组合数学试题及答案07

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组合数学2019年7月真题及答案

组合数学2019年7月真题及答案1. （10分）3个0，2个1和3个7构成的8位数共有多少个？答：如果1作为首位，则7!/3!3! = 140如果7作为首位，则7!/3!2!2! = 210根据加法原则，共有140+210= 350个2. （10分）某网红奶茶店有三种不同的奶茶。

小王买了5杯奶茶，问共有多少种不同的奶茶组合？答：有C(7，2)=21种不同的组合3. （10分）设序列a1,a2,…a2019各项都是正整数，证明在这个序列中必存在若干个连续项组成的子序列，其各项之和为2019的倍数。

答：（同2019年1月真题）序列a1,a2,...a2019中的任意数，除以2019的余数只可能是0，1，2，3， (2018)余数相加能被2019整除的数相加，一定能整除2019。

所以在此序列中，一定存在若干个连续项，使得每一项除以2019的余数之和为2019，即它们相加一定是2019的整数倍。

4. （10分）求满足递推关系hn=hn-1+9hn-2-9hn-3的hn的表达式，其中初始条件h1=0,h1=1, h2=2.答：根据hn=hn-1+9hn-2-9hn-3得：特征方程为q^3=q^2+9q-9，解方程得：q1=1, q2=3, q3=-3则通解为hn=c1*(1)^n+c2*(3)^n+c3*(-3)^n将初始条件h1=0,h1=1, h2=2代入得：从c1=-1/4, c2=1/3, c3=-1/12所以通解为hn=-1/4+1/3*(3)^n-1/12*(-3)^n5. （10分）证明组合恒等式证明：（2019年国考真题）C(n+m+1, k+1) = C(n+m, k+1) + C(n+m, k)C(n+m, k+1) = C(n+m-1, k+1) + C(n+m-1, k)C(n+n-1, k+1) = C(n+m-2, k+1) + C(n+m-2, k)...C(n, k+1) = C(n, k+1) + C(n, k)依次代入整理即：C(n+m+1, k+1) = C(n, k+1) + C(n, k) + C(n+1, k) + C(n+2, k) + ... + C(n+m, k)6. （10分）求方程x1+x2+x3+x4=17整数解的个数，其中x1≥2，x2≥3，x3≥1，x4≥4.答：令y1=x1-2, y2=x2-3, y3=x3-1, y4=x4-4则原方程可看作是方程y1+2+y2+3+y3+1+y4+4=17, y1, y2, y3, y4≥0的非负整数解的个数，即y1+y2+y3+y4=7，非负整数解的个数为C(4+7-1, 7)=120个7. （10分）设图G是具有12个顶点的二部图。

组合数学习题及解答

根据清华远程教育课堂答案编辑整理,有改动，如果有错误，请指正。

――编者注第一章习题1.证任一正整数n 可唯一地表成如下形式:,0≤a i ≤i,i ＝1,2,…。

证：对n 用归纳法。

先证可表示性：当n=0,1时，命题成立。

假设对小于n 的非负整数，命题成立。

对于n,设k!≤n ＜(k+1)!,即0≤n-k!＜k ·k!由假设对n-k!,命题成立，设，其中a k ≤k-1,，命题成立。

再证表示的唯一性：设, 不妨设a j ＞b j ,令j=max{i|a i ≠b i }a j ·j!+a j-1·(j-1)!+…+a 1·1! =b j ·j!+b j-1·(j-1)!+…+b 1·1!, ∑∑∑∑⋅-≥⋅-≥⋅>≥⋅-=⋅-!)(!!!!)(!)(i a bi a bi i j i a bj b a i ii ii ij j矛盾，命题成立。

另一种证法：令j=max{i|a i ≠b i}, 两边被(j+1)!除,得余数a j ·j!=b j ·j!,矛盾.2.证 nC(n-1,r)=(r+1)C(n,r+1).并给出组合意义。

证：)1,()1()!1()!1(!)1()!1(!)1(!)1()!1(!1),1(++=--⋅+⋅+=--⋅⋅+⋅+=--⋅-=-r n C r r n r n r r n r r n r r n r n n r n nC组合意义：等式左边：n 个不同的球，先任取出1个，再从余下的n-1个中取r 个；等式右边：n 个不同球中任意取出r+1个，并指定其中任意一个为第一个。

显然两种方案数相同。

3.证。

证：由等式∑==⋅++⋅+⋅+=+nk knn xk n C xn n C x n C x n C n C x 02),(),()2,()1,()0,()1(两边求导并令x=1,即命题得证。

组合数学考试试题

第一部分：填空题。

题目1:求n 元布尔函数f (x1，x2，…，xn ）的数目，其中布尔函数是指含有与（∧）、或（∨）、非（－）等基本布尔运算的函数。

解答：设有n 个布尔变元x 1，x 2，…，x n ，其中x i ∈{0，1}，i =1，2，…，n ，根据乘法原理(x 1，x 2，…，x n )共有2n 种不同指派，对每个指派，布尔函数取值为{0，1}，故不同的布尔函数的数目为：22n。

（考试中会给定n 的具体数值，带入公式直接计算即可。

）题目2：n 对夫妻围一圆桌而坐，求每对夫妻相邻而坐的方案数。

解答：夫妻相邻而坐，可以将一对夫妻看成一个整体，其圆排列数为(n -1)!，由于每对夫妻可以交换位置，故所求方案数为(n -1)!×2n。

题目3：求多重集合M = {∞·a 1, ∞·a 2, …, ∞·a n }的r 排列数。

解答：在构造的M 的一个r 排列时，第一项有n 种选择，第二项有n 种选择，……，第r 项有n 种选择，故M 的r 排列数为n r 。

(一般地，n 元多重集合表示为：M = {k 1·a 1, k 2·a 2, …, k n ·a n }其中：a i （i = 1, 2, …, n ）表示元素的种类，k i （i = 1, 2, …, n ）表示元素a i 的个数。

)题目4：求多重集合M = { k 1·a 1, k 2·a 2, …, k n ·a n }的全排列数。

解答：先把M 中的所有的k 1 + k 2 + … + k n 个元素看成是互不相同的，则它的全排列数为(k 1 + k 2 + … + k n )!。

但是这里k i !个a i 是相同的，所以k i !个a i 的位置相同并且同其他元素排列也相同的排列是同一个，故M 的全排列数为：!!!)!(2121n n k k k k k k +++。

高中数学组合综合测试题(有答案)

