有两边成比例及夹角相等判定相似
相似形的判定定理
相似形的判定定理一、相似三角形的判定定理（一）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
1. 证明思路- 例如在△ABC中，DE∥BC，交AB于D，交AC于E。
- 因为DE∥BC，所以∠ADE = ∠ABC，∠AED = ∠ACB（两直线平行，同位角相等），∠A是公共角。
- 根据两角分别相等的两个三角形相似，就可以得出△ADE∽△ABC。
（二）两角分别相等的两个三角形相似。
1. 证明示例- 已知在△ABC和△A'B'C'中，∠A = ∠A'，∠B = ∠B'。
- 在△ABC中，∠C=180° - ∠A - ∠B，在△A'B'C'中，∠C' = 180°-∠A' - ∠B'。
- 因为∠A = ∠A'，∠B = ∠B'，所以∠C = ∠C'。
- 根据三角形内角和定理以及两角相等的条件，可知这两个三角形相似。
（三）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
1. 举例说明- 若在△ABC和△A'B'C'中，(AB)/(A'B')=(AC)/(A'C')，且∠A = ∠A'。
- 可以通过构造辅助线等方法来证明这两个三角形相似。
- 例如将△A'B'C'平移、旋转、缩放等操作后，使∠A与∠A'重合，然后根据已知的边的比例关系和夹角相等，证明对应边平行，从而得出相似的结论。
（四）三边成比例的两个三角形相似。
1. 证明要点- 设△ABC和△A'B'C'三边满足(AB)/(A'B')=(BC)/(B'C')=(AC)/(A'C')。
- 可以通过在较大的三角形中截取与较小三角形对应边相等的线段，构造出全等三角形，再利用边的比例关系逐步证明其他角相等，最终得出相似的结论。
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
(1) 两个等边三角形相似 (2) 两个直角三角形相似 (3) 两个等腰直角三角形相似 (4) 有一个角是50°的两个等腰三角形相似
√ × √
×
2. 如图，D 是 △ABC 一边 BC 上一点，连接 AD，使
△ABC ∽ △DBA的条件是
( D)
A
A. AC : BC=AD : BD
B. AC : BC=AB : AD
AB 4
解：∵ AE=1.5，AC=2，
∴ AE 3 AD .
E
△ADE ∽△ABC，
∴ DE AD 3，∴ DE 3 BC 9 .
BC AB 4
4
4
A
D C
例3 如图，在 △ABC 中，CD 是边 AB 上的高，
且
AD = CD ，求证 ∠ACB=90°． CD BD
证明：
∵ AC = 3.5 cm，BC = 2.5 cm，
DF = 2.1 cm，EF = 1.5 cm，
∴ DF EF 3 .
A
AC BC 5
C
F
D
E
B
又 ∵∠C =∠F = 70°，∴ △DEF ∽△ABC.
2. 如图，△ABC 与 △ADE 都是等腰三角形，AD=AE， AB=AC，∠DAB=∠CAE. 求证：△ABC ∽△ADE.
27.2.1 相似三角形的判定
第3课时 两边成比例且夹角相等的 两个三角形相似
学习目标
1. 探索“两边成比例且夹角相等的两个角形相似”的
判 定定理.
2. 会根据边和角的关系来判定两个三角形相似，并进 行相关计算. (重点、难点)
复习引入
回忆我们学习过的判定三角形相似的方法. 类比证 明三角形全等的方法，猜想证明三角形相似还有 哪些方法？
人教版数学九年级下册 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
改变 k 的值和∠A 的大小，是否有同样的结论？
如图，在 △ABC 与 △A′B′C′ 中，已知∠A = ∠A′，
AB AC . 求证：△ABC∽△A′B′C′. A' B' A' C'
证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′ 上取点 D， 使 A′D = AB．过点 D 作 DE∥B′C′， D
交 A′C′ 于点 E.
B'
∵ DE∥B′C′，∴ △A′DE∽△A′B′C′.
A'
E A C'
∴ A' D A' E . A' B' A' C'
B
C
∵ A′D = AB， AB AC ， A' B' A' C'
∴ A' D A' E = AC . A' B' A' C' A' C'
∴ A′E = AC. 又 ∠A′ = ∠A， ∴ △A′DE≌△ABC. ∴ △A′B′C′∽△ABC.
A
B. AC : BC = AB : AD
C. AB2 = CD·BC D. AB2 = BD·BC → AB BC B
BD AB
DC
3. 如图，△AEB 和 △FEC 相似 (填 “相似” 或 “不相似”) .
B
45
A
54
E 36 F
30
C
4. 如图，在四边形 ABCD 中，已知 ∠B =∠ACD，AB
DF = 2.1 cm，EF = 1.5 cm，
A
B
∴ DF EF 3 .
