人教版试题试卷选修1模块综合检测题B 测试 2
高中数学人教版选修1-1综合检测B卷带答案
选修1-1模块综合检测(B ）(时间:120分钟 满分：1５0分)一、选择题（本大题1２小题，每小题５分，共60分)1.已知命题“p :x ≥4或x ≤０”,命题“q ：x ∈Z ”，如果“p 且q ”与“非q ”同时为假命题,则满足条件的ｘ为( )A ．{x ｜x ≥３或ｘ≤－1,x ∉Z }Ｂ．｛x |－1≤ｘ≤3，x ∉Z }Ｃ．{－１,0,1,2，３}D.{1,2,３｝2.“a >0”是“|a |>０”的( ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.已知２ｘ+ｙ=0是双曲线ｘ2-λy ２=１的一条渐近线，则双曲线的离心率是( ）A ．错误!B ．错误! C.错误! D ．2４.已知双曲线的离心率为2,焦点是（-4，0),（4,0),则双曲线方程为( )A.错误!－错误!＝1 Ｂ.错误!－错误!＝１Ｃ.＼f(x 2,1０）－错误!=1 Ｄ.错误!－错误!＝１5.已知△ＡBC 的顶点B 、C 在椭圆x 2３＋ｙ2＝１上，顶点A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC 边上,则△AB Ｃ的周长是( ）A.2错误!B.6 C ．4错误! D ．1２6．过点(2,-２)与双曲线x 2－2y 2=2有公共渐近线的双曲线方程为( ）A.错误!－错误!＝1B.错误!-错误!＝１C.错误!－错误!＝１ Ｄ.错误!－错误!＝17.曲线y ＝x 3-3x ２+1在点（1，－1）处的切线方程为（ )A.y ＝3ｘ－４B.y ＝－3x ＋2Ｃ.y ＝-４ｘ＋3 D ．y =4ｘ－５8.函数f （ｘ）＝ｘ2-2ｌn x 的单调递减区间是( )A ．(0,1] Ｂ.［1，+∞)C ．（-∞，－1],(0,１) D.[－1,０)，(0，1]9．已知椭圆x 2+2ｙ2＝４,则以(1,1)为中点的弦的长度为( )A ．３错误!B ．2错误!C.错误!D.错误!错误!10．设曲线y ＝错误!在点(３,２)处的切线与直线ax ＋ｙ＋１＝0垂直，则a 等于（ )A.2B.１2C ．－错误! Ｄ．-2 1１．若函数y ＝f (x )的导函数在区间［a ,b ]上是增函数,则函数y ＝ｆ(x )在区间[a ，b ]上的图象可能是( ）12．已知函数f (x )的导函数f ′（x )=4x 3-４x ,且f (x )的图象过点(0,-5），当函数f (ｘ)取得极小值-６时,x 的值应为( )A ．0B ．-1 Ｃ．±１ D.１二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共２０分)13.已知双曲线ｘ２-y 23＝1,那么它的焦点到渐近线的距离为＿＿______． １４.点Ｐ是曲线ｙ=ｘ2-ｌｎ x 上任意一点,则P 到直线y =ｘ－2的距离的最小值是___＿＿_＿_.1５．给出如下三种说法:①四个实数a ,b ,c ，ｄ依次成等比数列的必要而不充分条件是ａd ＝bc .②命题“若x ≥3且y ≥2,则x -y ≥1”为假命题．③若p ∧ｑ为假命题，则p ，q 均为假命题．其中正确说法的序号为＿_______.16.双曲线＼f(ｘ2,a 2)-＼f(y 2,ｂ２)=1 (a >0，b >0)的两个焦点F １、F 2，若P 为双曲线上一点，且|ＰF 1｜＝2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为＿_＿___＿_．三、解答题(本大题共6小题，共７0分)１7．(10分)命题p ：方程x 2+ｍx ＋１＝０有两个不等的负实数根,命题ｑ:方程4x 2+4(m -２)x +1＝0无实数根.若“p 或ｑ”为真命题,“p 且q ”为假命题,求ｍ的取值范围．１８．(12分）F 1,F 2是椭圆的两个焦点,Q 是椭圆上任意一点，从任一焦点向△F １QF 2中的∠F １QF 2的外角平分线引垂线，垂足为P ，求点P 的轨迹．１9.(1２分)若r (ｘ)：s ｉn x +ｃo ｓ x >m ，s (ｘ):x 2＋ｍx ＋1>０．已知∀x ∈Ｒ，r (ｘ）为假命题且ｓ（x ）为真命题,求实数m 的取值范围．20.(１2分)已知椭圆错误!＋错误!=1 (a >b >0)的一个顶点为A (0,1），离心率为错误!,过点Ｂ(0,－２）及左焦点F 1的直线交椭圆于Ｃ，D 两点,右焦点设为F 2.(1)求椭圆的方程;(2)求△ＣＤF 2的面积．21.(12分)已知函数f(x)＝x３+ｂx2+cx+d的图象过点P(0,2），且在点M(－１，f(-1））处的切线方程为6x-y+7＝０．(１)求函数y=f(x)的解析式；(２)求函数y＝ｆ(x)的单调区间．22.(12分)已知ｆ(x)=错误!x３－2ａx2-3x (ａ∈Ｒ)，(1)若f(ｘ)在区间（-1,1)上为减函数，求实数a的取值范围;(２)试讨论y=f(ｘ)在（－1,1)内的极值点的个数．模块综合检测(B) 答案1．D2.Ａ [因为|a｜>0⇔a>０或a＜0，所以a>０⇒|ａ|＞0,但|a|>0 a＞0,所以“a＞０”是“|a|>0”的充分不必要条件．]３．C4．A ［由题意知c＝４,焦点在x轴上,又e=＼f(c,a）＝２,∴a＝2，∴ｂ２=ｃ2-ａ２=４2－22＝12,∴双曲线方程为错误!-错误!＝１.]5．C [设椭圆的另一焦点为F，由椭圆的定义知|BA|+|BＦ|=2＼r（3),且|ＣＦ|+|AC｜＝2错误!,所以△ＡBC的周长=|BA|+|BＣ|＋|AC|=|ＢA|+|ＢF|＋|CF｜+|AC|＝4错误!.]6.D [与双曲线错误!－y2＝１有公共渐近线方程的双曲线方程可设为错误!－y２＝λ,由过点（2，-２),可解得λ=－2.所以所求的双曲线方程为错误!-错误!=１．]7.Ｂ [ｙ′＝3x２－6x，∴ｋ＝ｙ′|x＝1=－3，∴切线方程为ｙ＋1=-3(x－1)，∴y＝-３x+2.]8.A [由题意知x>0,若f ′(x )＝2x －错误!=错误!≤０,则0<x ≤1，即函数ｆ(x )的递减区间是(0，1].]９．C [令直线ｌ与椭圆交于A （ｘ１，ｙ１)，B (x 2,y 2），则错误!①－②得：（x 1＋x 2)(ｘ1－x 2)＋２(y 1+y 2)(ｙ１-ｙ2）=0,即2(ｘ1-ｘ２)+4（y 1-y 2)＝0，∴ｋl =-12,∴l 的方程：x ＋2y -3＝0, 由错误!，得6y 2-12y ＋5=０.∴y 1+y 2=２，ｙ１y ２＝错误!.∴|A Ｂ|=错误!＝错误!.]1０．D [y ＝错误!,∴y ′｜x =3=-错误!|x =3=-错误!.又∵-a ×错误!＝－1，∴a ＝-2．]11．Ａ [依题意，f ′(ｘ）在[ａ,b ]上是增函数,则在函数f (x )的图象上，各点的切线的斜率随着ｘ的增大而增大，观察四个选项中的图象,只有A 满足．］１2.C [f (x )＝x ４-２x 2+c ．因为过点(０,－5),所以c ＝－5．由f ′（x )=4x （x 2－1),得ｆ(ｘ)有三个极值点，列表判断±1均为极小值点,且f (1)＝f (-1)=－6.］1３.＼r （3)解析 焦点(±２,０），渐近线：y ＝±错误!x ,焦点到渐近线的距离为错误!＝错误!.14.错误!解析 先设出曲线上一点,求出过该点的切线的斜率，由已知直线，求出该点的坐标,再由点到直线的距离公式求距离．设曲线上一点的横坐标为x 0 (x 0>0)，则经过该点的切线的斜率为k =2x 0－＼f(１,ｘ0),根据题意得,２x 0-错误!＝1，∴ｘ０=1或x 0=-错误!,又∵x ０>0，∴ｘ０＝1,此时ｙ0＝1，∴切点的坐标为(1,１),最小距离为＼f （｜1-１-2|,＼r(2))=错误!.15.①②解析 对①,a ，ｂ，c ，d 成等比数列,则ad ＝b ｃ，反之不一定,故①正确;对②,令x =5，y =6，则ｘ-y =－1，所以该命题为假命题，故②正确；对③,p ∧q 假时，p ，q 至少有一个为假命题，故③错误．1６.（1,3]解析 设|PF 2|＝ｍ，则2ａ＝||PF 1｜-|P Ｆ2|｜=m ，2ｃ=|F １F 2|≤|PF 1|+|PF 2|＝3ｍ．∴e ＝错误!＝错误!≤３，又e >1,∴离心率的取值范围为(1，3］.1７.解 命题p :方程x 2+m ｘ＋1=0有两个不等的负实根⇔错误!⇔m >２．命题q ：方程4x 2+4(m -2)ｘ+1＝0无实根⇔Δ′=16(m －２)2－１6=1６(m 2－4m ＋3)＜0⇔１＜m <3．∵“ｐ或q ”为真，“p 且q ”为假,∴p 为真、ｑ为假或p 为假、q 为真，则错误!或错误!，解得m ≥3或1<m ≤2.１８．解设椭圆的方程为＼f(x 2,a 2)＋错误!=1 (a >b >0),F 1，F ２是它的两个焦点,Q 为椭圆上任意一点，Q Ｐ是△Ｆ1ＱＦ2中的∠Ｆ1QF 2的外角平分线(如图)，连结PO ，过F 2作F 2P ⊥ＱP 于P 并延长交F 1Q 的延长线于H ,则P 是F 2H 的中点，且|F ２Q |＝|QH |， 因此｜ＰO |＝＼f(１，2）|F 1Ｈ｜＝错误!（｜F 1Q ｜+|ＱH |）＝＼f(1，2)(｜F １Ｑ|＋|F ２Q |)=a ,∴点Ｐ的轨迹是以原点为圆心，以椭圆半长轴长为半径的圆(除掉两点即椭圆与ｘ轴的交点).19．解 由于sin ｘ+cos x ＝2sin 错误!∈[-错误!,错误!]，∀x ∈R ,ｒ(x )为假命题即sin x ＋co ｓ ｘ>m 恒不成立.∴ｍ≥ 2. ①又对∀x ∈R ，s (x )为真命题．∴ｘ2+mx +1＞0对ｘ∈R 恒成立.则Δ=ｍ2－4<0,即－２<m ＜2． ②故∀x ∈Ｒ，r (x )为假命题，且s (x ）为真命题，应有错误!≤m <2.２0．解 (1)由题意知b =1,ｅ=＼f(c,a ）=＼f （2,２)，又∵a 2＝ｂ2+c 2,∴a 2＝2．∴椭圆方程为错误!＋y 2＝1.(２)∵F 1(－１,0）,∴直线B Ｆ1的方程为ｙ=－２x －2，由错误!，得９x 2+16x +6＝0.∵Δ=16２-4×9×６=40>0，∴直线与椭圆有两个公共点,设为C (x １,y 1),Ｄ(ｘ2,ｙ2),则错误!，∴|CD ｜=错误!|x 1－x ２|＝5·（x 1+ｘ22-4x 1x 2)=错误!·错误!＝错误!错误!，又点Ｆ2到直线B Ｆ1的距离d =4＼r(5)5, 故Ｓ△C ＤF ２=12|ＣD |·ｄ=＼f(４，９)10. 21．解 （1）由f (ｘ)的图象经过Ｐ(０,2)知ｄ＝2，∴f (ｘ)＝x 3+bx 2＋c ｘ＋2，f ′(x )＝3x 2+2b ｘ＋c .由在点M (－1,f （－1）)处的切线方程是6x －y ＋7=0，知-6－ｆ(－1)+7=0， 即f (-1)＝1,f ′(－１)＝6．∴错误!即错误!解得ｂ=c ＝－3．故所求的解析式是f (ｘ)＝x 3-3x 2－3x +2.(2)f ′(ｘ)=3x ２－6x -3，令3x 2-6ｘ-3=0，即x 2－2x -１＝0.解得x １=１－错误!,x 2=1＋错误!.当x <1－＼ｒ(2)或x >1+＼r （2）时,f ′（x )>０.当1-错误!<x <１＋错误!时，f ′(x )＜0.故f(ｘ)=x3－３x２-3ｘ＋2在(-∞,１－＼r(2）)和（１＋错误!，＋∞）内是增函数，在（1－错误!,1＋错误!)内是减函数．22．解(１）∵f（x)=2３x3-2ax２-3x，∴f′(x)=2x2－4aｘ－3，∵ｆ（ｘ)在区间(－1,1)上为减函数，∴f′(x）≤0在(－１，1）上恒成立；∴错误!得-错误!≤a≤错误!.故ａ的取值范围是错误!．(2）当a>＼ｆ(1，4)时,∵错误!，∴存在x0∈(－1,1),使f′（x0)＝0，∵f′(x)=2x2－4ax-3开口向上，∴在(－1,x0）内，f′(x)＞0，在(x０，1）内,ｆ′（ｘ)<０，即ｆ(x)在(－1，x0）内单调递增,在(ｘ0,１)内单调递减，∴f(x)在(-1,1)内有且仅有一个极值点，且为极大值点.当a<-＼f(1,４）时,∵错误!,∴存在x0∈(-1,1）使ｆ′(x0)=0.∵f′(x)=２x2-4ａx－3开口向上,∴在(－1，x0)内f′（x)<0，在(ｘ0,1)内f′(x)>0.即f（x)在（-1,x0)内单调递减,在(ｘ0,1）内单调递增，∴ｆ(x)在(-1,１)内有且仅有一个极值点,且为极小值点．当-错误!≤a≤错误!时，由(1)知f(x)在(-１,1)内递减,没有极值点．综上,当a>＼ｆ(1,4）或a<-＼ｆ(1,4)时,f(x)在(－1,1)内的极值点的个数为１，当－错误!≤ａ≤错误!时,f(x）在(-１，1)内的极值点的个数为0.。
【精品试卷】人教版高中物理选修1-1综合测试卷B复习专用试卷
高中物理学习材料 （精心收集**整理制作）物理选修1-1综合测试卷B本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
满分100分。
第I 卷1至2页，第II 卷3至4页。
考试用时90分钟。
第I 卷（选择题 共48分）一、本题共8小题。
每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确。
选对的得5分，选错或不选的得0分。
1．下列现象中，不属于．．．防止静电危害的是（ ） A ．在很高的建筑物顶端装上避雷针 B ．在高大的烟囱中安装静电除尘器 C ．油罐车后面装一根拖在地上的铁链条D ．存放易燃品的仓库的工人穿上导电橡胶做的防电靴 2．关于电场线和磁感线，下列说法正确的是（ ）A ．电场线和磁感线都是在空间实际存在的线B ．电场线和磁感线都是闭合的曲线C ．磁感线从磁体的N 极发出，终止于S 极D ．电场线从正电荷或无限远出发，终止于无限远或负电荷3．（北京东城区示范校2011届高三综合练习改编）用比值法定义物理量是物理学中一种常用的方法，下面表达式中不属于用比值法定义的是（ ）A ．动能221mv E kB ．磁感应强度B ＝ILF C ．电场强度E =qFD ．电阻R =IU4．（上海市十校2011届高三第二次联考）电源电动势的大小反映的是（ ） A ．电源把电能转化成其他形式的能的本领的大小 B ．电源把其他形式的能转化为电能的本领的大小 C ．电源单位时间内传送电荷量的多少D ．电流做功的快慢5．在电场中的某点放入电荷量为q -的试探电荷时，测得该点的电场强度为E ；若在该点放入电荷量为2q +的试探电荷，此时测得该点的电场强度为（ ） A ．大小为2E ，方向和E 相反 B ．大小为E ，方向和E 相同 C ．大小为2E ，方向和E 相同 D ．大小为E ，方向和E 相反6．如图为某电场中的一条电场线，a 、b 为该电场线上的两点，则下列判断中正确的是（ ）A ．a 点的场强一定比b 点的场强大B ．b 点的场强可能比a 点的场强小C ．负电荷在a 点受到的电场力方向向左D ．正电荷在运动中通过b 点时，其运动方向一定沿ba 方向 7．下列关于电流的说法中，不正确．．．的是（ ） A ．习惯上规定正电荷定向移动的方向为电流的方向 B ．国际单位制中，电流的单位是安培，简称安 C ．电流既有大小又有方向，所以电流是矢量 D ．由QI t=可知，电流越大，单位时间内通过导体横截面的电荷量就越多 8．如图所示，环形导线中通有顺时针方向的电流I ，则该环形导线中心处的磁场方向为A ．水平向右B ．水平向左C ．垂直于纸面向里D ．垂直于纸面向外abI9．（上海市五校2010届高三联合教学调研）一根容易形变的弹性导线，两端固定。
人教版高中数学选修1-1综合测试卷B(含答案).doc
数学选修1-1测试卷一、选择题：1、已知a、b为实数，则2" >2"是的( )A.必要非充分条件B.充分非必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2、给出命题:若函数y = .f(x)是幕函数,则函数y = f(x)的图象不过第四象限.在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )A.OB.lC.2D.33、已知命题p:H VxG[l,2],x2-a>0,,J^题/?,/+2仮+2-0 = 0”,若命题“0人厂是真命题，则实数。
的取值范围是 ( )A.(-oo,-2]U{l}B.(-汽-2] U [1,2]C.[l,+8)D.[-2,l]4、设函数/(兀)在定义域内可导,y = /(x)的图象如左图所示，则导函数y = /©)可能为( )2 25、设片和坊为双曲线—1(。
>0#>0)的两个焦点,若耳,只，P(0,2b)是正三角形的三个顶点, CT b~则双曲线的离心率为()3,5A.-B.2C.-D.32 26、设斜率为2的直线/过抛物线y2 = ax{a 0)的焦点F,且和y轴交于点九若厶0AF(0为朋标原点)的而积为4,则抛物线方程为( )A. =±4xB. y2=±SxC. y2 = 4xD. y2 = 8x7、如图，曲线y = f(x)上任一点P的切线PQ交x轴于Q,过P作PT垂直于x轴于T,若△P7Q的面积为-，则y与y'的关系满足(・)A. y =)/B. y = -y"C. y - y1D. y2 - y'8^ 己知)；=/(x)是奇函数，当XG (0,2) lit, f(x) = Inx-ax{a >—)，当xw (-2,0)吋,/(x)的最小值为1，则a的值等于( )1 1 」A.—B.—C.—D..14 3 29、设函数y = /(X)在(。
0)上的导函数为广(x)，r(x)在(a,b)上的导函数为f\x)，若在(a,b)上,/"(X)<0恒成立，贝I」称函数函数/(兀)在(Q0)上为“凸函数已知当m<2时,/(兀)=-x3-—nu2 +无在6 2 (—1,2)上是“凸函数二则f(x)在(—1,2)上()A.既有极人值，也有极小值B.既有极人值，也有最小值C.有极大值，没有极小值D.没有极大值,也没有极小值己知两条曲线y = x2~l与）vi-F 在点兀。
【金版优课】高中数学人教B版选修1-1 模块综合测试2 Word版含解析
选修1－1 模块综合测试(二)(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．已知命题p ：∀x ∈R ，x ≥1，那么命题¬p 为( ) A ．∀x ∈R ，x ≤1 B ．∃x ∈R ，x <1 C ．∀x ∈R ，x ≤－1D ．∃x ∈R ，x <－1解析：全称命题的否定是特称命题． 答案：B2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与抛物线y 2＝8x 有一个相同的焦点F ，且该点到双曲线的渐近线的距离为1，则该双曲线的方程为( )A ． x 2－y 2＝2B ． x 23－y 2＝1C ．x 2－y 2＝3D ．x 2－y 23＝1 解析：本题主要考查双曲线与抛物线的有关知识．由已知，a 2＋b 2＝4 ①，焦点F (2,0)到双曲线的一条渐近线bx －ay ＝0的距离为|2b |a 2＋b 2＝1 ②，由①②解得a 2＝3，b 2＝1，故选B.答案：B3．已知命题p ，q ，如果命题“¬p ”与命题“p ∨q ”均为真命题，那么下列结论正确的是( )A ．p ，q 均为真命题B ．p ，q 均为假命题C ．p 为真命题，q 为假命题D ．p 为假命题，q 为真命题 解析：命题“¬p ”为真，所以命题p 为假命题．又命题“p ∨q ”也为真命题，所以命题q 为真命题．答案：D4．[2014·福建高考]直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的( )A ． 充分而不必要条件B ． 必要而不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分又不必要条件解析：若k ＝1，则直线l ：y ＝x ＋1与圆相交于(0,1)，(－1，0)两点，所以△OAB 的面积S △OAB ＝12×1×1＝12，所以“k ＝1”⇒“△OAB 的面积为12”；若△OAB 的面积为12，则k ＝±1，所以“△OAB 的面积为12”D ⇒/“k ＝1”，所以“k ＝1”是“△OAB 的面积为12”的充分而不必要条件，故选A.答案：A5．函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围是( ) A ． (0,1) B ． (－∞，1) C ． (0，＋∞) D ． (0，12)解析：f ′(x )＝3x 2－6b ， ∵f (x )在(0,1)内有极小值， ∴f ′(x )＝0在x ∈(0,1)时有解，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′(0)<0f ′(1)>0.∴0<b <12.答案：D6．若直线y ＝x ＋1与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点，则|AB →|等于( )A ．43B ．423C ．83D ．823解析：联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 22＋y 2＝1，得3x 2＋4x ＝0，解得A (0,1)，B (－43，－13)，所以|AB →|＝(－43－0)2＋(－13－1)2＝423. 答案：B7．若x >0，则f (x )＝12x ＋3x 的最小值为( )A ． 12B ． －12C ． 6D ． －6解析：f (x )＝12x ＋3x ，f ′(x )＝3－12x 2，由f ′(x )＝0得x ＝2或x ＝－2(舍去)， ∴f (x )在(0,2)内递减，在(2，＋∞)内递增， ∴f (x )min ＝f (2)＝12. 答案：A8．下列四个结论中正确的个数为( )①命题“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是“若x >1或x <－1，则x 2>1”； ②已知p ：∀x ∈R ，sin x ≤1，q ：若a <b ，则am 2<bm 2，则p ∧q 为真命题； ③命题“∃x ∈R ，x 2－x >0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x ≤0”； ④“x >2”是“x 2>4”的必要不充分条件． A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析：只有③中结论正确． 答案：B9．[2014·贵州六校联盟高三联考]已知函数y ＝xf ′(x )的图象如图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)．下面四个图象中，y ＝f (x )的图象大致是( )解析：由条件可知当0<x <1时，f ′(x )<0，函数f (x )递减，当x >1时，f ′(x )>0，函数f (x )递增，所以当x ＝1时，函数f (x )取得极小值．当x <－1时，xf ′(x )<0，所以f ′(x )>0，函数f (x )递增，当－1<x <0，xf ′(x )>0，所以f ′(x )<0，函数f (x )递减，所以当x ＝－1时，函数f (x )取得极小值．所以选C.答案：C10．[2014·聊城高二检测]若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为( )A ． 1B ． 2C ．22D ． 3解析：由题意知，过点P 作与直线y ＝x －2平行的直线，且与曲线y ＝x 2－ln x 相切．设切点P (x 0，x 20－ln x 0)，则有k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0－1x 0＝1，解得x 0＝1或x 0＝－12(舍去)，∴点P (1,1)，d ＝|1－1－2|2＝ 2.答案：B11．已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 且斜率为3的直线交抛物线于A 、B 两点，则||F A |－|FB ||的值为( )A ． 83B ． 163C ．833D ．823解析：本题主要考查直线与抛物线的位置关系以及抛物线的有关性质．直线AB 的方程为y ＝3(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x y ＝3(x －1)得3x 2－10x ＋3＝0，故x 1＝3，x 2＝13，所以||F A |－|FB ||＝|x 1－x 2|＝83.故选A.答案：A12．[2012·浙江高考]如图，F 1、F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b >0)的左、右焦点，B 是虚轴的端点，直线F 1B 与双曲线C 的两条渐近线分别交于P 、Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M .若|MF 2|＝|F 1F 2|，则双曲线C 的离心率是( )A ．233B ．62C ． 2D ． 3解析：本题主要考查双曲线离心率的求解．结合图形的特征，通过PQ 的中点，利用线线垂直的性质进行求解．不妨设c ＝1，则直线PQ ：y ＝bx ＋b ，双曲线C 的两条渐近线为y ＝±b a x ，因此有交点P (－a a ＋1，b a ＋1)，Q (a 1－a ，b 1－a )，设PQ 的中点为N ，则点N 的坐标为(a 21－a 2，b 1－a 2)，因为线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M ，|MF 2|＝|F 1F 2|，所以点M 的坐标为(3,0)，因此有k MN ＝b1－a 2－0a 21－a 2－3＝－1b ，所以3－4a 2＝b 2＝1－a 2，所以a 2＝23，所以e ＝62.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．命题“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0”的否定是__________．解析：特称命题的否定是全称命题，故原命题的否定是∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0. 答案：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>014．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与方向向量为k ＝(6,6)的直线交于A ，B 两点，线段AB 的中点为(4,1)，则该双曲线的渐近线方程是________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21a 2－y 21b 2＝1且x 22a 2－y 22b 2＝1得：y 2－y 1x 2－x 1＝b 2(x 2＋x 1)a 2(y 2＋y 1)＝4b 2a 2，又k ＝1，∴4b 2a 2＝1即：b a ＝±12.即双曲线的渐近线方程为：y ＝±12x .答案：y ＝±12x15．[2014·云南师大附中月考]对于三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，给出定义：设f ′(x )是函数f (x )的导数，f ″(x )是f ′(x )的导数，若方程 f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数的图象都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．根据这一发现，则函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的图象的对称中心为________．解析：由f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512，得f ′(x )＝x 2－x ＋3，f ″(x )＝2x －1，由f ″(x )＝0，解得x ＝12，且f (12)＝1，所以此函数图象的对称中心为(12，1)．答案：(12，1)16．[2014·湖北省襄阳五中月考]已知函数f (x )＝|x 2－2ax ＋b |(x ∈R )，给出下列命题：①若a 2－b ≤0，则f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数；②若a 2－b >0，则f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数；③当x ＝a 时，f (x )有最小值b －a 2；④当a 2－b ≤0时，f (x )有最小值b －a 2.