高中数学必修二《圆的方程》练习题

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人教A版高中数学必修2第四章《圆与方程》测试题(含答案)

人教A版高中数学必修2第四章《圆与方程》测试题(含答案)
(2)由(1)可知M的轨迹是以点 为圆心, 为半径的圆.
由于 ,故O在线段PM的垂直平分线上,又P在圆N上,从而 .
因为ON的斜率为3,所以 的斜率为 ,故 的方程为 .
又 ,O到 的距离为 , ,所以 的面积为 .
21.(1).由已知得过点 的圆的切线斜率的存在,
设切线方程为 ,即 .
则圆心 到直线的距离为 ,
A. B.
C. D.
5.一条光线从点 射出,经 轴反射后与圆 相切,则反射光线所在直线的斜率为()
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
6.已知圆 截直线 所得线段的长度是 ,则圆 与圆 的位置关系是( )
A.内切B.相交C.外切D.相离
7.已知方程 ,则 的最大值是( )
A.14- B.14+ C.9D.14
A.4B.6C. D.
12.已知直线 : 是圆 的对称轴.过点 作圆 的一条切线,切点为 ,则 ( )
A.2B. C.6D.
二、填空题
13.已知两点 ,以线段 为直径的圆的方程为________________.
14.方程x2+y2-x+y+m=0表示一个圆,则m的取值范围是_______
15.已知 为直线 上一点,过 作圆 的切线,则切线长最短时的切线方程为__________.
当 的斜率不存在, 的斜率等于0时, 与圆 不相交, 与圆 不相交.
当 、 的斜率存在且都不等于0,两条直线分别与两圆相交时,设 、 的方程分别为 ,即 .
因为 到 的距离 ,
到 的距离 ,所以 到 的距离与 到 的距离相等.
所以圆 与圆 的半径相等,所以 被圆 截得的弦长与 被圆 截得的弦长恒相等.
综上所述,过点 任作互相垂直的两条直线分别与两圆相交,所得弦长恒相等.

高中数学人教版必修2 4.1.2圆的一般方程 作业(系列四)

高中数学人教版必修2 4.1.2圆的一般方程 作业(系列四)

圆的一般方程A 组 基础巩固1.圆的方程为(x -1)(x +2)+(y -2)(y +4)=0,则圆心坐标为( )A .(1,-1)B .(12,-1) C .(-1,2) D .(-12,-1) 解析:将圆的方程化为标准方程,得(x +12)2+(y +1)2=454,所以圆心为(-12,-1). 答案:D2.设A 为圆(x -1)2+y 2=1上的动点,PA 是圆的切线且|PA|=1,则P 点的轨迹方程是( )A .(x -1)2+y 2=4B .(x -1)2+y 2=2C .y 2=2xD .y 2=-2x解析:由题意知,圆心(1,0)到P 点的距离为2,所以点P 在以(1,0)为圆心,以2为半径的圆上,所以点P 的轨迹方程是(x -1)2+y 2=2.答案:B3.过坐标原点,且在x 轴和y 轴上的截距分别是2和3的圆的方程为( )A .x 2+y 2-2x -3y =0B .x 2+y 2+2x -3y =0C .x 2+y 2-2x +3y =0D .x 2+y 2+2x +3y =0解析:解法一(排除法):由题意知,圆过三点O(0,0),A(2,0),B(0,3),分别把A ,B 两点坐标代入四个选项,只有A 完全符合,故选A.解法二(待定系数法):设方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0,则⎩⎨⎧ F =0,2D +F =-4,3E +F =-9,解得⎩⎨⎧ D =-2,E =-3,F =0,故方程为x 2+y 2-2x -3y =0.解法三(几何法):由题意知,直线过三点O(0,0),A(2,0),B(0,3),由弦AB 所对的圆心角为90°,知线段AB 为圆的直径,即所求的圆是以AB 中点⎝⎛⎭⎫1,32为圆心,12|AB|=132为半径的圆,其方程为(x -1)2+⎝⎛⎭⎫y -322=⎝⎛⎭⎫1322,化为一般式得x 2+y 2-2x -3y =0.答案:A4.圆x 2+y 2-4x -4y -10=0上的点到直线x +y -14=0的最大距离与最小距离的差是( )A .30B .18C .6 2D .5 2解析:圆心为(2,2),则圆心到直线距离为d =|2+2-14|2=52,R =3 2. ∴圆上点到直线的距离最大值为d +R =82,最小值为d -R =2 2.∴(d +R)-(d -R)=82-22=6 2.答案:C5.若圆x 2+y 2-2x -4y =0的圆心到直线x -y +a =0的距离为22,则a 的值为( ) A .-2或2 B.12或32C .2或0D .-2或0解析:由圆心(1,2)到直线的距离公式得|1-2+a|2=22得a =0或a =2.故选C. 答案:C6.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P 满足|PA|=2|PB|,则点P 的轨迹所围成的图形的面积等于( )A .πB .4πC .8πD .9π解析:设点P 的坐标为(x ,y),由|PA|=2|PB|得(x +2)2+y 2=4(x -1)2+4y 2,即(x -2)2+y 2=4.故点P 的轨迹所围成的图形的面积S =4π.答案:B7.如果圆的方程为x 2+y 2+kx +2y +k 2=0,且圆的面积为π,则圆心坐标为__________. 解析:本题考查圆的一般方程及其面积.因为圆x 2+y 2+kx +2y +k 2=0的面积为π,所以圆的半径为1,即12k 2+22-4k 2=124-3k 2=1,所以k =0,所以圆的方程为x 2+y 2+2y =0,得圆心坐标为(0,-1).答案:(0,-1)8.已知圆C :x 2+y 2+2x +ay -3=0(a 为实数)上任意一点关于直线l :x -y +2=0的对称点都在圆C 上,则a =________解析:由题意可得圆C 的圆心⎝⎛⎭⎫-1,-a 2在直线x -y +2=0上,将⎝⎛⎭⎫-1,-a 2代入直线方程得-1-⎝⎛⎭⎫-a 2+2=0,解得a =-2. 答案:-29.由方程x 2+y 2+x +(m -1)y +12m 2=0所确定的圆中,最大面积是__________. 解析:所给圆的半径长为r =1+-2-2m 22=12-+2+3.所以当m =-1时,半径r 取最大值32,此时最大面积是3π4. 答案:3π410.已知圆C :x 2+y 2+Dx +Ey +3=0,圆心在直线x +y -1=0上,且圆心在第二象限,半径长为2,求圆的一般方程.解析:圆心C(-D 2,-E 2), ∵圆心在直线x +y -1=0上,∴-D 2-E 2-1=0,即D +E =-2.① 又∵半径长r =D 2+E 2-122=2, ∴D 2+E 2=20.② 由①②可得⎩⎨⎧ D =2,E =-4,或⎩⎨⎧ D =-4,E =2.又∵圆心在第二象限,∴-D 2<0即D >0.则⎩⎨⎧D =2,E =-4. 故圆的一般方程为x 2+y 2+2x -4y +3=0.B 组 能力提升11.若圆x 2+y 2+2ax -4ay +5a 2-4=0上的所有点都在第二象限,则a 的取值范围为A .(-∞,2)B .(-∞,-1)C .(1,+∞)D .(2,+∞)解析:本题考查圆的性质.由x 2+y 2+2ax -4ay +5a 2-4=0得(x +a)2+(y -2a)2=4,其圆心坐标为(-a,2a),半径为2,由题意知 ⎩⎪⎨⎪⎧ -a <02a >0|-a|>2|2a|>2,解得a >2,故选D.答案:D12.若圆x 2+y 2+2x -6y +1=0上有相异的两点P ,Q 关于直线kx +2y -4=0对称,则直线PQ 的斜率k PQ =__________.解析:本题考查圆的对称性及两垂直直线的斜率的关系.由题意知圆心(-1,3)在直线kx +2y -4=0上,所以k =2,即直线kx +2y -4=0的斜率为-k 2=-1,又直线PQ 与直线kx +2y -4=0垂直,所以k PQ =1.答案:113.已知线段AB 的端点B 的坐标为(8,6),端点A 在圆C :(x +1)2+y 2=4上运动,求线段AB 的中点P 的轨迹方程,并说明它的轨迹是什么?解析:设点P 的坐标为(x ,y),点A 的坐标为(x 0,y 0),由于点B 的坐标为(8,6),且P 为AB的中点,所以x =x 0+82,y =y 0+62.于是有x 0=2x -8,y 0=2y -6. ∵点A 在圆C 上运动,∴点A 的坐标满足方程:(x +1)2+y 2=4,即(x 0+1)2+y 20=4.∴(2x -8+1)+(2y -6)2=4,整理得,(x -72)2+(y -3)2=1. ∴点P 的轨迹是以(72,3)为圆心,1为半径的圆. 14.已知以点C(t ,2t)(t ∈R ,t≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O ,A ,与y 轴交于点O ,B ,其中O 为原点.求证:△OAB 的面积为定值.解析:由于圆C 过原点,故可设圆C 的方程为x 2+y 2+Dx +Ey =0.由于圆心为C(t ,2t ),∴D =-2t ,E =-4t. 令y =0,得x =0或x =-D =2t ,∴A(2t,0).令x =0,得y =0或y =-E =4t ,∴B(0,4t), ∴S △OAB =12|OA|·|OB|=12·|2t|·|4t|=4(定值).。

