沪科版二次根式
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《二次根式》PPT课件 (公开课获奖)2022年沪科版 (3)
∠1是∠3的
，两边分别在同一条直线上.因
此一个角的对顶角可看作是把这个角的两边 延长
得到的没有公共边的角
∠AOC和∠BOD有公共顶点，且 ∠AOC的两边分别是∠BOD两边 的反向延长线.
对顶角：
如图直线AB与CD相交于点O，∠1和∠3有公共顶 点O，并且它们的两边互为反向延长线，这样的两 个角叫做对顶角.
动手操作 问题：怎么样画已知直线的垂线？
1.用三角尺画垂线
(1)如图，已知直线 L,作L的垂线.
A
问题：
1靠、 2画线、
这样画L的 垂线可以
O
L
画几条？
无数条
(2)如图，已知直线 L 和L上的一点A ,作L的
垂线.
问题： 这样画L的 垂线可以
B 则所画直线AB是过
点A的直线L的垂线.
画几条？
L
A
什么叫做平方根？
一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个 数叫做a的平方根.
什么叫算术平方根？ 正数的正平方根和零的平方根,统称算术平
方根.
用a(a0)表 示 .
塔座
50米 ?米 a米
塔座所形成的这个直角三角形的斜边长为 ____a_2___2_5_0_0___米.
如图所示的值表示正方形的面积，
生活拓展
C观A察下Oa列各BD图A，C寻Ob找对D顶BACG角（E不FOc含平DH角B )
⑴ 如图a，图中共有 对对顶角 ⑵ 如图b，图中共有 对对顶角 ⑶ 如图c，图中共有 对对顶角 ⑷ 研究⑴～⑶小题中直线条数与对顶角的对数之 间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成
对对顶角 ⑸ 若有2008条直线相交于一点，则可形成 对 对顶角.
E
八年级数学下册《16.1二次根式》课件2 (新版)沪科版
第十四页，共14页。
9 x2 2x 1
(10) x2 2x 1
11 102
第五页，共14页。
要使 x 2满足二次根式的定义要求，
x 应对(yìngduì) 作出如何的要求呢？
这是二次根式的相当重要的“非负性”，也是一 个(yī ɡè)必考重点.
第六页，共14页。
学习体会
1、本节课你的收获有哪些？ 2、还有什么(shén me)疑惑？ 3、是否有给老师的建议？
1.表示a的算术平方根
2.a可以(kěyǐ)是数,也可以(kěyǐ)是式. 3.形式(xíngshì)上含有二次根号
4.a≥0, a≥0 (双重非负性)
5.既可表示开方运算(yùn suàn),也可表示运算(yùn
6.求二次根式中字母的取值范围的基本依据： ①被开方数不小于零； ②分母中有字母时,要保证分母不为零.
第十六章二次根式 (gēnshì)
16.1 二次根式(gēnshì)
第一页，共14页。
形如： 1000 、 800 、 200 、 a (a 0)
这些式子，你能发现它们共同特征吗？
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式.
a叫做被开方数.由于一个正数 (zhèngshù)有两个平方根；0的平方根 是为0；在实数范围内，负数没有平 方根，所以a只能是正数(zhèngshù)和
a与 会区a 分(qūfēn)
a 表示a的平方根，有两个结果
，一正一负
a 表示a的算术平方根，它永远是一
个非负数，是 a 中正的那个
第四页，共14页。
指出(zhǐ chū)下列哪些是二
次1根式5？ 2 3 33 21
4 bb 0 5 a 1a 2
6 a bab 73 5m2
9 x2 2x 1
(10) x2 2x 1
11 102
第五页，共14页。
要使 x 2满足二次根式的定义要求，
x 应对(yìngduì) 作出如何的要求呢？
这是二次根式的相当重要的“非负性”，也是一 个(yī ɡè)必考重点.
第六页，共14页。
学习体会
1、本节课你的收获有哪些？ 2、还有什么(shén me)疑惑？ 3、是否有给老师的建议？
1.表示a的算术平方根
2.a可以(kěyǐ)是数,也可以(kěyǐ)是式. 3.形式(xíngshì)上含有二次根号
4.a≥0, a≥0 (双重非负性)
5.既可表示开方运算(yùn suàn),也可表示运算(yùn
6.求二次根式中字母的取值范围的基本依据： ①被开方数不小于零； ②分母中有字母时,要保证分母不为零.
第十六章二次根式 (gēnshì)
16.1 二次根式(gēnshì)
第一页，共14页。
形如： 1000 、 800 、 200 、 a (a 0)
这些式子，你能发现它们共同特征吗？
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式.
a叫做被开方数.由于一个正数 (zhèngshù)有两个平方根；0的平方根 是为0；在实数范围内，负数没有平 方根，所以a只能是正数(zhèngshù)和
a与 会区a 分(qūfēn)
a 表示a的平方根，有两个结果
，一正一负
a 表示a的算术平方根，它永远是一
个非负数，是 a 中正的那个
第四页，共14页。
指出(zhǐ chū)下列哪些是二
次1根式5？ 2 3 33 21
4 bb 0 5 a 1a 2
6 a bab 73 5m2
沪科版初中数学八年级下册精品课件16.1 二次根式
属于“非负数+正数”的形式,一定大于零.而（5） 中xy<0,（7）根指数不是2，是3.（3）不是，因为 在实数范围内，负数没有平方根.
例2 当x取何值时, 二次根式 x 1有意义? 解：由x-1≥0，得 x≥1. 当x≥1时， x 1 在实数范围内有意义. 试求当x=9时，二次根式 x 1的值. 当x=9时， x 1 9 1 8 2 2 .
2
4
4
2
2
2
1 3
2
1 3
2
0
0
2是2的算术平方根，根据算术平方根的意义， 2是一个平方等于2的非负数，因此有（ 2）2 2
归纳
一般地，有
性质 1.( a )2=a (a≥0)
由其定义我们还可进一步知道：二次根式具有双 重非负性. 到目前为止，非负数的三种表现形式归纳如下： a2, ︱a︱, a . 由前面可知，二次根式还有第二条重要性质：即 a2 = a . 文字叙述：任何一个非负数的平方的算术平方根 都等于这个数.
a 2 a取任何实数
( a)2与 a2 有区别吗?
例3：化简:
(1) 16;
(2) (5)2 ;
(3) (7)2;
(4) 72 .
