北京市人大附中2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题(含答案)
北京师大附中2018-2019学年上学期高中一年级期中考试数学试题(含精品解析)
北京师大附中2018-2019学年上学期高中一年级期中考试数学试卷一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知集合，则A∩B＝{}2{|10},0,1,2A x x B =-£=A. {0}B. {0，1}C. {1，2}D. {0，1，2}【答案】B【解析】【分析】解出集合B ，再根据集合的交集的概念得到结果.【详解】集合=；，则A∩B ＝{0，1}.2{|10}A x x =-£[]-11，{}0,1,2B =故答案为：B.【点睛】与集合元素有关问题的思路：（1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集．（2）看这些元素满足什么限制条件．（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．2.已知，下列不等式中必成立的一个是（ ）0,a b c d >>>A. B. C. D. a b c d>ad bc <a c b d +>+a c b d ->-【答案】C【解析】【分析】可以通过举出一些特例，用赋值的方法推翻选项.【详解】已知,由不等式的同向相加的性质得到正确；当a=2,b=1,0,a b c d >>>a c b d +>+c=-2,d=-1时，, ，故A ，B ，D 不正确；a b c d<ad bc =a c b d ->-故答案为：C.【点睛】这个题目考查了根据不等式的性质判断大小关系，较为基础.3.“”是“函数只有一个零点”的（ ）1a =-2()21f x ax x =+-A. 充要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】分析：求出函数只有一个零点的充分必要条件，根据集合的包含关系判断即可.()221f x ax x =+-详解：若函数只有一个零点，()221f x ax x =+-若时，，只有一个零点，符合题意；0a =()21f x x =-若时，则，解得，0a ¹440a D=+=1a =-综上所述：，1a =±故“”是“函数只有一个零点”的充分不必要条件.1a =-()221f x ax x =+-故选：B.点睛：充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．4.在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ）26()log f x x x=-A. B. （1，2） C. （3，4） D. （4，5）1(,1)2【答案】C【解析】【分析】根据函数的零点存在定理得到结果即可.【详解】函数,是单调递减的函数，,根据零点存()26log f x x x =-()232log 30f =->()3 4202f =-<在定理得到在区间（3，4）上存在零点.故答案为：C【点睛】这个题目考查了函数零点存在定理的应用，即在区间（a,b ）上，若f(a)f(b)<0,则在此区间上函数一定存在零点，但是零点个数不确定；如果判断出函数是单调的，再判断出f(a)f(b)<0，即可得到函数存在唯一的零点.5.已知函数，则1()3()3x x f x =-()f x A. 是奇函数，且在R 上是增函数 B. 是偶函数，且在R 上是增函数C. 是奇函数，且在R 上是减函数 D. 是偶函数，且在R 上是减函数【答案】A【解析】分析：讨论函数的性质，可得答案.()133xxf x æöç÷=-ç÷èø详解：函数的定义域为，且()133xxf x æöç÷=-ç÷èøR 即函数 是奇函数，()()111333,333x xx x x x f x f x --éùæöæöæöêúç÷ç÷ç÷-=-=-+=--=-ç÷ç÷ç÷êúèøèøèøëû()f x 又在都是单调递增函数，故函数 在R 上是增函数。
北京市人大附中高一(上)期中数学试卷
人大附中高一（上）期中数学试卷（必修1）一、选择题（共8道小题，每道小题4分，共32分.请将正确答案填涂在答题卡上）C D2|x|C DC D）2二、填空题（共6道小题，每道小题4分，共24分．请将正确答案填写在答题表中）9．已知函数y=f（n），满足f（1）=2，且f（n+1）=3f（n），n∈N+，则f（3）的值为_________．10．计算的值为_________．11．若奇函数f（x）在（﹣∞，0）上是增函数，且f（﹣1）=0，则使得f（x）＞0的x取值范围是_________．12．函数f（x）=log3（x2﹣2x+10）的值域为_________．13．光线通过一块玻璃板时，其强度要损失原来的10%，把几块这样的玻璃板重叠起来，设光线原来的强度为a，则通过3块玻璃板后的强度变为_________．14．数学老师给出一个函数f（x），甲、乙、丙、丁四个同学各说出了这个函数的一条性质甲：在（﹣∞，0]上函数单调递减；乙：在[0，+∞）上函数单调递增；丙：在定义域R上函数的图象关于直线x=1对称；丁：f（0）不是函数的最小值．老师说：你们四个同学中恰好有三个人说的正确．那么，你认为_________说的是错误的．三、解答题（分4道小题，共44分）15．（12分）已知函数．（1）设f（x）的定义域为A，求集合A；（2）判断函数f（x）在（1，+∞）上单调性，并用定义加以证明．16．（12分）有一个自来水厂，蓄水池有水450吨．水厂每小时可向蓄水池注水80吨，同时蓄水池又向居民小区供水，t小时内供水量为160吨．现在开始向池中注水并同时向居民供水．问多少小时后蓄水池中水量最少？并求出最少水量．17．（12分）已知函数f（x）=a x﹣1（a＞0且a≠1）（1）若函数y=f（x）的图象经过P（3，4）点，求a的值；（2）比较大小，并写出比较过程；（3）若f（lga）=100，求a的值．18．（8分）集合A是由适合以下性质的函数f（x）构成的：对于定义域内任意两个不相等的实数x1，x2，都有．（1）试判断f（x）=x2及g（x）=log2x是否在集合A中，并说明理由；（2）设f（x）∈A且定义域为（0，+∞），值域为（0，1），，试求出一个满足以上条件的函数f （x）的解析式．参考答案与试题解析一、选择题（共8道小题，每道小题4分，共32分.请将正确答案填涂在答题卡上）C D＞，即函数2可得|x|C DC D，有对数的定义得，）是2又函数在区间（﹣上是减函数，可得二、填空题（共6道小题，每道小题4分，共24分．请将正确答案填写在答题表中）9．（4分）已知函数y=f（n），满足f（1）=2，且f（n+1）=3f（n），n∈N+，则f（3）的值为18．10．（4分）计算的值为0．××+﹣11．（4分）若奇函数f（x）在（﹣∞，0）上是增函数，且f（﹣1）=0，则使得f（x）＞0的x取值范围是（﹣1，0）∪（1，+∞）．12．（4分）函数f（x）=log3（x2﹣2x+10）的值域为[2，+∞）．13．（4分）光线通过一块玻璃板时，其强度要损失原来的10%，把几块这样的玻璃板重叠起来，设光线原来的强度为a，则通过3块玻璃板后的强度变为0.729a．14．（4分）数学老师给出一个函数f（x），甲、乙、丙、丁四个同学各说出了这个函数的一条性质甲：在（﹣∞，0]上函数单调递减；乙：在[0，+∞）上函数单调递增；丙：在定义域R上函数的图象关于直线x=1对称；丁：f（0）不是函数的最小值．老师说：你们四个同学中恰好有三个人说的正确．那么，你认为乙说的是错误的．三、解答题（分4道小题，共44分）15．（12分）已知函数．（1）设f（x）的定义域为A，求集合A；（2）判断函数f（x）在（1，+∞）上单调性，并用定义加以证明．所以，函数）函数（因此，函数16．（12分）有一个自来水厂，蓄水池有水450吨．水厂每小时可向蓄水池注水80吨，同时蓄水池又向居民小区供水，t小时内供水量为160吨．现在开始向池中注水并同时向居民供水．问多少小时后蓄水池中水量最少？并求出最少水量．，从而．转化成二次函数的最（，即17．（12分）已知函数f（x）=a x﹣1（a＞0且a≠1）（1）若函数y=f（x）的图象经过P（3，4）点，求a的值；（2）比较大小，并写出比较过程；（3）若f（lga）=100，求a的值．时，或18．（8分）集合A是由适合以下性质的函数f（x）构成的：对于定义域内任意两个不相等的实数x1，x2，都有．（1）试判断f（x）=x2及g（x）=log2x是否在集合A中，并说明理由；（2）设f（x）∈A且定义域为（0，+∞），值域为（0，1），，试求出一个满足以上条件的函数f （x）的解析式．）函数）且．是一个符合条件的函数．x。
2019北京人大附中高一(上)期中数学
”是 ，
h耀
，其中 h 表示有限集 中元素的个数
的充分必要条件；
1/6
命题②：对任意有限集 ， ， ， ，
，
，（ ）
A. 命题①和命题②都成立
B. 命题①和命题②都不成立
C. 命题①成立，命题②不成立 D. 命题①不成立，命题②成立
二.填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分，请把结果填在答题纸上的相应位置.）
都有
r
耀 ，且当 ，
，，
时，有
r ；② 直线 r 是函数 r 耀 的图象的一条对称轴；③ 函
r 耀 在 − ， − 上为增函数；④ 函数 r 耀 在 − ， 上有四个零点.其中所有正确命题的序号为
4/6
三.解答题（本大题共 1 小题，满分 14 分.解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写出答题纸上的相应位 置.）
耀 对于一切实数 都成立，那么称 耀 为函数
已知函数 r
的图象经过点 − ，
（1）若 r ， r ，写出函数 耀 的一个承托函数（结论不要求注明）；
（2）判断是否存在常数 ， ， ，使得 r 为函数 耀 的一个承托函数，且 耀 为函 r 数？若存在，求出 ， ， 的值，若不存在，说明理由.
的一个承托函
9.函数 r
耀
的最小值为
，当且仅当 r
时取到此最小值
10.已知集合 r
11.若函数 r
是
.
，r
，若
，则实数 的取值范围是 .
的一个零点在区间 − ， 内，另一个零点在区间 ， 内，则 的取值范围
12.已知 r
， ，则 耀 =
，
；若 r− ，则 r
.
13.已知函数 r
北京市北大附中荣誉班2018～2019学年度高一第1学期期中考试数学试题及参考答案解析
2018～2019学年北京海淀区北京大学附属中学荣誉班高一第一学期期中数学试卷1.已知集合{}1,2,3A =,{}2,B y y x x A ==∈,则B =_______, 【参考答案】{}2,4,6 【试题分析】根据集合B 中2,y x x A =∈的条件,求出对应的元素即可因为{}2,B y y x x A ==∈,当1x =时,2y =；当2x =时,4y =；当3x =时,6y = 故集合{}2,4,6B = 答案为：{}2,4,6本题考查根据限定条件求出集合中对应元素,考点较为基础,能读懂题是关键2.函数()f x =的定义域是_______,值域是_______. 【参考答案】 (1).[]3,3x ∈- (2).[]0,3 【试题分析】根据表达式分析,应满足290x -≥,解出x 范围即可,()[]290,3,3f x x x =∴-≥∴∈-Q ,[][]290,90,3x -∈所以()f x =的定义域是[]3,3x ∈-,值域是[]0,3本题考查复合函数的定义域和值域的求解,需注意三种基本形式对应的函数的定义域：分式(分母不为零)、二次根式(二次根式里面的整体大于等于零)、对数(真数大于零)3.已知函数()f x 在R 上是增函数,若()()132f x f x ->-,则x 的取值范围是_______. 【参考答案】4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【试题分析】根据增函数性质去“f ”即可Q ()f x 在R 上是增函数,()()132f x f x ->-,根据增函数性质,可得132x x ->-,解得43x >答案为：4,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭本题考查根据增函数的性质解不等式,相对简单,解题过程中需注意()f x 括号中的式子要满足函数的定义域的问题4.设函数()g x 满足()223g x x +=+,则()g x 的解析式为_______. 【参考答案】()21g x x =- 【试题分析】采用换元法,令2t x =+,进行换元即可求解令2t x =+,得2x t =-,则()()()22322321g x x g t t t +=+⇔=-+=-所以()21g x x =-本题考查函数解析式的求法,换元法是求解解析式基本方法,需注意的是换元之后新元的取值范围,此题还可采用拼凑法求解5.为了提高同学们的学习兴趣,学校举办了数学、物理两科竞赛.高一年级(包括衔接班)共260名同学参加比赛,其中两科都取得优秀的有80人,数学取得优秀但物理未取得优秀的有40人,物理取得优秀而数学未取得优秀的有120人,则两科均未取得优秀的人数为_______. 【参考答案】20 【试题分析】用韦恩图进行求解,设集合{}=A 数学取得优秀的同学,集合{}=B 物理取得优秀的同学,全集{}=U 高一年级260名同学,再根据题意进行求解 如图所示设两科均未取得优秀的人数为x ,则408012026020x x +++=⇒= 所以两科均未取得优秀的人数为20人本题考查根据韦恩图求解具体集合元素的个数问题,方法相对简单,关键是能正确表示各集合中元素个数6.已知:p 实数x 满足02x ≤≤,:q 实数x 满足()()3510x x -+≤,则p ⌝是q ⌝的_______.(填写“充分且不必要条件”,“必要且不充分条件”,“充分必要条件”或“既不充分也不必要条件”) 【参考答案】必要且不充分条件 【试题分析】分别求出p ⌝和q ⌝,再根据充分和必要条件进行求解 由:p 实数x 满足02:x p ≤≤⇒⌝0x <或x>2由:q 实数x 满足()()()()3510:3510x x q x x -+≤⇒⌝-+>,即q ⌝：15x <-或x>3 判断可知p ⌝推不出 q ⌝,但q ⌝能推出p ⌝, 所以p ⌝是q ⌝的必要且不充分条件本题考查命题的否定改写及命题间的充分必要条件判断问题,若题目中涉及范围问题的判断,可简单记为：小推大成立,大推小不成立7.已知函数()f x 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数,且对任意实数x 都有()()()11xf x x f x +=+,则()0f =_______,52f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_______. 【参考答案】 (1).0 (2).0【试题分析】表达式为抽象函数,可通过赋值法求解具体的函数值 当0x =时,得()010f =⨯,得()00f =,当12x =-时,得11112222f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即1122f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,又因()f x 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数,所以1122f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,解得102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭当1=2x 时,得133********f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⇒= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当3=2x 时,得35535022222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⇒= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()5002f f f ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭答案为：()00f =,502f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭本题考查根据抽象函数求解具体函数值的方法,常用解法为对x 赋值,通过递推的方式和函数性质来进行求解8.