2021-2022年高考题型专题冲刺精讲(数学)专题五：解析几何(学生版)
高考数学大题突破 专项五 解析几何
3c).
由 y= 3(x-c),得 c=x- 33y.
于是������������ =
83 15
������-
3 5
������,
8 5
������-
33 5
������
, ������������=(x,
3x).
高考大题
高考大题增分专项五 高考中的解析几何
增分专项
考情分析
典例突破
专题总结
-7-
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型六
解(1)设 F1(-c,0),F2(c,0)(c>0).由题意,可得|PF2|=|F1F2|,即
(������-������)2 + ������2=2c,
整理得 2
������ ������
2 + ������������-1=0,得������������=-1(舍去)或������������ = 12.所以 e=12.
因此 OA 的斜率与 OB 的斜率之积为������1 ·������2 = -4=-1,
������1 ������2 4
所以 OA⊥OB.故坐标原点 O 在圆 M 上.
高考大题
高考大题增分专项五 高考中的解析几何
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题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型六
(1)求椭圆的离心率 e; (2)设直线 PF2 与椭圆相交于 A,B 两点,M 是直线 PF2 上的点,满
足������������ ·������������=-2,求点 M 的轨迹解析几何
增分专项
考情分析
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专题总结
专题五 学生版
x 2 y2 变式训练 2 (2010· 天津)已知椭圆 2＋ 2＝1(a>b>0)的 a b 3 离心率 e＝ ， 连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面 2 积为 4. (1) 求椭圆的方程； (2)设直线 l与椭圆相交于不同的两点 A ,B ,已知点 A 的 坐标为(-a,0),点 Q (0,y0)在线段 AB 的垂直平分线上,且
题型二
圆锥曲线的性质 x2 y2 例 2 如图所示，椭圆 2＋ 2＝1 上的点 M a b 与椭圆右焦点 F1 的连线 MF1 与 x 轴垂直， 且 OM(O 是坐标原点)与椭圆长轴和短轴 端点的连线 AB 平行． (1)求椭圆的离心率； (2)F2 是椭圆的左焦点，C 是椭圆上的任一点， π 证明：∠F1CF2≤ ； 2 (3)过 F1 且与 AB 垂直的直线交椭圆于 P、 Q， 若△PF2Q 的面积是 20 3，求此时椭圆的方程．
变式训练 3 在平面直角坐标系 xOy 中， 已知圆 C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4 和圆 C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4. (1)判断两圆的位置关系，并求连心线 的方程； (2)求直线 m 的方程， 使直线 m 被圆 C1 截得的弦长为 4，被圆 C2 截得的弦长为 2.
知能提升演练
5．(2010· 湖南)若不同两点 P、Q 的坐标分别为(a，b)， (3－b,3－a)，则线段 PQ 的垂直平分线 l 的斜率为 ________； 圆(x－2)2＋(y－3)2＝1 关于直线 l 对称的 圆的方程为________________．
6． 设直线 ax－y＋3＝0 与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4 相交于 A、B 两点，且弦 AB 的长为 2 3，则 a＝________. 0
2．轨迹方程问题 (1)求轨迹方程的基本步骤： ①建立适当的平面直角坐标系，设出轨迹上任一点的坐 标——解析法(坐标法). ②寻找动点与已知点满足的关系式——几何关系． ③将动点与已知点的坐标代入——几何关系代数化． ④化简整理方程——简化． ⑤证明所得方程为所求的轨迹方程——完成其充要性．
2021-2022年高考数学二轮复习 第一部分专题五 解析几何 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线专题强化
2021年高考数学二轮复习 第一部分专题五 解析几何 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线专题强化精练提能 理1．已知方程x 22－k ＋y 22k －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2 B ．(1，＋∞)C ．(1，2)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 解析：选C.由题意可得，2k －1>2－k >0，即⎩⎨⎧2k －1>2－k ，2－k >0，解得1<k <2， 故选C.2．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3，0)，离心率等于32，则C 的方程是( )A.x 24－y 25＝1 B.x 24－y 25＝1C.x 22－y 25＝1 D.x 22－y 25＝1 解析：选B.右焦点为F (3，0)说明两层含义：双曲线的焦点在x 轴上；c ＝3.又离心率为c a ＝32，故a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝32－22＝5，故C 的方程为x 24－y 25＝1，故选B.3．抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线方程为( )A ．y 2＝6xB ．y 2＝8xC ．y 2＝16xD ．y 2＝152x解析：选B.依题意，设M (x ，y )，|OF |＝p 2，所以|MF |＝2p ，x ＋p 2＝2p ，x ＝3p2，y＝3p ，又△MFO 的面积为43，所以12×p2×3p ＝43，p ＝4，所以抛物线方程为y 2＝8x .4．(xx·南昌模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，右顶点为A ，上顶点为B ，若椭圆C 的中心到直线AB 的距离为66|F 1F 2|，则椭圆C 的离心率e ＝( )A.22B.32 C.23D.33解析：选A.设椭圆C 的焦距为2c (c <a )，由于直线AB 的方程为bx ＋ay －ab ＝0，所以ab a 2＋b2＝63c ，又b 2＝a 2－c 2，所以3a 4－7a 2c 2＋2c 4＝0，解得a 2＝2c 2或3a 2＝c 2(舍去)，所以e ＝22，故选A. 5．(xx·商丘市双基测试)已知离心率e ＝52的双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与双曲线C 的一条渐近线相交于O ，A 两点，若△AOF 的面积为4，则a 的值为( )A ．2 2B ．3C ．4D ．5解析：选C.因为e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝52，所以b a ＝12，|AF ||OA |＝b a ＝12，设|AF |＝m ，|OA |＝2m ，由面积关系得12·m ·2m ＝4，所以m ＝2，由勾股定理，得c ＝m 2＋（2m ）2＝25，又c a ＝52，所以a ＝4，故选C. 6．已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )A. 5 B ．2 C. 3 D.2解析：选D.不妨取点M 在第一象限，如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，则|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBx ＝180°－120°＝60°，所以M 点的坐标为(2a ，3a )．因为M 点在双曲线上，所以4a 2a 2－3a 2b2＝1，a ＝b ，所以c ＝2a ，e ＝c a＝ 2.故选D.7．(xx·高考北京卷)设双曲线C 经过点(2，2)，且与y 24－x 2＝1具有相同渐近线，则C 的方程为________；渐近线方程为________．解析：设双曲线C 的方程为y 24－x 2＝λ，将点(2，2)代入上式，得λ＝－3，所以C的方程为x 23－y 212＝1，其渐近线方程为y ＝±2x .答案：x 23－y 212＝1 y ＝±2x8．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为33，若以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y ＝x ＋2相切，则椭圆的标准方程为________．解析：由以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y ＝x ＋2相切，得b ＝22＝ 2.又离心率为33， 所以a 2＝3c 2＝3(a 2－2)，得a ＝3，故椭圆的标准方程为x 23＋y 22＝1.答案：x 23＋y 22＝19．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，△ABC 的顶点都在抛物线上，且满足FA →＋FB →＋FC →＝0，则1k AB ＋1k BC ＋1k CA＝________．解析：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－p2，y 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－p2，y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－p2，y 3＝(0，0)，故y 1＋y 2＋y 3＝0. 因为1k AB ＝x 2－x 1y 2－y 1＝12p （y 22－y 21）y 2－y 1＝y 2＋y 12p ，同理可知1k BC ＝y 3＋y 22p ，1k CA ＝y 3＋y 12p ，所以原式＝2（y 1＋y 2＋y 3）2p ＝0.答案：010．(xx·日照二模)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >0，b >0)与抛物线y 2＝4px (p >0)有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且AF ⊥x 轴，则椭圆的离心率是________．解析：依题意，抛物线y 2＝4px (p >0)的焦点F (p ，0)也是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦点，所以a 2＝b 2＋p 2.因为点A 是两曲线的交点，且AF ⊥x 轴，横坐标为p ，代入抛物线方程得A (p ，2p )或A (p ，－2p )，将其代入椭圆方程中得p 2a 2＋4p 2b2＝1，又a 2＝b 2＋p 2，所以p 2a 2＋4p 2a 2－p 2＝1.而椭圆的离心率e ＝p a ，e 2＝p 2a 2，所以p 2a 2＋4p 2a 2－p 2＝p 2a 2＋4p 2a 2a 2－p 2a 2＝e 2＋4e 21－e 2＝1，得e 2＝3±2 2.又因为椭圆离心率的取值范围为(0，1)，所以e 2＝3－22＝(2－1)2，即e ＝2－1.答案：2－111．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点， |AF 1|＝3|F 1B |.(1)若|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，求|AF 2|； (2)若cos ∠AF 2B ＝35，求椭圆E 的离心率．解：(1)由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4，得|AF 1|＝3，|F 1B |＝1. 因为△ABF 2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a ＝16， |AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8.故|AF 2|＝2a －|AF 1|＝8－3＝5.(2)设|F 1B |＝k ，则k >0且|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k . 由椭圆定义可得|AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k . 在△ABF 2中，由余弦定理可得|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2|·|BF 2|·cos ∠AF 2B ， 即(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )·(2a －k )，化简可得(a ＋k )(a －3k )＝0. 而a ＋k >0，故a ＝3k .于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1|，|BF 2|＝5k . 因此|BF 2|2＝|F 2A |2＋|AB |2，可得F 1A ⊥F 2A ， 故△AF 1F 2为等腰直角三角形．从而c ＝22a ，所以椭圆E 的离心率e ＝c a ＝22. 12．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，其中一个顶点是抛物线x 2＝－43y 的焦点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若过点P (2，1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切于点M ，求直线l 的方程和点M 的坐标．解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意得b ＝3，c a ＝12，解得a ＝2，c ＝1.故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)因为过点P (2，1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切，所以直线l 的斜率存在， 故可设直线l 的方程为y ＝k (x －2)＋1(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k （x －2）＋1，得(3＋4k 2)x 2－8k (2k －1)x ＋16k 2－16k －8＝0.① 因为直线l 与椭圆C 相切，所以Δ＝[－8k (2k －1)]2－4(3＋4k 2)(16k 2－16k －8)＝0. 整理，得96(2k ＋1)＝0，解得k ＝－12.所以直线l 的方程为y ＝－12(x －2)＋1＝－12x ＋2.将k ＝－12代入①式，可以解得M点的横坐标为1，故切点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.13．(xx·北京西城二模)如图，椭圆C ：x 2＋y 2m＝1(0<m <1)的左顶点为A ，M 是椭圆C 上异于点A 的任意一点，点P 与点A 关于点M 对称．(1)若点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫95，435，求m 的值；(2)若椭圆C 上存在点M ，使得OP ⊥OM ，求m 的取值范围． 解：(1)依题意，M 是线段AP 的中点，因为A (－1，0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫95，435，所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫25，235.由点M 在椭圆C 上， 所以425＋1225m ＝1，解得m ＝47.(2)设M (x 0，y 0)，则x 20＋y 20m＝1，①且－1<x 0<1.因为M 是线段AP 的中点，所以P (2x 0＋1，2y 0)． 因为OP ⊥OM ，所以x 0(2x 0＋1)＋2y 20＝0.②由①②消去y 0整理得m ＝2x 20＋x 02x 20－2，所以m ＝1＋12（x 0＋2）＋6x 0＋2－8≤12－34，当且仅当x 0＝－2＋3时，上式等号成立，所以m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12－34.14．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点，过F 1且斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列．(1)求E 的离心率；(2)设点P (0，－1)满足|PA |＝|PB |，求E 的方程． 解：(1)由椭圆定义知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ， 因为2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，所以|AB |＝43a .l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝a 2－b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2a 2＋y 2b2＝1， 化简得(a 2＋b 2)x 2＋2a 2cx ＋a 2(c 2－b 2)＝0， 则x 1＋x 2＝－2a 2c a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2（c 2－b 2）a 2＋b 2.因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|＝2[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]. 故43a ＝4ab 2a 2＋b2，得a 2＝2b 2， 所以E 的离心率e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝22.(2)设AB 的中点为N (x 0，y 0)，由(1)知x 0＝x 1＋x 22＝－a 2c a 2＋b 2＝－23c ，y 0＝x 0＋c ＝c3. 由|PA |＝|PB |，得k PN ＝－1，即y 0＋1x 0＝－1， 得c ＝3，从而a ＝32，b ＝3.故椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.。
2023年高考数学重点专题三轮冲刺演练专题15解析几何小题压轴练(解析版)
解析几何小题压轴练-新高考数学复习分层训练(新高考通用)一、单选题1.(2023·辽宁盘锦·盘锦市高级中学校考一模)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1,F 2，点P 在双曲线上，且∠F 1PF 2=60°，PF 2的延长线交双曲线于点Q ，若双曲线的离心率为e =72，则PQ F 1Q=()A.23B.813C.815D.12【答案】B【分析】利用双曲线的定义得到PF 2 ,F 2Q ,PF 1 ,F 1Q 关于k ,m ,n 的表达式，在△PF 1F 2与△PF 1Q 中利用余弦定理求得m =2k 与n =65k ，从而求得PQ ,F 1Q 关于k 的表达式，由此得解.【详解】因为双曲线的离心率为e =72，即c a =72，令a =2k k >0 ，则c =7k ，所以F 1F 2 =2c =27k ，2a =4k ，不妨设点P 在双曲线的右支上时，如图，记PF 2 =m ,F 2Q =n ，则由双曲线的定义得PF 1 -PF 2 =2a ,F 1Q -F 2Q =2a ，所以PF 1 =4k +m ,F 1Q =4k +n ，在△PF 1F 2中，∠F 1PF 2=60°，则F 1F 2 2=PF 1 2+PF 2 2-2PF 1 PF 2 cos60°，即28k 2=4k +m 2+m 2-24k +m m ×12，整理得12k 2-4km -m 2=0，解得m =2k 或m =-6k (舍去)，故PF 1 =4k +m =6k ，PQ =m +n =2k +n ，在△PF 1Q 中，∠F 1PF 2=60°，则F 1Q 2=PF 1 2+PQ 2-2PF 1 PQ cos60°，即4k +n 2=36k 2+2k +n 2-2×6k 2k +n ×12，整理得12k 2-10kn =0，解得n =65k ，则PQ =2k +n =2k +65k =165k ，F 1Q =4k +n =265k ，所以PQ F 1Q=165k 265k =813；故选：B .2.(2023·山东潍坊·统考模拟预测)已知双曲线C 1:x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左，右焦点分别为F 1，F 2，点F 2与抛物线C 2:y 2=2px p >0 的焦点重合，点P 为C 1与C 2的一个交点，若△PF 1F 2的内切圆圆心的横坐标为4，C 2的准线与C 1交于A ，B 两点，且AB =92，则C 1的离心率为()A.94B.54C.95D.74【答案】B【分析】令F 1(-c ,0),F 2(c ,0)，由题设知c=p 2>0且AB =2b 2a 求得4b 2=9a ，再由内切圆中切线长性质及双曲线定义、性质确定与F 1F 2的切点C 的位置，进而求离心率.【详解】由题设F 1(-c ,0),F 2(c ,0)，又点F 2与抛物线的焦点重合，即c =p2>0，由-c2a 2-y 2b 2=1a 2+b 2=c2，则y =±b 2a ，故AB =2b 2a =92，即4b 2=9a ，如下图示，内切圆与△PF 1F 2各边的切点为D ,E ,K ，所以PD =PE ,DF 1= KF 1, EF 2= KF 2 ，又|PF 1|-|PF 2|=2a ，则PD +DF 1)-PE + EF 2)= DF 1- EF 2= KF 1- KF 2 =2a ， 所以K 为双曲线右顶点，又△PF 1F 2的内切圆圆心的横坐标为4，即a =4，故b 2=9，则c =5，所以离心率为e =c a =54.故选：B3.(2023·江苏南通·海安高级中学校考一模)双曲线C :x 2-y 2=4的左，右焦点分别为F 1,F 2，过F 2作垂直于x 轴的直线交双曲线于A ,B 两点，△AF 1F 2,△BF 1F 2,△F 1AB 的内切圆圆心分别为O 1,O 2,O 3，则△O 1O 2O 3的面积是()A.62-8B.62-4C.8-42D.6-42【答案】A【分析】由题意画出图，由已知求出c 的值，找出A ,B 的坐标，由△AF 1F 2,△BF 1F 2,△F 1AB 的内切圆圆心分别为O 1,O 2,O 3，进行分析，由等面积法求出内切圆的半径，从而求出△O 1O 2O 3的底和高，利用三角形的面积公式计算即可.【详解】由题意如图所示：由双曲线C:x2-y2=4，知a2=b2=4，所以c2=a2+b2=8，所以F2(22,0)，F1F2=2c=42所以过F2作垂直于x轴的直线为x=22，代入C中，解出A22,2,B22,-2，由题知△AF1F2,△BF1F2的内切圆的半径相等，且AF1=BF1，△AF1F2,△BF1F2的内切圆圆心O1,O2的连线垂直于x轴于点P，设为r，在△AF1F2中，由等面积法得：1 2AF1+AF2+F1F2⋅r=12F1F2⋅AF2由双曲线的定义可知：AF1-AF2=2a=4由AF2=2，所以AF1=6，所以126+2+42⋅r=12×42×2，解得：r=222+2=22×2-22=22-2，因为F1F2为△F1AB的∠AF1B的角平分线，所以O3一定在F1F2上，即x轴上，令圆O3半径为R，在△AF1B中，由等面积法得：1 2AF1+BF1+AB⋅R=12F1F2⋅AB，又AF1=BF1=F1F22+AF12=422+22=6所以12×6+6+4⋅R=12×42×4，所以R=2，所以PF 2 =r =22-2，O 3P =O 3F 2 -PF 2 =R -r =2-22-2 =2-2，所以S △O 1O 2O 3=12O 1O 2 O 3P =12×2r ×O 3P =r ×O 3P =22-2 ×2-2 =62-8，故选：A .4.(2023·湖南永州·统考二模)如图，F 1,F 2为双曲线的左右焦点，过F 2的直线交双曲线于B ,D 两点，且F 2D =3F 2B ，E 为线段DF 1的中点，若对于线段DF 1上的任意点P ，都有PF 1 ⋅PB ≥EF 1 ⋅EB 成立，则双曲线的离心率是()A.2B.3C.2D.5【答案】D【分析】取F 1B 中点Q ，根据向量数量积的运算律和向量线性运算可将已知数量积不等式化为PQ 2≥EQ 2，由此可确定EQ ⊥DF 1，由三角形中位线性质知DF 1⊥BD ；设BF 2 =m ，结合双曲线定义可表示出DF 1 ,BF 1 ，在Rt △BDF 1和Rt △DF 1F 2中，利用勾股定理可求得离心率.【详解】取F 1B 中点Q ，连接PQ ,EQ ,DQ ，∵PF 1 ⋅PB =14PF 1 +PB 2-PF 1 -PB 2 =144PQ2-BF 1 2 =PQ 2-14BF 1 2，EF 1 ⋅EB =14EF 1 +EB 2-EF 1 -EB 2 =144EQ2-BF 1 2 =EQ 2-14BF 1 2，∴PQ 2-14BF 1 2≥EQ 2-14BF 1 2，则PQ 2≥EQ 2，∴PQ ≥EQ 恒成立，∴EQ ⊥DF 1，又EQ ⎳BD ，∴BD ⊥DF 1，设BF 2 =m ，由F 2D =3F 2B得：BD =2m ，根据双曲线定义可知：DF 1 =DF 2 -2a =3m -2a ，BF 1 =BF 2 +2a =m +2a ，∵BD 2+DF 1 2=BF 1 2，即4m 2+3m -2a 2=m +2a 2，∴m =43a ，∴DF 1 =2a ，DF 2 =4a ，又DF 2 2+DF 1 2=F 1F 2 2，∴20a 2=4c 2，∴e 2=c 2a2=5，则离心率e =5.故选：D .5.(2023·河北·河北衡水中学校考模拟预测)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的两焦点为F 1，F 2，x 轴上方两点A ，B 在椭圆上，AF 1与BF 2平行，AF 2交BF 1于P .过P 且倾斜角为αα≠0 的直线从上到下依次交椭圆于S ，T .若PS =βPT ，则“α为定值”是“β为定值”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不必要也不充分条件【答案】D【分析】先求出P 的轨迹，其轨迹方程为x 2a 2+c 22a2+y 2a 2-c 22a2=1，取α=π4，结合特殊情形可得“当α取定值，β是定值”是错误的；再由β是定值可得α=π2，从而可判断当β取定值，α是定值”是错误的，从而可得正确的选项.【详解】设M x ,y 为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 上的动点，c 为椭圆的半焦距，故F 1-c ,0 ，故MF 1 =x +c2+y 2=x +c 2+b 21-x2a2=x +c 2+b 21-x2a2=c 2x 2a 2+2cx +a 2=a +c a x ，设直线l :x =-a 2c ，则M 到该直线的距离为d =x +a 2c，故MF 1 d=ca =e ，如图，设直线MF 1的倾斜角为γ，过M 作l 的垂线，垂足为S ，则MF 1MF 1 cos γ+a 2c-c=e ，故MF 1 =e ×b 2c1-e cos γ，设p =b 2c ，故MF1=ep1-e cosγ，同理MF2=ep1+e cosγ.设AF1的倾斜角为θ，则MF1=ep1-e cosθ，MF2=ep1+e cosθ，因为AF1⎳BF2，故BF2AF1=F2PAP，所以BF2AF1+BF2=F2PAP+F2P=F2PAF2=F2P2a-AF1，所以F2P=BF22a-AF1AF1+BF2，同理F1P=AF12a-BF2AF1+BF2，故F2P+F1P=2a-2BF2×AF1AF1+BF2=2a-ep，故P的轨迹为以F1,F2为焦点的椭圆，其长半轴长为a-ep2=a2+c22a，短半轴长为a2+c224a2-c2=a2-c22a，故P的轨迹方程为：x2 a2+c2 2a2+y2a2-c22a2=1，其中y>0.取α=π2，PS2PT2=y S-y P2y S+y P2=y Sy P-12y Sy P+12,而a2≠a4+2a2c2+c44a2，故PS2PT2不是定值即β不是定值.故“当α取定值，β是定值”是错误的.又直线ST的参数方程为：x=x0+t cosαy=y0+t sinα，设S x0+t1cosα,y0+t1sinα,T x0+t2cosα,y0+t2sinα，由x0+t cosα2a2+y0+t sinα2b2=1整理得到：cos2αa2+sin2αb2t2+2x0cosαa2+y0sinαb2t+x20a2+y20b2-1=0，故t1+t2=-2x0cosαa2+y0sinαb2cos2αa2+sin2αb2t1t2=x20a2+y20b2-1cos2αa2+sin2αb2，而PS=βPT，故1-βt2=-2x0cosαa2+y0sinαb2cos2αa2+sin2αb2-βt22=x20a2+y20b2-1cos2αa2+sin2αb2，所以1-β2-4β=x0cosαa2+y0sinαb22cos2αa2+sin2αb2x20a2+y20b2-1，若β为定值，则1-β2-4β为定值，而1-β2-4βcos2αa2+sin2αb2=x0cosαa2+y0sinαb22x20a2+y20b2-1，故当P x0,y0变化时，x0cosαa2+y0sinαb22x20 a2+y20b2-1始终为定值，又x0cosαa2+y0sinαb22x20a2+y20b2-1=x20cos2αa4+2x0y0cosαsinαa2b2+y20sin2αb2x20a2+y20b2-1=x20cos2αa4+2x0y0cosαsinαa2b2+b22a21-x20a2+c224a2sin2αb2x20a2+b22a21-x20a2+c224a2b2-1=x20cos2αa4-b2sin2αa2+c22+2x0y0cosαsinαa2b2+b2sin2α4a2x201a2-b2a2+c22+b24a2-1故cos2αa4-b2sin2αa2+c221a2-b2a2+c22=b2sin2α4a2b24a2-1且cosαsinαa2b2=0，但α≠0,α∈0,π，故α=π2，所以1-β2-4β=y0b221b2x20a2+y20b2-1=y20b2x20a2+y20-1=y20b2×a2+c224a21-y20b24a2a2+y20-1=y20b2×a2+c224a2a2-1+1-a2+c22a2y20，但此时1-β2-4β随y 20的变化而变化，不是定值，故“当β取定值，α是定值”是错误的.故选：D .【点睛】思路点睛：对于圆锥曲线中的动态问题，注意利用圆锥曲线的几何性质去研究动点的轨迹，对于是否为定值的问题，注意构建不同变量之间的关系，结合特例来处理是否为定值的问题.6.(2023·江苏南通·二模)已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的左、右焦点，点P 在双曲线上，PF 1⊥PF 2，圆O ：x 2+y 2=94(a 2+b 2)，直线PF 1与圆O 相交于A ，B 两点，直线PF 2与圆O 相交于M ，N 两点．若四边形AMBN 的面积为9b 2，则C 的离心率为()A.54B.85C.52D.2105【答案】D【分析】设PF 1 =n ，PF 2 =m ，有n -m =2a ，n 2+m 2=4c 2，mn =2b 2，由弦长公式可得MN =23c 2 2-n 2 2，AB=23c 2 2-m 2 2，四边形AMBN 的面积为12AB ⋅MN ，解得c 2=83b 2，可求双曲线的离心率.【详解】根据对称性不妨设点P 在第一象限，如图所示，圆O ：x 2+y 2=94(a 2+b 2)，圆心为O 0,0 ，半径为3c2，设PF 1 =n ，PF 2 =m ，点P 在双曲线上，PF 1⊥PF 2，则有n -m =2a ，n 2+m 2=4c 2，可得mn =2b 2，过O 作MN 的垂线，垂足为D ，O 为F 1F 2的中点，则OD =12PF 1 =n2，MN =23c 2 2-n 22，同理，AB =23c 2 2-m 2 2，由AB ⊥MN ，四边形AMBN 的面积为12AB ⋅MN =12×23c 2 2-m 22×23c 2 2-n 22=9b 2，481c 416-m 2+n 24 9c 24+m 2n 216 =481c 416-9c 44+b 44=81b 4，化简得c 2=83b 2，则有a 2=c 2-b 2=53b 2，则C 的离心率e =c a =85=2105.故选：D7.(2023·浙江金华·浙江金华第一中学校考模拟预测)如图，已知椭圆C 1和双曲线C 2具有相同的焦点F 1-c ,0 ，F 2c ,0 ，A 、B 、C 、D 是它们的公共点，且都在圆x 2+y 2=c 2上，直线AB 与x 轴交于点P ，直线CP 与双曲线C 2交于点Q ，记直线AC 、AQ 的斜率分别为k 1、k 2，若椭圆C 1的离心率为155，则k 1⋅k 2的值为()A.2B.52C.3D.4【答案】D【分析】设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1，双曲线方程为x 2s 2-y 2t 2=1，根据椭圆离心率得到b 2=25a 2，故椭圆方程为2x 2+5y 2=2a 2，联立x 2+y 2=c 2求出A 点坐标，从而由对称性得到B ,C ,P 点坐标，表达出CP :y =55x -306b，将A 点代入双曲线方程，结合s 2+t 2=a 2-b 2=32b 2得到s 2=b 22，t 2=b 2，得到双曲线方程2x 2b 2-y 2b 2=1，联立CP :y =55x -306b，得到两根之和，两根之积，表达出Q 73054b ,-6b27，从而求出k 1,k 2，得到乘积.【详解】设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1，双曲线方程为x 2s 2-y 2t 2=1，则a 2-b 2=s 2+t 2=c 2，由c a =155可得3a 2=5c 2，因为c 2=a 2-b 2，所以b 2=25a 2，故椭圆方程为2x 2+5y 2=2a 2，联立x 2+y 2=c 2可得：x 2=c 2-23b 2=32b 2-23b 2=56b 2，y 2=2b 23，则A 306b ,63b，由对称性可知A 、C 两点关于原点对称，A 、B 两点关于x 轴对称，则B 306b ,-63b，C -306b ,-63b ，所以P 306b ,0，故k CP =0+63b 306b +306b =55，直线CP :y =55x -306b，A 306b ,63b 代入x 2s 2-y 2t 2=1中得，5b 26s 2-2b 23t2=1①，又s 2+t 2=a 2-b 2=52b 2-b 2=32b 2②，②①结合得到s 2=5b 22或s 2=b 22，因为a 2=52b 2，显然s <a ，故s 2=b 22，所以t 2=32b 2-b 22=b 2，故双曲线方程为2x 2b 2-y 2b 2=1，联立CP :y =55x -306b 与2x 2b 2-y 2b2=1得：95x 2+3015bx -76b 2=0，设Q x 1,y 1 ，则-306bx 1=-76b 2⋅59，解得：x 1=73054b ，故y 1=5535930b -306b=-6b 27，所以Q 73054b ,-6b27，所以k 2=63b +6b27306b -73054b =25，其中k 1=63b +63b 306b +306b =255，故k 1k 2=25×255=4.