变分法讲义_第一章
变分法.doc讲解
§1 变分法简介作为数学的一个分支，变分法的诞生，是现实世界许多现象不断探索的结果，人们可以追寻到这样一个轨迹：约翰·伯努利（Johann Bernoulli ，1667－1748）1696年向全欧洲数学家挑战，提出一个难题：“设在垂直平面内有任意两点，一个质点受地心引力的作用，自较高点下滑至较低点，不计摩擦，问沿着什么曲线下滑，时间最短？”这就是著名的“最速降线”问题（The Brachistochrone Problem ）。
它的难处在于和普通的极大极小值求法不同，它是要求出一个未知函数（曲线），来满足所给的条件。
这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣，罗比塔（Guillaume Francois Antonie de l'Hospital 1661-1704）、雅可比·伯努利（Jacob Bernoulli 1654-1705）、莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz,1646-1716）和牛顿（Isaac Newton1642—1727）都得到了解答。
约翰的解法比较漂亮，而雅可布的解法虽然麻烦与费劲，却更为一般化。
后来欧拉（Euler Lonhard ，1707～1783）和拉格朗日(Lagrange, Joseph Louis ，1736-1813)发明了这一类问题的普遍解法，从而确立了数学的一个新分支——变分学。
有趣的是，在1690年约翰·伯努利的哥哥雅可比·伯努利曾提出著名的悬链线问题 (The Hanging Chain Problem)向数学界征求答案，即，固定项链的两端，在重力场中让它自然垂下，问项链的曲线方程是什么。
在大自然中，除了悬垂的项链外，我們还可以观察到吊桥上方的悬垂钢索，挂着水珠的蜘蛛网，以及两根电线杆之间所架设的电线，这些都是悬链线（catenary ）。
伽利略（Galileo, 1564～1643）比贝努利更早注意到悬链线，他猜测悬链线是抛物线，从外表看的确象，但实际上不是。
变分学讲义
变分学讲义
变分学是数学中的一个分支，主要研究函数的变化，通过对函数的微小的变化进行研究，得出函数最值及其性质的一门学科。
而“变分学讲义”就是介绍变分学基本概念及相关算法的一本教材。
下面对该讲义进行分步骤的阐述。
第一步：基本概念的介绍。
讲义首先介绍了变分学中的一些基本概念，例如自由度、泛函、变分、拉格朗日方程等等，这些概念是我们学习变分学的必备基础。
第二步：泛函及其变分。
教材接下来介绍了不同类型的泛函及其变分。
例如，长度泛函、曲线与面积泛函、最小曲面问题等等。
这些内容都是通过不同类型的泛函进行讲解的，让读者深入理解变分学的应用。
第三步：极值原理。
极值原理是变分学中最基础的理论之一，涉及到许多在力学、化学、物理等领域中使用的极值问题。
该讲义对此进行了详细的讲解，包括Euler-Lagrange方程及其应用、Legendre变换、Hamilton-Jacobi方程等等。
第四步：偏微分方程及变分原理。
除此之外，该讲义也介绍了偏微分方程及其与变分原理之间的联系。
利用变分原理可以求出偏微分方程的解，而偏微分方程也可以用来描述泛函的极值问题。
第五步：算法及应用。
最后，该讲义也介绍了许多变分学中的算法及其应用。
例如最小化算法、修正正交法等等。
这些算法可应用于不同领域，例如计算机图形学、机器学习、物理学等等。
