2017年高考数学(理)-分离(常数)参数法(讲)-专题练习(五)
2017年高考数学(文)-分离(常数)参数法(练)-专题练习(五)-答案
2017年高考数学(文)专题练习(五)分离(常数)参数法(练)答 案一.练高考1.A2.解:(Ⅰ)由题意知:sin sin sin sin 2cos cos cos cos cos cos A B A B A B A B A B⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭, 化简得()2sin cos sin cos sin sin A B B A A B +=,即()2sin sin sin A B A B +=+因为=πA B C ++,()()sin sin πsin A B C C +=-=.从而sin sin 2sin A B C +=由正弦定理得:2a b c +=. (Ⅱ)由(Ⅰ)知2a b c +=, 所以: 222223112cos 22842a b a b a b c b a C ab ab a b +⎛⎫+- ⎪+-⎛⎫⎝⎭===+-≥ ⎪⎝⎭, 当且仅当a b =时,等号成立.故cos C 的最小值为12. 二.练模拟1.D2.D3.C4.22(1)2x y -+=5.解: (Ⅰ)证明:142n n n a a a +=+, 12111442n n n n a a a a ++∴==+,111111222n n a a +⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭又11a =,111122a ∴-= 所以数列112n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以12为首项,12为公比的等比数列 (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,1111112222n n n a -⎛⎫-== ⎪⎝⎭, 即11122n n a =+ ∴22n nn n n b a =-= 于是231232222n n n S =++++…,① 2321112122222n n n n S +-=++++…,② 由①-②得,211111(1)1111122112222222212n n n n n n n n n n S +++-=+++-=-=---…, 即11222222n n n nn n S -+=--=-, ∴数列{}n b 的前项和222n n n S +=- 三.练原创1.D2.C3.B4.15.8n2017年高考数学(文)专题练习(五)分离(常数)参数法(练)解 析1.练高考1.【解析】由题意知,即,,代入,得.故选A .2.由正弦定理得.由知, 所以 , 当且仅当时,等号成立.故 的最小值为. 2.练模拟1.2211-=+m n 222=+m n 2221222221111()(1)(1)-+=⋅=-+m n e e m n m n 222=+m n 12,1>>m n ee 2a b c +=()∏()I 2a b c +=2222222cos 22a b a b a b c C ab ab +⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭==311842b a a b ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭a b =cos C 12【解析】易得是奇函数,在上是增函数,又 ,故选D . 2.3.4.【解析】由题意得:,当且仅当时取等号,所以半径最大为,所求圆为5.()f x 2()310()fx x f x '=+>⇒R 11(sin )(1)sin 1,0sin 111sin 1sin f m f m m m m m θθθθθ>-⇒>-⇒<<<⇒⇒≤--==1m =r =22(1) 2.x y -+=(II )解:由(I )知,, 即.………………8分 ∴.………………9分 于是,① ,② 由①-②得,,………………11分 即, ∴数列的前项和.………………12分 3.练原创1 111111()2222n n n a --==11122n n a =+22n n n n n n b a =-=231232222n n n S =++++231112122222n n n n n S +-=++++211111(1)1111122112222222212n n n n n n n n n n S +++-=+++-=-=---11222222n n n nn n S -+=--=-{}n b n 222n n n S +=-2.【解析】根据题意,函数与函数在()0+∞,上有公共点,令2xax e =得:2xe a x =, 设()2x ef x x = 则()222x xx e xe f x x -'=,由()0f x '= 得:2x =, 当02x << 时,()0f x '<,函数()2xe f x x=在区间()0,2上是减函数, 当2x > 时,()0f x '>,函数()2xe f x x=在区间()2,+∞上是增函数, ∴当2x =时,函数()2x e f x x =在()0+∞,上有最小值()224e f =,∴24e a ≥ ,故选C . 3.【解析】令t =则13t ≤≤时,2(t)51g t mt =-+>有解,即4m t t<+在13t ≤≤时成立;而函数4u t t =+在[1,2]是减函数,在[2,3]是增函数,4[4,5]u t t=+∈,所以只需5<m ,故选B . 4.所以8)25()25(=--++-x f x f ,从而令3=x ,得8)325()325(=--++-f f .。
(完整版)高一数学之分离参数法(含答案),推荐文档
高中重要解题方法——分离变量法分离变量法是近年来发展较快的思想方法之一.高考数学试题中,求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系.其中与二次函数相关的充分体现数形结合及分类思想方法的题目最为常见.与二次函数有关的求解参数的题目, 相当一部分题目都可以避开二次函数,使用分离变量,使得做题的正确率大大提高.随着分离变量的广泛使用,越来越多的压轴题都需要使用该思想方法.分离变量法:是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端,使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在(有)解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量,其中一个范围已知,另一个范围未知.解决问题的关键: 分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后,对于不同问题我们有不同的理论依据可以遵循.以下定理均为已知的范围,求的范围:x a 定理1 不等式恒成立(求解的最小值);不()()f x g a ≥⇔[]min ()()f x g a ≥()f x 等式恒成立(求解的最大值).()()f x g a ≤⇔[]max ()()f x g a ≤()f x 定理2 不等式存在解(求解的最大值);不()()f x g a ≥⇔[]max ()()f x g a ≥()f x 等式存在解(即求解的最小值).()()f x g a ≤⇔[]min ()()f x g a ≤()f x 定理3 方程有解的范围的值域(求解的值域).()()f x g a =⇔()g a =()f x ()f x 解决问题时需要注意:(1)确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一个;(2)确定是求最大值、最小值还是值域.再现性题组:1、已知当x R 时,不等式恒成立,求实数a 的取值范围。
∈224sin cos sin 5x x x a +-<-+2.若f(x)=在上有恒成立,求a 的取值范围。
233x x --[1,4]x ∈-()21f x x a ≥+-3,、若f(x)=在上有恒成立,求a 的取值范围。
高考数学二轮复习 第三篇 方法应用篇 专题3.4 分离(常数)参数法(讲)理
方法四 分离(常数)参数法分离(常数)参数法是高中数学中比较常见的数学思想方法,求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系,其中与二次函数相关的充分体现数形结合及分类思想方法的题目最为常见.与二次函数有关的求解参数的题目, 相当一部分题目都可以避开二次函数,使用分离变量,使得做题的正确率大大提高,随着分离变量的广泛使用,越来越多的压轴题都需要使用该思想方法. 1 分离常数法分离常数法在含有两个量(一个常量和一个变量)的关系式(不等式或方程)中,要求变量的取值范围,可以将变量和常量分离(即变量和常量各在式子的一端),从而求出变量的取值范围. 1.1 用分离常数法求分式函数的最值(值域)分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法,主要的分式函数有ax by cx d+=+,22ax bx c y mx nx p ++=++,x x m a n y p a q⋅+=⋅+,sin sin m x n y p x q ⋅+=⋅+ 等,解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数.例1. 已知函数()242x x a af x a a-+=+(0a >且1a ≠)是定义在R 上的奇函数.(Ⅰ)求a 的值;(Ⅱ)求函数()f x 的值域;(Ⅲ)当[]1,2x ∈时, ()220xmf x +-≥恒成立,求实数m 的取值范围.【答案】(Ⅰ) 2a =;(Ⅱ) ()1,1-;(Ⅲ) 10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】试题分析:(Ⅰ)由函数为奇函数可得()()f x f x -=-,即242422x x x xa a a aa a a a---+-+=-++,可得2a =.(Ⅱ)分离常数可得()2121x f x =-+,故函数为增函数,再由211x+>,可得211121x -<-<+,即可得函数的值域.(Ⅲ)通过分离参数可得()()212221xx xm +-≥-在[]1,2x ∈时恒成立,令()2113xt t =-≤≤,,则有()()2121t t m t tt+-≥=-+,根据函数21y t t=-+的单调性可得函数的最大值,从而可得实数m 的取值范围(Ⅱ)由(Ⅰ)可得()22221212222121x x x x xf x ⋅--===-⋅+++, ∴函数()f x 在R 上单调递增, 又211x+>,∴22021x -<-<+, ∴211121x -<-<+.∴函数()f x 的值域为()1,1-.(Ⅲ)当[]1,2x ∈时, ()21021x xf x -=>+. 由题意得()212221x x xmf x m -=≥-+在[]1,2x ∈时恒成立, ∴()()212221xx x m +-≥-在[]1,2x ∈时恒成立.令()2113xt t =-≤≤,,则有()()2121t t m t tt+-≥=-+,∵当13t ≤≤时函数21y t t=-+为增函数,∴max 21013t t ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭. ∴103m ≥. 故实数m 的取值范围为10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 例2.一种作图工具如图1所示.O 是滑槽AB 的中点,短杆ON 可绕O 转动,长杆MN 通过N 处铰链与ON连接,MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动,且1DN ON ==,3MN =.当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时,带动..N 绕O 转动一周(D 不动时,N 也不动),M 处的笔尖画出的曲线记为C .以O 为原点,AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系. (Ⅰ)求曲线C 的方程;(Ⅱ)设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点.若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点,试探究:OQP ∆的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.【答案】(Ⅰ)221164x y +=;(Ⅱ)存在最小值8. 【解析】(Ⅰ)设点(,0)(||2)D t t ≤,00(,),(,)N x y M x y ,依题意,第21题图1第21题图22MD DN =,且||||1DN ON ==,所以00(,)2(,)t x y x t y --=-,且2200220()1,1.x t y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩即0022,2.t x x t y y -=-⎧⎨=-⎩且0(2)0.t t x -= 由于当点D 不动时,点N 也不动,所以t 不恒等于0,于是02t x =,故00,42x yx y ==-,代入2201x y +=,可得221164x y +=,即所求的曲线C 的方程为221.164x y +=又由,20,y kx m x y =+⎧⎨-=⎩ 可得2(,)1212m m P k k --;同理可得2(,)1212m m Q k k -++.由原点O 到直线PQ的距离为d =和|||P Q PQ x x -,可得22111222||||||||222121214OPQP Q m m m S PQ d m x x m k k k ∆=⋅=-=⋅+=-+-. ② 将①代入②得,222241281441OPQk m S k k ∆+==--. 当214k >时,2224128()8(1)84141OPQ k S k k ∆+==+>--;当2104k ≤<时,2224128()8(1)1414OPQ k S k k ∆+==-+--.因2104k ≤<,则20141k <-≤,22214k ≥-,所以228(1)814OPQ S k ∆=-+≥-,当且仅当0k =时取等号. 所以当0k =时,OPQ S ∆的最小值为8.综合(1)(2)可知,当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时,OPQ ∆的面积取得最小值8. 1.2 用分离常数法判断分式函数的单调性例3....例4.【2018届高三训练】若不等式x2+ax+1≥0对一切则a的最小值为( )A. 0B. -2C. -3【答案】C2 分离参数法分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法,通过分离参数,用函数观点讨论主变量的变化情况,由此我们可以确定参数的变化范围.这种方法可以避免分类讨论的麻烦,从而使问题得以顺利解决.分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到. 解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题.2.1 用分离参数法解决不等式恒成立问题例5.【2018届天一大联考高中毕业班阶段性测试(四)__________.【解析】由题可知:t=n+1M的最小值是例6.(1(2)围.【答案】(1(2【解析】(1(22.2 求定点的坐标例7. .【反思提升】综合上面的例题,我们可以看到,分离参(常)数是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端,使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在(有)解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量,其中一个范围已知,另一个范围未知,解决问题的关键是分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后,对于不同问题我们有不同的理论依据需遵循.。
2017年全国统一高考数学 理科 新课标1 (解析版)
2017年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)(2017?新课标Ⅰ)已知集合A={x|x <1},B={x|3x <1},则( ) A .A ∩B={x|x <0} B .A ∪B=R C .A ∪B={x|x >1} D .A ∩B=?2.(5分)(2017?新课标Ⅰ)如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是( )A .B .C .D .3.(5分)(2017?新课标Ⅰ)设有下面四个命题 p 1:若复数z 满足∈R ,则z ∈R ; p 2:若复数z 满足z 2∈R ,则z ∈R ; p 3:若复数z 1,z 2满足z 1z 2∈R ,则z 1=;p 4:若复数z ∈R ,则∈R . 其中的真命题为( )A .p 1,p 3B .p 1,p 4C .p 2,p 3D .p 2,p 44.(5分)(2017?新课标Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 4+a 5=24,S 6=48,则{a n }的公差为( ) A .1 B .2C .4D .85.(5分)(2017?新课标Ⅰ)函数f (x )在(﹣∞,+∞)单调递减,且为奇函数.若f (1)=﹣1,则满足﹣1≤f (x ﹣2)≤1的x 的取值范围是( ) A .[﹣2,2]B .[﹣1,1]C .[0,4]D .[1,3]6.(5分)(2017?新课标Ⅰ)(1+)(1+x )6展开式中x 2的系数为( )A .15B .20C .30D .357.(5分)(2017?新课标Ⅰ)某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为( )A.10 B.12 C.14 D.168.(5分)(2017?新课标Ⅰ)如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n>1000的最小偶数n,那么在和两个空白框中,可以分别填入()A.A>1000和n=n+1 B.A>1000和n=n+2C.A≤1000和n=n+1 D.A≤1000和n=n+29.(5分)(2017?新课标Ⅰ)已知曲线C1:y=cosx,C2:y=sin(2x+),则下面结论正确的是()A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C210.(5分)(2017?新课标Ⅰ)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A、B两点,直线l2与C交于D、E两点,则|AB|+|DE|的最小值为()A.16 B.14 C.12 D.1011.(5分)(2017?新课标Ⅰ)设x、y、z为正数,且2x=3y=5z,则()A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z12.