解：(1) 16 42 4 (3) (7)2 7
（2）（- 5）2 5
(4) 72 1 7
课堂小结
定义 a （a≥0）
二 次 根 式 性质
a 0(a 0)
（即 数）
a 表示一个非负
2
a aa 0;
a2 （ a a 0）
正方形的边长是 b 3 .
b-3
你认为所得的各代数式有哪些共同特点？
例2 当x取何值时, 二次根式 x 1有意义? 解：由x-1≥0，得 x≥1. 当x≥1时， x 1 在实数范围内有意义. 试求当x=9时，二次根式 x 1的值. 当x=9时， x 1 9 1 8 2 2 .
2
4
4
2
2
2
1 3
2
1 3
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0
0
2是2的算术平方根，根据算术平方根的意义， 2是一个平方等于2的非负数，因此有（ 2）2 2
归纳
一般地，有
性质 1.( a )2=a (a≥0)
由其定义我们还可进一步知道：二次根式具有双 重非负性. 到目前为止，非负数的三种表现形式归纳如下： a2, ︱a︱, a . 由前面可知，二次根式还有第二条重要性质：即 a2 = a . 文字叙述：任何一个非负数的平方的算术平方根 都等于这个数.
a 2 a取任何实数
( a)2与 a2 有区别吗?
例3：化简:
(1) 16;
(2) (5)2 ;
(3) (7)2;
(4) 72 .
解：(1) 16 42 4 (3) (7)2 7
（2）（- 5）2 5
(4) 72 1 7
课堂小结
定义 a （a≥0）
二 次 根 式 性质
a 0(a 0)
（即 数）
a 表示一个非负
2
a aa 0;
a2 （ a a 0）
正方形的边长是 b 3 .
b-3
你认为所得的各代数式有哪些共同特点？
新沪科版八年级数学下册第16章《二次根式》精品课件
•8、普通的教师告诉学生做什么，称职的教师向学生解释怎么做，出色的教师示范给学生，最优秀的教师激励学生。 2021/11/82021/11/82021/11/82021/11/8
梳理四.二次根的乘除
（1）、积的算术平方根的性质
a ba b (a 0 ,b 0 )
积的算术平方根，等于积中各因式的算 术平方根的积. （2）、二次根式的乘法法则
（5）.既可表示开方运算,也可表示运算的 结果.
梳理二．二次根式的性质
（1）． a0 （ ａ 0）
（2）． ( a)2 a (a≥0, )
（3）．
a2
a
{a,a0 a,a0
梳理三.代数式的定义
形如5，a,a b,ab, s , x2, 3, a(a≥ 0 )
t 的 式 子 ， 它 们 都 是 用本基运 算 符 号 （ 基 本 运 算 包 括 加 、 减 、 乘除、、 乘 方 和 开 方 ） 把 数 和 表 示 数 的 字 母接连起 来 的 式 子 ，
则Ｘ的取值范围是＿＿＿
9 计 算 (1)： 0 2( 33)2 解：(1)0 2(33)2 1 0(3)2( 3)2 1027 17
10、式子 (a1)2 a1成立的条件
是（ D ）
A.a1
B.a1
C.a1 D.a1
11、已知三角形的三边长分别是a、b、c，
且 ac，那么 ca (acb)2
（3）.判断几个二次根式是否是同类二次根式的关键是 将几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同.
（4）.二次根式的乘除运算可以考虑先进行被开方数的 约分问题，再化简二次根式，而不一定要先将二次
根式化成最简二次根式，再约分.
（5）.对有关二次根式的代数式的求值问题一般应对已 知式先进行化简，代入化简后的待求式，同时还应注意 挖掘隐含条件和技巧的运用使求解更简捷.
梳理四.二次根的乘除
（1）、积的算术平方根的性质
a ba b (a 0 ,b 0 )
积的算术平方根，等于积中各因式的算 术平方根的积. （2）、二次根式的乘法法则
（5）.既可表示开方运算,也可表示运算的 结果.
梳理二．二次根式的性质
（1）． a0 （ ａ 0）
（2）． ( a)2 a (a≥0, )
（3）．
a2
a
{a,a0 a,a0
梳理三.代数式的定义
形如5，a,a b,ab, s , x2, 3, a(a≥ 0 )
t 的 式 子 ， 它 们 都 是 用本基运 算 符 号 （ 基 本 运 算 包 括 加 、 减 、 乘除、、 乘 方 和 开 方 ） 把 数 和 表 示 数 的 字 母接连起 来 的 式 子 ，
则Ｘ的取值范围是＿＿＿
9 计 算 (1)： 0 2( 33)2 解：(1)0 2(33)2 1 0(3)2( 3)2 1027 17
10、式子 (a1)2 a1成立的条件
是（ D ）
A.a1
B.a1
C.a1 D.a1
11、已知三角形的三边长分别是a、b、c，
且 ac，那么 ca (acb)2
（3）.判断几个二次根式是否是同类二次根式的关键是 将几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同.
（4）.二次根式的乘除运算可以考虑先进行被开方数的 约分问题，再化简二次根式，而不一定要先将二次
根式化成最简二次根式，再约分.
（5）.对有关二次根式的代数式的求值问题一般应对已 知式先进行化简，代入化简后的待求式，同时还应注意 挖掘隐含条件和技巧的运用使求解更简捷.
八年级下册数学(沪科版)同步教学课件：1二次根式复习
2. a-4+ 4-a 有意义的条件是 a=4
.
3.求下列二次根式中字母的取值范围.
解：
①
②
解得 - 5≤x＜3
说明：二次根式被开方数不小于 0，所以求二次根式中字母的取 值范围常转化为不等式（组）.
题型二 二次根式的非负性的应用
1.已知： x 4 + 2x y =0,求 x-y 的值.
解：由题意，得 x-4=0 且 2x+y=0 解得 x=4,y=-8
x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12
2.已知x,y为实数,且
x 1 +3(y-2)2 =0,则x-y的值为( D )
A.3
B.-3
C.1
D.-1
方法技巧 初中阶段主要涉及三种非负数： a≥0，|a|≥0，a2≥0.如果若 干个非负数的和为 0，那么这若干个非负数都必为 0.即由 a≥0， b≥0，c≥0 且 a＋b＋c＝0，一定得到 a＝b＝c＝0，这是求一个 方程中含有多个未知数的有效方法之一。
2．化简： x－2－ 2－x＝____0____．
3．若１＜x＜４，则化简 (x 4)2 (x 1)2 的结果是＿＿＿5 ＿＿
4.下列各式中，是最简二次根式的是（ B ）
A. 8 B. 70
C. 99
1 D. x
5.下列各式中那些是二次根式？那些不是？为什么？
① 15
④ 质
( a)2＝__a__(__a≥0__)；
a2＝a＝
aa （a>0），
00 （a＝0）， －aa （a<0）.
