非负数的性质

非负数的性质（两小时）
【知识要点】
1．二次根式的基本性质（式子a （a ≥0），叫做二次根式）。

2 对于非负数a ，有（a ）2
=a （1）
对于任意实数，则==a a 2
2、非负数即正数和0。

如果a 是实数，那么a ，)0(,2≥a a a 都是非负数，非负数主要的性质有： （1）非负数的和或积仍是非负数；
（2）如果非负数的和等于0，那么每一个非负数都等于0。

【典型例题】
例1、已知：25250x y x y +-+--=，
（1）求x 与y 的值； （2）求y x +的平方根。

例2、若()2
120a ab -+-=， 求()()
()()
111
1119901990ab a b a b +++
++++的值。

例3、若u,v 满足22343432
u v v u v u v u v --=++++，求22
u uv v -+的值。

a (a ﹥0)
0 (a ﹦0)
﹣a (a ﹤0)
例4、已知a 、b 为实数，且2
2
4250a b a b +--+=，求1ab -的值。

例5、若m 适合关系式y x y x m y x m y x --∙+-=-++--+19919932253。

试确定m 的值。

思考题：设a 、b 为实数，求207241617822
2
+--+-=b a b ab a P 的最小值，并求P 取得最小值时a 、b 的取值。

【练习与拓展】
1、m -是有理数时，一定有（ ）
A ．m 是完全平方数
B ．m 是负有理数
C ．m 是一个完全平方数的相反数
D ．m 是一个负整数 2、计算2-a +a -2等于（ ）
A ．0．
B ．4-2a
C ．4
D ．2a-4 3、若14+a 有意义，则a 能取的最小整数为（ ） A.0. B.1. C.-1. D.-4.
4、a 、b 、c 为三角形的三边长，化简a b c a b c a b c a b c ++-----+-+-的结果是（ ）
A 、0
B 、222a b c ++
C 、4a
D 、22b c -
5、设等式()()a x a a y a x a a y -+-=---在实数范围内成立，其中a 、x 、y 是
两两不同的实数，则
22
2
2
3x xy y x xy y
+--+的值是（ ）
A 、3
B 、
13 C 、2 D 、53
6、若式子2
)4(a --有意义，则满足条件的a 有（ ）
A 、0个
B 、1个
C 、4个
D 、无数个
7、若014)2003(2=++-y x ，则=+--y y x 3)2(102 。

8、已知2110a b ++-=，则3
3
a b -+= 。

9、已知12
x >
，化简2
32144x x x +--+的结果是 。

10、已知x 、y 是实数，且()2
1x y +-与24x y -+互为相反数。

求：实数x
y 的负倒数。

11、如果实数y x ,满足0449622
2
=+-+-x y xy x ，求x
y 的值。

12、m 适合关系式
m y x m y x m y x m y x 277212321323---∙-++=--++-++。

试确定m 的值。

二次根式的基本运算
【知识要点】
1．二次根式 ⑴定义：一般地，式子a ()0a ≥叫做二次根式． ⑵性质：①0a ≥，且0a ≥；
②
()
()02
≥=a a a ；
③a a =2
； ⑶运算法则
①乘法运算：ab b a =⋅()0,0a b ≥≥； ②除法运算：
()0,0a a a b b b
=≥>
2、分母有理化
⑴定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

⑵方法：
()20,0a a b ab ab
a b b b b b b
⋅===≥>⋅
b a b
ab b b b a b a ,0(≥=∙∙=＞0）
b a -1
=
b
a b
a b a b a b a -+=
+-+∙)
)(()
(1
【课前热身】
化简：,12 48 8 32 108
分母有理化：3
1
21 2
31
- 321-
【典型例题】
例1、化简
①)0,0(8543≥≥c a c b a ②()()3
3
2
90,0x y x y x y +≥≥
例2、把下列各式分母有理化 (1)a
a 123 （2）
332232
--
]
例3、计算 （
1
）
2
22246
52x y x y
x x y
---÷()
,x y x y ≠、是正数 （2）
)(2y x y
x xy
y x y
x y x >--+-
+-
例4、计算 （
1
）
3
525
23231++-+
- （2）
1998
19991
3
412
311
21++
+++
++
+
例5、比较大小
2005200620042005--与
例6、已知2323x -=+，23
23
y +=-，求下列各式的值：
（1）
x y x y
+- （2）223x xy y -+
例7、把下列各式中根号外面的因式适当改变后，移到根号里面：
（1）3a a - （2）1
a a
-
【练习与拓展】
1、下列各式2,12-+b a （b ≥0），()2
2
21,13⎪⎭
⎫
⎝⎛---x ，
()2
1-x 中二次根式个
数是（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个 2、下列各式计算正确的是（ ）
A ．11236
a a = B ．
2
10250
ab b a = C ．21633b ab a a
= D ．
()
2
44
x
xy y
y
-=-
3、若等式2121
33
k k k k --=
--成立，那么实数k 的取值范围是（ ） A ．1
32
k k ><或 B ．03k << C ．12k ≥ D ．3k >
4、0a <，下列式子正确的是（ ）
A ．1a a a --
= B ．1a a a --=-- C ．1
a a a
--=- D ．1
a a a
--
=- 5、若0<ab ，则代数式b a 2应当化简为（ ）
（A ）b a （B ）b a - （C ）b a - （D ）b a -- 6、已知N M N M 与则,9899,100101-=-=的大小关系是（ ）。

（A ）N M > （B ）N M < （C ）N M = （D ）N M ≤
7、代数式21-+-+x x x 的最小值是（ ）
（A ）0 （B ）1+2 （C ）1 （D ）不存在的 8、
(
)(
)
=
+÷
+534527
9、要使a a -+-31有意义，则a 的取值范围是 。

10、化简
()()
=-
⋅+2001
1999
14
1313
14 。

11、若0＜a ＜1，化简a
a a a +⨯⎪⎭⎫
⎝⎛+÷-+
1111212
2后的结果是 。

12、设1994
199314
313
212
11++
+++
++
+=
M ，
19941993654321-++-+-+-= N ，则2
)
1(+M N
= 。

13、分母有理化： （1）()43bc a b c + （2）2
31
+
14、已知,31,21==b a 求b
a b
b a b +--的值。

15、已知2
323+-=x ，2
323-+=
y ，求2
2353y xy x +-的值.
16、将根号外的因式移到根号内：()11
0ab a b a b
->>
【课后作业】
课题： 姓名： 家长签名： 1、已知224410260x y x y +-++=，求12x y -的算术平方根。

2、若a 、b 为实数，且22
111
a a a
b a -+-+=+，求3a b -+的相反数。

3、已知04
1
222=+
-+++-z z z y y x ，求z y x ++的值。

4、分母有理化： （1）．x
x x x -+++11 （2）．
b
a b a a -++2
5、已知(
)
(
)
,572
1,572
1
-=
+=
y x 求22y xy x +-的值。

6、比较大小
1999200020002001--与
7、已知,3
2
5,325+=-=b a 求b a 11-的值。

8、已知,1011
+=+a a 求221a
a +及21）（a a -的值。