2数学思想方法的几次突破
数学思想方法的几次突破
第二章数学思想方法的几次突破一、要点解析主要内容指导：1、西方资本主义社会初期的数学思想2、代数学的发展（1）采用印度—阿拉伯数字（2）系统采用数学符号（3）数学基础的新起点3、解析几何的产生（1）解析几何的基本思想（2）解析几何的意义4、微积分产生的响影难点指导：确定数学和随机数学的区别是本章的难点。
确定数学是研究确定性现象数量关系的数学分支，随机数学是研究随机现象数量关系的数学分支。
因此区别确定数学和随机数学的关键是区别确定性现象和随机现象。
确定性现象的特点是：在一定的条件下，其结果完全被决定，或者完全肯定，或者完全否定，不存在其他可能。
即在一定的条件下必然会发生，或者必然不会发生某种结果。
这种现象的条件和结果之间存在着必然的联系，而随机现象的条件和结果之间不存在这种必然性，其特点是：在一定的条件下，可能发生，也可能不发生某种结果，带有一定的偶然性。
因此随机现象无法用确定数学来研究。
二、典型例题1. 分别简单叙说算术与代数的解题方法基本思想，并且比较它们的区别。
解答：算术解题方法的基本思想：首先要围绕所求的数量，收集和整理各种已知的数据，并依据问题的条件列出关于这些具体数据的算式，然后通过四则运算求得算式的结果。
代数解题方法的基本思想是：首先依据问题的条件组成内含已知数和未知数的代数式，并按等量关系列出方程，然后通过对方程进行恒等变换求出未知数的值。
它们的区别在于算术解题参与的量必须是已知的量，而代数解题允许未知的量参与运算；算术方法的关键之处是列算式，而代数方法的关键之处是列方程。
2. 比较决定性现象和随机性现象的特点，简单叙说确定数学的局限。
解答：人们常常遇到两类截然不同的现象，一类是决定性现象，另一类是随机现象。
决定性现象的特点是：在一定的条件下，其结果可以唯一确定。
因此决定性现象的条件和结果之间存在着必然的联系，所以事先可以预知结果如何。
随机现象的特点是：在一定的条件下，可能发生某种结果，也可能不发生某种结果。
电大数学思想与方法网上作业答案
电大数学思想与方法网上作业答案：01任务_0001一、单项选择题（共10 道试题，共100 分。
）1. 古埃及数学最辉煌的成就可以说是（）的发现。
A. 进位制的发明B. 四棱锥台体积公式C. 圆面积公式D. 球体积公式2. 欧几里得的《几何原本》几乎概括了古希腊当时所有理论的（），成为近代西方数学的主要源泉。
A. 几何B. 代数与数论C. 数论及几何学D. 几何与代数3. 金字塔的四面都正确地指向东南西北，在没有罗盘的四、五千年的古代，方位能如此精确，无疑是使用了（）的方法。
A. 几何测量B. 代数计算C. 占卜D. 天文测量4. 《几何原本》中的素材并非是欧几里得所独创，大部分材料来自同他一起学习的（）。
A. 爱奥尼亚学派B. 毕达哥拉斯学派C. 亚历山大学派D. 柏拉图学派5. 数学在中国萌芽以后，得到较快的发展，至少在（）已经形成了一些几何与数目概念。
A. 五千年前B. 春秋战国时期C. 六七千年前D. 新石器时代6. 在丢番图时代(约250)以前的一切代数学都是用（）表示的，甚至在十五世纪以前，西欧的代数学几乎都是用（）表示。
A. 符号，符号B. 文字，文字C. 文字，符号D. 符号，文字7. 古印度人对时间和空间的看法与现代天文学十分相像，他们认为一劫（“劫”指时间长度）的长度就是（），这个数字和现代人们计算的宇宙年龄十分接近。
A. 100亿年B. 10亿年C. 1亿年D. 1000亿年8.巴比伦人是最早将数学应用于（）的。
在现有的泥板中有复利问题及指数方程A. 商业B. 农业C. 运输D. 工程9. 《九章算术》成书于（），它包括了算术、代数、几何的绝大部分初等数学知识。
A. 西汉末年B. 汉朝C. 战国时期D. 商朝10. 根据亚里士多德的想法，一个完整的理论体系应该是一种演绎体系的结构，知识都是从（）中演绎出的结论。
A. 最终原理B. 一般原理C. 自然命题D. 初始原理02任务一、单项选择题（共10 道试题，共100 分。
(完整版)电大数学思想与方法形考作业：通关作业答案
电大数学思想与方法形考作业：通关作业答案第一关题目1巴比伦人是最早将数学应用于（ ）的。
在现有的泥板中有复利问题及指数方程。
3选择一项：A. 农业B. 工程C. 商业D. 运输题目2《九章算术》成书于（ ），它包括了算术、代数、几何的绝大部分初等数学知识。
选择一项：A. 战国时期B. 商朝C. 汉朝D. 西汉末年题目3金字塔的四面都正确地指向东南西北，在没有罗盘的四、五千年的古代，方位能如此精确，无疑是使用了（）的方法。
选择一项：A. 几何测量B. 代数计算C. 天文测量D. 占卜题目4在丢番图时代(约250)以前的一切代数学都是用（ ）表示的，甚至在十五世纪以前，西欧的代数学几乎都是用（ ）表示。
选择一项：A. 符号，符号B. 文字，文字C. 符号，文字D. 文字，符号题目5古埃及数学最辉煌的成就可以说是（ ）的发现。
选择一项：A. 四棱锥台体积公式B. 球体积公式C. 进位制的发明D. 圆面积公式题目6《几何原本》中的素材并非是欧几里得所独创，大部分材料来自同他一起学习的（ ）。