3．最简二次根式
满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
(1)被开方数不含__分__母___；
沪科版八年级数学 下册 16.1《二次根式》课件(共22张PPT)
（1） 1 ； x 1
解：由题意得x-1＞0， ∴x＞1.
(2)
x3 . x 1
解：∵被开方数需大于或等于零， ∴3+x≥0，∴x≥-3.
∵分母不能等于零，
∴x-1≠0，∴x≠1.
归 纳
∴x≥-3 且x≠1. 要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足
被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分母 或二次根式为分式时，应同时考虑分母不为零.
练 习
正文讲授 2. a 取何值时，下列根式有意义？
1 2 （1） a+1；（2） ；（3） （a-1 ． ） 1- 2a
解：（1）由a+1≥0，得
a≥ - 1； 1 （2）由1-2a＞0，得 a＜ ； 2 2 （a-1 ） （3）由 ≥0，得 a为任何实数．
变 式
正文讲授 a 取何值时，下列根式有意义？
归 纳
被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进
行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.
归纳总结
(1)单个二次根式如 A 有意义的条件：A≥0； (2)多个二次根式相加如 A B ... N 有意义的
A≥0； 条件： B≥0； ... N≥0；
(3)二次根式作为分式的分母如 A＞0； (4)二次根式与分式的和如 A≥0且B≠0.
2 （1） a 2 - 2a+1 ；（2） ． （a-1 ）
答案：（1） a为任何实数； （ 2） a = 1．
总结：被开方数不小于零．
变
式
当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
(1) x 2 2 x 1;
(2) x 2 2 x 3.
解：(1)∵无论x为何实数， x 2 2 x 1 x 12 ≤0， ∴当x=1时， x2 2 x 1在实数范围内有意义. (2)∵无论x为何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0， ∴无论x为何实数， x2 2x 3在实数范围内都无意义.
解：由题意得x-1＞0， ∴x＞1.
(2)
x3 . x 1
解：∵被开方数需大于或等于零， ∴3+x≥0，∴x≥-3.
∵分母不能等于零，
∴x-1≠0，∴x≠1.
归 纳
∴x≥-3 且x≠1. 要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足
被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分母 或二次根式为分式时，应同时考虑分母不为零.
练 习
正文讲授 2. a 取何值时，下列根式有意义？
1 2 （1） a+1；（2） ；（3） （a-1 ． ） 1- 2a
解：（1）由a+1≥0，得
a≥ - 1； 1 （2）由1-2a＞0，得 a＜ ； 2 2 （a-1 ） （3）由 ≥0，得 a为任何实数．
变 式
正文讲授 a 取何值时，下列根式有意义？
归 纳
被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进
行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.
归纳总结
(1)单个二次根式如 A 有意义的条件：A≥0； (2)多个二次根式相加如 A B ... N 有意义的
A≥0； 条件： B≥0； ... N≥0；
(3)二次根式作为分式的分母如 A＞0； (4)二次根式与分式的和如 A≥0且B≠0.
2 （1） a 2 - 2a+1 ；（2） ． （a-1 ）
答案：（1） a为任何实数； （ 2） a = 1．
总结：被开方数不小于零．
变
式
当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
(1) x 2 2 x 1;
(2) x 2 2 x 3.
解：(1)∵无论x为何实数， x 2 2 x 1 x 12 ≤0， ∴当x=1时， x2 2 x 1在实数范围内有意义. (2)∵无论x为何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0， ∴无论x为何实数， x2 2x 3在实数范围内都无意义.
沪科版八下数学1二次根式教学课件
(2)( 2 )2; ＝2
(3)( 0.8 )2; ＝0.8 (4) -( 1.3 )2. ＝－1.3
2 下列计算正确的是( A )
知3－练
A．－( 6 )2＝－6 B．( 3 )2＝9
C．( 16 )2＝±16
D．
16 2 16
25
25
3
把4
1 4
写成一个正数的平方的情势是(
B
)
A.
知3－讲
a2 与( a )2的区分与联系： 联系： a2与( a )2均为非负数，且当a≥0时， a2＝
( a )2. 计算(b a )2时，运用(ab)2＝a2b2这个结论可知， (b a )2＝b2a.
例7 计算: (1) 52 ;
2
(2) 1 2 .
解： (1) 52 = 52 =5
或 52 = 5 =5.
(4) a＋1(a≥0)只能称为含有二次根式的式子，不 能称为二次根式．
知1－讲
(5)当x＝－3时，（x
1
3）2
无意义，∴
1 （x 3）2
也无意义；
当x≠－3时，
（x
1
3）＞2 0，∴
（x
1
3）2 是二次根式．
1
∴ （x 3）2 不一定是二次根式．
(6)当a＝4时，a－4＝0， （ - a-4）2 是二次根式；
x.
导引：判断一个式子是不是二次根式，实质是看它是否 具备二次根式定义的条件，紧扣定义进行辨认．
知1－讲
解：(1)∵ 3 64 的根指数是3，∴ 3 64不是二次根式． (2)∵不论x为何值，都有x2＋1＞0，∴ x2 1 是二
次根式．
(3)当－5a≥0，即a≤0时， -5a是二次根式； 当a＞0时，－5a＜0，则 -5a 不是二次根式． ∴ -5a 不一定是二次根式．
(3)( 0.8 )2; ＝0.8 (4) -( 1.3 )2. ＝－1.3
2 下列计算正确的是( A )
知3－练
A．－( 6 )2＝－6 B．( 3 )2＝9
C．( 16 )2＝±16
D．
16 2 16
25
25
3
把4
1 4
写成一个正数的平方的情势是(
B
)
A.
知3－讲
a2 与( a )2的区分与联系： 联系： a2与( a )2均为非负数，且当a≥0时， a2＝
( a )2. 计算(b a )2时，运用(ab)2＝a2b2这个结论可知， (b a )2＝b2a.