李老师每天开车上班,10月李老师共加了两次油,每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况：注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程,在这段时间内,该车每100千米均耗油量为_______升. 【参考答案】8 【试题分析】第一次油箱加满,所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量,得出耗油量为48升,而这段时间内行驶的里程数35600－35000＝600千米,通过计算即可得出答案因为第一次油箱加满,所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量,故耗油量48升,而这段时间内行驶的里程数35600－35000＝600千米,所以这段时间内,该车每100千米平均耗油量为48÷(600÷100)＝8升 答案：8本题考查根据题意从表格提取信息的能力,是一道函数应用类题目,从统计图中获取信息是解题关键9.设全集U =R ,{}13A x x =≤≤,{}23B x a x a =<<+. ⑴当1a =时,求()C U A B I .⑵若A B A =I ,求实数a 的取值范围.【参考答案】(1){}34x x << (2)10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【试题分析】(1)先求出C U A ,再根据集合的交集运算进行求解即可(2)由A B A =I 可判断A B ⊆,再根据子集定义进行求解(1)当1a =时,{}24B x x =<<,{}{}13,C 13U A x x A x x x =≤≤∴=Q 或(){}C 34U A B x x ⋂=<<(2)由A B A =I 可得A B ⊆,即2133a a <⎧⎨+>⎩,解得10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭本题考查集合的混合运算,根据集合的包含关系求解参数问题,集合的混合运算应遵循有括号先算括号原则,对于子集类问题的求解要注意端点处等号取不取得到的问题10.已知函数()()01m f x x m x m x =++≠<且,设函数()()322g x x f x x =⋅+-. ⑴证明函数()f x 在[)1,+∞上为增函数.⑵若方程()0g x =有两个不相等的实根,有一根小于1,且另一根在()1,2内,求m 的取值范围.【参考答案】(1)证明详见解析 (2)133,64m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭ 【试题分析】(1)利用增函数的定义进行求解即可(2)先表示出()g x 的表达式,23()(2)2g x x m x m =+++-,根据有一根小于1,且另一根在()1,2内,可得()()1020f f ⎧<⎪⎨>⎪⎩,化简求值即可 【详解】(1)设121x x ≤<,()()()12121212121m m m f x f x x m x m x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=++-++=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1212121,10,10mx x m x x x x ≤<<∴-<->Q ,()()12f x f x ∴< 函数()f x 在[)1,+∞上为增函数 (2)233()2(2)22m g x x x m x x m x m x ⎛⎫=+++-=+++- ⎪⎝⎭()g x Q 有一根小于1,且另一根在()1,2内,故满足()()1020f f ⎧<⎪⎨>⎪⎩,即34136m m ⎧<-⎪⎪⎨⎪>-⎪⎩,133,64m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭本题考查函数单调性的证明,根据二次函数根的分布情况求解参数问题,属于中档题,二次函数的参数问题一般通过判断已知点在函数图像中的与零点的关系来建立不等式11.已知函数()f x 对一切实数x ,y 都有()()()21f x y f y x x y +-=++成立,且()10f =. ⑴求()0f 的值. ⑵求()f x 的解析式. ⑶已知a ∈R ,当102x <<时,不等式()32f x x a +<+恒成立,求a 的取值范围. 【参考答案】(1)()02f =- (2)()22f x x x =+- (3)1a ≥【试题分析】(1)通过对抽象函数赋值,可令1,1x y =-=进行求解(2)令0y =可消去y ,再结合(1)中求得()0f 的值,进而求得解析式 (3)可采用分离参数法转化成()32a f x x >+-在10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立问题,再进行求解 (1)令1,1x y =-=,可得()()()01121f f -=--++,又因()10f =,解得()02f =- (2)令0y =,得()()()01f x f x x -=+,又因()02f =-,解得()22f x x x =+-(3)当102x <<,()()3232f x x a a f x x +<+⇔>+-,即21a x x >-+在10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立,当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,231,14x x ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭,所以1a ≥本题考查抽象函数中具体函数值的求法,抽象函数解析式的求法,根据二次函数在给定区间恒成立问题求参数问题,对于抽象函数的处理常采用赋值法进行求解,二次函数含参恒成立问题一般是通过分离参数进行求解,当然也可以根据判别式法进行求解,视具体情况而定12.对于两条平行直线1l 、2l (1l 在2l 下方)和图象G 有如下操作:将图象G 在直线1l 下方的部分沿直线1l 翻折,其余部分保持不变,得到图象1G ；将图象1G 在直线2l 上方的部分沿直线2l 翻折,其余部分保持不变,得到图象2G :再将图2G 在直线下方的部分沿直线1l 翻折,其余部分保持不变,得到图象3G ；再将图象3G 在直线2l 上方的部分沿直线2l 翻折,其余部分保持不变,得到图象4G ；以此类推…；直到图象k G 上所有点均在1l 、2l 之间(含1l 、2l 上)操作停止,此时称图象k G 为图象G 关于直线1l 、2l 的“衍生图形”,线段AB 关于直线1l 、2l 的“衍生图形”为折线段12A C D E B ----. (1)直线型平面直角坐标系中,设直线1:0l y =,直线2:1l y =①令图象G 为()f x x =的函数图象,则图象1G 的解析式为 ②令图像G 为()f x x =的函数图象,请你画出1G 和2G 的图象③若函数()1g x ax =+的图象与图象1G 有且仅有一个交点,且交点在y 轴的左侧,那么a 的取值范围是_______.④请你观察图象2G 并描述其单调性,直接写出结果_______. ⑤请你观察图象2G 并判断其奇偶性,直接写出结果_______. ⑥图象2G 所对应函数的零点为_______.⑦任取图象2G 中横坐标51,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的点,那么在这个变化范围中所能取到的最高点的坐标为(_______,_______),最低点坐标为(_______,_______).⑧若直线()h x a =与图象2G 有2个不同的交点,则a 的取值范围是_______. ⑨根据函数图象,请你写出图象2G 的解析式_______. (2)曲线型若图象G 为函数()232f x x x =-+的图象,平面直角坐标系中,设直线1:0l y =,直线2:1l y =,则我们可以很容易得到1G 所对应的解析式为()2132f x x x =-+.①请画出1G 的图象,记1G 所对应的函数解析式为()1f x . ②函数()1f x 的单调增区间为_______,单调减区间为_______. ③当[]0,5x ∈时候,函数()1f x 的最大值为_______,最小值为_______. ④若方程21323x x x b -+=+有四个不同的实数根,则b 的取值范围为_______.(3)封闭图形型平面直角坐标系中,设直线3:2l y =-,直线4:2l y =设图象G 为四边形OPQR ,其顶点坐标分别为()0,0O ,()3,3P ,()6,0Q ,()3,3R -,四边形OPQR 关于直线3l 、4l 的“衍生图形”为k G .①k G 的周长为_______. ②若直线23y x b =-+平分k G 的周长,则b =_______.③将k G 沿右上方45︒个单位,则平移过程中k G 所扫过的面积为_______.【参考答案】(1)①1G x =；②函数图像见解析；③[)1,a ∈+∞；④2G 的单调递增区间为(),1-∞-,()0,1,2G的单调递减区间为()1,0-,()1,+∞；⑤偶函数；⑥1232,0,2x x x =-==；⑦()1,1-,51,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭；⑧(){},01a ∈-∞⋃ ⑨[]2,1,12,11x x G x x x ⎧∈-⎪=⎨-+><-⎪⎩或(2)①详图见解析；②增区间31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭和()2,+∞,减区间(),1-∞和3,22⎛⎫⎪⎝⎭③最大值为12,最小值为0；④11,43b ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭(3)①；②2b =；③6S = 【试题分析】通过对“衍生图形”概念的理解,需要先定位两条平行直线1l 、2l ,随着平行直线的变化,“衍生图形”最终也会发生相应的变化。
北京市高一上学期数学期中考试试卷含答案(共3套)
北京师大附中2018-2019学年上学期高中一年级期中考试数学试卷说明：本试卷共150分，考试时间120分钟。
一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知集合}2,1,0{},01|{2=≤-=B x x A ，则A ∩B ＝ A. {0}B. {0，1}C. {1，2}D. {0，1，2}2. 已知d c b a >>>,0，下列不等式中必成立的一个是（ ） A.dbc a > B. bc ad <C. d b c a +>+D. d b c a ->-3. “1-=a ”是“函数12)(2-+=x ax x f 只有一个零点”的（ ） A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件 4. 在下列区间中，函数x xx f 2log 6)(-=的零点所在的区间为（ ） A. )1,21(B. （1，2）C. （3，4）D. （4，5）5. 已知函数xx x f ⎪⎭⎫⎝⎛-=313)(，则)(x f （ ）A. 是奇函数，且在R 上是增函数B. 是偶函数，且在R 上是增函数C. 是奇函数，且在R 上是减函数D. 是偶函数，且在R 上是减函数6. 已知313232,31⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=b a ，3232⎪⎭⎫ ⎝⎛=c ，则 A. b c a << B. c b a <<C. a c b <<D. c a b <<7. 若函数⎩⎨⎧>≤--=-7,7,3)3()(6x ax x a x f x 在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A. )3,49(B. )3,49[C. （1，3）D. （2，3）8. 函数||ln 1)(x xx f +=的图象大致为9. 已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区问[0，＋∞）上单调递增，若实数a 满足)1(2log )(log 212f a f a f ≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+，则a 的取值范围是 A. ]2,1[B. ]21,0(C. ]2,21[D. ]2,0(10. 设D 是函数)(x f y =定义域内的一个区间，若存在D x ∈0，使00)(kx x f =)0(≠k ，则称0x 是)(x f y =在区间D 上的一个“k 阶不动点”，若函数25)(2+-+=a x ax x f 在区间]4,1[上存在“3阶不动点”，则实数a 的取值范围是A. ]21,(-∞ B. )21,0(C. ),21[+∞D. ]0,(-∞二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分。
2018北京人大附中高一(上)期中数学