其中正确命题的序号是________．解析：本题考查含绝对值的二次函数单调区间和最小值问题的求解．由题意知f (x )＝|x 2－2ax ＋b |＝|(x －a )2＋b －a 2|.若a 2－b ≤0，则f (x )＝|(x －a )2＋b －a 2|＝(x －a )2＋b －a 2，可知f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数，所以①正确，②错误；只有在a 2－b ≤0的条件下，才有x ＝a 时，f (x )有最小值b －a 2，所以③错误，④正确．答案：①④三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)(1)设集合M ＝{x |x >2}，P ＝{x |x <3}，则“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈(M ∩P )”的什么条件？(2)求使不等式4mx 2－2mx －1<0恒成立的充要条件． 解：(1)x ∈R ，x ∈(M ∩P )⇔x ∈(2,3)． 因为“x ∈M 或x ∈P ”x ∈(M ∩P )． 但x ∈(M ∩P )⇒x ∈M 或x ∈P .故“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈(M ∩P )”的必要不充分条件． (2)当m ≠0时，不等式4mx 2－2mx －1<0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧4m <0Δ＝4m 2＋16m <0⇔－4<m <0.又当m ＝0时，不等式4mx 2－2mx －1<0对x ∈R 恒成立， 故使不等式4mx 2－2mx －1<0恒成立的充要条件是－4<m ≤0.18．(12分)[2014·河南洛阳统考]已知函数f (x )＝ln x －ax ＋a (a ∈R )，g (x )＝x 2＋2x ＋m (x <0)．(1)讨论f (x )的单调性；(2)若a ＝0，函数y ＝f (x )在A (2，f (2))处的切线与函数y ＝g (x )相切于B (x 0，g (x 0))，求实数m 的值．解：(1)f ′(x )＝1－axx，x >0.若a ≤0，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；若a >0，当x ∈(0，1a )时，f ′(x )>0，f (x )在(0，1a )上单调递增；当x ∈(1a ，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )在(1a ，＋∞)上单调递减．(2)当a ＝0时，f (x )＝ln x . f ′(x )＝1x ，∴k ＝f ′(2)＝12.∴函数f (x )在A (2，ln2)处的切线方程为y ＝12(x －2)＋ln2，易得函数g (x )在B (x 0，g (x 0))处的切线方程为y ＝(2x 0＋2)·(x －x 0)＋x 20＋2x 0＋m ， 整理得：y ＝(2x 0＋2)x －x 20＋m . 由已知得：⎩⎪⎨⎪⎧12＝2(x 0＋1)ln2－1＝－x 20＋m ，解得x 0＝－34，m ＝－716＋ln2.19．(12分)设直线l ：y ＝x ＋1与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两个不同的点，l 与x 轴相交于点F .(1)证明：a 2＋b 2>1；(2)若F 是椭圆的一个焦点，且AF →＝2FB →，求椭圆的方程． 解：(1)证明：将x ＝y －1代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去x ，整理，得(a 2＋b 2)y 2－2b 2y ＋b 2(1－a 2)＝0. 由直线l 与椭圆相交于两个不同的点，得 Δ＝4b 4－4b 2(a 2＋b 2)(1－a 2)＝4a 2b 2(a 2＋b 2－1)>0， 所以a 2＋b 2>1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则(a 2＋b 2)y 21－2b 2y 1＋b 2(1－a 2)＝0，① 且(a 2＋b 2)y 22－2b 2y 2＋b 2(1－a 2)＝0.②因为AF →＝2FB →，所以y 1＝－2y 2.将y 1＝－2y 2代入①，与②联立，消去y 2， 整理得(a 2＋b 2)(a 2－1)＝8b 2.③因为F 是椭圆的一个焦点，则有b 2＝a 2－1. 将其代入③式，解得a 2＝92，b 2＝72，所以椭圆的方程为2x 29＋2y 27＝1.20．(12分)已知两点M (－1,0)、N (1,0)，动点P (x ，y )满足|MN →|·|NP →|－MN →·MP →＝0， (1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)假设P 1、P 2是轨迹C 上的两个不同点，F (1,0)，λ∈R ，FP 1→＝λFP 2→，求证：1|FP 1→| ＋1|FP 2→|＝1.解：(1)|MN →|＝2，则MP →＝(x ＋1，y )， NP →＝(x －1，y )． 由|MN →||NP →|－MN →·MP →＝0， 则2(x －1)2＋y 2－2(x ＋1)＝0， 化简整理得y 2＝4x .(2)由FP 1→＝λ·FP 2→，得F 、P 1、P 2三点共线，设P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，斜率存在时，直线P 1P 2的方程为：y ＝k (x －1)． 代入y 2＝4x 得：k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0. 则x 1x 2＝1，x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2.∴1|FP 1→| ＋1|FP 2→| ＝1x 1＋1＋1x 2＋1 ＝x 1＋x 2＋2x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＝1.当P 1P 2垂直x 轴时，结论照样成立．21．(12分)[2014·银川唐徕回民中学三模]已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝e x ， (1)若函数φ(x )＝f (x )－x ＋1x －1，求函数φ(x )的单调区间；(2)设直线l 为函数f (x )的图象在点A (x 0，f (x 0))处的切线，证明：在区间(1，＋∞)上存在唯一x 0，使直线l 与曲线y ＝g (x )相切．解：(1)证明：(1)φ(x )＝ln x －x ＋1x －1，故φ′(x )＝1x ＋2(x －1)2，显然当x >0且x ≠1时都有φ′(x )>0，故函数φ(x )在(0,1)和(1，＋∞)内均单调递增．(2)因为f ′(x )＝1x ，所以直线l 的方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，设直线l 与曲线y ＝g (x )切于点(x 1，e x 1)，因为g ′(x )＝e x ，所以e x 1＝1x 0，从而x 1＝－ln x 0，所以直线l 的方程又为y ＝1x 0x ＋ln x 0x 0＋1x 0，故ln x 0－1＝ln x 0x 0＋1x 0，从而有ln x 0＝x 0＋1x 0－1，由(1)知，φ(x )＝ln x －x ＋1x －1在区间(1，＋∞)内单调递增，又因为φ(e)＝lne －e ＋1e －1＝－2e －1<0，φ(e 2)>0，故φ(x )＝ln x －x ＋1x －1在区间(e ，e 2)内存在唯一的零点x 0，此时，直线l 与曲线y ＝g (x )相切．22．(12分)[2014·四川高考]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线x ＝－3上任意一点，求F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q .①证明：OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)； ②当|TF ||PQ |最小时，求点T 的坐标．解：(1)由已知可得⎩⎨⎧a 2＋b 2＝2b ，2c ＝2a 2－b 2＝4，解得a 2＝6，b 2＝2，所以椭圆C 的标准方程是x 26＋y 22＝1.(2)①由(1)可得，F 的坐标是(－2,0)，设T 点的坐标为(－3，m )，则直线TF 的斜率k TF＝m －0－3－(－2)＝－m . 当m ≠0时，直线PQ 的斜率k PQ ＝1m ，直线PQ 的方程是x ＝my －2.当m ＝0时，直线PQ 的方程是x ＝－2，也符合x ＝my －2的形式．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －2，x 26＋y 22＝1，消去x ，得(m 2＋3)y 2－4my －2＝0，其判别式Δ＝16m 2＋8(m 2＋3)>0. 所以y 1＋y 2＝4mm 2＋3，y 1y 2＝－2m 2＋3，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝－12m 2＋3.所以PQ 的中点M 的坐标为(－6m 2＋3，2mm 2＋3)，所以直线OM 的斜率k OM ＝－m3.又直线OT 的斜率k OT ＝－m3，所以点M 在直线OT 上，因此OT 平分线段PQ . ②由①可得， |TF |＝m 2＋1，|PQ |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(m 2＋1)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2] ＝(m 2＋1)[(4mm 2＋3)2－4·－2m 2＋3]＝24(m 2＋1)m 2＋3.所以|TF ||PQ |＝124·(m 2＋3)2m 2＋1＝124·(m 2＋1＋4m 2＋1＋4)≥124·(4＋4)＝33. 当且仅当m 2＋1＝4m 2＋1即m ＝±1时，等号成立，此时⎪⎪⎪⎪TF PQ 取得最小值． 所以当⎪⎪⎪⎪TF PQ 最小时，T 点的坐标是(－3,1)或(－3，－1)．。
高中数学 模块综合测评1 新人教B版选修1-2(2021年整理)
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模块综合测评(一)（时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1。
复数z＝－1＋2i，则z的虚部为（）A.1B.－1C。
2 D.－2【解析】∵z＝－1＋2i，∴z＝－1－2i，∴z的虚部为－2。
【答案】D2。
根据二分法求方程x2－2＝0的根得到的程序框图可称为( )A.工序流程图B.程序流程图C.知识结构图D。
组织结构图【解析】由于该框图是动态的且可以通过计算机来完成,故该程序框图称为程序流程图.【答案】B3.利用独立性检测来考查两个分类变量X，Y是否有关系，当随机变量χ2的值（)A.越大,“X与Y有关系”成立的可能性越大B.越大,“X与Y有关系”成立的可能性越小C.越小，“X与Y有关系”成立的可能性越大D.与“X与Y有关系”成立的可能性无关【解析】由χ2的意义可知,χ2越大，说明X与Y有关系的可能性越大。
【答案】A4.用反证法证明命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除".则假设的内容是（）【导学号：37820061】A。
a，b都能被5整除B.a,b都不能被5整除C.a不能被5整除D.a，b有1个不能被5整除【解析】“至少有1个”的否定为“一个也没有”，故应假设“a,b都不能被5整除”.【答案】B5。
人教版高中数学选修1-2 练习：模块综合测试2
选修1-2模块综合测试（二）(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．[2013·江西高考]已知集合M＝{1,2，z i}，i为虚数单位，N＝{3,4}，M∩N＝{4}，则复数z＝()A. －2iB. 2iC. －4iD. 4i解析：由M∩N＝{4}知4∈M，所以z i＝4，z＝－4i，选C.答案：C2．凡自然数是整数，4是自然数，所以4是整数，以上三段论推理()A. 正确B. 推理形式不正确C. 两个“自然数”概念不一样D. 两个“整数”概念不一致解析：此三段论中的大前提，小前提以及推理形式都是正确的，因此，此三段论推理是正确的，故选A.答案：A3．设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r，y关于x的回归直线的斜率是b，纵轴上的截距是a，那么必有()A. b与r的符号相同B. a与r的符号相同C. b与r的符号相反D. a与r的符号相反解析：正相关时，b>0，r>0；负相关时，b<0，r<0，选A.答案：A4．勾股定理：在直角边长为a、b，斜边长为c的直角三角形中，有a2＋b2＝c2.类比勾股定理可得，在长、宽、高分别为p、q、r，体对角线长为d的长方体中，有()A. p＋q＋r＝dB. p2＋q2＋r2＝d2C. p3＋q3＋r3＝d3D. p2＋q2＋r2＋pq＋pr＋qr＝d2解析：类比即可．答案：B5．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于()A. f(x)B. －f(x)C. g(x)D. －g(x)解析：由题知偶函数的导数为奇函数，选D.答案：D6．设z＝log2(m2－3m－3)＋ilog2(m－3)(m∈R)，若z对应的点在直线x－2y＋1＝0上，则m的值是()A．±15 B.15C．－15D．15解析：log2(m2－3m－3)－2log2(m－3)＋1＝0，log2m2－3m－3m－2＝－1，m2－3m－3m－2＝12，m＝±15，而m>3，m＝15.答案：B7．[2014·贵州六校联考]如图，x1，x2，x3为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，p为该题的最终得分，得x1＝6，x2＝9，p＝9.5时，x3等于()A. 10B. 9C. 8D. 7解析：x1＝6，x2＝9，|x1－x2|＝3，|x3－6|<|x3－9|不成立，取x1＝x3⇒x3＋9＝9.5×2⇒x3＝10.答案：A8．[2013·安徽高考]设i是虚数单位，z是复数z的共轭复数．若z·z i＋2＝2z，则z＝()A. 1＋iB. 1－iC. －1＋iD. －1－i解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ·z i ＋2＝(a ＋b i)·(a －b i)·i ＋2＝2＋(a 2＋b 2)i ，故2＝2a ，a 2＋b 2＝2b ，解得a ＝1，b ＝1.即z ＝1＋i.答案：A9．[2014·昆明调研]执行如图的程序框图，如果输入的N ＝10，那么输出的S ＝( )A. 109B. 169C. 95D. 2011解析：在程序执行过程中p ，S ，k 的值依次为p ＝0，S ＝0，k ＝1；p ＝1，S ＝1，k ＝2；p ＝3，S ＝43，k ＝3；p ＝6，S ＝32，k ＝4；p ＝10，S ＝85，k ＝5；…；p ＝36，S ＝169，k ＝9；p＝45，S ＝95，k ＝10.又N ＝10，k ＝N ，故程序结束，输出的S ＝95.答案：C10．定义复数的一种运算z 1]|z 1|＋|z 2|,2)(等式右边为普通运算)，若复数z ＝a ＋b i ，且正实数a ，b 满足a ＋b ＝3，则z *z 的最小值为( )A.92B.322 C.32D.94 解析：z *z ＝|z |＋|z |2＝2a 2＋b 22＝a 2＋b 2＝a ＋b2－2ab ，又∵ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝94，∴－ab ≥－94，z *z ≥9－2×94＝92＝322. 答案：B11．按照下列三种化合物的结构式及分子式的规律，写出后一种化合物的分子式是( )A ．C 4H 9B ．C 4H 10 C ．C 4H 11D ．C 6H 12解析：后一种化合物应有4个C 和10个H ，所以分子式是C 4H 10. 答案：B12．对于定义在数集R 上的函数f (x )，如果存在实数x 0，使f (x 0)＝x 0，则x 0叫函数f (x )的一个不动点．已知f (x )＝x 2＋2ax ＋1不存在不动点，那么a 的取值范围是( )A. (－12，32)B. (－32，－12)C. (12，32) D. (－32，12)解析：因为f (x )＝x 2＋2ax ＋1不存在不动点，所以f (x )＝x 无实根．由x 2＋2ax ＋1＝x 得x 2＋(2a －1)x ＋1＝0，此方程若无实根，则Δ＝(2a －1)2－4<0，解得－12<a <32.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知线性回归直线方程是y ^＝a ^＋b ^x ，如果当x ＝3时，y 的估计值是17，x ＝8时，y 的估计值是22，那么回归直线方程为________．解析：首先把两组值代入回归直线方程得⎩⎪⎨⎪⎧3b ^ ＋a ^＝17，8b ^ ＋a ^ ＝22⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ^＝1，a ^ ＝14.所以回归直线方程是y ^＝x ＋14.答案：y ^＝x ＋1414．如图所示是按照一定规律画出的一列“树型”图，设第n 个图有a n 个“树枝”，则a n ＋1与a n (n ≥2)之间的关系是________．解析：观察图1～5得：a 1＝1，a 2＝3，a 3＝7，a 4＝15，a 5＝31，由规律可得a n ＋1＝2a n＋1(n ≥2)．答案：a n ＋1＝2a n ＋1(n ≥2)15．读下面的流程图，当输入的值为－5时，输出的结果是________．解析：①A ＝－5<0，②A ＝－5＋2＝－3<0，③A ＝－3＋2＝－1<0，④A ＝－1＋2＝1>0，⑤A ＝2×1＝2.答案：216．若Rt △ABC 中两直角边为a 、b ，斜边c 上的高为h ，则1h 2＝1a 2＋1b 2，如右图，在正方体的一角上截取三棱锥P －ABC ，PO 为棱锥的高，记M ＝1PO 2，N ＝1P A 2＋1PB 2＋1PC 2，那么M 、N 的大小关系是__________．解析：在Rt △ABC 中，c 2＝a 2＋b 2①，由等面积法得ch ＝ab ，∴c 2·h 2＝a 2·b 2②，①÷②整理得1h 2＝1a 2＋1b2.类比得，S 2△ABC ＝S 2△P AB ＋S 2△PBC ＋S 2P AC ③，由等体积法得S △ABC ·PO ＝12P A ·PB ·PC ， ∴S 2△ABC ·PO 2＝14P A 2·PB 2·PC 2④，③÷④整理得M ＝N . 答案：M ＝N三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)满足z ＋5z 是实数且z ＋3的实部与虚部是相反数的虚数z 是否存在？若存在，求出虚数z ；若不存在，请说明理由．解：设虚数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，且y ≠0) z ＋5z ＝x ＋y i ＋5x ＋y i ＝x ＋5x x 2＋y 2＋(y －5y x 2＋y 2)i ， 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y －5y x 2＋y 2＝0，x ＋3＝－y .∵y ≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝5，x ＋y ＝－3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－1.∴存在虚数z ＝－1－2i 或z ＝－2－i 满足以上条件． 18．(12分)已知函数f (x )＝a x ＋x －2x ＋1(a >1)．(1)证明函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数； (2)用反证法证明方程f (x )＝0没有负数根． 证明：(1)任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1<x 2，则x 2－x 1>0，ax 2－x 1>1，且ax 1>0， ∴ax 2－ax 1＝ax 1(ax 2－x 1－1)>0. 又∵x 1＋1>0，x 2＋1>0， ∴x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝ x 2－x 1＋－x 1－x 2＋x 1＋x 2＋＝x 2－x 1x 1＋x 2＋1>0.于是f (x 2)－f (x 1)＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1>0， 故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)证法一：假设存在x 0<0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0， 则ax 0＝x 0－2x 0＋1，且0<ax 0<1，∴0<－x 0－2x 0＋1<1，即12<x 0<2.与假设x 0<0矛盾，故方程f (x )＝0没有负数根． 证法二：假设存在x 0<0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0. ①若－1<x 0<0，则x 0－2x 0＋1<－2,0<ax 0<1，∴f (x 0)<－1，与f (x 0)＝0矛盾； ②若x 0<－1，则x 0－2x 0＋1>0,0<ax 0<1，∴f (x 0)>0，与f (x 0)＝0矛盾． 故方程f (x )＝0没有负数根．19．(12分)设z 1＝1＋2a i ，z 2＝a －i(a ∈R )，已知A ＝{z ||z －z 1|≤2}，B ＝{z ||z －z 2|≤22}， A ∩B ＝∅，求a 的取值范围．解：∵集合A 、B 在复平面内对应的点是两个圆面，又A ∩B ＝∅，∴这两个圆外离． 所以|z 1－z 2|>32， 即|(1＋2a i)－(a －i)|>3 2.解之得a ∈(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫85，＋∞.20．(12分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x x ，2 x ＝，2＋x x ，设计一个输入x 值，输出y 值的流程图．解：流程图如图所示．21．(12分)为了调查胃病是否与生活规律有关，对某地540名40岁以上的人进行了调查，结果如下：生活规律有关系？解：根据公式得K 2的观测值 k ＝－280×460×220×320≈9.638>6.635，因此，在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为40岁以上的人患胃病与生活规律有关．22．(12分)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：(1)(2)求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，并在坐标系中画出回归直线； (3)试预测加工10个零件需要多少时间？(注：b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2，a ^＝y＝b ^x .)解：(1)散点图如图．(2)由表中数据得：∑i ＝14x i y i ＝52.5，x ＝3.5，y ＝3.5，∑i ＝14x 2i ＝54，∴b ^＝0.7.∴a ^＝1.05，∴y ^＝0.7x ＋1.05. 回归直线如图所示．(3)将x ＝10代入线性回归方程，得y ^＝0.7×10＋1.05＝8.05(小时)． ∴预测加工10个零件需要8.05小时．。
人教新课标版数学高二-选修1-2模块综合检测卷