高中数学 必修二 习题:第4章 圆的方程4.2.3 Word版含解析

高中数学  必修二  习题:第4章 圆的方程4.2.3 Word版含解析

第四章 4.2 4.2.3一、选择题1.一辆卡车宽1.6 m ,要经过一个半圆形隧道(半径为3.6 m),则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过( )A .1.4 mB .3.5 mC .3.6 mD .2.0 m[答案] B[解析] 圆半径OA =3.6,卡车宽1.6,所以AB =0.8, 所以弦心距OB = 3.62-0.82≈3.5(m).2.已知实数x 、y 满足x 2+y 2-2x +4y -20=0,则x 2+y 2的最小值是( )A .30-10 5B .5- 5C .5D .25[答案] A [解析]x 2+y 2为圆上一点到原点的距离.圆心到原点的距离d =5,半径为5,所以最小值为(5-5)2=30-10 5.3.方程y =-4-x 2对应的曲线是( )[答案] A[解析] 由方程y =-4-x 2得x 2+y 2=4(y ≤0),它表示的图形是圆x 2+y 2=4在x 轴上和以下的部分.4.y =|x |的图象和圆x 2+y 2=4所围成的较小的面积是( )D .π4B .3π4C .3π2D .π[答案] D[解析] 数形结合,所求面积是圆x 2+y 2=4面积的14.5.点P 是直线2x +y +10=0上的动点,直线P A 、PB 分别与圆x 2+y 2=4相切于A 、B 两点,则四边形P AOB (O 为坐标原点)的面积的最小值等于( )A .24B .16C .8D .4[答案] C[解析] ∵四边形P AOB 的面积S =2×12|P A |×|OA |=2OP 2-OA 2=2OP 2-4,∴当直线OP 垂直直线2x +y +10=0时,其面积S 最小.6.对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下:若两直线中至少有一条与圆相切,则称该位置关系为“平行相切”;若两直线都与圆相离,则称该位置关系为“平行相离”;否则称为“平行相交”.已知直线l 1:ax +3y +6=0,l 2:2x +(a +1)y +6=0与圆C :x 2+y 2+2x =b 2-1(b >0)的位置关系是“平行相交”,则实数b 的取值范围为( )A .(2,322)B .(0,322)C .(0,2)D .(2,322)∪(322,+∞)[答案] D[解析] 圆C 的标准方程为(x +1)2+y 2=b 2.由两直线平行,可得a (a +1)-6=0,解得a =2或a =-3.当a =2时,直线l 1与l 2重合,舍去;当a =-3时,l 1:x -y -2=0,l 2:x -y +3=0.由l 1与圆C 相切,得b =|-1-2|2=322,由l 2与圆C 相切,得b =|-1+3|2= 2.当l 1、l 2与圆C 都外离时,b < 2.所以,当l 1、l 2与圆C “平行相交”时,b 满足⎩⎪⎨⎪⎧b ≥2b ≠2,b ≠322,故实数b 的取值范围是(2,322)∪(322,+∞). 二、填空题7.已知实数x 、y 满足x 2+y 2=1,则y +2x +1的取值范围为________.[答案] [34,+∞)[解析] 如右图所示,设P (x ,y )是圆x 2+y 2=1上的点,则y +2x +1表示过P (x ,y )和Q (-1,-2)两点的直线PQ 的斜率,过点Q 作圆的两条切线QA ,QB ,由图可知QB ⊥x 轴,k QB 不存在,且k QP ≥k QD .设切线QA 的斜率为k ,则它的方程为y +2=k (x +1),由圆心到QA 的距离为1,得|k -2|k 2+1=1,解得k =34.所以y +2x +1的取值范围是[34,+∞).8.已知M ={(x ,y )|y =9-x 2,y ≠0},N ={(x ,y )|y =x +b },若M ∩N ≠∅,则实数b 的取值范围是________.[答案] (-3,32][解析] 数形结合法,注意y =9-x 2,y ≠0等价于x 2+y 2=9(y>0),它表示的图形是圆x 2+y 2=9在x 轴之上的部分(如图所示).结合图形不难求得,当-3<b ≤32时,直线y =x +b 与半圆x 2+y 2=9(y >0)有公共点. 三、解答题9.为了适应市场需要,某地准备建一个圆形生猪储备基地(如右图),它的附近有一条公路,从基地中心O 处向东走1 km 是储备基地的边界上的点A ,接着向东再走7 km 到达公路上的点B ;从基地中心O 向正北走8 km 到达公路的另一点C .现准备在储备基地的边界上选一点D ,修建一条由D 通往公路BC 的专用线DE ,求DE 的最短距离.[解析] 以O 为坐标原点,过OB 、OC 的直线分别为x 轴和y 轴,建立平面直角坐标系,则圆O 的方程为x 2+y 2=1,因为点B (8,0)、C (0,8),所以直线BC 的方程为x 8+y8=1,即x+y =8.当点D 选在与直线BC 平行的直线(距BC 较近的一条)与圆相切所成切点处时,DE 为最短距离,此时DE 的最小值为|0+0-8|2-1=(42-1)km.10.某圆拱桥的示意图如图所示,该圆拱的跨度AB 是36 m ,拱高OP 是6 m ,在建造时,每隔3 m 需用一个支柱支撑,求支柱A 2P 2的长.(精确到0.01 m)[解析] 如图,以线段AB 所在的直线为x 轴,线段AB 的中点O 为坐标原点建立平面直角坐标系,那么点A 、B 、P 的坐标分别为(-18,0)、(18,0)、(0,6).设圆拱所在的圆的方程是x 2+y 2+Dx +Ey +F =0. 因为A 、B 、P 在此圆上,故有 ⎩⎪⎨⎪⎧182-18D +F =0182+18D +F =062+6E +F =0,解得⎩⎪⎨⎪⎧D =0E =48F =-324.故圆拱所在的圆的方程是x 2+y 2+48y -324=0. 将点P 2的横坐标x =6代入上式,解得y =-24+12 6. 答:支柱A 2P 2的长约为126-24 m.一、选择题1.已知圆C 的方程是x 2+y 2+4x -2y -4=0,则x 2+y 2的最大值为( )A .9B .14C .14-6 5D .14+6 5[答案] D[解析] 圆C 的标准方程为(x +2)2+(y -1)2=9,圆心为C (-2,1),半径为3.|OC |=5,圆上一点(x ,y )到原点的距离的最大值为3+5,x 2+y 2表示圆上的一点(x ,y )到原点的距离的平方,最大值为(3+5)2=14+6 5.2.方程1-x 2=x +k 有惟一解,则实数k 的范围是( )A .k =- 2B .k ∈(-2,2)C .k ∈[-1,1)D .k =2或-1≤k <1[答案] D[解析] 由题意知,直线y =x +k 与半圆x 2+y 2=1(y ≥0只有一个交点.结合图形易得-1≤k <1或k = 2.3.已知圆的方程为x 2+y 2-6x -8y =0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ,则四边形ABCD 的面积为( )A .10 6B .20 6C .30 6D .40 6[答案] B[解析] 圆心坐标是(3,4),半径是5,圆心到点(3,5)的距离为1,根据题意最短弦BD 和最长弦(即圆的直径)AC 垂直,故最短弦的长为252-12=46,所以四边形ABCD 的面积为12×AC ×BD =12×10×46=20 6. 4.在平面直角坐标系中,A ,B 分别是x 轴和y 轴上的动点,若以AB 为直径的圆C 与直线2x +y -4=0相切,则圆C 面积的最小值为( )D .4π5B .3π4C .(6-25)πD .5π4[答案] A[解析] 原点O 到直线2x +y -4=0的距离为d ,则d =45,点C 到直线2x +y -4=0的距离是圆的半径r ,由题知C 是AB 的中点,又以斜边为直径的圆过直角顶点,则在直角△AOB 中,圆C 过原点O ,即|OC |=r ,所以2r ≥d ,所以r 最小为25,面积最小为4π5,故选D . 二、填空题5.某公司有A 、B 两个景点,位于一条小路(直道)的同侧,分别距小路 2 km 和2 2 km ,且A 、B 景点间相距2 km ,今欲在该小路上设一观景点,使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果,则观景点应设于________.[答案] B 景点在小路的投影处[解析] 所选观景点应使对两景点的视角最大.由平面几何知识,该点应是过A 、B 两点的圆与小路所在的直线相切时的切点,以小路所在直线为x 轴,过B 点与x 轴垂直的直线为y 轴上建立直角坐标系.由题意,得A (2,2)、B (0,22),设圆的方程为(x -a )2+(y -b )2=b 2.由A 、B 在圆上,得⎩⎨⎧ a =0b =2,或⎩⎨⎧ a =42b =52,由实际意义知⎩⎨⎧a =0b =2.∴圆的方程为x 2+(y -2)2=2,切点为(0,0),∴观景点应设在B 景点在小路的投影处.6.设集合A ={(x ,y )|(x -4)2+y 2=1},B ={(x ,y )|(x -t )2+(y -at +2)2=1},若存在实数t ,使得A ∩B ≠∅,则实数a 的取值范围是________.[答案] [0,43][解析] 首先集合A 、B 实际上是圆上的点的集合,即A 、B 表示两个圆,A ∩B ≠∅说明这两个圆相交或相切(有公共点),由于两圆半径都是1,因此两圆圆心距不大于半径之和2,即(t -4)2+(at -2)2≤2,整理成关于t 的不等式:(a 2+1)t 2-4(a +2)t +16≤0,据题意此不等式有实解,因此其判别式不小于零,即Δ=16(a +2)2-4(a 2+1)×16≥0,解得0≤a ≤43.三、解答题7.如图,已知一艘海监船O 上配有雷达,其监测范围是半径为25 km 的圆形区域,一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km 的A 处出发,径直驶向位于海监船正北30 km 的B 处岛屿,速度为28 km/h.问:这艘外籍轮船能否被海监船监测到?若能,持续时间多长?(要求用坐标法) [解析] 如图,以O 为原点,东西方向为x 轴建立直角坐标系,则A (40,0),B (0,30),圆O 方程x 2+y 2=252.直线AB 方程:x 40+y30=1,即3x +4y -120=0.设O 到AB 距离为d ,则d =|-120|5=24<25, 所以外籍轮船能被海监船监测到. 设监测时间为t ,则t =2252-24228=12(h)答:外籍轮船能被海监船监测到,时间是0.5 h.8.已知隧道的截面是半径为4.0 m 的半圆,车辆只能在道路中心线一侧行驶,一辆宽为2.7 m 、高为3 m 的货车能不能驶入这个隧道?假设货车的最大宽度为a m ,那么要正常驶入该隧道,货车的限高为多少?[解析] 以某一截面半圆的圆心为坐标原点,半圆的直径AB 所在的直线为x 轴,建立如图所示的平面直角坐标系,那么半圆的方程为:x 2+y 2=16(y ≥0).将x =2.7代入,得 y =16-2.72=8.71<3,所以,在离中心线2.7 m 处,隧道的高度低于货车的高度,因此,货车不能驶入这个隧道.将x =a 代入x 2+y 2=16(y ≥0)得y =16-a 2.所以,货车要正常驶入这个隧道,最大高度(即限高)为16-a2m.。