综上所述，“变分学讲义”是一本介绍变分学基本概念及其相关算法的教材。
该讲义通过分步骤的方式，深入浅出地阐述了变分学的核心概念，可以帮助读者全面掌握变分学的理论基础及其应用。
变分法PPT
Variational Methods
变分法简介
基本概念 经典变分问题 变分运算 变分的算法
基本概念
泛函 泛函是一个函数的表达式，取值取决于该表达式中的函
数，泛函是函数的函数。
I x2 F x, y, ydx x1
1) 除变量x外，泛函还可以包含其他的独立变量； 2) 除函数y(x)外，泛函还可以包含有许多以上述独立变量
y
yx
dy dx
x
y y y a
y y y a
利用δ沿可变曲线将F写成： F x, y y, y y
在任意x处，将F展开成关于y和y`的泰勒级数：
F
x,
y
y,
y
y
F
x,
y,
y
F y
y
F y
y
O
2
∴ F x, y y,
F的全变分：
y
y
F
x,
y,
y
F y
y
F y
y
O
2
(T) F F x, y y, y y F x, y, y
一阶变分：
F F y F y
y y
x2 F x, y y, y ydx x1
x2 F x, y, ydx
x1
x2 x1
F y
y
F y
y
dx
O
2
(T)I I I
x2 x1
2F y 2
y2
2
2F yy
y
y
2F
y2
y2
dx
I取极值的条件： I 0
F d F 0 y dx y
具有多个因变量：
I
第1章变分法
接近度的任何函数 y1(x) 上的值，即
J[ y0 (x)] ≥ J1[ y1(x)] ，
(1.1.10)
则称泛函 J[ y(x)] 在函数 y0 (x) 上达到相对极大值.如果泛函 J[ y(x)] 在函数 y0 (x)
的零级ε-邻域，(1.1.10)式总是成立，那么称 J[ y(x)] 在函数 y0 (x) 上达到相对强极
的 y0 (x) n 级ε-邻域.
y y = y1 (x, y)
y = y (x, y)+ε y = y (x, y) y = y (x, y)−ε
x0
x1 x
图 1.2
定义 4 设 J[ y(x)] 是定义在某个函数类{y(x)}上的泛函，如果存在ε >0，使
得它在函数 y0 (x) 上的值不小于它在函数类{y(x)}中且与 y0 (x) 有某确定级数的ε-
A(0, 0) x
M(x, y)
B(a, b) y
图 1 1.
如图 1.1，以 A 点为坐标原点，Ox 轴取在水平方向，Oy 轴铅直向下.设 y = y(x)
是连接点 A(0, 0) 和 B(a,b) 的一条光滑曲线，质点沿这条曲线下滑.因初速度为零，
故质点下滑到任意点 M (x, y) 的速率为
v = 2gy
§1.1 泛函和泛函的极值问题
1.1.1 泛函的概念
先从一个最简单的例子引进泛函的概念. 例 1 设已给 x 轴上两点 x = x0 和 x = x1 ，y = y(x) 是定义在区间[x0, x1] 上的有
连续一阶导数的函数，则曲线 y = y(x) 的长为
∫ l[ y(x)] = x1 1+ y′2 dx ， x0
变量 J 是函数 y(x) 的泛函，记之为 J = J[ y(x)].而此函数集称为泛函 J[ y(x)] ]的定 义域，有时也称为泛函的容许函数.简言之，泛函是函数集 Y 到数域 R 上的一个 映射，映射的自变元是一个函数，而属于 Y 的每一个函数 y(x) 称为容许函数.读 者不难自己类似的给出依赖于多个函数的泛函的定义.
