组合数学 试题及答案07
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电子科技大学研究生试卷 （考试时间： 19：30 至 21：30 ，共 2 小时）
课程名称 组合数学 教师 学时 40 学分 2 教学方式 讲授 考核日期 2007 年 11 月 27 日 成绩 考核方式： （学生填写）
一、填空题（每空3分，共27分） 1．将6本无区别的书放入3个无区别的箱子中的放法数为 7 ，又每个箱子都不为空的放法数为 3 。 2．将8个有区别的球放入6个无区别的盒子中,每个盒子不空的放法数为 266 ；将8个有区别的球放入7个无区别的盒子中, 每个盒子不空的放法数又为28 。（注：将9个有区别的球放入7个无区别的盒子中, 每个盒子不空的放法数为462）。 3．现有4个女士6个男士围圆桌就坐，则其中女士两两不相邻的入座方式数有 5!·6·5·4·3= 43200 种； 所有女士坐在一起的方式数有 6!·4!= 17280 种。 4．将单词〝motorola 〞中的所有字母作排列，其排列方式数有 8!/3!＝6720 种；其中所有〝o 〞均不相邻的排列方式数有 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯36!5＝2400 种。（两问均只要求给出解的表达式，不必算出最终结果）。 5. 方程⎩⎨⎧≥≥≥=+++0,1,2123214321x x x x x x x 的整数解的个数为 F(4,9)=220 。 学
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二、（13 分） 给定重集B = {5·a , 3·b , 7·c ,∞·d }。求B 的9-组合数。 解 令集合S 为{,,,}A B C D ∞⋅∞⋅∞⋅∞⋅的所有8-组合构成的集合。则有 |S|=F(4,9) = 220。 令 A 1表示S 中至少含有6个a 的元素构成的集合, A 2表示S 中至少含有4个b 的元素构成的集合, A 3表示S 中至少含有8个c 的元素构成的集合, 于是 20)3,4(||1==F A ,56)5,4(||2==F A ,4)1,4(||3==F A 0||||||||321323121=⋂⋂=⋂=⋂=⋂A A A A A A A A A 由容斥原理，所求的9-组合数为 31231231i i j i i j A A A S A A A A A A =≠=-+-∑∑I I I I I =220 – (20+56+4)= 140 三、(12分) 从星期一至星期五安排5位教师A, B, C, D, E 上课，每位教师安排一天，每天安排一位教师。但要求A 不安排在星期二，B 不安排在星期三和星期五，C 不安排在星期四，D 不安排在星期一，E 不安排在星期三和星期四。问有多少种不同的安排方案？ 解 原问题可模型化为一个5元有禁位的排列. 其禁区棋盘C 如下图的阴影部分。由图,可得C 的棋盘多项式为 R(C)= = = 1+7x+17x 2+18x 3+8x 4+x 5 所以安排方案数为 5! - 7·4! + 17·3! - 18·2! + 8-1 = 25 即共有25种。 四、（12分）解下列递归关系 ⎩⎨⎧==-=----5,2)2(1451021a a a a a n n n n 解 对应的齐关系的特征方程 x 2-5x -14=0 有根 x 1 = 7，x 2 = -2。 故齐关系的通解为*n a =c 17n +c 2(-2)n 设特解 n a = An (-2)n ，代入原关系：An (-2)n -5A (n -1) (-2)n -1-14A (n -2) (-2)n -2 = (-2)n 学
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⇒ A = 92 ⇒ n a = 922n n ）（－ ∴ a n = *n a + n a = c 17n +c 2(-2)n + 922n n ）（－ 由初值得 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+5942722121－c c c c ⇒ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==8177818521c c ∴ a n = 81857n +8177 (-2)n + 922n n ）（－ 五、（共11分）对下图中的9个小方格用红、橙、黄、绿四种颜色着色，问: 着红、橙和绿色的小方格的个数均不为3的着色方案数是多少 ？
解：取全集S 为用4种色对9个小方格的着色方案构成的集合。 设A1为S 中着红色的小方格的个数为3的着色方案的集合，A2为S 中着橙色的小方格的个数为3的着色方案的集合，A3为S 中着绿色的小方格的个数为3的着色方案的集合。有 94=S i A = C(9,3)×36, i ＝1,2,3 j i A A I = C(9,3) ×C(6,3)×23 ，i, j ∈{1,2,3}, i > j ；321A A A I I = C(9,3) ×C(6,3) ∴ 所求数 = 321A A A I I =49 - 3×C(9,3)×36 + 3×C(9,3) ×C(6,3)×23-1＝262144－183708＋40320－1＝117076。 六、（10分）用2种颜色对下图的棋格着色，证明必存在两列，其着色完全相同。
证明 因每个格子有2种颜色可选,故每列恰有8 种着色方案,现有9列,由鸽笼原理,知学 号 姓 名 学 院 ……………………密……………封……………线……………以……………内……………答……………题……………无……………效……………………