定积分换元法

定积分换元法

1、先做这个题

H ■算 J* dx (a >0)*

这个题用一般的方法是无法解出来的，因为不知道到底哪个函数求导后是

a 2 ~ JC 1 i

。

我们可以设x=a*sin t ，要x 从0取到a ，只要t 从0取到n /2就行。现在 就用

a*sin t 代替x 。那么，就有

J a 1 _ £ A JT — a 2 COST tdt

求导数等于cos (2t )的函数是很容易求出来的。结果为

总结：所谓的换元思想，就是替换。x 既可以理解成一个自变量，也可以理 解成一

个函数。这个例题中把它当成自变量不好解，就尝试把它看成是一个函数。 这个函数是你自己可以编的。你可以用 x=a*cos t (- n /2

者，x=t2 (0

将一个自变量自己编为一个合适的函数，这就是第一类换元法

2、再看一个题目

_ 1C

cos 3 rsin zrdjr 这个题目，Sin xdx=-dcos x 的。于是有

这里把cos x 看成了一个整体，相当于，把整个函数看成了一个自变量。即 t=cos

x ，根据x 从0取n 时，t 从1取到0

将整体看成一个自变量，这就是第二类换元法。 再看一下标准的定理：计算

'cos 5

\rsin xdj ：=- oos 5 .rd(cos x) 0

cos 3 jrsin rdx

I z s

dz = J L 6

定理假设函数/(刃在区间3』］上连续，函数工二旗门满足条件: (1)卩 5)=

盘,f(p) = 6;

(2)护("在4/］(或上具有连续导數*且其值域尺申二⑺』］①* 则有^

/(j)d.r = J (t)dt,(1)

公式(1)叫做定积分的换元公式.

正向是第一类，逆向是第二类。

应该能理解了。就是把单独的变量看成一个整体和把整体看成一个变量的事。注意好积分号的上下限。

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