结构力学-弹性力学部分

x )],
z

1 E
[
z

( x
y )],

zx

zx G

xy

xy G
uu vv ww
l x m yx n zx X l xy m y n zy Y l xz m yz n z Z
x e 2G x , y e 2G y , z e 2G z ,

xy

v x

u y

0
第一章：弹性力学基础
2、几何方程和变形协调方程
2.1、几何方程
几何方程: 研究应 变分量和位移分量 之间的关系.
在外力作用下，弹性体 发生变形。弹性体中任 一点P0，变形后移到了 点P1，矢量就是点P0的 位移，它在三个坐标轴 上的投影分别用u、v、 w表示，它们都是坐标 的函数，见右图
u x


2 x 2

v y


2 xy

u y

v x


2 xy
xy
yz
x

zx
y

xy
z

x

w y

v z


u y z

w x
z

1、研究内容
➢ 研究对象： ➢ 材料力学研究杆状弹性体在拉伸、压缩、剪 切、弯曲和扭转作用下的变形和内力。 ➢ 弹性力学研究的对象则没有形状的限制。
第一章：弹性力学基础
第一章 弹性力学础
第一节 引 言
1、研究内容
➢ 研究方法：
➢ 材料力学除了采用一些基本假设外，还引进一些关 于变形状态或应力分布的补充假设。
这三个投影称为该点的位移分量。
一般而言，弹性体内任意点的体力分量、面力分量、 应力分量、应变分量和位移分量都是随点的位置不同而 改变的，因而，都是点位置坐标的连续函数。
以下的问题：就是寻求体力分量、面力分量、应力 分量、应变分量和位移分量四类分量之间的关系。
第一章：弹性力学基础
现在的问题 －
就是寻求体力分量、面力分量、应力分量、 应变分量和位移分量四类分量之间的关系。
基础力学电子教案系列之
航空宇航学院 结构强度研究所
结构力学教程
结构力学
一、弹性力学基础
弹性力学是固体力学的一个分支学科， 它研究弹性体在外力和 其它外部因素作 用下所产生的变形和内力。
二、结构力学
结构力学是工程力学的一个分支，它研究 结构(杆系结构、薄壁结构等)在外力和其 它外部因素作用下所产生的变形和内力。
➢ 外力 —— 作用在物体上的外力可分为体力和面力。 体力：是分布在物体整个体积内的力，如重力、惯 性力等。大小的表示、方向的表示、 量纲 为[力]／[长度]－3。 面力：是作用于物体表面上的力，如流体压力、接 触力等。大小的表示、方向的表示、 量纲 为[力][长度]－2。
第一章：弹性力学基础
3、弹性力学中基本概念 ➢ 应变——弹性体受力后，它是形状和尺寸都要改变，
yz G yz zx G zx xy G xy
e x y z,

E
,
(1 )(1 2)
G E
2(1 )
第一章：弹性力学基础
3、应力边界条件和圣维南原理
边 界 条
u u
位移边界条件 应力边界条件
vv w w
件
圣维南原理
x )],
G E
2(1 )
z

1 E
[
z

( x
y )],

yz

yz
G

zx

zx
G

xy

xy
G
第一章：弹性力学基础
3、物理方程
以应力分量来表示应变分量的，若用应 变分量来表示应力分量，其物理方程为
x e 2G x , y e 2G y , z e 2G z ,
2 y 2 z 2 yz ,
z 2 y 2 yz
2 z 2 x 2 zx ,
x 2 z 2 zx
x

zx
y

xy
z

yz
x

2 2 x
yz
y

xy
z

yz
x
结构力学教程
结构力学
三、研究方法对比
数学方法 位移法 应力法 应变函数法等
工程方法 力法 静定结构 静不定结构 位移法等
❖ 基本方法 ❖ 基本假定 ❖ 基本概念 ❖ 基本方程 ❖ 基本问题 ❖ 基本解法 ❖ 能量原理
第一章：弹性力学基础
第一章 弹性力学础
第一节 引 言
➢ 弹性力学并不需要引进这样的假设。
［例如］
➢ 弹性力学的研究方法更为严密，所得的结果也 比材料力学精确。
第一章：弹性力学基础
2、弹性力学的基本假设
➢ 连续性假设 —— 认为构成物体的材料是密实 无间隙的连续介质。因此，物体中的应力、应 变、位移等物理量就可以看成是连续的，在数 学上可以用连续函数来表示。
yz x

zx y

xy z

2 2 z xy
第一章：弹性力学基础
第三节 平 面 问 题 1、平面应力和平面应变问题
平面应力问题
平面应变问题
几何特点 受力特点
厚度远小于板的长 度和宽度
x
面力、体力平行于 板平面且沿板厚均 匀分布
纵向尺寸远大于横 向尺寸
面力垂直纵向且沿 长度不变，约束条 件沿长度也变
x y z
xy y zy Y 0
x y z
xz yz z Z 0
x y z
yz zy zx xz xy yx
第一章：弹性力学基础
2.1、几何方程
正应变
x

