正确；∴AG=AF，∴AG=AB，∵A D=AB，则AD=4AG，故③说法正确，应选： C．二、填空题（此题共 6 小题，每题 3 分，共 21 分）13．二次根式是一个整数，那么正整数 a 最小值是2．【考点】二次根式的定义．【分析】依据二次根式的乘法，可得答案．【解答】解：由二次根式是一个整数，那么正整数 a 最小值是 2，故答案为： 2．14．一个四边形的边长挨次为a、b、c、d，且 a2+b2+c2+d2﹣2ac﹣ 2bd=0，则这个四边形的形状是平行四边形．【考点】因式分解的应用；平行四边形的判断．【分析】由 a2+b2+c2+d2﹣ 2ac﹣ 2bd=0，可整理为（ a﹣ c）2+（ b﹣ d）2 =0，即 a=c，b=d，进一步判断四边形为平行四边形即可．2222【解答】解：∵ a +b +c +d ﹣ 2ac﹣ 2bd=0，∴a=c， b=d，∴这个四边形必定是平行四边形．故答案为：平行四边形．15．已知一个三角形的三条边的长分别为、和，那么这个三角形的最大内角度数为90° ．【考点】勾股定理的逆定理．【分析】依据勾股定理的逆定理：假如三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形，从而可得答案．【解答】解：∵（）2+（）2=（）2，∴三角形为直角三角形，∴这个三角形的最大内角度数为90°，故答案为： 90°16．在?ABCD中，∠ABC和∠ BCD的均分线分别交AD于点 E 和点 F，AB=3cm，EF=1cm，则?ABCD 的边 AD的长是5cm或 7cm．【考点】平行四边形的性质．【分析】第一依据题意画出图形，由在?ABCD中，∠ ABC和∠ BCD的均分线分别交A D于点 E 和点 F，易证得△ ABE与△ CDF是等腰三角形，既而求得AE=DF=3cm，此后分别从图（1）与（2）两种状况去分析，既而求得答案．【解答】解：∵四边形 ABCD是平行四边形，∴AB=CD=3cm， AD∥ BC，∴∠ AEB=∠EBC，∵BE 均分∠ ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴∠ABE=∠AEB，∴AE=AB=3cm，同理： DF=CD=3cm，如图（1），AD=AE+DF﹣EF=3+3﹣1=5（cm）；如图（ 2），AD=AE+EF+DF=3+1+3=7（ cm），∴?ABCD的边 AD的长是： 5cm或 7cm．故答案为： 5cm 或 7cm．17．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、 3dm、2dm．A 和 B 是这个台阶上两个相对的端点，点 A 处有一只蚂蚁，想到点 B 处去吃爽口的食品，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点 B 的最短行程为 25 dm．【考点】平面张开 - 最短路径问题．【分析】先将图形平面张开，再用勾股定理依据两点之间线段最短进行解答．【解答】解：三级台阶平面张开图为长方形，长为 20dm，宽为（ 2+3）× 3dm，则蚂蚁沿台阶面爬行到 B 点最短行程是此长方形的对角线长．可设蚂蚁沿台阶面爬行到 B 点最短行程为xdm，由勾股定理得：x2=202+[ （ 2+3）× 3] 2=252，解得 x=25．故答案为25．18．如图，正方形 OABC的边长为 6，点 A、 C 分别在 x 轴， y 轴的正半轴上，点D（ 2， 0）在 OA上， P 是 OB上一动点，则 PA+PD的最小值为 2．【考点】轴对称 - 最短路线问题；坐标与图形性质．【分析】过 D 点作对于OB的对称点D′，连结 D′A交 OB于点 P，由两点之间线段最短可知D′A即为 PA+PD的最小值，由正方形的性质可求出D′点的坐标，再依据OA=6可求出 A 点的坐标，利用两点间的距离公式即可求出D′A的值．【解答】解：过 D 点作对于OB的对称点 D′，连结 D′A交 OB于点 P，由两点之间线段最短可知 D′A即为 PA+PD的最小值，∵D（ 2， 0），四边形OABC是正方形，∴D′点的坐标为（0， 2）， A 点坐标为（ 6， 0），∴D′A==2，即PA+PD的最小值为2．故答案为2．三、（此题共 1 小题，共10 分）19．计算：①（ 4﹣ 6）÷ 2②﹣（﹣ 2）0+．【考点】二次根式的混淆运算；零指数幂．【分析】（ 1）先进行二次根式的除法运算，此后归并；（2）分别进行二次根式的化简、零指数幂等运算，此后归并．【解答】解：（ 1）原式 =2﹣3；（2）原式 =3﹣1+=4﹣ 1．四、（此题共1 小题，共14 分）20．已知： x=+，y=﹣，求代数式x2﹣ y2+5xy 的值．【考点】二次根式的化简求值．【分析】第一把代数式利用平方差公式因式分解，再进一步代入求得答案即可．【解答】解：∵ x=+，y=﹣，∴x2﹣ y2+5xy=（ x+y ）（ x﹣ y） +5xy=2× 2+5（+）（﹣）=4+5．五、（此题共2 小题，共14 分）21．如图，已知，在四边形ABCD中： AO=BO=CO=DO．求证：四边形ABCD是矩形．【考点】矩形的判断．【分析】第一依据AO=BO=CO=DO判断平行四边形，此后依据其对角线相等判断矩形即可．【解答】证明：∵ AO=C0=BO=DO，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AO=C0=BO=DO，∴AC=DB，∴四边形ABCD是矩形．22．如图，在Rt △ ABC中，∠ ACB=90°，点D，E 分别是边AB，AC的中点，延伸BC到点 F，使CF= BC．若 AB=12，求 EF的长．【考点】平行四边形的判断与性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理．【分析】利用三角形中位线定理以及直角三角形的性质得出DE BC，DC= AB，从而得出四边形 DEFC是平行四边形，即可得出答案．【解答】解：连结DC，∵点 D， E分别是边AB， AC的中点，∴DE BC， DC= AB，∵C F= BC，∴DE FC，∴四边形DEFC是平行四边形，∴D C=EF，∴E F= AB=6．六、（此题共1 小题，共7 分）23．如图，在四边形ABCD中， AB∥ CD， AB=12，BC=17， CD=20， AD=15．（1）请你在图中增添一条直线，将四边形ABCD分红一个平行四边形和一个三角形．（2）求四边形 ABCD的面积？【考点】平行四边形的性质；勾股定理的逆定理．【分析】（ 1）第一过点 B 作 BE∥ AD，交 CD于点 E，可得四边形ABED是平行四边形；（2）由四边形 ABED是平行四边形，可求得 CE， BE的长，此后利用勾股定理的逆定理证得△BCE是直角三角形，既而求得答案．【解答】解：（1）如图，过点B作BE∥AD，交CD于点E，∵在四边形 ABCD中， AB∥ CD，∴四边形 ABED是平行四边形；（2）∵四边形 ABED是平行四边形，∴D E=AB=12， BE=AD=15，∴C E=CD﹣ DE=20﹣ 12=8，∵B C=17，222∴BE +CE=BC，∴S= （ AB+CD）?BE=×（ 12+20）× 15=240 ．四边形 ABCD七、（此题共1 小题，共8 分）24．如图，北部湾海面上，一艘解放军军舰在基地 A 的正东方向且距 A 地 60 海里的 B 处训练，忽然接到基地命令，要该舰前去 C 岛，接送一名病危的渔民到基地医院救治．已知C 岛在 A 的北偏东30°方向，且在 B 的北偏西60°方向，军舰从 B 处出发，均匀每小时行驶30 海里，需要多少时间才能把生病渔民送到基地医院．（精准到小时，≈ ）【考点】勾股定理的应用；方向角．【分析】依据题意知应求（ BC+AC）的长，△ ABC为斜三角形，因此需作高转变为直角三角形求解．【解答】解：依据题意，得∠ A=60°，∠ B=30°作CD⊥ AB于 D，设CD=x，∵=tan60 °∴AD=x∵=tan30 °∴B D= x∵A B=60，∴x+x=60，解得： x=15 海里，∴AC=x=30 海里，BC=2x=30海里，∴A C=2x∴= +1≈ 2.7 小时，答：需要大概 2.7 小时才能把生病渔民送到基地医院．八、（此题共2 小题，共10 分）25．以以以下图，四边形 ABCD是正方形， M是 AB延伸线上一点．直角三角尺的一条直角边经过点 D，且直角极点 E在 AB边上滑动（点 E 不与点 A、B 重合），另向来角边与∠ CBM的均分线 BF 订交于点 F．（1）如图 1，当点 E 在 AB 边得中点地点时：①经过丈量DE、 EF的长度，猜想DE与 EF 知足的数目关系是DE=EF ．②连结点 E 与 AD边的中点N，猜想 NE与 BF知足的数目关系是NE=BF ，请证明你的猜想．（2）如图 2，当点 E 在 AB边上的随意地点时，猜想此时DE与 EF有如何的数目关系，并证明你的猜想．【考点】全等三角形的判断与性质；正方形的性质．【分析】（ 1）①依据图形可以获得DE=EF，NE=BF，②要证明这两个关系，只需证明△DNE≌△E BF即可．（2） DE=EF，连结 NE，在 DA边上截取 DN=EB，证出△ DNE≌△ EBF即可得出答案．【解答】解：（ 1）① DE=EF；②NE=BF；原因以下：∵四边形 ABCD为正方形，∴AD=AB，∠ DAB=∠ABC=90°，∵N，E 分别为 AD， AB中点，∴AN=DN= AD， AE=EB= AB，∴DN=BE， AN=AE，∵∠ DEF=90°，∴∠ AED+∠FEB=90°，又∵∠ ADE+∠AED=90°，∴∠ FEB=∠ADE，又∵ AN=AE，∴∠ ANE=∠AEN，又∵∠ A=90°，∴∠ ANE=45°，∴∠ DNE=180°﹣∠ ANE=135°，又∵∠ CBM=90°， BF均分∠ CBM，∴∠ CBF=45°，∠ EBF=135°，在△ DNE和△ EBF中，∴△ DNE≌△ EBF（ ASA），∴D E=EF， NE=BF．（2） DE=EF，原因以下：连结 NE，在 DA边上截取 DN=EB，∵四边形 ABCD是正方形， DN=EB，∴AN=AE，∴△AEN为等腰直角三角形，∴∠ ANE=45°，∴∠ DNE=180°﹣ 45°=135°，∵BF 均分∠ CBM， AN=AE，∴∠ EBF=90° +45°=135°，∴∠ DNE=∠EBF，∵∠ NDE+∠DEA=90°，∠BEF+∠DEA=90°，∴∠ NDE=∠BEF，在△ DNE和△ EBF中，∴△ DNE≌△ EBF（ ASA），∴D E=EF．26．如图， BD是菱形 ABCD的对角线，点E，F 分别在边CD，DA上，且 CE=AF．求证： DE=DF．【考点】菱形的性质；全等三角形的判断与性质．【分析】依据菱形的性质可得AD=CD，即可得出结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD，∵CE=AF，∴DE=DF．。

人教版八年级数学下册第二次月考试题

初二下学期第二次月考试题一、请你填一填。

（每题3分，共30分） 1．计算4133m m m -+++= ． 2.计算y —y ÷x= 。

3.反比例函数x ky =的图象过点P (3,7)，那么k 的值是．4．顺次连结矩形各边中点所得的四边形是＿＿＿＿＿5．如图，一架云梯长10米，斜靠在一面墙上，梯子顶端离地面6米，要使梯子顶端离地面8 米，则梯子的底部在水平面方向要向左滑动_______________米.第5题图第6题图第7题图6．如图,P 是正方形ABCD 内一点，将△ABP 绕点B 顺时针方向旋转能与△CBP′重合，PB=1，则PP′=__________________.7．你吃过兰州拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度у（cm ）是面条粗细（横截面积）x （cm 2）的反比例函数，假设其图象如图所示，则у与x 的函数关系式为__ _ .8.某射击运动员五次射击成绩分别为9环，5环，8环，8环，10环，则他这五次成绩的平均数为，众数为 . 9. 我县某天的最高温度是32℃，最低温度是21℃，则气温的极差为 _______℃ 10．某商店选用每千克28元的A 型糖3千克，每千克20元的B 型糖2千克，每千克12元的C 型糖5千克混合杂拌后出售，这种杂拌糖平均每千克售价为＿＿＿＿元. 二、请你选一选。

（每题3分，共18分） 11．（辽宁省）五名同学在“爱心捐助”活动中，捐款数额为8，10，10，4，6（单位:元），这组数据的中位数是（） A ．10 B ．9 C ．8 D ． 6 12．下列结论正确的是（）A ．邻角相等的四边形是菱形B ．有一组邻边相等的四边形是菱形C ．对角线互相垂直的四边形是菱形D ．对角线互相垂直平分的四边形是菱形13．如图所示，在□ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，下列式子中一定成立的是 ( )A ．OA=ODB ．AC=BDC ．AC ⊥BD D ．OB=0D 14．下列命题中的假命题是（） A ．在△ABC 中，若∠A=∠C-∠B ，则△ABC 是直角三角形 B ．在△ABC 中，若a 2+b 2=c 2，则△ABC 是直角三角形C ．在△ABC 中，若∠A 、∠B 、∠C 的度数比是5∶2∶3，则△ABC 是直角三角形D ．在△ABC 中，若三边长a ∶b ∶c=2∶2∶3，则△ABC 是直角三角形 15．以A 、B 、C 三点为平行四边形的三个顶点,作形状不同的平行四边形,一共可以作（） A ．0个或3个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 16．（漳州市）甲、乙两名运动员在10次的百米跑练习中，平均成绩分别为x甲7.10＝秒，x 乙7.10＝秒，方差分别为S 2甲054.0=，S 2乙103.0=，那么在这次百米跑练习中，甲、乙两名运动员成绩较为稳定的是（）A ．甲运动员B ．乙运动员C ．甲、乙两人一样稳定D ．无法确定三、请你来解答。

八年级(下)第二次月考数学试卷

八年级（下）第二次月考数学试卷一、选择题：本大题共6个小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（3分）如图，所给图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）下列变形中不正确的是（）A．由a＞b得b＜aB．若a＞b，则ac2＞bc2（c为有理数）C．由﹣a＞﹣b得b＞aD．由﹣x＜y得x＞﹣2y3．（3分）已知点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（2，1）．将线段AB沿某一方向平移后点A的对应点的坐标为（﹣2，5），则点B的对应点的坐标为（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，﹣1）C．（5，3）D．（5，﹣1）4．（3分）若关于x的分式方程有增根，则m的值为（）A．1B．2C．﹣1D．﹣25．（3分）如图，直线y＝x+2与直线y＝ax+4相交于点P（m，3），则关于x的不等式x+2＜ax+4的解集为（）A．x＞1B．x＜1C．x＞3D．x＜36．（3分）如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A6B6A7的边长为（）A．6B．12C．32D．64二、填空题（每题3分，满分18分，将答案填在答题纸上）7．（3分）要使分式无意义，则x的取值范围是．8．（3分）如图，在△ABC中，BC＝5cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是cm．9．（3分）如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，将△ABC折叠，使点C 与点A重合，折痕为DE，则△ABE的周长为．10．（3分）已知m+n＝3，则m2﹣n2+6n＝．11．（3分）在实数范围内规定新运算“*”，基本规则是a*b＝a﹣2b，已知不等式x*m≤3的解集在数轴上表示如图所示，则m的值为．12．（3分）在等腰△ABC中，AD⊥BC交直线BC于点D，若AD＝BC，则△ABC的顶角的度数为．三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（6分）（1）因式分解：m3﹣m；（2）解不等式组：．14．（6分）先化简，再从﹣2＜x≤2中选一个合适的整数作为x的值代入求值．15．（6分）如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC＝BD 求证：（1）△ABC≌△BAD；（2）OA＝OB．16．（6分）小明解方程﹣＝1的过程如下：解：方程两边乘x，得1﹣（x﹣2）＝1．①去括号，得1﹣x﹣2＝1．②移项，得﹣x＝1﹣1+2．③合并同类项，得﹣x＝2．④解得x＝﹣2．⑤所以，原分式方程的解为x＝﹣2．⑥请指出他解答过程中的错误，并写出正确的解答过程．17．（6分）在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）在图1中画出与△ABC关于点C成中心对称的格点三角形A1B1C；（2）将图2中的△ABC绕着点C按逆时针方向旋转90°，画出经旋转后的三角形A2B2C．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．（8分）阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式，假分数可以化成1+（即1）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：．解决下列问题：（1）分式是（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式；（2）如果分式的值为整数，求满足条件的整数x的值；（3）若分式的值为m，则m的取值范围是（直接写出答案）．19．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AE平分∠CAB，CE⊥AE于点E，延长CE交AB于点D．（1）求证：CE＝DE；（2）若点F为BC的中点，求EF的长．20．（8分）阅读材料：根据多项式乘多项式法则，我们很容易计算：（x+2）（x+3）＝x2+5x+6；（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3．而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得：x2+5x+6＝（x+2）（x+3）；x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）．通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．如将式子x2+2x ﹣3分解因式．这个式子的二次项系数是1＝1×1，常数项﹣3＝（﹣1）×3，一次项系数2＝（﹣1）+3，可以用下图十字相乘的形式表示为：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数，然后横向书写．这样，我们就可以得到：x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）．利用这种方法，将下列多项式分解因式：（1）x2+7x+10＝；（2）x2﹣2x﹣3＝；（3）y2﹣7y+12＝；（4）x2+7x﹣18＝．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．（9分）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AD．（1）求证：△BOC≌△ADC；（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？22．（9分）疫情复学返校之前，为方便快速筛查体温异常学生，某校准备购买A，B两种型号的额温枪，已知每支A型额温枪比每支B型额温枪贵50元，买1支A型额温枪和2支B型额温枪共500元．（1）每支A型、B型额温枪的价格各是多少元？（2）该校欲购进A，B型额温枪共100支，且A型额温枪的数量不少于B型额温枪的数量，购买的总金额不超过17600元，则共有哪几种购买方案？（3）在（2）的条件下，若购买A型额温枪m支，写出购买总费用w（元）与m的表达式，并求出w的最小值．六．（本大题共12分）23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，A（a，0），D（6，4），将线段AD平移得到BC，使B（0，b），且a、b满足|a﹣2|+＝0，延长BC交x轴于点E．（1）填空：点A（，），点B（，），∠DAE＝°；（2）求点C和点E的坐标；（3）设点P是x轴上的一动点（不与点A、E重合），且P A＞AE，探究∠APC与∠PCB 的数量关系？写出你的结论并证明．。

八年级下第二次月考数学试卷+答案和解释

八年级下学期第二次月考数学试卷一．精心选一选，慧眼识金.（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．下列电视台的台标，是中心对称图形的是( )A．B．C．D．2．下列各式中，与是同类二次根式的是( )A．B．C．D．3．如果代数式有意义，那么x的取值范围是( )A．x≥0 B．x≠1 C．x＞0 D．x≥0且x≠14．在一个不透明的盒子里有形状、大小相同的黄球2个、红球3个，从盒子里任意摸出1个球，摸到红球的概率是( )A．B．C．D．5．用配方法解方程x2+10x+9=0，配方正确的是( )A．（x+5）2=16 B．（x+5）2=34 C．（x﹣5）2=16 D．（x+5）2=256．如图，E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，BE=CF，连接CE、DF．△CDF 可以看作是将△BCE绕正方形ABCD的中心O按逆时针方向旋转得到．则旋转角度为( )A．45°B．60°C．90°D．120°7．若关于x的分式方程=无解，则m的值为( )A．﹣1.5 B．1 C．﹣1.5或2 D．﹣0.5或﹣1.5 8．如图，反比例函数y1=和正比例函数y2=nx的图象交于A（﹣1，﹣3）、B两点，则﹣nx≥0的解集是( )A．﹣1＜x＜0 B．x＜﹣1或0＜x＜1 C．x≤1或0＜x≤1 D．﹣1＜x＜0或x≥1二．细心填一填，一锤定音.（本大题共10小题，每空格3分，共30分）9．调查某城市的空气质量，应选择__________．10．代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是__________．11．若反比例函数y=的图象过点A（1，﹣2），则k=__________．12．已知+=0，则﹣=__________．13．小丽与小刚一起玩“剪刀、石头、布”的游戏，小丽出“石头”的概率是__________．14．一个对角线长分别为6cm和8cm的菱形，顺次连接它的四边中点得到的四边形的面积是__________．15．若关于x的分式方程﹣2=有增根，则m的值为__________．16．函数y=与y=﹣x+2图象的交点坐标为（a，b），则的值为__________．17．如图，直线x=2与反比例函数和的图象分别交于A、B两点，若点P是y 轴上任意一点，则△PAB的面积是__________．18．如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线BD上有一点P，使PC+PE的和最小，则这个最小值为__________．三．耐心做一做，马到成功.（本大题共8个小题，共66分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．计算：（1）﹣﹣（﹣2）（2）（+﹣）（++）20．先化简，然后从1、、﹣1中选取一个你认为合适的数作为a的值代入求值．21．（16分）解方程：（1）=﹣3（2）﹣=（3）x2﹣9=0（4）x2+4x﹣5=0．22．某中学九①班为了了解全班学生喜欢球类活动的情况，采取全面调查的方法，从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面调查了全班学生的兴趣爱好，根据调查的结果组建了4个兴趣小组，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图（如图①，②，要求每位学生只能选择一种自己喜欢的球类），请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）九①班的学生人数为__________，并把条形统计图补充完整；（2）扇形统计图中m=__________，n=__________，表示“足球”的扇形的圆心角是__________度．23．如图，O是菱形ABCD对角线AC与BD的交点，CD=5cm，OD=3cm；过点C作CE∥DB，过点B作BE∥AC，CE与BE相交于点E．（1）求OC的长；（2）求证：四边形OBEC为矩形；（3）求矩形OBEC的面积．24．某校为了创建书香校园，去年又购进了一批图书，经了解，科普书的单价比文学书的单价多4元，用1200元购进的科普书与用800元购进的文学书本数相等，求去年购进的文学书和科普书的单价各是多少元？25．我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种．如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（℃）随时间x（小时）变化的函数图象，其中BC段是双曲线的一部分．请根据图中信息解答下列问题：（1）恒温系统在这天保持大棚内温度18℃的时间有多少小时？（2）求k的值；（3）当x=16时，大棚内的温度约为多少度？26．如图1，正方形ABCD中，C（﹣3，0），D（0，4）．过A点作AF⊥y轴于F点，过B 点作x轴的垂线交过A点的反比例函数的图象于E点，交x轴于G点．（1）求证：△CDO≌△DAF；（2）求点E的坐标；（3）如图2，过点C作直线l∥AE，在直线l上是否存在一点P，使△PAC是等腰三角形？若存在，求P点坐标，不存在说明理由．八年级下学期第二次月考数学试卷一．精心选一选，慧眼识金.（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．下列电视台的台标，是中心对称图形的是( )A．B．C． D．考点：中心对称图形．分析：根据中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．解答：解：A、不是中心对称图形，故A选项错误；B、不是中心对称图形，故B选项错误；C、不是中心对称图形，故C选项错误；D、是中心对称图形，故D选项正确．故选D．点评：本题考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合是解题的关键．2．下列各式中，与是同类二次根式的是( )A．B．C．D．考点：同类二次根式．分析：先化简二次根式，再判定即可．解答：解：A、与不是同类二次根式，错误；B、与不是同类二次根式，错误；C、与不是同类二次根式，错误；D、与是同类二次根式，正确；故选D．点评：本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是二次根式的化简．3．如果代数式有意义，那么x的取值范围是( )A．x≥0 B．x≠1 C．x＞0 D．x≥0且x≠1考点：分式有意义的条件；二次根式有意义的条件．专题：计算题．分析：代数式有意义的条件为：x﹣1≠0，x≥0．即可求得x的范围．解答：解：根据题意得：x≥0且x﹣1≠0．解得：x≥0且x≠1．故选：D．点评：式子必须同时满足分式有意义和二次根式有意义两个条件．分式有意义的条件为：分母≠0；二次根式有意义的条件为：被开方数≥0．此类题的易错点是忽视了二次根式有意义的条件，导致漏解情况．4．在一个不透明的盒子里有形状、大小相同的黄球2个、红球3个，从盒子里任意摸出1个球，摸到红球的概率是( )A．B．C．D．考点：概率公式．分析：根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小．解答：解：∵共5个球中有3个红球，∴任取一个，是红球的概率是：，故选B．点评：本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．5．用配方法解方程x2+10x+9=0，配方正确的是( )A．（x+5）2=16 B．（x+5）2=34 C．（x﹣5）2=16 D．（x+5）2=25考点：解一元二次方程-配方法．分析：移项，配方（方程两边都加上一次项系数的一半的平方），即可得出答案．解答：解：x2+10x+9=0，x2+10x=﹣9，x2+10x+52=﹣9+52，（x+5）2=16．故选A．点评：本题考查了用配方法解一元二次方程的应用，关键是能正确配方．6．如图，E、F分别是正方形A BCD的边AB、BC上的点，BE=CF，连接CE、DF．△CDF 可以看作是将△BCE绕正方形ABCD的中心O按逆时针方向旋转得到．则旋转角度为( )A．45°B．60°C．90°D．120°考点：旋转的性质．分析：据旋转性质得出旋转后C到D，只要根据正方形的性质和三角形的内角和定理求出∠COD即可．解答：解：将△CBE绕正方形的对角线交点O按逆时针方向旋转到△CDF时，C和D重合，即∠COD是旋转角，∵四边形ABCD是正方形，∴∠OCD=∠ODC=45°，∴∠COD=180°﹣45°﹣45°=90°，即旋转角是90°，故选C．点评：本题主要考查了旋转的性质，以及正多边形的性质，正确理解正多边形的性质以及旋转角（对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角）是解题的关键．7．若关于x的分式方程=无解，则m的值为( )A．﹣1.5 B．1 C．﹣1.5或2 D．﹣0.5或﹣1.5考点：分式方程的解．专题：压轴题．分析：先把方程两边乘以x（x﹣3）得到x（2m+x）﹣x（x﹣3）=2（x﹣3），整理得（2m+1）x=﹣6，由于关于x的分式方程=无解，则可能有x=3或x=0，然后分别把它们代入（2m+1）x=﹣6，即可得到m的值，然后再讨论方程（2m+1）x=﹣6无解得到m=﹣．解答：解：去分母得，x（2m+x）﹣x（x﹣3）=2（x﹣3），整理得，（2m+1）x=﹣6，∵关于x的分式方程=无解，∴x=3或x=0，把x=3代入（2m+1）x=﹣6得，（2m+1）×3=﹣6，解得m=﹣1.5；把x=0代入（2m+1）x=﹣6得，（2m+1）×0=﹣6，无解，又∵2m+1=0时，方程（2m+1）x=﹣6无解，∴m=﹣，所以m的值为﹣1.5或﹣0.5．故选：D．点评：本题考查了分式方程的解：把分式方程转化为整式方程，然后把整式方程的解代入原方程进行检验，若整式方程的解使分式方程的分母不为零，则这个整式方程的解是分式方程的解；若整式方程的解使分式方程的分母为零，则这个整式方程的解是分式方程的增根．8．如图，反比例函数y1=和正比例函数y2=nx的图象交于A（﹣1，﹣3）、B两点，则﹣nx≥0的解集是( )A．﹣1＜x＜0 B．x＜﹣1或0＜x＜1 C．x≤1或0＜x≤1 D．﹣1＜x＜0或x≥1考点：反比例函数与一次函数的交点问题．分析：求出≥nx，求出B的坐标，根据A、B的坐标结合图象得出即可．解答：解：∵﹣nx≥0，∴≥nx，∵反比例函数y1=和正比例函数y2=nx的图象交于A（﹣1，﹣3）、B两点，∴B点的坐标是（1，3），∴﹣nx≥0的解集是x＜﹣1或0＜x＞1，故选B．点评：本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，函数的图象的应用，主要考查学生的理解能力和观察图象的能力．二．细心填一填，一锤定音.（本大题共10小题，每空格3分，共30分）9．调查某城市的空气质量，应选择抽样调查．考点：全面调查与抽样调查．专题：应用题．分析：根据全面调查和抽样调查的特点即可作出判断．解答：解：此题显然无法普查，必须采用抽样调查．点评：本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查；对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．10．代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥1．考点：二次根式有意义的条件．分析：先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．解答：解：∵在实数范围内有意义，∴x﹣1≥0，解得x≥1．故答案为：x≥1．点评：本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．11．若反比例函数y=的图象过点A（1，﹣2），则k=﹣2．考点：待定系数法求反比例函数解析式．专题：计算题；待定系数法．分析：此题只需将A（1，﹣2）代入反比例函数即可求得k的值．解答：解：将点（1，﹣2）代入y=得：，解得：k=﹣2．故答案为﹣2．点评：本题比较简单，考查的是用待定系数法求反比例函数的比例系数，是中学阶段的重点内容．12．已知+=0，则﹣=﹣．考点：二次根式的化简求值．专题：计算题．分析：利用非负数的性质求出a与b的值，代入原式计算即可得到结果．解答：解：∵+=0，∴2﹣a=0，b﹣3=0，解得：a=2，b=3，则原式=﹣=﹣．故答案为：﹣点评：此题考查了二次根式的．化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．13．小丽与小刚一起玩“剪刀、石头、布”的游戏，小丽出“石头”的概率是．考点：概率公式．分析：根据概率公式列式即可．解答：解：∵共有剪刀、石头、布三种情况，且每一种情况都具有等可能性，∴小丽出“石头”的概率是．故答案为：．点评：本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14．一个对角线长分别为6cm和8cm的菱形，顺次连接它的四边中点得到的四边形的面积是12cm2．考点：中点四边形．分析：根据顺次连接这个菱形各边中点所得的四边形是矩形，且矩形的边长分别是菱形对角线的一半，问题得解．解答：解：∵E、F、G、H分别为各边中点∴EF∥GH∥AC，EF=GH=AC，EH=FG=BD，EH∥FG∥BD∵DB⊥AC，∴EF⊥EH，∴四边形EFGH是矩形，∵EH=BD=3cm，EF=AC=4cm，∴矩形EFGH的面积=EH×EF=3×4=12cm2，故答案为：12cm2．点评：本题考查了菱形的性质，菱形的四边相等，对角线互相垂直，连接菱形各边的中点得到矩形，且矩形的边长是菱形对角线的一半．15．若关于x的分式方程﹣2=有增根，则m的值为3．考点：分式方程的增根．分析：增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣3=0，得到x=3，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．解答：解：方程两边都乘x﹣3，得x﹣2（x﹣3）=m∵原方程有增根，∴最简公分母x﹣3=0，解得x=3，当x=3时，m=3故m的值是3．故答案为：3．点评：本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．16．函数y=与y=﹣x+2图象的交点坐标为（a，b），则的值为2．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．专题：计算题．分析：根据反比例函数与一次函数的交点问题，解方程组可得到交点坐标，则得到a与b的值，然后把a、b的值代入中计算即可．解答：解：根据题意得，解得，所以函数y=与y=﹣x+2图象的交点坐标为（1，1），即a=1，b=1，所以=1+1=2．故答案为2．点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．17．如图，直线x=2与反比例函数和的图象分别交于A、B两点，若点P是y 轴上任意一点，则△PAB的面积是．考点：反比例函数系数k的几何意义．分析：先分别求出A、B两点的坐标，得到AB的长度，再根据三角形的面积公式即可得出△PAB的面积．解答：解：∵把x=2分别代入、，得y=1、y=﹣．∴A（2，1），B（2，﹣），∴AB=1﹣（﹣）=．∵P为y轴上的任意一点，∴点P到直线x=2的距离为2，∴△PAB的面积=AB×2=AB=．故答案是：．点评：此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征及三角形的面积，求出AB的长度是解答本题的关键，难度一般．18．如图，正方形ABCD的面积为16，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线BD上有一点P，使PC+PE的和最小，则这个最小值为4．考点：轴对称-最短路线问题；正方形的性质．分析：根据正方形的性质，推出C、A关于BD对称，推出CP=AP，推出EP+CP=AE，根据等边三角形性质推出AE=AB=EP+CP，根据正方形面积公式求出AB即可．解答：解：连接AC，∵正方形ABCD，∴AC⊥BD，OA=OC，∴C、A关于BD对称，即C关于BD的对称点是A，连接AE交BD于P，则此时EP+CP的值最小，∵C、A关于BD对称，∴CP=AP，∴EP+CP=AE，∵等边三角形ABE，∴EP+CP=AE=AB，∵正方形ABCD的面积为16，∴AB=4，∴EP+CP=4，故答案为：4．点评：本题考查了正方形的性质，轴对称﹣最短问题，等边三角形的性质等知识点的应用，解此题的关键是确定P的位置和求出EP+CP的最小值是AE，题目比较典型，但有一定的难度，主要培养学生分析问题和解决问题的能力．三．耐心做一做，马到成功.（本大题共8个小题，共66分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．计算：（1）﹣﹣（﹣2）（2）（+﹣）（++）考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后去括号后合并即可；（2）先变形得到原式=[（+）﹣][（+）+]，然后利用平方差公式和完全平方公式进行计算．解答：解：（1）原式=3﹣﹣2+10=13﹣；（2）原式=[（+）﹣][（+）+]=（+）2﹣（）2=2+2+3﹣5=2．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．20．先化简，然后从1、、﹣1中选取一个你认为合适的数作为a的值代入求值．考点：分式的化简求值．专题：压轴题．分析：先把除法转化成乘法，再根据乘法的分配律分别进行计算，然后把所得的结果化简，最后选取一个合适的数代入即可．解答：解：=×=﹣==，由于a≠±1，所以当a=时，原式==．点评：此题考查了分式的化简求值，用到的知识点是乘法的分配律、约分，在计算时要注意把结果化到最简．21．（16分）解方程：（1）=﹣3（2）﹣=（3）x2﹣9=0（4）x2+4x﹣5=0．考点：解分式方程；解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-因式分解法．分析：（1）方程两边乘最简公分母（x﹣2），再把分式方程转化为整式方程求解；（2）方程两边乘最简公分母（x+2）（x﹣2），再把分式方程转化为整式方程求解；（3）先把方程变形为x2=9，然后利用直接开平方法其解；（4）把常数项﹣5移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数4的一半的平方，然后直接开平方法求解；解答：解：（1）=﹣3，解：两边同乘以（x﹣2）得，1=x﹣1﹣3（x﹣2），解得：x=2，检验：当x=2时，x﹣2=0，∴原方程无解；（2）﹣=，解：两边同乘以（x+2）（x﹣2）得：（x﹣2）（x﹣2）﹣16=（x+2）（x+2），解得：x=﹣2，检验：当x=﹣2时，（x+2）（x﹣2）=0，∴原方程无解；（3）x2﹣9=0解：x2=9．两边直接开平方得：x=±3，∴方程的解为：x1=3，x2=﹣3，（4）x2+4x﹣5=0，解：由原方程移项，得x2+4x=5，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2+4x+4=5+4，配方得（x+2）2=9．开方，得x+2=±3，解得x1=1，x2=﹣5．点评：本题考查了解分式方程，一元二次方程，熟练掌握解各类方程的方法是解题的关键．22．某中学九①班为了了解全班学生喜欢球类活动的情况，采取全面调查的方法，从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面调查了全班学生的兴趣爱好，根据调查的结果组建了4个兴趣小组，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图（如图①，②，要求每位学生只能选择一种自己喜欢的球类），请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）九①班的学生人数为40，并把条形统计图补充完整；（2）扇形统计图中m=10，n=20，表示“足球”的扇形的圆心角是72度．考点：条形统计图；扇形统计图．分析：（1）根据喜欢篮球的有12人，占30%，即可求得总人数，利用总人数减去其它各组的人数，即可求得喜欢足球的人数；（2）利用百分比的计算公式，即可求得m、n的值，利用360°乘以对应的百分比，即可求得圆心角的度数．解答：解：（1）总人数是：12÷30%=40，则爱好足球的人数是：40﹣4﹣12﹣16=8．故答案是：40；（2）喜欢排球的人所占比例：×100%=10%，则m=10，喜欢足球的人所占的比例：×100%=20%，则n=20．示“足球”的扇形的圆心角是360°×20%=72°．故答案是：10，20，72．点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．23．如图，O是菱形ABCD对角线AC与BD的交点，CD=5cm，OD=3cm；过点C作CE∥DB，过点B作BE∥AC，CE与BE相交于点E．（1）求OC的长；（2）求证：四边形OBEC为矩形；（3）求矩形OBEC的面积．考点：矩形的判定与性质；菱形的性质．专题：几何图形问题．分析：（1）在直角△OCD中，利用勾股定理即可求解；（2）利用矩形的定义即可证明；（3）利用矩形的面积公式即可直接求解．解答：解：（1）∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴直角△OCD中，OC===4cm；（2）∵CE∥DB，BE∥AC，∴四边形OBEC为平行四边形，又∵AC⊥BD，即∠COB=90°，∴平行四边形OBEC为矩形；（3）∵OB=0D，∴S矩形OBEC=OB•OC=4×3=12（cm2）．点评：本题考查了菱形的性质以及矩形的判定，理解菱形的对角线的关系是关键．24．某校为了创建书香校园，去年又购进了一批图书，经了解，科普书的单价比文学书的单价多4元，用1200元购进的科普书与用800元购进的文学书本数相等，求去年购进的文学书和科普书的单价各是多少元？考点：分式方程的应用．分析：设文学书的单价是x元，则科普书的单价是（x+4）元，根据关键语句“用1200元购进的科普书与用800元购进的文学书本数相等”，可列方程求解．解答：解：设文学书的单价是x元，则科普书的单价是（x+4）元，根据题意，得=，解得x=8．经检验得：（x+4）x=12×8=96≠0，故x=8是方程的根，则x+4=12．答：去年购进的文学书的单价是8元，科普书的单价是12元．点评：本题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，设出文学书的单价，表示出科普书的单价，根据购进的数量相等做为等量关系列方程求解．25．我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种．如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（℃）随时间x（小时）变化的函数图象，其中BC段是双曲线的一部分．请根据图中信息解答下列问题：（1）恒温系统在这天保持大棚内温度18℃的时间有多少小时？（2）求k的值；（3）当x=16时，大棚内的温度约为多少度？考点：反比例函数的应用；一次函数的应用．分析：（1）根据图象直接得出大棚温度18℃的时间为12﹣2=10（小时）；（2）利用待定系数法求反比例函数解析式即可；（3）将x=16代入函数解析式求出y的值即可．解答：解：（1）恒温系统在这天保持大棚温度18℃的时间为12﹣2=10小时．（2）∵点B（12，18）在双曲线y=上，∴18=，∴解得：k=216．（3）当x=16时，y==13.5，所以当x=16时，大棚内的温度约为13.5℃．点评：此题主要考查了反比例函数的应用，求出反比例函数解析式是解题关键．26．如图1，正方形ABCD中，C（﹣3，0），D（0，4）．过A点作AF⊥y轴于F点，过B 点作x轴的垂线交过A点的反比例函数的图象于E点，交x轴于G点．（1）求证：△CDO≌△DAF；（2）求点E的坐标；（3）如图2，过点C作直线l∥AE，在直线l上是否存在一点P，使△PAC是等腰三角形？若存在，求P点坐标，不存在说明理由．考点：反比例函数综合题．专题：综合题．分析：（1）根据正方形的性质AD=CD，∠ADC=90°，再利用等角的余角相等得到∠DAF=∠CDO，于是可根据“AAS”证明△CDO≌△DAF；（2）由于△CDO≌△DAF，根据全等的性质得AF=OD=4，DF=OC=3，则A点坐标为（﹣4，7），再利用待定系数法可求出反比例函数解析式为y=﹣；与（1）中的方法一样可证明△CDO≌△BGC，得到CG=OD=4，则得到E点的横坐标为﹣7，然后利用反比例函数解析式可确定E点坐标；（3）如图2，作AH⊥x轴于H，在Rt△ACH中，根据勾股定理得到AC2=50，利用待定系数法求出直线AE的解析式为y=x+11，由于直线l∥AE，则直线l的解析式为设为y=x+b，把C（﹣3，0）代入可计算出b=3，则直线l的解析式为设为y=x+3，于是可设P点坐标为（t，t+3），然后利用两点间的距离公式得到AP2=（t+4）2+（t﹣4）2，CP2=（t+3）2+（t+3）2，接着进行分类讨论：当CP=CA时，即（t+3）2+（t+3）2=50；当AP=AC时，（t+4）2+（t﹣4）2=50；当PC=PA时，（t+3）2+（t+3）2=（t+4）2+（t﹣4）2，分别解方程求出t的值，从而可得到满足条件的P点坐标．解答：（1）证明：如图1，∵C（﹣3，0），D（0，4），∴OC=3，OD=4，∵四边形ABCD为正方形，∴AD=CD，∠ADC=90°，∴∠ADF+∠CDO=90°，∵AF⊥y轴，∴∠AFD=90°，∴∠ADF+∠DAF=90°，∴∠DAF=∠CDO，在△CDO和△DAF中，∴△CDO≌△DAF；（2）解：如图1，∵△CDO≌△DAF，∴AF=OD=4，DF=OC=3，∴OF=OD+DF=3+4=7，∴A点坐标为（﹣4，7），设反比例函数解析式为y=，把A（﹣4，7）代入y=得k=﹣4×7=﹣28，∴反比例函数解析式为y=﹣，与（1）中的方法一样可证明△CDO≌△BGC，∴CG=OD=4，∴OG=OC+CG=7，∴E点的横坐标为﹣7，把x=﹣7代入y=﹣得y=4，∴E点坐标为（﹣7，4）；（3）解：存在．如图2，作AH⊥x轴于H，在Rt△ACH中，AH=7，CH=1，则AC2=72+12=50，设直线AE的解析式为y=mx+n，把A（﹣4，7）和E（﹣7，4）代入y=mx+n得，解得，∴直线AE的解析式为y=x+11，∵直线l∥AE，∴直线l的解析式为设为y=x+b，把C（﹣3，0）代入得﹣3+b=0，解得b=3，∴直线l的解析式为设为y=x+3，设P点坐标为（t，t+3），∴AP2=（t+4）2+（t﹣4）2，CP2=（t+3）2+（t+3）2，当CP=CA时，（t+3）2+（t+3）2=50，解得t1=2，t2=﹣8，此时P点坐标为（2，5）或（﹣8，﹣5）；当AP=AC时，（t+4）2+（t﹣4）2=50，解得t1=3，t2=﹣3（舍去），此时P点坐标为（3，6）；当PC=PA时，（t+3）2+（t+3）2=（t+4）2+（t﹣4）2，解得t=，此时P 点坐标为（，），综上所述，满足条件的P点坐标为（2，5）或（﹣8，﹣5）或（3，6）或（，）．点评：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质、正方形的性质和三角形全等的判定与性质；会利用待定系数法求函数解析式和利用两点间的距离公式计算线段的长；理解坐标与图形的性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．第21 页共21 页。