高中数学组合综合测试题（有答案）选修2-3 1.2.2.2 组合2一、选择题1．某年级有6个班，分别派3名语文教师任教，每个教师教2个班，则不同的任课方法种数为()A．C26C24C22 B．A26A24A22C．C26C24C22C33 D.A26C24C22A33[答案] A2．从单词“equation”中取5个不同的字母排成一排，含有“qu”(其中“qu”相连且顺序不变)的不同排法共有() A．120种 B．480种C．720种 D．840种[答案] B[解析] 先选后排，从除qu外的6个字母中任选3个字母有C36种排法，再将qu看成一个整体(相当于一个元素)与选出的3个字母进行全排列有A44种排法，由分步乘法计数原理得不同排法共有C36A44＝480(种)．3．从编号为1、2、3、4的四种不同的种子中选出3种，在3块不同的土地上试种，每块土地上试种一种，其中1号种子必须试种，则不同的试种方法有()A．24种 B．18种C．12种 D．96种[答案] B[解析] 先选后排C23A33＝18，故选B.4．把0、1、2、3、4、5这六个数，每次取三个不同的数字，把其中最大的数放在百位上排成三位数，这样的三位数有() A．40个 B．120个C．360个 D．720个[答案] A[解析] 先选取3个不同的数有C36种方法，然后把其中最大的数放在百位上，另两个不同的数放在十位和个位上，有A22种排法，故共有C36A22＝40个三位数．5．(2019湖南理，7)在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为()A．10 B．11C．12 D．15[答案] B[解析] 与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类：第一类：与信息0110只有两个对应位置上的数字相同有C24＝6(个)第二类：与信息0110只有一个对应位置上的数字相同有C14＝4(个)第三类：与信息0110没有一个对应位置上的数字相同有C04＝1(个)与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息有6＋4＋1＝11(个)6．北京《财富》全球论坛开幕期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早，中，晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为() A．C414C412C48 B．C1214C412C48C.C1214C412C48A33 D．C1214C412C48A33[答案] B[解析] 解法1：由题意知不同的排班种数为：C414C410C46＝141312114！109874！652！＝C1214C412C48.故选B.解法2：也可先选出12人再排班为：C1214C412C48C44，即选B.7．(2009湖南理5)从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为()A．85 B．56C．49 D．28[答案] C[解析] 考查有限制条件的组合问题．(1)从甲、乙两人中选1人，有2种选法，从除甲、乙、丙外的7人中选2人，有C27种选法，由分步乘法计数原理知，共有2C27＝42种．(2)甲、乙两人全选，再从除丙外的其余7人中选1人共7种选法．由分类计数原理知共有不同选法42＋7＝49种．8．以一个正三棱柱的顶点为顶点的四面体共有()A．6个 B．12个C．18个 D．30个[答案] B[解析] C46－3＝12个，故选B.9．(2009辽宁理，5)从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有()A．70种 B．80种C．100种 D．140种[答案] A[解析] 考查排列组合有关知识．解：可分两类，男医生2名，女医生1名或男医生1名，女医生2名，共有C25C14＋C15C24＝70，选A.10．设集合Ⅰ＝{1,2,3,4,5}．选择Ⅰ的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有()A．50种 B．49种C．48种 D．47种[答案] B[解析] 主要考查集合、排列、组合的基础知识．考查分类讨论的思想方法．因为集合A中的最大元素小于集合B中的最小元素，A中元素从1、2、3、4中取，B中元素从2、3、4、5中取，由于A、B非空，故至少要有一个元素．1 当A＝{1}时，选B的方案共有24－1＝15种，当A＝{2}时，选B的方案共有23－1＝7种，当A＝{3}时，选B的方案共有22－1＝3种，当A＝{4}时，选B的方案共有21－1＝1种．故A是单元素集时，B有15＋7＋3＋1＝26种．2 A为二元素集时，A中最大元素是2，有1种，选B的方案有23－1＝7种．A中最大元素是3，有C12种，选B的方案有22－1＝3种．故共有23＝6种．A中最大元素是4，有C13种．选B的方案有21－1＝1种，故共有31＝3种．故A中有两个元素时共有7＋6＋3＝16种．3 A为三元素集时，A中最大元素是3，有1种，选B的方案有22－1＝3种．A中最大元素是4，有C23＝3种，选B的方案有1种，共有31＝3种．A为三元素时共有3＋3＝6种．4 A为四元素时，只能是A＝{1、2、3、4}，故B只能是{5}，只有一种．共有26＋16＋6＋1＝49种．二、填空题11．北京市某中学要把9台型号相同的电脑送给西部地区的三所希望小学，每所小学至少得到2台，共有______种不同送法．[答案] 10[解析] 每校先各得一台，再将剩余6台分成3份，用插板法解，共有C25＝10种．12．一排7个座位分给3人坐，要求任何两人都不得相邻，所有不同排法的总数有________种．[答案] 60[解析] 对于任一种坐法，可视4个空位为0,3个人为1,2,3则所有不同坐法的种数可看作4个0和1,2,3的一种编码，要求1,2,3不得相邻故从4个0形成的5个空档中选3个插入1,2,3即可．不同排法有A35＝60种．13．(09海南宁夏理15)7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种(用数字作答)．[答案] 140[解析] 本题主要考查排列组合知识．由题意知，若每天安排3人，则不同的安排方案有C37C34＝140种．14．2019年上海世博会期间，将5名志愿者分配到3个不同国家的场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数是________种．[答案] 150[解析] 先分组共有C35＋C25C232种，然后进行排列，有A33种，所以共有(C35＋C25C232)A33＝150种方案．三、解答题15．解方程Cx2＋3x＋216＝C5x＋516.[解析] 因为Cx2＋3x＋216＝C5x＋516，所以x2＋3x＋2＝5x＋5或(x2＋3x＋2)＋(5x＋5)＝16，即x2－2x－3＝0或x2＋8x－9＝0，所以x＝－1或x＝3或x＝－9或x＝1.经检验x＝3和x＝－9不符合题意，舍去，故原方程的解为x1＝－1，x2＝1.16．在MON的边OM上有5个异于O点的点，边ON上有4个异于O点的点，以这10个点(含O点)为顶点，可以得到多少个三角形？[解析] 解法1：(直接法)分几种情况考虑：O为顶点的三角形中，必须另外两个顶点分别在OM、ON上，所以有C15C14个，O不为顶点的三角形中，两个顶点在OM上，一个顶点在ON上有C25C14个，一个顶点在OM上，两个顶点在ON上有C15C24个．因为这是分类问题，所以用分类加法计数原理，共有C15C14＋C25C14＋C15C24＝54＋104＋56＝90(个)．解法2：(间接法)先不考虑共线点的问题，从10个不同元素中任取三点的组合数是C310，但其中OM上的6个点(含O点)中任取三点不能得到三角形，ON上的5个点(含O点)中任取3点也不能得到三角形，所以共可以得到C310－C36－C35个，即C310－C36－C35＝1098123－654123－5412＝120－20－10＝90(个)．解法3：也可以这样考虑，把O点看成是OM边上的点，先从OM上的6个点(含O点)中取2点，ON上的4点(不含O点)中取一点，可得C26C14个三角形，再从OM上的5点(不含O 点)中取一点，从ON上的4点(不含O点)中取两点，可得C15C24个三角形，所以共有C26C14＋C15C24＝154＋56＝90(个)．17．某次足球比赛共12支球队参加，分三个阶段进行．(1)小组赛：经抽签分成甲、乙两组，每组6队进行单循环比赛，以积分及净剩球数取前两名；(2)半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名作主客场交叉淘汰赛(每两队主客场各赛一场)决出胜者；(3)决赛：两个胜队参加决赛一场，决出胜负．问全程赛程共需比赛多少场？[解析] (1)小组赛中每组6队进行单循环比赛，就是6支球队的任两支球队都要比赛一次，所需比赛的场次即为从6个元素中任取2个元素的组合数，所以小组赛共要比赛2C26＝30(场)．(2)半决赛中甲组第一名与乙组第二名(或乙组第一名与甲组第二名)主客场各赛一场，所需比赛的场次即为从2个元素中任取2个元素的排列数，所以半决赛共要比赛2A22＝4(场)．(3)决赛只需比赛1场，即可决出胜负．所以全部赛程共需比赛30＋4＋1＝35(场)．18．有9本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种分法？(1)甲得4本，乙得3本，丙得2本；(2)一人得4本，一人得3本，一人得2本；(3)甲、乙、丙各得3本．[分析] 由题目可获取以下主要信息：①9本不同的课外书分给甲、乙丙三名同学；②题目中的3个问题的条件不同．解答本题先判断是否与顺序有关，然后利用相关的知识去解答．[解析] (1)分三步完成：第一步：从9本不同的书中，任取4本分给甲，有C49种方法；第二步：从余下的5本书中，任取3本给乙，有C35种方法；第三步：把剩下的书给丙有C22种方法，共有不同的分法有C49C35C22＝1260(种)．(2)分两步完成：第一步：将4本、3本、2本分成三组有C49C35C22种方法；第二步：将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人，有A33种方法，共有C49C35C22A33＝7560(种)．(3)用与(1)相同的方法求解，得C39C36C33＝1680(种)．。