故选：D【点睛】椭圆和双曲线共焦点时，焦距成为联系两个曲线的桥梁，要根据题目条件列出方程，寻找到椭圆中长半轴，短半轴，和双曲线中实半轴，虚半轴的关系，再求解离心率或其他相关问题，共焦点的椭圆和双曲线的重要结论：①具有公共焦点的椭圆和双曲线离心率分别为e 1,e 2，P 为它们的一个交点，且∠F 1PF 2=2θ，则sin θe 12+cos θe 22=1；②若点P x 0,y 0 是椭圆C 1:x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 与双曲线C 2:x 2m 2-y 2n 2=1m >0,n >0 的一个公共点，且它们在P x 0,y 0 处的切线互相垂直，则椭圆C 1与双曲线C 2有公共焦点.二、多选题1.(2023·广东·统考一模)已知拋物线E :y 2=8x 的焦点为F ，点F 与点C 关于原点对称，过点C 的直线l 与抛物线E 交于A ,B 两点(点A 和点C 在点B 的两侧)，则下列命题正确的是()A.若BF 为△ACF 的中线，则AF =2BFB.若BF 为∠AFC 的角平分线，则AF =6C.存在直线l ，使得AC =2AFD.对于任意直线l ，都有AF +BF >2CF【答案】AD【分析】设l :x =ky -2，不妨令A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)都在第一象限，C (-2,0),F (2,0)，联立抛物线，根据已知及韦达定理得k 2>1、y 1+y 2=8k ,y 1y 2=16，则x 1+x 2=8k 2-4,x 1x 2=4，再根据各项描述、抛物线定义判断它们的正误.【详解】由题意，设l :x =ky -2，不妨令A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)都在第一象限，C (-2,0),F (2,0)，联立E :y 2=8x ，则y 2-8ky +16=0，且Δ=64(k 2-1)>0，即k 2>1，所以y 1+y 2=8k ,y 1y 2=16，则x 1+x 2=8k 2-4,x 1x 2=4，如上图所示.A ：若BF 为△ACF 的中线，则y 2=y 12，所以y 1=42，所以x 1=4，故A (4,42)，所以B (1,22)，则AF =2BF =6，故A 正确；B ：若BF 为∠AFC 的角平分线，则BC AB=CF AF，作AD ,BE 垂直准线x =-2于D ,E ，则|AF |=|AD |且BC AB=CE DE，所以CF AD=CE DE，即CF AD +CF=CE CD=BE AD，则4x 1+6=x 2+2x 1+2，将x 2=4x 1>0代入整理，得x 21-4x 1-12=(x 1-6)(x 1+2)=0，则x 1=6，所以AF =x 1+2=8，故B 错误；C ：若AC =2AF ，即AC =2AD ，即△ACD 为等腰直角三角形，此时CD =AD ，即A (y 1-2,y 1)，所以y 21=8y 1-16，所以y 21-8y 1+16=0，所以y 1=4，所以y 2=4，则此时A ,B 为同一点，不合题设，故C 错误；D ：AF +BF =AD +BE =x 1+x 2+4=8k 2，而2CF =8，结合k 2>1，可得8k 2>8，即AF +BF >2CF 恒成立，故D 正确.故选：AD .2.(2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测)已知P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 是椭圆x 24+9y 24=1上两个不同点，且满足x 1x 2+9y 1y 2=-2，则下列说法正确的是()A.2x 1+3y 1-3 +2x 2+3y 2-3 的最大值为6+25B.2x 1+3y 1-3 +2x 2+3y 2-3 的最小值为3-5C.x 1-3y 1+5 +x 2-3y 2+5 的最大值为25+2105D.x 1-3y 1+5 +x 2-3y 2+5 的最小值为10-22【答案】AD【分析】设x =m ,3y =n ，设C (m 1,n 1),D (m 2,n 2)，可得OC =(m 1,n 1)，OD =(m 2,n 2),可得C 、D 两点均在圆m 2+n 2=4的圆上，且∠COD =2π3，根据点到直线的距离公式及圆的性质可得2x 1+3y 1-3 5+2x 2+3y 2-35及x 1-3y 1+52+x 2-3y 2+52的最值，可得答案.【详解】由x 24+9y 24=1，可得x 2+9y 2=4，又P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 是椭圆x 2+9y 2=4上两个不同点,可得x 12+9y 12=4,x 22+9y 22=4，设x =m ,3y =n ，则m 2+n 2=4，设C (m 1,n 1),D (m 2,n 2),O 为坐标原点，可得OC =(m 1,n 1)，OD=(m 2,n 2),可得m 12+n 12=4,m 22+n 22=4，且m 1m 2+n 1n 2=-2，所以OC ⋅OD =-2，cos OC ,OD =OC ⋅ODOC ⋅OD=-12，又OC ,OD ∈0,π ，可得C 、D 两点均在圆m 2+n 2=4的圆上，且∠COD =2π3，设CD 的中点为E ，则OE =2cosπ3=1,根据点到直线的距离公式可知：2x 1+3y 1-35+2x 2+3y 2-35=2m 1+n 1-35+2m 2+n 2-35为点C 、D两点到直线2x+y-3=0的距离d1、d2之和，设E到直线2x+y-3=0的距离d3，由题可知圆心到直线2x+y-3=0的距离为-322+1=35，则d1+d2=2d3≤2EO+3 5=21+35=2+65，d1+d2=2d3≥235-EO=235-1=65-2可得d1+d2的最大值为2+65，d1+d2的最小值为65-2；可得2x1+3y1-3+2x2+3y2-3=5(d1+d2)，可得2x1+3y1-3+2x2+3y2-3的最大值为5×2+65=25+6，最小值为6-25，故A正确，B错误；同理，x1-3y1+52+x2-3y2+52=m1-n1+52+m2-n2+52为点C、D两点到直线x-y+5=0的距离d4、d5之和，设E到直线x-y+5=0的距离d6，由题可知圆心到直线x-y+5=0的距离为512+1=52，则d4+d5=2d6≤252+1=52+2，d4+d5=2d6≥252-1=52-2，可得x1-3y1+5+x2-3y2+5=2(d4+d5)，可得2x1+3y1-3+2x2+3y2-3的最大值为10+22，最小值为10-22，故C错误，D正确.故选：AD.【点睛】关键点睛：本题的关键是把问题转化为圆上点到直线的距离问题，结合到直线的距离公式及圆的性质即得.3.(2023·浙江金华·浙江金华第一中学校考模拟预测)设F1，F2为椭圆x24+y23=1的左，右焦点，直线l过F1交椭圆于A，B两点，则以下说法正确的是()A.△ABF2的周长为定值8B.△ABF2的面积最大值为23C.AF12+AF22的最小值为8 D.存在直线l使得△ABF2的重心为16,14【答案】ACD【分析】利用椭圆的定义可判断A，根据基本不等式结合椭圆的定义可判断C，设直线l的方程为x= my-1，联立椭圆方程利用韦达定理法，可表示出△ABF2的面积，△ABF2的重心进而判断BD.【详解】由椭圆x24+y23=1，可得a=2,b=3,c=1，所以△ABF2为AF1+AF2+BF1+BF2=4a=8，故A正确；因为AF1+AF2=4，所以AF12+AF22≥AF1+AF222=8，当且仅当AF1=AF2取等号，故C正确；由题可设直线l 的方程为x =my -1，由x =my -1x24+y 23=1 ，可得3m 2+4 y 2-6my -9=0，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则y 1+y 2=6m 3m 2+4,y 1y 2=-93m 2+4，所以y 1-y 2 =y 1+y 22-4y 1y 2=6m3m 2+42-4-93m 2+4=12m 2+13m 2+4，所以△ABF 2的面积为S =12F 1F 2 y 1-y 2 =12m 2+13m 2+4，令t =m 2+1，则t ≥1，m 2=t 2-1，所以S =12m 2+13m 2+4=12t 3t 2+1=123t +1t，因为t ≥1，由对勾函数的性质可知3t +1t≥4，所以S =12m 2+13m 2+4=12t 3t 2+1=123t +1t≤3，当t =1，即m =0取等号，故B 错误；由上可知y 1+y 2=6m3m 2+4所以x 1+x 2=m y 1+y 2 -2=6m 23m 2+4-2=-83m 2+4，又F 21,0 ，所以△ABF 2的重心为131-83m 2+4,2m 3m 2+4，令131-83m 2+4 =162m 3m 2+4=14，解得m =2，所以当直线l 的方程为x =2y -1时△ABF 2的重心为16,14，故D 正确.故选：ACD .4.(2023·江苏连云港·统考模拟预测)已知抛物线C ：y 2=2px p >0 的焦点为F ，直线l 与C 交于A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 两点，其中点A 在第一象限，点M 是AB 的中点，作MN 垂直于准线，垂足为N ，则下列结论正确的是()A.若直线l 经过焦点F ，且OA ⋅OB=-12，则p =2B.若AF =3FB ，则直线l 的倾斜角为π3C.若以AB 为直径的圆M 经过焦点F ，则ABMN的最小值为2D.若以AB 为直径作圆M ，则圆M 与准线相切【答案】BC【分析】A 选项，考虑直线斜率为0和不为0两种情况，设出直线方程，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，由OA ⋅OB=-12列出方程，求出p =4，A 错误；B 选项，先得到直线l 经过抛物线焦点，与A 一样，设出直线方程，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，结合y 1=-3y 2求出直线l 的斜率，得到倾斜角；C 选项，设AF =m ,BF =n ，由抛物线定义结合基本不等式得到AB MN的最小值；D选项，与C 一样，考虑直线l 不经过焦点时，得到圆M 与准线相离，D 错误.【详解】A 选项，由题意得：F p 2,0，准线方程为x =-p2，当直线l 的斜率为0时，此时，直线l 与C 只有1个交点，不合题意，故设直线l :x =p2+my ，与y 2=2px 联立得：y 2-2pmy -p 2=0，故y 1+y 2=2pm ,y 1y 2=-p 2，则x 1x 2=y 1y 224p 2=p 24，所以OA ⋅OB =x 1x 2+y 1y 2=p 24-p 2=-12，解得：p =4，A 错误；B 选项，因为AF =3FB，所以A ,F ,B 三点共线，即直线l 经过抛物线焦点，当直线l 的斜率为0时，此时，直线l 与C 只有1个交点，不合题意，故设直线l :x =p2+my ，与y 2=2px 联立得：y 2-2pmy -p 2=0，故y 1+y 2=2pm ,y 1y 2=-p 2，因为AF =3FB ，所以y 1=-3y 2，代入y 1+y 2=2pm ,y 1y 2=-p 2中，得到y 2=-pm ,-3y 22=-p 2，即m 2=13，因为点A 在第一象限，所以y 1>0，故y 2<0，即-pm <0，m >0，解得：m =33故直线l 的斜率为1m=3，设直线l 的倾斜角为θ0≤θ<π ，则tan θ=3，解得：θ=π3，B 正确；C 选项，设AF =m ,BF =n ，过点A 作AQ ⊥准线于点Q ，过点B 作BP ⊥准线于点P ，因为以AB 为直径的圆M 经过焦点F ，所以AF ⊥BF ，则AB =m 2+n 2，由抛物线定义可知：MN =AQ +BP2=AF +BF2=m +n2，由基本不等式得：m 2+n 2≥2mn ，则2m 2+n 2 ≥2mn +m 2+n 2=m +n 2，当且仅当m =n 时，等号成立，故m 2+n 2≥m +n 2，即AB MN=m 2+n 2m +n2=2m 2+n 2m +n≥2，C 正确；D 选项，当直线l 不经过焦点F p2,0时，设AF =m ,BF =n ，由三角形三边关系可知：AF +BF >AB ，由抛物线定义可知结合C 选项可知：AF +BF =2MN >AB ，即MN >AB2，若以AB 为直径作圆M ，则圆M 与准线相离，D 错误.故选：BC【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；(2)代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．5.(2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测)已知抛物线C :x 2=2py (p >0)的焦点为F ，斜率为34的直线l 1过点F 交C 于A ，B 两点，且点B 的横坐标为4，直线l 2过点B 交C 于另一点M (异于点A )，交C 的准线于点D ，直线AM 交准线于点E ，准线交y 轴于点N ，则()A.C 的方程为x 2=4yB.AB =254C.BD <AED.ND ⋅NE =4【答案】ABD【分析】对于A ，根据题意设得F ,B 的坐标，再由直线l 1的斜率求得p ，从而求得抛物线C 的方程，由此判断即可；对于B ，联立直线l 1与抛物线C 的方程，求得A ,B 的坐标，进而求得AB ，由此即可判断；对于D ，设M m ,m 24 ，从而利用直接法求得E ,D 的坐标关于m 的表达式，从而证得ND ⋅NE =4，由此判断即可；对于C ，举反例排除即可.【详解】对于A ，由题意得F 0,p 2 ，B 4,8p，所以k AB =8p-p 24=34，整理得p 2+6p -16=0，又p >0，解得p =2，所以C 的方程为x 2=4y ，故A 正确；对于B ，由选项A 知双曲线C 的准线方程为y =-1，B (4,4)，F (0,1)，直线l 1的方程为y =34x +1，联立x 2=4y y =34x +1 ，解得x =-1或x =4，所以A -1,14 ，则AB =4+12+4-142=254，故B 正确；对于D ，设点M m ,m 24 ，由题意知m ≠±1且m ≠±4，所以直线MA :y -14=m -14x +1 ，令y =-1，得x =-m +4m -1，即E -m +4m -1,-1 ，故NE =m +4m -1，同理可得D 4m -4m +4,-1，故ND =4m -4m +4，所以ND ⋅NE =4m -4m +4 ⋅m +4m -1 =4，故D 正确；对于C ，当m =2时，E (-6,-1)，D 23,-1 ，则AE =5174，BD =5133，则BD >AE ，故C 错误．故选：ABD ．【点睛】关键点睛：本题解决的关键是设M m ,m 24 ，从而利用熟练的运算能力将E ,D 的坐标表示为关于m 的表达式，从而得解.6.(2023·山东青岛·统考一模)已知A 、B 是平面直角坐标系xOy 中的两点，若OA =λOB λ∈R ，OA ⋅OB=r 2r >0 ，则称B 是A 关于圆x 2+y 2=r 2的对称点．下面说法正确的是()A.点1,1 关于圆x 2+y 2=4的对称点是-2,-2B.圆x 2+y 2=4上的任意一点A 关于圆x 2+y 2=4的对称点就是A 自身C.圆x 2+y -b 2=b 2b >0 上不同于原点O 的点M 关于圆x 2+y 2=1的对称点N 的轨迹方程是y =12bD.若定点E 不在圆C :x 2+y 2=4上，其关于圆C 的对称点为D ，A 为圆C 上任意一点，则AD AE为定值【答案】BCD【分析】利用题中定义可判断AB 选项；设点M x 0,y 0 ，其中x 0≠0，设点N x ,y ，可得出x 20+y 20=2by 0，根据题中定义并结合已知条件求出点N 的轨迹方程，可判断C 选项；证明出△AOD ∽△EOA ，可得出AD AE=OA OE，可判断D 选项.【详解】对于A 选项，取点A 1,1 ，设点A 关于圆x 2+y 2=4的对称点为B ，则存在e 使得，OB =e OA ，可得OA ⋅OB =e OA 2=2e =4，则e =2，所以，OB =2OA =2,2 ，因此，点1,1 关于圆x 2+y 2=4的对称点是2,2 ，A 错；对于B 选项，由题意可知OA=2，设点A 关于圆x 2+y 2=4的对称点为点B ，则存在实数k ，使得OB =kOA ，所以，OA ⋅OB =kOA 2=4k =4，可得k =1，即OB =OA ，因此，圆x 2+y 2=4上的任意一点A 关于圆x 2+y 2=4的对称点就是A 自身，B 对；对于C 选项，设点M x 0,y 0 ，其中x 0≠0，设点N x ,y ，因为点M 在圆x 2+y -b 2=b 2b >0 上，则x 20+y 0-b 2=b 2，可得x 20+y 20=2by 0，由题意可知，存在实数m ，使得ON =mOM ，即x =mx 0y =my 0 ，所以，OM ⋅ON =mOM 2=m x 20+y 20 =2bmy 0=2by =1，可得y =12b，因此，点N 的轨迹方程为y =12b，C 对；对于D 选项，设点E x 1,y 1 ，则x 21+y 21≠4，设点D x 2,y 2 ，由题意可知，存在实数t ，使得OD =tOE ，且OD ⋅OE =tOE 2=4，则t >0，所以，OD 、OE 同向，且OD ⋅OE =OD ⋅OE =4=OA 2，所以，OD OA =OA OE ，又因为∠AOD =∠EOA ，所以，△AOD ∽△EOA ，所以，AD AE=OA OE为定值，D 对.故选：BCD .【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：(1)直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；(2)定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；(3)相关点法：用动点Q 的坐标x 、y 表示相关点P 的坐标x 0、y 0，然后代入点P 的坐标x 0,y 0 所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q 的轨迹方程；(4)参数法：当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x 、y 与某一参数t 得到方程，即为动点的轨迹方程；(5)交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.7.(2023·山东济宁·统考一模)已知F 1，F 2是椭圆C 1：x 2a 12+y 2a 22=1(a 1>b 1>0)与双曲线C 2：x 2a 22-y 2a 22=1(a 2>0,b 2>0)的公共焦点，e 1，e 2分别是C 1与C 2的离心率，且P 是C 1与C 2的一个公共点，满足PF 1⋅PF 2=0，则下列结论中正确的是()A.a 12+b 12=a 22-b 22 B.1e 21+1e 22=2C.1e 1+3e 2的最大值为22 D.3e 1+1e 2的最大值为22【答案】BD【分析】根据共焦点得到a 12-b 12=a 22+b 22，A 错误，计算PF 1 =a 1+a 2，PF 2 =a 1-a 2，得到a 12+a 22=2c 2，B 正确，设1e 1=2sin θ，1e 2=2cos θ，代入计算得到C 错误，D 正确，得到答案.【详解】对选项A ：椭圆和双曲线共焦点，故a 12-b 12=a 22+b 22，错误；对选项B ：PF 1 ⋅PF 2 =0，即∠F 1PF 2=π2，PF 1 +PF 2 =2a 1，PF 1 -PF 2 =2a 2，故PF 1 =a 1+a 2，PF 2 =a 1-a 2，故a 1+a 2 2+a 1-a 2 2=4c 2，即a 12+a 22=2c 2，即1e 12+1e 22=2，正确；对选项C ：设1e 1=2sin θ，1e 2=2cos θ，1e 1+3e 2=2sin θ+6cos θ=22sin θ+π3 ，若最大值为22，则θ+π3=π2+2k π,k ∈Z ，θ=π6+2k π,k ∈Z ，1e 1=22，即e 1=2>1，不成立，错误；对选项D ：设1e 1=2sin θ，1e 2=2cos θ，3e 1+1e 2=6sin θ+2cos θ，=22sin θ+π6 ，若最大值为22，则θ+π6=π2+2k π,k ∈Z ，θ=π3+2k π,k ∈Z ，1e 1=62，即e 1=63，1e 2=22，e 2=2，成立，正确；故选：BD【点睛】关键点睛：本题考查了椭圆和双曲线的离心率相关问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用三角换元求最值可以简化运算，是解题的关键.8.(2023·山东济南·一模)在平面直角坐标系xOy 中，由直线x =-4上任一点P 向椭圆x 24+y 23=1作切线，切点分别为A ，B ，点A 在x 轴的上方，则()A.∠APB 恒为锐角B.当AB 垂直于x 轴时，直线AP 的斜率为12C.|AP |的最小值为4D.存在点P ，使得(PA +PO )⋅OA=0【答案】ABD【分析】对于A 项，利用椭圆的切点弦方程可得l AB 过椭圆左焦点，再判定以AB 为直径的圆与直线x =-4的位置关系即可；对于B 项，当AB 垂直于x 轴时，可直接解得切线方程判定即可；对于C 项，特殊值法判定即可；对于D 项，取OA 中点M ，易知PM ⊥OA ，建立方程计算即可.【详解】对于A 项，设切线方程为l :y =kx +m ,P -4,t 、A x 1,y 1 、B x 2,y 2 联立y =kx +m3x 2+4y 2-12=0得：4k 2+3 x 2+8km +4m 2-12=0，∵直线与椭圆相切，故Δ=0,则x 1=-4km 4k 2+3,y 1=3m 4k 2+3∴k =-3x 14y 1,m =3y 1，∴切线PA 的方程为l PA :x 1x 4+y 1y 3=1，同理切线PB 的方程为l :x 2x4+y 2y 3=1而P 点在l PA 、l PB 上，故-4x 14+y 1t 3=1-4x 24+y 2t 3=1，又A x 1,y 1 、B x 2,y 2 满足该方程组，故l AB :-4x 4+ty 3=1，显然l AB 过定点-1,0 即椭圆左焦点.以AB 为直径的圆半径最大无限接近a ，但该圆与x =-4一直相离，即∠APB 始终为锐角，A 正确；对于B 项，由A 得l AB :-4x 4+ty 3=1，AB ⊥x 轴时，t =0，易得A -1,32、P -4,0 ，∴k PA =32-0-1--4=12，故B 正确；对于C 项，由B 知AB ⊥x 轴时，A -1,32 、P -4,0 此时PA =352<4，故C 错误；对于D 项，取AO 中点M ，若(PA +PO )⋅OA =0则2PM ⋅AO=0,∴PM ⊥AO ，即△PAO 为等腰三角形，PA 2=x 1+4 2+y 1-t 2=PO 2=16+t 2，化简得x 12+y 12+8x 1-2ty 1=0，由A 知：ty 1=3x 1+3,y 12=31-x 124，整理得：x 12+8x 1-12=0,∴x 1=27-4，显然存在P 满足题意，故D 正确；故选：ABD【点睛】本题考查圆锥曲线的综合应用，属于压轴题.对于小题，提高效率可以用特殊值法，极端位置猜测，这里也需要积累一些比较常用的二级结论：(1)过椭圆x 2a 2+y 2b 2=1上一点x 0,y 0 的切线方程x 0x a 2+y 0y b2=1，(2)椭圆x 2a 2+y 2b 2=1外一点x 0,y 0 引两条切线，切点连线方程为x 0x a 2+y 0y b2=1；(3)椭圆x 2a 2+y 2b 2=1的准线方程：x =±a 2c ，过准线引椭圆的两条切线，切点连线过对应焦点.9.(2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测)已知AB ，CD 是经过抛物线y 2=2x 焦点F 的互相垂直的两条弦，若AB 的倾斜角为锐角，C ，A 两点在x 轴上方，则下列结论中一定成立的是()A.AB 2+CD 2最小值为32B.设P x ,y 为抛物线上任意一点，则x +x -322+y -22的最小值为5C.若直线CD 的斜率为-3，则AF ⋅BF =4D.OA ⋅OB +OC ⋅OD =-32【答案】AD【分析】选项AC :数形结合推导出|AF |=p 1-cos α,|BF |=p1+cos α,应用公式求解和判断；选项B ：根据抛物线定义和性质转化求解；选项D ：联立方程，应用韦达定理证得：OA ⋅OB =OC ⋅OD =-34p 2即可判断；【详解】设直线AB 的倾斜角为α.AF =AA 1 =p +FH =p +AF cos α，则AF 1-cos α =p ，即AF =p 1-cos α，同理可得BF =p1+cos α.y 2=2x ,根据定义得：p =1,焦点坐标12,0；选项A ：AB 2+CD 2=2p sin θ 2 2+2p sin θ+π2 22=4p 2sin θ 4+4p 2cos θ 4≥8sin θ 2cos θ 2(当且仅当θ=π4时等号成立)8sin θ 2cos θ 2=812sin2θ2=32sin 22θ≥32，因为sin2θ∈-1,1 ，所以AB 2+CD 2=32sin 22θ≥32,故A 正确；选项B ：令Q 32,2 ,x +x -32 2+y -2 2=x +p2+x -322+y -2 2-p2转换成抛物线上的点到焦点的距离,x +x -322+y -2 2=PF +PQ -12≥FQ -12=32-122+2-0 2-12=5-12,故B 错误；选项C ：tan θ=-3,根据三角函数间关系得：cos θ=-12,AF ⋅BF =p 1-cos α⋅p 1+cos α=43，故C 错误；选项D :因为AB 的斜率为k ，AB ⊥CD ，所以k CD =-1k ，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，AB 的方程为y =k x -p2 ，由y =k x -p2y 2=2px可得，k 2x 2-p (k 2+2)x +14k 2p 2=0，x 1+x 2=p (k 2+2)k 2x 1x 2=14p2，OA ⋅OB =x 1x 2+y 1y 2=14p 2+k 2x 1-p 2 x 2-p 2=14p 2+k 2x 1x 2-p 2x 1+x 2 +14p 2 =14p 2+12k 2p 2-p 2(k 2+2)2=-34p 2与k 无关，同理OC ⋅OD =-34p 2，故OA ⋅OB +OC ⋅OD =-32p 2=-32,即OA ⋅OB +OC ⋅OD =-32故D 正确；故选：AD ;10.(2023·湖南·模拟预测)已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的左、右焦点，C 的一条渐近线l 的方程为y =3x ，且F 1到l 的距离为33，点P 为C 在第一象限上的点，点Q 的坐标为2,0 ，PQ 为∠F 1PF 2的平分线．则下列正确的是()A.双曲线的方程为x 29-y 227=1B.PF 1=3 PF 2C.OP =36D.点P 到x 轴的距离为3152【答案】ACD【分析】由F 1到l 的距离为33以及渐近线方程为y =3x 可求得a =3,b =33,c =6，即可得出方程，判断A ；由PF 1PF 2 =QF 1QF 2 可求出判断B ；结合双曲线定义可求得PF 1 =12,PF 2 =6，求出cos ∠F 1PF 2，即可求出PF 1 +PF 2，判断C ；利用等面积法可求得点P 到x 轴的距离，判断D .【详解】F 1-c ，0 到y =3x 的距离为33，3c2=33，解得c =6，又渐近线方程为y =3x ，则ba=3，结合a 2+b 2=c 2可解得a =3，b =33，则双曲线的方程为x 29-y 227=1，故A 正确；PQ 为∠F 1PF 2的平分线，PF 1 PF 2=QF 1 QF 2=84=2，故B 错误；由双曲线定义可得PF 1- PF 2 =6，则可得PF 1 =12，PF 2 =6，则在△PF 1F 2中，cos ∠F 1PF 2=122+62-1222×12×6=14，则|PF 1 +PF 2 |2=PF 1 2+2PF 1 ⋅PF 2 +PF 2 2=122+2×12×6×14+62=216，则PF 1 +PF 2 =2PO=66，即OP =36，故C 正确；在△PF 1F 2中，sin ∠F 1PF 2=1-cos 2∠F 1PF 2=154，设点P 到x 轴的距离为d ，则S △PF 1F 2=12×F 1F 2×d =12PF 1× PF 2 ×sin ∠F 1PF 2，即12×12×d =12×12×6×154，解得d =3152，故D 正确．故选：ACD .【点睛】关键点点睛：是根据已知求出双曲线方程，结合双曲线的定义求得焦点三角形的各边长.11.(2023·湖南·模拟预测)已知椭圆：Γ:x 2a2+y 23=1(a >3)的左、右焦点分别为F 1、F 2，右顶点为A ，点M 为椭圆Γ上一点，点I 是△MF 1F 2的内心，延长MI 交线段F 1F 2于N ，抛物线y 2=158(a +c )x (其中c为椭圆下的半焦距)与椭圆Γ交于B ，C 两点，若四边形ABF 1C 是菱形，则下列结论正确的是()A.|BC |=352 B.椭圆Γ的离心率是32C.1MF 1 +4MF 2的最小值为94 D.|IN ||MI |的值为12【答案】ACD【分析】对于A ，利用椭圆与抛物线的对称性得到m =12a -c ，从而将B m ,n 代入抛物线方程得到n =354，进而得以判断；对于B ，将B m ,n 代入椭圆Γ的方程得到a =2c ，由此得以判断；对于C ，利用椭圆的定义与基本不等式“1”的妙用即可判断；对于D ，利用三角形内心的性质与三角形角平分线的性质，结合比例的性质即可判断.【详解】对于A ，因为椭圆Γ:x 2a 2+y 23=1(a >3)的左、右焦点分别为F 1、F 2，右顶点为A ，则A a ,0 ，F 1-c ,0 ，F 2-c ,0 ，b 2=3，因为抛物线y 2=158(a +c )x (其中c 为椭圆下的半焦距)与椭圆Γ交于B ，C 两点，所以由椭圆与抛物线的对称性可得，B ,C 两点关于x 轴对称，不妨设B m ,n ，C m ,-n ，n >0，因为四边形ABF 1C 是菱形，所以BC 的中点是AF 1的中点，所以由中点坐标公式得2m =a -c ，则m =12a -c ，将B m ,n 代入抛物线方程y 2=158(a +c )x 得，n 2=158a +c m =1516a +c a -c =1516a 2-c 2，所以n 2=1516b 2=4516，则n =354，所以|BC |=2n =352，故A 正确；对于B ，由选项A 得B 12a -c ,354 ，再代入椭圆方程得14⋅a -c 2a2+4516×3=1，化简得a -c2a2=14，则a -c a =12，故a =2c ，所以e =c a =12，故B 错误；对于C ，由选项B 得a =2c ，所以b 2=a 2-c 2=3c 2=3，则c =1,a =2，所以MF 1 +MF 2 =2a =4，不妨设MF 1 =s ,MF 2 =t ，则s +t =4，且s >0,t >0，所以1MF 1 +4MF 2=1s +4t =14s +t 1s +4t =145+t s +4s t ≥145+2t s ⋅4s t =94，当且仅当t s =4s t 且s +t =4，即s =43,t =83，即MF 1 =43,MF 2 =83时，等号成立，所以1MF 1 +4MF 2 的最小值为94，故C 正确；对于D ，连接IF 1和IF 2，如图，因为△MF 1F 2的内心为I ，所以IF 1为∠MF 1F 2的平分线，则有MF 1 F 1N=MI IN，同理：MF 2 F 2N=MI IN，所以MF 1 F 1N=MF 2 F 2N=MI IN，所以MI IN=MF 1 +MF 2 F 1N +F 2N=2a 2c =2，所以|IN ||MI |=12，故D 正确.故选：ACD .【点睛】关键点睛：本题的关键点是利用椭圆与抛物线的对称性，可设B ,C 的坐标，再由菱形的性质与中点坐标公式推得m =12a -c ，从而求得a ,c 的值，由此得解.三、填空题1.(2023·广东揭阳·校考模拟预测)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的焦点为F 1,F 2，P 是双曲线上一点，且∠F 1PF 2=π3.若ΔF 1PF 2的外接圆和内切圆的半径分别为R ,r ，且R =4r ，则双曲线的离心率为.【答案】2721．【分析】在△F 1PF 2中，利用正弦定理：2R =F 1F 2sin ∠F 1PF 2，求得R =233c ，r =14R =36c ，设PF 1 =m ,PF 2 =n ，再利用余弦定理求得mn ，然后由S △F 1PF 2=12mn sin π3=12m +n +2c r 求解．【详解】双曲线的焦点为F 1-c ,0 ,F 2c ,0 ,F 1F 2 =2c ，在△F 1PF 2中，由正弦定理得：2R =F 1F 2sin ∠F 1PF 2=2c sin π3=433c ，解得R =233c ，r =14R =36c ，设PF 1 =m ,PF 2 =n ，在△F 1PF 2中，由余弦定理得：4c 2=m 2+n 2-2mn cos π3=m -n 2+mn ，解得mn =4c 2-a 2 ，所以S △F 1PF 2=12mn sin π3=3c 2-a 2 ，因为m +n 2=m -n 2+4mn =4a 2+16c 2-a 2 =16c 2-12a 2又S △F 1PF 2=12m +n +2c r =3c m +n +2c12，所以3c 2-a 2=3c m +n +2c 12，则m +n =10c 2-12a 2c所以m +n 2=10c 2-12a 2c2=16c 2-12a 2整理得21c 4+36a 4-57a 2c 2=0，则c 2-a 2 21c 2-36a 2 =0解得e =c a =2217或e =1(舍去)故答案为：2217．【点睛】关键点点睛：本题的关键在于结合正余定理以及S △F 1PF 2=12mn sin π3=12m +n +2c r 化简求解．2.(2023·浙江·校联考三模)已知椭圆E :x 24+y 2=1，椭圆的左右焦点分别为F 1,F 2，点A (m ,n )为椭圆上一点且m >0,n >0，过A 作椭圆E 的切线l ，并分别交x =2、x =-2于C 、D 点．连接CF 1、DF 2，CF 1与DF 2交于点E ，并连接AE ．若直线l ，AE 的斜率之和为32，则点A 坐标为．【答案】2,22 ##2,122 【分析】设直线l 的程y =kx +b ，利用直线与椭圆相切，联立方程，则Δ=0，即4k 2=b 2-1，最后得到切线方程为mx4+ny =1，再求出C ,D 坐标，写出直线直线DF 2，CF 1的方程，联立解出E 点坐标，最后得到m =2n ，再联立m 24+n 2=1，解出即可.【详解】由椭圆E :x 24+y 2=1可得F 1(-3,0),F 2(3,0)，。