人教版八年级(下)学期第二次月考检测数学试卷含答案

一、选择题1．已知点A （4，0），B （0，﹣4），C （a ，2a ）及点D 是一个平行四边形的四个顶点，则线段CD 的长的最小值为（）A ．655B ．1255C ．32D ．422．如图，在矩形ABCD 中，25,4,BC AB O ==为边AB 的中点，P 为矩形ABCD 外一动点，且90APC ∠=，则线段OP 的最大值为（）A ．53+B ．35+C ．452-D ．231+3．如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 是对角线AC 上的两点且AE CF =，下列说法中正确的是（）①BE DF =；②//BE DF ；③AB DE =；④四边形EBFD 为平行四边形；⑤ADE ABE S S ∆∆=；⑥AF CE =．A ．①⑥B ．①②④⑥C ．①②③④D ．①②④⑤⑥4．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，若CD ，CM 分别是斜边AB 上的高和中线，则下列结论中错误的是（）A ．MCB MCA ∠=∠B ．MCB ACD ∠=∠C ．B ACD ∠=∠ D ．MCA BCD ∠=∠5．如图，在ABC 中，AB =AC =6，∠B =45°，D 是BC 上一个动点，连接AD ，以AD 为边向右侧作等腰ADE ，其中AD =AE ，∠ADE =45°，连接CE ．在点D 从点B 向点C 运动过程中，CDE △周长的最小值是（）A ．62B ．626+C ．92D ．926+6．如图，△ABC 的周长为19，点D ，E 在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为N ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为M ，若BC=7，则MN 的长度为（）A ．32B ．2C ．52D ．3 7．如图，ABCD 的对角线,AC BD 交于点,O DE 平分ADC ∠交BC 于点,60,E BCD ∠=︒2,AD AB =连接OE ．下列结论：ABCD S AB BD =⋅①；DB ②平分ADE ∠；AB DE =③；CDE BOC S S =④，其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4．将矩形沿AC 折叠，CD ′与AB 交于点F ，则AF ：BF 的值为（）A ．2B ．53C ．54D 39．如图，正方形ABCD 的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH ，则线段GH 的长为（）A ．2.8B ．22C ．2.4D ．3.510．如图，已知一个矩形纸片OACB ，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A （10，0），点B （0，6），点P 为BC 边上的动点，将△OBP 沿OP 折叠得到△OPD ，连接CD 、AD ．则下列结论中：①当∠BOP ＝45°时，四边形OBPD 为正方形；②当∠BOP ＝30°时，△OAD 的面积为15；③当P 在运动过程中，CD 的最小值为234﹣6；④当OD ⊥AD 时，BP ＝2．其中结论正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题11．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO 的边CO 、OA 分别在x 轴、y 轴上，点E 在边BC 上，将该矩形沿AE 折叠，点B 恰好落在边OC 上的F 处．若OA ＝8，CF ＝4，则点E 的坐标是_____．12．如图，四边形ABCD ，四边形EBFG ，四边形HMPN 均是正方形，点E 、F 、P 、N 分别在边AB 、BC 、CD 、AD 上，点H 、G 、M 在AC 上，阴影部分的面积依次记为1S ，2S ，则12:S S 等于__________．13．如图，正方形ABCD 中，DAC 的平分线交DC 于点E ，若P ，Q 分别是AD 和AE 上的动点，则DQ+PQ 能取得最小值4时，此正方形的边长为______________．14．如图所示，菱形ABCD，在边AB上有一动点E，过菱形对角线交点O作射线EO与CD 边交于点F，线段EF的垂直平分线分别交BC、AD边于点G、H，得到四边形EGFH，点E 在运动过程中，有如下结论：①可以得到无数个平行四边形EGFH；②可以得到无数个矩形EGFH；③可以得到无数个菱形EGFH；④至少得到一个正方形EGFH．所有正确结论的序号是__．15．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=5，AC=12，P为边BC上一动点（P不与B、C 重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的取值范围是__．16．已知在矩形ABCD中，3,3,2AB BC==点P在直线BC上，点Q在直线CD上，且,AP PQ⊥当AP PQ=时，AP=________________．17．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，以BC为一边作正方形BDEC设正方形的对称中心为O，连接AO，则AO＝_____．18．如图，在菱形ABCD 中，AC 交BD 于P ，E 为BC 上一点，AE 交BD 于F ，若AB=AE ，EAD 2BAE ∠∠=，则下列结论：①AF=AP ；②AE=FD ；③BE=AF ．正确的是______（填序号）．19．如图，正方形ABCD 面积为1，延长DA 至点G ，使得AG AD =，以DG 为边在正方形另一侧作菱形DGFE ，其中45EFG ︒∠=，依次延长, , AB BC CD 类似以上操作再作三个形状大小都相同的菱形，形成风车状图形，依次连结点, , , ,F H M N 则四边形FHMN 的面积为___________．20．如图，菱形OABC 的两个顶点坐标为()0,0O ，()4,4B ，若将菱形绕点O 以每秒45︒的速度逆时针旋转，则第2019秒时，菱形两对角线交点D 的坐标为__________．三、解答题21．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，过点C 的直线//MN AB ，D 为AB 边上一点，过点D 作DE BC ⊥，交直线MN 于E ，垂足为F ，连接CD 、BE（1）当D 在AB 中点时，四边形BECD 是什么特殊四边形?说明你的理由；（2）当D 为AB 中点时，A ∠等于度时，四边形BECD 是正方形．22．如图，在矩形ABCD 中，点E 是AD 上的一点（不与点A ，D 重合），ABE ∆沿BE 折叠，得BEF ，点A 的对称点为点F ．（1）当AB AD =时，点F 会落在CE 上吗？请说明理由．（2）设()01AB m m AD=<<，且点F 恰好落在CE 上． ①求证：CF DE =．②若AE n AD=，用等式表示m n ，的关系． 23．如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将ABE ∆沿BE 折叠，点A 的对应点为点G ．图1 图2（1）填空：如图1，当点G 恰好在BC 边上时，四边形ABGE 的形状是________；（2）如图2，当点G 在矩形ABCD 内部时，延长BG 交DC 边于点F ．①求证：BF AB DF =+．②若3AD =，试探索线段DF 与FC 的数量关系．24．已知：在ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B 、C 重合）．以AD 为边作正方形ADEF ，连接CF ．（1）如图1，当点D在线段BC上时，BD与CF的位置关系为__________；CF、BC、CD三条线段之间的数量关系____________________．（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，请你写出CF、BC、CD三条线段之间的数量关系并加以证明；（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变：①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系．△的形状，并说明理②若连接正方形对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究AOC由．25．如图，在平面直角坐标系中，已知▱OABC的顶点A（10，0）、C（2，4），点D是OA的中点，点P在BC上由点B向点C运动．（1）求点B的坐标；（2）若点P运动速度为每秒2个单位长度，点P运动的时间为t秒，当四边形PCDA是平行四边形时，求t的值；（3）当△ODP是等腰三角形时，直接写出点P的坐标．26．如图①，已知正方形ABCD中，E，F分别是边AD，CD上的点(点E，F不与端点重合)，且AE=DF，BE，AF交于点P，过点C作CH⊥BE交BE于点H．（1）求证：AF∥CH；（2）若AB=23 ，AE=2，试求线段PH 的长；（3）如图②，连结CP 并延长交AD 于点Q ，若点H 是BP 的中点，试求 CP PQ的值． 27．矩形ABCD 中，AB =3，BC =4．点E ，F 在对角线AC 上，点M ，N 分别在边AD ，BC 上．（1）如图1，若AE =CF =1，M ，N 分别是AD ，BC 的中点．求证：四边形EMFN 为矩形．（2）如图2，若AE =CF =0.5，02AM CN x x ==<<（），且四边形EMFN 为矩形，求x 的值．28．如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边所在直线上一动点（不与点B 、C 重合），过点B 作BF ⊥DE ，交射线DE 于点F ，连接CF ．（1）如图，当点E 在线段BC 上时，∠BDF=α．①按要求补全图形；②∠EBF =______________（用含α的式子表示）；③判断线段 BF ，CF ，DF 之间的数量关系，并证明．（2）当点E 在直线BC 上时，直接写出线段BF ，CF ，DF 之间的数量关系，不需证明．29．如图，在矩形 ABCD 中， AB =16 ， BC =18 ，点 E 在边 AB 上，点 F 是边 BC 上不与点 B 、C 重合的一个动点，把△EBF 沿 EF 折叠，点B 落在点 B' 处.(I)若 AE =0 时，且点 B' 恰好落在 AD 边上，请直接写出 DB' 的长；(II)若 AE =3 时，且△CDB' 是以 DB' 为腰的等腰三角形，试求 DB' 的长；(III)若AE =8时，且点 B' 落在矩形内部（不含边长），试直接写出 DB' 的取值范围.30．点E在正方形ABCD的边BC上，点F在AE上，连接FB，FD，∠ABF=∠AFB．（1）如图1，求证：∠AFD=∠ADF；（2）如图2，过点F作垂线交AB于G，交DC的延长线于H，求证：DH=2 AG；（3）在（2）的条件下，若EF=2，CH=3，求EC的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】根据题意可判定此题需分两种情况讨论，如果AB、CD为对角线，AB与CD交于点F，当FC⊥直线y＝2x时，CD最小，根据垂直及F点坐标可先求的直线FC的函数解析式，进而通过求得点C坐标来求CD；如果CD是平行四边形的边，则CD＝AB＝42况即可求得CD最小值.【详解】解：如图，由题意点C在直线y＝2x上，如果AB、CD为对角线，AB与CD交于点F，当FC⊥直线y＝2x时，CD最小，易知直线AB为y＝x﹣4，∵AF＝FB，∴点F坐标为（2，﹣2），∵CF⊥直线y＝2x，设直线CF为y＝﹣12x+b′F（2，﹣2）代入得b′＝﹣1∴直线CF为y＝﹣12x﹣1，由2112y xy x=⎧⎪⎨=--⎪⎩解得2545xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴点C坐标（25-，45-）．∴CD＝2CF＝222242255⎛⎫⎛⎫++-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭125．如果CD是平行四边形的边，则CD＝AB＝421255，∴CD125故选：B．【点睛】本题考查了一次函数与平行四边形的综合题，解本题的关键是找到何时CD最短.2．B解析：B【分析】连接AC，取AC的中点E，根据矩形的性质求出AC，OE，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得12PE AC=，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边可得O、E、P三点共线时OP最大．【详解】解：如图，连接AC ，取AC 的中点E ，∵矩形ABCD 中，25, 4BC AB ==，O 为AB 的中点，2216,52AC AB BC OE BC ∴=+=== ∵AP ⊥CP ， 116322PE AC ∴==⨯=，由三角形的三边关系得，O 、E 、P 三点共线时OP 最大，此时 53OP =最大故选：B ．【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形的三边关系、勾股定理、中位线定理．能正确构造辅助线，并根据三角形三边关系确定OP 最大值是解题关键．3．D解析：D【分析】先根据全等三角形进行证明，即可判断①和②，然后作辅助线，推出OD=OF ，得出四边形BEDF 是平行四边形，求出BM=DM 即可判断④和⑤，最后根据AE=CF ，即可判断⑥.【详解】①∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB ∥DC，AB=DC,∴∠BAC=∠ADC,在△ABE 和△DFC 中BAC ADC AB A F C E D C ∠=∠=⎧=⎪⎨⎪⎩∴△ABE≌△DFC（SAS ）,∴BE=DF,故①正确.②∵△ABE≌△DFC,∴∠AEB=∠DFC,∴∠BEF=∠DFE,∴BE∥DF,故②正确.③根据已知的条件不能推AB=DE ，故③错误.④连接BD 交AC 于O ，过D 作DM⊥AC 于M ，过B 作BN⊥AC 于N,∵四边形ABCD 是平行四边形,∴DO=BO，OA=OC,∵AE=CF,∴OE=OF,∴四边形BEDF 是平行四边形,故④正确.⑤∵BN⊥AC，DM⊥AC,∴∠BNO=∠DMO=90°,在△BNO 和△DMO 中∠BNO=∠DMO ∠BON=∠DOM OB=OD ⎧⎪⎨⎪⎩△ADE △ABE ∴△BNO ≌△DMO （AAS ）∴BN=DM11∵S =AE DM ，S =AE BN 22⨯⨯⨯⨯∴△ADE △ABE S =S ,故⑤正确.⑥∵AE=CF,∴AE+EF=CF+EF,∴AF=CE,故⑥正确.故答案是D.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和平行四边形的判定以及性质，熟练掌握相关的性质是解题的关键.4．A解析：A【分析】根据三角形的内角和定理，直角三角形的性质及判定，等腰三角形的性质，等腰三角形的判定逐项判断即可．【详解】解：A.不能推出MCB MCA ∠=∠，故本选项符合题意；B. ∵∠MCB=∠B=∠ACD ，故本选项不符合题意；C.∵∠ACB=90°，CD 是高，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，∴∠ACD=∠B ，故本选项不符合题意；D. ∵∠ACB=90°，CM 是斜边的中线，∴CM=BM ，∴∠MCB=∠B=∠ACD ，∴∠ACM=∠BCD ，故本选项不符合题意；故选：A ．【点睛】本题主要考查了对三角形的内角和定理，直角三角形的性质及判定，等腰三角形的性质，等腰三角形的判定等考点的理解．5．B解析：B【分析】如图（见解析），先根据等腰直角三角形的判定与性质可得90,BAC DAE BC DE ∠=∠=︒==，再根据三角形全等的判定定理与性质可得BD CE =，从而可得CDE △周长为BC +，然后根据垂线段最短可求出AD 的最小值，由此即可得．【详解】在ABC 中，6,45AB AC B ==∠=︒，ABC ∴是等腰直角三角形，90,BAC BC ∠=︒==在ADE 中，,45AD AE ADE =∠=︒，ADE ∴是等腰直角三角形，90,DAE DE ∠=︒==，90BAD CAD CAE CAD ∴∠+∠=∠+∠=︒，BAD CAE ∴∠=∠，在ABD △和ACE △中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABD ACE SAS ∴≅，BD CE ∴=，CDE ∴周长为622CD CE DE CDBD DE BC DE AD ++=++=+=+，则当AD 取得最小值时，CDE △的周长最小，由垂线段最短可知，当AD BC ⊥时，AD 取得最小值，AD ∴是BC 边上的中线（等腰三角形的三线合一），1322AD BC ∴==（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）， CDE ∴周长的最小值为62232626+⨯=+，故选：B ．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线、三角形全等的判定定理与性质、垂线段最短等知识点，正确找出两个全等三角形是解题关键．6．C解析：C【分析】证明△BNA ≌△BNE ，得到BA=BE ，即△BAE 是等腰三角形，同理△CAD 是等腰三角形，根据题意求出DE ，根据三角形中位线定理计算即可．【详解】解：∵BN 平分∠ABC ，BN ⊥AE ，∴∠NBA=∠NBE ，∠BNA=∠BNE ，在△BNA 和△BNE 中，ABN EBN BN BNANB ENB ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△BNA ≌△BNE ，∴BA=BE ，∴△BAE 是等腰三角形，同理△CAD 是等腰三角形，∴点N 是AE 中点，点M 是AD 中点（三线合一），∴MN 是△ADE 的中位线，∵BE+CD=AB+AC=19-BC=19-7=12，∴DE=BE+CD-BC=5，∴MN=12DE=52．故选C．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．7．D解析：D【分析】求得∠ADB＝90°，即AD⊥BD，即可得到S▱ABCD＝AD•BD；依据∠CDE＝60°，∠BDE＝30°，可得∠CDB＝∠BDE，进而得出DB平分∠CDE；依据Rt△BCD中，斜边上的中线DE＝斜边BC的一半，即可得到AD＝BC＝2DE，进而得到AB＝DE；依据OE是中位线，即可得到OE∥CD，因为两平行线间的距离相等，进而得到S△CDE＝S△OCD，再根据OC是△BCD的中线，可得S△BOC＝S△COD，即可得到S△CDE＝S△BOC．【详解】∵∠BCD＝60°，四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC＝180°－∠BCD＝120°，BC//AD，BC＝AD，∵DE平分∠ADC，∴∠CDE＝∠CED＝60°＝∠BCD，∴△CDE是等边三角形，∴CE＝CD＝ AD＝ BC，∴E是BC的中点，∴DE＝BE，∴∠BDE＝∠CED＝30°，∴∠CDB＝90°，即CD⊥BD，∴S▱ABCD＝CD•BD＝AB•BD，故①正确；∵∠CDE＝60°，∠BDE＝30°，∴∠ADB＝30°＝∠BDE，∴DB平分∠CDE，故②正确；∵△CDE是等边三角形，∴DE＝CD＝AB，故③正确；∵O是BD的中点，E是BC的中点，∴OE是△CBD的中位线，∴OE∥CD，∴S△OCD＝S△CDE，∵OC是△BCD的中线，∴S△BOC＝S△COD，∴S△CDE＝S△BOC，故④正确，故选D．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线、平行线间的距离相等、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等，综合性较强，熟练掌握和灵活运用相关性质与定理是解题的关键.8．B解析：B【分析】由折叠的性质可得∠DCA＝∠ACF，由平行线的性质可得∠DCA＝∠CAB＝∠ACF，可得FA＝FC，设BF＝x，在Rt△BCF中，根据CF2＝BC2+BF2，可得方程（8﹣x）2＝x2+42，可求BF＝3，AF＝5，即可求解．【详解】解：设BF＝x，∵将矩形沿AC折叠，∴∠DCA＝∠ACF，∵四边形ABCD是矩形，∴CD∥AB，∴∠DCA＝∠CAB＝∠ACF，∴FA＝FC＝8﹣x，在Rt△BCF中，∵CF2＝BC2+BF2，∴（8﹣x）2＝x2+42，∴x＝3，∴BF＝3，∴AF＝5，∴AF：BF的值为53，故选：B．【点睛】本题考查矩形的性质、翻折变换、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．9．B解析：B【分析】延长BG交CH于点E，根据正方形的性质证明△ABG≌△CDH≌△BCE，可得GE=BE-BG=2，HE=CH-CE=2，∠HEG=90°，从而由勾股定理可得GH的长．【详解】解：如图，延长BG交CH于点E，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC=90°，AB=CD=10，∵AG=8，BG=6，∴AG 2+BG 2=AB 2，∴∠AGB=90°，∴∠1+∠2=90°，又∵∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，同理：∠4=∠6，在△ABG 和△CDH 中，AB ＝CD ＝10AG ＝CH ＝8BG ＝DH ＝6∴△ABG ≌△CDH （SSS ），∴∠1=∠5，∠2=∠6，∴∠2=∠4，在△ABG 和△BCE 中，∵∠1＝∠3，AB ＝BC ，∠2＝∠4，∴△ABG ≌△BCE （ASA ），∴BE=AG=8，CE=BG=6，∠BEC=∠AGB=90°，∴GE=BE －BG=8－6=2，同理可得HE=2，在Rt △GHE 中，22222222GH GE HE =+=+=故选：B ．【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理的综合运用，通过证三角形全等得出△GHE 为直角三角形且能够求出两条直角边的长是解题的关键．10．D解析：D【分析】①由矩形的性质得到90OBC ∠=︒，根据折叠的性质得到OB OD =，90PDO OBP ，BOP DOP ∠=∠，推出四边形OBPD 是矩形，根据正方形的判定定理即可得到四边形OBPD 为正方形；故①正确；②过D 作DH OA ⊥于H ，得到10OA =，6OB =，根据直角三角形的性质得到132DH OD ，根据三角形的面积公式得到OAD ∆的面积为113101522OA DH ，故②正确； ③连接OC ，于是得到OD CD OC ，即当OD CD OC +=时，CD 取最小值，根据勾股定理得到CD 的最小值为6；故③正确；④根据已知条件推出P ，D ，A 三点共线，根据平行线的性质得到OPBPOA ，等量代换得到OPAPOA ，求得10AP OA ，根据勾股定理得到1082BP BC CP ，故④正确．【详解】解：①四边形OACB 是矩形，90OBC ∴∠=︒，将OBP ∆沿OP 折叠得到OPD ∆， OB OD ∴=，90PDO OBP ，BOP DOP ∠=∠，45BOP ，45DOP BOP ，90BOD =∴∠︒，90BOD OBP ODP ， ∴四边形OBPD 是矩形，OB OD =，∴四边形OBPD 为正方形；故①正确；②过D 作DH OA ⊥于H ，点(10,0)A ，点(0,6)B ，10OA ∴=，6OB =， 6OD OB，30BOP DOP ， 30DOA ， 132DH OD ，OAD ∴∆的面积为113101522OA DH ，故②正确； ③连接OC ，则OD CD OC ，即当OD CD OC +=时，CD 取最小值，6ACOB ，10OA =， 2222106234OC OA AC ，2346CD OC OD ，即CD 的最小值为6；故③正确；④⊥OD AD，90ADO∴∠=︒，90ODP OBP，180ADP，P∴，D，A三点共线，//OA CB，OPB POA，OPB OPD，OPA POA，10AP OA，6AC=，221068CP，1082BP BC CP，故④正确；故选：D．【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．二、填空题11．(-10，3)【解析】试题分析：根据题意可知△CEF∽△OFA，可根据相似三角形的性质对应边成比例，可求得OF=2CE，设CE=x，则BE=8-x，然后根据折叠的性质，可得EF=8-x，根据勾股定理可得2224(8)x x+=-，解得x=3，则OF=6，所以OC=10，由此可得点E的坐标为（-10，3）.故答案为：（-10，3）12．4:9【分析】设DP＝DN＝m，则PN2m，PC＝2m，AD＝CD＝3m，再求出FG=CF=12BC=32m，分别求出两个阴影部分的面积即可解决问题．【详解】根据图形的特点设DP＝DN＝m，则PN22m m+2m，∴2m=MC，22PM MC+，∴BC ＝CD ＝PC+DP=3m ，∵四边形HMPN 是正方形，∴GF ⊥BC∵∠ACB ＝45︒，∴△FGC 是等腰直角三角形，∴FG=CF=12BC=32m ， ∴S 1＝12DN×DP=12m 2，S 2＝12FG×CF=98m 2， ∴12:S S =12m 2: 98m 2=4:9，故答案为4：9．【点睛】本题考查正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．13．42【分析】作P 点关于线段AE 的对称点P '，根据轴对称将DQ PQ +转换成DP '，然后当DP AC '⊥的时候DP '是最小的，得到DP '长，最后求出正方形边长DC ．【详解】∵AE 是DAC ∠的角平分线，∴P 点关于线段AE 的对称点一定在线段AC 上，记为P '由轴对称可以得到PQ P Q '=，∴DQ PQ DQ P Q DP ''+=+=，如图，当DP AC '⊥的时候DP '是最小的，也就是DQ PQ +取最小值4，∴4DP '=，由正方形的性质P '是AC 的中点，且DP P C ''=，在Rt DCP '中，2222443242DC DP P C ''=+=+==．故答案是：42．【点睛】本题考查轴对称的最短路径问题，解题的关键是能够分析出DQ PQ +取最小值的状态，并将它转换成DP'去求解．14．①③④【分析】由“AAS”可证△AOE≌△COF，△AHO≌△CGO，可得OE=OF，HO=GO，可证四边形EGFH 是平行四边形，由EF⊥GH，可得四边形EGFH是菱形，可判断①③正确，若四边形ABCD 是正方形，由“ASA”可证△BOG≌△COF，可得OG=OF，可证四边形EGFH是正方形，可判断④正确，即可求解．【详解】解：如图，∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO，AD∥BC，AB∥CD，∴∠BAO＝∠DCO，∠AEO＝∠CFO，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE＝OF，∵线段EF的垂直平分线分别交BC、AD边于点G、H，∴GH过点O，GH⊥EF，∵AD∥BC，∴∠DAO＝∠BCO，∠AHO＝∠CGO，∴△AHO≌△CGO（AAS），∴HO＝GO，∴四边形EGFH是平行四边形，∵EF⊥GH，∴四边形EGFH是菱形，∵点E是AB上的一个动点，∴随着点E的移动可以得到无数个平行四边形EGFH，随着点E的移动可以得到无数个菱形EGFH，故①③正确；若四边形ABCD是正方形，∴∠BOC＝90°，∠GBO＝∠FCO＝45°，OB＝OC；∵EF⊥GH，∴∠GOF＝90°；∠BOG+∠BOF＝∠COF+∠BOF＝90°，∴∠BOG＝∠COF；在△BOG和△COF中，∵BOG COF BO COGBO FCO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BOG≌△COF（ASA）；∴OG＝OF，同理可得：EO＝OH，∴GH＝EF；∴四边形EGFH是正方形，∵点E是AB上的一个动点，∴至少得到一个正方形EGFH，故④正确，故答案为：①③④．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定，正方形的判定，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是关键．15．3013≤AM<6【分析】由勾股定理得BC=13从而得到点A到BC的距离, M为EF中点，所以AM=12EF，继而求得AM的范围．【详解】因为∠BAC=90°，AB=5，AC=12，所以由勾股定理得BC=13，则点A到BC的距离为AC512BC13AB⨯⨯==6013，所以AM的最小值为6013÷2=3013，因为M为EF中点，所以AM=12EF，当E越接近A，F越接近C时，EF越大，所以EF＜AC，则AM＜6，所以3013≤AM＜6，故答案为3013≤AM＜6.163223102【分析】根据点P 在直线BC 上，点Q 在直线CD 上，分两种情况：1.P 、Q 点位于线段上；2.P 、Q 点位于线段的延长上，再通过三角形全等得出相应的边长，最后根据勾股即可求解.【详解】解：当P 点位于线段BC 上，Q 点位于线段CD 上时:∵四边形ABCD 是矩形,AP PQ ⊥∴∠BAP=∠CPQ ，∠APB=∠PQC∵AP PQ =∴ABP PCQ ≅∴PC=AB=32，BP=BC-PC=3-32=32∴AP=223322+（）（）=322当P 点位于线段BC 的延长线上，Q 点位于线段CD 的延长线上时:∵四边形ABCD 是矩形,AP PQ ⊥∴∠BAP=∠CPQ ，∠APB=∠PQC∵AP PQ =∴ABP PCQ ≅∴PC=AB=32，BP=BC+PC=3+32=92∴223922+（）（）31023223102【点睛】此题主要考查三角形全等的判定及性质、勾股定理，熟练运用判定定理和性质定理是解题的关键.17．2【分析】连接AO 、BO 、CO ，过O 作FO ⊥AO ，交AB 的延长线于F ，判定△AOC ≌△FOB （ASA ），即可得出AO=FO ，FB=AC=6，进而得到AF=8+6=14，∠FAO=45°，根据AO=AF×cos45°进行计算即可．【详解】解：连接AO 、BO 、CO ，过O 作FO ⊥AO ，交AB 的延长线于F ，∵O 是正方形DBCE 的对称中心，∴BO=CO ，∠BOC=90°，∵FO ⊥AO ，∴∠AOF=90°，∴∠BOC=∠AOF ，即∠AOC+∠BOA=∠FBO+∠BOA ，∴∠AOC=∠FBO ，∵∠BAC=90°，∴在四边形ABOC 中，∠ACO+∠ABO=180°，∵∠FBO+∠ABO=180°，∴∠ACO=∠FBO ，在△AOC 和△FOB 中，AOC FOB AO FOACO FBO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AOC ≌△FOB （ASA ），∴AO=FO ，FB=FC=6，∴AF=8+6=14，∠FAO=∠OFA=45°，∴AO=AF×cos45°2=2 故答案为2．【点睛】本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质．本题的关键是通过作辅助线来构建全等三角形，然后将已知和所求线段转化到直角三角形中进行计算．18．②③【分析】根据菱形的性质可知AC ⊥BD ，所以在Rt △AFP 中，AF 一定大于AP ，从而判断①；设∠BAE=x，然后根据等腰三角形两底角相等表示出∠ABE，再根据菱形的邻角互补求出∠ABE，根据三角形内角和定理列出方程，求出x的值，求出∠BFE和∠BE的度数，从而判断②③．【详解】解：在菱形ABCD中，AC⊥BD，∴在Rt△AFP中，AF一定大于AP，故①错误；∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠ABE+∠BAE+∠EAD=180°，设∠BAE=x°，则∠EAD=2x°，∠ABE=180°-x°-2x°，∵AB=AE，∠BAE=x°，∴∠ABE=∠AEB=180°-x°-2x°，由三角形内角和定理得：x+180-x-2x+180-x-2x=180，解得：x=36，即∠BAE=36°，∠BAE=180°-36°-2×36°=70°，∵四边形ABCD是菱形，∴∠BAD=∠CBD=12∠ABE=36°，∴∠BFE=∠ABD+∠BAE=36°+36°=72°，∴∠BEF=180°-36°-72°=72°，∴BE=BF=AF．故③正确∵∠AFD=∠BFE=72°，∠EAD=2x°=72°∴∠AFD=∠EAD∴AD=FD又∵AD=AB=AE∴AE=FD，故②正确∴正确的有②③故答案为：②③【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，熟记各性质并列出关于∠BAE的方程是解题的关键，注意：菱形的对边平行，菱形的对角线平分一组对角．19．13+【分析】如图所示，延长CD交FN于点P，过N作NK⊥CD于点K，延长FE交CD于点Q，交NS于点R，首先利用正方形性质结合题意求出AD=CD=AG=DQ=1，然后进一步根据菱形性质得出DE=EF=DG=2，再后通过证明四边形NKQR是矩形得出22213FN FR NR=+=+NS交ML于点Z，利用全等三角形性质与判定证明四边形FHMN为正方形，最后进一步求解即可.【详解】如图所示，延长CD交FN于点P，过N作NK⊥CD于点K，延长FE交CD于点Q，交NS于点R，∵ABCD为正方形，∴∠CDG=∠GDK=90°，∵正方形ABCD面积为1，∴AD=CD=AG=DQ=1，∴DG=CT=2，∵四边形DEFG为菱形，∴DE=EF=DG=2，同理可得：CT=TN=2，∵∠EFG=45°，∴∠EDG=∠SCT=∠NTK=45°，∵FE∥DG，CT∥SN，DG⊥CT，∴∠FQP=∠FRN=∠DQE=∠NKT=90°，∴2FQ=FE+EQ=22+∵∠NKT=∠KQR=∠FRN=90°，∴四边形NKQR是矩形，∴2，∴FR=FQ+QR=222+，NR=KQ=DK−2121=，∴2221382=+=+FN FR NR再延长NS交ML于点Z，易证得：△NMZ≅△FNR(SAS)，∴FN=MN，∠NFR=∠MNZ，∵∠NFR+∠FNR=90°，∴∠MNZ+∠FNR=90°，即∠FNM=90°，同理可得：∠NFH=∠FHM=90°，∴四边形FHMN为正方形，∴正方形FHMN的面积=21382FN=+故答案为：13+【点睛】本题主要考查了正方形和矩形性质与判定及与全等三角形性质与判定的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键.20．（-，0）【分析】先计算得到点D 的坐标，根据旋转的性质依次求出点D 旋转后的点坐标，得到变化的规律即可得到答案．【详解】∵菱形OABC 的两个顶点坐标为()0,0O ，()4,4B ，∴对角线的交点D 的坐标是（2,2），∴OD ==将菱形绕点O 以每秒45︒的速度逆时针旋转，旋转1次后坐标是（0，），旋转2次后坐标是（-2,2），旋转3次后坐标是（-，0），旋转4次后坐标是（-2，-2），旋转5次后坐标是（0，-旋转6次后坐标是（2，-2），旋转7次后坐标是（,0），旋转8次后坐标是（2,2）旋转9次后坐标是（0，由此得到点D 旋转后的坐标是8次一个循环，∵201982523÷=，∴第2019秒时，菱形两对角线交点D 的坐标为（-，0）故答案为：（-0）．【点睛】此题考查了菱形的性质，旋转的性质，勾股定理，直角坐标系中点坐标的变化规律，根据点D 的坐标依次求出旋转后的坐标得到变化规律是解题的关键．三、解答题21．（1）四边形BECD 是菱形，理由见解析；（2）45︒【分析】（1）先证明//AC DE ，得出四边形BECD 是平行四边形，再“根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证出CD BD =，得出四边形BECD 是菱形；（2）先求出45ABC ∠=︒，再根据菱形的性质求出90DBE ∠=︒，即可证出结论．【详解】解：当点D 是AB 的中点时，四边形BECD 是菱形；理由如下：∵DE BC ⊥，90DFE ∴∠=︒，∵90ACB ∠=︒，ACB DFB ∴∠=∠，//AC DE ∴，∵//MN AB ，即//CE AD ，∴四边形ADEC 是平行四边形，CE AD ∴=； D 为AB 中点，AD BD ∴=，BD CE ∴=，∵//BD CE ，∴四边形BECD 是平行四边形，∵90ACB ∠=︒，D 为AB 中点，12CD AB BD ∴==， ∴四边形BECD 是菱形；（2）当45A ∠=︒时，四边形BECD 是正方形；理由如下：∵90ACB ∠=︒，45A ∠=︒，45ABC ∴∠=︒，∵四边形BECD 是菱形，12ABC DBE ∴∠=∠， 90DBE ∴∠=︒，∴四边形BECD 是正方形．故答案为：45︒．【点睛】本题考查了平行四边形的判定、正方形的判定以及直角三角形的性质；根据题意证明线段相等和直角是解决问题的关键．22．（1）不会，理由见解析；（2）①见解析；②²²20m n n =+-【分析】（1）根据BEF BEA ≅得到BF BA =，根据三角形的三边关系得到BC BF BA >=，与已知矛盾；（2）①根据90BFC BFE ∠=∠=︒、DEC FCB ∠=∠和BF=CD ，利用AAS 证得BCF CED ≅，根据全等三角形的性质即可证明；②设1AD =，则可表示出AE 和AB ，然后根据等角对等边证得CE=CB ，然后在Rt CDE∆中应用勾股定理即可求解．【详解】（1）由折叠知BEF BEA ≅ ，所以90BF BA BFE A =∠=∠=︒，．若点F 在CE 上，则90BFC ∠=︒，BC BF BA >=，与AB AD =矛盾，所以点F 不会落在CE 上．（2）①因为()01AB m m AD=<<，则AB AD < ，因为点F 落在CE 上，所以90BFC BFE ∠=∠=︒ ，所以BF BA CD == ．因为//AD BC ，所以DEC FCB ∠=∠ ，所以BCF CED ≅ ，所以CF DE =．②若AE n AD=，则AE nAD =．设1AD =，则AE n AB m ==，．因为//AD BC ，所以BEA EBC ∠=∠ ．因为BEF BEA ∠=∠ ，所以EBC BEC ∠=∠ ，所以1CE CB AD === ．在Rt CDE ∆中，11DE n CE CD m ===一，，，所以22211()n m -+= ，所以²²20m n n =+-．故答案为（1）不会，理由见解析；（2）①见解析；②²²20m n n =+-．【点睛】本题考查了三角形全等的性质和判定，和等边对等角，此题属于矩形的折叠问题类综合题，熟练掌握三角形全等的性质，和做出示意图是本题的关键．23．（1）四边形ABGE 的形状是正方形；（2）①详见解析；②DF=3CF【分析】（1）由四边形ABCD 是矩形，可得90A ABC ︒∠=∠=，由折叠得：90BGE A ︒∠=∠=，根据三个内角是直角可判断四边形ABGE 为矩形，由折叠得：AB=BG ，根据一组邻边相等的矩形是正方形可判断矩形ABGE 为正方形；（2）①如图，连结EF ，在矩形ABCD 中，AB=DC ，AD=BC ，∠A=∠C=∠D=90°，由△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，可得BG=AB ，EG=AE=ED ，∠A=∠BGE=90°，故∠EGF=∠D=90°，由HL 可判断Rt △EGF ≌Rt △EDF ，得到DF=FG ，问题得证；②设AB=DC=a ，则AD=BC=3a ，另设CF=x ，则DF=DC-CF=a-x ，由①得BF=AB+DF =2a-x ，在Rt △BCF 中，由勾股定理得：BF 2=BC 2+CF 2，代入数据运算可得：x=14a ，即CF=14a ，DF=a-x=34a ，进而可得DF 与CF 关系．【详解】（1）四边形ABGE 的形状是正方形．理由是：∵四边形ABCD 是矩形，∴90A ABC ︒∠=∠=，由折叠得：90BGE A ︒∠=∠=，∴四边形ABGE 为矩形，由折叠得：AB=BG ，∴矩形ABGE 为正方形；故答案为：正方形．（2）①如图，连结EF ，在矩形ABCD 中，AB=DC ，AD=BC ，∠A=∠C=∠D=90°，∵E 是AD 的中点，∴AE=DE ，∵△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，∴BG=AB ，EG=AE=ED ，∠A=∠BGE=90°，∴∠EGF=∠D=90°，Rt △EGF 和Rt △EDF 中，EG ED EF EF =⎧⎨=⎩， ∴Rt △EGF ≌Rt △EDF （HL ），∴DF=FG，∴BF=BG+GF=AB+DF；②不妨假设AB=DC=a，则，另设CF=x，则DF=DC-CF=a-x，由①得BF=AB+DF=a+a-x=2a-x，在Rt△BCF中，由勾股定理得：BF2=BC2+CF2，即(2a-x)2a)2+x2，整理得：x=14a，∴CF=14a，DF=a-x=34a，∴DF=3CF．【点睛】本题主要考查了折叠的性质，正方形的判定，三角形全等的判定，勾股定理等内容，根据图形作出辅助线找出线段的等量关系列出方程是解题的关键．24．（1）BD⊥CF，CF=BC-CD；（2）CF=BC+CD，见解析；（3）①CF=CD−BC，②等腰三角形，见解析【分析】（1）先说明△ABC是等腰直角三角形，利用SAS即可证明△BAD≌△CAF，从而证得CF⊥BD、CF=BD，又 BD+CD=BC, CF=BC-CD；（2）先利用SAS即可证得△BAD≌△CAF，从而证得BD=CF，即可得到CF-CD=BC；（3）①与（2）同理可得BD=CF，然后结合图形可得CF=CD-BC；②先根据等腰直角三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=45°，再根据邻补角的定义求出∠ABD=135°，再根据同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF，然后利用“边角边”证明△BAD≌△CAF，得∠ACF=∠ABD，求出∠FCD=90°，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OC=12DF，再根据正方形的对角线相等求出OC=OA，从而得到△AOC是等腰三角形．【详解】（1）解：∵∠B4C=90°，AB=AC∴∠ABC=∠ACB=45°∵四边形ADEF是正方形∴AD=AF，∠DAF=90°∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，∠DAF=∠CAF+∠DAC=90°∴∠BAD=∠CAF在△BAD和△CAF中，AB=AC，∠BAD=∠CAF，AD=AF，∴△BAD≌△CAF(SAS)，∴BD=CF，∠ABD=∠ACF=45°。