课件_ch01变分法简介_v1
第三个变分问题：等周问题
在满足 x (s 0 ) = x (s1 ), y(s 0 ) = y(s1 ) 和条件
L(x (s ), y(s )) =
ò
s2
s1
ædx (s )ö ædy(s )ö ÷ ÷ ç ÷ ÷ 1+ç + ds = constant (a) ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ds ds è ø è ø
注 1：有两个可以选取的函数 x = x (s ), y = y(s ) 注 2：也是边界已定的变分， x (s 0 ) = x (s1 ), y(s 0 ) = y(s1 ) 注 3： y = y(x ), z = z (x ) 之间必须满足的条件(a)也是一个泛函
1.2
变分的基本概念
变分原理 variational principle： 把一个物理学问题 （或其他学科的问 题）用变分法化为求泛函极值（或驻值）的问题。 如果建立了一个新的变分原理，它解除了原有的某问题变分原理的 某些约束条件，就称为该问题的广义变分原理；如果解除了所有的约束 条件，就称为无条件广义变分原理，或称为完全的广义变分原理。 1964 年，钱伟长教授明确提出了引进拉格朗日成子（ Lagrange multiplier）把有约束条件的变分原理化为较少（或没有）约束条件的变 分原理的方法。 日本的鹫津一郎教授、中国科学院院士钱伟长教授和刘高联教授等 都是这方面的世界级大师。
这里假定 y(x ) 是在某一函数类（容许函数）中任意的改变。
2 微分与变分
所谓很小的改变量系指变量函数 y(x ) 与 y1(x ) 的接近程度。 当 dy = y1(x ) - y(x ) 的模很小 时，称 y(x ) 与 y1(x ) 有零阶接近度。当下面诸模都很小时
变分法补充讲义
变分法补充讲义（2004-02-17）1． 变分法的基本预备定理（基本引理）如果函数φ(x )在线段(x 0, x 1)上连续，且对于只满足某些一般条件的任意选定的函数η(x )（例如，一阶或若干阶可微，在线段(x 0, x 1)的端点处为0，η(x )<ε 或|η(x )|<ε 和|η’(x )|<ε 等），有0)()(10=⎰x x dx x x ηφ，则在线段0)(10≡≤≤x x x x φ上。
证明：（反证法）假定在线段x 0 ≤ x ≤ x 1上一点x x =处0)(≠x φ，事实上，由φ(x )的连续性可知，φ(x )在点x 的一邻域)(10x x x ≤≤内不变号。
如果取η(x )也在这个邻域内不变号且在邻域之外等于0，即如图所示：则⎰⎰≠=110)()()()(x x x x dx x x dx x x ηφηφ因)()(x x ηφ在],[10x x 上保持定号，在],[10x x 之外等于0。
则与定理假设相矛盾，所以必有0)(≡x φ。
而如图所示的)(x η可选取：x 1x0x1[][]⎩⎨⎧∉∈--=10102120,0,)()(x x x x x x x x x x k n n η其中，k 未常数，n 正整数。
则)(x η连续，且有直到2n -1 阶连续导数。
2． （1.7）节补充（1）泛函变分的定义引理：泛函[])(x y J 的变分 []0)()(=+∂∂=ααδαδx y x y J J证明：定义泛函的变分为泛函增量的线性主部，即当泛函增量可以表示成：[][][]y y y y y L x y J y x y J J δδβδδmax ),(,)()(+=-+=∆其中，[]y y L δ,为关于y δ的线性泛函，当0),(,0max →→y y y δβδ时。
我们将[]J y y L δδ∆=,这时，取函数的增量为y αδ，即增加一个因子。