(5分)(2017?新课标Ⅰ)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是()A.440 B.330 C.220 D.110二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(5分)(2017?新课标Ⅰ)已知向量,的夹角为60°,||=2,||=1,则|+2|= .14.(5分)(2017?新课标Ⅰ)设x,y满足约束条件,则z=3x﹣2y的最小值为.15.(5分)(2017?新课标Ⅰ)已知双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN=60°,则C的离心率为.16.(5分)(2017?新课标Ⅰ)如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D、E、F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.17.(12分)(2017?新课标Ⅰ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为.(1)求sinBsinC;(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长.18.(12分)(2017?新课标Ⅰ)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,求二面角A﹣PB﹣C的余弦值.19.(12分)(2017?新课标Ⅰ)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ﹣3σ,μ+3σ)之外的零件数,求P(X≥1)及X的数学期望;(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ﹣3σ,μ+3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性;(ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:经计算得==9.97,s==≈0.212,其中xi为抽取的第i个零件的尺寸,i=1,2, (16)用样本平均数作为μ的估计值,用样本标准差s作为σ的估计值,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除(﹣3+3)之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ﹣3σ<Z<μ+3σ)=0.9974,0.997416≈0.9592,≈0.09.20.(12分)(2017?新课标Ⅰ)已知椭圆C:+=1(a>b>0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3(﹣1,),P4(1,)中恰有三点在椭圆C上.(1)求C的方程;(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1,证明:l过定点.21.(12分)(2017?新课标Ⅰ)已知函数f(x)=ae2x+(a﹣2)e x﹣x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.[选修4-4,坐标系与参数方程](2017?新课标Ⅰ)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为,22.(10分)(θ为参数),直线l的参数方程为,(t为参数).(1)若a=﹣1,求C与l的交点坐标;(2)若C上的点到l距离的最大值为,求a.[选修4-5:不等式选讲]23.(2017?新课标Ⅰ)已知函数f(x)=﹣x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x﹣1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[﹣1,1],求a的取值范围.2017年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)(2017?新课标Ⅰ)已知集合A={x|x<1},B={x|3x<1},则()A.A∩B={x|x<0} B.A∪B=R C.A∪B={x|x>1} D.A∩B=?【考点】1E:交集及其运算.【专题】11 :计算题;37 :集合思想;4O:定义法;5J :集合.【分析】先分别求出集合A和B,再求出A∩B和A∪B,由此能求出结果.【解答】解:∵集合A={x|x<1},B={x|3x<1}={x|x<0},∴A∩B={x|x<0},故A正确,D错误;A∪B={x|x<1},故B和C都错误.故选:A.【点评】本题考查交集和并集求法及应用,是基础题,解题时要认真审题,注意交集、并集定义的合理运用.2.(5分)(2017?新课标Ⅰ)如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是( )A .B .C .D .【考点】CF :几何概型.【专题】35 :转化思想;4O :定义法;5I :概率与统计.【分析】根据图象的对称性求出黑色图形的面积,结合几何概型的概率公式进行求解即可.【解答】解:根据图象的对称性知,黑色部分为圆面积的一半,设圆的半径为1,则正方形的边长为2, 则黑色部分的面积S=,则对应概率P==,故选:B .【点评】本题主要考查几何概型的概率计算,根据对称性求出黑色阴影部分的面积是解决本题的关键.3.(5分)(2017?新课标Ⅰ)设有下面四个命题 p 1:若复数z 满足∈R ,则z ∈R ; p 2:若复数z 满足z 2∈R ,则z ∈R ; p 3:若复数z 1,z 2满足z 1z 2∈R ,则z 1=;p 4:若复数z ∈R ,则∈R . 其中的真命题为( )A .p 1,p 3B .p 1,p 4C .p 2,p 3D .p 2,p 4【考点】2K :命题的真假判断与应用;A1:虚数单位i 、复数;A5:复数的运算. 【专题】2A :探究型;5L :简易逻辑;5N :数系的扩充和复数.【分析】根据复数的分类,有复数性质,逐一分析给定四个命题的真假,可得答案. 【解答】解:若复数z 满足∈R ,则z ∈R ,故命题p 1为真命题;p 2:复数z=i满足z2=﹣1∈R,则z?R,故命题p2为假命题;p 3:若复数z1=i,z2=2i满足z1z2∈R,但z1≠,故命题p3为假命题;p 4:若复数z∈R,则=z∈R,故命题p4为真命题.故选:B.【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体,考查了复数的运算,复数的分类,复数的运算性质,难度不大,属于基础题.4.(5分)(2017?新课标Ⅰ)记Sn 为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{an}的公差为()A.1 B.2 C.4 D.8【考点】85:等差数列的前n项和;84:等差数列的通项公式.【专题】11 :计算题;34 :方程思想;4O:定义法;54 :等差数列与等比数列.【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组,求出首项和公差,由此能求出{an}的公差.【解答】解:∵Sn 为等差数列{an}的前n项和,a4+a5=24,S6=48,∴,解得a1=﹣2,d=4,∴{an}的公差为4.故选:C.【点评】本题考查等差数列的面公式的求法及应用,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列的性质的合理运用.5.(5分)(2017?新课标Ⅰ)函数f(x)在(﹣∞,+∞)单调递减,且为奇函数.若f(1)=﹣1,则满足﹣1≤f(x﹣2)≤1的x的取值范围是()A.[﹣2,2] B.[﹣1,1] C.[0,4] D.[1,3]【考点】3P:抽象函数及其应用.【专题】35 :转化思想;4R:转化法;51 :函数的性质及应用.【分析】由已知中函数的单调性及奇偶性,可将不等式﹣1≤f(x﹣2)≤1化为﹣1≤x ﹣2≤1,解得答案.【解答】解:∵函数f(x)为奇函数.若f(1)=﹣1,则f(﹣1)=1,又∵函数f(x)在(﹣∞,+∞)单调递减,﹣1≤f(x﹣2)≤1,∴f(1)≤f(x﹣2)≤f(﹣1),∴﹣1≤x﹣2≤1,解得:x∈[1,3],故选:D.【点评】本题考查的知识点是抽象函数及其应用,函数的单调性,函数的奇偶性,难度中档.6.(5分)(2017?新课标Ⅰ)(1+)(1+x)6展开式中x2的系数为()A.15 B.20 C.30 D.35【考点】DA:二项式定理.【专题】35 :转化思想;4R:转化法.【分析】直接利用二项式定理的通项公式求解即可.【解答】解:(1+)(1+x)6展开式中:若(1+)=(1+x﹣2)提供常数项1,则(1+x)6提供含有x2的项,可得展开式中x2的系数:若(1+)提供x﹣2项,则(1+x)6提供含有x4的项,可得展开式中x2的系数:由(1+x)6通项公式可得.可知r=2时,可得展开式中x2的系数为.可知r=4时,可得展开式中x2的系数为.(1+)(1+x)6展开式中x2的系数为:15+15=30.故选:C.【点评】本题主要考查二项式定理的知识点,通项公式的灵活运用.属于基础题.7.(5分)(2017?新课标Ⅰ)某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为()A.10 B.12 C.14 D.16【考点】L!:由三视图求面积、体积.【专题】11 :计算题;31 :数形结合;44 :数形结合法;5Q :立体几何.【分析】由三视图可得直观图,由图形可知该立体图中只有两个相同的梯形的面,根据梯形的面积公式计算即可【解答】解:由三视图可画出直观图,该立体图中只有两个相同的梯形的面,S=×2×(2+4)=6,梯形∴这些梯形的面积之和为6×2=12,故选:B.【点评】本题考查了体积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.8.(5分)(2017?新课标Ⅰ)如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n>1000的最小偶数n,那么在和两个空白框中,可以分别填入()A.A>1000和n=n+1 B.A>1000和n=n+2C.A≤1000和n=n+1 D.A≤1000和n=n+2【考点】EF:程序框图.【专题】11 :计算题;38 :对应思想;49 :综合法;5K :算法和程序框图.【分析】通过要求A>1000时输出且框图中在“否”时输出确定“”内不能输入“A>1000”,进而通过偶数的特征确定n=n+2.【解答】解:因为要求A>1000时输出,且框图中在“否”时输出,所以“”内不能输入“A>1000”,又要求n为偶数,且n的初始值为0,所以“”中n依次加2可保证其为偶数,所以D选项满足要求,故选:D.【点评】本题考查程序框图,属于基础题,意在让大部分考生得分.9.(5分)(2017?新课标Ⅰ)已知曲线C1:y=cosx,C2:y=sin(2x+),则下面结论正确的是()A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2【考点】HJ:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.【专题】11 :计算题;35 :转化思想;57 :三角函数的图像与性质.【分析】利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可.【解答】解:把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,得到函数y=cos2x图象,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到函数y=cos2(x+)=cos(2x+)=sin(2x+)的图象,即曲线C2,故选:D.【点评】本题考查三角函数的图象变换,诱导公式的应用,考查计算能力.10.(5分)(2017?新课标Ⅰ)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A、B两点,直线l2与C交于D、E两点,则|AB|+|DE|的最小值为()A.16 B.14 C.12 D.10【考点】K8:抛物线的性质.【专题】11 :计算题;34 :方程思想;4R:转化法;5D :圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】方法一:根据题意可判断当A 与D ,B ,E 关于x 轴对称,即直线DE 的斜率为1,|AB|+|DE|最小,根据弦长公式计算即可.方法二:设直线l 1的倾斜角为θ,则l 2的倾斜角为 +θ,利用焦点弦的弦长公式分别表示出|AB|,|DE|,整理求得答案【解答】解:如图,l 1⊥l 2,直线l 1与C 交于A 、B 两点, 直线l 2与C 交于D 、E 两点, 要使|AB|+|DE|最小,则A 与D ,B ,E 关于x 轴对称,即直线DE 的斜率为1, 又直线l 2过点(1,0), 则直线l 2的方程为y=x ﹣1, 联立方程组,则y 2﹣4y ﹣4=0,∴y 1+y 2=4,y 1y 2=﹣4,∴|DE|=?|y 1﹣y 2|=×=8,∴|AB|+|DE|的最小值为2|DE|=16,方法二:设直线l 1的倾斜角为θ,则l 2的倾斜角为 +θ,根据焦点弦长公式可得|AB|==|DE|===∴|AB|+|DE|=+==,∵0<sin 22θ≤1,∴当θ=45°时,|AB|+|DE|的最小,最小为16, 故选:A .【点评】本题考查了抛物线的简单性质以及直线和抛物线的位置关系,弦长公式,对于过焦点的弦,能熟练掌握相关的结论,解决问题事半功倍属于中档题. 11.(5分)(2017?新课标Ⅰ)设x 、y 、z 为正数,且2x =3y =5z ,则( )A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z【考点】72:不等式比较大小.【专题】35 :转化思想;51 :函数的性质及应用;59 :不等式的解法及应用.【分析】x、y、z为正数,令2x=3y=5z=k>1.lgk>0.可得x=,y=,z=.可得3y=,2x=,5z=.根据==,>=.即可得出大小关系.另解:x、y、z为正数,令2x=3y=5z=k>1.lgk>0.可得x=,y=,z=.==>1,可得2x>3y,同理可得5z>2x.【解答】解:x、y、z为正数,令2x=3y=5z=k>1.lgk>0.则x=,y=,z=.∴3y=,2x=,5z=.∵==,>=.∴>lg>>0.∴3y<2x<5z.另解:x、y、z为正数,令2x=3y=5z=k>1.lgk>0.则x=,y=,z=.∴==>1,可得2x>3y,==>1.可得5z>2x.综上可得:5z>2x>3y.解法三:对k取特殊值,也可以比较出大小关系.故选:D.【点评】本题考查了对数函数的单调性、换底公式、不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.12.(5分)(2017?新课标Ⅰ)几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N :N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是( ) A .440 B .330 C .220 D .110 【考点】8E :数列的求和.【专题】35 :转化思想;4R :转化法;54 :等差数列与等比数列.【分析】方法一:由数列的性质,求得数列{b n }的通项公式及前n 项和,可知当N 为时(n ∈N +),数列{a n }的前N 项和为数列{b n }的前n 项和,即为2n+1﹣n ﹣2,容易得到N >100时,n ≥14,分别判断,即可求得该款软件的激活码;方法二:由题意求得数列的每一项,及前n 项和S n =2n+1﹣2﹣n ,及项数,由题意可知:2n+1为2的整数幂.只需将﹣2﹣n 消去即可,分别即可求得N 的值. 【解答】解:设该数列为{an },设b n =+…+=2n+1﹣1,(n ∈N +),则=a i ,由题意可设数列{a n }的前N 项和为S N ,数列{b n }的前n 项和为T n ,则T n =21﹣1+22﹣1+…+2n+1﹣1=2n+1﹣n ﹣2, 可知当N 为时(n ∈N +),数列{a n }的前N 项和为数列{b n }的前n 项和,即为2n+1﹣n ﹣2,容易得到N >100时,n ≥14, A 项,由=435,440=435+5,可知S 440=T 29+b 5=230﹣29﹣2+25﹣1=230,故A 项符合题意. B 项,仿上可知=325,可知S 330=T 25+b 5=226﹣25﹣2+25﹣1=226+4,显然不为2的整数幂,故B项不符合题意.C项,仿上可知=210,可知S220=T20+b10=221﹣20﹣2+210﹣1=221+210﹣23,显然不为2的整数幂,故C项不符合题意.D项,仿上可知=105,可知S110=T14+b5=215﹣14﹣2+25﹣1=215+15,显然不为2的整数幂,故D项不符合题意.故选A.方法二:由题意可知:,,,…,根据等比数列前n项和公式,求得每项和分别为:21﹣1,22﹣1,23﹣1,…,2n﹣1,每项含有的项数为:1,2,3,…,n,总共的项数为N=1+2+3+…+n=,所有项数的和为Sn:21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+2n﹣1=(21+22+23+…+2n)﹣n=﹣n=2n+1﹣2﹣n,由题意可知:2n+1为2的整数幂.只需将﹣2﹣n消去即可,则①1+2+(﹣2﹣n)=0,解得:n=1,总共有+2=3,不满足N>100,②1+2+4+(﹣2﹣n)=0,解得:n=5,总共有+3=18,不满足N>100,③1+2+4+8+(﹣2﹣n)=0,解得:n=13,总共有+4=95,不满足N>100,④1+2+4+8+16+(﹣2﹣n)=0,解得:n=29,总共有+5=440,满足N>100,∴该款软件的激活码440.故选:A.【点评】本题考查数列的应用,等差数列与等比数列的前n项和,考查计算能力,属于难题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(5分)(2017?新课标Ⅰ)已知向量,的夹角为60°,||=2,||=1,则|+2|= 2.【考点】9P:平面向量数量积的坐标表示、模、夹角.【专题】31 :数形结合;4O:定义法;5A :平面向量及应用.【分析】根据平面向量的数量积求出模长即可.【解答】解:【解法一】向量,的夹角为60°,且||=2,||=1,∴=+4?+4=22+4×2×1×cos60°+4×12=12,∴|+2|=2.【解法二】根据题意画出图形,如图所示;结合图形=+=+2;在△OAC中,由余弦定理得||==2,即|+2|=2.故答案为:2.【点评】本题考查了平面向量的数量积的应用问题,解题时应利用数量积求出模长,是基础题.14.(5分)(2017?新课标Ⅰ)设x,y满足约束条件,则z=3x﹣2y的最小值为﹣5 .【考点】7C:简单线性规划.【专题】11 :计算题;31 :数形结合;35 :转化思想;5T :不等式.