数值分析-1(重庆大学本科版)

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误差的来源
截断误差（方法误差）：数学模型常难于直接求 解，往往要近似替代，简化为易于求解的问题，这 种简化带入误差称为截断误差或方法误差。 舍入误差：计算机只能处理有限数位的小数运 算，初始参数或中间结果都必须进行四舍五入运 算，这必然产生舍入误差。
误差分析是一门比较艰深的专门学科。当发现计算结果与实际不符 时，一个训练有素的计算工作者应当能诊断出误差的来源，并采取 相应的措施加以改进，直至建议对模型进行修改.
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误差的基本概念
误差与误差限 定义1.1 设 x* 是准确值，x 是它的一个近似值， 称 e =x - x* 为近似值x的绝对误差，简称误差。
绝对误差：e x x *
x —近似值 x* —精确值
可能取正，也可能取负，与x同量纲。 越小越具有参考价值。 但却不能很好地表示近似值的精确程度。
可行性： 算法中的所有操作都可以通过已经 实现的基本操作运算有限次来实现。
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算法的5个性质
有输入： 作为算法加工对象的量值，通常体现 为算法中的一组变量。
有输出： 它是一组与“输入”有确定关系的量 值，是算法进行信息加工后得到的结果，这种确 定关系即为算法的功能。
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算法常用描述形式（1）
数学公式与文字说明描述： 这种方式符合人们 的理解习惯，和算法的推证相衔接，易于学习接 受，但不方便转换成程序语言。
1 3 xk 1 xk 2 xk
计算有：x0=2 x1=1.75 x2=1.732 142 9 x3=1.732 050 8 …
(k = 0,1,2,…)
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误差
误差 是人们用来描述数值计算中近似解的精确程度，是科
学计算中的一个十分重要的概念。
误差的来源
从实际问题中抽象出数学模型 —— 模型误差 通过测量和实验得到模型中的各种数据 ——测量误差 由于模型误差与测量误差不是计算过程中产生的，所以在 数值计算中主要考虑截断误差和舍入误差对计算结果的 影响。
例3 不用开平方计算 a (a＞0)的值.
a 假定x0是 a 的一个近似值，x0 ＞0，则 x ≈ a 也是 0 a 的一个近似值，且 x0 和 两个近似值必有一个大于 a ， x0 另一个小于 a 。
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数值型算法的基本特点(6)
可以设想它们的平均值应为的更好的平均值，于是设计下面 的算法： 1 a xk 1 xk (k = 0,1,2,…) (1.8) 2 xk 如计算 3 ，取 x0 = 2，有：
| xx | r * | er | * |x | |x |
*