选择一项：A. 毕达哥拉斯学派B. 柏拉图学派C. 亚历山大学派D. 爱奥尼亚学派题目7古印度人对时间和空间的看法与现代天文学十分相像，他们认为一劫（“劫”指时间长度）的长度就是（），这个数字和现代人们计算的宇宙年龄十分接近。
选择一项：A. 1亿年B. 10亿年C. 1000亿年D. 100亿年题目8根据亚里士多德的想法，一个完整的理论体系应该是一种演绎体系的结构，知识都是从（）中演绎出的结论。
选择一项：A. 自然命题B. 一般原理C. 最终原理D. 初始原理题目9欧几里得的《几何原本》几乎概括了古希腊当时所有理论的（），成为近代西方数学的主要源泉。
选择一项：A. 几何与代数B. 数论及几何学C. 代数与数论D. 几何题目10数学在中国萌芽以后，得到较快的发展，至少在（）已经形成了一些几何与数目概念。
选择一项：A. 六七千年前B. 春秋战国时期C. 新石器时代D. 五千年前第二关题目1欧几里得的《几何原本》是一本极具生命力的经典著作,它的著名的平行公设是( )。
初中数学 费马大定理的证明过程中有哪些突破性的数学思想
初中数学费马大定理的证明过程中有哪些突破性的数学思想费马大定理的证明是数学史上的一大突破，其中涉及了许多突破性的数学思想。
下面将详细介绍费马大定理证明过程中的几个重要突破性数学思想。
1. 利用数论工具：费马大定理是一个数论问题，涉及到整数解的存在性。
在证明过程中，数论工具起到了重要的作用。
其中最重要的数论工具之一是费马小定理，它是费马大定理证明的核心之一。
费马小定理表明，如果p是一个素数，a是不被p整除的整数，那么a^(p-1)与1同余。
利用费马小定理，证明者可以推导出费马大定理的特殊情况，并将其扩展到一般情况。
2. 引入模数论：费马大定理的证明中引入了模数论的概念和技巧。
模数论是研究整数的同余关系的数学分支，它对于解决费马大定理起到了关键的作用。
证明者通过引入模数论的思想，将费马大定理的证明转化为对模方程的研究。
这种思路的突破性在于将原问题转化为更易处理的形式，从而为证明提供了新的思路和方法。
3. 创新的证明思路：费马大定理的证明过程中采用了一种与传统证明思路不同的方法，即通过反证法来证明。
证明者假设费马大定理不成立，即存在一个整数解，然后通过推导和推理，得出矛盾的结论，从而证明费马大定理的正确性。
这种证明思路的突破性在于不是直接给出一个解，而是通过推导和推理，得出矛盾的结论，从而间接地证明费马大定理的正确性。
4. 创新的数学结构：费马大定理的证明中引入了一种新的数学结构，即椭圆曲线。
椭圆曲线是一种特殊的代数曲线，具有丰富的数学性质和结构。
证明者通过研究椭圆曲线的性质和方程，将费马大定理的证明转化为对椭圆曲线上点的性质的研究。
这种创新的数学结构为证明提供了新的工具和技巧，推动了证明的进展。
5. 利用调和分析：费马大定理的证明中还引入了调和分析的工具和技巧。
调和分析是研究周期性现象和函数的数学领域，它在证明过程中发挥了重要的作用。
证明者通过调和分析的思想，将费马大定理的证明转化为对调和函数和傅里叶级数的研究。
数学发展史中的几次重大思想方法的突破图文稿
数学发展史中的几次重大思想方法的突破集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-1. 承认“无理数”是对“万物皆数”的思想解放古希腊有一个毕达哥拉斯学派，是一个研究数学、科学和哲学的团体。
他们认为“数”是万物的本源，是数学严密性和次序性的唯一依据，是在宇宙体系里控制着自然的永恒关系，数是世界的准则和关系，是决定一切事物的，“数统治着宇宙”，支配着整个自然界和人类社会。
因此世间一切事物都可归结为数或数的比例，这是世界所以美好和谐的源泉。
他们所说的数是指整数。
分数的出现，使“数”不那样完整了。
但分数都可以写成两个整数之比，所以他们的信仰没有动摇。
但是学派中一个叫希帕索斯的学生在研究1与2的比例中项时，发现没有一个能用整数比例写成的数可以表示它。
万物皆数以数为一个价值尺度去解释自然，揭示了自然界的部分道理，可把数绝对化就不行了，就制约了人的思维。
无理数的发现推翻了毕达哥拉斯等人的信条，打破了所谓给定任何两个线段，必定能找到第三个线段使得给定的线段都是这个线段的整数倍。
这样，原先建筑在可公度量上的比例和相似性的理论基础就出问题了。
这是数学史上的第一次危机。
2．2 微积分的产生是第二次思想解放第二次数学危机源于极限概念的提出。
作为极限概念确立的伟大成果的微积分是不能不讲的。
微积分的问题，实际上就是解决连续与极限的问题，我们也曾讲过，芝诺反对无限连续，他在连续的门坎前设了四道屏障，这就是他提出的四个有名的悖论。
二分法悖论、阿基里斯悖论、箭的悖论、操场悖论。
牛顿在发明微积分的时候，牛顿合理地设想：Δt越小，这个平均速度应当越接近物体在时刻t时的瞬时速度。
这一新的数学方法，受到数学家和物理学家热烈欢迎。
大家充分地运用它，解决了大量过去无法问津的科技问题。
但由于它逻辑上的不完备也招来了哲学上的非难甚至嘲讽与攻击。
贝克莱主教曾猛烈地攻击牛顿的微分概念。
实事求是地讲，把瞬时速度说成是无穷小时间内所走的无穷小的距离之比，即“时间微分”与“距离微分”之比，是牛顿一个含糊不清的表述。
数学思想与方法期末考试范围答案全
数学思想与方法期末考试范围答案全一、填空题1、古代数学大体可分为两种不同的类型：一种是崇尚逻辑推理，以《几何原本》为代表；一种是长于计算和实际应用，以《九章算术》为典范。
