3.5确定圆的条件课时训练(含答案)

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九年级数学下册第三章圆3.5确定圆的条件同步练习新版北师大版135.doc

课时作业(二十四)[第三章 5 确定圆的条件]一、选择题1．下列四个命题中正确的有( )①经过三角形顶点的圆是三角形的外接圆；②任何一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；③任何一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；④三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点．A．1个B．2个C．3个D．4个2．三角形的外心具有的性质是( )A．到三个顶点的距离相等B．到三条边的距离相等C．是三角形三条角平分线的交点D．是三角形三条中线的交点图K－24－13．2017·市中区三模如图K－24－1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0，3)，点B的坐标为(2，1)，点C的坐标为(2，－3)．则经画图操作可知：△ABC的外心坐标应是( )A．(0，0) B．(1，0)C．(－2，－1) D．(2，0)4．如图K－24－2，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是( )图K－24－2A．△ABE B．△ACFC．△ABD D．△ADE5．如图K －24－3，AB 是△ABC 的外接圆⊙O 的直径，D 为⊙O 上一点，OD ⊥AC ，垂足为E ，BC ＝5，AE ＝6，则DE 的长为( )图K －24－3 A ．4 2 B ．3 3 C ．4 D .726．若点O 是△ABC 的外心，且∠BOC ＝70°，则∠BAC 的度数为( ) A ．35° B ．110°C ．35°或145°D ．35°或140° 二、填空题7．已知△ABC 的三条边长分别为6 cm ，8 cm ，10 cm ，则这个三角形的外接圆的面积为________cm 2.(结果用含π的代数式表示)8．2017·十堰模拟如图K －24－4，△ABC 是⊙O 的内接三角形，连接OB ，OC ，若∠BAC ＋∠BOC ＝180°，BC ＝2 3 cm ，则⊙O 的半径为________cm .图K －24－49．直角三角形两边的长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是________.链接听课例2归纳总结 10．2018·内江已知△ABC 的三边长a ，b ，c 满足a ＋b 2＋|c －6|＋28＝4 a －1＋10b ，则△ABC 的外接圆半径为________．三、解答题11．如图K －24－5，已知弧上三点A ，B ，C.(1)用尺规作图法，找出BAC ︵所在圆的圆心O(保留作图痕迹，不写作法)； (2)设△ABC 为等腰三角形，底边BC ＝16 cm ，腰AB ＝10 cm ，求圆片的半径R. 链接听课例1归纳总结图K －24－512.2017·安徽如图K－24－6，在四边形ABCD中，AD＝BC，∠B＝∠D，AD不平行于BC，过点C作CE∥AD交△ABC的外接圆⊙O于点E，连接AE.(1)求证：四边形AECD为平行四边形；(2)连接CO，求证：CO平分∠BCE.图K－24－613．如图K－24－7，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为(6，8)，点B的坐标为(12，0)．(1)求证：AO＝AB；(2)用直尺和圆规作出△AOB的外心P；(3)求点P的坐标．图K－24－714．如图K－24－8，D是△ABC 的边BC 的中点，过AD延长线上的点E作AD的垂线EF，E为垂足，EF与AB的延长线相交于点F，点O在AD 上，AO＝CO，BC∥EF.(1)求证：AB＝AC；(2)求证：点O是△ABC外接圆的圆心；(3)当AB＝5，BC＝6时，连接BE，若∠ABE＝90°，求AE的长．图K－24－8探究题我们知道：过任意一个三角形的三个顶点都能作一个圆，那么我们来探究过四边形四个顶点作圆的条件．(1)分别测量图K－24－9①②③中四边形的内角．如果过某个四边形的四个顶点能作一个圆，那么其相对的两个角之间有什么关系？图K－24－9(2)如果过某个四边形的四个顶点不能作一个圆，那么其相对的两个角之间有上面的关系吗？