高中正弦定理ppt

因为
BC sin A
AC
s,in所B以
AC BC sin B 2.57sin 45.
sin A
sin15
利用计算器算得
AC≈7.02(cm),
同理,AB≈8.60(cm). 答：原玉佩两边的长分别约为7.02cm,8.60cm.
例4.台风中心位于某市正东方向300 km处，正 以40 km/h的速度向西北方向移动，距离台风 中心250 km范围内将会受其影响.如果台风风速 不变，那么该市从何时起要遭受台风影响？这 种影响持续多长时间（结果精确到0.1h）?
3.定理的应用举例 例1 在 ABC已知 A 300 , B 1350 , a 2 ,
解三角形.
变式：若将a=2 改为c=2，结果如何？ 通过例题你发现了什么一般性结论吗?
小结：知道三角形的两个内角和任何一边，利 用正弦定理可以求出三角形中的其它元素。
例 2 已知a=16， b=16 3 ， A=30° .
由正弦定理 AC AB BC sin B sin C sin A
知 sin C AB sin B 300sin 45 3 2 0.8485.
பைடு நூலகம்
这就要在BD上求影响A的始点C1和终点C2，然后根据台 风的速度计算台风从C1到C2持续的时间.
解：设台风中心从点B向西北方向沿射线BD移动，该 市位于点B正西方向300 km处的点A. 假设经过th，台风中心到达点C，则在△ABC中, AB=300 km，AC=250 km,BC=40t km,B=45°.
第二章:解三角形
1.问题的引入:
.
(1)在我国古代就有嫦娥奔月的神话故 事.明月高悬,我们仰望夜空,会有无限 遐想,不禁会问,月亮离我们地球有多远 呢?科学家们是怎样测出来的呢？
(2)设A,B两点在河的两岸, 只给你米尺和 量角设备,不过河你可以测出它们之间的 距离吗?
B
A
我们这一节所学习的内容就是解决这些问 题的有力工具.
分析：如图所示，台风
北
沿着BD运动时，由于|AB|
=300 km>250 km，所以开
始台风影响不了城市A，由点A
D C2 E C1
B A
到台风移动路径BD最小距离
|AE|=|AB|·sin45° 300 2 1501.41 211.5(km) 250km.
2
所以台风在运动过程中肯定要影响城市A.
跟踪练习： ABC中， (1)已知A 60，B 45，a 10,求b; (2)已知a 3, b 4, A 30, 求sin B; (3)已知b 3, c 1, B 60, 求a和A、C.
1.1 正弦定理
4.基础练习题
(1)在ABC中，已知 A 450, a 2,b 2,求B
C
b a
Bc
A
D
正弦定理:
（1）文字叙述 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角 的正弦的比相等. （2）结构特点 和谐美、对称美. （3）方程的观点
正弦定理实际上是已知其中三个,求另一个.
能否运用向量的方法来证明正弦定理呢?
如图所示，以A为原点，以射线AB的方向为x轴 正方向建立直角坐标系，C点在y轴上的射影为C′，
如图:作AB上的高是CD,根
C
椐三角形的定义,得到
aE
b
CD asin B,CD bsin A
所以 a sin B bsin A B
D
A
得到 a b
c
sin A sin B
同理,作AE BC.有 b c
sin B sin C
a
b
c
sin A sin B sin C
1.1.1 正弦定理
(2)当 ABC是钝角三角形时,以上等式是否 仍然成立?
B=300
(2)在ABC中，已知A 600, a 4,b 10 3 ,求B 3
无解
例3.某地出土一块类似三角形刀状的古代玉佩(如图 所示)，其一角已破损.现测得如下数据：BC=2.57cm，
CE=3.57cm，BD=4.38cm, B 45 ,C 120 .为了复
原,请计算原玉佩两边的长（结果精确到0.01cm）.
解三角形。
已知两边和其中一边 的对角,求其他边和角
解：由正弦定理
C
得sin B bsin A 16 3 sin30 3
16 3 16
16
a
16
2
A 300
所以Ｂ＝60°,或Ｂ＝120°
B
B 83
当Ｂ＝60°时 C=90° c 32.
当Ｂ＝120°时 C=30°
c asinC 16. sin A
因为向量 与 在y轴上的射影均为 ，
即
y
所以 即
C
C′
O(A) B x
同理， 所以 若A为锐角或直角，也可以得到同样的结论.
正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的 正弦的比相等,即
变式:
1 a b ; b c ; c a .
sin A sin B sin B sin C sin C sin A
剖析定理、加深理解
正弦定理：
4、一般地，把三角形的三个角A，B，C 和它们的对边a，b，c叫做三角形的元 素。已知三角形的几个元素求其他元素 的过程叫解三角形
剖析定理、加深理解
正弦定理：
5、正弦定理的变形形式 6、正弦定理，可以用来判断三角形的 形状，其主要功能是实现三角形边角 关系的转化
1.1 正弦定理
分析：如图所示，将BD,CE分别延 长相交于一点A，在△ABC中，已 知BC的长及角B与C，可以通过正 弦定理求AB，AC的长.
A D
E
B C
解：将BD,CE分别延长相交于一点A，在△ABC中，
BC=2.57cm,B=45°,C=120°,
A=180°-(B+C)=180°-(45°+120°)=15°.
2sin A:sin B :sinC a :b : c.
剖析定理、加深理解
正弦定理：
1、A+B+C=π 2、大角对大边，大边对大角
剖析定理、加深理解
正弦定理：
3、正弦定理可以解决三角形中的问题： ① 已知两边和其中一边的对角，求另一边
的对角，进而可求其他的边和角 ② 已知两角和一边，求其他角和边
1.1 正弦定理
2.定理的推导
A
回忆一下直角三角形的边角关系?
c
b
a csin A b csin B 两等式间有联系吗？
Ba C
a b c sin A sin B
sinC 1
a b c c sin A sin B sinC
思考:
对一般的三角形,这个结论还能成立吗?
1.1 正弦定理
(1)当 ABC 是锐角三角形时,结论是否还成立呢?