正弦定理和余弦定理

正弦定理和余弦定理

【知识梳理】

1．内角和定理：在ABC ∆中，A B C ++=π；sin()A B +=sin C ；cos()A B +=cos C -

面积公式: 在三角形中大边对大角，反之亦然.

2．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等. 形式一：R C c B b A a 2sin sin sin === (解三角形的重要工具)

形式二：⎪⎩⎪⎨⎧===C R c B

R b A R a sin 2sin 2sin 2 (边角转化的重要工具)

形式三： 形式四：

3.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍..

形式一：2222cos a b c bc A =+- 222

2cos b c a ca B =+- 2222cos c a b ab C =+-(解三角形的重要工具)

形式二：

【典型例题】

111sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ∆===::sin :sin :sin a b c A B C =sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===222cos 2b c a A bc +-=222cos 2a c b B ac +-=222

cos 2a b c C ab +-=

题型一：利用正弦定理解三角形

1.在ABC ∆中，若5b =，4B π∠=,1sin 3A =，则a = .

2.在△ABC 中，已知a =

3,b =2,B=45°,求A 、C 和c .

题型二：利用余弦定理解三角形 1.设ABC ∆的内角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、.已知1=a ，2=b ，4

1cos =

C . （Ⅰ）求ABC ∆的周长；（Ⅱ）求()C A -cos 的值.

2. 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A ，B ，C 的对边，且C B cos cos =-c

a b +2.（1）求角B 的大小；（2）若b =13，a +c =4，求△ABC 的面积.

题型三：正弦定理余弦定理综合应用

1.（2011山东文数）在∆ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知

． （I ）求

的值； （II ）若cosB=，∆ABC 的周长为5，求b 的长。

2．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且8 sin 22

B C +－2 cos 2A ＝7． （1）求角A 的大小；（2）若a

b ＋

c ＝3，求b 和c 的值．

cos A-2cos C 2c-a =cos B b

sin sin C A 14

【经典练习】

一、 选择题。

1. 已知锐角ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，02cos cos 232

=+A A ，7=a ，6=c ，则=b ( )

A.10

B.9

C.8

D.5

2. ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知2=b ，6π=

B ，4π=

C ，则ABC ∆的

面积为( ) A.232+ B.13+ C.232- D.13-

3. ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若c b a ,,成等比数列，且a c 2=，则=B cos （ ） A.41 B.4

3 C.42 D.32 二、 填空题。

1. 如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得M 点的仰角060=∠MAN ，C 点的仰角045=∠CAB 以及075=∠MAC ；

从C 点测得0

60=∠MCA 。已知山高100=BC m ，则山高=MN m 。

2. ABC ∆中，0

120=B ，7=AC ，5=AB ，则ABC ∆的面积为 。 3. 在ABC ∆中，D 为边BC 上一点，CD BD 2

1=

，0120=∠ADB ，2=AD 。若ABC ∆的面积为33-，则=∠BAC 。

三、 解答题。

1. 已知c b a ,,分别为ABC ∆内角C B A ,,的对边，C A B sin sin 2sin 2

=。 （1）若b a =，求B cos ；

（2）设090=B ，且2=

a ，求ABC ∆的面积。

2. ABC ∆中D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，DC BD 2=。

（I ）求C

B ∠∠sin sin ； （II ）若060=∠BA

C ，求B ∠。

3. 四边形ABCD 的内角A 与C 互补，1=AB ，3=BC ，2==DA CD 。

(1)求C 和BD ；

(2)求四边形ABCD 的面积。

4. 已知c b a ,,分别为ABC ∆三个内角C B A ,,的对边，A c C a c cos sin 3-=。

（1）求A ；

（2）若2=a ，ABC ∆的面积为3，求c b ,。

5.ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，己知B b C a C c A a sin sin 2sin sin =-+。 (Ⅰ)求B ；

（Ⅱ）若075=A ，2=b ，求a 与c 。

6.ABC ∆中，D 为边BC 上的一点，33=BD ，135sin =

B ，5

3cos =∠ADC ，求AD 。