2、在数学中建立公理体系最早的是几何学，而这方面的代表著作是古希腊欧几里得的《几何原本》。
3、《几何原本》所开创的公理化方法不仅成为一种数学陈述模式，而且还被移植到其它学科，并且促进他们的发展。
4、推动数学发展的原因主要有两个：实践的需要；理论的需要；数学思想方法的几次突破就是这两种需要的结果。
5、变量数学产生的数学基础是解析几何，标志是微积分。
6、数学基础知识和数学思想方法是数学教学的两条主线。
7、随机现象的特点是在一定条件下，可能发生某种情况，也可能不发生某种情况。
8、等腰三角形的抽象过程，就是把一个新的特征：两边相等，加入到三角形概念中去，使三角形概念得到强化。
9、学生理解或掌握数学思想方法的过程有如下三个主要阶段潜化阶段、明朗阶段、深入理解阶段。
10、数学的统一性是客观世界统一性的反映，是数学中各个分支固有的内在联系的体现，它表现为数学的各个分支相互渗透和相互结合的趋势。
11、强抽象就是指，通过把一些新特征加入到某一概念中去而形成新概念的抽象过程。
12、菱形概念的抽象过程就是把一个新的特征：一组邻边相等，加入到平行四边形概念中去，使平行四边形概念得到了强化。
13、演绎法与归纳法被认为是理性思维中两种最重要的推理方法。
14、所谓类比，是指由一类事物具有某种属性，推测与其类似的某种事物也具有该属性的推测方法；常称这种方法为类比法，也称类比推理。
15、反例反驳的理论依据是形式逻辑的矛盾律。
16、猜想具有两个显著特点：具有一定的科学性、具有一定的推测性。
17、三段论是演绎推理的主要形式。
三段论由大前提、小前提、结论三部分组成。
18、化归方法是指，把待解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经能解决或较易解决的问题中，最终获得原问题解答的一种方法。
数学思想方法的重大突破分析
数学思想方法的重大突破分析数学思想方法的重大突破分析一、机器证明的必要性和可能性定理机器证明的出现不是偶然的，而是有其客观必然性，它既是电子计算机和人工智能发展的产物，也是数学自身发展的需要。
首先，现代数学的发展迫切需要把数学家从繁难的逻辑推演中解放出来。
我们知道，任何数学命题的确立都需要严格的逻辑证明，而数学命题的证明是一种极其复杂而又富有创造性的思维活动，它不仅需要根据已有知识和给定条件进行逻辑推理的能力，而且常常需要相当高的技巧、灵感和洞察力。
有时为寻找一个定理的证明，还需要开拓一种全新的思路，而这种思路的形成竟要数学家们付出几十年、几百年乃至上千年的艰苦努力。
如果把定理的证明交给计算机去完成，那就可以使数学家从冗长繁难的逻辑推演中解放出来，从而可以把精力和聪明才智更多地用于富有开创性的工作，诸如建立新的数学概念，提出新的数学猜想，构造新的数学命题，创造新的数学方法，开辟新的数学领域等等，由此提高数学创造的效率。
其次，机器证明的必要性，还表现在数学中存在着大量传统的单纯人脑支配手工操作的研究方法难以奏效的证明问题。
这些问题往往因为证明步骤过于冗长，工作量十分巨大，使数学家在有生之年无法完成。
电子计算机具有信息储存量大，信息加工及变换的速度快等优越性，这就突破了人脑生理机制的局限性与时空障碍。
也就是说，如果借助电子计算机的优势就有可能使某些复杂繁难的证明问题得以解决。
“四色猜想”的证明就是一个令人信服的范例。
“四色猜想”提出于19世纪中叶，它的内容简单说来就是：对于平面或球面的任何地图，用四种颜色，就可使相邻的国家或地区区分开。
沿着传统的手工式证明的道路，数学家们做了各种尝试，结果都未能奏效。
直到1976年，由于借助于电子计算机才解决了这道百年难题。
为证明它，高速电子计算机花费了120个机器小时，完成了300多亿个逻辑判断。
如果这项工作由一个人用手工去完成，大约需要30万年。
第三，机器证明的可能性，从认识论上看，是由创造性工作和非创造性工作之间的关系决定的。
数学思想方法的几次重要突破
第二章数学思想方法的几次重要突破一、数学思想方法的几次重要突破内容概述从数学思想方法的角度来认识数学的发展是理解数学的重要方面。
《数学思想方法》这门课程的第二章主要从思想方法的角度分析了从算术到代数、从常量数学到变量数学、从确定性数学到随机数学转变的背景、原因、过程和意义。
从数学发展的角度来看，认真理解数学上的这几次突破对于我们学员从整体上理解数学思想方法都是十分必要的。
因此，本章的主要内容有：● 算术、算术的局限性和代数的产生、意义；● 常量数学局限性，变量数学的产生、发展和意义；● 确定性数学的局限性、随机数学的产生、发展和意义。
下面分别从这三个方面来分析：1. 算术、算术的局限性、代数的产生和意义● 算术算术是我们每一个人开始学习数学时必须学习的、不可回避的内容，也是一门古老的、原始的数学。
而算术式的思维是一个人数学思维发展的基础，离开了算术思维和直观几何思维来理解数学是十分困难的。
那么什么是算术呢？古代算术的主要研究的内容是正整数、零和正分数的性质与四则运算。
算术理论的形成标明人类在现实世界数量关系认识上迈出了具有决定性意义的第一步。
算术作为重要的数学工具之一，在人类社会中有着广泛的应用。
通过它，人类能够行之有效地解决在社会实践中遇到的大量问题，如行程问题，工程问题，流水问题，分配问题和盈亏问题等。
