相似三角形动点问题题型归纳报告

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相似三角形难题集锦(含问题详解)

一、相似三角形中的动点问题1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB 于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．〔1〕当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；〔2〕当△DEG与△ACB相似时，求t的值．2.如图，在△ABC 中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒．〔1〕①当t=2.5s时，求△CPQ的面积；②求△CPQ的面积S〔平方米〕关于时间t〔秒〕的函数解析式；〔2〕在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值．3.如图1，在Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE平分CDB交边BC于点E，EM ⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N．〔1〕当AD＝CD时，求证：DE∥AC；〔2〕探究：AD为何值时，△BME与△E相似？4.如下列图，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C 〔1〕当x为何值时，PQ∥BC？〔2〕△APQ与△CQB能否相似？假如能，求出AP的长；假如不能说明理由．5.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A 以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t〔s〕表示移动的时间〔0＜t ＜6〕。

〔1〕当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？〔2〕当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？二、构造相似辅助线——双垂直模型6.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2，1)，正比例函数y=kx的图象与线段OA的夹角是45°，求这个正比例函数的表达式．△ABC中，AB=，AC=4，BC=2，以AB为边在C点的异侧作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长．△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点M是AC上的一点，点N是BC上的一点，沿着直线MN折叠，使得点C恰好落在边AB上的P点．求证：MC：NC=AP：PB．9.如图，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为〔1，3〕，将矩形沿对角线AC翻折B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E．那么D点的坐标为〔〕A. B.C. D.10..，如图，直线y=﹣2x＋2与坐标轴交于A、B两点．以AB为短边在第一象限做一个矩形ABCD，使得矩形的两边之比为1﹕2。

相似三角形的动点问题题型(整理).doc

相似三角形的动点问题题型( 整理)相似三角形的动点问题一、动点型例 1、如图，已知等边三角形 ABC 中，点 D，E，F 分别为边 AB ，AC ，BC 的中点，M 为直线 BC 上一动点，△DMN 为等边三角形（点 M 的位置改变时，△ DMN 也随之整体移动）．（1）如图 1，当点 M 在点 B 左侧时，请你判断EN 与 MF 有怎样的数量关系？点 F 是否在直线NE 上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；（2）如图2，当点M 在BC 上时，其它条件不变，（1）的结论中 EN 与 MF 的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图 2 证明；若不成立，请说明理由；（3）若点 M 在点 C 右侧时，请你在图 3 中画出相应的图形，并判断（ 1）的结论中 EN 与 MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由．例 2、如图，在矩形 ABCD 中， AB=12cm ，BC=8cm ．点 E、F、G 分别从点 A、B、C 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点 E、 G 的速度均为 2cm/s，点 F 的速度为 4cm/s，当点 F 追上点 G（即点 F 与点 G 重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第 t 秒时，△EFG 的面积为 S（cm2）（1）当 t=1 秒时， S 的值是多少？（2）写出 S 和 t 之间的函数解析式，并指出自变量 t 的取值范围（3）若点 F 在矩形的边 BC 上移动，当 t 为何值时，以点 E、B、F 为顶点的三角形与以点 F、C、G 为顶点的三角形相似？请说明理由．迁移应用1、如图，已知△ ABC 是边长为 6cm 的等边三角形，动点 P、Q 同时从 A、B 两点出发，分别沿AB、BC 匀速运动，其中点 P 运动的速度是 1cm/s，点 Q 运动的速度是2cm/s，当点 Q 到达点 C 时， P、 Q两点都停止运动，设运动时间为 t（s），（1）当 t＝2 时，判断△ BPQ 的形状，并说明理由；（2）设△ BPQ 的面积为 S（cm2），求 S 与 t 的函数关系式；（3）作 QR//BA 交 AC 于点 R，连结 PR，当 t 为何值时，△ APR∽△ PRQ？2、如图，在直角梯形A BCD 中， AB ∥DC，∠D=90o，AC⊥BC，AB=10cm,BC=6cm，F 点以2cm／秒的速度在线段 AB 上由 A 向 B 匀速运动，E 点同时以 1cm／秒的速度在线段 BC 上由 B 向 C 匀速运动，设运动时间为 t 秒(0<t<5) ．1）求证：△ ACD ∽△ BAC ；2）求： DC 的长；3）试探究：△BEF 可以为等腰三角形吗？若能，求 t 的值；若不能，请说明理由．3、如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC，∠B=90°，AD=6 ，BC=8 ， AB=3 3，点 M 是 BC 的中点．点 P 从点 M 出发沿 MB 以每秒 1 个单位长的速度向点B 匀速运动，到达点B 后立刻以原速度沿 BM 返回；点 Q 从点M 出发以每秒 1 个单位长的速度在射线 MC 上匀速运动．在点 P， Q的运动过程中，以 PQ 为边作等边三角形 EPQ，使它与梯形ABCD 在射线 BC 的同侧．点 P，Q 同时出发，当点 P 返回到点 M 时停止运动，点Q 也随之停止．设点P，Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．（1）设 PQ 的长为 y，在点 P 从点 M 向点 B 运动的过程中，写出 y 与 t 之间的函数关系式（不必写 t 的取值范围）；（2）当 BP=1 时，求△ EPQ 与梯形 ABCD 重叠部分的面积；（3）随着时间 t 的变化，线段 AD 会有一部分被△ EPQ 覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值，请回答：该最大值能否持续一个时段？若能，直接写出 t 的取值范围；若不能，请说明理由．二、动点加动线例 1、如图，在 Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3 ，AB=5 ．点 P 从点 C 出发沿 CA 以每秒 1 个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿 AC 返回；点 Q 从点 A 出发沿 AB 以每秒1 个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P、Q 的运动， DE 保持垂直平分 PQ，且交PQ 于点 D，交折线Q同时出发，当点P也随之停止．设点QB-BC-CP 于点 E．点 P、Q 到达点 B 时停止运动，点P、Q 运动的时间是 t 秒（t＞0）．（1）当 t=2 时，AP=，点Q到AC的距离是；（2）在点P 从 C 向 A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围（3）在点 E 从 B 向 C 运动的过程中，四边形QBED 能否成为直角梯形？若能，求 t 的值．若不能，请说明理由；（4）当 DE 经过点 C 时，请直接写出t 的值．迁移应用1、如图，已知矩形 ABCD 的边长 AB=3cm ，BC=6cm ．某一时刻，动点 M 从 A 点出发沿 AB 方向以 1cm/s 的速度向 B 点匀速运动；同时，动点N 从 D 点出发沿 DA 方向以 2cm/s 的速度向 A 点匀速运动，问：是否存在时刻 t，使以 A 、M 、 N 为顶点的三角形与△ ACD 相似？若存在，求 t的值．2、如图，正方形 ABCD 的边长为 4，E 是 BC 边的中点，点 P 在射线 AD 上，过 P 作 PF⊥AE于 F．（1）求证：△ PFA∽△ ABE ；（2）当点 P 在射线 AD 上运动时，设 PA=x，是否存在实数 x，使以 P，F，E 为顶点的三角形也与△ ABE相似？若存在，请求出 x 的值；若不存在，说明理由．3、如图，已知 A（8，0），B（0，6），两个动点P、Q 同时在△ OAB 的边上按逆时针方向（→ O →A→B→O→）运动，开始时点 P 在点 B 位置，点 Q 在点 O 位置，点 P 的运动速度为每秒 2 个单位，点 Q 的运动速度为每秒 1 个单位．（1）在前 3 秒内，求△ OPQ 的面积 S 与时间 t 之间的关系式；并求出△ OPQ 的最大面积；（2）在前 10 秒内，秋 P、Q 两点之间的最小距离，并求此时点 P、Q 的坐标；（3）在前 15 秒内，探究 PQ 平行于△ OAB 一边的情况，并求平行时点P、Q 的坐标．yBO A x4、已知：如图，在平面直角坐标系中，△ ABC 是直角三角形，∠ ACB ，点 A、C 的坐标分别为A(-3,0) ，C(1,0)，BC AC34,（1）求过点 A 、B 的直线的函数表达式；（2）在 X 轴上找一点 D,连接 DB ，使得△ ADB与△ ABC 相似（不包括全等），并求点 D 的坐标；（3）在（ 2）的条件下，如 P、Q 分别是 AB 和AD 上的动点，连接 PQ，设y B AP=DQ=m ，问是否存在这样的 m使得△ APQ 与△ ADB 相似，如存A O C x在，请求出 m 的值；如不存在，请说明理由．145、如图，四边形 OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点 A 在 x 轴上，点 C 在 Y 轴上，将边 BC 折叠，使点 B 落在边 OA 的点 D 处．已知折叠 CE= 5 5，且EA 3DA 4（1）判断 OCD 与△ ADE 是否相似？请说明理由；（2）求直线 CE 与 x 轴交点 P 的坐标；（3）是否存在过点 D 的直线 L ，使直线 L 、直线 CE 与 x 轴所围C yB成的三角形和△ CDE 相似？如 E 果存在，请直接写出其解析式并O D A x 画出相应的直线；如果不存在，请说明理由．6、△ ABC 中， AB=AC=5 ，BC=6 ，点 P 从点 B 开始沿 BC 边以每秒 1 的速度向点 C 运动，点 Q 从点 C 开始沿 CA 边以每秒 2 的速度向点 A 运动，DE 保持垂直平分 PQ，且交 PQ 于点 D，交BC 于点 E．点 P，Q 分别从 B，C 两点同时出发，当点 Q 运动到点 A 时，点 Q、p 停止运动，设它们运动的时间为 x．1）当 x=秒时，射线DE经过点C；2）当点 Q 运动时，设四边形 ABPQ 的面积为 y，求 y 与 x 的函数关系式；3）当点 Q 运动时，是否存在以P、Q、C 为顶点的三角形与△ PDE 相似？若存在，求出 x 的值；若不存在，请说明理由．7、如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB=CD=20cm ，AD=40cm ，∠ D=120°，点 P、Q 同时从 C 点出发，分别以 2cm/s 和 1cm/s 的速度沿着线段 CB 和线段 CD 运动，当 Q 到达点 D，点 P 也随之停止运动．设运动时间为 t（s）（1）当 t 为何值时，△ CPQ 与△ ABP 相似；（2）设△APQ 与梯形 ABCD 重合的面积为 S，求 S 与t的函数关系式，写出自变量的取值范围．8、如图，直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠DAB=90 °， AD=2DC=4 ，AB=6 ．动点 M 以每秒 1 个单位长的速度，从点 A 沿线段 AB 向点 B运动；同时点 P 以相同的速度，从点 C 沿折线 C-D-A 向点 A 运动．当点 M 到达点 B 时，两点同时停止运动．过点 M 作直线 l ∥AD ，与线段 CD 的交点为 E，与折线 A-C-B 的交点为 Q．点 M 运动的时间为 t（秒）．（1）当 t=0.5 时，求线段 QM 的长；（2）当 0＜t＜2 时，如果以 C、P、Q 为顶点的三角形为直角三角形，求t 的值；（3）当 t＞2 时，连接 PQ 交线段 AC 于点 R．请探究CQ是否为定值，若是，试求这个定值；若不RQ是，请说明理由．9、如图 1，直角梯形 ABCD 中，∠ A=∠B=90°，AD=AB=6cm ，BC=8cm ，点 E 从点 A 出发沿AD 方向以 1cm/s 的速度向中点 D 运动；点 F 从点 C 出发沿 CA 方向以 2cm/s 的速度向终点 A 运动，当点 E、点 F 中有一点运动到终点，另一点也随之停止．设运动时间为 ts．（1）当 t 为何值时，△ AEF 和△ ACD 相似？（2）如图 2，连接 BF，随着点 E、F 的运动，四边形 ABFE 可能是直角梯形？若可能，请求出t 的值及四边形 ABFE 的面积；若不能，请说明理由；（3）当 t 为何值时，△ AFE 的面积最大？最大值是多少？10、如图，在平面直角坐标系中．四边形OABC 是平行四边形．直线 l 经过 O、C 两点．点 A 的坐标为（8，0），点B 的坐标为（11，4），动点P 在线段 OA 上从点 O 出发以每秒 1 个单位的速度向点 A 运动，同时动点 Q 从点 A 出发以每秒2 个单位的速度沿 A→B→C 的方向向点 C 运动，过点 P 作 PM 垂直于 x 轴，与折线 O 一 C-B 相交于点 M ．当 P、Q 两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点 P、Q 运动的时间为 t 秒（ t＞0）．△ MPQ 的面积为 S．（1）点 C 的坐标为，直线l 的解析式为。

专题12 难点探究专题：相似三角形中动点问题压轴题六种模型全攻略(原卷版)