试结合图K－24－9④⑤说明其中的道理(提示：考虑∠B＋∠D与180°之间的关系)；(3)由上面的探究，试归纳出判定过四边形的四个顶点能作一个圆的条件．详解详析【课时作业】 [课堂达标] 1．[答案] B 2．[答案] A3．[解析] C ∵△ABC 的外心就是三角形三边垂直平分线的交点，∴作图如图， ∴EF 与MN 的交点O′就是所求的△ABC 的外心，∴△ABC 的外心坐标是(－2，－1)．故选C .4．[解析] B 只有△ACF 的三个顶点不都在圆上，故外心不是点O 的是△ACF.5．[解析] C ∵OD ⊥AC ，∴AE ＝CE ＝6.∵AB 是△ABC 的外接圆⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∴AB ＝BC 2＋AC 2＝52＋122＝13.∵OA ＝OB ，AE ＝CE ，∴OE 为△ABC 的中位线，∴OE ＝12BC ＝2.5，∴DE ＝OD －OE ＝12×13－2.5＝4.故选C . 6．[解析] C ①当点O 在三角形的内部时，如图①所示，则∠BAC ＝12∠BOC ＝35°；②当点O 在三角形的外部时，如图②所示，则∠BAC ＝12(360°－70°)＝145°.故选C .7．[答案] 25π[解析] 因为62＋82＝102，所以△ABC 为直角三角形，且斜边长为10 cm ，则其外接圆的半径为5 cm ，所以外接圆的面积为25π cm 2.8．[答案] 2[解析] 如图，过点O 作OE ⊥BC 于点E.∵∠BAC ＋∠BOC ＝180°，∠BOC ＝2∠BAC ， ∴∠BOC ＝120°，∠BAC ＝60°.∵OE ⊥BC ，∴BE ＝EC ＝3，∠BOE ＝∠COE ＝60°，∴∠OBE ＝30°，∴OB ＝2OE.设OE ＝x cm ，则OB ＝2x cm ，∴4x 2＝x 2＋(3)2，∴x ＝1(负值已舍去)，∴OB ＝2 cm . 9．[答案] 10或8[解析] 分类讨论：①当16和12是两直角边长时，可得此直角三角形的斜边长为20，其外接圆的半径为10；②当16和12分别是斜边长和直角边长时，可由直角三角形的外接圆半径为直角三角形斜边长的一半，知其外接圆的半径为8.10．[答案] 258[解析] 原式整理，得b 2－10b ＋25＋a －1－4 a －1＋4＋|c －6|＝0，即(b －5)2＋(a －1)2－4 a －1＋4＋|c －6|＝0，(b －5)2＋(a －1－2)2＋|c －6|＝0.∵(b －5)2≥0，(a －1－2)2≥0，|c －6|≥0，∴b ＝5，a ＝5，c ＝6，∴△ABC 为等腰三角形．如图所示，过点C 作CD ⊥AB ，设O 为外接圆的圆心，则OA ＝OC ＝R ，∵AC ＝BC ＝5，AB ＝6，∴AD ＝BD ＝3，∴CD ＝AC 2－AD 2＝4，∴OD ＝CD －OC ＝4－R.在Rt △AOD 中，R 2＝32＋(4－R)2，解得R ＝258. 11．[解析] (1)作AB ，AC 的中垂线即得圆心O ；(2)已知BC 和AB 的长度，所以可以构造直角三角形，利用勾股定理可求得半径R.解： (1)如图，作AB ，AC 的垂直平分线，垂直平分线的交点就是圆心，标出圆心O. (2)连接AO 交BC 于点E ，连接BO.∵AB ＝AC ，∴AB ︵＝AC ︵， ∴AE ⊥BC ， ∴BE ＝12BC ＝8 cm .在Rt △ABE 中，AE ＝AB 2－BE 2＝100－64＝6(cm )．在Rt △OBE 中，R 2＝82＋(R －6)2，解得R ＝253 cm ，即圆片的半径R 为253 cm .12．证明：(1)由圆周角定理，得∠B ＝∠E.又∠B ＝∠D ，∴∠E ＝∠D.∵CE ∥AD ，∴∠D ＋∠ECD ＝180°， ∴∠E ＋∠ECD ＝180°，∴AE ∥CD ，∴四边形AECD 为平行四边形．(2)如图，过点O 作OM ⊥BC 于点M ，ON ⊥CE 于点N ， ∵四边形AECD 为平行四边形，∴AD ＝CE. 又AD ＝BC ，∴CE ＝BC ， ∴OM ＝ON.又OM ⊥BC ，ON ⊥CE ，∴CO 平分∠BCE.13．解：(1)证明：过点A 作AC ⊥x 轴于点C. ∵A(6，8)，∴OC ＝6，AC ＝8.∵B(12，0)，∴OB ＝12，∴BC ＝6＝OC ， ∴AC 是OB 的垂直平分线，∴AO ＝AB.(2)如图，作OA 的垂直平分线交AC 于点P ，点P 就是所求的外心． (3)连接PO.