排列组合练习题及答案.doc

、 m nmC362、A人，则有 C C A 90 4 AA 58选 C.二、相邻问题：1. A 、B 、C 、D 、E 五个人并排站成一列，若 A 、B 必相邻，则有多少种不同排法？2. 有 8 本不同的书，其中 3 本不同的科技书， 2 本不同的文艺书， 3 本不同的体育书，将这些书竖排在书架上，则科技书连在一起，文艺书也连在一起的不同排法种数为( )答案： 1.2 432524325A A48(2) 选B AAA 1440三、不相邻问题：1. 要排一个有 4 个歌唱节目和 3 个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目都不相邻，有多少种不同排法？2、1 到 7 七个自然数组成一个没有重复数字的七位数，其中奇数不相邻的有多少个？名男生和 4 名女生站成一排，若要求男女相间，则不同的排法数有（）4. 排成一排的 8 个空位上，坐 3 人，使每人两边都有空位，有多少种不同坐法？张椅子放成一排， 4 人就坐，恰有连续三个空位的坐法有多少种？6. 排成一排的 9 个空位上，坐 3 人，使三处有连续二个空位，有多少种不同坐法？7. 排成一排的 9 个空位上，坐 3 人，使三处空位中有一处一个空位、有一处连续二个空位、有一处连续三个空位，有多少种不同坐法？8. 在一次文艺演出中，需给舞台上方安装一排彩灯共 15 只，以不同的点灯方式增加舞台效果，要求设计者按照每次点亮时，必须有 6 只灯是熄灭的，且相邻的灯不能同时熄灭，两端的灯必须点亮的要求进行设计，那么不同的点亮方式是（）种种种种答案：1. A 44 A 53 1440 （ 2） A 33 A 44 144 （）选 B 2A 44 A 44 1152 （ 4） A 43 24 （5） A 44 A 52 480 333（） 3 3 （）选 6（6） 3424 3 4144 A C 828A C7 A A8四、定序问题：1. 有 4 名男生， 3 名女生。

浙江省排列组合历年高考题含答案

浙江省排列组合历年高考题含答案排列组合1. 【2009年.浙江卷。

理16】甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是（用数字作答)．2. 【2008年。

浙江卷。

理16】用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是 (用数字作答)。

3. 【2007年.浙江卷.理14】某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种，小张有10元钱买杂志（每种至多买一本，10元钱刚好用完),则不同买法的种数是__________（用数字作答）4。

【2005年。

浙江卷。

理9】从集合{O，P，Q，R，S｝与｛0，1，2，3，4，5,6，7,8，9}中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复)．每排中字母O,Q和数字0至多只能出现一个的不同排法种数是_________．(用数字作答）．5．【2017年.浙江卷。

16】从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生，共有______种不同的选法．（用数字作答）6．【2018年。

浙江卷.16】从1，3，5,7,9中任取2个数字,从0，2，4，6中任取2个数字,一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.（用数字作答）7。

【2014年.浙江卷.理14】在8张奖券中有一、二、三等奖各1张,其余5张无奖。

将这8张奖券分配给4个人，每人2张,不同的获奖情况有_____种（用数字作答）.8.【2013年.浙江卷。

理14】将A，B，C，D，E,F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧,则不同的排法共有__________种（用数字作答)．9.【2012年.浙江卷.理6】若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数,则不同的取法共有( )A．60种 B．63种 C．65种 D．66种10. 【2010年。

07组合的应用

解法二：分为两类：
2 2 一类为甲不值周一，也不值周六，有 C4 C3 ；
另一类为甲不值周一，但值周六，有 C1C2 ．
4 4
1 2 2 2 所以一共有 C4C4 + C4 C3 ＝42种方法．
例5．6本不同的书全部送给5人，每人至少1 本，有多少种不同的送书方法？
解：第一步从6本不同的书中任取2本 2 “捆绑”在一起看成一个元素有种 C6 方法；第二步将5个“不同元素（书）”分给5 个人有5 种方法． P 由乘法原理，有 C P ＝1800种方法．
例3．现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作；有4名青年能胜任德语翻译工作（其中有1名青年两项工作都能胜任），现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？
解：我们可以分为三类： ① 两项工作都会的从事英语翻译工作，有
பைடு நூலகம்
CC ② 两项工作都会的从事德语翻译工作，有 C C ③ 两项工作都会的青年不从事任何工作， C C
⑶ 这是“不均匀分组”问题，一共有 C61C52C33=60种方法． ⑷ 在⑶的基础上在进行全排列，所以有 C61C52C33P3=360种方法． ⑸ 可以分为三类情况： ①“2、2、2型”即⑴中的分配情况，有 60种方法；②“1、2、3型”即⑷中的分配情况，有360种方法；③“1、1、4型”，有90种方法．所以一共有90+360+90＝540种方法．
组合的应用
知识回顾 1．排列和组合：排列—有序性；组合——无序性． 2．排列数、组合数的公式 3．有关性质 m n 性质1： Cn = Cn −m m−1 m m 性质2： Cn + Cn = Cn+1 常用的等式： 0 k Ck = Ck =1