2021高考数学二轮复习三核心热点突破专题五解析几何规范答题示范课_解析几何解答题课件2021031
(2)设 P(xP，yP)，Q(6，yQ)，根据对称性可设 yQ>0， 由题意知 yP>0. 由已知可得 B(5，0)，直线 BP 的方程为 y＝－y1Q(x－5)， 所以|BP|＝yP 1＋y2Q，|BQ|＝ 1＋y2Q.5 分 因为|BP|＝|BQ|，所以 yP＝1. 将 yP＝1 代入 C 的方程，解得 xP＝3 或－3. 由直线 BP 的方程得 yQ＝2 或 8， 所以点 P，Q 的坐标分别为 P1(3，1)，Q1(6，2)；P2(－3，1)，Q2(6，8).7 分 所以|P1Q1|＝ 10，直线 P1Q1 的方程为 y＝13x，
点 A(－5，0)到直线 P1Q1 的距离为 210， 故△AP1Q1 的面积为12× 210× 10＝52.9 分 |P2Q2|＝ 130，直线 P2Q2 的方程为 y＝79x＋130， 点 A 到直线 P2Q2 的距离为 21630， 故△AP2Q2 的面积为12× 21630× 130＝52.11 分 综上，△APQ 的面积为52.12 分
x1＋x2＝k－2＋2k4t，x1x2＝kt22－＋44.
由m⊥n，即m·n＝0，得4x1x2＋y1y2＝0， 所以4x1x2＋(kx1＋t)(kx2＋t)＝0， 即(k2＋4)x1x2＋kt(x1＋x2)＋t2＝0. 所以(k2＋4)·kt22－＋44＋kt·k－2＋2k4t＋t2＝0， 整理得2t2－k2＝4，满足(*)式.
解
e＝ (1)由题意得，
a2a－b2＝
a12＋43b2＝1，
23，解得ab＝ ＝21， . 所以椭圆
C
的方程为y42＋x2＝1.
(2)①当直线 AB 的斜率不存在时，x1＝x2，y1＝－y2，
由 m⊥n，即 m·n＝0，得 4x21－y21＝0，所以 y21＝4x21. 又 A(x1，y1)在椭圆 C 上，所以44x12＋x21＝1，解得|x1|＝ 22，所以|y1|＝ 2，
2020-2022年高考数学真题分类汇编专题05 平面解析几何+立体几何(教师版+学生版)
专题05 平面解析几何1．【2021年新高考1卷】已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y+=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ）A ．13B ．12C ．9D ．6【答案】C【分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MF MF a +==，借助基本不等式212122MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤ ⎪⎝⎭即可得到答案．【解析】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）． 故选：C ．2．【2021年新高考2卷】抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+的距离为2，则p =（ ） A ．1 B ．2 C ．22 D ．4【答案】B【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得p 的值. 【解析】抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，其到直线10x y -+=的距离：012211pd -+==+，解得：2p =(6p =-舍去).故选：B. 3．【2022年新高考1卷】已知O 为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C 于P ，Q 两点，则（ ）A ．C 的准线为B ．直线AB 与C 相切 C ．D ．【答案】BCD【分析】求出抛物线方程可判断A ，联立AB 与抛物线的方程求交点可判断B ，利用距离公式及弦长公式可判断C、D.【解析】将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误；，所以直线的方程为，联立，可得，解得，故B正确；设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，所以，直线的斜率存在，设其方程为，，联立，得，所以，所以或，，又，，所以，故C正确；因为，，所以，而，故D正确.故选：BCD 4．【2022年新高考2卷】已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（）A．直线的斜率为B．C．D．【答案】ACD【分析】由及抛物线方程求得，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线的方程，联立抛物线求得，即可求出判断B选项；由抛物线的定义求出即可判断C选项；由，求得，为钝角即可判断D选项.【解析】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A 正确；对于B ，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，设，则，则，代入抛物线得，解得，则，则，B 错误；对于C ，由抛物线定义知：，C 正确；对于D ，，则为钝角， 又，则为钝角，又，则，D 正确.故选：ACD.5．【2021年新高考1卷】已知点P 在圆()()225516x y -+-=上，点()4,0A 、()0,2B ，则（ ）A ．点P 到直线AB 的距离小于10 B ．点P 到直线AB 的距离大于2C ．当PBA ∠最小时，32PB =D ．当PBA ∠最大时，32PB =【答案】ACD【分析】计算出圆心到直线AB 的距离，可得出点P 到直线AB 的距离的取值范围，可判断AB 选项的正误；分析可知，当PBA ∠最大或最小时，PB 与圆M 相切，利用勾股定理可判断CD 选项的正误.【解析】圆()()225516x y -+-=的圆心为()5,5M ，半径为4，直线AB 的方程为142x y +=，即240x y +-=，圆心M 到直线AB 的距离为2252541111545512+⨯-==>+，所以，点P 到直线AB 的距离的最小值为115425-<，最大值为1154105+<，A 选项正确，B 选项错误；如下图所示：当PBA ∠最大或最小时，PB 与圆M 相切，连接MP 、BM ，可知PM PB ⊥，()()22052534BM =-+-4MP =，由勾股定理可得2232BP BM MP =-=CD 选项正确.故选：ACD.【点睛】结论点睛：若直线l 与半径为r 的圆C 相离，圆心C 到直线l 的距离为d ，则圆C 上一点P 到直线l 的距离的取值范围是[],d r d r -+.6．【2021年新高考2卷】已知直线2:0l ax by r +-=与圆222:C x y r +=，点(,)A a b ，则下列说法正确的是（ ）A ．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B ．若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离 C ．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切 【答案】ABD【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为222,a b r +的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解. 【解析】圆心()0,0C 到直线l的距离2d =若点(),A a b 在圆C 上，则222a b r +=，所以2d r =，则直线l 与圆C 相切，故A 正确；若点(),A a b 在圆C 内，则222a b r +<，所以2d r =，则直线l 与圆C 相离，故B 正确；若点(),A a b 在圆C 外，则222a b r +>，所以2d r =，则直线l 与圆C 相交，故C 错误；若点(),A a b 在直线l 上，则2220a b r +-=即222=a b r +，所以2d r ，直线l 与圆C 相切，故D 正确.故选：ABD.7．【2020年新高考1卷（山东卷）】已知曲线22:1C mx ny +=.（ ） A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若m =n >0，则CC ．若mn <0，则C是双曲线，其渐近线方程为y = D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线 【答案】ACD【分析】结合选项进行逐项分析求解，0m n >>时表示椭圆，0m n =>时表示圆，0mn <时表示双曲线，0,0m n =>时表示两条直线.【解析】对于A ，若0m n >>，则221mx ny +=可化为22111x y m n +=， 因为0m n >>，所以11m n<， 即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；对于B ，若0m n =>，则221mx ny +=可化为221x y n+=， 此时曲线C 表示圆心在原点，半径为nn的圆，故B 不正确； 对于C ，若0mn <，则221mx ny +=可化为22111x y m n +=，此时曲线C 表示双曲线， 由220mx ny +=可得my x n=±-，故C 正确； 对于D ，若0,0m n =>，则221mx ny +=可化为21y n=， ny n=±，此时曲线C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确； 故选：ACD.【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 8．【2022年新高考1卷】写出与圆和都相切的一条直线的方程________________． 【答案】或或【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可. 【解析】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切线为l时，因为，所以，设方程为O到l的距离，解得，所以l的方程为，当切线为m时，设直线方程为，其中，，由题意，解得，当切线为n时，易知切线方程为，故答案为：或或.9．【2022年新高考1卷】已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是________________．【答案】13【分析】利用离心率得到椭圆的方程为，根据离心率得到直线的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线的斜率，写出直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，利用弦长公式求得，得，根据对称性将的周长转化为的周长，利用椭圆的定义得到周长为.【解析】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为，直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，判别式，∴，∴，得，∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为.故答案为：13.10．【2022年新高考2卷】设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________．【答案】【分析】首先求出点关于对称点的坐标，即可得到直线的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；【解析】解：关于对称的点的坐标为，在直线上，所以所在直线即为直线，所以直线为，即；圆，圆心，半径，依题意圆心到直线的距离，即，解得，即；故答案为：11．【2022年新高考2卷】已知直线l 与椭圆在第一象限交于A ，B 两点，l 与x轴，y 轴分别交于M ，N 两点，且，则l 的方程为___________．【答案】【分析】令的中点为，设，，利用点差法得到，设直线，，，求出、的坐标，再根据求出、，即可得解； 【解析】解：令的中点为，因为，所以，设，，则，，所以，即所以，即，设直线，，，令得，令得，即，，所以， 即，解得或（舍去），又，即，解得或（舍去），所以直线，即；故答案为：12．【2021年新高考1卷】已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y px =(0p >)的焦点为F ，P为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则C 的准线方程为______. 【答案】32x =-【分析】先用坐标表示P Q ，，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得p ，即得结果. 【解析】抛物线C ：22y px = (0p >)的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭,∵P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直， 所以P 的横坐标为2p ，代入抛物线方程求得P 的纵坐标为p ±,不妨设(,)2pP p ,因为Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，所以Q 在F 的右侧， 又||6FQ =，(6,0),(6,)2pQ PQ p ∴+∴=- 因为PQ OP ⊥，所以PQ OP ⋅=2602pp ⨯-=, 0,3p p >∴=，所以C 的准线方程为32x =-故答案为：32x =-.【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.13．【2021年新高考2卷】若双曲线22221x y a b -=的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________.【答案】y =【分析】根据离心率得出2c a =，结合222+=a b c 得出,a b 关系，即可求出双曲线的渐近线方程.【解析】由题可知，离心率2ce a==，即2c a =，又22224a b c a +==，即223b a =，则ba=故此双曲线的渐近线方程为y =.故答案为：y =.14．【2020年新高考1卷（山东卷）C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________． 【答案】163【分析】先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去y 并整理得到关于x 的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果.【解析】∵抛物线的方程为24y x =，∴抛物线的焦点F 坐标为(1,0)F ， 又∵直线AB 过焦点F 且斜率为3，∴直线AB 的方程为：3(1)y x =- 代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=，解法一：解得121,33x x == ，所以212116||1||13|3|33AB k x x =+-=+⋅-=解法二：10036640∆=-=>，设1122(,),(,)A x y B x y ，则12103x x +=, 过,A B 分别作准线1x =-的垂线，设垂足分别为,C D 如图所示. 12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=3x x =+故答案为：163【点睛】本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础题. 15．【2022年新高考1卷】已知点在双曲线上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线的斜率之和为0．(1)求l 的斜率； (2)若，求的面积．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）由点在双曲线上可求出，易知直线l的斜率存在，设，，再根据，即可解出l的斜率；（2）根据直线的斜率之和为0可知直线的倾斜角互补，再根据即可求出直线的斜率，再分别联立直线与双曲线方程求出点的坐标，即可得到直线的方程以及的长，由点到直线的距离公式求出点到直线的距离，即可得出的面积．【解析】(1)因为点在双曲线上，所以，解得，即双曲线易知直线l的斜率存在，设，，联立可得，，所以，，．所以由可得，，即，即，所以，化简得，，即，所以或，当时，直线过点，与题意不符，舍去，故．(2)不妨设直线的倾斜角为，因为，所以，因为，所以，即，即，解得，于是，直线，直线，联立可得，，因为方程有一个根为，所以，，同理可得，，．所以，，点到直线的距离，故的面积为．16．【2022年新高考2卷】已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．(1)求C的方程；(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M在上；②；③．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【答案】(1)；(2)见解析【分析】（1）利用焦点坐标求得的值，利用渐近线方程求得的关系，进而利用的平方关系求得的值，得到双曲线的方程；（2）先分析得到直线的斜率存在且不为零，设直线AB的斜率为k,M(x0,y0),由③|AM|=| BM|等价分析得到；由直线和的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公式得到直线PQ的斜率，由②等价转化为，由①在直线上等价于，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可.【解析】(1)右焦点为，∴,∵渐近线方程为，∴，∴，∴，∴，∴．∴C的方程为：；(2)由已知得直线的斜率存在且不为零，直线的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线的斜率存在且不为零；若选①③推②，则为线段的中点，假若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知在轴上，即为焦点,此时由对称性可知、关于轴对称，与从而，已知不符；总之，直线的斜率存在且不为零.设直线的斜率为,直线方程为,则条件①在上，等价于；两渐近线的方程合并为,联立消去y并化简整理得：设,线段中点为,则,设,则条件③等价于,移项并利用平方差公式整理得：，,即,即；由题意知直线的斜率为, 直线的斜率为,∴由,∴,所以直线的斜率,直线,即,代入双曲线的方程,即中，得：,解得的横坐标：,同理：，∴∴, ∴条件②等价于，综上所述：条件①在上，等价于；条件②等价于；条件③等价于；选①②推③:由①②解得：,∴③成立；选①③推②：由①③解得：，，∴，∴②成立；选②③推①：由②③解得：，，∴，∴，∴①成立.17．【2021年新高考1卷】在平面直角坐标系xOy 中，已知点()117,0F -、()21217,02F MF MF -=，，点M 的轨迹为C .（1）求C 的方程； （2）设点T 在直线12x =上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q 两点，且TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.【答案】（1）()221116y x x -=≥；（2）0. 【分析】(1) 利用双曲线的定义可知轨迹C 是以点1F 、2F 为左、右焦点双曲线的右支，求出a 、b 的值，即可得出轨迹C 的方程；(2)方法一：设出点的坐标和直线方程，联立直线方程与曲线C 的方程，结合韦达定理求得直线的斜率，最后化简计算可得12k k +的值. 【解析】(1) 因为12122217MF MF F F -=<=，所以，轨迹C 是以点1F 、2F 为左、右焦点的双曲线的右支，设轨迹C 的方程为()222210,0x y a b a b -=>>，则22a =，可得1a =，2174b a =-=，所以，轨迹C 的方程为()221116y x x -=≥.（2）[方法一] 【最优解】：直线方程与双曲线方程联立，如图所示，设1(,)2T n ,设直线AB 的方程为112211(),,(2,(),)y n k x A x y B x y -=-．联立1221()2116y n k x y x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,化简得22221111211(16)(2)1604k x k k n x k n k n -+---+-=.则22211112122211111624,1616k n k n k k n x x x x k k +-+-+==--．故12,11||)||)22TA x TB x --．则222111221(12)(1)11||||(1)()()2216n k TA TB k x x k ++⋅=+--=-．设PQ 的方程为21()2y n k x -=-，同理22222(12)(1)||||16n k TP TQ k ++⋅=-． 因为TA TB TP TQ ⋅=⋅，所以22122212111616k k k k ++=--，化简得22121717111616k k +=+--，所以22121616k k -=-，即2212k k =．因为11k k ≠，所以120k k +=．[方法二] ：参数方程法设1(,)2T m ．设直线AB 的倾斜角为1θ，则其参数方程为111cos 2sin x t y m t θθ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩，联立直线方程与曲线C 的方程2216160(1)x y x --≥=，可得222221111cos 116(cos )(sin 2sin )1604t m t t mt θθθθ+-++-=+，整理得22221111(16cos sin )(16cos 2sin )(12)0t m t m θθθθ-+--+=．设12,TA t TB t ==，由根与系数的关系得2212222111(12)12||||16cos sin 117cos t m m TA TB t θθθ-++⋅===--⋅．设直线PQ 的倾斜角为2θ，34,TP t TQ t ==，同理可得2342212||||117cos m T T t P Q t θ+⋅==-⋅ 由||||||||TA TB TP TQ ⋅=⋅，得2212cos cos θθ=．因为12θθ≠，所以12s o o s c c θθ=-．由题意分析知12θθπ+=．所以12tan tan 0θθ+=， 故直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和为0． [方法三]：利用圆幂定理因为TA TB TP TQ ⋅=⋅，由圆幂定理知A ，B ，P ，Q 四点共圆．设1(,)2T t ,直线AB 的方程为11()2y t k x -=-，直线PQ 的方程为21()2y t k x -=-,则二次曲线1212()()022k kk x y t k x y t --+--+=． 又由22116y x -=，得过A ，B ，P ，Q 四点的二次曲线系方程为：221212()()(1)0(0)2216k k y k x y t k x y t x λμλ--+--++--=≠，整理可得：[]2212121212()()()()16k x y k k xy t k k k k k x μμλλλλ++--+++-12(2)02y k k t m λ++-+=，其中21212()42k k t m t k k λμ⎡⎤=+-+-⎢⎥⎣⎦． 由于A ，B ，P ，Q 四点共圆，则xy 项的系数为0，即120k k +=.【整体点评】(2)方法一：直线方程与二次曲线的方程联立，结合韦达定理处理圆锥曲线问题是最经典的方法，它体现了解析几何的特征，是该题的通性通法，也是最优解； 方法二：参数方程的使用充分利用了参数的几何意义，要求解题过程中对参数有深刻的理解，并能够灵活的应用到题目中.方法三：圆幂定理的应用更多的提现了几何的思想，二次曲线系的应用使得计算更为简单.18．【2021年新高考2卷】已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，右焦点为F ，（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN =【答案】（1）2213x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）由离心率公式可得a =2b ，即可得解；（2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证MN充分性：设直线():,0MN y kx b kb =+<，由直线与圆相切得221b k =+，联立直线与椭圆方=1k =±，即可得解.【解析】（1）由题意，椭圆半焦距c =c e a ==，所以a = 又2221b a c =-=，所以椭圆方程为2213x y +=；（2）由（1）得，曲线为221(0)x y x +=>，当直线MN 的斜率不存在时，直线:1MN x =，不合题意； 当直线MN 的斜率存在时，设()()1122,,,M x y N x y ， 必要性：若M ，N ，F三点共线，可设直线(:MN y k x =即0kx y --=，由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>1=，解得1k =±，联立(2213y x x y ⎧=±⎪⎨⎪+=⎩可得2430x -+=，所以1212324x x x x +=⋅=，所以MN 所以必要性成立；充分性：设直线():,0MN y kx b kb =+<即0kx y b -+=， 由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>1=，所以221b k =+，联立2213y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222136330k x kbx b +++-=， 所以2121222633,1313kb b x x x x k k -+=-⋅=++，所以MN ==()22310k -=，所以1k =±， 所以1k b =⎧⎪⎨=⎪⎩或1k b =-⎧⎪⎨=⎪⎩:MN y x=y x =-，所以直线MN 过点F ，M ，N ，F 三点共线，充分性成立； 所以M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN = 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用，注意运算的准确性是解题的重中之重.19．【2020年新高考1卷（山东卷）】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>过点()2,1A ． （1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．【答案】（1）22163x y +=；（2）详见解析.【分析】（1）由题意得到关于,,a b c 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程.（2）方法一：设出点M ，N 的坐标，在斜率存在时设方程为y kx m =+, 联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已得到,m k 的关系，进而得直线MN 恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点Q 的位置. 【解析】（1）由题意可得：22222411c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：2226,3a b c ===，故椭圆方程为：22163x y +=.(2)［方法一］：通性通法 设点()()1122,,,M x y N x y ，若直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为：y kx m =+， 代入椭圆方程消去y 并整理得：()222124260kxkmx m +++-=，可得122412km x x k +=-+，21222612m x x k -=+，因为AM AN ⊥，所以·0AM AN =，即()()()()121222110x x y y --+--=， 根据1122,kx m y kx m y =+=+,代入整理可得：()()()()22121212140x x km k x x km ++--++-+=，所以()()()22222264121401212m km k km k m k k -⎛⎫++---+-+= ⎪++⎝⎭， 整理化简得()()231210k m k m +++-=，因为(2,1)A 不在直线MN 上，所以210k m +-≠，故23101k m k ++=≠，，于是MN 的方程为2133y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()1k ≠，所以直线过定点直线过定点21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.当直线MN 的斜率不存在时，可得()11,N x y -， 由·0AM AN =得：()()()()111122110x x y y --+---=， 得()1221210x y -+-=，结合2211163x y +=可得：2113840x x -+=， 解得：123x =或22x =（舍）.此时直线MN 过点21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 令Q 为AP 的中点，即41,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭，若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt ADP △的斜边，故12DQ AP =， 若D 与P 重合，则12DQ AP =，故存在点41,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得DQ 为定值. ［方法二］【最优解】：平移坐标系将原坐标系平移，原来的O 点平移至点A 处，则在新的坐标系下椭圆的方程为22(2)(1)163x y +++=，设直线MN 的方程为4mx ny ．将直线MN 方程与椭圆方程联立得224240x x y y +++=，即22()2()0x mx ny x y mx ny y +++++=，化简得22(2)()(1)0n y m n xy m x +++++=，即2(2)()(1)0y y n m n m x x ⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．设()()1122,,,M x y N x y ，因为AM AN ⊥则1212AM AN y y k k x x ⋅=⋅112m n +==-+，即3m n =--． 代入直线MN 方程中得()340n y x x ---=．则在新坐标系下直线MN 过定点44,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则在原坐标系下直线MN 过定点21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．又AD MN ⊥，D 在以AP 为直径的圆上．AP 的中点41,33⎛⎫⎪⎝⎭即为圆心Q ．经检验，直线MN 垂直于x 轴时也成立．故存在41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得1||||2DQ AP =．［方法三］：建立曲线系 A 点处的切线方程为21163x y ⨯⨯+=，即30x y +-=．设直线MA 的方程为11210k x y k --+=，直线MB 的方程为22210k x y k --+=，直线MN 的方程为0kx y m -+=．由题意得121k k ．则过A ，M ，N 三点的二次曲线系方程用椭圆及直线,MA MB 可表示为()()22112212121063x y k x y k k x y k λ⎛⎫+-+--+--+= ⎪⎝⎭（其中λ为系数）． 用直线MN 及点A 处的切线可表示为()(3)0kx y m x y μ-+⋅+-=（其中μ为系数）．即()()22112212121()(3)63x y k x y k k x y k kx y m x y λμ⎛⎫+-+--+--+=-++- ⎪⎝⎭． 对比xy 项、x 项及y 项系数得()()()121212(1),4(3),21(3).k k k k k m k k k m λμλμλμ⎧+=-⎪++=-⎨⎪+-=+⎩①②③将①代入②③，消去,λμ并化简得3210m k ++=，即2133m k =--．故直线MN 的方程为2133y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，直线MN 过定点21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．又AD MN ⊥，D 在以AP 为直径的圆上．AP 中点41,33⎛⎫⎪⎝⎭即为圆心Q ．经检验，直线MN 垂直于x 轴时也成立．故存在41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得1||||2DQ AP ==．［方法四］：设()()1122,,,M x y N x y ．若直线MN 的斜率不存在，则()()1111,,,M x y N x y -． 因为AM AN ⊥，则0AM AN ⋅=，即()1221210x y -+-=．由2211163x y +=，解得123x =或12x =（舍）．所以直线MN 的方程为23x =．若直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为y kx m =+，则()()()222122()6120x kx m k x x x x ++-=+--=．令2x =，则()()1222(21)(21)2212k m k m x x k +-++--=+．又()()221221262y m y y y y y k k -⎛⎫⎛⎫+-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令1y =，则()()122(21)(21)1112k m k m y y k +--+---=+．因为AM AN ⊥，所以()()()()12122211AM AN x x y y ⋅=--+--2(21)(231)12k m k m k +-++=+0=，即21m k =-+或2133m k =--．当21m k =-+时，直线MN 的方程为21(2)1y kx k k x =-+=-+．