2018北京人大附中高一（上）期中数学一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1.设集合A＝{,,0}，B＝{2,4}，若A∩B＝{2}，则实数a的值为（）A. 2B. ±2C.D. ±2.计算的结果是（）A. B. C. － D. －3.下列函数中，是偶函数的是（）A. f(x)＝B. f(x)＝lg xC. f(x)＝D. f(x)＝|x|4.函数的零点所在的区间是（）A. (0，1)B. (1，2)C. (2，3)D. (3，4)5.已知，则函数的大致图象是（）A. B. C. D.6.设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为（）A. a＞c＞bB. a＞b＞cC. b＞a＞cD. c＞a＞b7.已知，恒成立，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.8.设函数，其中表示不超过x的最大整数，若函数的图象与函数的图象恰有3个交点，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）9.计算：＝________.10.已知集合，，若，则实数的取值范围是______.11.函数的定义域为__________.12.已知＝，则＝_________；若，则________．13.已知函数在区间上不．单调，则实数a的取值范围是________.14.如图放置的边长为2的正三角形ABC沿x轴滚动，记滚动过程中顶点A的横、纵坐标分别为和，且是在映射作用下的象，则下列说法中：①映射的值域是；②映射不是一个函数；③映射是函数，且是偶函数；④映射是函数，且单增区间为，其中正确说法的序号是___________.说明：“正三角形ABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动．沿x轴正方向滚动指的是先以顶点B 为中心顺时针旋转，当顶点C落在x轴上时，再以顶点C为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正三角形ABC可以沿x轴负方向滚动．三、解答题（本大题共3小题，共30分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）15.已知集合，.（1）求；（2）若，求实数m的取值范围．16.已知函数是定义在R上的奇函数．（1）求的解析式及值域；（2）判断在R上的单调性，并用单调性定义．．．．．予以证明．17.某公司共有60位员工，为提高员工的业务技术水平，公司拟聘请专业培训机构进行培训．培训的总费用由两部分组成：一部分是给每位参加员工支付400元的培训材料费；另一部分是给培训机构缴纳的培训费．若参加培训的员工人数不超过30人，则每人收取培训费1000元；若参加培训的员工人数超过30人，则每超过1人，人均培训费减少20元．设公司参加培训的员工人数为x人，此次培训的总费用为y元．（1）求出y与x之间的函数关系式；（2）请你预算：公司此次培训的总费用最多需要多少元？Ⅱ卷（共7道题，满分50分）一、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，可能有一项或几项是符合题目要求的，请将所有正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）18.已知函数，若0＜＜＜，且满足，则下列说法一定正确的是______.①有且只一个零点②的零点在内③的零点在内④的零点在内19.关于函数的性质描述，正确的是___①的定义域为②的值域为③在定义域上是增函数④的图象关于原点对称20.在同一直角坐标系下，函数与(,)的大致图象如图所示，则实数a的可能值为______①. ②. ③. ④.二、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）21.已知函数在R上是增函数，则实数的取值范围是________．22.非空有限数集满足：若，则必有．请写出一个．．满足条件的二元数集S＝________．23.已知直线上恰好存在一个点关于直线y=x的对称点在函数的图象上．请写出一个．．符合条件的实数a 的值：________．三、解答题（本大题共1小题，满分14分．解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）24.若函数的图象恒过(0,0)和(1,1)两点，则称函数为“0-1函数”.（1）判断下面两个函数是否是“0-1函数”，并简要说明理由：①；②.（2）若函数是“0-1函数”，求；（3）设，定义在R上的函数满足：①对,R，均有；②是“0-1函数”，求函数的解析式及实数a的值．数学试题答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1.【答案】D【解析】【分析】因为，所以或，算出后代人检验可得正确结果.【详解】因为，因为或，当时，，，不合题意，舎；当时，，，符合；当时，，，符合；综上，选D.【点睛】本题考察集合中元素的性质，一般地，集合中的元素有确定性、互异性和无序性，解题时应根据集合间的关系及无序性得到集合中参数满足的等量关系，算出参数的值后再检验元素的互异性.2.【答案】A【解析】【分析】先把化为，再利用对数的运算性质得到对数的值.【详解】，故选A .【点睛】对数有如下的运算规则：（1），；（2）；（3）；（4） .3.【答案】D【解析】【分析】先判断各函数的定义域是否关于原点对称，再检验是否恒成立.【详解】A中，，，不是偶函数；B中，定义域不关于原点对称，不是偶函数；C中，，，不是偶函数；D中，，故为偶函数，综上，选D.【点睛】判断一个函数是否为偶函数或奇函数，应先求出该函数的定义域，如果定义域不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数，在定义域关于原点对称的条件下，我们再检验与的关系.注意说明一个函数是非奇非偶函数，可用反例说明.4.【答案】B【解析】【分析】因为函数为上的增函数，故利用零点存在定理可判断零点所在的区间.【详解】因为为上的增函数，为上的增函数，故为上的增函数.又，，由零点存在定理可知在存在零点，故选B.【点睛】函数的零点问题有两种类型，（1）计算函数的零点，比如二次函数的零点等，有时我们可以根据解析式猜出函数的零点，再结合单调性得到函数的零点，比如；（2）估算函数的零点，如等，我们无法计算此类函数的零点，只能借助零点存在定理和函数的单调性估计零点所在的范围.5.【答案】A【解析】【分析】令后可得即，平移幂函数的图像可得该函数的图像.【详解】令后可得即，考虑函数，将该函数的图像向右平移一个单位后可得的图像，故选A.【点睛】函数的图像变换有如下两种：（1）平移变换：；；；.（2）对称变换；；；.6.【答案】B【解析】【分析】可利用为上的增函数得到的大小关系，再利用换底公式得到利用为上的增函数可得的大小关系，最后得到的大小关系.【详解】因为为上的增函数，故，故 .又由换底公式可知，因为上的增函数，故，故即，综上，，故选B.【点睛】本题考察对数的大小比较，属于基础题.7.【答案】D【解析】【分析】因，故原不等式等价于在上恒成立，故可得实数的取值范围.【详解】因为，故，故在上恒成立等价于在上恒成立，故即，故选D.【点睛】一元二次不等式的恒成立问题，可通过其对应的二次函数的图像和性质来讨论，也可以用参变分离的方法把恒成立问题转化为一个新的函数的最值问题，特别地，如果一元二次不等式对应的函数解析式可以因式分解，则可以把恒成立的问题转为一元一次不等式的恒成立问题.8.【答案】D【解析】【分析】利用当时有，故函数在具有“局部周期性”，故可在平面直角坐标系中画出函数的图像，结合的图像与的图像有3个交点可以得到实数的取值范围.【详解】，而，故当时，，故在上的图像如图所示：因为的图像与的图像有3个交点，故，故，故选D.【点睛】不同函数图像的交点问题，关键在于正确刻画函数的图像，可以用图像变换的方法把复杂函数的图像归结基本初等函数的图像的平移或对称变换等，也可以根据解析式的特点先刻画函数的局部图像，再根据函数的性质得到其他范围上的图像.二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）9.【答案】1【解析】【分析】利用对数的运算规则可得计算结果.【详解】因为，故填.【点睛】对数有如下的运算规则：（1），；（2）；（3）；（4） .10.【答案】【解析】【分析】在数轴上画出两个集合对应的范围，利用可得实数的取值范围.【详解】如图，在数轴表示，因为，故，填.【点睛】含参数的集合之间的包含关系，应借助于数轴、韦恩图等几何工具直观地讨论参数的取值范围，解决此类问题时，还应注意区间端点处的值是否可取.11.【答案】【解析】【分析】解不等式可得函数的定义域.【详解】由题设有即，因，故，故函数的定义域为，填.【点睛】函数的定义域一般从以下几个方面考虑：（1）分式的分母不为零；（2）偶次根号（，为偶数）中，；（3）零的零次方没有意义；（4）对数的真数大于零，底数大于零且不为1.12.【答案】 (1). －1 (2). 0或2【解析】【分析】根据自变量的范围选择合适的解析式计算函数值即可，分段讨论可得何时.【详解】，故，因为，故或者，解得或 .综上，填，或.【点睛】分段函数的求值问题，应该自变量的范围选择适当的解析式去求函数值，如果知道分段函数的函数值，则应分类讨论求出不同范围上的自变量的值，也可以先刻画出分段函数的函数图像，结合图像求函数值或相应的自变量的值.13.【答案】【解析】【分析】根据函数在不单调可得且，从而得到实数的取值范围.【详解】若，则，在为减函数，不符题意，舎；若，则为二次函数，对称轴为，因为在不单调，故，所以，填.【点睛】含参数的多项式函数，我们要首先确定最高次项的系数是否为零，因为它确定了函数种类（一次函数、二次函数、三次函数等）.其中，一次函数的单调性取决于的正负，二次函数的单调性取决对称轴的位置及开口方向.14.【答案】③【解析】【分析】根据滚动的过程在坐标平面中画出的运动的轨迹后可得正确的选项．【详解】运动的轨迹如图所示：则映射是一个函数且为偶函数，的值域为，也是一个周期函数，周期为，其增区间为和，，故选③．【点睛】几何图形在坐标轴上的滚动问题，应在坐标系中根据滚动的过程刻画出动点的轨迹，再从轨迹中找出对应函数的性质（如值域、单调性、奇偶性、周期性等）．此类问题忌凭空想象．三、解答题（本大题共3小题，共30分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）15.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）求出不等式的解后可得．（2）因为，故对任意的恒成立，参变分离后可得实数的取值范围．【详解】（1）由得，故，所以．（2）由题知，当时，恒成立，即：当时，恒成立．在区间上的值域为，所以，即实数m的取值范围是．【点睛】集合的交并补运算往往和一元二次不等式结合在一起，解一元二次不等式时注意二次项系数的符号．另外，集合之间的关系往往蕴含着不等式恒成立或有解问题，此类问题可直接讨论对应的二次函数的图像性质或参变分离求参数的取值范围．16.【答案】(1) , (2) 增【解析】【分析】（1）因为奇函数的定义域为，故可由得到的值及其函数解析式，结合指数函数的值域可得的值域．（2）利用单调性定义可证明为上的增函数．【详解】（1）由题知，，即：，故，．此时，为奇函数．因为，所以，，．（2）在上是增函数．证明：设，，则，，因为，，故，所以函数在上是增函数．【点睛】对于含参数的奇函数或偶函数，可利用特殊值求参数的值（注意检验），也可以利用恒等式或来求参数的值．而对于函数单调性的证明，定义法是关键，其基本步骤是作差、定号和给出结论（也可以作商，此时商应与1比较大小且要注意函数值的符号）．17.【答案】(1) (2)50000【解析】【分析】（1）依据参加培训的员工人数分段计算培训总费用．（2）依据（1）求出函数的最大值即可．【详解】（1）当时，；当时，，故（2）当时，元，此时x＝30；当时，元，此时．综上所述，公司此次培训的总费用最多需要元．【点睛】本题考察函数的应用，要求依据实际问题构建分段函数的数学模型并依据数学模型求实际问题的最大值，注意建模时理顺各数据间的关系．Ⅱ卷（共7道题，满分50分）一、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，可能有一项或几项是符合题目要求的，请将所有正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）18.【答案】①②【解析】【分析】函数为上的增函数，结合，可知①、②正确，因，故的符号为两正一负或全负，从而③、④错误．【详解】因为，均为上的单调增函数，故为上的增函数．因为，，由零点存在定理可知有且只有一个零点且零点在内，故①、②正确．因，故的符号为两正一负或全负，而，故或者，若，则零点在内；若，则零点在内．故③、④错误．综上，填①②．【点睛】本题考察函数的零点．一般地，函数零点问题须结合函数的单调性和零点存在定理来讨论，其中函数单调性的判断可依据增函数的和为增函数，减函数的和为减函数，增函数与减函数的差为增函数或同增异减（针对复合函数）等原则来判断，零点所在区间的端点应该根据函数解析式的特点来选取．19.【答案】①②④【解析】【分析】函数的定义域为，故，所以为奇函数，故①④正确，又，故可判断②正确，③错误．【详解】由题设有，故或，故函数的定义域为，故①正确．当，，此时，为上的奇函数，故其图像关于原点对称，故④正确．又，当时，；当时，，故的值域为，故②正确．由可得不是定义域上增函数，故③错．综上，选①②④．【点睛】对函数的性质的研究，一般步骤是先研究函数的定义域，接下来看能否根据定义域简化函数解析式，使得我们容易判断函数的奇偶性和周期性，因为一旦明确函数的奇偶性或周期性，我们就可以在更小的范围上便捷地研究函数的其他性质，最后通过研究函数的单调性得到函数的值域．20.【答案】②③【解析】【分析】根据图像，底数须满足，逐个检验可得正确的结果．．【详解】由图像可知且，因为，故①错．，故②正确．，故③正确．，故④错误．综上，选②③．【点睛】本题为图像题，要求能从两个函数的图像的位置关系中得到参数满足的条件，并能利用指数、对数知识进行数的大小比较．不同类型的数值大小比较应找合适的中间数进行不等关系的传递．二、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）21.【答案】【解析】【分析】因为是分段函数且为增函数，故，故可得实数的取值范围．【详解】因为为上的增函数，故，所以，填．【点睛】如果一个分段函数在为增函数（或减函数），那么该函数除了在每个分段上都是增函数（或减函数），分段处的端点处的函数值也应有相应的大小关系，后者在解题中容易忽视．22.非空有限数集满足：若，则必有．请写出一个．．满足条件的二元数集S＝________．【答案】{0,1}或{－1,1}，【解析】【分析】因中有两个元素，故可利用中的元素对乘法封闭求出这两个元素．【详解】设，根据题意有，所以必有两个相等元素．若，则，故，又或，所以（舎）或或，此时．若，则，此时，故，此时．若，则，此时，故，此时．综上，或，填或．【点睛】集合中元素除了确定性、互异性、无序性外，还有若干运算的封闭性，比如整数集，对加法、减法和乘法运算封闭，但对除法运算不封闭（两个整数的商不一定是整数），又如有理数集，对加法、减法、乘法和除法运算封闭，但对开方运算不封闭．一般地，若知道集合对某种运算封闭，我们可利用该运算探究集合中的若干元素．23.【答案】只需满足或即可．【解析】【分析】的反函数为，故问题可以转化为与恰有一个公共点即可．【详解】的反函数为，故与的图像恰有一个公共点，当时，直线满足要求，当时，若与的图像恰有一个公共点，则（因为题设要求写出一个符合条件的实数，故可填一个负数即可，符合，待同学们学习了导数的相关知识后可求）【点睛】函数及其反函数的图像关于直线对称，因此与直线对称相关的函数问题可从反函数的角度去分析，一般地，函数的定义域就是反函数的值域，函数的值域就是反函数的定义域，而且单调函数必有反函数．三、解答题（本大题共1小题，满分14分．解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）24.【答案】(1) ①不是②是，详见详解；（2）；（3），．【解析】【分析】（1）依据定义检验是否有可判断两个函数是否为“”函数．（2）由可得值从而求得函数．（3）分别令和从而得到，利用为“”可得，从而得到，由可得．【详解】（1）①不是，因为图象不过点；②是，因为图象恒过和两点．（2）由得，，故；由得，，故．所以，．（3）令得，，令得，，所以，．由②知，，故，从而，，由②又知，，于是，故．【点睛】本题为关于函数的新定义问题，此类问题一般是依据定义验证具体函数是否满足或给出新定义函数，求参数的值或范围．对于给出运算规则的抽象函数，我们可以通过赋值法求出一些特殊点的函数值或者函数的解析式，赋何值需根据运算规则和我们求解的目标而定．。
北京市高一上学期数学期中考试试卷含答案(共5套)
北京师大附中2018-2019学年上学期高中一年级期中考试数学试卷说明：本试卷共150分，考试时间120分钟。
