近世代数试题库

近世代数一、单项选择题

A⋂=（）

1、若A={1，2，3，5}，B={2，3，6，7}，则B

A、{1，2，3，4}

B、{2，3，6，7}

C、

2

A

C

3

A、

C

4

A、

B、

5、设

是从A到B的（）

A、单射

B、满射

C、一一映射

D、既非单射也非满射

答案：D

6、有限群中的每一个元素的阶都（）

A、有限

B、无限

C 、为零

D 、为1

答案：A

7、整环（域）的特征为（）

A 、素数

B 、无限

C 、有限

D 、或素数或无限

答案：D

8、若S 是半群,则()

A C 9A 、C 、10A 、C 、11

A B 、A 1C 、n A A A ⨯⨯⨯ 21中不同的元对应的象必不相同；

D 、一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。

答案：B

12、指出下列那些运算是二元运算（）

A 、在整数集Z 上，ab

b a b a += ；

B 、在有理数集Q 上，ab b a = ；

C 、在正实数集+R 上，b a b a ln = ；

D 、在集合{}0≥∈n Z n 上，b a b a -= 。

答案：D

13、设 是整数集Z 上的二元运算，其中{}b a b a ,m ax = （即取a 与b 中的最大者），那么 在Z 中（）

A C 14() ,G A 、015A 、bc 16（）

A 、61721A 、f 的同态核是1G 的不变子群；

B 、2G 的不变子群的逆象是1G 的不变子群；

C 、1G 的子群的象是2G 的子群；

D 、1G 的不变子群的象是2G 的不变子群。

答案：D

18、设21:R R f →是环同态满射，b a f =)(，那么下列错误的结论为（）

A 、若a 是零元，则b 是零元；

B 、若a 是单位元，则b 是单位元；

C 、若a 不是零因子，则b 不是零因子；

D 、若2R 是不交换的，则1R 不交换。

答案：C

19、下列正确的命题是（）

A

C 20A 、(E C 、(I :12、设答：3．设21Rl l 答：是

4、设群G 中的元素a 的阶为m ，则e a n =的充要条件是（）。

答：n m

5、群G 的非空子集H 作成G 的一个子群的充要条件是（）。

答：,,H b a ∈∀有H ab ∈-1

6、n 次对称群n S 的阶是（）。

答：!n

7、设G 是有限群，H 是G 的子群，且H 在G 中的指数为n ，则=G （）。 答：H n

8、设G 是一个群,e 是G 的单位元，若,G a ∈且a=a,则（）

答：

910答：｛11答：⊆121314、n 答：G 15答：n

16、如果环R 的乘法满足交换律，即,a b R ∀∈，有ab ba =，则称R 为（）环

答：交换环

17、数集关于数的加法和乘法作成的环叫做（）环。

答：数环

18、设有限域F 的阶为81，则的特征=p （）。

答：3

19、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于（）。

答：25

20、一个有单位元的无零因子（）称为整环。

答：交换环

a 是一个国际标准书号，那么=a （）。

答：

22.答：23答：24、6答：26答：27答：({28答：a 29。 答：φ31、凯莱定理说：任一个子群都同一个（）同构。

答：变换群

32、给出一个5-循环置换)31425(=π，那么=-1π（）。

答：()13524

33、若I 是有单位元的环R 的由a 生成的主理想，那么I 中的元素可以表达为（）。

答：R y x ay x i i i i ∈∑,,

34、若R 是一个有单位元的交换环，I 是R 的一个理想，那么I

R 是一个域当且仅当I 是（）。 答：一个最大理想

35、整环I 的一个元p 叫做一个素元，如果（）。

答：p 既不是零元，也不是单位，且q 只有平凡因子

36、若域F 的一个扩域E 叫做F 的一个代数扩域，如果（）。

答：E 1、设2、设3456、群789、(F 10)p 是由素

四、解答题

1、A={数学系的全体学生}，规定关系R ：

同在一个班级与b a aRb A b a ⇔∈,,，证明R 是A 的一个等价关系。

答案：自反性：自己与自己显然在同一个班级

对称性：若a 与b 同在一个班级,显然b 与a 同在一个班级

传递性：若a 与b 同在一个班级,b 与c 同在一个班级,显然a 与c 同在一个班级.

2、在R 中的代数运算 是否满足结合率和交换率？

（等式右边指的是普通数的运算）

答：因为对于R c b a ∈∀,,，有()()c ab b a c b a ++=

()()c ab b a c ab b a ++++++=abc bc ac c ab b a ++++++=，

根据实数的加法与乘法的运算率得

()()c b a c b a =。

又a

3,,,()()A B A B A B A B B A ---。

{}{,,,,,B c d A B a b c d ==4、设()()()()()({,123,23,13,12,13==S ，()(){}12,1=H ，求G 关于子群H 的左陪集分解。 答：(H H ==)12(1，

(()(){}123,13)123(==H H ，

(H G =5 若S 还有单位元1e ，则11e ee e ==，故e 是S 的唯一单位元。

6、对于下面给出的Z 到Z 的映射,,f g h

计算,,,,f g g f g h h g f g h 。

答案：

7、设H 是G 的不变子群，则G a ∈∀，有H aHa =-1。

ab b a b a ++=