高中数学必修二人教B版练习:2.3 圆的方程2.3.2 Word版含解析

高中数学必修二人教B版练习:2.3 圆的方程2.3.2 Word版含解析

第二章 2.3 2.3.2A 级 基础巩固一、选择题1.圆x 2+y 2-2x +y +14=0的圆心坐标和半径分别是 ( B )A .(-1,12);1B .(1,-12);1C .(1,-12);62D .(-1,12);62[解析] 圆x 2+y 2-2x +y +14=0化为标准方程为(x -1)2+(y +12)2=1,圆心坐标为(1,-12),半径是1,故选B . 2.方程x 2+y 2+ax +2ay +2a 2+a -1=0表示圆,则a 的范围是 ( D ) A .a <-2或a >23B .-23<a <2C .-2<a <0D .-2<a <23[解析] 由题知a 2+(2a )2-4(2a 2+a -1)>0,即(3a -2)(a +2)<0,因此-2<a <23.3.圆x 2+y 2-2x +6y +8=0的周长等于 ( C ) A .2π B .2π C .22πD .4π[解析] 圆的方程x 2+y 2-2x +6y +8=0 可化为(x -1)2+(y +3)2=2,∴圆的半径r =2,故周长l =2πr =22π.4.方程2x 2+2y 2-4x +8y +10=0表示的图形是 ( A ) A .一个点 B .一个圆 C .一条直线D .不存在 [解析] 方程2x 2+2y 2-4x +8y +10=0, 可化为x 2+y 2-2x +4y +5=0, 即(x -1)2+(y +2)2=0,∴方程2x 2+2y 2-4x +8y +10=0 表示点(1,-2).5.若直线mx +2ny -4=0始终平分圆x 2+y 2-4x -2y -4=0的周长,则mn 的取值范围是 ( D )A .(0,1)B .(0,1]C .(-∞,1)D .(-∞,1][解析] 可知直线mx +2ny -4=0过圆心(2,1),有2m +2n -4=0,即n =2-m ,则mn =m ·(2-m )=-m 2+2m =-(m -1)2+1≤1.6.已知点P 是圆C :x 2+y 2+4x +ay -5=0上任意一点,P 点关于直线2x +y -1=0的对称点在圆C 上,则实数a 等于 ( B )A .10B .-10C .20D .-20[解析] 由题意知,直线2x +y -1=0过圆C 的圆心(-2,-a 2),∴2×(-2)-a2-1=0,∴a =-10.二、填空题7.点P (1,-2)和圆C :x 2+y 2+m 2x +y +m 2=0的位置关系是__在圆C 外部__. [解析] 将点P (1,-2)代入圆的方程,得1+4+m 2-2+m 2=2m 2+3>0,∴点P 在圆C 外部.8.若方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0表示以(2,-4)为圆心,4为半径的圆,则F =__4__. [解析] 由题意,知D =-4,E =8,r =(-4)2+82-4F2=4,∴F =4.三、解答题9.已知圆D 与圆C :x 2+y 2-x +2y =0关于直线x -y +1=0对称,求圆D 的一般方程. [解析] 圆C 的圆心坐标为(12,-1),半径r =52,C (12,-1)关于直线x -y +1=0对称的点D (-2,32),故所求圆D 的方程为(x +2)2+(y -32)2=54,即圆D 的一般方程为x 2+y 2+4x -3y +5=0.10.一动点到A (-4,0)的距离是到B (2,0)的距离的2倍,求动点的轨迹方程.[解析] 设动点M 的坐标为(x ,y ), 则|MA |=2|MB |, 即(x +4)2+y 2=2(x -2)2+y 2,整理得x 2+y 2-8x =0.∴所求动点的轨迹方程为x 2+y 2-8x =0.B 级 素养提升一、选择题1.一束光线从点A (-1,1)出发经x 轴反射到圆C :x 2+y 2-4x -6y +12=0上的最短路程是 ( A )A .4B .5C .32-1D .2 6[解析] 将方程C :x 2+y 2-4x -6y +12=0配方,得(x -2)2+(y -3)2=1,即圆心为C (2,3),半径为1. 由光线反射的性质可知:点A 关于x 轴的对称点A ′(-1,-1)到圆上的最短距离就是所求的最短路程,即|A ′C |-r =(2+1)2+(3+1)2-1=5-1=4,故选A .2.已知x 2+y 2+4x -2y -4=0,则x 2+y 2的最大值为 ( D ) A .9 B .14 C .14-6 5D .14+6 5[解析] 已知方程表示圆心为(-2,1),r =3的圆. 令d =x 2+y 2,则d 表示(x ,y )与(0,0)的距离,∴d max =(-2-0)2+(1-0)2+r =5+3,∴(x 2+y 2)max =(5+3)2=14+6 5.3.如果直线l 将圆x 2+y 2-2x -6y =0平分,且不通过第四象限,那么直线l 的斜率的取值范围是 ( A )A .[0,3]B .[0,1]C .⎣⎡⎦⎤0,13 D .⎣⎡⎭⎫0,13 [解析] l 过圆心C (1,3),且不过第四象限. 由数形结合法易知:0≤k ≤3.4.已知圆x 2+y 2+kx +2y +k 2=0,当该圆的面积取最大值时,圆心坐标是 ( A ) A .(0,-1) B .(1,-1) C .(-1,0)D .(-1,1)[解析] 圆的半径r =124-3k 2,要使圆的面积最大,即圆的半径r 取最大值,故当k=0时,r 取最大值1,∴圆心坐标为(0,-1).二、填空题5.圆x 2+y 2-4x +2y +c =0与y 轴交于A 、B 两点,圆心为P ,若∠APB =90°,则c 等于__-3__. 导学号 92434810[解析] 圆与y 轴的交点A 、B 的坐标为(0,-1±1-c ),点P 坐标为(2,-1),由∠APB =90°,得k P A ·k PB =-1,∴c =-3.6.若x 20+y 20+Dx 0+Ey 0+F >0,则点P (x 0,y 0)在圆x 2+y 2+Dx +Ey +F =0的__外部__.导学号 92434811[解析] ∵x 20+y 20+Dx 0+Ey 0+F >0,∴点P (x 0,y 0)在圆x 2+y 2+Dx +Ey +F =0的外部.三、解答题7.经过两点P (-2,4)、Q (3,-1),且在x 轴上截得的弦长为6的圆的方程. 导学号 92434812[解析] 设圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0,将P 、Q 两点的坐标分别代入,得⎩⎪⎨⎪⎧2D -4E -F =203D -E +F =-10①②又令y =0,得x 2+Dx +F =0.由已知,|x 1-x 2|=6(其中x 1,x 2是方程x 2+Dx +F =0的两根),∴D 2-4F =36,③ ①、②、③联立组成方程组,解得⎩⎪⎨⎪⎧D =-2E =-4F =-8,或⎩⎪⎨⎪⎧D =-6E =-8F =0.∴所求圆的方程为x 2+y 2-2x -4y -8=0或x 2+y 2-6x -8y =0.C 级 能力拔高1.(2016·唐山调研)已知点A (-3,0),B (3,0),动点P 满足|P A |=2|PB |. 导学号 92434813 (1)若点P 的轨迹曲线C ,求此曲线的方程;(2)若点Q 在直线l 1:x +y +3=0上,直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ,求|QM |的最小值.[解析] (1)设点P 的坐标为(x ,y ),则 (x +3)2+y 2=2(x -3)2+y 2.化简可得(x -5)2+y 2=16,此方程即为所求.(2)曲线C是以点(5,0)为圆心,4为半径的圆,如图所示.由直线l 2是此圆的切线,连接CQ ,则 |QM |=|CQ |2-|CM |2=|CQ |2-16,当CQ ⊥l 1时,|CQ |取最小值,此时|CQ |=|5+3|2=42,则|QM |的最小值为32-16=4.2.已知方程x 2+y 2-2(t +3)x +2(1-4t 2)y +16t 4+9=0(t ∈R )的图形是圆. 导学号 92434814(1)求t 的取值范围;(2)当实数t 变化时,求其中面积最大的圆的方程. [解析] (1)方程即(x -t -3)2+(y +1-4t 2)2 =(t +3)2+(1-4t 2)2-16t 4-9.∴r 2=-7t 2+6t +1>0,∴-17<t <1.(2)∵r =-7t 2+6t +1=-7⎝⎛⎭⎫t -372+167, ∴当t =37∈⎝⎛⎭⎫-17,1时r max =477, 此时圆面积最大,所对应的圆的方程是⎝⎛⎭⎫x -2472+⎝⎛⎭⎫y +13492=167.。

人教A版高中数学必修二第四章《圆与方程》测试题(含答案)

人教A版高中数学必修二第四章《圆与方程》测试题(含答案)
当直线 的斜率存在时,设直线 的方程为 ,即 ,
由于圆心 到该直线的距离为 ,
故 ,解得 ,
∴直线 的方程为 ,即 .
综上可得,直线 的方程为 或 .
18.解:(1)因为直线 的方程可化为 ,
所以 过直线 与 的交点 .
又因为点 到圆心 的距离 ,
所以点 在圆内,所以过点 的直线 与圆 恒交于两点.
参考答案
1.B2.D3.D4.C5.A6.C7.A8.B9.D10.D11.A12.A
13. .
14.
15.
16.
17.解:(1)设圆 的方程为 ,
因为圆 过 三点,
所以有 ,解得 , ,
∴ 外接圆 的方程为 ,
即 .
(2)当直线 的斜率不存在时,直线 的方程为 ,
联立 ,
得 或 ,此时弦长为 ,满足题意;
(2)由(1)可知:过点 的所有弦中,弦心距 ,
因为弦心距、半弦长和半径 构成直角三角形,
所以当 时,半弦长的平方的最小值为 ,
所以弦长的最小值为 .
此时, .
因为 ,所以 ,解得 ,
所以当 时,得到最短弦长为 .
19.解:将方程 化为标准方程为 ,
此方程表示以 为圆心,2为半径的圆.
(1) 表示圆上的点 与定点 连线的斜率,
A. B.
C. D.
6.在空间直角坐标系中,点 关于平面 对称的点的坐标为()
A. B. C. D.
7.圆 的圆心到直线 的距离为1,则 ( )
A. B. C. D.2
8.已知直线l:y=x+m与曲线 有两个公共点,则实数m的取值范围是( )
A.[-1, )B.(- ,-1]C.[1, )D.(- ,1]