【分析】由约束条件作出可行域,由图得到最优解,求出最优解的坐标,数形结合得答案.【解答】解:由x,y满足约束条件作出可行域如图,由图可知,目标函数的最优解为A,联立,解得A(﹣1,1).∴z=3x﹣2y的最小值为﹣3×1﹣2×1=﹣5.故答案为:﹣5.【点评】本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.15.(5分)(2017?新课标Ⅰ)已知双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN=60°,则C的离心率为.【考点】KC:双曲线的性质.【专题】11 :计算题;35 :转化思想;49 :综合法;5D :圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】利用已知条件,转化求解A到渐近线的距离,推出a,c的关系,然后求解双曲线的离心率即可.【解答】解:双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的右顶点为A(a,0),以A为圆心,b为半径做圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN=60°,可得A到渐近线bx+ay=0的距离为:bcos30°=,可得:=,即,可得离心率为:e=.故答案为:.【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用,点到直线的距离公式以及圆的方程的应用,考查转化思想以及计算能力.16.(5分)(2017?新课标Ⅰ)如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D、E、F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为4cm3.【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积.【专题】11 :计算题;35 :转化思想;49 :综合法;5E :圆锥曲线中的最值与范围问题.【分析】由题,连接OD,交BC于点G,由题意得OD⊥BC,OG=BC,设OG=x,则=3,BC=2x,DG=5﹣x,三棱锥的高h=,求出S△ABCV==,令f(x)=25x4﹣10x5,x∈(0,),f′(x)=100x3﹣50x4,f(x)≤f(2)=80,由此能求出体积最大值.【解答】解:由题意,连接OD,交BC于点G,由题意得OD⊥BC,OG=BC,即OG的长度与BC的长度成正比,设OG=x,则BC=2x,DG=5﹣x,三棱锥的高h===,=3,则V===,令f(x)=25x4﹣10x5,x∈(0,),f′(x)=100x3﹣50x4,令f′(x)≥0,即x4﹣2x3≤0,解得x≤2,则f(x)≤f(2)=80,∴V≤=4cm3,∴体积最大值为4cm3.故答案为:4cm3.【点评】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、函数性质、导数等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,是中档题.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.17.(12分)(2017?新课标Ⅰ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为.(1)求sinBsinC;(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长.【考点】HP:正弦定理;HR:余弦定理.【专题】11 :计算题;33 :函数思想;4R:转化法;56 :三角函数的求值;58 :解三角形.【分析】(1)根据三角形面积公式和正弦定理可得答案,(2)根据两角余弦公式可得cosA=,即可求出A=,再根据正弦定理可得bc=8,根据余弦定理即可求出b+c,问题得以解决.【解答】解:(1)由三角形的面积公式可得S=acsinB=,△ABC∴3csinBsinA=2a,由正弦定理可得3sinCsinBsinA=2sinA,∵sinA≠0,∴sinBsinC=;(2)∵6cosBcosC=1,∴cosBcosC=,∴cosBcosC﹣sinBsinC=﹣=﹣,∴cos(B+C)=﹣,∴cosA=,∵0<A<π,∴A=,∵===2R==2,∴sinBsinC=?===,∴bc=8,∵a2=b2+c2﹣2bccosA,∴b2+c2﹣bc=9,∴(b+c)2=9+3cb=9+24=33,∴b+c=∴周长a+b+c=3+.【点评】本题考查了三角形的面积公式和两角和的余弦公式和诱导公式和正弦定理余弦定理,考查了学生的运算能力,属于中档题.18.(12分)(2017?新课标Ⅰ)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°.(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;(2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,求二面角A﹣PB﹣C的余弦值.【考点】MJ:二面角的平面角及求法;LY:平面与平面垂直.【专题】15 :综合题;31 :数形结合;41 :向量法;5G :空间角.【分析】(1)由已知可得PA⊥AB,PD⊥CD,再由AB∥CD,得AB⊥PD,利用线面垂直的判定可得AB⊥平面PAD,进一步得到平面PAB⊥平面PAD;(2)由已知可得四边形ABCD为平行四边形,由(1)知AB⊥平面PAD,得到AB⊥AD,则四边形ABCD为矩形,设PA=AB=2a,则AD=.取AD中点O,BC中点E,连接PO、OE,以O为坐标原点,分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系,求出平面PBC的一个法向量,再证明PD⊥平面PAB,得为平面PAB的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣PB﹣C的余弦值.【解答】(1)证明:∵∠BAP=∠CDP=90°,∴PA⊥AB,PD⊥CD,∵AB∥CD,∴AB⊥PD,又∵PA∩PD=P,且PA?平面PAD,PD?平面PAD,∴AB⊥平面PAD,又AB?平面PAB,∴平面PAB⊥平面PAD;(2)解:∵AB∥CD,AB=CD,∴四边形ABCD为平行四边形,由(1)知AB⊥平面PAD,∴AB⊥AD,则四边形ABCD为矩形,在△APD中,由PA=PD,∠APD=90°,可得△PAD为等腰直角三角形,设PA=AB=2a,则AD=.取AD中点O,BC中点E,连接PO、OE,以O为坐标原点,分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系,则:D(),B (),P(0,0,),C().,,.设平面PBC的一个法向量为,由,得,取y=1,得.∵AB⊥平面PAD,AD?平面PAD,∴AB⊥PD,又PD⊥PA,PA∩AB=A,∴PD⊥平面PAB,则为平面PAB 的一个法向量,.∴cos <>==.由图可知,二面角A﹣PB﹣C为钝角,∴二面角A﹣PB﹣C 的余弦值为.【点评】本题考查平面与平面垂直的判定,考查空间想象能力和思维能力,训练了利用空间向量求二面角的平面角,是中档题.19.(12分)(2017?新课标Ⅰ)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ﹣3σ,μ+3σ)之外的零件数,求P(X≥1)及X的数学期望;(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ﹣3σ,μ+3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性;(ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:经计算得==9.97,s==≈0.212,其中x为抽取的第i个零件的尺寸,i=1,2, (16)i用样本平均数作为μ的估计值,用样本标准差s作为σ的估计值,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除(﹣3+3)之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ﹣3σ<Z<μ+3σ)=0.9974,0.997416≈0.9592,≈0.09.【考点】CP:正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.【专题】11 :计算题;35 :转化思想;4A :数学模型法;5I :概率与统计.【分析】(1)通过P(X=0)可求出P(X≥1)=1﹣P(X=0)=0.0408,利用二项分布的期望公式计算可得结论;(2)(ⅰ)由(1)及知落在(μ﹣3σ,μ+3σ)之外为小概率事件可知该监控生产过程方法合理;(ⅱ)通过样本平均数、样本标准差s估计、可知(﹣3+3)=(9.334,10.606),进而需剔除(﹣3+3)之外的数据9.22,利用公式计算即得结论.【解答】解:(1)由题可知尺寸落在(μ﹣3σ,μ+3σ)之内的概率为0.9974,则落在(μ﹣3σ,μ+3σ)之外的概率为1﹣0.9974=0.0026,因为P(X=0)=×(1﹣0.9974)0×0.997416≈0.9592,所以P(X≥1)=1﹣P(X=0)=0.0408,又因为X~B(16,0.0026),所以E(X)=16×0.0026=0.0416;(2)(ⅰ)如果生产状态正常,一个零件尺寸在(﹣3+3)之外的概率只有0.0026,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在(﹣3+3)之外的零件的概率只有0.0408,发生的概率很小.因此一旦发生这种状况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的. (ⅱ)由=9.97,s ≈0.212,得μ的估计值为=9.97,σ的估计值为=0.212,由样本数据可以看出一个 零件的尺寸在(﹣3+3)之外,因此需对当天的生产过程进行检查.剔除(﹣3+3)之外的数据9.22,剩下的数据的平均数为(16×9.97﹣9.22)=10.02, 因此μ的估计值为10.02.2=16×0.2122+16×9.972≈1591.134,剔除(﹣3+3)之外的数据9.22,剩下的数据的样本方差为(1591.134﹣9.222﹣15×10.022)≈0.008, 因此σ的估计值为≈0.09.【点评】本题考查正态分布,考查二项分布,考查方差、标准差,考查概率的计算,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于中档题. 20.(12分)(2017?新课标Ⅰ)已知椭圆C :+=1(a >b >0),四点P 1(1,1),P 2(0,1),P 3(﹣1,),P 4(1,)中恰有三点在椭圆C 上.(1)求C 的方程;(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ,B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为﹣1,证明:l 过定点.【考点】KI :圆锥曲线的综合;K3:椭圆的标准方程.【专题】14 :证明题;35 :转化思想;49 :综合法;5E :圆锥曲线中的最值与范围问题.【分析】(1)根据椭圆的对称性,得到P 2(0,1),P 3(﹣1,),P 4(1,)三点在椭圆C 上.把P 2(0,1),P 3(﹣1,)代入椭圆C ,求出a 2=4,b 2=1,由此能求出椭圆C 的方程.(2)当斜率不存在时,不满足;当斜率存在时,设l :y=kx+t ,(t ≠1),联立,得(1+4k 2)x 2+8ktx+4t 2﹣4=0,由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程,结合已知条件能证明直线l 过定点(2,﹣1). 【解答】解:(1)根据椭圆的对称性,P 3(﹣1,),P 4(1,)两点必在椭圆C上,又P 4的横坐标为1,∴椭圆必不过P 1(1,1), ∴P 2(0,1),P 3(﹣1,),P 4(1,)三点在椭圆C 上.把P 2(0,1),P 3(﹣1,)代入椭圆C ,得:,解得a 2=4,b 2=1,∴椭圆C 的方程为=1.证明:(2)①当斜率不存在时,设l :x=m ,A (m ,y A ),B (m ,﹣y A ), ∵直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为﹣1, ∴===﹣1,解得m=2,此时l 过椭圆右顶点,不存在两个交点,故不满足. ②当斜率存在时,设l :y=kx+t ,(t ≠1),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 联立,整理,得(1+4k 2)x 2+8ktx+4t 2﹣4=0,,x 1x 2=,则==。
2017年高考数学(理)-分离(常数)参数法(练)-专题练习(五)
2017年高考数学(理)专题练习(五)分离(常数)参数法(练)一.练高考1.已知椭圆2212:1(1)x C y m m +=>与双曲线2222:1(0)x C y n n-=>的焦点重合,1e ,2e 别为1C ,2C 的离心率,则( )A .m n >且121e e >B .m n >且121e e <C .m n <且121e e >D .m n <且121e e <2.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知tan tan 2(tan tan )cos cos A B A B B A +=+. (Ⅰ)证明:2a b c +=;(Ⅱ)求cos C 的最小值.二.练模拟1.设函数3()f x x x =+,x ∈R .若当π02θ<<时,不等式(sin )(1)0f m f m θ+->恒成立,则实数m 的取值范围是( )A .1,12⎛⎤⎥⎝⎦ B .1,12⎛⎫⎪⎝⎭ C .[1,)+∞ D .(,1]-∞2.0(21)n n a x dx =+⎰,数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ,数列{}n b 的通项公式为8n b n =-,则n n b S 的最小值为( )A .3-B .4-C .3D .43.若函数()2x f x a =-与()41x g x a =++的图像有交点,则a 的取值范围是( )A.2a ≤-2a ≥+B .1a <- C.12a -≤≤- D.2a ≤-4.在平面直角坐标系xOy 中,以点(0,1)为圆心且与直线210mx y m ---=相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为_____________.5.已知数列{}n a 的首项11a =,且14()2n n n a a n a *+=∈+N . (Ⅰ)证明:数列112n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列. (Ⅱ)设2n n n n b a =-,求数列{}n b 的前n 项和n S .三.练原创1.已知函数,0,()0.x x f x x ≥-<⎧⎪=,若关于x 的方程()(1)f x a x =+有三个不相等的实数根,则实数a 的取值范围是( )A .1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B .(0,)+∞ C .(0,1) D .10,2⎛⎫⎪⎝⎭2.若曲线21:C y ax =(0)a >与曲线2:e x C y =存在公共切线,则a 的取值范围为( )A .2e ,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B .2e 0,8⎛⎤ ⎥⎝⎦ C .2e ,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D .2e 0,4⎛⎤⎥⎝⎦3.已知函数()5f x x =-,当19x ≤≤时,()1f x >有解,则实数m 的取值范围为() A .133m < B .5m < C .4m < D .5m ≤4.方程12log (2)2xa x -=+有解,则a 的最小值为_________.5.已知函数123()1234x x x x f x x x x x +++=+++++++,则5522f f ⎛⎛-++-= ⎝⎝_________.。
2017年高考数学(理)-分离(常数)参数法(测)-专题练习(五)
(二)填空题
13. 之和是__________.
14.设 是定义在 上的奇函数,且当 时, ,若对任意的 ,不等式 恒成立,则实数 的取值范围是__________.
15.若不等式 在区间 上恒成立,则实数 的取值范围为__________.
16.当 时,不等式 恒成立,则实数 的取值范围是__________.
2017年高考数学(理)专题练习(五)
分离(常数)参数法(测)
(一)选择题
1.若函数 存在零点,则实数 的取值ຫໍສະໝຸດ 围是()A. B. C. D.
2.当 时,不等式 恒成立,则实数 的取值范围是()
A. B C. D.
3.函数 在上为减函数,则实数 的取值范围是()
A. B. C. D.
4.若不等式 恒成立,则实数a的取值范围是()
A. B. C. D.
11.定义在 上的函数 对任意 都有 ,且函数 的图象关于 成中心对称,若 满足不等式 ,则当 时, 的取值范围是()
A. B. C. D.
12.现有两个命题:
(1)若 ,且不等式 恒成立,则 的取值范围是集合 ;
(2)若函数 , 的图像与函数 的图像没有交点,则 的取值范围是集合 ;则以下集合关系正确的是()
(三)解答题
17.若 对任意的 恒成立,求实数 的取值范围?
18.已知函数 , ,其中 且 , .
(Ⅰ)若 ,且 时, 的最小值是 ,求实数 的值;
(Ⅱ)若 ,且 时,有 恒成立,求实数 的取值范围.
2017年高考数学(文)-分离(常数)参数法(讲)-专题练习(五)
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2017年高考数学(文)专题练习(五)
分离(常数)参数法(讲)
一.分离常数法
1.1.用分离常数法求分式函数的最值
例1.函数()(2)1
x f x x x =≥-的最大值为_________. 1.2.用分离常数法求函数的值域
例2.函数22(1)1
x y x x +=>-的最小值是( ) A
.2
B
.2 C
. D .2
1.3.用分离常数法判断分式函数的单调性
例3.已知函数21()=2ln 2f x x ax x +-,若()f x 在区间123⎡⎤⎢⎥⎣⎦
,上是增函数,则实数a 的取值范围 _________.
二.分离参数法
2.1.用分离参数法解决不等式恒成立问题
例4.已知数列{}n a 是以为首项,以为公差的等差数列,数列{}n b 满足(1)2n n b n a =+.若对n +∈N 都有 4n b b ≥成立,则实数t 的取值范围是_________.
例5.已知数列{}n a 的前项和为n S ,且122n n S +=-.