人教版2022-2021年八年级下第二次月考数学试卷含解析

八年级（下）第二次月考数学试卷一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）1．（3分）下列说法中，正确的是（）A．相等的角一定是对顶角B．四个角都相等的四边形一定是正方形C．平行四边形的对角线互相平分D．矩形的对角线一定垂直2．（3分）将一包卷筒卫生纸按如图所示的方式摆放在水平桌面上，则它的俯视图是（）A．B．C．D．3．（3分）在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号大于2的概率为（）A．B．C．D．4．（3分）若x=﹣2是关于x的一元二次方程x2+ax﹣a2=0的一个根，则a的值为（）A．1或﹣4 B．﹣1或﹣4 C．﹣1或4 D．1或45．（3分）在反比例函数y=的图象中，阴影部分的面积不等于4的是（）A．B．C．D．6．（3分）关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有两个实根，则实数k的取值范围是（）A．k≤1 B．k＜1 C．k≤1且k≠0 D．k＜1且k≠0二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．（3分）若==（y≠n），则=．8．（3分）某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率相同，则这个百分率为．9．（3分）如图所示，将△ABC绕AC的中点O顺时针旋转180°得到△CDA，添加一个条件，使四边形ABCD为矩形．10．（3分）如图是两个形状相同的红绿灯图案，则根据图中给出的部分数值，得到x的值是．11．（3分）如图，直线x=2与反比例函数和的图象分别交于A、B两点，若点P是y轴上任意一点，则△PAB的面积是．12．（3分）如图，平面直角坐标系xOy中，已知A（4，0）和B点（0，3），点C是AB的中点，点P在x轴上，若以P、A、C为顶点的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是．三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（6分）（1）解方程：x2+16x=0（2）已知反比例函数y=的图象上有一点（3，6），试确定反比例函数的解析式．14．（6分）小亮在某一时刻测得小树高为1.5m，其影长为1.2m，当他测量教学楼旁的一棵大树影长时，因大树靠近教学楼，它的一部分影子便落在了教学楼的墙上，经测量，地面部分影长为6.4m，墙上影长为2m，那么这棵大树高为多少米？15．（6分）在函数的图象上有点P1，P2，P3，P4，它的横坐标依次为1，2，3，4，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中构成的阴影部分面积从左到右依次为S1，S2，S3，求S1+S2+S3的值．16．（6分）如图，已知菱形ABCD，AB=AC，E、F分别是BC、AD的中点，连接AE、CF．（1）证明：四边形AECF是矩形；（2）若AB=8，求菱形的面积．17．（6分）如图，六个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形，AB是其中一个小长方形的对角线，请在大长方形中完成下列画图，要求：①仅用无刻度直尺，②保留必要的画图痕迹．（1）在图1中画出一个45°角，使点A或点B是这个角的顶点，且AB为这个角的一边；（2）在图2中画出线段AB的垂直平分线．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．（8分）如图，已知A、B、C是数轴上异于原点O的三个点，且O为AB的中点，B为AC的中点．若点B对应的数是x，点C对应的数是x2﹣3x，求x的值．19．（8分）在一个不透明的布袋里装有4个标有1，2，3，4的小球，它们的形状、大小完全相同，小明从布袋里随机取出一个小球，记下数字为x，小红在剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下数字为y．（1）计算由x、y确定的点（x，y）在函数y=﹣x+5的图象上的概率．（2）小明和小红约定做一个游戏，其规则为：若x、y满足xy＞6则小明胜，若x、y满足xy＜6则小红胜，这个游戏公平吗？说明理由．若不公平，请写出公平的游戏规则．20．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．（9分）如图，点B（3，3）在双曲线y=（x＞0）上，点D在双曲线y=﹣（x＜0）上，点A和点C分别在x轴，y轴的正半轴上，且点A，B，C，D构成的四边形为正方形．（1）求k的值；（2）求点A的坐标．22．（9分）将一副三角尺（在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°；在Rt△DEF 中，∠EDF=90°，∠E=45°）如图①摆放，点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C．（1）求∠ADE的度数；（2）如图②，将△DEF绕点D顺时针方向旋转角α（0°＜α＜60°），此时的等腰直角三角尺记为△DE′F′，DE′交AC于点M，DF′交BC于点N，试判断的值是否随着α的变化而变化？如果不变，请求出的值；反之，请说明理由．六、（本大题共共12分）23．（12分）在直角梯形OABC中，CB∥OA，∠COA=90°，CB=3，OA=6，BA=．分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系．（1）求点B的坐标；（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD=5，OE=2EB，直线DE交x轴于点F，求直线DE的解析式；（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一个点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．2021-2021学年江西省抚州市南城二中自强班八年级（下）第二次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）1．（3分）下列说法中，正确的是（）A．相等的角一定是对顶角B．四个角都相等的四边形一定是正方形C．平行四边形的对角线互相平分D．矩形的对角线一定垂直【解答】解：A、相等的角一定是对顶角错误，例如，角平分线分成的两个角相等，但不是对顶角，故本选项错误；B、四个角都相等的四边形一定是矩形，不一定是正方形，故本选项错误；C、平行四边形的对角线互相平分正确，故本选项正确；D、矩形的对角线一定相等，但不一定垂直，故本选项错误．故选：C．2．（3分）将一包卷筒卫生纸按如图所示的方式摆放在水平桌面上，则它的俯视图是（）A．B．C．D．【解答】解：从几何体的上面看可得两个同心圆，故选：D．3．（3分）在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号大于2的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意可得：大于2的有3，4，5三个球，共5个球，任意摸出1个，摸到大于2的概率是．故选：C．4．（3分）若x=﹣2是关于x的一元二次方程x2+ax﹣a2=0的一个根，则a的值为（）A．1或﹣4 B．﹣1或﹣4 C．﹣1或4 D．1或4【解答】解：∵x=﹣2是关于x的一元二次方程x2+ax﹣a2=0的一个根，∴（﹣2）2+a×（﹣2）﹣a2=0，即a2+3a﹣4=0，整理，得（a+4）（a﹣1）=0，解得a1=﹣4，a2=1．即a的值是1或﹣4．故选：A．5．（3分）在反比例函数y=的图象中，阴影部分的面积不等于4的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、图形面积为|k|=4；B、阴影是梯形，面积为6；C、D面积均为两个三角形面积之和，为2×（|k|）=4．故选：B．6．（3分）关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有两个实根，则实数k的取值范围是（）A．k≤1 B．k＜1 C．k≤1且k≠0 D．k＜1且k≠0【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有两个实根，∴，解得：k≤1且k≠0．故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．（3分）若==（y≠n），则=．【解答】解：∵若==（y≠n），∴==∴=．故答案为．8．（3分）某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率相同，则这个百分率为10%．【解答】解：降价的百分率为x，根据题意列方程得100×（1﹣x）2=81解得x1=0.1，x2=1.9（不符合题意，舍去）．所以降价的百分率为0.1，即10%．故答案为：10%．9．（3分）如图所示，将△ABC绕AC的中点O顺时针旋转180°得到△CDA，添加一个条件∠B=90°，使四边形ABCD为矩形．【解答】解：∵△ABC绕AC的中点O顺时针旋转180°得到△CDA，∴AB=CD，∠BAC=∠DCA，∴AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形，当∠B=90°时，平行四边形ABCD为矩形，∴添加的条件为∠B=90°．故答案为∠B=90°．10．（3分）如图是两个形状相同的红绿灯图案，则根据图中给出的部分数值，得到x的值是16．【解答】解：∵两个红绿灯的形状相同，∴=，∴x=16．故答案为：16．11．（3分）如图，直线x=2与反比例函数和的图象分别交于A、B两点，若点P是y轴上任意一点，则△PAB的面积是．【解答】解：∵把x=2分别代入、，得y=1、y=﹣．∴A（2，1），B（2，﹣），∴AB=1﹣（﹣）=．∵P为y轴上的任意一点，∴点P到直线x=2的距离为2，∴△PAB的面积=AB×2=AB=．故答案是：．12．（3分）如图，平面直角坐标系xOy中，已知A（4，0）和B点（0，3），点C是AB的中点，点P在x轴上，若以P、A、C为顶点的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是（2，0）或（，0）．【解答】解：∵A（4，0）和B点（0，3），∴OA=4，OB=3，∴AB=5，∵C是AB的中点，∴AC=2.5，设P（x，0），由题意可知点P在点A的左侧，∴AP=4﹣x，∵以P、A、C为顶点的三角形与△AOB相似，∴有△APC∽△AOB和△ACP∽△AOB两种情况，当△APC∽△AOB时，则=，即=，解得x=2，∴P（2，0）；当△ACP∽△AOB时，则=，即=，解得x=，∴P（，0）；综上可知P点坐标为（2，0）或（，0）．故答案为：（2，0）或（，0）．三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（6分）（1）解方程：x2+16x=0（2）已知反比例函数y=的图象上有一点（3，6），试确定反比例函数的解析式．【解答】解：（1）x2+16x=0x（x+16）=0，解得x1=0，x2=﹣16；（2）把（3，6）代入y=，得k=xy=3×6=18，所以反比例函数的解析式为：y=．14．（6分）小亮在某一时刻测得小树高为1.5m，其影长为1.2m，当他测量教学楼旁的一棵大树影长时，因大树靠近教学楼，它的一部分影子便落在了教学楼的墙上，经测量，地面部分影长为6.4m，墙上影长为2m，那么这棵大树高为多少米？【解答】解：设被挡部分的影长为xm，则=，解得：x=1.6，设树高为ym，则=，解得：y=10，答：树高为10m．15．（6分）在函数的图象上有点P1，P2，P3，P4，它的横坐标依次为1，2，3，4，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中构成的阴影部分面积从左到右依次为S1，S2，S3，求S1+S2+S3的值．【解答】解：由题意可知点P1、P2、P3、P4坐标分别为：（1，2），（2，1），（3，），（4，）．∴由反比例函数的几何意义可知：S1+S2+S3=2﹣1×==1.5．16．（6分）如图，已知菱形ABCD，AB=AC，E、F分别是BC、AD的中点，连接AE、CF．（1）证明：四边形AECF是矩形；（2）若AB=8，求菱形的面积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，又∵AB=AC，∴△ABC是等边三角形，∵E是BC的中点，∴AE⊥BC（等腰三角形三线合一），∴∠1=90°，∵E、F分别是BC、AD的中点，∴AF=AD，EC=BC，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC且AD=BC，∴AF∥EC且AF=EC，∴四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），又∵∠1=90°，∴四边形AECF是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）；（2）解：在Rt△ABE中，AE==4，=8×4=32．所以，S菱形ABCD17．（6分）如图，六个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形，AB是其中一个小长方形的对角线，请在大长方形中完成下列画图，要求：①仅用无刻度直尺，②保留必要的画图痕迹．（1）在图1中画出一个45°角，使点A或点B是这个角的顶点，且AB为这个角的一边；（2）在图2中画出线段AB的垂直平分线．【解答】解：（1）如图所示，∠ABC=45°．（AB、AC是小长方形的对角线）．（2）线段AB的垂直平分线如图所示，点M是长方形AFBE是对角线交点，点N是正方形ABCD的对角线的交点，直线MN就是所求的线段AB的垂直平分线．四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18．（8分）如图，已知A、B、C是数轴上异于原点O的三个点，且O为AB的中点，B为AC的中点．若点B对应的数是x，点C对应的数是x2﹣3x，求x的值．【解答】解：∵O是原点，且是AB的中点，∴OA=OB，∵B点表示的数是x，∴A点表示的数是﹣x．∵B是AC的中点，∴AB=BC，∴（x2﹣3x）﹣x=x﹣（﹣x），解得：x1=0，x2=6．∵B异于原点，∴x≠0，∴x=6．答：x的值为6．19．（8分）在一个不透明的布袋里装有4个标有1，2，3，4的小球，它们的形状、大小完全相同，小明从布袋里随机取出一个小球，记下数字为x，小红在剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下数字为y．（1）计算由x、y确定的点（x，y）在函数y=﹣x+5的图象上的概率．（2）小明和小红约定做一个游戏，其规则为：若x、y满足xy＞6则小明胜，若x、y满足xy＜6则小红胜，这个游戏公平吗？说明理由．若不公平，请写出公平的游戏规则．【解答】解：（1）画树状图得：∵共有12种等可能的结果，在函数y=﹣x+5的图象上的有：（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），∴点（x，y）在函数y=﹣x+5的图象上的概率为：=；（2）∵x、y满足xy＞6有：（2，4），（3，4），（4，2），（4，3）共4种情况，x、y满足xy＜6有（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（3，1），（4，1）共6种情况，∴P（小明胜）==，P（小红胜）==，∴P（小明胜）≠P（小红胜），∴不公平；公平的游戏规则为：若x、y满足xy≥6则小明胜，若x、y满足xy＜6则小红胜．20．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC．∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，∴∠AFD=∠C．在△ADF与△DEC中，∴△ADF∽△DEC．（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=8．由（1）知△ADF∽△DEC，∴，∴DE===12．在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE===6．五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．（9分）如图，点B（3，3）在双曲线y=（x＞0）上，点D在双曲线y=﹣（x＜0）上，点A和点C分别在x轴，y轴的正半轴上，且点A，B，C，D构成的四边形为正方形．（1）求k的值；（2）求点A的坐标．【解答】解：（1）∵点B（3，3）在双曲线y=上，∴k=3×3=9；（2）∵B（3，3），∴BN=ON=3，设MD=a，OM=b，∵D在双曲线y=﹣（x＜0）上，∴ab=4，过D作DM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴于N，则∠DMA=∠ANB=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB=90°，AD=AB，∴∠MDA+∠DAM=90°，∠DAM+∠BAN=90°，∴∠ADM=∠BAN，在△ADM和△BAN中，，∴△ADM≌△BAN（AAS），∴BN=AM=3，DM=AN=a，∴0A=3﹣a，即AM=b+3﹣a=3，a=b，∵ab=4，∴a=b=2，∴OA=3﹣2=1，即点A的坐标是（1，0）．22．（9分）将一副三角尺（在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°；在Rt△DEF 中，∠EDF=90°，∠E=45°）如图①摆放，点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C．（1）求∠ADE的度数；（2）如图②，将△DEF绕点D顺时针方向旋转角α（0°＜α＜60°），此时的等腰直角三角尺记为△DE′F′，DE′交AC于点M，DF′交BC于点N，试判断的值是否随着α的变化而变化？如果不变，请求出的值；反之，请说明理由．【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，点D为AB的中点，∴CD=AD=BD=AB，∴∠ACD=∠A=30°，∴∠ADC=180°﹣30°×2=120°，∴∠ADE=∠ADC﹣∠EDF=120°﹣90°=30°；（2）∵∠EDF=90°，∴∠PDM+∠E′DF=∠CDN+∠E′DF=90°，∴∠PDM=∠CDN，∵∠B=60°，BD=CD，∴△BCD是等边三角形，∴∠BCD=60°，∵∠CPD=∠A+∠ADE=30°+30°=60°，∴∠CPD=∠BCD，在△DPM和△DCN中，，∴△DPM∽△DCN，∴=，∵=tan∠ACD=tan30°=，∴的值不随着α的变化而变化，是定值．六、（本大题共共12分）23．（12分）在直角梯形OABC中，CB∥OA，∠COA=90°，CB=3，OA=6，BA=．分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系．（1）求点B的坐标；（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD=5，OE=2EB，直线DE交x轴于点F，求直线DE的解析式；（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一个点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）作BH⊥x轴于点H，则四边形OHBC为矩形，∴OH=CB=3，∴AH=OA﹣OH=6﹣3=3，在Rt△ABH中，BH===6，∴点B的坐标为（3，6）；（2）作EG⊥x轴于点G，则EG∥BH，∴△OEG∽△OBH，∴，又∵OE=2EB，∴，∴=，∴OG=2，EG=4，∴点E的坐标为（2，4），又∵点D的坐标为（0，5），设直线DE的解析式为y=kx+b，则，解得k=﹣，b=5，∴直线DE的解析式为：y=﹣x+5；（3）答：存在；①如图1，当OD=DM=MN=NO=5时，四边形ODMN为菱形．作MP⊥y轴于点P，则MP∥x轴，∴△MPD∽△FOD∴，又∵当y=0时，﹣x+5=0，解得x=10，∴F点的坐标为（10，0），∴OF=10，在Rt△ODF中，FD===5，∴，∴MP=2，PD=，∴点M的坐标为（﹣2，5+），∴点N的坐标为（﹣2，）；②如图2，当OD=DN=NM=MO=5时，四边形ODNM为菱形．延长NM交x轴于点P，则MP⊥x轴．∵点M在直线y=﹣x+5上，∴设M点坐标为（a，﹣a+5），在Rt△OPM中，OP2+PM2=OM2，∴a2+（﹣a+5）2=52，解得：a1=4，a2=0（舍去），∴点M的坐标为（4，3），∴点N的坐标为（4，8）；③如图3，当OM=MD=DN=NO时，四边形OMDN为菱形，连接NM，交OD于点P，则NM与OD互相垂直平分，∴y M=y N=OP=，∴﹣x M+5=，∴x M=5，∴x N=﹣x M=﹣5，∴点N的坐标为（﹣5，），综上所述，x轴上方的点N有三个，分别为N1（﹣2，），N2（4，8），N3（﹣5，）．（其它解法可参照给分）。

人教版八年级第二学期第二次月考检测数学试卷含答案

一、选择题1．如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是AC 上的一点，且AB=AE ，过点A 作AF ⊥BE ，垂足为F ，交BD 于点G ，点H 在AD 上，且EH ∥AF.若正方形ABCD 的边长为2，下列结论：①OE=OG ；②EH=BE ；③AH=222-，其中正确的有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．如图，已知△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =2，将直角边AC 绕A 点逆时针旋转至AC ′，连接BC ′，E 为BC ′的中点，连接CE ,则CE 的最大值为( ).A ．5B ．21+C ．21+D ．51+ 3．如图，是由两个正方形组成的长方形花坛ABCD ，小明从顶点A 沿着花坛间小路直到走到长边中点O ，再从中点O 走到正方形OCDF 的中心1O ，再从中心1O 走到正方形1O GFH 的中点2O ，又从中心2O 走到正方形2O IHJ 的中心3O ，再从中心3O 走到正方形3O KJP 的中心4O ，一共走了312m ，则长方形花坛ABCD 的周长是（）A ．36mB ．48mC ．96mD ．60m4．如图，在平行四边形ABCD 中，120C ∠=︒，28AD AB ==，点H 、G 分别是边AD 、BC 上的动点．连接AH 、HG ，点E 为AH 的中点，点F 为GH 的中点，连接EF ．则EF 的最大值与最小值的差为（）A ．2B ．232-C ．3D ．43-5．如图，正方形ABCD 的边长为1，顺次连接正方形ABCD 四边的中点得到第一个正方形1111D C B A ，又顺次连接正方形1111D C B A 四边中点得到第二个正方形2222A B C D ，……，以此类推，则第六个正方形6666A B C D 的面积是（）A ．164B ．116C ．132D ．186．如图，△ABC 的周长为19，点D ，E 在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为N ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为M ，若BC=7，则MN 的长度为（）A ．32B ．2C ．52D ．3 7．如图，90MON ∠=︒，矩形ABCD 在MON ∠的内部，顶点A ，B 分别在射线OM ，ON 上，4AB =，2BC =，则点D 到点O 的最大距离是（）A ．22B ．222C ．252D 22+8．如图，正方形ABCD 中，在AD 的延长线上取点E ，F ，使DE ＝AD ，DF ＝BD ，连接BF 分别交CD ，CE 于H ，G 下列结论：①EC≠2HG ；②∠GDH ＝∠GHD ；③图中有8个等腰三角形；④CDG DHF S S △△＝．其中正确的结论有（）个A ．1B ．2C ．3D ．4 9．如图，正方形ABCD 的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH ，则线段GH 的长为（）A ．2.8B ．22C ．2.4D ．3.510．如图，矩形ABCD 中，,AC BD 相交于点O ，过点B 作BF AC ⊥交CD 于点F ，交AC 于点M ，过点D 作//DE BF 交AB 于点E ，交AC 于点N ，连接,FN EM ．则下列结论：①DN BM =；②//EM FN ；③AE FC =；④当AO AD =时，四边形DEBF 是菱形．其中，正确结论的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题11．如图，正方形ABCD 中，AB=4，E 是BC 的中点，点P 是对角线AC 上一动点，则PE+PB 的最小值为．12．如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，对角线长为1cm ，过点O 任作一条直线分别交AD ，BC 于E ，F ，则阴影部分的面积是_____．13．如图，在矩形ABCD 中，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，点G 是EF 的中点，连接CG ，BG ，BD ，DG ，下列结论：①BC=DF ；②135DGF ︒∠=；③BG DG ⊥；④34AB AD =，则254BDG FDG S S =，正确的有__________________．14．如图，动点E F 、分别在正方形ABCD 的边AD BC 、上，AE CF =，过点C 作CG EF ⊥，垂足为G ，连接BG ，若4AB =，则线段BG 长的最小值为_________．15．如图所示，菱形ABCD ，在边AB 上有一动点E ，过菱形对角线交点O 作射线EO 与CD 边交于点F ，线段EF 的垂直平分线分别交BC 、AD 边于点G 、H ，得到四边形EGFH ，点E 在运动过程中，有如下结论：①可以得到无数个平行四边形EGFH ；②可以得到无数个矩形EGFH ；③可以得到无数个菱形EGFH ；④至少得到一个正方形EGFH ．所有正确结论的序号是__．16．如图，Rt ABE ∆中，90,B AB BE ︒∠==, 将ABE ∆绕点A 逆时针旋转45︒，得到,AHD ∆过D 作DC BE ⊥交BE 的延长线于点C ，连接BH 并延长交DC 于点F ，连接DE 交BF 于点O ．下列结论：①DE 平分HDC ∠；②DO OE =； ③CD HF =； ④2BC CF CE -=； ⑤H 是BF 的中点，其中正确的是___________17．如图，在正方形ABCD 中，AC=62，点E 在AC 上，以AD 为对角线的所有平行四边形AEDF 中，EF 最小的值是_________．18．如图，矩形ABCD 中，CE CB BE ==，延长BE 交AD 于点M ，延长CE 交AD 于点F ，过点E 作EN BE ⊥，交BA 的延长线于点N ，23FE AN ==，，则BC =_________．19．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，点D 为平面内动点，且满足AD ＝4，连接BD ，取BD 的中点E ，连接CE ，则CE 的最大值为_____．20．如图所示，已知AB ＝ 6，点C ，D 在线段AB 上，AC ＝DB ＝ 1，P 是线段CD 上的动点，分别以AP ，PB 为边在线段AB 的同侧作等边△AEP 和等边△PFB ，连接EF ，设EF 的中点为G ，当点P 从点C 运动到点D 时，则点G 移动路径的长是_________．三、解答题21．如图正方形ABCD ，DE 与HG 相交于点O （O 不与D 、E 重合）．（1）如图（1），当90GOD ∠=︒，①求证：DE GH =； ②求证：2GD EH DE +>；（2）如图（2），当45GOD ∠=︒，边长4AB =，5HG =，求DE 的长．22．如下图1，在平面直角坐标系中xoy 中，将一个含30的直角三角板如图放置，直角顶点与原点重合，若点A 的坐标为()1,0-，30ABO ∠=︒．（1）旋转操作：如下图2，将此直角三角板绕点O 顺时针旋转30时，则点B 的坐标为．（2）问题探究：在图2的基础上继续将直角三角板绕点O 顺时针60︒，如图3，在AB 边上的上方以AB 为边作等边ABC ，问：是否存在这样的点D ，使得以点A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形构成为菱形，若存在，请直接写出点D 所有可能的坐标；若不存在，请说明理由．（3）动点分析：在图3的基础上，过点O 作OP AB ⊥于点P ，如图4，若点F 是边OB 的中点，点M 是射线PF 上的一个动点，当OMB △为直角三角形时，求OM 的长．23．如图1，AC 是平行四边形ABCD 的对角线，E 、H 分别为边BA 和边BC 延长线上的点，连接EH 交AD 、CD 于点F 、G ，且//EH AC .（1）求证：AEF CGH ∆≅∆（2）若ACD ∆是等腰直角三角形，90ACD ∠=，F 是AD 的中点，8AD =，求BE 的长：（3）在（2）的条件下，连接BD ，如图2，求证：22222()AC BD AB BC +=+24．如图，在矩形ABCD 中，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，AE =AD ，作DF ⊥AE 于点F ．（1）求证：AB ＝AF ；（2）连BF 并延长交DE 于G ．①EG ＝DG ；②若EG ＝1，求矩形ABCD 的面积．25．如图，在Rt ABC ∆中，90,40,60B AC cm A ∠=︒=∠=︒，点D 从点C 出发沿CA 方向以4/cm 秒的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2/cm 秒的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个地点也随之停止运动.设点,D E 运动的时间是t 秒（010t <≤）.过点D 作DF BC ⊥于点F ，连接,DE EF .（1）试问四边形AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t 值；如果不能，请说明理由；（2）当t 为何值时，90FDE ∠=︒？请说明理由.26．直线1234,,,,l l l l 是同一平面内的一组平行线．(1)如图1．正方形ABCD 的4个顶点都在这些平行线上，若四条直线中相邻两条之间的距离都是1，其中点A ，点C 分别在直线1l 和4l 上，求正方形的面积；(2)如图2，正方形ABCD 的4个顶点分别在四条平行线上，若四条直线中相邻两条之间的距离依次为123h h h ，，．①求证：13h h =；②设正方形ABCD 的面积为S ，求证222211 2 2 S h h h h =++．27．如图，锐角ABC ∆，AB AC =，点D 是边BC 上的一点，以AD 为边作ADE ∆，使AE AD =，EAD BAC ∠=∠．（1）过点E 作//EF DC 交AB 于点F ，连接CF （如图①）①请直接写出EAB ∠与DAC ∠的数量关系；②试判断四边形CDEF 的形状，并证明；（2）若60BAC ∠=，过点C 作//CF DE 交AB 于点F ，连接EF （如图②），那么（1）②中的结论是否任然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由．28．已知：在矩形ABCD 中，点F 为AD 中点,点E 为AB 边上一点，连接CE 、EF 、CF ，EF平分∠AEC ．(1)如图1，求证：CF ⊥EF;(2)如图2，延长CE 、DA 交于点K, 过点F 作FG ∥AB 交CE 于点G 若，点H 为FG 上一点，连接CH,若∠CHG=∠BCE, 求证：CH=FK;(3)如图3, 过点H 作HN ⊥CH 交AB 于点N,若EN=11,FH-GH=1,求GK 长.29．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 是正方形内两点，BE DF ∥，EF BE ⊥，为探索这个图形的特殊性质，某数学兴趣小组经历了如下过程：（1）在图1中，连接BD ，且BE DF =①求证：EF 与BD 互相平分；②求证：222()2BE DF EF AB ++=；（2）在图2中，当BE DF ≠，其它条件不变时，222()2BE DF EF AB ++=是否成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由.（3）在图3中，当4AB =，135DPB ∠=︒2246B BP PD +=时，求PD 之长.∆是边长为3的等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D不与30．如图，ABC∆是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，交直线点B、C重合），ADEAC于点F，连接BE．（1）判断四边形BCFE的形状，并说明理由；（2）当DE AB⊥时，求四边形BCFE的周长；（3）四边形BCFE能否是菱形？若可为菱形，请求出BD的长，若不可能为菱形，请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据正方形的性质及全等三角形的判定与性质即可分别求证判断.【详解】在正方形ABCD中，AO=BO，∠AOG=∠BOE，AC⊥BD∵AF⊥BE，∴∠EAF+∠BEO=∠BEO+∠OBE=90°，∴∠OAG=∠OBE，∴△OAG≌△OBE，故OE=OG，①正确；∵AB=AE,∴∠ABE=∠AEB，∵EH∥AF∴HE⊥BE，∴∠AEF+∠AEH=∠ABE+∠CBE,∴∠AEH=∠CBE又∵AE=AB=CB,∠HAE=∠ECB=45°，∴△AEH≌△CBE，∴EH=BE，②正确；∵△AEH≌△22+=222∴AH=CE=AC-AE=22-2，③正确. 故选D【点睛】此题主要考查正方形的性质与线段的证明，解题的关键是熟知正方形的性质定理及全等三角形的判定与性质.2．B解析：B【分析】取AB 的中点M ，连接CM ，EM ，当CE ＝CM +EM 时，CE 的值最大，根据旋转的性质得到AC ′＝AC ＝2，由三角形的中位线的性质得到EM 12=AC ′＝1，根据勾股定理得到AB ＝22，即可得到结论．【详解】取AB 的中点M ，连接CM ，EM ，∴当CE ＝CM +EM 时，CE 的值最大．∵将直角边AC 绕A 点逆时针旋转至AC ′，∴AC ′＝AC ＝2．∵E 为BC ′的中点，∴EM 12=AC ′＝1． ∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，∴AB ＝22，∴CM 12=AB 2=，∴CE ＝CM +EM 21=+．故选B ．【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，三角形的中位线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．3．C解析：C【解析】设正方形O 3KJP 的边长为a ，根据正方形的性质知：O 3O 4=22a ，正方形O 2IHJ 的边长为2a ，O 2O 32a ，正方形O 1GFH 的边长为4a ，O 1O 22a ，正方形OCDF 的边长为8a ，OO 1=42a ， ∵AO=2OO 1=82am ，∴22a+2a+22a+42a+82a=312，解得：a=2m ，∴FD=8a=16m ， ∴长方形花坛ABCD 的周长是2×（2FD+CD ）=6FD=96m ，故选C ．【点睛】本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线与边长的关系，正方形的中心到顶点的距离等于到边的距离的2倍，熟记性质是解题的关键．4．C解析：C【分析】如图，取AD 的中点M ，连接CM 、AG 、AC ，作AN ⊥BC 于N ．首先证明∠ACD ＝90°，求出AC ，AN ，利用三角形中位线定理，可知EF ＝12AG ，求出AG 的最大值以及最小值即可解决问题．【详解】解：如图，取AD 的中点M ，连接CM 、AG 、AC ，作AN ⊥BC 于N ．∵四边形ABCD 是平行四边形，∠BCD ＝120°，28AD AB ==∴∠D ＝180°−∠BCD ＝60°，AB ＝CD ＝4，∵AM ＝DM ＝DC ＝4，∴△CDM 是等边三角形，∴∠DMC ＝∠MCD ＝60°，AM ＝MC ，∴∠MAC ＝∠MCA ＝30°，∴∠ACD ＝90°，∴AC ＝43在Rt △ACN 中，∵AC ＝3ACN ＝∠DAC ＝30°，∴AN ＝12AC ＝3∵AE ＝EH ，GF ＝FH ，∴EF ＝12AG ，∵点G 在BC 上，∴AG 的最大值为AC 的长，最小值为AN 的长，∴AG 的最大值为∴EF 的最大值为∴EF 故选：C【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明∠ACD ＝90°，属于中考选择题中的压轴题．5．A解析：A【分析】计算前三个正方形的面积从而得出一般规律求解.【详解】顺次连接正方形ABCD 四边的中点得到第一个正方形1111D C B A则正方形1111D C B A 的面积为11122⨯= 正方形2222A B C D 的面积为111224⨯= 正方形3333A B C D 的面积为11112228⨯⨯= 正方形n n n n A B C D 的面积为11()22n n= 根据规律可得，第六个正方形6666A B C D 的面积为66111()2264== 【点睛】本题考查了特殊正方形中的面积计算，解题的关键在于找出规律，根据规律求解.6．C解析：C【分析】证明△BNA ≌△BNE ，得到BA=BE ，即△BAE 是等腰三角形，同理△CAD 是等腰三角形，根据题意求出DE ，根据三角形中位线定理计算即可．【详解】解：∵BN 平分∠ABC ，BN ⊥AE ，∴∠NBA=∠NBE ，∠BNA=∠BNE ，在△BNA 和△BNE 中，ABN EBN BN BNANB ENB ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△BNA ≌△BNE ，∴BA=BE ，∴△BAE 是等腰三角形，同理△CAD 是等腰三角形，∴点N 是AE 中点，点M 是AD 中点（三线合一），∴MN 是△ADE 的中位线，∵BE+CD=AB+AC=19-BC=19-7=12，∴DE=BE+CD-BC=5，∴MN=12DE=52．故选C ．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．7．B解析：B【分析】取DC 的中点E ，连接OE 、DE 、OD ，根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当O 、E 、D 三点共线时，点D 到点O 的距离最大，再根据勾股定理求出DE 的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE 的长，两者相加即可得解．【详解】取AB 中点E ，连接OE 、DE 、OD ，90MON ∠=︒，122OE AB ∴==．在Rt DAE ∆中，利用勾股定理可得22DE =．在ODE ∆中，根据三角形三边关系可知DE OE OD +>，∴当O 、E 、D 三点共线时，OD 最大为222OE DE +=+．故选B ．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到性质，三角形的三边关系，矩形的性质，勾股定理，根据三角形的三边关系判断出点O、E、D三点共线时，点D到点O 的距离最大是解题的关键．8．B解析：B【分析】关键结合图形证明△CHG≌△EGD，即可逐项判断求解【详解】解：∵DF=BD，∴∠DFB=∠DBF，∵AD∥BC，DE=BC，∴四边形DBCE是平行四边形，∠DFB=∠GBC，∴∠DEC=∠DBC=45°，∴∠DEC=2∠EFB，∴∠EFB=22.5°，∠CGB=∠CBG=22.5°，∴CG=BC=DE，∵DE=DC，∴∠DEG=∠DCE，∵∠GHC=∠CDF+∠DFB=90°+22.5°=112.5°，∠DGE=180°-（∠BGD+∠EGF），=180°-（∠BGD+∠BGC），=180°-（180°-∠DCG）÷2，=180°-（180°-45°）÷2，=112.5°，∴∠GHC=∠DGE，∴△CHG≌△EGD，∴∠EDG=∠CGB=∠CBF，∴∠GDH=90°-∠EDG，∠GHD=∠BHC=90°-∠CGB，∴∠GDH=∠GHD故②正确；∴∠GDH=∠GHD又∠EFB=22.5°,∴∠DHG=∠GDH=67.5°∴∠GDF=90°-∠GDH=22.5°=∠EFB,∴DG=GF,∴HG=DG=GF∴HF=2HG,显然CE≠HF=2HG,故①正确；∵△CHG ≌△EGD ，∴CHG EGD S S ∆∆=∴CHG DHG EGD DHG S S S S ∆∆∆∆+=+，即CDG DHGE S S △四边形＝而=EFG DHGE DHF S S S ∆+四边形△，故CDG DHF S S ≠△△故④不正确；结合前面条件易知等腰三角形有△ABD ，△CDB ，△BDF ，△CDE ，△BCG ，△DGH ，△EGF ，△CDG ，△DGF 共9个，∴③错误；故正确的有①②，有2个，故选：B【点睛】本题主要考查对三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，正方形的性质，等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．9．B解析：B【分析】延长BG 交CH 于点E ，根据正方形的性质证明△ABG ≌△CDH ≌△BCE ，可得GE=BE-BG=2，HE=CH-CE=2，∠HEG=90°，从而由勾股定理可得GH 的长．【详解】解：如图，延长BG 交CH 于点E ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC=90°，AB=CD=10，∵AG=8，BG=6，∴AG 2+BG 2=AB 2，∴∠AGB=90°，∴∠1+∠2=90°，又∵∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，同理：∠4=∠6，在△ABG和△CDH中，AB＝CD＝10AG＝CH＝8BG＝DH＝6∴△ABG≌△CDH（SSS），∴∠1=∠5，∠2=∠6，∴∠2=∠4，在△ABG和△BCE中，∵∠1＝∠3，AB＝BC，∠2＝∠4，∴△ABG≌△BCE（ASA），∴BE=AG=8，CE=BG=6，∠BEC=∠AGB=90°，∴GE=BE－BG=8－6=2，同理可得HE=2，在Rt△GHE中，GH===故选：B．【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理的综合运用，通过证三角形全等得出△GHE为直角三角形且能够求出两条直角边的长是解题的关键．10．D解析：D【分析】通过判断△AND≌△CMB即可证明①，再判断出△ANE≌△CMF证明出③，再证明出△NFM≌△MEN，得到∠FNM=∠EMN，进而判断出②，通过 DF与EB先证明出四边形为平行四边形，再通过三线合一以及内角和定理得到∠NDO=∠ABD=30°，进而得到DE=BE，即可知四边形为菱形．【详解】∵BF⊥AC∴∠BMC=90°DE BF又∵//∴∠EDO=∠MBO，DE⊥AC∴∠DNA=∠BMC=90°∵四边形ABCD为矩形∴AD=BC，AD∥BC，DC∥AB∴∠ADB=∠CBD∴∠ADB-∠EDO=∠CBD-∠MBO即∠AND=∠CBM在△AND与△CMB∵90DNA BMC AND CBM AD BC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AND ≌△CMB(AAS)∴AN=CM ，DN=BM ，故①正确．∵AB ∥CD∴∠NAE=∠MCF又∵∠DNA=∠BMC=90°∴∠ANE=∠CMF=90°在△ANE 与△CMF 中∵90ANE CMF AN CM NAE MCF ∠=∠=⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ANE ≌△CMF （ASA ）∴NE=FM ，AE=CF ，故③正确．在△NFM 与△MEN 中∵90FM NE FMN ENM MN MN =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△NFM ≌△MEN （SAS ）∴∠FNM=∠EMN∴NF ∥EM ，故②正确．∵AE=CF∴DC-FC=AB-AE ，即DF=EB又根据矩形性质可知DF ∥EB∴四边形DEBF 为平行四边根据矩形性质可知OD=AO ，当AO=AD 时，即三角形DAO 为等边三角形∴∠ADO=60°又∵DN ⊥AC根据三线合一可知∠NDO=30°又根据三角形内角和可知∠ABD=180°-∠DAB-∠ADB=30°故DE=EB∴四边形DEBF 为菱形，故④正确．故①②③④正确故选D ．【点睛】本题矩形性质、全等三角形的性质与证明、菱形的判定，能够找对相对应的全等三角形是解题关键．二、填空题11．25 【详解】由于点B 与点D 关于AC 对称，所以如果连接DE ，交AC 于点P ，那PE+PB 的值最小．在Rt △CDE 中，由勾股定理先计算出DE 的长度，即为PE+PB 的最小值．连接DE ，交AC 于点P ，连接BD ．∵点B 与点D 关于AC 对称，∴DE 的长即为PE+PB 的最小值，∵AB=4，E 是BC 的中点，∴CE=2，在Rt △CDE 中， DE=25．考点：(1)、轴对称-最短路线问题；(3)、正方形的性质．12．218cm 【分析】根据正方形的性质可以证明△AEO ≌CFO ，就可以得出S △AEO =S △CFO ，就可以求出△AOD 面积等于正方形面积的14，根据正方形的面积就可以求出结论．【详解】解：如图：∵正方形ABCD 的对角线相交于点O ，∴△AEO 与△CFO 关于O 点成中心对称，∴△AEO ≌CFO ，∴S △AEO ＝S △CFO ，∴S △AOD ＝S △DEO +S △CFO ，∵对角线长为1cm ，∴S 正方形ABCD ＝1112⨯⨯＝12cm 2， ∴S △AOD ＝18cm 2， ∴阴影部分的面积为18cm 2．故答案为：18cm 2．【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用正方形的面积及三角形的面积公式的运用，在解答时证明△AEO ≌CFO 是关键．13．①③④【分析】由矩形的性质可得AB=CD ，AD=BC ，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AC=BD ，由角平分线的性质和余角的性质可得∠F=∠FAD=45°，可得AD=DF=BC ，可判断①；通过证明△DCG ≌△BEG ，可得∠BGE=∠DGC ，BG=DG ，即可判断②③；过点G 作GH ⊥CD 于H ，设AD=4x=DF ，AB=3x ，由勾股定理可求BD=5x ，由等腰直角三角形的性质可得HG=CH=FH=12x ，DG=GB=2x ，由三角形面积公式可求解，可判断④．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB=CD ，AD=BC ，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AC=BD ，∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE=∠DAE=45°，∴∠F=∠FAD ，∴AD=DF ，∴BC=DF ，故①正确；∵∠EAB=∠BEA=45°，∴AB=BE=CD ，∵∠CEF=∠AEB=45°，∠ECF=90°，∴△CEF 是等腰直角三角形，∵点G 为EF 的中点，∴CG=EG ，∠FCG=45°，CG ⊥AG ，∴∠BEG=∠DCG=135°，在△DCG 和△BEG 中， ===BE CD BEG DCG CG EG ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△DCG≌△BEG（SAS）．∴∠BGE=∠DGC，BG=DG，∵∠BGE＜∠AEB，∴∠DGC=∠BGE＜45°，∵∠CGF=90°，∴∠DGF＜135°，故②错误；∵∠BGE=∠DGC，∴∠BGE+∠DGA=∠DGC+∠DGA，∴∠CGA=∠DGB=90°，∴BG⊥DG，故③正确；过点G作GH⊥CD于H，∵34AB AD=，∴设AD=4x=DF，AB=3x，∴CF=CE=x，22AB AD x+，∵△CFG，△GBD是等腰直角三角形，∴HG=CH=FH=12x，DG=GB=522x，∴S△DGF=12×DF×HG=x2，S△BDG=12DG×GB=254x2，∴254BDG FDGS S=，故④正确；故答案为：①③④．【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键．14102【分析】连结AC，取OC中点M，连结 MB，MG，则MB，MG为定长，利用两点之间线段最短解决问题即可．【详解】连接AC，交EF于O，∵AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，∵AE＝CF，∴△AEO≌△CFO（ASA），∴OA＝OC，∴O是正方形的中心，∵AB＝BC＝4，∴AC＝2OC＝2，取OC中点M，连结 MB，MG，过点M作MH⊥BC于H，∵MC＝12OC2，∴MH＝CH＝1，∴BH＝4−1＝3，由勾股定理可得MB223110在Rt△GOC中，M是OC的中点，则MG＝12OC2∵BG≥BM−MG102，当B，M，G三点共线时，BG102，102．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，根据正方形的性质得出当E，F运动到AD，BC的中点时，MG最小是解决本题的关键．15．①③④【分析】由“AAS”可证△AOE≌△COF，△AHO≌△CGO，可得OE=OF，HO=GO，可证四边形EGFH 是平行四边形，由EF⊥GH，可得四边形EGFH是菱形，可判断①③正确，若四边形ABCD 是正方形，由“ASA”可证△BOG≌△COF，可得OG=OF，可证四边形EGFH是正方形，可判断④正确，即可求解．【详解】解：如图，∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO，AD∥BC，AB∥CD，∴∠BAO＝∠DCO，∠AEO＝∠CFO，∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE＝OF，∵线段EF的垂直平分线分别交BC、AD边于点G、H，∴GH过点O，GH⊥EF，∵AD∥BC，∴∠DAO＝∠BCO，∠AHO＝∠CGO，∴△AHO≌△CGO（AAS），∴HO＝GO，∴四边形EGFH是平行四边形，∵EF⊥GH，∴四边形EGFH是菱形，∵点E是AB上的一个动点，∴随着点E的移动可以得到无数个平行四边形EGFH，随着点E的移动可以得到无数个菱形EGFH，故①③正确；若四边形ABCD是正方形，∴∠BOC＝90°，∠GBO＝∠FCO＝45°，OB＝OC；∵EF⊥GH，∴∠GOF＝90°；∠BOG+∠BOF＝∠COF+∠BOF＝90°，∴∠BOG＝∠COF；在△BOG和△COF中，∵BOG COF BO COGBO FCO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BOG≌△COF（ASA）；∴OG＝OF，同理可得：EO＝OH，∴GH＝EF；∴四边形EGFH是正方形，∵点E是AB上的一个动点，∴至少得到一个正方形EGFH，故④正确，故答案为：①③④．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定，正方形的判定，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是关键．16．①②④⑤【分析】根据∠B=90°，AB=BE，△ABE绕点A逆时针旋转45°，得到△AHD，可得△ABE≅△AHD，并且△ABE和△AHD都是等腰直角三角形，可证AD//BC，根据DC⊥BC，可得∠HDE=∠CDE，根据三角形的内角和可得∠HDE=∠CDE，即DE平分∠HDC，所以①正确；利用∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°，得到四边形ABCD是矩形，有∠ADC=90°，∠HDC=45°，由①有DE平分∠HDC，得∠HDO=22.5°，可得∠AHB=67.5°，∠DHO=22.5°，可证OD=OH，利用 AE=AD易证∠OHE=∠HEO=67.5°，则有OE=OH，OD=OE，所以②正确；利用AAS证明ΔDHE≅ΔDCE，则有DH=DC，∠HDE=∠CDE=22.5°，易的∠DHF=22.5°，∠DFH=112.5°，则△DHF不是直角三角形，并DH≠HF，即有：CD≠HF，所以③错误；根据△ABE是等腰直角三角形，JH⊥JE，∵J是BC的中点，H是BF的中点，得到2JH=CF，2JC=BC，JC=JE+CE，易证BC−CF=2CE，所以④正确；过H作HJ⊥BC于J，并延长HJ交AD于点I，得IJ⊥AD，I是AD的中点，J是BC的中点，H是BF的中点，所以⑤正确；【详解】∵Rt△ABE中，∠B=90°，AB=BE，∴∠BAE=∠BEA=45°，又∵将△ABE绕点A逆时针旋转45°，得到△AHD，∴△ABE≅△AHD，并且△ABE和△AHD都是等腰直角三角形，∴∠EAD=45°，AE=AD ，∠AHD=90°，∴∠ADE=∠AED，∴∠BAD=∠BAE+∠EAD=45°+45°=90°，∴AD//BC，∴∠ADE=∠DEC，∴∠AED=∠DEC，又∵DC⊥BC，∴∠DCE=∠DHE=90°∴由三角形的内角和可得∠HDE=∠CDE，即：DE平分∠HDC，所以①正确；∵∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°，∴四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，∴∠HDC=45°，由①有DE平分∠HDC，∴∠HDO=12∠HDC=12×45°=22.5°，∵∠BAE=45°，AB=AH，∴∠OHE=∠AHB=12(180°−∠BAE)=12×(180°−45°)=67.5°，∴∠DHO=∠DHE−∠FHE=∠DHE−∠AHB=90°−67.5°=22.5°，∴OD=OH，在△AED中，AE=AD，∴∠AED=12(180°−∠EAD)=12×(180°−45°)=67.5°，∴∠OHE=∠HEO=67.5°，∴OE=OH，∴OD=OE，所以②正确；在△DHE和△DCE中，DHE DCEHDE CDEDE DE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ΔDHE≅ΔDCE(AAS)，∴DH=DC，∠HDE=∠CDE=12×45°=22.5°，∵OD=OH，∴∠DHF=22.5°，∴∠DFH=180°−∠HDF−∠DHF=180°−45°−22.5°=112.5°，∴△DHF不是直角三角形，并DH≠HF，即有：CD≠HF，所以③不正确；如图，过H作HJ⊥BC于J，并延长HJ交AD于点I，∵△ABE是等腰直角三角形，JH⊥JE，∴JH=JE ，又∵J 是BC 的中点，H 是BF 的中点，∴2JH=CF ，2JC=BC ，JC=JE+CE ，∴2JC=2JE+2CE=2JH+2CE=CF+2CE=BC ，即有：BC−CF=2CE ，所以④正确；∵AD//BC ，∴IJ ⊥AD ，又∵△AHD 是等腰直角三角形，∴I 是AD 的中点，∵四边形ABCD 是矩形，HJ ⊥BC ，∴J 是BC 的中点，∴H 是BF 的中点，所以⑤正确；综上所述，正确的有①②④⑤，故答案为：①②④⑤．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、矩形的性质、角平分线的性质以及等腰直角三角形的判定与性质；证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键．17．【详解】解析：∵在正方形ABCD 中，AC=∴AB=AD=BC=DC=6，∠EAD=45°设EF 与AD 交点为O ，O 是AD 的中点,∴AO=3以AD 为对角线的所有▱AEDF 中，当EF ⊥AC 时，EF 最小，即△AOE 是直角三角形，∵∠AEO=90°，∠EAD=45°，OE=2OA=2，∴EF=2OE=18．663【分析】通过四边形ABCD 是矩形以及CE CB BE ==，得到△FEM 是等边三角形，根据含30°直角三角形的性质以及勾股定理得到KM ，NK ，KE 的值，进而得到NE 的值，再利用30°直角三角形的性质及勾股定理得到BN ，BE 即可．【详解】解：如图，设NE 交AD 于点K ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∠ABC=90°，∴∠MFE=∠FCB ，∠FME=∠EBC∵CE CB BE ==，∴△BCE 为等边三角形，∴∠BEC=∠ECB=∠EBC=60°，∵∠FEM=∠BEC ，∴∠FEM=∠MFE=∠FME=60°，∴△FEM 是等边三角形，FM=FE=EM=2，∵EN ⊥BE ，∴∠NEM=∠NEB=90°，∴∠NKA=∠MKE=30°，∴KM=2EM=4，NK=2AN=6，∴在Rt △KME 中，KE=2223KM EM -=，∴NE=NK+KE=6+23，∵∠ABC=90°，∴∠ABE=30°，∴BN=2NE=12+43，∴BE=22663BN NE -=+，∴BC=BE=663，故答案为：663【点睛】本题考查了矩形，等边三角形的性质，以及含30°直角三角形的性质与勾股定理的应用，解题的关键是灵活运用30°直角三角形的性质．19．【分析】作AB 的中点E ，连接EM 、CE ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得CE 和EM 的长，然后确定CM 的范围．【详解】解：作AB 的中点M ，连接EM 、CM ．在Rt △ABC 中，AB 22AC BC +2286+10，∵M 是直角△ABC 斜边AB 上的中点，∴CM ＝12AB ＝5． ∵E 是BD 的中点，M 是AB 的中点，∴ME＝12AD＝2．∴5﹣2≤CE≤5+2，即3≤CE≤7．∴最大值为7，故答案为：7．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，掌握基本性质定理是解题的关键．20．2【分析】分别延长AE，BF交于点H，易证四边形EPFH为平行四边形，得出点G为PH的中点，则G的运动轨迹为△HCD的中位线MN，再求出CD的长度，运用中位线的性质求出MN的长度即可．【详解】解：如图，分别延长AE，BF交于点H，∵∠A=∠FPB=60°，∴AH∥PF，∵∠B=∠EPA=60°，∴BH∥PE∴四边形EPFH为平行四边形，∴EF与HP互相平分，∵点G为EF的中点，∴点G为PH的中点，即在P运动的过程中，G始终为PH的中点，∴G的运动轨迹为△HCD的中位线MN，∵CD=6-1-1=4，∴MN=12CD=2，∴点G移动路径的长是2，故答案为：2．【点睛】本题考查了等边三角形及中位线的性质，以及动点的问题，是中考热点，解题的关键是得出G 的运动轨迹为△HCD 的中位线MN ．三、解答题21．（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）103DE =．【分析】（1）过点D 作//DM GH 交BC 延长线于点M ，连接EH ，①由正方形的性质可得//AD BC ，AD CD =，90A ADC DCM ∠=∠=∠=︒，即可证明四边形DGHM 是平行四边形，可得DM=GH ，由90GOD ∠=︒可得∠EDM=90°，根据直角三角形两锐角互余的性质可得12∠=∠，利用ASA 可证明△ADE≌△CDM，可得DE=DM ，即可证明DE=GH ；②由①得DM=DE ，根据勾股定理可得2，利用三角形三边关系即可得结论；（2）过点D 作DN//GH 交BC 于点N ，作ADM CDN ∠=∠，DM 交BA 延长线于点M ，可证明四边形GHND 为平行四边形，可得DN HG =，GD HN =，根据勾股定理可求出CN 的长，利用AAS 可证明ADM CDN ∆∆≌，可得AM NC =，DM DN =，根据平行线的性质∠EDN=45°，根据角的和差故选可得∠MDE=∠EDN ，利用SAS 可证明MDE NDE ∆∆≌，即可证明AE CN EN +=，设AE x =，利用勾股定理可求出x 的值，进而利用勾股定理求出DE 的值即可得答案．【详解】（1）如图（1），过点D 作//DM GH 交BC 延长线于点M ，连接EH ，EM ， ①∵四边形ABCD 为正方形，∴//AD BC ，AD CD =，90A ADC DCM ∠=∠=∠=︒∴四边形DGHM 为平行四边形，∴DM=GH ，GD HM =，∵90GOD ∠=︒，∴90EDM EOH ∠=∠=︒，∴290EDC ∠+∠=︒，∵90ADC ∠=︒，∴190EDC ∠+∠=︒，∴12∠=∠，在ADE ∆和CDM ∆中12A DCM AD DC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴ADE CDM ∆∆≌，∴DE DM =，∴DE GH =．②在DEM ∆中，∠EDM=90°，∴222DE DM EM +=，∵DE DM =，∴222DE EM =， ∴2EM DE =，在EHM ∆中，HM EH EM +>，∵GD HM =， ∴2GD EH GH +≥．（2）如图（2），过点D 作DN//GH 交BC 于点N ，则四边形GHND 为平行四边形， ∴DN HG =，GD HN =，∵90C ∠=︒，4CD AB ==，25HG DN == ∴222CN DN DC =-=，∴422BN BC CN =-=-=，作ADM CDN ∠=∠，DM 交BA 延长线于点M ，在ADM ∆和CDN ∆中90C MAD CDN ADM DC AD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ADM CDN ∆∆≌，∴AM NC =，DM DN =，∵45GOD EOH ∠=∠=︒，∴45EDN ∠=︒，∴45ADE CDN ∠+∠=︒，∴45ADE ADN MDE ∠+∠=︒=∠，在MDE ∆和NDE ∆中MD ND MDE EDN DE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴MDE NDE ∆∆≌，∴EM EN =，即AE AM AE CN EN +=+=，设AE x =，则BE=4-x ，在Rt BEN ∆中，2222(2)x x +=+，解得：43x =， ∴2222441043DE AD AE ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查正方形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理，并正确作出辅助线是解题关键．22．（1）（32，32）；（2）存在，点D 的坐标为（0，3）或（231）或（0，-1）；（3）OM=32或212 【分析】（1）过点B 作BD ⊥y 轴于D ，利用30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理求出OB ，再利用30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理求出BD 和OD 即可得出结论；（2）根据题意和等边三角形的性质分别求出点A 、B 、C 的坐标，然后根据菱形的顶点顺序分类讨论，分别画出对应的图形，根据菱形的对角线互相平分即可分别求出结论；（3）利用30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理求出OP 和BP ，然后根据直角三角形的直角顶点分类讨论，分别画出对应的图形，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、平行四边形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质求解即可．【详解】解：（1）如图2，过点B 作BD ⊥y 轴于D由图1中，点A 的坐标为()1,0-，30ABO ∠=︒，∠AOB=90°∴OA=1，AB=2OA=2由勾股定理可得223AB OA -=∵将此直角三角板绕点O 顺时针旋转30∴∠BOD=30°∴BD=1322OB =∴2232OB BD -=∴点B 332） 332）；（2）在图2的基础上继续将直角三角板绕点O 顺时针60︒，此时点A 落在y 轴上，点B 落在x 轴上∴点A 的坐标为（0,1），点B 30）∵△ABC 为等边三角形∴∠ABC=60°，AB=BC=AC=2∴∠OBC=90°∴点C 32）设点D 的坐标为（a ，b ）如图所示，若四边形ABCD 为菱形，连接BD ，与AC 交于点O∴点O既是AC的中点，也是BD的中点∴03322 12022ab⎧++=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩解得：3ab=⎧⎨=⎩∴此时点D的坐标为（0，3）；当四边形ABDC为菱形时，连接AD，与BC交于点O∴点O既是AD的中点，也是BC的中点∴0332212022ab⎧++=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩解得：231ab⎧=⎪⎨=⎪⎩∴此时点D的坐标为（23，1）；当四边形ADBC为菱形时，连接CD，与AB交于点O∴点O既是AB的中点，也是CD的中点∴03322 10222ab⎧++=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩解得：1ab=⎧⎨=-⎩∴此时点D的坐标为（0，-1）；综上：点D的坐标为（0，3）或（23，1）或（0，-1）；（3）∵OB=3，∠ABO=30°∴OP=12OB=32∴BP=2232OB OP-=当∠OMB=90°时，如下图所示，连接BM∵F为OB的中点∴PF=12OB，MF=12OB，OF=BF∴PF=MF∴四边形OPBM为平行四边形∴OM=BP=32；当∠OBM=90°时，如下图所示，连接OM，∴∠PBM=∠PBO＋∠OBM=120°∵点F为OB的中点。