专题12难点探究专题：相似三角形中动点问题压轴题六种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想）】 (1)【考点二相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想）】 (2)【考点三相似三角形动点中求线段及线段和最值问题】 (4)【考点四相似三角形中的动点问题与函数图像问题】 (5)【考点五相似三角形中的动点问题与几何综合问题】 (7)【考点六相似三角形中的动点探究应用问题】 (9)【典型例题】【考点一相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想）】【变式训练】1．（2023秋·安徽安庆·九年级统考期末）如图，在钝角A出发运动到点B停止，动点E运动的速度为2cm/s．如果两点同时运动，那么当以点2．（2023·上海·九年级假期作业）如图，米/秒的速度同时开始运动，其中点直移动到点A为止．经过多长时间后，3．（2022·辽宁·灯塔市第一初级中学九年级期中）如图，在平面直角坐标系内，已知点0），动点P从点A开始在线段段BA上以每秒2个单位长度的速度向点(1)当t为何值时，△APQ与△AOB相似？(2)当t为何值时，△APQ的面积为24 5【考点二相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想）】【变式训练】2．（2023春·江苏无锡·八年级宜兴市实验中学校考阶段练习）如图，在矩形连接BD，点M，N分别是边BC，终落在BD上，当PBM为直角三角形时，线段3．（2023·江苏盐城·校考一模）如图，在动点，过点E作DE⊥为等腰三角形时，当BCF4．（2023·山东济宁·统考一模）如图，在矩形点P是直线BC上的一个动点．若【考点三相似三角形动点中求线段及线段和最值问题】【变式训练】1．（2023·江苏苏州AE翻折得AFE△连接PF，则PQ2．（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）如图，矩形△M，连接EM、BM，将BEM为．3．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，在正方形，上的动点，且BEG是AB CD为．4．（2023·江苏南通·统考三模）点C 的坐标为()0,3上一点，且3AQ PQ =【考点四相似三角形中的动点问题与函数图像问题】例题：（2023春·河南安阳·九年级统考期末）如图，正方形ABCD 一边AB 在直线l 上，P 是直线l 上点A 左侧的一点，24AB PA ==，E 为边AD 上一动点，过点P ，E 的直线与正方形ABCD 的边交于点F ，连接BE BF ，，若设DE x =，BEF △的面积为S ，则能反映S 与x 之间函数关系的图象是（）A ．B ．．．2023·山西运城·统考二模）如图中，36B ∠=︒，动点P 速运动至点C 停止．点P 的运动速度为，设点P 的运动时间为t （函数图像如图2所示．当AP 时，BP 的长为（）A ．252+B ．425-C ．4+2．（2023·河南焦作·统考二模）如图，在Rt ABC △中，过点P 作直线l AB ⊥，交折线ACB 于点Q ．设AP x =A ．．．．2023·安徽合肥·校联考二模）如图，在正方形ABCD 中，1AB =，动点P 从A 点出发沿和BC 上匀速移动，连接DP 交BC 或BC 的延长线于Q ，记点移动的距离为x ，的函数图像大致是（）A ．B ．C ．D ．4．（2023·黑龙江·模拟预测）如图，已知直线l 是线段AB 的中垂线，l 与AB 相交于点C ，D 是位于直线AB 下方的l 上的一动点（点D 不与点C 重合），连接AD BD ，，过点A 作AE BD ∥，过点B 作BE AE ⊥于点E ，若6AB =，设AD x =，AE y =，则y 关于x 的函数关系用图像可以大致表示为（）．A ．B ．C ．D ．【考点五相似三角形中的动点问题与几何综合问题】例题：（2023春·山东济宁·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，矩形OABC 的两边分别在x 轴和y 轴上，点B 的坐标为()12,8，现有两动点P ，Q ，点P 以每秒3个单位的速度从点O 出发向终点A 运动，同时点Q 以每秒2个单位的速度从点A 出发向终点B 运动，连接PC ，PQ ，CQ ．设运动时间为t 秒()0t >．(1)点P 的坐标为______，点Q 的坐标为______（用含t 的代数式表示）；(2)请判断四边形APCQ 的面积是否会随时间t 的变化而变化，并说明理由；(3)若A ，P ，Q 为顶点的三角形与OCP △相似时，请求出t 的值．【变式训练】(1)BM =________；BN =__________．(2)若BMN 与ABC 相似，求t 的值；(3)连接AN CM ，，如图2，若AN CM ⊥BC=，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右（2）如图2，四边形ABCD是矩形，2AB=，4CG CE=，连接DG，BE．判断线段DG与BE，有怎样的数量关系和位置关系，侧作矩形CEFG，且:1:2并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，点E是从点A运动D点，则点G的运动路径长度为______；+的最小值为______．（4）如图3，在（2）的条件下，连接BG，则2BG BE【考点六相似三角形中的动点探究应用问题】【变式训练】【基础巩固】（1）参照小慧提供时思路，利用图（2）请证明上述结论；（2）A 、B 、C 、是同一直线l 上从左到右顺次的点，点P 是直线外一动点，【尝试应用】①若2AB =，1BC =，延长AB 至D ，使CD BC =【拓展提高】②拓展：若AB m =，BC n =，()m n ≠，P 点在长为___________（用含m 、n 的式子表示）．。

完整版)相似三角形题型归纳

完整版)相似三角形题型归纳1、在平行四边形ABCD中，点E为对角线AC上的一点，且AE∶EC=1∶3.将BE延长至与CD的延长线交于点G，与AD交于点F。

证明BF∶FG=1∶2.2、在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为BC的中点，E为AC上的一点。

点G在BE上，连接DG并延长至交AE于点F，且∠FGE=45°。

证明：（1）BD·BC=BG·BE；（2）AG⊥BE；（3）若E为AC的中点，则EF∶FD=1∶2.3、在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，点O是AC边上的一点，连接BO交AD于点F，OE⊥OB交BC边于点E。

证明：（1）△ABF∽△COE；（2）当O为AC的中点时，求△ABC的面积；（3）当O为AC边中点时，求△ABC的面积。

4、在平行四边形ABCD和平行四边形ACED中，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q。

写出各对相似三角形（相似比为1除外），并求出BP∶PQ∶QR的值。

5、在△ABC中，AD平分∠BAC，EM为AD的中垂线，交BC延长线于点E。

证明DE=BE·CE。

6、过△ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和E。

证明AE∶ED=2AF∶FB。

7、在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，点M在CD 上，DH⊥BM且与AC的延长线交于点E。

证明：（1）△AED∽△CBM；（2）DE=DM。

8、在△ABC中，BD、CE分别是两边上的高，过D作DG⊥BC于点G，分别交CE及BA的延长线于点F、H。

证明：（1）DG＝BG·CG；（2）BG·CG＝GF·GH。

9、在平行四边形ABCD中，点P为对角线AC上的一点。

过P的直线与AD、BC、CD的延长线、AB的延长线分别相交于点E、F、G、H。

证明：AG∶GB=CP∶PD。

1、求证：如图，已知平行四边形ABCD中，点P在AC上，点Q在BC上，且AP=CQ。

动点产生的相似三角形方法总结

动点产生的相似三角形方法总结嘿，朋友们！今天咱来唠唠动点产生的相似三角形这档子事儿。

你说这动点啊，就像个调皮的小孩子，在那图形里跑来跑去，一会儿在这儿，一会儿在那儿。

可别小瞧了这小家伙，它跑着跑着就能跑出好多有趣的相似三角形来呢！咱就拿个简单的例子来说吧，比如在一个直角三角形里，有个动点在一条边上溜达。

你就眼睁睁看着它，嘿，突然就和原来的三角形有那么点相似的味道了。

这就好像是孙悟空七十二变，一下子就变出个差不多的模样来。

你想想看，这动点多神奇啊！它能让原本平平无奇的图形变得充满了变化和惊喜。

有时候你觉得它跑得没道理，可仔细一瞧，哎呀，原来这里面藏着相似三角形的秘密呢！那怎么才能抓住这个小调皮呢？这可得有点眼力见儿。

你得仔细观察它的运动轨迹，看看它跑到哪儿的时候，那些边啊角啊就有了相似的感觉。

就跟警察抓小偷似的，得瞅准时机，一下子就把它给揪住。

而且啊，这动点产生的相似三角形可不是孤立存在的，它们之间往往有着千丝万缕的联系。

一个相似三角形可能会引出另一个相似三角形，就像连锁反应一样。

这多有意思啊！比如说，当一个动点跑到某个位置，和原来的三角形形成了一组相似。

然后呢，随着它继续跑，又会和另外的部分形成新的相似。

这就像搭积木一样，一块一块地堆起来，最后呈现出一个奇妙的图形大厦。

咱可不能小瞧了这动点产生的相似三角形，在很多数学问题里，它可都是关键所在呢！要是能把它玩转了，那些难题可就都不在话下啦。

你说，这动点是不是很神奇？它就那么跑一跑，相似三角形就出来了。

是不是感觉数学的世界真的是充满了奥秘和乐趣？咱可得好好去探索一番，把这些有趣的东西都给弄明白咯！反正我是觉得这动点产生的相似三角形太有意思啦，你们呢？难道不觉得吗？。

完整版相似三角形的动点问题题型整理

相似三角形的动点问题一、动点型例1如图，已知等边三角形ABC中，点D, E, F分别为边AB , AC, BC的中点，M为直线BC上一动点，△ DMN为等边三角形(点M的位置改变时，△ DMN也随之整体移动).(1)如图1,当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE 上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；(2)如图2,当点M在BC上时，其它条件不变，(1 )的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；(3)若点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，并判断(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由.例2、如图，在矩形ABCD中，AB=12cm , BC=8cm .点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动. 点E、G的速度均为2cm/s,点F的速度为4cm/s, 当点F追上点G (即点F与点G重合)时，三个点随之停止移动.设移动开始后第t秒时，△ EFG的面积为S ( cm2)(1 )当t=1秒时，S的值是多少？(2)写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围(3)若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、为顶点的三角形与以点F、C、G 为顶点的三角形相似？请说明理由.圜②图③迁移应用1如图，已知△ ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q 到达点C 时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t( s),(1 )当t= 2时，判断△ BPQ的形状，并说明理由；(2 )设厶BPQ的面积为S (cm2)，求S与t的函数关系式；(3)作QR//BA交AC于点R,连结PR,当t为何值时，△ APR s^ PRQ?2、如图，在直角梯形ABCD 中，AB // DC，/ D=90o, AC丄BC, AB=10cm,BC=6cm, F 点以2cm/秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm/秒的速度在线段BC 上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒(0<t<5).1) 求证：△ ACD BAC;2) 求：DC的长；3) 试探究：△ BEF可以为等腰三角形吗？若能，求t的值；若不能，请说明理由.3、如图，在直角梯形ABCD 中，AD // BC,/ B=90° , AD=6 , BC=8 , AB=3 . 3，点M是BC的中点.点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，到达点B后立刻以原速度沿BM返回；点Q从点M出发以每秒1个单位长的速度在射线MC上匀速运动.在点P，Q的运动过程中，以PQ为边作等边三角形EPQ，使它与梯形ABCD在射线BC的同侧.点P, Q同时出发，当点P返回到点M时停止运动，点Q也随之停止.设点P, Q运动的时间是t秒(t > 0)(1 )设PQ的长为y，在点P从点M向点B运动的过程中，写出y与t之间的函数关系式 (不必写t 的取值范围)；(2)当BP=1时，求△ EPQ与梯形ABCD重叠部分的面积;(3)随着时间t的变化，线段AD会有一部分被△ EPQ覆盖, 刻会达到最大值，请回答：该最大值能否持续一个时段？若能，直接写出t的取值范围；若不能，请说明理由.、动点加动线例1、如图，在Rt△ABC中，/ C=90 ° , AC=3 , AB=5 .点P从点C出发沿CA以每秒1 个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A 出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动.伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ,且交PQ于点D,交折线QB-BC-CP于点E.点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止.设点P、Q运动的时间是t秒(t> 0).(1 )当t=2时，AP= __________ ，点Q到AC的距离是 ___________________ ;(2)在点P从C向A运动的过程中，求△ APQ的面积S与t的函数关系式；(不必写出t 的取值范围(3)在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值.若不能，请说明理由;迁移应用1、如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm , BC=6cm .某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s 的速度向A点匀速运动，问：是否存在时刻t，使以A、M、N为顶点的三角形与△ ACD相似？若存在，求t的值. (4)当DE经过点C时，请直接写出t的值.2、如图，正方形 ABCD 的边长为4, E 是BC 边的中点，点 P 在射线AD 上，过P 作PF 丄 AE 于 F .(1) 求证：△ PFAABE ;(2) 当点P 在射线AD 上运动时，设PA=x ，是否存在实数x ，使以P , F , E 为顶点的三角 3、如图，已知 A (8, 0), B (0, 6)，两个动点 P 、Q 同时在△ OAB 的边上按逆时针方向(T O f A T B T O f)运动，开始时点 P 在点B 位置，点Q 在点O 位置，点P 的运动速度为每秒2个单位，点Q 的运动速度为每秒1个单位.(1) 在前3秒内，求△ OPQ 的面积S 与时间t 之间的关系式；并求出△ OPQ 的最大面积；(2) 在前10秒内，秋P 、Q 两点之间的最小距离，并求此时点 P 、Q 的坐标；(3) 在前15秒内，探究PQ 平行于△ OAB —边的情况，并求平行时点 P 、Q 的坐标.4、已知：如图，在平面直角坐标系中，△ ABC 是直角三角形，/ ACB ，点A 、C 的坐标分 (1) 求过点A 、B 的直线的函数表达式;(2) 在X 轴上找一点D,连接DB ,使得△ ADB 与厶ABC 相似(不包括全等)，并求点形也与△ ABE 相似？若存在，请求出x 的值;若不存在，说明理由.SEC别为 A(-3,0) , C(1,O), BC 3AC 4x的坐标；(3)在(2)的条件下，如P、Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ,设AP=DQ=m，问是否存在这样的m使得△ APQ与厶ADB相似，如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由.OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A在x轴上，点BC折叠，使点B落在边OA的点D处.已知折叠CE= 5 5，且-EA5、如图，四边形在Y轴上，将边DA (1) 判断OCD与厶ADE是否相似？请说明理由;(2) 求直线CE与x轴交点P的坐标;(3) 是否存在过点D的直线L ,使直线L、直线CE与x轴所围成的三角形和△ CDE相似?如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由.6、A ABC中，AB=AC=5 , BC=6，点P从点B开始沿BC边以每秒1的速度向点C运动，点Q从点C开始沿CA边以每秒2的速度向点A运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交BC于点E.点P, Q分别从B, C两点同时出发，当点Q运动到点A时，点Q、p停止运动，设它们运动的时间为x.1) ____________ 当x= 秒时，射线DE经过点C;2) 当点Q运动时，设四边形ABPQ的面积为y,求y与x的函数关系式;3) 当点Q运动时，是否存在以的P、Q、C为顶点的三角形与△ PDE相似？若存在，求出值；若不存在，请说明理由.7、如图，梯形ABCD 中，AD // BC, AB=CD=20cm , AD=40cm，/ D=120 °，点P、Q 同时从C点出发，分别以2cm/s和1cm/s的速度沿着线段CB和线段CD运动，当Q到达点D, 点P也随之停止运动.设运动时间为t (s)(1 )当t为何值时，△ CPQ与厶ABP相似；(2)设厶APQ与梯形ABCD重合的面积为S,求S与t的函数关系式，写出自变量的取值范围.8、如图，直角梯形ABCD 中，AB // DC,/ DAB=90 ° , AD=2DC=4 , AB=6 .动点M 以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C-D-A向点A运动.当点M到达点B时，两点同时停止运动. 过点M作直线I // AD , 与线段CD的交点为E,与折线A-C-B的交点为Q.点M运动的时间为t (秒)(1 )当t=0.5时，求线段QM的长；(2)当O v t V2时，如果以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形，求t的值;CQ(3) 当t>2时，连接PQ交线段AC于点R.请探究—Q是否为定值，若是，试求这个定RQ值；若不是，请说明理由.DE PC卫眩B9、如图1,直角梯形ABCD 中，/ A= / B=90° , AD=AB=6cm , BC=8cm，点E 从点A 出发沿AD方向以1cm/s的速度向中点D运动；点F从点C出发沿CA方向以2cm/s的速度11向终点A运动，当点E、点F中有一点运动到终点，另一点也随之停止.设运动时间为ts.(1 )当t为何值时，△ AEF和厶ACD相似？(2)如图2,连接BF，随着点E、F的运动，四边形ABFE可能是直角梯形？若可能，请求出t的值及四边形ABFE的面积；若不能，请说明理由；(3)当t为何值时，△ AFE的面积最大？最大值是多少？11, 4)，动点P在线段OA上从点O出发以每秒1 10、如图，在平面直角坐标系中.四边形OABC是平行四边形•直线I经过0、C两点.点A的坐标为(8, 0),点B的坐标为(12个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿A T C的方向向点C运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线0 —C-B相交于点M .当P、Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒(t> 0).^MPQ的面积为S.(1 )点C的坐标为__________________ ，直线l的解析式为________________________ 。

