第三讲：化简绝对值-找规律-定义新运算

第三讲:化简值绝对、定义新运算、找规律

一、【化简绝对值】

Ⅰ、根据题设条件

例1 设化简的结果是（ )。

（A）（B） (C)（D)

思路分析由可知可化去第一层绝对值符号,第二次绝对值符号待合并整理后再用同样方法化去.

解

∴应选(Ｂ）.

归纳点评只要知道绝对值将合内的代数式是正是负或是零,就能根据绝对值意义顺利去掉绝对值符号,这是解答这类问题的常规思路．

Ⅱ、借助教轴

例2 实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则代数式的值等于（ ).

(Ａ）（B）（C) (D)

思路分析由数轴上容易看出，这就为去掉绝对值符号扫清了障碍.

解原式

∴应选（C）．

归纳点评这类题型是把已知条件标在数轴上，借助数轴提供的信息让人去观察,一定弄清：

１.原点的左边都是负数，右边都是正数．

2.右边点表示的数总大于左边点表示的数.

3.离原点远的点的绝对值较大,牢记这几个要点就能从容自如地解决问题了．

Ⅲ、采用零点分段讨论法

例3 化简

思路分析本类型的题既没有条件限制，又没有数轴信息,要对各种情况分类讨论,可采用零点分段讨论法，本例的难点在于的正负不能确定,由于ｘ是不断变化的，所以它们为正、为负、为零都有可能,应当对各种情况—一讨论.

解

令得零点:；令得零点:，把数轴上的数分为三个

部分（如图）

①当时,

∴原式

②当时,，

∴原式

③当时，，

∴原式

归纳点评虽然的正负不能确定,但在某个具体的区段内都是确定的，这正是零点分段讨论法的优点，采用此法的一般步骤是：

1.求零点：分别令各绝对值符号内的代数式为零，求出零点（不一定是两个）.

∴

2.分段:根据第一步求出的零点，将数轴上的点划分为若干个区段，使在各区段内每个

绝对值符号内的部分的正负能够确定.

３.在各区段内分别考察问题．

4．将各区段内的情形综合起来，得到问题的答案.

二、【定义新运算】

1.在有理数集上定义运算“*”,其规则为ａ＊b= b

a b a 22+-,求(3＊1）*(2*2)

2．在有理数上定义运算“∆”,其规则为a ∆b=2a+b,若ｘ ∆ (3∆2)=4，求ｘ的值

３．“*”是一种新运算，定义为：a*b=2

2b a + 。解方程3*|x|=４

4．设a ，ｂ是两个整数，定义运算“*”,其规则为:当a ≥b 时,a*b= b 2-1；当ａ

5.对于任意整数x,y,定义ｘ∆y=ａx y +b,其中ａ,b 是常数。已知2∆3＝33,(－1) ∆19９５

=1995,求10∆2的值

6．如果定义运算符号“＊”为ａ＊b=|a|-2ab ,试求(-2*1）＊(-2

3＊4)的值

７.定义一种新运算“∆”：x ∆ｙ＝

xy 1+11+x +A y +1。已知2∆1＝3

4,求２∆3的值

8.定义新运算*为a*b=ａ＋b-4b a +,那么2０＊2０*２0=

归纳总结：定义新运算中,其实质还是两个字母之间的一种运算关系,最后化归到常见的运算

中来解决问题，所以只要抓住这类题目的这一大特点就能轻松解决！

三、【找规律】

给出几个具体的、特殊的数、式或图形,要求找出其中的变化规律，从而猜想出一般性的

结论.解题的思路是实施特殊向一般的简化；具体方法和步骤是（１)通过对几个特例的分析,

寻找规律并且归纳;（２)猜想符合规律的一般性结论；（3)验证或证明结论是否正确,下面通过

举例来说明这些问题.

Ⅰ、数字排列规律题

1、(０５江苏省宿迁市)观察下列一组数的排列：1、

2、

3、４、３、2、1、2、3、

4、3、2、

1、…，那么第２０05个数是（ ）.

A ．1ﻩﻩＢ.2ﻩC.３ﻩD.４

2、（05枣 庄 市)１00个数排成一行,其中任意三个相邻数中，中间一个数都等于它前后两

个数的和,如果这1００个数的前两个数依次为1，0，那么这１00个数中“0”的个数为 ＿

_＿_＿___＿个．

Ⅱ、几何图形变化规律题

3、（05玉林市）观察下列球的排列规律(其中●是实心球，○是空心球）:

●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●……

从第1个球起到第２0０4个球止,共有实心球 个.

４、(05沈阳市)观察下列图形的排列规律(其中△是三角形,□是正方形,○是圆），□○△□□

○△□○△□□○△□┅┅，若第一个图形是正方形,则第2０08个图形是 （填图形名称）.

说明：图形中有丰富的数学知识,认真观察，发现规律，培养能力，思路是利用给出的图形,寻求它们之间的相互关系,比较归纳,得出结果

Ⅲ、数、式计算规律题

5、（０5日照市）已知下列等式:

① 13＝12；

② 13+2３＝32;

③ 13＋２3＋33=62;

④ 13+23+33+43＝10２ ；

由此规律知，第⑤个等式是 ．

6、（05锦州）观察下面的几个算式：

1+2+1=4，

1+2+３+2+1=9，

1+2＋3+4+3+２+１=１6，

1+2+3+4+5+4+3＋2+1=２5,…

根据你所发现的规律，请你直接写出下面式子的结果：

1+2+3+…+99+１0０+99+…+3+2+1=＿_＿_.

7、(05内江市)1+2+3+…+1０0＝?经过研究,这个问题的一般性结论是１+2+3＋…+()12

1+=n n n ,其中n 是正整数.现在我们来研究一个类似的问题:1×2+2×３+…()1+n n ＝？