所以直线MN 恒过(2,1)A ，不合题意；当2133m k =--时，直线MN 的方程为21213333y kx k k x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，所以直线MN 恒过21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．综上，直线MN 恒过21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以||3AP =又因为AD MN ⊥，即AD AP ⊥，所以点D 在以线段AP 为直径的圆上运动．取线段AP 的中点为41,33Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1||||2DQ AP =．所以存在定点Q ，使得||DQ 为定值．【整体点评】（2）方法一：设出直线MN 方程，然后与椭圆方程联立，通过题目条件可知直线过定点P ，再根据平面几何知识可知定点Q 即为AP 的中点，该法也是本题的通性通法； 方法二：通过坐标系平移，将原来的O 点平移至点A 处，设直线MN 的方程为4mx ny ，再通过与椭圆方程联立，构建齐次式，由韦达定理求出,m n 的关系，从而可知直线过定点P ，从而可知定点Q 即为AP 的中点，该法是本题的最优解；方法三：设直线:MN y kx m =+，再利用过点,,A M N 的曲线系，根据比较对应项系数可求出,m k 的关系，从而求出直线过定点P ，故可知定点Q 即为AP 的中点；方法四：同方法一，只不过中间运算时采用了一元二次方程的零点式赋值，简化了求解()()1222--x x 以及()()1211y y --的计算．20．【2020年新高考2卷（海南卷）】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>过点M （2，3）,点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12 ， （1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值.【答案】（1）2211612x y +=；（2）18.【分析】(1)由题意分别求得a ,b 的值即可确定椭圆方程；(2)首先利用几何关系找到三角形面积最大时点N 的位置，然后联立直线方程与椭圆方程，结合判别式确定点N 到直线AM 的距离即可求得三角形面积的最大值. 【解析】(1)由题意可知直线AM 的方程为：13(2)2y x -=-，即24-=-x y .当y =0时，解得4x =-，所以a =4，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点M (2，3)，可得249116b +=，解得b 2=12.所以C 的方程：2211612x y +=.(2)设与直线AM 平行的直线方程为：2x y m -=，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为N ，此时△AMN 的面积取得最大值.联立直线方程2x y m -=与椭圆方程2211612x y +=，可得：()2232448m y y ++=， 化简可得：2216123480y my m ++-=，所以()221444163480m m ∆=-⨯-=，即m 2=64，解得m =±8，与AM 距离比较远的直线方程：28x y -=， 直线AM 方程为：24-=-x y ，点N 到直线AM 的距离即两平行线之间的距离， 利用平行线之间的距离公式可得：12514d ==+由两点之间距离公式可得||AM =.所以△AMN 的面积的最大值：1182⨯=.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．【】专题05 平面解析几何1．【2021年新高考1卷】已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y+=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ）A ．13B ．12C ．9D ．62．【2021年新高考2卷】抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+的距离为2，则p =（ ） A ．1B ．2C ．22D ．43．【2022年新高考1卷】已知O 为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C 于P ，Q 两点，则（ ）A ．C 的准线为B ．直线AB 与C 相切 C ．D ．4．【2022年新高考2卷】已知O 为坐标原点，过抛物线焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点，若，则（ ） A ．直线的斜率为B ．C ．D ．5．【2021年新高考1卷】已知点P 在圆()()225516x y -+-=上，点()4,0A 、()0,2B ，则（ ）A ．点P 到直线AB 的距离小于10 B ．点P 到直线AB 的距离大于2C ．当PBA ∠最小时，32PB =D ．当PBA ∠最大时，32PB =6．【2021年新高考2卷】已知直线2:0l ax by r +-=与圆222:C x y r +=，点(,)A a b ，则下列说法正确的是（ ）A ．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B ．若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离 C ．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切7．【2020年新高考1卷（山东卷）】已知曲线22:1C mx ny +=.（ ） A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若m =n >0，则C nC ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为my x n=±- D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线 8．【2022年新高考1卷】写出与圆和都相切的一条直线的方程________________． 9．【2022年新高考1卷】已知椭圆，C 的上顶点为A ，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C 交于D ，E 两点，，则的周长是________________． 10．【2022年新高考2卷】设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a 的取值范围是________．11．【2022年新高考2卷】已知直线l 与椭圆在第一象限交于A ，B 两点，l 与x轴，y 轴分别交于M ，N 两点，且，则l 的方程为___________．12．【2021年新高考1卷】已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y px =(0p >)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则C 的准线方程为______.13．【2021年新高考2卷】若双曲线22221x y a b -=的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________.14．【2020年新高考1卷（山东卷）】斜率为3的直线过抛物线C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________． 15．【2022年新高考1卷】已知点在双曲线上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线的斜率之和为0．(1)求l 的斜率； (2)若，求的面积．16．【2022年新高考2卷】已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．(1)求C 的方程；(2)过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，点在C 上，且．过P 且斜率为的直线与过Q 且斜率为的直线交于点M .从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立： ①M 在上；②；③．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.17．【2021年新高考1卷】在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1F 、)2122F MF MF -=，，点M 的轨迹为C .（1）求C 的方程； （2）设点T 在直线12x =上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q 两点，且TA TB TP TQ ⋅=⋅，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.18．【2021年新高考2卷】已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，右焦点为F ，（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN =19．【2020年新高考1卷（山东卷）】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>过点()2,1A ． （1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．20．【2020年新高考2卷（海南卷）】已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>过点M （2，3）,点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12 ， （1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值.【】三年专题05 立体几何（选择题、填空题）（理科专用）1．【2022年新高考1卷】南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出．【详解】依题意可知棱台的高为(m)，所以增加的水量即为棱台的体积．棱台上底面积，下底面积，∴．故选：C．2．【2022年新高考1卷】已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】设正四棱锥的高为，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围. 【详解】 ∵ 球的体积为，所以球的半径,设正四棱锥的底面边长为，高为，则，,所以，所以正四棱锥的体积，所以，当时，，当时，，所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为， 又时，，时，,所以正四棱锥的体积的最小值为， 所以该正四棱锥体积的取值范围是.故选：C.3．【2022年新高考2卷】已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积． 【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．故选：A ．4．【2021年甲卷理科】2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m ），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A ，B ，C 三点，且A ，B ，C 在同一水平面上的投影,,A B C '''满足45AC B ∠'''=︒，。
衡水中学2022年高考数学复习知识分类汇编 专题05 解析几何【文科】(原卷版+解析版)
专题05 解析几何一、单选题1. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，倾斜角为02πθθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭的直线l 经过抛物线的焦点F ，且与抛物线相交于M ，N 两点.若22F N M N F F →→→⋅=-，则sin 2θ=（ ）AB ．13CD2. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】已知直线210x y --=的倾斜角为α，则21tan 2tan2αα-=（ ）A ．14-B ．1-C ．14D ．13. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】已知c 是双曲线2222:1x y C a b -=(0a >，0b >)的半焦距，离心率为e ，则1be c+的最大值是（ ）ABCD ．24. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】已知点F ，A 分别为椭圆2222:1x y C a b +=(0a >，0b >)的左焦点左顶点，过原点O 的直线l 交C 于P ，Q 两点，直线QF 交AP 于点B ，且2QA QP QB +=，若||PF 的最小值为4，则椭圆C 的标准方程为（ ）A ．22198x yB ．2212516x y +=C ．2213632x y +=D ．2214936x y +=5. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】已知圆22:4O x y +=与x 轴交于,M N 两点，点P在直线:0l x y +-=上，过圆O 上的任意两点,S T 分别向l 作垂线，垂足为,S T ''，以下说法不正确的是（ ）A ．||||PM PN +的最小值为B ．PM PN ⋅为定值 C ．SPT ∠的最大值为3πD ．当ST 为直径时，四边形SS T T ''面积的最大值为166. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II 卷）】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，若过点2F 作渐近线的垂线，垂足为P ，且12F PF △的面积为2b ，则该双曲线的离心率为（ ）A ．1B ．1CD 7. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II 卷）】已知圆22:1C x y +=，直线:2l x =，P 为直线l 上的动点，过点P 作圆C 的切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 过定点（ ） A ．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(0,2)C ．(2,1)D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题1. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】对于双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>来说，我们定义圆222x y a +=为它的“伴随圆”.过双曲线22241(0)9x y a a -=>的左焦点1F 作它的伴随圆的一条切线，设切点为T ，且这条切线与双曲线的右支相交于点P .若M 为1PF 的中点，M 在T 右侧，且||||MO MT -为定值12，则该双曲线的离心率为_______.2. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】小明同学发现家中墙壁上灯光的边界类似双曲线的一支， O 为双曲线的一支的顶点.小明经过测量得知，该双曲线的渐近线相互垂直，且AB 与OC 垂直，80cm,20cm AB OC ==，若该双曲线的焦点位于直线OC 上，则在点O 以下的焦点距点O ______cm .三、解答题1. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】已知圆22:(32M x y +=，点Q 是圆M 上的一个动点，点(N .若线段QN 的垂直平分线交线段QM 于点T . （1）求动点T 的轨迹曲线C 的方程；（2）设O 是坐标原点，点(2,1)P ，点R （异于原点）是曲线C 内部且位于y 轴上的一个动点，点S 与点R 关于原点对称，直线,PR PS 分别与曲线C 交于A ，B （异于点P ）两点.判断直线AB 是否过定点？若过，求出定点坐标；若不过，说明理由.2. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】设抛物线E ：()220y px p =>焦点为F ，准线为l ，A 为E上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B 、D 点．（Ⅰ）若60BFD ∠=︒，BFD △p 的值及圆F 的方程； （Ⅱ）若点A 在第一象限，且A 、B 、F 三点在同一直线1l 上，直线1l 与抛物线E 的另一个交点记为C ，且CF FA λ=，求实数λ的值．3. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在C 上，但不在x 轴上，当点P 在C 上运动时，12PF F △的周长为定值6，且当112PF F F ⊥时，132PF =. （1）求C 的方程.（2）若斜率为(0)k k ≠的直线l 交C 于点M ，N ，C 的左顶点为A ，且1,,AM AN k k k-成等差数列，证明：直线l过定点.4. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II 卷）】已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，M 是椭圆E 上一点，M 关于x 轴的对称点为N ，且14MA NB k k ⋅=． （1）求椭圆E 的离心率；（2）若椭圆E 的一个焦点与抛物线2y =的焦点重合，斜率为1的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，在y 轴上存在点R ，使得以线段PQ 为直径的圆经过点R ，且()0RQ RP PQ +⋅=，求直线l 的方程．专题05 解析几何一、单选题1. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，倾斜角为02πθθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭的直线l 经过抛物线的焦点F ，且与抛物线相交于M ，N 两点.若22F N M N F F →→→⋅=-，则sin 2θ=（ ）A B ．13C D 【答案】D 【解析】如图所示，过点M ，N 分别作准线的垂线，垂足分别为D ，C ，直线l 与准线交于点E ，由题意可得||2||FM FN →→=， 设||FN x =，则||2FM x =，由抛物线的定义可知，||CN x =，||2MD x =， ||||1||||2CN EN MD EM ==， 所以||3EN x =,在ENC △中，||1cos cos ||3CN ENC EN θ∠===，所以sin θ=则sin 22sin cos θθθ==故选：D.2. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】已知直线210x y --=的倾斜角为α，则21tan 2tan2αα-=（ ）A ．14-B ．1-C ．14D ．1【答案】D 【解析】根据题意，得tan 2α=，所以21tan 221tan tan2a αα-==. 故选：D.3. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】已知c 是双曲线2222:1x y C a b -=(0a >，0b >)的半焦距，离心率为e ，则1be c+的最大值是（ ）ABCD ．2【答案】B 【解析】因为c 是双曲线2222:1x y C a b -=(0a >，0b >)的半焦距，所以c则1b a b e c c ++==当且仅当a b =时，等号成立. 故选：B.4. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】已知点F ，A 分别为椭圆2222:1x y C a b +=(0a >，0b >)的左焦点左顶点，过原点O 的直线l 交C 于P ，Q 两点，直线QF 交AP 于点B ，且2QA QP QB +=，若||PF 的最小值为4，则椭圆C 的标准方程为（ ）A ．22198x yB ．2212516x y +=C ．2213632x y +=D ．2214936x y +=【答案】C 【解析】如图，连接OB ，AQ ，则OB 是PAQ △的中位线， ||||1||||2OB OF AQ FA ∴==，即12c a c =-， 3a c ∴=，又||PF 的最小值为a c -，4a c -=，6a ∴=，2c =，22232b a c =-=.故椭圆C 的标准方程为2213632x y +=. 故选：C.5. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】已知圆22:4O x y +=与x 轴交于,M N 两点，点P 在直线:0l x y +-上，过圆O 上的任意两点,S T 分别向l 作垂线，垂足为,S T ''，以下说法不正确的是（ ）A ．||||PM PN +的最小值为B ．PM PN ⋅为定值C ．SPT ∠的最大值为3π D ．当ST 为直径时，四边形SS T T ''面积的最大值为16 【答案】B 【解析】设(2,0),(2,0)M N -，则N 关于l 对称的点为2)N '，所以||||PM PN +的最小值为MN '=故A 正确；2()()4PM PN OM OP ON OP OP ⋅=-⋅-=-不是定值，故B 错误；当OP 最小，且当,PS PT 为圆O 的切线时，SPT ∠最大，此时3SPT π∠=，故C 正确；在四边形SS T T ''中，//SS TT ''，且8SS TT ''+=.因此，当S T ''最长，即||4S T ST ''==时面积最大，最大值为16，故D 正确故选：B6. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II 卷）】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，若过点2F 作渐近线的垂线，垂足为P ，且12F PF △的面积为2b ，则该双曲线的离心率为（ ）A ．1B ．1C D【答案】D 【解析】双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a =±，则点2(,0)F c 到渐近线b y x a=±的距离2PF b =，在2OPF 中，122222,,||,2F PF OPF PF b OF c OP a SS ab b ======，所以a b =，离心率c e a = 故选：D7. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II 卷）】已知圆22:1C x y +=，直线:2l x =，P 为直线l 上的动点，过点P 作圆C 的切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 过定点（ ） A ．1,02⎛⎫⎪⎝⎭B ．(0,2)C ．(2,1)D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】因为P 为直线l 上的动点，所以可设(2,)P t ， 由题意可得圆心C 的坐标为(0,0)，以线段PC 为直径的圆N 的圆心为1,2⎛⎫⎪⎝⎭t P所以方程为2220x y x ty +--=，两圆方程作差，即得两圆公共弦AB 的方程为210x ty +-=，()210-+=x ty ， 所以直线AB 过定点1,02⎛⎫⎪⎝⎭．故选：A. 二、填空题1. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】对于双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>来说，我们定义圆222x y a +=为它的“伴随圆”.过双曲线22241(0)9x y a a -=>的左焦点1F 作它的伴随圆的一条切线，设切点为T ，且这条切线与双曲线的右支相交于点P .若M 为1PF 的中点，M 在T 右侧，且||||MO MT -为定值12，则该双曲线的离心率为_______.【解析】如图，设2F 为双曲线的右焦点，在1Rt OFT 中，1,||OF c OT a ==，所以1||TF b =，()()21121121111112222MO MT PF MF TF PF PF TF PF PF TF ⎛⎫-=--=--=-+ ⎪⎝⎭3122b a a =-=-=，解得1a =，所以c e a ==2. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】小明同学发现家中墙壁上灯光的边界类似双曲线的一支， O 为双曲线的一支的顶点.小明经过测量得知，该双曲线的渐近线相互垂直，且AB 与OC 垂直，80cm,20cm AB OC ==，若该双曲线的焦点位于直线OC 上，则在点O 以下的焦点距点O ______cm .【答案】1) 【解析】解：设该双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>.因为渐近线相互垂直，所以a b =. 由题意知，2222(20)401a a b+-=，解得30,a b c ===故该双曲线的一个焦点位于点O 以下1)cm .故答案为： 1) 三、解答题1. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】已知圆22:(32M x y -+=，点Q 是圆M 上的一个动点，点(N .若线段QN 的垂直平分线交线段QM 于点T . （1）求动点T 的轨迹曲线C 的方程；（2）设O 是坐标原点，点(2,1)P ，点R （异于原点）是曲线C 内部且位于y 轴上的一个动点，点S 与点R 关于原点对称，直线,PR PS 分别与曲线C 交于A ，B （异于点P ）两点.判断直线AB 是否过定点？若过，求出定点坐标；若不过，说明理由.【答案】（1）22182x y +=；（2）过定点，(0,2)-.【解析】（1）由题意可知，||||||||TM TN TMTQ r MN +=+===∣， 所以动点T 的轨迹为以M ，N 两点为焦点的椭圆.设椭圆的长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ，则2,a a c ===由222a b c =+，得b =所以曲线C 的方程为22182x y +=.（2）设直线AB 的方程为()()1122,,,,y kx t A x y B x y =+，由221,82,x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，整理得()222148480k x ktx t +++-=， 则()()()22222(8)4144816820kt k t k t ∆=-+-=-+>，2121222848,4141kt t x x x x k k -+=-=++. 又直线PA 的方程为1111(2)2y y x x --=--， 即1111(2)2kx t y x x +--=--，令0x =，得11(12)22k x ty x --=-.因此点R 的坐标为11(12)20,2k x t x ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭，同理可得，22(12)20,2k x t S x ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭.由OS RO =，得1212(12)2(12)2022k x t k x tx x ----+=--， 化简得()1212(24)(242)80k x x k t x x t ---+++=， 即222488(24)(242)804141t kt k k t t k k -⎛⎫-⨯--+-+= ⎪++⎝⎭， 整理得22420kt k t t +++-=， 即(2)(21)0t k t ++-=.因为(2,1)P 不在直线y kx t =+上，故210k t +-≠，所以20,2t t +==-，此时，由0∆>，得214k >. 因此直线AB 过定点(0,2)-.2. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】设抛物线E ：()220y px p =>焦点为F ，准线为l ，A 为E上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B 、D 点． （Ⅰ）若60BFD ∠=︒，BFD △，求p 的值及圆F 的方程； （Ⅱ）若点A 在第一象限，且A 、B 、F 三点在同一直线1l 上，直线1l 与抛物线E 的另一个交点记为C ，且CF FA λ=，求实数λ的值．【答案】（Ⅰ）2p =，圆F 为：()221613x y -+=；（Ⅱ）13λ=． 【解析】解：（Ⅰ）焦点到准线l 的距离为p ，又∵BF FD =，60BFD ∠=︒，∴BFD △为正三角形．∴BF =2p B ⎛- ⎝，∴21sin 602BFDS BF =︒=△2p ∴=， ∴圆F 为：()221613x y -+=． （Ⅱ）若A 、F 、B 共线，则AF BF DF ==，2BDA π∴∠=∴12AD AF AB ==，6DBA π∴∠=∴直线AB 的倾斜角为3π或23π，由对称性可知，设直线l：2px =，()11,A x y ，()22,C x y ，CF FA λ=，联立()121222221211202p y y y x y y p y y p y y px λλ⎧⎧+=-⋅=+⎪⎪⇒-=⇒⎨⎨⎪⎪⋅=-=-⋅=⎩⎩， ∴()2143λλ-=，231030λλ∴-+=，3λ∴=或13λ=， 又AF BF p =>，12p x >，01λ∴<<，所以13λ=．3. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在C 上，但不在x 轴上，当点P 在C 上运动时，12PF F △的周长为定值6，且当112PF F F ⊥时，132PF =. （1）求C 的方程.（2）若斜率为(0)k k ≠的直线l 交C 于点M ，N ，C 的左顶点为A ，且1,,AM AN k k k-成等差数列，证明：直线l 过定点.【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析.【解析】（1）解：由题意知，22223,2226,,b a a c a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩所以2,1,a c b ⎧=⎪=⎨⎪⎩所以椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）证明：由题意知，(2,0)A -.设直线:l y kx m =+，与椭圆C 方程联立，得221,43,x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩ 整理得()2223484120kxkmx m +++-=.设()()1122,,,M x y N x y ，则12221228,34412,34km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩()12121212121212432(2)2222242AM AN y y kx m kx m x x k k k m k x x x x x x x x m k +++++=+=+=+-⋅==+++++++-12k -⨯，所以2k m =.所以:2(21)l y mx m m x =+=+，恒过点1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭.4. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II 卷）】已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，M 是椭圆E 上一点，M 关于x 轴的对称点为N ，且14MA NB k k ⋅=． （1）求椭圆E 的离心率；（2）若椭圆E的一个焦点与抛物线2y =的焦点重合，斜率为1的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，在y 轴上存在点R ，使得以线段PQ 为直径的圆经过点R ，且()0RQ RP PQ +⋅=，求直线l 的方程． 【答案】（1（2）1y x =±. 【解析】解：（1）由椭圆E 的方程可得(,0),(,0)A a B a -．设()00,M x y ，则()00,N x y -， 所以200022000.MA NBy y y k k x a x a x a -⋅=⋅=-+--． 又点()00,M x y 在椭圆E 上，所以2200221x y a b+=，所以22220002221y x a x b a a -=-=，所以220222014MA NBy b k k x a a ⋅=-==-，所以椭圆E的离心率e == （2）由题意知椭圆E的一个焦点为，所以椭圆E 的标准方程为2214x y +=．设直线l 的方程为()()1122,(0,),,,,y x m R t P x y Q x y =+，线段PQ 的中点为(),S S S x y ，联立221,4,x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，得2258440x mx m ++-=，则()()2226420441650m m m ∆=--=->，解得25m <，所以21212844,55m m x x x x -+=-=， 所以124,255S S S x x m m x y x m +==-=+=， 所以4,55m m S ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 由()0RQ RP PQ +⋅=，得RS PQ ⊥，所以511405m t m -⨯=-⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 解得35mt =-． 又因为以线段PQ 为直径的圆过点R ， 所以PR QR ⊥， 所以12121y t y tx x --⋅=-．又1122,y x m y x m ==++，代入上式整理得()212122()()0x x m t x x m t +-++-=，即()222244880555m m m -⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得1m =±．所以直线l 的方程为1y x =±．。
专题五解析几何直线与圆教学课件2021届新高考数学二轮复习
故|MA|·|MB|≤225(当且仅当|MA|＝|MB|＝5 2 2时取“＝”).