专题10 难点探究专题：相似三角形中动点问题压轴题六种模型全攻略(解析版)

专题10难点探究专题：相似三角形中动点问题压轴题六种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想）】 (1)【考点二相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想）】 (6)【考点三相似三角形动点中求线段及线段和最值问题】 (15)【考点四相似三角形中的动点问题与函数图像问题】 (21)【考点五相似三角形中的动点问题与几何综合问题】 (26)【考点六相似三角形中的动点探究应用问题】 (34)【典型例题】【类型一相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想）】【答案】185或367或365【分析】根据题意可知B∠【变式训练】1．（2023春·山东烟台·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知6cm OA =，8cm OB =．点P 从点B 开始沿BA 边向终点A 以1cm /s 的速度移动；点Q 从点A 开始沿AO 边向终点O 以1cm /s 的速度移动．有一点到达终点，另一点也停止运动．若P 、Q 同时出发，运动时间为(s)t ．(1)用含t 的代数式分别表示线段AQ 和AP 的长；(2)当t 为何值时，APQ △与AOB 相似？【答案】(1)()cm,10cmAQ t AP t ==-(1)求t为多少秒时，CPQ(1)填空：当t =___________时，AF CE =(2)当BEF △与BEH △相似时，求t 的值．【答案】(1)2；2(2)t 的值为2或4或317+．【分析】（1）证明DAF EBH △∽△，利用相似三角形的性质解决问题即可；（2）由EBH DAF ∽，利用相似三角形的性质求得时，利用相似三角形的性质列式计算即可求解．【详解】（1）解：∵8BC AD ==，点E ∵4AF CE ==，即：24t =，∴2t =，∵EH DF ∥，∴DAF EBH △∽△，DA EB 84当BEF BHE △∽△时：BE BH 即()24212t t =-⨯，解得：317t =+(负值已舍综上，t 的值为2或4或3+【点睛】此题考查了相似图形，掌握相似三角形的判定和性质等相关知识是解题的关键．【类型二相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想）】例题：（2023·河南洛阳·统考一模）矩形则DE 的长为．【答案】2或8【分析】由矩形的性质，垂直的定义推出DAE BEC ∠=∠，即可证明ADE ECB ∽△△，得到::DE BC AD EC =，设DE x =，列出关于x 的方程，求出x 的值即可．【详解】解：设DE x =，∵四边形ABCD 是矩形，∴90D C ∠=∠=︒，4BC AD ==，10CD AB ==，∴90DAE AED ∠+∠=︒，∵90AEB ∠=︒，∴18090BEC AED AEB ︒︒∠+∠=-∠=，∴DAE BEC ∠=∠，∴ADE ECB ∽△△，∴::DE BC AD EC =，即():44:10x x =-，整理得210160x x -+=，∴2x =或8，∴DE 的长是2或8．故答案为：2或8．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，关键是由条件证明ADE ECB ∽△△，并注意有两个答案．【变式训练】∴CD CE DE CA CB AB==，∴4543CE DE ==，解得165CE=，125DE=，如图2所示，当CA CP =时，∵四边形ABOC 是矩形，∴8AC OB ==，∴82CP BP ==，，∵PBE CBO ∽，【点睛】本题考查了相似三角形的性质，等腰三角形的性质，坐标与图形，勾股定理，矩形的性质等知识，注意分类讨论思想的运用．3．（2023·安徽蚌埠·校考一模）如图，在边AB，BC上的动点，且的长为．【答案】5cm或8cm∠只能为锐角，【分析】说明DFE∠=︒两种情况求解即可．90FED当90FED ∠=︒时，如图，设2AD n =，∵2AD BE =，【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，定理，运用了分类讨论的思想．理解题意并运用分类讨论是解题的关键．．（2023·江苏徐州·统考三模）如图，在【答案】154或307【答案】4或134或11926【分析】由翻折变换的性质得：时，②当BF CF=时，F在则BG FG ==12BF ，90BCG B A ∠=︒-∠=∠，又90CGB ACB ∠=∠=︒，【类型三相似三角形动点中求线段及线段和最值问题】【答案】8 5【分析】作点理可求得AB=点H，交AB于点则PC PC'=，【变式训练】【答案】35【分析】作点D关于直线点E，首先根据相似三角形的判定与性质，即可求得求解．DE D E '∴=，PD PD =D 是AB 的中点，12BD BA ∴=，AC BC ⊥Q ，DE BC ⊥【答案】2【分析】证明FEH△∽△利用勾股定理求出AO 【详解】解：矩形CDEF【点睛】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分相等成比例，勾股定理，对的弦是直径，三角形三边关系定理等知识点．掌握相似三角形的性质，平行线分线段成比例是解题的关键．3．（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）如图，矩形【答案】32【分析】取BE 的中点，连接12BH BE =，可得到BH BF∵BEM△沿着BM翻折得到∴BF BE=，∵4BC=，E是BC中点，【类型四相似三角形中的动点问题与函数图像问题】．B ．C ．D ．【答案】B【分析】分别求出点F 在边上时，点F 与点C 重合时时，点F 在边BC 上时，S 与x 之间的函数关系式，即可求解．【详解】解：24AB PA ==，【变式训练】1．（2023·河南焦作·统考二模）如图，在Rt ABC △中，90,3,4ACB AC BC ∠=︒==，点P 为边AB 上一动点，过点P 作直线l AB ⊥，交折线ACB 于点Q ．设,AP x CQ y ==，则y 关于x 的函数图象大致是（）A ．．．．【答案】B【分析】分两种情况：当点在AC 时，当点Q BC 时，结合相似三角形的判定和性质，即可求解．【详解】解：∵903,4ACB BC ∠===，∵直线l AB ⊥，∴BPQ ACB ∠=∠=∵B B ∠=∠，故选：B．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．2．（2023·安徽合肥在AB和BC上匀速移动，连接x的函数图像大致是（A．B．C．．【答案】C【分析】分三种情况讨论得出y关于x的函数关系式即可得出答案．【详解】解：①当点P与点重合时，【点睛】本题考查动点问题函数图像，考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，反比例函数及一次函数的图像．解题的关键和难点在于根据点3．（2023·黑龙江下方的l上的一动点．．．D ．【答案】B【分析】根据AE BD ∥得ABD ∠=∠，根据直线是线段AB 的中垂线可得AD x ==，132BC AB ==，再证AEB BCD ，然后根据相似三角形列比例式化简可得18y x =，再结合x >【类型五相似三角形中的动点问题与几何综合问题】例题：（2023春·山东济宁·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，矩形OABC 的两边分别在x 轴和y 轴上，点B 的坐标为()12,8，现有两动点P ，Q ，点P 以每秒3个单位的速度从点O 出发向终点A 运动，同时点Q 以每秒2个单位的速度从点A 出发向终点B 运动，连接PC ，PQ ，CQ ．设运动时间为t 秒()0t >．(1)点P的坐标为______，点(2)请判断四边形APCQ的面积是否会随时间(3)若A，P，Q为顶点的三角形与【变式训练】【答案】（1）DG BE =；（2）12DG BE DG BE =⊥，．理由见解析；【分析】（1）通过证明()SAS DCG BCE ≌△△全等，得到DG BE =（2）通过证明DCG BCE ∽△△得到12DG CG BE CE ==，BEC DGC ∠=∠∵矩形ECGF 、矩形ABCD ∴90ECG BCD ∠=∠=︒∴DCG BCE ∠=∠，∵:2:41:2CD CB ==，则90ENC CMG ∠=∠=∵90ECG ∠=︒，∴ECN GCM ∠+∠=∠∴ECN CGM ∠=∠，根据解析（3）可知，点G ∵DG GG '=，∴BG DG BG GG BG '+=+=特例故知：（1）勤奋小组从特殊情况入手：如图1，45B ∠=︒，E 为AB 的中点，则变式探究（2）希望小组受此启发，作了如下改变：如图2，将（1）中“B ∠∵90CAB ∠=︒，AD BC ⊥∴45MAE NBE ∠=∠=︒，∵90AME ENB ∠=∠=︒，∴AME △和ENB △为等腰直角三角形，同理可得四边形M END是矩形，∴90∠=︒，MEN⊥，∵EF CE∠+∠=∠+∠∴MEG CEN CEN同（2）可得EMG ENF △∽△，∴EG EM EF EN=，∵B α∠=，AE kBE =，∴cos cos EM AE kEB αα=⋅=⋅【类型六相似三角形中的动点探究应用问题】例题：（2023·辽宁锦州·统考一模）探究完成以下问题：【初步认识】(1)如图1，在四边形ABCD 中，90BAD BCD ∠=∠=︒，连接AC ，BD ，过点A 作AE AC ⊥交CB 的延长线于点E ．求证：E ACD ∠=∠；【特例研究】【答案】(1)证明见解析；(2)①证明见解析；②AE MN ∥，理由见解析；(3)223或4．【分析】（1）根据题可得90AEC ACE ∠+∠=︒、ACD ∠+论；（2）①先证明(ASA)BAE DAC ≌可得BE DC =，再说明BE DC =即可证明结论；②先说明ABD △和AEC △都是等腰直角三角形，进而得到明90ANE AMB ∠=∠=︒可得AEN ABM ∽可得EAB ∠45ANM AEB ∠=∠=︒，进而得到45AEB MNF ∠=∠=︒（3）当点E 在线段BC 的延长线上时，过点O 作OP ⊥证明OPF OHE ∽，由相似三角形的性质得OP PF OH HE=段BC 上时，过点O 作OP CD ⊥于点F ，OH BC ⊥于点【详解】（1）证明：AE AC ⊥ ，90CAE ∴∠=︒．90AEC ACE ∴∠+∠=︒．90BCD ∠=︒ ，（2）①90EAC BAD ∠=∠=︒ ．EAC BAC BAD BAC ∴∠-∠=∠-∠，即BAE CAD ∠=∠．AB AD = ，由（1）知AEC ACD ∠=∠，(ASA)BAE DAC ∴ ≌．BE DC ∴=．∵M ，F 分别是BD ，BC 的中点，MF ∴是BCD △的中位线．2CD MF ∴=．2BE MF ∴=．②//AE MN ，理由如下：连接AM ，AN ，由①知，BAE DAC ≌△△，AE AC ∴=．AB AD = ，90EAC BAD ∠=∠=︒，∴ABD △和AEC △都是等腰直角三角形．45AEC ACE ∴∠=∠=︒，45ABD ADB ∠=∠=︒．AEC ABD ∴∠=∠．又N Q 为EC 中点，M 为BD 中点，AN EC ∴⊥，AM BD ⊥．90ANE AMB ∴∠=∠=︒．AEN ABM ∴△∽△．（3）解：①如图：当点CF 交于点K ，335,AB AB BC == ,∴5BC =∵四边形ABCD 是矩形，∴90BCD AB CD ∠=︒⊥，同理可得OPF OHE ∽，即∴3354CF CP PF =+=+=【变式训练】【基础巩固】（1）参照小慧提供时思路，利用图（2）请证明上述结论；（2）A 、B 、C 、是同一直线l 上从左到右顺次的点，点【尝试应用】①若2AB =，1BC =，延长AB 至D ，使【拓展提高】②拓展：若AB m =，BC n =，()m n ≠∥，交作CE APAPB CEB ∴∽PA AB∴=，CE BC∠平分APC PB∴∠=∠APB CPB ∴∠=∠，CPB E=延长PC至T，使CT PCPT PC∴=，2，==BC CD1∴四边形PBTD是平行四边形，∴=，BT PD∠，PB平分APC=延长PC至Q，使PQ AP，PCD QCB∴∽(1)操作推断如图1，点P是正方形纸片ABCD的边AD的中点，沿BP 连接PF．则BPF∠＝︒．(2)迁移探究设BF与AD交于E，∵DF AB∥，∴ABH DFH∽，∴AB AH BH==，。