数学·选修1－2(人教A版)模块综合检测卷(测试时间：120分钟评价分值：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．对于自变量x和因变量y，当x取值一定时，y的取值带有一定的随机性，x，y间这种非确定的关系叫做()A．函数关系B．线形关系C．相关关系D．回归关系答案：C2．下列是关于出生男婴与女婴调查的2×2列联表，那么表中m，n的值分别是()A.58,60 B．答案：D3．△ABC三个顶点对应的复数分别是z1，z2，z3，若复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点是△ABC的() A．内心B．重心C．垂心D．外心答案：D4．用反证法证明命题“若整系数方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a，b，c中至少有一个偶数”时，下列假设正确的是() A．假设a，b，c都是偶数B．假设a，b，c都不是偶数C ．假设a ，b ，c 至多有一个偶数D ．假设a ，b ，c 至多有两个偶数 答案：B5．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，则函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos x ，1，1，cos x 的图象的一条对称轴方程是( )A ．x ＝π2B ．x ＝π3C ．x ＝π4D ．x ＝π6解析：依题意得：f (x )＝2cos 2x －1＝cos 2x ，∴选A. 答案：A6．复数(a 2－a )＋(|a －1|－1)i(a ∈R)不是纯虚数，则有( ) A ．a ≠0 B ．a ≠0且a ≠1 C ．a ≠1 D ．a ≠0且a ≠2 答案：C7．在“由于任何数的平方都是非负数，所以(2i)2≥0”这一推理中，产生错误的原因是( )A ．推理的形式不符合三段论的要求B ．大前提错误C ．小前提错误D ．推理的结果错误解析：大前提错误，应为“任何实数的平方都是非负数”．故选B.答案：B8．如图(1)、(2)，它们都表示的是输出所有立方小于1 000的正整数的程序框图，那么应分别补充的条件为( )A．(1)n3≥1 000？(2)n3＜1 000?B．(1)n3≤1 000？(2)n3≥1 000?C．(1)n3＜1 000？(2)n3≥1 000?D．(1)n3＜1 000？(2)n3＜1 000?答案：C9．有一堆形状、大小相同的珠子，其中只有一粒重量比其他的轻，某同学经过思考，他说根据科学的算法，利用天平，三次肯定能找到这粒最轻的珠子，则这堆珠子最多有几粒()A．21 B．24 C. 27 D. 30答案：C10．如下面两图，已知命题：若矩形ABCD的对角线BD与边AB和BC所成角分别为α，β，则cos2α＋cos2β＝1.若把它推广到长方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线BD1与棱AB，BB1，BC所成的角分别为α，β，γ，则相应的命题形式()A．cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1 B．sin2α＋sin2β＋sin2γ＝1C．cos2α＋cos2β＋cos2γ＝2 D．sin2α＋sin2β＋sin2γ＝2答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分；将正确答案填在题中的横线上)11．设复数z＝1＋i，ω＝z－2|z|－4，则ω＝_______________.答案：－3－22＋i12．数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an3an＋1(n∈N*)，依次计算a2，a3，a4，然后归纳、猜想an＝_______________.答案：26n－513．为解决四个村庄用电问题，政府投资在已建电厂与四个村庄之间架设输电线路，现已知这四个村庄及电厂之间的距离如图(距离单位：km)，则能把电力输送到这四个村庄的输电线路最短总长度应该是________．解析：要使电厂与四个村庄相连，则需四条线路，注意最短的四条线路能使电厂与四个村庄相连，∴4＋5＋5.5＋6＝20.5 km.答案：20.5 km14．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，右图一组蜂巢的截面图中，第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n幅图的蜂巢总数，则f(4)＝______，f(n)＝______.解析：f (4)＝4＋5＋6＋7＋6＋5＋4＝37，f (n )＝n ＋(n ＋1)＋…＋(2n －1)＋…＋(n ＋1)＋n ＝2×n [n ＋(2n －1)]2－(2n －1)＝3n 2－3n ＋1.答案：37 3n 2－3n ＋1三、解答题(本大题共6小题，共80分；解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)15．(12分)计算(1)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i ；(2)1－3i (3＋i )2.解析：(1)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i ＝i 2＋i ＝i (2－i )5＝15＋25i ； (2)1－3i(3＋i )2＝(3＋i )(－i )(3＋i )2＝－i3＋i＝(－i )(3－i )4＝－14－34i.16.(12分)某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查，数据如下表：认为作业多认为作业不多 总计喜欢玩电脑游戏 18 9 27 不喜欢玩电脑游戏8 15 23 总计262450是否相关．解析：根据公式计算，K 2的观测值k ＝50(18×15－8×9)226×24×27×23≈5.059，∵5.059＞5.024，∴约有97.5%的把握认为喜欢玩电脑游戏和认为作业量的多少有关．17．(14分)某人早晨起床后泡茶的过程可用流程图表示为：这种安排方式耗时多少分钟？还可以有其他的安排方法吗？试用流程图表示你准备采用的方式，并计算按你的方式耗时多少分钟．解析：按照题中流程图的安排，总耗时数为2＋15＋3＋2＋1＝23(min)．由于洗茶杯、取放茶叶可在烧开水时进行，故工作流程图也可以这样安排：18．(14分)如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC＝45°，DC＝1，AB＝2，PA⊥平面ABCD，PA＝1.求证：(1)AB∥平面PCD.(2)BC⊥平面PAC.证明：(1)∵AB∥DC，且AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AB∥平面PCD.(2)在直角梯形ABCD中，过C作CE⊥AB于点E(如图)，则四边形ADCE为矩形．∴AE＝DC＝1，又AB＝2，∴BE＝1，在Rt△BEC中，∠ABC＝45°，∴CE＝BE＝1，CB＝ 2.∴AD＝CE＝1，则AC＝AD2＋DC2＝ 2.∴AC2＋BC2＝AB2，∴BC⊥AC.又∵PA⊥平面ABCD.∴PA⊥BC.又∵PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.19.(14分)在关于人体脂肪含量y(百分比)和年龄x(岁)关系的研究中，得到如下一组数据：年龄(x)232739414550脂肪含量(y)9.517.821.225.927.528.2(1)画出散点图，判断x与y是否具有相关关系；(2)通过计算可知b^＝0.651 2，â＝－2.737 9，请写出y对x的回归直线方程，并计算出23岁和50岁的残差．解析：(1)涉及两个变量，年龄与脂肪含量．因此选取年龄为自变量x，脂肪含量为因变量y.散点图如图所示，从图中可以看出x与y具有相关关系．(2)y对x的回归直线方程为y^＝0.651 2x－2.737 9.当x＝23 时，y^＝12.239 7，y－y^＝9.5－12.239 7＝－2.739 7.当x ＝50 时，y ^＝29.822 1，y －y ^＝28.2－29.822 1＝－1.622 1. 所以23岁和50岁的残差分别为－2.739 7和－1.622 1.20．(14分)设数列{}a n 的首项a 1＝a ≠14，且a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12a n ，n 为偶数，a n ＋14，n 为奇数.记b n ＝a 2n －1－14，n ＝1,2,3，…. (1)求a 2，a 3，a 4，a 5；(2)判断数列{}b n 是否为等比数列，并证明你的判断．解析：(1)a 2＝a 1＋14＝a ＋14，a 3＝12a 2＝12a ＋18， a 4＝a 3＋14＝12a ＋38，a 5＝12a 4＝14a ＋316. (2)由(1)可得 b 1＝a 1－14＝a －14，b 2＝a 3－14＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －14，b 3＝a 5－14＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫a －14. 猜想：{}b n 是公比为12的等比数列． 证明如下：因为 b n ＋1＝a 2n ＋1－14＝12 a 2n －14＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2n －1－14＝12b n (n ∈N *)，又 a ≠14， 所以 b 1＝a －14≠0. 所以数列{}b n 是首项为a －14，公比为12的等比数列．。
人教新课标版数学高二-数学选修1-2模块综合检测(B)
模块综合检测(B)(时间：100分钟；满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若复数2－b i1＋2i (b ∈R )的实部与虚部互为相反数，则b ＝( )A.2B.23C ．－23D ．2解析：选C.因为2－b i 1＋2i ＝(2－b i )(1－2i )5＝2－2b 5－4＋b 5i ，又复数2－b i1＋2i (b ∈R )的实部与虚部互为相反数，所以2－2b 5＝4＋b 5，即b ＝－23.2．用反证法证明命题：“若a ，b ∈N ，ab 能被3整除，那么a ，b 中至少有一个能被3整除”时，假设应为( )A ．a ，b 都能被3整除B ．a ，b 都不能被3整除C ．a ，b 不都能被3整除D ．a 不能被3整除解析：选B.因为“至少有一个”的否定为“一个也没有”．3．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A ～F 共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：例如，用十六进制表示：E ＋D ＝1B ，则A ×B 等于( )A ．6EB ．72C ．5FD ．B 0解析：选A.A ×B ＝110＝6×16＋14＝6E .4．设x i ，a i (i ＝1,2,3)均为正实数，甲、乙两位同学由命题：“若x 1＋x 2＝1，则a 1x 1＋a 2x 2≤(a 1＋a 2)2”分别推理得出了新命题：甲：“若x 1＋x 2＝1，则a 21x 1＋a 22x 2≤(a 1＋a 2)2”；乙：“若x 1＋x 2＋x 3＝1，则a 1x 1＋a 2x 2＋a 3x 3≤(a 1＋a 2＋a 3)2”．他们所用的推理方法是( ) A ．甲、乙都用演绎推理 B ．甲、乙都用类比推理 C ．甲用演绎推理，乙用类比推理 D ．甲用归纳推理，乙用类比推理解析：选B.由甲、乙都是特殊到特殊的猜想，故选B.5．如图是某汽车维修公司的维修点环形分布图，公司在年初分配给A 、B 、C 、D 四个维修点某种配件各50件，在使用前发现需将A 、B 、C 、D 四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次(n 件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n )为( )A ．18B ．17C ．16D ．15解析：选C.D 处的零件要从A 、C 或B 处移来调整，且次数最少．方案一：从A 处调10个零件到D 处，从B 处调5个零件到C 处，从C 处调1个零件到D 处，共调动16件次．方案二：从B 处调1个零件到A 处，从A 处调1个零件到D 处，从B 处调4个零件到C 处，共调动16件次．6．把正整数按下图所示的规律排序，则从2 011到2 013的箭头方向依次为( )解析：选B.由图形的变化趋势可知，箭头的变化方向以4为周期，2 011÷4＝502×4＋3,2 012÷4＝502×4＋4，2 013＝502×4＋5，故2 011→2 013的箭头方向同3→5的箭头方向．7．观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 401，…，则72 011的末两位数字为( ) A ．01 B ．43 C ．07D ．49解析：选B.因为71＝7,72＝49,73＝343,74＝2 401,75＝16 807，76＝117 649，…，所以这些数的末两位数字呈周期性出现，且周期T ＝4.又因为2 011＝4×502＋3，所以72 011的末两位数字与73的末两位数字相同，故选B.8．有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：优秀 非优秀 总计 甲班 10 b 乙班 c 30 总计105已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为27，则下列说法正确的是( )参考公式：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )附表：P (K 2≥k )0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828A ．列联表中c 的值为30，b 的值为35B ．列联表中c 的值为15，b 的值为50C ．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”D ．根据列联表中的数据，若按95%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系” 解析：选C.由题意知，成绩优秀的学生数是30，成绩非优秀的学生数是75，所以c ＝20，b ＝45，选项A 、B 错误．根据列联表中的数据，得到K 2＝105×(10×30－20×45)255×50×30×75≈6.109＞3.841，因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”，选项C 正确．9．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( ) A ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形解析：选D.由已知得△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0，则△A 1B 1C 1是锐角三角形，若△A 2B 2C 2为锐角三角形，由⎩⎪⎨⎪⎧sin A 2＝cos A 1＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－A 1，sin B 2＝cos B 1＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－B 1，sin C 2＝cos C 1＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－C 1，得⎩⎪⎨⎪⎧A 2＝π2－A 1，B 2＝π2－B 1，C 2＝π2－C 1.那么A 2＋B 2＋C 2＝π2，与三角形的内角和为180°矛盾．又知△A 2B 2C 2不可能为直角三角形．所以△A 2B 2C 2是钝角三角形．故选D.10．函数f (x )在[a ，b ]上有定义，若对任意x 1，x 2∈[a ，b ]，有f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22≤12[f (x 1)＋f (x 2)]，则称f (x )在[a ，b ]上具有性质P .设f (x )在[1,3]上具有性质P ，现给出如下命题：①f (x )在[1,3]上的图象是连续不断的； ②f (x 2)在[1，3]上具有性质P ；③若f (x )在x ＝2处取得最大值1，则f (x )＝1，x ∈[1,3]； ④对任意x 1，x 2，x 3，x 4∈[1,3]有 f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 2＋x 3＋x 44≤14[f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＋f (x 4)]．其中真命题的序号是( )A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④解析：选D.通过构造某些特殊函数，排除不合适的选项，利用反证法证明③正确，再两次应用定义式证明④正确．令f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＝1，0，1＜x ＜3，1，x ＝3，可知对∀x 1，x 2∈[1,3]，都有f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22≤12[f (x 1)＋f (x 2)]，但f (x )在[1,3]上的图象不连续，故①不正确； 令f (x )＝－x ，则f (x )在[1,3]上具有性质P ， 但f (x 2)＝－x 2在[1，3]上不具有性质P ，因为－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222＝－x 21＋x 22＋2x 1x 24≥－2(x 21＋x 22)4＝12(－x 21－x 22)＝12[f (x 21)＋f (x 22)]，故②不正确；对于选项③，假设存在x 0∈[1,3]，使得f (x 0)≠1， 因为f (x )max ＝f (2)＝1，x ∈[1,3]，所以f (x 0)＜1. 又当1≤x 0≤3时，有1≤4－x 0≤3， 由f (x )在[1,3]上具有性质P ，得 f (2)＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋4－x 02≤12[f (x 0)＋f (4－x 0)]， 由于f (x 0)＜1，f (4－x 0)≤1，故上式矛盾． 即对∀x ∈[1,3]，有f (x )＝1，故选项③正确． 对∀x 1，x 2，x 3，x 4∈[1,3]，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋x 3＋x 44＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 1＋x 22＋x 3＋x 422≤12⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋x 42≤12{12[f (x 1)＋f (x 2)]＋12[f (x 3)＋f (x 4)]}＝14[f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＋f (x 4)]，即选项④正确．二、填空题(本大题共5小题，请把答案填在题中横线上)11．已知x ，y 之间的一组数据如下表：对于表中数据，现给出如下拟合直线：①y ＝75x ＋45；②y ＝2x ＋1；③y ＝85x －25；④y ＝2x .根据最小二乘法的思想，其中拟合程度最好的直线是________．(填正确序号)解析：根据最小二乘法的思想得变量x 与y 间的线性回归直线方程的一个特点是：此直线必过点(x ，y )．∵x ＝3，y ＝5，∴经检验只有直线①过(3,5)，故答案为①. 答案：①12．设z 1，z 2是一对共轭复数，|z 1－z 2|＝23且z 1z 22为实数，则|z 1|＝________.解析：设z 1＝a ＋b i(a 、b ∈R )，则z 2＝a －b i. ∴|z 1－z 2|＝2|b |＝23，∴|b |＝ 3. 又∵z 1z 22是实数，∴z 1z 22＝z 1z 22＝z 2z 21.∴z 31＝z 32.∴(a ＋b i)3＝(a －b i)3. a 3＋3a 2b i ＋3ab 2i 2＋b 3i 3＝a 3－3a 2b i ＋3ab 2i 2－b 3i 3， ∴3a 2b ＝b 3，∴a 2＝1， ∴|z 1|＝a 2＋b 2＝2.答案：213．已知x ，y ∈(0，＋∞)，当x 2＋y 2＝________时有x 1－y 2＋y 1－x 2＝1.解析：要使x 1－y 2＋y1－x 2＝1，只需x 2(1－y 2)＝1＋y 2(1－x 2)－2y 1－x 2，即2y1－x 2＝1－x 2＋y 2.只需使(1－x 2－y )2＝0，即1－x 2＝y ，∴x 2＋y 2＝1. 答案：114．定义一种运算“*”：对于自然数n 满足以下运算性质：(i)1] . 解析：由已知得2]答案：n15．数列{a n}满足a n＋1＋(－1)n a n＝2n－1，则{a n}的前60项和为________．解析：∵a n＋1＋(－1)n a n＝2n－1，∴a2＝1＋a1，a3＝2－a1，a4＝7－a1，a5＝a1，a6＝9＋a1，a7＝2－a1，a8＝15－a1，a9＝a1，a10＝17＋a1，a11＝2－a1，a12＝23－a1，…，a57＝a1，a58＝113＋a1，a59＝2－a1，a60＝119－a1，∴a1＋a2＋…＋a60＝(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋a7＋a8)＋…＋(a57＋a58＋a59＋a60)＝10＋26＋42＋…＋234＝15×(10＋234)2＝1 830.答案：1 830三、解答题(本大题共5小题，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．设复平面上两个点Z1和Z2所对应的复数z1＝1，z2＝2＋i，以这两个点为顶点作正三角形，求正三角形的第三个顶点Z3所对应的复数z3.解：如图，作Z2A，Z3B分别垂直于x轴．易知|Z1A|＝1，|AZ2|＝1，|Z1Z2|＝ 2.∵△Z1Z2Z3为正三角形，∴|Z1Z3|＝|Z1Z2|＝2，∠Z3Z1B＝75°.故有|BZ3|＝|Z1Z3|sin 75°＝1＋32，|BZ1|＝|Z1Z3|cos 75°＝3－1 2，|OB|＝|OZ1|－|BZ1|＝3－32，∴Z3＝12(3－3)＋12(1＋3)i.同样可得Z 3′＝12(3＋3)＋12(1－3)i.17．如图是一个物资调运图．A 、B 、C 、D 是产地，E 、F 、G 、M 、N 是销地，产销量(吨)及距离(公里)如图所示，试作一个吨公里总数最小的调运方案．解：欲满足吨公里总数最小，那么从产地运出的货物要优先地并尽可能多地运往最近的销地．A 地只能将30吨货运往E 地，则E 地还可销60－30＝30(吨)货．B 地将全部20吨货运往F 地，则F 地还可销40－20＝20(吨)货．C 地可将其中的20吨货运到G 地，那么C 地还剩50吨货． G 地销量已满．D 地可将其中的30吨货运往N 地，那么D 地还剩90吨货，而N 地销量已满． 运往F 地的20吨货物若从C 地运来，则路程大于从D 地运来． 那么D 地其中有20吨货运往F 地，因此C 地50吨货全部运往M 地． M 地还可销90－50＝40(吨)货． D 地剩下90－20＝70(吨)货．其中40吨运往M 地，30吨运往E 地． 调运方案如图所示：18．下表是几个国家近年来的男性与女性的平均寿命情况：(单位：岁)(1)如果男性与女性的平均寿命近似呈线性关系，求它们之间的回归直线方程； (2)科学家预测，到2075年，加拿大男性平均寿命为87岁．现请你预测，到2075年，加拿大女性的平均寿命(精确到0.1岁)．解：(1)列表如下：由上可得∑i ＝16x i y i ＝35 742.08，∑i ＝16x 2i ＝33 306.38，x ≈74.43，y ＝79.85，x 2≈5 539.82. 设所求回归直线的方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则b ^＝∑i ＝16x i y i －6x y∑i ＝16x 2i －6x2≈1.23，a ^＝y －b ^x ≈－11.70.∴所求回归直线方程为y ^＝1.23x －11.70. (2)当x ＝87时，y ^＝1.23×87－11.70＝95.31≈95.3(岁)．∴可预测到2075年，加拿大女性的平均寿命为95.3岁．19．设f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，若a ＋b ＋c ＝0，f (0)f (1)＞0，求证：(1)方程f (x )＝0有实根； (2)－2＜ba＜－1；(3)设x 1、x 2是方程f (x )＝0的两个实根，则33≤|x 1－x 2|＜23. 证明：(1)若a ＝0，则b ＝－c ，f (0)f (1)＝c (3a ＋2b ＋c )＝－c 2≤0，与已知矛盾，所以a ≠0. 方程3ax 2＋2bx ＋c ＝0的判别式为Δ＝4(b 2－3ac )． 由条件a ＋b ＋c ＝0，消去b ，得Δ＝4(a 2＋c 2－ac )＝4⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a －12c 2＋34c 2＞0， 故方程f (x )＝0有实根．(2)由f (0)f (1)＞0，得c (3a ＋2b ＋c )＞0，由条件a ＋b ＋c ＝0，消去c ，得(a ＋b )(2a ＋b )＜0， ∵a 2＞0，∴⎝⎛⎭⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎫2＋b a ＜0，故－2＜ba ＜－1. (3)由条件知x 1＋x 2＝－2b 3a ，x 1x 2＝c3a ＝－a ＋b 3a ，∴(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝49⎝⎛⎭⎫b a ＋322＋13. ∵－2＜b a ＜－1，∴13≤(x 1－x 2)2＜49，故33≤|x 1－x 2|＜23. 20．设函数f (x )＝ax n (1－x )＋b (x ＞0)，n 为正整数，a ，b 为常数．曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为x ＋y ＝1.(1)求a ，b 的值； (2)求函数f (x )的最大值； (3)证明：f (x )＜1n e.解：(1)因为f (1)＝b ，由点(1，b )在x ＋y ＝1上，可得1＋b ＝1，即b ＝0. 因为f ′(x )＝anx n －1－a (n ＋1)x n ，所以f ′(1)＝－a .又因为切线x ＋y ＝1的斜率为－1，所以－a ＝－1，即a ＝1.故a ＝1，b ＝0.打印版高中数学 (2)由(1)知，f (x )＝x n (1－x )＝x n －x n ＋1，f ′(x )＝(n ＋1)x n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1－x . 令f ′(x )＝0，解得x ＝n n ＋1，即f ′(x )在(0，＋∞)上有唯一零点x 0＝n n ＋1. 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，n n ＋1上，f ′(x )＞0，故f (x )单调递增； 而在⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1，＋∞上，f ′(x )＜0，故f (x )单调递减． 故f (x )在(0，＋∞)上的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－n n ＋1＝n n (n ＋1)n ＋1. (3)证明：令φ(t )＝ln t －1＋1t(t ＞0)， 则φ′(t )＝1t －1t 2＝t －1t 2(t ＞0)． 在(0,1)上φ′(t )＜0，故φ(t )单调递减；而在(1，＋∞)上，φ′(t )＞0，故φ(t )单调递增．故φ(t )在(0，＋∞)上的最小值为φ(1)＝0，所以φ(t )＞0(t ＞1)，即ln t ＞1－1t(t ＞1)． 令t ＝1＋1n ，得ln n ＋1n ＞1n ＋1，即ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n n ＋1＞ln e ， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n n ＋1＞e ，即n n (n ＋1)n ＋1＜1n e. 由(2)知，f (x )≤n n (n ＋1)n ＋1＜1n e，故所证不等式成立．。
人教版选修一单元测评(一)B卷
选修一单元测评（一）B卷（专题1+专题2）第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共20个小题，每小题2分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.能在含氧丰富的环境中进行的生理过程是A.酵母菌大量繁殖B.乳酸菌产生大量乳酸C.蛔虫的正常生理活动D.酵母菌产生大量酒精2.下列关于腐乳制作过程中的操作，不正确的是A．先将豆腐切成块放在消毒的笼屉中，保持温度在15～18℃，并具有一定湿度B．将长满毛霉的豆腐放在瓶中，并逐层加盐，接近瓶口铺面的盐要铺厚一些C．卤汤中酒的含量一般控制在12％左右D．卤汤中香辛料越多，口味越好3.酵母菌培养在由硝酸铵、硫酸镁、氯化钙、磷酸二氢钾、必需的微量元素和水配成的营养液中，一段时间后，酵母菌数量的变化是A．越来越多B．越来越少C．先增加后减少 D．基本不变4.在做土壤中分解尿素的细菌的分离与计数实验时，甲组实验用氮源只含尿素的培养基，乙组实验用氮源除尿素外还含硝酸盐的培养基，其他成分都相同，在相同条件下操作，培养与观察，则乙组实验属于A．空白对照 B．标准对照 C．相互对照D．条件对照5. 牛肉膏蛋白胨培养基中加入琼脂这一理想的凝固剂，对这一说法不正确的是A．不被所培养的微生物分解利用，对所培养的微生物无毒害作用B．在微生物生长温度范围内保持固体状态C．琼脂凝固点温度低，利于微生物的生长D．凝固剂在灭菌过程中不会被破坏，透明度好，凝固力强6. 培养基的灭菌可采用高压灭菌，其具体的方法是A．100℃，15分钟 B. 121℃，15～30分钟C. 62℃，30分钟D. 零下18℃，60分钟以上7.由硝酸铵、硝酸钾、磷酸二氢钾、硫酸镁、氯化钙、一些微量元素和水按一定比例配成的营养液适合于培养A.根尖生长点细胞B.绿藻C.酵母菌D.变形虫8.下列不属于菌种计数方法的是A.平板划线法B.稀释涂布平板法C.显微镜检法D.滤膜法9. 在以尿素为唯一氮源的培养基中加入酚红指示剂的目的是A.筛选出能分解尿素的细菌B.对分离的菌种作进一步鉴定C.作细菌的营养成分D.如指示剂变蓝就能准确地认定该菌能分解尿素10.在完成土壤中分解尿素的细菌的分离和计数的实验操作中，需对使用的平板和试管进行标记，以下说法正确的是A.对培养皿仅需注明培养基的种类即可B.一般在使用之后进行标记C.由于试管用的较多，只需对试管进行标记即可D.标记的目的主要是为了防止实验中平板、试管等的混淆11.变酸的酒表面有一层膜、泡菜坛表面有一层白膜、腐乳外面有一层致密的皮，它们分别是A.醋酸菌、乳酸菌、毛霉菌丝B.醋酸菌、毛霉菌丝、毛霉菌丝C.醋酸菌、酵母菌、毛霉菌丝D.酵母菌、醋酸菌、乳酸菌12.葡萄糖在毛霉细胞质内分解成丙酮酸的过程中，下列叙述正确的是A.在线粒体中进行无氧呼吸B.需在有氧条件下进行C.不产生CO2D.反应速度不受温度影响13.制果醋时，要适时通过充气口进行充气是因为A. 醋酸菌是好氧菌，将酒精变为醋酸时需要O2的参与B.酵母菌进行酒精发酵时需要O2C.通气，防止发酵液霉变D.防止发酵时产生的CO2气体过多而引起发酵瓶的爆裂14.在用盐腌制腐乳的过程中，若盐的浓度过低，会出现A. 口味太淡B.不足以抑制微生物生长，导致豆腐腐败C.重量减轻，影响经济效益D.会影响腐乳的风味及质量15.下列说法不正确的是A.科学家从70℃～80℃热泉中分离得到耐高温的TaqDNA聚合酶B.统计某一稀释度的5个平板的菌落数依次为M1、M2、M3、M4、M5，以M3作为该样品菌落数估计值C.设置对照实验的主要目的是排除实验组中非测试因素对实验结果的影响，提高实验结果的可信度D. 同其他生物环境相比，土壤中的微生物数量最大，种类最多16.关于豆腐乳的制作，不正确的是A.毛霉是参与豆腐发酵的主要微生物B.传统工艺生产豆腐乳需要接种菌种C.现代食品企业是在无菌条件下接种毛霉生产豆腐乳的D.加盐腌制可以避免豆腐乳变质17.我们平时饮用的葡萄酒呈红色，其原因是A.酒精发酵前榨汁时榨出的红色葡萄皮中的色素B.是红色葡萄球菌分泌的色素C.在发酵的最后过程中，加入了红色的食用色素D.随着酒精度数的提高，红色葡萄皮中的色素溶解在发酵液中18.泡菜发酵的微物主要是乳酸菌，而在发酵初期，水槽内经常有气泡产生，这些气泡产生的原因及成分分别是A.乳酸菌是兼性厌氧型微生物，初期进行有氧呼吸产生CO2；气体为CO2B.因腌制过程中的盐进入蔬菜使蔬菜体积缩小，被排出气体为空气C.发酵初期活动强烈的是酵母菌，其利用氧产生CO2；气体为CO2D.乳酸菌在发酵过程中产生了热量，使坛内温度升高，空气受热膨胀排出；气体为空气19.制作果酒、果醋、腐乳、泡菜的主要微生物从细胞结构上看A.四种均为真核生物B.四种均为原核生物C.三种真核生物，一种原核生物D.两种真核生物，两种原核生物20.下列关于测定亚硝酸盐含量原理的叙述，不正确的是A.亚硝酸盐经一定方式显色反应后呈玫瑰红色B.显色反应后亚硝酸盐的理化性质没有发生改变C.不同浓度的亚硝酸盐显色深浅不同D.样品液显色后，通过与已知浓度的标准液比色，可大致估算出样品液中亚硝酸盐的含量第Ⅱ卷（非选择题共60分）二、简答题（本大题共4小题，共60分）21.（15分）低度的果酒、果醋具有一定的保健养生功能。
