山大网络教育高起专—高等数学

高等数学模拟卷 1

一 求下列极限 1 1

lim

sin n n n

→∞ 1sin ≤n 01lim

=∞→n n ∴ 0sin 1

lim =∞→n n

n 2 求0

lim

x x

x →

1lim 0

-=-

→x

x x

1lim 0

=+

→x

x x ∴0

lim

x x

x

→不存在 3 求10

lim x

x e →

,lim 10+∞=+

→x

x e

0lim 10=-

→x x e ∴10

lim x

x e →不存在

sin 4lim

sin 5x x x x x →++

原式=15sin 1sin 1lim

0=+

+

→x

x x x

x 二

a 取什么值，0

()0x e x f x a x x ⎧<=⎨+≥⎩

连续 解：)i 0x <，0x >时，()f x 均连续

)ii 0x =时，(0)f a = (00)1f -= (00)f a +=

所以1a =时(0)(0)1f f ±==，

()f x 在0x =处连续

综上所述，a=1时()f x 连续

三 计算下列各题

1 已知2sin ln y x x =⋅ 求,y

解：x

x x x y 1

sin 2ln cos 2⋅+=' 2 ()

,()x

f x y f e e

y =⋅已知，求

解：

()()()()()()()()()()

x f e f e f e e e x f e f e e f e y x

x x x f x f x x f x x '+'='+'=' 2

3

x xe dx

⎰求

解： ⎰⎰+==c e dx e dx xe x x x 2222

1212 四、若2

02tan()sec x y x x y tdt ---=⎰，求dy dx

解：两边对x 求导，其中y 是x 的函数

2'2'2sec ()(1)sec ()(1)x y y x y y --⋅-=-⋅- 2'2sec ()(1)2x y y -⋅-=

'2

1

(1)sec ()

y x y -=

- 所以'

2

2

1cos ()sin ()y x y x y =--=- 五 求y x =，2y x =和2

y x =所围平面图形的面积 解：

12

20

1

223(2)(2)121101231814123376

A x x dx x x dx

x x x =-+-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭=+--+=⎰⎰

高等数学模拟卷 2

一 求下列极限

1 1

lim cos n n n

→∞

,1cos ≤n 01lim

=∞→n n ∴ 0cos 1

lim =∞→n n

n 2 求2

2lim

2x x x

→--

,122

lim 22lim 2

2

-=--=--+

+

→→x x x

x x x 122lim 2=---→x x x ∴22lim 2x x x

→--不存在

3 求1

lim 2x

x →

,2

2lim 1lim

1

0+∞==+→+→x x

x x 02

2lim 1lim

10

0==-→-→x x

x x ∴ 10

lim 2x

x →不存在

2sin 4lim

3sin x x x x x →++求

原式=43sin 3

1sin 21lim

0=++→x

x x x

x sin 0()00

x x f x x

x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩

二

讨论

在 x=0 处的连续性

解： ()1sin lim 0

==

+→x x x f x ()1sin lim 0==-→x

x

x f x

∴ ()x f 在0=x 处不连续，0点为可去间断点。

三 计算下列各题

1 ,ln[ln(ln )]

y x y =求

解：()x

x x y 1

ln 1ln ln 1⋅⋅=

'

2 ,

,y

x

x y y =求

解： 两边取对数：y x x y ln ln =

两边分别求导：y y

x

y x y x y '⋅+=⋅+'ln 1ln 整理得：()()

x y x x y y x y y ln ln --=

'

2

2

2

20

100

2

20

10

4

9

04

80cos lim

sin cos lim

22cos lim 101cos lim 50x x x x x x x t dt

x x t dt

x x x x x x x →→→→--=-⋅=-=⎰⎰四

求

解原式

34704sin 1lim 4010

x x x x →== 五 求2

25y x =-和4y x =-所围平面图形的面积 解：

)

8

2(4)A x dx =+--⎰

⎰

28

331242

2221263232

18

x x ⎫=⨯++⎪

⎭=+-+=

六 2

2(1)

24dy

x xy x dx ++= 解：此方程为一阶非齐次线性微分方程

2

2()1x

P x x =

+ 2

24()1x Q x x =+

2222231122414()()113

x

x

dx

dx x x x y e

e dx c c x x x -++⎰⎰=+=+++⎰ 所以原方程通解为

32

14()13

y c x x =

++ 高等数学模拟卷3

一 求下列极限 1 1

lim n tgn n

→∞