八年级数学下学期第二次月考试卷(含解析)新人教版

2015-2016学年海南省海口市遵谭中学八年级（下）第二次月考数学试卷一、选择题在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请把你认为正确的答案的字母代号填写在下表相应题号的方格内.1．计算2﹣2的结果是（）A．﹣4 B．4 C．﹣D．2．点P（﹣2，3）关于y轴对称点的坐标是（）A．（﹣2，3）B．（2，﹣3）C．（2，3）D．（﹣2，﹣3）3．要使分式有意义，则x应满足的条件是（）A．x＜2 B．x≠2 C．x≠0 D．x＞24．用科学记数法表示0.0000039，正确的是（）A．39×10﹣6B．3.9×10﹣6C．3.9×10﹣5D．39×10﹣55．已知函数y=（m+1）x﹣3，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（）A．m＞﹣1 B．m≤﹣1 C．m＜﹣1 D．m≥﹣16．函数的自变量x的取值范围是（）A．x＞3 B．x≥3 C．x＜3 D．x≤37．经过点（﹣1，2），且与直线y=﹣2x+1平行的直线的函数关系式是（）A．y=﹣2x B．y=﹣2x﹣1 C．y=﹣2x+2 D．y=﹣x+28．对角线互相平分且相等的四边形是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形9．如图，要使▱ABCD成为矩形，需添加的条件是（）A．AB=BC B．AO=BO C．∠1=∠2 D．AC⊥BD10．如图，在由六个全等的正三角形拼成的图中，菱形的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．611．如图，在△ABC中，AB=AC=10，D是BC上一动点（D与B、C不重合），且DE∥AB，DF ∥AC，则四边形DEAF的周长是（）A．20 B．18 C．16 D．1212．如图，已知AC=AD，BC=BD，则（）A．CD平分∠ACB B．CD垂直平分ABC．AB垂直平分CD D．CD与AB互相垂直平分13．如图，在△ABC中，AC=BC，AD、BE分别是∠BAC、∠ABC的角平分线，则图中全等三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对14．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上移动，且AE=CF，则四边形不可能是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．梯形二、填空题15．若反比例函数y=的图象经过点（2，﹣4），则m= ．16．如图，AB=AD，∠BAD=90°，AC⊥BC于点C，DE⊥AC于点E，且AB=5，BC=3，则CE= ．17．如图，将一张矩形纸片对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下一个角（虚线与折痕成45°角），打开，则所得的平面图形是．18．在如图所示的平面直角坐标系中，以A为一顶点，线段BC为一边，构造平行四边形，则该平行四边形另一个顶点D的坐标为．三、解答题（共60分）19．计算（1）（）2÷2ab﹣3；（2）（+1）．20．某市为治理污水，需要铺设一段全长为300米的污水排放管道、铺设120米后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工效比原计划增加20%，结果共用15天完成这一任务、求原计划每天铺设管道的长度、21．作图题：（要求：本题有两小题，请你从中任选一题用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．）（1）如图1，△ABC被墨迹污染了，请你重新作一个△A1B1C1，使△A1B1C1≌△ABC．（2）已知：如图2，线段AB和线段AB外一点C．求作：以C为一顶点，以线段AB为一边的平行四边形．22．甲、乙两人骑自行车前往A地，他们距A地的路程S（km）与行驶时间t（h）之间的关系如图所示．请根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）甲的速度是km/h，乙的速度是km/h；（2）求出甲或乙距A地的路程S与行驶时间t之间的函数关系式（任求一个）；（3）直接写出在什么时间段内乙比甲离A地更近？23．如图，在△ABC中，AC=BC，∠BAC=30°，D是EF的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作AF∥BE，与线段ED的延长线交于点F，连结AE、CF．（1）求证：AF=CE；（2）若BC=2CE，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论；（3）若C为BE的中点，求证：EF⊥AC．24．如图，直线l1，l2交于点A，直线l2与x轴、y轴分别交于点B（﹣4，0）、D（0，4），直线l1所对应的函数关系式为y=﹣2x﹣2．（1）求点E的坐标及直线l2所对应的函数关系式；（2）求△AED的面积；（3）P是线段BD上的一个动点（点P与B、D不重合）．设点P的坐标为（m，n），△PBC 的面积为S，写出S与m的函数关系式及自变量m的取值范围．2015-2016学年海南省海口市遵谭中学八年级（下）第二次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的，请把你认为正确的答案的字母代号填写在下表相应题号的方格内.1．计算2﹣2的结果是（）A．﹣4 B．4 C．﹣D．【考点】负整数指数幂．【分析】根据负整数指数幂：a﹣p=（a≠0，p为正整数）进行计算即可．【解答】解：2﹣2=（）2=，故选：D．【点评】此题主要考查了负整数指数幂，关键是掌握当指数是负数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．2．点P（﹣2，3）关于y轴对称点的坐标是（）A．（﹣2，3）B．（2，﹣3）C．（2，3）D．（﹣2，﹣3）【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．【分析】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，即可解答本题．【解答】解：点P（m，n）关于y轴对称点的坐标P′（﹣m，n），∴点P（﹣2，3）关于y轴对称的点的坐标为（2，3）．故选C．【点评】本题考查平面直角坐标系点的对称性质：关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，比较简单．3．要使分式有意义，则x应满足的条件是（）A．x＜2 B．x≠2 C．x≠0 D．x＞2【考点】分式有意义的条件．【分析】本题主要考查分式有意义的条件：分母不能为0．【解答】解：∵x﹣2≠0，∴x≠2，故选：B．【点评】本题考查的是分式有意义的条件，当分母不为0时，分式有意义．4．用科学记数法表示0.0000039，正确的是（）A．39×10﹣6B．3.9×10﹣6C．3.9×10﹣5D．39×10﹣5【考点】科学记数法—表示较小的数．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.0000039=3.9×10﹣6．故选B【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．5．已知函数y=（m+1）x﹣3，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（）A．m＞﹣1 B．m≤﹣1 C．m＜﹣1 D．m≥﹣1【考点】一次函数图象与系数的关系．【分析】根据图象的增减性来确定（m+1）的取值范围，从而求解．【解答】解：∵一次函数y=（m+1）x﹣3，若y随x的增大而增大，∴m+1＞0，解得，m＞﹣1．故选A．【点评】本题考查了一次函数的图象与系数的关系．函数值y随x的增大而减小⇔k＜0；函数值y随x的增大而增大⇔k＞0．6．函数的自变量x的取值范围是（）A．x＞3 B．x≥3 C．x＜3 D．x≤3【考点】函数自变量的取值范围．【分析】函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数．【解答】解：根据题意得：3﹣x≥0，解得x≤3．故选：D．【点评】考查了函数自变量的范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．7．经过点（﹣1，2），且与直线y=﹣2x+1平行的直线的函数关系式是（）A．y=﹣2x B．y=﹣2x﹣1 C．y=﹣2x+2 D．y=﹣x+2【考点】两条直线相交或平行问题．【分析】由某一次函数的图象与直线 y=﹣2x+1平行，可设此一次函数的解析式为y=﹣2x+b，又由此一次函数的图象经过点（﹣1，2），利用待定系数法即可求得该一次函数的关系式．【解答】解：∵某一次函数的图象与直线 y=﹣2x+1平行，∴设此一次函数的解析式为y=﹣2x+b，∵此一次函数的图象经过点（﹣1，2），∴﹣2×（﹣1）+b=2，解得：b=0，∴该一次函数的关系式为：y=﹣2x．故选A．【点评】此题考查了两直线平行问题．此题难度不大，注意掌握平行直线的k值相等．8．对角线互相平分且相等的四边形是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形【考点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定．【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形，以及平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得出结论．【解答】解：对角线互相平分且相等的四边形是矩形．故选：B．【点评】此题主要考查矩形的判定：对角线相等的平行四边形是矩形．以及平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形，较为简单．9．如图，要使▱ABCD成为矩形，需添加的条件是（）A．AB=BC B．AO=BO C．∠1=∠2 D．AC⊥BD【考点】矩形的判定；平行四边形的性质．【分析】根据矩形的判定定理（①有一个角是直角的平行四边形是矩形，②有三个角是直角的四边形是矩形，③对角线相等的平行四边形是矩形）逐一判断即可．【解答】解：A、根据AB=BC和平行四边形ABCD不能得出四边形ABCD是矩形，故本选项错误；B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵AO=BO，∴OA=OC=OB=OD，即AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故本选项正确；C、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠2=∠ACB，∵∠1=∠2，∴∠1=∠ACB，∴AB=BC，∴四边形ABCD是菱形，不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项错误；D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，不能推出四边形ABCD是矩形，故本选项错误；故选B．【点评】本题考查了对矩形的判定定理的应用，注意：矩形的判定定理有：①有一个角是直角的平行四边形是矩形，②有三个角是直角的四边形是矩形，③对角线相等的平行四边形是矩形．10．如图，在由六个全等的正三角形拼成的图中，菱形的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】菱形的判定．【分析】根据等边三角形的性质，易判定EF∥AD∥BC，ED∥FC∥AB，CD∥BE∥AF，然后根据平行四边形的判定再由等边三角形的性质即可求解得出结论；【解答】解：如图，由题意可知，EF∥AD∥BC，ED∥FC∥AB，CD∥BE∥AF，有ED=EF=AF=AB=BC=CD=GE=GF=GA=GB=GC=GD，∴四边形EDGF，EDCG，FGBA，GCBA，EGAF，CDGB是平行四边形，∵AB=BC=CD=DE=EF=AF，∴平行四边形EDGF，EDCG，FGBA，GCBA，EGAF，CDGB都是菱形，共6个．故选D．【点评】本题是菱形的判定，结合等边三角形的性质考查了菱形的判定，在应用判定定理判定菱形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．11．如图，在△ABC中，AB=AC=10，D是BC上一动点（D与B、C不重合），且DE∥AB，DF ∥AC，则四边形DEAF的周长是（）A．20 B．18 C．16 D．12【考点】等腰三角形的性质；平行线的性质．【分析】根据等角对等边可得∠B=∠C，再根据两直线平行，同位角相等可得∠B=∠CDE，然后根据等角对等边可得CE=DE，同理可得BF=DF，然后求出四边形DEAF的周长=AB+AC，代入数据进行计算即可得解．【解答】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵DE∥AB，∴∠B=∠CDE，∴CE=DE，同理可得BF=DF，∴四边形DEAF的周长=AF+DF+DE+AE=AF+BF+CE+AE=AB+AC，∵AB=AC=10，∴四边形DEAF的周长=10+10=20．故选A．【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟记等腰三角形的性质与判定求出四边形DEAF的周长=AB+AC是解题的关键．12．如图，已知AC=AD，BC=BD，则（）A．CD平分∠ACB B．CD垂直平分ABC．AB垂直平分CD D．CD与AB互相垂直平分【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】根据给定的边与边的关系即可证出△ADB≌△ACB（SSS），由此可得出∠DAO=∠CAO，再由SAS可证出△DAO≌△CAO，进而可得出OC=OD，∠AOC=∠AOD=90°，即AB垂直平分CD．【解答】解：在△ADB和△ACB中，，∴△ADB≌△ACB（SSS），∴∠DAB=∠CAB，即∠DAO=∠CAO．在△DAO和△CAO中，，∴△DAO≌△CAO（SAS），∴OC=OD，∠AOC=∠AOD=90°，∴AB垂直平分CD．故选C．【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是证出OC=OD，∠AOC=∠AOD=90°．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，借助于全等三角形的性质找出相等的边角关系是关键．13．如图，在△ABC中，AC=BC，AD、BE分别是∠BAC、∠ABC的角平分线，则图中全等三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对【考点】全等三角形的判定．【分析】根据全等三角形的判定定理进行解答．【解答】解：如图，∵在△ABC中，AC=BC，∴∠CAB=∠CBA．又AD、BE分别是∠BAC、∠ABC的角平分线，∴∠1=∠2=∠CAB，∠3=∠4=∠CBA，∴∠1=∠3，∠2=∠4．①在△ADC与△BEC中，，∴△ADC≌△BEC（ASA）；②由△ADC≌△BEC得到：AD=BE．在△ABE与△BAD中，，∴△ABE≌△BAD（SAS）；③由△ABE≌△BAD得到AE=BD，在△AOE与△BOD中，，∴△AOE≌△BOD（AAS）．综上所述，图中全等三角形共有3对．故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的判定．全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．14．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上移动，且AE=CF，则四边形不可能是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．梯形【考点】平行四边形的性质．【分析】由于在平行四边形ABCD中AB=CD，而AE=CF，由此可以得到BE=DF，根据平行四边形的判定方法即可判定其实平行四边形，所以不可能是梯形．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，又∵AE=CF，∴BE=DF∴四边形BEDF是平行四边形，所以不可能是梯形．故选D．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，注意：一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，如：等腰梯形．二、填空题15．若反比例函数y=的图象经过点（2，﹣4），则m= ﹣8 ．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】由点的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出m值，此题得解．【解答】解：∵反比例函数y=的图象经过点（2，﹣4），∴m=2×（﹣4）=﹣8．故答案为：﹣8．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求出m=﹣8．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合点的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数解析式是关键．16．如图，AB=AD，∠BAD=90°，AC⊥BC于点C，DE⊥AC于点E，且AB=5，BC=3，则CE= 1 ．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】利用垂直得到∠ACB=∠AED=90°，则∠B+∠BAC=90°，再根据等角的余角相等得到∠B=∠DAE，然后根据全等三角形的判定方法得到△ABC≌△DAE，于是BC=AE=3，再根据勾股定理可计算出AC=3，最后利用CE=AC﹣AE进行计算即可．【解答】解：∵AC⊥BC，DE⊥AC，∴∠ACB=∠AED=90°，∴∠B+∠BAC=90°，∵∠BAD=90°，∴∠BAC+∠DAE=90°，∴∠B=∠DAE，在△ABC和△DAE中，∴△ABC≌△DAE，∴BC=AE，而BC=3，∴AE=3，在Rt△ABC中，AC==4，∴CE=AC﹣AE=4﹣3=1．故答案为1．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：有两组角分别相等，且其中一组角所对的边对应相等，那么这两个三角形全等；全等三角形的对应边相等．也考查了勾股定理．17．如图，将一张矩形纸片对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下一个角（虚线与折痕成45°角），打开，则所得的平面图形是正方形．【考点】剪纸问题．【分析】根据题目中的说法进行折叠剪纸，可得图形的形状．【解答】解：根据题意折叠剪图，所得的平面图形是正方形，故答案为：正方形．【点评】此题主要考查了图形的剪拼，此类问题亲自动手做一做，最直观．18．在如图所示的平面直角坐标系中，以A为一顶点，线段BC为一边，构造平行四边形，则该平行四边形另一个顶点D的坐标为（4，2），（﹣4，2）．【考点】平行四边形的性质；坐标与图形性质．【分析】由图可求得点A，B，C的坐标，又由平行四边形的性质，即可求得该平行四边形另一个顶点D的坐标．【解答】解：∵点A（0，2），B（﹣1，﹣1），C（3，﹣1），∴BC=4，∴AD=4，∴该平行四边形另一个顶点D的坐标为（4，2）或（﹣4，2）．故答案为：（4，2），（﹣4，2）．【点评】此题考查了平行四边形的性质以及坐标与图形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用是解此题的关键．三、解答题（共60分）19．计算（1）（）2÷2ab﹣3；（2）（+1）．【考点】分式的混合运算；负整数指数幂．【分析】（1）根据分式的除法法则和负整数指数幂的性质计算；（2）先把分式进行通分、再进行因式分解，约分即可．【解答】解：（1）原式=×=2ab；（2）原式=×=．【点评】本题考查的是分式的混合运算，掌握分式的除法法则、分式的约分和通分法则是解题的关键．20．某市为治理污水，需要铺设一段全长为300米的污水排放管道、铺设120米后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工效比原计划增加20%，结果共用15天完成这一任务、求原计划每天铺设管道的长度、【考点】分式方程的应用．【分析】等量关系：铺设120m的时间+铺设（300﹣120）m的时间=15天．利用以上等量关系列出分式方程求解即可．【解答】解：设原计划每天铺设x米管道，根据题意得：解得x=18，经检验，x=18是原方程的解，答：原计划每天铺设管道18米．【点评】本题考查了分式方程的应用，此题涉及的公式：工作时间=工作量÷工作效率．后来每天的工效比原计划增加20%，即为（1+20%）x．21．作图题：（要求：本题有两小题，请你从中任选一题用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．）（1）如图1，△ABC被墨迹污染了，请你重新作一个△A1B1C1，使△A1B1C1≌△ABC．（2）已知：如图2，线段AB和线段AB外一点C．求作：以C为一顶点，以线段AB为一边的平行四边形．【考点】作图—复杂作图．【分析】（1）利用已知两角以及其夹边得出符合题意的图形即可；（2）利用平行四边形的性质求出符合题意的图形即可．【解答】解：（1）如图1所示：（2）如图2所示：四边形ABCD和四边形ABEC都是所求的平行四边形．．【点评】此题主要考查了复杂作图，利用平行四边形的性质得出是解题关键．22．甲、乙两人骑自行车前往A地，他们距A地的路程S（km）与行驶时间t（h）之间的关系如图所示．请根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）甲的速度是20 km/h，乙的速度是30 km/h；（2）求出甲或乙距A地的路程S与行驶时间t之间的函数关系式（任求一个）；（3）直接写出在什么时间段内乙比甲离A地更近？【考点】一次函数的应用．【分析】（1）由图中的时间和路程，可求出速度；（2）点（0，50）、（2.5，0）在直线上，运用待定系数法即可解答；（3）t=1时二者相遇，由图可知，在1～2.5小时这段时间内，乙比甲离A地更近．【解答】解：（1）从函数图象可知：甲用2.5小时行走了50km；乙用2小时行走了60km．所以甲的速度是： =20（km/h）；乙的速度是=30（km/h）；故答案为：20，30；（2）由函数图象知，甲函数过（0，50）、（2.5，0）两点设函数关系式为s=at+b，则有解得：所以所求函数关系式为：s=﹣20t+50；同理即可得出乙距A地的路程S与行驶时间t之间的函数关系式为：S=60﹣30t；（3）从函数图象可知，在1～2.5小时这段时间内，乙比甲离A地更近．【点评】此题主要考查了一次函数的应用，培养学生从图象上获取信息的能力．23．如图，在△ABC中，AC=BC，∠BAC=30°，D是EF的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作AF∥BE，与线段ED的延长线交于点F，连结AE、CF．（1）求证：AF=CE；（2）若BC=2CE，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论；（3）若C为BE的中点，求证：EF⊥AC．【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定．【分析】（1）根据AAS判断出△ADF≌△CDE，即可得出结论；（2）先判定四边形AFCE是平行四边形，再利用等边三角形的性质及（1）中的结论证明AC=EF，继而可得出四边形AFCE是矩形；（3）先判定△ACE是等边三角形，再判断四边形AFCE是菱形，继而可得出结论．【解答】（1）证明：∵AF∥BE，∴∠FAD=∠ECD，∠AFD=∠CED，在△ADF和△CDE中，，∴△ADF≌△CDE（AAS），∴AF=CE；（2）四边形AFCE是矩形．证明：∵AF∥BE，AF=CE，∴四边形AFCE是平行四边形，∴AD=DC，ED=DF，∵AC=BC，∴∠BAC=∠B=30°，∴∠ACE=60°，∵CE=BC，CD=AC，∴CE=CD，∴△DCE为等边三角形，∴CD=ED，∴AC=EF，∴四边形AFCE是矩形；（3）证明：∵CE=BC，BC=AC，∴CE=AC，∵∠ACE=60°，∴△ACE为等边三角形，∴CE=AE，∵四边形AFCE是平行四边形，∴四边形AFCE是菱形，∴EF⊥AC．【点评】本题考查了全等三角形的判定、等边三角形的性质、矩形的判定及菱形的判定等，解题时注意：对角线相等的平行四边形是矩形，一组邻边相等的平行四边形是菱形．24．如图，直线l1，l2交于点A，直线l2与x轴、y轴分别交于点B（﹣4，0）、D（0，4），直线l1所对应的函数关系式为y=﹣2x﹣2．（1）求点E的坐标及直线l2所对应的函数关系式；（2）求△AED的面积；（3）P是线段BD上的一个动点（点P与B、D不重合）．设点P的坐标为（m，n），△PBC 的面积为S，写出S与m的函数关系式及自变量m的取值范围．【考点】两条直线相交或平行问题；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积．【分析】（1）根据直线l1所对应的函数关系式求得点E的坐标，再根据B（﹣4，0），D （0，4）两点利用待定系数法得到函数关系式．（2）先通过解方程组求得A点坐标，再求三角形ADE的面积．（3）下求得BC的长，再根据点P的坐标为（m，n），求得△PBC的面积为S，得出解析式即可．【解答】解：（1）由y=﹣2x﹣2，令x=0，得y=﹣2，∴E（0，﹣2），设直线l2所对应的函数关系式为y=kx+b，∵直线l2经过点B（﹣4，0），D（0，4），∴，解得，∴直线l2所对应的函数关系式为y=x+4；（2）由，解得，∴A（﹣2，2），∵D（0，4），E（0，﹣2），∴DE=6，∴S△AED=×6×2=6；（3）由y=﹣2x﹣2，令y=0，得﹣2x﹣2=0，∴x=﹣1，∴C（﹣1，0），∴BC=﹣1﹣（﹣4）=3，∵点P的坐标为（m，n），P是线段BD上的一个动点，∴n=m+4，∴△PBC的面积S=×BC×|n|=×3×（m+4）=m+6，∵点P与B、D不重合，∴自变量m的取值范围为：﹣4＜m＜0．【点评】本题主要考查了两条直线的交点问题，解题时注意：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．。