圆的方程

圆的方程

必修二圆的方程练习题一.选择题(共8小题)1.从圆x2﹣2x+y2﹣2y+1=0外一点P(3,2)向这个圆作两条切线,则两切线夹角的余弦值为()A.B.C.D.02.已知圆x2+y2+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a的值是()A.﹣2 B.﹣4 C.﹣6 D.﹣83.圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y﹣25=0的距离的最小值是()A.6 B.4 C.5 D.14.平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是()A.2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B.2x+y+=0或2x+y﹣=0C.2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D.2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=05.过三点A(1,0),B(0,),C(2,)则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A.B.C.D.6.以点(3,﹣1)为圆心且与直线3x+4y=0相切的圆的方程是()A.(x﹣3)2+(y+1)2=1 B.(x+3)2+(y﹣1)2=1C.(x+3)2+(y﹣1)2=2 D.(x﹣3)2+(y+1)2=27.直线x+2y﹣5+=0被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为()A.1 B.2 C.4 D.48.圆(x+2)2+y2=4与圆(x﹣2)2+(y﹣1)2=9的位置关系为()A.内切 B.相交 C.外切 D.相离二.解答题(共8小题)9.如图所示,在Rt△ABC中,已知A(﹣2,0),直角顶点B(0,﹣2),点C在x轴上.(Ⅰ)求Rt△ABC外接圆的方程;(Ⅱ)求过点(﹣4,0)且与Rt△ABC外接圆相切的直线的方程.10.若圆过A(2,0),B(4,0),C(0,2)三点,求这个圆的方程.11.已知圆C的圆心在直线l:x﹣2y﹣1=0上,并且经过原点和A(2,1),求圆C的标准方程.12.一圆与y轴相切,圆心在直线x﹣3y=0上,且直线y=x截圆所得弦长为,求此圆的方程.13.设圆的方程为x2+y2﹣4x﹣5=0,(1)求该圆的圆心坐标及半径;(2)若此圆的一条弦AB的中点为P(3,1),求直线AB的方程.14.已知两点A(1,﹣1),B(﹣1,﹣3).(Ⅰ)求过A、B两点的直线方程;(Ⅱ)求线段AB的垂直平分线l的直线方程;(Ⅲ)若圆C经过A、B两点且圆心在直线x﹣y+1=0上,求圆C的方程.15.已知过点A(﹣1,4)的圆的圆心为C(3,1).(1)求圆C的方程;(2)若过点B(2,﹣1)的直线l被圆C截得的弦长为,求直线l的方程.16.已知圆C经过A(3,2)、B(4,3)两点,且圆心在直线y=2x上.(1)求圆C的方程;(2)若直线l经过点P(﹣1,3)且与圆C相切,求直线l的方程.必修二圆的方程练习题参考答案与试题解析一.选择题(共8小题)1.(2016•陕西校级模拟)从圆x2﹣2x+y2﹣2y+1=0外一点P(3,2)向这个圆作两条切线,则两切线夹角的余弦值为()A.B.C.D.0【解答】解:圆x2﹣2x+y2﹣2y+1=0的圆心为M(1,1),半径为1,从外一点P(3,2)向这个圆作两条切线,则点P到圆心M的距离等于,每条切线与PM的夹角的正切值等于,所以两切线夹角的正切值为,该角的余弦值等于,故选B.2.(2016•贵州校级模拟)已知圆x2+y2+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a的值是()A.﹣2 B.﹣4 C.﹣6 D.﹣8【解答】解:圆x2+y2+2x﹣2y+a=0 即(x+1)2+(y﹣1)2=2﹣a,故弦心距d==.再由弦长公式可得2﹣a=2+4,∴a=﹣4,故选:B.3.(2015•潮南区模拟)圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y﹣25=0的距离的最小值是()A.6 B.4 C.5 D.1【解答】解:圆的圆心坐标(0,0),到直线3x+4y﹣25=0的距离是,所以圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y﹣25=0的距离的最小值是5﹣1=4故选B.4.(2015•广东)平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是()A.2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B.2x+y+=0或2x+y﹣=0C.2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D.2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=0【解答】解:设所求直线方程为2x+y+b=0,则,所以=,所以b=±5,所以所求直线方程为:2x+y+5=0或2x+y﹣5=0故选:A.5.(2015•新课标II)过三点A(1,0),B(0,),C(2,)则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A.B.C.D.【解答】解:因为△ABC外接圆的圆心在直线BC垂直平分线上,即直线x=1上,可设圆心P(1,p),由PA=PB得|p|=,得p=圆心坐标为P(1,),所以圆心到原点的距离|OP|===,故选:B6.(2015•茂名一模)以点(3,﹣1)为圆心且与直线3x+4y=0相切的圆的方程是()A.(x﹣3)2+(y+1)2=1 B.(x+3)2+(y﹣1)2=1 C.(x+3)2+(y﹣1)2=2 D.(x﹣3)2+(y+1)2=2【解答】解:设圆的方程是(x﹣3)2+(y+1)2=r2∵直线3x+4y=0相与圆相切∴圆的半径r==1因此,所求圆的方程为(x﹣3)2+(y+1)2=1 故选:A.7.(2013•安徽)直线x+2y﹣5+=0被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为()A.1 B.2 C.4 D.4【解答】解:由x2+y2﹣2x﹣4y=0,得(x﹣1)2+(y﹣2)2=5,所以圆的圆心坐标是C(1,2),半径r=.圆心C到直线x+2y﹣5+=0的距离为d=.所以直线直线x+2y﹣5+=0被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为故选C.8.(2012•山东)圆(x+2)2+y2=4与圆(x﹣2)2+(y﹣1)2=9的位置关系为()A.内切 B.相交 C.外切 D.相离【解答】解:圆(x+2)2+y2=4的圆心C1(﹣2,0),半径r=2.圆(x﹣2)2+(y﹣1)2=9的圆心C2(2,1),半径R=3,两圆的圆心距d==,R+r=5,R﹣r=1,R+r>d>R﹣r,所以两圆相交,故选B.二.解答题(共8小题)9.(2016春•吉林校级期末)如图所示,在Rt△ABC中,已知A(﹣2,0),直角顶点B(0,﹣2),点C在x轴上.(Ⅰ)求Rt△ABC外接圆的方程;(Ⅱ)求过点(﹣4,0)且与Rt△ABC外接圆相切的直线的方程.【解答】解:(Ⅰ)设点C(a,0),由BA⊥BC,可得K BA•K BC=•=﹣1,∴a=4,故所求的圆的圆心为AC的中点(1,0)、半径为AC=3,故要求Rt△ABC外接圆的方程为(x﹣1)2+y2=9.(Ⅱ)由题意可得,要求的直线的斜率一定存在,设要求直线的方程为y=k(x+4),即kx﹣y+4k=0,当直线和圆相切时,圆心到直线的距离等于半径,故有d==3,求得k=±,故要求的直线的方程为3x﹣4y+12=0,或3x+4y+12=0.10.(2015秋•高安市校级期末)若圆过A(2,0),B(4,0),C(0,2)三点,求这个圆的方程.【解答】解:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则有②﹣①得:12+2D=0,∴D=﹣6代入①得:4﹣12+F=0,∴F=8代入③得:2E+8+4=0,∴E=﹣6∴D=﹣6,E=﹣6,F=8∴圆的方程是x2+y2﹣6x﹣6y+8=011.(2015秋•孝义市期末)已知圆C的圆心在直线l:x﹣2y﹣1=0上,并且经过原点和A (2,1),求圆C的标准方程.【解答】解:设圆的标准方程为(x﹣a)2+(y﹣b)2=r2,圆心(a,b),半径r.∵圆C的圆心在直线l:x﹣2y﹣1=0上,并且经过原点和A(2,1),∴解得.故圆C的标准方程为.12.(2013秋•南岗区校级期末)一圆与y轴相切,圆心在直线x﹣3y=0上,且直线y=x截圆所得弦长为,求此圆的方程.【解答】解:因圆与y轴相切,且圆心在直线x﹣3y=0上,故设圆方程为(x﹣3b)2+(y ﹣b)2=9b2.又因为直线y=x截圆得弦长为2,则有()2+()2=9b2,解得b=±1.故所求圆方程为(x﹣3)2+(y﹣1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9.13.(2013春•天元区校级月考)设圆的方程为x2+y2﹣4x﹣5=0,(1)求该圆的圆心坐标及半径;(2)若此圆的一条弦AB的中点为P(3,1),求直线AB的方程.【解答】解:(1)将x2+y2﹣4x﹣5=0配方得:(x﹣2)2+y2=9∴圆心坐标为C(2.0),半经为r=3.…(6分)(2)设直线AB的斜率为k.由圆的知识可知:CP⊥AB,∴k CP•k=﹣1又K cp==1,∴k=﹣1.∴直线AB的方程为y﹣1=﹣1(x﹣3)即:x+y﹣4=014.(2013秋•昌平区期末)已知两点A(1,﹣1),B(﹣1,﹣3).(Ⅰ)求过A、B两点的直线方程;(Ⅱ)求线段AB的垂直平分线l的直线方程;(Ⅲ)若圆C经过A、B两点且圆心在直线x﹣y+1=0上,求圆C的方程.【解答】解:(I)∵点A(1,﹣1),B(﹣1,﹣3),∴k AB==1,∴过A、B两点的直线方程为y+1=x﹣1,即x﹣y﹣2=0…(4分)(II)线段AB的中点坐标(0.﹣2),k AB=1,则所求直线的斜率为﹣1,故所求的直线方程是x+y+2=0…(8分)(III)设所求圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0由题意可知,解得D=3,E=1,F=﹣4所求的圆的方程是x2+y2+3x+y﹣4=0.…(14分)15.(2010秋•徐州期末)已知过点A(﹣1,4)的圆的圆心为C(3,1).(1)求圆C的方程;(2)若过点B(2,﹣1)的直线l被圆C截得的弦长为,求直线l的方程.【解答】解:(1)圆C半径r即为AC,所以,所以圆C的方程为(x﹣3)2+(y﹣1)2=25.(2)圆心C到直线l的距离为,当直线l垂直于x轴时,方程为x=2,不满足条件,所以直线l的斜率存在,设直线l的方程为y+1=k(x﹣2),即kx﹣y﹣2k﹣1=0,由,解得,所以直线l的方程为x+2y=0.16.(2009•山东模拟)已知圆C经过A(3,2)、B(4,3)两点,且圆心在直线y=2x上.(1)求圆C的方程;(2)若直线l经过点P(﹣1,3)且与圆C相切,求直线l的方程.【解答】解:(1)设圆C的方程为(x﹣a)2+(y﹣b)2=r2,r>0,,依题意得:,解得a=2,b=4,r=.所以,圆C的方程为(x﹣2)2+(y﹣4)2=5.(2)由于直线l经过点P(﹣1,3),当直线l的斜率不存在时,x=﹣1与圆C (x﹣2)2+(y﹣4)2=5 相离.当直线l的斜率存在时,可设直线l的方程为y﹣3=k(x+1),即:kx﹣y+3=0.因为直线l与圆相切,且圆的圆心为(2,4),半径为,所以,有=.解得k=2 或k=﹣.所以,直线l的方程为y﹣3=2(x+1)或y﹣3=﹣(x+1),即:2x﹣y+5=0 或x+2y﹣5=0.。

必修2圆的方程测试题有答案

必修2圆的方程测试题有答案
12.已知直线 为圆 在点 处的切线,点 为直线 上一动点,点 为圆 上一动点,则 的最小值为()
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中的横线上.)
13.若圆 = 关于直线 = 对称,过点 作圆的切线,则切线长的最小值是________.
14.已知圆 = 与圆 = 相外切,则 的最大值为_______.
(1)当点 在大圆上运动时,求垂足 的轨迹方程;
(2)过点 的直线 交垂足 的轨迹于 两点,若以 为直径的圆与 轴相切,求直线 的方程.
21.(12分)在平面直角坐标系 中,点 ,直线 : 与直线 : 的交点为圆 的圆心,设圆 的半径为1.
(1)过点 作圆 交圆于 , 两点,求弦 的长.
10.已知圆C过点M(1,1),N(5,1),且圆心在直线y=x-2上,则圆C的方程为( )
A.x2+y2-6x-2y+6=0B.x2+y2+6x-2y+6=0
C.x2+y2+6x+2y+6=0D.x2+y2-2x-6y+6=0
11.若圆 有且仅有三个点到直线 的距离为1,则实数 的值为( )
A. B. C. D.
19.(12分)已知圆 和点 .
(1)若过点 有且只有一条直线与圆 相切,求实数 的值,并求出切线方程;
(2)若 ,过点 的圆的两条弦 互相垂直,求 的最大值.
20.(12分)已知:如图,两同心圆: 和 . 为大圆上一动点,连结 ( 为坐标原点)交小圆于点 ,过点 作 轴垂线 (垂足为 ),再过点 作直线 的垂线 ,垂足为 .
( )求圆 的标准方程.
( )求直线 与圆 相交的弦长.
18.(12分)已知曲线 的方程为 ( , 为常数).
(1)判断曲线 的形状;

高二圆的方程练习题

高二圆的方程练习题

高二圆的方程练习题在高二数学中,圆是一个重要的几何形状。

了解圆的方程和性质是解决与圆相关问题的基础。

下面是一些高二圆的方程练习题,帮助你巩固和应用这方面的知识。

1. 已知圆C的半径为r,圆心坐标为(h, k)。

写出圆C的标准方程和一般方程。

解答:圆C的标准方程为:(x - h)² + (y - k)² = r²圆C的一般方程为:x² + y² - 2hx -2ky + h² + k² - r² = 02. 试写出过坐标原点的圆,半径为r的标准方程和一般方程。

解答:过坐标原点的圆的圆心坐标为(0, 0)。

标准方程为:x² + y² = r²一般方程为:x² + y² - r² = 03. 已知圆C过点A(2, 3)和B(4, 1),且圆心在y轴上。

写出圆C的方程。

解答:设圆C的圆心坐标为(0, k)。

由于圆心在y轴上,所以圆C的方程为x² + (y - k)² = r²。

将点A(2, 3)代入方程得:2² + (3 - k)² = r²。

将点B(4, 1)代入方程得:4² + (1 - k)² = r²。

由此可求得圆C的方程。

4. 已知圆C的直径的两个端点分别为A(3, 5)和B(-1, -2),写出圆C的方程。

解答:直径的中点坐标为[(3 + (-1))/2, (5 + (-2))/2] = (1, 1)。

由于直径的中点即为圆心,所以圆C的圆心坐标为(1, 1)。

圆C的半径为AB的一半,即√[(3 - (-1))² + (5 - (-2))²] / 2。

将圆心坐标和半径代入圆的标准方程可求得圆C的方程。

5. 已知圆C的方程为2x² + 2y² + 4x - 6y + 9 = 0,写出圆C的圆心坐标和半径。

高中数学必修二同步练习题库:圆的方程(简答题:一般)

高中数学必修二同步练习题库:圆的方程(简答题:一般)

圆的方程(简答题:一般)1、求圆心在直线上,与轴相切,且被直线截得的弦长为的圆的方程。

2、(1)求过点且在两个坐标轴上截距相等的直线方程。

(2)已知圆心为的圆经过点和,且圆心在直线上,求圆心为的圆的标准方程.3、(1)已知圆的圆心是与轴的交点,且与直线相切,求圆的标准方程. (2)若点在圆上,求的最大值.4、已知为圆上的动点,,为定点.(1)求线段中点M的轨迹方程;(2)若,求线段中点N的轨迹方程.5、求圆心在直线上,且过两圆,交点的圆的方程.6、已知点,圆:,过点的动直线与圆交于两点,线段的中点为,为坐标原点.(1)求的轨迹方程;(2)当时,求的方程及的面积7、已知圆过,,且圆心在直线上.(Ⅰ)求此圆的方程.(Ⅱ)求与直线垂直且与圆相切的直线方程.(Ⅲ)若点为圆上任意点,求的面积的最大值.8、已知直线与相较于点,直线.(1)若点在直线上,求的值;(2)若直线交直线分别为点和点,且点的坐标为,求的外接圆的标准方程。