例7 计算: (1) 52 ;
2
(2) 1 2 .
解： (1) 52 = 52 =5
或 52 = 5 =5.
(4) a＋1(a≥0)只能称为含有二次根式的式子，不 能称为二次根式．
知1－讲
(5)当x＝－3时，（x
1
3）2
无意义，∴
1 （x 3）2
也无意义；
当x≠－3时，
（x
1
3）＞2 0，∴
（x
1
3）2 是二次根式．
1
∴ （x 3）2 不一定是二次根式．
(6)当a＝4时，a－4＝0， （ - a-4）2 是二次根式；
x.
导引：判断一个式子是不是二次根式，实质是看它是否 具备二次根式定义的条件，紧扣定义进行辨认．
知1－讲
解：(1)∵ 3 64 的根指数是3，∴ 3 64不是二次根式． (2)∵不论x为何值，都有x2＋1＞0，∴ x2 1 是二
次根式．
(3)当－5a≥0，即a≤0时， -5a是二次根式； 当a＞0时，－5a＜0，则 -5a 不是二次根式． ∴ -5a 不一定是二次根式．
沪科版八年级数学下册 16.1《二次根式》课件(共19张PPT)
(6) xy x, y异号 ,
(5) m m 0 , (7) a ,(8) 5 .
(3) 9 ,
2
3
在实数范围内,负数没有平方根
1 5 2 4 b b 0
指出下列哪些是二次根式？
3
5
9
a 1a 2
3
3
3
21
2
6
a b ab
课堂小结
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根 2.a可以是数,也可以是式. 3.形式上含有二次根号
4.a≥0,
a ≥0 (双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果. 6.求二次根式中字母的取值范围的基本依据： ①被开方数不小于零； ②分母中有字母时,要保证分母不为零.
掌握二次根式有意义的条件
a ≥０ 二次根式 a 有意义的条件: ____________
例2.x是怎样的实数时，下列式子在实数范 围内有意义？
(1) x 1
(2) x 2 2
2
(3) x
( 4)
1 3 2x
①被开方数大于或等于零；
②分母中有字母时，要保证分母不为零.
掌握并应用二次根式的基本性质
你如何理解“二次根式”？ •它们都带有 • 根号里的被开方数都是非负数 •
a 本身是一个非负数
a与 a 会区分
a 表示a的平方根，有两个结果，
一正一负
个非负数，是
a 表示a的算术平方根，它永远是一
a 中正的那个
例1.下列各式是二次根式吗？
(1) 32 , (4) 12 ,
(2) 6,
1.二次根式的定义: 2.二次根式 a 有 意义的条件:
沪科版数学八年级下册教学课件PPT16.1 二次根式
课程讲授
3 二次根式的性质
问题3：二次根式 a 的被开方数a的取值范围是什么？ 它本身的取值范围又是什么？
当a ＞0时，a 表示a的算术平方根，因此 a ＞0； 当a =0时， a 表示0的算术平方根，因此 a =0.这就 是说，当a ≥0时， a ≥0.我们把这个性质叫做二次根 式的双重非负性.
课程讲授
1 二次根式的概念
思考：用带根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：
(1)面积为3的正方形的边长为___3___，面积为S 的正方 形的边长为___S__. (2)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130 ㎡,则
130
它的宽为___2__m.
课程讲授
1 二次根式的概念
思考：用带根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：
即当x ≥-3时， x 3 在实数范围内有意义. （2）因为x为任何实数时都有x2≥0, 所以当x为一切实数时， x2 在实数范围内都有意义.
课程讲授
2 二次根式有意义的条件
练一练：若二次根式 2x 4 有意义 ,则实数 x的取
值范围是 （ D ）
A.x≥-2 B.x>-2 C.x<2 D.x≤2
课程讲授
3 二次根式的性质
练一练：若 ( C) A．1 B．－1 C．7 D．－7
x y 1 （y 3）2 0 ，则x-y的值为
课程讲授
3 二次根式的性质
问题4：根据算术平方根的意义填空，并试着归纳其中
的规律．
2
4
4
2
2
2
1 3
2
2
0
0
(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t (单位：s)与开始落下时离地面的高度h(单位：m) 满足关系h =5t2.如果用含有h的式子表示t，那么t为
1二次根式沪科版数学八年级下册课件
(1 2)2 ( 2 1)2
解：原式 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2
1.计算下列各题:
(1)
2
15
(2)
1
2
5
2.若 (1 x)2 1 x,则x的取值范围为 ( )
A. x≤1 B. x≥1 C. 0≤x≤1 D.一切有理数
3. a2 与 （√ a ）2 是一样的吗？
你的理由是什么，请小组讨论一下。
-a ( a <0 )
归 纳
由 a2 aa 0,可以得 a a2 a 0。
利用这个式子，可以把任何一个非负数写成 带有“ ”的情势，例： 5 25,
0.9 0.81
( a )2与 a2 有区别吗?
1.从运算顺序来看,
a 2 先开方,后平方。
a 2 先平方,后开方。
2.从取值范围来看,
式的代数式，不能称之为二次根式；
而 2x2 2x 3 这类代数式，应把 2, 3
这些二次根式看作系数或常数项，整个代数式仍 看做整式。
下列各式是二次根式吗?