高中人教B版数学选修1-1练习：模块综合检测 Word版含解析
模块综合检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列语句中是命题的有()①空集是任何集合的真子集.②3x-2>0.③垂直于同一条直线的两条直线必平行吗?④把门关上.A.1个B.2个C.3个D.4个答案:A2.下列命题中的假命题是()A.∃x∈R,lg(x-1)=0B.∃x∈R,tan x=1C.∀x∈R,(x-1)3>0D.∀x∈R,3x>0答案:C3.设曲线y=x2在点P处的切线斜率为3,则点P的坐标为()A.(3,9)B.(-3,9)答案:C4.若命题“如果p,那么q”为真,则()A.q⇒pB.p⇒qC.q⇒pD.q⇒p答案:C5.设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是()A.4B.6C.8D.12解析:抛物线y2=8x的焦点是F(2,0),准线方程是x=-2,如图所示,|P A|=4,|AB|=2,所以|PB|=|PF|=6,故选B.答案:B6.若f(x a>b>e,则有()A.f(a)>f(b)B.f(a)<f(b)C.f(a)=f(b)D.f(a)f(b)>1解析:f'(x x>0).令f'(x)<0,即1-ln x<0,解得x>e.则f(x)在(e,+∞)上是减函数,又a>b>e,所以f(a)<f(b).答案:B7.若双曲A.16x±9y=0B.9x±16y=0C.4x±3y=0D.3x±4y=0解析:由离心率e c2=a2+b2,y=3x±4y=0.答案:D8.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,-2),则它的离心率为()解析:由题意a=2b,故c e答案:D9.方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是()A.0<a≤1B.a<1C.a≤1D.0<a≤1或a<0解析:当a=0时,x=A,D;当a=1时,x=-1,可排除选项B.从而选C.答案:C10.已知F1,F2为椭a>b>0)的两个焦点,过点F2作椭圆的弦AB,若△AF1B的周长为16,椭圆的离心率e解析:因为△AF1B的周长为4a=16,所以a=4.又e c=故b2=a2-c2=4,所以椭圆的方程.答案:D11.如图,函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f'(5)=().1C.2D.0解析:由切线方程知,函数y=f(x)在点P(5,f(5))处切线斜率为-1,即f'(5)=-1.将x=5代入切线方程y=-x+8得y=3,所以f(5)=3,故f(5)+f'(5)=2.答案:C12.设函数f(x)=x(x+k)(x+2k)(x-3k),且f'(0)=6,则k的值为()A.0B.-1C.3D.-6解析:令g(x)=(x+k)(x+2k)(x-3k),则f(x)=xg(x).故f'(x)=g(x)+xg'(x).又因为f'(0)=6,所以g(0)=-6k3=6,解得k=-1.答案:B二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上)13.抛物线y.答案:(0,1)14.已知命题p:∀x∈R,x2<0,则p:.答案:∃x∈R,x2≥015.已知函数f(x)=x3+3mx2+nx+m2在x=-1处有极值0,则m=,n=.解析:f'(x)=3x2+6mx+n.由题意解经检验知m=1,n=3时不符合题意.答案:2916.下列命题中:①若p,q为两个命题,则“p且q为真”是“p或q为真”的必要不充分条件;②若p为:∃x∈R,x2+2x+2≤0,则p为:∀x∈R,x2+2x+2>0;③若椭F1,F2,且弦AB过点F1,则△ABF2的周长为16;④若a<0,-1<b<0,则ab>ab2>a.所有正确命题的序号为.解析:若p且q为真,则p,q都真,故p或q为真;若p或q为真,则p,q可能只有一个为真,故p 且q可能为假.所以“p且q为真”是“p或q为真”的充分不必要条件.①为假命题.由存在性命题的否定形式知,②是真命题.由椭圆定义及已知条件得△ABF2的周长=4a=4×5=20.故③是假命题.因为a<0,-1<b<0,所以ab>0,ab2<0,则ab>ab2.因为-1<b<0,所以b2<1.又因为a<0,所以ab2>a.故④是真命题.答案:②④三、解答题(本大题共6个小题,共74分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(12分)求满足下列条件的抛物线方程:(1)过点(-2,3);(2)焦点在x轴上,此抛物线上的点A(4,m)到准线的距离为6.分析:(1)分焦点在x轴和y轴两种情况设抛物线方程,将点的坐标代入即可;(2)设其方程为y2=2px(p>0),通过此抛物线上的点到准线的距离6=p即可.解:(1)当抛物线的焦点在x轴上时,设其方程为y2=mx.∵抛物线过点(-2,3),∴32=-2m,解得m=故所求方程为y2=当抛物线的焦点在y轴上时,设其方程为x2=my.∵抛物线过点(-2,3),∴(-2)2=3m,解得m故所求方程为x(2)∵抛物线的焦点在x轴上且过A(4,m),∴可设其方程为y2=2px(p>0).由题意得6=p=4.故所求方程为y2=8x.18.(12分)已知命题p:(4x-3)2≤1;命题q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0.若p是q的必要不充分条件,求实数a的取值范围.分析:写出命题p和q,分别求出其对应的解集A和B.根据p是q的必要不充分条件,可知B⫋A,然后求出a即可.解:p:(4x-3)2>1;q:x2-(2a+1)x+a(a+1)>0.解(4x-3)2>1,得x>1或x解x2-(2a+1)x+a(a+1)>0,得x>a+1或x<a.∵p是q的必要不充分条件,,解得0≤a≤故a的取值范围19.(12分)已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a,(1)求f(x)的单调递减区间;(2)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.分析:利用用导数求函数单调区间和最值的方法求解.解:(1)f'(x)=-3x2+6x+9.令f'(x)<0,即-3x2+6x+9<0,得x>3或x<-1,故f(x)的单调递减区间为(-∞,-1)和(3,+∞).(2)令f'(x)=0,即-3x2+6x+9=0,解得x=-1或x=3(舍).当-2<x<-1时,f'(x)<0,故f(x)在(-2,-1)内单调递减;当-1<x<2时,f'(x)>0,故f(x)在(-1,2)上单调递增.f(x)的最大值在区间端点值处取得,最小值在x=-1处取得.∵f(-2)=2+a<f(2)=22+a,∴22+a=20,∴a=-2.∴f(-1)=-(-1)3+3(-1)2+9×(-1)-2=-7.故f(x)在区间[-2,2]上的最小值为-7.20.(12分)求以坐标轴为对称轴,一焦点坐标为(0y=3x-2所得弦的中点的横坐标.分析:根据焦点坐标可设椭圆方程a>b>0),然后利用设而不求的方法解题.解:根据已知条件可设椭圆方程a>b>0).设直线与椭圆的两个交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点的坐标满足方程将②代入①化简整理,得(a2+9b2)x2-12b2x+4b2-a2b2=0.由根与系数的关系,得x1+x又弦的中点的横坐标③由焦点坐标为(0c=故a2=b2+2.④③与④联立,解得a2=75,b2=25.故所求椭圆方程.21.(12分)已知函数f(x)=+bx+c,(1)若f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,求b的取值范围;(2)若f(x)在x=1处取得极值,且x∈[-1,2]时,f(x)<c2恒成立,求c的取值范围.分析:(1)f(x)在(-∞,+∞)上是增函数⇔方程f'(x)=0的判别式Δ≤0.然后解不等式即可.(2)由f(x)在x=1处取得极值知,x=1是f'(x)=0的根,可求得b的值;由x∈[-1,2]时,f(x)<c2恒成立⇔f(x)在[-1,2]上的最大值小于c2,可求得c的范围.解:(1)由f(x)=+bx+c得,f'(x)=3x2-x+b.∵f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,∴Δ=1-12b≤0,解得b≥故b的取值范围(2)∵f(x)在x=1处取得极值,∴f'(1)=2+b=0,∴b=-2.故f(x)=x-2x+c,f'(x)=3x2-x-2.由f'(x)=0,解得x=x=1.当x<,f'(x)>0,,f'(x)<0,当x>1时,f'(x)>0,故f(x)在x=x∈[-1,2]时,f(-1f(2)=2+c.此时,f(x)max=f(2)=2+c.由题意得,2+c<c2,解得c>2或c<-1.故c的取值范围为(-∞,-1)∪(2,+∞).22.(14分)设F1,F2为椭圆E:x0<b<1)的左,右焦点,过F1的直线l与E相交于A,B 两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列.(1)求|AB|;(2)若直线l的斜率为1,求b的值.分析:(1)△ABC的周长=|AB|+|AF2|+|BF2|=4a=4.|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列⇒2|AB|=|AF2|+|BF2|.联立可求得|AB|.(2)用设而不求的方法解题.解:(1)由椭圆的定义知|AB|+|AF2|+|BF2|=4.①因为|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列,所以2|AB|=|AF2|+|BF2|, ②①②联立解得|AB|(2)设F1的坐标为(-c,0),则直线l的方程为y=x+c,其中c2=1-b2,c>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点的坐标满足方程(1+b2)x2+2cx+1-2b2=0.则x1+x x1x因为直线AB的斜率为1,所以|AB|2-x1|,2-x1|.+x2)2-4x1x2b1所以b的值.。
人教B版高中数学选修1-1 模块综合检测
模块综合试卷(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1．命题“∃x ∈R,3x≤0”的否定是( ) A ．∀x ∈R,3x≤0 B ．∀x ∈R,3x ＞0 C ．∃x ∈R,3x ＞0 D ．∀x ∈R,3x ≥0 答案 B2．x ＝1是x 2－3x ＋2＝0的( ) A ．充分不必要条件 B ．既不充分也不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．充要条件 答案 A解析 若x ＝1,则x 2－3x ＋2＝1－3＋2＝0成立,即充分性成立,若x 2－3x ＋2＝0,则x ＝1或x ＝2,此时x ＝1不一定成立,即必要性不成立, 故x ＝1是x 2－3x ＋2＝0的充分不必要条件．3．函数f(x)＝e xln x 在点(1,f(1))处的切线方程是( ) A ．y ＝2e(x －1) B ．y ＝ex －1 C ．y ＝x －e D ．y ＝e(x －1)答案 D解析 因为f ′(x)＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x ,所以f ′(1)＝e. 又f(1)＝0,所以所求的切线方程为y ＝e(x －1)． 4．下列说法中正确的是( )A ．一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题一定为真B ．“a>b ”与“a ＋c>b ＋c ”不等价C ．“a 2＋b 2＝0,则a,b 全为0”的逆否命题是“若a,b 全不为0,则a 2＋b 2≠0” D ．一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真 答案 D解析 否命题和逆命题互为逆否命题,有着一致的真假性,故选D.5．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心离为32,则双曲线x 2a 2－y2b 2＝1的渐近线方程为( )A ．y ＝±12xB ．y ＝±2xC ．y ＝±4xD ．y ＝±14x答案 A解析 由椭圆的离心率e ＝c a ＝32,可知c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34,所以b a ＝12,故双曲线x 2a 2－y2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±12x. 6．设函数f(x)在R 上可导,f(x)＝x 2f ′(2)－3x,则f(－1)与f(1)的大小关系是( ) A ．f(－1)＝f(1) B ．f(－1)>f(1) C ．f(－1)<f(1) D ．不确定答案 B解析 因为f(x)＝x 2f ′(2)－3x,所以f ′(x)＝2xf ′(2)－3,则f ′(2)＝4f ′(2)－3,解得f ′(2)＝1,所以f(x)＝x 2－3x,所以f(1)＝－2,f(－1)＝4,故f(－1)>f(1)．7．已知定义在R 上的函数f(x),其导函数f ′(x)的大致图象如图所示,则下列叙述正确的是( )A ．f(b)>f(c)>f(d)B ．f(b)>f(a)>f(e)C ．f(c)>f(b)>f(a)D ．f(c)>f(e)>f(d)答案 C解析 由题意得,当x ∈(－∞,c)时,f ′(x)>0；当x ∈(c,e)时,f ′(x)<0；当x ∈(e,＋∞)时,f ′(x)>0.因此,函数f(x)在(－∞,c)上是增函数,在(c,e)上是减函数,在(e,＋∞)上是增函数,又a<b<c,所以f(c)>f(b)>f(a),选C.8．点F 1,F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F 1的直线l 与C 的左、右两支分别交于A,B 两点,若△ABF 2为等边三角形,则双曲线C 的离心率为( ) A. 3 B ．2 C.7 D ．3 答案 C解析 ∵△ABF 2是等边三角形,∴|BF 2|＝|AB|, 根据双曲线的定义,可得 |BF 1|－|BF 2|＝2a, ∴|BF 1|－|AB|＝|AF 1|＝2a,又∵|AF 2|－|AF 1|＝2a,∴|AF 2|＝|AF 1|＋2a ＝4a. ∵在△AF 1F 2中,|AF 1|＝2a,|AF 2|＝4a, ∠F 1AF 2＝120°,∴|F 1F 2|2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1|·|AF 2|·cos 120°,即4c 2＝4a 2＋16a 2－2×2a ×4a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝28a 2,解得c ＝7a,由此可得双曲线C 的离心率e ＝ca＝7.9．已知F 1(－3,0),F 2(3,0)是椭圆x 2m ＋y 2n ＝1的两个焦点,点P 在椭圆上,∠F 1PF 2＝α.当α＝2π3时,△F 1PF 2的面积最大,则m ＋n 的值是( ) A ．41 B ．15 C ．9 D ．1 答案 B解析 由S △F 1PF 2＝12|F 1F 2|·|y P |＝3|y P |,知当P 为短轴端点时,△F 1PF 2的面积最大． 此时∠F 1PF 2＝2π3,得a ＝m ＝23,b ＝n ＝3,故m ＋n ＝15.10．设函数f(x)＝13x －ln x(x>0),则y ＝f(x)( )A ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1,(1,e)内均有零点B ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1,(1,e)内均无零点 C ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内无零点,在区间(1,e)内有零点 D ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内有零点,在区间(1,e)内无零点 答案 C解析 由题意得f ′(x)＝x －33x (x>0),令f ′(x)>0,得x>3；令f ′(x)<0,得0<x<3； 令f ′(x)＝0,得x ＝3,故知函数f(x)在区间(0,3)上为减函数, 在区间(3,＋∞)上为增函数, 在点x ＝3处有极小值1－ln 3<0；又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝13e＋1>0,f(1)＝13>0,f(e)＝e3－1<0,所以f(1e )f(1)＞0,f(1)f(e)＜0,故函数在(1,e)上有零点,在(1e ,1)上无零点．故选C.11．若不等式2xln x ≥－x 2＋ax －3对x ∈(0,＋∞)恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞,0) B ．(－∞,4] C ．(0,＋∞) D ．[4,＋∞)答案 B解析 由2xln x ≥－x 2＋ax －3,得a ≤2ln x ＋x ＋3x ,设h(x)＝2ln x ＋x ＋3x (x>0),则h ′(x)＝(x ＋3)(x －1)x 2.当x ∈(0,1)时,h ′(x)<0,函数h(x)单调递减；当x ∈(1,＋∞)时,h ′(x)>0,函数h(x)单调递增,所以h(x)min ＝h(1)＝4.所以a ≤h(x)min ＝4. 故实数a 的取值范围是(－∞,4]．12．设F 1,F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使(O P →＋OF 2→)·F 2P →＝0(O 为坐标原点),且|PF 1|＝3|PF 2|,则双曲线的离心率为( ) A.2＋12 B.2＋1 C.3＋12D.3＋1 答案 D解析 设P(x 0,y 0),F 1(－c,0),F 2(c,0), 由(O P →＋OF 2→)·F 2P →＝0, 得(O P →＋OF 2→)·(O P →－OF 2→)＝0, ∴OP →2＝OF 2→2,∴|O P →|＝|OF 2→|, 故△F 1PF 2是直角三角形, 又|PF 1|＝3|PF 2|,|F 1F 2|＝2c, ∴|PF 1|＝3c,|PF 2|＝c,由双曲线的定义知3c －c ＝2a,e ＝c a ＝23－1＝3＋1.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13．若命题“存在实数x,使x 2＋ax ＋1<0”的否定是假命题,则实数a 的取值范围为________． 答案 (－∞,－2)∪(2,＋∞)解析 由题意知原命题为真,∴Δ＝a 2－4>0, ∴a>2或a<－2.14．在平面直角坐标系xOy 中,抛物线x 2＝2py(p>0)上纵坐标为1的点到其焦点的距离为2,则p ＝________. 答案 2解析 由抛物线上一点到其焦点的距离等于该点到准线的距离,得1＋p2＝2,即p ＝2.15．若函数f(x)＝kx 3＋3(k －1)x 2－k 2＋1在区间(0,4)上是减函数,则k 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，13 解析 f ′(x)＝3kx 2＋6(k －1)x.当k<0时,f ′(x)<0在区间(0,4)上恒成立, 即f(x)在区间(0,4)上是减函数,故k<0满足题意．当k ≥0时,则由题意,知⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，f ′(4)≤0，解得0≤k ≤13.综上,k 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，13. 16．已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左焦点为F,C 与过原点的直线相交于A,B 两点,连接AF,BF.若|AB|＝10,|BF|＝8,cos ∠ABF ＝45,则C 的离心率为____________．答案 57解析 如图所示,在△AFB 中,|AB|＝10,|BF|＝8,cos ∠ABF ＝45,由余弦定理可得|AF|2＝|AB|2＋|BF|2－2|AB||BF|cos ∠ABF ＝100＋64－2×10×8×45＝36.∴|AF|＝6,∠BFA ＝90°.设F ′为椭圆右焦点,连接BF ′,AF ′. 根据对称性,可得四边形AFBF ′是矩形, ∴|BF ′|＝6,|FF ′|＝10, ∴2a ＝8＋6＝14,2c ＝10,则e ＝c a ＝57.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17．(10分)已知命题p ：方程x 2m －3a ＋y 2m －4a ＝1(a>0)表示双曲线,命题q ：方程x 2m －1＋y22－m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆．(1)若命题q 为真命题,求m 的取值范围；(2)若p 是q 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围． 解 (1)∵命题q 为真命题,∴2－m>m －1>0, ∴1<m<32.(2)方程x 2m －3a ＋y2m －4a ＝1(a>0)表示双曲线,则(m －3a)(m －4a)<0(a>0),解得3a<m<4a, ∵p 是q 的充分不必要条件, ∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥1，4a ≤32(等号不同时取得),解得13≤a ≤38.18．(12分)已知抛物线y 2＝2px 的焦点与双曲线x 23－y 2＝1的右焦点重合．(1)求抛物线的方程；(2)求抛物线的准线与双曲线的渐近线围成的三角形的面积． 解 (1)因为a 2＝3,b 2＝1,所以c 2＝a 2＋b 2＝4,c ＝2. 所以p2＝2,p ＝4,所以抛物线的方程为y 2＝8x. (2)a ＝3,b ＝1,双曲线的渐近线方程为y ＝±33x, 抛物线的准线方程为x ＝－2, 令x ＝－2,得y ＝±233,设抛物线的准线与双曲线的渐近线的交点为A,B, 则|AB|＝433,所以S ＝12×433×2＝433.19．(12分)设a 为实数,函数f(x)＝e x－2x ＋2a,x ∈R. (1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a>ln 2－1且x>0时,e x>x 2－2ax ＋1.(1)解 由f(x)＝e x－2x ＋2a,x ∈R 知,f ′(x)＝e x－2,x ∈R. 令f ′(x)＝0,得x ＝ln 2.于是当x 变化时,f ′(x),f(x)的变化情况如下表：故f(x)的单调递减区间是(－∞,ln 2),单调递增区间是(ln 2,＋∞),f(x)在x ＝ln 2处取得极小值,极小值为f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＋2a ＝2(1－ln 2＋a)．(2)证明 设g(x)＝e x－x 2＋2ax －1,x ∈R, 于是g ′(x)＝e x－2x ＋2a,x ∈R.由(1)知,当a>ln 2－1时,g ′(x)取最小值为g ′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)>0. 于是对任意x ∈R,都有g ′(x)>0,所以g(x)在R 上单调递增． 所以当a>ln 2－1时,对任意x ∈(0,＋∞),都有g(x)>g(0)． 而g(0)＝0,从而对任意x ∈(0,＋∞),都有g(x)>0. 即e x－x 2＋2ax －1>0,故e x>x 2－2ax ＋1. 20．(12分)已知函数f(x)＝12ax 2－ln x,a ∈R.(1) 当a ＝1时,求曲线y ＝f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； (2)讨论f(x)的单调性；(3)是否存在a,使得方程f(x)＝2有两个不等的实数根？若存在,求出a 的取值范围；若不存在,请说明理由．解 (1)当a ＝1时,f(x)＝x22－ln x(x>0),则f ′(x)＝x －1x (x>0),∴f ′(1)＝0,f(1)＝12,∴曲线y ＝f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y ＝12.(2)f(x)的定义域为(0,＋∞),f ′(x)＝ax －1x ＝ax 2－1x(x>0)．①当a ≤0时,f ′(x)<0,f(x)在(0,＋∞)上单调递减． ②当a>0时,令f ′(x)＝0,解得x ＝a a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a a 舍去, 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a a 时,f ′(x)<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a a ，＋∞时,f ′(x)>0. 故函数f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a a 上单调递减,在⎝ ⎛⎭⎪⎫a a ，＋∞上单调递增． (3)存在a ∈(0,e 3),使得方程f(x)＝2有两个不等的实数根． 