F
AC BC 5
相似三角形的判定两边及夹角
5.如图△ABC中，D、E是AB、AC上点，AB＝7.8，AD＝3，AC
＝6，CE＝2.1，试判断△ADE与△ABC是否会相似，
小张同学的判断理由是这样的：
A
【解析】∵ AC＝AE+CE，而AC＝6，CE＝2.1
D
∴ AE＝6-2. 1＝3.9
由于
AD AE
AB AC
∴ △ADE与△ABC不会相似．
那么两个三角形是否相似呢？
思考
AB
AC
对于△ABC和△A´B ´C ´中，
A' B' A' C '
∠B=∠B´，
这两个三角形一定相似吗?试着画画看.
A´
A
B
C
B´
这两个三角形不一定相似
D
C´
例题1：
• 如图，AD=3，AE=4，BE=5，CD=9，△ADE和△ABC，
相似吗？
解：∵ AD=3，AE=4，BE=5，CD=9
相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角
形．若OA：OC=0B：OD，则下列结论中一定正确的
是 (
) .
②
①
A．①与②相似
B．①与③相似
C．①与④相似
D．②与④相似
④
③
【解析】选B.根据两边对应成比例且夹角相等得选择项.
4.已知：如图，△ABC中，P是AB边上的一点，连结CP．试增添一
A
A.AB2=BC·BD
B.AB2=AC·BD
C.AB·AD=BD·BC
D.AB·AD=AD·CD
2．（2010·吉林中考）如图，在
△ABC中，∠C=90°，D是AC上一点，
人教九年级下册数学-两边成比例且夹角相等的两个三角形相似教案与教学反思
27.2.1 相似三角形的判定杭信一中何逸冬第3课时两边成比例且夹角相等的两个三角形相似1．理解“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”的含义，能分清条件和结论，并能用文字、图形和符号语言表示；(重点)2．会运用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定两个三角形相似，并解决简单的问题．(难点)一、情境导入利用刻度尺和量角器画两个三角形，使它们的两条对应边成比例，并且夹角相等．量一量第三条对应边的长，计算它们的比与前两条对应边的比是否相等．另两个角是否对应相等？你能得出什么结论？二、合作探究探究点：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似【类型一】直接利用判定定理判定两个三角形相似已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是AB、CB延长线上的点，CE＝9，AD＝15，连接DE.若BC＝6，AC＝8，求证：△ABC∽△DBE.解析：首先利用勾股定理可求出AB的长，再由已知条件可求出DB，进而可得到DB∶AB的值，再计算出EB∶BC的值，继而可判定△ABC∽△DBE.证明：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，∴AB＝BC2＋AC2＝10，∴DB＝AD－AB＝15－10＝5，∴DB∶AB＝1∶2.又∵EB＝CE－BC＝9－6＝3，∴EB∶BC＝1∶2，∴EB∶BC＝DB∶AB，又∵∠DBE＝∠ABC＝90°，∴△ABC∽△DBE.方法总结：解本题时一定要注意必须是两边对应的夹角才行，还要注意一些隐含条件，如公共角、对顶角等．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第2题【类型二】 添加条件使三角形相似 如图，已知△ABC 中，D 为边AC 上一点，P 为边AB 上一点，AB ＝12，AC ＝8，AD ＝6，当AP 的长度为________时，△ADP 和△ABC 相似．解析：当△ADP ∽△ACB 时，AP AB ＝AD AC ，∴AP 12＝68，解得AP ＝9.当△ADP ∽△ABC 时，AD AB ＝AP AC ，∴612＝AP 8，解得AP ＝4，∴当AP 的长度为4或9时，△ADP 和△ABC 相似．故答案为4或9.方法总结：添加条件时，先明确已知的条件，再根据判定定理寻找需要的条件对应本题可先假设两个三角形相似，再利用倒推法以及分类讨论解答．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第5题【类型三】 利用三角形相似证明等积式如图，CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的高，E 为BC 的中点，ED 的延长线交CA 的延长线于F .求证：AC ·CF ＝BC ·DF .解析：先证明△ADC ∽△CDB 可得AD CD ＝AC BC，再结合条件明△FDC ∽△FAD ，可得AD CD ＝DF CF，则可证得结论． 证明：∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴∠DAC ＋∠B ＝∠B ＋∠DCB ＝90°，∴∠DAC ＝∠DCB ，且∠ADC ＝∠CDB ，∴△ADC ∽△CDB ，∴错误!＝错误!未定义书签。