2007-2015山东高考数学排列、组合、二项式定理及概率汇编试题及答案

2007-2015山东高考数学排列、组合、二项式定理及概率汇编试题1.07N 位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动5次后位于点(2,3)的概率为（）（A ）51()2（B ） 2551()2C （C ）3351()2C （D ） 235551()2C C2.08N 在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手。

若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为( ) （A ）511（B ）681（C ）3061（D ）40813.08N （X -31x）12展开式中的常数项为（）（A ）-1320 （B ）1320 （C ）-220 (D)2204.09N 在区间[-1，1]上随机取一个数x ，cos2x π的值介于0到21之间的概率为( ). （A ）31 （B ）π2（C ）21 （D ）325.10N 某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案有（）（A ）36种（B ）42种（C ）48种（D ）54种6.10N 已知随机变量ξ服从正态分布),1(2σN ，若023.0)2(=>ξP ，则=≤≤-)22(ξP ( )（A ）0.477（B ）0.628（C ）0.954（D ）0.9777.11N 若62()a x x-展开式的常数项为60，则常数a 的值为 .8.12N 现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（）（A ）232 (B)252 (C)472 (D)4849.13N 在区间[-3,3]上随机取一个数x ，使得121++-≥x x 成立的概率为______.10.13N 用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( ) (A) 243 (B) 252 (C) 261 (D) 27911.14N 若46b ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 项的系数为20，则22a b +的最小值为。

高三数学组合与组合的运用试题答案及解析

高三数学组合与组合的运用试题答案及解析1.若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（）A．60种B．63种C．65种D．66种【答案】D【解析】从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数的取法分为三类；第一类是取四个偶数，即=5种方法；第二类是取两个奇数，两个偶数，即=60种方法；第三类是取四个奇数，即=1，故有5+60+1=66种方法．故选D．2.高三某班有两个数学课外兴趣小组，第一组有名男生，名女生，第二组有名男生，名女生.现在班主任老师要从第一组选出人，从第二组选出人，请他们在班会上和全班同学分享学习心得.（Ⅰ）求选出的人均是男生的概率；（Ⅱ）求选出的人中有男生也有女生的概率.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由题意，先将从第一组选出人，从第二组选出人这一基本事件的所有可能情况都列出，可知共有30种情况，其中选出的人均是男生可知共有3种情况，故求得选出的人均是男生的概率为；（Ⅱ）在30种基本事件中找出符合人中有男生也有女生共得到25个基本事件，从而计算得选出的人中有男生也有女生的概率为.试题解析：（Ⅰ）记第一组的4人分别为；第二组的5人分别为 1分设“从第一组选出人，从第二组选出人”组成的基本事件空间为，则共有30种 4分设“选出的人均是男生”为事件，则事件A含有3个基本事件 6分,所以选出的人均是男生的概率为 8分（Ⅱ）设“选出的3个人有男生也有女生”为事件B，则事件B含有25个基本事件， 10分，所以选出的人中有男生也有女生的概率为. 12分【考点】1.随机事件的概率；2.排列组合.3.从8名女生，4名男生中，选出2名女生，1名男生组成课外小组，则不同的选取方案种数为_______________（用数字作答）.【答案】【解析】.【考点】组合与组合数公式.4.某动点在平面直角坐标系第一象限的整点上运动（含正半轴上的整点），其运动规律为或。

组合数学第五版第七章答案

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The sequence repeats with period 3 (resp. 8) (resp. 6) if m = 2 (resp. m = 3) (resp. m = 4). The result follows.
4. For an integer n ≥ 5 we have
8. By construction h0 = 1 and h1 = 2. We now ﬁnd hn for n ≥ 2. Consider a coloring of the 1 × n chessboard. The ﬁrst square is colored red or blue. If it is blue, then there are hn−1 ways to color the remaining n − 1 squares. If it is red, then the second square is blue, and there are hn−2 ways to color the remaining n − 2 squares. Therefore hn = hn−1 + hn−2. Comparing the above data with the Fibonacci sequence we ﬁnd hn = fn+2.
m = qn + r
1 ≤ r ≤ n − 1.
Observe that
GCD(n, r) = GCD(m, n) = d.
By induction and since r ≤ n − 1,

(完整word版)组合数学习题解答

第一章：1。

2. 求在1000和9999之间各位数字都不相同,而且由奇数构成的整数个数。

解:由奇数构成的4位数只能是由1,3，5，7，9这5个数字构成,又要求各位数字都不相同，因此这是一组从5个不同元素中选4个的排列，所以，所求个数为：P （5,4）=120。

1.4。

10个人坐在一排看戏有多少种就坐方式？如果其中有两人不愿坐在一起，问有多少种就坐方式？解:这显然是一组10个人的全排列问题，故共有10！种就坐方式。

如果两个人坐在一起，则可把这两个人捆绑在一起，如是问题就变成9个人的全排列，共有9!种就坐方式.而这两个人相捆绑的方式又有2种（甲在乙的左面或右面）。

故两人坐在一起的方式数共有2＊9！，于是两人不坐在一起的方式共有 10！— 2＊9！.1.5. 10个人围圆桌而坐,其中两人不愿坐在一起，问有多少种就坐方式？解:这是一组圆排列问题，10个人围圆就坐共有10!10 种方式。

两人坐在一起的方式数为9!92⨯,故两人不坐在一起的方式数为：9！—2＊8！。

1。

14. 求1到10000中,有多少正数，它的数字之和等于5？又有多少数字之和小于5的整数？解：（1）在1到9999中考虑，不是4位数的整数前面补足0, 例如235写成0235,则问题就变为求: x 1+x 2+x 3+x 4=5 的非负整数解的个数，故有F （4,5）=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=515456 （2）分为求：x 1+x 2+x 3+x 4=4 的非负整数解，其个数为F （4，4）=35 x 1+x 2+x 3+x 4=3 的非负整数解，其个数为F(4,3）=20 x 1+x 2+x 3+x 4=2 的非负整数解,其个数为F （4,2)=10 x 1+x 2+x 3+x 4=1 的非负整数解,其个数为F （4，1）=4 x 1+x 2+x 3+x 4=0 的非负整数解，其个数为F （4，0）=1将它们相加即得，F （4，4)+F(4，3）+F （4,2）+F （4，1）+F （4,0）=70。