理由如下：由(2)可知,当a ≤0时,f ′(x)<0,f(x)在(0,＋∞)上单调递减, 方程f(x)＝2不可能有两个不等的实数根； 当a>0时,函数f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a a 上单调递减,在⎝ ⎛⎭⎪⎫a a ，＋∞上单调递增,使得方程f(x)＝2有两个不等的实数根,等价于函数f(x)的极小值f ⎝⎛⎭⎪⎫a a <2,即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a a ＝12＋12ln a<2,解得0<a<e 3,∴a 的取值范围是(0,e 3)． 21．(12分)已知函数f(x)＝－x 3＋x 2＋b,g(x)＝aln x. (1)若f(x)在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1上的最大值为38,求实数b 的值；(2)若对任意x ∈[1,e],都有g(x)≥－x 2＋(a ＋2)x 恒成立,求实数a 的取值范围．解 (1)由f(x)＝－x 3＋x 2＋b,得f ′(x)＝－3x 2＋2x ＝－x(3x －2),令f ′(x)＝0,得x ＝0或x ＝23,当x 变化时,f(x),f ′(x)的变化情况如下表：由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝38＋b,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝427＋b,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23,即函数f(x)在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1上的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝38＋b ＝38,∴b ＝0.(2)由g(x)≥－x 2＋(a ＋2)x,得(x －ln x)a ≤x 2－2x. ∵x ∈[1,e],∴ln x ≤1≤x,且等号不能同时成立, ∴ln x<x,即x －ln x>0,∴a ≤x 2－2x x －ln x 恒成立,即a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x x －ln x min ,令t(x)＝x 2－2x x －ln x ,x ∈[1,e],求导得,t ′(x)＝(x －1)[x ＋2(1－ln x )](x －ln x )2,当x ∈[1,e]时,x －1≥0,ln x ≤1,x ＋2(1－ln x)>0,从而t ′(x)≥0,∴t(x)在[1,e]上为增函数,∴t(x)min ＝t(1)＝－1,∴a ≤－1.22．(12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为63,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为523.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知动直线y ＝k(x ＋1)与椭圆C 相交于A,B 两点． ①若线段AB 中点的横坐标为－12,求斜率k 的值；②若点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，0,求证MA →·MB →为定值．(1)解 因为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)满足a 2＝b 2＋c 2,c a ＝63,12×b ×2c ＝523,解得a 2＝5,b 2＝53,则椭圆C 的方程为x 25＋y253＝1.(2)①解 设直线与椭圆的交点为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)． 由(1)将y ＝k(x ＋1)代入x 25＋y253＝1,得(1＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2－5＝0,Δ＝36k 4－4(3k 2＋1)(3k 2－5)＝48k 2＋20>0, x 1＋x 2＝－6k23k 2＋1.因为AB 中点的横坐标为－12,所以－3k 23k 2＋1＝－12,解得k ＝±33. ②证明 由①知x 1＋x 2＝－6k 23k 2＋1,x 1x 2＝3k 2－53k 2＋1,所以MA →·MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋73，y 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋73，y 2＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋73⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋73＋y 1y 2 ＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋73⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋73＋k 2(x 1＋1)(x 2＋1)＝(1＋k 2)x 1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫73＋k 2(x 1＋x 2)＋499＋k 2＝(1＋k 2)3k 2－53k 2＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫73＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－6k 23k 2＋1＋499＋k 2＝－3k 4－16k 2－53k 2＋1＋499＋k 2＝－(3k 2＋1)(k 2＋5)3k 2＋1＋499＋k 2＝49. 即MA →·MB →为定值．。
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模块检测(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知命题p：若x2＋y2＝0(x，y∈R)，则x，y全为0；命题q：若a>b，则1a< 1 b.给出下列四个复合命题：①p且q；②p或q；③綈p；④綈q.其中真命题的个数是( )．A．1 B．2 C．3 D．4解析命题p为真，命题q为假，故p∨q真，綈q真．答案 B2．“α＝π6＋2kπ(k∈Z)”是“cos 2α＝12”的( )．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析当α＝π6＋2kπ(k∈Z)时，cos 2α＝cos(4kπ＋π3)＝cosπ3＝12.反之当cos 2α＝12时，有2α＝2kπ＋π3(k∈Z)⇒α＝kπ＋π6(k∈Z)，或2α＝2kπ－π3(k∈Z)⇒α＝kπ－π6(k∈Z)，故应选A.答案 A3．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，那么|AB|等于( )．A．10 B．8 C．6 D．4解析由抛物线的定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.答案 B4．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3处取得极值，则a等于( )．A．2 B．3 C．4 D．5解析f′(x)＝3x2＋2ax＋3，∵f′(－3)＝0.∴3×(－3)2＋2a×(－3)＋3＝0，∴a ＝5. 答案 D5．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )． A ．y 2＝±4x B ．y 2＝±8x C ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析 y 2＝ax 的焦点坐标为(a 4，0)，过焦点且斜率为2的直线方程为y ＝2(x －a4)，令x ＝0得y ＝－a 2.∴12×|a |4×|a |2＝4，∴a 2＝64，∴a ＝±8.答案 B6．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )， 导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内的极小值点共有( )． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析 在极小值点附近左负右正，有一个极小值点． 答案 A7．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则该双曲线的离心率等于( )．A. 3 B ．2 C. 5 D. 6解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±bax ，因为y ＝x 2＋1与渐近线相切，故x 2＋1±b a x ＝0只有一个实根，∴b 2a 2－4＝0，∴c 2－a 2a 2＝4，∴c 2a2＝5，∴e ＝ 5.答案 C8．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与椭圆x 2m 2＋y 2b 2＝1(a >0，m >b >0)的离心率互为倒数，那么以a 、b 、m 为边长的三角形一定是( )． A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形解析 双曲线的离心率e 21＝a 2＋b 2a 2，椭圆的离心率e 22＝m 2－b 2m 2，由已知e 21e 22＝1，即a 2＋b 2a 2×m 2－b 2m 2＝1，化简，得a 2＋b 2＝m 2. 答案 C9．函数y ＝x ln x 在(0，5)上是( )． A ．单调增函数 B ．单调减函数C ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，5上单调递减D ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，5上单调递增解析 f ′(x )＝ln x ＋x ·1x＝ln x ＋1(x >0)．令f ′(x )＝0，得x ＝1e，∴在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上，f ′(x )<0，在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，5，f ′(x )>0，故选D.答案 D10．若0<x <π2，则2x 与3sin x 的大小关系( )．A ．2x >3sin xB ．2x <3sin xC ．2x ＝3sin xD ．与x 的取值有关解析 令f (x )＝2x －3sin x ，则f ′(x )＝2－3cos x . 当cos x <23时，f ′(x )>0，当cos x ＝23时，f ′(x )＝0，当cos x >23时，f ′(x )<0.即当0<x <π2时，f (x )先递减再递增，而f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝π－3>0.故f (x )的值与x 取值有关，即2x 与sin x 的大小关系与x 取值有关．故选D. 答案 D11．设函数f (x )是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线y ＝f (x )在x ＝5处的切线的斜率为( )．A ．－15B ．0 C.15D ．5解析 因为f (x )是R 上的可导偶函数，所以f (x )的图象关于y 轴对称，所以f (x )在x ＝0处取得极值，即f ′(0)＝0，又f (x )的周期为5，所以f ′(5)＝0，即曲线y ＝f (x )在x ＝5处的切线的斜率为0，故选B. 答案 B12．若点A 的坐标为(3，2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MF |＋|MA |取得最小值的M 的坐标为( )． A ．(0，0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C.()1，2 D ．(2，2)解析 如图y 2＝2x 的准线方程为x ＝－12.过点A 作准线的垂线交抛物线于点M ， 此时MF 等于点M 到准线的距离d .∴|MF |＋|MA |＝d ＋|MA |为最小值M 坐标为(2，2)． 答案 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．给出下列结论：①若命题p ：∃x ∈R ，tan x ＝1；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0，则命题“p ∧綈q ”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是ab＝－3； ③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”． 其中正确结论的序号为________(把你认为正确的结论的序号都填上)． 解析 对于①，命题p 为真命题，命题q 为真命题，所以p ∧綈q 为假命题，故①正确；对于②，当b ＝a ＝0时，有l 1⊥l 2，故②不正确；易知③正确．所以正确结论的序号为①③. 答案 ①③14．与双曲线x 2－y 24＝1有共同的渐近线，且过点(2，2)的双曲线的标准方程是______________．解析 依题意设双曲线的方程x 2－y 24＝λ(λ≠0)，将点(2，2)代入求得λ＝3，所以所求双曲线的标准方程为x 23－y 212＝1.答案x 23－y 212＝115．曲线y ＝x x －2在点(1，－1)处的切线方程为________．解析 y ′＝x －2－x （x －2）2＝－2（x －2）2，∴y ′|x ＝1＝－2，故所求切线方程为y ＋1＝－2(x －1)，即2x ＋y －1＝0. 答案 2x ＋y －1＝016．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 225＋y 29＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2，P为椭圆C 上的一点，且PF 1⊥PF 2，则△PF 1F 2的面积为______．解析 ∵PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，由椭圆方程知a ＝5，b ＝3，∴c ＝4，∴⎩⎨⎧|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2＝64，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10，解得|PF 1||PF 2|＝18.∴△PF 1F 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12×18＝9.答案 9三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)设函数f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ＋8，其中a ∈R .已知f (x )在x ＝3处取得极值． (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在点A (1，16)处的切线方程． 解 (1)f ′(x )＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a . ∵f (x )在x ＝3处取得极值，∴f ′(3)＝6×9－6(a ＋1)×3＋6a ＝0，解得a ＝3. ∴f (x )＝2x 3－12x 2＋18x ＋8. (2)A 点在f (x )上，由(1)可知f ′(x )＝6x 2－24x ＋18，f ′(1)＝6－24＋18＝0，∴切线方程为y ＝16.18．(12分)已知命题p ：方程x 22m ＋y 29－m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，命题q ：双曲线y 25－x 2m ＝1的离心率e ∈(62，2)，若命题p 、q 中有且只有一个为真命题，求实数m 的取值范围． 解 若p 真，则有9－m >2m >0， 即0<m <3.若q 真，则有m >0，且e 2＝1＋b 2a 2＝1＋m 5∈(32，2)，即52<m <5.若p 、q 中有且只有一个为真命题，则p 、q 一真一假． ①若p 真、q 假，则0<m <3，且m ≥5或m ≤52，即0<m ≤52；②若p 假、q 真，则m ≥3或m ≤0，且52<m <5，即3≤m <5.故所求范围为：0<m ≤52或3≤m <5.19．(12分)已知函数f (x )＝ax －ln x ，若f (x )>1在区间(1，＋∞)内恒成立，求实数a 的取值范围．解 由f (x )>1，得ax －ln x －1>0. 即a >1＋ln xx在区间(1，＋∞)内恒成立．设g (x )＝1＋ln xx，则g ′(x )＝－ln xx 2，∵x >1，∴g ′(x )<0. ∴g (x )＝1＋ln xx在区间(1，＋∞)内单调递减．∴g (x )<g (1)＝1， 即1＋ln xx<1在区间(1，＋∞)内恒成立，∴a ≥1.20．(12分)已知直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1交于A 、B 两点． (1)求a 的取值范围；(2)若以AB 为直径的圆过坐标原点，求实数a 的值． 解 (1)由⎩⎨⎧y ＝ax ＋1，3x 2－y 2＝1消去y ， 得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0.依题意得⎩⎨⎧3－a 2≠0，Δ>0，即－6<a <6且a ≠± 3.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2a3－a2，x 1x 2＝－23－a 2.∵以AB 为直径的圆过原点，∴OA ⊥OB ， ∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，即x 1x 2＋(ax 1＋1)(ax 2＋1)＝0， 即(a 2＋1)x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋1＝0. ∴(a 2＋1)·－23－a 2＋a ·2a3－a 2＋1＝0，∴a ＝±1，满足(1)所求的取值范围．故a ＝±1.21．(12分)某公司在甲、乙两地销售同一种品牌的汽车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，求该公司能获得的最大利润为多少万元？ 解 设在甲地销售m 辆车，在乙地销售(15－m )辆车，则总利润y ＝5.06m －0.15m 2＋2(15－m )＝－0.15m 2＋3.06m ＋30，所以y ′＝－0.3m ＋3.06.令y ′＝0，得m ＝10.2. 当0≤m <10.2时，y ′>0； 当10.2<m ≤15时，y ′<0.故当m ＝10.2时，y 取得极大值，也就是最大值． 又由于m 为正整数，且当m ＝10时，y ＝45.6； 当m ＝11时，y ＝45.51.故该公司获得的最大利润为45.6万元．22．(12分)设圆C 与两圆(x ＋5)2＋y 2＝4，(x －5)2＋y 2＝4中的一个内切，另一个外切．(1)求圆C 的圆心轨迹L 的方程； (2)已知点M (355，455)，F (5，0)，且P 为L 上动点，求||MP |－|FP ||的最大值及此时点P 的坐标．解 (1)设圆C 的圆心坐标为(x ，y )，半径为r . 圆(x ＋5)2＋y 2＝4的圆心为F 1(－5，0)，半径为2， 圆(x －5)2＋y 2＝4的圆心为F (5，0)，半径为2. 由题意得⎩⎨⎧|CF 1|＝r ＋2，|CF |＝r －2或⎩⎨⎧|CF 1|＝r －2，|CF |＝r ＋2，∴||CF 1|－|CF ||＝4.∵|F 1F |＝25>4，∴圆C 的圆心轨迹是以F 1(－5，0)，F (5，0)为焦点的双曲线，其方程为x 24－y 2＝1.(2)由图知，||MP |－|FP ||≤|MF |，∴当M ，P ，F 三点共线，且点P 在MF 延长线上时，|MP |－|FP |取得最大值|MF |， 且|MF |＝（355－5）2＋（455－0）2＝2.直线MF 的方程为y ＝－2x ＋25，与双曲线方程联立得⎩⎨⎧y ＝－2x ＋25，x 24－y 2＝1，整理得15x 2－325x ＋84＝0.解得x 1＝14515(舍去)，x 2＝655.此时y ＝－255.∴当||MP |－|FP ||取得最大值2时，点P 的坐标为。
人教B版高中数学高二选修1-1模块综合测评
模块综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2014·北京高考)设a，b是实数，则“a>b”是“a2>b2”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】设a＝1，b＝－2，则有a>b，但a2<b2，故a>bD a2>b2；设a ＝－2，b＝1，显然a2>b2，但a<b，即a2>b2D a>b.故“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件．【答案】 D2．过点P(1，－3)的抛物线的标准方程为()A．x2＝13y或x2＝－13yB．x2＝1 3yC．y2＝－9x或x2＝1 3yD．x2＝－13y或y2＝9x【解析】P(1，－3)在第四象限，所以抛物线只能开口向右或向下，设方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2py(p＞0)，代入P(1，－3)得y2＝9x或x2＝－13y.故选D.【答案】 D3．(2016·南阳高二检测)下列命题中，正确命题的个数是()①命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”；②“p∨q为真”是“p∧q为真”的充分不必要条件；③若p∧q为假命题，则p，q均为假命题；④对命题p：∃x0∈R，使得x20＋x0＋1<0，则綈p：∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0.A．1B．2C．3D．4【解析】①正确；②由p∨q为真可知，p，q至少有一个是真命题即可，所以p∧q不一定是真命题；反之，p∧q是真命题，p，q均为真命题，所以p∨q 一定是真命题，②不正确；③若p∧q为假命题，则p，q至少有一个假命题，③不正确；④正确．【答案】 B4．函数f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f(－1)与f(1)的大小关系为()A．f(－1)＝f(1) B．f(－1)<f(1)C．f(－1)>f(1) D．无法确定【解析】f′(x)＝2x＋2f′(1)，令x＝1，得f′(1)＝2＋2f′(1)，∴f′(1)＝－2.∴f(x)＝x2＋2x·f′(1)＝x2－4x，f(1)＝－3，f(－1)＝5.∴f(－1)>f(1)．【答案】 C5．(2014·福建高考)命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是()A．∀x∈(－∞，0)，x3＋x<0B．∀x∈(－∞，0)，x3＋x≥0C．∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0<0D．∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0≥0【解析】故原命题的否定为：∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0<0.故选C.【答案】 C6．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是( )A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1C.x 24＋y 22＝1D.x 24＋y 23＝1【解析】 右焦点为F (1,0)说明两层含义：椭圆的焦点在x 轴上；c ＝1. 又离心率为c a ＝12，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，故选D.【答案】 D7．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝( ) 【导学号：25650148】A ．1 B.32 C ．2D ．3【解析】 因为双曲线的离心率e ＝ca ＝2，所以b ＝3a ，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±3x ，与抛物线的准线x ＝－p 2相交于A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，32p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，－32p ，所以△AOB 的面积为12×p 2×3p ＝3，又p ＞0，所以p ＝2.【答案】 C8．点P 在曲线y ＝x 3－x ＋3上移动，过点P 的切线的倾斜角的取值范围为( )A ．[0，π) B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π【解析】 f ′(x )＝3x 2－1≥－1，即切线的斜率k ≥－1，所以切线的倾斜角的范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 【答案】 B9．若直线mx ＋ny ＝4与圆x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．至少一个B ．2个C ．1个D ．0个【解析】 圆心到直线的距离为d ＝4m 2＋n2＞2，∴m 2＋n 2＜2，∴m 2＋n 2＜4.将P (m ，n )代入x 29＋y 24得：m 29＋n 24＝4m 2＋9n 236＜9(m 2＋n 2)36＜1.∴P (m ，n )在椭圆内部，∴一定有两个交点． 【答案】 B10．若函数f (x )＝kx 3＋3(k －1)x 2－k 2＋1在区间(0,4)上是减函数，则k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，13 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，13 【解析】 f ′(x )＝3kx 2＋6(k －1)x . 由题意知3kx 2＋6(k －1)x ≤0， 即kx ＋2k －2≤0在(0,4)上恒成立， 得k ≤2x ＋2，x ∈(0,4)，又13＜2x ＋2＜1，∴k ≤13.【答案】 D11．若直线y ＝2x 与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为( )A ．(1, 5)B ．(5，＋∞)C ．(1, 5]D ．[5，＋∞)【解析】 双曲线的两条渐近线中斜率为正的渐近线为y ＝ba x .由条件知，应有ba >2，故e ＝c a ＝a 2＋b 2a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2> 5. 【答案】 B12．(2014·湖南高考)若0<x 1<x 2<1，则( ) A ．e x 2－e x 1>ln x 2－ln x 1 B ．e x 2－e x 1<ln x 2－ln x 1 C ．x 2e x 1>x 1e x 2 D ．