计算[]y y J αδ+对于α的导数在α=0时的取值：αααααJJ∆=∆∆→=→∆000limlim（由于是对α求导，α=0，0-=∆αα）[][][]⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⋅+=⋅⋅+=⋅+=→→→→y y y y y L y y y y y L yy y y y L δαααδβδαδααδβαδαααδαδβαδααααmax ),(lim ,max ),(lim,lim max ),(,lim0000当0→α时，0),(,0max →→y y y αδβαδ，而1±=αα，y δmax 为有限小量。
变分原理基础_讲义
变分原理基础罗建辉2009年夏季1 能量原理能量原理是以能量形式表述的力学定律。
概括地说，在所有满足一定的约束条件的可能状态中，真实状态应使其能量取极值或驻值。
本课程讨论结构力学、弹性力学、薄板的能量原理，只讨论线性平衡问题。
2 弹性系统真实平衡状态的能量特征举例从能量角度看，弹性系统的真实平衡状态具有如下的能量特征：即与其他可能状态相比，真实状态的能量为极值或驻值。
对这一能量特征举几个简例。
例0—1. 弹簧系统真实平衡状态的能量特征图0—1 所示为一弹簧下端挂一重物。
弹簧的刚度系数为k ，重物的重力为P 。
用∆表示位移，当弹簧系统处于平衡状态时，求得位移∆的真解为kP =∆=∆0)(真解 (1)真解的能量特征是弹簧系统的势能p ∏为极小。
现检验如下：∆-∆=∏P k p221 (2)式(2)右边第一项是弹簧的应变能，第二项是重力P 的势能。
系统势能p ∏是位移∆的二次式。
由式(2)得221()22pP Pk kk∏=∆--(3)现考察真解的能量特征。
显然，真解(1)使势能p ∏取极小值。
换一个角度，求p ∏的一阶及二阶导数，得Pk d d p-∆=∆∏ (4)22>=∆∏k d d p(5)将真解(1)代入式(4)，得0=∆∏d d p，故知势能p∏为驻值。
根据式(5)，又知势能p∏变分原理广义变分原理单变量形式多变量形式为极小值。
例0—2 超静定梁真实平衡状态的能量特征图0—2a 所示为一超静定梁，取图0—2b 所示静定梁为其基本结构。
根据平衡条件，基本结构的弯矩可表示为PMX M M +=11 (6)其中p M 是在荷载作用下基本结构的弯矩，1M 是在单位多余力11=X 作用下基本结构的弯矩，1X 是任意值。
式(6)同时也是超静定梁满足平衡条件的可能弯矩，由于1X 是任意参数，因此超静定梁的可能弯矩尚未唯一确定。
为了确定1X 的真解，还必须应用变形协调条件)(1111=∆+p X 真解δ (7)式中⎰=∆dxEI M M pp 11 (8)⎰=dxEIM 2111δ试验证真解的能量特征是梁的余能c ∏为极小值，余能c ∏的表示式为dxMX M EIdx EIMpc ⎰⎰+==∏2112)(212 (9)余能c ∏是1X 的二次函数，由式(9)得11111122211221212211112221111111111(2)21[2]21[2]21[()]2p c p p p p p p p p M X M M X M dxEIM dx M M dx M dx X X EIEI EIM dx X X EIM dx X EIδδδδ∏=++=++=+∆+=+∆-∆+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(10)由式(10)可知变形协调条件(7)使余能c ∏取极小值。
变分法简介剖析课件
• 引言 • 变分法的基本概念 • 变分法的应用领域 • 变分法的实际案例解析 • 变分法的求解方法 • 变分法的未来展望
目录
Part
01
引言
主题介绍
什么是变分法
变分法是数学的一个重要分支，主要 研究函数的变分问题，即函数在某个 特定条件下的变化量。
变分法在数学中的地位
变分法的应用领域
近似解。
适用范围
适用于简单的问题，如一维问 题或某些特定形状的二维问题
。
优点
简单直观，易于理解。
缺点
对于复杂问题，可能需要大量 的计算资源和时间。
有限元素法
有限元素法
将变分问题转化为有限元方程组 ，通过求解该方程组得到近似解 。
缺点
计算量大，需要较高的计算资源 和时间。
适用范围
适用于各种形状和维度的复杂问 题。
变分法广泛应用于物理学、工程学、 经济学等领域，如最小作用原理、弹 性力学、经济学中的最优控制问题等 。