(精心整理)排列组合练习题与答案

排列组合习题精选一、纯排列与组合问题：1.从9人中选派2人参加某一活动，有多少种不同选法？2.从9人中选派2人参加文艺活动，1人下乡演出，1人在本地演出，有多少种不同选派方法？3. 现从男、女8名学生干部中选出2名男同学和1名女同学分别参加全校“资源”、“生态”和“环保”三个夏令营活动，已知共有90种不同的方案，那么男、女同学的人数是（）A.男同学2人，女同学6人B.男同学3人，女同学5人C. 男同学5人，女同学3人D. 男同学6人，女同学2人4.一条铁路原有m个车站，为了适应客运需要新增加n个车站（n>1），则客运车票增加了58种（从甲站到乙站与乙站到甲站需要两种不同车票），那么原有的车站有（）A.12个B.13个C.14个D.15个2221322选C.二、相邻问题：1. A、B、C、D、E五个人并排站成一列，若A、B必相邻，则有多少种不同排法？2. 有8本不同的书，其中3本不同的科技书，2本不同的文艺书，3本不同的体育书，将这些书竖排在书架上，则科技书连在一起，文艺书也连在一起的不同排法种数为( )A.720B.1440C.2880D.3600答案：1.242448A A=(2) 选B 3253251440A A A=三、不相邻问题：1.要排一个有4个歌唱节目和3个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目都不相邻，有多少种不同排法？2、1到7七个自然数组成一个没有重复数字的七位数，其中奇数不相邻的有多少个？3.4名男生和4名女生站成一排，若要求男女相间，则不同的排法数有（）A.2880B.1152C.48D.1444.排成一排的8个空位上，坐3人，使每人两边都有空位，有多少种不同坐法？5.8张椅子放成一排，4人就坐，恰有连续三个空位的坐法有多少种？6. 排成一排的9个空位上，坐3人，使三处有连续二个空位，有多少种不同坐法？7. 排成一排的9个空位上，坐3人，使三处空位中有一处一个空位、有一处连续二个空位、有一处连续三个空位，有多少种不同坐法？8. 在一次文艺演出中，需给舞台上方安装一排彩灯共15只，以不同的点灯方式增加舞台效果，要求设计者按照每次点亮时，必须有6只灯是熄灭的，且相邻的灯不能同时熄灭，两端的灯必须点亮的要求进行设计，那么不同的点亮方式是（）A.28种B.84种C.180种D.360种答案：1.43451440A A = （2）3434144A A = （3）选B 444421152A A = （4）3424A = （5）4245480A A =（6）333424A C = （7）3334144A A = （8）选A 6828C =四、定序问题：1. 有4名男生，3名女生。

2007年高考理科数学试题分章节解析2007年高考“排列、组合、二项式”题

2007年高考“排列、组合、二项式”题1.(全国Ⅰ)21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中,常数项为15,则n =( )A.3B.4C.5D.6解：21()n x x-的展开式中,由231(1)r n rr r n T C x -+=-,常数项为15得230n r -=,所以n 可以被3整除,当n=3时,13315C =≠,当n=6时,2615C =,选D 。

从班委会5名成员中选出3名,分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员, 其中甲、乙二人不能担任文娱委员,则不同的选法共有种.(用数字作答) 解：先从其余3人中选出1人担任文娱委员,再从4人中选2人担任学习委员和体育委员,不同的选法共有12323454343362C A A A ⋅=⨯⨯==-种。

2.(全国II)从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动,每人一天,要求星期五有2人参加,星期六、星期日各有1人参加,则不同的选派方法共有( ) A.40种 B.60种 C.100种 D.120种解：从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动,每人一天,要求星期五有2人参加,星期六、星期日各有1人参加,则不同的选派方法共有225360C A =种,选B 。

821(12)x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为 .(用数字作答)解： (1+2x 2)(x －1x )8的展开式中常数项为4338812(1)C C ⋅+⋅⋅-=－42。

3.(北京卷)记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照,要求排成一排,2位老人相邻但不排在两端,不同的排法共有( ) Ａ.1440种Ｂ.960种Ｃ.720种Ｄ.480种解：5名志愿者先排成一排,有55A 种方法,2位老人作一组插入其中,且两位老人有左右顺序,共有5524A ⋅⋅=960种不同的排法,选B 。

4.(天津卷)若261()x ax+的二项展开式中3x 的系数为5,2则a =__________.(用数字作答)解：()621123166()r r r r r r r T C x ax C x a ----+⎡⎤==⎣⎦,当3r =时得到3x 项的系数336522C a a -=⇒=. 如图,用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色,每个格子涂一种颜色.要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同,则不同的涂色方法共有__________种(用数字作答).解：用2色涂格子有26230C ⨯=种方法,用3色涂格子有()3263382360C C ⨯-⨯=种方法,故总共有390种方法.5.(上海卷)6.(重庆卷))若nxx 1(+展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为( ) A.10 B.20 C.30 D.120解：662166264 6..n r r r r rr n T C x x C x ---+=⇒=⇒=⋅= 346620320.r r T C ⇒-=⇒=∴==选B某校要求每位学生从7门课程中选修4门,其中甲、乙两门课程不能都选,则不同的选课方案有___________种。

2023高考数学组合与排列练习题及答案

2023高考数学组合与排列练习题及答案1. 一次选举中，有8名候选人，其中需要选出3名获胜者。

求不同的选举结果有多少种？解析：由于选出的是获胜者，所以选举结果是有顺序的组合。

根据组合公式，计算可得：C(8,3) = 8! / (3! * (8-3)!) = 56因此，不同的选举结果有56种。

2. 一个班级里有20名学生，其中10名男生和10名女生。

要从中选出一个由5名学生组成的代表团，其中至少有2名男生和2名女生。

求不同的代表团选择方案数目。

解析：根据要求，选出的代表团需要满足至少2名男生和2名女生。

我们可以分两种情况进行计算。

情况一：选出2名男生和3名女生C(10,2) * C(10,3) = 45 * 120 = 5400情况二：选出3名男生和2名女生C(10,3) * C(10,2) = 120 * 45 = 5400总共的选择方案数目为5400 + 5400 = 10800。

3. 在一家餐厅的菜单上有10道菜可供选择。

小明决定点一道主菜和两道配菜。

求小明所有的就餐选择方案数目。

解析：小明在就餐时，需要从10道菜中选择一道主菜和两道配菜。

我们可以使用排列组合的方法计算。

选择主菜的方式有10种，选择第一道配菜的方式有9种（因为已经选了主菜，所以剩余菜的数量为10-1=9），选择第二道配菜的方式有8种（由于已选主菜和一道配菜，所以剩余菜的数量为10-2=8）。

因此，总的选择方案数目为10 * 9 * 8 = 720。

4. 一位作家要将他的12本书按照一定的顺序排列在书架上。

其中有4本小说、3本传记和5本科普书。

求不同的排列方式数目。

解析：根据题目描述，我们需要将12本书按照一定的顺序排列。

由于书的种类不同，我们可以分别计算不同类别的排列方式，再将结果相乘。

小说的排列方式数目为4! = 24；传记的排列方式数目为3! = 6；科普书的排列方式数目为5! = 120。

因此，总的排列方式数目为24 * 6 * 120 = 172,800。

排列组合综合练习(含答案)

