南开大学数学分析答案2005

2005年南开大学数学分析试题答案

0D .1为成奇函数，所以该积分轴对称，被积函数关于关于由于y x 2.x z f x y f f dx du z y x ∂∂+∂∂+=，其中x z x y ∂∂∂∂,由 00=∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+x z h x y h h x z g x y g g z y x z y

x 求出 =∂∂--=∂∂x z h g h g g h g h x y y z z y x z z x ,y

z z y x y y x h g h g g h g h -- 3.⎰∑+=-=-=∞→1021

23234)(411lim πx dx n k n n

k n 4.t

x dt t M +≤⎰1,2sin 0在),0(+∞∈x 上单调一致趋于0，则)(x f 在),0(+∞∈x 上一致收敛，又t

x t +sin 在),0(+∞∈x 上连续，则)(x f 在),0(+∞∈x 上连续。 5.由泰勒公式)!1(!1!21!111+++++=n e n e ξ

，则

)!

1()!1(!1!21!111+≤+=+++-n e n e n e ξ ，后者收敛，则原级数收敛。 6.由拉格朗日中值定理，

,)('1)(122n

M n Mx n x f n n x f n ≤≤=ξ后者收敛，由魏尔特拉斯定理，原级数一致收敛。

由)(x s 一致收敛，则可以逐项求导，∑∞==

12)(')('n n n x f x s 也一致收敛且连续，故)(x s 连续可导

7.反证：设存在),(00y x 有0),)((00≠∂∂-∂∂y x y P x Q ，不妨设0),)((00>∂∂-∂∂y x y

P x Q ，由连

续函数的局部保号性，知道存在一个邻域,δ当δ∈),(y x 时0),)((>∂∂-∂∂y x y

P x Q ，则存在一个圆周,

0δ⊂C ⎰⎰⎰=+D Qdy Pdx 0)(>∂∂-∂∂dxdy y P x Q 与已知矛盾。 8.当2

0a x ≤≤时，x x f x f ≤=)('')('ξ a x a ≤≤2

时，x a a x f x f -≤-=))(('')('η，综上，)()('x g x f ≤ )2(若对任意的),0(a x ∈有)()('x g x f =，则在2

a x =时，)(''x f 不存在，矛盾。 )3(设当U x ∈时，0)()('<-x g x f 当U a x \),0(∈时0)()('=-x g x f ，两边对x 积分即可

6.))(()()(000x x x g x g x f -≥- ，))(()()(00x x x g x f x f -≥-，由)(x g 在),(b a 上有定义，则)(x g 在),(b a 上有界，则可以得到)(x f 在),(b a 上连续。

210)2(x x x <<，则121210101)()()()()(x x x f x f x g x x x f x f --≤≤--，则

02020101)()()()(x x x f x f x x x f x f --≤--则0

0)()(x x x f x f --单调递增有下界，存在右极限，)(0'x f +存在，同理)(0'x f -存在，由极限的保不等式性可得