八年级第二学期第二次月考数学试题含解析

一、选择题1．在菱形ABCD 中，60ADC ∠=︒，点E 为AB 边的中点，点P 与点A 关于DE 对称，连接DP 、BP 、CP ，下列结论：①DP CD =；②222AP BP CD +=；③75DCP ∠=︒；④150CPA ∠=︒，其中正确的是（）A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④2．□ABCD 中，∠A=60°，点E 、F 分别在边AD 、DC 上，DE=DF ，且∠EBF=60°．若AE=2，FC=3，则EF 的长度为（）A ．21B ．25C ．26D ．53．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，DC 的中点，P 为对角线AC 上的一个动点，则下列线段的长等于BP EP +最小值的是( )A ．AB B ．CEC ．ACD ．AF4．如图，依次连结第一个菱形各边的中点得到一个矩形，再依次连结矩形各边的中点得到第二个菱形，按此方法继续下去．已知第一个菱形的面积为1，则第4个菱形的面积是（）A ．14B ．116C ．132D ．1645．如图，正方形ABCD 的边长为5，4AG CH ==，3BG DH ==，连接GH ，则线段GH 的长为（）A ．435B ．75 C ．2 D ．52-6．如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC 和CD 上，过点A 作GA AE ⊥，CD 的延长线交AG 于点G ，BE DF EF +=，若30DAF ∠=︒，则BAE ∠的度数为（）A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°7．如图，点P ，Q 分别是菱形ABCD 的边AD ，BC 上的两个动点，若线段PQ 长的最大值为85 ，最小值为8，则菱形ABCD 的边长为( )A ．6B ．10C ．12D ．168．如图，在正方形ABCD 中，AB ＝4，E 是CD 的中点，将BCE 沿BE 翻折至BFE ，连接DF ，则DF 的长度是（）A ．55B ．255C ．355D ．4559．如图，正方形ABCD 的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH ，则线段GH 的长为（）A ．2.8B ．22C ．2.4D ．3.510．如图，在菱形ABCD 中，AB=AC=1，点E 、F 分别为边AB 、BC 上的点，且AE=BF ，连接CE 、AF 交于点H ，连接DH 交AC 于点O ，则下列结论：①△ABF ≌△CAE ；②∠FHC=∠B ；③△ADO ≌△ACH ；④=3ABCD S 菱形；其中正确的结论个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题11．如图，在矩形ABCD 中，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，点G 是EF 的中点，连接CG ，BG ，BD ，DG ，下列结论：①BC=DF ；②135DGF ︒∠=；③BG DG ⊥；④34AB AD =，则254BDG FDG S S =，正确的有__________________．12．如图，在正方形ABCD 中，点,E F 将对角线AC 三等分，且6AC =．点P 在正方形的边上，则满足5PE PF +=的点P 的个数是________个．13．如图,长方形纸片ABCD 中,AB ＝6 cm,BC ＝8 cm 点E 是BC 边上一点，连接AE 并将△AEB 沿AE 折叠, 得到△AEB′，以C ，E ，B′为顶点的三角形是直角三角形时,BE 的长为___________cm.14．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，E 为BC 边上一动点，作EF ⊥AE ，且EF ＝AE ．连接DF ，AF ．当DF ⊥EF 时，△ADF 的面积为_____．15．如图，有一张矩形纸条ABCD ，AB ＝10cm ，BC ＝3cm ，点M ，N 分别在边AB ，CD 上，CN ＝1cm ．现将四边形BCNM 沿MN 折叠，使点B ，C 分别落在点B '，C '上．在点M 从点A 运动到点B 的过程中，若边MB '与边CD 交于点E ，则点E 相应运动的路径长为_____cm ．16．如图，菱形ABCD 的边长是4，60ABC ∠=︒，点E ，F 分别是AB ，BC 边上的动点（不与点A ，B ，C 重合），且BE BF =，若//EG BC ，//FG AB ，EG 与FG 相交于点G ，当ADG 为等腰三角形时，BE 的长为________．17．如图，在菱形ABCD 中，AC 交BD 于P ，E 为BC 上一点，AE 交BD 于F ，若AB=AE ，EAD 2BAE ∠∠=，则下列结论：①AF=AP ；②AE=FD ；③BE=AF ．正确的是______（填序号）．18．定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即：如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，若点D 是斜边AB 的中点，则CD ＝12AB ，运用：如图2，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝2，AC ＝3，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AED 连接BE ，CE ，DE ，则CE 的长为_____．19．如图，有一张长方形纸片ABCD ，4AB =，3AD =．先将长方形纸片ABCD 折叠，使边AD 落在边AB 上，点D 落在点E 处，折痕为AF ；再将AEF ∆沿EF 翻折，AF 与BC 相交于点G ，则FG 的长为___________．20．李刚和常明两人在数学活动课上进行折纸创编活动.李刚拿起一张准备好的长方形纸片对常明说:“我现在折叠纸片（图①），使点D 落在AB 边的点F 处，得折痕AE ，再折叠，使点C 落在AE 边的点G 处，此时折痕恰好经过点B ，如果AD=a ，那么AB 长是多少？”常明说；“简单，我会. AB 应该是_____”.常明回答完，又对李刚说：“你看我的创编（图②），与你一样折叠，可是第二次折叠时，折痕不经过点B ，而是经过了AB 边上的M 点，如果AD=a ，测得EC=3BM ，那么AB 长是多少？”李刚思考了一会，有点为难，聪明的你，你能帮忙解答吗？AB=_____.三、解答题21．如图，ABC ∆是等腰直角三角形，AB AC =，D 是斜边BC 的中点，,E F 分别是,AB AC 边上的点，且DE DF ⊥，若12BE =，5CF =，求线段EF 的长．22．在一次数学探究活动中，小明对对角线互相垂直的四边形进行了探究，得出了如下结论：如图1，四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AC BD ⊥，则2222AB CD AD BC +=+．（1）请帮助小明证明这一结论；（2）根据小明的探究，老师又给出了如下的问题：如图2，分别以Rt ACB 的直角边AC 和斜边AB 为边向外作正ACFG 和正方形ABDE ，连结CE 、BG 、GE .已知4AC =，5AB =，求GE 的长，请你帮助小明解决这一问题．23．如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，30C ∠=︒，12AC cm =，点E 从点A 出发沿AB 以每秒1cm 的速度向点B 运动，同时点D 从点C 出发沿CA 以每秒2cm 的速度向点A 运动，运动时间为t 秒（06t <<），过点D 作DF BC ⊥于点F ．（1）试用含t 的式子表示AE 、AD 、DF 的长；（2）如图①，连接EF ，求证四边形AEFD 是平行四边形；（3）如图②，连接DE ，当t 为何值时，四边形EBFD 是矩形？并说明理由．24．如下图1，在平面直角坐标系中xoy 中，将一个含30的直角三角板如图放置，直角顶点与原点重合，若点A 的坐标为()1,0-，30ABO ∠=︒．（1）旋转操作：如下图2，将此直角三角板绕点O 顺时针旋转30时，则点B 的坐标为．（2）问题探究：在图2的基础上继续将直角三角板绕点O 顺时针60︒，如图3，在AB 边上的上方以AB 为边作等边ABC ，问：是否存在这样的点D ，使得以点A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形构成为菱形，若存在，请直接写出点D 所有可能的坐标；若不存在，请说明理由．（3）动点分析：在图3的基础上，过点O 作OP AB ⊥于点P ，如图4，若点F 是边OB 的中点，点M 是射线PF 上的一个动点，当OMB △为直角三角形时，求OM 的长．25．（1）如图①，在正方形ABCD 中，AEF ∆的顶点E ，F 分别在BC ，CD 边上，高AG 与正方形的边长相等，求EAF ∠的度数；（2）如图②，在Rt ABD ∆中，90,BAD AD AB ︒∠==，点M ，N 是BD 边上的任意两点，且45MAN ︒∠=，将ABM ∆绕点A 逆时针旋转90度至ADH ∆位置，连接NH ，试判断MN ，ND ，DH 之间的数量关系，并说明理由；（3）在图①中，连接BD 分别交AE ，AF 于点M ，N ，若正方形ABCD 的边长为12，GF=6，BM= 32，求EG ，MN 的长．26．如图，点A 、F 、C 、D 在同一直线上，点B 和点E 分别在直线AD 的两侧，且AB =DE ，∠A =∠D ，AF =DC ．（1）求证：四边形BCEF 是平行四边形；（2）若∠DEF =90°，DE =8，EF =6，当AF 为时，四边形BCEF 是菱形．27．如图，矩形ABCD 中，AB=4，AD=3，∠A 的角平分线交边CD 于点E ．点P 从点A 出发沿射线AE 以每秒2个单位长度的速度运动，Q 为AP 的中点，过点Q 作QH ⊥AB 于点H ，在射线AE 的下方作平行四边形PQHM （点M 在点H 的右侧），设P 点运动时间为t 秒．（1）直接写出AQH 的面积（用含t 的代数式表示）．（2）当点M 落在BC 边上时，求t 的值．（3）在运动过程中，整个图形中形成的三角形是否存在全等三角形？若存在，请写出所有全等三角形，并求出对应的t 的值；若不存在请说明理由（不能添加辅助线）．28．已知四边形ABCD 是正方形，将线段CD 绕点C 逆时针旋转α（090α︒<<︒），得到线段CE ，联结BE 、CE 、DE . 过点B 作BF ⊥DE 交线段DE 的延长线于F ．（1）如图，当BE =CE 时，求旋转角α的度数；（2）当旋转角α的大小发生变化时，BEF ∠的度数是否发生变化?如果变化，请用含α的代数式表示；如果不变，请求出BEF∠的度数；（3）联结AF，求证：2=．DE AF29．在正方形中，连接，为射线上的一个动点（与点不重合），连接，的垂直平分线交线段于点，连接，.提出问题：当点运动时，的度数是否发生改变？探究问题：（1）首先考察点的两个特殊位置：①当点与点重合时，如图1所示，____________②当时，如图2所示，①中的结论是否发生变化？直接写出你的结论：__________；（填“变化”或“不变化”）（2）然后考察点的一般位置：依题意补全图3，图4，通过观察、测量，发现：（1）中①的结论在一般情况下_________；（填“成立”或“不成立”）（3）证明猜想：若（1）中①的结论在一般情况下成立，请从图3和图4中任选一个进行证明；若不成立，请说明理由.30．已知：正方形ABCD和等腰直角三角形AEF，AE=AF（AE＜AD），连接DE、BF，P是DE的中点，连接AP．将△AEF绕点A逆时针旋转．（1）如图①，当△AEF的顶点E、F恰好分别落在边AB、AD时，则线段AP与线段BF的位置关系为，数量关系为．（2）当△AEF绕点A逆时针旋转到如图②所示位置时，证明：第（1）问中的结论仍然成立．（3）若AB=3,AE=1，则线段AP的取值范围为．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】如图，设DE交AP于0，根据菱形的性质、翻折不变性-判断即可解决问题；【详解】解：如图，设DE交AP于O.∵四边形ABCD是菱形∴DA=DC=AB∵A.P关于DE对称，∴DE⊥AP，OA=OP∴DA=DP∴DP=CD，故①正确∵AE=EB，AO=OP∴OE//PB，∴PB⊥PA∴∠APB=90°∴2222PA PB AB CD+==，故②正确若∠DCP=75°，则∠CDP=30°∵LADC=60°∴DP平分∠ADC，显然不符合题意，故③错误；∵∠ADC=60°，DA=DP=DC∴∠DAP=∠DPA，∠DCP=∠DPC，∠CPA=（360°-60°）=150°，故④正确.故选：C【点睛】本题考查菱形的性质、轴对称的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.2．A解析：A【解析】【分析】由DE=DF，AE=2，FC=3可知AB-BC=1，过点E作EM⊥AB于M，根据30°角所对的直角等于斜边的一半可得AM=1，进而得出BM=BC，将△BEM顺时针旋转120°得△BEN，连接FN，可证△BEF≌△BFN，即可得出EF=FN，过点N作NG⊥DC交DC的延长线于点G，利用勾股定理即可求出答案.【详解】解：过点E作EM⊥AB于M，在Rt△AEM中，∠A=60°，∴∠AEM=30°，∴AM=12AE=1，∴3又∵DE=DF，AE=2，FC=3，∴DC-AD=1，即AB-BC=1，∴BM=BC，将△BEM顺时针旋转120°得△BEN，连接FN，则3BE=BN，∵∠EBF=60°，∠EBN=120°，∴∠NBF=60°，∴∠EBF=∠NBF又∵BE=BN，BF=BF，∴EF=FN ，过点N 作NG⊥DC 交DC 的延长线于点G ，∵∠GCN=180°-60°-90°=30°，∴NG=12NC=32∴CG=()2233322⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭ ∴FG=3+32=92∴FN=22932122⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴EF=21故答案为21.【点睛】此题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、勾股定理等知识，合理添加辅助线是解题关键.3．D解析：D【解析】【分析】连接DP ，当点D ，P ，E 在同一直线上时，由△PCF ≌△PCB 可得DP=BP ,BP EP + 的最小值为DE 长，依据△ADF ≌△DCE ，AF=DE,即可得到BP EP +最小值等于线段AF 的长.【详解】解：如图，连接DP ，∵PC=PC, ∠PCD=∠PCB=45°∴△PCF ≌△PCB∴BP=DP∴BP+PE =DP+PE∴当点D ，P ，E 在同一直线上时，BP EP +的最小值为DE 长，又∵AB=CD ，∠ADF=∠ECD ，DF=EC ，∴AF=DE，∴BP EP最小值等于线段AF的长，故选：D．【点睛】本题考查的是轴对称，最短路线问题，根据题意作出A关于BD的对称点C是解答此题的关键．4．D解析：D【分析】易得第二个菱形的面积为（12）2，第三个菱形的面积为（12）4，依此类推，第n个菱形的面积为（12）2n-2，把n=4代入即可．【详解】解：已知第一个菱形的面积为1；则第二个菱形的面积为原来的（12）2，第三个菱形的面积为（12）4，依此类推，第n个菱形的面积为（12）2n-2，当n=4时，则第4个菱形的面积为（12）2×4-2=(12)6=164．故选：D．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理及矩形、菱形的性质，是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．5．C解析：C【分析】延长BG交CH于点E，根据正方形的性质证明△ABG≌△CDH≌△BCE，可得GE=BE-BG=1，HE=CH-CE=1，∠HEG=90°，由勾股定理可得GH的长．【详解】解：如图，延长BG交CH于点E，在△ABG 和△CDH 中，AB CD AG CH BG DH =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ABG ≌△CDH （SSS ），AG 2+BG 2=AB 2，∴∠1=∠5，∠2=∠6，∠AGB=∠CHD=90°，∴∠1+∠2=90°，∠5+∠6=90°，又∵∠2+∠3=90°，∠4+∠5=90°，∴∠1=∠3=∠5，∠2=∠4=∠6，在△ABG 和△BCE 中，1324AB BC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABG ≌△BCE （ASA ），∴BE=AG=4，CE=BG=3，∠BEC=∠AGB=90°，∴GE=BE -BG=4-3=1，同理可得：HE=1，在Rt △GHE 中，2222112GE EH +=+故选：C.【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理的综合运用，通过证三角形全等得出△GHE 为等腰直角三角形是解题的关键．6．A解析：A【分析】根据已知条件先证明△ABE ≌△ADG ，得到AE=AG ，再证明△AEF ≌△AGF ，得到EAF GAF ∠=∠,根据30DAF ∠=︒，设BAE ∠=x,利用GA AE ⊥得到方程求出x 即可求解．【详解】在正方形ABCD 中，AB=AD,90ABE ADG BAD ∠=∠=∠=︒∵GA AE ⊥∴90EAD DAG ∠+∠=︒又90EAD BAE ∠+∠=︒∴DAG BAE ∠∠=∴△ABE ≌△ADG （ASA ）∴AE=AG ，BE=DG,∵BE DF EF +=∴BE DF DG DF EF +=+=∴EF=GF∴△AEF ≌△AGF （SSS ）∴EAF GAF ∠=∠∵30DAF ∠=︒，设BAE ∠=x,∴EAF GAF ∠=∠=x+30°∵GA AE ⊥∴90EAF GAF ∠+∠=︒故x+30°+ x+30°=90°解得x=15°故选A ．【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知正方形的性质及全等三角形的判定定理．7．B解析：B【分析】当点P 和点A 重合时，当点C 和点Q 重合时，PQ 的值最大，当PQ ⊥BC 时，PQ 的值最小，利用这两组数据，在Rt△ABQ 中，可求得答案．【详解】当点P 和点A 重合时，当点C 和点Q 重合时，PQ 的值最大，85PQ =当PQ⊥BC时，PQ的值最小，∴PQ=8，∠Q=90°，在Rt△ACQ中，()2285816.CQ=-=在Rt△ABQ中，设AB=BC=x，则BQ=16-x，∴AQ2+BQ2=AB2即82+（16-x）2=x2解之：x=10.故答案为：B．【点睛】本题考查菱形的性质和勾股定理的运用，解题关键是根据菱形的性质，判断出PQ最大和最小的情况．8．D解析：D【分析】由勾股定理可求BE的长，由折叠的性质可得CE＝EF＝2，BE⊥CF，FH＝CH，由面积法可求CH＝45，由勾股定理可求EH的长，由三角形中位线定理可求DF＝2EH＝45．【详解】解：如图，连接CF，交BE于H，∵在正方形ABCD中，AB＝4，E是CD的中点，∴BC＝CD＝4，CE＝DE＝2，∠BCD＝90°，∴BE2216425BC CE+=+=∵将△BCE沿BE翻折至△BFE，∴CE＝EF＝2，BE⊥CF，FH＝CH，∵S△BCE＝12×BE×CH＝12×BC×CE，∴CH＝455，∴EH=221625 455CE CH-=-=，∵CE＝DE，FH＝CH，∴DF＝2EH＝45，故选：D．【点睛】本题考查了翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握折叠的性质是本题的关键．9．B解析：B【分析】延长BG交CH于点E，根据正方形的性质证明△ABG≌△CDH≌△BCE，可得GE=BE-BG=2，HE=CH-CE=2，∠HEG=90°，从而由勾股定理可得GH的长．【详解】解：如图，延长BG交CH于点E，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，AB=CD=10，∵AG=8，BG=6，∴AG2+BG2=AB2，∴∠AGB=90°，∴∠1+∠2=90°，又∵∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，同理：∠4=∠6，在△ABG和△CDH中，AB＝CD＝10AG＝CH＝8BG＝DH＝6∴△ABG≌△CDH（SSS），∴∠1=∠5，∠2=∠6，∴∠2=∠4，在△ABG和△BCE中，∵∠1＝∠3，AB＝BC，∠2＝∠4，∴△ABG≌△BCE（ASA），∴BE=AG=8，CE=BG=6，∠BEC=∠AGB=90°，∴GE=BE－BG=8－6=2，同理可得HE=2，在Rt△GHE中，GH===故选：B．【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理的综合运用，通过证三角形全等得出△GHE为直角三角形且能够求出两条直角边的长是解题的关键．10．B解析：B【分析】根据菱形的性质，利用SAS证明即可判断①；根据△ABF≌△CAE得到∠BAF=∠ACE，再利用外角的性质以及菱形内角度数即可判断②；通过说明∠CAH≠∠DAO，判断△ADO≌△ACH不成立，可判断③；再利用菱形边长即可求出菱形面积，可判断④.【详解】解：∵在菱形ABCD中，AB=AC=1，∴△ABC为等边三角形，∴∠B=∠CAE=60°，又∵AE=BF，∴△ABF≌△CAE（SAS），故①正确；∴∠BAF=∠ACE，∴∠FHC=∠ACE+∠HAC=∠BAF+∠HAC=60°，故②正确；∵∠B=∠CAE=60°，则在△ADO和△ACH中，∠OAD=60°=∠CAB，∴∠CAH≠60°，即∠CAH≠∠DAO，∴△ADO≌△ACH不成立，故③错误；∵AB=AC=1，过点A作AG⊥BC，垂足为G，∴∠BAG=30°，BG=12，∴2,∴菱形ABCD 的面积为：BC AG ⨯=312⨯=32，故④错误；故正确的结论有2个，故选B.【点睛】本题考查了全等三角形判定和性质，菱形的性质和面积，等边三角形的判定和性质，外角的性质，解题的关键是利用菱形的性质证明全等.二、填空题11．①③④【分析】由矩形的性质可得AB=CD ，AD=BC ，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AC=BD ，由角平分线的性质和余角的性质可得∠F=∠FAD=45°，可得AD=DF=BC ，可判断①；通过证明△DCG ≌△BEG ，可得∠BGE=∠DGC ，BG=DG ，即可判断②③；过点G 作GH ⊥CD 于H ，设AD=4x=DF ，AB=3x ，由勾股定理可求BD=5x ，由等腰直角三角形的性质可得HG=CH=FH=12x ，DG=GB=522x ，由三角形面积公式可求解，可判断④．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB=CD ，AD=BC ，∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AC=BD ，∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE=∠DAE=45°，∴∠F=∠FAD ，∴AD=DF ，∴BC=DF ，故①正确；∵∠EAB=∠BEA=45°，∴AB=BE=CD ，∵∠CEF=∠AEB=45°，∠ECF=90°，∴△CEF 是等腰直角三角形，∵点G 为EF 的中点，∴CG=EG ，∠FCG=45°，CG ⊥AG ，∴∠BEG=∠DCG=135°，在△DCG 和△BEG 中，===BE CD BEG DCG CG EG ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△DCG ≌△BEG （SAS ）．∴∠BGE=∠DGC ，BG=DG ，∵∠BGE ＜∠AEB ，∴∠DGC=∠BGE ＜45°，∵∠CGF=90°，∴∠DGF ＜135°，故②错误；∵∠BGE=∠DGC ，∴∠BGE+∠DGA=∠DGC+∠DGA ，∴∠CGA=∠DGB=90°，∴BG ⊥DG ，故③正确；过点G 作GH ⊥CD 于H ，∵34AB AD =， ∴设AD=4x=DF ，AB=3x ，∴CF=CE=x ，22AB AD x +，∵△CFG ，△GBD 是等腰直角三角形，∴HG=CH=FH=12x ，52x ， ∴S △DGF =12×DF×HG=x 2，S △BDG =12DG×GB=254x 2， ∴254BDG FDG S S =，故④正确；故答案为：①③④．【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键．12．8个【分析】作点F 关于BC 的对称点M ，连接FM 交BC 于点N ，连接EM ，交BC 于点H ，可得点H 到点E 和点F 的距离之和最小，可求最小值，即可求解．【详解】如图，作点F 关于BC 的对称点M ，连接FM 交BC 于点N ，连接EM ，交BC 于点H ， ∵点E ，F 将对角线AC 三等分，且AC ＝6，∴EC ＝4，FC ＝2＝AE ，∵点M 与点F 关于BC 对称，∴CF ＝CM ＝2，∠ACB ＝∠BCM ＝45°，∴∠ACM ＝90°，∴EM则在线段BC 存在点H 到点E 和点F 的距离之和最小为5，在点H 右侧，当点P 与点C 重合时，则PE ＋PF ＝4＋2＝6，∴点P 在CH 上时，PE ＋PF ≤6，在点H 左侧，当点P 与点B 重合时，∵FN ⊥BC ，∠ABC ＝90°，∴FN ∥AB ，∴△CFN ∽△CAB ， ∴FN CN CF 1===AB CB CA 3，∵AB ＝BC AC ＝∴FN ＝13AB ，CN ＝13BC∴BN ＝BC －CN ＝，BF ＝，∵AB ＝BC ，CF ＝AE ，∠BAE ＝∠BCF ，∴△ABE ≌△CBF （SAS ），∴BE ＝BF ，∴PE ＋PF ＝∴点P 在BH 上时，PE ＋PF ＜∴在线段BC 上点H 的左右两边各有一个点P 使PE ＋PF ＝5，同理在线段AB ，AD ，CD 上都存在两个点使PE ＋PF ＝5．即共有8个点P 满足PE ＋PF ＝5，故答案为8．【点睛】本题考查了正方形的性质，最短路径问题，在BC上找到点H，使点H到点E和点F的距离之和最小是本题的关键．13．3或6【详解】①∠B′EC=90°时，如图1，∠BEB′=90°，由翻折的性质得∠AEB=∠AEB′=12×90°=45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴BE=AB=6cm；②∠EB′C=90°时，如图2，由翻折的性质∠AB′E=∠B=90°，∴A、B′、C在同一直线上，AB′=AB，BE=B′E，由勾股定理得，222268AB BC+=+，∴B′C=10-6=4cm，设BE=B′E=x，则EC=8-x，在Rt△B′EC中，B′E2+B′C2=EC2，即x2+42=（8-x）2，解得x=3，即BE=3cm，综上所述，BE的长为3或6cm．故答案为3或6．14．3﹣32 2【分析】作辅助线，构建全等三角形和矩形，利用面积法可得AE的长，根据勾股定理可得BE的长，设AE＝x，证明△ABE≌△EQF（AAS），得FQ＝BE＝2，最后根据三角形面积公式可得结论．【详解】解：如图，过D作DH⊥AE于H，过E作EM⊥AD于M，连接DE，∵EF⊥AE，DF⊥EF，∴∠DHE＝∠HEF＝∠DFE＝90°，∴四边形DHEF是矩形，∴DH＝EF＝AE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠BAD＝90°，∵∠AME＝90°，∴四边形ABEM是矩形，∴EM＝AB＝2，设AE＝x，则S△ADE＝11AD EM AE DH 22⋅=⋅，∴3×2＝x2，∴x6，∵x＞0，∴x6，即AE6，由勾股定理得：BE22(6)2-2，过F作PQ∥CD，交AD的延长线于P，交BC的延长线于Q，∴∠Q＝∠ECD＝∠B＝90°，∠P＝∠ADC＝90°，∵∠BAE＋∠AEB＝∠AEF＝∠AEB＋∠FEQ＝90°，∴∠FEQ＝∠BAE，∵AE＝EF，∠B＝∠Q＝90°，∴△ABE ≌△EQF （AAS ），∴FQ ＝BE ＝2， ∴PF ＝2﹣2，∴S △ADF ＝1AD PF 2⋅＝13(22)2⨯⨯-＝3﹣322．【点睛】此题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，有难度，正确作辅助线构建全等三角形是关键，并用方程的思想解决问题． 15．101-【分析】探究点E 的运动轨迹，寻找特殊位置解决问题即可．【详解】如图1中，当点M 与A 重合时，AE ＝EN ，设AE ＝EN ＝xcm ，在Rt △ADE 中，则有x 2＝32+（9﹣x ）2，解得x ＝5，∴DE ＝10﹣1-5＝4（cm ），如图2中，当点M 运动到MB ′⊥AB 时，DE ′的值最大，DE ′＝10﹣1﹣3＝6（cm ），如图3中，当点M 运动到点B ′落在CD 时，22221310NB C N C B ''''=++=DB ′（即DE ″）＝10﹣110＝（910）（cm ），∴点E的运动轨迹E→E′→E″，运动路径＝EE′+E′B′＝6﹣4+6﹣（9﹣10）＝（101-）（cm）．故答案为：101-．【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．16．83或4433-【分析】连接AC交BD于O，由菱形的性质可得AB=BC=4，∠ABD=30°，AC⊥BD，BO=DO，AO=CO，可证四边形BEGF是菱形，可得∠ABG=30°，可得点B，点G，点D三点共线，由直角三角形性质可求BD=43，AC=4，分两种情况讨论，利用等腰三角形的性质可求解．【详解】如图，连接AC交BD于O，∵菱形ABCD的边长是4，∠ABC=60°，∴AB=BC=4，∠ABD=30°，AC⊥BD，BO=DO，AO=CO，∵EG∥BC，FG∥AB，∴四边形BEGF是平行四边形，又∵BE=BF，∴四边形BEGF是菱形，∴∠ABG=30°，∴点B，点G，点D三点共线，∵AC⊥BD，∠ABD=30°，∴AO=12AB=2，22224223AB AO--=∴BD=AC=4，同理可求BE ，即，若AD=DG'=4时，∴BG'=BD-DG'=4，∴BE'43==-；若AG''=G''D 时，过点G''作G''H ⊥AD 于H ，∴AH=HD=2，∵∠ADB=30°，G''H ⊥AD ，∴DG''=2HG''，∵222HD HG''DG''+=，解得：HG''=，DG''=2HG''=∴BG''=BD-DG''=33-=， ∴BE''=83，综上所述：BE 为83或4- 【点睛】本题考查了菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．17．②③【分析】根据菱形的性质可知AC ⊥BD ，所以在Rt △AFP 中，AF 一定大于AP ，从而判断①；设∠BAE=x ，然后根据等腰三角形两底角相等表示出∠ABE ，再根据菱形的邻角互补求出∠ABE ，根据三角形内角和定理列出方程，求出x 的值，求出∠BFE 和∠BE 的度数，从而判断②③．【详解】解：在菱形ABCD 中，AC ⊥BD ，∴在Rt △AFP 中，AF 一定大于AP ，故①错误；∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，∴∠ABE+∠BAE+∠EAD=180°，设∠BAE=x°，则∠EAD=2x°，∠ABE=180°-x°-2x°，∵AB=AE ，∠BAE=x°，∴∠ABE=∠AEB=180°-x°-2x°，由三角形内角和定理得：x+180-x-2x+180-x-2x=180，解得：x=36，即∠BAE=36°，∠BAE=180°-36°-2×36°=70°，∵四边形ABCD 是菱形，∴∠BAD=∠CBD=12∠ABE=36°， ∴∠BFE=∠ABD+∠BAE=36°+36°=72°，∴∠BEF=180°-36°-72°=72°，∴BE=BF=AF ．故③正确∵∠AFD=∠BFE=72°，∠EAD=2x°=72°∴∠AFD=∠EAD∴AD=FD又∵AD=AB=AE∴AE=FD ，故②正确∴正确的有②③故答案为：②③【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，熟记各性质并列出关于∠BAE 的方程是解题的关键，注意：菱形的对边平行，菱形的对角线平分一组对角．18 【分析】根据12•BC •AH ＝12•AB •AC ，可得AH ＝13，根据 12AD •BO ＝12BD •AH ，得OB ＝13，再根据BE ＝2OB ＝13，运用勾股定理可得EC ．【详解】设BE 交AD 于O ，作AH ⊥BC 于H ．在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝2，AC ＝3，由勾股定理得：BC∵点D 是BC 的中点，∴AD ＝DC ＝DB ， ∵12•BC •AH ＝12•AB •AC ，∴AH ＝613， ∵AE ＝AB ，DE ＝DB ，∴点A 在BE 的垂直平分线上，点D 在BE 的垂直平分线上，∴AD 垂直平分线段BE ，∵12AD •BO ＝12BD •AH ， ∴OB ＝613， ∴BE ＝2OB ＝121313， ∵DE ＝DB=CD ， ∴∠DBE=∠DEB ，∠DEC=∠DCE ，∴∠DEB+∠DEC=12×180°=90°，即：∠BEC=90°， ∴在Rt △BCE 中，EC ＝22BC BE - ＝221213(13)()13-=51313．故答案为：51313．【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，勾股定理以及翻折的性质，掌握“直角三角形斜边长的中线等于斜边的一半”以及面积法求三角形的高，是解题的关键．192【解析】【分析】根据折叠的性质可得∠DAF=∠BAF=45°，再由矩形性质可得FC=ED=1，然后由勾股定理求出FG 即可．【详解】由折叠的性质可知，∠DAF=∠BAF=45°，∴AE=AD=3，EB=AB-AD=1，∵四边形EFCB 为矩形，∴FC=BE=1，∵AB ∥FC ，∴∠GFC=∠DAF=45°，∴GC=FC=1，∴FG ===．【点睛】本题考查了折叠变换，矩形的性质是一种对称变换，理解折叠前后图形的大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解决此题的关键．2012a 【分析】（1）根据折叠的性质可得出，四边形AFED 为正方形，CE=GE=BF ，AEB GBE ABE EBC ∠∠∠∠+=+，即AEB ABE ∠∠=，得出AB=AE ，继而可得解；（2）结合（1）可知，AE AM ==，因为EC=3BM ，所以有1BM 2FM =，求出BM ，继而可得解．【详解】解：（1）由折叠的性质可得，CE=GE=BF ，AEB GBE ABE EBC ∠∠∠∠+=+，即AEB ABE ∠∠=， ∴AB=AE ，∵AE ==∴AB =．（2）结合（1）可知，AE AM ==，∴FM a =-，∵EC=3BM ， ∴1BM 2FM =∴BM =∴1AB 22a a -=+=．；12a ．【点睛】本题是一道关于折叠的综合题目，主要考查折叠的性质，弄清题意，结合图形找出线段间的数量关系是解题的关键．三、解答题21．EF ＝13．【分析】首先连接AD ，由△ABC 是等腰直角三角形，AB=AC ，D 是斜边BC 的中点，可得：AD=DC ，∠EAD=∠C=45°，AD ⊥BC ，即∠CDF+∠ADF=90°，又DE ⊥DF ，可得：∠EDA+∠ADF=90°，故∠EDA=∠CDF ，从而可证：△AED ≌△CFD ；根据全等三角形的性质得到AE=CF=5，进而得出BE=AF=12．然后在Rt △AEF 中，运用勾股定理可将EF 的值求出；【详解】解：连接AD ．∵△ABC 是等腰直角三角形，AB =AC ，D 是斜边BC 的中点，∴AD =DC =DB ，AD ⊥BC ，∴∠BAD =∠C =45°，∵∠EDA +∠ADF =90°，又∵∠CDF +∠ADF =90°，∴∠EDA =∠CDF ．在△AED 与△CFD 中，EDA FDC AD CDEAD C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AED ≌△CFD (ASA )．∴AE =CF =5．∵AB =AC ，∴BE =AF =12．在Rt △AEF 中，∵∠EAF =90°，∴22222512169EF AE AF =+=+=，∴EF =13．【点睛】本题考查等腰直角三角形, 直角三角形斜边上的中线，掌握等腰三角形“三线合一”的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质为解题关键．22．（1）证明见解析；（273【分析】（1）由题意根据勾股定理分别表示出2222,AB CD AD BC ++进行分析求证即可；（2）根据题意连接CG 、BE ，证明△GAB ≌△CAE ，进而得BG ⊥CE ，再根据（1）的结论进行分析即可求出答案．【详解】解：（1）∵AC ⊥BD ，∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，由勾股定理得，222222AD BC AO DO BO CO +=+++，222222AB CD AO BO CO DO +=+++，∴2222AD BC AB CD +=+；（2）连接CG 、BE ，如图2，∵∠CAG=∠BAE=90°，∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC ，即∠GAB=∠CAE ，在△GAB 和△CAE 中，AG AC GAB CAE AB AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△GAB ≌△CAE （SAS ），∴∠ABG=∠AEC ，又∠AEC+∠AME=90°，∴∠ABG+∠AME=90°，即CE ⊥BG ，由（1）得，2222CG BE CB GE +=+，∵AC=4，AB=5，∴BC=3，2，2，∴222273GE CG BE CB =+-=，∴73【点睛】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，熟练并正确理解全等三角形的判定和性质以及灵活运用勾股定理是解题的关键．23．（1）AE t =；122AD t =-；DF t =；（2）证明见解析；（3）3t =；理由见解析．【分析】（1）根据题意用含t 的式子表示AE 、CD ，结合图形表示出AD ，根据直角三角形的性质表示出DF ；（2）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形证明；（3）根据矩形的定义列出方程，解方程即可．【详解】解：（1）由题意得，AE t =，2CD t =，则122AD AC CD t =-=-，∵DF BC ⊥，30C ∠=︒，∴12DF CD t == （2）∵90ABC ∠=︒，DF BC ⊥，∴AB DF ， ∵AE t =，DF t =，∴AE DF =，∴四边形AEFD 是平行四边形；（3）当3t =时，四边形EBFD 是矩形，理由如下：∵90ABC ∠=︒，30C ∠=︒， ∴162BC AC cm ==， ∵BE DF ∥， ∴BE DF =时，四边形EBFD 是平行四边形，即6t t -=，解得，3t =，∵90ABC ∠=︒，∴四边形EBFD 是矩形，∴3t =时，四边形EBFD 是矩形．【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、平行四边形的判定、矩形的判定，掌握平行四边形、矩形的判定定理是解题的关键．24．（1）（2，32）；（2）存在，点D 的坐标为（0，3）或（1）或（0，-1）；（3）OM=32或2 【分析】（1）过点B 作BD ⊥y 轴于D ，利用30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理求出OB ，再利用30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理求出BD 和OD 即可得出结论；（2）根据题意和等边三角形的性质分别求出点A 、B 、C 的坐标，然后根据菱形的顶点顺序分类讨论，分别画出对应的图形，根据菱形的对角线互相平分即可分别求出结论；（3）利用30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理求出OP 和BP ，然后根据直角三角形的直角顶点分类讨论，分别画出对应的图形，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、平行四边形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质求解即可．【详解】解：（1）如图2，过点B 作BD ⊥y 轴于D由图1中，点A 的坐标为()1,0-，30ABO ∠=︒，∠AOB=90°∴OA=1，AB=2OA=2由勾股定理可得OB=223AB OA -= ∵将此直角三角板绕点O 顺时针旋转30∴∠BOD=30°∴BD=132OB =∴OD=2232OB BD -=∴点B 的坐标为（3，32）故答案为：（32，32）；（2）在图2的基础上继续将直角三角板绕点O 顺时针60︒，此时点A 落在y 轴上，点B 落在x 轴上∴点A 的坐标为（0,1），点B 的坐标为（3，0）∵△ABC 为等边三角形∴∠ABC=60°，AB=BC=AC=2∴∠OBC=90°∴点C 的坐标为（3，2）设点D 的坐标为（a ，b ）如图所示，若四边形ABCD 为菱形，连接BD ，与AC 交于点O∴点O既是AC的中点，也是BD的中点∴03322 12022ab⎧++=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩解得：3ab=⎧⎨=⎩∴此时点D的坐标为（0，3）；当四边形ABDC为菱形时，连接AD，与BC交于点O∴点O既是AD的中点，也是BC的中点∴033212022ab⎧++=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩解得：231ab⎧=⎪⎨=⎪⎩∴此时点D的坐标为（23，1）；当四边形ADBC为菱形时，连接CD，与AB交于点O∴点O既是AB的中点，也是CD的中点∴03310222ab++=⎨++⎪=⎪⎩解得：1ab=⎧⎨=-⎩∴此时点D的坐标为（0，-1）；综上：点D的坐标为（0，3）或（23，1）或（0，-1）；（3）∵OB=3，∠ABO=30°∴OP=12OB=32∴BP=223 2OB OP-=当∠OMB=90°时，如下图所示，连接BM∵F为OB的中点∴PF=12OB，MF=12OB，OF=BF∴PF=MF∴四边形OPBM为平行四边形∴OM=BP=32；当∠OBM=90°时，如下图所示，连接OM，∴∠PBM=∠PBO＋∠OBM=120°∵点F为OB的中点∴FP=FB∴∠FPB=∠FBP=30°∴∠BMP=180°－∠PBM－∠FPB=30°∴∠BMP=∠BPM∴BM=BP=3 2在Rt △OBM 中，2=；综上：OM=32．【点睛】此题考查的是直角三角形的性质、菱形的性质、平行四边形的判定及性质、等边三角形的性质，掌握30°所对的直角边是斜边的一半、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、菱形的性质、平行四边形的判定及性质、等边三角形的性质是解决此题的关键．25．（1）见解析；（2）MN 2=ND 2+DH 2，理由见解析；（3）EG=4，MN=【分析】（1）根据高AG 与正方形的边长相等，证明三角形全等，进而证明角相等，从而求出解．（2）用三角形全等和正方形的对角线平分每一组对角的知识可证明结论．（3）设EG=BE=x ，根据正方形的边长得出CE ，CF ，EF ，在Rt △CEF 中利用勾股定理得到方程，求出EG 的长，设MN=a ，根据MN 2=ND 2+BM 2解出a 值即可．【详解】解：（1）在Rt △ABE 和Rt △AGE 中，AB=AG ，AE=AE ，∴Rt △ABE ≌Rt △AGE （HL ）．∴∠BAE=∠GAE ．同理，∠GAF=∠DAF ．∴∠EAF ＝12∠BAD ＝45°；（2）MN 2=ND 2+DH 2．∵∠BAM=∠DAH ，∠BAM+∠DAN=45°，∴∠HAN=∠DAH+∠DAN=45°．∴∠HAN=∠MAN ，又∵AM=AH ，AN=AN ，∴△AMN ≌△AHN （SAS ）．∴MN=HN ，∵∠BAD=90°，AB=AD ，∴∠ABD=∠ADB=45°，∴∠HDN=∠HDA+∠ADB=90°，∴NH 2=ND 2+DH 2，∴MN 2=ND 2+DH 2；。