9、已知圆的圆心在直线上,且圆在轴、轴上截得的弦长和分别为和.(1)求圆的方程;(2)若圆心位于第四象限,点是圆内一动点,且,满足,求的范围.10、已知圆经过,两点,且圆心在直线上.(1)求圆的方程;(2)动直线:过定点,斜率为的直线过点,直线和圆相交于,两点,求的长度.11、已知圆的圆心在直线上,且与直线相切于点,(1)求圆方程;(2)是否存在过点的直线与圆交于两点,且的面积是(为坐标原点),若存在,求出直线的方程,若不存在,请说明理由.12、(1)求与圆心在直线上,且过点A(2,-3),B(-2,-5)的圆C的方程.(2)设是圆C上的点,求的最大值和最小值.13、已知方程表示一个圆.(1)求实数的取值范围;(2)求该圆半径的取值范围;(3)求该圆心的纵坐标的最小值.14、如图,经过点作两条互相垂直的直线和,直线交轴正半轴于点,直线交轴正半轴于点.(1)如果,求点的坐标.(2)试问是否总存在经过,,,四点的圆?如果存在,求出半径最小的圆的方程;如果不存在,请说明理由.15、已知为圆上任一点,且点.(1)若在圆上,求线段的长及直线的斜率.(2)求的最大值和最小值.(3)若,求的最大值和最小值.16、求圆心在直线上,且与直线相切于点的圆的方程.17、若直线与两坐标轴的交点分别为,,求以为直径的圆的方程.18、已知圆过点,圆心在直线上且圆心在第一象限,圆被轴截得的弦长为.(I)求圆的方程.(II)过点作圆的切线,求切线的方程.19、在平面直角系中,已知两点,,直线关于直线对称.()求直线的方程.()圆的圆心在直线上,且与轴相切于点,求圆的方程.20、已知圆的半径为,圆心在第一象限,且与直线和轴都相切.(Ⅰ)求圆的方程.(Ⅱ)过的直线与圆相交所得的弦长为,求直线的方程.21、求半径为2,圆心在直线上,且被直线:所截弦的长为的圆的方程.22、如图,l1,l2是通过某城市开发区中心O的两条南北和东西走向的街道,连结M、N两地之间的铁路线是圆心在l2上的一段圆弧.若点M在点O正北方向,且|MO|=3 km,点N到l1,l2的距离分别为4 km和5 km.(1)建立适当的坐标系,求铁路线所在圆弧的方程;(2)若该城市的某中学拟在点O正东方向选址建分校,考虑环境问题,要求校址到点O的距离大于4 km,并且铁路线上任意一点到校址的距离不能少于km,求该校址距点O的最近距离.(注:校址视为一个点)23、如图,已知矩形四点坐标为A(0,-2),C(4,2),B(4,-2),D(0,2).(1)求对角线所在直线的方程;(2)求矩形外接圆的方程;(3)若动点为外接圆上一点,点为定点,问线段PN中点的轨迹是什么,并求出该轨迹方程。

高中数学必修2:第四章-圆与方程测试(含解析)

高中数学必修2:第四章-圆与方程测试(含解析)

第四章测试(时间:120分钟总分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知两圆的方程是x2+y2=1和x2+y2-6x-8y+9=0,那么这两个圆的位置关系是()A.相离B.相交C.外切D.内切解析将圆x2+y2-6x-8y+9=0,化为标准方程得(x-3)2+(y-4)2=16.∴两圆的圆心距(0-3)2+(0-4)2=5,又r1+r2=5,∴两圆外切.答案 C2.过点(2,1)的直线中,被圆x2+y2-2x+4y=0截得的最长弦所在的直线方程为()A.3x-y-5=0 B.3x+y-7=0C.x+3y-5=0 D.x-3y+1=0解析依题意知所求直线通过圆心(1,-2),由直线的两点式方程,得y+2 1+2=x-12-1,即3x-y-5=0.答案 A3.若直线(1+a)x+y+1=0与圆x2+y2-2x=0相切,则a的值为() A.1,-1 B.2,-2C .1D .-1解析 圆x 2+y 2-2x =0的圆心C (1,0),半径为1,依题意得|1+a +0+1|(1+a )2+1=1,即|a +2|=(a +1)2+1,平方整理得a =-1.答案 D4.经过圆x 2+y 2=10上一点M (2,6)的切线方程是( ) A .x +6y -10=0 B.6x -2y +10=0 C .x -6y +10=0D .2x +6y -10=0解析 ∵点M (2,6)在圆x 2+y 2=10上,k OM =62, ∴过点M 的切线的斜率为k =-63. 故切线方程为y -6=-63(x -2). 即2x +6y -10=0. 答案 D5.垂直于直线y =x +1且与圆x 2+y 2=1相切于第一象限的直线方程是( ) A .x +y -2=0 B .x +y +1=0 C .x +y -1=0D .x +y +2=0解析 由题意可设所求的直线方程为y =-x +k ,则由|k |2=1,得k =±2.由切点在第一象限知,k = 2.故所求的直线方程y =-x +2,即x +y -2=0.答案 A6.关于空间直角坐标系O -xyz 中的一点P (1,2,3)有下列说法: ①点P 到坐标原点的距离为13; ②OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫12,1,32;③与点P关于x轴对称的点的坐标为(-1,-2,-3);④与点P关于坐标原点对称的点的坐标为(1,2,-3);⑤与点P关于坐标平面xOy对称的点的坐标为(1,2,-3).其中正确的个数是()A.2 B.3C.4 D.5解析点P到坐标原点的距离为12+22+32=14,故①错;②正确;点P关于x轴对称的点的坐标为(1,-2,-3),故③错;点P关于坐标原点对称的点的坐标为(-1,-2,-3),故④错;⑤正确.答案 A7.已知点M(a,b)在圆O:x2+y2=1处,则直线ax+by=1与圆O的位置关系是()A.相切B.相交C.相离D.不确定解析∵点M(a,b)在圆x2+y2=1外,∴a2+b2>1,又圆心(0,0)到直线ax+by=1的距离d=1a2+b2<1=r,∴直线与圆相交.答案 B8.与圆O1:x2+y2+4x-4y+7=0和圆O2:x2+y2-4x-10y+13=0都相切的直线条数是()A.4 B.3C.2 D.1解析两圆的方程配方得,O1:(x+2)2+(y-2)2=1,O2:(x-2)2+(y-5)2=16,圆心O1(-2,2),O2(2,5),半径r1=1,r2=4,∴|O1O2|=(2+2)2+(5-2)2=5,r1+r2=5.∴|O1O2|=r1+r2,∴两圆外切,故有3条公切线.答案 B9.直线l将圆x2+y2-2x-4y=0平分,且与直线x+2y=0垂直,则直线l的方程是()A.2x-y=0 B.2x-y-2=0C.x+2y-3=0 D.x-2y+3=0解析依题意知直线l过圆心(1,2),斜率k=2,∴l的方程为y-2=2(x-1),即2x-y=0.答案 A10.圆x2+y2-(4m+2)x-2my+4m2+4m+1=0的圆心在直线x+y-4=0上,那么圆的面积为()A.9π B.πC.2π D.由m的值而定解析∵x2+y2-(4m+2)x-2my+4m2+4m+1=0,∴[x-(2m+1)]2+(y-m)2=m2.∴圆心(2m+1,m),半径r=|m|.依题意知2m+1+m-4=0,∴m=1.∴圆的面积S=π×12=π.答案 B11.当点P在圆x2+y2=1上变动时,它与定点Q(3,0)的连结线段PQ的中点的轨迹方程是()A.(x+3)2+y2=4 B.(x-3)2+y2=1C.(2x-3)2+4y2=1 D.(2x+3)2+4y2=1解析 设P (x 1,y 1),Q (3,0),设线段PQ 中点M 的坐标为(x ,y ), 则x =x 1+32,y =y 12,∴x 1=2x -3,y 1=2y . 又点P (x 1,y 1)在圆x 2+y 2=1上, ∴(2x -3)2+4y 2=1.故线段PQ 中点的轨迹方程为(2x -3)2+4y 2=1. 答案 C12.曲线y =1+4-x 2与直线y =k (x -2)+4有两个交点,则实数k 的取值范围是( )A .(0,512) B .(512,+∞) C .(13,34]D .(512,34] 解析 如图所示,曲线y =1+4-x 2变形为x 2+(y -1)2=4(y ≥1), 直线y =k (x -2)+4过定点(2,4), 当直线l 与半圆相切时,有 |-2k +4-1|k 2+1=2,解得k =512. 当直线l 过点(-2,1)时,k =34. 因此,k 的取值范围是512<k ≤34. 答案 D二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上) 13.圆x 2+y 2=1上的点到直线3x +4y -25=0的距离最小值为____________.解析 圆心(0,0)到直线3x +4y -25=0的距离为5, ∴所求的最小值为4. 答案 414.圆心为(1,1)且与直线x +y =4相切的圆的方程是________. 解析 r =|1+1-4|2=2,所以圆的方程为(x -1)2+(y -1)2=2.答案 (x -1)2+(y -1)2=215.方程x 2+y 2+2ax -2ay =0表示的圆,①关于直线y =x 对称;②关于直线x +y =0对称;③其圆心在x 轴上,且过原点;④其圆心在y 轴上,且过原点,其中叙述正确的是__________.解析 已知方程配方,得(x +a )2+(y -a )2=2a 2(a ≠0),圆心坐标为(-a ,a ),它在直线x +y =0上,∴已知圆关于直线x +y =0对称.故②正确.答案 ②16.直线x -2y -3=0与圆(x -2)2+(y +3)2=9相交于A ,B 两点,则△AOB (O 为坐标原点)的面积为________.解析 圆心坐标(2,-3),半径r =3,圆心到直线x -2y -3=0的距离d =5,弦长|AB |=2r 2-d 2=4.又原点(0,0)到AB 所在直线的距离h =35,所以△AOB 的面积为S =12×4×35=655.答案 655三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)自A (4,0)引圆x 2+y 2=4的割线ABC ,求弦BC 中点P 的轨迹方程. 解 解法1:连接OP ,则OP ⊥BC ,设P (x ,y ),当x ≠0时,k OP ·k AP =-1,即y x ·yx -4=-1.即x2+y2-4x=0.①当x=0时,P点坐标为(0,0)是方程①的解,∴BC中点P的轨迹方程为x2+y2-4x=0(在已知圆内).解法2:由解法1知OP⊥AP,取OA中点M,则M(2,0),|PM|=12|OA|=2,由圆的定义,知P点轨迹方程是以M(2,0)为圆心,2为半径的圆.故所求的轨迹方程为(x-2)2+y2=4(在已知圆内).18.(12分)已知圆M:x2+y2-2mx+4y+m2-1=0与圆N:x2+y2+2x+2y-2=0相交于A,B两点,且这两点平分圆N的圆周,求圆M的圆心坐标.解由圆M与圆N的方程易知两圆的圆心分别为M(m,-2),N(-1,-1).两圆的方程相减得直线AB的方程为2(m+1)x-2y-m2-1=0.∵A,B两点平分圆N的圆周,∴AB为圆N的直径,∴AB过点N(-1,-1).∴2(m+1)×(-1)-2×(-1)-m2-1=0.解得m=-1.故圆M的圆心M(-1,-2).19.(12分)点M在圆心为C1的方程x2+y2+6x-2y+1=0上,点N在圆心为C2的方程x2+y2+2x+4y+1=0上,求|MN|的最大值.解把圆的方程都化成标准形式,得(x+3)2+(y-1)2=9,(x+1)2+(y+2)2=4.如图所示,C 1的坐标是(-3,1),半径长是3;C 2的坐标是(-1,-2),半径长是2.所以,|C 1C 2|=(-3+1)2+(1+2)2=13.因此,|MN |的最大值是13+5.20.(12分)已知圆C :x 2+y 2+2x -4y +3=0,从圆C 外一点P 向圆引一条切线,切点为M ,O 为坐标原点,且有|PM |=|PO |,求|PM |的最小值.解 如图:PM 为圆C 的切线,则CM ⊥PM ,∴△PMC 为直角三角形,∴|PM |2=|PC |2-|MC |2.设P (x ,y ),C (-1,2),|MC |= 2. ∵|PM |=|PO |,∴x 2+y 2=(x +1)2+(y -2)2-2.化简得点P 的轨迹方程为2x -4y +3=0.求|PM |的最小值,即求|PO |的最小值,即求原点O 到直线2x -4y +3=0的距离,代入点到直线的距离公式可求得|PM |最小值为3510.21.(12分)已知圆C :x 2+y 2-4x -14y +45=0及点Q (-2,3), (1)若点P (m ,m +1)在圆C 上,求PQ 的斜率;(2)若点M 是圆C 上任意一点,求|MQ |的最大值、最小值;(3)若N (a ,b )满足关系:a 2+b 2-4a -14b +45=0,求出t =b -3a +2的最大值.解 圆C :x 2+y 2-4x -14y +45=0可化为(x -2)2+(y -7)2=8. (1)点P (m ,m +1)在圆C 上,所以m 2+(m +1)2-4m -14(m +1)+45=0,解得m =4,故点P (4,5).所以PQ 的斜率是k PQ =5-34+2=13;(2)如图,点M 是圆C 上任意一点,Q (-2,3)在圆外, 所以|MQ |的最大值、最小值分别是 |QC |+r ,|QC |-r . 易求|QC |=42,r =22, 所以|MQ |max =62,|MQ |min =2 2.(3)点N 在圆C :x 2+y 2-4x -14y +45=0上,t =b -3a +2表示的是定点Q (-2,3)与圆上的动点N 连线l 的斜率. 设l 的方程为y -3=k (x +2), 即kx -y +2k +3=0. 当直线和圆相切时,d =r ,即|2k -7+2k +3|k 2+1=22,解得k =2±3.所以t =b -3a +2的最大值为2+ 3.22.(12分)已知曲线C :x 2+y 2+2kx +(4k +10)y +10k +20=0,其中k ≠-1. (1)求证:曲线C 表示圆,并且这些圆心都在同一条直线上; (2)证明曲线C 过定点;(3)若曲线C 与x 轴相切,求k 的值.解 (1)证明:原方程可化为(x +k )2+(y +2k +5)2=5(k +1)2. ∵k ≠-1,∴5(k +1)2>0.故方程表示圆心为(-k ,-2k -5),半径为5|k +1|的圆.设圆心的坐标为(x ,y ),则⎩⎨⎧x =-k ,y =-2k -5.消去k ,得2x -y -5=0.∴这些圆的圆心都在直线2x -y -5=0上. (2)证明:将原方程变形为(2x +4y +10)k +(x 2+y 2+10y +20)=0, ∵上式对于任意k ≠-1恒成立,∴⎩⎨⎧2x +4y +10=0,x 2+y 2+10y +20=0.解得⎩⎨⎧x =1,y =-3.∴曲线C 过定点(1,-3). (3)∵圆C 与x 轴相切,∴圆心(-k ,-2k -5)到x 轴的距离等于半径. 即|-2k -5|=5|k +1|.两边平方,得(2k +5)2=5(k +1)2. ∴k =5±3 5.。