相似三角形中的几何动点问题模型专题汇总

相似三角形中的几何动点问题模型专题汇总这节课我们学什么1. 动点动点函数型函数型----横竖型横竖型问题问题2. 动点动点函数型函数型----斜线型斜线型问题问题3. 动点动点几何型几何型----二次相似二次相似问题问题4. 动点动点几何形几何形----A -A 问题知识点梳理1.本专项的前半部分为二次函数中动点相似三角形之函数型，主要为有一对等角的两个三角形相似时，对等角的夹边作讨论的题型，简称S.A.S型. 题型分为横竖型和斜线型两大类：题型分为横竖型和斜线型两大类：横竖型：动点在平行于坐标轴的直线上；斜线型：动点在倾斜的直线上.（等角类型分为锐角、钝角；等角的位置有公共角、对顶角、内错角等，还可通过三角比的计算得到等角.）求斜线上的点坐标方法可以采用代数方法（两点间距离公式）（两点间距离公式），还可以用几何方法注：求斜线上的点坐标方法可以采用代数方法构造相似三角形或是三角比来求解. 2.本专项的后半部分为二次函数中动点相似三角形之几何．本专项的后半部分为二次函数中动点相似三角形之几何．和两次相似两大类：题型分为A-A和两次相似两大类：A-A：确定一组相等的角，讨论分析另一组角，可以结合等腰三角形的性质或者锐角三角比；三角比；两次相似：借助第一次证明的相似三角形相等的角，结合已知条件证明第二次相似．两次相似：借助第一次证明的相似三角形相等的角，结合已知条件证明第二次相似．典型例题分析1、动点横竖型问题例1.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，二次函数214y x bx c=-++的图像经过点()4,0A 、()0,2C ．（1）试求这个二次函数的解析式，并判断点()2,0B -是否在该函数的图像上；是否在该函数的图像上；（2）设所求函数图像的对称轴与x 轴交于点D ，点E 在对称轴上，若以点C 、D 、E 为顶点的三角形与ABC D 相似，试求点E 的坐标．的坐标．【答案：（1）∵c bx x y ++-=241过点40A （，）、02C （，）∴2,21==c b∴211242y x x =-++∵当2x =-时，0y = ∴点(2,0)B -在该二次函数的图像上；（2）∵二次函数的对称轴为直线1x = ∴10D （，）∵点E 在对称轴上，且对称轴平行y 轴 ∴OCD CDE Ð=Ð又6AB =，25AC =，5CD =2OC =，1OD =易得OCD OAC D D ∽∴OCD OAC Ð=Ð，从而CDE OAC Ð=Ð若以点C 、D 、E 为顶点的三角形与ABC D 相似则有以下两种情况：．A． C ．O x y 1．A． C ．Oxy 1 DB EEⅰ）当AB DC AC DE =时，即6552=DE ，解得：35=DE ∴点E 的坐标为)35,1( ⅱ）当AC DCAB DE=时，即5256=DE ，解得：3=DE ∴点E 的坐标为)3,1( 综上点E 的坐标为)35,1(或)3,1(.】例2.如图，已知在ABC D 中，90A Ð=°，32AB AC ==，经过这个三角形重心的直线DE BC //，分别交边AB 、AC 于点D 和点E ，P 是线段DE 上的一个动点，过点P 分别作PM BC ^，PF AB ^，PG AC ^，垂足分别为点M 、F 、G ，设BM x =，四边形AFPG 的面积为y ．（1）求PM 的长；的长；（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；的函数解析式，并写出它的定义域；（3）联结MF 、MG ，当PMF D 与PMG D 相似时，求BM 的长．的长．【答案：解：（1）过点A 作AH BC ^，垂足为点H ，交DE 于点Q ． ∵90BAC Ð=°，32AB AC ==，∴6BC =．又∵AH BC ^，∴132BH CH BC ===，Q 是ABC D 的重心．∴113QH AH ==． ∵DE BC //，PM BC ^，AH BC ^，∴1PM QH ==．（2）延长FP ，交BC 于点N ．∵90BAC Ð=°，AB AC =，∴45B Ð=°．于是，由FN AB ^，得45PNM Ð=°．又由PM BC ^，得1MN PM ==，2PN =．MP ABCDEFG∴1BN BM MN x =+=+，2(1)2FB FN x ==+． ∴2232(1)(5)22AF AB FB x x =-=-+=-，22(1)2(1)22FP FN PN x x =-=+-=-．∵PF AB ^，PG AC ^，90BAC Ð=°，∴90BAC PFA PGA Ð=Ð=Ð=°． ∴四边形AFPG 是矩形．∴22(1)(5)22y FP AF x x =×=-×-，即所求函数解析式为215322y x x =-+-．定义域为15x <<．（3）∵四边形AFPG 是矩形，∴)5(22x AF PG -==．由135FPM GPM Ð=Ð=°，可知，当PMF D 与PMG D 相似时，有两种情况：PFM PGM Ð=Ð或PFM PMG Ð=Ð．（ⅰ）如果PFM PGM Ð=Ð，那么PF PMPG PM=．即得PF PG =． ∴22(1)(5)22x x -=-．解得3x =．即得3BM =．（ⅱ）如果PFM PMG Ð=Ð，那么PF PMPM PG=．即得2PM PF PG =×． ∴22(1)(5)122x x -×-=．解得132x =+，232x =-．即得32BM =+或32BM =-．∴当PMF D 与PMG D 相似时，BM 的长等于32-或3或32+．】2、动点斜线型问题例3.已知：已知：如图，如图，如图，在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy 中，中，二次函数二次函数213y x bx c =-++的图像经过点1()1,A -和点()2,2B ，该函数图像的对称轴与直线OA 、OB 分别交于点C 和点D ．（1）求这个二次函数的解析式和它的对称轴；）求这个二次函数的解析式和它的对称轴；（2）求证：ABO CBO Ð=Ð；（3）如果点P 在直线AB 上，且POB D 与BCD D 相似，求点P 的坐标．的坐标．【答案：（1）解：由题意，得解得∴所求二次函数的解析式为．对称轴为直线1x =．（2）证明：由直线OA 的表达式y x =-，得点C 的坐标为11-（，）．∵，，∴A B B C =．又∵，，∴O A O C =．∴A B O C B O Ð=Ð．（3）解：由直线OB 的表达式y x =，得点D 的坐标为(1,1)．由直线AB 的表达式，得直线与x 轴的交点E 的坐标为40-（，）．∵POB D 与BCD D 相似，ABO CBO Ð=Ð ∴BOP BDC Ð=Ð或BOP BCD Ð=Ð．10=AB 10=BC 2=OA 2=OCyxOA B1 1 -1 -1 （i ）当BOP BDC Ð=Ð时，由135BDC Ð==°，得135BOP Ð=°． ∴点P 不但在直线AB 上，而且也在x 轴上，即点P 与点E 重合．∴点P 的坐标为40-（，）．（ii ）当BOP BCD Ð=Ð时，由POB BCD D D ∽，得．而，，，∴．又∵，∴．作PH x ^轴，垂足为点H ，BF x ^轴，垂足为点F ． ∵PH BF //，∴．而2BF =，6EF =，∴，．∴．∴点P 的坐标为48(,)55．综上所述，点P 的坐标为(4,0)-或48(,)55．】3、动点几何型—二次相似问题例4.如图，在Rt ABC D 中，90ACB Ð=°，CE 是斜边AB 上的中线，10AB =，4tan 3A =，点P 是CE 延长线上的一动点，过点P 作PQ CB ^，交CB 延长线于点Q ，设,EP x BQ y ==．（1）求y 关于x 的函数关系式及定义域；的函数关系式及定义域；（2）联结PB ，当PB 平分CPQ Ð时，求PE 的长；的长；（3）过点B 作BF AB ^交PQ 于F ，当BEF D 和QBF D 相似时，求x 的值．的值．22=BO 2=BD 10=BC 102=BE【答案：（1）在Rt ABC 中，°=Ð90ACB ，∵34tan ==AC BCA ，10=AB∴8=BC ，6=AC ∵CE 是斜边AB 上的中线，∴521===AB BE CE∴ABC PCB Ð=Ð，∵°=Ð=Ð90ACB PQC ∴BQC ABC D D ∽，∴54==AB BC PC CQ ，即5458=++x y ∴445y x =-，定义域为5x >．（2）过点B 作BM PC ^，垂足为M ．∵PB 平分CPQ Ð，PQ BQ ^，垂足为Q ． ∴y BQ BM ==∵52485353=´==BC BM ∴524454=-x ∴11=x （3）∵°=Ð=Ð90ACB Q ，AQBF Ð=Ð∴BQF ABC D D ∽当BEF D 和QBF D 相似时，可得BEF D 和ABC D 也相似．分两种情况： 1)当A FEB Ð=Ð时，在Rt FBE D E 中，°=Ð90FBE ，5=BE ，y BF 35=ABCE PQ（备用图） ABC E（备用图） ABCEEDB FC A【答案：（1）∵ABC D 是等边三角形， ∴，. 由题意可知AEF DEF D D ≌，∴，，. ∴. ∵， ∴. 又∵，∴. ∵，∴BDE CFD D D ∽. 方法①∵BDE CFD D D ∽，∴. 设，则由知，，，，.设，则. ∴. 即整理，得°=Ð=Ð=Ð60C B A CA BC AB ==°=Ð=Ð60A EDF AE DE =AF DF =BDF EDF BDE Ð=Ð+ÐC CFD BDF Ð+Ð=Ð=Ð+ÐEDF BDE C CFD Ð+ÐC EDF Ð=°=Ð60CFD BDE =ÐC B Ð=Ðk AE 5=4:5:=AF AE k AF 4=k AE DE 5==k AF DF 4==k BE 56-=k CF 46-=x BD =x CD -=6BCA备用图备用图ABCDEF。

相似三角形汇总5相似中的动点问题

相似三角形提高一、相似三角形动点问题1.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B 作射线BB 1∥AC ．动点D 从点A 出发沿射线AC 方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E 从点C 沿射线AC 方向以每秒3个单位的速度运动．过点D 作DH ⊥AB 于H ，过点E 作EF ⊥AC 交射线BB1于F ，G 是EF 中点，连接DG ．设点D 运动的时间为t 秒．（1）当t 为何值时，AD=AB ，并求出此时DE 的长度；（2）当△DEG 与△ACB 相似时，求t 的值．2.如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB=6m ，BC=8m ，动点P 以2m/s 的速度从A 点出发，沿AC 向点C 移动．同时，动点Q 以1m/s 的速度从C 点出发，沿CB 向点B 移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t 秒．（1）①当t=2.5s 时，求△CPQ 的面积；②求△CPQ 的面积S （平方米）关于时间t （秒）的函数解析式；（2）在P ，Q 移动的过程中，当△CPQ 为等腰三角形时，求出t 的值．3.如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点D 在边AB 上运动，DE 平分∠CDB 交边BC 于点E ，EM ⊥BD ，垂足为M ，EN ⊥CD ，垂足为N ．（1）当AD ＝CD 时，求证：DE ∥AC ；（2）探究：AD 为何值时，△BME 与△CNE 相似？4.如图所示，在△ABC 中，BA ＝BC ＝20cm ，AC ＝30cm ，点P 从A 点出发，沿着AB 以每秒4cm 的速度向B 点运动；同时点Q 从C 点出发，沿CA 以每秒3cm 的速度向A 点运动，当P 点到达B 点时，Q 点随之停止运动．设运动的时间为x ．（1）当x 为何值时，PQ ∥BC ？（2）△APQ 与△CQB 能否相似？若能，求出AP 的长；若不能说明理由．5.如图，在矩形ABCD 中，AB=12cm ，BC=6cm ，点P 沿AB 边从A 开始向点B 以2cm/s 的速度移动；点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1cm/s 的速度移动．如果P 、Q 同时出发，用t （s ）表示移动的时间（0＜t ＜6）。

相似三角形中考考点归纳与典型例题

相似三角形中考考点归纳与典型例题相似三角形是初中数学中常出现的重要概念，它是几何学中研究两个三角形之间形状关系的一个重要内容。

掌握相似三角形的性质和应用是解决几何问题的基础。

相似三角形的重要性质：1. 定义：如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，则它们是相似三角形。

记作ΔABC ~ ΔDEF。

其中A、B、C是ΔABC的顶点，D、E、F是ΔDEF的顶点。

2. 判定定理：(1) AA相似定理：如果两个三角形的两个对应角相等，则它们是相似的。

(2) AAA相似定理：如果两个三角形的三个对应角相等，则它们是相似的。

3. 边比例关系：相似三角形的对应边成比例。

即对于ΔABC ~ΔDEF，有AB/DE = BC/EF = AC/DF。

4. 高比例关系：相似三角形的高线成比例。

即对于ΔABC ~ΔDEF，有h1/h2 = AB/DE = BC/EF = AC/DF。

5. 相似三角形的性质：(1) 对应角相等，即∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。

(2) 对应边成比例，即AB/DE = BC/EF = AC/DF。

(3) 相似三角形的顶角相等，边比例相等，它们的面积比例也相等。

(4) 相似三角形的高线间成比例。

相似三角形的典型例题：例题1：如图，在直角三角形ABC中，∠B = 90°，BM是AC的中线，求比值AB/BC。

解：由与直角三角形的垂直关系可知∠A = ∠CBM，∠C = ∠ABM。

所以∠ABC ~ ∠CBM。

根据相似三角形的性质可得AB/BC = CB/BM = 2/1，即AB/BC = 2。

例题2：如图，上底AE = 4cm，下底BC = 8cm，连结CD，且CD = AE，点F是AE的中点，连接BF，求比值∠AFB/∠ACD。

解：由AE = CD可得∠A = ∠C。

又由BF = FE可得∠B = ∠AFE。

所以∠AFB ~ ∠ACD。

根据相似三角形的性质可得∠AFB/∠ACD = AB/AD= BC/CD = 2。

相似三角形总结5-相似中的动点问题

相似三角形总结5-相似中的动点问题————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2相似三角形提高一、相似三角形动点问题∥AC．动点D从点A出1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．2.如图，在△ABC中， ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC 向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒．（1）①当t=2.5s时，求△CPQ的面积；②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值．3.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE平分∠CDB 交边BC于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N．（1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC；（2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？4.如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm 的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x．（1）当x为何值时，PQ∥BC？（2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由．5.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0＜t＜6）。

因动点产生的相似三角形问题(解析版)-2024年中考数学压轴题重难点

因动点产生的相似三角形问题（解析版）通用的解题思路：第一类：设点法，当三角形的边长能用距离公式、铅垂高、水平宽表示出来时，一般采用设点法，先设点，再表示出边长，然后再用对应线段成比例来列出比例方程求出设点法中所包含的参数值；第二类：求点法，当三角形的边长不好用距离公式、铅垂高、水平宽表示出来时，一般采用数形结合的方法，根据平行、垂直、对称等位置关系，求出动点所在的直线方程，再与二次函数解析式联立，求出符合条件的交点。