(1)求数列{}n a 的通项公式;
(2)设21222log log log n n b a a a =++⋅⋅⋅+,求使(8)n n b nk -≥对任意n +∈N 恒成立的实数k 的取值范围.
2.2.求定点的坐标
例6.已知直线:(21)(1)740l m x m y m ++++--=,m ∈R ,求证:直线l 恒过定点.
t 2n。
高考数学导数专项练习之分离参数法
专题12:分离参数法1.已知函数()x x f x e ae -=-,若'()f x ≥a 的取值范围是_______【解析】首先转化不等式,'()x x f x e ae -=+,即x xae e +≥察不等式a 与x e 便于分离,考虑利用参变分离法,使,a x 分居不等式两侧,()2x x a e ≥-+,若不等式恒成立,只需()()2maxx xa e ≥-+,令()()(223x xxg x ee =-+=--+(解析式可看做关于x e 的二次函数,故配方求最值)()max 3g x =,所以3a ≥2.已知函数()ln a f x x x=-,若()2f x x <在()1,+∞上恒成立,则a 的取值范围是_________【解析】恒成立的不等式为2ln a x x x-<,便于参数分离,所以考虑尝试参变分离法233ln ln ln ax x x x a x a x x x x-<⇔-<⇔>-,其中()1,x ∈+∞ ∴只需要()3maxln a x x x >-,令()3ln g x x x x =- '2()1ln 3g x x x =+- (导函数无法直接确定单调区间,但再求一次导即可将ln x 变为1x,所以二阶导函数的单调性可分析,为了便于确定()'g x 的符号,不妨先验边界值)()'12g =-,()2''11660x g x x x x-=-=<,(判断单调性时一定要先看定义域,有可能会简化判断的过程)()'g x ∴在()1,+∞单调递减,()()''10()g x g g x ∴<<⇒在()1,+∞单调递减()()11g x g ∴<=- 1a ∴≥-3.若对任意x R ∈,不等式23324x ax x -≥-恒成立,则实数a 的范围是 .【解析】在本题中关于,a x 的项仅有2ax 一项,便于进行参变分离,但由于x R ∈,则分离参数时要对x 的符号进行讨论,并且利用x 的符号的讨论也可把绝对值去掉,进而得到a 的范围,2233322344x ax x ax x x -≥-⇔≤-+,当0x >时,min 32314a x x ⎛⎫≤-+ ⎪⎝⎭,而3331311244x x x x -+=+-≥= 221a a ∴≤⇒≤;当0x =时, 不等式恒成立;当0x <时,max32314a x x ⎛⎫≥++⎪⎝⎭, 而333113244x x x x ⎛⎫++=--+-≤- ⎪⎝⎭ 221a a ∴≥-⇒≥- 综上所述:11a -≤≤4. 设函数2()1f x x =-,对任意的23,,4()(1)4()2x x f m f x f x f m m ⎡⎫⎛⎫∈+∞-≤-+⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭恒成立,则实数m 的取值范围是_______.【解析】先将不等式进行化简可得:()()()222221411141x m x x m m ⎛⎫---≤--+- ⎪⎝⎭,即22221423m x x x m ⎛⎫-≤-- ⎪⎝⎭,便于进行分离,考虑不等式两边同时除以2x ,可得:2222min1234x x m m x ⎛⎫--⎛⎫-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()2222311321x x g x x x x --⎛⎫==--⋅+ ⎪⎝⎭,120,3x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦ 最小值2533g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,2422154125303m m m m ∴-≤-⇒--≥即()()2231430m m +-≥解得:3,,2m ⎛⎡⎫∈-∞+∞ ⎪⎢⎝⎦⎣⎭5.若不等式2322x x x ax ++-≥对()0,4x ∈恒成立,则实数a 的取值范围是 .【解析】2323min2222x x xx x x ax a x ⎛⎫++-++-≥⇒≤⎪ ⎪⎝⎭, 令()2322x x xf x x++-=,对绝对值内部进行符号讨论,即()222242222,0x x x xf x x x x x x x x ⎧++-<<⎪⎪=++-=⎨⎪++-<≤⎪⎩,而222y x x x =++-在)单调递增,222y x x x=++-在(单调递减,∴可求出()min f x f==a ∴≤6.设正数()()2221,x e x e xf xg x x e +==,对任意()12,0,x x ∈+∞,不等式()()121g x f x kk ≤+恒成立,则正数k 的取值范围是( )【解析】先将k 放置不等号一侧,可得()()211kf x g x k ≤+,所以()()21max 1kf x g x k ≥⎡⎤⎣⎦+,先求出()g x 的最大值,()()'21x g x e x e -=⋅-,可得()g x 在()0,1单调递增,在()1,+∞单调递减。
高考数学常用的解题技巧第05讲分离参数法(含答案)
第05讲:分离参数法【知识要点】一、参数在数学问题中经常出现,特别是在最值、值域、取值范围、恒成立和存在性等问题中,经常出现,这时可以考虑是否可以利用分离参数法来解答,即整理成()()k f x k f x 或的形式,再解答.二、分离参数时,一定要判断清楚参数的系数的符号,再除以其系数,如果不能确定其符号,可以分类讨论,也可以寻找其它方法.【方法讲评】【例1】已知函数xx x f ln 1)((1)求曲线)(x f y 在点))2(,2(f 处的切线方程;(2)求函数)(x f 的极值;(3)对(0,),()2x f x bx 恒成立,求实数b 的取值范围.列表:x )1,0(1),1()('x f - 0 +)(x f ↘0↗函数)(x f y 的极小值为0)1(f , 无极大值。
(3)依题意对(0,),()2x f x bx 恒成立等价于2ln 1bx x x 在(0,)上恒成立可得x xx b ln 11在(0,)上恒成立,令21ln ln 2()1()xx g x g x x x x【点评】本题第(2)问是恒成立问题,刚好b 的系数x 是一个正数,知道参数的系数的符号,分离参数很方便,所以可以分离参数求最值,比较简洁. 【反馈检测1】已知函数()ln a f x x x . (1)若0a ,试判断()f x 在定义域内的单调性;(2)若()f x 在1,e 上的最小值为32,求a 的值;(3)若2()f x x 在1,上恒成立,求a 的取值范围.【反馈检测2】已知函数()sin cos f x a x b x (,a b R,且0)的部分图象如图所示.(1) 求,,a b 的值;(2) 若方程23()()0f x f x m 在2(,)33x 内有两个不同的解,求实数m 的取值范围.高中数学常用解题技巧第05讲:分离参数法参考答案【反馈检测1答案】(1) f x 在0,上是单调递增函数;(2)a=-e ;(3)1a .【反馈检测1详细解析】(1)由题意知f x 的定义域为0,,且221f '(x)=+=, a>0,a xax x x ,x2376yO 1。
高考数学二轮复习第三篇方法应用篇专题3.4分离常数参数法讲理
方法四分离(常数)参数法
分离(常数)参数法是高中数学中比较常见的数学思想方法,求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系,其中与二次函数相关的充分体现数形结合及分类思想方法的题目最为常见.与二次函数有关的求解参数的题目, 相当一部分题目都可以避开二次函数,使用分离变量,使得做题的正确率大大提高,随着分离变量的广泛使用,越来越多的压轴题都需要使用该思想方法.
1分离常数法
分离常数法在含有两个量(一个常量和一个变量)的关系式(不等式或方程)中,要求变量的取值范围,可以将变量和常量分离(即变量和常量各在式子的一端),从而求出变量的取值范围.
1.1 用分离常数法求分式函数的最值(值域)
分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法,主要的分式函数有,
,,等,解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数.
例1. 已知函数(且)是定义在上的奇函数.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求函数的值域;
(Ⅲ)当时,恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ).
【解析】试题分析:
(Ⅰ)由函数为奇函数可得,即,可得.(Ⅱ)分离常数可得,故函数为增函数,再由,可得,即可得函数的值域.(Ⅲ)通过分离参数可得在时恒成立,令,则有
,根据函数的单调性可得函数的最大值,从而可得实数的取值
范围
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得,∴函数在上单调递增,
又,
∴,
∴.
∴函数的值域为.
(Ⅲ)当时,.
由题意得在时恒成立,
∴在时恒成立.
令,
则有,
∵当时函数为增函数,。
分离常数参数法-高考理科数学解题方法练习题
方法四 分离(常数)参数法1.练高考1.【2016高考北京文数】函数()(2)1xf x x x =≥-的最大值为_________. 【答案】2 【解析】1()11121f x x =+≤+=-,即最大值为2. 2.【2016高考山东理数】在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知tan tan 2(tan tan ).cos cos A BA B B A+=+ (Ⅰ)证明:a +b =2c ; (Ⅱ)求cos C 的最小值. 【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)12()∏由()I 知2a bc +=, 所以 2222222cos 22a b a b a b c C ab ab +⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭==311842b a a b ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭, 当且仅当a b =时,等号成立.故 cos C 的最小值为12. 3.【2016高考天津理数】已知{}n a 是各项均为正数的等差数列,公差为d ,对任意的,b n n N ∈*是n a 和1n a +的等差中项.(Ⅰ)设22*1,n n n c b b n N +=-∈,求证:{}n c 是等差数列;(Ⅱ)设()22*11,1,nnn n k a d T b n N ===-∈∑,求证:2111.2nk kT d =<∑【答案】(Ⅰ)详见解析(Ⅱ)详见解析4.【2016高考江苏卷】已知函数()(0,0,1,1)x xf x a b a b a b =+>>≠≠. 设12,2a b ==. (1)求方程()2f x =的根;(2)若对任意x R ∈,不等式(2)f()6f x m x ≥-恒成立,求实数m 的最大值;(3)若01,1a b <<>,函数()()2g x f x =-有且只有1个零点,求ab 的值。
【答案】(1)①0 ②4(2)1 【解析】(1)因为12,2a b ==,所以()22x x f x -=+.①方程()2f x =,即222x x -+=,亦即2(2)2210x x-⨯+=, 所以2(21)0x-=,于是21x =,解得0x =. ②由条件知2222(2)22(22)2(())2xx x x f x f x --=+=+-=-.因为(2)()6f x mf x ≥-对于x R ∈恒成立,且()0f x >,所以2(())4()f x m f x +≤对于x R ∈恒成立.而2(())44()4()()f x f x f x f x +=+≥=,且2((0))44(0)f f +=, 所以4m ≤,故实数m 的最大值为4.(2)因为函数()()2g x f x =-只有1个零点,而0(0)(0)220g f a b =-=+-=, 所以0是函数()g x 的唯一零点.因为'()ln ln xxg x a a b b =+,又由01,1a b <<>知ln 0,ln 0a b <>,所以'()0g x =有唯一解0ln log ()ln b aax b=-. 令'()()h x g x =,则''22()(ln ln )(ln )(ln )xxxxh x a a b b a a b b =+=+,从而对任意x R ∈,'()0h x >,所以'()()g x h x =是(,)-∞+∞上的单调增函数,于是当0(,)x x ∈-∞,''0()()0g x g x <=;当0(,)x x ∈+∞时,''0()()0g x g x >=. 因而函数()g x 在0(,)x -∞上是单调减函数,在0(,)x +∞上是单调增函数. 下证00x =. 若00x <,则0002x x <<,于是0()(0)02xg g <=, 又log 2log 2log 2(log 2)220a a a a g ab a =+->-=,且函数()g x 在以2x 和log 2a 为端点的闭区间上的图象不间断,所以在02x 和log 2a 之间存在()g x 的零点,记为1x . 因为01a <<,所以log 20a <,又002x<,所以10x <与“0是函数()g x 的唯一零点”矛盾.若00x >,同理可得,在02x 和log 2a 之间存在()g x 的非0的零点,矛盾. 因此,00x =.于是ln 1ln ab-=,故ln ln 0a b +=,所以1ab =. 5.【2016高考新课标3理数】设函数()cos 2(1)(cos 1)f x a x a x =+-+,其中0a >,记|()|f x 的最大值为A .(Ⅰ)求()f x '; (Ⅱ)求A ;(Ⅲ)证明|()|2f x A '≤.【答案】(Ⅰ)'()2sin 2(1)sin f x a x a x =---;(Ⅱ)2123,05611,18532,1a a a a A a a a a ⎧-<≤⎪⎪++⎪=<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩;(Ⅲ)见解析.【解析】(Ⅰ)'()2sin 2(1)sin f x a x a x =---.(ⅰ)当105a <≤时,()g t 在(1,1)-内无极值点,|(1)|g a -=,|(1)|23g a =-,|(1)||(1)|g g -<,所以23A a =-.(ⅱ)当115a <<时,由(1)(1)2(1)0g g a --=->,知1(1)(1)()4a g g g a-->>. 又1(1)(17)|()||(1)|048a a a g g a a--+--=>,所以2161|()|48a a a A g a a -++==.综上,2123,05611,18532,1a a a a A a a a a ⎧-<≤⎪⎪++⎪=<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩. ………9分 (Ⅲ)由(Ⅰ)得'|()||2sin 2(1)sin |2|1|f x a x a x a a =---≤+-. 当105a <≤时,'|()|1242(23)2f x a a a A ≤+≤-<-=. 当115a <<时,131884a A a =++≥,所以'|()|12f x a A ≤+<. 当1a ≥时,'|()|31642f x a a A ≤-≤-=,所以'|()|2f x A ≤. 2.练模拟1.【2018届河北省邯郸市高三1月检测】已知关于x 的不等式2cos 2m x x ≥-在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立,则实数m 的取值范围为( )A. [)3,+∞B. ()3,+∞C. [)2,+∞ D. ()2,+∞ 【答案】C【解析】22cos x m x -≥最大值,因为当0,2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时()22'22cos 2sin 2()cos cos x x x x x x x -+--= 令()cos sin ,cos sin cos 000y x x x y x x x x y y '=-=--∴=因此2'2()0cos x x -<,由因为22cos x x -为偶函数,所以22cos x x -最大值为202cos0-=, 2m ≥,选C. 2.设函数3()f x x x =+,x R ∈. 若当02πθ<<时,不等式0)1()sin (>-+m f m f θ恒成立,则实数m的取值范围是( )A. 1(,1]2B.1(,1)2C. [1,)+∞D.(,1]-∞【答案】D 【解析】易得()f x 是奇函数,2()310()f x x f x '=+>⇒在R 上是增函数,又11(sin )(1)sin 1,0sin 111sin 1sin f m f m m m m m θθθθθ>-⇒>-⇒<<<⇒⇒≤--,故选D.3.若函数xa x f 2)(⋅-=与14)(++=a x g x的图象有交点,则a 的取值范围是( ) A .222-≤a 或 222+≥a B .1-<a C .2221-≤≤-a D .222-≤a 【答案】D【解析】由241xxa a -⋅=++,可得4121x x a +-=+,令210x t t =+(>),则222222t t a t t t-+-==+≥﹣,∴2a ≤﹣D . 4.在平面直角坐标系xOy 中,以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 【答案】22(1) 2.x y -+=【解析】由题意得:==当且仅当1m =时取等号,所以半径最大为r =22(1) 2.x y -+=5.【2018届高三训练题】已知正实数x ,y 满足等式x +y +8=xy ,若对任意满足条件的x ,y ,不等式(x +y)2-a(x +y)+1≥0恒成立,则实数a 的取值范围是________. 【答案】(-∞,658] 【解析】正实数x y ,满足8x y xy ++=()284x y x y +∴++≤()()840x y x y ∴+-++≥40x y ++≥80x y ∴+-≥8x y ∴+≥(当且仅当4x y ==时,取等号)对任意满足条件的正实数x y ,都有不等式()()210x y a x y +-++≥()1a x y x y∴≤+++对任意满足条件的正实数x y ,恒成立, 令()8t x y t =+≥,则()1f t t t=+在()8+∞,上为单调增函数,()1165888f t t t ∴=+≥+=(当且仅当84t x y ===即时,取等号) 658a ∴≤ ∴实数a 的取值范围是65( 8⎤-∞⎥⎦,故答案为65( 8⎤-∞⎥⎦,3.练原创1.已知函数,0,()0.x x f x x -<⎧⎪=≥若关于x 的方程()(1)f x a x =+有三个不相等的实数根,则实数a 的取值范围是( )A.1[,)2+∞ B.(0,)+∞ C.