相似三角形证明口诀5
相似三角形证明口诀5《相似三角形证明口诀5》口诀一：一找两角对应等，相似判定就可行。
好比两个小伙伴，脸上表情都相同。
你看那三角形里，两个角儿要是像，就像照镜子模样，这种情况别发慌，直接判定相似强。
角角相等真奇妙，相似关系跑不了。
就像双胞胎一样，特征相同没商量。
不管是大是小呀，形状相同能明了。
口诀二：二看两边成比例，夹角相等要牢记。
就像两根小树枝，长短比例得合适。
三角形的两条边，按照比例来相见。
中间夹角还得等，就像大门要对正。
要是这俩都符合，相似三角形有着落。
这就好比搭积木，块块都得对角度，比例夹角都具备，相似就像那影随。
口诀三：一寻平行得相似，恰似铁轨平行线。
三角形里若平行，相似形状就诞生。
一条直线平行边，形成的角儿有关联。
同位内错角相等，相似性质就出现。
就像火车沿着轨，一路向前不偏位。
平行带来相似形，这个道理要心领。
看到平行想相似，证明轻松能开启。
口诀四：二查三边成比例，相似判定很干脆。
三角形的三条边，比例相同是关键。
就像三根小木棍，长短比例都对衬。
三边比例若相等，相似不用再疑问。
好比三个小伙伴，身高比例都一般。
不管怎么去排列，相似形状在眼前。
这种情况好判断，三边比例仔细算。
口诀五：一观母子相似形，就像母鸡带小鸡。
大三角形含小形，相似关系有实情。
公共角儿先看见，还有两边成比例。
这种情况常出现，相似证明不费难。
就像大圈包小圈，形状相似有渊源。
母子相似莫忘掉，证明里面很重要。
看到这种结构呀，相似立马就想到。
口诀六：二看斜边直角边，直角三角形里现。
如果斜边比斜边，直角边也成比例。
就像两个小旗竿，斜着竖着都相关。
直角三角形相似，这个方法很好使。
这就如同搭帐篷，支架长短有比例。
斜边直角边对好，相似就能来报道。
碰到直角三角形，这个口诀要记清。
口诀七：一找等角再等边，相似之路就通坦。
先把等角来发现，再看对应边相关。
就像寻宝有线索，角儿相等是开端。
然后顺着边儿找，比例关系要明了。
这就像拼图游戏，一块一块来对齐。
27.2.1 第3课时 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
BC=2.5 cm，DF=2.1 cm，EF=1.5 cm.求证：△DEF∽△ABC.
证明： ∵AC=3.5cm,BC=2.5cm,DF=2.1
C F
cm,EF=1.5cm,
A
D
E
B
又∵∠C=∠F=70°， ∴ △DEF∽△ABC（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）
练一练 如图，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AD=AE， AB=AC，∠DAB=∠CAE.求证：△ABC∽△ADE. 证明：
BC
G
D
2
50°
1.6
E
F
如归果两个三角如果形两的个两三角边形成两比边对例应，成但比例相，等但的相等角的不角是不是这两两边的 夹纳角，那么两条对个应三边角的夹形角是，否那么相两似个呢三角？形画不一一定画相，似量. 一量.
当堂练习
1.判断图中△AEB 和△FEC是否相似？
解：∵ B
45
1 E 36 F
证明： ∵ CD是边AB上的高,
Cቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∴ ∠ADC= ∠CDB=90°.
∴△ADC∽△CDB.
AD
B
∴ ∠ACD= ∠B.
∴ ∠ACB= ∠ACD+ ∠BCD= ∠B+ ∠BCD= 90°.
探究归纳
A
4
3.2
50° 3.2
BC
G
D
2
50°
1.6
E
F
如归果两个三角如果形两的个两三角边形成两比边对例应，成但比例相，等但的相等角的不角是不是这两两边的 夹纳角，那么两条对个应三边角的夹形角是，否那么相两似个呢三角？形画不一一定画相，似量. 一量.
第二十七章 相 似
相似形的概念与判定
相似形的概念与判定相似形（similar figure）是几何学中的重要概念之一。
在平面几何中，当两个或多个图形具有相同的形状，但可能不同的大小时，我们称它们为相似形。
相似形是一种比例关系的体现，它们具有相同的形状，但是可以通过缩放（放大或缩小）来得到不同的大小。
在本文中，我们将探讨相似形的概念以及判定相似形的方法。
相似形的定义是指两个或多个图形具有相同的形状，但可能具有不同的大小。
我们可以通过以下两个条件来定义相似形：1. 对应边比例相等：当两个图形相似时，它们的对应边的比例是相等的。
比如，如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边成比例，那么这两个三角形就是相似的。
2. 对应角相等：相似形还要求对应角相等。
也就是说，两个相似形的对应角度是相等的。
如果两个三角形的对应角度相等，那么它们就是相似的。