● 算术的局限性但是随着社会的发展，人类认识到算术在理论上限制了其自身的发展，在应用上面临了不能满足社会实践的需要。
这主要表现在它限制抽象的未知数参与运算，只允许具体的、已知的数进行运算。
因而导致其在解决问题的方法上存在局限性。
这是因为算术解题方法的基本思想是：首先要围绕所求的数量，收集和整理各种已知的数据，并依据问题的条件列出用已知数据表示所求数量的算式，然后通过四则运算求得算式的结果。
这种方法的关键之处是列算式。
但是面临具有较为复杂数量关系的实际问题时，列算式是非常困难的，因此这种方法比较笨拙，甚至无法解决问题。
国家开放大学《数学思想与方法》期末复习题参考答案(可下载编辑)
国家开放大学《数学思想与方法》期末复习题参考答案模拟试卷A卷一、填空题（每题3分，共30分）1．算法的有效性是指（如果使用该算法从它的初始数据出发，能够得到这一问题的正确解）2．数学的研究对象大致可以分成两大类：（数量关系，空间形式）3．所谓数形结合方法，就是在研究数学问题时，（由数思形、见形思数、数形结合考虑问题）的一种思想方法。
4．推动数学发展的原因主要有两个：（实践的需要，理论的需要），数学思想方法的几次突破就是这两种需要的结果。
5.古代数学大体可分为两种不同的类型：一种是崇尚逻辑推理，以《几何原本》为代表；一种是长于计算和实际应用，以（《九章算术》）为典范。
6．匀速直线运动的数学模型是（一次函数）。
7．数学的统一性是客观世界统一性的反映，是数学中各个分支固有的内在联系的体现，它表现为（数学的各个分支相互渗透和相互结合）的趋势。
8．不完全归纳法是根据（对某类事物中的部分对象的分析），作出关于该类事物的一般性结论的推理方法。
9．学生理解或掌握数学思想方法的过程一般有三个主要阶段：（潜意识阶段、明朗化阶段、深刻理解阶段）10．在实施数学思想方法教学时，应该注意三条原则：（化隐为显原则、循序渐进原则、学生参与原则）二、判断题（每题4分，共20分。
在括号里填上是或否）1．计算机是数学的创造物，又是数学的创造者。
（是）2．抽象得到的新概念与表述原来的对象的概念之间一定有种属关系。
（否）3．一个数学理论体系内的每一个命题都必须给出证明。
（否）4．贯穿在整个数学发展历史过程中有两个思想，一是公理化思想，一是机械化思想。
（是）5．提出一个问题的猜想是解决这个问题的终结。
（否）三、简答题（每题10分，共50分）1．为什么说《几何原本》是一个封闭的演绎体系？参考答案：（1）因为在《几何原本》中，除了推导时所需要的逻辑规则外，每个定理的证明所采用的论据均是公设、公理或前面已经证明过的定理，并且引入的概念（除原始概念）也基本上是符合逻辑上对概念下定义的要求，原则上不再依赖其它东西。
2数学思想方法的几次突破
2数学思想方法的几次突破数学思想方法第二章数学思想方法的几次突破就数学发展的历史进程来看，从算术到代数、从常量数学到变量数学、从确定性数学到随机性数学是数学思想方法的几次重要的突破。
第一节从算术到代数一、算术的局限性随着社会的发展，人类认识到算术在理论上的限制了其自身的发展，主要表现在他限制抽象的未知数参与运算，只允许具体的、已知的数进行运算，因而导致其在解决问题的方法上存在局限性。
这种局限性在很大程度上限制了其应用范围，从而促使了新的数学分支——代数的产生。
二、代数的产生算术的内容反映了物体集合数量关系，这些内容是在分析和概括大量实际经验的基础上加以抽象出来的，从而产生了纯粹形式上的算术。
符号化一方面推动了算术的发展，另一方面也为代数的产生奠定了基础。
代数讨论正整数、正分数和零，还讨论负数、虚数和复数。
其特点是用字母符号表示各种数，最初的研究的对象主要是代数式的运算和方程的求解。
代数解题的基本思想是：首先依据问题的条件组成内含移植术和未知数的代数式，并按等量关系列出方程，然后通过对方程进行恒等变换求出未知数的值。
因此，代数是一门关于形式运算的学说。
代数学形成的三大阶段：文字代数阶段；简写代数阶段；符号代数阶段。
三、代数学体系结构的形成17世纪初期，韦达和笛卡尔等人在数学中系统地引入了符号，人们才真正把代数理解为对文字计算的理论。
当时代数涉及的面非常广，不属于纯几何的内容都是它研究的对象，如级数、对数、解代数方程、解方程组以及解不定方程等。
伽罗瓦建立的理论称为伽罗瓦理论，给数学中的最古老的用尺规作图的可能性问题提供了一个判别方法。
从而引进了群和域等抽象代数的概念，使代数学的发展进入了抽象数学的阶段。
抽象代数与初等代数在思想方法上有很大的差别。
初等代数属于计算性的，并且只限于研究实数和复数等特定的数系，而抽象代数是概念性、公理化的，它的对象是一般的抽象代数结构。
抽象代数比初等代数具有更高的抽象性和更大的普遍性，应用范围更加广泛。
数学思想与方法期末考试范围答案全
一、填空题1、古代数学大体可分为两种不同的类型：一种是崇尚逻辑推理，以《几何原本》为代表；一种是长于计算和实际应用，以《九章算术》为典范。
2、在数学中建立公理体系最早的是几何学，而这方面的代表著作是古希腊欧几里得的《几何原本》。
3、《几何原本》所开创的公理化方法不仅成为一种数学陈述模式，而且还被移植到其它学科，并且促进他们的发展。
4、推动数学发展的原因主要有两个：实践的需要；理论的需要；数学思想方法的几次突破就是这两种需要的结果。