实际上由于 x* 不知道，用上式无法确定εr ，常用 x 代 x* 作分母，此时：
r

| x|
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相对误差限-举例
例5 若测得高速段路长为2500±1m，课桌 长为120±1cm，则 1 1 (2) (1) r 0.83% r 0.04% 120 2500 显然后者比前者相对误差大。
1 n 1 r 10 2a1
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有效数字
定理1.2 设近似值 x=±0.a1a2…an×10m的 相对误差限为:
1 n 1 r 10 2(a1 1)
则它至少有 n 位有效数字。
有效位数越 多，相对误 差限越小
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定理1.2 证明
证明：显然 | x |≤(a1+1)×10m - 1
1 n1 4 r 10 0.01% 10 2a1
解关于n的不等式： 10-n≤18×10-5 = 1.8×10-4 所以取 n = 4，即可满足要求。
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设计数值型算法的基本原则
函数计算的误差传播
对函数 f(x) 的计算：设 x 是 x * 的近似值，则结果误差:
e( f ( x)) f ( x) f ( x*)
| x x* | 1 * | x x | | x | 10 n 1 (a1 1) 10m1 | x| 2(a1 1)
| x x | 0.5 10
*
由定义1.3知 x 有 n 位有效数字。
m n
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例子
例 计算 sin(1.2)，问要取几位有效数字才 能保证相对误差限不大于0.01% 解 sin1.2=0.93…，故a1=9, m=0
框图描述： 这种方式描述计算过程流向清楚， 易于编制程序，但对初学者有一个习惯过程。此 外框图描述格式不统一，详略难以掌握。
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算法常用描述形式(2)
伪代码描述： 它是表述算法的一种通用的语言， 有特定的表述程序和语句。它独立于计算机的硬 件和软件系统，可以很容易地转换某种实用的计 算机高级语言，同时也具有一定的可读性。 程序语言描述： 用计算机语言描述的算法，即 计算机可直接运行算法。
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有效数字
例： = 3.14159265 · ，近似值 · ·
x1 = 3.1415，x2 = 3.1416
问：x1, x2 分别有几位有效数字？ 答案：4，5 例：写出下列各数的具有 5 位有效数字的近似值 187.9325，0.03785551，8.000033 答案：187.93，0.037856，8.0000 注：数字末尾的 0 不可以随意添加或省略！
算法的5个性质： 有穷性： 对于任意一组合法的输入值，在执行 有穷步骤之后一定能结束。即算法中的操作步骤 为有限个，且每个步骤都能在有限时间内完成。
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算法的5个性质
确定性： 确定性表现在对算法中每一步的描述 都没有二义性，只要输入相同，初始状态相同， 则无论执行多少遍，所得结果都应该相同。
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数值型算法的基本特点(1)
无穷过程的截断：
例1
π x 0, 计算 sin x的值， 4
根据 Taylor 公式：
x3 x5 x 7 x 2 n 1 sin x x L (1) n L 3! 5! 7! (2n 1)!
( 1.1)
这是一个无穷级数，我们只能在适当的地方“截断 ”，使计算量不太大，而精度又能满足要求。
(1.13)
其中(1.11)取等号，是因为作为多元函数，加减法的一次 函数，泰勒展开没有二次余项。
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例子
例5：若电压V=220± 5V，电阻R=300± 10Ώ ，求电流 I 并 计算其误差限及相对误差限。 解：
V 220 I 0.7333( A) R 300
| V | ( R) | R | (V ) 220 10 300 5 (I ) 0.0411( A) 2 R 90000
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有效数字
在更多的情况，我们不知道准确值 x*。如果我们认为计算 结果各数位可靠，将它四舍五入到某一位，这时从这一位起 到前面第一个非零数字共 l 位，它与计算结果之差必小于该 位的半个单位.我们习惯上说将计算结果保留 l 位有效数字。
定理1.1 设近似值 x = 0.a1a2…an×10m有n 位有效数字，则其相对误差限:
所以
I 0.7333 0.0411( A)
0.0411 r (I ) 5.6% 0.7333
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四则运算中误差的传播
1. 避免两个相近的数相减
说明：造成有效数字在算法中突然变少，相对误差在这 一步的突然扩大。 例6 计算
解
1 1 759 760
，视已知数为精确值，用4位浮点数计算。
近似值的精确程度取决于 相对误差 的大小。 实际计算中我们所能得到的是 误差限 或 相对误差限。
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有效数字
有效数字：如果近似值 x 的误差限ε是它某一数位的
半个单位，我们就说 x 准确到该位，从这一位起直到前面 第一个非零数字为止的所有数字称 x 的有效数字。
如：x=±0.a1a2…an×10m，其中a1 ，a2，…，an 是0 ～9之中的整数，且a1≠0。如e=|x-x*|≤ε=0.5×10m-l ， 1≤ l≤n，则称 x 有 l 位有效数字. 如：π=3.14159265…… 则3.14和3.1416分别有3位和5位有效数字。而3.143相 对于π也只能有3位有效数字.
f ( ) 2 | e( f ( x)) || f ( x) | ( x) | | ( x) 2
忽略第2项高阶无穷小之后，可得函数f(x)的误差限估 计式：
| e( f ( x)) || f ( x) | ( x)
（1.10）
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设计数值型算法的基本原则
四则运算可以看作是二元函数运算，按公式(1.10)易 得近似数作四则运算后的误差限公式:
计算方法/数值计算
第1章 绪论
胡小兵 E-mail: iamhxb@ 重庆大学数学与统计学院
1
主要内容
了解算法的概念；
理解误差传播及其避免方法。
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算法及其性质
算法是对问题求解过程的一种描述，是为解决一个或一类
问题给出的一个确定的、有限长的操作序列。
绝对误差不能完全刻画近似值的精度，还 应考虑被测值的大小。 定义1.2 ： 误差 e 与精确值 x*的比值称为 x 的相对误差。即：
e xx er * * x x
*
无量纲，常用百分比表 示，可正可负。 不能准确计算，而是用 相对误差限来估计。
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相对误差限
若存在正数 r，使得 |er| r，则称 r 为相对误差限
原式 = 0.1318×10-2 - 0.1316×10-2 = 0.2×10-5 。
结果只剩一位有效数字，有效数字大量损失，造成相对误差的 扩大.若通分后再计算：
1 1 0.1734 10 5 原式= 759 760 0.5768 10 6
就得到4位有效数字的结果。
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四则运算中误差的传播
用泰勒展式分析 ，将 f(x*) Taylor展开：