在判定相似形时，我们可以使用以下几种方法：1. SSS 相似判定法：SSS 相似判定法是指当两个三角形的三边成比例时，这两个三角形是相似的。
例如，如果两个三角形的所有边长比例都相等，那么它们就是相似的。
2. SAS 相似判定法：SAS 相似判定法是指当两个三角形的某两边成比例，且包含这两边的夹角相等时，这两个三角形是相似的。
例如，如果两个三角形的两条边比例相等，并且它们之间的夹角相等，那么它们是相似的。
3. AA 相似判定法：AA 相似判定法是指当两个三角形的两个对应角相等时，这两个三角形是相似的。
例如，如果两个三角形的两个对应角相等，那么它们是相似的。
通过上述三种相似判定法，我们可以方便地判断两个三角形是否相似。
除了三角形，其他几何图形如矩形、圆等也可以使用相似判定法进行判断。
相似形的概念在几何学和实际生活中都具有重要意义。
在几何学中，我们可以利用相似形的性质解决各种问题，比如计算长度、面积、体积等。
在实际生活中，相似形的概念也被广泛应用于建筑、城市规划、地图制作等领域。
通过相似形的变换，我们可以在不改变物体形状的基础上进行缩放和放大，从而满足实际需求。
相似三角形的判定一
ABC DEF相似三角形的判定(一)掌握相似三角形的判定方法：1、如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
2、如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
3、如果三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
4、直角三角形相似的判定：斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似． 重点难点:相似三角形判定条件 【知识点回顾】 相似三角形的判定 1、相似三角形的判定：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
即：两角对应相等，两三角形相似。
例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE ．例2、如图，E 、F 分别是△ABC 的边BC 上的点，DE ∥AB,DF ∥AC , 求证：△ABC ∽△DEF.判定定理2：如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
即：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．例1、△ABC 中，点D 在AB 上，如果AC 2=AD •AB ，那么△ACD 与△ABC 相似吗？说说你的理由．例2、如图，点C 、D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形。
（1）当AC 、CD 、DB 满足怎样的关系时，△ACP ∽△PDB ？ （2）当△ACP ∽△PDB 时，求∠APB 的度数。
判定定理3：如果三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
简单说成：三边对应成比例，两三角形相似．不相似，请说明理由。
，求出相似比；如果它们相似吗？如果相似，和如图在正方形网格上有222111A C B A C B ∆∆例1、如图，方格纸上的每个小正方形的边长都为1，下列图中的三角形与右图中的△ABC 相似的是（）。
例2、如图，在四边形ABCD中，AB=2，BC=3，CD=6，AC=4，DA=8.AC平分∠BAD 吗？为什么？例3、方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点之间的连线为边的三角形叫做格点三角形。
相似三角形判定
A
P
Q C B C
Q
Q
P
B
C
B
五、独立作业
1、课本P237 ，3
2、练习册，相似三角形的判定4
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回话//壹番话/说得水清满脸通红又恍然大悟/继而羞愧地埋怨道：/爷啊/您/您怎么那样啊//还别待他回答/只听门外秦顺儿の声音响起：/启禀爷/十三爷来咯//秦顺儿话音刚落/紧接着就听到咯十三小格那洪亮の嗓音在门外响起：/ 给四哥请安//王爷还在回程の路上就差小太监给十三小格传咯口信/约他到府上谈事情/结果王爷壹进府里就被排字琦堵咯各正着儿/然后又急急地找水清问话/现在听到十三小格の请安声/才想起来还有那档子事情/十三小格没什么料 到水清竟然在王爷の书房里/所以当他壹边请安壹边进屋の时候/赫然发现那两各人满脸飞红/又满脸尴尬/登时令十三小格如坠五里云雾般别知所措起来/还是王爷迅速地反应过来/赶快将十三小格叫起/然后水清也赶快和十三小格见咯 礼/并朝王爷说道：/既然两位爷还有事情相商/妾身那就告退//得到王爷の点头应允之后/水清赶快退咯下去/而他与十三小格之间の谈话则是半天都没能进入状态/第二天/他单独将排字琦叫到书院/对她说道：/那各/将珊瑚嫁与大哥 の事情/是爷早早就定下来の事情/有段时间/皇阿玛壹直很关心大哥の情况/爷想着/送大哥壹各诸人/也算是咱们对大哥の关照/至于人选/爷想来想去/总觉得别管是选哪各院子の奴才/您们都别愿意/爷倒是认为紫玉挺适合/可是您正 用着顺手呢/后来想那珊瑚反正也别是咱们府里の奴才/水清也同意咯/谁想到……唉/那珊瑚/其实别同意完全可以直接说出来/没想到竟然悄没声儿地吊咯脖子/早晓得那样/……//啊？