5、变量数学产生的数学基础是解析几何，标志是微积分。
6、数学基础知识和数学思想方法是数学教学的两条主线。
7、随机现象的特点是在一定条件下，可能发生某种情况，也可能不发生某种情况。
8、等腰三角形的抽象过程，就是把一个新的特征：两边相等，加入到三角形概念中去，使三角形概念得到强化。
9、学生理解或掌握数学思想方法的过程有如下三个主要阶段潜化阶段、明朗阶段、深入理解阶段。
10、数学的统一性是客观世界统一性的反映，是数学中各个分支固有的内在联系的体现，它表现为数学的各个分支相互渗透和相互结合的趋势。
11、强抽象就是指，通过把一些新特征加入到某一概念中去而形成新概念的抽象过程。
12、菱形概念的抽象过程就是把一个新的特征：一组邻边相等，加入到平行四边形概念中去，使平行四边形概念得到了强化。
13、演绎法与归纳法被认为是理性思维中两种最重要的推理方法。
14、所谓类比，是指由一类事物具有某种属性，推测与其类似的某种事物也具有该属性的推测方法；常称这种方法为类比法，也称类比推理。
15、反例反驳的理论依据是形式逻辑的矛盾律。
16、猜想具有两个显著特点：具有一定的科学性、具有一定的推测性。
17、三段论是演绎推理的主要形式。
三段论由大前提、小前提、结论三部分组成。
18、化归方法是指，把待解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经能解决或较易解决的问题中，最终获得原问题解答的一种方法。
19、在化归过程中应遵循的原则是简单化原则、熟悉化原则、和谐化原则。
2数学思想方法的几次突破
2数学思想方法的几次突破
数学思想方法在历史上有多次突破，其中最重要的有三次突破：第一
次突破是古希腊人希赫罗的费马小定理；第二次突破是17世纪威廉·布
鲁诺马尔可夫的法则；第三次突破是20世纪费马的原子模型。
以下将分
别阐述这三次数学思想方法的突破。
第一次突破是古希腊数学家希赫罗的费马小定理。
费马小定理是17
世纪希腊数学家希赫罗倡导的一个有趣的定理，它证明了一个简单的数学
命题：“一个整数的素因子之和等于它本身，则它是一个完全数”。
希赫
罗的费马小定理不仅提供了一个有趣的数学思想，而且对于数学史上又一
次产生了深远的影响。
在费马小定理的引导下，数学家开始在阶乘、素数、分数等范围内系统地探索数学问题，以及进行多角度的分析和比较，从而
发展出数学思想方法的突破。
第二次突破是17世纪威廉·布鲁诺马尔可夫的法则。
布鲁诺马尔可
夫的法则指的是一种归纳法，它指出：如果一个命题对所有的情形都是正
确的，则它总是正确的。
这一突破时期布鲁诺的定理得到了广泛的应用，
已经成为许多数学领域中的基本法则，从而极大地拓宽了数学的发展方向，并为数学思想方法提供了一定的依据。
国家开放大学《数学思想与方法》网络讨论参考答案
国家开放大学《数学思想与方法》网络讨论参考答案1.谈谈你对学习本课程的认识参考答案：数学思想与方法课程是研究数学思想方法及其教学的一门课程。
随着现代科学技术的迅速发展和素质教育的全面实施，对科学思想、科学方法有着全局影响的数学思想方法其重要性日益凸现。
鉴于数学思想方法在素质教育中的重要作用，数学思想与方法被列为国家开放大学小学教育专业（专升本）的一门重要的必修课。
本课程的主要内容分为三大块：上篇为数学的起源与基本内涵；中篇为各种数学方法的介绍与应用；下篇为数学的素质教育及实施。
课程内容包括数学思想与方法的两个源头、数学思想与方法的几次重要突破、数学的真理性、现代数学的发展趋势、抽象与概括、猜想与反驳、演绎与化归、计算与算法、应用与建模、其他方法、数学思想与方法与素质教育、数学思想与方法教学、数学思想与方法教学案例。
2.西方数学的特质？东方数学的特质？参考答案：古希腊数学和中国古代数学有许多共同之处。
但是，由于希腊和中国这两个文明古国的社会制度、数学和哲学的关系、文化背景及统治阶级对数学的态度等方面的差异．又决定了希腊与中国古代数学的很大不同。
首先，从内容上，古希腊数学以定性研究为主，以几何研究为中心；中国数学则以定量研究为主，以算法研究为中心。
其次，希腊数学不是用来解决实际问题的，他们所研究的内容都是离开具体应用对象的相当抽象的性质。
相反，中国古代数学的目的就是实际应用，并在应用中发展。
离开实际应用的纯理论数学在中国未占主流。
第三，从形式上说，希腊数学都包括命题的证明，并试图构成一个演绎体系。
与此不同，中国传统数学的特色是构造性、计算性和机械化。
中国古代数学著作则采取应用问题集的形式。
第四，由于中国古代数学家追求实际应用的效果，而古希腊数学家强调逻辑的严密，因此中国古代数学家没有像希腊人那样受悖论困扰。
《几何原本》是古希腊数学的代表，而中国古代数学以《九章算术》为代表。
《几章算术》确立了中国古代数学应用题的形式，以算法为中心的特点，理论联系实际的风格，构筑了中国古代数学的基本框架。
数学发展史中的几次重大思想方法的突破
数学发展史中的几次重大思想方法的突破1. 承认“无理数”是对“万物皆数”的思想解放古希腊有一个毕达哥拉斯学派，是一个研究数学、科学和哲学的团体。
他们认为“数”是万物的本源，是数学严密性和次序性的唯一依据，是在宇宙体系里控制着自然的永恒关系，数是世界的准则和关系，是决定一切事物的，“数统治着宇宙”，支配着整个自然界和人类社会。