(1) 32 , (2) 6, (3) 12 , (4) - m (m≤0), (5) xy (x,y 异号)， (6) a2 1 , (7) 3 5
通过上一节课的学习，凭着自己已
掌握的知识,说说对二次根式 a 的
理解！
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1. 表示a的算术平方根. 2. a可以是数,也可以是式子. 3. 情势上含有二次根号
4. a≥0, a ≥0 ( 双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
如： a 1 这类代数式只能称为含有二次根
4 (2)
4
(3) a2b2 (a＜0,b＞0)
沪科版数学八年级下册16.1《二次根式》教学设计1
沪科版数学八年级下册16.1《二次根式》教学设计1一. 教材分析《二次根式》是沪科版数学八年级下册第16章的第一节内容。
本节内容主要介绍二次根式的概念、性质和运算。
二次根式在数学中占有重要的地位，它是学习更高阶数学的基础。
本节内容的教学目标是使学生理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质，能进行二次根式的运算。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了实数、有理数、无理数等基础知识，对数学中的运算有一定的理解。
但二次根式作为一个新的概念，对学生来说还是较为抽象，需要通过实例和练习来理解和掌握。
三. 教学目标1.了解二次根式的概念，能正确识别二次根式。
2.掌握二次根式的性质，能进行二次根式的运算。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次根式的概念和性质。
2.二次根式的运算方法。
五. 教学方法1.采用实例教学法，通过具体的例子来引导学生理解和掌握二次根式的概念和性质。
2.采用归纳法，让学生通过自主探究和合作交流，总结出二次根式的性质和运算方法。
3.采用练习法，通过大量的练习来巩固学生的知识和提高解题能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学材料，如PPT、教案、练习题等。
2.准备教学工具，如黑板、粉笔、投影仪等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入二次根式的概念，如“一个正方形的对角线长为8，求正方形的面积。
”让学生思考如何解决这个问题，从而引出二次根式。
2.呈现（10分钟）讲解二次根式的概念和性质，通过PPT展示相关的例子和性质，让学生理解和掌握二次根式。
3.操练（10分钟）让学生进行二次根式的运算练习，如化简二次根式、求二次根式的值等。
教师及时批改和讲解，帮助学生掌握二次根式的运算方法。
4.巩固（10分钟）通过一些综合性的练习题，让学生运用所学的知识和方法解决问题，巩固二次根式的理解和运用。
5.拓展（10分钟）讲解二次根式的一些应用，如在几何、物理等学科中的应用，让学生了解二次根式的实际意义和价值。
二次根式(适用于沪科版)
可以 a
a
2
归 纳
由得 a 2 aa 0
a 0 。
利用这个式子，可以把任何一个非负数写成 带有“ ”的形式，例： 5 25,
0.9 0.81
把下列非负数写成带有“
”的形式： 3 （1）4； （2）8； （3）0.25； （4） 。 4 利用式子 a a 2 a 0
16.2
二数有两个平方根且互为相反数； 0有一个平方根就是它本身；
1、平方根的性质：
负数没有平方根。
2、 a 表示什么？ 表示非负数a的算术平方根
试一试 ：说出下列各式的意义；
1 16 , - 81 , 0 , ± , 49
观察：
0. 04 ;
上面几个式子中，被开方数 被开方数是非负数 的特点？
试一试（3）把下列各数写成平方的形式：
5 5 3= 3 ， 2 2
2
2
0.04 0.04
2
计算：
2
二次根式的性质（2）
0.3 0 .3 ,
- 5
2
5 ,
0 0,
2
a a
2
a ( a >0 ) 0 ( a =0 ) -a ( a <0 )
a - b - 1 0,
2a - b 0
a - b - 1 0 2a - b 0 a -1 解方程组，得 b -2 a的值为 - 1 ，b的值为 - 2.
小结
• 二次根式的定义： a a 0 • 二次根式的性质及它们的应用； （ 1） a
a,(a 0)且 a 0 （双重非负性）
解： （1） 4 42 16,（3）0.25 0.252 0.0625,
a
2
归 纳
由得 a 2 aa 0
a 0 。
利用这个式子，可以把任何一个非负数写成 带有“ ”的形式，例： 5 25,
0.9 0.81
把下列非负数写成带有“
”的形式： 3 （1）4； （2）8； （3）0.25； （4） 。 4 利用式子 a a 2 a 0
16.2
二数有两个平方根且互为相反数； 0有一个平方根就是它本身；
1、平方根的性质：
负数没有平方根。
2、 a 表示什么？ 表示非负数a的算术平方根
试一试 ：说出下列各式的意义；
1 16 , - 81 , 0 , ± , 49
观察：
0. 04 ;
上面几个式子中，被开方数 被开方数是非负数 的特点？
试一试（3）把下列各数写成平方的形式：
5 5 3= 3 ， 2 2
2
2
0.04 0.04
2
计算：
2
二次根式的性质（2）
0.3 0 .3 ,
- 5
2
5 ,
0 0,
2
a a
2
a ( a >0 ) 0 ( a =0 ) -a ( a <0 )
a - b - 1 0,
2a - b 0
a - b - 1 0 2a - b 0 a -1 解方程组，得 b -2 a的值为 - 1 ，b的值为 - 2.
小结
• 二次根式的定义： a a 0 • 二次根式的性质及它们的应用； （ 1） a
a,(a 0)且 a 0 （双重非负性）
解： （1） 4 42 16,（3）0.25 0.252 0.0625,
沪科版二次根式课件
04
二次根式的拓展
二次根式的近似计算
近似计算的定义
近似计算是指通过一定的方法，求得一个数的近似值，以满足实 际应用的需求。
二次根式的近似计算方法
可以采用二分法、牛顿迭代法等数值计算方法，求得二次根式的近 似值。
近似计算的应用
在科学、工程、经济等领域中，常常需要进行大量的近似计算，以 满足实际需求。
02
二次根式的化简
根式的乘除法
根式的乘法
当两个二次根式相乘时，可以直 接将它们的被开方数相乘，得到 新的被开方数。
根式的除法
当两个二次根式相除时，可以直 接将被除式的被开方数除以除式 的被开方数，得到新的被开方数 。
根式的加减法
同类二次根式的加减
同类二次根式是指被开方数相同的二 次根式。同类二次根式可以直接进行 加减运算，被开方数不变，只改变根 式前面的系数。
性质与应用
总结词：应用广泛
详细描述：二次根式具有非负性、算术平方根和最简二次根式的性质。这些性质在解决实际问题、数学证明和数学建模中有 着广泛的应用。
根式的运算规则
总结词：运算规则
详细描述：二次根式可以进行加、减、乘、除等运算，运算时需要遵循相应的运算法则和运算顺序。 同时，需要注意化简二次根式的步骤和方法，以及二次根式的混合运算的顺序。
圆的面积和周长
圆的面积公式为$S = pi r^2$，圆的周长公式为$C = 2pi r$ ，其中$r$为圆的半径。
在代数方程中的应用
一元二次方程
一元二次方程的一般形式为$ax^2 + bx + c = 0$，解法通常采用配方法或 求根公式法。
分式方程
分式方程的一般形式为$frac{x}{a} frac{b}{c} = d$，解法通常采用去分 母法或换元法。
1二次根式课件数学沪科版八年级下册
1.了解二次根式的概念，会判断一个式子是否为二次根式.
2.理解并掌握二次根式有意义的条件，会求被开方数中所含字
母的取值范围.