原来是那么壹回事儿啊/妾身还以为因为她吊脖子 有功/才被嫁与咯大伯呢/唉/那各丫头也真是の/怎么那么想别开呢/能嫁给大伯可是她上辈子修来の福份/那别/嫁过去日子过得别是挺好の嘛//第壹卷//第1171章/邀请日子过得飞快/转眼间就进入咯腊月/前些日子出京办差期间正值 王爷の生辰/而且因为珊瑚の事情/他与水清之间の关系壹直客气而生分/所以去年の生辰礼之约在今年也别咯咯之/水清按部就班地挑咯各投其所好の沈周山水画/当他回到府里见到水清の生辰礼夹在各院诸人送来の各式礼物之中/又 想起咯去年两各人の赌约/心中难免壹阵阵の惆怅/腊月の日子过得也是飞快/眨眼就进入咯新年前の官府封印期/今天朝堂上没什么啥啊事情/才过咯响午/王爷就回到咯府中/此时此刻/天空中の乌云正在壹点、壹点地聚积/原本应当是 艳阳高照の时辰/此刻竟因为乌云压境而将整各世界都蒙上咯壹层灰蒙蒙の色彩/仿佛自然界中の万物都跟着忧郁咯起来/也许是为即将到来の康熙六十壹年冬季の第壹场瑞雪做着前期准备/虽然此时の天空是阴郁の/但是壹想到即将到 来の那第壹场瑞雪/他の心中就禁别住地喜悦而期待/壹年四季/风光各异/春有百花/夏有桐荫/秋有落英/冬有瑞雪/四季风景美别胜收/而他们唯壹の壹次雪中行/就是四年前瑞雪纷飞の香山/他们爆发咯有史以来最为剧烈の壹场冲突/ 可是他们彼此收获の/是对方の壹颗真心/转眼间/四年の时间过去咯/那壹场史无前例の冲突/既别是开始/也别是结束/四年来/他们在爱情の那条道路上依然走得磕磕绊绊/依然摔得鼻青脸肿/可是每壹次の跌倒/却是在本质上都起到咯 适得其反の效果/令他们の爱情更加坚固、更加牢靠、更加珍惜彼此/更加爱恋对方/特别是现在/经历咯珊瑚の事情/两各人开始咯相敬如宾、客气而生分の关系/可是他别想就那么永远地客气下去/既然是他做咯错事/既然他还想与她 在爱情の那条道路上携手同行/那么就应当由他先有所表示/以前他只是苦于没什么找到合适の机会/给自己壹各冠冕堂皇の借口和理由/而此时此刻/即将到来の那壹场瑞雪给咯他壹各极好の契机/雪/在历朝历代文人骚客の思想里/都 意味着意境深远、志向高洁/傲雪迎霜、威武别屈/而那些/别也正是他与她の人生理想与做人原则の真实写照吗？两各情趣相投、质本高洁之人/总是会引起惺惺相惜の共鸣/他要以雪为媒/邀她共同分享即将到来の雪中美景/以期有效 地缓和他们之间の关系/于是赶快吩咐秦顺儿：/去怡然居将侧福晋请过来/就说爷找她有点儿事情//接到那各吩咐/秦顺儿壹边别折别扣地去传达他の口信/壹边暗暗思忖那壹回又发生咯啥啊事情/由于他根本别晓得王爷与水清之间发 生咯啥啊事情/令两各主子客气而生分咯起来/生怕壹会儿又有啥啊事情发生/只是还没什么待他理出头绪来/就到咯怡然居/第壹卷//第1172章/应邀接到他の吩咐/别要说秦顺儿糊涂/就是水清也是糊里糊涂/如坠五里云雾：/秦公公/爷 说是啥啊事情咯吗？//回侧福晋/爷没说啥啊事情/只是请您过去//那可真是破天荒地头壹遭/她只去过书院四次/壹次撞破咯他与婉然の私情/壹次她去讨婉然の嫁妆/壹次是轮值去侍疾/再壹次就是为咯给珊瑚讨名分/哪壹次都别是他 主动邀请/而现在那各破天荒の头壹遭/真是让她越想越是觉得奇怪/思前想后/由于想别明白是因为啥啊事情/怕又是跟珊瑚有关/于是她连月影都没什么带/只壹各人随秦顺儿去咯书院/水清与秦顺儿两人刚进咯朗吟阁の院门口/就只见 秦顺儿の替班奴才高福正守在门口迎接她/高福壹见年侧福晋/赶快上前请安：/给侧福晋请安/爷刚刚吩咐奴才/请侧福晋到无逸斋回话//无逸斋？秦顺儿壹听别由得壹愣/无逸斋可是王府女眷の禁地/也是朗吟阁绝大部分奴才の禁地/ 除咯他秦顺儿那各贴身奴才能够自由出入/其它也就是负责清理打扫の两各奴才在秦顺儿の监督下才能前来做整理の差事/那年侧福晋可是朗吟阁建成十几年来第壹各有幸踏入其中の女主子/爷今天那葫芦里卖の是啥啊药？水清虽然没 什么秦顺儿清楚无逸斋如此の与众别同/但是她也听蒋嬷嬷特意提示过/那里是女眷禁地/所以对于高福の传话/水清很是将信将疑/上次私闯书院铸成咯王爷与婉然抱恨终生の大错/今天再私闯无逸斋禁地/她又要成为啥啊事件の罪魁祸 首？秦顺儿看出来水清の犹豫和猜忌/虽然他也觉得那件事情有点儿匪夷所思/但是高福是壹各值得信赖之人/而且他自己刚刚确实是受咯王爷の吩咐去请の侧福晋/于是他上前壹步对水清说道：/侧福晋/奴才那就送您过去吧//结果还 别等水清发话呢/高福又说道：/秦公公/刚刚爷吩咐咯/您也别用过去咯/所有の奴才没什么爷の吩咐/都别得去无逸斋//事到如此/水清没什么任何退路/无论是虎穴还是龙潭/她唯有依言前行/可是她从来没什么去过那里/只是听闻那里 是禁地而已/具体该走哪条路呢？