一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知集合}2,1,0{},01|{2=≤-=B x x A ，则A ∩B ＝ A. {0}B. {0，1}C. {1，2}D. {0，1，2}2. 已知d c b a >>>,0，下列不等式中必成立的一个是（ ） A.dbc a > B. bc ad <C. d b c a +>+D. d b c a ->-3. “1-=a ”是“函数12)(2-+=x ax x f 只有一个零点”的（ ） A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件 4. 在下列区间中，函数x xx f 2log 6)(-=的零点所在的区间为（ ） A. )1,21(B. （1，2）C. （3，4）D. （4，5）5. 已知函数xx x f ⎪⎭⎫⎝⎛-=313)(，则)(x f （ ）A. 是奇函数，且在R 上是增函数B. 是偶函数，且在R 上是增函数C. 是奇函数，且在R 上是减函数D. 是偶函数，且在R 上是减函数 6. 已知313232,31⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=b a ，3232⎪⎭⎫ ⎝⎛=c ，则 A. b c a << B. c b a <<C. a c b <<D. c a b <<7. 若函数⎩⎨⎧>≤--=-7,7,3)3()(6x ax x a x f x 在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A. )3,49(B. )3,49[C. （1，3）D. （2，3）8. 函数||ln 1)(x xx f +=的图象大致为9. 已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区问[0，＋∞）上单调递增，若实数a 满足)1(2log )(log 212f a f a f ≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+，则a 的取值范围是 A. ]2,1[B. ]21,0(C. ]2,21[D. ]2,0(10. 设D 是函数)(x f y =定义域内的一个区间，若存在D x ∈0，使00)(kx x f =)0(≠k ，则称0x 是)(x f y =在区间D 上的一个“k 阶不动点”，若函数25)(2+-+=a x ax x f 在区间]4,1[上存在“3阶不动点”，则实数a 的取值范围是A. ]21,(-∞ B. )21,0(C. ),21[+∞D. ]0,(-∞二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分。
2018-2019学年北京市中国人民大学附属中学高一上学期期中考试数学试题(解析版)
2018-2019学年北京市中国人民大学附属中学高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知命题：“”，则是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：全称命题的否定是特称命题，所以命题是，故选D. 【考点】命题的否定.2．已知集合，集合，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】可求出集合B，然后进行交集的运算即可．【详解】，；．故选：D．【点睛】本题考查交集的运算，描述法、列举法的定义，绝对值不等式的解法是基础题3．下列图形是函数图象的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据函数的定义以及函数与图象之间的关系进行判断即可．【详解】A当时，的对应值有两个，不满足函数对应的唯一性，不是函数B．满足函数的定义，则图象是函数图象C．当时，的对应值有两个，不满足函数对应的唯一性，不是函数D．当时，的对应值有两个，不满足函数对应的唯一性，不是函数故满足条件的图象是B，故选：B．【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数的定义是解决本题的关键．比较基础．4．函数的定义域为，则函数定义域为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据的定义域即可得出需满足：，从而得出的定义域．【详解】的定义域为；满足；；的定义域为．故选：B．【点睛】本题考查函数定义域的概念及求法，已知的定义域求定义域的方法，是基础题5．“”是“”（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】利用指数函数的单调性，结合充要条件推出结果即可．【详解】指数函数，是增函数，所以“”“”，“”“”，可得“”是“”的充要条件．故选：C．【点睛】本题考查充要条件以及指数函数的单调性的应用，是基础题．6．已知集合，集合，若，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】集合代表不等式的解集，可求，再根据得到关于的不等式，即可得到的范围．【详解】因为集合，所以，又因为，故．故选：B．【点睛】本题考查集合的基本关系，解题时，要注意端点的取舍，本题属基础题．7．已知函数，函数在下列区间一定存在零点（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由已知函数解析式分别求得，，，，的值，再由函数零点的判定得答案．【详解】，，，，，，，由函数零点判定定理可知，在上一定存在零点．故选：A．【点睛】本题考查函数零点的判定，考查函数值的求法，熟记零点存在基本定理是关键，是基础题．8．年至年北京市电影放映场次（单位：万次）的情况如图所示，将年份作为自变量，当年电影放映场次作为函数值，下列函数模型中，最不适合近似描述这年间电影放映场次逐年变化规律的函数是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据函数在第一象限内是增函数进行判断．【详解】由图象可知在第一象限内，是关于的增函数，A、B、C均合题意当时，在第一象限内是减函数，当时，在第一象限内没有图象，故不适合．故选：D．【点睛】本题考查函数模型的应用及函数的单调性判断，熟记基本初等函数的基本性质是关键，属于中档题．二、填空题9．比较大小：__________.【答案】【解析】根据指数函数的单调性即可比较出与的大小．【详解】是上的减函数；．故答案为：．【点睛】本题考查指数函数的单调性，根据函数单调性比较大小的方法，是基础题10．函数的值域为____________．【答案】【解析】利用指数函数的性质求解【详解】由指数函数的性质可知，，所以，故函数的值域为．故答案为：．【点睛】本题考查指数型函数的值域求法，熟记函数基本性质是关键，考查计算能力，属于基础题．11．函数的定义域为_______________．【答案】或【解析】可看出，要使得函数有意义，则需满足，解出的范围即可．【详解】要使有意义，则：；，或；的定义域为，或．故答案为：或．【点睛】本题考查函数定义域的概念及求法，分式不等式的解法，考查计算能力，是基础题12．已知，（1）____________；（2）若函数有两个零点，则实数的取值范围为____________．【答案】【解析】（1）直接由分段函数解析式求解的值（2）画出函数的图象，数形结合得答案．（1）由已知可得，；（2）作出函数的图象如图，由图可知，要使函数有两个零点，则实数的取值范围为．故答案为：（1）；（2）．【点睛】本题考查分段函数的应用，考查函数值的求法，考查函数零点的判定，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．13．已知，则____________；的解析式为____________．【答案】【解析】，由此利用，能求出；设，则，从而，由此能求出的解析式．【详解】，，设，则，，的解析式为．故答案为：，．【点睛】本题考查函数值、函数解析式的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，14．对于函数，下列说法正确的是____________．①函数的定义域为；②函数为奇函数；③函数的值域为；④函数在定义域上为增函数；⑤对于，均有．【答案】①②④⑤【解析】①函数的分母恒成立，定义域为；②根据奇偶性的定义判断为定义域上的奇函数；③根据指数函数的图象与性质，求出函数的值域即可；④根据指数函数的性质，判断在定义域上为增函数；⑤根据为上的增函数，判断．【详解】对于①，函数，分母，定义域为，①正确；对于②，任意，有，函数为定义域上的奇函数，②正确；对于③，函数，，，，，的值域为，③错误；对于④，是增函数，是减函数，是增函数，函数在定义域上为增函数，④正确；对于⑤，对于，都有，且为上的增函数，所以，⑤正确．综上所述，正确的命题序号是①②④⑤．故答案为：①②④⑤．【点睛】本题主要考查了函数的定义与性质的应用问题，也考查了指数函数的性质与应用问题，是中档题．三、解答题15．（1）已知，求的值．（2）求值：．【答案】（1）6（2）1【解析】（1）将平方求解即可；（2）由对数运算性质求解即可【详解】（1），．（2）原式．【点睛】本题考查指数运算，对数运算，熟记运算法则及性质是关键，是基础题16．判别并证明函数的奇偶性．【答案】【解析】由奇函数定义判断即可【详解】是奇函数，证明如下：的定义域为，且；；是奇函数．【点睛】本题考查奇函数的定义及判断，熟记定义，及判断方法是关键，是基础题17．已知命题：方程有实根：命题：方程有两个不相等的实根，若“且”为真，求实数的取值范围．【答案】【解析】先求解p,q命题为真命题时m的范围，再利用命题真假求解即可【详解】方程有实根，则判别式，得或，方程有两个不相等的实根，则满足，得，即或，若“且”为真，则，同时为真命题，则得，即实数的取值范围是．【点睛】本题考查命题真假，二次方程根的情况，解决p,q命题为真命题时m的范围是关键，考查计算能力，是中档题18．已知函数是定义域为的奇函数，在上是减函数，且．（1）求与的值；（2）判别并证明函数在上的单调性；（3）若，求实数的取值范围．【答案】（1）0，0（2）在上是减函数（3）或【解析】（1）直接代入求值即可；（2）利用定义判断即可；（3）由奇函数与单调性转化求解即可【详解】（1）是上的奇函数；，且；；（2）在上是减函数，证明如下：设，则：；在上是减函数；；；；在上是减函数；（3）①，即时，满足；②，即时，由得：；；；；③，即时，由得：；；；综上得，实数的取值范围为或．【点睛】本题考查函数单调性判断，利用奇偶性解不等式，熟记基本性质是关键，考查计算能力，是中档题19．已知函数．（1）当时，求函数的零点；（2）若有两个零点，求实数的取值范围．【答案】（1）1（2）【解析】（1）m=0代入解析式直接求解即可；（2）转化为方程在上有两解，利用二次函数根的分布求解即可【详解】（1）时，，令可得，即．的零点是．（2）令，显然，则．有两个零点，且为单调函数，方程在上有两解，，解得：．的取值范围是．【点睛】本题考查函数零点，二次函数零点问题，熟记二次函数的性质是关键，是中档题20．已知函数，表示函数的次迭代函数，，．（1）若，求，，，；（2）若存在正整数，使得对于任意的正整数，均有成立，则称函数是次迭代周期函数，正整数为函数的选代周期．①若，求的选代周期；②若，判别是否为选代周期函数．若是，求出选代周期：若不是，请说明理由．【答案】（1），，，（2）①3；②不是【解析】（1）利用先求，，即可得（2）①由成立，计算求解即可的选代周期②反正法证明即可【详解】（1），，则，，，……于是．（2）①，，则，，，故的选代周期为，②，，则．第 11 页共 12 页，……，若为次迭代周期函数，则，，与矛盾．不是迭代周期函数．【点睛】本题考查函数的综合应用，注意新定义的理解运用，考查推理计算能力，是难题第 12 页共 12 页。
2018-2019年【人大附中】高一上学期必修1模块试题(含期中加试)
14. 如图放置的边长为 2 的正三角形 ABC 沿 x 轴滚动，记滚动过程中顶点 A 的横、纵坐标 分别为 x 和 y ，且 y 是 x 在映射 f 作用下的象，则下列说法中： ① 映射 f 的值域是 [0, 3] ； ② 映射 f 不是一个函数； ③ 映射 f 是函数，且是偶函数； ④ 映射 f 是函数，且单增区间为 [6k ,6k + 3](k ∈ Z) ， 其中正确说法的序号是___________. 说明：“正三角形 ABC 沿 x 轴滚动”包括沿 x 轴正方向和沿 x 轴负方向滚动．沿 x 轴正 方向滚动指的是先以顶点 B 为中心顺时针旋转，当顶点 C 落在 x 轴上时，再以顶点 C 为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正三角形 ABC 可以沿 x 轴负方向滚动． 三、解答题（本大题共 3 小题，共 30 分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案 写在答题纸上的相应位置． ） 15.（本小题满分 10 分） 已知集合 A = {x x 2 − x < 0} ， B = {x x 2 − 2 x − m < 0} . （Ⅰ）求 R A ； （Ⅱ）若 A B = ∅ ，求实数 m 的取值范围．
高一数学 期中&必修 1 试题 第 3 页 共 5 页
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Ⅱ卷 （共 7 道题，满分 50 分）
一、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中， 可能有一项或几项是符合题目要求的， 请将所有正确答案填涂在答题纸上的相应位置 18. 已知函数 f ( x) = x 2 − log 1 x ，若 0＜ a ＜ b ＜ c ，且满足 f (a ) f (b) f (c) < 0 ，则下列说
北京市首都师范大学附属中学2018-2019高一上学期期中考试数学试题
首都师范大学附属中学2018-2019高一上数学期中一、选择题（本大题共8小题，共32.0分）1.已知集合071235432{|}{{1}}U x Z x A B =∈≤==＜，，，，，，，，，则UA B ⋂=（ ）A.∅B.{}1,2,3C. {}1,2,3,4,5D.{} 0,1,2,3,6 2.下列函数中，与y x =相同的函数是（ ）A. 2y x =B.lg10xy = C. 2x y x= D.()211y x =-+3.函数327x f x x =+-（）的零点所在区间为（ ）A.()1,0-B.()0,1C.()1,2D.()2,34.已知132210.322a b c log -===（），，，则a ，b ，c 的大小关系（ ）A.a b c >>B.a c b >>C.c b a >>D.b a c >> 5.下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在0-∞（，）上单调递增的函数是（ ） A. 2()f x x = B.(||)()2x f x = C. ()21log f x x= D.()f x x x = 6.函数(]()()()1,0()32110,xf x a x a x ⎧⎛⎫∈-∞⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-+-∈+∞⎩在-∞+∞（，）上是减函数，则a 的取值范围是（ ） A. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 10,,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C.1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D.1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭7.已知奇函数f x （）在0-∞（，）上单调递减，且30f =（），则不等式10x f x -（）（）＞的解集为（ ） A.()3,1-- B.()()3,12,--⋃+∞ C. ()()3,03,-⋃+∞ D.()()1,01,3-⋃8.已知函数322x f x a x a x a g x =-++=-（）（）（），（）若对任意x R ∈，总有0f x （）＜或()0g x <成立，则实数a 的取值范围是（ ）A.(),4-∞-B.[)4,0- C.()4,0- D.()4,-+∞ 二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）9.给定映射22f a b a b a b →+-：（，）（，），则在映射f 下，31（，）的原象是______． 10.计算()22()113()48122127100lg log lg ⎛⎫-++- ⎪⎝⎭的值为______．11.已知函数2f x x b =+（）在区间12-（，）上的函数值恒为正，则b 的取值范围为______． 12.函数1224y log x x =-+（）的单调递减区间为______． 13.