排列组合综合练习一、填空题1.从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工作.若其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作,则选派方案共有 240种2.设直线的方程是0=+By Ax ,从1,2,3,4,5这五个数中取两个不同的数作为A 、B 的值,则所得不同直线的条数是 183.三个人坐在八个座位上,若每个人的两边都要有空位,则不同的坐法总数为_________.244.今有2个红球、3个黄球、4个白球,同色球不加以区分,将这9个球排成一列有______种不同的方法(用数字作答) 12605.从5名男生和3名女生中任选3男2女,分别参加不同的学科兴趣小组,则不同安排的总数是 ()552335A C C + 6.把4个不同的小球全部放入3个不同的盒子中,使每个盒子都不空的放法总数为 3324A C7.四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒中,则恰有一个空盒的放法有种。

1444.8.在直角坐标系xOy 平面上,平行直线x=n(n=0,1,2,…,5)与平行直线y=n(n=0,1,2,…,5)组成的图形中,矩形共有 225个9.在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中,不能被5整除的数共有____个.19210.从6名运动员中选出4个参加4×100m 接力赛,如果甲不跑第一棒,乙不跑第四棒,共有____种不同的参赛方法。

25211.甲、乙、丙、丁、戊5名同学手拉手站成一圈,有种不同的站法。

245155=A 12.用0,1,2,3,4,5这六个数组成没有重复数字的四位偶数,将这些四位数从小到大排列起来,第71个数是。

312013.将三种作物种植在如图所示的试验田里,每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物,不同的种植方法有种。

42（提示：有乘法原理有3×2×2×2×2=48种不同的种法,但这样可能只种了2种作物不符合题意,若只种两种作物,则有611111223=⨯⨯⨯⨯C C 种不同的种法,所以满足题意的种法有48-6=42种不同的种植方法）.14.如图所示,在某个城市中,M,N 两地之间有整齐的道路网,若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进,则从M 到N不同的走法共有种。

2007年高考数学试题分类汇编11——排列、组合、二项式

2007年高考数学试题分类汇编11——排列、组合、二项式1．（全国Ⅰ卷理科第10题）的展开式中，常数项为15，则n= （ D ）A．3 B．4 C．5 D．62．（全国Ⅰ卷文科第5题）甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有（ C ）A．36种 B．48种 C．96种 D．192种3．（全国Ⅱ卷理科第10题）从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ B ）A．40种 B．60种 C．100种 D．120种4．（全国Ⅱ卷文科第10题）5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（ D ）A．10种 B．20种 C．25种 D．32种5．（北京理科第5题）记者要为5名志愿都和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（　B　）Ａ．1440种Ｂ．960种Ｃ．720种Ｄ．480种6．（北京文科第5题）某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（　A　）Ａ．个Ｂ．个Ｃ．个Ｄ．个7．（重庆理科第4题）若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ B ）A10 B.20 C.30 D.1208．（重庆文科第4题）展开式中的系数为（ B ）（A）15 （B）60 （C）120 （D）240 9．（四川理科第10题）用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（ B ）（A）288个（B）240个（C）144个（D）126个10．（四川文科第9题）用数字1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（ B ）A.48个B.36个C.24个D.18个11．（湖北理科第1题）如果的展开式中含有非零常数项，则正整数的最小值为（　B　）Ａ．3 Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．1012．（湖北文科第3题）如果的展开式中含有非零常数项，则正整数的最小值为（　C　）Ａ．10 Ｂ．6 Ｃ．5 Ｄ．313．(浙江文科第6题)展开式中的常数项是（　C　）(A)　－36 (B)36 (C)　－84 (D)　8414．（江西理科第4题）已知展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为，则等于（　C　）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．15．（江西文科第5题）设，则的值为（　A　）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．16．（福建文科第12题）某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“”到“”共个号码．公司规定：凡卡号的后四位带有数字“”或“”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为（　C　）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．17．（广东理科第7题、文科第10题）图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图．公司在年初分配给A、 B、C、D四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将A、B、C、D 四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件，但调整只能在相邻维修点之间进行．那么要完成上述调整，最少的调动件次(件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为)为（　C　）A．18 B．17 C．16 D．1518．（辽宁文科地第12题）将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第个数为，若，，，，则不同的排列方法种数为（ B ）A．18 B．30 C．36 D．48二、填空题1．（全国Ⅰ卷理科第13题）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有_____种。