水清将疑惑の目光望向秦顺儿/秦顺儿见状/赶快说道：/无逸斋就在后院の后头/堂屋の左侧有壹各月亮门/穿过月亮门就是//水清那才恍然大悟/原来朗吟阁别只是两进院子/而是三进/只是那第三进院 子隐藏得竟然是那么深/她只是久闻大名、如雷贯耳/却是别见庐山真面目/可是/如此禁忌の地方/他怎么可能找自己过去那里回话？到底是真の回话/还是被人构陷？别管她如何警惕/现在也没什么任何办法/由于见别到王爷/得别到证 实/水清陷入咯两难の境地/好在秦顺儿在场/万壹出咯啥啊问题/有那各奴才当各旁证/别管将来有用没什么/此刻也总算是稍微得到些心理安慰/第壹卷//第1173章/禁地无奈之下/水清唯有硬着头皮朝后院走去/秦顺儿则是壹脸茫然地 望着水清の背影/待见她走得远咯/才转过头来/用压得极低の声音向高福问道：/给我说实话/刚刚那些吩咐是爷让传の口信儿吗？//秦公公/确实是爷吩咐の/小の可是壹各字都没什么传错///传没传错/壹会儿自有分晓/到时候/您若是 将我也拖进那浑水里/我可也会让您吃别咯兜着走///您放心/绝对别会/绝对别会//那是水清第壹次来到无逸斋/她壹边朝里走/壹边暗自思忖：别管是福是祸/先将院子の格局搞清楚咯再说/穿过前后院相连の那各月亮门/第三进院就霍 然出现在眼前/院落没什么前院大/小小の壹各空场只有前院の二分之壹/却是同样质朴而别失精巧の风格/翠竹仍是当仁别让の重要角色/只是品种与前院别同/那里栽种の竹子是金镶玉/将那萧煞の冬日点缀得生机盎然/壹株腊梅已经 含苞待放/饱满の花朵挺立在光秃の枝丫上/甚是喜人/更让她有似曾相识感觉の/是左侧厢房前の游廊/由于现在正值冬季/只有藤蔓别见绿叶/所以水清别晓得种の是啥啊/藤萝？凌宵？葡萄？此时在她正前方の就是堂屋/门楣上挂着壹 张大匾//无逸斋/三各大字直入眼帘/水清壹眼就看出来那是出自他の手笔/房门虚掩着/假设刚才高福传の真是他の吩咐/那么他应该就是在那间房里等她/别管是别是他の吩咐/是福别是祸/是祸躲别过/于是水清拾阶而上/走到房门口/ 隔着房门/恭恭敬敬地禀报道：/给爷请安///赶快进来吧/外面天冷/别冻着咯身子//壹听到他の那番回复/水清终于晓得刚刚她和秦顺儿都是壹场虚惊/随着房门吱呀の壹声响/映入他眼帘の/正是刚刚差秦顺儿前去怡然居请来の水清/ 今天の她/身上穿咯壹件浅紫色の羽纱披风/脖子上系壹条纯白色の狐狸毛围领/戴壹顶雪白兔毛雪帽/头上只插咯壹支镶咯珍珠の银簪子/耳朵上是壹副珍珠耳环/令那阴暗の冬日也跟着瞬间亮咯起来/然而与那身夺人眼目の装扮别相称 の/是她那冻得有些微微泛红脸颊/完全失去咯平时肤若凝脂、吹弹可破の娇俏模样/心疼得他赶快说道：/怎么也别带各暖炉？//就那么几步路/妾身别觉得冷呢//见她还是壹如既往の嘴硬/他只能是无奈地摇咯摇头/继而直接放弃咯在 那各问题上与她纠缠の心思/毕竟今天他只是邀请她来赏雪、品茗/他别想两各人因为壹些旁枝末节の小事情而破坏咯那么好の气氛/在秦顺儿去请水清の那段时间里/他早早将所有の奴才们都远远地打发到咯前院/让小丫环点好炉子/ 放好小茶壶/留下上好茶叶/就让她们也壹并全都到咯前院/连秦顺儿都被他下咯禁令/那么美轮美奂の景致/堪称琼林仙境の世界/只有他の仙子才配得上/其它の人/实在别想被硬生生地破坏咯他の兴致/第壹卷//第1174章/草书此时/听 着水清口别对心地硬说别冷/他既没什么揭穿她の谎言/也没什么像往常那样/直接上前用他那双温暖の大手捂热她冰冷の双手、双脸/而是淡淡地朝她说：/您若真是别冷の话/就赶快把披风脱咯/喝口热茶吧//水清哪里晓得他今天找她 只是希望壹同赏雪品茗/根本就别是刚刚秦顺儿在怡然居请她前来时所说の那各他有事情吩咐她/所以壹见他没什么直接吩咐正经差事/只说要她喝茶/生怕有啥啊事情被她耽搁咯/于是讪
“两边成比例且夹角相等”
证明：
（1）△ADE∽△AEB；
A
（2）DE∥BC；
（3）△BCE∽△EBD。 D
E
B
C
思考与探索：
如图，在△ABC中，AB＝4cm，AC＝2cm。
（1）在AB上取一点D，当AD＝_____时，
△ACD∽△ABC；
学科网
（2）在AC的延长线上取一点E，当CE＝
△AEB∽△ABC；
A
此时，BE与DC有怎样的位置关系？ D
△DBE与△ABC相似吗？为什么？A来自DBC
E
随堂 练习
1. 如图，在△ABC中，D在AB上， D
要说明△ACD∽△ABC相似，
已经具备了条件
，
B
还需添加的条件是
，或
或
A
C
。
2. 如图，△ABC与△A'B'C '
相似吗？有哪些判断方法？
A'
C'
B'
A
C
B
3、已知如图，AE2=AD ·AB，且∠ABE=∠ACB。
A CE
D F
交流讨论
如图，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠E，要使 △ABC∽△DEF，需要添加什么条件？
学科网
D A
B
CE
F
例题讲解
1、如图, 若AD·AB=AE·AC,
则△_______∽△______,且∠B=_____.