第Ⅰ类：设点法1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =−++与x 轴交于A 、D 两点，与y 轴交于点B ，四边形OBCD 是矩形，点A 的坐标为(1,0)，点B 的坐标为(0,4)，已知点(,0)E m 是线段DO 上的动点，过点E 作PE x ⊥轴交抛物线于点P ，交BC 于点G ，交BD 于点H ．（1）求该抛物线的解析式；（2）当点P 在直线BC m 的代数式表示PG 的长度；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P ，使得以P 、B 、G 为顶点的三角形与DEH ∆相似？若存在，求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）四边形OBCD 是矩形，点B 坐标为(0,4)，D ∴点的坐标是(4,0)−，点B 和点D 在抛物线上，∴4164c b c =−−+ ，∴34b c =− = ，∴该抛物线的解析式为：234y x x =−−+；（2）2434m m =−−+ ，解得3m =−或0，∴抛物线与直线BC 的交点为(3−，4)(0，4)，∴点P 在直线BC 上方时，m 的取值范围是：30m −<<，(,0)E m ，(0,4)B ，PE x ⊥ 轴交抛物线于点P ，交BC 于点G ，2(,34)P m m m ∴−−+，(,4)G m ，223443PG m m m m ∴=−−+−=−−，（3）抛物线的解析式为：234y x x =−−+；设点2(,34)P m m m −−+，BG m ∴=，4DE m =+， //DO BC ，∴BG GHDE HE=，4GH = ，BG GH m ∴==−，4HE DE m ==+，以P 、B 、G 为顶点的三角形与DEH ∆相似且90PGB DEH ∠=∠=°，PGB DEH ∴∆∆∽，∴PG GBDE HE=， GB PG ∴=，23m m m ∴−=−−，2m ∴=−或0m =（舍)，即：2m =−。

相似三角形的动点问题题型(整理)word版本

相似三角形的动点问题一、动点型例1、如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．（1）如图1，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；（2）如图2，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；（3）若点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由．例2、如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm2）（1）当t=1秒时，S的值是多少？（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由．迁移应用1、如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q 到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），（1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；（2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？2、如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90o，AC⊥BC，AB=10cm,BC=6cm，F点以2cm／秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm／秒的速度在线段BC 上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒(0<t<5)．1）求证：△ACD∽△BAC；2）求：DC的长；3）试探究：△BEF可以为等腰三角形吗？若能，求t的值；若不能，请说明理由．3、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=6，BC=8，AB=33，点M 是BC的中点．点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，到达点B后立刻以原速度沿BM返回；点Q从点M出发以每秒1个单位长的速度在射线MC上匀速运动．在点P，Q的运动过程中，以PQ为边作等边三角形EPQ，使它与梯形ABCD在射线BC的同侧．点P，Q同时出发，当点P返回到点M时停止运动，点Q也随之停止．设点P，Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）设PQ的长为y，在点P从点M向点B运动的过程中，写出y与t之间的函数关系式（不必写t的取值范围）；（2）当BP=1时，求△EPQ与梯形ABCD重叠部分的面积；（3）随着时间t的变化，线段AD会有一部分被△EPQ覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值，请回答：该最大值能否持续一个时段？若能，直接写出t的取值范围；若不能，请说明理由．二、动点加动线例1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A 出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B 时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）当t=2时，AP= ，点Q到AC的距离是；（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t 的取值范围（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；（4）当DE经过点C时，请直接写出t的值．迁移应用1、如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s 的速度向A点匀速运动，问：是否存在时刻t，使以A、M、N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值．2、如图，正方形ABCD 的边长为4，E 是BC 边的中点，点P 在射线AD 上，过P 作PF ⊥AE 于F ．（1）求证：△PFA ∽△ABE ；（2）当点P 在射线AD 上运动时，设PA=x ，是否存在实数x ，使以P ，F ，E 为顶点的三角形也与△ABE 相似？若存在，请求出x 的值；若不存在，说明理由．3、如图，已知A （8，0），B （0，6），两个动点P 、Q 同时在△OAB 的边上按逆时针方向（→O →A →B →O →）运动，开始时点P 在点B 位置，点Q 在点O 位置，点P 的运动速度为每秒2个单位，点Q 的运动速度为每秒1个单位．（1）在前3秒内，求△OPQ 的面积S 与时间t 之间的关系式；并求出△OPQ 的最大面积；（2）在前10秒内，秋P 、Q 两点之间的最小距离，并求此时点P 、Q 的坐标；（3）在前15秒内，探究PQ 平行于△OAB 一边的情况，并求平行时点P 、Q 的坐标．4、已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形，∠ACB ，点A 、C 的坐标分别为A(-3,0)，C(1,0)，43AC BC , （1）求过点A 、B 的直线的函数表达式；（2）在X 轴上找一点D,连接DB ，使得△ADB 与△ABC 相似（不包括全等），并求点Dyx O AB的坐标；（3）在（2）的条件下，如P、Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP=DQ=m，问是否存在这样的m使得△APQ与△ADB相似，如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由．5、如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A在x轴上，点C在Y轴上，将边BC折叠，使点B落在边OA的点D处．已知折叠CE=55，且43DAEA（1）判断OCD与△ADE是否相似？请说明理由；x（2）求直线CE与x轴交点P的坐标；（3）是否存在过点D的直线L，使直线L、直线CE与x轴所围成的三角形和△CDE相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存Array在，请说明理由．6、△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点P从点B开始沿BC边以每秒1的速度向点C运动，点Q从点C开始沿CA边以每秒2的速度向点A运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交BC于点E．点P，Q分别从B，C两点同时出发，当点Q运动到点A时，点Q、p停止运动，设它们运动的时间为x．1）当x= 秒时，射线DE经过点C；2）当点Q运动时，设四边形ABPQ的面积为y，求y与x的函数关系式；3）当点Q运动时，是否存在以P、Q、C为顶点的三角形与△PDE相似？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由．7、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=20cm，AD=40cm，∠D=120°，点P、Q同时从C点出发，分别以2cm/s和1cm/s的速度沿着线段CB和线段CD运动，当Q到达点D，点P也随之停止运动．设运动时间为t（s）（1）当t为何值时，△CPQ与△ABP相似；（2）设△APQ与梯形ABCD重合的面积为S，求S与t的函数关系式，写出自变量的取值范围．8、如图，直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB=90°，AD=2DC=4，AB=6．动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C-D-A向点A运动．当点M到达点B时，两点同时停止运动．过点M作直线l∥AD，与线段CD 的交点为E ，与折线A-C-B 的交点为Q ．点M 运动的时间为t （秒）．（1）当t=0.5时，求线段QM 的长；（2）当0＜t ＜2时，如果以C 、P 、Q 为顶点的三角形为直角三角形，求t 的值；（3）当t ＞2时，连接PQ 交线段AC 于点R ．请探究RQCQ是否为定值，若是，试求这个定值；若不是，请说明理由．9、如图1，直角梯形ABCD 中，∠A=∠B=90°，AD=AB=6cm ，BC=8cm ，点E 从点A 出发沿AD 方向以1cm/s 的速度向中点D 运动；点F 从点C 出发沿CA 方向以2cm/s 的速度向终点A运动，当点E、点F中有一点运动到终点，另一点也随之停止．设运动时间为ts．（1）当t为何值时，△AEF和△ACD相似？（2）如图2，连接BF，随着点E、F的运动，四边形ABFE可能是直角梯形？若可能，请求出t的值及四边形ABFE的面积；若不能，请说明理由；（3）当t为何值时，△AFE的面积最大？最大值是多少？10、如图，在平面直角坐标系中．四边形OABC是平行四边形．直线l经过O、C两点．点A的坐标为（8，0），点B的坐标为（11，4），动点P在线段OA上从点O出发以每秒1个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿A→B→C的方向向点C运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线O一C-B相交于点M．当P、Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒（t＞0）．△MPQ的面积为S．（1）点C的坐标为，直线l的解析式为。

