高中 平面解析几何直线方程 知识点+例题

辅导讲义――直线方程

围是___________

1、五种直线方程：

名称

已知条件 示意图

方程

使用范围

点斜式 点P (x 0，y 0)和斜率k

斜率存在

斜截式 斜率k 和在y 轴上的截距b

斜率存在

两点式

P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，

y 2)，其中x 1≠x 2，y 1≠y 2

斜率存在且不为0

截距式

在x ，y 轴上的截

距分别为a ，b 且ab ≠0

斜率存在且不为0，不

过原点

一般式

在平面直角坐标系中，

任何一条直线都可以用一般式方程表示

2、直线的截距：

（1）直线在y 轴上的截距：直线与y 轴的交点(0，b )的纵坐标．

（2）直线在x 轴上的截距：直线与x 轴的交点(a ，0)的横坐标．

注意：(1)截距不代表距离，它是可正可负的.

(2) 每个关于x ，y 的二元一次方程都表示一条直线.

[例1] 经过点（4，2）平行于x 轴的直线方程为__________.

[巩固1] 一条直线过点（2，0），且与直线y=x+8在y 轴有相同的截距，则该直线的方程为____________________.

[巩固2] 已知直线m 的倾斜角是直线0333=--y x 的倾斜角的2倍，且直线m 在x 轴上的截距为-3，则直线m 的

知识模块2直线方程 精典例题透析

题型一：求直线的倾斜角与斜率

[例]如图，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，求l1，l2的斜率.

[巩固]已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)，

（1）求直线AB和AC的斜率；

（2）若点D在线段BC上(包括端点)移动时，求直线AD的斜率的变化范围．

题型二：三点共线问题

[例]求证：A(1,1)，B(4,7)，C(－1，－3)三点共线．

[巩固]已知三点A(0，a)，B(2,3)，C(4,5a)在一条直线上，求a的值，并求这条直线的倾斜角．

题型三：求直线方程

[例1]三角形的顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0，2)，求这个三角形三边所在直线的方程．

[巩固]写出下列直线的斜截式方程．

（1）斜率是3，在y轴上的截距是－3；

（2）倾斜角是60°，在y轴上的截距是5；

（3）倾斜角是150°，在y轴上的截距是0.

[巩固]设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别确定实数m的值．（1）l在x轴上的截距为－3；

（2）斜率为1.

题型五：直线方程的综合应用

[例]已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．

[巩固]已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．

（1）证明：直线l过定点；

（2）若直线不经过第四象限，求k的取值范围；

（3）若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．

1．若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则参数m 满足的条件__________.

2．直线x sin π7＋y cos π

7

＝0的倾斜角α是_______.

解析 ∵tan α＝－sin π

7cos

π7＝－tan π7＝tan 6

7π，

∵α∈[0，π)，∴α＝6

7

π.

3．直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是_______________.

解析 ∵直线的斜率k ＝－1

a 2＋1，∴－1≤k <0，则倾斜角的范围是⎣⎡⎭⎫3π4，π. 4．两条直线l 1：x a －y

b ＝1和l 2：x b －y

a

＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( )

答案 A

解析 化为截距式x a ＋y －b ＝1，x b ＋y

－a

＝1.

假定l 1，判断a ，b ，确定l 2的位置，知A 项符合．

5．已知直线PQ 的斜率为－3，将直线绕点P 顺时针旋转60°所得的直线的斜率为__________.

解析 直线PQ 的斜率为－3，则直线PQ 的倾斜角为120°，所求直线的倾斜角为60°，tan 60°＝ 3.

6．若直线l 的斜率为k ，倾斜角为α，而α∈⎣⎡⎭⎫π6，π4∪⎣⎡⎭⎫

2π3，π，则k 的取值范围是__________．

答案 [－3，0)∪⎣⎡

⎭

⎫

33，1

解析 当π6≤α<π4时，3

3≤tan α<1，

∴

3

3

≤k <1. 夯实基础训练

当

2π

3

≤α<π时，－3≤tan α<0. ∴k ∈⎣⎡

⎭

⎫

33，1∪[－3，0)．

7．直线l ：ax ＋(a ＋1)y ＋2＝0的倾斜角大于45°，则a 的取值范围是________________．

答案 (－∞，－1

2

)∪(0，＋∞)

解析 当a ＝－1时，直线l 的倾斜角为90°，符合要求；

当a ≠－1时，直线l 的斜率为－a a ＋1，只要－a a ＋1>1或－a a ＋1<0即可，

解得－1

2

或a <－1或a >0.

综上可知，实数a 的取值范围是(－∞，－1

2

)∪(0，＋∞)．

8．若ab >0，且A (a,0)、B (0，b )、C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为________． 答案 16

解析 根据A (a,0)、B (0，b )确定直线的方程为x a ＋y

b ＝1，又C (－2，－2)在该直线上，故－2a ＋－2b ＝1，

所以－2(a ＋b )＝ab .又ab >0，故a <0，b <0.

根据基本不等式ab ＝－2(a ＋b )≥4ab ，从而ab ≤0(舍去)或ab ≥4，故ab ≥16，当且仅当a ＝b ＝－4时取等号．即ab 的最小值为16.

9．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：

（1）过定点A (－3,4)；（2）斜率为1

6

.

解 (1)设直线l 的方程是y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4

k －3,3k ＋4，

由已知，得(3k ＋4)⎝⎛⎭⎫－4

k －3＝±6， 解得k 1＝－23或k 2＝－8

3

.

故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0. (2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是 y ＝1

6

x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ， 由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1. ∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.

10.如图，射线OA 、OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1,0)作直线AB 分别交OA 、OB 于A 、B 两点，当AB

的中点C 恰好落在直线y ＝1

2

x 上时，求直线AB 的方程．

解 由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－3

3

，

所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33

x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )， 所以AB 的中点C ⎝

⎛⎭

⎪

⎫m －3n 2，m ＋n 2，