答案
(1)A
25 (2) 2
探究提高 1.求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参 数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性. 2.求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式利用待定系数法求解，同时要考虑 直线斜率不存在的情况是否符合题意.
【例 2】 (1)(2020·石家庄模拟)古希腊数学家阿波罗尼斯在其巨著《圆锥曲线论》中
提出“在同一平面上给出三点，若其中一点到另外两点的距离之比是一个大于零且
不等于 1 的常数，则该点轨迹是一个圆”.现在，某电信公司要在甲、乙、丙三地搭
建三座 5G 信号塔来构建一个特定的三角形信号覆盖区域，以实现 5G 商用，已知甲、
解析 (1)由题意知m(1＋m)－2×1＝0，解得m＝1或－2，当m＝－2时，两直线重 合，舍去；当m＝1时，满足两直线平行，所以m＝1.
(2)由题意可知，直线 l1：kx－y＋4＝0 经过定点 A(0，4)，直线 l2：x＋ky－3＝0 经过 定点 B(3，0)，注意到直线 l1：kx－y＋4＝0 和直线 l2：x＋ky－3＝0 始终垂直，点 M 又是两条直线的交点，则有 MA⊥MB，所以|MA|2＋|MB|2＝|AB|2＝25.
热点三 直线(圆)与圆的位置关系
角度 1 圆的切线问题
【例 3】 (1)(2020·全国Ⅲ卷)若直线 l 与曲线 y＝ x和圆 x2＋y2＝15都相切，则 l 的方程
为( ) A.y＝2x＋1
B.y＝2x＋12
C.y＝12x＋1
D.y＝12x＋12
(2)(多选题)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－4x＝0.若直线y＝k(x＋1)
2021-2022年高考数学二轮复习第一部分专题五解析几何教学案理
2021年高考数学二轮复习第一部分专题五解析几何教学案理1212( )A ．－32B ．0C ．－32或0D ．2(2)已知点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，12 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤1－22，13 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，12(3)过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且到点P (0,4)距离为2的直线方程为________________________________________________________________.[解析] (1)由l 1∥l 2得1×(－a )＝2a (a ＋1)，即2a 2＋3a ＝0，解得a ＝0或a ＝－32.经检验，当a ＝0或a ＝－32时均有l 1∥l 2，故选C.(2)易知BC 所在直线的方程是x ＋y ＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＝ax ＋b 消去x ，得y ＝a ＋ba ＋1，当a ＞0时，直线y ＝ax ＋b 与x 轴交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ，0，结合图形知12×a ＋b a ＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ＝12，化简得(a ＋b )2＝a (a ＋1)，则a ＝b 21－2b .∵a ＞0，∴b 21－2b ＞0，解得b ＜12.考虑极限位置，即当a ＝0时，易得b ＝1－22，故b 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1－22，12.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.∴l 1与l 2的交点为(1,2)．当所求直线斜率不存在，即直线方程为x ＝1时，显然不满足题意．当所求直线斜率存在时，设所求直线方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0， ∵点P (0,4)到直线的距离为2， ∴2＝|－2－k |1＋k 2，∴k ＝0或k ＝43. ∴直线方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0.[答案] (1)C (2)B (3)y ＝2或4x －3y ＋2＝0[方法技巧]直线方程问题的2个关注点(1)求解两条直线平行的问题时，在利用A 1B 2－A 2B 1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的情况．(2)求直线方程时应根据条件选择合适的方程形式，同时要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意．[演练冲关]1．已知直线l 的倾斜角为π4，直线l 1经过点A (3,2)，B (－a,1)，且l 1与l 垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b ＝( )A ．－4B ．－2C ．0D ．2解析：选B 由题知，直线l 的斜率为1，则直线l 1的斜率为－1，所以2－13＋a ＝－1，所以a＝－4.又l 1∥l 2，所以－2b＝－1，b ＝2，所以a ＋b ＝－4＋2＝－2，故选B.2．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为( ) A. 2 B.823C. 3D.833解析：选B 由l 1∥l 2，得(a －2)a ＝1×3，且a ×2a ≠3×6，解得a ＝－1，所以l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，所以l 1与l 2间的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6－2312＋－12＝823. 3．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________．解析：易求定点A (0,0)，B (1,3)．当P 与A 和B 均不重合时，因为P 为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0的交点，且两直线垂直，则PA ⊥PB ，所以|PA |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，所以|PA |·|PB |≤|PA |2＋|PB |22＝5(当且仅当|PA |＝|PB |＝5时，等号成立)，当P 与A 或B 重合时，|PA |·|PB |＝0，故|PA |·|PB |的最大值是5.答案：5[典例感悟][典例] (1)已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )A.53B.213C.253D.43(2)(xx·全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为______________．(3)(xx·广州模拟)若一个圆的圆心是抛物线x 2＝4y 的焦点，且该圆与直线y ＝x ＋3相切，则该圆的标准方程是______________．[解析] (1)设△ABC 外接圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，∴⎩⎨⎧1＋D ＋F ＝0，3＋3E ＋F ＝0，7＋2D ＋3E ＋F ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝－433，F ＝1，∴△ABC 外接圆的一般方程为x 2＋y 2－2x －433y ＋1＝0，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233，故△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为1＋⎝⎛⎭⎪⎫2332＝213. (2)由题意知a ＝4，b ＝2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4,0)．由圆心在x 轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，－2)，(4,0)三点．设圆的标准方程为(x －m )2＋y 2＝r 2(0<m <4，r >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋4＝r 2，4－m 2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝32，r 2＝254.所以圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.(3)抛物线x 2＝4y 的焦点为(0,1)，即圆心为(0,1)，设该圆的标准方程是x 2＋(y －1)2＝r 2(r >0)，因为该圆与直线y ＝x ＋3，即x －y ＋3＝0相切，所以r ＝|－1＋3|2＝2，故该圆的标准方程是x 2＋(y －1)2＝2.[答案] (1)B (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254 (3)x 2＋(y －1)2＝2[方法技巧] 圆的方程的2种求法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．(2)代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．[演练冲关]1．(xx·长春质检)圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是( ) A ．(x －3)2＋(y －1)2＝4 B ．(x －2)2＋(y －2)2＝4 C ．x 2＋(y －2)2＝4 D ．(x －1)2＋(y －3)2＝4解析：选D 圆与圆关于直线对称，则圆的半径相同，只需求圆心(2,0)关于直线y ＝33x 对称的点的坐标即可．设所求圆的圆心坐标为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b －0a －2×33＝－1，b ＋02＝33×a ＋22，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，所以圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心关于直线y ＝33x 对称的点的坐标为(1，3)，从而所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4，故选D.2．(xx·北京西城区模拟)已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程是( )A ．(x ＋1)2＋y 2＝2 B ．(x ＋1)2＋y 2＝8 C ．(x －1)2＋y 2＝2D ．(x －1)2＋y 2＝8解析：选A 根据题意直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点为(－1,0)，即圆心为(－1,0)．因为圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，所以半径r ＝|－1＋0＋3|12＋12＝2，则圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2，故选A.3．(xx·惠州调研)圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________________．解析：设圆心坐标为(a ，b )，半径为r .由已知⎩⎪⎨⎪⎧a －2b ＝0，b >0，又圆心(a ，b )到y 轴、x 轴的距离分别为|a |，|b |，所以|a |＝r ，|b |2＋3＝r 2.综上，解得a ＝2，b ＝1，r ＝2，所以圆心坐标为(2,1)，圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.答案：(x －2)2＋(y －1)2＝4[典例感悟][典例] (1)(xx·昆明模拟)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离(2)(xx·全国卷Ⅰ)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________．(3)(xx·全国卷Ⅲ)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝________.[解析] (1)由题知圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2(a ＞0)，圆心(0，a )到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a2，所以2a 2－a 22＝22，解得a ＝2，即圆M 的圆心为(0,2)，半径为2.又圆N 的圆心为(1,1)，半径为1，则圆M ，圆N 的圆心距|MN |＝2，两圆半径之差为1，半径之和为3,1<2<3，故两圆相交．(2)圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0化为标准方程为x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，所以圆心C (0，a )，半径r ＝a 2＋2，因为|AB |＝23，点C 到直线y ＝x ＋2a ，即x －y ＋2a ＝0的距离d ＝|0－a ＋2a |2＝|a |2，由勾股定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以r ＝a 2＋2＝2，所以圆C 的面积为π×22＝4π.(3)如图所示，∵直线AB 的方程为x －3y ＋6＝0， ∴k AB ＝33，∴∠BPD ＝30°， 从而∠BDP ＝60°. 在Rt△BOD 中，∵|OB |＝23，∴|OD |＝2.取AB 的中点H ，连接OH ，则OH ⊥AB ， ∴OH 为直角梯形ABDC 的中位线， ∴|OC |＝|OD |，∴|CD |＝2|OD |＝2×2＝4. [答案] (1)B (2)4π (3)4[方法技巧]1．直线(圆)与圆位置关系问题的求解思路(1)研究直线与圆的位置关系主要通过将圆心到直线的距离同半径做比较实现，两圆位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较．(2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外点的距离，再结合半径利用勾股定理计算．2．直线截圆所得弦长的求解方法(1)根据平面几何知识构建直角三角形，把弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示，即l ＝2r 2－d 2(其中l 为弦长，r 为圆的半径，d 为圆心到直线的距离)．(2)根据公式：l ＝1＋k 2|x 1－x 2|求解(其中l 为弦长，x 1，x 2为直线与圆相交所得交点的横坐标，k 为直线的斜率)．(3)求出交点坐标，用两点间的距离公式求解．[演练冲关]1．(xx·南昌模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝2x ＋1与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则cos ∠AOB ＝( )A.510B ．－510C.910D ．－910解析：选D 因为圆x 2＋y 2＝4的圆心为O (0,0)，半径为2，所以圆心O 到直线y ＝2x ＋1的距离d ＝|2×0－0＋1|22＋－12＝15，所以弦长|AB |＝222－⎝⎛⎭⎪⎫152＝2195. 在△AOB 中，由余弦定理得cos ∠AOB ＝|OA |2＋|OB |2－|AB |22|OA |·|OB |＝4＋4－4×1952×2×2＝－910.2．已知P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k >0)上一动点，PA ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k ＝________.解析：如图，把圆的方程化成标准形式得x 2＋(y －1)2＝1，所以圆心为C (0,1)，半径为r ＝1，四边形PACB 的面积S ＝2S △PBC ，所以若四边形PACB 的最小面积是2，则S △PBC 的最小值为1.而S △PBC ＝12r ·|PB |，即|PB |的最小值为2，此时|PC |最小，|PC |为圆心到直线kx ＋y ＋4＝0的距离d ，则d ＝|5|k 2＋1＝12＋22＝5，化简得k 2＝4，因为k >0，所以k ＝2.答案：23．(xx·云南调研)已知动圆C 过A (4,0)，B (0，－2)两点，过点M (1，－2)的直线交圆C 于E ，F 两点，当圆C 的面积最小时，|EF |的最小值为________．解析：依题意得，动圆C 的半径不小于12|AB |＝5，即当圆C 的面积最小时，AB 是圆C 的一条直径，此时圆心C 是线段AB 的中点，即点C (2，－1)，又点M 的坐标为(1，－2)，且|CM |＝2－12＋－1＋22＝2<5，所以点M 位于圆C 内，所以当点M 为线段EF 的中点时，|EF |最小，其最小值为252－22＝2 3.答案：2 3[必备知能·自主补缺] (一) 主干知识要记牢 1．直线方程的五种形式 点斜式y －y 1＝k (x －x 1)(直线过点P 1(x 1，y 1)，且斜率为k ，不能表示y 轴和平行于y 轴的直线)斜截式 y ＝kx ＋b (b 为直线在y 轴上的截距，且斜率为k ，不能表示y 轴和平行于y 轴的2．点到直线的距离及两平行直线间的距离(1)点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离为d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2. (2)两平行线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.3．圆的方程(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)．(3)圆的直径式方程：(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0(圆的直径的两端点是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2))．4．直线与圆位置关系的判定方法(1)代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)：Δ>0⇔相交，Δ<0⇔相离，Δ＝0⇔相切．(2)几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d ，则d <r ⇔相交，d >r ⇔相离，d ＝r ⇔相切．5．圆与圆的位置关系已知两圆的圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，则 (1)当|O 1O 2|＞r 1＋r 2时，两圆外离； (2)当|O 1O 2|＝r 1＋r 2时，两圆外切；(3)当|r 1－r 2|＜|O 1O 2|＜r 1＋r 2时，两圆相交； (4)当|O 1O 2|＝|r 1－r 2|时，两圆内切； (5)当0≤|O 1O 2|＜|r 1－r 2|时，两圆内含． (二) 二级结论要用好1．直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的位置关系 (1)平行⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0； (2)重合⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1＝0；(3)相交⇔A 1B 2－A 2B 1≠0； (4)垂直⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.[针对练1] 若直线l 1：mx ＋y ＋8＝0与l 2：4x ＋(m －5)y ＋2m ＝0垂直，则m ＝________. 解析：∵l 1⊥l 2，∴4m ＋(m －5)＝0，∴m ＝1. 答案：12．若点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝r 2上，则圆过该点的切线方程为：x 0x ＋y 0y ＝r 2. [针对练2] 过点(1，3)且与圆x 2＋y 2＝4相切的直线l 的方程为____________． 解析：∵点(1，3)在圆x 2＋y 2＝4上， ∴切线方程为x ＋3y ＝4，即x ＋3y －4＝0. 答案：x ＋3y －4＝0 (三) 易错易混要明了1．易忽视直线方程的几种形式的限制条件，如根据直线在两坐标轴上的截距相等设方程时，忽视截距为0的情况，直接设为x a ＋y a＝1；再如，忽视斜率不存在的情况直接将过定点P (x 0，y 0)的直线设为y －y 0＝k (x －x 0)等．[针对练3] 已知直线过点P (1,5)，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为__________________．解析：当截距为0时，直线方程为5x －y ＝0；当截距不为0时，设直线方程为x a ＋y a＝1，代入P (1,5)，得a ＝6，∴直线方程为x ＋y －6＝0.答案：5x －y ＝0或x ＋y －6＝02．讨论两条直线的位置关系时，易忽视系数等于零时的讨论导致漏解，如两条直线垂直时，一条直线的斜率不存在，另一条直线斜率为0.如果利用直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件A 1A 2＋B 1B 2＝0，就可以避免讨论．[针对练4] 已知直线l 1：(t ＋2)x ＋(1－t )y ＝1与l 2：(t －1)x ＋(2t ＋3)y ＋2＝0互相垂直，则t 的值为________．解析：∵l 1⊥l 2，∴(t ＋2)(t －1)＋(1－t )(2t ＋3)＝0，解得t ＝1或t ＝－1. 答案：－1或13．求解两条平行线之间的距离时，易忽视两直线系数不相等，而直接代入公式|C 1－C 2|A 2＋B 2，导致错解．[针对练5] 两平行直线3x ＋2y －5＝0与6x ＋4y ＋5＝0间的距离为________．解析：把直线6x ＋4y ＋5＝0化为3x ＋2y ＋52＝0，故两平行线间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－5－5232＋22＝151326.答案：1513264．易误认为两圆相切即为两圆外切，忽视两圆内切的情况导致漏解．[针对练6] 已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0，x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0相切，则m ＝________.解析：由x 2＋y 2－2x －6y －1＝0，得(x －1)2＋(y －3)2＝11，由x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0，得(x －5)2＋(y －6)2＝61－m .当两圆外切时，有5－12＋6－32＝61－m ＋11，解得m ＝25＋1011；当两圆内切时，有5－12＋6－32＝||61－m －11，解得m ＝25－1011.答案：25±1011[课时跟踪检测]A 组——12＋4提速练一、选择题1．(xx·沈阳质检)已知直线l ：y ＝k (x ＋3)和圆C ：x 2＋(y －1)2＝1，若直线l 与圆C 相切，则k ＝( )A ．0 B. 3 C.33或0 D.3或0解析：选D 因为直线l 与圆C 相切，所以圆心C (0,1)到直线l 的距离d ＝|－1＋3k |1＋k 2＝1，解得k ＝0或k ＝3，故选D.2．(xx·陕西质检)圆：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2距离的最大值是( ) A ．1＋ 2 B ．2 C ．1＋22D ．2＋2 2解析：选A 将圆的方程化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，即圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x －y ＝2的距离d ＝|1－1－2|2＝2，故圆上的点到直线x －y ＝2距离的最大值为d ＋1＝2＋1.3．(xx·洛阳统考)直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“|AB |＝2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 依题意，注意到|AB |＝2＝|OA |2＋|OB |2等价于圆心O 到直线l 的距离等于22，即有1k 2＋1＝22，k ＝±1.因此，“k ＝1”是“|AB |＝2”的充分不必要条件． 4．若三条直线l 1：4x ＋y ＝3，l 2：mx ＋y ＝0，l 3：x －my ＝2不能围成三角形，则实数m 的取值最多有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．6个解析：选C 三条直线不能围成三角形，则至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点．若l 1∥l 2，则m ＝4；若l 1∥l 3，则m ＝－14；若l 2∥l 3，则m 的值不存在；若三条直线相交于同一点，则m ＝1或－53.故实数m 的取值最多有4个，故选C.5．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0 B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0 C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝0解析：选C 由(a －1)x －y ＋a ＋1＝0得(x ＋1)a －(x ＋y －1)＝0，由x ＋1＝0且x ＋y －1＝0，解得x ＝－1，y ＝2，即该直线恒过点(－1,2)，∴所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，即x 2＋y 2＋2x －4y ＝0.6．与直线x ＋y －2＝0和曲线x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝2 B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝2 C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝2 D ．(x －2)2＋(y －2)2＝2解析：选D 由题意知，曲线方程为(x －6)2＋(y －6)2＝(32)2，过圆心(6,6)作直线x ＋y －2＝0的垂线，垂线方程为y ＝x ，则所求的最小圆的圆心必在直线y ＝x 上，又圆心(6,6)到直线x ＋y －2＝0的距离d ＝|6＋6－2|2＝52，故最小圆的半径为52－322＝2，圆心坐标为(2,2)，所以标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2.7．已知圆C 关于x 轴对称，经过点(0,1)，且被y 轴分成两段弧，弧长之比为2∶1，则圆的方程为( )A ．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝43B ．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ±332＋y 2＝43 D.⎝⎛⎭⎪⎫x ±332＋y 2＝13 解析：选C 设圆的方程为(x ±a )2＋y 2＝r 2(a >0)，圆C 与y 轴交于A (0,1)，B (0，－1)，由弧长之比为2∶1，易知∠OCA ＝12∠ACB ＝12×120°＝60°，则tan 60°＝|OA ||OC |＝1|OC |＝3，所以a ＝|OC |＝33，即圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫±33，0，r 2＝|AC |2＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫±332＝43.所以圆的方程为⎝⎛⎭⎪⎫x ±332＋y 2＝43，故选C.8．(xx·合肥质检)设圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的圆心为C ，直线l 过(0,3)且与圆C 交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则直线l 的方程为( )A ．3x ＋4y －12＝0或4x －3y ＋9＝0B ．3x ＋4y －12＝0或x ＝0C ．4x －3y ＋9＝0或x ＝0D ．3x －4y ＋12＝0或4x ＋3y ＋9＝0解析：选B 由题可知，圆心C (1,1)，半径r ＝2.当直线l 的斜率不存在时，直线方程为x ＝0，计算出弦长为23，符合题意；当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y ＝kx ＋3，由弦长为23可知，圆心到该直线的距离为1，从而有|k ＋2|k 2＋1＝1，解得k ＝－34，所以直线l 的方程为y ＝－34x ＋3，即3x ＋4y －12＝0.综上，直线l 的方程为x ＝0或3x ＋4y －12＝0，故选B.9．(xx 届高三·湖北七市(州)联考)关于曲线C ：x 2＋y 4＝1，给出下列四个命题： ①曲线C 有两条对称轴，一个对称中心； ②曲线C 上的点到原点距离的最小值为1； ③曲线C 的长度l 满足l >42；④曲线C 所围成图形的面积S 满足π<S <4. 上述命题中，真命题的个数是( ) A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选A ①将(x ，－y )，(－x ，y )，(－x ，－y )代入，方程不变，则可以确定曲线关于x 轴，y 轴对称，关于原点对称，故①是真命题．②由x 2＋y 4＝1得0≤x 2≤1,0≤y 4≤1，故x 2＋y 2≥x 2＋y 2·y 2＝x 2＋y 4＝1，即曲线C 上的点到原点的距离为x 2＋y 2≥1，故②是真命题．③由②知，x 2＋y 4＝1的图象位于单位圆x 2＋y 2＝1和边长为2的正方形之间，如图所示，其每一段弧长均大于2，所以l >42，故③是真命题．④由③知，π×12<S <2×2，即π<S <4，故④是真命题．综上，真命题的个数为4.10．已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( )A ．2B ．4 2C ．6D ．210解析：选C 由于直线x ＋ay －1＝0是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，∴圆心C (2,1)在直线x ＋ay －1＝0上，∴2＋a －1＝0，解得a ＝－1，∴A (－4，－1)，|AC |2＝(－4－2)2＋(－1－1)2＝40.又r ＝2，∴|AB |2＝40－4＝36，即|AB |＝6.11．两个圆C 1：x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0(a ∈R)与C 2：x 2＋y 2－2by －1＋b 2＝0(b ∈R)恰有三条公切线，则a ＋b 的最小值为( )A ．3 2B ．－3 2C ．6D ．－6解析：选B 两个圆恰有三条公切线，则两圆外切，两圆的标准方程为圆C 1：(x ＋a )2＋y 2＝4，圆C 2：x 2＋(y －b )2＝1，所以C 1(－a,0)，C 2(0，b )，||C 1C 2＝a 2＋b 2＝2＋1＝3，即a 2＋b 2＝9.由⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，得(a ＋b )2≤18，所以－32≤a ＋b ≤32，当且仅当“a ＝b ”时等号成立．所以a ＋b 的最小值为－3 2.12．若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则半径r 的取值范围是( )A ．(4,6)B ．[4,6]C ．(4,5)D ．(4,5]解析：选A 设直线4x －3y ＋m ＝0与直线4x －3y －2＝0之间的距离为1，则有|m ＋2|5＝1，m ＝3或m ＝－7.圆心(3，－5)到直线4x －3y ＋3＝0的距离等于6，圆心(3，－5)到直线4x －3y－7＝0的距离等于4，因此所求圆半径的取值范围是(4,6)，故选A.二、填空题13．(xx·河北调研)若直线l 1：y ＝x ＋a 和直线l 2：y ＝x ＋b 将圆(x －1)2＋(y －2)2＝8分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝________.解析：由题意得直线l 1和l 2截圆所得弦所对的圆心角相等，均为90°，因此圆心到两直线的距离均为22r ＝2，即|1－2＋a |2＝|1－2＋b |2＝2，得a 2＋b 2＝(22＋1)2＋(1－22)2＝18. 答案：1814．已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为____________．解析：因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，且a ＞0，所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a5＝455，解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝|CM |＝22＋52＝3，所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.答案：(x －2)2＋y 2＝915．设直线l ：y ＝kx ＋1被圆C ：x 2＋y 2－2x －3＝0截得的弦最短，则直线l 的方程为____________．解析：因为直线l 恒过定点(0,1)，由x 2＋y 2－2x －3＝0变形为(x －1)2＋y 2＝4，易知点(0,1)在圆(x －1)2＋y 2＝4的内部，依题意，k ·1－00－1＝－1，即k ＝1，所以直线l 的方程为y ＝x ＋1.答案：y ＝x ＋116．已知A (－2,0)，B (0,2)，实数k 是常数，M ，N 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0上不同的两点，P 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0上的动点，如果M ，N 关于直线x －y －1＝0对称，则△PAB 面积的最大值是________．解析：由题意知圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－k2，0在直线x －y －1＝0上，所以－k2－1＝0，解得k ＝－2，得圆心的坐标为(1,0)，半径为1.又知直线AB 的方程为x －y ＋2＝0，所以圆心(1,0)到直线AB 的最大距离为322，所以P 到直线AB 的最大距离，即△PAB 的AB 边上的高的最大值为1＋322，又|AB |＝22，所以△PAB 面积的最大值为12×22×⎝⎛⎭⎪⎫1＋322＝3＋ 2.答案：3＋ 2B 组——能力小题保分练1．(xx·石家庄模拟)若a ，b 是正数，直线2ax ＋by －2＝0被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为23，则t ＝a 1＋2b 2取得最大值时a 的值为( )A.12B.32C.34 D.34解析：选 D 因为圆心到直线的距离d ＝24a 2＋b2，则直线被圆截得的弦长L ＝2r 2－d 2＝24－44a 2＋b 2＝23，所以4a 2＋b 2＝4.则t ＝a 1＋2b 2＝122·(22a )·1＋2b 2≤122×12×[]22a2＋1＋2b22＝142·[8a 2＋1＋2(4－4a 2)]＝942，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧8a 2＝1＋2b 2，4a 2＋b 2＝4时等号成立，此时a ＝34，故选D.2．已知直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，且有|OA ―→＋OB ―→|≥33|AB ―→|，那么k 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．[2，22)D ．[3，22)解析：选C 当|OA ―→＋OB ―→|＝33|AB ―→|时，O ，A ，B 三点为等腰三角形AOB 的三个顶点，其中OA ＝OB ＝2，∠AOB ＝120°，从而圆心O 到直线x ＋y －k ＝0(k >0)的距离为1，即|k |2＝1，解得k ＝2；当k >2时，|OA ―→＋OB ―→|>33|AB ―→|，又直线与圆x 2＋y 2＝4有两个不同的交点，故|k |2<2，即k <2 2.综上，k 的取值范围为[2，22)．3．(xx 届高三·湖北七市(州)联考)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r >0)．