因此世间一切事物都可归结为数或数的比例，这是世界所以美好和谐的源泉。
他们所说的数是指整数。
分数的出现，使“数”不那样完整了。
但分数都可以写成两个整数之比，所以他们的信仰没有动摇。
但是学派中一个叫希帕索斯的学生在研究1与2的比例中项时，发现没有一个能用整数比例写成的数可以表示它。
万物皆数以数为一个价值尺度去解释自然，揭示了自然界的部分道理，可把数绝对化就不行了，就制约了人的思维。
无理数的发现推翻了毕达哥拉斯等人的信条，打破了所谓给定任何两个线段，必定能找到第三个线段使得给定的线段都是这个线段的整数倍。
这样，原先建筑在可公度量上的比例和相似性的理论基础就出问题了。
这是数学史上的第一次危机。
2．2 微积分的产生是第二次思想解放第二次数学危机源于极限概念的提出。
作为极限概念确立的伟大成果的微积分是不能不讲的。
微积分的问题，实际上就是解决连续与极限的问题，我们也曾讲过，芝诺反对无限连续，他在连续的门坎前设了四道屏障，这就是他提出的四个有名的悖论。
二分法悖论、阿基里斯悖论、箭的悖论、操场悖论。
牛顿在发明微积分的时候，牛顿合理地设想：Δt越小，这个平均速度应当越接近物体在时刻t时的瞬时速度。
这一新的数学方法，受到数学家和物理学家热烈欢迎。
大家充分地运用它，解决了大量过去无法问津的科技问题。
但由于它逻辑上的不完备也招来了哲学上的非难甚至嘲讽与攻击。
贝克莱主教曾猛烈地攻击牛顿的微分概念。
实事求是地讲，把瞬时速度说成是无穷小时间内所走的无穷小的距离之比，即“时间微分”与“距离微分”之比，是牛顿一个含糊不清的表述。
数学思想方法的几次重大转折
数学思想方法的几次重大转折历史表明，数学的发展，不仅表现为量的积累，而且还表现为质的飞跃。
数学思想方法在历史上经历了四次重大转折：从算术到代数，从常量数学到变量数学，从必然数学到或然数学，从明晰数学到模糊数学，就充分说明这一点。
回顾、总结和分析这四次重大转折，将有助于我们全面了解数学思想方法演变的历史及其规律。
1.从算术到代数算术和代数，作为最基础而又最古老的两个分支学科，有着不可分割的亲缘关系。
算术是代数产生的基础，代数是算术发展到一定阶段的必然产物。
从算数发展到代数，是人们对数及其运算在认识上的突破，也是数学在思想方法上的一次重大转折。
在算术解题法中，未知数是不允许作为运算的对象的，它们没有参加运算的权利。
而在代数解题法中，所列出的方程作为一种条件等式，已是由已知数和未知数构成的有机统一体。
在这个统一体中，未知数和已知数有着同等的权利，即未知数在这里也变成了运算的对象，它们不再是消极、被动地静等在等式的一边，而是和已知数一样，可以接收各种运算指令，并可以依照某种法则从等式的一边移到另一边。
解方程的过程，实质上就是未知数和已知数进行重新组合的过程，也是未知数向已知数转化的过程。
解方程是古典(经典)代数最基本的内容。
方程在数学中占有重要的地位，它的出现不仅极大地扩充了数学应用的范围，使得许多算术解题法不能解决的问题能够得以解决，而且对整个数学的进程产生巨大的影响。
特别是数学中的许多重大发现都与它密切相关，例如，•对二次方程的求解，导致虚数的发现；•对五次和五次以上方程的求解，导致群论的诞生；•对一次方程组的研究，导致线性代数的建立；•应用方程解决几何问题，导致解析几何的形成；•等等。
显然，代数解题法(相对于算术解题法)更具有新奇性和简单性(算术解题法需要更强的技巧)2.从常量数学到变量数学算术、初等代数、初等几何和三角，构成了初等数学的主要内容。
它们都以常量即不变的数量和固定的图形为其研究对象，因此这部分内容，也称为常量数学。
数学思想方法的几次重大转折
数学思想方法的几次重大转折历史表明，数学的发展，不仅表现为量的积累，而且还表现为质的飞跃。
数学思想方法在历史上经历了四次重大转折：从算术到代数，从常量数学到变量数学，从必然数学到或然数学，从明晰数学到模糊数学，就充分说明这一点。
回顾、总结和分析这四次重大转折，将有助于我们全面了解数学思想方法演变的历史及其规律。
1.从算术到代数算术和代数，作为最基础而又最古老的两个分支学科，有着不可分割的亲缘关系。
算术是代数产生的基础，代数是算术发展到一定阶段的必然产物。
从算数发展到代数，是人们对数及其运算在认识上的突破，也是数学在思想方法上的一次重大转折。
在算术解题法中，未知数是不允许作为运算的对象的，它们没有参加运算的权利。
而在代数解题法中，所列出的方程作为一种条件等式，已是由已知数和未知数构成的有机统一体。
在这个统一体中，未知数和已知数有着同等的权利，即未知数在这里也变成了运算的对象，它们不再是消极、被动地静等在等式的一边，而是和已知数一样，可以接收各种运算指令，并可以依照某种法则从等式的一边移到另一边。
解方程的过程，实质上就是未知数和已知数进行重新组合的过程，也是未知数向已知数转化的过程。
解方程是古典(经典)代数最基本的内容。
方程在数学中占有重要的地位，它的出现不仅极大地扩充了数学应用的范围，使得许多算术解题法不能解决的问题能够得以解决，而且对整个数学的进程产生巨大的影响。
特别是数学中的许多重大发现都与它密切相关，例如，∙对二次方程的求解，导致虚数的发现；∙对五次和五次以上方程的求解，导致群论的诞生；∙对一次方程组的研究，导致线性代数的建立；∙应用方程解决几何问题，导致解析几何的形成；∙等等。