3.理解并掌握二次根式的基本性质 a a 和
2
重点
难点
aa 0,
a a
aa＜0.
2
1.掌握二次根式有意义的条件.
2.理解并掌握二次根式的基本性质.
会运用二次根式的两个性质进行化简计算.
思考
用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？
3
S
(1)面积为3的正方形边长为_____；若面积为
S ，则边长为_____．
(2)一个长方形的围栏，若长是宽的2倍，面积为130m2，则它的宽为_____m．
65
(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落
下的高度h（单位：m）满足关系 h =5t2，如果用含有 h 的式子表示 t ，
那么 t
h
为_____．
5
上面问题中，得到的结果分别是： 3 ， S ， 65 ， h ．
5
（1）这些式子分别表示什么意义？
h
分别表示3，S，65， 的算术平方根．
5
（2）这些式子有什么共同特征？
①根指数都为2;
②被开方数为非负数.
2
2
2
2
3
9 =3
4 2
9 3
归纳：由此可以看出： a 2 a ( a≥0 ).
a －a ( a≤0 ).
2
02 0
0.5
2
0.25 0.5
总结
a 2 的性质：
a2
2.理解并掌握二次根式有意义的条件，会求被开方数中所含字
母的取值范围.
3.理解并掌握二次根式的基本性质 a a 和
2
重点
难点
aa 0,
a a
aa＜0.
2
1.掌握二次根式有意义的条件.
2.理解并掌握二次根式的基本性质.
会运用二次根式的两个性质进行化简计算.
思考
用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？
3
S
(1)面积为3的正方形边长为_____；若面积为
S ，则边长为_____．
(2)一个长方形的围栏，若长是宽的2倍，面积为130m2，则它的宽为_____m．
65
(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落
下的高度h（单位：m）满足关系 h =5t2，如果用含有 h 的式子表示 t ，
那么 t
h
为_____．
5
上面问题中，得到的结果分别是： 3 ， S ， 65 ， h ．
5
（1）这些式子分别表示什么意义？
h
分别表示3，S，65， 的算术平方根．
5
（2）这些式子有什么共同特征？
①根指数都为2;
②被开方数为非负数.
2
2
2
2
3
9 =3
4 2
9 3
归纳：由此可以看出： a 2 a ( a≥0 ).
a －a ( a≤0 ).
2
02 0
0.5
2
0.25 0.5
总结
a 2 的性质：
a2
沪科版八年级数学下册课件-1二次根式
16.1 二次根式
求下面正方形的边长.
面积8 边长 8
82 2
面积2
边长 2
二次根式的定义
前面的学习中，我们遇到过这些式子
8，2，7.2， 49 ，a， c，
121
b
一般地，形如 a（a≥0) 的式子叫做二次 根式.
思考：（1）二次根式与前面学习的算术平方根有什么 关系？
（2）对于被开方数a有什么要求？
∵ 4 9
36 6
∵ 4和 - 9无意义
∴这个等式不成立.
ab = a b (a≥0,b≥0)
a、b必须都是非负数！ 积的算术平方根等于各因式算 术平方根的积.
计算下列各式, 视察计算结果,你发现什么结论？ （用字母表示）
思考：
4 2
9 3，
42
9 3；
?
25 5
49 7 ，
a
25 5
【跟踪训练】
1、判断下列各式是否为最简二次根
式？
（1） 12 × （ ）；（2） 4.5 （× ）；
√ （3） 3 （ ）； （4）
1 （× ）；
2
2、你能将（1）（2）（4）化简吗？ 试一试。
【规律方法】 在二次根式的运算中， 号.
猜想：你能得到什么结论？（用含字母的式子 表示）
验证：下面式子是否相等，借助计算器验 证.
67 与 6 7
2 3与 2 3
结论： ab a b
积的算术平方根等于算术平方根的积.
问题：对于一切的实数a,b都成立吗？若不 成立，请举反例说明。
(4) (9) (4) (9)
想一想？
成立吗？为什么？
49 7 .
a
b
b
a a （a≥0，b＞0）
求下面正方形的边长.
面积8 边长 8
82 2
面积2
边长 2
二次根式的定义
前面的学习中，我们遇到过这些式子
8，2，7.2， 49 ，a， c，
121
b
一般地，形如 a（a≥0) 的式子叫做二次 根式.
思考：（1）二次根式与前面学习的算术平方根有什么 关系？
（2）对于被开方数a有什么要求？
∵ 4 9
36 6
∵ 4和 - 9无意义
∴这个等式不成立.
ab = a b (a≥0,b≥0)
a、b必须都是非负数！ 积的算术平方根等于各因式算 术平方根的积.
计算下列各式, 视察计算结果,你发现什么结论？ （用字母表示）
思考：
4 2
9 3，
42
9 3；
?
25 5
49 7 ，
a
25 5
【跟踪训练】
1、判断下列各式是否为最简二次根
式？
（1） 12 × （ ）；（2） 4.5 （× ）；
√ （3） 3 （ ）； （4）
1 （× ）；
2
2、你能将（1）（2）（4）化简吗？ 试一试。
【规律方法】 在二次根式的运算中， 号.
猜想：你能得到什么结论？（用含字母的式子 表示）
验证：下面式子是否相等，借助计算器验 证.
67 与 6 7
2 3与 2 3
结论： ab a b
积的算术平方根等于算术平方根的积.
问题：对于一切的实数a,b都成立吗？若不 成立，请举反例说明。
(4) (9) (4) (9)
想一想？
成立吗？为什么？
49 7 .