PA PA PA
第一章：弹性力学基础
4、弹性力学的基本方程
➢ 材料力学：采用截面法。 ➢ 弹性力学：采用微元体法。
➢ 平衡方程
外力－应力
➢ 几何方程
位移－应变
➢ 物理方程
应力－应变
第一章：弹性力学基础
第二节 基 本 方 程
平力 衡矩 微平 分衡 方方 程程
第一章：弹性力学基础
平衡微分方程
x yx zx X 0
➢ 材料的匀质和各向同性假设 —— 匀质指物体 内各处材料的力学性质都相同，与各点的空间 位置无关。各向同性指在物体内任一点处材料 在各个方向的物理性质都相同。因此，反映这 些物理性质的弹性系数不随坐标和方向而改变。
第一章：弹性力学基础
2、弹性力学的基本假设
➢ 完全弹性假设 —— 假设材料是完全弹性的，且 服从虎克定律定律，物体在外力作用下变形，除 去外力后，物体完全恢复原状，没有任何剩余变 形。同时应力与应变成正比。
如果把作用在物体的一小部分 边界上的力系，用一个分布不同但 静力等效的力系（主矢量相同，对 同一点的主矩也相同）代替，则仅 在此边界附近的应力分布有显著的 改变，而在距该区域较远的地方几 乎没有影响。
第一章：弹性力学基础
x yx zx X 0
x y z
yz zy
v x

u y

2 2w xy
z

yz
x

来自百度文库 zx
y

xy
z


2 2 w xy z

2 2 z
xy
第一章：弹性力学基础
2.3、变形协调方程
2 x 2 y 2 xy ,
y 2 x 2 xy
x C11 x C12 y C13 z C14 yz C15 zx C16 xy y C21 x C22 y C23 z C24 yz C25 zx C26 xy z C31 x C32 y C33 z C34 yz C35 zx C36 xy yz C41 x C42 y C43 z C44 yz C45 zx C46 xy zx C51 x C52 y C53 z C54 yz C55 zx C56 xy xy C61 x C62 y C63 z C64 yz C65 zx C66 xy

zx
y


2 2 y
zy
z

yz
x

zx
y

xy
z


2 2 z
xy
第一章：弹性力学基础
3、物理方程
前面导出了平衡微分方程和几何方程，适用于 任何弹性体，与物体的物理性质无关。但仅有这 两组方程还不能求解，还必须考虑物理学方面， 建立起应变分量与应力分量之间的关系，这些关 系式称为物理方程。
第一章：弹性力学基础
2.3、变形协调方程
由几何方程可见，六个应变分量完全由三个位 移分量对坐标的偏导数确定。因此，六个应变分量 不是互相独立的，它们之间必然存在一定的关系。 从物理意义上讲，就是在变形前连续的物体，变形 后仍是连续的。
2 x
y 2
2 y
x 2

2 y 2

基
xy y zy Y 0
x y z
zx xz
本 方
xz yz z Z 0
x y z
xy yx
程 x

1 E
[
x

( y
z )],

yz

yz G
小 结
y

1 [ E
y
( z
2 z 2 x 2 zx , x 2 z 2 zx
x

zx y

xy z

yz x

2 2 x yz
y

x z
y

yz x

zx y


2 2 y zy
z

yz G yz zx G zx xy G xy
x

u x
,
y

v y
,
z

w , z

yz

w y

v z

zx

u z

w x

xy

v x

u y
2 x y 2
2 y x 2

2 xy , xy
2 y 2 z 2 yz , z 2 y 2 yz
➢ 小变形假设 —— 假设物体在外力作用下引起变 形而产生的位移，与物体最小特征尺寸相比是很 微小的。这样，在研究物体受力后的平衡状态时， 可不考虑物体尺寸的变化，而应用变形前的尺寸， 这样就使得弹性力学的微分方程成为线性的。
第一章：弹性力学基础
3、弹性力学中基本概念
➢ 应力 — 物体受到外力作用会在其内部引起应力。

PA PA PA

u

u dx x
dx
u

u x
y

v y
z

w z
剪应变

xy

v x

u y

yz

w y

v z

zx

u z

w x
第一章：弹性力学基础
2.2、刚体位移和位移边界条件
x

u x
,

y

v y
,
z

w , z

yz

w y

v z

zx

u z

w x

xy

v x

u y
当物体的位移分量给 定时，应变分量就完全 确定了。
反过来，当应变量给 定时，位移分量却不能 完全确定。
平面刚体位移 ： 以xoy投影面内PAB位 移为例。令其应变分
x

u x
0,
y

v y

0
量为零来求出相应的 位移分量
第一章：弹性力学基础
3、物理方程
对于各向同性弹性体，可以证明仅有两个独 立的弹性常数，其应变分量与应力分量之间的 关系如下：
右式也称广义虎克
定律。式中E为材料 拉压弹性模量，μ为 泊松比，G为剪切弹
性模量，而且三者
之间如下式：
x

1 E
[
x

( y
z )],
y

1 [
E
y

( z
这种改变可以归结为长度的改变和角度的改变。
➢ 各线段每单位长度的伸、缩称为正应变，用ε表示。 ➢ 每两线段之间直角的改变称为剪应变，用γ表示。
第一章：弹性力学基础
3、弹性力学中基本概念
➢ 位移 —— 物体受力后，它内部各点将发生位置的移动。
物体内任一点的位移用它在x、y、z三坐标轴上的投影 u、v、w来表示，沿坐标轴正方向为正，反之为负。