高中数学必修二同步练习题库:圆的方程(选择题:较易)

高中数学必修二同步练习题库:圆的方程(选择题:较易)

圆的方程(选择题:较易)1、若圆与轴相切于点,与轴的正半轴交于两点,且,则圆的标准方程是()A. B.C. D.2、方程表示一个圆,则的范围是()A. B.C. D.3、与圆同圆心,且过的圆的方程是()A. B.C. D.4、已知圆的圆心与点关于直线对称.直线与圆相交于两点,且,则圆的方程为A. B.C. D.5、在平面直角坐标系中,动点的坐标满足方程,则点的轨迹经过()A.第一、二象限 B.第二、三象限C.第三、四象限 D.第一、四象限6、圆的圆心坐标和半径分别为()A.(0,2),2 B.(2,0),2 C.(-2,0),4 D.(2,0),47、以为圆心,且与两条直线与同时相切的圆的标准方程为()A. B.C. D.8、圆心为且过点的圆的方程是()A. B.C. D.9、点A(1,0)在圆上,则a的值为()A.1 B.-2 C.1或-2 D.2或-210、方程表示的圆()A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于直线对称D.关于直线对称11、已知点P(x,y)为圆C:x2+y2﹣6x+8=0上的一点,则x2+y2的最大值是()A.2 B.4 C.9 D.1612、圆心在轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程是()A. B.C. D.13、圆:与圆:的位置关系是( )A.相交 B.外切 C.内切 D.相离14、已知圆的圆心为(-2,1),其一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上,则这个圆的方程是()A. B.C. D.15、圆的圆心坐标和半径分别是()A. B. C. D.16、由曲线围成的图形的面积为()A. B. C. D.17、点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A.(x-2)2+(y+1)2=1 B.(x-2)2+(y+1)2=4C.(x+4)2+(y-2)2=4 D.(x+2)2+(y-1)2=118、若直线过圆的圆心,则实数的值为()A. B. C. D.19、圆,那么与圆有相同的圆心,且经过点的圆的方程是().A. B.C. D.20、圆的方程为,则其圆心坐标及半径分别为().A., B., C., D.,21、若圆与圆关于原点对称,则圆的方程为().A. B.C. D.22、圆的圆心坐标与半径是()A. B.C. D.23、已知A(-4,-5)、B(6,-1),则以线段AB为直径的圆的方程( )A.(x+1)2+(y-3)2=29 B.(x-1)2+(y+3)2=29C.(x+1)2+(y-3)2=116 D.(x-1)2+(y+3)2=11624、若表示圆,则实数的取值范围是()A. B. C. D.25、对于,直线恒过定点,则以为圆心,2为半径的圆的方程是()A. B.C. D.26、已知圆:,圆与圆关于直线对称,则圆的方程为()A. B.C. D.27、已知圆的方程为,则圆的半径为()A.3 B.9 C. D.28、已知圆心,一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上,则这个圆的方程是()A. B.C. D.29、圆的圆心坐标与半径是()A. B.C. D.30、经过圆x2+y2+2y=0的圆心C,且与直线2x+3y-4=0平行的直线方程为()A.2x+3y+3=0 B.2x+3y-3=0 C.2x+3y+2=0 D.3x-2y-2=031、以点A为圆心,且与轴相切的圆的方程为()A. B.C. D.32、方程x2+y2+x+y-m=0表示一个圆,则m的取值范围是().A.m>- B.m<- C.m≤- D.m≥-33、在平面直角坐标系中,以点为圆心且与直线相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为()A. B. C. D.34、圆的圆心坐标和半径分别为A.圆心 B.圆心C.圆心 D.圆心35、过点P(2 ,1)且被圆C:x 2+y2– 2x+4y =" 0" 截得弦长最长的直线l的方程是()A.3x – y– 5 = 0 B.3x +y– 7 = 0C.x –3y+5 = 0 D.x +3y– 5 = 036、过点、点且圆心在直线上的圆的方程是()A.B.C.D.37、圆关于直线对称的圆的方程为()A. B.C. D.38、已知圆与直线及都相切,圆心在直线上,则圆的方程为()A. B. C. D.39、若直线(,),经过圆的圆心,则的最小值是()A. B. C. D.40、抛物线与坐标轴的交点在同一个圆上,则交点确定的圆的方程为()A. B.C. D.41、圆与轴相切于,与轴正半轴交于两点,且,则圆的标准方程为()A.B.C.D.42、过,圆心在轴上的圆的方程为()A. B.C. D.43、方程x2+y2+4x-2y+5=0表示的曲线是()A.两直线 B.圆 C.一点 D.不表示任何曲线44、如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)所表示的曲线关于y=x对称,则必有()A.D=E B.D=F C.F=E D.D=E=F45、圆x2+y2+4x-6y-3=0的圆心和半径分别为()A.(4,-6),r=16 B.(2,-3),r=4C.(-2,3),r=4 D.(2,-3),r=1646、若方程x2+y2-4x+2y+5k=0表示圆,则实数k的取值范围是()A.R B.(-∞,1) C.(-∞,1] D.[1,+∞)47、已知圆的方程为,过点的该圆的所有弦中,最短的弦长为()A. B. C.2 D.448、若圆始终平分圆的周长,则满足的关系是()A. B.C. D.49、已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1,0),B(5,0),此圆的标准方程为( ) A.(x-3)2+y2=4B.(x+3)2+(y-1)2=4C.(x-1)2+(y-1)2=4D.(x+1)2+(y+1)2=450、已知点P(a,a+1)在圆x2+y2=25内部,那么a的取值范围是( )A.-4<a<3 B.-5<a<4 C.-5<a<5 D.-6<a<451、圆心是(4,-1),且过点(5,2)的圆的标准方程是( )A.(x-4)2+(y+1)2=10B.(x+4)2+(y-1)2=10C.(x-4)2+(y+1)2=100D.(x-4)2+(y+1)2=52、点P(a,5)与圆x2+y2=24的位置关系是( )A.点在圆外 B.点在圆内 C.点在圆上 D.不确定53、圆和圆的公共弦长为()A. B.C. D.54、方程表示的曲线为()A.一条直线和一个圆 B.一条线段与半圆C.一条射线与一段劣弧 D.一条线段与一段劣弧55、已知直线是圆的对称轴,过点作圆的一条切线,切点为,则=()A.2 B.C.6 D.56、已知圆,圆,圆与圆的位置关系为()A.外切 B.内切C.相交 D.相离57、设圆的方程是,若,则原点与圆的位置关系是()A.原点在圆上 B.原点在圆外C.原点在圆内 D.不确定58、已知圆,直线上至少存在一点,使得以点为圆心,半径为的圆与圆有公共点,则的最小值是()A. B.C. D.59、过两点的面积最小的圆的方程为()A.B.C.D.60、已知两圆的圆心距=" 3" ,两圆的半径分别为方程的两根,则两圆的位置关系是()A.相交 B.相离 C.相切 D.内含61、与圆及圆都外切的圆的圆心在()A.一个椭圆上 B.双曲线的一支上C.一条抛物线上 D.一个圆上62、圆与圆的位置关系是()A.相交 B.外切C.内切 D.相离63、已知圆的方程为是该圆内一点,过点的最长弦和最短弦分别为和,则四边形的面积是()A. B.C. D.64、已知圆的方程为是该圆内一点,过点的最长弦和最短弦分别为和,则四边形的面积是()A. B.C. D.65、已知圆心,一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上,则这个圆的方程是()A. B.C. D.66、以为圆心,4为半径的圆的方程为()A. B.C. D.67、两圆与的位置关系为()A.内切 B.外切C.相交 D.相离68、过点且圆心在直线上的圆的方程是()A.B.C.D.69、若圆与圆的公共弦的长为,则()A.2 B.1C. D.70、动点与定点的连线的斜率之积为,则点的轨迹方程是()A.B.C.D.参考答案1、C2、A3、B4、A5、A.6、B7、A8、D9、B10、D11、D12、A13、A14、C15、D16、B17、A18、A19、B20、D21、A22、D23、B24、B25、A26、B27、A28、B29、D30、A31、A32、A33、B34、B35、A36、C37、D38、C39、B40、D41、A42、D43、C44、A45、C46、B47、C48、C49、A50、A51、A52、A53、A54、D55、C56、C57、B58、A59、A60、D61、B62、D63、D64、D65、D66、C67、D68、C69、B70、C【解析】1、设中点为,则∴故选C.2、试题分析:由圆的一般式方程可知考点:圆的方程3、试题分析:把原圆的方程写成标准方程为,由于两圆共圆心,可设另一个圆方程为:,把代入所设方程,得:,所以所求的圆的方程为,化简为:,故选B.考点:1、圆的一般式方程;2、圆的标准方程的.4、试题分析:易知关于直线的对称点为,即,圆心到直线的距离为,所以,圆方程为.故选A.考点:圆的标准方程.5、试题分析:由题意得,点在以为圆心,为半径的圆上,如下图所示,故可知点在第一、二象限,故选A.考点:圆的标准方程.6、试题分析:,所以圆心坐标和半径分别为(2,0)和2,选B.考点:圆标准方程7、试题分析:因为两条直线与的距离为,所以所求圆的半径为,所以圆心到直线的距离为即或,又因为圆心到直线的距离也为,所以,所以所求的标准方程为,故应选.考点:直线与圆的位置关系.8、试题分析:由圆的标准方程可知所求圆为考点:圆的方程9、试题分析:因为点在圆上,故解得.考点:圆的一般方程.10、试题分析:圆心,即圆心坐标满足方程,所以圆关于直线对称,考点:圆的性质11、试题分析:将圆C化为标准方程,找出圆心与半径,作出相应的图形,所求式子表示圆上点到原点距离的平方,根据图形得到当P与A重合时,离原点距离最大,求出所求式子的最大值即可.解:圆C化为标准方程为(x﹣3)2+y2=1,根据图形得到P与A(4,0)重合时,离原点距离最大,此时x2+y2=42=16.故选D考点:圆的一般方程.12、试题分析:设圆的标准方程为,由题可知,a=0,r=1,将(1,2)代入方程,可求得b=2,因此圆的标准方程为。