相似三角形中的动点问题综合讲义

相似之动点问题（讲义）一、知识点睛动点问题解决套路1．研究基本图形，标注基本图形是动点运动的背景，需要研究边和角，寻找模型或结构，或者转化坐标和表达式．2．分析运动过程，分段，定范围关注起点、终点和状态转折点．状态转折点是图形状态发生变化的点，常见的状态转折点有拐点、相遇点等．3．根据不变特征建等式依分段画图形，表达相关线段长，根据不变特征建等式，结合范围验证结果．表达的常用手段有s=vt、相似、勾股定理等；根据不变特征建等式需要把不变特征跟基本图形信息结合起来考虑，常见不变特征有相似、直角、等腰等．二、精讲精练1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC:BC=4:3．点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿折线B→C→A 向点A运动，速度为2cm/s，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为x（s）．（1）设△PBQ的面积为y（cm2），求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（2）当Q在BC上运动时，是否存在以点B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．（3）当Q在CA上运动，且PQ⊥AB时，以点B，P，Q为顶点的三角形与△ABC是否相似？请说明理由．CA B2．如图，直角梯形OABC 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，OA ∥CB ，A (4，0)，B (3，3)．点M 从点O 出发以每秒2个单位长的速度向点A 运动，同时点N 从点B 出发，以每秒1个单位长的速度向点C 运动，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．过点N 作NP ⊥x 轴于点P ，连接AC 交NP 于点Q ，连接MQ ．设运动时间为t （秒）．（1）使线段AQ ，QM ，MA 能围成三角形的t 的取值范围是_____________．（2）求△AQM 的面积S 与运动时间t 之间的函数关系式．（3）是否存在点M ，使得△AQM 为直角三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．3．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =3，DC =5，AB=B =45°．动点M 从点B 出发，沿线段BC 以每秒1个单位长的速度向终点C 运动，动点N 同时从点C 出发，沿折线C →D →A 以同样速度向终点A 运动，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t （秒）．（1）求在运动过程中形成的△MCN 的面积S 与运动时间t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．（2）当N 在CD 上运动时，△MCN 能否成为等腰三角形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．ADBC如图，直角梯形OABC 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，OA ∥CB ，A (15，0)，B (10，12)．动点P ，Q 分别从O ，B 两点同时出发，点P 以每秒2个单位长的速度沿OA 方向向终点A 运动，点Q 以每秒1个单位长的速度沿BC 方向向终点C 运动，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．线段OB ，PQ 相交于点D ，过点D 作DE ∥OA ，交AB 于点E ，射线QE 交x 轴于点F ．设动点P ，Q 的运动时间为t （秒）．（1）当t 为何值时，四边形PABQ 是平行四边形？（2）当t =2秒时，求梯形OFBC 的面积；（3）当t 为何值时，△PQF 是等腰三角形？三、回顾与思考__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【参考答案】1.（1）2248035351423755x x x y x x x ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪-+<<⎪⎩≤．（2）存在，3013x =．（3）不相似 2.（1）0≤t <2（2）23332442S t t t =-++<（0）≤（3）存在，M (2,0)或M (2619，0)3.（1）22405522058t tt S t t ⎧-+⎪=⎨⎪-+⎩＜＜≤≤（2）能成为等腰三角形，50511t =或 4. （1）t =5（2）174（3）t =13或56或43或193相似之动点问题（每日一题）姓名_________1．如图1，在四边形ABCD 中，∠D =90°，BC ∥AD ，BC =20，DC =16，AD =30．动点P 从点D 出发，沿射线DA 方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q 从点C 出发，在线段CB 上以每秒1个单位长的速度向点B 运动，点P ，Q 分别从点D ，C 同时出发，当点Q 运动到点B 时，点P 随之停止运动．设运动时间为t （秒）．（1）设△BPQ 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式．（2）当t 为何值时，使得线段PQ 与线段AB 相交于点O ，且2AO =OB ？（3）当t 为何值时，使得PQ ⊥BD ？（4）当t 为何值时，以B ，P ，Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形？备用图备用图图1ABCD ABCD Q PDCBA2．如图，边长为4的等边三角形AOB 的顶点O 在坐标原点，点A 在x 轴正半轴上，点B 在第一象限．一动点P 沿x 轴以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，当点P 到达点A 时停止运动，设点P 运动的时间是t （秒）．将线段BP 的中点绕点P 按顺时针方向旋转60°得到点C ，点C 随点P 的运动而运动，连接CP ，CA ，过点P 作PD ⊥OB 于点D ．（1）填空：PD 的长为_______（用含t 的代数式表示）．（2）求点C 的坐标（用含t 的代数式表示）．（3）在点P 从O 向A 运动的过程中，△PCA 能否成为直角三角形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．3．如图，菱形ABCD的边长为20cm，∠ABC=120°．动点P，Q同时从点A出发，其中P以4cm/s的速度，沿A→B→C的路线向点C运动；Q以的速度，沿A→C的路线向点C运动．当P，Q到达终点C时，整个运动随之结束，设运动时间为t（s）．（1）在点P，Q运动过程中，请判断PQ与对角线AC的位置关系，并说明理由．（2）若点Q关于菱形ABCD的对角线交点O的对称点为M，过点P且垂直于AB的直线l交菱形ABCD的边AD（或CD）于点N．①当t为何值时，点P，M，N在同一直线上？②当点P，M，N不在同一直线上时，是否存在这样的t值，使得△PMN是以PN为一直角边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t值；若不存在，请说明理由．4．如图，直角梯形OABC中，AB∥OC，其中O(0，0)，A(0，，B(4，，C(8，0)，OH⊥BC于点H．（1）求∠HOC的度数．（2）动点P从点O出发，沿线段OH向点H运动，动点Q从点A出发，沿线段AO向点O运动，两点同时出发，速度均为每秒1个单位长度，设运动时间为t（秒）．①若直线QP交x轴的正半轴于点N，当t为何值时，QP=2PN？②在P，Q运动过程中，是否存在t值，使得△OPQ与△HOB相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．5．如图，已知一次函数y=-x+7与正比例函数y=43x的图象交于点A，且与x轴交于点B．过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O→C→A的路线向点A运动，同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P的运动时间为t（秒）．（1）求点A和点B的坐标．（2）当t为何值时，以A，P，R为顶点的三角形的面积为8？（3）是否存在以A，P，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【参考答案】1.解：（1）由题意得：CQ=t ∴BQ=20-t∴S=12(20-t)×16=-8t+160（2）如果线段PQ与线段AB相交，则P点应运动到A点的左侧，此时15<t≤20由题意得：AP=2t-30，△BOQ∽△AOP∴BQ BO AP AO==2即202 230tt-= -∴t=16即：当t=16s时，2AO=OB（3）MPQAB CD当PQ⊥BD时，过点Q作QM⊥AD交AD于点M由题意得：PM=PD-MD=PD-CQ=t，△PQM∽△DBC∴PM QM DC BC=即：16 1620 t=∴t=12.8s（4）NPQB CD A过点P作PN⊥BC于点N①PB=PQ时，BN=NQ，即：20-2t=t，解得t=203；②当PQ=BQ时，t2+162=(20-t)2，解得t=185；③当BQ=PB时，无解．综上，当t=203s或185s时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形．2.解：（1（2）过C作CE⊥OA于E ∴∠PEC=90°由题意知：OD=1 2 t∴BD=4-1 2 t∵线段BP的中点绕点P按顺时针方向旋转60°得点C ∴∠BPC=60°∵∠OPD=30°∴∠BPD+∠CPE=90°∵∠BPD+∠DBP=90°∴∠DBP=∠CPE∴△PCE∽△BPD∴CE PE PC PD BD BP==11242PEt==-∴CE=4，PE=2-14t∴OE=2+34t∴C(2+34t)（3）能①当∠PCA=90°时，作CF⊥PA∴△PCF∽△CAF∴PF CFCF AF=∴2CF PF AF=⋅∵PF=2-14t，AF=4-OF=2-34t，CF=4t ∴213)(2)(2)44t t=--∴t=2，此时P是OA的中点．②当∠CAP=90°时，C的横坐标就是4∴2+34t =4∴t=8 3综上，当t=2s或83s时，△PCA能成为直角三角形．3.解：（1）∵AB=20cm，∠ABC=120°∴∠BAO=30°∴AO=，AC=①0<t≤5时，AP=4t，AQ=∴AP AB AQ AO∵∠BAO=30°∴△APQ∽△ABO ∴∠AQP=90°即：PQ⊥AC②当5＜t≤10时，CP=40－4t，CQ=同理可证：△PCQ∽△BCO∴∠CQP=90°即：PQ⊥AC综上，在点P，Q运动过程中，始终有PQ⊥AC．（2）①由题意得，CM =AQ=，AP =4t 若点P ，M ，N 在同一直线上，则AMt ∴ AM ＋CM＋=∴ t =307 ②存在设l 交AC 于HHMAB CD P Q ON当点N 在AD 上时，若PN ⊥MN ，则∠NMH =30°=∠NAH ∴ MH =2NH ，NH =AH ∴ AC －CM －AH =2NH =2 AH即：－3t ＝2×3t ∴ t =2N H MAB CD PQO N当点N 在CD 上时，若PM ⊥MN ，则∠HMP =30° ∴ MH =2PH同理可得：t =203 综上，当t =2s 或203s 时，存在以PN 为一直角边的直角三角形．4.解：（1）由题意得：OA=AB=4，∠OAB=90°，OC=8 ∴OB=8，∠AOB=30°∴∠BOC=60°，OC=OB即：△BOC是等边三角形∵OH⊥BC∴∠HOC=30°（2）①过点N作NK⊥x轴交OH于点K ∴△POQ∽△PKN如果QP=2PN，则12 NK PK PN OQ OP PQ===由题意得：OQ=t，OP=t∴PK=12t，NK=12(t)∴OK=3 2 t∵∠HOC＝30°∴1)12322tNKOK t==∴t＝5②存在当QP ⊥OH 时，△OPQ ∽△HOB ∵ ∠QOP =60° ∴12OP OQ == ∴ t=3当PQ ⊥OA 时，△OPQ ∽△BOH则2OP OQ == ∴ t综上，当t=3s或3s 时，△OPQ 与△HOB 相似．5.解：（1）由题意得：A 为y =-x +7与43y x =交点联立得743y x y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得34x y =⎧⎨=⎩ ∴ A (3，4)∵ B 为y =-x +7与x 轴交点 ∴ B (7，0) （2）①图1如图1所示，当0≤t ≤4时，点P 在线段OC 上则P (0，t )，R (7-t ，0) ∵ A （3，4），AC ⊥y 轴 ∴ AC =3，OC =4 ∵ OP =t ∴ CP =4-t ∴ S △ACP =12AC CP ⋅=3(4)2t - ∵ BR =t ，OB =7 ∴ OR =7-t∴ S △OPR =12OP OR ⋅=1(7)2t t -∴ S △APR =S 梯形ACOR - S △ACP - S △OPR=131(37)4(4)(7)222t t t t +-⋅----=214142t t -+若S △APR =8，则214142t t -+=8，即t =2或t =6（舍）②图2如图2所示，当4<t <7时，点P 在线段AC 上 ∵ OC +CP =t ，OC +AC =7 ∴ AP =7-t ∴ S △APR =12AP OC ⋅=-2t +14 若S △APR =8，则-2t +14=8，即t =3（舍）综上，t =2时，S △APR =8. （3）存在①图3如图3所示，当0≤t ≤4时，点P 在线段OC 上，过A 作AD ⊥x 轴于点D ，则OD =AC =3，AD =OC =4 ∴ OA =5，BD =OB -OD =4∴∠ABO=45°∴AB=∵l∥y轴∴QR=BR=t∵OP=t∴PQ∥x轴此时欲使△APQ为等腰三角形，显然只有使AP=AQ 在Rt△ACP中，AC=3，CP=4-t，∴229(4)AP t=+-在Rt△BRQ中，∠QBR=45°∴QB，2AQ=2()AB BQ-=2)若AP=AQ，则t=1或t=7（舍）②图4如图4所示，当4<t<7时，点P在线段AC上则AP=7-t，OR=7-t∵△OQR∽△AOC∴OQ OR AO AC=∴OQ=5 (7) 3t-∴AQ=520 33 t-若AP=AQ则t=41 8若AP=PQ，过点P作PE⊥AQ于点E，则AE=12AQ=51063t-∵∠PEA=90°，∠P AE=∠OAC ∴△P AE∽△OAC∴AE AP AC OA=即：51063t-=3(7)5t-解得t=226 43若AQ=PQ类比上一种情况，可以解得t=5综上，当t的值为1s或418s或22643s或5s，以A，P，Q为顶点的三角形是等腰三角形．相似之动点问题（随堂测试）1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．点P从点B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s，同时点Q从点A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，连接PQ．设运动时间为t（s）．（1）当t为何值时，以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？（2）在运动过程中，是否存在某一时刻使△APQ为等腰三角形？若存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由．【参考答案】（1）1025713t=或；（2）525321t=或．A CB相似之动点问题（作业）1. 如图，在平面直角坐标系中，△OAB 的顶点O 与坐标原点重合，点A ，B 坐标分别为(8，6)，(16，0)．点P 从点O 出发沿OA 方向向终点A 运动，速度为每秒1个单位，点Q 从点B 出发沿BO 方向向终点O 运动，速度为每秒2个单位．如果P ，Q 同时出发，用t （秒）表示运动时间，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．（1）设△OPQ 的面积为y ，求y 与t 之间的函数关系式．（2）△OPQ 与△OAB 能否相似？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．2. 如图，直线y =-4x -4与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，直线y =43x -b 过点C ，与x 轴交于点B ．动点D 从点A 出发，沿线段AB 向终点B 运动，同时动点E 从点B 出发，沿线段BC 向终点C 运动，速度均为每秒1个单位长度，设运动时间为t （秒），当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．（1）连接ED ，设△BDE 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式；（2）在运动过程中，当△BDE 为等腰三角形时，求t 的值．【参考答案】1. （1）232455y t t =-+(08)t <<（2）能相似，12840219t t ==或 2. （1）22855S t t =-+（2）202421111t =或或相似之动点问题讲义第1题过程示范1．解：在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =10，AC :BC =4:3 ∴AC =8，BC =6（1）①当0<x ≤3时，BQ =2x ，AP =x ∴BP =10-x图1MBCPQ如图1，过点Q 作QM ⊥AB 于点M ，则 △BMQ ∽△BCA ∴MQ BQCA BA =即2810MQ x=∴85MQ x = ∴214825y BP QM x x =⋅=-+②当3<x <7时，AQ =14-2x ，BP =10-x图2NA P QC如图2，过点Q 作QN ⊥AB 于点N ，则 △AQN ∽△ABC ∴AQ QN AB BC = 即142106x QN -= ∴()31425QN x =- 2123514255y BP QN x x =⋅=-+ 综上，()()2248035351423755x x x y x x x ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪-+<<⎪⎩≤，，（2）存在，理由如下：当Q 在BC 上运动，即0<x ≤3时， ∵∠QBP=∠ABC由题意，需分成两种情况：① 如图3，PA QCB图3△BPQ ∽△BAC ∴BP BQ BA BC = 即102106x x -=∴x =3013，符合题意 ② 如图4，图4P CQ△BQP ∽△BAC ∴BQ BP BA BC = 即210106x x -=∴x =5011，不符合题意综上：x =3013（3）不相似，理由如下：如图5，图5PQCB∵PQ ⊥AB ，∠C =90°，∠A =∠A ， ∴△APQ ∽△ACB ∴AP AQ PQ AC AB CB == 即1428106x x PQ -== ∴56421313x PQ ==， ∴741013PB x =-=∵2137PQ BC PB AC =≠∴△BPQ 与△ABC 不相似.。

(word完整版)相似三角形动点问题题型

动点问题题型方法归纳动态几何特点—---问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置.）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。

下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨. 一、三角形边上动点1、直线364y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点,动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度,点P 沿路线O →B →A 运动．（1）直接写出A B 、两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ,求出S 与t 之间的函数关系式；（3）当485S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．提示:第（2)问按点P 到拐点B 所有时间分段分类；图（3）B图（1）B图（2）2、如图,AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ，∠ABC=60º．（1）求⊙O 的直径;(2）若D 是AB 延长线上一点,连结CD,当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切；（3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((<<t s t ，连结EF ，当t 为何值时，△BEF 为直角三角形．注意：第（3）问按直角位置分类讨论OM AD∥．过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连结BC．（1）求该抛物线的解析式；t s．问当t （2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为()为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形?等腰梯形？，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位（3)若OC OB的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t()s，连接PQ,当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长．Array注意：发现并充分运用特殊角∠DAB=60°当△OPQ面积最大时，四边形BCPQ的面积最小。