(0,1) D.1(0,)2【答案】D【解析】分段函数和过定点的直线在如上图位置时恰好相切,此时有两个交点,若直线斜率变大,则只存在一个交点,若直线斜率减小,则会出现三个交点,如下图所示:计算切线斜率,假设直线与y =()00,x y ,对函数求导可得'y =,那么可以得到如下三个方程:()0001y a x y a ⎧⎪=+⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩)01x =+,即0021x x =+,解得01x =,从而斜率12a ==,根据分析可知,若要有三个交点,则斜率1(0,)2a ∈,故选D.2.若曲线21:C y ax =(0)a >与曲线2:x C y e =存在公共切线,则a 的取值范围为( )A .2,8e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B .20,8e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C .2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D .20,4e ⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C【解析】根据题意,函数与函数在()0+∞,上有公共点,令2xax e =得:2xe a x=,设()2x e f x x = 则()222x xx e xe f x x -'=,由()0f x '= 得:2x =,当02x << 时,()0f x '<,函数()2xe f x x =在区间()0,2上是减函数,当2x > 时,()0f x '>,函数()2xe f x x=在区间()2,+∞上是增函数,∴当2x =时,函数()2x e f x x =在()0+∞,上有最小值()224e f =,∴24e a ≥ ,故选C.3.已知函数()5f x x =-当19x ≤≤时,()1f x >有解,则实数m 的取值范围为( ) A.313<m B.5<m C.4<m D.5≤m 【答案】B【解析】令t =则13t ≤≤时,2(t)51g t mt =-+>有解,即4m t t<+在13t ≤≤时成立;而函数4u t t =+在[1,2]是减函数,在[2,3]是增函数,4[4,5]u t t=+∈,所以只需5<m ,故选B.4.方程x a x +=-2)2(log 21有解,则a 的最小值为_________【答案】1.5.已知函数123()1234+++=+++++++x x x x f x x x x x ,则55((22-+-=f f ___. 【答案】8【解析】由于123()1234+++=+++++++x x x x f x x x x x )41312111(4+++++++-=x x x x ,从而)231211211231(4)25(++++-+--=+-x x x x x f=+-++-+--+---=--)231211211231(4)25(x x x x x f )231211211231(4++++-+-+x x x x所以8)25()25(=--++-x f x f ,从而令3=x ,得8)325()325(=--++-f f .。
专题17参变分离法解决导数问题(解析版)
专题17 参变分离法解决导数问题1.分离变量法在处理含参a 的函数(,)f x a 不等式和方程问题时,有时可以将变量分离出来,如将方程(,)0f x a =,转化为()()g x h a =这样就将把研究含参函数(,)f x a 与x 轴的位置关系的问题转化为不含参的函数()g x 与动直线()y h a =的位置关系问题,这种处理方法就叫分离变量法。
(1)优点:分离变量法可以将含参函数中的参数分离出去,避免直接讨论,从而简化运算; (2)解题过程中可能遇到的问题:①参数无法分离;②参数分离后的函数()y g x =过于复杂; ③讨论位置关系时可能用到()y g x =的函数极限,造成说理困难. 2.分类:分离参数法有完全分离参数法(全分参)和部分分离参数法(半分参)两种 注意事项:无论哪种分参方法,分参过程中需注意变量的正负对不等号的影响! 一、单选题1.已知函数()ln f x x ax =-在区间()1,2上单调递增,则a 的取值范围是() A .(],1-∞ B .1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C .1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D .(),1-∞【解析】1()0f x a x '=-≥在区间()1,2上恒成立,即1a x≥在区间()1,2上恒成立, 显然1y x=在区间()1,2的最小值为12,所以12a ≤.故选:B . 2.若函数()5ln f x x a x x=--在[)1,+∞上是增函数,则实数a 的取值范围是()A .-⎡⎣B .(,-∞C .(],6-∞D .(]0,6【解析】因为函数()f x 在[)1,+∞上是增函数, 所以()0f x '≥在[)1,+∞上恒成立,即()2510a f x x x '=+-≥,即5a x x≤+恒成立,又5x x +≥x =a ≤B 3.已知函数()e xf x mx x=-(e 为自然对数的底数),若()0f x >在()0,∞+上恒成立,则实数m 的取值范围是() A .(),2-∞B .2e ,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C .(],e -∞D .2e ,4∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭【解析】若()0f x >在()0,∞+上恒成立,则2e xm x <在()0,∞+上恒成立等价于2e x min m x ⎛⎫< ⎪⎝⎭在()0,∞+上恒成立,令()()2e 0xh x x x =>,则()()()3e 20x x x h x x-'>=, 令()0h x '>,解得2x >,令()0h x '<,解得02x <<, 故()h x 在()0,2上单调递减,在()2,+∞上单调递增,故()()2e 24minh x h ==,故2e 4m <.故选:B.4.关于x 的方程210x mx ++=在[]0,2内有解,则实数m 的取值范围() A .(],2-∞-B .[)2,+∞C .5,2∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦D .5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】当0x =时,可得10=显然不成立;当(]0,2x ∈时,由于方程210x mx ++=可转化为1m x x =--,(]0,2,x ∈令1y x x =--,可得222111x y x x-=-=',当01x <<时,0y '>,函数单调递增;当12x <<时,0y '<,函数单调递减, 所以当1x =时,函数1y x x=--取唯一的极大值,也是最大值,所以2max y =-,所以2y ≤-,即2m ≤-,所以实数m 的取值范围(],2-∞-.故选:A. 5.若函数()ln x f x x x ae =+没有极值点,则实数a 的取值范围是()A .1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B .10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C .1,e ∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦D .1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】由题意可得,()1ln 0x f x x ae '=++=没有零点, 或者有唯一解(但导数在点的两侧符号相同), 即1ln xxa e +-=没有交点,或者只有一个交点但交点的两侧符号相同. 令1ln ()x x g x e+=,0x >,则1ln 1()x x x g x e --'=, 令1()ln 1h x x x=--则()h x 在()0,∞+上单调递减且()10h =, 所以当01x <<时,()0h x >,()0g x '>,()g x 单调递增, 当1x >时,()0h x <,()0g x '<,()g x 单调递减,故当1x =时,()g x 取得最大值1(1)g e=,又0x →时,()g x →-∞,x →+∞时,()0g x →, 结合图象可知,1a e -≥即1a e ≤-.故选:C.6.若对任意正实数x ,不等式()21xe a x -≤恒成立,则实数a 的范围是()A .ln 2122a ≤+ B .ln 212a ≤+ C .1ln 22a ≤+D .ln 2122a ≥+ 【解析】因为不等式()2e 1xa x -≤恒成立,2e 0x >,所以21e xa x ≤+恒成立, 设()21e xf x x =+,则()min a f x ≤, 因为()221e x f x '=-+,令()0f x '=,则ln 22x =,所以当ln 2,2x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时,()0f x '<,当ln 2,2x +∈∞⎛⎫⎪⎝⎭时,()0f x '>,所以()f x 在ln 2,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减,在ln 2,2+∞⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增, 所以()min ln 21ln 2222f x f ⎛⎫==+⎪⎝⎭,所以ln 2122a ≤+,故选:A 7.已知函数()x f x a x xe =-+,若存在01x >-,使得()0 0f x ≤,则实数a 的取值范围为:() A .[0,)+∞B .(,0]-∞C .[1,)+∞D .(,1]-∞【解析】由题意可得0x a x xe +≤-在()1,-+∞上能成立,所以x a x xe ≤-在()1,-+∞上能成立,令()()1x x xe h x x -=>-,则()()11xx h x e -+'=,令()()11x x x e m =-+,则()()02x x m x e +'=-<,所以()()11xx x e m =-+在()1,-+∞上单调递减,且()()000110e m -+⨯==,即()00h '=,因此()h x 在()1,0-上单调递增,在()0,∞+上单调递减,所以()()max 00h x h ==,所以0a ≤,故选:B.8.当0x >时,11e 2x a x->-恒成立,则a 的取值范围为() A .()1,+∞ B .()e,∞+ C .1,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭D .()2,+∞【解析】由11121e2e x x x a a x x --->-⇒>,设()121e x x f x x --=,则()()()2212121121e e x x x x x x f x x x --+-+-++'==,当()0,1x ∈时,()0f x '>,当(1,)x ∈+∞时,()0f x '<,所以函数()f x 在区间()0,1上递增,在区间(1,)+∞上递减,故()()11f x f ≤=,故1a >.故选:A.9.对任意0x >,不等式e ln()(1)0x ax a x -+-≥恒成立,则正数a 的最大值为()A BC .1eD .e【解析】∵e ln()(1)0x ax a x -+-≥,∴ln()e ln()ln()e x ax x ax ax ax +≥+=+. 令()e x f x x =+,则不等式化为()(ln())f x f ax ≥. ∵()e (0)xf x x x =+>为增函数,∴ln()x ax ≥,即e xa x≤.令e ()=x g x x ,则2(1)e ()x x g x x'-=,当01x <<时,()0g x '<,即()g x 递减; 当1x >时,()0g x '>,即()g x 递增;所以()()min 1e e g x g a ⇒≤==.∴实数a 的最大值为e .故选:D 10.已知函数21()()2x f x x x e -=-,若当1x >时,()10f x mx m -++≤有解,则实数m 的取值范围为() A .(,1]-∞B .(,1)-∞-C .(1,)-+∞D .[1,)+∞【解析】()10f x mx m -++≤有解,即21(211)(1)1x x x e m x --+-≤--,设1t x =-,则0t >, 不等式转化成2(1)1tt emt 在0t >时有解,则2(1)1t t e mt 有解,记2(1)1()t t e h t t, 则322(1)1()t t t t e h t t,再令32()(1)1t g t t t t e , 则32()(4)0t g t t t t e ,那么()g t 在0t >时递增,所以()(0)0g t g >=,于是()0h t '>,()h t 在0t >时递增,故20(1)1()lim t t t e h t t ,记()()21tt t e ϕ=-,0()(0)()lim(0)10t t h t t ,于是2(1)1t t e mt有解,只需要1m >-.故选:C 二、多选题11.已知函数()ln f x x ax =-有两个零点1x ,2x ,且12x x <,则下列选项正确的是() A .10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B .()y f x =在(0,)e 上单调递增C .126x x +>D .若221,a e e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则212a x x a --<【解析】令()0f x =得ln x a x=,记ln ()xg x x = 21ln ()xg x x-'=,令()0g x '=得x e = 当(0,)x e ∈时,()0g x '>,()g x 单调递增;当(,)x e ∈+∞时,()0g x '<,()g x 单调递减;且0x →时,()g x →-∞,1(e)g e=,x →+∞时,()0g x →据题意知y a =的图象与()y g x =的图象有两个交点,且交点的横坐标为1x ,2x , 所以10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,故A 选项正确;因为11()'-=-=ax f x a x x ,所以当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0f x '>,()f x 递增, 因为10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以1(0,)0,e a ⎛⎫⊆ ⎪⎝⎭,故B 选项正确;当1a e →时,1e a →,10f a ⎛⎫→ ⎪⎝⎭, 又因为()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减,所以12,x e x e →→,所以1226x x e +→<,所以C 选项错误; 因为()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭递增,在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递减,且221,a e e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以110,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,21,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭,因为()1(1)0f a f x =-<=,所以11x >因为()2222ln 2ln 20f e f x a a ⎛⎫=-<-== ⎪⎝⎭,所以22x a <所以21221a x x a a--<-=,故D 选项正确 故选:ABD.12.已知函数()()1x f x x k e =-+在区间[11]-,上只有一个零点,则实数k 可取的值有() A .1- B .0 C .1 D .2【解析】由题意可知,()10x x k e -+=在区间[1,1]-上只有一个根, 等价于1xk x e =+在区间[1,1]-上只有一个根, 等价于y k =与1()xg x x e =+的图像有唯一一个公共点, 由1()x g x x e =+得1()1x g x e=-',令()0g x '=得0x =, 当10x -≤<时,()0g x '<,则()g x 在[1,0)-上单调递减, 当01x <≤时,()0g x '>,则()g x 在(0,1]上单调递增,∴在区间[1,1]-内,当0x =时()g x 取极小值也是最小值,∴当()(0)1g x g ≥=, 又1(1)1g e =+,(1)1g e -=-,且111e e ->+,则满足条件的k 的取值范围是{}11(1,1]e e⋃+-,所以k 可取的值为1、2.故选:CD.13.设函数()f x =为自然对数的底数).若存在[]0,1b ∈使()()f f b b =成立,则实数a 的取值可以是() A .0B .1C .2D .3【解析】易知()f x 在定义域内单调递增,若()f b b >,则()()()f f b f b b >>,若()f b b <,则()()()f f b f b b <<.故存在[]0,1b ∈使()()f f b b =成立,则()f b b =,即()f x x =在[]0,1上有解.故[]2e ,0,1x x a x x x =+∈=-,设[]2e ,0,1()x g x x x x +∈-=,则e 1(2)x g x x =-+',令2e 1,2e ()()x x h x h x x '=+--=,在[)0,ln 2上()0,()h x h x '<单减,在(]ln 2,1上()0,()h x h x '>单增,故()(ln 2)32ln 20h x h ≥=->即()0g x '>,()g x 在[]0,1上单增,又(0)1,(1)e g g ==,故1e a ≤≤. 故选:BC.14.