x 2e x 1<x 1e x 2【解析】 设f (x )＝e x －ln x (0<x <1)， 则f ′(x )＝e x－1x ＝x e x－1x . 令f ′(x )＝0，得x e x －1＝0.根据函数y ＝e x 与y ＝1x 的图象，可知两函数图象交点x 0∈(0,1)，因此函数f (x )在(0,1)上不是单调函数，故A ，B 选项不正确．设g (x )＝e xx (0<x <1)，则g ′(x )＝e x(x －1)x 2. 又0<x <1，∴g ′(x )<0.∴函数g(x)在(0,1)上是减函数．又0<x1<x2<1，∴g(x1)>g(x2)，∴x2e x1>x1e x2.【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是________．【解析】a＋b＋c＝3的否定是a＋b＋c≠3，a2＋b2＋c2≥3的否定是a2＋b2＋c2<3.【答案】若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<314．曲线y＝x e x＋2x＋1在点(0,1)处的切线方程为________. 【导学号：25650149】【解析】y′＝e x＋x e x＋2，k＝y′|x＝0＝e0＋0＋2＝3，所以切线方程为y－1＝3(x－0)，即3x－y＋1＝0.【答案】3x－y＋1＝015.如图1为函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象，f′(x)为函数f(x)的导函数，则不等式xf′(x)＜0的解集为________．图1【解析】当x＜0时，f′(x)＞0，此时f(x)为增函数，由图象可知x∈(－∞，－3)；当x＞0时，f′(x)＜0，此时f(x)为减函数，由图象可知x∈(0, 2)．∴xf ′(x )＜0的解集为(－∞，－3)∪(0, 2)． 【答案】 (－∞，－3)∪(0, 2)16．若O 和F 分别是椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为________．【解析】 由椭圆x 24＋y 23＝1可得点F (－1,0)，点O (0，0)，设P (x ，y )，－2≤x ≤2，则OP →·FP →＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2，当且仅当x ＝2时，OP →·FP →取得最大值6.【答案】 6三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设命题p ：方程x 21－2m ＋y 2m ＋4＝1表示的曲线是双曲线；命题q ：∃x ∈R,3x 2＋2mx ＋m ＋6<0.若命题p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，求实数m 的取值范围．【解】 对于命题p ，因为方程x 21－2m ＋y 2m ＋4＝1表示的曲线是双曲线，所以(1－2m )(m ＋4)<0，解得m <－4或m >12，则命题p ：m <－4或m >12.对于命题q ，因为∃x ∈R,3x 2＋2mx ＋m ＋6<0，即不等式3x 2＋2mx ＋m ＋6<0在实数集R 上有解，所以Δ＝(2m )2－4×3×(m ＋6)>0， 解得m <－3或m >6. 则命题q ：m <－3或m >6.因为命题p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，所以命题p 与命题q 有且只有一个为真命题．若命题p 为真命题且命题q 为假命题，即⎩⎨⎧ m <－4或m >12，－3≤m ≤6，得12<m ≤6；若命题p 为假命题且命题q 为真命题，即⎩⎨⎧－4≤m ≤12，m <－3或m >6，得－4≤m <－3.综上，实数m 的取值范围为[－4，－3)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，6.18．(本小题满分12分)设函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx (x ∈R )，已知g (x )＝f (x )－f ′(x )是奇函数．(1)求b ，c 的值；(2)求g (x )的单调区间与极值． 【解】 (1)∵f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ， ∴f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c . 从而g (x )＝f (x )－f ′(x ) ＝x 3＋bx 2＋cx －(3x 2＋2bx ＋c ) ＝x 3＋(b －3)x 2＋(c －2b )x －c ∵g (x )是奇函数，∴－x 3＋(b －3)x 2－(c －2b )x －c ＝－[x 3＋(b －3)x 2＋(c －2b )x －c ] 得(b －3)x 2－c ＝0对x ∈R 都成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧b －3＝0，c ＝0，得b ＝3，c ＝0. (2)由(1)知g (x )＝x 3－6x ，从而g ′(x )＝3x 2－6，由此可知，(－∞，－2)和(2，＋∞)是函数g (x )的单调递增区间；(－2， 2)是函数g (x )的单调递减区间．g (x )在x ＝－2时，取得极大值，极大值为42，g (x )在x ＝2时，取得极小值，极小值为－4 2.19．(本小题满分12分)已知抛物线y 2＝4x 截直线y ＝2x ＋b 所得的弦长为|AB |＝3 5.(1)求b 的值；(2)在x 轴上求一点P ，使△APB 的面积为39.【解】 (1)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝2x ＋b ，消去y ，得方程：4x 2＋(4b －4)x ＋b 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， x 1＋x 2＝1－b ，x 1x 2＝b 24， |AB |＝5(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝5(1－b )2－b 2＝35，解得b ＝－4.(2)将b ＝－4代入直线y ＝2x ＋b ，得AB 所在的直线方程为2x －y －4＝0， 设P (a,0)，则P 到直线AB 的距离为d ＝|2a －4|5.△APB 的面积S ＝12×|2a －4|5×35＝39，则a ＝－11或15，所以P 点的坐标为(－11,0)或(15,0)．20．(本小题满分12分)某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0≤x≤30)的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？【解】(1)设商品降低x元时，多卖出的商品件数为kx2，若记商品在一个星期的销售利润为f(x)，则依题意有f(x)＝(30－x－9)·(432＋kx2)＝(21－x)·(432＋kx2)，又由已知条件24＝k·22，于是有k＝6，所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9 072，x∈[0,30]．(2)根据(1)，有f′(x)＝－18x2＋252x－432＝－18(x－2)(x－12)．当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下表：故x＝12时，f(x)取到极大值．因为f(0)＝9 072，f(12)＝11 664，所以定价为30－12＝18(元)能使一个星期的商品销售利润最大．21．(本小题满分12分)(2016·大连高二检测)已知函数f(x)＝12x2＋a ln x(a<0)．(1)若a＝－1，求函数f(x)的极值；(2)若∀x>0，不等式f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．【解】由题意，x>0.(1)当a＝－1时，f(x)＝12x2－ln x，f′(x)＝x－1 x，令f′(x)＝x－1x>0，解得x>1，所以f(x)的单调增区间为(1，＋∞)；f′(x)＝x－1x<0，得0<x<1，所以f(x)的单调减区间为(0,1)，所以函数f(x)在x＝1处有极小值f(1)＝1 2.(2)因为a<0，f′(x)＝x＋a x.令f′(x)＝0，所以x＝－a，列表：这时f＝－a2＋a ln－a，因为∀x>0，不等式f(x)≥0恒成立，所以－a2＋a ln－a≥0，所以a≥－e，所以a的取值范围为[－e,0)．22．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，且离心率e ＝12.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 的垂直平分线过定点G ⎝ ⎛⎭⎪⎫18，0，求k 的取值范围. 【导学号：25650150】 【解】 (1)由题意e ＝12，即e ＝c a ＝12，∴a ＝2c .∴b 2＝a 2－c 2＝(2c )2－c 2＝3c 2.∴椭圆C 的方程可设为x 24c 2＋y 23c 2＝1.代入A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，得14c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3223c 2＝1.解得c 2＝1，∴所求椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，(2)由方程组⎩⎨⎧ x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋m ，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.由题意，Δ＝(8km )2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＞0，整理得：3＋4k 2－m 2＞0，①设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点为P (x 0，y 0)，x0＝x1＋x22＝－4km3＋4k2，y0＝kx0＋m＝3m3＋4k2.由已知，MN⊥GP，即k MN·k GP＝－1，即k·3m3＋4k2－0－4km3＋4k2－18＝－1，整理得：m＝－3＋4k2 8k.代入①式，并整理得：k2＞1 20，即|k|＞510，∴k∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－510∪⎝⎛⎭⎪⎫510，＋∞.。
人教B版高中数学高二选修1-2模块综合测评2
模块综合测评(二)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.有下列关系：①人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③苹果的产量与气候之间的关系；④森林中的同一种树木，其横断面直径与高度之间的关系，其中有相关关系的是( )A.①②③B.①②C.②③D.①③④【解析】 曲线上的点与该点的坐标之间是确定关系——函数关系，故②不正确.其余均为相关关系.【答案】 D2.(2016·全国卷Ⅲ)若z ＝1＋2i ，则4izz －1＝( ) A.1 B.－1 C.i D.－i【解析】 因为z ＝1＋2i ，则z ＝1－2i ，所以zz ＝(1＋2i)(1－2i)＝5，则4i zz －1＝4i4＝i.故选C.【答案】 C3.有一段演绎推理：直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线b ⊄平面α，直线a ⊂平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a .这个结论显然是错误的，这是因为( )A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误【解析】 大前提错误，直线平行于平面，未必有直线平行于平面内的所有直线.【答案】 A4.如图1所示的知识结构图为________结构.()图1A.树形B.环形C.对称性D.左右形【解析】由题图可知结构图为树形结构.【答案】 A5.(2014·陕西高考)根据如图2所示的框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是()图2A.a n＝2nB.a n＝2(n－1)C.a n＝2nD.a n＝2n－1【解析】由程序框图可知第一次运行：i ＝1，a 1＝2，S ＝2； 第二次运行：i ＝2，a 2＝4，S ＝4； 第三次运行：i ＝3，a 3＝8，S ＝8； 第四次运行：i ＝4，a 4＝16，S ＝16. 故选C. 【答案】 C6.假设学生在初一和初二的数学成绩是线性相关的，若10个学生初一和初二的数学期末考试分数如下(分别为x ，y )： x 74 71 72 68 76 73 67 70 65 74 y76757170767965776272A.y ＝1.218 2x ＋14.192B.y ＝1.218 2＋14.192xC.y ＝1.218 2－14.192xD.y ＝1.218 2x －14.192【解析】 由表中数据可得x －＝71，y －＝72.3，因为回归直线一定经过(x －，y －)，经验证只有D 满足条件.【答案】 D7.根据如图3的结构图，总经理的直接下属是( )图3A.总工程师和专家办公室B.开发部C.总工程师、专家办公室和开发部D.总工程师、专家办公室和所有七个部【解析】 由组织结构图可知：总工程师、开发部、专家办公室都受总经理的直接领导，它们都是总经理的直接下属，故选C.【答案】 C8.(2016·南昌高二检测)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2·a n (n ≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2，a 3，a 4猜想a n 等于( )【导学号：37820064】A.2（n ＋1）2B.2n （n ＋1）C.22n －1D.22n －1【解析】 ∵a 1＝1，S n ＝n 2·a n (n ≥2)， ∴a 1＋a 2＝22·a 2，得a 2＝13； 由a 1＋a 2＋a 3＝32· a 3，得a 3＝16； 由a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝42·a 4，得a 4＝110，…， 猜想a n ＝2n （n ＋1）.【答案】 B9.(2016·临沂高二检测)若关于x 的一元二次实系数方程x 2＋px ＋q ＝0有一个根为1＋i(i 为虚数单位)，则p ＋q 的值是( )A.－1B.0C.2D.－2【解析】 把1＋i 代入方程得(1＋i)2＋p (1＋i)＋q ＝0， 即2i ＋p ＋p i ＋q ＝0，即p ＋q ＋(p ＋2)i ＝0， ∵p ，q 为实数，∴p ＋q ＝0.【答案】 B10.(2015·西安高二检测)满足条件|z－i|＝|3－4i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是()A.一条直线B.两条直线C.圆D.椭圆【解析】|z－i|＝|3－4i|＝5，∴复数z对应点到定点(0，1)的距离等于5，故轨迹是个圆.【答案】 C11.(2015·大同高二检测)设a，b，c均为正实数，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是“P，Q，R同时大于0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】必要性显然成立；PQR>0，包括P，Q，R同时大于0，或其中两个为负两种情况.假设P<0，Q<0，则P＋Q＝2b<0，这与b为正实数矛盾.同理当P，R同时小于0或Q，R同时小于0的情况亦得出矛盾，故P，Q，R同时大于0，所以选C.【答案】 C12.在正整数数列中，由1开始依次按如下规则将某些数染成红色.先染1，再染2个偶数2，4；再染4后面最邻近的3个连续奇数5，7，9；再染9后面最邻近的4个连续偶数10，12，14，16；再染16后面最邻近的5个连续奇数17，19，21，23，25.按此规律一直染下去，得到一红色子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，….则在这个红色子数列中，由1开始的第60个数是()A.103B.105C.107D.109【解析】由题可知染色规律是：每次染完色后得到的最后一个数恰好是染色个数的平方.故第10次染完后的最后一个数为偶数100，接下来应该染101，103，105，107，109，此时共60个数.【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上)13.(2016·嘉兴高二检测)若复数z＝7＋a i2－i的实部为3，则z的虚部为________.【解析】z＝7＋a i2－i＝（7＋a i）（2＋i）（2－i）（2＋i）＝（14－a）＋（2a＋7）i5，由题意知，14－a5＝3，∴a＝－1，∴z＝3＋i，故z的虚部为1.【答案】 114.(2016·郑州高二检测)某工程的工序流程图如图4所示，现已知工程总工时数为10天，则工序c所需工时为________天.图4【解析】设工序c所需工时为x天.由题意知：按①→③→④→⑥→⑦→⑧所需工时为0＋2＋3＋3＋1＝9(天)，按①→②→④→⑥→⑦→⑧所需工时为1＋0＋3＋3＋1＝8(天)，故按①→②→⑤→⑦→⑧所需工时应为10天.∴1＋x＋4＋1＝10，∴x＝4.【答案】 415.在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，则△ABC外接圆半径r＝a2＋b22.运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a，b，c，则其外接球的半径R＝________.【解析】 通过类比可得R ＝a 2＋b 2＋c 22.证明：作一个在同一个顶点处棱长分别为a ，b ，c 的长方体，则这个长方体的体对角线的长度是a 2＋b 2＋c 2，故这个长方体的外接球的半径是a 2＋b 2＋c 22，这也是所求的三棱锥的外接球的半径. 【答案】a 2＋b 2＋c 2216.(2016·三明高二检测)某考察团对中国10个城市进行职工人均工资水平x (千元)与居民人均消费水平y (千元)调查，y 与x 具有相关关系，回归方程为y ^＝0.66x ＋1.562，若A 城市居民人均消费水平为7.765(千元)，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为________.【解析】 因为y 与x 具有线性相关关系，满足回归方程y ^＝0.66x ＋1.562，A 城市居民人均消费水平为y ＝7.765，所以可以估计该城市的职工人均工资水平x 满足7.765＝0.66x ＋1.562，所以x ≈9.4，所以该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为7.7659.4×100%≈83%.【答案】 83%三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)复数z ＝1＋i ，求实数a ，b ，使az ＋2b z －＝(a ＋2z )2. 【解】 ∵z ＝1＋i ，∴az ＋2b z －＝(a ＋2b )＋(a －2b )i ，又∵(a ＋2z )2＝(a ＋2)2－4＋4(a ＋2)i ＝(a 2＋4a )＋4(a ＋2)i ， ∵a ，b 都是整数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝a 2＋4a ，a －2b ＝4（a ＋2），解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，b 1＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－4，b 2＝2.故所求实数为a ＝－2，b ＝－1或a ＝－4，b ＝2.18.(本小题满分12分)对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行了3年的跟踪研究，调查他们是否又发作过心脏病，调查结果如下表所示：【解】 由公式得χ2＝392×（39×167－157×29）2196×196×68×324＝1.78.因为1.78<6.635，所以我们没有理由推断“心脏搭桥手术”与“又发作过心脏病”有关，可以认为病人又发作心脏病与否与其做过何种手术无关.19.(本小题满分12分)某省公安消防局对消防产品的监督程序步骤为：首先受理产品请求，如果是由公安部发证的产品，则审核考察，领导复核，不同意，则由窗口将信息反馈出去，同意，则报公安部审批，再经本省公安消防局把反馈信息由窗口反馈出去.如果不是由公安部发证的产品，则由窗口将信息反馈出去.试画出此监督程序的流程图.【解】 某省公安消防局消防产品监督程序的流程图如下：20.(本小题满分12分)(2015·中山高二检测)已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证：b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －cc >3.【导学号：37820065】【证明】 法一(分析法)要证b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －cc >3， 只需证明b a ＋c a －1＋c b ＋a b －1＋a c ＋bc －1>3， 即证b a ＋c a ＋c b ＋a b ＋a c ＋bc >6，而事实上，由a ，b ，c 是全不相等的正实数， ∴b a ＋a b >2，c a ＋a c >2，c b ＋b c >2. ∴b a ＋c a ＋c b ＋a b ＋a c ＋bc >6，∴b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －c c >3得证. 法二(综合法)∵a ，b ，c 全不相等， ∴b a 与a b ，c a 与a c ，c b 与bc 全不相等， ∴b a ＋a b >2，c a ＋a c >2，c b ＋bc >2， 三式相加得b a ＋c a ＋c b ＋a b ＋a c ＋bc >6，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c a －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋a b －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a c ＋bc －1>3， 即b ＋c －a a ＋a ＋c －b b ＋a ＋b －c c >3.21.(本小题满分12分)某产品的广告支出x (单位：万元)与销售收入y (单位：万元)之间有下表所对应的数据.广告支出x (单位：万元) 1 2 3 4 销售收入y (单位：万元) 12284256(1)(2)求出y 对x 的线性回归方程；(3)若广告费为9万元，则销售收入约为多少万元？ 【解】 (1)散点图如图：(2)观察散点图可知各点大致分布在一条直线附近，列出下列表格，以备计算a ^，b ^.i x i y i x 2i x i y i 1 1 12 1 12 2 2 28 4 56 3 3 42 9 126 445616224于是x －＝52，y －＝692， 代入公式得：b ^＝ ＝418－4×52×69230－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝735， a ^＝y －－b ^x －＝692－735×52＝－2.故y 与x 的线性回归方程为y ^＝735x －2，其中回归系数为735，它的意义是：广告支出每增加1万元，销售收入y 平均增加735万元.(3)当x ＝9万元时，y ＝735×9－2＝129.4(万元).所以当广告费为9万元时，可预测销售收入约为129.4万元.22.(本小题满分12分)(2016·吉林临江高二检测)某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图5(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形.图5(1)求出f (5)；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f (n ＋1)与f (n )的关系式；(3)根据你得到的关系式求f (n )的表达式.【解】 (1)∵f (1)＝1，f (2)＝5，f (3)＝13，f (4)＝25，∴f(5)＝25＋4×4＝41.(2)∵f(2)－f(1)＝4＝4×1.f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，由上式规律得出f(n＋1)－f(n)＝4n.(3)∵f(2)－f(1)＝4×1，f(3)－f(2)＝4×2，f(4)－f(3)＝4×3，f(n－1)－f(n－2)＝4·(n－2)，f(n)－f(n－1)＝4·(n－1).∴以上各式相加得f(n)－f(1)＝4[1＋2＋…＋(n－2)＋(n－1)]＝2(n－1)·n，∴f(n)＝2n2－2n＋1.。
最新精编高中人教A版选修1-1高中数学强化训练模块综合检测(b)和答案