已知三个函数222xf x xg x xh x log x x =+=-=+（），（），（）的零点依次为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系是______． 14.某同学为研究函数22()11(1)(01)f x x x x ≤++-≤=+的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD 和BEFC ，点P 是边BC 上的一个动点，设CP x =，则AP PF f x +=（）．请你参考这些信息，推知函数f （x ）的图象的对称轴是______；函数49g x f x =-（）（）的零点的个数是______．三、解答题（本大题共4小题，共44.0分）15.己知集合{}|3A x a x a =≤≤+,24{|}120B x x x =--＞ 1.若A B ⋂=∅，求实数a 的取值范围； 2.若A B B ⋂=，求实数a 的取值范围．16.已知函数121201a a f x log x log x a a =+--≠（）（）（）（＞，） 1.求f x （）的定义域；2.判断f x （）的奇偶性并给予证明；3.求关于x 的不等式0f x （）＞的解集．17.定义在[44]-，上的奇函数f x （），已知当4[]0x ∈-，时，1()43x xaf x a R =+∈（）． 1.求f x （）在[0]4，上的解析式； 2.若2[]1x ∈--，时，不等式1123x x m f x -≤-（）恒成立，求实数m 的取值范围． 18.对于函数f x （），若存在实数，使得00f x x =（）成立，则x 0称为f （x ）的“不动点”． 1.设函数322x f x x +=+（），求f x （）的不动点；2.设函数2120f x ax b x b a =+++-≠（）（）（），若对于任意的实数b ，函数f （x ）恒有两相异的不动点，求实数a 的取值范围；3.设函数f x （）定义在-∞+∞（，）上，证明：若f f x （（））存在唯一的不动点，则f x （）也存在唯一的不动点．答案和解析1.【答案】A 【解析】 解：07012345{|}654321{}{}U U x Z x B ==∈≤==＜，，，，，，，，，，，，{0}6U B ∴=，123{}U A A B =∴⋂=∅，，，，故选：A ．利用补集的定义求出集合B 的补集，利用交集的定义求出UA B ⋂本题考查利用集合的交集、补集、并集的定义进行集合间的运算． 2.【答案】B 【解析】 解：对于A ，2y x x x R ==∈（），与函数y x =的对应法则不同，不是同一函数； 对于B ，10x y lg x x R ==∈（），与函数y=x 的定义域相同，对应法则也相同，是同一函数；对于C ，20x y x x x==≠（），与函数y x =的定义域不同，不是同一函数； 对于D ，()2111y x x x =-+=≥（），与函数y x =的定义域不同，不是同一函数． 故选：B ．根据两个函数的定义域相同，对应法则也相同，即可判断它们是同一函数． 本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题． 3.【答案】C 【解析】解：易知函数327x f x x =+-（）在定义域上是连续增函数，132710f =+-=-（）＜， 294760f =+-=（）＞ 120f f （）（）＜由零点判定定理，可知函数327x f x x =+-（） 的零点所在的区间为12（，） 故选：C ．由题意易知函数327x f x x =+-（）在定义域上是连续增函数，再由函数零点的判定定理求解． 本题考查了函数的零点的判断，属于基础题． 4.【答案】D 【解析】解：13221010.31202a b c log -=∈==（）（，），＞，＜则a b c ，，的大小关系是：b a c ＞＞． 故选：D ．利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 5.【答案】C 【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，2y x =，为二次函数，其对称轴为y 轴，在其定义域内既是偶函数但在0-∞（，）上单调递减，不符合题意；对于B ，||2,022,x 0xx x x y -⎧≥⎪==⎨<⎪⎩，在其定义域内既是偶函数但在0-∞（，）上单调递减，不符合题意； 对于C ，()2222log ,0log ,01x x f x log f x lo x x x g x ->⎧⎪===-=⎨-<⎪⎩（）（），在其定义域内既是偶函数又在0-∞（，）上单调递增，符合题意；对于D ，22,0,0x x y x x x x ⎧≥⎪==⎨-<⎪⎩，为奇函数，不符合题意；故选：C ．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题． 6.【答案】B 【解析】解：依题意，0210113a a-<⎧⎪⎨⎛⎫≥- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得102a ≤＜，故选：B ．由题意，此分段函数是一个减函数，故一次函数系数为负，且在分段点处，函数值应是右侧小于等于左侧，由此得相关不等式，即可求解本题考查函数单调性的性质，熟知一些基本函数的单调性是正确解对本题的关键，本题中有一易错点，忘记验证分段点出函数值的大小验证，做题时要注意考虑完全． 7.【答案】D 【解析】解：根据题意，f x （）为奇函数且30f =（），则30f -=（）， 又由f x （）在0-∞（，）上单调递减，则在3-∞-（，）上，0f x （）＞，在30-（，）上，0f x （）＜, 又由f x （）为奇函数，则在03（，）上，0f x （）＞，在3+∞（，）上，0f x （）＜，则0f x （）＜的解集为3030f x -⋃+∞（，）（，），（）＞的解集为303-∞-⋃（，）（，）； ()()10101000x x x f x f x f x ->-<⎧⎧⎪⎪-⇒⎨⎨><⎪⎪⎩⎩（）（）＞或，分析可得：10x -＜＜或13x ＜＜， 故不等式的解集为1013-⋃（，）（，）； 故选：D ．根据题意，由奇函数的性质可得30f -=（），结合函数的单调性分析可得0f x （）＞与0f x （）＜的解集，又由()10100x x f x f x ->⎧⎪-⇒⎨>⎪⎩（）（）＞或()100x f x -<⎧⎪⎨<⎪⎩，分析可得x 的取值范围，即可得答案．本题函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析0f x （）＞与0f x （）＜的解集，属于基础题． 8.【答案】C 【解析】解：由220x g x =-（）＜，得1x ＜，故对1x ≥时，0g x （）＜不成立， 从而对任意10x f x ≥，（）＜恒成立， 由于30a x a x a -++（）（）＜对任意1x ≥恒成立，如图所示，则必满足0131a a a <⎧⎪<⎨⎪--<⎩， 解得40a -＜＜．则实数a 的取值范围是40-（，）． 故选：C ．由题意可知1x ＜时，0g x （）＜成立，进而得到210a x a x a +-+（）（）＜对1x ≥均成立，得到a 满足的条件0131a a a <⎧⎪<⎨⎪--<⎩，求解不等式组可得答案．本题考查了函数的值，考查了不等式的解法，体现了恒成立思想的应用，属于中档题． 9.【答案】（1，1） 【解析】解：由题意，2321a b a b +=⎧⎨-=⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩．∴在映射f 下，31（，）的原象是11（，）． 故答案为：11（，）． 由题意可得2321a b a b +=⎧⎨-=⎩，求解方程组得答案．本题考查映射的概念，是基础的计算题． 10.【答案】4336- 【解析】 解：原式=1443214936--+=-． 故答案为：4336-． 进行分数指数幂和对数的运算即可． 考查分数指数幂和对数式的运算．11.【答案】[2+∞，）【解析】 解：2f x x b =+（）为增函数，∴若2f x x b =+（）在区间12-（，）上的函数值恒为正， 则只需要120f b -=-+≥（）即可，即2b ≥，即实数b 的取值范围是[2+∞，）， 故答案为：[2+∞，）结合函数f x （）是增函数，转化为10f -≥（）即可． 本题主要考查函数恒成立问题，利用函数为增函数，转化为最小值大于等于0是解决本题的关键． 12.【答案】02（，） 【解析】解：由240x x -+＞得：04x ∈（，）， 故函数f x （）的定义域是04（，）； 令24t x x =-+，则12y log t =， ∵12y log t =为减函数，24t x x =-+在02（，）上为增函数，在24（，）上为减函数； 故函数1224y log x x =-+（）的单调递减区间为是02（，）． 故答案为：02（，）根据真数大于0，可得函数的定义域；结合复合函数“同增异减”的原则，可确定函数的单调递减区间． 本题考查的知识点是复合函数的单调性，函数的定义域，对数函数的图象和性质，难度中档． 13.【答案】a c b ＜＜ 【解析】 解：由于1111001022f f -=-=-=（）＜，（）＞ 故2x f x x =+（）的零点10a ∈-（，）∵20g =（） ∴g x （）的零点2b =；∵11110110222h h =-+=-<=（），（）＞∴h x （）的零点1,12c ∈（）， 由于函数222xf x xg x xh x log x x =+=-=+（），（），（）均是定义域上的单调增函数， ∴a c b ＜＜． 故答案为：a c b ＜＜．根据函数解析式判断出222xf x xg x xh x log x x =+=-=+（），（），（）都是单调递增函数，运用函数零点定理判断a b c ，，的范围即可得a b c ，，的大小．本题考查了函数的单调性，在求解函数零点的范围问题中的应用，结合函数零点定理判断即可． 14.【答案】12x =；2 【解析】解：由题意可得函数f x AP PF =+（），从运动的观点看，当点P 从C 点向点B 运动的过程中，在运动到BC 的中点之前，PA PF +的值渐渐变小，过了中点之后又渐渐变大，∵当点P 在BC 的中点上时，即C B P 、、三点共线时，即P 在矩形ADFE 的对角线AF 上时，PA PF +取得最小值；当P 在点B 或点C 时，PA PF +取得最大值∴函数f x （）的图象的对称轴是12x =； 490g x f x =-=（）（），即94f x =（）．故函数49g x f x =-（）（）的零点的个数就是94f x =（）的解的个数．而由题意可得94f x =（）的解有2个， 故答案为：12x =；2 从运动的观点看，当点P 从C 点向点B 运动的过程中，在运动到BC 的中点之前，PA+PF 的值渐渐变小，过了中点之后又渐渐变大，可得函数f （x ）的图象的对称轴；函数49g x f x =-（）（）的零点的个数就是94f x =（）的解的个数． 本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，考查化归与转化的数学思想，属于中档题．15.【答案】解：1.∵集合{}|3A x a x a =≤≤+，24120{|}2{|B x x x x x =--=-＞＜或6}x ＞，A B ⋂=∅了，∴236a a >-⎧⎨+<⎩，解得23a -<<∴实数a 的取值范围是23-（，） 2.A B B A B ⋂=∴⊆，32a ∴+-＜或6a ＞，解得5a -＜或6a ＞．∴实数a 的取值范围是{5|a a -＜或6}a ＞．【解析】1.求出集合{}3{2||A x a x a B x x =≤≤+=-，＜或6}x ＞，由A B ⋂=∅，列出不等式组，能求出实数a 的取值范围．2.由A B B ⋂=，得到A B ⊆，由此能求出实数a 的取值范围．本题考查实数的取值范围的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16.【答案】解：1.根据题意，函数1212a a f x log x log x=+--（）（）（）， 则有120120x x +>⎧⎨->⎩，解可得1122x -<<，即函数f x （）的值域为11,22⎛⎫-⎪⎝⎭； 2.函数1212a a f x log x log x=+--（）（）（）， 则[12121212]a a a a f x log x log x log x log x f x -=--+=-+--=-（）（）（）（）（）（） 则函数f x （）为奇函数，3.根据题意，12120a a log x log x +--（）（）＞即1212a a log x log x +-（）＞（），当1a ＞时，有1201201212x x x x +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩，解可得102x ＜＜，此时不等式的解集为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；当01a ＜＜时，有1201201212x x x x +>⎧⎪->⎨⎪+<-⎩，解可得102x -<<，此时不等式的解集为102-（，）；故当1a ＞时，不等式的解集为10,2⎛⎫⎪⎝⎭；当01a ＜＜时，不等式的解集为102-（，）．【解析】1.根据题意，由函数的解析式分析可得120120x x +>⎧⎨->⎩，解可得x 的取值范围，即可得答案；2.根据题意，由函数的解析式分析可得f x f x -=-（）（），结合函数的奇偶性的定义分析可得结论；3.根据题意，分1a ＞与01a ＜＜两种情况讨论，求出不等式的解集，综合即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的判定以及性质，注意分析函数的定义域，属于基础题17.【答案】解：1.f x （）是定义在[44]-，上的奇函数，010f a ∴=+=（）1a ∴=-()1143x x f x =-设]4[0x ∈，40[]x ∴-∈-，，()()113443x x x x f x f x --⎡⎤∴=--=--=-⎢⎥⎣⎦[]0,4x ∴∈时，34x x f x =-（）2.2]1[x ∈--，，()1123x x m f x -≤- 即11114323x x x x m--≤- 即12432x x x m +≤，2[]1x ∈--，时恒成立，20x ＞()12223x xg x m ⎛⎫⎛⎫=+⋅≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()12223x xg x ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在R 上单调递减，∴x ∈[-2，-1]时，()12223x xg x ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为221217(2)()2()232g ---=+⋅= ∴172m ≥【解析】1.根据奇函数的性质即可求出a ，设04[][]40x x ∈-∈-，，，，易求f x -（），根据奇函数性质可得f x （）与f x -（）的关系；2.分离参数，构造函数，求出函数的最值问题得以解决．本题考查函数的奇偶性及其应用，不等式恒成立的问题，考查学生解决问题的能力，属于中档题．18.【答案】解：1.由函数322x f x x x +==+（），得220x x --=解得1x =-或2x =，∴f x （）的不动点为-1和2．2.由f x x =（）得：220ax bx b ++-=由已知，此方程有相异二实根，0x ∆＞恒成立，即2420b a b --（）＞即2480b ab a -+＞对任意b R ∈恒成立．201632002b a a a ∴∆∴-∴＜．＜，＜＜∴实数a 的取值范围是02（，） 证明：3.证法一：设函数f x （）定义在-∞+∞（，）上，f f x （（））存在唯一的不动点， 首先若0x 为f f x （（））不动点，则00f x x =（）否则设010f x x x ≠（），则1x 也为f f x （（））不动点，即f f x （（））不动点不唯一，与已知f f x （（））存在唯一的不动点矛盾．∴f x （）有不动点0x 时，f x （）的不动点也是f f x （（））的不动点，∴若f f x （（））存在唯一的不动点，则f x （）也存在唯一的不动点．证法二：设a 是f f x （（））的唯一不动点，f f a a =（（））．设f a b =（），则f b f f a a f f b f a b ====（）（（）），（（））（）∴b 也是f f x （（））的不动点．由唯一性，得到b a =，∴f a a =（），从而a 是f x （）的不动点．如果f 有其它的不动点c ，则c 也是f f x （（））的不动点，由唯一性得c a =，∴a 是f x （）的唯一不动点．故若f f x （（））存在唯一的不动点，则f （x ）也存在唯一的不动点．【解析】1.设x 为不动点，则有322x f x x x +==+（），得220x x --=，解方程即可．2.证法一：设0x 为f f x （（））不动点，则00f x x =（），否则设010f x x x ≠（），则1x 也为f f x （（））不动点，与已知f f x （（））存在唯一的不动点矛盾．由此能证明若f f x （（））存在唯一的不动点，则f x （）也存在唯一的不动点．证法二：设a 是f f x （（））的唯一不动点，f f a a =（（））．设f a b =（），则f b f f a a f f b f a b ====（）（（）），（（））（），由唯一性，得到b a =，从而a 是f x （）的不动点．如果f 有其它的不动点c ，则c 也是f f x （（））的不动点，由唯一性得c a =，由此能证明若f f x （（））存在唯一的不动点，则f x （）也存在唯一的不动点．本题考查函数的不动点的求法，考查实数的取值范围的求法，考查函数存在唯一不动点的证明，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．。