设条件p ：0<r <3，条件q ：圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选 C 圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2的圆心(1,0)到直线x －3y ＋3＝0的距离d ＝|1－3×0＋3|12＋32＝2.当2－r >1，即0<r <1时，直线在圆外，圆上没有点到直线的距离为1； 当2－r ＝1，即r ＝1时，直线在圆外，圆上只有1个点到直线的距离为1； 当0<2－r <1，即1<r <2时，直线在圆外，此时圆上有2个点到直线的距离为1；当2－r ＝0，即r ＝2时，直线与圆相切，此时圆上有2个点到直线的距离为1； 当0<r －2<1，即2<r <3时，直线与圆相交，此时圆上有2个点到直线的距离为1； 当r －2＝1，即r ＝3时，直线与圆相交，此时圆上有3个点到直线的距离为1； 当r －2>1，即r >3时，直线与圆相交，此时圆上有4个点到直线的距离为1.综上，当0<r <3时，圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1；由圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1可得0<r <3.故p 是q 的充要条件，故选C.4．(xx 届高三·广东五校联考)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的圆心在直线ax －by ＋1＝0上，则ab 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14 B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，18C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18 解析：选B 把圆的方程化为标准方程得，(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，∴圆心坐标为(－1,2)，根据题意可知，圆心在直线ax －by ＋1＝0上，把圆心坐标代入直线方程得，－a －2b ＋1＝0，即a ＝1－2b ，则ab ＝(1－2b )b ＝－2b 2＋b ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫b －142＋18≤18，当b ＝14时，ab 有最大值18，故ab 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，18.5．已知点A (3,0)，若圆C ：(x －t )2＋(y －2t ＋4)2＝1上存在点P ，使|PA |＝2|PO |，其中O 为坐标原点，则圆心C 的横坐标t 的取值范围为________．解析：设点P (x ，y )，因为|PA |＝2|PO |，所以x －32＋y 2＝2x 2＋y 2，化简得(x ＋1)2＋y 2＝4，所以点P 在以M (－1,0)为圆心，2为半径的圆上．由题意知，点P (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆M 有公共点，则1≤|CM |≤3，即1≤t ＋12＋2t －42≤3,1≤5t 2－14t ＋17≤9.不等式5t 2－14t ＋16≥0的解集为R ；由5t 2－14t ＋8≤0，得45≤t ≤2.所以圆心C 的横坐标t 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，2. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，2 6．设点M (x 0,1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是________．解析：由题意可知M 在直线y ＝1上运动，设直线y ＝1与圆x 2＋y 2＝1相切于点P (0,1)．当x 0＝0即点M 与点P 重合时，显然圆上存在点N (±1，0)符合要求；当x 0≠0时，过M 作圆的切线，切点之一为点P ，此时对于圆上任意一点N ，都有∠OMN ≤∠OMP ，故要存在∠OMN ＝45°，只需∠OMP ≥45°.特别地，当∠OMP ＝45°时，有x 0＝±1.结合图形可知，符合条件的x 0的取值范围为[－1,1]．答案：[－1,1]第二讲 小题考法——圆锥曲线的方程与性质考点(一)主要考查圆锥曲线的定义及其应用、标准方程的求法.圆锥曲线的定义与标准方程[典例感悟][典例] (1)(xx·合肥模拟)已知双曲线x 23－y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，且满足|PF 1|＋|PF 2|＝25，则△PF 1F 2的面积为( )A ．1 B. 3 C. 5 D.12(2)在平面直角坐标系中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b ≥1)的离心率e ＝32，且椭圆C 1上一点M 到点Q (0,3)的距离的最大值为4.则椭圆C 1的方程为( )A ．x 2＋y 24＝1B.x 24＋y 2＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 24＋y 216＝1 (3)(xx·全国卷Ⅱ)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.[解析] (1)在双曲线x 23－y 2＝1中，a ＝3，b ＝1，c ＝2.不妨设P 点在双曲线的右支上，则有|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝23，又|PF 1|＋|PF 2|＝25，∴|PF 1|＝5＋3，|PF 2|＝5－ 3.又|F 1F 2|＝2c ＝4，而|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴PF 1⊥PF 2，∴S △PF 1F 2＝12×|PF 1|×|PF 2|＝12×(5＋3)×(5－3)＝1.故选A.(2)因为e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，所以a 2＝4b 2，则椭圆方程为x 24b 2＋y 2b2＝1，即x 2＋4y 2＝4b 2.设M (x ，y )，则|MQ |＝x －02＋y －32＝4b 2－4y 2＋y －32＝－3y 2－6y ＋4b 2＋9＝－3y ＋12＋4b 2＋12.所以当y ＝－1时，|MQ |有最大值，为4b 2＋12＝4，解得b 2＝1，则a 2＝4，所以椭圆C 1的方程是x 24＋y 2＝1.故选B.(3)法一：依题意，抛物线C ：y 2＝8x 的焦点F (2,0)，因为M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，M 为FN 的中点，设M (a ，b )(b >0)，所以a ＝1，b ＝22，所以N (0,42)，|FN |＝4＋32＝6.法二：如图，不妨设点M 位于第一象限内，抛物线C 的准线交x 轴于点A ，过点M 作准线的垂线，垂足为点B ，交y 轴于点P ，∴PM ∥OF .由题意知，F (2,0)，|FO |＝|AO |＝2.∵点M 为FN 的中点，PM ∥OF ， ∴|MP |＝12|FO |＝1.又|BP |＝|AO |＝2， ∴|MB |＝|MP |＋|BP |＝3.由抛物线的定义知|MF |＝|MB |＝3， 故|FN |＝2|MF |＝6. [答案] (1)A (2)B (3)6[方法技巧]求解圆锥曲线标准方程的思路方法(1)定型，即指定类型，也就是确定圆锥曲线的类型、焦点位置，从而设出标准方程． (2)计算，即利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2或p .另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y 2＝2px 或x 2＝2py (p ≠0)，椭圆常设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)，双曲线常设为mx 2－ny 2＝1(mn >0)．[演练冲关]1．(xx·长沙模拟)已知椭圆的中心在原点，离心率e ＝12，且它的一个焦点与抛物线y 2＝－4x 的焦点重合，则此椭圆方程为( )A.x 24＋y 23＝1B.x 28＋y 26＝1C.x 22＋y 2＝1 D.x 24＋y 2＝1 解析：选A 由题可知椭圆的焦点在x 轴上，所以设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，而抛物线y 2＝－4x的焦点为(－1,0)，所以c ＝1，又离心率e ＝c a ＝12，解得a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.故选A.2．(xx·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A.x 28－y 210＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 解析：选B 根据双曲线C 的渐近线方程为y ＝52x ，可知b a ＝52.① 又椭圆x 212＋y 23＝1的焦点坐标为(3,0)和(－3,0)，所以a 2＋b 2＝9.②根据①②可知a 2＝4，b 2＝5， 所以C 的方程为x 24－y 25＝1.3．已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，过P 作PA ⊥l 于点A ，当∠AFO ＝30°(O 为坐标原点)时，|PF |＝________.解析：法一：令l 与y 轴的交点为B ，在Rt △ABF 中，∠AFB ＝30°，|BF |＝2，所以|AB |＝233.设P (x 0，y 0)，则x 0＝±233，代入x 2＝4y 中，得y 0＝13，所以|PF |＝|PA |＝y 0＋1＝43.法二：如图所示，∠AFO ＝30°， ∴∠PAF ＝30°，又|PA |＝|PF |，∴△APF 为顶角∠APF ＝120°的等腰三角形， 而|AF |＝2cos 30°＝433，∴|PF |＝|AF |3＝43.答案：43考点(二) 主要考查椭圆、双曲线的离心率的计算、双曲线渐近线的应用以及抛物线的有关性质.圆锥曲线的几何性质[典例感悟][典例] (1)(xx·全国卷Ⅰ)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8(2)(xx·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN ＝60°，则C 的离心率为________．[解析] (1)由题，不妨设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，圆的方程为x 2＋y 2＝r 2. ∵|AB |＝42，|DE |＝25，抛物线的准线方程为x ＝－p2，∴不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5. ∵点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧16p 2＋8＝r 2，p 24＋5＝r 2，∴16p 2＋8＝p24＋5， ∴p ＝4(负值舍去)，∴C 的焦点到准线的距离为4.(2)双曲线的右顶点为A (a,0)，一条渐近线的方程为y ＝b ax ，即bx －ay ＝0，则圆心A 到此渐近线的距离d ＝|ba －a ×0|b 2＋a 2＝ab c .又因为∠MAN ＝60°，圆的半径为b ，所以b ·sin 60°＝abc ，即3b 2＝ab c ，所以e ＝23＝233. [答案] (1)B (2)233[方法技巧]1．椭圆、双曲线离心率(离心率范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系或不等关系，然后把b 用a ，c 代换，求c a的值．2．双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得． (2)用法：①可得b a 或a b的值；②利用渐近线方程设所求双曲线的方程．[演练冲关]1．(xx·成都模拟)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P .若以OF 1(O 为坐标原点)为直径的圆与PF 2相切，则双曲线C 的离心率为( )A. 2B.－3＋624 C. 3 D.3＋627解析：选D 如图，在圆O 中，F 1F 2为直径，P 是圆O 上一点，所以PF 1⊥PF 2，设以OF 1为直径的圆的圆心为M ，且圆M 与直线PF 2相切于点Q ，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c 2，0，MQ ⊥PF 2，所以PF 1∥MQ ，所以|MQ ||PF 1|＝|MF 2||F 1F 2|，即c2|PF 1|＝3c22c ，可得|PF 1|＝2c 3，所以|PF 2|＝2c 3＋2a ，又|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，所以4c 29＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2c 3＋2a 2＝4c 2，即7e 2－6e －9＝0，解得e ＝3＋627，e ＝3－627(舍去)．故选D. 2．(xx·全国卷Ⅰ)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满足∠AMB＝120°，则m 的取值范围是( )A ．(0,1]∪[9，＋∞)B ．(0， 3 ]∪[9，＋∞)C ．(0,1]∪[4，＋∞)D ．(0， 3 ]∪[4，＋∞)解析：选A 当0＜m ＜3时，焦点在x 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则ab≥tan 60°＝3，即3m≥3，解得0＜m ≤1.当m ＞3时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB＝120°，则a b≥tan 60°＝3，即m3≥3，解得m ≥9.故m 的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)．3．(xx·贵阳检测)如图，抛物线y 2＝4x 的一条弦AB 经过焦点F ，取线段OB 的中点D ，延长OA 至点C ，使|OA |＝|AC |，过点C ，D 作y 轴的垂线，垂足分别为点E ，G ，则|EG |的最小值为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，则y 3＝2y 1，y 4＝12y 2，|EG |＝y 4－y 3＝12y 2－2y 1.因为AB 为抛物线y 2＝4x 的焦点弦，所以y 1y 2＝－4，所以|EG |＝12y 2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－4y 2＝12y 2＋8y 2≥212y 2×8y 2＝4，当且仅当12y 2＝8y 2，即y 2＝4时取等号，所以|EG |的最小值为4.答案：4[典例感悟][典例] (1)(xx 届高三·河南九校联考)已知直线y ＝kx ＋t 与圆x 2＋(y ＋1)2＝1相切且与抛物线C ：x 2＝4y 交于不同的两点M ，N ，则实数t 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)∪(0，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)C ．(－3,0)D ．(－2,0)(2)(xx·宝鸡质检)已知双曲线C ：mx 2＋ny 2＝1(mn <0)的一条渐近线与圆x 2＋y 2－6x －2y ＋9＝0相切，则C 的离心率为( )A.53B.54C.53或2516D.53或54 [解析] (1)因为直线与圆相切，所以|t ＋1|1＋k2＝1，即k 2＝t 2＋2t .将直线方程代入抛物线方程并整理得x 2－4kx －4t ＝0，于是Δ＝16k 2＋16t ＝16(t 2＋2t )＋16t >0，解得t >0或t <－3.故选A.(2)圆x 2＋y 2－6x －2y ＋9＝0的标准方程为(x －3)2＋(y －1)2＝1，则圆心为M (3,1)，半径r ＝1.当m <0，n >0时，由mx 2＋ny 2＝1得y 21n－x 2－1m＝1，则双曲线的焦点在y 轴上，不妨设双曲线与圆相切的渐近线方程为y ＝a b x ，即ax －by ＝0，则圆心到直线的距离d ＝|3a －b |a 2＋b 2＝1，即|3a －b |＝c ，平方得9a 2－6ab ＋b 2＝c 2＝a 2＋b 2，即8a 2－6ab ＝0，则b ＝43a ，平方得b 2＝169a 2＝c 2－a 2，即c 2＝259a 2，则c ＝53a ，离心率e ＝c a ＝53；当m >0，n <0时，同理可得e ＝54，故选D.[答案] (1)A (2)D[方法技巧]处理圆锥曲线与圆相结合问题的注意点(1)注意圆心、半径和平面几何知识的应用，如直径所对的圆周角为直角，构成了垂直关系；弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形等．(2)注意圆与特殊线的位置关系，如圆的直径与椭圆长轴(短轴)，与双曲线的实轴(虚轴)的关系；圆与过定点的直线、双曲线的渐近线、抛物线的准线的位置关系等．[演练冲关]1．(xx 届高三·广西三市联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，P 是双曲线C 右支上一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，若直线PF 1与圆x 2＋y 2＝a 2相切，则双曲线的离心率为( )A.43B.53C ．2D ．3解析：选B 取线段PF 1的中点为A ，连接AF 2，又|PF 2|＝|F 1F 2|，则AF 2⊥PF 1，∵直线PF 1与圆x 2＋y 2＝a 2相切，∴|AF 2|＝2a ，∵|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，∴|PF 1|＝2a ＋2c ，∴|PA |＝12·|PF 1|＝a ＋c ，则在Rt△APF 2中，4c 2＝(a ＋c )2＋4a 2，化简得(3c －5a )(a ＋c )＝0，则双曲线的离心率为53.2．已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m >0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ，则直线OM 与直线l 的斜率之积为( )A ．－9B ．－92C ．－19D ．－3解析：选A 设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．将y ＝kx ＋b 代入9x 2＋y 2＝m 2，得(k 2＋9)x 2＋2kbx ＋b 2－m 2＝0，故x M ＝x 1＋x 22＝－kbk 2＋9，y M ＝kx M ＋b ＝9bk 2＋9，故直线OM 的斜率k OM ＝y M x M＝－9k，所以k OM ·k ＝－9，即直线OM 与直线l 的斜率之积为－9.[必备知能·自主补缺] (一) 主干知识要记牢圆锥曲线的定义、标准方程和性质 名称 椭圆 双曲线 抛物线定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)|PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于M标准方程x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)y 2＝2px(p >0) 图形几何性质轴 长轴长2a ， 短轴长2b实轴长2a ， 虚轴长2b(二) 二级结论要用好 1．椭圆焦点三角形的3个规律设椭圆方程是x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)，点P 的坐标是(x 0，y 0)．(1)三角形的三个边长是|PF 1|＝a ＋ex 0，|PF 2|＝a －ex 0，|F 1F 2|＝2c ，e 为椭圆的离心率． (2)如果△PF 1F 2中∠F 1PF 2＝α，则这个三角形的面积S △PF 1F 2＝c |y 0|＝b 2tan α2.(3)椭圆的离心率e ＝sin ∠F 1PF 2sin ∠F 1F 2P ＋sin ∠F 2F 1P .2．双曲线焦点三角形的2个结论P (x 0，y 0)为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上的点，△PF 1F 2为焦点三角形．(1)面积公式S ＝c |y 0|＝12r 1r 2sin θ＝b 2tanθ2(其中|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，∠F 1PF 2＝θ)．(2)焦半径若P 在右支上，|PF 1|＝ex 0＋a ，|PF 2|＝ex 0－a ；若P 在左支上，|PF 1|＝－ex 0－a ，|PF 2|＝－ex 0＋a .3．抛物线y 2＝2px (p >0)焦点弦AB 的4个结论 (1)x A ·x B ＝p 24；(2)y A ·y B ＝－p 2； (3)|AB |＝2psin 2α(α是直线AB 的倾斜角)； (4)|AB |＝x A ＋x B ＋p . 4．圆锥曲线的通径 (1)椭圆通径长为2b2a；。
2021-2022年高考数学二轮专题复习 专题突破篇 专题五 解析几何专题限时训练17 文
2021年高考数学二轮专题复习 专题突破篇 专题五 解析几何专题限时训练17 文一、选择题(每小题5分，共25分)1．若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．22 答案：D解析：设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则使三角形面积最大时，三角形在椭圆上的顶点为椭圆短轴端点，所以S ＝12×2c ×b ＝bc ＝1≤b 2＋c 22＝a 22，所以a 2≥2，所以a ≥2， 所以长轴长2a ≥2 2.故选D.2．经过椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点任意作弦AB ，过A 作直线x ＝4的垂线AM ，垂足为M ，则直线BM 必经过定点( )A ．(2,0)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0 C ．(3,0)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫72，0 答案：B解析：依题意，选取过椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点且垂直于x 轴的弦AB ，则A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，所以过点A 作直线x ＝4的垂线，垂足为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，32，所以直线BM 的方程为y ＝x －52，由于所给选项均为x 轴上的点，而直线BM 与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0.故选B.3．如图，已知点B 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的短轴位于x 轴下方的端点，过B 作斜率为1的直线交椭圆于点M ，点P 在y 轴上，且PM ∥x 轴，BP →·BM →＝9，若点P 的坐标为(0，t )，则t 的取值范围是( )A.(0,3)B ．(0,3]C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 答案：C解析：因为P (0，t )，B (0，－b )，所以M (t ＋b ，t )． 所以BP →＝(0，t ＋b )，BM →＝(t ＋b ，t ＋b )． 因为BP →·BM →＝9，所以(t ＋b )2＝9，t ＋b ＝3. 因为0<t <b ，所以0<t <3－t . 所以0<t <32.故选C.4．(xx·杭州模拟)已知抛物线y 2＝8x 的焦点F 到双曲线C ：y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)渐近线的距离为455，点P 是抛物线y 2＝8x 上的一动点，P 到双曲线C 的焦点F 1(0，c )的距离与到直线x ＝－2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为( )A.y 22－x 23＝1 B ．y 2－x 24＝1C.y 24－x 2＝1 D.y 23－x 22＝1 答案：C解析：由题意得，抛物线y 2＝8x 的焦点F (2,0)，双曲线C ：y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的方程为ax －by ＝0，∵抛物线y 2＝8x 的焦点F 到双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)渐近线的距离为455，∴2aa 2＋b 2＝455，∴a ＝2b .∵P 到双曲线C 的上焦点F 1(0，c )的距离与到直线x ＝－2的距离之和的最小值为3， ∴|FF 1|＝3，∴c 2＋4＝9，∴c ＝5， ∵c 2＝a 2＋b 2，a ＝2b ，∴a ＝2，b ＝1.∴双曲线的方程为y 24－x 2＝1.故选C.5．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若双曲线上存在点P 满足asin ∠PF 1F 2＝csin ∠PF 2F 1，则该双曲线的离心率的取值范围为( )A ．(1，2＋1)B ．(1，3)C ．(3，＋∞)D ．(2＋1，＋∞)答案：A解析：根据正弦定理得|PF 2|sin ∠PF 1F 2＝|PF 1|sin ∠PF 2F 1，所以由a sin ∠PF 1F 2＝c sin ∠PF 2F 1，可得a |PF 2|＝c|PF 1|，即|PF 1||PF 2|＝ca＝e ，所以|PF 1|＝e |PF 2|. 因为e >1，所以|PF 1|>|PF 2|，点P 在双曲线的右支上． |PF 1|－|PF 2|＝e |PF 2|－|PF 2|＝|PF 2||e －1|＝2a .解得|PF 2|＝2ae －1，因为|PF 2|>c －a ， 所以2a e －1>c －a ，即2e －1>e －1， 即(e －1)2<2，解得1－2<e <2＋1. 又e >1，所以e ∈(1，2＋1)．故选A. 二、填空题(共3小题，满分15分)6．(xx·沈阳二模)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，△ABC 的顶点都在抛物线上，且满足FA →＋FB →＋FC →＝0，则1k AB ＋1k BC ＋1k CA＝________.答案：0解析：F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，由FA →＋FB →＋FC →＝0知，⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－p 2，y 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－p 2，y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－ p 2，y 3＝(0,0)， 故y 1＋y 2＋y 3＝0，∵1k AB ＝x 2－x 1y 2－y 1＝12p y 22－y 21y 2－y 1＝y 1＋y 22p， 同理可知1k BC ＝y 3＋y 22p ，1k CA ＝y 1＋y 32p ，∴1k AB ＋1k BC ＋1k CA＝2y 1＋y 2＋y 32p ＝0.7．P 为双曲线x 2－y 215＝1右支上一点，M ，N 分别是圆(x ＋4)2＋y 2＝4和(x －4)2＋y 2＝1上的点，则|PM |－|PN |的最大值为________．答案：5解析：已知两圆圆心(－4,0)和(4,0)(记为F 1和F 2)恰为双曲线x 2－y 215＝1的两焦点．当|PM |最大，|PN |最小时，|PM |－|PN |最大，|PM |最大值为P 到圆心F 1的距离|PF 1|与圆F 1半径之和，同样|PN |min ＝|PF 2|－1，从而|PM |－|PN |＝|PF 1|＋2－(|PF 2|－1)＝|PF 1|－|PF 2|＋3＝2a ＋3＝5.8．(xx·湖南卷)如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a <b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p >0)经过C ，F 两点，则ba＝________.答案：1＋2解析：由正方形的定义可知BC ＝CD ，结合抛物线的定义得点D 为抛物线的焦点，所以|AD |＝p ＝a ，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2＋b ，b ，将点F 的坐标代入抛物线的方程得b 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2＋b ＝a 2＋2ab ，变形得⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－2ba－1＝0，解得b a ＝1＋2或b a ＝1－2(舍去)，所以b a ＝1＋ 2.三、解答题(9题12分，10题、11题每题14分，共40分)9．如图，经过点P (2,3)，且中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆M 的离心率为12.(1)求椭圆M 的方程；(2)若椭圆M 的弦PA ，PB 所在直线分别交x 轴于点C ，D ，且|PC |＝|PD |，求证：直线AB 的斜率为定值．解：(1)设椭圆M 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则4a 2＋9b 2＝1，且e 2＝a 2－b 2a 2＝14， 解得a 2＝16，b 2＝12.故椭圆M 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)由题意知，直线PA 的斜率必存在，故设直线PA 的方程为y ＝k (x －2)＋3，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，由|PC |＝|PD |可知，直线PB 的方程为y ＝－k (x －2)＋3.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －2＋3，x 216＋y 212＝1，可得(4k 2＋3)x 2－8k (2k －3)x ＋4(2k －3)2－48＝0.① 又方程①有一实根为2，故另一实根为42k －32－4824k 2＋3＝22k －32－244k 2＋3＝24k 2－12k －34k 2＋3，故x A ＝24k 2－12k －34k 2＋3.同理，x B ＝24k 2＋12k －34k 2＋3.所以x A ＋x B ＝44k 2－34k 2＋3，x A ＋x B －4＝－244k 2＋3， x A －x B ＝－48k4k 2＋3. 所以直线AB 的斜率k AB ＝y A －y B x A －x B ＝k x A ＋x B －4x A －x B ＝12，即直线AB 的斜率为定值． 10.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，短轴端点到焦点的距离为2.(1)求椭圆C 的方程；(2)设A ，B 为椭圆C 上任意两点，O 为坐标原点，且OA ⊥OB . ①求证原点O 到直线AB 的距离为定值，并求出该定值；②任取以椭圆C 的长轴为直径的圆上一点P ，求△PAB 面积的最大值．解：(1)由题意知，e ＝ca ＝32，b 2＋c 2＝2， 又a 2＝b 2＋c 2，所以a ＝2，c ＝3，b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)①当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的方程为x ＝±255，此时，原点O 到直线AB 的距离为255.当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.则Δ＝(8km )2－4(1＋4k 2)(4m 2－4)＝16(1＋4k 2－m 2)>0， x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2，则y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝m 2－4k 21＋4k 2，由OA ⊥OB ，得k OA ·k OB ＝－1，即y 1x 1·y 2x 2＝－1，所以x 1x 2＋y 1y 2＝5m 2－4－4k 21＋4k 2＝0， 即m 2＝45(1＋k 2)，所以原点O 到直线AB 的距离为|m |1＋k2＝255. 综上，原点O 到直线AB 的距离为定值255.②当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的方程为x ＝±255，结合椭圆C 的方程可得|AB |＝455.当直线AB 的斜率存在时， 由①可得|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝451＋9k216k 4＋8k 2＋1， 当k ≠0时，|AB |＝451＋916k 2＋8＋1k2≤5，当且仅当k ＝±12时等号成立．当k ＝0时，|AB |＝455.所以|AB |的最大值为5，又点P 到直线AB 的最大距离为255＋2.所以S △PAB 的最大值为12×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫255＋2＝1＋ 5.11．(xx·四川卷)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是22，点P (0,1)在短轴CD 上，且PC →·PD →＝－1.(1)求椭圆E 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点．是否存在常数λ，使得OA →·OB →＋λPA →·PB →为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．解：(1)由已知，点C ，D 的坐标分别为(0，－b )，(0，b )． 又点P 的坐标为(0,1)，且PC →·PD →＝－1，于是⎩⎪⎨⎪⎧1－b 2＝－1，c a ＝22，a 2－b 2＝c 2.解得a ＝2，b ＝ 2.所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋1，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0.其判别式Δ＝(4k )2＋8(2k 2＋1)>0，实用文档 所以x 1＋x 2＝－4k 2k 2＋1，x 1x 2＝－22k 2＋1. 从而，OA →·OB →＋λPA →·PB →＝x 1x 2＋y 1y 2＋λ[x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)]＝(1＋λ)(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝－2λ－4k 2＋－2λ－12k 2＋1＝－λ－12k 2＋1－λ－2. 所以，当λ＝1时，－λ－12k 2＋1－λ－2＝－3. 此时，OA →·OB →＋λPA →·PB →＝－3为定值．当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD .此时，OA →·OB →＋λPA →·PB →＝OC →·OD →＋PC →·PD →＝－2－1＝－3.故存在常数λ＝1，使得OA →·OB →＋λPA →·PB →为定值－3.。
高考数学二轮总复习第1篇核心专题提升多维突破专题5解析几何微专题解析几何问题的方法技巧课件
典例1 如图，F1，F2 是椭圆 C1：x42＋y2＝1 与双曲线 C2 的公共
焦点，A，B 分别是 C1，C2 在第二、四象限的公共点．若四边形 AF1BF2
为矩形，则 C2 的离心率是( D )
A. 2
B． 3
C．32
D．
6 2
【解题欣赏】 由已知，得 F1(－ 3，0)，F2( 3，0)，设双曲线 C2 的实半轴长为 a，由椭圆及双曲线的定义和已知，
技法三 巧设参数 换元引参是一种重要的数学方法，特别是解析几何中的最值问题、 不等式问题等，利用换元引参使一些关系能够相互联系起来，激活了解 题的方法，往往能化难为易，达到事半功倍． 常见的参数可以选择点的坐标、直线的斜率、直线的倾斜角等．在 换元过程中，还要注意代换的等价性，防止扩大或缩小原来变量的取值 范围或改变原题条件．
可得 3－t2＞0，即 0＜t2＜3， 又由于圆心到直线的距离等于半径， 即 d＝ |51－＋mt2| ＝ 2＋1＋2tt22＝2 1＋t2＝r， 而由 0＜t2＜3 可得 2＜r＜4. 故 r 的取值范围为(2,4)．
技法四 妙借向量 平面向量是衔接代数与几何的纽带，沟通“数”与“形”，融数、 形于一体，是数形结合的典范，具有几何形式与代数形式的双重身份， 是数学知识的一个交汇点和联系多项知识的媒介．妙借向量，可以有效 提升圆锥曲线的解题方向与运算效率，达到良好效果．
整理得(1＋k2)x20＋2ax0＝0，于是 x0＝1－＋2ka2， 代入②，得(1＋k2)·1＋4ak222＜a2， 解得 k2＞3，所以|k|＞ 3.