已知定义在R 上的奇函数()f x 在(,0]-∞上单调递增,则“对于任意的(0,1]x ∈,不等式2(2)(ln )0x f ae x f x x x ++-≥恒成立”的充分不必要条件可以是() A .10a e-≤<B .4312a e e ≤< C .3211a e e ≤< D .1a e e≤<【解析】奇函数()f x 在(,0]-∞上单调递增,则在(0,)+∞上也单调递增,即()f x 是R 上的单增函数; 222(2)(ln )0(2)(ln )(ln )x x f ae x f x x x f ae x f x x x f x x x ++-≥⇔+≥--=-,则22ln xae x x x x +≥-,(0,1]x ∈,即22ln xx x x xa e --≥在(0,1]x ∈上恒成立;令22ln ()xx x x xg x e --=,则222(22ln 1)(2ln )43(1)ln ()x x x xx x e x x x x e x x x x g x e e -------+-+-'==(1)(3ln )x x x x e ---=,(0,1]x ∈记()ln 3h x x x =--,1()10h x x'=-≤恒成立,即()h x 单减, 又3311()0h e e=>,(1)20h =-<,则必有0(0,1]x ∈,使000()ln 30h x x x =--=,故0(0,)x x ∈,()0h x >,0(,1]x x ∈,()0h x <,因此0(0,)x x ∈,()0g x '>,()g x 单增,0(,1]x x ∈,()0g x '<,()g x 单减,因此0020000000002ln (ln )2()()x x x x x x x x x x g x g x e e----≤==, 由0300000ln 30ln 3,x x x x x x e---=⇒-==代入得00030003321()()x x x x x e g x g x e e e--≤===,故若使22ln xx x x xa e --≥在(0,1]x ∈上恒成立,则031()a g x e ≥=, 根据充分不必要条件的定义可以判断C 、D 正确,A 、B 错误;故选:CD. 三、填空题 15.若函数21()e 2x f x x a =-是R 上的减函数,则实数a 的最小值为_______ 【解析】由题意得,()e 0x f x x a '=-≤在R 上恒成立,即e xxa ≥在R 上恒成立, 令1()=,()=e ex x x xg x g x -',当1x <时,()0g x '>,()g x 递增,当1x >时,()0g x '<,()g x 递减, 故max 1()=g(1)=eg x ,故1e a ≥,即函数a 的最小值为1e ,16.已知函数()()e ln xf x m x m =+∈R ,若对任意正数12,x x ,当12x x >时,都有()()1212f x f x x x ->-成立,则实数m 的取值范围是______.【解析】由()()1212f x f x x x ->-得,()()1122f x x f x x ->- 令()()g x f x x =-,∴()()12g x g x >,∴()g x 在()0,∞+单调递增,又∵()()e ln x g x f x x m x x =-=+-,∴()e 10x mg x x'=+-≥,在()0,∞+上恒成立,即()1e x m x ≥- 令()()1e x h x x =-,则()()e 110xh x x '=-++<∴()h x 在()0,∞+单调递减,又因为()()01e 00h =-⨯=,∴0m ≥.17.已知函数()333sin x x x f x =+-,若对任意的()0,x ∈+∞,不等式()()ln 20f x f ax -+≤恒成立,则实数a 的取值范围为___________.【解析】因为()()()()()()3333sin 33sin f x x x x x x x f x -=-+---=-+-=-,所以()f x 为奇函数,因为()()22333cos 331cos 0x x x x f x '=+-=+-≥,所以()f x 为R 上的增函数,由(ln 2)()0f x f ax -+≤得(ln 2)()()f x f ax f ax -≤-=-,则ln 2x ax -≤-, 因为,()0x ∈+∞,所以ln 2x a x--≥.令ln 2()(0)x g x x x-=>,则()23ln xg x x -'=,令()0g x '=,得3e x =, 当30e x <<时,()0g x '>,()g x 单调递增,当3e x >时,()0g x '<,()g x 单调递减,故()()33max 1e e g x g ==,所以31e a -≥,即31ea ≤-, 所以实数a 的取值范围为31,e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.18.已知(0,2)x ∈,若关于x 的不等式21e 2x k x x x <+-恒成立,则实数k 的取值范围是________. 【解析】依题意,知220+->k x x ,即22>-k x x 对任意(0,2)x ∈恒成立,从而0k ≥,因此由原不等式,得2e 2<+-x k x x x 恒成立.令2e ()2=+-xf x x x x ,则2e ()(1)2⎫⎛'=-⋅+⎪ ⎝⎭x f x x x .令()0f x '=,得1x =.当(1,2)x ∈时,()0f x '>.函数()f x 在(1,2)上单调递增;当(0,1)x ∈时,()0f x '<,函数()f x 在(0,1)上单调递减,所以min ()(1)e 1<==-k f x f ,故实数k 的取值范围是[0,e 1)-.四、解答题19.已知函数21()ln 2f x x x =-.(1)求函数()f x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值(参考数据:ln 20.7≈);(2)若不等式2()(2)f x a x >-有解,求实数a 的取值范围.【解析】(1)求导得:211()x f x x x x-'=-=,令()0f x '>可得112x <<,令()0f x '>可得12x <<,于是函数()f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递增,在(1,2)单调递减,于是当1x =时,()f x 取最大值为12-,又111ln 0.825228f ⎛⎫=-≈- ⎪⎝⎭,(2)ln 22 1.3f =-≈-,于是当2x =时,()f x 取最小值为ln 22-综上:当1x =时,()f x 取最大值为12-,当2x =时,()f x 取最小值为ln 22-(2)原不等式即为:221ln (2)2x x a x ->-,可化简为2ln 122x a x -<-记2ln 1()2x g x x =-,则原不等式有解可转化为2()a g x -<的最大值求导得:312ln ()xg x x '-=,于是函数()g x 在上单调递增,在)+∞上单调递减于是:()max 11g22g x e ==-,于是11222a e -<-,解得:5122a e>-.20.已知函数()2()ln f x x ax x =+,a R ∈.(1)若()f x 的图像在1x =处的切线经过点(0,2)-,求a 的值; (2)当21x e <<时,不等式2()f x x <恒成立,求a 的取值范围. 【解析】(1)由题知()f x 的定义域为(0,)+∞.又()(2)ln f x x a x x a '=+++,则(1)1f a '=+.又因为(1)0f =,所以切点为(1,0). 所以02110a +=+-,解得1a =. (2)当21x e <<时,0ln 2x <<.当21x e <<时,不等式2()f x x <恒成立,即不等式ln xa x x<-,()2x e ∈1,恒成立. 设()ln x g x x x=-,()2x e ∈1,,则222ln 1(ln )ln 1()1(ln )(ln )x x x g x x x '--+=-=-. 因为2213(ln )ln 1ln 024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭,所以()0g x '<.所以()g x 在()21,e 上单调递减,从而()22()2e g x g e >=-.要使原不等式恒成立,即()a g x <恒成立,故22ea ≤-.即a 的取值范围为2,2e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.21.已知函数()()212ln f x x ax x a R =-+∈,曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线l 的斜率为4.(1)求切线l 的方程;(2)若关于x 的不等式()2f x x bx +恒成立,求实数b 的取值范围.【解析】(1)函数()f x 的定义域为{}|0x x >,12()2f x x a x'=-+, 由题意知,(1)144f a '=-=,所以10a =,故2()1012ln f x x x x =-+,所以(1)9f =-,切点坐标为(1,9)- 故切线l 的方程为413y x =-.(2)由(1)知,2()1012ln (0)f x x x x x =-+>, 所以2()f x x bx ≤+,可化为:12ln 10x x bx -≤,即12ln 10xb x≥-在(0,)+∞上恒成立, 令12ln ()10x g x x =-,则212(1ln )()x g x x -'=, 当(0,e)x ∈时,()0g x '>,()g x 在(0,e)上单调递增,当(e,)x ∈+∞时,()0g x '<,()g x 在(e,)+∞上单调递减, 所以当e x =时,函数()g x 取得最大值12(e)10eg =-, 故当1210e b ≥-时,12ln 10x b x≥-在(0,)+∞上恒成立, 所以实数b 的取值范围是1210,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.22.已知函数()ln 1f x x mx =--.(1)若0x ∀>,不等式()0f x <恒成立,求m 的取值范围; (2)若曲线()y f x =存在过点(1,0)的切线,求证:1m ≥-.【解析】(1)由已知有()0f x <恒成立,即代表ln 10x mx --<恒成立, 因为0x >,故ln 1x m x->恒成立,令ln 1()x g x x -=()0x >,故22ln ()xg x x -'=, 令()0g x '>,解得:20x e <<,故()g x 在()20,e 上单调递增,在()2,e +∞上单调递减, 故()g x 在()0,+∞的最大值为221()g e e =, 故21m e >,所以m 的取值范围是21,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭; (2):设切点为000(,ln 1)x x mx --,又因为1()f x m x'=-, 所以函数在0x x =处的切线斜率01k m x =-, 所以函数在0x x =处的切线方程为:0000(ln 1)()1m x y x mx x x ⎛⎫---=- ⎪⎝-⎭, 又切线经过点(1,0).故可得:00000(ln 1)(1)1m x x mx x ⎛⎫---=- ⎪⎝⎭-,化简整理可得:0001ln 2(0)m x x x =+->,令1()ln 2(0)h x x x x=+->,21()x h x x -'=,令()0h x '>,解得1x >,故()h x 在(0,1)上单调递减,(1,)+∞单调递增, 故()h x 在(0,)+∞的最小值为(1)1h =-,故:1m ≥-,得证.23.已知函数()()()x xf x e sinx ax a Rg x e cosx =-∈=(1)当0a =时,求函数f (x )的单调区间;(2)若函数()()()F x f x g x =-在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有两个极值点,求实数a 的取值范围.【解析】(1)当0a =时,()e sin x f x x =,()e (sin cos )x f x x x '=+sin()4x x π+, 当224k x k ππππ<+<+,即32244k x k ππππ-<<+时,()0f x '>, 当2224k x k πππππ+<+<+,即372244k x k ππππ+<<+时,()0f x '<, 所以()f x 的增区间是32,2,44k k k ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ,减区间是372,2,44k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z . (2)()e sin e cos e (sin cos )x x x F x x ax x x x ax =--=--,()e (sin cos cos sin )2e sin x x F x x x x x a x a '=-++-=-,由题意2e sin 0x x a -=在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有两个不等实根,即2e sin x a x =有两个实根,设()2e sin x h x x =,则()2e (sin cos )sin()4x x h x x x x π'=+=+, ,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,35,444x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,所以324x ππ<<时,()0h x '>,()h x 单调递增, 34x ππ<<时,()0h x '<,()h x 单调递减, 所以34max 3()2e 4h x h ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭,其中22e 2h ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭,()0h π=, 所以当3242e 2e a ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,2e sin x a x =在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有两个实根, 即当3242e 2e a ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,函数()F x 在,π2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有两个极值点. 24.已知函数2()ln ()f x x x ax a =+∈R 的图象在点(1,(1))f 处的切线与直线(1e)y x =-平行(e 是自然对数的底数).(1)求函数()f x 的解析式;(2)若2()2e f x kx x >-在(0,)+∞上恒成立,求实数k 的取值范围.【解析】(1)由题意得()2ln (0)f x x x x a x ++>'=,所以(1)1f a '=+,又()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线与直线(1e)y x =-平行,所以11e a +=-,解得a e =-,所以2()ln e f x x x x =-.(2)2()2e f x kx x >-在(0,)+∞上恒成立,即22ln e 0x x kx x -+>在(0,)+∞上恒成立,因为0x >,所以22ln e e ln x x x k x x x+<=+.令e ()ln g x x x =+,则221e e ()x g x x x x-=-='. 当(0,e)x ∈时,()0g x '<;当(e,)x ∈+∞时,()0g x '>. 所以函数e ()ln g x x x=+在(0,e)上单调递减,在(e,)+∞上单调递增, 所以()(e)2g x g ≥=,故2k <,即实数k 的取值范围是(,2)-∞.25.已知函数()()21e xax x f x a R -+=∈. (1)当2a =-时,求()f x 的单调区间;(2)当0x ≥时,()1f x ≤,求a 的取值范围.【解析】(1)2a =-时,()221e x x x f x --+=,()()()212e xx x f x +-'=, 令()1102f x x '=⇒=-,22x =.∴()f x 的单调递增区间为1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭,()2,+∞,单调递减区间为1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭. (2)法一:常规求导讨论()()()()221212e e x x ax a x ax x x F -++----'==.①当0a ≤时,令()02f x x '=⇒=且当02x ≤<时,()0f x '<,()f x ;当2x >时,()0f x '>,()f x .注意到()01f =,2x ≥时,()0f x <符合题意. ②当12a =时,()()21220ex x f x --'=≤,()f x 在[)0,∞+上, 此时()()01f x f ≤=符合题意. ③当102a <<时,令()102f x x '=⇒=,21x a =, 且当()f x 在[)0,2上,12,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上,1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上, 此时()()01f x f ≤=符合题意. ③当102a <<时,令()102f x x '=⇒=,21x a =, 且当()f x 在[)0,2上,12,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上,1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上,此时只需1111111e 1e a aa a f a -+⎛⎫=≤⇒≥ ⎪⎝⎭,显然成立. ④当12a >时,令()110f x x a'=⇒=,22x =, 且当()f x 在10,a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上,1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上,()2,+∞上.此时只需()22411e 121e 24a f a -+=≤⇒<≤. 综上:实数a 的取值范围2e 1,4⎛⎤+-∞ ⎥⎝⎦. 法二:参变分离①0x =时,不等式显然成立.②当0x >时,2e 1x x a x +-≤,令()2e 1x x g x x +-=, ()()()33e 12e 2e 2x x x x x x g x x x ----+'==. 令()02g x x '=⇒=且当02x <<时,()0g x '<,()g x ;当2x >时,()0g x '>,()g x ,∴()()2min e 124g x g +==,∴2e 14a +≤. 26.已知函数()ln a f x x x x=++,a ∈R . (1)若()f x 在1x =处取得极值,求a 的值;(2)若()f x 在区间()1,2上单调递增,求a 的取值范围;(3)若函数()()g x f x x '=-有一个零点,求a 的取值范围.【解析】(1)因为()ln a f x x x x =++,则2221()1a x x a f x x x x +-'=-+=, 由于()'10f =,则221101a +-=,∴2a =, 当2a =时,()()222221212()1x x x x f x x x x x +-+-'=-+== 因为()f x 的定义域为()0,∞+,则()0f x '=时,1x =,当()0,1x ∈时,()0f x '<,()f x 单调递减,当()1,x ∈+∞时,()0f x '>,()f x 单调递增,所以()f x 在1x =处取得极小值,所以2a =符合题意,故2a =.