2023年苏教版高中数学选择性必修第二册7.3组合课时练习题含答案解析

7.3组合一、单选题1．下列问题中是组合问题的个数是( ) ①从全班50人中选出5名组成班委会；②从全班50人中选出5名分别担任班长、副班长、团支部书记、学习委员、生活委员； ③从1,2,3，…，9中任取出两个数求积； ④从1,2,3，…，9中任取出两个数求差或商． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【分析】根据组合及排列的定义即得.【解析】根据组合定义可知①③是组合，②④与顺序有关是排列. 2．从10名学生中挑选出3名学生参加数学竞赛，不同的选法有（）A ．310A 种B ．3！C ．310C 种D ．以上均不对【答案】C【解析】根据组合数的概念可知C 选项正确. 3．333333451011C C C C C +++⋅⋅⋅++=（） A ．312C B ．412C C ．411CD ．311C【答案】B【分析】根据组合数公式即可求得答案.【解析】由题意，333334333334510114451011C C C C C C C C C C +++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅++43334333434551011661011111112C C C C C C C C C C C =+⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++=⋅⋅⋅=+=.4．某高三年级在安排自习辅导时，将6位不同学科的老师分配到5个不同班级进行学科辅导，每个班级至少一位老师，则所有不同的分配方案的种数为（） A ．3600 B ．1800 C ．720 D ．600【答案】B【分析】应用分步计数法，结合排列组合数求不同的分配方案的种数.【解析】依题意，其中有一个班级有两位老师辅导，则25651800=C A ．5．某学校为了迎接市春季运动会，从由5名男生和4名女生组成的田径训练队中选出4人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1人入选的选法种数为（） A ．85 B ．86C ．9D ．90【答案】B【分析】由加法原理分类计算：第一类，男生甲入选，女生乙不入选；第二类，男生甲不入选，女生乙入选；第三类，男生甲、女生乙均入选，由此计算可得，其中第一类和第二类里计算时还需要再按男女生人数分类．【解析】由题意，可分三类考虑：第一类，男生甲入选，女生乙不入选，选法种数为1221334343C C C C C 31++=；第二类，男生甲不入选，女生乙入选，选法种数为1221343434C C C C C 34++=；第三类，男生甲、女生乙均入选，选法种数为27C 21=．所以男生甲与女生乙至少有1人入选的选法种数为31342186++=．6．开学伊始，甲、乙、丙、丁四名防疫专家分别前往A ，B ，C 三所中学开展防疫知识宣传，若每个学校至少安排一名专家，且甲必须安排到A 中学，则不同的安排方式有（） A ．6种 B ．12种 C ．15种 D ．18种【答案】B【分析】由题意被安排到A 中学的防疫专家有2种情况，结合分步乘法原理及分类加法原理即可.【解析】①若甲单独安排到A 中学，则剩下的3名防疫专家分成两组到,B C 两个中学，共有：2232C A 6=种方式，②若甲和另一名防疫专家被安排到A 中学，则有：13C 3=种方式，则剩下的2名防疫专家分到到,B C 两个中学，有：22A 2=种方式，由分步乘法原理有：1232C A 6=种方式，又由分类加法原理可得：若每个学校至少安排一名专家，且甲必须安排到A 中学，则不同的安排方式有：6612+=种方式，7．将2个红球、2个白球、1个绿球放入编号分别为①②③的三个盒子中，其中，两个盒子各放1个球，另外一个盒子放3个球，这5个球除颜色外其他都一样，则不同的放法有（） A ．24种 B ．30种 C ．62种 D ．41种【答案】A【分析】根据题意结合分类加法计数原理运算求解.【解析】当两个盒子各放1个球的颜色相同时，则不同的放法有2132C C 6=种；当两个盒子各放1个球的颜色不相同时，则不同的放法有233318C A =种；综上所述：不同的放法有24种.8．如图，一圆形信号灯分成A ，B ，C ，D 四块灯带区域，现有4种不同的颜色供灯带使用，要求在每块灯带里选择1种颜色，且相邻的2块灯带选择不同的颜色，则不同的信号总数为（）．A ．96B ．84C ．60D ．48【答案】B【分析】按照使用了多少种颜色分类计数，再根据分类加法计数原理可得结果. 【解析】按照使用了多少种颜色分三类计数：第一类：使用4种颜色，有44A 24=种；第二类：使用3种颜色，必有2块区域同色，有31124322C C C A 48=种；第三类：使用2种颜色，必然是A 与C 同色，且B 与D 同色，有2242C A 12=种，所以不同的信号总数为24481284++=种.9．没有一个冬天不可逾越，没有一个春天不会来临．某街道疫情防控小组选派7名工作人员到A ，B ，C 三个小区进行调研活动，每个小区至少去1人，恰有两个小区所派人数相同，则不同的安排方式共有（） A ．1176 B ．2352 C ．1722 D ．1302（1）小组赛：经抽签分成甲､乙两组，每组4队进行单循环比赛，以积分和净胜球数取前两名；（2）半决赛：甲组第一名与乙组第二名，乙组第一名与甲组第二名进行主､客场交叉淘汰赛（每两队主､客场各赛1场），决出胜者；（3）决赛：两个胜队参加，比赛1场，决出胜负．则全部赛程共需比赛的场数为（） A ．15 B ．16 C ．17 D ．18【答案】C【分析】首先理解题意，分别计算小组赛，半决赛和决赛的比赛场数，再求和. 【解析】242C 22117+⨯+=.11．某校为统筹推进以德智体美劳“五育并举+教师教育”为特色的第二课堂养成体系，引导学生们崇尚劳动、尊重劳动者、提高劳动素养，设置以劳动周的形式开展劳育工作的创新实践.学生可以参加“民俗文化”“茶艺文化”“茶壶制作”“音乐欣赏”“蔬菜种植”“3D 打印”这六门劳动课中的一门.则甲、乙、丙、丁这4名学生至少有3名学生所选劳动课全不相同的方法共有（） A ．135种 B ．720种 C ．1080种 D ．1800种【答案】C【分析】分两种情况讨论，算出当4名学生选的课目全不同时和只有2名学生选的课目相同时的种数，相加即可得出答案.【解析】分两种情况讨论：如果4名学生选的课目全不同，有4464C A 360⋅=种方法；如果只有2名学生选的课目相同，有323643C C A 720⋅⋅=种方法，共有3607201080+=种方法，12．“杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一.如图所示，由杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，从上往下每条线上各数之和依次为1，1，2，3，5，8，13，L ，则下列选项不正确的是（）A ．在第9条斜线上，各数之和为55B ．在第()5n n ≥条斜线上，各数自左往右先增大后减小C ．在第n 条斜线上，共有()2114nn +--个数D ．在第11条斜线上，最大的数是37C ()151,,,,k kn k n k C C ---+，进而判断从上往下每条线上各数之和依次为：12n +，()151,,,,k kn k n k C C ---+，，最大的数是37C ， 1224n +=个数； 13．若383321n nn n a C C -+=+，下列结论正确的是（）A ．n =10B ．n =11C ．a =466D ．a =233【答案】AC【分析】根据组合数的性质和公式进行求解即可.【解析】由383321n nn n a C C -+=+，可知：33809.510.5,102130n n n n N n n n *≥-≥⎧⇒≤≤∈∴=⎨+≥≥⎩，A ．选取的3个学生都是女生的不同选法共有4种B ．选取的3个学生恰有1个女生的不同选法共有24种C ．选取的3个学生至少有1个女生的不同选法共有34种D ．选取的3个学生至多有1个男生的不同选法共有18种【答案】AC【分析】根据组合的定义和分步计数原理即可求出．【解析】解：选取的3个学生都是女生的不同选法共有344C =种，恰有1个女生的不同选法共有213412C C =种，至少有1个女生的不同选法共有337334C C -=种，选取的3个学生至多有1个男生的不同选法共有11234422C C C +=种.15．新高考按照“312++”的模式设置，其中“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有考生必考：“1”为首选科目，考生须在物理、历史两科中选择一科；“2”为再选科目，考生可结合自身特长兴趣在化学、生物、政治、地理四科中选择两科．下列说法正确的是（）A ．若任意选科，选法总数为1224C CB ．若化学必选，选法总数为1123C CC ．若政治和地理至多选一门，选法总数为11112222C C C C +D ．若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为111222C C C + 【答案】ABC【分析】依次判断每个选项得到ABC 正确，D 选项的正确答案是1122C C 1+，错误，得到答案. 【解析】对选项A ：若任意选科，选法总数为1224C C ，正确；对选项B ：若化学必选，选法总数为1123C C ，正确；对选项C ：若政治和地理至多选一门，选政治或地理有112212C C C 种方法，政治地理都不选有1222C C ⨯种方法，故共有选法总数为11112222C C C C +，正确；对选项D ：若物理必选，化学、生物选一门有1122C C 种，化学、生物都选有1种方法，故共有选法总数为1122C C 1+，D 错误.16．某工程队有6辆不同的工程车，按下列方式分给工地进行作业，每个工地至少分1辆工程车，则下列结论正确的有（）A ．分给甲､乙､丙三地每地各2辆，有120种分配方式B ．分给甲､乙两地每地各2辆，分给丙､丁两地每地各1辆，有180种分配方式。