新人教版八年级下第二次月考数学试卷含答案解析

八年级（下）第二次月考数学试卷一、选择题：（共8个小题，每小题3分，共24分）1．下列各点中，位于第二象限的是（）A．（8，﹣1）B．（8，0）C．（﹣，3）D．（0，﹣4）2．若分式的值为0，则x的值是（）A．0B．﹣l C．5D．13．已知点（，6）在函数y＝的图象上，则m的值是（）A．﹣3B．﹣12C．1D．﹣14．下列计算中，正确的是（）A．3﹣2＝﹣6B．＝C．a﹣1•a﹣2＝a2D．＝5．下列说法正确的是（）A．平行四边形对角线相等B．矩形的对角线互相垂直C．菱形的四个角都相等D．菱形的对角线互相垂直平分且平分一组对角6．菱形ABCD的面积为120，对角线BD＝24，则这个菱形的周长是（）A．64B．60C．52D．507．如图，已知矩形ABCD，将△BCD沿对角线BD折叠，记点C的对应点为C′，若∠ADC′＝20°，则∠BDC的度数为（）A．55°B．45°C．60°D．65°8．如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（﹣3，4），顶点C在x轴的负半轴上，函数y＝（x＜0）的图象经过顶点B，则k的值为（）A．﹣12B．﹣27C．﹣32D．﹣36二、填空题：（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）．9．在函数y＝中，自变量x的取值范围是．10．点P关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣5，2），则点P的坐标是．11．分式方程的解是．12．造成宜宾雾霾天气的“元凶”是PM2.5，PM2.5是指大气中直径小于或等于0.00000025米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它对空气质量和能见度等有重要的影响，会给人的健康带来严重危害．将0.00000025用科学记数法表示为．13．将直线y＝7x﹣1向上平移8单位长度，得到的直线解析式为．14．如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AB，E为垂足．如果∠A＝125°，则∠BCE＝度．15．如图，在菱形ABCD中，点P是对角线AC上的一动点，PE⊥AB于点E．当P运动到一定位置时PE＝4，则此时点P到AD的距离为．三、解答题：（本大题8个小题，共72分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（12分）（1）计算：（﹣2018）0﹣+||﹣3﹣1；（2）解分式方程：＝﹣2；17．（6分）先化简再求值：（+）÷，其中a＝2．18．（8分）已知：如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线BD上的两点，BE＝DF．求证：（1）△ADF≌△CBE；（2）CE∥AF．19．（8分）如图，直线y＝kx+b与双曲线y＝交于A（2，n）、B（﹣3，﹣2）两点，与x轴，y 轴分别交于C、D两点．（1）试求双曲线y＝的解析式；（2）试求直线y＝kx+b的解析式；（3）试求△AOB的面积．20．（8分）宜宾军分区帮助群众修建水渠抗旱减灾，原计划在规定时间内修建500m，由于加大了机械化作业程度，实际每天的进度是原来的1.5倍，结果不仅超额完成计划修建米数的20%，而且还比规定时间提前了5天．（1）设原计划的每天修建xm，利用工效、工作总量、时间之间的关系填写下表．（要求：填上适当的代数式，完成表格）速度（m/天）工作总量（m）所用时间（天）原计划x500实际（2）列出方程，并求原计划每天修建水渠的长度．21．（8分）宜宾绿源超市购进A、B两种白醋，已知每瓶B型白醋进价比A型贵0.50元，6瓶A 型白醋与3瓶B型白醋进价共42元．两种白醋的销售价格如下表：品名A B售价（元） 6.58.0（1）求这两种型号的白醋每瓶的进价；（2）宜宾绿源超市打算购进这两种白醋共100瓶，进货总价不超过480元，全部售出后总利润不低于250元．设应购进A型白醋m瓶，总利润为w元．①求w与m之间的函数关系式；②求m的取值范围，并求出全部售出这批白醋后的最大利润．22．（10分）如图，过矩形ABCD的四个顶点作对角线AC，BD的平行线，分别相交于E，F，G，H四点，若AB＝6，BC＝8．（1）求证：四边形EFGH是菱形；（2）求图中阴影部分的面积．23．（12分）已知直线与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点B．（1）求b的值；（2）把△AOB绕原点O顺时针旋转90°后，点A落在y轴的A′处，点B若在x轴的B′处．①求直线A′B′的函数关系式；②设直线AB与直线A′B′交于点C，矩形PQMN是△AB′C的内接矩形，其中点P，Q在线段AB′上，点M在线段B′C上，点N在线段AC上．若矩形PQMN的两条邻边的比为1：2，试求矩形PQMN的周长．参考答案与试题解析一、选择题：（共8个小题，每小题3分，共24分）1．下列各点中，位于第二象限的是（）A．（8，﹣1）B．（8，0）C．（﹣，3）D．（0，﹣4）【分析】依据位于第二象限的点的横坐标为负，纵坐标为正，即可得到结论．【解答】解：∵位于第二象限的点的横坐标为负，纵坐标为正，∴位于第二象限的是（﹣，3）故选：C．【点评】本题主要考查了点的坐标，解题时注意：位于第二象限的点的横坐标为负，纵坐标为正．2．若分式的值为0，则x的值是（）A．0B．﹣l C．5D．1【分析】直接利用分式的值为零则分子为零进而得出答案．【解答】解：∵分式的值为0，∴x＝1＝0，解得：x＝﹣1，故选：B．【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键．3．已知点（，6）在函数y＝的图象上，则m的值是（）A．﹣3B．﹣12C．1D．﹣1【分析】根据点（，6）在函数y＝的图象上，可以求得m的值，从而可以解答本题．【解答】解：∵点（，6）在函数y＝的图象上，∴，解得，m＝﹣3，故选：A．【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．4．下列计算中，正确的是（）A．3﹣2＝﹣6B．＝C．a﹣1•a﹣2＝a2D．＝【分析】利用负整数指数幂的意义对A、C进行判断；根据最简分式的定义对B进行判断；利用约分对D进行判断．【解答】解：A、原式＝＝，所以A选项错误；B、为最简分式，所以B选项错误；C、原式＝•＝，所以C选项错误；D、原式＝＝，所以D选项正确．故选：D．【点评】本题考查了约分：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．5．下列说法正确的是（）A．平行四边形对角线相等B．矩形的对角线互相垂直C．菱形的四个角都相等D．菱形的对角线互相垂直平分且平分一组对角【分析】根据菱形的性质、矩形的性质、平行四边形的性质对各个命题分别判断，即可得出答案．【解答】解：A、平行四边形对角线互相平分，错误；B、矩形的对角线相等，错误；C、菱形的四条边都相等，错误；D、菱形的对角线互相垂直平分且平分一组对角，正确；故选：D．【点评】此题考查了命题与定理，解题的关键是掌握真命题与假命题的定义，能根据有关性质与判定对命题的真假进行判断是关键．6．菱形ABCD的面积为120，对角线BD＝24，则这个菱形的周长是（）A．64B．60C．52D．50【分析】菱形的面积可以根据对角线的长计算，已知菱形的面积，对角线BD的长即可计算AC的长，进而利用勾股定理解答即可．【解答】解：菱形ABCD的面积S＝AC•BD＝120，∵BD＝24，∴AC＝＝10，∴AB＝，∴这个菱形的周长＝13×4＝52，故选：C．【点评】本题考查了根据对角线长计算菱形的面积的方法，本题中正确计算是解题的关键．7．如图，已知矩形ABCD，将△BCD沿对角线BD折叠，记点C的对应点为C′，若∠ADC′＝20°，则∠BDC的度数为（）A．55°B．45°C．60°D．65°【分析】由折叠的性质可知∠BDC＝∠BDC′，故∠ADB＝∠BDC′﹣∠ADC′＝∠BDC﹣20°，根据∠ADB+∠BDC＝90°，列方程求∠BDC．【解答】解：由折叠的性质，得∠BDC＝∠BDC′，则∠ADB＝∠BDC′﹣∠ADC′＝∠BDC﹣20°，∵∠ADB+∠BDC＝90°，∴∠BDC﹣20°+∠BDC＝90°，解得∠BDC＝55°．故选：A．【点评】本题考查了折叠的性质．关键是根据∠ADB+∠BDC＝90°列方程求解．8．如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（﹣3，4），顶点C在x轴的负半轴上，函数y＝（x＜0）的图象经过顶点B，则k的值为（）A．﹣12B．﹣27C．﹣32D．﹣36【分析】根据点C的坐标以及菱形的性质求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出k的值即可．【解答】解：∵A（﹣3，4），∴OA＝＝5，∵四边形OABC是菱形，∴AO＝CB＝OC＝AB＝5，则点B的横坐标为﹣3﹣5＝﹣8，故B的坐标为：（﹣8，4），将点B的坐标代入y＝得，4＝，解得：k＝﹣32．故选：C．【点评】本题考查了菱形的性质以及利用待定系数法求反比例函数解析式，解答本题的关键是根据菱形的性质求出点B的坐标．二、填空题：（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）．9．在函数y＝中，自变量x的取值范围是x≥．【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0可知：2x﹣1≥0，解得x的范围．【解答】解：根据题意得：2x﹣1≥0，解得，x≥．【点评】本题考查的是函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．10．点P关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣5，2），则点P的坐标是（5，2）．【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．【解答】解：点P关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣5，2），则点P的坐标是（5，2），故答案为：（5，2）．【点评】本题主要考查关于x轴、y轴对称点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．11．分式方程的解是x＝13．【分析】解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．【解答】解：去分母，可得x﹣5＝8，解得x＝13，经检验：x＝13是原方程的解．【点评】本题主要考查了解分式方程，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应检验．12．造成宜宾雾霾天气的“元凶”是PM2.5，PM2.5是指大气中直径小于或等于0.00000025米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它对空气质量和能见度等有重要的影响，会给人的健康带来严重危害．将0.00000025用科学记数法表示为 2.5×10﹣7．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.00000025＝2.5×10﹣7．故答案为：2.5×10﹣7．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．13．将直线y＝7x﹣1向上平移8单位长度，得到的直线解析式为y＝7x+7．【分析】直接根据“上加下减”的原则进行解答即可．【解答】解：由“上加下减”的原则可知，把直线y＝7x﹣1向上平移8个单位长度后所得直线的解析式为：y＝7x﹣1+8，即y＝7x+7．故答案为：y＝7x+7．【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．14．如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AB，E为垂足．如果∠A＝125°，则∠BCE＝35度．【分析】根据平行四边形的性质和已知，可求出∠B，再进一步利用直角三角形的性质求解即可．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∴∠B＝180°﹣125°＝55°，∵CE⊥AB，∴在Rt△BCE中，∠BCE＝90°﹣∠B＝90°﹣55°＝35°．故答案为：35．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，运用平行四边形对边平行的性质，得到邻角互补的结论，这是运用定义求四边形内角度数的常用方法．15．如图，在菱形ABCD中，点P是对角线AC上的一动点，PE⊥AB于点E．当P运动到一定位置时PE＝4，则此时点P到AD的距离为4．【分析】作PF⊥AD于D，如图，根据菱形的性质得AC平分∠BAD，然后根据角平分线的性质得PF＝PE＝4．【解答】解：作PF⊥AD于D，如图，∵四边形ABCD为菱形，∴AC平分∠BAD，∵PE⊥AB，PF⊥AD，∴PF＝PE＝4，即点P到AD的距离为4．故答案为：4．【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了菱形的性质．三、解答题：（本大题8个小题，共72分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（12分）（1）计算：（﹣2018）0﹣+||﹣3﹣1；（2）解分式方程：＝﹣2；【分析】（1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及算术平方根定义计算即可求出值；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）原式＝1﹣6+﹣＝﹣5；（2）去分母得：2x＝3﹣4x+4，移项合并得：6x＝7，解得：x＝，经检验x＝是分式方程的解．【点评】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．17．（6分）先化简再求值：（+）÷，其中a＝2．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝•＝•＝，当a＝2时，原式＝2．【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．（8分）已知：如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线BD上的两点，BE＝DF．求证：（1）△ADF≌△CBE；（2）CE∥AF．【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AD＝BC，∠DAF＝∠BCE，利用SAS地理证明；（2）根据全等三角形的性质得到∠AFD＝∠CEB，根据邻补角的定义得到∠AFB＝∠CED，根据平行线的判定定理证明CE∥AF．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∠DAF＝∠BCE，在△ADF和△CBE中，，∴△ADF≌△CBE；（2）∵△ADF≌△CBE∴∠AFD＝∠CEB，∴∠AFB＝∠CED，∴CE∥AF．【点评】本题考查的是平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．19．（8分）如图，直线y＝kx+b与双曲线y＝交于A（2，n）、B（﹣3，﹣2）两点，与x轴，y 轴分别交于C、D两点．（1）试求双曲线y＝的解析式；（2）试求直线y＝kx+b的解析式；（3）试求△AOB的面积．【分析】用待定系数法求函数解析式，重点是确定关键点坐标．【解答】解：双曲线y＝交于A（2，n）、B（﹣3，﹣2）两点（1）由B（﹣3，﹣2）坐标知：m＝6，反比例函数的表达式为：y＝，将A（2，n）代入上式，得n＝3，答：反比例函数的表达式为：y＝；（2）将A、B两点坐标A（2，3）、B（﹣3，﹣2）代入直线y＝kx+b方程，易求直线表达式为：y ＝x+1，C点坐标为（﹣1，0），答：直线表达式为：y＝x+1；（3）△AOB可以看成由底均为OC的△OCA、△OCB组成，△AOB的面积＝•OC•（y A﹣y B）＝×1×（3+2）＝2.5．答：△AOB的面积为2.5．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，通过求坐标，确定函数表达式，体现了方程思想．20．（8分）宜宾军分区帮助群众修建水渠抗旱减灾，原计划在规定时间内修建500m，由于加大了机械化作业程度，实际每天的进度是原来的1.5倍，结果不仅超额完成计划修建米数的20%，而且还比规定时间提前了5天．（1）设原计划的每天修建xm，利用工效、工作总量、时间之间的关系填写下表．（要求：填上适当的代数式，完成表格）速度（m/天）工作总量（m）所用时间（天）原计划x500。

八年级数学第二学期第二次月考测试卷含答案

一、选择题1．如图，正方形ABCD 中，点E F 、分别在边BC CD 、上，且AE EF FA ==，有下列结论：①ABE ADF ∆≅∆；②CE CF =；③75AEB ∠=︒；④BE DF EF +=；⑤A ABE DF CEF S S S ∆∆∆+=；其中正确的有（）个．A ．2B ．3C ．4D ．52．如图，矩形ABCD 中，O 为AC 中点，过点O 的直线分别与AB ，CD 交于点E ，F ，连结BF ，交AC 于点M ，连结DE ，BO ．若60BOC ∠=︒，FO FC =，则下列结论：①AE CF =；②BF 垂直平分线段OC ；③EOB CMB ∆∆≌；④四边形是BFDE 菱形．其中正确结论的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如图，平行四边形ABCD 中，AE 平分BAD ∠，交BC 于点E ，且AB AE =，延长AB 与DE 的延长线交于点F ，连接AC ，CF ．下列结论：①ABC EAD ∆∆≌；②ABE ∆是等边三角形；③AD BF =；④BEF ACD S S ∆∆=；⑤CEF ABE S S ∆∆=中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 4．如图，在正方形ABCD 外侧，作等边三角形ADE ，AC ，BE 相交于点F ，则∠CBF 为（）A ．75°B ．60°C ．55°D ．45° 5．如图，在ABCD 中，AD=2AB ，CE AB ⊥，垂足E 在线段AB 上，F 、G 分别是AD 、CE 的中点，连接FG ，EF 、CD 的延长线交于点H ，则下列结论：①12DCF BCD ∠=∠；②EF CF =：③2BEC CEF S S =；④3DFE AEF ∠=∠.其中，正确结论的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，分别以AB ，AC ，BC 为边，在AB 的同侧作正方形ABHI ，ACFG ，BCED ．若图中两块阴影部分的面积分别记为1S ，2S ，则对1S ，2S 的大小判断正确的是（）A ．12S S >B ．12S SC ．12S S <D ．无法确定7．如图，矩形纸片,,ABCD AB a BC b ==，满足12b a b <<，将此矩形纸片按下面顺序折叠，则图4中MN 的长为（用含,a b 的代数式表示）（）A ．2b a -B ．22b a -C ．32b a +D ．12b a + 8．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，D 是AB 上一动点，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，DF ⊥BC 于点F ，连结EF ，则线段EF 的长的最小值是( )A ．2.5B ．2.4C ．2.2D ．2 9．如图，在平行四边形ABCD 中，按以下步骤作图：①以A 为圆心，AB 长为半径画弧，交边AD 于点；②再分别以B ，F 为圆心画弧，两弧交于平行四边形ABCD 内部的点G 处；③连接AG 并延长交BC 于点E ，连接BF ，若BF ＝3，AB ＝2.5，则AE 的长为（）A ．2B ．4C ．8D ．510．如图，矩形ABCD 中，O 为AC 中点，过点O 的直线分别与AB ，CD 交于点E ，F ，连接BF 交AC 于点M ，连接DE ，BO ．若60COB ∠=，FO FC =，则下列结论：①FB OC ⊥，OM CM =；②EOB CMB ≅；③四边形EBFD 是菱形；④:3:2MB OE =．其中正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题11．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 为CD 边上的一个动点，以CE 为边向外作正方形ECFG ，连结BG ，点H 为BG 中点，连结EH ，则EH 的最小值为______12．如图，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 为边CD 的中点，点P 在线段AB 上运动，F 是CP 的中点，则CEF ∆的周长的最小值是____________．13．如图，以Rt ABC 的斜边AB 为一边，在AB 的右侧作正方形ABED ，正方形对角线交于点O ，连接CO ，如果AC=4，CO=62，那么BC=______．14．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，E 为BC 边上一动点，作EF ⊥AE ，且EF ＝AE ．连接DF ，AF ．当DF ⊥EF 时，△ADF 的面积为_____．15．如图，四边形纸片ABCD 中，AB BC =, 90ABC ADC ∠=∠=︒．若该纸片的面积为10 cm 2，则对角线BD =______cm ．16．如图，直线1l ，2l 分别经过点(1,0)和(4,0)且平行于y 轴．OABC 的顶点A ，C 分别在直线1l 和2l 上，O 是坐标原点，则对角线OB 长的最小值为_________．17．如图，菱形ABCD 的边长是4，60ABC ∠=︒，点E ，F 分别是AB ，BC 边上的动点（不与点A ，B ，C 重合），且BE BF =，若//EG BC ，//FG AB ，EG 与FG 相交于点G ，当ADG 为等腰三角形时，BE 的长为________．18．如图，在矩形ABCD 中，16AB =，18BC =，点E 在边AB 上，点F 是边BC 上不与点B 、C 重合的一个动点，把EBF △沿EF 折叠，点B 落在点B '处．若3AE =，当CDB '是以DB '为腰的等腰三角形时，线段DB '的长为__________．19．如图，在□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AB =OB ，E 为AC 上一点，BE 平分∠ABO ，EF ⊥BC 于点F ，∠CAD =45°，EF 交BD 于点P ，BP =5，则BC 的长为_______．20．在菱形ABCD 中，M 是AD 的中点，AB ＝4，N 是对角线AC 上一动点，△DMN 的周长最小是2+23，则BD 的长为___________．三、解答题21．（1）如图①，在正方形ABCD 中，AEF ∆的顶点E ，F 分别在BC ，CD 边上，高AG 与正方形的边长相等，求EAF ∠的度数；（2）如图②，在Rt ABD ∆中，90,BAD AD AB ︒∠==，点M ，N 是BD 边上的任意两点，且45MAN ︒∠=，将ABM ∆绕点A 逆时针旋转90度至ADH ∆位置，连接NH ，试判断MN ，ND ，DH 之间的数量关系，并说明理由；（3）在图①中，连接BD 分别交AE ，AF 于点M ，N ，若正方形ABCD 的边长为12，GF=6，BM= 32，求EG ，MN 的长．22．如图，在边长为1的正方形ABCD 中，E 是边CD 的中点，点P 是边AD 上一点（与点A D 、不重合），射线PE 与BC 的延长线交于点Q ．（1）求证：PDE QCE ∆≅∆；（2）若PB PQ =，点F 是BP 的中点，连结EF AF 、，①求证：四边形AFEP 是平行四边形；②求PE 的长．23．如图，在长方形ABCD 中，8,6AB AD ==．动点P Q 、分别从点、D A 同时出发向点C B 、运动，点P 的运动速度为每秒2个单位，点Q 的运动速度为每秒1个单位，当点P 运动到点C 时，两个点都停止运动，设运动的时间为()t s ．（1）请用含t 的式子表示线段PC BQ 、的长，则PC ________，BQ =________．（2）在运动过程中，若存在某时刻使得BPQ ∆是等腰三角形，求相应t 的值．24．已知正方形,ABCD 点F 是射线DC 上一动点(不与,C D 重合)．连接AF 并延长交直线BC 于点E ，交BD 于,H 连接CH ．在EF 上取一点,G 使ECG DAH ∠=∠．（1）若点F 在边CD 上，如图1，①求证：CH CG ⊥．②求证：GFC 是等腰三角形．（2）取DF 中点,M 连接MG ．若3MG =，正方形边长为4，则BE = ．25．社团活动课上，数学兴趣小组的同学探索了这样的一个问题：如图1，90MON ∠=，点A 为边OM 上一定点，点B 为边ON 上一动点，以AB 为一边在∠MON 的内部作正方形ABCD ，过点C 作CF OM ⊥，垂足为点F （在点O 、A 之间），交BD 与点E ，试探究AEF ∆的周长与OA 的长度之间的等量关系该兴趣小组进行了如下探索：（动手操作，归纳发现）（1）通过测量图1、2、3中线段AE 、AF 、EF 和OA 的长，他们猜想AEF ∆的周长是OA 长的_____倍．请你完善这个猜想（推理探索，尝试证明）为了探索这个猜想是否成立，他们作了如下思考，请你完成后续探索过程：（2）如图4，过点C 作CG ON ⊥，垂足为点G则90CGB ∠=90GCB CBG ∴∠+∠=又四边形ABCD 正方形，AB BC =，90ABC ∠=则90CBG ABO ∠+∠=GCB ABO ∴∠=∠在CBE ∆与ABE ∆中，（类比探究，拓展延伸）（3）如图5，当点F 在线段OA 的延长线上时，直接写出线段AE 、EF 、AF 与OA 长度之间的等量关系为．26．如图所示，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点．直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动(点E不与点A B、重合)，另一直角边与CBM∠的平分线BF相交于点F．(1)求证: ADE FEM∠=∠;(2)如图(1)，当点E在AB边的中点位置时，猜想DE与EF的数量关系，并证明你的猜想;(3)如图(2)，当点E在AB边(除两端点)上的任意位置时，猜想此时DE与EF有怎样的数量关系，并证明你的猜想．27．共顶点的正方形ABCD与正方形AEFG中，AB=13，AE=52．（1）如图1，求证：DG=BE；（2）如图2，连结BF，以BF、BC为一组邻边作平行四边形BCHF．①连结BH，BG，求BHBG的值；②当四边形BCHF为菱形时，直接写出BH的长．28．如图．正方形ABCD的边长为4，点E从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AD 运动，运动时间为t 秒（t ＞0），以AE 为一条边，在正方形ABCD 左侧作正方形AEFG ，连接BF ．（1）当t ＝1时，求BF 的长度；（2）在点E 运动的过程中，求D 、F 两点之间距离的最小值；（3）连接AF 、DF ，当△ADF 是等腰三角形时，求t 的值．29．矩形ABCD 中，AB =3，BC =4．点E ，F 在对角线AC 上，点M ，N 分别在边AD ，BC 上．（1）如图1，若AE =CF =1，M ，N 分别是AD ，BC 的中点．求证：四边形EMFN 为矩形．（2）如图2，若AE =CF =0.5，02AM CN x x ==<<（），且四边形EMFN 为矩形，求x 的值．30．问题背景若两个等腰三角形有公共底边，则称这两个等腰三角形的顶角的顶点关于这条底边互为顶针点；若再满足两个顶角的和是180°，则称这两个顶点关于这条底边互为勾股顶针点．如图1，四边形ABCD 中，BC 是一条对角线，AB AC =，DB DC =，则点A 与点D 关于BC 互为顶针点；若再满足180A D +=︒∠∠，则点A 与点D 关于BC 互为勾股顶针点．初步思考(1)如图2，在ABC 中，AB AC =，30ABC ∠=︒，D 、E 为ABC 外两点，EB EC =，45EBC ∠=︒，DBC △为等边三角形．①点A 与点______关于BC 互为顶针点；②点D 与点______关于BC 互为勾股顶针点，并说明理由．实践操作(2)在长方形ABCD 中，8AB =，10AD =．①如图3，点E 在AB 边上，点F 在AD 边上，请用圆规和无刻度的直尺作出点E 、F ，使得点E 与点C 关于BF 互为勾股顶针点．(不写作法，保留作图痕迹)思维探究②如图4，点E 是直线AB 上的动点，点P 是平面内一点，点E 与点C 关于BP 互为勾股顶针点，直线CP 与直线AD 交于点F ．在点E 运动过程中，线段BE 与线段AF 的长度是否会相等？若相等，请直接写出AE 的长；若不相等，请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】由已知得AB AD =，AE AF =，利用“HL ”可证ABE ADF ∆≅∆，利用全等的性质判断①②③正确，在AD 上取一点G ，连接FG ，使AG GF =，由正方形，等边三角形的性质可知15DAF ∠=︒，从而得30DGF ∠=︒，设1DF =，则2AG GF ==，3DG =，分别表示AD ，CF ，EF 的长，判断④⑤的正确性．【详解】解：AB AD =，AE AF EF ==，()ABE ADF HL ∴∆≅∆，AEF ∆为等边三角形， BE DF ∴=，又BC CD =，CE CF ∴=，11()(9060)1522BAE BAD EAF ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒， 9075AEB BAE ∴∠=︒-∠=︒， ∴①②③正确，在AD 上取一点G ，连接FG ，使AG GF =，则15DAF GFA ∠=∠=︒，230DGF DAF ∴∠=∠=︒，设1DF =，则2AG GF ==，3DG =23AD CD ∴==+13CF CE CD DF ==-=226EF CF ∴==2BE DF +=，∴④错误，⑤12232ABE ADF S S AD DF ∆∆+=⨯⨯= 1232CEF S CE CF ∆=⨯=∴⑤正确．∴正确的结论有：①②③⑤．故选C ．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的运用．关键是利用全等三角形的性质，把条件集中到直角三角形中，运用勾股定理求解．2．C解析：C【分析】通过证△AEO ≌CFO 可判断①；利用矩形的性质证△OCB 是正三角形，可得②；因OB≠MB ，得到③错误；通过证△EOB ≌△FCB 得到EB=FB ，从而证④．【详解】∵四边形ABCD 是矩形∴AB ∥DC,AO=OC∴∠AEO=∠CFO,∠EAO=∠FCO∴△AEO ≌CFO(AAS)∴AE=FC ，①正确∵四边形ABCD 是矩形∴OC=OB∵∠BOC=60°∴△OCB 是正三角形，∴OB=OC∵FO=FC∴FB 是线段OC 的垂直平分线，②正确∵BM ⊥OC ，∴△OMB 是直角三角形，∴OB ＞BM∴EOB CMB ∆∆≌是错误的，即③错误∵四边形ABCD 是矩形∴EB ∥DF ，AB=DC∵AE=FC∴EB=DF∴四边形EBFD 是平行四边形∵△AEO ≌△CFO ，OF=FC ，∴AE=EO=OF=FC∵△OBC 是正三角形，∴∠BOC=60°=∠BCO ，BC=BO∴∠FCO=30°，∴∠FOC=30°∴∠FOB=30°+60°=90°∴∠EOB=90°=∠FCB∴△EOB ≌△FCB(SAS)∴EB=FB∴平行四边形EBFD 是菱形，④正确故选：C【点睛】本题考查矩形的性质和证明，解题关键是证明△AOE ≌△COF 和证明△BOC 是正三角形．3．C解析：C【分析】由平行四边形的性质得出AD ∥BC ，AD=BC ，由AE 平分∠BAD ，可得∠BAE=∠DAE ，可得∠BAE=∠BEA ，得AB=BE ，由AB=AE ，得到△ABE 是等边三角形，②正确；则∠ABE=∠EAD=60°，由SAS 证明△ABC ≌△EAD ，①正确；由△FCD 与△ABD 等底（AB=CD ）等高（AB 与CD 间的距离相等），得出S △FCD =S △ABD ，由△AEC 与△DEC 同底等高，所以S △AEC =S △DEC ，得出S △ABE =S △CEF ，⑤正确．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD=BC ，∴∠EAD=∠AEB ，又∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE=∠DAE ，∴∠BAE=∠BEA ，∴AB=BE ，∵AB=AE ，∴△ABE 是等边三角形；②正确；∴∠ABE=∠EAD=60°，∵AB=AE ，BC=AD ，在△ABC 和△EAD 中，AB AE ABE EAD BC AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△EAD （SAS ）；①正确；∵△FCD 与△ABC 等底（AB=CD ）等高（AB 与CD 间的距离相等），∴S △FCD =S △ABC ，又∵△AEC 与△DEC 同底等高，∴S △AEC =S △DEC ，∴S △ABE =S △CEF ；⑤正确；若AD 与AF 相等，即∠AFD=∠ADF=∠DEC ，即EC=CD=BE ，即BC=2CD ，题中未限定这一条件，∴③④不一定正确；故选C ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质．此题比较复杂，注意将每个问题仔细分析．4．A解析：A【分析】根据正方形的性质及等边三角形的性质求出∠ABE=15°，∠BAC=45°，再求∠BFC ，进而得出∠CBF ．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=AD ，又∵△ADE 是等边三角形，∴AE=AD=DE ，∠DAE=60°，∴AB=AE ，∴∠ABE=∠AEB ，∠BAE=90°+60°=150°，∴∠ABE=（180°-150°）÷2=15°，又∵∠BAC=45°，∴∠BFC=45°+15°=60°．∴∠BFA=180°-60°=120°，∴∠CBF=180°-∠BCA-∠BFC=180°-45°-60=75°，故选：A ．【点睛】本题主要是考查正方形的性质和等边三角形的性质，解本题的关键是求出∠ABE=15°．5．C解析：C【分析】由点F 是AD 的中点，结合ABCD 的性质，得FD=CD ，即可判断①；先证∆AEF ≅∆DHF ，再证∆ECH 是直角三角形，即可判断②；由EF=HF ，得2HEC CEF S S =，由CE AB ⊥，CE ⊥CD ，结合三角形的面积公式，即可判断③；设∠AEF=x ，则∠H=x ，根据直角三角形的性质，得∠FCH=∠H=x ，由FD=CD ，∠DFC=∠FCH=x ，由FG ∥CD ∥AB ，得∠AEF=∠EFG=x ，由EF=CF ，∠EFG=∠CFG=x ，进而得到3DFE AEF ∠=∠，即可判断④．【详解】∵点F 是AD 的中点，∴2FD=AD ， ∵在ABCD 中，AD=2AB ，∴FD=AB=CD ，∴∠DFC=∠DCF ，∵AD ∥BC ，∴∠DFC=∠BCF ，∴∠DCF=∠BCF ，即：12DCF BCD ∠=∠， ∴①正确；∵AB ∥CD ，∴∠A=∠FDH ，∠AEF=∠H ，又∵AF=DF ，∴∆AEF ≅∆DHF （AAS ），∴EF=HF ，∵CE AB ⊥，∴CE ⊥CD ，即：∆ECH 是直角三角形，∴EF CF ==12EH ， ∴②正确；∵EF=HF ，∴2HEC CEF S S =∵CE AB ⊥，CE ⊥CD ，垂足E 在线段AB 上，∴BE CH <,∴BEC HCE SS <, ∴2BEC CEFS S <， ∴③错误；设∠AEF=x ，则∠H=x ，∵在Rt ∆ECH 中，CF=FH=EF ，∴∠FCH=∠H=x ，∵FD=CD ，∴∠DFC=∠FCH=x ，∵点F ，G 分别是EH ，EC 的中点，∴FG ∥CD ∥AB ，∴∠AEF=∠EFG=x ，∵EF=CF ，∴∠EFG=∠CFG=x ，∴∠DFE=∠DFC+∠EFG+∠CFG=3x ，∴3DFE AEF ∠=∠．∴④正确．故选C ．【点睛】本题主要考查平行四边形和直角三角形的性质定理的综合，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键．6．B解析：B【分析】连接EH ，过点H 作HK ⊥BF 于点K ，令AE 与BH 交于点J ，HL 与BF 交于点L ，根据已知条件易证△BHK ≌△ABC ，继而由全等三角形的性质得S △BHK ＝S △ABC ，BC ＝HK ，∠ABC ＝∠BHK ，再由全等三角形的判定可得△BCJ ≌△HKL ，进而可得S 1＝S △BHK ＝S △ABC ，由正方形的性质和全等三角形的判定可知△ABC ≌△AIG ，继而可得S △ABC ＝S △AIG ＝S 2，等量代换即可求解．【详解】解：连接EH，过点H作HK⊥BF于点K，令AE与BH交于点J，HL与BF交于点L，由题意可知：四边形BCED是正方形，四边形ACFG是正方形，四边形ABHI是正方形，∠ACB＝90°∴∠CEH＝∠ECK＝90° ,CE＝BC∵∠BKH＝90°,∴四边形CEHK是矩形，∴ CE＝HK又∠HBK＋∠ABC＝90°, ∠BAC＋∠ABC＝90°∴∠HBK＝∠BAC∴△BHK≌△ABC（AAS）∴S△BHK＝S△ABC，BC＝HK，∠ABC＝∠BHK，∵∠ABC＋∠CBJ＝90°，∠BHK＋∠KHL＝90°∴∠CBJ＝∠KHL∴△BCJ≌△HKL（ASA）∴S△BCJ＝S△HKL，∴S1＝S△BHK＝S△ABC，∵四边形ACFG是正方形，四边形ABHI是正方形，∴AB＝AI，AC＝AG，∠G＝∠ACB＝90°∴△ABC≌△AIG（SAS）∴S△ABC＝S△AIG＝S2，即S1＝S2故选：B【点睛】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定及其性质，解题的关键是熟练掌握正方形的性质及全等三角形的判定方法．7．B解析：B【分析】如图3中，由折叠的性质可得PQ＝BC＝b，A1F＝a﹣12b，△PEQ是等腰直角三角形，进而可得△MNE是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质可得EG =12MN，而12EG EF A F =-，进一步即可求得答案．【详解】解：如图3中，由折叠的性质可得PQ ＝BC ＝b ，A 1F ＝a ﹣12b ，∠EPQ =11904522APQ ∠=⨯︒=︒，∠EQP =11904522DQP ∠=⨯︒=︒， ∴∠PEQ =90°，∴△PEQ 是等腰直角三角形，如图4，∵MN ∥PQ ，∴△MNE 是等腰直角三角形，∵EG ⊥MN ，∴EG=MG=NG =12MN ， ∵12EG EF A F =-=a ﹣2（a ﹣12b ）＝b ﹣a ， ∴MN =2EG =22b a -．故选：B ．【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质以及等腰直角三角形的判定与性质，正确理解题意、熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质是解题的关键．8．B解析：B【分析】连接CD ，利用勾股定理列式求出AB ，判断出四边形CFDE 是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF=CD ，再根据垂线段最短可得CD ⊥AB 时，线段EF 的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可.【详解】如图，连结CD .∵∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，∴AB ＝22AC BC +＝5.∵DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，∠ACB ＝90°，∴四边形CFDE 是矩形，∴EF ＝CD .由垂线段最短可得CD ⊥AB 时，线段EF 的长最小，此时，S △ABC ＝12 BC ·AC ＝12AB ·CD ，即12×4×3＝12×5·CD ，解得CD ＝2.4，∴EF ＝2.4.故选B .【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出CD ⊥AB 时，线段EF 的值最小是解题的关键，难点在于利用三角形的面积列出方程．9．B解析：B【分析】连接EF ，先证AF =AB =BE ，得四边形ABEF 是菱形，据此知AE 与BF 互相垂直平分，继而得OB 的长，由勾股定理求得OA 的长，继而得出答案．【详解】由题意得：AF =AB ，AE 为∠BAD 的角平分线，则∠BAE =∠FAE ．又∵四边形ABCD 是平行四边形，则AD ∥BC ，∠BAE =∠FAE =∠BEA ，∴AF =AB =BE ．连接EF ，则四边形ABEF 是菱形，∴AE 与BF 互相垂直平分，设AE 与BF 相交于点O ，OB 2BF ==1.5．在Rt △AOB 中，OA 22222515AB OB =-=-=．．2，则AE =2OA =4．故选B ．【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握菱形的性质与判定，平行四边形的性质，角平分线的尺规作图方法等．10．C解析：C【分析】①证明△OBC 是等边三角形，即可得OB=BC ，由FO=FC ，即可得FB 垂直平分OC ，①正确；②由FB 垂直平分OC ，根据轴对称的性质可得△FCB ≌△FOB ，根据全等三角形的性质可得∠BCF=∠BOF=90°，再证明△FOC ≌△EOA ，所以FO=EO ，即可得OB 垂直平分EF ，所以△OBF≌△OBE，即△EOB≌△FCB，②错误；③证明四边形DEBF是平行四边形，再由OB垂直平分EF，根据线段垂直平分线的性质可得BE=BF，即可得平行四边形DEBF为菱形，③正确；④由OBF≌△EOB≌△FCB得∠1=∠2=∠3=30°，在Rt△OBE中，可得OE=，在Rt△OBM中，可得，即可得BM ：OE =3：2，④正确.【详解】①∵矩形ABCD中，O为AC中点，∴OB=OC，∵∠COB=60°，∴△OBC是等边三角形，∴OB=BC，∵FO=FC，∴FB垂直平分OC，∴FB⊥OC，OM=CM；①正确；②∵FB垂直平分OC，根据轴对称的性质可得△FCB≌△FOB，∴∠BCF=∠BOF=90°，即OB⊥EF，∵OA=OC，∠FOC=∠EOA，∠DCO=∠BAO，∴△FOC≌△EOA，∴FO=EO，∴OB垂直平分EF，∴△OBF≌△OBE，∴△EOB≌△FCB，②错误；③∵△FOC≌△EOA，∴FC=AE，∵矩形ABCD，∴CD=AB，CD∥AB，∴DF∥EB，DF=EB，∴四边形DEBF是平行四边形，∵OB垂直平分EF，∴BE=BF，∴平行四边形DEBF为菱形；③正确；④由OBF≌△EOB≌△FCB得∠1=∠2=∠3=30°，在Rt△OBE中，OE =3 OB，在Rt△OBM中，BM=32OB,∴BM ：OE =32OB：=33OB=3：2.④正确；所以其中正确结论的个数为3个；故选C.【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质、菱形的判定及锐角三角函数，是一道综合性较强的题目，解决问题的关键是会综合运用所学的知识分析解决问题．二、填空题11．2【分析】过B点作HE的平行线交AC于O点，延长EG交AB于I点，得到BO=2HE，其中O点在线段AC上运动，再由点到直线的距离垂线段最短求出BO的长即可求解．【详解】解：过B点作HE的平行线交AC于O点，延长EG交AB于I点，如下图所示：∵H是BG的中点，且BO与HE平行，∴HE为△BOG的中位线，且BO=2HE，故要使得HE最短，只需要BO最短即可，当E点位于C点时，则O点与C点重合，当E点位于D点时，则O点与A点重合，故E点在CD上运动时，O点在AC上运动，由点到直线的距离垂线段最短可知，当BO⊥AC时，此时BO最短，∵四边形ABCD是正方形，∴△BOC为等腰直角三角形，且BC=4，、∴2222BO,∴122HE BO，【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，点到直线的距离垂线段最短等知识点，本题的关键是要学会将要求的HE线段长转移到线段BO上．12．2【分析】由题意根据三角形的中位线的性质得到EF=12PD，得到C△CEF=CE+CF+EF=CE+12（CP+PD）=12（CD+PC+PD）=12C△CDP，当△CDP的周长最小时，△CEF的周长最小；即PC+PD的值最小时，△CEF的周长最小；并作D关于AB的对称点D′，连接CD′交AB于P，进而分析即可得到结论．【详解】解：∵E为CD中点，F为CP中点，∴EF=12 PD，∴C△CEF=CE+CF+EF=CE+12（CP+PD）=12（CD+PC+PD）=12C△CDP∴当△CDP的周长最小时，△CEF的周长最小；即PC+PD的值最小时，△CEF的周长最小；如图，作D关于AB的对称点T，连接CT，则PD=PT，∵AD=AT=BC=2，CD=4，∠CDT=90°，∴22224442 CT CD DT=+=+=，∵△CDP的周长=CD+DP+PC=CD+PT+PC，∵PT+PC≥CT，∴PT+PC≥42，∴PT+PC的最小值为42，∴△PDC的最小值为4+42，∴C△CEF=12C△CDP=222+．故答案为：222+．【点睛】本题考查轴对称-最短距离问题以及三角形的周长的计算等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最值问题．13．8【分析】通过作辅助线使得△CAO≌△GBO，证明△COG为等腰直角三角形，利用勾股定理求出CG 后，即可求出BC的长．【详解】如图，延长CB到点G，使BG=AC．∵根据题意，四边形ABED 为正方形，∴∠4=∠5=45°，∠EBA=90°，∴∠1+∠2=90°又∵三角形BCA 为直角三角形，AB 为斜边，∴∠2+∠3=90°∴∠1＝∠3∴∠1+∠5=∠3+∠4，故∠CAO ＝∠GBO ，在△CAO 和△GBO 中，CA GB CAO GBO AO BO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩故△CAO ≌△GBO ，∴CO ＝GO=7=∠6，∵∠7+∠8=90°，∴∠6+∠8=90°，∴三角形COG 为等腰直角三角形，∴， ∵CG=CB+BG ，∴CB=CG －BG=12－4=8，故答案为8．【点睛】本题主要考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，根据题意建立正确的辅助线以及掌握正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质是解答本题的关键． 14．3﹣2【分析】作辅助线，构建全等三角形和矩形，利用面积法可得AE 的长，根据勾股定理可得BE 的长，设AE ＝x ，证明△ABE ≌△EQF （AAS ），得FQ ＝BE ，最后根据三角形面积公式可得结论．【详解】解：如图，过D 作DH ⊥AE 于H ，过E 作EM ⊥AD 于M ，连接DE ，∵EF⊥AE，DF⊥EF，∴∠DHE＝∠HEF＝∠DFE＝90°，∴四边形DHEF是矩形，∴DH＝EF＝AE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠BAD＝90°，∵∠AME＝90°，∴四边形ABEM是矩形，∴EM＝AB＝2，设AE＝x，则S△ADE＝11AD EM AE DH 22⋅=⋅，∴3×2＝x2，∴x6，∵x＞0，∴x6，即AE6，由勾股定理得：BE22(6)2-2，过F作PQ∥CD，交AD的延长线于P，交BC的延长线于Q，∴∠Q＝∠ECD＝∠B＝90°，∠P＝∠ADC＝90°，∵∠BAE＋∠AEB＝∠AEF＝∠AEB＋∠FEQ＝90°，∴∠FEQ＝∠BAE，∵AE＝EF，∠B＝∠Q＝90°，∴△ABE≌△EQF（AAS），∴FQ＝BE2，∴PF＝22，∴S△ADF＝1AD PF2⋅＝13(22)2⨯⨯＝3﹣322．【点睛】此题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，有难度，正确作辅助线构建全等三角形是关键，并用方程的思想解决问题．15．25【分析】作BE ⊥AD 于E ，BF ⊥CD 于F ，则四边形BEDF 是矩形，证明△ABE ≌△CBF （AAS ），得出BE=BF ，△ABE 的面积=△CBF 的面积，则四边形BEDF 是正方形，四边形ABCD 的面积=正方形BEDF 的面积，求出BE=10，即可求得BD 的长．【详解】解：作BE ⊥AD 交DA 延长线于E ，BF ⊥CD 于F ，如图所示：则∠BEA=∠BFC=90°，∵∠ADC=90°，∴四边形BEDF 是矩形，∴∠EBF=90°，∵∠ABC=90°，∴∠EBF=∠ABC=90°，∴∠ABE=∠CBF ，在△ABE 和△CBF 中，BEA BFC ABE CBF AB CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△CBF （AAS ），∴BE=BF ，△ABE 的面积=△CBF 的面积，∴四边形BEDF 是正方形，四边形ABCD 的面积=正方形BEDF 的面积，∴BE=DE ，BE 2=10 cm 2，∴10(cm)，∴25．故答案为：5【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．16．5【分析】过点B 作BD ⊥l 2，交直线l 2于点D ，过点B 作BE ⊥x 轴，交x 轴于点E ．则OB=22OE BE +．由于四边形OABC 是平行四边形，所以OA=BC ，又由平行四边形的性质可推得∠OAF=∠BCD ，则可证明△OAF ≌△BCD ，所以OE 的长固定不变，当BE 最小时，OB 取得最小值，从而可求．【详解】解：过点B 作BD ⊥l 2，交直线x=4于点D ，过点B 作BE ⊥x 轴，交x 轴于点E ，直线l 1与OC 交于点M ，与x 轴交于点F ，直线l 2与AB 交于点N ．∵四边形OABC 是平行四边形，∴∠OAB=∠BCO ，OC ∥AB ，OA=BC ，∵直线l 1与直线l 2均垂直于x 轴，∴AM ∥CN ，∴四边形ANCM 是平行四边形，∴∠MAN=∠NCM ，∴∠OAF=∠BCD ，∵∠OFA=∠BDC=90°，∴∠FOA=∠DBC ，在△OAF 和△BCD 中，FOA DBC OA BCOAF BCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△OAF ≌△BCD （ASA ），∴BD=OF=1，∴OE=4+1=5，∴OB=22OE BE +．由于OE 的长不变，所以当BE 最小时（即B 点在x 轴上），OB 取得最小值，最小值为OB=OE=5．故答案为：5．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．17．83或4433- 【分析】连接AC 交BD 于O ，由菱形的性质可得AB=BC=4，∠ABD=30°，AC ⊥BD ，BO=DO ，AO=CO ，可证四边形BEGF 是菱形，可得∠ABG=30°，可得点B ，点G ，点D 三点共线，由直角三角形性质可求BD=43，AC=4，分两种情况讨论，利用等腰三角形的性质可求解．【详解】如图，连接AC 交BD 于O ，∵菱形ABCD 的边长是4，∠ABC=60°， ∴AB=BC=4，∠ABD=30°，AC ⊥BD ，BO=DO ，AO=CO ，∵EG ∥BC ，FG ∥AB ，∴四边形BEGF 是平行四边形，又∵BE=BF ，∴四边形BEGF 是菱形，∴∠ABG=30°，∴点B ，点G ，点D 三点共线，∵AC ⊥BD ，∠ABD=30°，∴AO=12AB=2，22224223AB AO --= ∴BD=3AC=4，同理可求3BE ，即3，若AD=DG'=4时，∴BG'=BD-DG'=434，∴BE'4343433==-；若AG''=G''D 时，过点G''作G''H ⊥AD 于H ，∴AH=HD=2，∵∠ADB=30°，G''H ⊥AD ，∴DG''=2HG''，∵222HD HG''DG''+=，解得：HG''233=，DG''=2HG''433=，∴BG''=BD-DG''=4383 43-=，∴BE''=83，综上所述：BE为83或434-．【点睛】本题考查了菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．18．16或10【分析】等腰三角形一般分情况讨论：（1）当DB'=DC=16；（2）当B'D=B'C时，作辅助线，构建平行四边形AGHD和直角三角形EGB'，计算EG和B'G的长，根据勾股定理可得B'D的长；【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴DC=AB=16，AD=BC=18．分两种情况讨论：（1）如图2，当DB'=DC=16时，即△CDB'是以DB'为腰的等腰三角形（2）如图3，当B'D=B'C时，过点B'作GH∥AD，分别交AB与CD于点G、H．∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠A=90°又GH∥AD，∴四边形AGHD是平行四边形，又∠A=90°，∴四边形AGHD是矩形，∴AG=DH，∠GHD=90°，即B'H⊥CD，又B'D=B'C，∴DH＝HC＝183CD=，AG=DH=8，∵AE=3，∴BE=EB'=AB-AE=16-3=13，EG=AG-AE=8-3=5，在Rt△EGB'中，由勾股定理得：GB′12，∴B'H=GH×GB'=18-12=6，在Rt△B'HD中，由勾股定理得：B′D10=综上，DB'的长为16或10．故答案为： 16或10【点睛】本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形一般需要分类讨论．19．4【分析】过点E作EM∥AD，由△ABO是等腰三角形，根据三线合一可知点E是AO的中点，可证得EM=12AD=12BC，根据已知可求得∠CEF=∠ECF=45°，从而得∠BEF=45°，△BEF为等腰直角三角形，可得BF=EF=FC=12BC，因此可证明△BFP≌△MEP（AAS），则EP=FP=12FC，在Rt△BFP中，利用勾股定理可求得x，即得答案．【详解】过点E作EM∥AD，交BD于M，设EM=x，∵AB=OB，BE平分∠ABO，∴△ABO是等腰三角形，点E是AO的中点，BE⊥AO，∠BEO=90°，∴EM是△AOD的中位线，又∵ABCD是平行四边形，∴BC=AD=2EM=2x，∵EF⊥BC，∠CAD=45°，AD∥BC，∴∠BCA=∠CAD=45°，∠EFC=90°，∴△EFC为等腰直角三角形，∴EF=FC，∠FEC=45°，∴∠BEF=90°-∠FEC=45°，则△BEF为等腰直角三角形，∴BF=EF=FC=12BC=x ， ∵EM ∥BF ， ∴∠EMP=∠FBP ，∠PEM=∠PFB=90°，EM=BF ，则△BFP ≌△MEP （ASA ），∴EP=FP=12EF=12FC=12x ， ∴在Rt △BFP 中，222BP BF PF =+，即：2221(5)()2x x =+，解得：2x =，∴BC=2x =4，故答案为：4．【点睛】考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三线合一的应用，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，利用勾股定理求三角形边长，熟记图形的性质定理是解题的关键． 20．4【分析】根据题意，当B 、N 、M 三点在同一条直线时，△DMN 的周长最小为：BM+DM=2+23，由DM=122AD =，则BM=23，利用勾股定理的逆定理，得到∠AMB=90°，则得到△ABD 为等边三角形，即可得到BD 的长度.【详解】解：如图：连接BD ，BM ，则AC 垂直平分BD ，则BN=DN ，当B 、N 、M 三点在同一条直线时，△DMN 的周长最小为：BM+DM=2+3∵AD=AB=4，M 是AD 的中点，∴AM=DM=122AD =，∴BM=∵22222216AM BM AB +=+==，∴△ABM 是直角三角形，即∠AMB=90°；∵BM 是△ABD 的中线，∴△ABD 是等边三角形，∴BD=AB=AD=4.故答案为：4.【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，以及三线合一定理.解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确得到△ABD 是等边三角形.三、解答题21．（1）见解析；（2）MN 2=ND 2+DH 2，理由见解析；（3）EG=4，MN=【分析】（1）根据高AG 与正方形的边长相等，证明三角形全等，进而证明角相等，从而求出解．（2）用三角形全等和正方形的对角线平分每一组对角的知识可证明结论．（3）设EG=BE=x ，根据正方形的边长得出CE ，CF ，EF ，在Rt △CEF 中利用勾股定理得到方程，求出EG 的长，设MN=a ，根据MN 2=ND 2+BM 2解出a 值即可．【详解】解：（1）在Rt △ABE 和Rt △AGE 中，AB=AG ，AE=AE ，∴Rt △ABE ≌Rt △AGE （HL ）．∴∠BAE=∠GAE ．同理，∠GAF=∠DAF ．∴∠EAF ＝12∠BAD ＝45°；（2）MN 2=ND 2+DH 2．∵∠BAM=∠DAH ，∠BAM+∠DAN=45°，∴∠HAN=∠DAH+∠DAN=45°．∴∠HAN=∠MAN ，又∵AM=AH ，AN=AN ，∴△AMN ≌△AHN （SAS ）．∴MN=HN ，∵∠BAD=90°，AB=AD ，∴∠ABD=∠ADB=45°，∴∠HDN=∠HDA+∠ADB=90°，∴NH 2=ND 2+DH 2，∴MN 2=ND 2+DH 2；（3）∵正方形ABCD 的边长为12，∴AB=AG=12，由（1）知，BE=EG ，DF=FG ．设EG=BE=x ，则CE=12-x ，∵GF=6=DF ，∴CF=12-6=6，EF=EG+GF=x+6，在Rt △CEF 中，∵CE 2+CF 2=EF 2，∴（12-x ）2+62=（x+6）2，解得x=4，即EG=BE=4，在Rt △ABD 中， 22AB AD +2，在（2）中，MN 2=ND 2+DH 2，BM=DH ，∴MN 2=ND 2+BM 2．设MN=a ，则a 2＝()(2212222a+，即a 2=()(22232a +， ∴a=52MN ＝52【点睛】本题考查正方形的性质，四边相等，对角线平分每一组对角，以及全等三角形的判定和性质，勾股定理的知识点等．22．（1）见解析；（2）①见解析；②136PE =【分析】（1）由四边形ABCD 是正方形知∠D=∠ECQ=90°，由E 是CD 的中点知DE=CE ，结合∠DEP=∠CEQ 即可得证；（2）①由PB=PQ 知∠PBQ=∠Q ，结合AD ∥BC 得∠APB=∠PBQ=∠Q=∠EPD ，由△PDE ≌△QCE 知PE=QE ，再由EF ∥BQ 知PF=BF ，根据Rt △PAB 中AF=PF=BF 知∠APF=∠PAF ，从而得∠PAF=∠EPD ，据此即可证得PE ∥AF ，从而得证；②设AP x =，则1PD x =-，1CQ x =-，2BQ x =-，利用三角形中位线定理得到()122EF x =-，由EF AP =，构造方程即可求得23x =，在Rt PDE ∆中，利用勾股定理即可求解．【详解】（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴∠D=∠ECQ=90°，∵E 是CD 的中点，∴DE=CE ，又∵∠DEP=∠CEQ ，∴△PDE ≌△QCE （ASA ）；（2）①∵PB=PQ ，∴∠PBQ=∠Q ，∵AD ∥BC ，∴∠APB=∠PBQ=∠Q=∠EPD ，∵△PDE ≌△QCE ，∴PE=QE ，∵PF=BF ，∴EF 是PBQ ∆的中位线，∴EF ∥BQ ，∴在Rt △PAB 中，AF=PF=BF ，∴∠APF=∠PAF ，∴∠PAF=∠EPD ，∴PE ∥AF ，∵EF ∥BQ ∥AD ，∴四边形AFEP 是平行四边形；②设AP x =，则1PD x =-，∴1CQ x =-，∴2BQ x =-，∵EF 是PBQ ∆的中位线， ∴()122EF x =-， ∵EFAP =， ∴()122x x -=， ∴23x =，在Rt PDE ∆中，222PD DE PE +＝，即22221(1)()32PE -+＝，。