显然，代数解题法(相对于算术解题法)更具有新奇性和简单性(算术解题法需要更强的技巧)2.从常量数学到变量数学算术、初等代数、初等几何和三角，构成了初等数学的主要内容。
它们都以常量即不变的数量和固定的图形为其研究对象，因此这部分内容，也称为常量数学。
数学思想方法的重大突破
数学思想方法的重大突破数学思想方法的最大突破一、数学思想方法的重大突破之从算术到代数【编者按】数学的发展并不是一些新概念、新命题、新方法的简单积累，它包含着数学本身许多根本的变化，也即质的飞跃。
历史上发生的数学思想方法的几次重大突破，就充分说明了这一点。
算术和代数是数学中最基础而又最古老的分支学科，两者有着密切的联系。
算术是代数的基础，代数由算术演进而来。
从算术演进到代数，是数学在思想方法上发生的一次重大突破。
一、代数学产生的历史必然性代数学作为数学的一个研究领域，其最初而又最基础的分支是初等代数。
初等代数研究的对象是代数式的运算和方程的求解。
从历史上看，初等代数是算术发展的继续和推广，算术自身运动的矛盾以及社会实践发展的需要，为初等代数的产生提供了前提和基础。
我们知道，算术的主要内容是自然数、分数和小数的性质与四则运算。
算术的产生，表明人类在现实世界数量关系认识上迈出了具有决定性意义的第一步。
算术是人类社会实践活动中不可缺少的数学工具，在人类社会各部门都有广泛而重要的应用，离开算术这一数学工具，科学技术的进步几乎难以相象。
在算术的发展过程中，由于算术理论和实践发展的要求，提出了许多新问题，其中一个重要问题就是算术解题法的局限性在很大程度上限制了数学的应用范围。
算术解题法的局限性，主要表现在它只限于对具体的、已知的数进行运算，不允许有抽象的、未知的数参加运算。
也就是说，利用算术解应用题时，首先要围绕所求的数量，收集和整理各种已知的数据，并依据问题的条件列出关于这些具体数据的算式，然后通过加、减、乘、除四则运算求出算式的结果。
许多古老的数学应用问题，如行程问题、工程问题、流水问题、分配问题、盈亏问题等，都是借助这种方法求解的。
算术解题法的关键是正确地列出算术，即通过加、减、乘、除符号把有关的已知数据连结起来，建立能够反映实际问题本质特征的数学模型。
对于那些只具有简单数量关系的实际问题，列出相应的算式并不难，但对于那些具有复杂数量关系的实际问题，在列出相应的算式，往往就不是一件容易的事了，有时需要很高的技巧才行。
数学的几次思想解放 1.承认“无理数”是对“万物皆数”的思想解放 古希腊有 (共4页)
数学(shùxué)的几次思想解放1.承认(chéngrèn)“无理数”是对“万物(wànwù)皆数”的思想解放古希腊有一个毕达哥拉斯学派，是一个研究(yánjiū)数学、科学和哲学的团体。
他们认为“数”是万物的本源，是数学严密性和次序性的唯一依据，是在宇宙体系里控制着自然的永恒关系，数是世界的准则和关系，是决定(juédìng)一切事物的，“数统治着宇宙”，支配着整个自然界和人类社会。
因此世间一切事物都可归结为数或数的比例，这是世界所以美好和谐的源泉。
他们所说的数是指整数。
分数的出现，使“数”不那样完整了。
但分数都可以写成两个整数之比，所以他们的信仰没有动摇。
但是学派中一个叫希帕索斯的学生在研究 1与2的比例中项时，发现没有一个能用整数比例写成的数可以表示它。
万物皆数以数为一个价值尺度去解释自然，揭示了自然界的部分道理，可把数绝对化就不行了，就制约了人的思维。
无理数的发现推翻了毕达哥拉斯等人的信条，打破了所谓给定任何两个线段，必定能找到第三个线段使得给定的线段都是这个线段的整数倍。
这样，原先建筑在可公度量上的比例和相似性的理论基础就出问题了。
这是数学史上的第一次危机。
2.微积分的产生是第二次思想解放第二次数学危机源于极限概念的提出。
作为极限概念确立的伟大成果的微积分是不能不讲的。
微积分的问题，实际上就是解决连续与极限的问题，我们也曾讲过，芝诺反对无限连续，他在连续的门坎前设了四道屏障，这就是他提出的四个有名的悖论。
二分法悖论、阿基里斯悖论、箭的悖论、操场悖论。
牛顿在发明微积分的时候，牛顿合理地设想：Δ t越小，这个平均速度应当越接近物体在时刻t时的瞬时速度。
这一新的数学方法，受到数学家和物理学家热烈欢迎。
大家充分地运用它，解决了大量过去无法问津的科技问题。
但由于它逻辑上的不完备也招来了哲学上的非难甚至嘲讽与攻击。
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第二节从常量学到变量学
• 一、常量数学应用的局限性 • 算术、初等数学、初等几何和三角等构成 的初等数学属于常量数学，运用这些知识 可以有效描述和解决相对稳定的事物和现 象。对于那些运动变化的事物和现象就显 得无能为力。
• 二、变量数学的产生 • 变量数学产生的数学基础应该是解析几何， 其标志为微积分。 • 1．解析几何的产生 • 解析几何的产生主要归功于两个数学家笛 卡尔和费尔马。 • 笛卡尔和费尔马两个数学家都是从研究几 何开始。 • 笛卡尔研究几何希望说明其所提出的一般 科学的正确性；而费尔马认为代数方法是 一种研究几何的普遍方法。