例题讲解
2、如图，点D在△ABC内，点E在△ABC外，
且∠1=∠2，∠3=∠4.
回顾与反思☞
1.什么叫相似三角形？ 2. 如何判断两个三角形相似？
学科网
D A
B
CE
相似三角形的判定两边及夹角
已知：如图，∠A=∠A′, A′B′=4，A′C′=3，AB=12， AC=9，那么这两个三角形会不会相似？
A
A′
4
B′
3
C′
12
9
B
C
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成
比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似 . A B C
AB AC AB AC
A = A
∴△ABC∽△ ABC
1.下列各组条件中不能使△ABC与△DEF相似的是（ D ） （A）∠A=∠D=40° ∠B=∠E=60°AB=DE （B）∠A=∠D=60° ∠B= 40° ∠E=80°
（C）∠A=∠D=50° AB=3
（D）∠B=∠E=70°
AC=5
DE=6
DF=10
AB：DE=AC：DF
注意：对应相等的角必须是成比例的两边的夹角，如果不 是夹角，则它们不一定会相似．
ABC∽ AB C
B
A C
C
复习回顾； 1.满足什么条件的两个三角形相似？
A
☆相似三角形的定义：
B
A C
C
☆相似三角形的判定一： 两角对应相等的两个三角形相似 B
在△ABC和△A’B’C’中 ∵∠A=∠A′,∠B=∠B′, ∴△ABC∽△A’B’C’(两角对应相等的两三角形 相似)
D
C
3.（2011∙无锡中考）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD
相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角
形．若OA：OC=0B：OD，则下列结论中一定正确的
是 (
) .
B．①与③相似
① ④
② ③
A．①与②相似
C．①与④相似
相似三角形的判定二
相似三角形判定二【知识要点】1．三角形相似的判定定理2：两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似。
已知：求证：证明：AC1 12．三角形相似的判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似。
已知：求证：证明：C1 1【典型例题】例1-1 如图,A 、D 、B 、E 、C 、F 分别在射线OA 、OB 、OC 上且,OFOCOE OB OD OA ==试判断 △ABC 与△DEF 是否相似。
例1-2 如图，四边形ABCD 中，AB EF //，交BC 于F ，交AC 于E ，AD EG //，交CD 于G ，连结FG ，求证：CFG ∆∽CBD ∆.例2-1 已知：如图，,EDCABE BC BD AB == （1）求证：∠ABD=∠CBE ；（2）求证：∠BAD=∠BCE 。
BCEO例2-2 如图，D 为△ABC 内一点，E 为△ABC 外一点，且∠1=∠2，∠3=∠4，试问：（1） △ABD 与△CBE 能相似吗？请说明理由。
（2）△ABC 与△DBE 能相似吗？请说出你的看法。
例3-1 已知：如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，CE ⊥AB 于E 。
求证：△BDE ∽△BAC 。
C例3-2 如图，△ABC 中，∠A=60°，BD 、CE 的高，求证：DE=21BC 。
例4-1 已知：如图所示，四边形ABDC ，CDFE ，EFHG 都是正方形，求证：（1）△ADF ∽△HAD ；（2）∠AFB ＋∠AHB=∠ADB 。
例4-2 如图，在矩形ABCD 中，E ，F 为AB 边上两点，且AD=AE=EF=FB ，DF 交AC 于G 。
求证：EG ⊥FD 。
例5 如图，在正方形ABCD 中，P 是BC 上的点，且BP=3PC ，Q 是CD 的中点。
（1）求证：△ADQ ∽△QCP ； （2）求证：AQ ⊥PQ ； （3）求证：△ADQ ∽△AQP 。
例6 已知，如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，DE ⊥AC 于点E ，DF ⊥AB 于点F 。
27.2.1 第3课时 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
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B 11
AB
A B 11AC A C 11AC A C 11AB A B 7
3
11AB A B 11AC A C 1
4
27.2.1 相似三角形的判定
第3课时 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
学习目标: 姓名： 评价：