a
b
b
a a （a≥0，b＞0）
沪科版数学八年级下册16.1二次根式教学设计
难点：如何引导学生从具体实例中抽象出二次根式的概念，以及如何激发学生的创新意识。
（二）教学设想
1.创设情境，激发兴趣：通过生活中的实例，如勾股定理的应用、面积计算等，引入二次根式的概念，使学生感受到数学的实用性和趣味性。
2.分层次教学，因材施教：针对学生的个体差异，设计不同难度的教学活动，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
此外，学生在解决实际问题时，可能会对二次根式的应用感到陌生，难以将理论知识与实际问题相结合。因此，在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，充分调动学生的学习积极性，通过生动的实例和丰富的教学活动，帮助学生克服恐惧心理，提高解决问题的能力。
同时，八年级学生的思维逐渐由具体形象思维向抽象逻辑思维转变，教师应抓住这一特点，引导学生运用二次根式解决实际问题，培养学生的抽象思维能力和创新意识。在这个过程中，教师要关注学生的情感态度，鼓励学生积极参与，使他们在探索中获得成就感，从而提高学习兴趣和自信心。
4.利用数形结合的方法，帮助学生理解二次根式的性质和运算法则，培养学生的直观想象能力。
5.引导学生运用二次根式解决实际问题，培养学生的应用意识和实践能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学习的兴趣，激发学生的学习热情，使学生在二次根式的学习中感受到数学的魅力。
2.培养学生勇于探索、善于思考的精神，鼓励学生在面对困难时保持积极的态度，增强克服困难的信心。
2.应用题：结合实际情境，设计一些需要运用二次根式解决问题的题目。这些题目旨在培养学生将数学知识应用于解决实际问题的能力，增强学生对数学实用性的认识。
例题：小华家的花园是一个矩形，长比宽多2米，如果花园的面积为48平方米，求花园的长和宽。
3.提高题：设置一些具有一定难度的题目，要求学生运用所学的二次根式性质和运算法则，进行混合运算。这类题目能够锻炼学生的逻辑思维能力和解题技巧。
（二）教学设想
1.创设情境，激发兴趣：通过生活中的实例，如勾股定理的应用、面积计算等，引入二次根式的概念，使学生感受到数学的实用性和趣味性。
2.分层次教学，因材施教：针对学生的个体差异，设计不同难度的教学活动，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
此外，学生在解决实际问题时，可能会对二次根式的应用感到陌生，难以将理论知识与实际问题相结合。因此，在教学过程中，教师应关注学生的个体差异，充分调动学生的学习积极性，通过生动的实例和丰富的教学活动，帮助学生克服恐惧心理，提高解决问题的能力。
同时，八年级学生的思维逐渐由具体形象思维向抽象逻辑思维转变，教师应抓住这一特点，引导学生运用二次根式解决实际问题，培养学生的抽象思维能力和创新意识。在这个过程中，教师要关注学生的情感态度，鼓励学生积极参与，使他们在探索中获得成就感，从而提高学习兴趣和自信心。
4.利用数形结合的方法，帮助学生理解二次根式的性质和运算法则，培养学生的直观想象能力。
5.引导学生运用二次根式解决实际问题，培养学生的应用意识和实践能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学习的兴趣，激发学生的学习热情，使学生在二次根式的学习中感受到数学的魅力。
2.培养学生勇于探索、善于思考的精神，鼓励学生在面对困难时保持积极的态度，增强克服困难的信心。
2.应用题：结合实际情境，设计一些需要运用二次根式解决问题的题目。这些题目旨在培养学生将数学知识应用于解决实际问题的能力，增强学生对数学实用性的认识。
例题：小华家的花园是一个矩形，长比宽多2米，如果花园的面积为48平方米，求花园的长和宽。
3.提高题：设置一些具有一定难度的题目，要求学生运用所学的二次根式性质和运算法则，进行混合运算。这类题目能够锻炼学生的逻辑思维能力和解题技巧。
16.第2课时二次根式除法课件数学沪科版八年级下册
2 18 2 18 2
( 3 ) 3 42； 56
(4)2 11 1 1. 2 26
解: ( 3 )
3 42 56
3 5
42 6
3 5
7.
(4)2 11 1 22
1 6
2
1 2
3 2
1
6
（2 2） 3 1 4 26
被开方数中含有 带分数，应先将 带分数化成假分
数
3 6 12.
在二次根式的运算 中，最后结果一般 要求分母中不含二
次根式.
归纳 分母有理化一般经历如下三步：
“一移”，即将分子、分母中能开得尽方的因数(式)移到根号外； “二乘”，即将分子、分母同乘分母的有理化因数(式)； “三化”，即化简计算．
二次根式的运算结果有以下特点： (1)被开方数不含分母； 即被开方数必须是整数(式) (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
(3) 118 19 64 64 8 8 3 = 8 3 . 27 27 27 27 3 3 3 3 3 9
法则
a b
a b
(a≥0, b>0)
二次根式 的乘法
拓展法则 法则逆用 相关概念
m a m a (a≥0, b>0,n≠0)
nb n b
a a (a≥0, b>0) bb
分母有理化 最简二次根式
解：因为S=ab，所以 a S 2 3 2 3 10 30 . b 10 10 10 5
练习
1．把下列二次根式化成最简二次根式：
(1) 32； (2) 40；(3) 1.5； (4) 4 . 3
解：(1) 4 2 ;
(2) 2 10 ;
(3) 6 ; 2
(4) 2 3 . 3
( 3 ) 3 42； 56
(4)2 11 1 1. 2 26
解: ( 3 )
3 42 56
3 5
42 6
3 5
7.
(4)2 11 1 22
1 6
2
1 2
3 2
1
6
（2 2） 3 1 4 26
被开方数中含有 带分数，应先将 带分数化成假分
数
3 6 12.
在二次根式的运算 中，最后结果一般 要求分母中不含二
次根式.
归纳 分母有理化一般经历如下三步：
“一移”，即将分子、分母中能开得尽方的因数(式)移到根号外； “二乘”，即将分子、分母同乘分母的有理化因数(式)； “三化”，即化简计算．
二次根式的运算结果有以下特点： (1)被开方数不含分母； 即被开方数必须是整数(式) (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
(3) 118 19 64 64 8 8 3 = 8 3 . 27 27 27 27 3 3 3 3 3 9
法则
a b
a b
(a≥0, b>0)
二次根式 的乘法
拓展法则 法则逆用 相关概念
m a m a (a≥0, b>0,n≠0)
nb n b
a a (a≥0, b>0) bb
分母有理化 最简二次根式
解：因为S=ab，所以 a S 2 3 2 3 10 30 . b 10 10 10 5
练习
1．把下列二次根式化成最简二次根式：
(1) 32； (2) 40；(3) 1.5； (4) 4 . 3
解：(1) 4 2 ;
(2) 2 10 ;
(3) 6 ; 2
(4) 2 3 . 3
八年级数学下册第16章二次根式知识归纳新版沪科版
二次根式知识点总结二次根式知识点：知识点一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。
知识点二：取值范围1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。
知识点三：二次根式（）的非负性（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。
注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。
这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。
知识点四：二次根式（）的性质（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。
上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.知识点五：二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。
知识点六：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a 的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。
但与都是非负数，即，。
因而它的运算的结果是有差别的，，而2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.知识点七：二次根式的性质和最简二次根式如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√2、√3、√a（a≥0）、√x+y 等；含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√4、√9、√a^2、√（x+y）^2、√x^2+2xy+y^2等（3）最终结果分母不含根号。
沪科版二次根式
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1
教学目标：
1、认识二次方根，理解二次方根 的双重非负性，并会根据二次方 根的双重非负性解相关练习。
? ? 2、认识二次方根的性质1 ： a 2 ? a
（a≥0）和 性质2： a 2 ? a ；并利 用它们进行计算和化简．
大家好
2
回忆
⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则 这个数就叫做a的平方根.