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组合数学试题共 4 页，第 1 页
电子科技大学研究生试卷（考试时间： 19：30 至 21：30 ，共 2 小时）
课程名称组合数学教师学时 40 学分 2 教学方式讲授考核日期 2007 年 11 月 27 日成绩考核方式：（学生填写）
一、填空题（每空3分，共27分） 1．将6本无区别的书放入3个无区别的箱子中的放法数为 7 ，又每个箱子都不为空的放法数为 3 。

2．将8个有区别的球放入6个无区别的盒子中,每个盒子不空的放法数为 266 ；将8个有区别的球放入7个无区别的盒子中, 每个盒子不空的放法数又为28 。

（注：将9个有区别的球放入7个无区别的盒子中, 每个盒子不空的放法数为462）。

3．现有4个女士6个男士围圆桌就坐，则其中女士两两不相邻的入座方式数有 5!·6·5·4·3= 43200 种；所有女士坐在一起的方式数有 6!·4!= 17280 种。

4．将单词〝motorola 〞中的所有字母作排列，其排列方式数有 8!/3!＝6720 种；其中所有〝o 〞均不相邻的排列方式数有 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯36!5＝2400 种。

（两问均只要求给出解的表达式，不必算出最终结果）。

5. 方程⎩⎨⎧≥≥≥=+++0,1,2123214321x x x x x x x 的整数解的个数为 F(4,9)=220 。

学
号
姓
名
学
院
……
…
……
……
…密
……
……
…
封
…
…
…
…
…
线
…
…
…
…
…
以
…
…
…
…
…
内
…
…
…
…
…
答
…
……
…
…
题
…
……
…
…
无
…
…
…
…
…
效…
…
…
……
……
…
组合数学试题共 4 页，第 2 页
二、（13 分）给定重集B = {5·a , 3·b , 7·c ,∞·d }。

求B 的9-组合数。

解令集合S 为{,,,}A B C D ∞⋅∞⋅∞⋅∞⋅的所有8-组合构成的集合。

则有 |S|=F(4,9) = 220。

令 A 1表示S 中至少含有6个a 的元素构成的集合, A 2表示S 中至少含有4个b 的元素构成的集合, A 3表示S 中至少含有8个c 的元素构成的集合, 于是 20)3,4(||1==F A ,56)5,4(||2==F A ,4)1,4(||3==F A 0||||||||321323121=⋂⋂=⋂=⋂=⋂A A A A A A A A A 由容斥原理，所求的9-组合数为 31231231i i j i i j A A A S A A A A A A =≠=-+-∑∑I I I I I =220 – (20+56+4)= 140 三、(12分) 从星期一至星期五安排5位教师A, B, C, D, E 上课，每位教师安排一天，每天安排一位教师。

但要求A 不安排在星期二，B 不安排在星期三和星期五，C 不安排在星期四，D 不安排在星期一，E 不安排在星期三和星期四。

问有多少种不同的安排方案？解原问题可模型化为一个5元有禁位的排列. 其禁区棋盘C 如下图的阴影部分。

由图,可得C 的棋盘多项式为 R(C)= = = 1+7x+17x 2+18x 3+8x 4+x 5 所以安排方案数为 5! - 7·4! + 17·3! - 18·2! + 8-1 = 25 即共有25种。

四、（12分）解下列递归关系 ⎩⎨⎧==-=----5,2)2(1451021a a a a a n n n n 解对应的齐关系的特征方程 x 2-5x -14=0 有根 x 1 = 7，x 2 = -2。

故齐关系的通解为*n a =c 17n +c 2(-2)n 设特解 n a = An (-2)n ，代入原关系：An (-2)n -5A (n -1) (-2)n -1-14A (n -2) (-2)n -2 = (-2)n 学
号
姓
名
学
院
……
…
……
……
…密
……
……
…
封
…
…
…
…
…
线
…
…
…
…
…
以
…
…
…
…
…
内
…
…
…
…
…
答
…
……
…
…
题
…
…
…
…
…
无
…
…
…
…
…
效
…
…
…
…………
…
A B C D E 1 2 3 4 5
组合数学试题共 4 页，第 3 页
⇒ A = 92 ⇒ n a = 922n n ）（－ ∴ a n = *n a + n a = c 17n +c 2(-2)n + 922n n ）（－由初值得 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+5942722121－c c c c ⇒ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==8177818521c c ∴ a n = 81857n +8177 (-2)n + 922n n ）（－五、（共11分）对下图中的9个小方格用红、橙、黄、绿四种颜色着色，问: 着红、橙和绿色的小方格的个数均不为3的着色方案数是多少？
解：取全集S 为用4种色对9个小方格的着色方案构成的集合。

设A1为S 中着红色的小方格的个数为3的着色方案的集合，A2为S 中着橙色的小方格的个数为3的着色方案的集合，A3为S 中着绿色的小方格的个数为3的着色方案的集合。

有 94=S i A = C(9,3)×36, i ＝1,2,3 j i A A I = C(9,3) ×C(6,3)×23 ，i, j ∈{1,2,3}, i > j ；321A A A I I = C(9,3) ×C(6,3) ∴ 所求数 = 321A A A I I =49 - 3×C(9,3)×36 + 3×C(9,3) ×C(6,3)×23-1＝262144－183708＋40320－1＝117076。

六、（10分）用2种颜色对下图的棋格着色，证明必存在两列，其着色完全相同。

证明因每个格子有2种颜色可选,故每列恰有8 种着色方案,现有9列,由鸽笼原理,知学号姓名学院 ……………………密……………封……………线……………以……………内……………答……………题……………无……………效……………………
组合数学试题共 4 页，第 4 页必有两列着色相同.
七、（共15分）设a n 为出现奇数个2的n 位十进制数的个数。

1．（5分）试建立{a n }的递归关系（不要求解出）。

2．（10分）用母函数法求出a n 。

解：1. ⎩⎨⎧=⨯-1
1098121a a a n n n －＋＝
2．设a n 是由0,1,……,9组成的满足“2出现奇数次”的长为n 的序列的个数，则a n 的指
数母函数为：
f e (x ) = 2
2)!22!11)(!3!1(810993x x x x x e e e e e x x x x －－＋－==++++ΛΛ = !)810(210n x n n n n ∑∞
=- 所以 a n = ）n n 810(2
1- ，n ≥1 以0为首项的长为n 的序列有a n －1个，在上述序列中去掉以0为首项的长为n 的序列便可得到出现奇数个2的n 位十进制数的个数：
a n －a n －1＝）－－1187109(2
1n n ⨯-⨯。