2019年全国高中数学联赛江苏赛区预赛市选试卷及答案

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2019年年全国⾼高中数学联赛江苏赛区市级选拔赛参考答案与评分细则

⼀一、填空题（本题共10⼩小题，每⼩小题7分，共70分．要求直接将答案写在横线上．）1．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≥0}，B ＝{x |x －a ≥1}，且A ∩B ＝{x |x ≥3}，则实数a 的值是．

答案：2．

解：A ＝{x |x ≥2或x ≤1}，B ＝{x |x ≥a ＋1}．⼜又A ∩B ＝{x |x ≥3}，故a ＋1＝3，

解得a ＝2．

2．已知与三条直线x ＋y ＝1，x ＋ay ＝2，x ＋2y ＝3都相切的圆有且只有两个，则所有可能的实数a 的值的和为．

答案：3．

解：由题意知，这三条直线中恰有两条平⾏行行时符合题意，故a ＝1或2，

从⽽而实数a 的值的和为3．

3．从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3个不不同的数，并从⼩小到⼤大排成⼀一数列列，此数列列为等⽐比数列列的概率为．答案：121

．

解：满⾜足条件的等⽐比数列列共有4个：1，2，4；1，3，9；2，4，8；4，6，9．

故所求概率P ＝4C 39＝1

21

．

4．设a ，b ∈[1，2]，则

a 2＋

b 2

ab

的最⼤大值是．

答案：52

．

解：因为a ，b ∈[1，2]，所以(2a －b )(a －2b )≤0，展开得a 2

＋b 2

≤5

2ab ，即a 2＋b 2ab ≤52

．

且当a ＝1，b ＝2，或a ＝2，b ＝1时，a 2＋b 2ab ＝52，所以a 2＋b 2ab

的最⼤大值为5

2．

5．在矩形ABCD 中，AC ＝1，AE ⊥BD ，垂⾜足为E ，则(AD →·AE →)(CB →·CA

→

)的最⼤大值是．

答案：427

．

解：如图，设∠CAB ＝θ，AC ＝1，AE ⊥BD ，

A

B

D

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则AB ＝cos θ，AD ＝sin θ，AE ＝sin θcos θ，于是(AD →·AE →)(CB →·CA →

)＝sin 2θ·cos 2θ·sin 2θ

＝1

2

sin 2θ·2cos 2θ·sin 2θ≤12(sin 2θ＋2cos 2θ＋sin 2θ3

)3＝427，等号当且仅当sin 2θ＝2cos 2θ，即tan θ＝2时成⽴立，故最⼤大值为4

27

．

6．在棱⻓长为1的正⽅方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 在A 1D 1上，点F 在CD 上，A 1E ＝2ED 1，DF ＝2FC ，则三棱锥B －FEC 1的体积是．

答案：527

．

解：如图，过F 作EC 1的平⾏行行线交BC 的延⻓长线于G ，

则FG ∥平⾯面BEC 1．

从⽽而G 与F 到平⾯面BEC 1的距离相等，所以体积

＝

．

⼜又A 1E ＝2ED 1，DF ＝2FC ，所以CG ＝13ED 1＝1

9，

所以

＝

＝13×12×109×1×1＝5

27

．7．设f (x )是定义在Z 上的函数，且对于任意的整数n ，满⾜足f (n ＋4)－f (n )≤2(n ＋1)，f (n ＋12)－f (n )≥6(n ＋5)，f (－1)＝－504，则f (2019)

673

的值是．

答案：1512．

解：由f (n ＋4)－f (n )≤2(n ＋1)，得

f (n ＋12)－f (n )≤f (n ＋12)－f (n ＋8)＋f (n ＋8)－f (n ＋4)＋f (n ＋4)－f (n )

≤2[(n ＋9)＋(n ＋5)＋(n ＋1)]＝6(n ＋5)．

⼜又f (n ＋12)－f (n )≥6(n ＋5)，

所以f (n ＋12)－f (n )＝6(n ＋5)，故f (n ＋4)－f (n )＝2(n ＋1)．

因此f (2019)＝(f (2019)－f (2015))＋(f (2015)－f (2011))＋…＋(f (3)－f (－1))＋f (－1)

＝2(2016＋2012＋…＋4＋0)－504＝2020×504－504＝2019×504．

所以

f (2019)

673

＝1512．8．函数f (x )＝x 2＋x

x 2－3的值域是

．

A 1

C D

A

E

B

D 1

B F

C 1

G