2数学思想方法的几次突破

• 2．函数概念的出现 • 函数是数学的一个基本概念，是研究变化 着的量的一般性质与各种数量之间存在着 相依而变得规律。这一概念在以后二百多 年几乎是所有数学研究的中心，直到现在 还在不断发展。
• 3．微积分的产生 • 促使微积分的产生的原因很多，最主要的 因素是为了处理17世纪的科学问题： • 1．已知物体移动的距离为时间的函数，求 物体的速度和加速度等； • 2．求曲线切线的斜率和方程； • 3．球函数的最大最小值； • 4．球曲线的长度，曲边梯形的面积，曲面 围成的物体的体积。 • 其核心就是求一个常量无法确定的量—— 变量的问题。
数学思想方法
第二章 数学思想方法的几次突破
• 就数学发展的历史进程来看，从算术到代 数、从常量数学到变量数学、从确定性数 学到随机性数学是数学思想方法的几次重 要的突破。
第一节从算术到代数
• 一、算术的局限性 • 随着社会的发展，人类认识到算术在理论 上的限制了其自身的发展，主要表现在他 限制抽象的未知数参与运算，只允许具体 的、已知的数进行运算，因而导致其在解 决问题的方法上存在局限性。这种局限性 在很大程度上限制了其应用范围，从而促 使了新的数学分支——代数的产生。
第二节从常量学到变量学
• 一、常量数学应用的局限性 • 算术、初等数学、初等几何和三角等构成 的初等数学属于常量数学，运用这些知识 可以有效描述和解决相对稳定的事物和现 象。对于那些运动变化的事物和现象就显 得无能为力。
• 二、变量数学的产生 • 变量数学产生的数学基础应该是解析几何， 其标志为微积分。 • 1．解析几何的产生 • 解析几何的产生主要归功于两个数学家笛 卡尔和费尔马。 • 笛卡尔和费尔马两个数学家都是从研究几 何开始。 • 笛卡尔研究几何希望说明其所提出的一般 科学的正确性；而费尔马认为代数方法是 一种研究几何的普遍方法。
• 三、代数学体系结构的形成 • 17世纪初期，韦达和笛卡尔等人在数学中 系统地引入了符号，人们才真正把代数理 解为对文字计算的理论。当时代数涉及的 面非常广，不属于纯几何的内容都是它研 究的对象，如级数、对数、解代数方程、 解方程组以及解不定方程等。
• 伽罗瓦建立的理论称为伽罗瓦理论，给数 学中的最古老的用尺规作图的可能性问题 提供了一个判别方法。从而引进了群和域 等抽象代数的概念，使代数学的发展进入 了抽象数学的阶段。抽象代数与初等代数 在思想方法上有很大的差别。初等代数属 于计算性的，并且只限于研究实数和复数 等特定的数系，而抽象代数是概念性、公 理化的，它的对象是一般的抽象代数结构。 抽象代数比初等代数具有更高的抽象性和 更大的普遍性，应用范围更加广泛。
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• 在社会发展与需求的影响下，它的理论和 应用都有显著的发展，并逐步出现理论概 率与应用概率的分化。 • 电子计算机的产生和发展，为概率的发展 开辟了广阔的场所，同时也与其他学科结 合产生了不少边缘学科，如生物统计、统 计物理学等
• 三、随机数学产生的意义 • 1．就应用而言，对社会的发展具有促进作 用 • 2．就认识论而言，表明人们对偶然性与必 然性之间的辩证关系有了进一步的认识。 • 3．就方法而言，是从局部到总体的归纳方 法
• 另一类是随机现象，其特点是在一定的条 件下，可能发生某种结果，也可能不发生 某种结果。对于这类现象由于条件和结果 之间不存在必然的联系，因此就不能用确 定数学来加以定量描述。 • 但是随机想象并不是杂乱无章的现象，在 总体上会呈现出一种规律性。人们把研究 随机现象数量规律的那些数学分支称为随 机数学，其主要数学工具是概率理论和数 理统计。
• 二、随机数学的产生与发展 • 概率和统计的历史可以追溯到遥远的古代， 如投正方形骰子、猜比赛的输赢等问题。 18世纪是概率论正式形成和发展的时期。 1713年伯努利在《推想的艺术》中明确发 现了概率论中重要的定律之一---大数定律。 从此概率论从对待特殊问题的求解发展到了 一般理论的概括。 • 1718年法国数学家棣莫弗在《机遇原理》 提到的概率轮乘法法则、正态分布、正态分 布率等，为概率轮的“中心极限定理”建立 奠定了基础。
• 二、代数的产生 • 算术的内容反映了物体集合数量关系，这 些内容是在分析和概括大量实际经验的基 础上加以抽象出来的，从而产生了纯粹形 式上的算术。 • 符号化一方面推动了算术的发展，另一方 面也为代数的产生奠定了基础。 • 代数讨论正整数、正分数和零，还讨论负 数、虚数和复数。其特点是用字母符号表 示各种数，最初的研究的对象主要是代数 式的运算和方程的求解。
• 三、变量数学产生的意义 • 1．变量数学的产生为自然科学更精确地描 述物质世界提供了有效的工具。 • 2．变量数学的产生促进数学自身的发展与 严密。 • 3．变量数学的产生使辩证法进入数学。
第三节 从确定数学到随机数学
• 一、确定数学的局限性 • 人们在社会实践活动中常常遇到两类不同 的问题： • 一类是确定性现象，其特点是在一定的条 件下其结果完全被决定的，不存在其他的 可能。在数学学科中，人们把研究确定性 现象数量规律的那些数学分支称为确定数 学。代数、几何、方程和微积分等均属于 确定数学的范畴。
小结
• 就数学发展的历史进程而言，从算数到代 数、从常量数学到变量数学、从确定数学 到随机数学等是数学思想方法的几次重要 突破。其主要原因之一就是社会实践和数 学理论的需要。 • 这些突破均有现实意义和实用价值。因此 在整个数学发展的历史长河中具有重要的 地位。
• 代数解题的基本思想是： • 首先依据问题的条件组成内含移植术和未 知数的代数式，并按等量关系列出方程， 然后通过对方程进行恒等变换求出未知数 的值。 • 因此，代数是一门关于形式运算的学说。 代数学形成的三大阶段：文字代数阶段； 简写代数阶段；符号代数阶段。
• 因此，代数是一门关于形式运算的学说。 代数学形成的三大阶段： • 文字代数阶段：即全部解法都用文字语言 表达； • 简写代数阶段：即用简化的文字表达一些 经常出现的量、关系和运算； • 符号代数阶段：即普遍使用抽象符号，这 时采用的各种符号同它们的实际内容和思 想几乎没有明显的联系。