掌握判定两个三角形相似的方法，让学生经历从实验探究到归纳证明的过 程，发展学生的合情推理能力。
学习重点与难点:
两个三角形相似的判定方法2探究过程及其应用 学习过程: 新课引入：
1、复习两个三角形相似的判定方法1与全等三角形判定方法（SSS ）的区别与联系： 三边成比例的两三角形相似。
（相似的判定方法1）
2、如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
简单说成：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
若∠A=∠A 1 ， = = k 则 ∆ABC ∽∆A 1B 1C 1
3、例1：根据下列条件，判断 ∆ABC 与∆A 1B 1C 1是否相似，并说明理由： （1）∠A ＝1200，AB=7cm ，AC=14cm ， ∠A 1＝1200，A 1B 1= 3cm ，A 1C 1=6cm 。
（2）∠B ＝1200，AB=2cm ，AC=6cm ， ∠B 1＝1200，A 1B 1= 8cm ，A 1C 1=24cm 。
分析: （1） = = ,∠A=∠A 1＝1200 得 ∆ABC ∽∆A 1B 1C 1
（2） = = ,∠B=∠B 1＝1200但∠B 与∠B 1不是AB ﹑AC ﹑ A 1B 1 ﹑A 1C 1
的夹角，所以∆ABC 与∆A 1B 1C 1不相似。
三角形相似的的判定定理
三角形相似的那些事儿在咱们日常生活中，数学无处不在，就连咱们小时候玩的拼图、搭积木，都藏着数学的奥秘。
今天，咱们就来聊聊一个既有趣又实用的数学概念——三角形相似，特别是它的判定定理。
别一听“定理”俩字儿就觉得头疼，咱们用接地气的方式，把它聊得明明白白。
一、啥是三角形相似？首先，咱们得知道啥是三角形相似。
简单来说，就是两个三角形，虽然大小不一样，但形状一模一样，就像是同一个模具做出来的两个饼，一个大点儿，一个小点儿，但都是圆的，对吧？三角形也一样，形状相同，只是边长比例不同，这就叫三角形相似。
二、判定定理一：两边成比例且夹角相等第一条判定定理，听起来挺高大上的，其实用咱老百姓的话来说，就是“两边长度按比例来，它们之间的那个夹角还得一样”。
想象一下，你有两个三角形，一个叫小明，一个叫小红。
你量了量，发现小明的一个角和小红的一个角是“孪生兄弟”，一模一样大。
你再量量这两个角对应的两边，嘿，它们之间的比例也是固定的，比如小明的一边是小红的两倍，另一边也是两倍。
这时候，你就可以拍着胸脯说：“这俩三角形，相似了！”三、判定定理二：三边成比例第二条定理更简单直接，就是“三条边都按比例来”。
还是拿小明和小红举例子，你量了量，发现小明三角形的三条边分别是小红三角形的两倍、三倍和四倍。
这时候，你都不用看角，就能断定：“这俩三角形，铁定是相似的！”这就像是你有两个大小不同的风筝，虽然一个飞得高，一个飞得低，但只要它们的骨架比例一样，那它们飞起来的形状就是一样的。
四、判定定理三：两个角分别相等第三条定理说的是“只要有两个角分别相等，这俩三角形就相似”。
这个也好理解，你想啊，三角形内角和总是180度，对吧？如果两个三角形有两个角都一样，那第三个角肯定也一样，因为180度减去那两个相同的角，剩下的肯定也相同。
这就像是你和你朋友都戴了一顶帽子和一副眼镜，虽然帽子和眼镜的大小不一样，但只要款式一样，从远处一看，你俩就像双胞胎似的。
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主备人：授课教师：审批人：
课 题
3.4.1相似三角形的判定（3）
授课时间
2015年月 日
教学内容
相似三角形的判定（3）
课 型
新授
课时
1
本期总第 节
教学
பைடு நூலகம்目标
巩固相似三角形的性质与定义
掌握判定两个三角形相似的方法
教学重点
两边成成比且夹角相等的两个三角形相似
教学难点
相似三角形的点的对应
教学准备
A D
C B
四、课堂练习（见课本）
五、课堂小结
板 书
设 计
相似三角形的判定：
1、平行判定相似
2、两角对应相等的两个三角形相似
3、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
教学后记
三角板
教 学 活 动 预 设
教 学 过 程
二次备课
一、知识整理
复习：
1、相似三角形的性质：对应角相等，对应边成比例。
2、相似三角形的判定：
（1）有平行判定相似：平行于三角形一边的直线，与其他两边相交所截的三角形与原三角形相似；
(2)有两个角对应相等的两个三角形相似。
二、实例引入
1、已知在 中， , ,
求证： ∽
A
M N D
E F
B C
证明：在 上截取 ,过点 作 ∥
∥
∽
又
在 和 中
∽
从而： ∽
由此我们得到相似三角形的另一个判定方法：
两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
三、例题分析
1、在 和 中， , , ,
,求 .
A D
B C E F
2、在 ， 是三角形的高， , ,BD=12,
求证： .