人教版八年级(下)学期第二次月考数学试卷含答案

一、选择题1．如图所示，等边三角形ABC 沿射线BC 向右平移到DCE ∆的位置，连接AD 、BD ，则下列结论：（1）AD BC =（2）BD 与AC 互相平分（3）四边形ACED 是菱形（4）BD DE ⊥，其中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．42．在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积. 如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，P 是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点P 的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（）A ．22B ．5C ．35D ．103．如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠后点D 与B 重合.若原矩形的长宽之比为3:1,则AE BF的值为（）A ．12B ．13C ．34D ．454．正方形ABCD ，CEFG 按如图放置，点B ，C ，E 在同一条直线上，点P 在BC 边上，PA PF =，且APF 90∠=︒，连接AF 交CD 于点M ，有下列结论：EC BP =①；BAP GFP ∠∠=②；2221AB CE AF 2+=③；APF ABCD CEFG S S 2S +=正方形正方形④．其中正确的是（）A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．①②③④5．下列命题中，真命题的个数有（）①对角线相等的四边形是矩形；②三条边相等的四边形是菱形；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个6．如图，点,,A B E 在同一条直线上，正方形ABCD 、正方形BEFC 的边长分别为23,、H 为线段DF 的中点，则BH 的长为（）A ．212B ．26C ．33D ．29 7．如图，在等腰Rt ABC △中，908C AC ∠==°，，F 是AB 边上的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且保持AD CE =．连接DE 、DF 、EF ．在此运动变化的过程中，下列结论：①DFE △是等腰直角三角形； ②四边形CDFE 不可能为正方形，③DE 长度的最小值为4； ④四边形CDFE 的面积保持不变；⑤△CDE 面积的最大值为8．其中正确的结论是（）A ．①②③B ．①④⑤C ．①③④D ．③④⑤8．如图，△A 1B 1C 1中，A 1B 1＝4，A 1C 1＝5，B 1C 1＝7．点A 2、B 2、C 2分别是边B 1C 1、A 1C 1、A 1B 1的中点；点A 3、B 3、C 3分别是边B 2C 2、A 2C 2、A 2B 2的中点；……；以此类推，则第2019个三角形的周长是（）A ．201412B ．201512C ．201612D ．2017129．如图，矩形ABCD 中，,AC BD 相交于点O ，过点B 作BF AC ⊥交CD 于点F ，交AC 于点M ，过点D 作//DE BF 交AB 于点E ，交AC 于点N ，连接,FN EM ．则下列结论：①DN BM =；②//EM FN ；③AE FC =；④当AO AD =时，四边形DEBF 是菱形．其中，正确结论的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．如图，△ABC 中，AB ＝24，BC ＝26，CA ＝14．顺次连接△ABC 各边中点，得到△A 1B 1C 1；再顺次连接△A 1B 1C 1各边中点，得到△A 2B 2C 2…如此进行下去，得到n n n A B C ，则△A 8B 8C 8的周长为（）A ．1B ．12C ．14D ．18二、填空题11．如图，∠MAN=90°，点C 在边AM 上，AC=4，点B 为边AN 上一动点，连接BC ，△A′BC 与△ABC 关于BC 所在直线对称，点D ，E 分别为AC ，BC 的中点，连接DE 并延长交A′B 所在直线于点F ，连接A′E ．当△A′EF 为直角三角形时，AB 的长为_____．12．如图，以Rt ABC 的斜边AB 为一边，在AB 的右侧作正方形ABED ，正方形对角线交于点O ，连接CO ，如果AC=4，CO=62，那么BC=______．13．如图，ABC ∆是边长为1的等边三角形，取BC 边中点E ，作//ED AB ，//EF AC ，得到四边形EDAF ，它的周长记作1C ；取BE 中点1E ，作11//E D FB ，11//E F EF ，得到四边形111E D FF ，它的周长记作2C ．照此规律作下去，则2020C =______．14．如图，在正方形ABCD 中，点,E F 将对角线AC 三等分，且6AC =．点P 在正方形的边上，则满足5PE PF +=的点P 的个数是________个．15．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AB ＝OB ，点E ，F 分别是OA ，OD 的中点，连接EF ，EM ⊥BC 于点M ，EM 交BD 于点N ，若∠CEF ＝45°，FN ＝5，则线段BC 的长为_____．16．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=5，AC=12，P 为边BC 上一动点（P 不与B 、C 重合），PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为EF 中点，则AM 的取值范围是__．17．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝4，∠A ＝120°，E 是AB 的中点，点F 在平行四边形ABCD 的边上，若△AEF 为等腰三角形，则EF 的长为_____．18．如图正方形 ABCD 中，E 是 BC 边的中点，将△ABE 沿 AE 对折至△AFE ，延长 EF 交 CD 于 G ，接 CF ，AG ．下列结论：① AE ∥FC ; ②∠EAG = 45°，且BE + DG = EG ；③ABCD 19CEF S S ∆=正方形；④ AD = 3DG ，正确是_______ (填序号)．19．在ABCD 中，5AD =，BAD ∠的平分线交CD 于点E ，∠ABC 的平分线交CD 于点F ，若线段EF=2，则AB 的长为__________．20．李刚和常明两人在数学活动课上进行折纸创编活动.李刚拿起一张准备好的长方形纸片对常明说:“我现在折叠纸片（图①），使点D 落在AB 边的点F 处，得折痕AE ，再折叠，使点C 落在AE 边的点G 处，此时折痕恰好经过点B ，如果AD=a ，那么AB 长是多少？”常明说；“简单，我会. AB 应该是_____”.常明回答完，又对李刚说：“你看我的创编（图②），与你一样折叠，可是第二次折叠时，折痕不经过点B ，而是经过了AB 边上的M 点，如果AD=a ，测得EC=3BM ，那么AB 长是多少？”李刚思考了一会，有点为难，聪明的你，你能帮忙解答吗？AB=_____.三、解答题21．如图，在Rt ABC ∆中，090BAC ∠=，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，过点A 作//BC AF 交BE 的延长线于点F（1）求证：四边形ADCF 是菱形（2）若4,5AC AB ==，求菱形ADCF 的面积22．如图，ABC ∆是等腰直角三角形，AB AC =，D 是斜边BC 的中点，,E F 分别是,AB AC 边上的点，且DE DF ⊥，若12BE =，5CF =，求线段EF 的长．23．正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，点P 是正方形ABCD 对角线BD 上的一个动点（点P 不与点B ，O ，D 重合），连接CP 并延长，分别过点D ，B 向射线作垂线，垂足分别为点M ，N ．（1）补全图形，并求证：DM ＝CN ；（2）连接OM ，ON ，判断OMN 的形状并证明．24．已知正方形,ABCD 点F 是射线DC 上一动点(不与,C D 重合)．连接AF 并延长交直线BC 于点E ，交BD 于,H 连接CH ．在EF 上取一点,G 使ECG DAH ∠=∠．（1）若点F 在边CD 上，如图1，①求证：CH CG ⊥．②求证：GFC 是等腰三角形．（2）取DF 中点,M 连接MG ．若3MG =，正方形边长为4，则BE = ．25．已知在平行四边形ABCD 中，AB BC ≠，将ABC 沿直线AC 翻折，点B 落在点尽处，AD 与CE 相交于点O ，联结DE ．（1）如图1，求证：//AC DE ；（2）如图2，如果90B ∠=︒，3AB =，6=BC ，求OAC 的面积；（3）如果30B ∠=︒，23AB =，当AED 是直角三角形时，求BC 的长．26．如图1，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝3cm ，AD ＝5cm ，折叠纸片使B 点落在边AD 上的E 处，折痕为PQ ，过点E 作EF ∥AB 交PQ 于F ，连接BF ．（1）求证：四边形BFEP 为菱形；（2）当E 在AD 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随着移动．①当点Q 与点C 重合时，（如图2），求菱形BFEP 的边长；②如果限定P 、Q 分别在线段BA 、BC 上移动，直接写出菱形BFEP 面积的变化范围．27．如图1，在正方形ABCD （正方形四边相等，四个角均为直角）中，AB ＝8，P 为线段BC 上一点，连接AP ，过点B 作BQ ⊥AP ，交CD 于点Q ，将△BQC 沿BQ 所在的直线对折得到△BQC ′，延长QC ′交AD 于点N ．（1）求证：BP ＝CQ ；（2）若BP ＝13PC ，求AN 的长；（3）如图2，延长QN 交BA 的延长线于点M ，若BP ＝x （0＜x ＜8），△BMC '的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式．28．定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连结它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径。

八年级下第二次月考数学试卷(含答案)

八年级（下）第二次月考数学试卷一.选择（共10题，每题3分，共30分）1．如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（）A．扩大3倍B．缩小3倍C．缩小6倍D．不变2．已知反比例函数y=的图象经过点P（﹣1，2），则这个函数的图象位于（）A．第二，三象限B．第一，三象限C．第三，四象限D．第二，四象限3．如果代数式有意义，那么x的取值范围是（）A．x≥0 B．x≠1 C．x＞0 D．x≥0且x≠14．计算的结果是（）A．B．C．D．5．已知点A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）、C（3，y3）都在反比例函数y=的图象上，则（）A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y36．如图，过双曲线y=（k是常数，k＞0，x＞0）的图象上两点A，B分别作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，则△AOC的面积S1和△BOD的面积S2的大小关系为（）A．S1＞S2 B．S1=S2C．S1＜S2 D．S1与S2无法确定7．解分式方程+=3时，去分母后变形为（）A．2+（x+2）=3（x﹣1）B．2﹣x+2=3（x﹣1）C．2﹣（x+2）=3（1﹣x）D．2﹣（x+2）=3（x﹣1）8．若分式的值为0，则x的值为（）A．﹣1 B．0 C．2 D．﹣1或29．在反比例函数y=，图象分布在一三象限，则m的取值范围是（）A．m＜0 B．m＞0 C．m＜D．m＞10．函数y=kx+1与函数y=在同一坐标系中的大致图象是下图中的（）A．B．C．D．二.填空（共8题，每题3分，共24分）11．若关于x的方程=+1无解，则a的值是．12．反比例函数y=的图象经过点（2，﹣1），则k的值为．13．的最简公分母是．14．若=2﹣x，则x的取值范围是．15．如图，矩形ABOC的面积为，反比例函数y=的图象过点A，则k=．16．计算：=．17．化简：a≥0，b≥0时，=．18．若实数a、b满足|a+2|，则=．三.解答题（共9题，共66分）19．计算：×（﹣1）2++﹣（）﹣1．20．（a﹣）÷．21．先化简，再求值：1﹣÷，其中a=﹣1．22．解方程：﹣=1．23．已知，如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BE∥AC，CE∥DB．求证：四边形OBEC是菱形．24．到离学校15千米的风景区去秋游，骑车的同学提前40分钟出发，其余的同学乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是自行车的3倍，求自行车和汽车的速度．25．某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心，这样必须把1200m3的生活垃圾运走．（1）假如每天能运xm3，所需的时间为y天，写出y与x之间的函数关系式；（2）若每辆拖拉机一天能运12m3，则5辆这样的拖拉机要用多少天才能运完？26．y是x的反比例函数，且当x=4时，y=3．（1）写出y与x之间的函数表达式．（2）画出函数的图象，并根据图象说出当2≤x≤3时y的取值范围．27．（10分）（2015春•新沂市校级月考）如图，四边形ABCD为正方形，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（0，﹣3），反比例函数y1=的图象经过点C，一次函数y2=ax+b的图象经过点A、C．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）直接写出y2＞y1时x的取值范围；（3）若点P是反比例函数图象上的一点，△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，求点P的坐标．数学试卷参考答案与试题解析一.选择（共10题，每题3分，共30分）1．如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（）A．扩大3倍B．缩小3倍C．缩小6倍D．不变考点：分式的基本性质．分析：要解此题，可以将x，y用3x，3y代入、化简，跟原式对比．解答：解：将x，y用3x，3y代入中可得=，∴分式的值不变．故选D．点评：此题考查的是对分式的性质的理解和运用．2．已知反比例函数y=的图象经过点P（﹣1，2），则这个函数的图象位于（）A．第二，三象限B．第一，三象限C．第三，四象限D．第二，四象限考点：反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式．专题：待定系数法．分析：先把点代入函数解析式，求出k值，再根据反比例函数的性质求解即可．解答：解：由题意得，k=﹣1×2=﹣2＜0，∴函数的图象位于第二，四象限．故选：D．点评：本题考查了反比例函数的图象的性质：k＞0时，图象在第一、三象限，k＜0时，图象在第二、四象限．3．如果代数式有意义，那么x的取值范围是（）A．x≥0 B．x≠1 C．x＞0 D．x≥0且x≠1考点：分式有意义的条件；二次根式有意义的条件．专题：计算题．分析：代数式有意义的条件为：x﹣1≠0，x≥0．即可求得x的范围．解答：解：根据题意得：x≥0且x﹣1≠0．解得：x≥0且x≠1．故选：D．点评：式子必须同时满足分式有意义和二次根式有意义两个条件．分式有意义的条件为：分母≠0；二次根式有意义的条件为：被开方数≥0．此类题的易错点是忽视了二次根式有意义的条件，导致漏解情况．4．计算的结果是（）A．B．C．D．考点：分式的加减法．专题：计算题．分析：先通分，再根据同分母的分式相加减的法则进行计算即可．解答：解：原式=﹣==．故选B．点评：本题考查的是分式的加减法，异分母分式加减把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，再把分子相加减即可．5．已知点A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）、C（3，y3）都在反比例函数y=的图象上，则（）A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3考点：反比例函数图象上点的坐标特征．分析：根据反比例函数图象上点的坐标特点解答即可．解答：解：∵k＞0，函数图象在一，三象限，由题意可知，点A、B在第三象限，点C在第一象限，∵第三象限内点的纵坐标总小于第一象限内点的纵坐标，∴y3最大，∵在第三象限内，y随x的增大而减小，∴y2＜y1．故选：D．点评：在反比函数中，已知各点的横坐标，比较纵坐标的大小，首先应区分各点是否在同一象限内．在同一象限内，按同一象限内点的特点来比较，不在同一象限内，按坐标系内点的特点来比较．6．如图，过双曲线y=（k是常数，k＞0，x＞0）的图象上两点A，B分别作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，则△AOC的面积S1和△BOD的面积S2的大小关系为（）A．S1＞S2 B．S1=S2C．S1＜S2 D．S1与S2无法确定考点：反比例函数系数k的几何意义．专题：数形结合．分析：因为A，B都是双曲线y=（k是常数，k＞0，x＞0）的图象上的两点，根据过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 是个定值，即S=|k|，可知S1=S2．解答：解：依题意可知，△AOC的面积S1和△BOD的面积S2有S1=S2=|k|．故选B．点评：主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|．7．解分式方程+=3时，去分母后变形为（）A．2+（x+2）=3（x﹣1）B．2﹣x+2=3（x﹣1）C．2﹣（x+2）=3（1﹣x）D．2﹣（x+2）=3（x﹣1）考点：解分式方程．分析：本题考查对一个分式确定最简公分母，去分母得能力．观察式子x﹣1和1﹣x互为相反数，可得1﹣x=﹣（x﹣1），所以可得最简公分母为x﹣1，因为去分母时式子不能漏乘，所以方程中式子每一项都要乘最简公分母．解答：解：方程两边都乘以x﹣1，得：2﹣（x+2）=3（x﹣1）．故选D．点评：考查了解分式方程，对一个分式方程而言，确定最简公分母后要注意不要漏乘，这正是本题考查点所在．切忌避免出现去分母后：2﹣（x+2）=3形式的出现．8．若分式的值为0，则x的值为（）A．﹣1 B．0 C．2 D．﹣1或2考点：分式的值为零的条件．分析：根据分式值为零的条件可得x﹣2=0，再解方程即可．解答：解：由题意得：x﹣2=0，且x+1≠0，解得：x=2，故选：C．点评：此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．9．在反比例函数y=，图象分布在一三象限，则m的取值范围是（）A．m＜0 B．m＞0 C．m＜D．m＞考点：反比例函数的性质．分析：根据反比例函数图象所在象限可得1﹣2m＞0，再解即可．解答：解：∵反比例函数y=，图象分布在一三象限，∴1﹣2m＞0，解得：m，故选：C．点评：此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．10．函数y=kx+1与函数y=在同一坐标系中的大致图象是下图中的（）A．B．C．D．考点：反比例函数的图象；一次函数的图象．分析：先根据一次函数的性质判断出k取值，再根据反比例函数的性质判断出k的取值，二者一致的即为正确答案．解答：解：A、由函数y=kx+1的图象可知k＜0，由函数y=的图象可知k＞0，相矛盾，故错误；B、由函数y=kx+1的图象可知k＜0，由函数y=的图象可知k＞0，正确；C、由函数y=kx+1的图象可知k＜0，由函数y=的图象可知k＜0，相矛盾，故错误；D、由函数y=kx+1的图象可知k＞0，由函数y=的图象可知k＜0，相矛盾，故错误．故选B．点评：本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．二.填空（共8题，每题3分，共24分）11．若关于x的方程=+1无解，则a的值是2或1．考点：分式方程的解．专题：压轴题．分析：把方程去分母得到一个整式方程，把方程的增根x=2代入即可求得a的值．解答：解：x﹣2=0，解得：x=2．方程去分母，得：ax=4+x﹣2，即（a﹣1）x=2当a﹣1≠0时，把x=2代入方程得：2a=4+2﹣2，解得：a=2．当a﹣1=0，即a=1时，原方程无解．故答案是：2或1．点评：首先根据题意写出a的新方程，然后解出a的值．12．反比例函数y=的图象经过点（2，﹣1），则k的值为﹣2．考点：待定系数法求反比例函数解析式．分析：将此点坐标代入函数解析式y=（k≠0）即可求得k的值．解答：解：将点（2，﹣1）代入解析式，可得k=2×（﹣1）=﹣2．故答案为：﹣2．点评：本题比较简单，考查的是用待定系数法求反比例函数的比例系数，是中学阶段的重点内容．13．的最简公分母是12x3yz．考点：最简公分母．分析：利用取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母求解即可．解答：解：的最简公分母是12x3yz．故答案为：12x3yz．点评：本题主要考查了最简公分母，解题的关键是熟记最简公分母的定义．14．若=2﹣x，则x的取值范围是x≤2．考点：二次根式的性质与化简．分析：根据已知得出x﹣2≤0，求出不等式的解集即可．解答：解：∵=2﹣x，∴x﹣2≤0，x≤2则x的取值范围是x≤2故答案为：x≤2．点评：本题考查了二次根式的性质的应用，注意：当a≤0时，=﹣a．15．如图，矩形ABOC的面积为，反比例函数y=的图象过点A，则k=﹣．考点：反比例函数系数k的几何意义．分析：根据反比例函数中比例系数k的几何意义，得出等量关系|k|=，求出k的值．解答：解：依题意，有|k|=，∴k=±，又∵图象位于第二象限，∴k＜0，∴k=﹣．故答案为：﹣．点评：反比例函数y=中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．16．计算：=3．考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：首先根据乘法分配律打开括号，然后合并同类根式即可求解．解答：解：，=﹣+3，=3．点评：此题主要考查了二次根式的混合运算，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．17．化简：a≥0，b≥0时，=2ab．考点：二次根式的性质与化简．分析：利用二次根式的性质分别化简得出即可．解答：解：∵a≥0，b≥0，∴=2ab．故答案为：2ab．点评：此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．18．若实数a、b满足|a+2|，则=1．考点：非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值．分析：根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可．解答：解：根据题意得：，解得：，则原式==1．故答案是：1．点评：本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．三.解答题（共9题，共66分）19．计算：×（﹣1）2++﹣（）﹣1．考点：二次根式的混合运算；负整数指数幂．专题：计算题．分析：根据完全平方公式和负整数指数幂的意义得到原式=×（3﹣2+1）++2﹣，然后合并即可．解答：解：原式=×（3﹣2+1）++2﹣=2﹣++2﹣=2+﹣．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了负整数指数幂．20．（a﹣）÷．考点：分式的乘除法．专题：计算题．分析：做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分，有括号的先算括号里面的．解答：解：原式=×=．点评：分式的乘除混合运算一般是统一为乘法运算，如果有括号，先算括号里面的，分子或分母是多项式时，通过分解因式，把分子分母中能够分解因式的部分，分解成乘积的形式，然后找到其中的公因式约去．21．先化简，再求值：1﹣÷，其中a=﹣1．考点：分式的化简求值．分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可．解答：解：原式=1﹣×=1﹣==．当a=﹣1时，原式==1．点评：本题考查的是分式的化简求值，在解答此类题目时要注意通分及约分的灵活应用．22．解方程：﹣=1．考点：解分式方程．专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：x（x+2）﹣2=x2﹣4，去括号得：x2+2x﹣2=x2﹣4，解得：x=﹣1，经检验x=﹣1是分式方程的解．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．23．已知，如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BE∥AC，CE∥DB．求证：四边形OBEC是菱形．考点：菱形的判定．专题：证明题．分析：先由已知条件证明四边形OBEC是平行四边形，再由矩形的性质得出OB=OC，由菱形的判定方法即可得出结论．解答：证明：∵BE∥AC，CE∥DB，∴四边形OBEC是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴OC=AC，OB=BD，AC=BD，∴OB=OC，∴四边形OBEC是菱形．点评：本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．24．到离学校15千米的风景区去秋游，骑车的同学提前40分钟出发，其余的同学乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是自行车的3倍，求自行车和汽车的速度．考点：分式方程的应用．分析：设骑自行车的速度是x千米/小时，根据一部分学生骑自行车先走，走了40分钟后，其余同学乘汽车出发，结果两者同时到达可列方程求解．解答：解：设自行车的速度为x千米/时，则﹣=解得x=15．经检验，x=15是原方程的根，3x=45．答：自行车的速度是15千米/时，汽车的速度是45千米/时．点评：本题考查了分式方程的应用，关键是知道他们同时到达，所以以时间做为等量关系可列方程求解．25．某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心，这样必须把1200m3的生活垃圾运走．（1）假如每天能运xm3，所需的时间为y天，写出y与x之间的函数关系式；（2）若每辆拖拉机一天能运12m3，则5辆这样的拖拉机要用多少天才能运完？考点：反比例函数的应用．分析：（1）根据每天能运xm3，所需时间为y天的积就是1200m3，即可写出函数关系式；（2）把x=5×12=60代入，即可求得天数；解答：解：（1）∵xy=1200，∴y=；（2）x=12×5=60，代入函数解析式得；y==20（天）；点评：本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义求解．26．y是x的反比例函数，且当x=4时，y=3．（1）写出y与x之间的函数表达式．（2）画出函数的图象，并根据图象说出当2≤x≤3时y的取值范围．考点：反比例函数的图象；待定系数法求反比例函数解析式．分析：（1）根据题意，设y=（k≠0），然后将x=3，y=4代入该函数式求得k的值；（2）利用描点法作出图象，根据图象回答问题．解答：解：（1）∵y是x的反比例函数，∴设y=（k≠0），又∵当x=3时，y=4，∴k=xy=3×4=12，∴该函数解析式为：y=；（2）函数y=的图象如图所示：当2≤x≤3时，4≤y≤6．点评：本题考查反比例函数的图象的作法与图象的运用，较为简单，容易掌握．27．（10分）（2015春•新沂市校级月考）如图，四边形ABCD为正方形，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（0，﹣3），反比例函数y1=的图象经过点C，一次函数y2=ax+b的图象经过点A、C．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）直接写出y2＞y1时x的取值范围；（3）若点P是反比例函数图象上的一点，△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，求点P的坐标．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．分析：（1）先根据正方形的性质求出点C的坐标为（5，﹣3），再将C点坐标代入反比例函数y1=中，运用待定系数法求出反比例函数的解析式；同理，将点A，C的坐标代入y=ax+b 中，运用待定系数法求出一次函数函数的解析式；（2）求得反比例函数和一次函数的交点坐标，根据图象即可求得；（3）设P点的坐标为（x，y），先由△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，列出关于x的方程，解方程求出x的值，再将x的值代入y=﹣，即可求出P点的坐标．解答：解：（1）∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（0，﹣3），∴AB=5，∵四边形ABCD为正方形，∴点C的坐标为（5，﹣3）∵反比例函数y1=的图象经过点C，∴﹣3=，解得k=﹣15，∴反比例函数的解析式为y1=﹣；∵一次函数y2=ax+b的图象经过点A，C，∴，解得，∴一次函数的解析式为y2=﹣x+2；（2）解得或，∴交点坐标为（5，﹣3），（﹣3，5），由图象知：当x＜﹣3或0＜x＜5时，y2＞y1；（3）设P点的坐标为（x，y），∵△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，∴×OA•|x|=52，∴×2|x|=25，解得x=±25．当x=25时，y=﹣=﹣，当x=﹣25时．y==，∴P点的坐标为（25，﹣）或（﹣25，）．点评：本题考查了正方形的性质，反比例函数与一次函数的交点问题，运用待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，三角形的面积，难度适中．运用方程思想是解题的关键．。