北京附中高一年级2018~2019学年度第一学期期中数学考核试卷
北京附中高一年级2018~2019学年度第一学期期中数学考核试卷2018年11月7 日说明：本试卷分Ⅰ卷和Ⅱ卷，Ⅰ卷17道题，共100分，作为模块成绩；Ⅱ卷7道题，共50分；Ⅰ卷、Ⅱ卷共24题，合计150分，作为期中成绩；考试时间120分钟；请在答题卡上填写个人信息，并将条形码贴在答题卡的相应位置上．Ⅰ卷 （共17题，满分100分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1. 设集合A ＝{a ,2a ,0}，B ＝{2,4}，若A ∩B ＝{2}，则实数a 的值为（D ）A ．2B ．±2 CD2.计算2log A ） A. 43 B. 34 C. －43 D. －343. 下列函数中，是偶函数的是（D ）A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝lg xC ．f (x )＝x x e e --D ．f (x )＝|x |4. 函数()4x f x e x =+-的零点所在的区间是（B ）A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)5.已知(1)f x +()f x 的大致图象是（A ）A. B. C. D.6. 设a ＝2log 5，b ＝3log 5，c ＝3log 2，则a ，b ，c 的大小关系为（B ）A ．a ＞c ＞bB ．a ＞b ＞cC ．b ＞a ＞cD ．c ＞a ＞b7. 已知[1,2]x ∈，20x ax ->恒成立，则实数a 的取值范围是（D ）A. [1,)+∞B. (1,)+∞C. (,1]-∞D. (,1)-∞8. 设函数()1[]f x x x =+-，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，若函数log a y x =的图象与函数()f x 的图象恰有3个交点，则实数a 的取值范围是（D ）A. [2,3)B. (2,3]C. (3,4]D. [3,4)二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）9. 计算：ln1e ＝________. 110. 已知集合{1}A x x =>，{}B x x a =>，若⊆A B ，则实数a 的取值范围是 .(,1]-∞11.函数()log ()x a f x a a =-(01)a <<的定义域为__________.(1,)+∞ 12. 已知()f x ＝21,11,1x x x x ⎧-⎨-+>⎩≤，则[(1)]f f -＝_________；若()1f x =-，则x =________．－1；0或213. 已知函数2()22f x ax x =--在区间[1,)+∞上不．单调，则实数a 的取值范围是________. (0,1)14. 如图放置的边长为2的正三角形ABC 沿x 轴滚动，记滚动过程中顶点A 的横、纵坐标分别为x 和y ，且y 是x 在映射f作用下的象，则下列说法中： ① 映射f 的值域是；② 映射f 不是一个函数；③ 映射f 是函数，且是偶函数；④ 映射f 是函数，且单增区间为[6,63]()k k k +∈Z ，其中正确说法的序号是___________.③说明：“正三角形ABC 沿x 轴滚动”包括沿x 轴正方向和沿x 轴负方向滚动．沿x 轴正方向滚动指的是先以顶点B 为中心顺时针旋转，当顶点C 落在x 轴上时，再以顶点C 为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正三角形ABC 可以沿x 轴负方向滚动．三、解答题（本大题共3小题，共30分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）15.（本小题满分10分） 已知集合2{0}A x x x =-<，2{20}B x x x m =--<.（Ⅰ）求A R ð；（Ⅱ）若A B =∅，求实数m 的取值范围．解：（Ⅰ）由20x x -<得，01x <<，故(0,1)A =， .. 2分所以A R ð=(,0][1,)-∞+∞． .................... 5分（Ⅱ）法1：若B =∅，则2(2)40m -+≤，故1m ≤-； 7分若B ≠∅，则不满足A B =∅． ............... 9分综上所述，实数m 的取值范围是(,1]-∞-． ..... 10分法2：由题知，当x A ∈时，220x x m --≥恒成立，即：当(0,1)x ∈时，22m x x ≤-恒成立． ......... 7分22x x -在区间(0,1)上的值域为(1,0)-， .......... 9分所以1m ≤-，即实数m 的取值范围是(,1]-∞-． ... 10分16. （本小题满分10分）R 上的奇函数． （Ⅰ）求()f x 的解析式及值域；（Ⅱ）判断()f x 在R 上的单调性，并用单调性定义．．．．．予以证明． 解：（Ⅰ）由题知，(0)0f =，即：00212a -=+，故1a = .................... 3分 因为2(0,)x ∈+∞，所以12(1,)x +∈+∞，212x+(0,2)∈， ()(1,1)f x ∈-．............................. 5分 （Ⅱ）()f x 在R 上是增函数． ............... 6分证明：设12,x x ∀∈R ，12x x <，则210x x x ∆=->，21()(y f x f x ∆=- 所以函数()f x 在R 上是增函数． ............. 10分17.（本小题满分10分）某公司共有60位员工，为提高员工的业务技术水平，公司拟聘请专业培训机构进行培训．培训的总费用由两部分组成：一部分是给每位参加员工支付400元的培训材料费；另一部分是给培训机构缴纳的培训费．若参加培训的员工人数不超过30人，则每人收取培训费1000元；若参加培训的员工人数超过30人，则每超过1人，人均培训费减少20元．设公司参加培训的员工人数为x 人，此次培训的总费用为y 元．（Ⅰ）求出y 与x 之间的函数关系式；（Ⅱ）请你预算：公司此次培训的总费用最多需要多少元？解：（Ⅰ）当030,x x ≤≤∈N 时，40010001400y x x x =+=； 2分当3060,x x <≤∈N 时，400[100020(30)]y x x x =+--⋅2202000x x =-+， ............................ 4分故21400,030,202000,3060,x x x y x x x x ≤≤∈⎧=⎨-+<≤∈⎩N N............ 5分 （Ⅱ）当030,x x ≤≤∈N 时，14003042000y ≤⨯=元，此时x ＝30； ........... 7分当3060,x x <≤∈N 时，2205020005050000y ≤-⨯+⨯=元，此时x ＝50． .... 9分综上所述，公司此次培训的总费用最多需要50000元．10分 Ⅱ卷 （共7道题，满分50分）一、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，可能有一项或几项是符合题目要求的，请将所有正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）18. 已知函数121()log f x x x =-，若0＜a ＜b ＜c ，且满足()()()0f a f b f c <，则下列说法一定正确的是（AB ）A ．()f x 有且只一个零点B ．()f x 的零点在(0,1)内C ．()f x 的零点在(,)a b 内D ．()f x 的零点在(,)c +∞内 19.关于函数()f x =的性质描述，正确的是（ABD ）A ．()f x 的定义域为[1,0)(0,1]- B ．()f x 的值域为(1,1)- C ．()f x 在定义域上是增函数 D ．()f x 的图象关于原点对称20. 在同一直角坐标系下，函数x y a =与log a y x =(0a >,1a ≠)的大致图象 如图所示，则实数a 的可能值为（A. 32B. 43C. 75D. 107 二、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）21. 已知函数3, 0()1, 0x a x f x x x ⎧+>=⎨+≤⎩在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是________．[1,)+∞ 22. 非空有限数集S 满足：若,a b S ∈，则必有ab S ∈．请写出一个．．满足条件的二元数集S ＝________．{0,1}或{－1,1}，23. 已知直线y ax =上恰好存在一个点关于直线y =x 的对称点在函数ln y x =的图象上．请写出一个．．符合条件的实数a 的值：________．只需满足0a <或a e =即可． 三、解答题（本大题共1小题，满分14分．解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）24.（本题满分14分）若函数()f x 的图象恒过(0,0)和(1,1)两点，则称函数()f x 为“0-1函数”. （Ⅰ）判断下面两个函数是否是“0-1函数”，并简要说明理由：①1y x -=； ②22y x x =-+.（Ⅱ）若函数()x f x a b =+是“0-1函数”，求()f x ；（Ⅲ）设()log a g x x =(0,1)a a >≠，定义在R 上的函数()h x 满足：① 对∀1x ,2x ∈R ，均有121221(1)()()()2h x x h x h x h x x +=⋅--+；② [()]g h x 是“0-1函数”，求函数()h x 的解析式及实数a 的值．7分解：（Ⅰ）①不是，因为图象不过(0,0)点；②是，因为图象恒过(0,0)和(1,1)两点． ..... 4分（Ⅱ）由(0)0f =得，00a b +=，故1b =-；由(1)1f =得，11a b +=，故2a =．所以，()21x f x =-． ........................ 7分（Ⅲ）令120,x x x ==得，(1)(0)()()2h h h x h x =-+，令12,0x x x ==得，(1)()(0)(0)2h h x h h x =⋅--+，所以，()(0)h x h x =+． ....................... 10分由②知，[(0)]0g h =，又函数()g x 是单调函数，故(0)1h =，从而()1h x x =+，(1)2h =， ........... 13分由②又知，[(1)]1g h =，于是log 21a =，故2a =． .. 14分。
北京市首都师范大学附属中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题(解析版)
首都师范大学附属中学2018-2019高一上数学期中一、选择题（本大题共8小题，共32.0分）1.已知集合，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】通过可以得到全集中的元素，再通过补集和交集运算求出最后答案. 【详解】解：故选：A．【点睛】本题考查利用集合的交集、补集、并集的定义进行集合间的运算．属于简单题.2.下列函数中，与是相同的函数是A. B.C. D.【答案】B【解析】A.与的对应关系和值域不同，不是相同函数，B.，是相同函数，C.与的定义域不同，D.函数的三要素都不相同，不是相同函数，故选 B.3.函数的零点所在区间为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】很明显函数在定义域内单调递增，函数在定义域内为连续函数，且：，利用函数零点存在定理可得：函数的零点所在区间为.本题选择C选项.点睛：三个防范一是严格把握零点存在性定理的条件，；二是连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，而不是必要条件；三是函数f(x)在[a，b]上单调且f(a)f(b)＜0，则f(x)在[a，b]上只有一个零点.4.已知，则a，b，c的大小关系（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用指数函数的单调性与1作比较可以得出a与b的大小关系，通过对数函数的图像性质可以得到，得到最终的结果.【详解】由指数函数和对数函数图像可知：，则的大小关系是：.故选：D．【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．。
2019北京人大附中高一(上)期中数学含答案