变分法在数学中占有重要地位，是解 决优化问题、微分方程和积分方程等 问题的有力工具。
课程目标
掌握变分法的基本概念和原理
01
通过本ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ程的学习，学生应掌握变分法的基本概念和原理，了
解变分的计算方法和性质。
们可以求解出这些路径的具体形式和性质。
工程学
在工程学中，变分法被用于解决结构优化、控制工程、流体动力学等领域的问题。
在工程学中，变分法被广泛应用于结构优化、控制工程和流体动力学等领域。在结构优化中，变分法可以帮助我们找到最优 的结构设计，使得结构的性能达到最优。在控制工程中，变分法可以帮助我们找到最优的控制策略，使得系统的性能达到最 优。在流体动力学中，变分法可以帮助我们找到最优的流体流动路径，使得流体的流动效率达到最优。
理论力学7 变分法
t2
19
修正的Hamilton原理：对理想、完整、广义有势体系， 从 t1 ； q1 ( t1 ) ， … , q s ( t 1 ) ； p 1 ( t 1 ) ， … , p s ( t 1 ) 到 t2 ；q1 ( t2 ) ，… , qs ( t2 ) ； p1 ( t2 ) ，… , ps ( t2 ), 真实运动使作用量I 取稳定值。 令： f (q, q ; p, p , t) = q a pa H (q, p, t ), 则I 取稳定值的充要条件是: d f f = , a = 1 ,2 ,… , s . a qa dt q
d f f = , a = 1 ,2 ,… , s . a pa dt p
20
上面的2组方程就是： a = H / qa , a = 1 ,2 ,… , s . p
a H / pa , a = 1 ,2 ,… , s . 0=q
这2组方程正是正则方程。 ∴ 修正的Hamilton原理 Hamilton正则方程
17
轨道的变化 导致宏观量S 的变化，其数值远大于 ， 由此导致偏离经典轨道的所有轨道对几率的贡献为0。 对经典轨道 S = 0，因此， cos(DS / ) 经典轨道附近很小邻域内 的轨道对几率的贡献是 互相加强的。 由此得到经典粒子 q(t)- q(c)(t) 是沿经典轨道运动的结论。 这与Hamilton原理得到的结论完全相同。 对微观粒子，虽然偏离经典轨道时S ≠ 0， 但微观量S 的大小一般可以与 相比， 从而导致偏离经典的轨道对几率仍然有明显的贡献。
21
§2、正则变换 1、全微分 2、正则变换与生成函数
22
1、全微分 s个变量 q1 , q2 , … , qs组成 s 维空间， f1 (q) , f2 (q) , … , fs (q)为q的函数， A 以下4种说法互为必要充分条件： （1） fa dqa = 0;
(完整版)变分法简介(简单明了易懂)
§1 变分法简介作为数学的一个分支，变分法的诞生，是现实世界许多现象不断探索的结果，人们可以追寻到这样一个轨迹：约翰·伯努利（Johann Bernoulli ，1667－1748）1696年向全欧洲数学家挑战，提出一个难题：“设在垂直平面内有任意两点，一个质点受地心引力的作用，自较高点下滑至较低点，不计摩擦，问沿着什么曲线下滑，时间最短？”这就是著名的“最速降线”问题（The Brachistochrone Problem ）。
它的难处在于和普通的极大极小值求法不同，它是要求出一个未知函数（曲线），来满足所给的条件。
这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣，罗比塔（Guillaume Francois Antonie de l'Hospital 1661-1704）、雅可比·伯努利（Jacob Bernoulli 1654-1705）、莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz,1646-1716）和牛顿（Isaac Newton1642—1727）都得到了解答。
约翰的解法比较漂亮，而雅可布的解法虽然麻烦与费劲，却更为一般化。