模块综合检测(B)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题12小题，每小题5分，共60分)1．已知命题“p ：x ≥4或x ≤0”，命题“q ：x ∈Z ”，如果“p 且q ”与“非q ”同时为假命题，则满足条件的x 为( )A ．{x |x ≥3或x ≤－1，x ∉Z }B ．{x |－1≤x ≤3，x ∉Z }C ．{－1,0,1,2,3}D ．{1,2,3}2．“a >0”是“|a |>0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知2x ＋y ＝0是双曲线x 2－λy 2＝1的一条渐近线，则双曲线的离心率是( ) A. 2 B. 3 C. 5 D ．24．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为( )A.x 24－y 212＝1B.x 212－y 24＝1 C.x 210－y 26＝1 D.x 26－y 210＝1 5．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )6．过点(2，－2)与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线的双曲线方程为( )A.x 22－y 24＝1B.x 24－y 22＝1 C.y 24－x 22＝1 D.y 22－x 24＝1 7．曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点(1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝3x －4B ．y ＝－3x ＋2C ．y ＝－4x ＋3D ．y ＝4x －58．函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调递减区间是( )A ．(0,1]B ．[1，＋∞)C ．(－∞，－1]，(0,1)D ．[－1,0)，(0,1]9．已知椭圆x 2＋2y 2＝4，则以(1,1)为中点的弦的长度为( )A ．3 2B ．2 3 C.303 D.32 6 10．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( )A ．2 B.12 C ．－12D ．－2 11．若函数y ＝f (x )的导函数在区间[a ，b ]上是增函数，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象可能是( )12．已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝4x 3－4x ，且f (x )的图象过点(0，－5)，当函数f (x )取得极小值－6时，x 的值应为( )题号123456789101112 答案二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知双曲线x2－y23＝1，那么它的焦点到渐近线的距离为________．14．点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则P到直线y＝x－2的距离的最小值是________．15．给出如下三种说法：①四个实数a，b，c，d依次成等比数列的必要而不充分条件是ad＝bc.②命题“若x≥3且y≥2，则x－y≥1”为假命题．③若p∧q为假命题，则p，q均为假命题．其中正确说法的序号为________．16．双曲线x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0)的两个焦点F1、F2，若P为双曲线上一点，且|PF1|＝2|PF2|，则双曲线离心率的取值范围为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)命题p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实数根，命题q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实数根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．18．(12分)F1，F2是椭圆的两个焦点，Q是椭圆上任意一点，从任一焦点向△F1QF2中的∠F1QF2的外角平分线引垂线，垂足为P，求点P的轨迹．19.(12分)若r(x)：sin x＋cos x>m，s(x)：x2＋mx＋1>0.已知∀x∈R，r(x)为假命题且s(x)为真命题，求实数m的取值范围．20．(12分)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1 (a>b>0)的一个顶点为A(0,1)，离心率为22，过点B(0，－2)及左焦点F1的直线交椭圆于C，D两点，右焦点设为F2.(1)求椭圆的方程；(2)求△CDF2的面积．21.(12分)已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象过点P(0,2)，且在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0.(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)求函数y＝f(x)的单调区间．22．(12分)已知f(x)＝23x3－2ax2－3x (a∈R)，(1)若f(x)在区间(－1,1)上为减函数，求实数a的取值范围；(2)试讨论y＝f(x)在(－1,1)内的极值点的个数．模块综合检测(B) 答案1．D2．A [因为|a|>0⇔a>0或a<0，所以a>0⇒|a|>0，但|a|>0 a>0，所以“a>0”是“|a|>0”的充分不必要条件．]3．C4．A [由题意知c＝4，焦点在x轴上，又e＝ca＝2，∴a＝2，∴b2＝c2－a2＝42－22＝12，∴双曲线方程为x24－y212＝1.]5．C [设椭圆的另一焦点为F，由椭圆的定义知|BA|＋|BF|＝23，且|CF|＋|AC|＝23，所以△ABC的周长＝|BA|＋|BC|＋|AC|＝|BA|＋|BF|＋|CF|＋|AC|＝4 3.]6．D [与双曲线x22－y2＝1有公共渐近线方程的双曲线方程可设为x22－y2＝λ，由过点(2，－2)，可解得λ＝－2.所以所求的双曲线方程为y22－x24＝1.]7．B [y′＝3x2－6x，∴k＝y′|x＝1＝－3，∴切线方程为y＋1＝－3(x－1)，∴y＝－3x＋2.]8．A [由题意知x>0，若f′(x)＝2x－2x＝x2－x≤0，则0<x≤1，即函数f(x)的递减区间是(0,1]．]9．C [令直线l与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋2y 21＝4 ①x 22＋2y 22＝4 ② ①－②得：(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，即2(x 1－x 2)＋4(y 1－y 2)＝0，∴k l ＝－12，∴l 的方程：x ＋2y －3＝0， 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －3＝0x 2＋2y 2－4＝0，得6y 2－12y ＋5＝0. ∴y 1＋y 2＝2，y 1y 2＝56. ∴|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2y 1－y 22＝303.] 10．D [y ＝x ＋1x －1， ∴y ′|x ＝3＝－2x －2|x ＝3＝－12. 又∵－a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1，∴a ＝－2.] 11．A [依题意，f ′(x )在[a ，b ]上是增函数，则在函数f (x )的图象上，各点的切线的斜率随着x 的增大而增大，观察四个选项中的图象，只有A 满足．]12．C [f (x )＝x 4－2x 2＋c .因为过点(0，－5)，所以c ＝－5.由f ′(x )＝4x (x 2－1)，得f (x )有三个极值点，列表判断±1均为极小值点，且f (1)＝f (－1)＝－6.]13. 3解析 焦点(±2,0)，渐近线：y ＝±3x ，焦点到渐近线的距离为2332＋1＝ 3.14. 2 解析 先设出曲线上一点，求出过该点的切线的斜率，由已知直线，求出该点的坐标，再由点到直线的距离公式求距离．设曲线上一点的横坐标为x 0 (x 0>0)，则经过该点的切线的斜率为k ＝2x 0－1x 0，根据题意得，2x 0－1x 0＝1，∴x 0＝1或x 0＝－12，又∵x 0>0，∴x 0＝1，此时y 0＝1，∴切点的坐标为(1,1)，最小距离为|1－1－2|2＝ 2.15．①②解析 对①，a ，b ，c ，d 成等比数列，则ad ＝bc ，反之不一定，故①正确；对②，令x ＝5，y ＝6，则x －y ＝－1，所以该命题为假命题，故②正确；对③，p ∧q 假时，p ，q 至少有一个为假命题，故③错误．16．(1,3]解析 设|PF 2|＝m ，则2a ＝||PF 1|－|PF 2||＝m ，2c ＝|F 1F 2|≤|PF 1|＋|PF 2|＝3m .∴e ＝c a ＝2c 2a≤3，又e >1， ∴离心率的取值范围为(1,3]．17．解 命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负实根⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4>0m >0⇔m >2.命题q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根⇔Δ′＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)<0⇔1<m <3.∵“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，∴p 为真、q 为假或p 为假、q 为真，则⎩⎪⎨⎪⎧ m >2m ≤1或m ≥3或⎩⎪⎨⎪⎧m ≤21<m <3， 解得m ≥3或1<m ≤2.18．解设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)，F 1，F 2是它的两个焦点，Q 为椭圆上任意一点，QP 是△F 1QF 2中的∠F 1QF 2的外角平分线(如图)，连结PO ，过F 2作F 2P ⊥QP 于P 并延长交F 1Q 的延长线于H ，则P 是F 2H 的中点，且|F 2Q |＝|QH |，因此|PO |＝12|F 1H |＝12(|F 1Q |＋|QH |) ＝12(|F 1Q |＋|F 2Q |)＝a ， ∴点P 的轨迹是以原点为圆心，以椭圆半长轴长为半径的圆(除掉两点即椭圆与x 轴的交点)．19．解 由于sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈[－2，2]， ∀x ∈R ，r (x )为假命题即sin x ＋cos x >m 恒不成立．∴m ≥ 2. ①又对∀x ∈R ，s (x )为真命题．∴x 2＋mx ＋1>0对x ∈R 恒成立．则Δ＝m 2－4<0，即－2<m <2. ②故∀x ∈R ，r (x )为假命题，且s (x )为真命题， 应有2≤m <2.20．解 (1)由题意知b ＝1，e ＝c a ＝22， 又∵a 2＝b 2＋c 2，∴a 2＝2.∴椭圆方程为x 22＋y 2＝1. (2)∵F 1(－1,0)，∴直线BF 1的方程为y ＝－2x －2， 由⎩⎨⎧ y ＝－2x －2x 22＋y 2＝1，得9x 2＋16x ＋6＝0.∵Δ＝162－4×9×6＝40>0，∴直线与椭圆有两个公共点，设为C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝－169x 1x 2＝23， ∴|CD |＝1＋－2|x 1－x 2| ＝5·x 1＋x 22－4x 1x 2 ＝5·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1692－4×23＝1092， 又点F 2到直线BF 1的距离d ＝455， 故S △CDF 2＝12|CD |·d ＝4910. 21．解 (1)由f (x )的图象经过P (0,2)知d ＝2， ∴f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2，f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .由在点M (－1，f (－1))处的切线方程是6x －y ＋7＝0，知－6－f (－1)＋7＝0， 即f (－1)＝1，f ′(－1)＝6.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2b ＋c ＝6，－1＋b －c ＋2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧ b －c ＝0，2b －c ＝－3， 解得b ＝c ＝－3.故所求的解析式是f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2.(2)f ′(x )＝3x 2－6x －3，令3x 2－6x －3＝0，即x 2－2x －1＝0.解得x 1＝1－2，x 2＝1＋ 2.当x <1－2或x >1＋2时，f ′(x )>0.当1－2<x <1＋2时，f ′(x )<0.故f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2在(－∞，1－2)和(1＋2，＋∞)内是增函数，在(1－2，1＋2)内是减函数．22．解 (1)∵f (x )＝23x 3－2ax 2－3x ， ∴f ′(x )＝2x 2－4ax －3，∵f (x )在区间(－1,1)上为减函数，∴f ′(x )≤0在(－1,1)上恒成立；∴⎩⎪⎨⎪⎧ f－f 得－14≤a ≤14. 故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，14. (2)当a >14时，∵⎩⎨⎧ f －＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫a －14>0f ＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋14<0，∴存在x 0∈(－1,1)，使f ′(x 0)＝0，∵f ′(x )＝2x 2－4ax －3开口向上，∴在(－1，x 0)内，f ′(x )>0，在(x 0,1)内，f ′(x )<0，即f (x )在(－1，x 0)内单调递增，在(x 0,1)内单调递减，∴f (x )在(－1,1)内有且仅有一个极值点，且为极大值点．当a <－14时，∵⎩⎨⎧ f －＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫a －14<0f ＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋14>0，∴存在x 0∈(－1,1)使f ′(x 0)＝0.∵f ′(x )＝2x 2－4ax －3开口向上，∴在(－1，x 0)内f ′(x )<0，在(x 0,1)内f ′(x )>0.即f (x )在(－1，x 0)内单调递减，在(x 0,1)内单调递增，∴f (x )在(－1,1)内有且仅有一个极值点，且为极小值点．当－14≤a ≤14时，由(1)知f (x )在(－1,1)内递减，没有极值点． 综上，当a >14或a <－14时，f (x )在(－1，1)内的极值点的个数为1，当－14≤a ≤14时，f (x )在(－1，1)内的极值点的个数为0.。
人教版数学选修1-2人教版数学选修1-2模块综合检测
得 z ＝ ＝ ＝3－4i.4．如图，在复平面内，OP 对应的复数是 1－i ，将OP 向左平移一个单位后得到O 0P 0，则⎪ ⎪ ⎩⎩解析：选 D.要求 P 0 对应的复数，根据题意，只需知道OP 0，而OP 0＝OO 0＋O 0P 0，从而 因为O 0P 0＝OP ，OO 0对应的复数是－1，即OP0对应的复数是－1＋(1－i)＝－i.5．设 a ，b ，c ∈(－∞，0)，则 a ＋ ，b ＋ ，c ＋ ()模块综合检测(时间：120 分钟，满分：150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的)1．已知复数 z 满足(3＋4i)z ＝25，则 z ＝( ) A ．－3＋4i B ．－3－4i C ．3＋4i D ．3－4i 解析：选 D.法一：由(3＋4i)z ＝25，25 25（3－4i ）3＋4i （3＋4i ）（3－4i ）法二：设 z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(3＋4i )(a ＋b i )＝25， 即 3a －4b ＋(4a ＋3b )i ＝25，⎧3a －4b ＝25， ⎧a ＝3， 所以⎨ 解得⎨ 故 z ＝3－4i.⎪4a ＋3b ＝0， ⎪b ＝－4， 2．根据给出的数塔猜测 123 456×9＋7 等于( )1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1 111 1 234×9＋5＝11 111 12 345×9＋6＝111 111…A ．1 111 110B ．1 111 111C ．1 111 112D ．1 111 113解析：选 B.根据数塔知结果为各位数为 1 的七位数，故选 B.3．利用独立性检验来考察两个分类变量 X ，Y 是否有关系，当随机变量 K 2 的值( ) A ．越大，“X 与 Y 有关系”成立的可能性越大 B ．越大，“X 与 Y 有关系”成立的可能性越小 C ．越小，“X 与 Y 有关系”成立的可能性越大 D ．与“X 与 Y 有关系”成立的可能性无关解析：选 A.由 K 2 的意义可知，K 2 越大，说明 X 与 Y 有关系的可能性越大．→ → →P 0 对应的复数为()A ．1－i C ．－1－iB ．1－2i D ．－i→ → → →可求 P 0 对应的复数．→ → →所以 P 0 对应的复数，→ 1 1 1b c a A ．都不大于－2B ．都不小于－2C ．至少有一个不大于－2解析：选 C.假设 a ＋ ，b ＋ ，c ＋ 都大于－2， 则 a ＋ ＋b ＋ ＋c ＋ >－6，①所以 a ＋ ≤－2，b ＋ ≤－2，c ＋ ≤－2，a ＋ ＋b ＋ ＋c ＋ ≤(－2)＋(－2)＋(－2)＝－6，与①矛所以 a ＋ ＋b ＋ ＋c ＋ ＝ a ⎭ ⎝ b ⎭ ⎝ c ⎭⎝②设有一个回归方程y ＝6－4x ，变量 x 增加一个单位时，y 平均增加 4 个单位；程y ＝6－4x ，当 x 增加一个单位时，y 平均减少 4 个单位，②错误；由线性回归方程的定义解析：选 A.因为 x ＝ (0＋1＋3＋4)＝2，y ＝ (2.2＋4.3＋4.8＋6.7)＝4.5.^ ^ ^ － －^ ^ ^ －－ 若从散点图分析，y 与 x 线性相关，且y ＝0.95x ＋a ，则a 的值等于( )^ － －D ．至少有一个不小于－21 1 1b c a1 1 1b c a由于 a ，b ，c ∈(－∞，0)，1 1 1abc1 1 1 ⎛ 1⎫ ⎛ 1⎫ ⎛1⎫ b c a 盾，故选 C.6．下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；^③回归方程y ＝bx ＋a 必过( x ， y )；④在一个 2×2 列联表中，由计算得 K 2＝13.079，则有 99.9%的把握确认这两个变量间有 关系．其中错误的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：选 B.一组数据都加上或减去同一个常数，数据的平均数有变化，方差不变(方差是 反映数据的波动程度的量)，①正确；回归方程中x 的系数具备直线斜率的功能，对于回归方^知，线性回归方程y ＝bx ＋a 必过点( x ， y )，③正确；因为 K 2＝13.079>10.828，故有 99.9% 的把握确认这两个变量间有关系，④正确．故选 B.7．若 P ＝ a ＋ a ＋7，Q ＝ a ＋3＋ a ＋4(a ≥0)，则 P ，Q 的大小关系为( ) A ．P >Q B ．P ＝Q C ．P <Q D ．由 a 的取值确定解析：选 C.要比较 P 与 Q 的大小，只需比较 P 2 与 Q 2 的大小，只需比较 2a ＋7＋ 2 a （a ＋7）与 2a ＋7＋2 （a ＋3）（a ＋4）的大小，只需比较 a 2＋7a 与 a 2＋7a ＋12 的大 小，即比较 0 与 12 的大小，而 0<12，故 P <Q .8．已知 x ，y 的取值如表所示：x0 1 3 4y 2.24.3 4.8 6.7 ^ ^ ^A ．2.6B ．6.3C ．2D ．4.5－ 14－ 1 4而回归直线方程过样本点的中心(2，4.5)，所以a ＝ y －0.95 x ＝4.5－0.95×2＝2.6.A ．若|z 1－z 2|＝0，则 z 1＝ z 2B ．若 z 1＝ z 2，则 z 1＝z 2C ．若|z 1|＝|z 2|，则 z 1· z 1＝z 2· z 2 解析：选 D.A ，|z 1－z 2|＝0⇒z 1－z 2＝0⇒z 1＝z 2⇒ z 1＝ z 2，真命题；B ，z 1＝ z 2⇒ z 1＝ z 2＝z 2，真命题； C ，|z 1|＝|z 2|⇒|z 1|2＝|z 2|2⇒z 1· z 1＝z 2· z 2，真命题；210．执行如图所示的程序框图，则输出 s 的值为()A ．10B ．17C ．19D ．36解析：选 C.k ＝2 时执行第一次循环：s ＝2，k ＝3； k ＝3 时，执行第二次循环：s ＝5，k ＝5； k ＝5 时，执行第三次循环：s ＝10，k ＝9； k ＝9 时，执行第四次循环：s ＝19，k ＝17； k ＝17 时不满足条件，结束循环， 输出的 s 的值为 19.11．设 z 1，z 2 是复数，则下列命题中的假命题是( )－ －－ －－ － D ．若|z 1|＝|z 2|，则 z 21＝z 2－ －－ － ＝ － －D ，当|z 1|＝|z 2|时，可取 z 1＝1，z 2＝i ，显然 z 1＝1，z 2＝－1，即 z 21≠z 2，假命题．12．某班主任对全班 50 名学生进行了认为作业量多少的调查，数据如下表：认为作业多 认为作业不多 总计喜欢玩电脑游戏不喜欢玩电脑游戏 总计 18 9 278 15 2326 24 50则可以判断“喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关系”的把握大约为( ) A ．99% B ．95%2 的观测值为 k ＝ ≈5.059>5.024.所以约有 97.5%的把 13．已知回归直线方程是y ＝a ＋bx ，如果当 x ＝3 时，y 的估计值是 17，x ＝8 时，y 的估 所以回归直线方程是y ＝x ＋14.答案：y ＝x ＋14则 ＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体 A -BCD 中，若△BCD的中心为 M ，四面体内部一点 O 到四面体各面的距离都相等，则 等于________．解析：面的重心类比几何体重心，平面类比空间， ＝2 类比得 ＝3.^ ^ ^ ^ ^ ^ 16．设 z 是虚数，ω＝z ＋ 是实数，且－1<ω<2，则 z 的实部的取值范围是________．⎛ ⎫ ⎛ ⎫x ＋y i <x <1，C ．90%解析：选 D.KD ．97.5%50（18×15－9×8）2 27×23×26×24握认为“喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关系”．二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．请把正确答案填在题中横线上)^ ^ ^计值是 22，那么回归直线方程为________________．解析：首先把两组值代入回归直线方程得⎧⎪3b＋a ＝17， ⎨⎪⎩8b＋a ＝22， ⎧⎪b ＝1， 解得⎨⎪⎩a＝14. ^^14．已知结论：“在正三角形ABC 中，若 D 是边 BC 的中点，G 是三角形 ABC 的重心，AGGDAOOMAG AOGD OM答案：315．现有爬行、哺乳、飞行三类动物，其中蛇、地龟属于爬行动物，狼、狗属于哺乳动 物，鹰、长尾雀属于飞行动物，请你把下列结构图补充完整：①为______，②为________， ③为________．解析：根据题意，动物分成三大类：爬行动物、哺乳动物和飞行动物，故可填上②，然 后细分每一种动物包括的种类，填上①③.答案：地龟 哺乳动物 长尾雀1z解析：因为 z 是虚数， 所以可设 z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，且 y ≠0)，1 1 x －y i 则 ω＝z ＋z ＝(x ＋y i)＋ ＝x ＋y i ＋x 2＋y2 x y ＝⎝x ＋x 2＋y 2⎭＋⎝y －x 2＋y 2⎭i.因为 ω 是实数，且 y ≠0，所以 y －x2＋y 2y＝0，即 x 2＋y 2＝1. 此时 ω＝2x . 又－1<ω<2， 所以－1<2x <2，1 2即 z 的实部的取值范围是⎝－2，1⎭.答案：⎝－2，1⎭ 17．(本小题满分 10 分)已知 z ＝ .解：z ＝ ＝ ＝ ＝ ＝1－i ，(2)用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程y ＝bx ＋a ；⎪ ⎪ ⎩ ⎩ b a ＋b ＋c⎛ 1 ⎫⎛ 1 ⎫三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤)（1＋i ）2＋3（1－i ）2＋i(1)求|z |；(2)若 z 2＋az ＋b ＝1＋i ，求实数 a ，b 的值．（1＋i ）2＋3（1－i ） 2i ＋3－3i （3－i ）（2－i ） 6－3i －2i －12＋i 2＋i （2＋i ）（2－i ） 5 所以(1)|z |＝|1－i|＝ 2.(2)由 z 2＋az ＋b ＝1＋i 得(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝1＋i ， 即 a ＋b ＋(－2－a )i ＝1＋i ，⎧a ＋b ＝1， ⎧a ＝－3， 所以⎨ 所以⎨⎪－2－a ＝1， ⎪b ＝4.18．(本小题满分 12 分)2015 年某品牌汽车的广告费支出 x (单位：百万元)与销售额 y (单 位：百万元)之间有如下的对应数据：x 2 4 5 6 8 y 3040 50 60 70(1)请画出上表数据的散点图；^ ^ ^(3)若使该品牌汽车的销售额突破 1 亿元(含 1 亿元)，广告费支出至少为多少？(结果精确 到 0.1)解：(1)散点图如图所示：a a ＋b19．(本小题满分 12 分△)已知 ABC 中，A ∶B ∶C ＝1∶2∶6.求证： ＝ .b a ＋b ＋c 所以 A ＝ ，B ＝ π，C ＝ π ，即 sin ·2sin cos ＝sin 2 π ，即 2sin cos ＝sin π ，显然成立，b a ＋b ＋c 所以( 1＋a ＋ 1＋b )即证 ab ≤ ，因为 ab ≤⎝ 2 ⎭ ＝，a a ＋b证明：要证 ＝ ，只需证 a 2＋ab ＋ac ＝ab ＋b 2， 即证：a (a ＋c )＝b 2.由正弦定理，只需证 sin A (sin A ＋sin C )＝sin 2B . 因为 A ∶B ∶C ＝1∶2∶6，π 2 69 9 9 π ⎛ π 6 ⎫2 即 sin 9 ⎝sin 9 ＋sin 9π ⎭＝sin 29π ，π ⎛ π 3 ⎫2 即 sin 9 ⎝sin 9 ＋sin 9π ⎭＝sin 29π ，π 2π π 29 9 9 9 π π 29 9 9 a a ＋b 所以 ＝ 成立．20．(本小题满分 12 分)设 a ，b ∈(0，＋∞)且 a ＋b ＝3，求证： 1＋a ＋ 1＋b ≤ 10. 证明：法一：(综合法)因为 a ，b ∈(0，＋∞)且 a ＋b ＝3，2＝2＋(a ＋b )＋2 （1＋a ）（1＋b ） ＝5＋2 （1＋a ）（1＋b ） ≤5＋(1＋a ＋1＋b )＝10， 所以 1＋a ＋ 1＋b ≤ 10. 法二：(分析法)因为 a >0，b >0 且 a ＋b ＝3，所以要证 1＋a ＋ 1＋b ≤ 10， 只需证( 1＋a ＋ 1＋b )2≤10，即证 2＋a ＋b ＋2 （1＋a ）（1＋b ）≤10， 即证 2 （1＋a ）（1＋b ）≤5， 只需证 4(1＋a )(1＋b )≤25， 即证 4(1＋a ＋b ＋ab )≤25， 只需证 4ab ≤9，94⎛a ＋b ⎫2 9 4所以 1＋a ＋ 1＋b ≤ 10， 当且仅当 a ＝b 时等号成立．21．(本小题满分 12 分)下表是某地区的一种传染病与饮用水的调查表：得病 不得病 总计干净水 不干净水 总计 52 466 518 94 218 312146 684 830(1)这种传染病是否与饮用水的卫生程度有关，请说明理由；k ＝ ≈54.21，2 的观测值 k ＝ ≈5.785. 22．(本小题满分 12 分)设 f (x )＝ ，g (x )＝ (其中 a >0 且 a ≠1)． 解：(1)证明：因为 f (x )＝ ，g (x )＝ ，2 2 2 2 4 4 ＝ ＝g (2 017)，2 2 2 2 ＝ ＝g (x ＋y )．(2)若饮用干净水得病 5 人，不得病 50 人，饮用不干净水得病 9 人，不得病 22 人．按此 样本数据分析这种疾病是否与饮用水有关，并比较两种样本在反映总体时的差异．解：(1)假设 H 0：传染病与饮用水的卫生程度无关，把表中数据代入公式得 K 2 的观测值830×（52×218－466×94）2 146×684×518×312因为 54.21＞10.828，所以拒绝 H 0.因此我们有 99.9%的把握认为该地区这种传染病与饮用不干净水有关． (2)依题意得 2×2 列联表：得病 不得病 总计干净水 不干净水 总计 5 50 55 9 22 3114 72 86此时，K86×（5×22－50×9）2 14×72×55×31由于 5.785＞5.024，所以我们有 97.5%的把握认为该种疾病与饮用不干净水有关．两个样本都能统计得到传染病与饮用不干净水有关这一相同结论，但(1)中我们有 99.9% 的把握肯定结论的正确性，(2)中我们只有 97.5%的把握肯定．a x ＋a －x a x －a －x2 2 (1)求证：g (2 017)＝f (1 008)g (1 009)＋f (1 009)· g (1 008)； (2)根据(1)猜想一般结论，并证明．a x ＋a －x a x －a －x2 2所以 f (1 008)g (1 009)＋f (1 009)g (1 008)a 1 008＋a －1 008 a 1 009－a －1 009 a 1 009＋a －1 009 a 1 008－a －1 008 ＝ · ＋ ·a 2 017＋a －a －1－a －2 017 a 2 017－a ＋a －1－a －2 017 ＝ ＋a 2 017－a －2 017 2所以 g (2 017)＝f (1 008)g (1 009)＋f (1 009)g (1 008)． (2)由(1)猜想：g (x ＋y )＝f (x )g (y )＋f (y )g (x )． 因为 f (x )g (y )＋f (y )g (x )a x ＋a －x a y －a －y a y ＋a －y a x －a －x ＝ · ＋ ·＝＋a x ＋y ＋a －x ＋y －a x －y －a －x －y 4 a x ＋y ＋a x －y －a －x ＋y －a －x －y 4a x ＋y －a －（x ＋y ） 2 所以 g (x ＋y )＝f (x )g (y )＋f (y )g (x )．。