2019北京人大附中高一（上）期中数学一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1．（5分）设集合M＝{m∈Z|﹣3＜m＜2}，N＝{n∈Z|﹣1≤n≤3}，则M∩N＝（ ）A．{0，1} B．{﹣1，0，1} C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1，2}2．（5分）下列各组函数是同一函数的是（ ）A．与y＝1 B．与y＝x﹣1C．与y＝x D．与y＝x3．（5分）下列函数中，在区间（0，2）上是增函数的是（ ）A．y＝﹣x+1 B．y＝x2﹣4x+5 C．D．4．（5分）命题“对任意a∈R，都有a2≥0”的否定为（ ）A．对任意a∈R，都有a2＜0 B．对任意a∈R，都有a2＜0C．存在a∈R，使得a2≥0 D．存在a∉R，使得a2＜05．（5分）已知函数f（x）的图象是两条线段（如图所示，不含端点），则f[f（）]＝（ ）A．﹣B．C．﹣D．6．（5分）已知a，b是实数，则“a＞b＞0且c＜d＜0”是“”的（ ）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）如图是王老师锻炼时所走的离家距离（S）与行走时间（t）之间的函数关系图，若用黑点表示王老师家的位置，则王老师行走的路线可能是（ ）．B．C．D．分）方程组的解集用列举法表示为 分）已知函数，则方程分）几位同学在研究函数（，则对任意，若存在，使得分）已知函数．）已知函数，当．．．．数，）若（）若函数，求函数，若函数是2019北京人大附中高一（上）期中数学参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1．【分析】由题意知集合M＝{m∈z|﹣3＜m＜2}，N＝{n∈z|﹣1≤n≤3}，然后根据交集的定义和运算法则进行计算．【解答】解：∵M＝{﹣2，﹣1，0，1}，N＝{﹣1，0，1，2，3}，∴M∩N＝{﹣1，0，1}，故选：B．【点评】此题主要考查集合和交集的定义及其运算法则，是一道比较基础的题．2．【分析】直接利用同一函数的定义的应用求出结果．【解答】解：针对选项A：的定义域为{x|x≠0}，函数y＝1的定义域为x∈R，故错误．对于选项B：和函数y＝x﹣1不相等，故错误．对于选项C：的定义域为{x|x≠0}，函数y＝x的定义域为x∈R，故错误．对于选项D：的定义域为x∈R，函数y＝x的定义域为x∈R，故正确．故选：D．【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，主要考查学生对同一函数的定理的理解和应用，属于基础题．3．【分析】直接利用函数的图象和函数的单调性的应用求出结果．【解答】解：对于选项：A由于y＝﹣x+1在实数范围内为减函数，故错误．对于选项：B由于函数y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，该函数为开口方向向上，对称轴为x＝2的抛物线，故函数的图象在（0，2）上单调递减，故错误．对于选项：C函数的图象为第一象限内的幂函数，由于，所以函数的图象单调递增，故正确．对于选项：D函数的图象为双曲线，所以函数y＝在（0，2）上单调递减，故错误．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，主要考查函数的单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．4．【分析】直接利用全称命题是否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“对任意a∈R，都有a2≥0”的否定为：存在a0∈R，使得a02＜0．故选：B．【点评】本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．5．【分析】先根据函数的图象利用分段函数写出函数的解析式，再根据所求由内向外逐一去掉括号，从而求出函数值．【解答】解：由图象知f（x）＝∴f＝﹣1＝﹣，∴＝＝﹣+1＝．故选：B．【点评】本题主要考查了函数的图象，以及分段函数的解析式和函数单调性的判断，属于基础题．6．【分析】直接利用不等式的性质和简易逻辑中的四个条件的应用求出结果．【解答】解：当c＜d＜0，所以，故，由于a＞b＞0，所以，故．但是，整理得，整理不出a＞b＞0且c＜d＜0．故“a＞b＞0且c＜d＜0”是“”的充分而不必要条件．故选：A．【点评】本题考查的知识要点：不等式的性质的应用，四个条件的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．7．【分析】由题意可得在中间一段时间里，他到家的距离为定值，故他所走的路程是一段以家为圆心的圆弧，结合所给的选项得出结论．【解答】解：根据王老师锻炼时所走的离家距离（S）与行走时间（t）之间的函数关系图，可得在中间一段时间里，他到家的距离为定值，故他所走的路程是一段以家为圆心的圆弧，结合所给的选项，故选：C．【点评】本题主要函数的解析式表示的意义，函数的图象特征，属于中档题．8．【分析】直接利用集合的定义和真子集的关系式的关系式运算的应用求出结果．【解答】解：集合M＝{x∈R|5﹣|2x﹣3|为正整数}，故5﹣|2x﹣3|＞0，整理得|2x﹣3|＜5，即﹣5＜2x﹣3＜5，解得﹣1＜x＜4，由于集合M为正整数，所以M＝{﹣，0，，1，，2，，3，}，故集合M的所有非空真子集的个数是29﹣2＝510．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：集合元素在不等式的解法中的应用，主要考查学生对集合的定义的理解，属于基础题型．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）9．【分析】直接接二元一次方程组求出结果，再转换解集的形式．【解答】解：整理得，解得，转换为列举法为{（3，﹣7）}．故答案为：{（3，﹣7）}．【点评】本题考查的知识要点：二元一次方程组的解法和应用，针对性的考查了学生的运算能力和转换能力，属于基础题．10．【分析】直接利用分段函数的解析式，进一步解一元二次方程求出结果．【解答】解：根据函数的解析式，当x≤0时，x+2＝x2，解得x＝2或﹣1，（正值舍去），故x＝﹣1．当x＞0时，﹣x+2＝x2，解得x＝﹣2或1（负值舍去），故x＝1．所以解集为{﹣1，1}．故答案为：{﹣1，1}．【点评】本题考查的知识要点：分段函数的解析式的应用，一元二次方程的解法的应用，针对性的考查学生对分类讨论思想问题的应用，属于基础题型．11．【分析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和＝+4x，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和＝+4x≥4×2×＝240（万元）．当且仅当x＝30时取等号．故答案为：30．【点评】本题考查了基本不等式的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12．【分析】首先求出函数的对称轴，进一步利用对称轴和区间的关系求出a的范围．【解答】解：根据函数的图象，函数f（x）＝x2+2（a﹣1）x+2的对称轴方程为x＝1﹣a，由于函数在区间（1，4）上不是单调函数，所以1＜1﹣a＜4，解得：﹣3＜a＜0．故答案为：（﹣3，0）．【点评】本题考查的知识要点：二次函数的性质的应用，函数的对称轴和区间的关系的应用，考查学生对函数的图象的理解问题和应用，属于基础题型．13．【分析】①因为|x|＜1+|x|，所以由绝对值不等式得，函数值域（﹣1，1）．②f（x）＝是一个奇函数，当x≥0时，f（x）＝，可得函数f（x）在（0，+∞）上是一个增函数，由奇函数的性质知，函数f（x）＝是一个增函数，进而可得出正确．③理由同上．④由数学归纳法得证．【解答】解：①正确；∵|x|＜1+|x|，∴，故函数值域（﹣1，1）．②正确；f（x）＝是一个奇函数，当x≥0时，f（x）＝，可得函数f（x）在（0，+∞）上是一个增函数，由奇函数的性质知，函数f（x）＝是一个增函数，∴x1≠x2，一定有f（x1）≠f（x2）；③正确；由②可知f（x）在（0，+∞）是增函数．④正确；当n＝1时，f1（x）＝f（x）＝，f2（x）＝，当n＝k时，f k（x）＝成立，当n＝k+1时，f k+1（x）＝成立，由数学归纳法知，此命题正确．故答案为：①②③④．【点评】本题考查函数的性质以及恒成立问题，属于中档题．14．【分析】根据条件求出两个函数的值域，结合若存在，使得f（x1）＝g（x2），等价为两个集合有公共元素，然后根据集合关系进行求解即可．【解答】解：∵函数f（x）＝2x2﹣4x+1＝2（x﹣1）2﹣1；∴当≤x≤2时，当x＝1时，f（x）有最小值﹣1；当x＝2时，f（x）有最大值1；即﹣1≤f（x）≤1，则f（x）的值域为[﹣1，1]；当≤x≤2时，2×+a≤g（x）≤4+a，即1+a≤g（x）≤4+a，则g（x）的值域为[1+a，4+a]，若存在，使得f（x1）＝g（x2），则[1+a，4+a]∩[﹣1，1]≠∅，若[1+a，4+a]∩[﹣1，1]＝∅，则1+a＞1或4+a＜﹣1，得a＞0或a＜﹣5，则当或[1+a，4+a]∩[﹣1，1]≠∅时，﹣5≤a≤0，即实数a的取值范围是[﹣5，0]，故答案为：[﹣5，0]．【点评】本题主要考查函数与方程的应用，根据条件求出两个函数的值域，结合集合元素关系进行求解是解决本题的关键，属于中档题．三、解答题（本大题共3小题，每题10分，共30分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）15．【分析】（1）推导出A＝{x|≤x≤3}．当a＝﹣4时，B＝{x|﹣2＜x＜2}，由此能求出A∩B，A∪B．（2）先求出∁R A，由（∁R A）∩B＝B，得到B⊆∁R A，从而A∩B＝∅，由B＝∅，求出a≥0，由B≠∅，求出﹣≤a＜0，由此能求出a的取值范围．【解答】解：（1）A＝{x|2x2﹣7x+3≤0}＝{x|≤x≤3}．当a＝﹣4时，B＝{x|﹣2＜x＜2}，∴A∩B＝{x|≤x＜2}，A∪B＝{x|﹣2＜x≤3}．（2）∁R A＝{x|x＜或x＞3}．当（∁R A）∩B＝B时，B⊆∁R A，即A∩B＝∅．①当B＝∅，即a≥0时，满足B⊆∁R A；②当B≠∅，即a＜0时，B＝{x|﹣＜x＜}，要使B⊆∁R A，需≤，解得﹣≤a＜0．综上可得，a的取值范围为a≥﹣．【点评】本题考查交集、并集、补集、实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意交集、补集、并集定义的合理运用．16．【分析】（1）﹣1，1为方程x2+2bx+c＝0的两个根，由韦达定理或直接代入可得解；（2）将（x1+1）（x2+1）＝8展开x1x2+x1+x2＝7，将方程x2+2bx+b2+2b+3＝0的韦达定理代入，可得解；（3）利用二次方程的根的分布条件可得解；【解答】解：（1）由题可知：﹣1，1为方程x2+2bx+c＝0的两个根；所以，解之得：b＝0，c＝﹣1；（2）因为c＝b2+2b+3，f（x）＝x2+2bx+c＝0，所以x2+2bx+b2+2b+3＝0因为x1、x2是关于x的方程x2+2bx+b2+2b+3＝0的两根，所以△＝4b2﹣4b2﹣8b﹣12≥0即；所以，因为（x1+1）（x2+1）＝8，所以x1x2+x1+x2＝7，所以﹣2b+b2+2b+3＝7；所以b2＝4，所以b＝2或b＝﹣2，因为，所以b＝﹣2；（3）因为f（1）＝0，所以c＝﹣1﹣2b设g（x）＝f（x）+x+b＝x2+（2b+1）x﹣b﹣1，则有解得，故b的取值范围为；【点评】本题考查三个二次之间的关系，利用韦达定理整体代入的处理方法，考查了二次方程根的分布问题，属于中档题．17．【分析】（1）利用奇偶函数判断方法判断；（2）利用减函数的定义判断即可；（3）根据分段函数写出结论．【解答】解：（1）因为函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），所以x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞）时，﹣x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），函数的定义域关于原点对称，因为，所以f（x）是奇函数．（2）函数f（x）在区间（0，2]上是减函数，证明：任取x1，x2∈（0，2]，且0＜x1＜x2≤2，，因为0＜x1＜x2≤2，所以2≥x2＞0，2＞x1＞0，所以4＞x1x2，所以x1x2﹣4＜0，又因x1﹣x2＜0，x1x2＞0，所以，所以f（x1）＞f（x2），所以函数f（x）在区间（0，2]上是减函数．（3）实数t的取值范围为[0，1]．【点评】考查判断函数的奇偶性，函数单调性的证明，和分段函数的应用，中档题．四、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）18．【分析】根据函数定义域和值域关系，分别进行讨论求解即可．【解答】解：若x＝1，则g[f（1）]＝g（2）＝2，而x+1＝1+1＝2，即方程g[f（x）]＝x+1成立．若x＝2，则g[f（2）]＝g（1）＝3，而x+1＝2+1＝3，即方程g[f（x）]＝x+1成立．若x＝3，则g[f（3）]＝g（3）＝2，而x+1＝3+1＝4，即方程g[f（x）]＝x+1不成立．即方程的解为{1，2}，故选：C．【点评】本题主要考查方程的求解，结合函数的定义域和值域的关系，利用分类讨论思想进行求解是解决本题的关键，比较基础．19．【分析】根据题意，由函数的奇偶性与单调性可得f（a）＜f（3）⇒|a|＞3，解可得a的取值范围，结合函数的定义域即可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）是定义在（﹣4，4）上的偶函数，且在（﹣4，0]上是增函数，则f（x）在区间[0，4）上为减函数，又由f（a）＜f（3），则f（|a|）＜f（3），则有|a|＞3，解可得：a＞3或a＜﹣3；又由函数的定义域为（﹣4，4），即a的取值范围为（﹣4，﹣3）∪（3，4）；故选：D．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意函数的定义域，属于基础题．20．【分析】利用参数分离法分离出2a，求出y＝x+的值域，即可得到解．【解答】解：x∈[1，3]，x2﹣2ax+5＝0得，当且仅当x＝成立，又y＝x+，y（1）＝6，y（3）＝，所以y∈[，6]，要使函数f（x）＝x2﹣2ax+5在x∈[1，3]上有零点，即2a∈[，6]，a∈[，3]，故选：C．【点评】考查函数的零点问题，用了参数分离法，对勾函数求值域，中档题．五、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）21．【分析】先求出函数定义域，利用基本不等式求出最大值，因为f（x）≥0，f（x）＝0为最小，求出即可．【解答】解：的定义域为[﹣3，1]，由基本不等式，得，当1﹣x＝x+3，即x＝﹣1时，成立，当x＝﹣3，1时f（x）＝0，故答案为：；﹣3，1．【点评】考查求函数的定义域，函数最值，利用了基本不等式，中档题．22．【分析】（1）g（x）＝x+1的值域为R且在R上为单调递增函数，直接求解可得；（2）存在t使得f（t+2）＞f（t）成立，即方程的g（x）＝t+2根的个数比方程g（x）＝t的根的个数多，对第二段函数的对称轴进行讨论，结合函数图象得到答案【解答】解：（1）g（x）＝x+1的值域为R且在R上为单调递增函数，则方程g（x）＝t只有一个解，所以f（t）＝1；（2）存在t使得f（t+2）＞f（t）成立；即方程的g（x）＝t+2根的个数比方程g（x）＝t的根的个数多；当a≤0 时，作出函数g（x）的图象；显然不满足方程的g（x）＝t+2根的个数比方程g（x）＝t的根的个数多；当a＞0时，作出函数g（x）的图象；要存在t，使得方程的g（x）＝t+2根的个数比方程g（x）＝t的根的个数多；则要求二次函数的最大值要大于2；即，解得a＞1；故答案为：1，（1，+∞）．【点评】本题考查对新定义的理解与等价转化，考查函数的单调性，方程的根的个数和数形结合的思想，属于中档题．23．【分析】（1）由“保值”区间的定义直接写出即可；（2）根据题意，按[a，b]⊆（0，+∞），[a，b]⊆（﹣∞，0），a＝0及b＝0四种情况讨论即可．【解答】解：（1）由“保值”区间的定义可得函数y＝x2的一个“保值”区间为[0，1]；（2）易知，函数f（x）＝x2+m（m≠0）的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（﹣∞，0），①当[a，b]⊆（0，+∞）时，则，即方程x2﹣x+m＝0有两个不相等的正根，则，解得；②当[a，b]⊆（﹣∞，0）时，则，则a+b＝﹣1，则，即方程x2+x+m+1＝0有两个不相等的负根，则，解得；③当a＝0时，此时f（0）＝0，则m＝0，与题设矛盾；④当b＝0时，则，即m2+m＝0，解得m＝﹣1或m＝0（舍去）；综上，实数m的取值范围为．故答案为：[0，1]；．【点评】本题考查函数中的新定义问题，解决本题的关键是把问题转化为一元二次方程中根与系数的关系问题，进而建立不等式组得解，本题属于中档题．六、解答题（本大题共1小题，满分14分．解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）24．【分析】（1）直接考察数据的取整问题，直接求出结果．（2）利用函数的取整问题的应用，进一步求出函数的值域．（2）利用函数f（x）是Ω函数和函数的取整，进一步进行讨论，最后求出参数的范围．【解答】解：（1）已知x为实数，用[x]表示不超过x的最大整数，所以f（1.2）＝1，f（﹣1.2）＝﹣2．（2）方法1：因为，所以，只可能有两种情况：（1）存在整数t，使得，此时，f（x）＝0；（2）存在整数t，使得，此时，f（x）＝1．综上，f（x）的值域为{0，1}．（3）当函数是Ω函数时，若a＝0，则f（x）＝x显然不是Ω函数，矛盾．若a＜0，由于都在（0，+∞）单调递增，故f（x）在（0，+∞）上单调递增，同理可证：f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，此时不存在m∈（﹣∞，0），使得f（m）＝f（[m]），同理不存在m∈（0，∞），使得f（m）＝f（[m]），又注意到m[m]≥0，即不会出现[m]＜0＜m的情形，所以此时不是Ω函数．当a＞0时，设f（m）＝f（[m]），所以，所以有a＝m[m]，其中[m]≠0，当m＞0时，因为[m]＜m＜[m]+1，所以[m]2＜m[m]＜[m]（[m]+1），所以[m]2＜a＜[m]（[m]+1）．。