后来欧拉（Euler Lonhard ，1707～1783）和拉格朗日(Lagrange, Joseph Louis ，1736-1813)发明了这一类问题的普遍解法，从而确立了数学的一个新分支——变分学。
有趣的是，在1690年约翰·伯努利的哥哥雅可比·伯努利曾提出著名的悬链线问题 (The Hanging Chain Problem)向数学界征求答案，即，固定项链的两端，在重力场中让它自然垂下，问项链的曲线方程是什么。
在大自然中，除了悬垂的项链外，我們还可以观察到吊桥上方的悬垂钢索，挂着水珠的蜘蛛网，以及两根电线杆之间所架设的电线，这些都是悬链线（catenary ）。
伽利略（Galileo, 1564～1643）比贝努利更早注意到悬链线，他猜测悬链线是抛物线，从外表看的确象，但实际上不是。
变分基本知识及变分法
第一章 变分原理与变分法1.1 关于变分原理与变分法（物质世界存在的基本守恒法则）一、 大自然总是以可能最好的方式安排一切，似乎存在着各种安排原理：昼/夜，日/月，阴/阳，静止/运动 等矛盾/统一的协调体； 对静止事物：平衡体的最小能量原理，对称/相似原理；对运动事物：能量守恒，动量（矩）守恒，熵增原理等。
变分原理是自然界静止(相对稳定状态)事物中的一个普遍适应的数学定律，获称最小作用原理。
Examples :① 光线最短路径传播；② 光线入射角等于反射角，光线在反射中也是光传播最短路径（Heron ）；③CB AC EB AE +>+Summary : 实际上光的传播遵循最小能量原理；在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。
二、变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方法），是计算泛函驻值的数学理论数学上的泛函定义定义：数学空间（集合）上的元素（定义域）与一个实数域间（值域）间的（映射）关系特征描述法：{ J :R x R D X ∈=→⊂r J )(|}Examples :① 矩阵范数：线性算子（矩阵）空间 数域‖A ‖1 = ∑=ni ij ja 1max ；∑=∞=nj ij ia A 1max；21)(1122∑∑===n j ni ij a A② 函数的积分： 函数空间数域 D ⊂=⎰n ba n f dxx f J )(Note : 泛函的自变量是集合中的元素（定义域）；值域是实数域。
Discussion ：① 判定下列那些是泛函：)(max x f f b x a <<=；x y x f ∂∂),(； 3x+5y=2； ⎰+∞∞-=-)()()(00x f dx x f x x δ ② 试举另一泛函例子。
物理问题中的泛函举例① 弹性地基梁的系统势能i. 梁的弯曲应变能： ⎰=∏l b dx dxw d EJ 0222)(21ii. 弹性地基贮存的能量： dx kw l f ⎰=∏0221 iii. 外力位能： ⎰-=∏l l qwdx 0iv. 系统总的势能：000;})({221222021===-+=∏⎰dxdww x dx qw kw dxw d EJ l泛函的提法：有一种梁的挠度函数（与载荷无关），就会有一个对应的系统势能。
变分法1章
y y1=y1(x) y2=y2(x)
y
y2=y2(x) y1=y1(x)
o (a)
x
0 (b)
x
图1.3
曲线的接近度
dy和δy的区别
dy : δy：
是在x不变时，针对两条接近 的函数曲线 的微差δ y 。 δ y 是x 的函数。 δ y 在边界点一定为零。
o x
是针对一条曲线 y =y(x) ，当△x= dx 时 函数值增量的线 性主部是 dy 。 dy一般不等于零。？
d ∂F ∂2F ∂ 2 F dy ∂ 2 F dy′ + + = d x ∂ y ′ ∂ y ′∂ x ∂ y ′∂ y d x ∂ y ′∂ y ′ d x = F xy ′ + F yy ′ y ′ + F y ′y ′ y ′′
代人式(1.20)
Fy − Fxy′ − Fyy′ y′ − Fy′y′ y′′ = 0 (1 − 21)