人教B版高考数学选修1-2同步练习题 模块综合试卷(2)
模块综合试卷(二)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x 2＋1)是奇函数．以上推理( ) A ．结论正确 B ．大前提不正确 C ．小前提不正确 D ．全不正确考点 三段论 题点 三段论的结论 答案 C解析 因为f(x)＝sin(x 2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确．2．已知i 为虚数单位，a ∈R ，若2－ia ＋i 为纯虚数，则复数z ＝2a ＋2i 的模等于( )A.2B.11C.3D. 6 考点 复数的模的定义及应用 题点 利用定义求复数的模 答案 C解析 由题意得2－ia ＋i＝ti(t ≠0)，∴2－i ＝－t ＋tai ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－t ＝2，ta ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝－2，a ＝12，∴z ＝2a ＋2i ＝1＋2i ，|z|＝3，故选C.3．已知变量x 与y 之间的回归直线方程为y ^＝－3＋2x ，若∑10i ＝1x i ＝17，则∑10i ＝1y i 的值等于( ) A ．3B ．4C ．0.4D ．40 考点 回归直线方程 题点 求回归直线方程 答案 B解析 依题意x ＝1710＝1.7，而直线y ^＝－3＋2x 一定经过样本点的中心(x ，y )，所以y ＝－3＋2x ＝－3＋2×1.7＝0.4，所以∑10i ＝1y i ＝0.4×10＝4. 4．执行如图所示的程序框图，如果输入的a ＝4，b ＝6，那么输出的n 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6 考点 程序框图题点 循环结构的程序框图 答案 B解析 程序运行如下： 开始a ＝4，b ＝6，n ＝0，s ＝0.第1次循环：a ＝2，b ＝4，a ＝6，s ＝6，n ＝1； 第2次循环：a ＝－2，b ＝6，a ＝4，s ＝10，n ＝2； 第3次循环：a ＝2，b ＝4，a ＝6，s ＝16，n ＝3； 第4次循环：a ＝－2，b ＝6，a ＝4，s ＝20，n ＝4. 此时，满足条件s>16，退出循环，输出n ＝4，故选B.5．为了研究某大型超市开业天数与销售额的情况，随机抽取了5天，其开业天数与每天的销售额的情况如表所示：根据上表提供的数据，求得y 关于x 的回归直线方程为y ^＝0.67x ＋54.9，由于表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为( ) A ．67 B ．68 C ．68.3D ．71考点 回归直线方程 题点 样本点的中心的性质 答案 B解析 设表中模糊看不清的数据为m.因为x ＝10＋20＋30＋40＋505＝30，又样本点的中心(x ，y )在回归直线y ^＝0.67x ＋54.9上，所以y ＝m ＋3075＝0.67×30＋54.9，得m ＝68，故选B.6．下面图形由小正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，写出第n 个图形中小正方形的个数是( )A.n (n －1)2 B.n (n ＋1)2C.(n －1)(n ＋1)2D.n (n ＋2)2考点 归纳推理题点 归纳推理在图形中的应用 答案 B解析 由题图知第n 个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋…＋n ，∴总个数为n (n ＋1)2.7．设i 是虚数单位，若2＋i1＋i ＝a ＋bi(a ，b ∈R)，则lg(a ＋b)的值是( )A ．－2B ．－1C ．0D.12考点 复数的乘除法运算法则 题点 复数乘除法的综合应用 答案 C解析 ∵(2＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝3－i 2＝32－12i ＝a ＋bi ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝－12，∴lg(a ＋b)＝lg1＝0.8．我们知道：在平面内，点P(x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式为d ＝|Ax 0＋By 0＋C|A 2＋B 2，通过类比的方法，可求得：在空间中，点(2,4,1)到直线x ＋2y ＋2z ＋3＝0的距离为( ) A ．3B ．5C.5217D ．3 5考点 类比推理题点 类比推理的方法、形成和结论 答案 B解析 类比点P(x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C|A 2＋B 2，可知在空间中，点P(x 0，y 0，z 0)到直线Ax ＋By ＋Cz ＋D ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋Cz 0＋D|A 2＋B 2＋C 2，点(2,4,1)到直线x ＋2y ＋2z ＋3＝0的距离d ＝|2＋8＋2＋3|1＋4＋4＝5.故选B.9．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是( ) A ．1B ．2C ．－1D ．0 考点 复数的几何意义 题点 复数与向量的对应关系 答案 A解析 由条件得OC →＝(3，－4)，OA →＝(－1,2)， OB →＝(1，－1)， 由OC →＝λOA →＋μOB →，得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2.∴λ＋μ＝1.10．设复数z 1＝2－i ，z 2＝a ＋2i(i 是虚数单位，a ∈R)，若z 1·z 2∈R ，则a 等于( ) A ．1B ．2C ．3D ．4考点 复数的乘除法运算法则 题点 复数的乘除法运算法则 答案 D解析 依题意，复数z 1z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a)i 是实数，因此4－a ＝0，a ＝4.11．某考察团对10个城市的职工人均工资x(千元)与居民人均消费y(千元)进行调查统计，得出y 与x 具有线性相关关系，且回归直线方程为y ^＝0.6x ＋1.2，若某城市职工人均工资为5千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为( ) A ．66% B ．67% C ．79%D ．84%考点 线性回归分析 题点 回归直线的应用 答案 D解析 ∵y 与x 具有线性相关关系，满足回归直线方程y ^＝0.6x ＋1.2，该城市居民人均工资为x ＝5，∴可以估计该城市的职工人均消费水平y ＝0.6×5＋1.2＝4.2，∴可以估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为4.25＝84%.12．若函数f(x)＝13x 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b 2x 2＋2bx 在区间[－3,1]上不是单调函数，则函数f(x)在R 上的极小值为( ) A ．2b －43B.32b －23 C ．0 D ．b 2－16b 3考点 题点 答案 A解析 f ′(x)＝x 2－(2＋b)x ＋2b ＝(x －b)(x －2)，∵函数f(x)在区间[－3,1]上不是单调函数，∴－3<b<1，则由f ′(x)>0，得x<b 或x>2，由f ′(x)<0，得b<x<2，∴函数f(x)的极小值为f(2)＝2b －43.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．已知a ∈R ，若1＋ai2－i 为实数，则a ＝________.考点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数 答案 －12解析1＋ai 2－i ＝(1＋ai )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝2＋i ＋2ai －a 5＝2－a 5＋1＋2a5i ，∵1＋ai 2－i 为实数，∴1＋2a 5＝0，∴a ＝－12. 14．已知f(x)＝x 1＋x ，x ≥0，若f 1(x)＝f(x)，f n ＋1(x)＝f(f n (x))，n ∈N ＋，则f 2017(x)的表达式为________．考点 合情推理的应用 题点 合情推理在函数中的应用 答案 f 2017(x)＝x1＋2017x解析 f 1(x)＝x 1＋x ，f 2(x)＝x 1＋x 1＋x 1＋x ＝x1＋2x，f 3(x)＝x 1＋2x 1＋x 1＋2x ＝x1＋3x ，…，归纳可得f 2017(x)＝x1＋2017x.15．古希腊的数学家研究过各种多边形数，记第n 个k 边形数为N(n ，k)(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式： 三角形数 N(n,3)＝12n 2＋12n四边形数 N(n,4)＝n 2五边形数 N(n,5)＝32n 2－12n六边形数 N(n,6)＝2n 2－n ……可以推测N(n ，k)的表达式，由此计算N(20,15)的值为________． 考点 归纳推理题点 归纳推理在数对(组)中的应用 答案 2490解析 原已知式子可化为N(n,3)＝12n 2＋12n＝3－22n 2＋4－32n ； N(n,4)＝n 2＝4－22n 2＋4－42n ；N(n,5)＝32n 2－12n ＝5－22n 2＋4－52n ；N(n,6)＝2n 2－n ＝6－22n 2＋4－62n.故N(n ，k)＝k －22n 2＋4－k2n ，N(20,15)＝15－22×202＋4－152×20＝2490.16．对于定义在实数集R 上的函数f(x)，如果存在实数x 0，使f(x 0)＝x 0，那么x 0叫做函数f(x)的一个好点．已知函数f(x)＝x 2＋2ax ＋1不存在好点，那么a 的取值范围是________． 考点 反证法及应用 题点 反证法的应用答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 解析 假设函数f(x)存在好点，即x 2＋2ax ＋1＝x ， ∴x 2＋(2a －1)x ＋1＝0，∴Δ＝(2a －1)2－4≥0， 解得a ≤－12或a ≥32.∴f(x)不存在好点时，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)设复数z ＝lg(m 2＋2m －14)＋(m 2－m －6)i ，求当实数m 为何值时： (1)z 为实数；(2)z 对应的点位于复平面的第二象限． 考点 题点解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －6＝0，m 2＋2m －14＞0，解得m ＝3(m ＝－2舍去)． 故当m ＝3时，z 是实数．(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧lg (m 2＋2m －14)＜0，m 2－m －6＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧0＜m 2＋2m －14＜1，m 2－m －6＞0.即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －14＞0，m 2＋2m －15＜0，m 2－m －6＞0，得⎩⎨⎧m ＜－1－15或m ＞－1＋15，－5＜m ＜3，m ＜－2或m ＞3.解得－5＜m ＜－1－15.故当－5＜m ＜－1－15时，z 对应的点位于复平面内的第二象限．18．(12分)已知a ，b ，c ∈(0,1)，求证(1－a)b ，(1－b)c ，(1－c)a 不可能都大于14.考点 反证法及应用 题点 反证法的应用证明 假设三个式子同时大于14，即(1－a)b>14，(1－b)c>14，(1－c)a>14，三式相乘得(1－a)a·(1－b)b·(1－c)c>143，①又因为0<a<1，所以0<a(1－a)≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1－a 22＝14.同理0<b(1－b)≤14，0<c(1－c)≤14，所以(1－a)a·(1－b)b·(1－c)c ≤143，②①与②矛盾，所以假设不成立，故原命题成立．19．(12分)要分析学生中考的数学成绩对高一年级数学学习有什么影响，在高一年级学生中随机抽选10名学生，分析他们入学的数学成绩和高一年级期末数学考试成绩，如下表：表中x 是学生入学成绩，y 是高一年级期末考试数学成绩． (1)画出散点图； (2)求回归直线方程；(3)若某学生的入学成绩为80分，试预测他在高一年级期末考试中的数学成绩． 考点 线性回归分析 题点 回归直线的应用解 (1)作出散点图如图，从散点图可以看出，这两个变量具有线性相关关系．(2)列表如下：可求得x ＝110×(63＋67＋…＋76)＝70，y ＝110×(65＋78＋…＋75)＝76， ∑t ＝110x 2i＝51474，∑i ＝110x i y i ＝55094.∴b ^＝55094－10×70×7651474－10×702≈0.76556. a ^≈76－0.76556×70≈22.41，故所求的回归直线方程为y ^＝22.41＋0.76556x.(3)若学生入学成绩为80分，代入上面回归直线方程y ^＝22.41＋0.76556x ，可求得y ^≈84(分)． 故该同学高一期末数学成绩预测为84分．20．(12分)为考查某种疫苗预防疾病的效果，进行动物实验，得到统计数据如下：现从所有试验动物中任取一只，取到“注射疫苗”动物的概率为25.(1)求2×2列联表中的数据x ，y ，A ，B 的值；(2)绘制发病率的条形统计图，并判断疫苗是否有效？(3)能够有多大把握认为疫苗有效？ 考点 独立性检验思想的应用 题点 独立性检验在分类变量中的应用解 (1)设“从所有试验动物中任取一只，取到‘注射疫苗’动物”为事件E ，由已知得P(E)＝y ＋30100＝25，所以y ＝10，B ＝40，x ＝40，A ＝60.(2)未注射疫苗发病率为4060＝23，注射疫苗发病率为1040＝14，发病率的条形统计图如图所示，由图可以看出疫苗影响到发病率，且注射疫苗的发病率小，故判断疫苗有效．(3)χ2＝100×(20×10－30×40)250×50×40×60＝503≈16.667>6.635.所以至少有99%的把握认为疫苗有效． 21．(12分)设函数f(x)＝1x ＋2lnx.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)如果对所有的x ≥1，都有f(x)≤ax ，求a 的取值范围． 考点 题点解 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝2x －1x 2，所以当0<x<12时，f ′(x)<0，当x>12时，f ′(x)>0，故函数f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增．(2)当x ≥1时，f(x)≤ax ⇔a ≥2lnx x ＋1x 2， 令h(x)＝2lnx x ＋1x 2(x ≥1)， 则h ′(x)＝2－2lnx x 2－2x 3＝2(x －xlnx －1)x 3， 令m(x)＝x －xlnx －1(x ≥1)，则m ′(x)＝－lnx ，当x ≥1时，m ′(x)≤0，所以m(x)在[1，＋∞)上为减函数，所以m(x)≤m(1)＝0，因此h ′(x)≤0，于是h(x)在[1，＋∞)上为减函数，所以当x ＝1时，h(x)有最大值h(1)＝1，故a ≥1，即a 的取值范围是[1，＋∞)．22．(12分)已知数列{a n }满足a 1＝12，且a n ＋1＝a n 3a n ＋1(n ∈N ＋)． (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a n a n ＋1(n ∈N ＋)，数列{b n }的前n 项和记为T n ，证明：T n <16. 考点 综合法及应用题点 利用综合法解决数列问题证明 (1)由已知可得，当n ∈N ＋时，a n ＋1＝a n 3a n ＋1， 两边取倒数得，1a n ＋1＝3a n ＋1a n ＝1a n ＋3， 即1a n ＋1－1a n ＝3，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1a 1＝2， 公差为3的等差数列，其通项公式为1a n＝2＋(n －1)×3＝3n －1， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝13n －1. (2)由(1)知a n ＝13n －1， 故b n ＝a n a n ＋1＝1(3n －1)(3n ＋2)＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1－13n ＋2. 故T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12－15＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫15－18＋…＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1－13n ＋2＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13n ＋2＝16－13·13n ＋2. 因为13n ＋2>0，所以T n <16.。
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模块综合测试题检测B一、选择题：（25个题，每题2分）1.(04江苏)掌握微生物群体的生长规律，目的是更好地研究和利用它们。
下列有关描述中错误的是 A ．生产上常常用对数期的细菌作为菌种 B ．在稳定期中适当补充营养物质有利于提高产量 C ．连续培养延长了培养周期，从而提高产量 D ．调整期细菌的代谢活跃，体积增长快2. 将少量的某种细菌接种到恒定容积的液体培养基中，并置于适宜的条件下培养，定期取样统计细菌的数目。
如果以时间为横坐标，以细菌数目的对数为纵坐标作图，可以得到细菌的生长曲线。
曲线中，细菌数量变化较大的时期为A. 衰亡期和调整期 B ．调整期和稳定期C. 对数期和衰亡期 D ．稳定期和对数期3.将酵母菌研磨、离心分离后，得到上清液和沉淀物。
把等量的上清液、沉淀物和未经离心的匀浆分别放入甲、乙、丙3支试管中，然后向3支试管分别滴加等量的葡萄糖溶液，则乙试管的最终产物是A.葡萄糖B.CO 2、H 2OC.C 2H 5OH 、CO 2D.C 3H 4O 34.在普通的密封的锥形瓶中，加入含有酵母菌的葡萄糖溶液，下面的有关坐标图，正确的是5.下列物质在生物体内的转化过程中需要ATP 的是A.葡萄糖→乙醇+二氧化碳B.葡萄糖→乳酸C.二氧化碳+水→葡萄糖D.蛋白质→氨基酸6．利用酵母菌发酵生产酒精时，投放的适宜原料和在产生酒精阶段要控制的必要条件分别是A ．玉米粉和有氧B ．大豆粉和有氧C ．玉米粉和无氧D ．大豆粉和无氧7．在制作馒头时，可采用小苏打或者通过酵母菌发酵的方法使馒头松软，请问这两种方法中，馒头中的营养和所含有的能量情况相比较最可能的是A ．后者所含营养丰富、能量少B ．后者所含营养单一、能量少C ．前者所含营养丰富、能量少D ．两者所含营养和能量相同8．70年代基因工程技术刚兴起的时候，都是以微生物作为实验材料，且必须在“负压”（低于外界的大气）的实验室里操作。
这里“负压”的作用主要是A ．防止具有重组基因的生物进入人体或逃逸到外界，从而对环境造成基因污染B ．提高微生物的基因突变频率C ．加快微生物的繁殖速度D ．避免其他生物对实验材料的污染9．利用植物的茎尖或叶片、茎段、花药、花粉等，在无菌条件下，培养在玻璃器皿中人工配制的培养基上，使它发育成完整的植株，这种技术可以用来培育植物新品种，也可以在较短时间内大量繁殖植物，还可以防止植物病毒的危害。
下列关于这种技术的叙述，正确的是A酒精浓度酒精浓度酒精浓度B CD氧浓度% 二氧化碳 酒精 相对数量mol（）①这种技术利用了植物细胞的全能性②这种技术叫做组织培养，可以克隆生物体③这种技术属于细胞工程的应用领域之一④这种技术是一种无性繁殖的方式A．① B．①②③ C．①② D．①②③④10.愈伤组织细胞，在包含有必需物质的培养基中培养了几小时，其中一种化合物具有放射性（3H）标记。
当这些细胞被固定后，进行显微镜检，利用放射自显影发现：放射性集中于细胞核、线粒体和叶绿体，可以有理由肯定标记化合物有（）A．一种氨基酸 B．尿嘧啶核苷酸C．胸腺嘧啶脱氧核苷酸 D．葡萄糖11．动物细胞培养与植物组织培养重要区别在于（）A.动物细胞培养可以传代培养而植物不能B.动物细胞培养是单个细胞培养，而植物不是C.动物细胞培养的培养基的成分与植物不同D．动物细胞培养中可发生遗传物质的改变，而植物不是12．将植物细胞在有3H标记的胸腺嘧啶脱氧核苷酸存在的情况下，培育数小时。
然后收集细胞粉碎并轻摇匀浆，进行分级离心以获得各种细胞成分。
放射性3H将主要存在于（）A．核仁、质体和高尔基体 B．细胞核、核仁和溶酶体C．细胞核、核糖体和液泡 D．细胞核、线粒体和叶绿体13．下列有关植物细胞培养与动物细胞培养的叙述中正确的是A.是培养基的配置成分不同B.是培养的原理不同C.培养的目的不同D.植物细胞培养与动物细胞培养的结果一般相同14．用15N标记含有1000个碱基的DNA分子，其中有胞嘧啶60个，该DNA分子在14N的培养基中连续复制4次。
其结果不可能是（ B ）A.含有15N的DNA分子占1/8B.含有14N的DNA分子占7/8C.复制过程中需腺嘌呤脱氧核苷酸6600个D.复制结果共产生16个DNA分子15．用凝胶色谱法分离蛋白质时，分子量大的蛋白质（ D ）A.路程较长，移动速度较慢B.路程较长，移动速度较快C.路程较短，移动速度较慢D.路程较短，移动速度较快16．为防止血液凝固，在采血容器中要预先加入抗凝血剂（ D ）。
A.NaClB.甲苯C.蒸馏水D.柠檬酸钠17．血液中红细胞的血红蛋白不能与哪种气体相结合（ D ）A.O2B.COC.CO2D.N218.下列关于胡萝卜素的叙述,错误的是A.胡萝卜素可用于治疗幼儿生长发育不良、干皮症等B.胡萝卜素可从大面积养殖的岩藻中提取C.提取胡萝卜素时，可采用石油醚、苯、丙酮等作溶剂D.萃取过程中要采用水浴加热19．对于玫瑰精油的提取装置，说法正确的是：A．图中2为进水口，3为出水口B．收集后的液体中，要加入NaCl，使水油分离C．本装置为萃取装置D．使用该装置时，由于原料在水中，不易产生原料焦糊问题20．下列关于纸层析的叙述，错误的是A．样品原点不能浸泡在提取液中B．点样时，应快速细致，形成大小一致的圆点C．滤纸卷成筒状是为了增大吸收面积D．石油醚可作为层析液21.玫瑰精油提取的过程是（）A. 鲜玫瑰花＋水→油水混合物→水蒸气蒸馏→分离油层→除水B. 鲜玫瑰花＋水→油水混合物→除水→分离油层C. 鲜玫瑰花＋水→油水混合物→水蒸气蒸馏→分离油层→除水D 鲜玫瑰花＋水→水蒸气蒸馏→油水混合物→分离油层→除水→过滤D．多聚半乳糖醛酸酶、果胶分解酶和果胶酯酶都属于果胶酶22．以下四组是影响酶活性的主要因素，正确的是A．底物浓度、酸碱度、温度 B．光照、酸碱度、温度C．底物浓度、压力、酸碱度 D．温度、压力、酸碱度23．下列不属于酶的固定方式的是A．将酶包埋在细微网格中B．将酶相互连接起来C．将酶吸附在载体表面D．将酶加上糖衣24．下列关于酶叙述中，不正确的是A．酶是具有催化能力的蛋白质或RNAB．酶是活细胞产生的具有催化作用的有机物C．食物的消化需要酶的催化，而细胞的其他化学反应不需要酶的催化D．绝大多数酶是蛋白质，少数酶是RNA25．下列关于固定化酶的说法不正确的是A．固定化酶是一种新型酶制剂B．固定化酶可再次利用，提高了生产成本C．固定后的酶既能与反应物接触，又能与反应物分离D．固定化酶易溶于水二、非选择题：26．下图表示动物肌细胞内ATP 产生量与氧气供给量之间的关系曲线，请据图回答：（1）在a ～d 给出的4条曲线中，正确的一条是 。
（2）请对出现的该曲线进行分析：26、（1）b （2）在一定范围内，ATP 的生成随氧气的增多而增加，达到某一浓度（即饱和）后，维持在同一水平27、紫草素是紫草细胞的代谢产物，可以作为生产治疗烫伤的原料。
用组织培养技术可以在生物反应器中通过培养紫草细胞生产紫草素。
下图记录了生物反应器中紫草细胞产量、紫草细胞产量虽培养时间发生的变化。
(1)在生产前，须先加入紫草细胞作为反应器中的“种子”。
这些“种子”是应用组织培养技术，将紫草叶肉细胞经过 而获得的。
这项技术的理论基础是 。
（2）从图中可以看出：反应器中的紫草细胞的生长呈现 规律；影响紫草产量的因素是 和 。
（3）在培养过程中，要不断通入无菌空气并进行搅拌的目的是 和 。
27.（1）脱分化（或脱分化形成愈伤组织） 细胞的全能性 （2）“S ”型增长 细胞数量 细胞所处的生长时期 （3）保证氧气供应充足 使细胞与培养液充分接触28．DNA 分子杂交技术在社会生活中已得到广泛应用。
如用在侦查犯罪上，可从犯罪嫌疑人和现场遗留物中分别提取DNA ，在一定温度下水浴加热，使DNA 氢键断裂，双键打开。
若两份样本来自于同一个个体，在温度降低时，两份样本中DNA 单链会通过氢键联结在一起；若不是来自同一个体，则两份样本中的DNA 单链一定程度上不能互补，这样可以鉴别犯罪嫌疑人。
请回答下列问题：⑴人体DNA 的主要载体是 。
⑵水浴加热能使DNA 氢键断裂。
皮肤生发层细胞中发生该变化的是 过程。
O 2供给量 ATP 产生量⑶为了确保实验的准确性，需要克隆出较多的DNA样品。
若一个只含31P的DNA分子用32P 标记的脱氧核苷酸为原料连续复制三次后，含32P单链占全部单链的。
⑷侦察犯罪的理论基础是：不同个体的DNA分子具有。
请再举一例有关DNA 分子杂交技术在其他方面的应用：。
28.答案：⑴染色体⑵DNA复制和转录⑶7/8⑷特异性基因诊断和环境监测等29．如图实验装置用于研究温度对凝乳酶对催化乳汁凝固的影响。
先将酶和乳汁放入2个试管，然后将2个试管放入同一水浴（温度用T℃表示）环境中持续15min，再将酶和乳汁倒入同一试管中混合，保温并记录凝乳所需的时间。
通过实验记录在不同的温度下凝乳所需、的时间，结果如下表：(1)为什么酶和乳汁混合之前在同一水浴环境中保温15min,实验结果才更准确?(2)若将酶和乳汁直接放入同一试管内并保温,对实验结果有何影响？(3)比较并解释B和D的结果(4) 解释以下两种处理时实验结果有无什么变化。
①将装置A内混合物加温至40℃。
②将装置F内混合物冷却至40℃。
⑸除了温度，再指出一种能影响酶活性的因素。
29．⑴使两者混合时温度一致，即酶催化反应温度维持恒定⑵凝乳时间会延长，因为混合保温达到指定温度需一定的时间⑶说明在一定温度范围内（20℃～40℃）酶的活性随温度升高而升高⑷①能凝乳②不能凝乳⑸pH。