(2)()22'x x a f x x+-=,∴20x x a +-≥在()1,2x ∈恒成立, 即2a x x ≤+在()1,2x ∈恒成立,∴a 的取值范围为(],2-∞.(3)220x x a a x +--=在()0,x ∈+∞有1个根 即方程32a x x x -=--在()0,x ∈+∞有1个根,令32()h x x x x =--,0x >,则()()2()321131h x x x x x '=--=-+当()0,1x ∈时,()0h x '<,()h x 单调递减,当()1,x ∈+∞时,()0h x '>,()h x 单调递增,且(0)0h =,(1)1h =-,x →+∞时,()h x →+∞,当0a -≥即0a ≤时,1个根;当1a -=-即1a =时,1个根,综上:a 的取值范围为(]{},01-∞.27.已知函数()ln x f x x =. (I )求函数()f x 的单调区间和极值;(II )若不等式()kx f x ≥在区间(0,)+∞上恒成立,求实数k 的取值范围.【解析】(I )因为()()21ln 0x f x x x -'=>, 当()0,e x ∈时,()0f x '>,当()e,x ∈+∞时,()0f x '<,所以()f x 的单调增区间为()0,e ,单调减区间为()e,+∞;且()()1e ef x f ==极大,无极小值; (II )因为()kx f x ≥在区间(0,)+∞上恒成立, 所以2ln x k x ≥在区间(0,)+∞上恒成立,设()()2ln 0x g x x x =>,则()max k g x ≥, 因为()()432ln 12ln 0x x x x g x x x x --'==>,当(x ∈时,()0g x '>,()g x 单调递增,当)x ∈+∞时,()0g x '<,()g x 单调递减,所以()max 12eg x g ===,所以12e k ≥. 28.已知函数()()e e 0xf x x x=>.(1)求函数()f x 的最小值;(2)若不等式()ln 1f x x a x ≥++对于()1,x ∈+∞恒成立,求a 的取值范围.【解析】(1)求导:1e e 1e e ()x x f x x x++'=-,即e 1e ()(e)xf x x x +'=- 当()0,f x '<解得0e;x <<当()0,f x '>解得e x >()f x 的单调递减区间为()0,e ;单调递增区间为()e,+∞∴函数()f x 的最小值为(e)1f =(2)由(1)得()(e)1f x f ≥=,所以要使得()ln 1f x x a x ≥++恒成立,必须满足: (e)e lne 1e f a a ≥++⇒≤-,下面证明:当e a -≤时()ln 1f x x a x ≥++恒成立e a ≤e e ln 1l 1e n e e x x x a x x x x x ∴---≥-+-,∴只需证明e e eln 10x x x x-+-≥, 设e ()n 1e el x x x x x ϕ=-+-,则e e 1e e e e 11()()()1()e x x x x x x x x x x ϕ+⎛⎫'=---=⋅-⋅- ⎪⎝⎭由(1)得e e 10xx-≥且只在e x =取等号, ∴当0e x <<时,()0x ϕ'<,()ϕx 单调递减,∴当e x >时,()0x ϕ'>,()ϕx 单调递增 e ()()0x ϕϕ∴≥=.综上e a -≤.解法二:(变量分离)整理得:e1l e n xx x a x--≤ 只需m e in 1()l e n xx x a x--≤,先证明:e 1x x ≥+,构造()e 1x g x x =--,()e 1x g x '=-, 当0x >时,()0g x '≥,()g x 单调递增()(0)0g x g ≥=,从而证明得e 1x x ≥+ e ln e 11l e e e e n 11ln xx x x x x x x x x---=--≥-+--=-, 当仅且当n 0el x x -=即e x =处取得等号.e 1ln ln e e e ln xx x x x x---∴≥=-,∴e a -≤., 解法三:(不分离)eln (ln )1e e eln 1(ln )10x x x x x x x a x --+-≥-+-+-≥得e a -≤下面证明当e a -≤时,e ln 10e xx a x x---≥ ∴只需证明e eeln 10xx x x -+-≥设e ()n 1e el xx x x xϕ=-+-, 则e e 1e e e e 11()()()1()e x xx x x x x x x x ϕ+⎛⎫'=---=⋅-⋅- ⎪⎝⎭由(1)得e e 10xx-≥且只在e x =取等号 ∴当0e x <<时,()0x ϕ'<,()ϕx 单调递减∴当e x >时,()0x ϕ'>,()ϕx 单调递增e ()()0x ϕϕ∴≥=.综上e a -≤.29.已知函数2213()ln ,()224f x x ax x g x x ax ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭. (1)若1a =,求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程;(2)若当1≥x 时,()()f x g x ≥恒成立,求a 的取值范围.【解析】(1)因为1()(1)ln 12f x x x x =-'+-,所以1(1)2'=-f ,又(1)0f =, 所以切线方程为1(1)2y x =--,即210x y +-= (2)由()()f x g x ≥知2213ln 2024x ax x x ax ⎛⎫--+≥ ⎪⎝⎭,因为1≥x 所以13ln (ln 2)24x x x a x -≥-,当2e x =时,R a ∈, 当2e x >时,13ln 24ln 2x x x a x -≤-,当21e x ≤<时,13ln 24ln 2x x x a x -≥- 构造函数13ln 24()ln 2x x x h x x -=-,2(2ln 5)(ln 1)()4(ln 2)x x h x x --'=- 当1e x <<时,()0h x '>,()h x 单调递增,当2e <e x <时,()0h x '<,()h x 单调递减, 故21e x ≤<时,max e ()(e)4h x h ==,因此e 4a ≥ 当522e e ,()0x h x '<<<,()h x 单调递减,当52e x >时,()0h x '>,()h x 单调递增,故2e x >时,5522min ()e e h x h ⎛⎫= ⎪⎭=⎝,因此52e a ≤,综上:52e ,e 4a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦30.已知函数()2ln ,f x x ax a R =-∈.(1)当0a =时,求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程;(2)设函数()()ln 21g x f x x x =--+,若()0g x ≤在其定义域内恒成立,求实数a 的最小值;(3)若关于x 的方程()2ln f x x x =+恰有两个相异的实根12,x x ,求实数a 的取值范围,并证明121x x >.【解析】(1)当0a =时,()2ln f x x =,所以()2l 01n1=f =,()2f x x'=,所以()12f '=, 所以曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为:()021y x -=-,即22y x =-(2)由题意得,()ln 21g x x ax x =--+,因为()0g x ≤在其定义域内恒成立,所以ln 210x ax x --+≤在()0,∞+恒成立,即ln 12x a x++≥在()0,∞+恒成立, 等价于ln 12maxx a x +⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭,令()ln 1x h x x +=()0,∞+,所以()2ln x h x x -'=, 令()0h x '>解得01x <<,令()0h x '<解得1x >,所以函数()h x 在()0,1单调递增, 在()1,+∞单调递减,所以()()1=1h x h ≤,所以21a +≥,即1a ≥-,故a 的最小值为1-.(3)先证明必要性:由()2ln f x x x =+得2ln x ax x -=,即ln 0x x a x--=, 令()()ln 0x m x x a x x =-->,则()221ln x x m x x--'=, 设()21ln t x x x =--,则()12t x x x'=--,因为0x >,所以()0t x '<恒成立, 函数()t x 在()0,∞+单调递减,而()10t =,故在()0,1上()0t x >,()0m x '>, ()m x 单调递增,在()1,+∞上()0t x <,()0m x '<,()m x 单调递减,所以()()11max m x m a ==--.故方程()2ln f x x x =+恰有两个相异的实根只需:10a -->,所以实数a 的取值范围是(),1-∞-;再证明充分性:当(),1a ∞∈--时,方程()2ln f x x x =+恰有两个相异的实根,条件等价于2ln x ax x -=,即ln x x a x -=,即y a =与ln x y x x=-,当1a <-,0x >时有两个不同的交点,所以221ln x x y x--'=, 由上面必要性的证明可知函数在()0,1单调递增,在()1,+∞单调递减, 所以ln x y x x =-在0x >时的最大值为:ln11=11y =--,最小值趋近于负无穷, 所以当(),1a ∞∈--时,程()2ln f x x x =+恰有两个相异的实根,即充分性成立.下证:121x x >,不妨设12x x <,则1201x x <<<,2101x <<, 所以()121122111x x x m x m x x ⎛⎫>⇔>⇔> ⎪⎝⎭,因为()()120m x m x ==, 所以()()22122222221ln ln 1111x x m x m m x m x a a x x x x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪-=-=----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭ 2222222222221lnln ln 11ln 1x x x x x x x x x x x x =--+=-++2222211ln x x x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭, 令()()11ln 1x x x x x x x ϕ⎛⎫=+-+> ⎪⎝⎭,则()211ln 0x x x ϕ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭, 所以()x ϕ在()1,+∞上单调递增,所以当1x >时,()()10x ϕϕ>=, 即2222211ln 0x x x x x ⎛⎫+-+> ⎪⎝⎭,所以()121m x m x ⎛⎫> ⎪⎝⎭,所以121x x >.。
【推荐】方法3.5 分离(常数)参数法(测)-2017年高考数学(文)二轮复习讲练测
总分 _______ 时间 _______ 班级 _______ 学号 _______ 得分_______(一) 选择题(12*5=60分)1.【甘肃省兰州第一中学2016届高三期中考试】若函数2()log (1)f x m x x =+≥存在零点,则实数m 的取值范围是 ( )A .(,0]-∞ B. [0,)+∞ C .(,0)-∞ D.(0,)+∞ 【答案】A【解析】由题意得:求函数2log (1)m x x =-≥的值域,由21log 00x x m ≥⇒≥⇒≤,所以选A.2.【浙江省温州市十校联合体2016届高三联考】当3x >时,不等式11x a x +≥-恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A .(-∞,3] B . 【答案】D3.【河北省唐山一中等五校2016届高三联考】函数2()log (2)a f x ax =-在(0,1)上为减函数,则实数a 的取值范围是( ) A.1[,1)2B.(1,2)C.(1,2]D.1(,1)2【答案】C【解析】设22u ax =-,由题设知,0a > 且1a ≠ ,所以22u ax =-在(0,1)上为减函数,且0u >在区间(0,1)上恒成立,所以有11220a a a >⎧⇒<≤⎨-≥⎩,故选C.4.若不等式223xlnx x ax ≥-+-恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A .(-∞,0)B .(-∞,4]C .(0,+∞)D . D .(-12,15] 【答案】C 表示点()()1,1++p f p 与点()()1,1++q f q 连线的斜率,因实数q p ,在区间()1,0,故1+p 和1+q 在区间()2,1内,∴不等式立,∴函数图象上在区间()2,1内任意两点连线的斜率大于1,故函数的导数大于1在()2,1内恒成立,由函数的定义域知,1->x ,在()2,1内恒成立,即1322++>x x a 在()2,1内恒成立,由于二次函数=y 1322++x x 在()2,1上的单调增函数,故2=x 时,二次函数=y 1322++x x 在()2,1上最大值为15,15≥∴a ,故答案为A. 11.【2016河北衡水二调】定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有,且函数()1y f x =-的图象关于(1,0)成中心对称,若,s t 满足不等式()()2222f s s f t t -≤--,则当14s ≤≤时,)A 【答案】D12.现有两个命题:(1)若lg lg lg()x y x y +=+,且不等式2y x t >-+恒成立,则t 的取值范围是集合P ; (2),()1,x ∈+∞的图像与函数()2g x x t =-+的图像没有交点,则t 的取值范围是集合Q ;则以下集合关系正确的是( )A .P Q Ü B.Q P Ü C.P Q = D.P Q =∅【答案】C【解析】对(1):由lg lg lg()x y x y +=+得xy x y =+即不等式2y x t >-+恒成立,等价于2t x y <+恒成立.这只需min (2)t x y <+即可.(当.t 的取值范围是(二) 填空题(4*5=20分)13.【山西省孝义市2017届高三上学期二轮】1111111111111n ++++个之和是____________.14.【江苏省扬州中学2016届高三考试】设)(x f 是定义在R 上的奇函数,且当0x ≥时,2()f x x =,若对任意的]2,[+∈t t x ,不等式)(2)(x f t x f ≥+恒成立,则实数t 的取值范围是 .【解析】∵)(x f 是定义在R 上的奇函数,且当0≥x 时,2)(x x f =, ∴当0x <,有0x ->,2)()(x x f -=-,∴2)(x x f =-,即2)(x x f -=,∴⎩⎨⎧<-≥=)0(,)0(,)(22x x x x x f ,∴)(x f 在R 上是单调递增函数,且满∵不等[,2]t t +恒成立,[,2]t t +恒成立,解[,2]t t +恒成立,解得则实数t 的取值范围15.【2016在区间()33-,上恒成立,则实数a 的取值范围为 . 【答案】[)+∞,7.在区间()3,3-在区间()3,3-恒成立,只需当31<≤x ,()12--=x x y ,当3=x ,7max =y ,当13<<-x 时,()1122-+=--=x x x x y ,当3-=x 时,5max =y ,因此7,但是取不到.16.【2016届高三江苏教育学院附属高中期中】当)1,2(--∈x 时,不等式0124<++mx x 恒成立,则实数m 的取值范围是 .,2(1,4)x ∈,而解答题(6*12=72分)17.【2016对任意的x R ∈恒成立,求实数k 的取值范围? 【答案】)4,(-∞.18.【2016江西师大附中、鹰潭一中一联】已知抛物线C 的标准方程为)0(22>=p px y ,M 为抛物线C 上一动点,)0)(0,(≠a a A 为其对称轴上一点,直线MA 与抛物线C 的另一个交点为N .当A 为抛物线C 的焦点且直线MA 与其对称轴垂直时,△MON 的面积为18. (1)求抛物线C 的标准方程;(2t 值与M 点位置无关,则称此时的点A 为“稳定点”,试求出所有“稳定点”,若没有,请说明理由. 【答案】(Ⅰ)212y x =.(Ⅱ)(ⅰ)0a <时,不论a 取何值,t 均与m 有关, 即0a <时,A 不是“稳定点”; (ⅱ)0a >时,仅当,即3a =时,t 与m 无关.【解析】 6p =∴, 抛物线C 的标准方程为212y x =. (Ⅱ)设1122()()M x y N x y ,,,,19.【湖南省郴州市2017届高三上学期第一次教学质量监测】已知函数()log a f x x =,()2log (22)a g x x t =+-,其中0a >且1a ≠,t R ∈.(I 2,求实数a 的值; (II 恒成立,求实数t 的取值范围. 【解析】 (I )∵4t =,2分20.【河北省武邑中学2017届高三上学期第三次调研】已知数列{}n a 是等比数列,首项11a =,公比0q >,其前n 项和为n S ,且113322,,S a S a S a +++,成等差数列. (1)求{}n a 的通项公式;(2)若数列{}n b 满足为数列{}n b 前n 项和,若n T m ≥恒成立,求m 的最大值.【答案】(1(2)1.【解析】(1)由题意可知:()()()331122313212322S a S a S a S S S S a a a +=+++∴-+-=+-,21.【河南省天一大联考2016-2017学年高中毕业班阶段性测试(二)】已知函数()ln f x b x =.(1)当1b =时,求函数2()()G x x x f x =--在区间(2)若在[]1,e 上存在0x ,使得成立,求b 的取值范围. 【答案】(1)21e e --,0;(2212)(,1e e ++∞-【解析】(1)当1b =时,2()()G x x x f x =--2ln (0)x x x x =-->,令'()0G x =,得1x =,当x 变化时,()G x ,'()G x 的变化情况如下表:(0,1)-2()1(1)11G e e e e e =--=-->,所以2()()G x x x f x =--在区间2max ()()1G x G e e e ==--,min ()(1)0G x G ==.(2.若在[]1,e 上存在0x ,使得在[]1,e 上的最小值小于零.令'()0h x =,得1x =-(舍去)或1x b =+.22.【江西省抚州市七校2017届高三上学期联考】记{}max ,m n 表示m ,n 中的最大值,如.已知函数{}2()max 1,2ln f x x x =-,(1,求函数()h x 在(0,1]上零点的个数; (2)试探讨是否存在实数(2,)a ∈-+∞,使得对(2,)x a ∈++∞恒成立?若存在,求a 的取值范围;若不存在,说明理由.【答案】(1)2个;(2。
分离常数参数法-高考理科数学解题方法讲义
(2)设,求使对任意恒成立的实数的取值范
围.