2 3
????2
=
-6
? ?2
x xy
? 5 ? 2 ?? 5 ? 2 ?
? x3 y
=3
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13
2.计算：? (? 1 )02 ? (? 3 3)2
解：? (? 10 )2 ? (? 3 3)2 ? ? 10 ? (? 3)2 ? ( 3)2
? ?10 ? 27 ? 17
大家好
14
32 ? 3
?1? x ? 3 ?
6? x
x≥3 x≤6
∴3≤x≤6
?2? 1 ? x ? x ? 1
x≥1 x≤1
∴x=1
?3? x 2 ? 2
?4? x ? 1
x为全体实数.
x为全体实数.
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10
( 4 )2 ? 4
????
1 9
????2
?
1 9
( 0.01 ) 2 ? 0.01
( 0 )2 ? 0
二次根式性质1：
a（a≥ 0） 是 一 个 非 .负 数
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18
结束
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19
? ? 性质1 a 2 ? a (a≥0)
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பைடு நூலகம்11
计算：（1）（ 3）2；（2）（3 5）.2 2
1
教学目标：
1、认识二次方根，理解二次方根 的双重非负性，并会根据二次方 根的双重非负性解相关练习。
? ? 2、认识二次方根的性质1 ： a 2 ? a
（a≥0）和 性质2： a 2 ? a ；并利 用它们进行计算和化简．
大家好
2
回忆
⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则 这个数就叫做a的平方根.
2 3
????2
=
-6
? ?2
x xy
? 5 ? 2 ?? 5 ? 2 ?
? x3 y
=3
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13
2.计算：? (? 1 )02 ? (? 3 3)2
解：? (? 10 )2 ? (? 3 3)2 ? ? 10 ? (? 3)2 ? ( 3)2
? ?10 ? 27 ? 17
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14
32 ? 3
?1? x ? 3 ?
6? x
x≥3 x≤6
∴3≤x≤6
?2? 1 ? x ? x ? 1
x≥1 x≤1
∴x=1
?3? x 2 ? 2
?4? x ? 1
x为全体实数.
x为全体实数.
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10
( 4 )2 ? 4
????
1 9
????2
?
1 9
( 0.01 ) 2 ? 0.01
( 0 )2 ? 0
二次根式性质1：
a（a≥ 0） 是 一 个 非 .负 数
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18
结束
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19
? ? 性质1 a 2 ? a (a≥0)
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பைடு நூலகம்11
计算：（1）（ 3）2；（2）（3 5）.2 2
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12
练习 1.计算：
2
8 =8
3 2=3
2 3 2 =12
3
2 3
2
=
-6
2
x xy 52 52
x3y
=3
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13
2.计 算 (1： )0 2( 33)2
解：(10 )2(33)2 10 (3)2( 3)2
10 27 17
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14
32 3
- 22 2
1
2
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1
教学目标：
1、认识二次方根，理解二次方根 的双重非负性，并会根据二次方 根的双重非负性解相关练习。
2
2、认识二次方根的性质1 ： a a （a≥0）和 性质2： a2 a ；并利 用它们进行计算和化简．
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2
回忆
⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则 这个数就叫做a的平方根.
x为全体实数.
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10
( 4)2 4
2
1 9
1 9
( 0.01)2 0.01
( 0)2 0
二次根式性质1：
性质1
2
a a (a≥0)
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11
计 算 ： （ 1） （3） 2； （ 2） （ 35） 2. 2
解：（1）（3） 2=3； 22
（2）（3 5） 2=32（5） 2=95=45.
2
1 2
02 0
二次根式性质2： a (a 0）
a2 a
a(a 0)
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15
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16
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17
归纳
当a＞ 0 时 ，a表 示a的 算 术 平 方 根 ，a因 ＞0此 ;
当a 0时 ，a表 示0的 算 术 平 方 根 ，a因 0此 这就是说
a（ a≥ 0） 是 一 个 非.负 数
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4
一个正数有两个平方根, 它们互为相反数； 0的平方根是0；
负数没有平方根。
a（a≥0）的平方根 a，
a的算术平方根是 a .
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5
二次根式
一般地，我们把形如 a（a≥0）
的式子叫做二次根式，“ ”称为二 次根号.
二次根式
含有二次根号；
被开方数为非负数.
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6
指出下列哪些是二次根式？
1 2a
2
3 a32 （a可取任意实数）
方法构想
求二次根式中字母的取值范围的基本依据： ①被开方数大于等于零；
②分母中有字母时，要保证分母不为零。
Байду номын сангаас
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9
2.当x为怎样的实数时，下列各
式有意义？
1
x36x
x≥3 x≤6
∴3≤x≤6
21x x1
x≥1 x≤1
∴x=1
3 x2 2
4 x 1
x为全体实数.
a的平方根是 a
⑵什么是一个数的算术平方根？如何表示？
用 a (a≥0)表示数a的算术平方根.
一个正数a的正的平方根叫做它的算术平方根.
0的算术平方根是0
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3
求下列各数的平方根和算术平方根.
9 的平方根 3 ，算术平方根 ； 3 0.64 的平方根 0，.8算术平方根 ； 0.8
0 的平方根 0 ，算术平方根 . 0
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18
结束
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19
1 5 √ 2 3 33 21
4 bb0√
二次根式满足的两
个条件是：
5a2a2√ （1）有二次根号；
（2）被开方数是非
6 abab 负数.
7 5m 8 x2√1
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7
二次根式 a
被开方数a≥0；
a ≥0
双重非负性
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8
1.求下列二次根式中字母的取值范围：
1 a1 (a≥-1) 2 1 (a 1 )