2018-2019学年度北京市中国人民大学附属中学高一上学期数学期中考试试卷(图片版)
，，
若 ，， 若 ，， 错误， 综上，填①②。 故答案为：①②。
，则零点在 ，则零点在
内， 内，故③、④
19解析： 【答案】 ①②④ 【解析】
由题设有
，故
或，
故函数的定义域为
，故①正确。
当
，
，
此时
，为
上的奇函数，
故其图像关于原点对称，故④正确。
又
，
当
时，
；
当
时，
，
故 的值域为 Leabharlann 故②正确。由可得 不是定义域上增函数，故③错。
______。
① 有且只一个零点；
② 的零点在 内；
③ 的零点在 内；
④ 的零点在
内。
19. 关于函数
的性质描述，正确的是______。
① 的定义域为
② 的值域为
③ 在定义域上是增函数
④ 的图象关于原点对称
20. 在同一直角坐标系下，函数 与
（，
）的大致图象如图所示，则实数a的可能值为
______。
若 ，则 ，故
，
又或
，
所以 （舍）或 或 ，
此时
，
若 ，则 ，此时 ，
故 ，此时
，
若 ，则 ，此时 ，
故 ，此时
，
综上，
或
。
故答案为： 或 。
23解析： 【答案】 只需满足 或 即可 【解析】
的反函数为 ，故 与 的图像恰有一个 公共点，当 时，直线 满足要求，当 时，若
与 的图像恰有一个公共点，则 （因为题设 要求写出一个符合条件的实数，故可填一个负数即 可， 符合，待同学们学习了导数的相关知识后可 求）。 故答案为：只需满足 或 即可。
北京市人大附中2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题及答案.docx
北京市人大附中2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题试卷副标题考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、单选题1．设集合，，若，则实数a的值为（）A．2B．C．D．2．计算的结果是（）A．B．C．－D．－3．下列函数中，是偶函数的是（）A．B．C．D．4．函数的零点所在的区间是（）A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)5．已知，则函数的大致图像是（）A．B．C．D．6．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．b＞a＞c D．c＞a＞b7．已知，恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．8．设函数，其中表示不超过x的最大整数，若函数的图象与函数的图象恰有3个交点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题9．计算：＝________.10．已知集合，，若，则实数的取值范围是______. 11．函数的定义域为__________.12．已知＝，则＝_________；若，则________．13．已知函数在区间上不．单调，则实数a的取值范围是________.14．如图放置的边长为2的正三角形ABC沿x轴滚动，记滚动过程中顶点A的横、纵坐标分别为和，且是在映射作用下的象，则下列说法中：①映射的值域是；②映射不是一个函数；③映射是函数，且是偶函数；④映射是函数，且单增区间为，其中正确说法的序号是___________.说明：“正三角形ABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动．沿x轴正方向滚动指的是先以顶点B为中心顺时针旋转，当顶点C落在x轴上时，再以顶点C为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正三角形ABC可以沿x轴负方向滚动．15．已知函数，若0＜＜＜，且满足，则下列说法一定正确的是______.①有且只一个零点②的零点在内③的零点在内④的零点在内16．关于函数的性质描述，正确的是___①的定义域为②的值域为③在定义域上是增函数④的图象关于原点对称17．在同一直角坐标系下，函数与(,)的大致图象如图所示，则实数a的可能值为______①. ②. ③. ④.18．已知函数在R上是增函数，则实数的取值范围是________．19．非空有限数集满足：若，则必有．请写出一个．．满足条件的二元数集S＝________．20．已知直线上恰好存在一个点关于直线y=x的对称点在函数的图象上．请写出一个．．符合条件的实数a的值：________．三、解答题21．已知集合，.（1）求；（2）若，求实数m的取值范围．22．已知函数是定义在R上的奇函数．（1）求的解析式及值域；（2）判断在R上的单调性，并用单调性定义．．．．．予以证明．23．某公司共有60位员工，为提高员工的业务技术水平，公司拟聘请专业培训机构进行培训．培训的总费用由两部分组成：一部分是给每位参加员工支付400元的培训材料费；另一部分是给培训机构缴纳的培训费．若参加培训的员工人数不超过30人，则每人收取培训费1000元；若参加培训的员工人数超过30人，则每超过1人，人均培训费减少20元．设公司参加培训的员工人数为x人，此次培训的总费用为y元．（1）求出y与x之间的函数关系式；（2）请你预算：公司此次培训的总费用最多需要多少元？24．若函数的图象恒过(0,0)和(1,1)两点，则称函数为“0-1函数”.（1）判断下面两个函数是否是“0-1函数”，并简要说明理由：①；②.（2）若函数是“0-1函数”，求；（3）设，定义在R上的函数满足：①对,R，均有；②是“0-1函数”，求函数的解析式及实数a的值．。
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【点睛】
对函数的性质的研究，一般步骤是先研究函数的定义域，接下来看能否根据定义域简化函数解析式，使得我们容易判断函数的奇偶性和周期性，因为一旦明确函数的奇偶性或周期性，我们就可以在更小的范围上便捷地研究函数的其他性质，最后通过研究函数的单调性得到函数的值域．
17．②③
【解析】
【分析】
①. ②. ③. ④.
18．已知函数 在R上是增函数，则实数 的取值范围是________．
19．非空有限数集 满足：若 ，则必有 ．请写出一个满足条件的二元数集S＝________．
20．已知直线 上恰好存在一个点关于直线y=x的对称点在函数 的图象上．请写出一个符合条件的实数a的值：________．
北京市人大附中2018-2019学年高一上学期
期中考试数学试题
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分
一、单选题
1．设集合 ， ，若 ，则实数a的值为（）
【点睛】
一元二次不等式的恒成立问题，可通过其对应的二次函数的图像和性质来讨论，也可以用参变分离的方法把恒成立问题转化为一个新的函数的最值问题，特别地，如果一元二次不等式对应的函数解析式可以因式分解，则可以把恒成立的问题转为一元一次不等式的恒成立问题.
8．D
【解析】
【分析】
利用当 时有 ，故函数 在 具有“局部周期性”，故可在平面直角坐标系中画出函数 的图像，结合 的图像与 的图像有3个交点可以得到实数 的取值范围.
15．已知函数 ，若0＜ ＜ ＜ ，且满足 ，则下列说法一定正确的是______.
① 有且只一个零点② 的零点在 内
③ 的零点在 内④ 的零点在 内
16．关于函数 的性质描述，正确的是___
① 的定义域为
② 的值域为
③ 在定义域上是增函数
④ 的图象关于原点对称
17．在同一直角坐标系下，函数 与 ( , )的大致图象如图所示，则实数a的可能值为______
评卷人
得分
二、填空题
9．计算： ＝________.
10．已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围是______.
11．函数 的定义域为__________.
12．已知 ＝ ，则 ＝_________；若 ，则 ________．
13．已知函数 在区间 上不单调，则实数a的取值范围是________.
18．
【解析】
【分析】
因为 是分段函数且为增函数，故 ，故可得实数 的取值范围．
【详解】
因为 为 上的增函数，故 ，所以 ，填 ．
【点睛】
如果一个分段函数在 为增函数（或减函数），那么该函数除了在每个分段上都是增函数（或减函数），分段处的端点处的函数值也应有相应的大小关系，后者在解题中容易忽视．
19．{0,1}或{－1,1}，
评卷人
得分
三、解答题
21．已知集合 ， .
（1）求 ；
（2）若 ，求实数m的取值范围．
22．已知函数 是定义在R上的奇函数．
（1）求 的解析式及值域；
（2）判断 在R上的单调性，并用单调性定义予以证明．
23．某公司共有60位员工，为提高员工的业务技术水平，公司拟聘请专业培训机构进行培训．培训的总费用由两部分组成：一部分是给每位参加员工支付400元的培训材料费；另一部分是给培训机构缴纳的培训费．若参加培训的员工人数不超过30人，则每人收取培训费1000元；若参加培训的员工人数超过30人，则每超过1人，人均培训费减少20元．设公司参加培训的员工人数为x人，此次培训的总费用为y元．
若 ，则零点在 内；
若 ，则零点在 内．故③、④错误．
综上，填①②．
【点睛】
本题考察函数的零点．一般地，函数零点问题须结合函数的单调性和零点存在定理来讨论，其中函数单调性的判断可依据增函数的和为增函数，减函数的和为减函数，增函数与减函数的差为增函数或同增异减（针对复合函数）等原则来判断，零点所在区间的端点应该根据函数解析式的特点来选取．
【详解】
因为 为 上的增函数， 为 上的增函数，故 为 上的增函数.又 ， ，由零点存在定理可知 在 存在零点，故选B.
【点睛】
函数的零点问题有两种类型，（1）计算函数的零点，比如二次函数的零点等，有时我们可以根据解析式猜出函数的零点，再结合单调性得到函数的零点，比如 ；（2）估算函数的零点，如 等，我们无法计算此类函数的零点，只能借助零点存在定理和函数的单调性估计零点所在的范围.
14．如图放置的边长为2的正三角形ABC沿x轴滚动，记滚动过程中顶点A的横、纵坐标分别为 和 ，且 是 在映射 作用下的象，则下列说法中：
①映射 的值域是 ；
②映射 不是一个函数；
③映射 是函数，且是偶函数；
④映射 是函数，且单增区间为 ，
其中正确说法的序号是___________.
说明：“正三角形ABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动．沿x轴正方向滚动指的是先以顶点B为中心顺时针旋转，当顶点C落在x轴上时，再以顶点C为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正三角形ABC可以沿x轴负方向滚动．
14．③
【解析】
【分析】
根据 滚动的过程在坐标平面中画出 的运动的轨迹后可得正确的选项．
【详解】
运动的轨迹如图所示：则映射 是一个函数且为偶函数， 的值域为 ，也是一个周期函数，周期为 ，其增区间为 和 ， ，故选③．
【点睛】
几何图形在坐标轴上的滚动问题，应在坐标系中根据滚动的过程刻画出动点的轨迹，再从轨迹中找出对应函数的性质（如值域、单调性、奇偶性、周期性等）．此类问题忌凭空想象．
【详解】
对于A， ，所以为奇函数，不满足题意；
对于B， 的定义域为（0，+∞），为非奇非偶函数，不满足题意；
对于C， ，为奇函数，不满足题意；
对于D， ，为偶函数，满足题意.
故选：D
【点睛】
本题主要考查函数奇偶性的判断，定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件，比较基础．
4．B
【解析】
【分析】
因为函数为 上的增函数，故利用零点存在定理可判断零点所在的区间.
9．1
【解析】
【分析】
利用对数的运算规则 可得计算结果.
【详解】
因为 ，故填 .
【点睛】
对数有如下的运算规则：
（1） ，
；
（2） ；
（3） ；
（4） .
10．
【解析】
【分析】
在数轴上画出两个集合对应的范围，利用 可得实数 的取值范围.
【详解】
如图，在数轴表示 ，因为 ，故 ，填 .
【点睛】
含参数的集合之间的包含关系，应借助于数轴、韦恩图等几何工具直观地讨论参数的取值范围，解决此类问题时，还应注意区间端点处的值是否可取.
【详解】
因为 为 上的增函数，故 ，故 .
又由换底公式可知 ，因 为 上的增函数，故 ，故 即 ，
综上， ，故选B.
【点睛】
本题考察对数的大小比较，属于基础题.
7．D
【解析】
【分析】
因 ，故原不等式等价于 在 上恒成立，故可得实数 的取值范围.
【详解】
因为 ，故 ，故 在 上恒成立等价于 在 上恒成立，故 即 ，故选D.
A．2B． C． D．
2．计算 的结果是（）
A． B． C．－ D．－
3．下列函数中，是偶函数的是（）
A． B． C． D．
4．函数 的零点所在的区间是（）
A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)
5．已知 ，则函数 的大致图像是（）
A． B．
C． D．
6．设a＝ ，b＝ ，c＝ ，则a，b，c的大小关系为（）
（1）求出y与x之间的函数关系式；
（2）请你预算：公司此次培训的总费用最多需要多少元？
24．若函数 的图象恒过(0,0)和(1,1)两点，则称函数 为“0-1函数”.
（1）判断下面两个函数是否是“0-1函数”，并简要说明理由：
① ；② .
（2）若函数 是“0-1函数”，求 ；
（3）设 ，定义在R上的函数 满足：①对 , R，均有 ；② 是“0-1函数”，求函数 的解析式及实数a的值．
【解析】
【分析】
因 中有两个元素，故可利用 中的元素对乘法封闭求出这两个元素．
A．a＞c＞bB．a＞b＞cC．b＞a＞cD．c＞a＞b
7．已知 ， 恒成立，则实数a的取值范围是（）
A． B． C． D．
8．设函数 ，其中 表示不超过x的最大整数，若函数 的图象与函数 的图象恰有3个交点，则实数a的取值范围是（）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
16．①②④
【解析】
【分析】
函数的定义域为 ，故 ，所以 为奇函数，故①④正确，又 ，故可判断②正确，③错误．
【详解】
由题设有 ，故 或 ，故函数的定义域为 ，故①正确．
当 ， ，此时 ， 为 上的奇函数，故其，故 的值域为 ，故②正确．由 可得 不是定义域上增函数，故③错．
13．
【解析】
【分析】
根据函数在 不单调可得 且 ，从而得到实数 的取值范围.
【详解】
若 ，则 ， 在 为减函数，不符题意，舎；
若 ，则 为二次函数，对称轴为 ，因为 在 不单调，故 ，所以 ，填 .
【点睛】
含参数的多项式函数，我们要首先确定最高次项的系数是否为零，因为它确定了函数种类（一次函数、二次函数、三次函数等）.其中，一次函数 的单调性取决于 的正负，二次函数的单调性取决对称轴的位置及开口方向.