【答案】(1);(2).
【解析】
(1)因为,所以
所以当时,,
又,满足上式,
所以数列的通项公式
(2)
由对任意恒成立,即使对恒成立
设,则当或时,取得最小值为,所以.
2.2 求定点的坐标
例7.已知直线:,,求证:直线恒过定点.
【答案】.
【反思提升】综合上面的例题,我们可以看到,分离参(常)数是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端,使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在(有)解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量,其中一个范围已知,另一个范围未知,解决问题的关键是分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后,对于不同问题我们有不同的理论依据需遵循.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 ,
∴函数 在 上单调递增,
又 ,
∴ ,
∴ .
∴函数 的值域为 .
(Ⅲ)当 时, .
由题意得 在 时恒成立,
∴ 在 时恒成立.
令 ,
则有 ,
∵范围为 .
例2.一种作图工具如图1所示. 是滑槽 的中点,短杆 可绕 转动,长杆 通过 处铰链与 连接, 上的栓子 可沿滑槽AB滑动,且 , .当栓子 在滑槽AB内作往复运动时,带动 绕 转动一周( 不动时, 也不动), 处的笔尖画出的曲线记为 .以 为原点, 所在的直线为 轴建立如图2所示的平面直角坐标系.
例1.已知函数 ( 且 )是定义在 上的奇函数.
(Ⅰ)求 的值;
(Ⅱ)求函数 的值域;
(Ⅲ)当 时, 恒成立,求实数 的取值范围.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ) ;(Ⅲ) .
4.7 压轴题高分策略之恒成立问题--参变分离法-2017年高考数学(理)热点+题型全突破含解析
压轴题高分策略之恒成立问题——参变分离法【知识梳理】1、参变分离:顾名思义,就是在不等式中含有两个字母时(一个视为变量,另一个视为参数),可利用不等式的等价变形让两个字母分居不等号的两侧,即不等号的每一侧都是只含有一个字母的表达式。
然后可利用其中一个变量的范围求出另一变量的范围2、如何确定变量与参数:一般情况下,那个字母的范围已知,就将其视为变量,构造关于它的函数,另一个字母(一般为所求)视为参数。
3、参变分离法的适用范围:判断恒成立问题是否可以采用参变分离法,可遵循以下两点原则:(1)已知不等式中两个字母是否便于进行分离,如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的,则参变分离法可行。
但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密",会出现无法分离的情形,此时要考虑其他方法。
例如:()21log a x x -<,111ax x e x-+>-等 (2)要看参变分离后,已知变量的函数解析式是否便于求出最值(或临界值),若解析式过于复杂而无法求出最值(或临界值),则也无法用参变分离法解决问题。
(可参见”恒成立问题——最值分析法“中的相关题目)4、参变分离后会出现的情况及处理方法:(假设为自变量,其范围设为D ,()f x 为函数;为参数,()g a 为其表达式)(1)若()f x 的值域为[],m M①()(),x D g a f x ∀∈≤,则只需要()()min g a f x m ≤=()(),x D g x f x ∀∈<,则只需要()()min g a f x m <= ②()(),x D g a f x ∀∈≥,则只需要()()max =g a f x M ≥()(),x D g a f x ∀∈>,则只需要()()max =g a f x M > ③()(),x D g a f x ∃∈≤,则只需要()()max g a f x M ≤=()(),x D g a f x ∃∈<,则只需要()()max g a f x M <= ④()(),x D g a f x ∃∈≥,则只需要()()min g a f x m ≥=()(),x D g a f x ∃∈>,则只需要()()min g a f x m >=(2)若()f x 的值域为(),m M①()(),x D g a f x ∀∈≤,则只需要()g a m ≤()(),x D g a f x ∀∈<,则只需要()g a m ≤(注意与(1)中对应情况进行对比) ②()(),x D g a f x ∀∈≥,则只需要()g a M ≥()(),x D g a f x ∀∈>,则只需要()g a M ≥(注意与(1)中对应情况进行对比) ③()(),x D g a f x ∃∈≤,则只需要()g a M <(注意与(1)中对应情况进行对比)()(),x D g a f x ∃∈<,则只需要()g a M < ④()(),x D g a f x ∃∈≥,则只需要()g a m >(注意与(1)中对应情况进行对比) ()(),x D g a f x ∃∈>,则只需要()g a m >6。
2017学年高考数学年(理)分离(常数)参数法(练)专题练习(五)答案
2017年高考数学(理)专题练习函数图象类问题【典例1】【2016高考新课标1卷】函数22e xy x =-在[]2,2-的图像大致为( )A .B .C .D .【典例2】【2015高考新课标2,理10】如图,长方形ABCD 的边2AB =,1BC =,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC ,CD 与DA 运动,记BOP x ∠=.将动P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ,则()y f x =的图像大致为( )ABCD【典例3】【2015高考北京,理7】如图,函数()f x 的图象为折线ACB ,则不等式()()2log 1f x x +≥的解集是( )A .{}|10x x -<≤B .{}|11x x -≤≤C .{}|11x x -<≤D .{}|12x x -<≤【典例4】【2015高考安徽,理9】函数()()2ax bf x x c +=+的图象如图所示,则下列结论成立的是( )A .0a >,0b >,0c <B .0a <,0b >,0c >C .0a <,0b >,4log 3a =D .22a a -+=4log 3a = 【跟踪训练】1.【2014年.浙江卷.理7】在同一直角坐标系中,函数()()h x g x >的图像可能是( )ABCD2.【2014福建,理4】若函数log (0,1)a y x a a =>≠且的图像如右图所示,则下列函数图像正确的是( )ABCD3.函数()2e 1x f x x =-的部分图象为( )ABCD4.函数()ln ||||x x f x x =的图像可能是( )ABCD。
高考数学二轮复习第三篇方法应用篇专题3.4分离(常数)参数法(讲)理
方法四 分离(常数)参数法分离(常数)参数法是高中数学中比较常见的数学思想方法,求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系,其中与二次函数相关的充分体现数形结合及分类思想方法的题目最为常见.与二次函数有关的求解参数的题目, 相当一部分题目都可以避开二次函数,使用分离变量,使得做题的正确率大大提高,随着分离变量的广泛使用,越来越多的压轴题都需要使用该思想方法. 1 分离常数法分离常数法在含有两个量(一个常量和一个变量)的关系式(不等式或方程)中,要求变量的取值范围,可以将变量和常量分离(即变量和常量各在式子的一端),从而求出变量的取值范围. 1.1 用分离常数法求分式函数的最值(值域)分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法,主要的分式函数有ax by cx d+=+,22ax bx cy mx nx p++=++,x x m a n y p a q ⋅+=⋅+,sin sin m x n y p x q ⋅+=⋅+ 等,解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离出常数.例1. 已知函数()242x x a af x a a-+=+(0a >且1a ≠)是定义在R 上的奇函数.(Ⅰ)求a 的值;(Ⅱ)求函数()f x 的值域;(Ⅲ)当[]1,2x ∈时, ()220xmf x +-≥恒成立,求实数m 的取值范围.【答案】(Ⅰ) 2a =;(Ⅱ) ()1,1-;(Ⅲ) 10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】试题分析:(Ⅰ)由函数为奇函数可得()()f x f x -=-,即242422x x x xa a a aa a a a---+-+=-++,可得2a =.(Ⅱ)分离常数可得()2121x f x =-+,故函数为增函数,再由211x+>,可得211121x-<-<+,即可得函数的值域.(Ⅲ)通过分离参数可得()()212221xx xm +-≥-在[]1,2x ∈时恒成立,令()2113xt t =-≤≤,,则有()()2121t t m t tt+-≥=-+,根据函数21y t t=-+的单调性可得函数的最大值,从而可得实数m 的取值范围(Ⅱ)由(Ⅰ)可得()22221212222121x x x x xf x ⋅--===-⋅+++, ∴函数()f x 在R 上单调递增, 又211x+>,∴22021x -<-<+, ∴211121x -<-<+.∴函数()f x 的值域为()1,1-.(Ⅲ)当[]1,2x ∈时, ()21021x xf x -=>+. 由题意得()212221x x xmf x m -=≥-+在[]1,2x ∈时恒成立, ∴()()212221xx x m +-≥-在[]1,2x ∈时恒成立.令()2113xt t =-≤≤,,则有()()2121t t m t tt+-≥=-+,∵当13t ≤≤时函数21y t t=-+为增函数,∴max 21013t t ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭. ∴103m ≥. 故实数m 的取值范围为10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 例2.一种作图工具如图1所示.O 是滑槽AB 的中点,短杆ON 可绕O 转动,长杆MN 通过N 处铰链与ON连接,MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动,且1DN ON ==,3MN =.当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时,带动..N 绕O 转动一周(D 不动时,N 也不动),M 处的笔尖画出的曲线记为C .以O 为原点,AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系. (Ⅰ)求曲线C 的方程;(Ⅱ)设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点.若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点,试探究:OQP ∆的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.【答案】(Ⅰ)221164x y +=;(Ⅱ)存在最小值8. 【解析】(Ⅰ)设点(,0)(||2)D t t ≤,00(,),(,)N x y M x y ,依题意,第21题图1第21题图22MD DN =u u u u r u u u r ,且||||1DN ON ==u u u r u u u r ,所以00(,)2(,)t x y x t y --=-,且2200220()1,1.x t y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩即0022,2.t x x t y y -=-⎧⎨=-⎩且0(2)0.t t x -= 由于当点D 不动时,点N 也不动,所以t 不恒等于0,于是02t x =,故00,42x yx y ==-,代入2201x y +=,可得221164x y +=,即所求的曲线C 的方程为221.164x y +=又由,20,y kx m x y =+⎧⎨-=⎩ 可得2(,)1212m m P k k --;同理可得2(,)1212m m Q k k -++.由原点O 到直线PQ 的距离为21d k =+和2||1|P Q PQ k x x +-,可得22111222||||||||222121214OPQP Q m m m S PQ d m x x m k k k ∆=⋅=-=⋅+=-+-. ② 将①代入②得,222241281441OPQk m S k k ∆+==--. 当214k >时,2224128()8(1)84141OPQ k S k k ∆+==+>--;当2104k ≤<时,2224128()8(1)1414OPQ k S k k ∆+==-+--.因2104k ≤<,则20141k <-≤,22214k ≥-,所以228(1)814OPQ S k ∆=-+≥-,当且仅当0k =时取等号. 所以当0k =时,OPQ S ∆的最小值为8.综合(1)(2)可知,当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时,OPQ ∆的面积取得最小值8. 1.2 用分离常数法判断分式函数的单调性例3.已知函数()()x af x a b x b+=≠+,判断函数的单调性.【答案】当时,函数在和上是减函数;当时,函数在和上是增函数.【解析】由已知有,,∴当时,函数在和上是减函数;当时,函数在和上是增函数.例4.【2018届高三训练】若不等式x 2+ax +1≥0对一切x∈恒成立,则a 的最小值为( )A. 0B. -2C. -D. -3【答案】C2 分离参数法分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法,通过分离参数,用函数观点讨论主变量的变化情况,由此我们可以确定参数的变化范围.这种方法可以避免分类讨论的麻烦,从而使问题得以顺利解决.分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到. 解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题.2.1 用分离参数法解决不等式恒成立问题例5.【2018届天一大联考高中毕业班阶段性测试(四)】已知等差数列的通项公式为,前项和为,若不等式恒成立,则的最小值为__________.【答案】【解析】由题可知:恒成立,即恒成立,设t=n+1,则,因为函数在,,所以,所以M的最小值是例6.已知数列的前项和为,且.(1)求数列的通项公式;(2)设,求使对任意恒成立的实数的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】(1)因为,所以所以当时,,又,满足上式,所以数列的通项公式(2)由对任意恒成立,即使对恒成立设,则当或时,取得最小值为,所以.2.2 求定点的坐标例7. 已知直线:,,求证:直线恒过定点. 【答案】.【反思提升】综合上面的例题,我们可以看到,分离参(常)数是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端,使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在(有)解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量,其中一个范围已知,另一个范围未知,解决问题的关键是分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后,对于不同问题我们有不同的理论依据需遵循.。
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2017年高考数学(理)专题练习(五)
分离(常数)参数法(讲)
一.分离常数法
1.1.用分离常数法求分式函数的最值
例1.函数()(2)1
x f x x x =≥-的最大值为_________. 1.2.用分离常数法求函数的值域
例2.函数22(1)1
x y x x +=>-的最小值是( ) A
.2
B
.2 C
. D .2
1.3.用分离常数法判断分式函数的单调性
例3.已知函数()()x a f x a b x b
+=≠+,判断函数()f x 的单调性. 例4.已知函数21()=2ln 2f x x ax x +-,若()f x 在区间123⎡⎤⎢⎥⎣⎦
,上是增函数,则实数a 的取值范围 _________.
二.分离参数法
2.1.用分离参数法解决不等式恒成立问题
例5.已知数列{}n a 是以为首项,以为公差的等差数列,数列{}n b 满足(1)2n n b n a =+.若对n +∈N 都有 4n b b ≥成立,则实数t 的取值范围是_________.
2.2.求定点的坐标
例6.已知直线:(21)(1)740l m x m y m ++++--=,m ∈R ,求证:直线l 恒过定点.
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