方法三：设 P(acos θ，bsin θ)(0≤θ＜2π)，则线段 OP 的中点 Q 的坐
标为a2cos
θ，b2sin
2019-2020年高考题型专题冲刺精讲(数学)专题五：解析几何(学生版)
2019-2020年高考题型专题冲刺精讲（数学）专题五：解析几何（学生版）【命题特点】近三年高考解析几何每年出一道满分为12分的解析几何大题.究其原因,一是解析几何是中学数学的一个重要组成部分,二是同学们在未来学习、发展中的需要所致.细细品读这三年的解析几何大题,感觉如山间的涓涓清泉滋润心田,甘甜可口,不愿离去.为了找到清泉流向远方的目标,我从其志、探其源、求其真.经过探究,发现这几年的解析几何大题的命题特点可概括如下:依纲靠本,查基考能;朴实取材,独具匠心;不断创新,关注交汇;交切中点,核是线圆;长度面积,最值定值;平行垂直,向量驾驭;求轨探迹,运动探究;数形结合,各领风骚;灵气十足,回味无穷;文理有别,意境深远.复习建议1.加强直线和圆锥曲线的基础知识，初步掌握了解决直线与圆锥曲线有关问题的基本技能和基本方法。
2．由于直线与圆锥曲线是高考考查的重点内容，选择、填空题灵活多变，思维能力要求较高，解答题背景新颖、综合性强，代数推理能力要求高，因此有必要对直线与圆锥曲线的重点内容、高考的热点问题作深入的研究。
3．在第一轮复习的基础上，再通过纵向深入，横向联系，进一步掌握解决直线与圆锥曲线问题的思想和方法，提高我们分析问题和解决问题的能力。
4.在注重提高计算能力的同时，要加强心理辅导，帮助学生克服惧怕计算的心态。
【试题常见设计形式】近四年新教材高考对解析几何内容的考查主要集中在如下几个类型：①求曲线方程(类型确定、类型未定)；②直线与圆锥曲线的交点问题(含切线问题)；③与曲线有关的最(极)值问题；④与曲线有关的几何证明(对称性或求对称曲线、平行、垂直)；⑤探求曲线方程中几何量及参数间的数量特征；解析几何虽然内容庞杂，但基本问题却只有几个.如①求直线与圆锥曲线的方程；②求动点的轨迹或轨迹方程；③求特定对象的值；④求变量的取值范围或最值；⑤不等关系的判定与证明；⑥圆锥曲线有关性质的探求与证明等.对各类问题，学生应从理论上掌握几种基本方法，使之在实际应用中有法可依，克服解题的盲目性.如“求变量的取值范围”，可指导学生掌握三种方法：几何法（数形结合），函数法和不等式法. 从宏观上把握解决直线与圆锥曲线问题的解题要点，能帮助学生易于找到解题切入点，优化解题过程，常用的解题策略有：①建立适当的平面直角坐标系；②设而不求，变式消元；③利用韦达定理沟通坐标与参数的关系；④发掘平面几何性质，简化代数运算；⑤用函数与方程思想沟通等与不等的关系；⑥注意对特殊情形的检验和补充；⑦充分利用向量的工具作用；⑧注意运算的可行性分析，等等。
高考数学一轮复习 专题讲座5 解析几何在高考中的常见
专题讲座五 解析几何在高考中 的常见题型与求解策略
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专题讲座五 解析几何在高考中的常见题型与求解策略
考情概述 圆锥曲线是历年高考命题的重点和热点，试题 多以椭圆和抛物线与直线、圆等的位置关系为背景，一般与 向量、函数、不等式等知识综合命题，考查轨迹方程的求解、 最值与范围问题的求解、定点与定值问题的求证、存在性、 探究性问题等．综合考查考生的各种数学思想与技能，多以 压轴题形式出现，是高考的一个难点．
4 所以抛物线 C 的方程为 y2＝4x.
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(2)由(1)知 F(1，0)．
设 A(x0，y0)(x0y0≠0)，D(xD，0)(xD>0)． 因为 |FA|＝ |FD|， 则 |xD－ 1|＝ x0＋ 1， 由 xD>0 得 xD＝x0＋2，故 D(x0＋2，0)， 故直线 AB 的斜率 kAB＝－y20.
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由已知 Δ>0，
设 P(x1，y1)，Q (x2，y2)，x1x2≠0，
则 x1＋x2＝4k（1＋k－2k12），x1x2＝2k（1＋k－2k22）.
从而 直线
AP， AQ
的斜 率之和
kAP＋
kAQ＝
y1＋ x1
1＋y2＋ x2
1＝
kx1＋ 2－ x1
所以直线 AE 过定点 F(1，0)．
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专题二 圆锥曲线中的范围、最值问题 (2015·高考浙江卷)已知椭圆x2＋y2＝1 上两个不同
高考冲刺名师讲座(数学)——解析几何、导数
高考冲刺讲座北京四中 常毓喜一、解析几何例1设曲线l 的方程为y 4+(2x 2+2)y 2+(x 4-2x 2)=0，则①l 是轴对称图形 ②l 是中心对称图形③22{(,)|1}l x y x y ⊂+≤ ④11{(,)|}22l x y y ⊂-≤≤ 其中真命题是 .例2平面内到点F (0,1)和到直线l :y =-1的距离之和等于4的动点的轨迹为曲线C .关于曲线C 的几何性质，给出下列三个结论：①曲线C 关于y 轴对称；②若点P (x ,y )在曲线C 上,则| y |≤2；③若点P 在曲线C 上,则1≤|PF |≤4. 则所有正确结论的序号是 .例3已知直线1211:,:22l y x l y x =-=，椭圆2222:1x y C a b +=.点P 在C 上，过P 作PM 平行于l 1交l 2于M ，过P 作PN 平行于l 2交l 1于N . 若|MN |为定值，则A. a =2bB. a =3bC. a =4bD.a =5b例4已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，A (a ,0),B (0,b ),O (0,0)，△OAB 的面积为1. （1）求椭圆C 的方程；（2）设P 的椭圆C 上一点,直线P A 与y 轴交于点M ,直线PB 与x 轴交于点N .求证：|AN |·|BM |为定值.例5已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点分别为A ，B ，且||4AB =，离心率为12. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点(4,0)Q , 若点P 在直线4x =上，直线BP 与椭圆交于另一点.M 判断是否存在点P ，使得四边形APQM 为梯形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.例6双曲线C 的方程为2213y x -=，左右焦点分别为F 1,F 2，过点F 2作一条直线与双曲线C 的右支交于点P ,Q ，使得∠F 1PQ =90°，则△F 1PQ 的内切圆半径是 .例7如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l :y =2x -4．设圆C 的半径为1，圆心在l 上．（1）若圆心C 也在直线y =x -1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；（2）若圆C 上存在点M ，使MA =2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．例9已知曲线C ：(5-m )x 2+( m -2)y 2=8(m ∈R ).（Ⅰ）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的取值范围；（Ⅱ）设m =4，曲线C 与y 轴的交点为A ，B （点A 位于点B 的上方），直线y =kx +4与曲线C 交于不同的两点M ，N ，直线y =1与直线BM 交于点G ，求证：A ，G ，N 三点共线.例10已知(01)P ,是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>上一点，点P 到椭圆C 的两个焦点的距离之和为（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设A ，B 是椭圆C 上异于点P 的两点，直线P A 与直线4x =交于点M ，是否存在点A ，使得12ABP ABM S S ∆∆=？若存在，求出点A 的坐标；若不存在，请说明理由.例11如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12,F 为椭圆C 的右焦点,(,0)A a -,||3AF =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，P 为椭圆上一点，AP 的中点为M ．直线OM 与直线4x =交于点D ，过O 且平行于AP 的直线与直线4x =交于点E ．求证：ODF OEF ∠=∠．例12点A (0,1)是椭圆2221(1)x y a a+=>的一个顶点，是否存在以A 为直角顶点的内接与椭圆的等腰直角三角形？若存在，说明共有几个；若不存在，请说明理由.二、导数一、准确理解导数的概念例1已知函数f (x )的图象如图所示，则下列结论正确的是A ．0<f ′(a )<f ′(a +1)<f (a +1)-f (a )B ．0<f ′(a +1)<f (a +1)-f (a )<f ′(a )C ．0<f ′(a +1)<f ′(a )<f (a +1)-f (a )D ．0<f (a +1)-f (a ) <f ′(a )<f ′(a +1)二、熟练掌握导数的基本应用例2若函数f (x )在R 上可导,其导函数为f ′(x ),且函数y =(1-x )f ′(x )的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是A ．函数f (x )有极大值f (-2),无极小值B ．函数f (x )有极小值f (1),无极大值C ．函数f (x )有极大值f (-2)和极小值f (1)D ．函数f (x )有极大值f (1)和极小值f (-2)例3设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (-1)=0，当x >0时，xf ′(x )-f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是 .例4已知函数f (x )的定义域为R ,f (-1)=2,若对任意x ∈R , f ′(x )>2,则f (x )>2x +4的解集为 .例5设定义在R 上的函数f (x )的导函数f ′(x )满足f ′(x )<f (x )对于x R 恒成立,则A ．f (2)>e 2f (0),f (2017)>e 2017f (0)B ．f (2)<e 2f (0),f (2017)>e 2017f (0)C ．f (2)<e 2f (0),f (2017)<e 2017f (0)D ．f (2)>e 2f (0),f (2017)<e 2017f (0)例6已知函数1()2ln ()f x x mx m x =+-∈R ．（Ⅰ）若f (x )在(0,+∞)上为单调递减，求m 的取值范围；（Ⅱ）设0<a <b，求证：ln ln b a b a -<-三、突出转化思想例7已知函数f (x )=x e x -a e x -1，且f /(x )=e.（Ⅰ）求a 的值及f (x )的单调区间；（Ⅱ）若关于x 的方程f (x )=kx 2-2(k >2)存在两不相等个正实数根x 1, x 2，证明：124||ln ex x ->．例8设a ∈R ，函数2()()x a f x x a -=+． （Ⅰ）若函数f (x )在(0, f (0))处的切线与直线y =3x -2平行，求a 的值；（Ⅱ）若对于定义域内的任意x 1，总存在x 2使得f (x 2)< f (x 1)，求a 的取值范围.（Ⅰ）证明：函数()y f x =的定义域{|}D x x x a =∈≠-R 且，∈四、充分发挥导数作用例9若对任意的x 1,x 2∈[,2],都有+x 1ln x 1≥−−3成立,则实数a 的取值范围是 .例10设函数f (x )满足22e e ()2()(0),(2)8x x f'x xf x x f x +=>=，试讨论f (x )的极值.例11已知函数f (x )=e x -a ln x -a .（Ⅰ）当a =e 时，求曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程；（Ⅱ）证明：对于任意a ∈(0,e)，f (x )在区间()e,1a 上有极小值，且极小值大于0.例12已知函数f (x )=e x +x 2-x ,g (x )=x 2+ax +b ，a ,b ∈R ．（Ⅰ）当a =1时，求函数F (x )=f (x )-g (x )的单调区间；（Ⅱ）若f (x )≥g (x )恒成立，求a +b 的最大值．例13已知函数f (x )=(x 2+ax -a )e 1-x , f '(x )是函数f (x )的导数，其中a ∈R ． （Ⅰ）求函数f '(x )的零点；（Ⅱ）证明：a ≥0是函数f (x )存在最小值的充分而不必要条件．四、合理使用重要工具1.e x ≥x +1；2.当x >0时，x -1≥ln x .例14证明: e x >ln(x +2).例15（1）求函数f (x )=1-x ln x -x 的最大值；（2）已知函数ln 1()e xx g x +=(e=2.71828…是自然对数的底数)，设h (x )=(x 2+x )g /(x ),其中g /(x )为g (x )的导函数. 求证：对任意x >0, h (x )<1+e -2.121a x 32x 22x。
解析几何-冲刺2022年高考数学大题限时集训(解析版)
专题05解析几何解析几何作为高考数学必考大题，一般包含圆，椭圆。
双曲线，抛物线相关的综合问题。
一般解答题椭圆与抛物线作为重点，双曲线一般考查小题，但是2021年高考新课标中解答题出现了双曲线。
一般出现在20或21题左右，考查内容主要包含直线过定点，求值或者是相应的范围问题，以及定值问题等，对于直线过定点问题可采用齐次化解。
对于求值以及范围问题一般做法均是万能方法韦达定理去转化。
类型一：斜率之和或之积，直线过定点问题方法一：韦达定理方法二：齐次化解决（简单方便）例题1．12,Q Q 为椭圆222212x y b b+=上两个动点，且12OQ OQ ⊥，过原点O 作直线12Q Q 的垂线OD ，求D 的轨迹方程.解法一（常规方法）：设111222(,),(,)Q x y Q x y ，00(,)D x y ,设直线12Q Q 方程为y kx m =+，联立222212y kx mx y bb =+⎧⎪⎨+=⎪⎩化简可得:22222222(2)42()0b k b x kmb x b m b +++-=，所以222222212122222222()(2),22b m b b m b k x x y y b k b b k b +-==++因为12OQ OQ ⊥所以2222222222221212222222222()(2)2()2=0222121b m b b m b k m b m b k x x y y b k b b k b k k +---+=+=+++++22232(1)m b k ∴=+*又因为直线12Q Q 方程等价于为0000()x y y x x y -=--，即200000x x y x y y y =-++对比于y kx m =+，则00200x k y x y my ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩代入*中，化简可得：2220023x y b +=.解法二（齐次式）：设直线12Q Q 方程为1mx ny +=，联立222222221111022mx ny mx ny x y x y b b bb +=+=⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨+=+-=⎪⎪⎩⎩22222()02x y mx ny b b +-+=化简可得:22222222202x y m x n y mnxy b b+---=整理成关于,x y ,x y 的齐次式：2222222(22)(12)40b n y m b x mnb xy -+--=，进而两边同时除以2x ，则22222222122212(22)412022m b b n k mnb k m b k k b n ---+-=⇒=-因为12OQ OQ ⊥12OQ OQ ⊥所以121k k =-，222212122m b b n-=--22232()b m n ∴=+*又因为直线12Q Q 方程等价于为0000()x y y x x y -=--，即200000x x y x y y y =-++对比于1mx ny +=，则022000220x mx y y n x y ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩代入*中，化简可得：2220023x y b +=.齐次化方法技巧:例如要证明直线AP 与AQ 斜率之和或者斜率之积为定值，将公共点A 平移到原点，设平移后的直线为mx+ny=1(为什么这样设？因为这样齐次化更加方便)，与圆锥方程联立，一次项乘以mx+ny ，常数项乘以（mx+ny ）²，构造ay ²+bxy+cx ²，然后等式两边同时除以x ²（前面注明x 不等于0），得到，化简为ak ²+bk+c=0，可以直接利用韦达定理得出斜率之和或者斜率之积，即可得出答案，如果是过定点题目，还需要还原直线，之前如何平移，现在反平移回去。
2022年 选择压轴专5 解析几何原版 备战2021高中之数学压轴新课标模拟配套精选
专题5 解析几何1．〔2021·山东临沂市·高三其他模拟〕如图，抛物线的焦点为为抛物线在第一象限内的一点，抛物线在点处的切线与圆相切切点为且交轴于点，过点作圆的另一条切线切点为交轴于点．假设，那么的最小值为_____________．2．〔2021·湖北武汉市·高三月考〕过抛物线的焦点，且斜率为的直线与抛物线交于两点，那么____________．∴3．〔2021·内蒙古赤峰市·高三月考〔文〕〕过双曲线的右焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为交另一条渐近线于点，假设，，求的离心率的取值范围为___________4．〔2021·山东烟台市·高三一模〕点为直线上一点，且位于第一象限，点，以为直径的圆与交于点异于，假设，那么点的横坐标的取值范围为___________．5．〔2021·浙江新高考模拟〕是双曲线：〔，〕的左焦点，过点的直线与双曲线的左支和两条渐近线依次交于，，三点．假设，那么双曲线的离心率为______．6．〔2021中学生标准学术能力3月测试〕双曲线的焦点为，是双曲线上一点，且．假设的外接圆和内切圆的半径分别为，且，那么双曲线的离心率为__________．7．〔2021·山东日照市·高三一模〕，分别为双曲线：的左、右焦点，为双曲线的右顶点，过的直线与双曲线的右支交于，，两点〔其中点在第一象限〕，设，分别为，的内心，那么的取值范围是______．8．〔2021·辽宁沈阳市·高三一模〕抛物线，点，过作抛物线的两条切线，其中为切点，直线与轴交于点那么的取值范围是_________．9．〔2021·湖南长沙市·雅礼中学高三月考〕设双曲线C：的左､右焦点分别为，，过直线的分别与双曲线左､右两支交于M，N两点，且，，那么双曲线C的离心率为___________．10．〔2021·湖北B4联考〕双曲线的左顶点为A，右焦点为，离心率为．假设动点在双曲线的右支上且不与右顶点重合，满足恒成立，那么双曲线的渐近线的方程为_________．11．〔2021·江苏徐州市·徐州一中高三期末〕分别为双曲线的两个焦点，上的点到原点的距离为，且，那么双曲线的渐近线方程为__________．12．〔2021·沙坪坝区·重庆一中高三月考〕抛物线的焦点为F，过F且斜率为2的直线与抛物线C交于A，B两点，点D为抛物线C上的动点，且点D在的右下方，那么面积的最大值为______13．〔2021·江苏三校联考〕平面直角坐标系中，圆，点为直线上的动点，以为直径的圆交圆于、两点，点在上且满足，那么点的轨迹方程是________．14．〔2021·浙江宁波模拟〕双曲线的右顶点为，且以为圆心，双曲线虚轴长为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于两点，假设，那么双曲线的离心率的取值范围是__________．15．〔2021·广西南宁市·南宁三中〔理〕〕，假设点是抛物线上的任意一点，点是圆上任意一点，那么最小值是_____16．〔2021·三省三校联考〕双曲线的左，石焦点分别为，，过右焦点的直线交该双曲线的右支于，两点点位于第一象限，的内切圆半径为，的内切圆半径为，且满足，那么直线的斜率为___________．17．〔2021·内蒙古赤峰市·高三月考〔理〕〕双曲线的左､右焦点分别为，是双曲线一条渐近线上位于第二象限的一点，为坐标原点，假设线段交双曲线于点，且，那么双曲线的离心率为___________．18．〔2021·陕西3月质检〕，分别是双曲线：〔，〕的左、右焦点，过的直线与双曲线的右支交于第一象限内的一点，假设为的重心，那么该双曲线的离心率为______．19．〔2021·华大新高考联盟3月质检〕点在抛物线：上运动，圆过点，，，过点引直线，与圆相切，切点分别为，，那么的取值范围为__________．20212021·江苏徐州市·高三二模〕椭圆的右顶点为，N在双曲线上，且关于原点O对称，Q是双曲线上一点，直线和的斜率满足，那么双曲线方程是______________；过的直线与双曲线右支交于C，D两点其中C点在第一象限，设点､分别为､的内心，那么的范围是____________．31．〔2021·浙江温州市·高三二模〕、分别是椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于、两点，假设，那么________，椭圆的离心率为_________．32．〔2021·江苏盐城市·高三一模〕罗默､伯努利家族､莱布尼兹等大数学家都先后研究过星形线的性质，其形美观，常用于超轻材料的设计．曲线C围成的图形的面积S_____2〔选填“>〞､“<〞或“=〞〕，曲线C上的动点到原点的距离的取值范围是________．33．〔2021·江苏连云港市·高三开学考试〕焦点为的抛物线上一点，，假设以为直径的圆过点，那么圆心坐标为________，抛物线的方程为________．34．〔2021·江苏南通市·高三期末〕在平面直角坐标系中，设抛物线与双曲线及其渐近线在第一象限的交点分别为，，抛物线的焦点恰与双曲线的右顶点重合，轴，那么________；假设，那么________．35．〔2021·江苏启东模拟〕椭圆与直线交于点A，B，点M为的中点，直线〔O 为原点〕的斜率为，那么____________；又，那么____________．。
2021-2022年高考数学二轮复习第2部分专题五解析几何2圆维曲线中的定点定值探索问题限时速解训练
2021年高考数学二轮复习第2部分专题五解析几何2圆维曲线中的定点定值探索问题限时速解训练解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)1．如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，其左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率e＝12，M ，N 是椭圆右准线上的两个动点，且F 1M →·F 2M →＝0. (1)求椭圆的方程； (2)求MN 的最小值；(3)以MN 为直径的圆C 是否过定点？请证明你的结论．解：(1)∵e ＝c a ＝12，且过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，∴⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋94b 2＝1，a ＝2c ，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)设点M (4，y 1)，N (4，y 2)，则F 1M →＝(5，y 1)，F 2M →＝(3，y 2)，F 1M →·F 2N →＝15＋y 1y 2＝0，∴y 1y 2＝－15.又∵MN ＝|y 2－y 1|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－15y 1－y 1＝15|y 1|＋|y 1|≥215，∴MN 的最小值为215.(3)证明：圆心C 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，y 1＋y 22， 半径r ＝|y 2－y 1|2.圆C 的方程为(x －4)2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －y 1＋y 222＝y 2－y 124，整理得x 2＋y 2－8x －(y 1＋y 2)y ＋16＋y 1y 2＝0. ∵y 1y 2＝－15，∴x 2＋y 2－8x －(y 1＋y 2)y ＋1＝0， 令y ＝0，得x 2－8x ＋1＝0，∴x ＝4±15. ∴圆C 过定点(4±15，0)．2．如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点A (0，－1)，且离心率为22.(1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.解：(1)由题设知c a ＝22，b ＝1， 结合a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝ 2.所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明：由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0.由已知Δ＞0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0， 则x 1＋x 2＝4kk －11＋2k 2，x 1x 2＝2k k －21＋2k 2. 从而直线AP ，AQ 的斜率之和k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－k x 2＝2k ＋(2－k )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(2－k )4kk －12kk －2＝2k －2(k －1)＝2.3．已知点A (22，2)在抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)上．(1)求抛物线C 的方程；(2)设定点D (0，m )(m ＜0)，过D 作直线y ＝kx ＋m (k ＞0)与抛物线C 交于M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)(y 1＜y 2)两点，连接ON (O 为坐标原点)，过点M 作垂直于x 轴的直线交ON 于点G .(ⅰ)证明：点G 在一条定直线上；(ⅱ)求四边形ODMG 面积的最大值． 解：(1)∵A (22，2)在抛物线x 2＝2py 上， ∴(22)2＝4p ，p ＝2， ∴抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)(ⅰ)证明：由⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 2＝4y消去y 整理得x 2－4kx －4m ＝0.∵M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)是y ＝kx ＋m 与x 2＝4y 的交点，∴x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4m ，直线ON 的方程为y ＝y 2x 2x ，∴y G ＝y 2x 2x 1＝14x 22x 2x 1＝x 1x 24＝－m 为定值，所以，点G 在一条定直线y ＝－m 上． (ⅱ)易知四边形ODMG 为梯形，∴S ＝12[－m ＋(－m －y 1)]x 1＝12⎝⎛⎭⎪⎫－2m －x 214x 1＝－mx 1－18x 31.结合图形易知0＜x 1＜2－m ，S ′＝－m －38x 21，由S ′＝0得38x 21＝－m ，解得x 1＝－83m ＜2－m ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＝－－83m 舍去，当x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－83m 时，S ′＞0； 当x 1∈⎝⎛⎭⎪⎫－83m ，2－m 时，S ′＜0， ∴S 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－83m 上单调递增，⎝⎛⎭⎪⎫－83m ，2－m 上单调递减， ∴当x ＝－83m 时， S max ＝－m－83m －18⎝ ⎛⎭⎪⎫－83m －83m ＝⎝⎛⎭⎪⎫－m ＋13m－83m ＝－4m －6m9. 4．设抛物线C 1：y 2＝4x 的准线与x 轴交于点F 1，焦点为F 2.以F 1，F 2为焦点，离心率为12的椭圆记作C 2.(1)求椭圆的标准方程；(2)直线L 经过椭圆C 2的右焦点F 2，与抛物线C 1交于A 1，A 2两点，与椭圆C 2交于B 1，B 2两点，当以B 1B 2为直径的圆经过F 1时，求|A 1A 2|的长；(3)若M 是椭圆上的动点，以M 为圆心，MF 2为半径作⊙M ，是否存在定⊙N ，使得⊙M 与⊙N 恒相切？若存在，求出⊙N 的方程，若不存在，请说明理由．解：(1)椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)当直线L 与x 轴垂直时，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，B 2⎝⎛⎭⎪⎫1，－32，又F 1(－1,0)，此时B 1F 1→·B 2F 1→≠0，所以以B 1B 2为直径的圆不经过F 1，不满足条件． 当直线L 不与x 轴垂直时，设L ：y ＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1x 24＋y23＝1得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，因为焦点在椭圆内部，所以直线与椭圆恒有两个交点． 设B 1(x 1，y 1)，B 2(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k2.因为以B 1B 2为直径的圆经过F 1，所以B 1F 1→·B 2F 1→＝0，又F 1(－1,0)，所以(－1－x 1)(－1－x 2)＋y 1y 2＝0，即(1＋k 2)x 1x 2＋(1－k 2)(x 1＋x 2)＋1＋k 2＝0， 解得k 2＝97.由⎩⎨⎧y 2＝4x y ＝k x －1得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.因为直线L 与抛物线有两个交点，所以k ≠0.设A 1(x 3，y 3)，A 2(x 4，y 4)，则x 3＋x 4＝2k 2＋4k 2＝2＋4k2，x 3x 4＝1，所以|A 1A 2|＝x 3＋x 4＋p ＝2＋4k 2＋2＝649.(3)存在定⊙N ，使得⊙M 与⊙N 恒相切，其方程为：(x＋1)2＋y2＝16，圆心是左焦点F1.由椭圆的定义可知：|MF1|＋|MF2|＝2a＝4，所以|MF1|＝4－|MF2|，所以两圆相内切．。