相似三角形题型归纳总结非常全面

相似三角形题型归纳一、比例的性质：二、成比例线段的概念： 1．比例的项：在比例式::a b c d =（即a cb d =）中，a ，d 称为比例外项，b ，c 称为比例内项．特别地，在比例式::a b b c =（即a bb c=）中，b 称为a ，c 的比例中项，满足b ac 2=．2．成比例线段：四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 和b 的比等于c 和d 的比，即a cb d=，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段．3．黄金分割：如图，若线段AB 上一点C ，把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC BC >），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即AC AB BC 2=⋅），则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫线段AB 的黄金分割点，其中.AC AB AB ≈0618，BC AB =.AB ≈0382，AC 与AB 的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB 而言，黄金分割点有两个．）三、平行线分线段成比例定理 1．平行线分线段成比例定理A两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定理．如图：如果123////l l l ，则AB DE BC EF =，AB DE AC DF =，BC EFAC DF=．AD BE CF1l 2l 3lA D BE CF 1l 2l 3l【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如AB ）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为=上上下下，=上上全全，=下下全全．2．平行线分线段成比例定理的推论平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．如图：如果EF//BC ，则AE AF EB FC =，AE AF AB AC =，BE CFAB AC=． ABC E FFEC BA平行线分线段成比例定理的推论的逆定理若AE AF EB FC =或AE AF AB AC =或BE CF AB AC=，则有EF//BC ．【注意】对于一般形式的平行线分线段成比例的逆定理不成立，反例：任意四边形中一对对边的中点的连线与剩下两条边，这三条直线满足分线段成比例，但是它们并不平行．【小结】推论也简称“A ”和“8”，逆定理的证明可以通过同一法，做'//EF BC 交AC 于'F 点，再证明'F 与F 重合即可．四、相似三角形的定义、性质和判定 1．相似图形①定义：对应角相等，对应边成比例的图形叫做相似图形．对应边的比例叫做相似比．相似图形是形状相同，大小不一定相同．相似图形间的互相变换称为相似变换．②性质：两个相似图形的对应角相等，对应边成比例．2．相似三角形的定义3．相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等．如图，∽△△ABC A B C '''，则有 A A '∠=∠，B B C C ''∠=∠∠=∠，．②相似三角形的对应边成比例．如图，∽△△ABC A B C '''，则有AB BC ACk A B B C A C ===''''''（k 为相似比）． ③相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．如图，△ABC ∽△A B C '''，AM AH 、和AD 是△ABC 中BC 边上的中线、高线和角平分线，A M ''、A H ''和A D ''是△ABC '''中B C ''边上的中线、高线和角平分线，则有AB BC AC AM AH ADk A B B C A C A M A H A D ======''''''''''''④相似三角形周长的比等于相似比．如图，△ABC ∽△A B C '''，则有AB BC AC AB BC ACk A B B C A C A B B C A C ++====''''''''''''++． ⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方．如图，△ABC ∽△A B C '''，则有 △△ABC A B C BC AHS BC AH k S B C A H B C A H 2'''1⋅⋅2==⋅=1''''''''⋅⋅24．相似三角形的判定判定定理判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简称为两角对应相等，两个三角形相似．如图，如果'A A ∠=∠，'B B ∠=∠，则△∽△ABC A B C '''．判定定理2：如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似．简称为三边对应成比例，两个三角形相似．如图，如果AB BC ACA B B C A C ==''''''，则 △∽△ABC A B C '''．判定定理3：如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似．简称为两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，如果AB ACA B A C =''''，'A A ∠=∠，则△∽△ABC A B C '''．五、“A ”字和“8”字模型六、与内接矩形的有关的相似问题如图，已知四边形DEFG 是△ABC 的内接矩形，E 、F 在BC 边上，D 、G 分别在AB 、AC 边上，则有：△∽△ADG ABC ，DG ANBC AM=．特别地，当BAC ∠=90︒时，有△∽△∽△∽△ADG EBD FGC ABC ．NM GFE DCB AGFEDCBA七、“A ”字和“8”字模型的构造“A ”字和“8”字模型的构造常常作平行线，常见的作平行线的方法：G EDCAGFEDCBA G FE DC B ADEFCBAGA HDFBECAGDF BEC八、斜“8”模型九、斜“A”模型十、射影定理十一、三平行模型十一二、三垂直模型十三、角平分线定理十四、线束模型题型一比例的性质和成比例线段的概念例题1 （1）已知::::x y z =135，则x y zx y z+3--3+的值是_______．（2）若x y z 234==．则x y z x y-+3=3-_______．（3）若a b c 2=3=4，且abc ≠0，则a bc b+-2的值是_______．解析（1）设x k =，y k =3，z k =5．∴x y z k k k x y z k k k +3-+9-55==--3+-9-53；（2）113；（3）-2 巩固1：（1）如果:2:3x y =，则下列各式不成立的是（） A ．53x y y += B ．13y x y -= C ．123x y = D ．1314x y +=+ （2）已知：23a c e b d f ===，求值：①a cb d++；②2323a c e b d f -+-+．（3）已知b c a c a b a b c a b c +-+-+-==，求()()()a b b c a c abc+++的值．解析：（1）A 为合比性质，B 为分比性质，C 显然正确，D 错误，由于11x y ≠，不能用等比定理．故答案为D ．（2）由等比性质直接可以得到23a c b d +=+；232233a c eb d f -+=-+．（3）当0a bc ++≠时，()()()b c a c a b a b c b c a c a b a b c a b c a b c+-+-+-+-++-++-====1++ 于是：2,2,2b c a a c b a b c +=+=+=，()()()a b b c a c abc+++=8．当0a b c ++=时，()()()()()()a b b c a c c a b abc abc+++-⋅-⋅-==-1．本题答案为1-或8．题型二平行线分线段成比例定理例题2（1）如图2-1，已知∥∥l l l 123，用面积法证明：AB DEBC EF=．（2）如图2-2，∥∥AD BE CF ，若AB =4，AC =10，DE =5，则DF =______．（3）如图2-3，∥∥l l l 123，AB =3，BC =5，DF =12，则_______DE =，______EF =．A D BECF l 12l 3lAD B ECFA DBECF l 12l l 3图2-1 图2-2 图2-3（1）如图所示，连接AE ，BD ，BF ，CE ．△△ABECBES AB BC S =∴． ∥AD BE ∵，∥BE CF ，△△ABE DEB S S =∴，△△CBE FEB S S =．△△△△ABE EDB CBE EFB S S AB DEBC S S EF===∴．（2）252；（3）92，152．巩固2：（1）如图2-1，直线∥∥l l l 123，已知.cm AG =06，.cm BG =12，.cm CD =15，CH =_____．（2）如图2-2，在△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 边上的点，若AD BD 2=3，AE =3，则AC =______（3）如图2-3，AB ∥DE ，AE 与DB 交于C ，AC =3，BD =3，CD =2，则CE =______A CH GDBl 1l 2l 3B ADEABC图2-1 图2-2 图2-3解析：（1）0.5cm ；（2）152；（3）6 题型三相似三角形的定义、性质和判定例题3如图，直角梯形ABCD 中，∠ADC =90︒，∥AD BC ，点E 在BC 上，点F 在AC上，∠∠DFC AEB =．（1）求证：△∽△ADF CAE ．（2）当AD =8，DC =6，点E 、F 分别是BC 、AC 的中点时，求直角梯形ABCD 的面积．解析：（1）∵∥AD BC ，∴∠∠DAF ACE =，∵∠∠DFC AEB =，∴DFA AEC ∠=∠，∴△∽△ADF CAE（2）∵AD =8，DC =6，∴AC =10，又∵F 是AC 的中点，∴AF =5 ∵△∽△ADF CAE ，∴AD AF CA CE =，∴CE 85=10，∴CE 25=4，∵E 是BC 的中点， ∴BC 25=2，∴直角梯形ABCD 的面积125123⎛⎫=⨯+8⨯6= ⎪222⎝⎭A D BECF l 12l 3l F EDCBA巩固3：（1）下列所给条件中，可以判断△ABC 与△DEF 相似的是（） A ．90A ∠=︒，90F ∠=︒，5AC =，13BC =，10DF =，26EF = B ．85C ∠=︒，85E ∠=︒，AC DEBC DF=C ．1AB =， 1.5AC =，2BC =，8EF =，10DE =，16FD = D ．46A ∠=︒，80B ∠=︒，45E ∠=︒，80F ∠=︒（2）如图1，在△ABC 中，点D 是BC 边上的中点，且AD AC =，DE BC ⊥，交BA 于点E ，EC 与AD 相交于点F ．求证：△∽△ABC FCD ．（3）如图2，△ABC 为等腰直角三角形，BD CE BC 21⋅=2，求证：△∽△ACE DBA ．AEF DADB CE图1 图2解析：（1）D ；（2）AD AC =∵，FDC ACB ∠=∠∴；DE ∵垂直平分BC ，EB EC =∴， ∴ABC FCD ∠=∠，△∽△ABC FCD ∴.（3）由等腰直角三角形得到BC =条件变为BD CE AB AB AC 2221⋅=⋅2==2，条件变为比例形式：BD BAAC CE=，由于DBA ACE ∠=180︒-45︒=∠，∴△∽△ACE DBA ．题型四 “A ”字和“8”字模型例题4 （1）如图4-1，已知□ABCD 中，过点B 的直线顺次与AC 、AD 及CD 的延长线相交于点E 、F 、G ，若BE =5，EF =2，则FG 的长为____________．（2）如图4-2，已知在□ABCD 中，M 、N 为AB 的三等分点，DM 、DN 分别交AC 于P 、Q 两点，则AP:PQ:QC =____________．G BAF DC EC AD M N PQ图4-1 图4-2解析：（1）∵四边形ABCD 为平行四边形，∴//AD BC ∴△∽△AEF CEB ，△∽△GFD GBC ，∴AF EF CB EB 2==5，∴DF AD AF CB CB -3==5∴FG DF BG CB 3==5，即FG FG 3=+75．得.FG =105．（2）由DC ∥AB ，得AP AM PC AB 1==3，AP AC 1=4，同理AQ AC 2=5，PQ AC 2=51-4AC =AC 320，QC =AC 35，故1::::::4AP PQ QC 33==5312205．巩固4：（1）如图4-1，在ABC △中，M 、E 把AC 边三等分，MN//EF//BC ，MN 、EF 把ABC △分成三部分，则自上而下部分的面积比为．（2）如图4-2，AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，垂足分别是B 、D 、F ，且1AB =，3CD =，则:EF CD 的值为__________．（3）如图4-3，已知在平行四边形ABCD 中，M 为AB 的中点，DM ，DB 分别交AC 于P ，Q 两点，则::AP PQ QC =___________．NM FE C BAAB CEF DA CBQPD图4-1 图4-2 图4-3解析：（1）1:3:5；（2）14；（3）AQ CQ AC 1==2∵，又AP AM PC CD 1==2，AP AC 1=3∴ PQ AC AC 111⎛⎫=1--= ⎪236⎝⎭∴，::::AP PQ QC =213∴．题型五与内接矩形有关的相似问题例题5（1）如图5-1，△ABC 中，正方形EFGH 的两个顶点E 、F 在BC 上，另两个顶点G 、H 分别在AC 、AB 上，BC =15，BC 边上的高AD =10，求正方形EFGH S ．（2）如图5-2，已知△ABC 中，四边形DEGF 为正方形，D ，E 在线段AC ，BC 上，F ，G 在AB 上，如果ADF CDE S S ∆∆==1，BEG S ∆=3，求△ABC 的面积．HAB C D E FGACDEGB图5-1 图5-2解析：（1）设正方形EFGH 的边长为x ，AD 、HG 的交点为M ，则有AM HG AD BC =，即x x10-=1015，解得，x =6，故EFGH S 2=6=36正方形（2）设正方形边长为x ，则AF x 2=，CI x 2=，BG x6=．由△∽△CDE CAB ，得CI DE CH AB =，∴xxx x x x2=28++，解得x =2， ∴AB =6，CH =3，∴ABC S AB CH ∆1=⋅=92巩固5：如图，已知ABC △中，AC =3，BC =4，C ∠=90︒，四边形DEGF 为正方形，其中D 、E 在边AC 、BC 上，F 、G 在AB 上，求正方形的边长．GF EDC B A H IDC EGF ABGFED CBA H MACDEG BIHHPED CB A解析：法一：由勾股定理可求得AB =5，由AB CH AC BC ⋅=⋅可得.CH =24．由CDE CAB △∽△可得DE CI AB CH =，设正方形的边长为x ，则..x x 24-=524，解得x 60=37．法二：设CE k =4，则DE k =5，∴GE k =5，BE k 25=3． ∴CE BE +=4，即k k 254+=43，解得k 12=37，∴DE k 60=5=37．题型六 “A 字和“8”字模型的构造例题6如图，ABC △中，D 为BC 边的中点，延长AD 至E ，延长AB 交CE 的延长线于P ．若AD DE =2，求证：3AP AB =．解析：如图，过点D 作PC 的平行线，交AB 于点H ． ∵HD PC ∥，AH ADAD DE AH PH PH DE=2⇒==2⇒=2， HD PC ∥，BH BDBD CD BH PH PH CD=⇒==1⇒=， ∴AP AH PH PH =+=3，AH BH AB PH BH =+=2=2， ∴AB BH PH ==，∴AP PH AB =3=3．还可用如下辅助线来证此题：A BCD EKPABCDEK P PKED CBA巩固6：如图，已知线段AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点K ，E 是线段AD 上一动点．（1）若BK KC 5=2，求CDAB的值；（2）连接BE ，若BE 平分∠ABC ，则当AE AD 1=2时，猜想线段AB 、BC 、CD 三者之间有怎样等量关系？请写出你的结论并予以证明．再探究：当AE AD n1=()n >2，而其余条件不变时，线段AB 、BC 、CD 三者之间又有怎样的等量关系？请直接写出你的结论，不必证明．解析：（1）∵BK KC 5=2，∴CK BK 2=5，又∵CD ∥AB ，∴KCD KBA △∽△，∴CD CK AB BK 2==5（2）当BE 平分ABC ∠，AE AD 1=2时，AB BC CD =+；证明：取BD 的中点为F ，连接EF 交BC 于G 点，由中位线定理，得EF//AB//CD ，∴G 为BC 的中点，GEB EBA ∠=∠，又∵EBA GBE ∠=∠，∴GEB GBE ∠=∠，∴EG BG BC 1==2，ABDECC DEKBA而GF CD 1=2，EF AB 1=2，EF EG GF =+，即：AB BC CD 111=+222；AB BC CD ∴=+；当AE AD n1=(n >2)时，(1)BC CD n AB +=-．