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小专题（一）《二次根式的性质及运算》

类型1 二次根式的非负性

1.（2018·|1|0b -=，则1=a +___________.

2已知x ，y 为实数，且4y =，则x y -的值为__________.

3.当=x __________4的值最小，最小值是_________.

类型2 二次根式的运算

4.计算：

（1）；

（2）(-÷

（3；

（4）⨯.

5.计算：

（1）⎛ ⎝；

（2）；

（3）(÷

（4）-；

（5）22(--.

15计算：

（1）（2019·南充）1

0(1)|

π--+；

（2）3|22+⎭.

类型3 与二次根式有关的化简求值

7.已知33a b =+=-22a b ab -的值.

8.已知实数a ，b ，定义“★”运算规则如下

：(),),

b a b a b

a b ⎧

=>★

求的值.

9.（208·徐州）已知1x =，求223x x --的值.

10.先化简，再求值：21

11x y x

y xy y

⎛⎫+÷ ⎪+-+⎝⎭,

其中

2,2x y ==. 11.小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，

如23(1+=+,善于思考的小明进行了以下探索：

设2(a m +=

+（其中

a b m n ，，，均为正整数），则有222a m n +

=++,

222,2a m n b mn ∴=+=

这样小明就找到了一种把a

+的式子化为平方式的方法.

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题:

（1）当a b m n ，，，均为正整数时，若2(a m +=+，用含m ，n 的式子分别表示a ，b ，得a =______________,b =_____________；

（2）利用所探索的结论，找一组正整数

a b m n ，

，，填空：

_________+__________=()2

___________________+；

（3）若2(a m +=+，且a m n ，，均为正整数，求a 的值.

参考答案

1.2

2.5

3.1

45

4.解：（1）原式=.（2）原式43=-.（3）原式=（4）原式=17.

5.解：（1）原式=2）原式=3）原式=4）原式=

（5）原式=-

6.解：（1）原式11=+=.

（2）原式132122

=-+=.

7.解：原式22()a b ab ab a b =-=-.当33a b =+=-时，原式

(33=+-++=

8.2====.

9.解：22223214(1)4x x x x x --=-+-=--.当1x =时，原式

211)4341=--=-=-.

10.解：原式22()()()x xy y x y x y x y x y

=⋅+=+--.当2,2x y ==时，原式

1

2==.

11.解：（1）22

32m n mn +（2）41（3）根据题意，得223,2442.a m n mn mn ⎧=+=⎨=⎩，且m ，n 为正整数，

2,1m n ∴==或12m n ==，.713a ∴=或.