人教版八年级第二学期第二次月考数学试题及答案

一、选择题 1．已知PA 2PB 4==，，以AB 为一边作正方形ABCD ，使P 、D 两点落在直线AB 的两侧．当∠APB=45°时，PD 的长是( )；A ．25B ．26C ．32D ．52．如图，正方形ABCD 的边长为定值，E 是边CD 上的动点（不与点C ，D 重合），AE 交对角线BD 于点F ， FG AE ⊥交BC 于点G ，GH BD ⊥于点H ，连结AG 交BD 于点N ．现给出下列命题：① AF FG =；②DF DE =；③FH 的长度为定值；④GE BG DE =+；⑤222BN DF NF +=．真命题有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3．已知在直角梯形ABCD 中， AD ∥BC ，∠BCD ＝90°, BC ＝CD ＝2AD , E 、F 分别是BC 、CD 边的中点，连结BF 、DE 交于点P ，连结CP 并延长交AB 于点Q ，连结AF ，则下列结论不正确的是（）A ．CP 平分∠BCDB ．四边形 ABED 为平行四边形C ．CQ 将直角梯形 ABCD 分为面积相等的两部分D ．△ABF 为等腰三角形 4．如图，ABCD 中，对角线,AC BD 交于点O ，2BD AD =，, ,EFG 分别是,OC OD ，AB 的中点．下列结论正确的是（）①EG EF =；②EFG GBE ≌△△；③FB 平分EFG ；④EA 平分GEF ∠；⑤四边形BEFG 是菱形．A ．③⑤B ．①②④C ．①②③④D ．①②③④⑤ 5．如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 是对角线AC 上的两点且AE CF =，下列说法中正确的是（） ①BE DF =；②//BE DF ；③AB DE =；④四边形EBFD 为平行四边形；⑤ADE ABE S S ∆∆=；⑥AF CE =．A ．①⑥B ．①②④⑥C ．①②③④D ．①②④⑤⑥6．如图，在矩形ABCD 中，把矩形ABCD 绕点C 旋转，得到矩形FECG ，且点E 落在AD 上，连接BE ，BG ，BG 交CE 于点H ，连接FH ，若FH 平分EFG ，则下列结论：①AE CH EH +=；②2DEC ABE ∠=∠；③BH HG =；④2CH AB =，其中正确的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．如图，平行四边形ABCD 中，AE 平分BAD ∠，交BC 于点E ，且AB AE =，延长AB 与DE 的延长线交于点F ，连接AC ，CF ．下列结论：①ABC EAD ∆∆≌；②ABE ∆是等边三角形；③AD BF =；④BEF ACD S S ∆∆=；⑤CEF ABE S S ∆∆=中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．在ABCF 中，2BC AB =，CD AB ⊥于点D ，点E 为AF 的中点，若50ADE ∠=︒，则B 的度数是（）A ．50︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒9．如图，90MON ∠=︒，矩形ABCD 在MON ∠的内部，顶点A ，B 分别在射线OM ，ON 上，4AB =，2BC =，则点D 到点O 的最大距离是（）A ．222-B ．222+C ．252-D ．22+10．如图，矩形ABCD 中，O 为AC 中点，过点O 的直线分别与AB ，CD 交于点E ，F ，连接BF 交AC 于点M ，连接DE ，BO ．若60COB ∠=，FO FC =，则下列结论：①FB OC ⊥，OM CM =；②EOB CMB ≅；③四边形EBFD 是菱形；④:3:2MB OE =．其中正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题11．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 是BC 的中点，点E 、F 分别是直线AB 、AC 上的动点，∠EDF ＝90°，M 、N 分别是EF 、AC 的中点，连结AM 、MN ，若AC =6，AB =5，则AM -MN 的最大值为________．12．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD 中，3AB =，2AC =，则BD 的长为_______________．13．如图，菱形ABCD 的BC 边在x 轴上，顶点C 坐标为(3,0)-，顶点D 坐标为(0,4)，点E 在y 轴上，线段//EF x 轴，且点F 坐标为(8,6)，若菱形ABCD 沿x 轴左右运动，连接AE 、DF ，则运动过程中，四边形ADFE 周长的最小值是_______．14．如图，以Rt ABC 的斜边AB 为一边，在AB 的右侧作正方形ABED ，正方形对角线交于点O ，连接CO ，如果AC=4，CO=62，那么BC=______．15．如图，ABC ∆是边长为1的等边三角形，取BC 边中点E ，作//ED AB ，//EF AC ，得到四边形EDAF ，它的周长记作1C ；取BE 中点1E ，作11//E D FB ，11//E F EF ，得到四边形111E D FF ，它的周长记作2C ．照此规律作下去，则2020C =______．16．如图,长方形纸片ABCD 中,AB ＝6 cm,BC ＝8 cm 点E 是BC 边上一点，连接AE 并将△AEB 沿AE 折叠, 得到△AEB′，以C ，E ，B′为顶点的三角形是直角三角形时,BE 的长为___________cm.17．如图，已知在△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，点M 是AC 边上任意一点，连接MB ，以MB 、MC 为邻边作平行四边形MCNB ，连接MN ，则MN 的最小值是______18．在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上运动，点M 为线段AB 的中点．点D 、E 分别在x 轴、y 轴的负半轴上运动，且DE ＝AB ＝10．以DE 为边在第三象限内作正方形DGFE ，则线段MG 长度的最大值为_____．19．已知：如图，在ABC 中，AD BC ⊥，垂足为点D ，BE AC ⊥，垂足为点E ，M 为AB 边的中点，连结ME 、MD 、ED ，设4AB =，30DAC ∠=︒则EM =______；EDM 的面积为______，20．如图，长方形ABCD 中，26AD =，12AB =，点Q 是BC 的中点，点P 在AD 边上运动，当BPQ 是以QP 为腰的等腰三角形时，AP 的长为______，三、解答题21．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB AD =，对角线AC ，BD 交于点O ，AC 平分BAD ∠，过点C 作CE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，连接OE ．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若5AE =，3OE =，求线段CE 的长．22．已知，在△ABC 中，∠BAC =90°，∠ABC =45°，D 为直线BC 上一动点（不与点B ，C 重合），以AD 为边作正方形ADEF ，连接CF ．（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，BC 与CF 的位置关系是，BC 、CF 、CD 三条线段之间的数量关系为；（2）如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，其他条件不变，请猜想BC 与CF 的位置关系BC ，CD ，CF 三条线段之间的数量关系并证明；（3）如图3，当点D 在线段BC 的反向延长线上时，点A ，F 分别在直线BC 的两侧，其他条件不变．若正方形ADEF 的对角线AE ，DF 相交于点O ，OC =132，DB =5，则△ABC 的面积为．（直接写出答案）23．如图1，在正方形ABCD 和正方形BEFG 中，点,,A B E 在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连接,PG PC ．（1）求证：,PG PC PG PC ⊥=．简析：由Р是线段DF 的中点，//DC CF ，不妨延长GP 交DC 于点M ，从而构造出一对全等的三角形，即_______≅________．由全等三角形的性质，易证CMG 是_______三角形，进而得出结论；（2）如图2，将原问题中的正方形ABCD 和正方形BEFG 换成菱形ABCD 和菱形BEFG ，且60ABC BEF ∠=∠=︒，探究PG 与PC 的位置关系及PG PC的值，写出你的猜想并加以证明；（3）当6,2AB BE ==时，菱形ABCD 和菱形BEFG 的顶点都按逆时针排列，且60ABC BEF ∠=∠=︒．若点A B E 、、在一条直线上，如图2，则CP =________；若点A B G 、、在一条直线上，如图3，则CP =________．24．如图，在正方形ABCD 中，E 是边AB 上的一动点（不与点A 、B 重合），连接DE ，点A 关于直线DE 的对称点为F ，连接EF 并延长交BC 于点G ，连接DG ，过点E 作EH DE ⊥交DG 的延长线于点H ，连接BH ．（1）求证：GF GC =；（2）用等式表示线段BH 与AE 的数量关系，并证明．25．已知在ABC 和ADE 中， 180ACB AED ∠+∠=︒，CA CB =，EA ED =，3AB =．（1）如图1，若90ACB ∠=︒，B 、A 、D 三点共线，连接CE ： ①若522CE =，求BD 长度； ②如图2，若点F 是BD 中点，连接CF ，EF ，求证：2CE EF =；（2）如图3，若点D 在线段BC 上，且2CAB EAD ∠=∠，试直接写出AED 面积的最小值．26．（解决问题）如图1，在ABC ∆中，10AB AC ==，CG AB ⊥于点G ．点P 是BC 边上任意一点，过点P 作PE AB ⊥，PF AC ⊥，垂足分别为点E ，点F ．（1）若3PE =，5PF =，则ABP ∆的面积是______，CG =______．（2）猜想线段PE ，PF ，CG 的数量关系，并说明理由．（3）（变式探究）如图2，在ABC ∆中，若10AB AC BC ===，点P 是ABC ∆内任意一点，且PE BC ⊥，PF AC ⊥，PG AB ⊥，垂足分别为点E ，点F ，点G ，求PE PF PG ++的值．（4）（拓展延伸）如图3，将长方形ABCD 沿EF 折叠，使点D 落在点B 上，点C 落在点C '处，点P 为折痕EF 上的任意一点，过点P 作PG BE ⊥，PH BC ⊥，垂足分别为点G ，点H ．若8AD =，3CF =，直接写出PG PH +的值．27．如图,已知平面直角坐标系中,1,0A 、()0,2C ,现将线段CA 绕A 点顺时针旋转90︒得到点B ,连接AB .(1)求出直线BC 的解析式；(2)若动点M 从点C 出发,沿线段CB 以每分钟10个单位的速度运动,过M 作//MN AB 交y 轴于N ,连接AN .设运动时间为t 分钟,当四边形ABMN 为平行四边形时,求t 的值.(3)P 为直线BC 上一点,在坐标平面内是否存在一点Q ,使得以O 、B 、P 、Q 为顶点的四边形为菱形,若存在,求出此时Q 的坐标；若不存在,请说明理由.28．如图，四边形ABCD 为矩形，C 点在x 轴上，A 点在y 轴上，D(0，0)，B(3，4)，矩形ABCD 沿直线EF 折叠，点B 落在AD 边上的G 处，E 、F 分别在BC 、AB 边上且F(1，4)．(1)求G 点坐标(2)求直线EF 解析式(3)点N 在坐标轴上，直线EF 上是否存在点M ，使以M 、N 、F 、G 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出M 点坐标；若不存在，请说明理由29．如图1，在正方形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，HA=EB=FC=GD ，连接EG ，FH ，交点为O ．（1）如图2，连接EF，FG，GH，HE，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论；（2）将正方形ABCD沿线段EG，HF剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形．若正方形ABCD的边长为3cm，HA=EB=FC=GD=1cm，则图3中阴影部分的面积为 cm2．30．已知：正方形ABCD和等腰直角三角形AEF，AE=AF（AE＜AD），连接DE、BF，P是DE的中点，连接AP．将△AEF绕点A逆时针旋转．（1）如图①，当△AEF的顶点E、F恰好分别落在边AB、AD时，则线段AP与线段BF的位置关系为，数量关系为．（2）当△AEF绕点A逆时针旋转到如图②所示位置时，证明：第（1）问中的结论仍然成立．（3）若AB=3,AE=1，则线段AP的取值范围为．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【解析】【分析】过P作PB的垂线，过A作PA的垂线，两条垂线相于与E，连接BE，由∠APB=45°可得∠EPA=45°，可得△PAE是等腰直角三角形，即可求出PE的长，根据角的和差关系可得∠EAB=∠PAD，利用SAS可证明△PAD≌△EAB，可得BE=PD，利用勾股定理求出BE的长即可得PD的长.【详解】过P作PB的垂线，过A作PA的垂线，两条垂线相交与E，连接BE，∵∠APB=45°，EP⊥PB，∴∠EPA=45°，∵EA⊥PA，∴△PAE是等腰直角三角形，∴PA=AE，PE=2PA=2，∵四边形ABCD是正方形，∴∠EAP=∠DAB=90°，∴∠EAP+∠EAD=∠DAB+∠EAD，即∠PAD=∠EAB，又∵AD=AB，PA=AE，∴△PAD≌△EAB，∴PD=BE=22+=25，24+=22PE PB故选A.【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握相关性质并正确作出辅助线是解题关键.2．C解析：C【分析】根据题意，连接CF，由正方形的性质，可以得到△ABF≌△CBF，则AF=CF，∠BAF=∠BCF，由∠BAF=∠FGC=∠BCF，得到AF=CF=FG，故①正确；连接AC，与BD相交于点O，由正方形性质和等腰直角三角形性质，证明△AOF≌△FHG，即可得到EH=AO，则③正确；把△ADE顺时针旋转90°，得到△ABM，则证明△MAG≌△EAG，得到MG=EG，即可得到EG=DE+BG，故④正确；②无法证明成立，即可得到答案.【详解】解：连接CF，在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABF=∠CBF=45°，在△ABF 和△CBF 中，45AB BC ABF CBF BF BF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ABF ≌△CBF （SAS ），∴AF=CF ，∠BAF=∠BCF ，∵FG ⊥AE ，∴在四边形ABGF 中，∠BAF+∠BGF=360°-90°-90°=180°，又∵∠BGF+∠CGF=180°，∴∠BAF=∠CGF ，∴∠CGF=∠BCF∴CF=FG ，∴AF=FG ；①正确；连接AC 交BD 于O ．∵四边形ABCD 是正方形，HG ⊥BD ，∴∠AOF=∠FHG=90°，∵∠OAF+∠AFO=90°，∠GFH+∠AFO=90°，∴∠OAF=∠GFH ，∵FA=FG ，∴△AOF ≌△FHG ，∴FH=OA=定值，③正确；如图，把△ADE 顺时针旋转90°，得到△ABM ，∴AM=AE ，BM=DE ，∠BAM=∠DAE ，∵AF=FG ，AF ⊥FG ，∴△AFG 是等腰直角三角形，∴∠FAG=45°，∴∠MAG=∠BAG+∠DAE=45°，∴∠MAG=∠FAG ，在△AMG 和△AEG 中，45AM AE EAG MAG AG AG =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△AMG ≌△AEG ，∴MG=EG ，∵MG=MB+BG=DE+BG ，∴GE= DE+BG ，故④正确；如图，△ADE 顺时针旋转90°，得到△ABM ，记F 的对应点为P ，连接BP 、PN ，则有BP=DF ，∠ABP=∠ADB=45°，∵∠ABD=45°，∴∠PBN=90°，∴BP 2+BN 2=PN 2，由上可知△AFG 是等腰直角三角形，∠FAG=45°，∴∠MAG=∠BAG+∠DAE=45°，∴∠MAG=∠FAG ，在△ANP 和△ANF 中，45AP AF EAG MAG AN AN =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ANP ≌△ANF ，∴PN=NF ，∴BP 2+BN 2=NF 2，即DF 2+BN 2=NF 2，故⑤正确；根据题意，无法证明②正确，∴真命题有四个，故选C.【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线构造出等腰三角形和全等三角形．3．C解析：C【解析】【分析】A.根据边角边”证明△BCF≌△DCE，然后利用“角边角”证明△BEP≌△DFP，再利用“边角边”证明△BCP≌△DCP全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BCP=∠DCP；B.根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ABED为平行四边形；C.连接QD，利用“边角边”证明△BCQ和△DCQ全等，根据全等三角形的面积相等判断出S△BCQ=S△DCQ，判断出CQ将直角梯形ABCD分成的两部分面积不相等．D.根据平行四边形的对边相等可得AB=DE，再求出AB=BF，从而得到△ABF为等腰三角形；【详解】解：∵BC=CD，E、F分别是BC、CD边的中点，∴BE=CE=CF=DF，在△BCF和△DCE中，，∴△BCF≌△DCE（SAS），∴DE=BF，∠CBF=∠CDE，∠BFC=∠DEC，∴180°-∠BFC=180°-∠DEC，即∠BEP=∠DFP，在△BEP和△DFP中，，∴△BEP≌△DFP（ASA），∴BP=DP，在△BCP和△DCP中，，∴△BCP≌△DCP（SAS），∴∠BCP=∠DCP，∴CP 平分∠BCD ，故A 选项结论正确；∵BC =2AD ，E 是BC 的中点，∴BE =AD ，又∵AD ∥BC ，∴四边形ABED 为平行四边形，故B 选项结论正确；∴AB =DE ，又∵DE =BF （已证），∴AE =BF ，∴△ABF 为等腰三角形，故D 选项结论正确；连接QD ，在△BCQ 和△DCQ 中，，∴△BCQ ≌△DCQ （SAS ），∴S △BCQ =S △DCQ ，∴CQ 将直角梯形ABCD 分成的两部分面积不相等，故C 选项结论不正确．故选：C ．【点睛】本题考查了直角梯形，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟记各图形的判定方法和性质并准确识图是解题的关键，难点在于多次证明三角形全等．4．B解析：B【分析】由中点的性质可得出//EF CD ，且12EF CD BG ，结合平行即可证得②结论成立，由2BD BC =得出BO BC =，即而得出BE AC ⊥，由中线的性质可知//GP BE ，且12GP BE ，AO EO =，通过证APG EPG 得出AG EG EF 得出①成立，再证GPE FPE 得出④成立，此题得解．【详解】解：令GF 和AC 的交点为点P ，如图E 、F 分别是OC 、OD 的中点，//EF CD ∴，且12EF CD =，四边形ABCD 为平行四边形，//AB CD ∴，且AB CD =，//AB EF ∴FEG BGE （两直线平行，内错角相等），点G 为AB 的中点， 1122BG AB CD FE ，在EFG ∆和GBE ∆中，BG FE FEG BGE GE EG ，()EFGGBE SAS ，即②成立， EGF GEB ，FE BG ，//GF BE （内错角相等，两直线平行），2BD BC =，点O 为平行四边形对角线交点，12BO BD BC ，E 为OC 中点， BE OC ∴⊥， GP AC ，90APG EPG//GP BE ，G 为AB 中点， P ∴为AE 中点，即AP PE =，且12GPBE ，在APG ∆和EGP ∆中，AP EP APG EPG GP GP ， ()APGEPG SAS ， 12AG EG AB ， EG EF ∴=，即①成立，//EF BG ，//GF BE ，∴四边形BGFE 为平行四边形，GF BE ∴=， 1122GP BE GF ， GP FP ， GF AC ， 90GPE FPE在GPE 和FPE ∆中，GP FP GPE FPE EP EP ，()GPE FPE SAS ， GEP FEP ，EA ∴平分GEF ∠，即④成立，综上所述，正确的有①②④，故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、中位线定理以及平行线的性质定理，解题的关键是利用中位线，寻找等量关系，借助于证明全等三角形找到边角相等．5．D解析：D【分析】先根据全等三角形进行证明，即可判断①和②，然后作辅助线，推出OD=OF ，得出四边形BEDF 是平行四边形，求出BM=DM 即可判断④和⑤，最后根据AE=CF ，即可判断⑥.【详解】①∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB ∥DC，AB=DC,∴∠BAC=∠ADC,在△ABE 和△DFC 中BAC ADC AB A F C E D C ∠=∠=⎧=⎪⎨⎪⎩∴△ABE≌△DFC（SAS ）,∴BE=DF,故①正确.②∵△ABE≌△DFC,∴∠AEB=∠DFC,∴∠BEF=∠DFE,∴BE∥DF,故②正确.③根据已知的条件不能推AB=DE ，故③错误.④连接BD 交AC 于O ，过D 作DM⊥AC 于M ，过B 作BN⊥AC 于N,∵四边形ABCD 是平行四边形,∴DO=BO，OA=OC,∵AE=CF,∴OE=OF,∴四边形BEDF 是平行四边形,故④正确.⑤∵BN⊥AC，DM⊥AC,∴∠BNO=∠DMO=90°,在△BNO 和△DMO 中∠BNO=∠DMO ∠BON=∠DOM OB=OD ⎧⎪⎨⎪⎩△ADE △ABE ∴△BNO ≌△DMO （AAS ）∴BN=DM11∵S =AE DM ，S =AE BN 22⨯⨯⨯⨯∴△ADE △ABE S =S ,故⑤正确.⑥∵AE=CF,∴AE+EF=CF+EF,∴AF=CE,故⑥正确.故答案是D.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和平行四边形的判定以及性质，熟练掌握相关的性质是解题的关键.6．C解析：C【分析】如图，作BM ⊥EC 于M ．证明△BEA ≌△BEM （AAS ），△BMH ≌△GCH （AAS ），利用全等三角形的性质即可一一判断．【详解】解：如图，作BM⊥EC于M．∵CB=CE，∴∠CBE=∠CEB，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠CBE，∴∠AEB=∠MEB，∵∠A=∠BME=90°，BE=BE，∴△BEA≌△BEM（AAS），∴AE=EM，AB=BM．∵∠BMH=∠GCH=90°，∠BHM=∠GHC，BM=AB=CG，∴△BMH≌△GCH（AAS），∴MH=CH，BH=HG，∴EH=EM+MH=AE+CH，故①③正确，∵∠AEB+∠ABE=90°，∴2∠AEB+2∠ABE=180°，∵∠DEC+∠AEC=180°，∠AEC=2∠AEB，∴∠DEC+2∠AEB=180°，∴∠DEC=2∠ABE，故②正确，∵FH平分∠EFG，∴∠EFH=45°，∵∠FEH=90°，∴AB=EF=EH，∵EH＞HM=CH，∴CH＜AB，故④错误．故选：C．【点睛】本题考查性质的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．7．C解析：C【分析】由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，由AE平分∠BAD，可得∠BAE=∠DAE，可得∠BAE=∠BEA ，得AB=BE ，由AB=AE ，得到△ABE 是等边三角形，②正确；则∠ABE=∠EAD=60°，由SAS 证明△ABC ≌△EAD ，①正确；由△FCD 与△ABD 等底（AB=CD ）等高（AB 与CD 间的距离相等），得出S △FCD =S △ABD ，由△AEC 与△DEC 同底等高，所以S △AEC =S △DEC ，得出S △ABE =S △CEF ，⑤正确．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD=BC ，∴∠EAD=∠AEB ，又∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE=∠DAE ，∴∠BAE=∠BEA ，∴AB=BE ，∵AB=AE ，∴△ABE 是等边三角形；②正确；∴∠ABE=∠EAD=60°，∵AB=AE ，BC=AD ，在△ABC 和△EAD 中，AB AE ABE EAD BC AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△EAD （SAS ）；①正确；∵△FCD 与△ABC 等底（AB=CD ）等高（AB 与CD 间的距离相等），∴S △FCD =S △ABC ，又∵△AEC 与△DEC 同底等高，∴S △AEC =S △DEC ，∴S △ABE =S △CEF ；⑤正确；若AD 与AF 相等，即∠AFD=∠ADF=∠DEC ，即EC=CD=BE ，即BC=2CD ，题中未限定这一条件，∴③④不一定正确；故选C ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质．此题比较复杂，注意将每个问题仔细分析．8．D【分析】连结CE ，并延长CE ，交BA 的延长线于点N ，根据已知条件和平行四边形的性质可证明△NAE ≌△CFE ，所以NE ＝CE ，NA ＝CF ，再由已知条件CD ⊥AB 于D ，∠ADE ＝50°，即可求出∠B 的度数．【详解】解：连结CE ，并延长CE ，交BA 的延长线于点N ，∵四边形ABCF 是平行四边形，∴AB ∥CF ，AB ＝CF ，∴∠NAE ＝∠F ，∵点E 是的AF 中点，∴AE ＝FE ，在△NAE 和△CFE 中，NAE F AE FEAEN FEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△NAE ≌△CFE （ASA ），∴NE ＝CE ，NA ＝CF ，∵AB ＝CF ，∴NA ＝AB ，即BN ＝2AB ，∵BC ＝2AB ，∴BC ＝BN ，∠N ＝∠NCB ，∵CD ⊥AB 于D ，即∠NDC ＝90°且NE ＝CE ，∴DE ＝12NC ＝NE ， ∴∠N ＝∠NDE ＝50°＝∠NCB ，∴∠B ＝80°．故选：D ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，综合性较强，难度较大，解答本题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形，在利用等腰三角形的性质解答．解析：B【分析】取DC 的中点E ，连接OE 、DE 、OD ，根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当O 、E 、D 三点共线时，点D 到点O 的距离最大，再根据勾股定理求出DE 的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE 的长，两者相加即可得解．【详解】取AB 中点E ，连接OE 、DE 、OD ，90MON ∠=︒， 122OE AB ∴==．在Rt DAE ∆中，利用勾股定理可得22DE =．在ODE ∆中，根据三角形三边关系可知DE OE OD +>，∴当O 、E 、D 三点共线时，OD 最大为222OE DE +=+．故选B ．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到性质，三角形的三边关系，矩形的性质，勾股定理，根据三角形的三边关系判断出点O 、E 、D 三点共线时，点D 到点O 的距离最大是解题的关键．10．C解析：C【分析】①证明△OBC 是等边三角形，即可得OB=BC ，由FO=FC ，即可得FB 垂直平分OC ，①正确；②由FB 垂直平分OC ，根据轴对称的性质可得△FCB ≌△FOB ，根据全等三角形的性质可得∠BCF=∠BOF=90°，再证明△FOC ≌△EOA ，所以FO=EO ，即可得OB 垂直平分EF ，所以△OBF ≌△OBE ，即△EOB ≌△FCB ，②错误；③证明四边形DEBF 是平行四边形，再由OB 垂直平分EF ，根据线段垂直平分线的性质可得BE=BF ，即可得平行四边形DEBF 为菱形，③正确；④由OBF ≌△EOB ≌△FCB 得∠1=∠2=∠3=30°，在Rt △OBE 中，可得OE =33OB ，在Rt △OBM 中，可得BM=32OB ，即可得BM ：OE =3：2，④正确. 【详解】①∵矩形ABCD 中，O 为AC 中点，∴OB=OC ，∵∠COB=60°，∴△OBC是等边三角形，∴OB=BC，∵FO=FC，∴FB垂直平分OC，∴FB⊥OC，OM=CM；①正确；②∵FB垂直平分OC，根据轴对称的性质可得△FCB≌△FOB，∴∠BCF=∠BOF=90°，即OB⊥EF，∵OA=OC，∠FOC=∠EOA，∠DCO=∠BAO，∴△FOC≌△EOA，∴FO=EO，∴OB垂直平分EF，∴△OBF≌△OBE，∴△EOB≌△FCB，②错误；③∵△FOC≌△EOA，∴FC=AE，∵矩形ABCD，∴CD=AB，CD∥AB，∴DF∥EB，DF=EB，∴四边形DEBF是平行四边形，∵OB垂直平分EF，∴BE=BF，∴平行四边形DEBF为菱形；③正确；④由OBF≌△EOB≌△FCB得∠1=∠2=∠3=30°，在Rt△OBE中，3，在Rt△OBM中，3∴BM ：OE =3OB ：=3OB=3：2. ④正确；所以其中正确结论的个数为3个；故选C.【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质、菱形的判定及锐角三角函数，是一道综合性较强的题目，解决问题的关键是会综合运用所学的知识分析解决问题．二、填空题11．52【分析】连接DM ，直角三角形斜边中线等于斜边一半，得AM=DM ，利用两边之差小于第三边得到AM MN DN -≤，又根据三角形中位线的性质即可求解．【详解】连接DM ，如下图所示，∵90BAC EDF ∠=∠=︒又∵M 为EF 中点∴AM=DM=12EF ∴AM MN DM MN DN -=-≤（当D 、M 、N 共线时，等号成立）∵D 、N 分别为BC 、AC 的中点，即DN 是△ABC 的中位线∴DN=12AB=52∴AM MN -的最大值为52 故答案为52．【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，三角形的三边关系，关键是确定AM MN -的取值范围．12．42【分析】首先由对边分别平行可判断四边形ABCD 为平行四边形，连接AC 和BD ，过A 点分别作DC 和BC 的垂线，垂足分别为F 和E ，通过证明△ADF ≌△ABC 来证明四边形ABCD 为菱形，从而得到AC 与BD 相互垂直平分，再利用勾股定理求得BD 长度.【详解】解：连接AC 和BD ，其交点为O ，过A 点分别作DC 和BC 的垂线，垂足分别为F 和E ，∵AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴四边形ABCD 为平行四边形，∴∠ADF=∠ABE ，∵两纸条宽度相同， ∴AF=AE ，∵90ADF ABE AFD AEB AF AE ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ADF ≌△ABE ，∴AD=AB ，∴四边形ABCD 为菱形，∴AC 与BD 相互垂直平分，∴BD=22242AB AO -=故本题答案为：2【点睛】本题考察了菱形的相关性质，综合运用了三角形全等和勾股定理，注意辅助线的构造一定要从相关条件以及可运用的证明工具入手，不要盲目作辅助线.13．18【分析】由题意可知AD 、EF 是定值，要使四边形ADFE 周长的最小，AE ＋DF 的和应是最小的，运用“将军饮马”模型作点E 关于AD 的对称点E 1，同时作DF ∥AF 1，此时AE ＋DF 的和即为E 1F 1，再求四边形ADFE 周长的最小值．【详解】在Rt △COD 中，OC ＝3，OD ＝4，CD ＝22OC +OD =5，∵ABCD 是菱形，∴AD ＝CD ＝5，∵F 坐标为(8,6)，点E 在y 轴上，∴EF ＝8，作点E 关于AD 的对称点E 1，同时作DF ∥AF 1，则E 1（0，2），F 1（3，6），则E 1F 1即为所求线段和的最小值，在Rt △AE 1F 1中，E 1F 1＝22211EE +EF =-+(8-5)=52(62)， ∴四边形ADFE 周长的最小值＝AD ＋EF ＋AE ＋DF ＝ AD ＋EF ＋ E 1F 1＝5＋8＋5＝18．【点睛】本题考查菱形的性质、“将军饮马”作对称点求线段和的最小值，比较综合，难度较大． 14．8【分析】通过作辅助线使得△CAO ≌△GBO ，证明△COG 为等腰直角三角形，利用勾股定理求出CG 后，即可求出BC 的长．【详解】如图，延长CB 到点G ，使BG=AC ．∵根据题意，四边形ABED 为正方形，∴∠4=∠5=45°，∠EBA=90°，∴∠1+∠2=90°又∵三角形BCA 为直角三角形，AB 为斜边，∴∠2+∠3=90°∴∠1＝∠3∴∠1+∠5=∠3+∠4，故∠CAO ＝∠GBO ，在△CAO 和△GBO 中，CA GB CAO GBO AO BO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩故△CAO ≌△GBO ，∴CO ＝GO=627=∠6，∵∠7+∠8=90°，∴∠6+∠8=90°，∴三角形COG 为等腰直角三角形，∴()()2222=6262CO GO ++， ∵CG=CB+BG ，∴CB=CG －BG=12－4=8，故答案为8．【点睛】本题主要考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，根据题意建立正确的辅助线以及掌握正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质是解答本题的关键．15．201812 【分析】根据几何图形特征，先求出1C 、2C 、3C ，根据求出的结果，找出规律，从而得出2020C ．【详解】∵点E 是BC 的中点，ED ∥AB ，EF ∥AC∴DE 、EF 是△ABC 的中位线∵等边△ABC 的边长为1∴AD=DE=EF=AF =12 则1C =1422⨯= 同理可求得：2C =1，3C =12 发现规律：规律为依次缩小为原来的12 ∴2020C =201812故答案为：201812．【点睛】本题考查找规律和中位线的性质，解题关键是求解出几组数据，根据求解的数据寻找规律．16．3或6【详解】①∠B′EC=90°时，如图1，∠BEB′=90°，由翻折的性质得∠AEB=∠AEB′=12×90°=45°， ∴△ABE 是等腰直角三角形，∴BE=AB=6cm ；②∠EB′C=90°时，如图2，由翻折的性质∠AB′E=∠B=90°，∴A 、B′、C 在同一直线上，AB′=AB ，BE=B′E ，由勾股定理得，AC=222268AB BC+=+=10cm，∴B′C=10-6=4cm，设BE=B′E=x，则EC=8-x，在Rt△B′EC中，B′E2+B′C2=EC2，即x2+42=（8-x）2，解得x=3，即BE=3cm，综上所述，BE的长为3或6cm．故答案为3或6．17．120 13【分析】设MN与BC交于点O，连接AO，过点O作OH⊥AC于H点，根据等腰三角形的性质和勾股定理可求AO和OH长，若MN最小，则MO最小即可，而O点到AC的最短距离为OH 长，所以MN最小值是2OH．【详解】解：设MN与BC交于点O，连接AO，过点O作OH⊥AC于H点，∵四边形MCNB是平行四边形，∴O为BC中点，MN＝2MO．∵AB＝AC＝13，BC＝10，∴AO⊥BC．在Rt△AOC中，利用勾股定理可得AO2222135AC CO-=-12．利用面积法：AO×CO＝AC×OH，即12×5＝13×OH，解得OH＝60 13．当MO最小时，则MN就最小，O点到AC的最短距离为OH长，所以当M点与H点重合时，MO最小值为OH长是60 13．所以此时MN最小值为2OH＝120 13．故答案为：120 13．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、垂线段最短、勾股定理、等腰三角形的性质，解题的关键是分析出点到某线段的垂线段最短，由此进行转化线段，动中找静．18．10+55【分析】取DE的中点N，连结ON、NG、OM．根据勾股定理可得55NG=．在点M与G之间总有MG≤MO+ON+NG（如图1），M、O、N、G四点共线，此时等号成立（如图2）．可得线段MG的最大值．【详解】如图1，取DE的中点N，连结ON、NG、OM．∵∠AOB＝90°，∴OM＝12AB＝5．同理ON＝5．∵正方形DGFE，N为DE中点，DE＝10，∴222210555NG DN DG++＝＝＝．在点M与G之间总有MG≤MO+ON+NG（如图1），如图2，由于∠DNG的大小为定值，只要∠DON＝12∠DNG，且M、N关于点O中心对称时，M、O、N、G四点共线，此时等号成立，∴线段MG取最大值5故答案为：5【点睛】此题考查了直角三角形的性质，勾股定理，四点共线的最值问题，得出M 、O 、N 、G 四点共线，则线段MG 长度的最大是解题关键．19．2【分析】根据EM 是Rt ABE △斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出EM 的长；根据已知条件推导出DME 是等边三角形，且边长为2，进一步计算即可得解．【详解】解：∵AD BC ⊥，M 为AB 边的中点，4AB =∴在Rt ABD △中，114222DM AM AB ===⨯= 同理，在Rt ABE △中，114222EM AM AB ===⨯= ∴MDA MAD ∠=∠，MEA MAE ∠=∠∵2BME MEA MAE MAE ∠=∠+∠=∠，2BMD MDA MAD MAD ∠=∠+∠=∠ ∴DME BME BMD ∠=∠-∠ 22MAE MAD =∠-∠()2MAE MAD =∠-∠2DAC =∠60=︒∵=DM EM∴DME 是等边三角形，且边长为2∴122EDM S =⨯=故答案是：2【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质、三角形的外角定理、角的和差以及等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是进行推理论证的前提．20．6.5或8或18【分析】根据题意分BP QP =、BQ QP =两种情况分别讨论，再结合勾股定理求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，26AD =，点Q 是BC 的中点∴13BQ =∴①当BP QP =时，过点P 作PM BQ ⊥交BQ 于点M ，如图，则 6.5BM MQ ==,且四边形ABMP 为矩形∴ 6.5AP BM ==②当BQ QP =时，以点Q 为圆心，BQ 为半径作圆，与AD 交于P '、P ''两点，如图，过Q 作QN P P '''⊥，交P P '''于点N ，则可知P N P N '''=∵在Rt P NQ '，13P Q '=，12NQ AB == ∴222213125P N P Q NQ ''=-=-=同理，在Rt P NQ ''中，5P N ''= ∴2655822AD P N P N AP '''----'===，85518AP AP P N P N ''''''=++=++= 即P '、P ''为满足条件的P 点的位置∴8AP =或18∴综上所述，当BPQ 是以QP 为腰的等腰三角形时，AP 的长为6.5或8或18．故答案是：6.5或8或18【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，根据等腰三角形的性质进行分类讨论是一个难点，也是解题的关键．三、解答题21．（1）见解析；（211【分析】（1）根据题意先证明四边形ABCD 是平行四边形，再由AB=AD 可得平行四边形ABCD 是菱形；（2）根据菱形的性质得出OA 的长，根据直角三角形斜边中线定理得出OE=12AC ，在Rt ACE ∆应用勾股定理即可解答．【详解】（1）证明：∵AB CD ∥，∴OAB DCA ∠=∠，∵AC 为DAB ∠的平分线，∴OAB DAC ∠=∠，∴DCA DAC ∠=∠，∴CD AD AB ==，∵AB CD ∥， ∴四边形ABCD 是平行四边形，∵AD AB =，∴ABCD 是菱形；（2）∵四边形ABCD 是菱形∴AO CO =∵CE AB ⊥∴90AEC ∠=︒∴26AC OE ==在Rt ACE ∆中，2211CE AC AE -故答案为（211．【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．22．（1）BC ⊥CF ，CF +CD =BC ；（2）CF ⊥BC ，CF ﹣CD =BC ，证明详见解析；（3）494．【分析】（1）△ABC 是等腰直角三角形，利用SAS 即可证明△BAD ≌△CAF ，从而证得CF =BD ，据此即可证得；（2）同（1）相同，利用SAS 即可证得△BAD ≌△CAF ，从而证得BD =CF ，即可得到CF ﹣CD =BC ；（3）先证明△BAD ≌△CAF ，进而得出△FCD 是直角三角形，根据直角三角形斜边上中线的性质即可得到DF 的长，再求出CD ，BC 即可解决问题．【详解】（1）如图1中，∵∠BAC =90°，∠ABC =45°，∴∠ACB =∠ABC =45°，∴AB =AC ，∵四边形ADEF 是正方形，∴AD =AF ，∠DAF =90°，∵∠BAD =90°﹣∠DAC ，∠CAF =90°﹣∠DAC ，∴∠BAD =∠CAF ，∵在△BAD 和△CAF 中，AB AC BAD CAF AD AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAD ≌△CAF （SAS ），∴BD =CF ，∠ABD =∠ACF =45°，∴∠FCB =∠ACF +∠ACB =90°，即CF ⊥BC ，∵BD +CD =BC ，∴CF +CD =BC ；故答案为：CF ⊥BC ，CF +CD =BC ．（2）结论：CF ⊥BC ，CF ﹣CD =BC ．理由：如图2中，∵∠BAC =90°，∠ABC =45°，∴∠ACB =∠ABC =45°，∴AB =AC ，∵四边形ADEF 是正方形，。

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D A BC八下第二次月考数学试卷一、选择题（每题4分，共40分） 1.下列各式中，分式的个数有（）31-x 、12+a b 、πy x +2、21--m 、a +21、22)()(y x y x +-、x12-、115-A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个 2.如果把223y x y-中的x 和y 都扩大5倍，那么分式的值（）A 、扩大5倍B 、不变C 、缩小5倍D 、扩大4倍 3.已知正比例函数y =k 1x (k 1≠0)与反比例函数y =2k x(k 2≠0)的图象有一个交点的坐标为(-2，-1)，则它的另一个交点的坐标是（）A. (2，1)B. (-2，-1)C. (-2，1)D. (2，-1)4.一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为A ．10米B ．15米C ．25米D ．30米5用含30º角的两块同样大小的直角三角板拼图形，下列四种图形，①平行四边形 ②菱形，③矩形，④直角梯形。

其中可以被拼成的图形是（） A ① ② B ① ③ C ③ ④ D ①②③ ④ 6.把分式方程12121=----xxx 的两边同时乘以(x-2), 约去分母，得( ) A ．1-(1-x)=1 B ．1+(1-x)=1 C ．1-(1-x)=x-2 D ．1+(1-x)=x-2 7.如图，正方形网格中的△ABC ，若小方格边长为1，则△ABC 是（） A 、直角三角形 B 、锐角三角形 C 、钝角三角形 D 、以上答案都不对（第7题）（第8题）（第9题）8.如图，等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD=BC=8，AB=10，CD=6，则梯形ABCD 的面积是（）A 、1516B 、516C 、1532D 、17169.如图，一次函数与反比例函数的图像相交于A 、B 两点，则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x 的取值范围是（）A 、x ＜－1B 、x ＞2C 、－1＜x ＜0，或x ＞2D 、x ＜－1，或0＜x ＜210.小明通常上学时走上坡路，途中平均速度为m 千米/时，放学回家时，沿原路返回，通常的速度为n 千米/时，则小明上学和放学路上的平均速度为（）千米/时 A 、2n m + B 、 n m mn + C 、 n m mn +2 D 、mnnm +ABCABCDEGF 二、填空题（每题3分，共30分） 11.当x 时，分式15x -无意义；当m= 时,分式2(1)(3)32m m m m ---+的值为零 12.各分式121,1,11222++---x x x x x x 的最简公分母是_________________13.已知双曲线xky =经过点（－1，3），如果A (a 1,b 1)，B (a 2,b 2)两点在该双曲线上，且a 1＜a 2＜0，那么b 1 b 2． 14.梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD=AD=1，∠B=60°,直线MN 为梯形ABCD 的对称轴，P 为MN 上一点，那么PC+PD 的最小值。

(第14题) （第16题）（第17题）15.已知任意直线l 把□ABCD 分成两部分，要使这两部分的面积相等，直线l 所在位置需满足的条件是。

16.如图，把矩形ABCD 沿EF 折叠，使点C 落在点A 处，点D 落在点G 处，若∠CFE=60°，且DE=1，则边BC 的长为． 17.如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是边AD 、BC 的中点，AC 分别交BE 、DF 于G 、H ，试判断下列结论：①ΔABE ≌ΔCDF ；②AG=GH=HC ；③EG=;21BG ④S ΔABE =S ΔAGE ，其中正确的结论是_ _个.18.点A 是反比例函数图象上一点，它到原点的距离为10，到x 轴的距离为8，则此函数表达式可能为_________________19，.小林在初三第一学期的数学书面测验成绩分别为：平时考试第一单元得84分，第二单元得76分，第三单元得92分；期中考试得82分；期末考试得90分.如果按照平时、期中、期末的权重分别为10%、30%、60%计算，那么小林该学期数学书面测验的总评成绩应为_____________分。

20.如图,已知在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形 OABC 是矩形点A ，C 的坐标分别是A （10，0），C （0，4），点D 是OA 的中点，点P在BC 边上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为(m,n),且点P 在反比例函数y=x 32上，则m =_____________，n= 。

三、解答题（本大题6个小题，每小题10分，共80分）解答时必须给出必要的过程和推理步骤。

21. （1）先化简，再求值 )1(1xx x x -÷－，其中x=2－1（2）解分式方程：22416222-+=--+x x x x x －A E DH CBFG22 .作图题：如图，RtΔABC 中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，用圆规和直尺作图，用两种方法把它分成两个三角形，且要求其中一个三角形是等腰三角形。

（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）23 .如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，∠BCD 的平分线CF 交边AB 于F ，∠ADC 的平分线DG 交边AB 于G 。

（1）求证：AF=GB ；（2）请你在已知条件的基础上再添加一个条件，使得△EFG 为等腰直角三角形,并说明理由．24张老师为了从平时在班级里数学比较优秀的王军、张成两位同学中选拔一人参加“全国初中数学联赛”，对两位同学进行了辅导，并在辅导期间进行了10次测验，两位同学测验成绩记录如下表：第1次第2次第3次第4次第5次第6次第7次第8次第9次第10次王军 68 80 78 79 81 77 78 84 83 92 张成86807583857779808075利用表中提供的数据，解答下列问题：（1）填写完成下表：（2）张老师从测验成绩记录表中，求得王军10次测验成绩的方差2S 王=33.2，请你帮助张老师计算张成10次测验成绩的方差2S 张；（3）请你根据上面的信息，运用所学的统计知识，帮助张老师做出选择，并简要说明理由。

25 .制作一种产品，需先将材料加热达到60℃后，再进行操作．设该材料温度为y （℃），从加热开始计算的时间为x （分钟）．据了解，设该材料加热时，温度y 与时间x 成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y 与时间x 成反比例关系（如图）．已知该材料在操作加工前的温度为15℃，加热5分钟后温度达到60℃．（1）分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y 与x 关系式；（2）根据工艺要求，当材料的温度低于15℃时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？平均成绩中位数众数王军 80 79.5 张成8080ABAB26 .甲、乙两个工程队合做一项工程，需要16天完成，现在两队合做9天，甲队因有其他任务调走，乙队再做21天完成任务。

甲、乙两队独做各需几天才能完成任务？27: E是正方形ABCD的对角线BD上一点，EF⊥BC，EG⊥CD，垂足分别是F、G.求证：AE=FG。

28如图11，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于A、B两点。

（1）利用图中条件，求反比例函数的解析式及n的值。

B（1，n)图11（2）求一次函数的解析式。

AD CBEGF（第32题）（3）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数值的x的取值范围参考答案：一、选择题1、C2、B3、A4、B5、B6、D7、A8、A9、D 10、D 11、C 12、C 二、填空题13、5x =，3 14、2(1)(1)x x x +- 15、< 16 17、经过对角线的交点 18、3 19、320、48y x =或48y x=- 21、A ＝2，B ＝－2 22、（，0） 23、88分 24、4 三、解答题25、解：22213211143a a a a a a a +-+-⨯+-++＝213(1)1(1)(1)(1)(3)a a a a a a a +--⨯++-++＝21(1)1(1)a a a --++＝2221a a ++ ∵a 2＋2a －8=0，∴a 2＋2a ＝8 ∴原式＝281+＝2926、解：22(2)16(2)x x --=+22441644x x x x -+-=++816x -= 2x =-经检验：2x =-不是方程的解∴原方程无解27、1°可以作BC 边的垂直平分线，交AB 于点D ，则线段CD 将△ABC 分成两个等腰三角形 2°可以先找到AB 边的中点D ，则线段CD 将△ABC 分成两个等腰三角形3°可以以B 为圆心，BC 长为半径，交BA 于点BA 与点D ，则△BCD 就是等腰三角形。

28、（1）证明：∵四边形ABCD 为平行四边形 ∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，AD ＝BC ∴∠AGD ＝∠CDG ，∠DCF ＝∠BFC ∵DG 、CF 分别平分∠ADC 和∠BCD ∴∠CDG ＝∠ADG ，∠DCF ＝∠BCF ∴∠ADG ＝∠AGD ，∠BFC ＝∠BCF ∴AD ＝AG ，BF ＝BC ∴AF ＝BG（2）∵AD ∥BC ∴∠ADC ＋∠BCD ＝180°∵DG 、CF 分别平分∠ADC 和∠BCD∴∠EDC ＋∠ECD ＝90° ∴∠DFC ＝90°∴∠FEG ＝90° 因此我们只要保证添加的条件使得EF ＝EG 就可以了。

我们可以添加∠GFE ＝∠FGD ，四边形ABCD 为矩形，DG ＝CF 等等。

29、1）78，80（2）13（3）选择张成，因为他的成绩较稳定，中位数和众数都较高30、（1）915(05)300(5)x x y x x+≤<⎧⎪=⎨≥⎪⎩ （2）20分钟31、解：设甲、乙两队独做分别需要x 天和y 天完成任务，根据题意得：111169301x y x y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得：24x =，48y = 经检验：24x =，48y =是方程组的解。

答：甲、乙两队独做分别需要24天和28天完成任务。

32、证明：连接CE ∵四边形ABCD 为正方形∴AB ＝BC ，∠ABD ＝∠CBD ＝45°，∠C ＝90° ∵EF ⊥BC ，EG ⊥CD ∴四边形GEFC 为矩形 ∴GF ＝EC在△ABE 和△CBE 中AB BC ABD CBD BE BE ⎧⎪⎨⎪⎩＝∠＝∠＝ ∴△ABE ≌△CBE ∴AE ＝CE ∴AE ＝CF。