• 在社会发展与需求的影响下，它的理论和 应用都有显著的发展，并逐步出现理论概 率与应用概率的分化。 • 电子计算机的产生和发展，为概率的发展 开辟了广阔的场所，同时也与其他学科结 合产生了不少边缘学科，如生物统计、统 计物理学等
• 三、随机数学产生的意义 • 1．就应用而言，对社会的发展具有促进作 用 • 2．就认识论而言，表明人们对偶然性与必 然性之间的辩证关系有了进一步的认识。 • 3．就方法而言，是从局部到总体的归纳方 法
• 三、代数学体系结构的形成 • 17世纪初期，韦达和笛卡尔等人在数学中 系统地引入了符号，人们才真正把代数理 解为对文字计算的理论。当时代数涉及的 面非常广，不属于纯几何的内容都是它研 究的对象，如级数、对数、解代数方程、 解方程组以及解不定方程等。
• 伽罗瓦建立的理论称为伽罗瓦理论，给数 学中的最古老的用尺规作图的可能性问题 提供了一个判别方法。从而引进了群和域 等抽象代数的概念，使代数学的发展进入 了抽象数学的阶段。抽象代数与初等代数 在思想方法上有很大的差别。初等代数属 于计算性的，并且只限于研究实数和复数 等特定的数系，而抽象代数是概念性、公 理化的，它的对象是一般的抽象代数结构。 抽象代数比初等代数具有更高的抽象性和 更大的普遍性，应用范围更加广泛。
• 二、代数的产生 • 算术的内容反映了物体集合数量关系，这 些内容是在分析和概括大量实际经验的基 础上加以抽象出来的，从而产生了纯粹形 式上的算术。 • 符号化一方面推动了算术的发展，另一方 面也为代数的产生奠定了基础。 • 代数讨论正整数、正分数和零，还讨论负 数、虚数和复数。其特点是用字母符号表 示各种数，最初的研究的对象主要是代数 式的运算和方程的求解。
• 另一类是随机现象，其特点是在一定的条 件下，可能发生某种结果，也可能不发生 某种结果。对于这类现象由于条件和结果 之间不存在必然的联系，因此就不能用确 定数学来加以定量描述。 • 但是随机想象并不是杂乱无章的现象，在 总体上会呈现出一种规律性。人们把研究 随机现象数量规律的那些数学分支称为随 机数学，其主要数学工具是概率理论和数 理统计。
• 2．函数概念的出现 • 函数是数学的一个基本概念，是研究变化 着的量的一般性质与各种数量之间存在着 相依而变得规律。这一概念在以后二百多 年几乎是所有数学研究的中心，直到现在 还在不断发展。
• 3．微积分的产生 • 促使微积分的产生的原因很多，最主要的 因素是为了处理17世纪的科学问题： • 1．已知物体移动的距离为时间的函数，求 物体的速度和加速度等； • 2．求曲线切线的斜率和方程； • 3．球函数的最大最小值； • 4．球曲线的长度，曲边梯形的面积，曲面 围成的物体的体积。 • 其核心就是求一个常量无法确定的量—— 变量的问题。
• 三、变量数学产生的意义 • 1．变量数学的产生为自然科学更精确地描 述物质世界提供了有效的工具。 • 2．变量数学的产生促进数学自身的发展与 严密。 • 3．变量数学的产生使辩证法进入数学。
第三节 从确定数学到随机数学
• 一、确定数学的局限性 • 人们在社会实践活动中常常遇到两类不同 的问题： • 一类是确定性现象，其特点是在一定的条 件下其结果完全被决定的，不存在其他的 可能。在数学学科中，人们把研究确定性 现象数量规律的那些数学分支称为确定数 学。代数、几何、方程和微积分等均属于 确定数学的范畴。
• 二、随机数学的产生与发展 • 概率和统计的历史可以追溯到遥远的古代， 如投正方形骰子、猜比赛的输赢等问题。 18世纪是概率论正式形成和发展的时期。 1713年伯努利在《推想的艺术》中明确发 现了概率论中重要的定律之一---大数定律。 从此概率论从对待特殊问题的求解发展到了 一般理论的概括。 • 1718年法国数学家棣莫弗在《机遇原理》 提到的概率轮乘法法则、正态分布、正态分 布率等，为概率轮的“中心极限定理”建立 奠定了基础。
数学思想方法
第二章 数学思想方法的几次突破
• 就数学发展的历史进程来看，从算术到代 数、从常量数学到变量数学、从确定性数 学到随机性数学是数学思想方法的几次重 要的突破。
第一节从算术到代数
• 一、算术的局限性 • 随着社会的发展，人类认识到算术在理论 上的限制了其自身的发展，主要表现在他 限制抽象的未知数参与运算，只允许具体 的、已知的数进行运算，因而导致其在解 决问题的方法上存在局限性。这种局限性 在很大程度上限制了其应用范围，从而促 使了新的数学分支——代数的产生。
• 代数解题的基本思想是： • 首先依据问题的条件组成内含移植术和未 知数的代数式，并按等量关系列出方程， 然后通过对方程进行恒等变换求出未知数 的值。 • 因此，代数是一门关于形式运算的学说。 代数学形成的三大阶段：文字代数阶段； 简写代数阶段；符号代数阶段。
• 因此，代数是一门关于形式运算的学说。 代数学形成的三大阶段： • 文字代数阶段：即全部解法都用文字语言 表达； • 简写代数阶段：即用简化的文字表达一些 经常出现的量、关系和运算； • 符号代数阶段：即普遍使用抽象符号，这 时采用的各种符号同它们的实际内容和思 想几乎没有明显的联系。
小结
• 就数学发展的历史进程而言，从算数到代 数、从常量数学到变量数学、从确定数学 到随机数学等是数学思想方法的几次重要 突破。其主要原因之一就是社会实践和数 学理论的需要。 • 这些突破均有现实意义和实用价值。因此 在整个数学发展的历史长河中具有重要的 地位。