2021-2022年高考数学二轮复习上篇专题整合突破专题五解析几何第3讲圆锥曲线的综合问题练习
2021年高考数学二轮复习上篇专题整合突破专题五解析几何第3讲圆锥曲线的综合问题练习一、填空题1.在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点，则k 的取值范围为________. 解析 由已知可得直线l 的方程为y ＝kx ＋2，与椭圆的方程联立，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0，因为直线l 与椭圆有两个不同的交点，所以Δ＝8k 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2＝4k 2－2＞0，解得k ＜－22或k ＞22， 即k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞ 2.F 1，F 2是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上运动，则PF 1→·PF 2→的最大值是________.解析 设P (x ，y )，依题意得点F 1(－3，0)，F 2(3，0)，PF 1→·PF 2→＝(－3－x )(3－x )＋y 2＝x 2＋y 2－3＝34x 2－2，注意到－2≤34x 2－2≤1，因此PF 1→·PF 2→的最大值是1.答案 13.已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0＜b ＜2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若BF 2＋AF 2的最大值为5，则b 的值是________.解析 由椭圆的方程，可知长半轴长a ＝2；由椭圆的定义，可知AF 2＋BF 2＋AB ＝4a ＝8，所以AB ＝8－(AF 2＋BF 2)≥3.由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中通径最短，即2b 2a＝3，可求得b 2＝3，即b ＝ 3.答案 34.(xx·苏北四市调研)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)与直线y ＝3x 无交点，则离心率e 的取值范围是________.解析 因为双曲线的渐近线为y ＝±b ax ，要使直线y ＝3x 与双曲线无交点，则直线y＝3x 应在两渐近线之间，所以有b a≤3，即b ≤3a ，所以b 2≤3a 2，c 2－a 2≤3a 2，即c 2≤4a 2，e 2≤4，所以1＜e ≤2.答案 (1，2]5.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与圆x 2－4x ＋y 2＋2＝0相交，则双曲线的离心率的取值范围是______.解析 双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ，即bx ±ay ＝0，圆x 2－4x ＋y 2＋2＝0可化为(x －2)2＋y 2＝2，其圆心为(2，0)，半径为 2.因为直线bx ±ay ＝0和圆(x －2)2＋y 2＝2相交，所以|2b |a 2＋b2＜2，整理得b 2＜a 2，从而c 2－a 2＜a 2，即c 2＜2a 2，所以e 2＜2.又e ＞1，故双曲线的离心率的取值范围是(1，2). 答案 (1，2)6.已知椭圆x 225＋y 216＝1内有两点A (1，3)，B (3，0)，P 为椭圆上一点，则PA ＋PB 的最大值为________.解析 在椭圆中，由a ＝5，b ＝4，得c ＝3，故焦点为(－3，0)和(3，0)，点B 是右焦点，记左焦点为C (－3，0)，由椭圆的定义得PB ＋PC ＝10，所以PA ＋PB ＝10＋PA －PC ，因为PA －PC ≤AC ＝5，所以当点P ，A ，C 三点共线时，PA ＋PB 取得最大值15. 答案 15 二、解答题7.(xx·苏、锡、常、镇模拟)如图，以原点O 为圆心的两个同心圆的半径分别为3和1，过原点O 的射线交大圆于点P ，交小圆于点Q ，P 在y 轴上的射影为M .动点N 满足PM →＝λPN →且PM →·QN →＝0.(1)求点N 的轨迹方程；(2)过点A (0，3)作斜率分别为k 1，k 2的直线l 1，l 2，与点N 的轨迹分别交于E ，F 两点，k 1·k 2＝－9.求证：直线EF 过定点.(1)解 由PM →＝λPN →且PM →·QN →＝0可知，N ，P ，M 三点共线且PM ⊥QN . 过点Q 作QN ⊥PM ，垂足为N ，设N (x ，y ). 因为OP ＝3，OQ ＝1，由相似比可知P (3x ，y ).因为P 在圆x 2＋y 2＝9上，所以(3x )2＋y 2＝9，即y 29＋x 2＝1，所以点N 的轨迹方程为y 29＋x 2＝1.(2)证明 设E (x E ，y E )，F (x F ，y F )，依题意，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋3，y 29＋x 2＝1，得(k 21＋9)x 2＋6k 1x ＝0，① 解得x ＝0或x ＝－6k 1k 21＋9， 所以x E ＝－6k 1k 21＋9，y E ＝k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－6k 1k 21＋9＋3＝27－3k 21k 21＋9， 所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6k 1k 21＋9，27－3k 21k 21＋9.因为k 1k 2＝－9， 所以k 2＝－9k 1，用－9k 1替代①中的k 1，同理可得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫6k 1k 21＋9，3k 21－27k 21＋9.显然E ，F 关于原点对称，所以直线EF 必过原点O .8.(xx·苏州调研)如图，已知椭圆O ：x 24＋y 2＝1的右焦点为F ，点B ，C 分别是椭圆O 的上、下顶点，点P 是直线l ：y ＝－2上的一个动点(与y 轴交点除外)，直线PC 交椭圆于另一点M .(1)当直线PM 过椭圆的右焦点F 时，求△FBM 的面积； (2)记直线BM ，BP 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1·k 2为定值.(1)解 由题知B (0，1)，C (0，－1)，焦点F (3，0)， 当直线PM 过椭圆的右焦点F 时，直线PM 的方程为x3＋y －1＝1，即y ＝33x －1.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝33x －1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝837，y ＝17或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝－1，(舍)所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫837，17.连接BF ，则直线BF 的方程为x3＋y1＝1，即x ＋3y －3＝0，而BF ＝a ＝2，所以点M 到直线BF 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪837＋3×17－312＋（3）2＝2372＝37. 故S △MBF ＝12·BF ·d ＝12×2×37＝37.(2)证明 设P (m ，－2)，且m ≠0，则直线PM 的斜率为k ＝－1－（－2）0－m ＝－1m ，则直线PM 的方程为y ＝－1mx －1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1m x －1，x24＋y 2＝1，化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4m 2x 2＋8m x ＝0，解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8m m 2＋4，4－m 2m 2＋4，所以k 1＝4－m 2m 2＋4－1－8m m 2＋4＝－2m 2－8m ＝14m ， k 2＝1－（－2）0－m ＝－3m ，所以k 1·k 2＝－3m ·14m ＝－34为定值.9.(xx·南通、扬州、泰州调研)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，长轴长为4.过椭圆的左顶点A 作直线l ，分别交椭圆和圆x 2＋y 2＝a 2于相异两点P ，Q .(1)若直线l 的斜率为12，求APAQ 的值；(2)若PQ →＝λAP →，求实数λ的取值范围.解由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝4，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2，所以椭圆的方程为x 24＋y 22＝1，圆的方程为x 2＋y 2＝4.(1)法一 直线l 的方程为y ＝12(x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12（x ＋2），x 2＋2y 2＝4得3x 3＋4x －4＝0. 解得x A ＝－2，x P ＝23，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，43.所以AP ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝453. 又因为原点O 到直线l 的距离d ＝212＋22＝255， 所以AQ ＝24－45＝855，所以AP AQ ＝453855＝56.法二 由⎩⎨⎧x ＝2y －2，x 2＋2y 2＝4得3y 2－4y ＝0，所以y P＝43. 由⎩⎨⎧x ＝2y －2，x 2＋y 2＝4得5y 2－8y ＝0，所以y Q ＝85. 所以AP AQ ＝y P y Q ＝43×58＝56.(2)法一 若PQ →＝λAP →，则λ＝AQ AP－1，设直线l ：y ＝k (x ＋2)，由⎩⎨⎧x 2＋2y 2＝4，y ＝k （x ＋2）得(2k 2＋1)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0， 即(x ＋2)[(2k 2＋1)x ＋(4k 2－2)]＝0，所以x A ＝－2，x P ＝2－4k 22k 2＋1，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k 22k 2＋1，4k 2k 2＋1. 所以AP 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－4k 22k 2＋1＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2k 2＋12＝16＋16k 2（2k 2＋1）2，即AP ＝4k 2＋12k 2＋1.同理可得AQ ＝4k 2＋1.所以λ＝4k 2＋14k 2＋12k 2＋1－1＝1－1k 2＋1. 由题意知k 2＞0，所以0＜λ＜1.法二 由法一知λ＝AQ AP －1＝y Q y P －1＝4k k 2＋14k 2k 2＋1－1＝1－1k 2＋1，由题意知k 2＞0，所以0＜λ＜1.10.已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点.(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点.当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程. 解 (1)设F (c ，0)，由条件知2c ＝233，得c ＝ 3.又ca ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 故E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2).将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0. 当Δ＝16(4k 2－3)>0，即k 2>34时，x 1，2＝8k ±24k 2－34k 2＋1. 从而PQ ＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1. 又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1.所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d ·PQ ＝44k 2－34k 2＋1. 设4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t. 因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，且满足Δ>0.所以当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2.。
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2021年高考题型专题冲刺精讲（数学）专题五：解析几何（学生版）【命题特点】近三年高考解析几何每年出一道满分为12分的解析几何大题.究其原因,一是解析几何是中学数学的一个重要组成部分,二是同学们在未来学习、发展中的需要所致.细细品读这三年的解析几何大题,感觉如山间的涓涓清泉滋润心田,甘甜可口,不愿离去.为了找到清泉流向远方的目标,我从其志、探其源、求其真.经过探究,发现这几年的解析几何大题的命题特点可概括如下:依纲靠本,查基考能;朴实取材,独具匠心;不断创新,关注交汇;交切中点,核是线圆;长度面积,最值定值;平行垂直,向量驾驭;求轨探迹,运动探究;数形结合,各领风骚;灵气十足,回味无穷;文理有别,意境深远.复习建议1.加强直线和圆锥曲线的基础知识，初步掌握了解决直线与圆锥曲线有关问题的基本技能和基本方法。
2．由于直线与圆锥曲线是高考考查的重点内容，选择、填空题灵活多变，思维能力要求较高，解答题背景新颖、综合性强，代数推理能力要求高，因此有必要对直线与圆锥曲线的重点内容、高考的热点问题作深入的研究。
3．在第一轮复习的基础上，再通过纵向深入，横向联系，进一步掌握解决直线与圆锥曲线问题的思想和方法，提高我们分析问题和解决问题的能力。
4.在注重提高计算能力的同时，要加强心理辅导，帮助学生克服惧怕计算的心态。
【试题常见设计形式】近四年新教材高考对解析几何内容的考查主要集中在如下几个类型：①求曲线方程(类型确定、类型未定)；②直线与圆锥曲线的交点问题(含切线问题)；③与曲线有关的最(极)值问题；④与曲线有关的几何证明(对称性或求对称曲线、平行、垂直)；⑤探求曲线方程中几何量及参数间的数量特征；解析几何虽然内容庞杂，但基本问题却只有几个.如①求直线与圆锥曲线的方程；②求动点的轨迹或轨迹方程；③求特定对象的值；④求变量的取值范围或最值；⑤不等关系的判定与证明；⑥圆锥曲线有关性质的探求与证明等.对各类问题，学生应从理论上掌握几种基本方法，使之在实际应用中有法可依，克服解题的盲目性.如“求变量的取值范围”，可指导学生掌握三种方法：几何法（数形结合），函数法和不等式法. 从宏观上把握解决直线与圆锥曲线问题的解题要点，能帮助学生易于找到解题切入点，优化解题过程，常用的解题策略有：①建立适当的平面直角坐标系；②设而不求，变式消元；③利用韦达定理沟通坐标与参数的关系；④发掘平面几何性质，简化代数运算；⑤用函数与方程思想沟通等与不等的关系；⑥注意对特殊情形的检验和补充；⑦充分利用向量的工具作用；⑧注意运算的可行性分析，等等。
运算是解析几何的瓶颈，它严重制约考生得分的高低，甚至形成心理障碍.教学中要指导学生注重算理、算法，细化运算过程，转化相关条件，回避非必求量，注意整体代换等运算技能，从能力的角度提高对运算的认识，反思运算失误的经验教训，不断提高运算水平.【突破方法技巧】1．突出解析几何的基本思想：解析几何的实质是用代数方法研究几何问题，通过曲线的方程研究曲线的性质，因此要掌握求曲线方程的思路和方法，它是解析几何的核心之一.求曲线的方程的常用方法有两类：一类是曲线形状明确，方程形式已知(如直线、圆、圆锥曲线的标准方程等)，常用待定系数法求方程.另一类是曲线形状不明确或不便于用标准形式表示，一般采用以下方法：（1）直译法：将原题中由文字语言明确给出动点所满足的等量关系直接翻译成由动点坐标表示的等量关系式.（2）代入法：所求动点与已知动点有着相互关系，可用所求动点坐标（x,y）表示出已知动点的坐标，然后代入已知的曲线方程.（3）参数法：通过一个（或多个）中间变量的引入，使所求点的坐标之间的关系更容易确立，消去参数得坐标的直接关系便是普通方程.（4）交轨法：动点是两条动曲线的交点构成的，由x,y满足的两个动曲线方程中消去参数，可得所求方程.故交轨法也属参数法.2.熟练掌握直线、圆及圆锥曲线的基本知识(1)直线和圆①直线的倾斜角及其斜率确定了直线的方向.需要注意的是：(ⅰ)倾斜角α的范围是：0≤α<π；(ⅱ)所有的直线必有倾斜角，但未必有斜率.②直线方程的四种特殊形式，每一种形式都有各自成立的条件，应在不同的题设条件下灵活使用.如截距式不能表示平行于x轴,y轴以及过原点的直线，在求直线方程时尤其是要注意斜率不存在的情况.③讨论点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系时，一般可从代数特征(方程组解的个数)或几何特征(点或直线到圆心的距离与两圆的圆心距与半径的关系)去考虑，其中几何特征较为简捷、实用.(2)椭圆①完整地理解椭圆的定义并重视定义在解题中的应用.椭圆是平面内到两定点F1,F2的距离之和等于常数2a(2a＞｜F1F2｜)的动点的轨迹.还有另一种定义（圆锥曲线的统一定义）：平面内到定点的距离和到定直线的距离之比为常数e(0＜e＜1)的动点轨迹为椭圆，（顺便指出：e＞1，e=1时的轨迹分别为双曲线和抛物线）.②椭圆的标准方程有两种形式，决定于焦点所在的坐标轴.焦点是F（±c,0）时，标准方程为=1(a＞b＞0)；焦点是F（0，±c）时，标准方程为=1(a＞b＞0).这里隐含，此关系体现在△OFB(B为短轴端点)中.③深刻理解a，b，c，e，的本质含义及相互关系，实际上就掌握了几何性质.(3)双曲线①类比椭圆，双曲线也有两种定义，两种标准方程形式.同样要重视定义在解题中的运用，要深刻理解几何量a，b，c，e，的本质含义及其相互间的关系.②双曲线的渐近线是区别于椭圆的一道“风景线”，其实它是矩形的两条对角线所在的直线（参照课本）.③双曲线=±1(a＞0,b＞0)隐含了一个附加公式此关系体现在△OAB(A,B分别为实轴，虚轴的一个端点)中；特别地，当a=b时的双曲线称为等轴（边）双曲线，其离心率为 .(4)抛物线①抛物线的定义：平面内到一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹（F l）.定义指明了抛物线上的点到焦点与准线的距离相等，并在解题中有突出的运用.②抛物线方程（标准）有四种形式：和(p＞0)，选择时必须判定开口与对称轴.③掌握几何性质，注意分清2p , p ,的几何意义.3.掌握直线与圆锥曲线的位置关系的研究方法(1)判断直线l与圆锥曲线C的位置关系，可将直线l的方程代入曲线C的方程，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x的一元方程ax2＋bx＋c=0，然后利用“Δ”法.(2)有关弦长问题，应用弦长公式及韦达定理，设而不求;有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线的定义的运用，以简化运算.(3)有关弦的中点问题，除了利用韦达定理外，要注意灵活运用“点差法”，设而不求，简化运算.(4)有关垂直关系问题，应注意运用斜率关系(或向量方法)及韦达定理，设而不求，整体处理.(5)有关圆锥曲线关于直线l的对称问题中，若A，A′是对称点，则应抓住AA′的中点在l上及kAA′·kl=－1这两个关键条件解决问题.(6)有关直线与圆锥曲线的位置关系中的存在性问题，一般采用“假设反证法”或“假设验证法”来解决.【典型例题分析】考点一、曲线（轨迹）方程的求法常见的求轨迹方程的方法：（1）单动点的轨迹问题——直接法（五步曲）+ 待定系数法（定义法）；（2）双动点的轨迹问题——代入法；（3）多动点的轨迹问题——参数法 + 交轨法。
【例1】xx宁夏、设分别是椭圆的左、右焦点，过斜率为1的直线与相交于两点，且成等差数列。
（1）求的离心率；（2）设点满足，求的方程【例2】xx北京、在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP 与BP的斜率之积等于.(Ⅰ)求动点P的轨迹方程；(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由。
【例3】xx 辽宁、设椭圆C ：的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60o ,. （I ）求椭圆C 的离心率；（II ）如果|AB|=，求椭圆C 的方程.【例4】xx 广东、一条双曲线的左、右顶点分别为A 1,A 2，点，是双曲线上不同的两个动点。
（1）求直线A 1P 与A 2Q 交点的轨迹E 的方程式；（2）若过点H(0, h)（h>1）的两条直线l 1和l 2与轨迹E 都只有一个交点，且 ,求h 的值。
考点二、圆锥曲线的几何性质圆锥曲线中的基本元素：长短轴，焦距，渐近线，离心率等，在自身多处综合就会演变成中档题，要求熟练掌握其关系，灵活运用图形帮助分析。
圆锥曲线第一定义中的限制条件、圆锥曲线第二定义的统一性，都是考试的重点内容，要能够熟练运用；常用的解题技巧要熟记于心.【例5】如图（21）图，M （-2，0）和N （2，0）是平面上的两点，动点P 满足：（Ⅰ）求点P 的轨迹方程；（Ⅱ）若2·1cos PM PN MPN-∠＝,求点P 的坐标.【例6】xx 江西设椭圆：，抛物线：. (1) 若经过的两个焦点，求的离心率；(2)设，又为与不在轴上的两个交点，若的垂心为，且的重心在上，求椭圆和抛物线的方程．考点三、 有关圆锥曲线的定义的问题利用圆锥曲线的第一、第二定义求解.【例7】如图，F 为双曲线C ：的右焦点 P 为双曲线C 右支上一点，且位于轴上方，M 为左准线上一点，为坐标原点 已知四边形为平行四边形，（Ⅰ）写出双曲线C 的离心率与的关系式；（Ⅱ）当时，经过焦点F 且品行于OP的直线交双曲线于A 、B 点，若，求此时的双曲线方程【例8】设分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且为它的右准线 （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设为右准线上不同于点（4，0）的任意一点， 若直线分别与椭圆相交于异于的点，证明：点在以为直径的圆内考点四、 直线与圆锥曲线位置关系问题 （1）求解直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式，应特别注意数形结合的办法。
（2）注意韦达定理的应用。
弦长公式：斜率为k 的直线被圆锥曲线截得弦AB ，若A 、B 两点的坐标分别是A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)则]4))[(1(212212x x x x k -++=A B (4,0)M NP o y x N x Q M O y（3）注意斜率不存在的情况的讨论和焦半径公式的使用。
（4）有关中点弦问题 <1>已知直线与圆锥曲线方程，求弦的中点及与中点有关的问题，常用韦达定理。
<2>有关弦的中点轨迹，中点弦所在直线方程，中点坐标问题，有时采用“差分法”可简化运算。
【例9】已知双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-->>的两个焦点为:(2,0),:(2,0),7)F F P-点在曲线C上. （Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）记O为坐标原点，过点Q (0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为求直线l的方程【例10】设点在直线上，过点作双曲线的两条切线，切点为，定点(，0)．（1）过点作直线的垂线，垂足为，试求△的重心所在的曲线方程；（2）求证：三点共线．考点五、圆锥曲线综合应用平面解析几何与平面向量都具有数与形结合的特征，所以这两者多有结合，在它们的知识点交汇处命题，也是高考命题的一大亮点.直线与圆锥曲线的位置关系问题是常考常新、经久不衰的一个考查重点，另外，圆锥曲线中参数的取值范围问题、最值问题、定值问题、对称问题等综合性问题也是高考的常考题型.解析几何题一般来说计算量较大且有一定的技巧性，需要“精打细算”，近几年解析几何问题的难度有所降低，但仍是一个综合性较强的问题，对考生的意志品质和数学机智都是一种考验，是高考试题中区分度较大的一个题目，有可能作为今年高考的一个压轴题出现.圆锥曲线的有关最值问题：圆锥曲线中的有关最值问题，常用代数法和几何法解决。