必修二圆的方程练习题

必修二圆的方程练习题

必修二圆的方程练习题一、填空题1. 已知圆的半径为5,圆心在原点,则圆的方程为______。

2. 圆心在点(3, 2),半径为4的圆的方程为______。

3. 若圆的方程为x² + y² 6x + 8y + 15 = 0,则圆心坐标为______,半径为______。

4. 已知圆的方程为(x 1)² + (y + 2)² = 16,则圆心坐标为______,半径为______。

5. 若圆的方程为x² + y² + 2x 4y 20 = 0,则圆心到原点的距离为______。

二、选择题A. x² + y² = 6B. x² + y² = 9C. x² + y² = 12D. x² + y² = 15A. (2, 3)B. (3, 2)C. (1, 2)D. (2, 2)A. 圆心在原点B. 圆的半径为5C. 圆心在x轴上D. 圆心在y轴上A. (x 3)² + (y + 4)² = 25B. (x + 3)² + (y 4)² = 25C. (x 3)² + (y 4)² = 25D. (x + 3)² + (y + 4)² = 25A. 圆心在第一象限B. 圆心在第二象限C. 圆心在第三象限D. 圆心在第四象限三、解答题1. 已知圆的方程为(x 1)² + (y + 2)² = 25,求圆上的三个点坐标。

2. 已知圆心在点(4, 3),且圆上有一点(2, 1),求圆的方程。

3. 已知圆的方程为x² + y² 6x + 8y + 15 = 0,求圆上距离原点最远的点的坐标。

4. 若圆的方程为(x 3)² + (y + 4)² = 36,求圆上距离y轴最远的点的坐标。

高中数学必修2《圆的方程》一课一练2

高中数学必修2《圆的方程》一课一练2

4.1 圆的方程一、选择题1、过点A(1,-1),B(-1,1)且圆心在直线x+y -2=0上的圆的方程。

A 、()223(1)4x y -++=、B 、()223(1)4x y ++-=C 、()221(1)4x y -+-=D 、()221(1)4x y +++=2、圆心为点(3,4)且过点(0,0)的圆的方程是( )A 、x 2+y 2=25B 、x 2+y 2=5C 、(x-3)2+(y-4)2=25D 、(x+3)2+(y+4)2=253、设M 是圆(x -5)2+(y -3)2=9上的点,则M 到直线3x+4y-2=0的小距离是()A 、9B 、8C 、5D 、24、若直线x+y+m=0与圆x 2+y 2=m 相切,则m 为()A 、0或2B 、2CD 、无解5、过点P (2,3)且与圆x 2+y 2=4相切的直线方程是()A 、2x+3y=4B 、x=2C 、5x-12y+26=0D 、5x-12y+26=0x=26、已知一圆的圆心为(2,-3),一条直径的端点分别在x 轴和y 轴上,则此圆的方程是() A 、()222(3)13x y -++=B 、()222(3)13x y ++-=C 、()222(3)52x y -++=D 、()222(3)52x y ++-=7、平面直角坐标系中,横纵坐标都是整数的点称为整点,在圆x 2+y 2=16内所有整点中,到原点距离最远的整点可以在( )A 、直线y -1=0上B 、直线y=x 上C 、直线x+1=0上D 、直线y+3=0上80y +-=截圆x 2+y 2=4得劣弧所对的圆心角为( )A 、300B 、450C 、600D 、900二、填空题9、圆心为(2,-3),一条直径的两个端点分别落在x 轴和y 轴上的圆的方程为 、10、已知两点P 1(4,9)和P 2(6,3),则以P 1P 2为直径的圆的方程是11、在x 轴下方,与x 轴相切于(8,0)点,半径等于1、5的圆的方程是12、若实数x,y 满足x 2+y 2=1,则21y x --的最小值为 。

高中数学必修二第四章圆与方程专项练习题附答案 教师版

高中数学必修二第四章圆与方程专项练习题附答案 教师版

A. 1
B.
C. 2
D. 3
【答案】 B
【解析】【解答】切线长的最小值是当直线 y=x+1 上的点与圆心距离最小时取得,
圆心(3,0)到直线的距离为
t

,
圆的半径为 1,故切线长的最小值为
故答案为:B
【分析】根据题意先求圆心到直线的距离,此时切线长最小,由勾股定理不难求解切线长的最小值.
10.设直线 t
高中数学必修二第四章圆与方程专项练习题附答案
一、单选题(共 40 题;共 80 分)
1.圆
t
关于直线 t 䁜 晦 对称,则 䁜 的值是( )
A.
B.
【答案】B
C.
D.
【解析】【解答】解:因为圆
t
所以圆心(1,1)在直线 t 䁜 晦 上,得 䁜
故答案为:B.
关于直线 t 䁜 晦 对称,

6.已知圆
t晦
,圆 晦 t
动点, 为 轴上的动点,则
的最小值为( )
A.
B.
C.
【答案】 A
【解析】【解答】如图所示,两圆为内含关系,
t,
分别是圆 , 上的 D.
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将 关于 轴对称为
′,
连结
′ 交圆于 ′ , ,
交 轴于 ,连
交圆 于 ,
此时
最小,
最小值为 ′ .
和圆 t t 相交或相切,
可得
,即


∴解得
故实数 a 的取值范围是

故答案为:B
【分析】由题意可得,圆
t
和圆 t t 相交或相切,两圆圆心距大于等于两圆

高中数学必修2圆的方程练习题

高中数学必修2圆的方程练习题

高中数学必修2圆的方程练习题第四章圆与方程一、选择题1.圆C1:x2+y2+2x+8y-8=0,圆C2:x2+y2-4x+4y-2=0的位置关系是().A。

相交 B。

外切 C。

内切 D。

相离答案:A解析:将两个圆的方程化简,得到它们的圆心分别为(-1,-4)和(2,-2),半径分别为√21和√5,两圆相交。

2.两圆x2+y2-4x+2y+1=0和x2+y2+4x-4y-1=0的公共切线有().A。

1条 B。

2条 C。

3条 D。

4条答案:B解析:将两个圆的方程化简,得到它们的圆心分别为(2,-1)和(-2,1),半径分别为√2和√2,两圆相交,故公共切线有两条。

3.若圆C与圆(x+2)2+(y-1)2=1关于原点对称,则圆C的方程是().A。

(x-2)2+(y+1)2=1 B。

(x-2)2+(y-1)2=1C。

(x-1)2+(y+2)2=1 D。

(x+1)2+(y-2)2=1答案:B解析:圆C关于原点对称,则圆心必在直线y=x上,设圆C的圆心为(x0,x0),则(x0+2)2+(x0-1)2=1,解得x0=1或x0=2,但由于圆C与圆(x+2)2+(y-1)2=1关于原点对称,故圆心在第二象限,因此x0=2,圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=1.4.与直线l:y=2x+3平行,且与圆x2+y2-2x-4y+4=0相切的直线方程是().A。

x-y±5=0 B。

2x-y±5=0C。

2x-y-5=0 D。

2x-y+5=0答案:D解析:将圆的方程化简,得到它的圆心为(1,2),半径为√2,故直线l与圆的切点为(1+√2,2+2√2)和(1-√2,2-2√2),l的斜率为2,故l的方程为y=2x+b,将圆心代入该方程得到b=-1,故直线方程为y=2x-1,与圆x2+y2-2x-4y+4=0相切的直线方程为2x-y+5=0.5.直线x-y+4=0被圆x2+y2+4x-4y+6=0截得的弦长等于().A。