上述欧拉方程为二阶偏微分方程 。解此方程可 求出使泛函Φ(y)达到极值的y(x) ，称间接解法. 其它欧拉方程形式为： 其它欧拉方程形式为：
泛函形式
欧拉方程
(n)
n d d2 n d Fy − Fy′ + 2 Fy′′ + L + (−1) Fy( n ) = 0 n dx dx dx
φ ( y ) = ∫ F ( x, y, y′, y′′,L , y )dx
∆φ = L[ y ( x) + δy ( x)] + ψ [ y ( x), δy ( x)] ⋅ max δy ( x)
δφ = L[ y( x ), δ y( x )]
是泛函增量的 线性主部
变分原理-第1章
即在满足 y ( x1 ) = y1 ， y ( x 2 ) = y 2 的端点条件下，求函数 y = y ( x) 使以下泛函
S = ∫ 2πyds = ∫ 2πy 1 + y ' dx
x1 x2 2
L=
x1
∫
0
dy 1 + dx dx
2
(1-9)
悬索重心高度为
1 1 1 dy y c = ∫ yds = ∫ y 1 + dx L0 L0 dx
L x 2
(1-10)
以上变分问题是：在通过已知两点，并满足式(1-9)条件的一切曲线中，求 使泛函式(1-10)取极小值的函数 y (x ) 。
设 P（x，y）是曲线上某一点。重物在 P 点的速度 v 可由能量守恒原理求 得：
1 2 mv = mgy 2 ⇒ v = 2 gy
令 ds 为曲线的弧长的微分，则
ds = v = 2 gy dt
⇒
dt =
ds 2 gy
=
1 + y ' dx 2 gy
2
式中 y ′ =
dy dx
因此，重物从 A 滑到 B 所需时间 T 为：
若干“子域” （即单元） ，然后分别在子域上选取测试函数，并要求这些测试 函数在各个子域内部、在子域之间的分界面上以及子域与外界的分界面上均 满足一定的条件。它使有限单元法的实用价值远远超过了经典方法。 有限单元法应用的领域十分广泛。不论是固体力学、流体力学，还是电磁 学、传热学等都可以应用。就固体力学而言，静力分析、动力分析或稳定性 分析，不论是线性分析，还是非线性分析，有限单元法均能适用。 电子计算机技术的发展对有限单元法的发展有着决定性的影响。有限单元 法要求求解大规模的联立方程组，未知数高达几万甚至几十万，没有高速度、 大容量的计算机是很难想像的。有限单元法的基本思想早在四十年代就提出 来了，但是直到五十年代中期，由于电子计算机的问世才开始大量应用和发 展。
《一阶变分变分法》课件
通过欧拉方程求解作用量泛函的极值，得到系统 的演化方程。
边界条件处理
在求解过程中，需要处理系统的边界条件，确保 得到的演化方程满足实际情况。
重要公式和定理
拉格朗日函数
描述物理系统的动能和势能关系的函数。
欧拉方程
用于求解作用量泛函的极值的方程。
哈密顿原理
与最小作用量原理等价的原理，将最小作用量原理表述为哈密顿函数 的极值问题。
性。
应用场景
优化问题
一阶变分变分法常用于求解各种 优化问题，如线性规划、二次规 划、非线性规划等。
控制论
在控制论中，一阶变分变分法用 于求解最优控制问题，如线性二 次调节器问题。
力学
在力学中，一阶变分变分法用于 求解最小作用量原理和哈密顿原 理等问题。
02
一阶变分变分法的原理
原理概述
最小作用量原理
适用范围广
一阶变分变分法可以应用于多种不同类型的优化问题 ，包括连续和离散变量优化。
缺点
局部最优解
一阶变分变分法可能陷入局部最优解，而不是 全局最优解。
对初始值敏感
该方法对初始值的选择较为敏感，不同的初始 值可能导致不同的优化结果。
对约束条件处理不够灵活
一阶变分变分法在处理约束条件时可能不够灵活，尤其对于非线性约束条件。
不同类型的约束条件（等式约束 或不等式约束）可能需要不同的 处理方式。
03
考虑多变量情况
当决策变量有多个时，需要分别 对每个变量求一阶导数，并联立 求解。
04
一阶变分变分法的应用实 例
应用场景一：优化问题
总结词
一阶变分变分法在优化问题中具有广泛的应用，它可以用于求解各种不同类型的优化问题，如线性规划、二次规 划、整数规划等。