题型七斜“A ”和斜“8”模型例题7如图，在ABC △中，AD BC ⊥于D ，CE AB ⊥于E ，ABC △的面积是BDE △面积的4倍，6AC =，求DE 的长．解析：∵AD BC ⊥，CE AB ⊥，ABD CBE ∠=∠， ∴ABD CBE △∽△， ∴BE BCBD AB =，∵EBD CBA ∠=∠，∴BED BCA △∽△，∴11322DEDE AC AC===⇒==．巩固7：（1）如图，ABC △是等边三角形，点D ，E 分别在BC ，AC 上，且BD CE =，AD 与BE 相交于点F ．求证：①BD AD DF 2=⋅；②AF AD AE AC ⋅=⋅；③BF BE BD BC ⋅=⋅．（2）如图，四边形ABCD 是菱形，AF AD ⊥交BD 于E ，交BC 于F ．求证：AD DE DB 21=⋅2．FECDBAA DEF C解析：（1）∵等边ABC △，∴AB BC =，ABC ACB BAC ∠=∠=∠=60︒ ∵BD CE = ∴ABD BCE △≌△．∴BAD CBE ∠=∠，∴BFD BAD ABE CBE ABE ABC ∠=∠+∠=∠+∠=∠ ∴ABD BFD △∽△ ∴BD DFAD BD=，∴BD AD DF 2=⋅． ②证明AFE ACD △∽△即可． ③证明BFD BCE △∽△即可．（2）方法一：取DE 中点M ，连接AM ， ∵AF AD ⊥，M 为DE 中点∴MA MD DE 1==2，∴∠1=∠2，又∵AB AC =，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴DAM DBA △∽△，∴DA DM DB 2=⋅，∴AD DE DB 21=⋅2．方法二：取BD 中点N ，连接AN ．由等腰三角形的性质可知：AN BD ⊥，又∵EAD ∠=90︒，∴AND EAD △∽△，∴AD DN DE 2=⋅，又∵DN BD 1=2，∴AD DE BD 21=⋅2．总结：考查斜“A ”和斜“8”常见结论，看到比例乘积想到斜“A ”和斜“8”，也要会找ADEF CM123ED CAB巩固8：在等边ABC △中，点D 为AC 上一点，连结BD ，直线l 与AB ，BD ，BC 分别相交于点E 、P 、F ，且BPF ∠=60︒．（1）如图8-1，写出图中所有与BPF △相似的三角形，并选择其中一对给予证明．（2）若直线l 向右平移到图8-2、图8-3的位置时（其它条件不变），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出来（不证明），若不成立，请说明理由．（3）探究：如图8-1，当BD 满足什么条件时（其它条件不变），PF PE 1=2？请写出探究结果，并说明理由．（说明：结论中不得含有未标识的字母）图3图2图1lP FEDCB AFP EDC BAlFPEDCBA 图3图2l P F E D CB A l FPEDC BA图3lPFED CB A 图8-1 图8-2 图8-3 解析：（1）BPF EBF △∽△与BPF BCD △∽△，以BPF EBF △∽△为例，证明如下： ∵BPF EBF ∠=∠=60，BFP BFE ∠=∠，∴BPF EBF △∽△．（2）均成立，均为BPF EBF △∽△，BPF BCD △∽△．（3）BD 平分ABC ∠时，PF PE 1=2．证明：∵BD 平分ABC ∠，∴ABP PBF ∠=∠=30∵BPF ∠=60，∴BFP ∠=90，∴PF PB 1=2，又BEF ABP ∠=60-30=30=∠，∴BP EP =，∴PF PE 1=2．题型八射影定理例题8如图，已知AD 、CF 是ABC △的两条高，EF AC ⊥与E ，交CB 延长线于G ，交AD 于H ，求证：EF EH EG 2=⋅．解析：∵CF AB ⊥，EF AC ⊥，∴EF AE CE 2=⋅，又由AD BC ⊥可知，AEH CEG ∠=∠=90︒，EAH EGC ∠=∠，∴AEH GEC △∽△，∴EH EAEC EG=， ∴EH EG EA EC ⋅=⋅，∴EF EH EG 2=⋅．巩固9：（1）如图9-1，在ABC △中，CD AB ⊥于D ，DE AC ⊥于E ，DF BC ⊥于F ．求证：CEF CBA △∽△．（2）如图9-2，在Rt ABC △中，AD 是斜边BC 上的高，DE AC ⊥于E ，DF AB ⊥于F ，求证：AB FB FD AC EC ED44⋅=⋅． GHFED CB ACAEFDBBAEDC F图9-1 图9-2解析：（1）分别在ADC △与CDB △中由射影定理得到：2CD CE CA =⋅，2CD CF CB =⋅， CE CA CF CB ⋅=⋅∴，即CE CFCB CA=，ECF BCA ∠=∠∵，ECF BCA ∴△∽△．（2）由射影定理可以依次得到422422AB BD BC BF ABAC DC BC EC AC⋅⋅==⋅⋅，于是仅需证明AB FDAC ED=，由于BDA ADC △∽△，DF DE 、分别是AB 与AC 上的高，所以有AB DFAC DE=，得证．题型九三垂直模型例题9如图，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，DME A B α∠=∠=∠=，且DM交AC 于F ，ME 交BC 于G ．（1）求证：AMF BGM △∽△．（2）连接FG ，如果45α=︒，42AB =，3AF =，求FG 的长．解析：（1）由题意得，DME A B α∠=∠=∠=， ∴180AMF BMG α∠+∠=︒-，180AMF AFM α∠+∠=︒-，∴BMG AFM ∠=∠，又E A B α∠=∠=∠=，∴△AMF ∽△BGM ．（2）∵AMF BGM △∽△，∴AM AF BG BM =∴，∵M 为AB 的中点，∴12AM BM AB ==∴， ∵42AB =，3AF =，∴83BG =∴， ∵45α=︒∵，∴90ACB ∠=︒∴，4AC BC ==，∴1CF AC AF =-=∴，43CG BC BG =-=， ∴2253FG CF CG =+=．巩固10：（1）如图10-1，矩形ABCD 中，由8个面积均为1的小正方形组成的L 型模板如图放置，则矩形ABCD 的周长为____________．（2）如图10-2，在直角坐标系中，矩形ABCO 的边OA 在x 轴上，边OC 在y 轴上，点B 的坐标为(1,3)，将矩形沿对角线AC 翻折，使得B 点落在D 点的位置，且AD 交y 轴于点E ，则D 点坐标为___________．GFE DCB AByD E OAxC图10-1 图10-2EDCG FBM A解析：（1）ABE ECF FDG △∽△∽△，2AB AEFD FG==， ∴2AB DF =，∴2AB CF =，1AB AE BEEC EF CF===， ∴AB CE =，BE CF =，∴2CE CF =，又∵4EF =，∴CE =，CF =BC，AB ， ∴矩形ABCD的周长为（2）过D 点做DF x ⊥轴于F 点，BC 与FD 的延长线交于G 点则CGD DFA △∽△，∴13CG GD CD DF AF AD ===，设CG x =，则3DF x =，1AF x =+，33GD x =-，由于3AF GD =，列得方程：()1333x x +=-，解得45x =，故45CG =，125DF =，求得D 点坐标为41255⎛⎫- ⎪⎝⎭，．巩固11：如图11-1，ABC △和DEF △是两个全等的等腰直角三角形，90BAC EDF ∠=∠=︒，DEF △的顶点E 与ABC △的斜边BC 的中点重合．将DEF △绕点E 旋转到如图11-2，线段DE 与线段AB 相交于点P ，线段EF 与线段CA 的延长线相交于点Q ．（1）求证：BPE CEQ △∽△．（2）已知BP a =，92CQ a =，求P 、Q 两点间的距离（用含a 的代数式表示）．B DFA PQECBDFAP Q图11-1 图11-2解析：（1）∵ABC △和DEF △是两个全等的等腰直角三角形，∴45B C DEF ∠=∠=∠=︒， ∴135BEP CEQ ∠+∠=︒，135CQE CEQ ∠+∠=︒，∴BEP CQE ∠=∠，又∵45B C ∠=∠=︒，∴BPE CEQ △∽△．（2）连接PQ ，∵BPE CEQ △∽△，∴BP BECE CQ=， ∵BP a =，92CQ a =，BE CE =，∴BE CE ==，∴BC =，∴3AB AC a ==，∴32AQ a =，2PAa =，在Rt APQ △中，52PQ a =．题型十三平行模型例题10 已知：如图，在梯形ABCD 中，AB//CD ，M 是AB 的中点，分别连接AC 、BD 、MD 、MC ，且AC 与MD 交于点E ，DB 与MC 交于F ．（1）求证：EF//CD ；（2）若AB a =，CD b =，求EF 的长．DFAPQFEMDCBA解析：（1）∵AB CD ∥，∴ME AM ED CD =，MF BMFC CD=， ∵AM BM =，∴AM BM CD CD =（中间过渡量），∴ME MF EF CD ED FC=⇒∥．（2）∵AM EF CD ∥∥，∴111EF AM CD =+，∴2abEF a b=+．巩固12：如图所示，在ABC △中，120BAC ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ．求证：111AD AB AC=+．ABDABCEF解析：分别过B 、C 两点做AD 的平行线，分别交CA 、BA 的延长线于E 、F 两点．由于EB//AD//FC ，有111AD BE FC=+；由于60EBA BAD ∠=∠=︒，18060EAB BAC ∠=︒-∠=︒所以EAB △为正三角形，同理FAC △亦为正三角形．BE AB =∴，FC AC =．故111AD AB AC=+．题型十一角平分线定理例题11 在ABC △中，B ∠的平分线交AC 于D ，C ∠的平分线交AB 于E ，且BE CD =．求证：AB AC =．解析：由角平分线定理得到AB AD BC DC =，AC AEBC BE=， ∵BE CD =∵，∴AD DC BE AE AB BC BC AC===∴ 即AD AEAB AC=，∴AD AC CD =-∴，AE AB BE =- ∴()()AC AC CD AB AB CD -=-，整理得到()()0AC AB AC AB CD -+-= 明显0AC AB CD +-≠，故AC AB =．巩固13：（1）如图13-1，在ABC △中，C ∠=90︒，CA =3，CB =4，且CD 是C ∠的平分线．则AD 的长为__________．（2）如图13-2，I 是ABC △内角平分线的交点，AI 交对应边于D 点，求证：AI AB ACID BC+=．CADBIAD B C图13-1 图13-2解析：（1）由角平分线定理34AD ACDB BC ==，由于5AB ==，31577AD AB ==∴ B AED（2）由角平分线定理得到AI AB AC ID BD CD ==，由等比性质得到：AI AB AC AB AC ID BD CD BC++==+．巩固14：若AP PB =，2APB ACB ∠=∠，AC 与PB 相交于点D ，且4PB =，3PD =．求AD DC ⋅的值．P DCBAEA BCDP解析：过P 点做APB ∠的角平分线PE ，交AD 于E 点．∵EPD APE C ∠=∠=∠∵，且PDE CDB ∠=∠，∴PDE CDB ∴△∽△，∴3ED DC PD DB ⋅=⋅=∴，又由于PE 是角平分线，∴PA AE PD ED =∴，∵4PA PB ==∵，∴43AE ED =∴，∴73AD ED =∴， 773AD DC ED DC ⋅=⋅=∴．题型十二线束模型例题12 如图，M 、N 为ABC △边BC 上的两点，且满足BM MN NC ==，一条平行于AC 的直线分别交AB 、AM 和AN 的延长线于点D 、E 和F ．求证：3EF DE =．法一：如下左图，过D 作DG BC ∥交AC 于G ，交AM 、AN 于P 、Q ，由线束定理可知DP PQ QG ==，∵DF AC ∥，∴DE DP AG PG 1==2，DF DQ AG QG ==2， ∴DE DF 1=4，∴EF DE =3．过E 点或F 点作BC 的平行线也可得到类似的证法．法二：如下右图，过M 作PQ DF ∥，交AB 于P ，交AF 延长线于Q ，则有AC DF PQ ∥∥， ∴PM BM AC BC 1==3，QM MNAC NC==1， ∴PM QM 1=3，由线束定理可知DE PM EF QM 1==3，即EF DE =3．过B 点或N 点作DF 的平行线也可得到类似的证法．QPABCMN DEFQP GABCMNDEF巩固15：（1）如图15-1，AB ∥CD ，AD 与BC 交于点P ，过P 点的直线与AB 、CD 分别交于E ，F ．求证：AE DFBE CF=． FED NMCBA（2）如图15-2，AB ∥CD ，AD 与BC 交于点P ，连接CA 、DB 并延长相交于O ，连接OP 并延长交CD 于M ，求证：点M 为CD 的中点．（3）如图15-3，在图15-2中，若点G 从D 点向左移动（不与C 点重合），AG 与BC 交于点P ，连OP 并延长交CD 于M ，直接写出MC 、MG 、MD 之间的关系式．AC FDE B POABCM D POAB CM D P G图15-1 图15-2 图15-3解析：（1）证明：如图1，∵AB //CD ，AD 与BC 交于点P ， ∴AEP DFP △∽△，BFP CFP △∽△， ∴AE EP DF FP =,BE EP CF FP =，∴AE BE DF CF =，∴AE DFBE CF=；（2）证明：如图2，设OM 交AB 于点N ．∵AB //CD ，∴AON COM △∽△，BON DOM △∽△，AOB COD △∽△， ∴OA AN OC CM =，OB BN OD DM =，OA OB OC OD =，∴AN BNCM DM=①， ∵ANP DMP △∽△，BNP CMP △∽△，APB DPC △∽△， ∴AN AP DM DP =，DN BP CM CP =，AP BP DP CP =，∴AN BNDM CM=②， ①÷②，DM CMCM DM=，∴CM =DM ，即点M 为CD 的中点；（3）解：MC 2=MG •MD ，理由如下：如图3，设OM 交AB 于点N ． ∵AB //CD ，∴MCP NBP △∽△，NAP MGP △∽△，∴MC MP NB NP =①，NA NPMG MP=②， ①×②，得MC NA MP NP NB MG NP MP ⨯=⨯=1，∴MC NB MG NA=． ∵AON COM △∽△，BON DOM △∽△，∴NA ON MC OM =，NB ONMD OM=， ∴NA NB MC MD =，∴MD NB MC NA =，∴MC MDMG MC=，∴MC MG MD 2=⋅．题型十三相似综合例题13 如图，点A 的坐标为(2,2)，点C 是线段OA 上的一个动点（不与O 、A 两点重合），过点C 作CDx 轴，垂足为D ，以CD 为边在右侧作正方形CDEF ．连接AF 并延长交x轴的正半轴于点B ，连接OF ．若以B 、E 、F 为顶点的三角形与OFE △相似，则点B 的坐标是．解析：要使BEF △与OFE △相似， ∵FEO FEB ∠=∠=90︒ ∴只要OE EF EB EF =或OE EF EF EB =，即BE t =2或EB t 1=2． ② 当BE t =2时，BO t =4， ∴t t t 2=42-，∴t =0（舍去）或t 3=2，∴(,)B 60． ②当EB t 1=2时，（i ）当B 在E 的左侧时，OB OE EB t 3=-=2，∴tt t23=2-2，∴t=0（舍去）或t2=3，∴(,)B10．（ii）当B在E的右侧时，OB OE EB t5=+=2，∴ttt25=2-2，∴t=0（舍去）或t6=5，∴(,)B30．巩固16：如图，Rt ABC△中，ACB∠=90︒，CD AB⊥于D，过点D作DE BC⊥，BDE△边DE上的中线BF延长线交AC于点G．（1）求证：AD BD CE CB⋅=⋅；（2）若AG FG=，求:BF GF；（3）在（2）的条件下，若BC=62BD的长度．AFECDGAFECDG P解析：（1）证明：∵CD AB⊥，∴BCD△是直角三角形．∵DE BC⊥，∴CD CE CB2=⋅．∵ABC△是直角三角形，CD AB⊥，∴CD AD BD2=⋅，∴AD BD CE CB⋅=⋅；（2）解：过G作GP DF⊥交DF于P，连结DG，∵AC BC⊥，DE BC⊥，GF DE⊥，∴四边形CEPG是矩形，∴CG EP=在Rt ADC△中，∵G是边AC中点，∴AG DG CG==．又∵AG FG=，∴DG FG=，∴GFD△是等腰三角形．∴GP是FD的中线，DP FP=，即FP DF EF1=1=22．∵CG EP=，FP EF=12，∴::PF CG=13，∴::PF FG=13．∵PFG EFB CGB△△△∽∽，∴::::CG BG EF BF PF GF===13，∴::FG BG=13，::BF GF=21；（3）解：∵BC=62:::CE BE GF BF==12，∴CE=22，BE=42∵::EF BF=13，设EF x=，则BF x=3，∴()x x222+2=9，解得x=2，∴BF=6，GF=3，AC=6，∴()AB AC BC2222+6+6263BD=43。