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圆 的 方 程(25分钟 50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2015·汉中模拟)设圆的方程是x 2+y 2+2ax+2y+(a-1)2=0,若0<a<1,则原点与圆的位置关系是 ( ) A.原点在圆上 B.原点在圆外 C.原点在圆内D.不确定【解析】选B.将圆的一般方程化成标准方程为(x+a)2+(y+1)2=2a, 因为0<a<1,所以(0+a)2+(0+1)2-2a=(a-1)2>0, 即√(0+a)2+(0+1)2>√2a ,所以原点在圆外.2.(2015·南昌模拟)若圆x 2+y 2-2ax+3by=0的圆心位于第三象限,那么直线x+ay+b=0一定不经过 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限【解析】选D.圆x 2+y 2-2ax+3by=0的圆心为(a,−32b),则a<0,b>0.直线y=-1ax-b a,k=-1a>0,-b a>0,直线不经过第四象限.3.已知平面上点P ∈{(x,y)|(x-x 0)2+(y-y 0)2=16},其中x 02+y 02=4,当x 0,y 0变化时,则满足条件的点P 在平面上所组成图形的面积是 ( ) A.4πB.16πC.32πD.36π【解析】选C.由题意可得,点P 在圆(x-x 0)2+(y-y 0)2=16上, 而且圆心(x 0,y 0)在以原点为圆心,以2为半径的圆上.满足条件的点P 在平面内所组成的图形的面积是以6为半径的圆的面积减去以2为半径的圆的面积,即36π-4π=32π,故选C.4.若圆x 2+y 2-2x+6y+5a=0关于直线y=x+2b 成轴对称图形,则a-b 的取值范围是( )A.(-∞,4)B.(-∞,0)C.(-4,+∞)D.(4,+∞)【解析】选A.将圆的方程变形为(x-1)2+(y+3)2=10-5a,可知,圆心为(1,-3),且10-5a>0,即a<2.因为圆关于直线y=x+2b对称,所以圆心在直线y=x+2b上,即-3=1+2b,解得b=-2,所以a-b<4. 【方法技巧】两种对称问题的解决方法(1)点(a,b)关于直线y=x+m的对称点坐标为(b-m,a+m).(2)点(a,b)关于直线y=-x+m的对称点坐标为(-b+m,-a+m).5.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足|PA|=2|PB|,则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( )A.πB.4πC.8πD.9π【解析】选B.设P(x,y),由题意有,(x+2)2+y2=4[(x-1)2+y2],整理得x2-4x+y2=0,配方得(x-2)2+y2=4.可知圆的面积为4π.【加固训练】如图所示,已知P(4,0)是圆x2+y2=36内的一点,A,B是圆上两动点,且满足∠APB=90°,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.【解析】设AB的中点为R,坐标为(x1,y1),连接OR,PR,则在Rt△ABP中,|AR|=|PR|.又R是弦AB的中点,所以在Rt△OAR中,|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-(x12+y12),又|AR|=|PR|=√(x1−4)2+y12,所以有(x1-4)2+y12=36-(x12+y12),即x12+y12-4x1-10=0.因此点R在一个圆上,而当R在此圆上运动时,点Q即在所求的轨迹上运动.设Q(x,y),因为R是PQ的中点,所以x 1=x+42,y 1=y+02,代入方程x 12+y 12-4x 1-10=0,得(x+42)2+(y 2)2-4×x+42-10=0,整理得:x 2+y 2=56,即所求Q 点的轨迹方程为x 2+y 2=56.6.(2015·漳州模拟)能够把圆O:x 2+y 2=25的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O 的“太极函数”,下列函数不是圆O 的“太极函数”的是 ( ) A.f(x)=4x 3+x B.f(x)=ln6−x 6+xC.f(x)=tan x2D.f(x)=e x+e -x【解析】选D.圆O:x 2+y 2=25的圆心在原点,半径等于5, 由题意可得,圆O 的“太极函数”应该为奇函数,结合所给的选项,A,B,C 中的函数都是奇函数,而D 中的函数为偶函数. 7.(2015·长春模拟)已知函数f(x)=1+x-x 22+x 33-x 44+…+x 2 0132 013,设F(x)=f(x+4),且函数F(x)的零点均在区间[a,b],(a<b,a,b ∈Z)内,圆x 2+y 2=b-a 的面积的最小值是( )A.πB.2πC.3πD.4π【解析】选A.因为f(x)=1+x-x 22+x 33-x 44+…+x 2 0132 013,所以当x<-1或x>-1时,f ′(x)=1-x+x 2-x 3+…+x2012=1+x 2 0131+x>0.而当x=-1时,f ′(x)=2013>0,所以f ′(x)>0对任意x ∈R 恒成立,得函数f(x)是(-∞,+∞)上的增函数, 因为f(-1)=(1-1)+(−12−13)+…+(−12 012−12 013)<0,f(0)=1>0,所以函数f(x)在R 上有唯一零点x 0∈(-1,0),因为F(x)=f(x+4),得函数F(x)的零点是x 0-4∈(-5,-4), 所以a ≤-5且b ≥-4,得b-a 的最小值为-4-(-5)=1, 因为圆x 2+y 2=b-a 的圆心为原点,半径r=√b −a ,所以圆x 2+y 2=b-a 的面积为πr 2=π(b-a)≥π,可得面积的最小值为π,故选A. 二、填空题(每小题5分,共15分)8.若过点P(a,a)可作圆x 2+y 2-2ax+a 2+2a-3=0的两条切线,则实数a 的取值范围是 .【解析】圆的方程可化为(x-a)2+y 2=3-2a,因为过点P(a,a)能作圆的两条切线,所以点P 在圆的外部,即{a 2+a 2−2a 2+a 2+2a −3>0,3−2a >0,解之得a<-3或1<a<32.故a 的取值范围为(-∞,-3)∪(1,32).答案:(-∞,-3)∪(1,32)9.(2015·长沙模拟)已知圆M 的圆心在直线x-y-4=0上并且经过圆x 2+y 2+6x-4=0与圆x 2+y 2+6y-28=0的交点,则圆M 的标准方程为 . 【解析】设两圆交点为A,B,由方程组{x 2+y 2+6x −4=0,x 2+y 2+6y −28=0,求得{x =−1,y =3,或{x =−6,y =−2, 故点A(-1,3),B(-6,-2),因此AB 的垂直平分线的方程为x+y+3=0.再由{x +y +3=0,x −y −4=0,求得{x =12,y =−72,故圆心为(12,−72),r=√892,所以所求的圆的方程为(x −12)2+(y +72)2=892.答案:(x −12)2+(y +72)2=892【加固训练】若圆C 的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x 轴都相切,则该圆的标准方程是 .【解析】设圆心C(a,b)(a>0,b>0),由题意可得b=1. 又圆心C 到直线4x-3y=0的距离d=|4a−3|5=1,解得a=2或a=-12(舍去).所以该圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1. 答案:(x-2)2+(y-1)2=110.(2015·聊城模拟)已知x,y 满足x 2+y 2=1,则y−2x−1的最小值为 .【解析】y−2x−1表示圆上的点P(x,y)与点Q(1,2)连线的斜率,所以y−2x−1的最小值是直线PQ 与圆相切时的斜率.设直线PQ 的方程为y-2=k(x-1)即kx-y+2-k=0.由√k 2+1=1得k=34,结合图形可知,y−2x−1≥34,故最小值为34.答案:34(20分钟 40分)1.(5分)(2015·九江模拟)在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为x 2+y 2-8x+15=0,若直线y=kx+2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公共点,则k 的最小值是 ( ) A.-43B.-54C.-35D.-53【解析】选A.圆C 的方程可化为(x-4)2+y 2=1,易知圆C 的圆心为(4,0),半径为1.由题意知,直线y=kx+2上存在一点A,以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公共点,则AC ≤1+1成立,即AC ≤2. 因为AC=√k 2+1,所以√k 2+1≤2,解得-43≤k ≤0.所以k 的最小值是-43,选A.2.(5分)已知圆C 关于y 轴对称,经过点(1,0)且被x 轴分成两段弧长比为1∶2,则圆C 的方程为 ( ) A.(x ±√33)2+y 2=43 B.(x ±√33)2+y 2=13 C.x 2+(y±√33)2=43D.x 2+(y±√33)2=13【解析】选C.由已知圆心在y 轴上,且被x 轴所分劣弧所对圆心角为23π,设圆心(0,a),半径为r,则rsin π3=1,rcos π3=|a|,解得r=√3,即r 2=43,|a|=√33,即a=±√33,故圆C 的方程为x 2+(y ±√33)2=43. 3.(5分)(2014·温州模拟)已知直线√2ax+by=1(a,b 是实数)与圆O:x 2+y 2=1(O 是坐标原点)相交于A,B 两点,且△AOB 是直角三角形,点P(a,b)是以点M(0,1)为圆心的圆M 上的任意一点,则圆M 的面积的最小值为 .【解析】因为直线与圆O 相交所得△AOB 是直角三角形,可知∠AOB=90°, 所以圆心O 到直线的距离为√2a 2+b2=√22, 所以a 2=1-12b 2≥0,即-√2≤b ≤√2.设圆M 的半径为r,则r=|PM|=√a 2+(b −1)2=√12b 2−2b +2=√22(2-b), 又-√2≤b ≤√2,所以√2+1≥|PM|≥√2-1, 所以圆M 的面积的最小值为(3-2√2)π. 答案:(3-2√2)π【加固训练】已知点P(2,2),点M 是圆O 1:x 2+(y-1)2=14上的动点,点N 是圆O 2:(x-2)2+y 2=14上的动点,则|PN|-|PM|的最大值是 ( ) A.√5-1B.√5-2C.2-√5D.3-√5【解析】选D.|PN|-|PM|的最大值是|PO 2|+12-(|PO 1|−12)=|PO 2|-|PO 1|+1=2-√5+1=3-√5.4.(12分)已知定点A(0,1),B(0,-1),C(1,0),动点P 满足:AP →·BP →=k|PC →|2.(1)求动点P 的轨迹方程,并说明方程表示的曲线类型. (2)当k=2时,求|2AP →+BP →|的最大、最小值.【解析】(1)设动点坐标为P(x,y),则AP →=(x,y-1),BP →=(x,y+1),PC →=(1-x,-y). 因为AP →·BP →=k|PC →| 2, 所以x 2+y 2-1=k[(x-1)2+y 2], 整理得(1-k)x 2+(1-k)y 2+2kx-k-1=0.若k=1,则方程为x=1,表示过点(1,0)且平行于y 轴的直线. 若k ≠1,则方程为(x+k 1−k)2+y 2=(11−k)2.表示以(kk−1,0)为圆心,以1|1−k|为半径的圆.(2)当k=2时,方程化为(x-2)2+y 2=1,因为2AP →+BP →=(3x,3y-1), 所以|2AP →+BP →|=√9x 2+9y 2−6y +1.又x 2+y 2=4x-3,所以|2AP →+BP →|=√36x −6y −26=√6(6x −y)−26.问题归结为求6x-y 的最值,令t=6x-y,由于点P 在圆(x-2)2+y 2=1上,故圆心到直线t=6x-y 的距离不大于圆的半径,即√37≤1,解得12-√37≤t ≤12+√37,结合|2AP→+BP→|=√6(6x −y)−26,得|2AP→+BP→|的最大值为√46+6√37√37,最小值为√46−6√37√37-3. 【一题多解】本题还可以用以下方法求解方法一:问题归结为求6x-y 的最值,令t=6x-y,则y=6x-t,代入圆的方程,得到一个关于x 的一元二次方程,根据这个方程的判别式不小于零得到与原解析完全相同的结果. 方法二:因为(x-2)2+y 2=1,所以令x=2+cos θ,y=sin θ, 则36x-6y-26=6√37cos(θ+φ)+46 ∈[46-6√37,46+6√37],所以|2AP →+BP →|的最大值为√46+6√37√37,最小值为√46−6√37√37-3. 【方法技巧】解决有关圆的最值问题一般要“数”与“形”结合,根据圆的知识探求最值时的位置关系.解析几何中数形结合思想主要表现在以下两方面: (1)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题. (2)研究图形的形状、位置关系、性质等.5.(13分)(能力挑战题)如图,已知圆O 的直径|AB|=4,定直线l 到圆心的距离为4,且直线l 垂直于直线AB.点P 是圆O 上异于A,B 的任意一点,直线PA,PB 分别交l 于M,N 两点.(1)若∠PAB=30°,求以MN 为直径的圆的方程.(2)当点P 变化时,求证:以MN 为直径的圆必过圆O 内的一定点.【解析】如图,建立直角坐标系,得☉O 的方程为x 2+y 2=4,直线l 的方程为x=4.(1)当点P 在x 轴上方时, 因为∠PAB=30°,所以点P 的坐标为(1,√3), 所以l AP :y=√33(x+2),l BP :y=-√3(x-2). 将x=4分别代入,得M(4,2√3),N(4,-2√3), 所以线段MN 的中点坐标为(4,0),|MN|=4√3. 所以以MN 为直径的圆的方程为(x-4)2+y 2=12. 同理,当点P 在x 轴下方时,所求圆的方程仍是 (x-4)2+y 2=12.综上,以MN 为直径的圆的方程为(x-4)2+y 2=12. (2)设点P 的坐标为(x 0,y 0),则y 0≠0,所以x 02+y 02=4(y 0≠0),所以y02=4-x02.因为l PA:y=y0x0+2(x+2),l PB:y=y0x0−2(x-2),将x=4分别代入,得y M=6y0x0+2,y N=2y0x0−2,所以M(4,6y0x0+2),N(4,2y0x0−2),所以|MN|=|6y0x0+2−2y0x0−2|=4|x0−4||y0|,线段MN的中点坐标为(4,−4(x0−1)y0),以MN为直径的圆O′截x轴所得的线段长度为2√4(x0−4)2y02−16(x0−1)2y02=4|y0|√12−3x02=4√3|y0|√4−x02=4√3.则圆O′与x轴的两交点坐标分别为(4-2√3,0),(4+2√3,0). 又(4-2√3)2+02=28-16√3<4,(4+2√3)2+02=28+16√3>4,所以☉O′必过☉O内定点(4-2√3,0).。

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