∵点P 是△AOB 的外心，∴PA ＝PO ＝r.∵AC ＝8，∴PC ＝8－r.在Rt △POC 中，PO 2＝OC 2＋PC 2， ∴r 2＝62＋(8－r)2，解得r ＝254，∴PC ＝74，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，74.14．解：(1)证明：∵AE ⊥EF ，EF ∥BC ，∴AD ⊥BC. 又∵D 是BC 的中点，∴AD 是BC 的垂直平分线，∴AB ＝AC.(2)证明：连接BO ，由(1)知AD 是BC 的垂直平分线，∴BO ＝CO. 又∵AO ＝CO ，∴AO ＝BO ＝CO ， ∴点O 是△ABC 外接圆的圆心．(3)解法1：∵∠ABE ＝∠ADB ＝90°， ∴∠ABD ＋∠BAD ＝∠AEB ＋∠BAE ＝90°， ∴∠ABD ＝∠AEB. 又∵∠BAD ＝∠EAB ， ∴△ABD ∽△AEB ，∴AB AE ＝ADAB.在Rt △ABD 中，∵AB ＝5，BD ＝12BC ＝3，∴AD ＝4，∴AE ＝254.解法2：由(2)得AO ＝BO ，∴∠ABO ＝∠BAO. ∵∠ABE ＝90°，∴∠ABO ＋∠OBE ＝∠BAO ＋∠OEB ＝90°， ∴∠OBE ＝∠OEB ，∴OB ＝OE.在Rt △ABD 中，∵AB ＝5，BD ＝12BC ＝3，∴AD ＝4.设 OB ＝x, 则 OD ＝4－x ，由32＋(4－x)2＝x 2，解得x ＝258，∴AE ＝2OB ＝254.[素养提升]解：(1)对角互补(对角之和等于180°)． (2)没有．题图④中，∠B ＋∠D ＜180°；题图⑤中，∠B ＋∠D ＞180°.(3)过四边形的四个顶点能作一个圆的条件是：四边形的对角互补(对角之和等于180°)．。

2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3-5确定圆的条件》同步练习题(附答案)

2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3-5确定圆的条件》同步练习题（附答案）1．在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2+AC2＝2AO2+2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE＝6，EF＝4，点M在以半径为2的⊙D上运动，则MF2+MG2的最大值为（）A．104B．116C．120D．1002．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠AOB＝60°，AB＝AC＝2，则弦BC的长为（）A．4B．C．2D．3．如图，在矩形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，连接EF，G是EF的中点，连接DG．在△BEF中，BE＝2，∠BFE＝30°，若将△BEF绕点B逆时针旋转，则在旋转的过程中，线段DG长的最大值是（）A．B．C．10D．124．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的度数是（）A．40°B．80°C．50°D．45°5．下列各说法中：①圆的每一条直径都是它的对称轴；②长度相等的两条弧是等弧；③相等的弦对的弧也相等；④平分弦的直径垂直于弦；⑤90°的圆周角所对的弦是直径；⑥任何一个三角形都有唯一的外接圆；其中正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个6．如图，△ABC为等边三角形，AB＝3．若P为△ABC内一动点，且满足∠P AB＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为（）A．1.5B．C．D．27．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为（0，3），点B为（2，1），点C为（2，﹣3）．则△ABC的外心坐标应是（）A．（0，0）B．（1，0）C．（2，﹣1）D．（﹣2，﹣1）8．已知点P在圆外，它到圆的最近距离是1cm，到圆的最远距离是7cm，则圆的半径为（）cm．A．3B．4C．5D．69．下列说法正确的是（）A．在同一平面内，三点确定一个圆B．等弧所对的圆心角相等C．旋转会改变图形的形状和大小D．平分弦的直径垂直于弦10．如图，点P（3，4），⊙P半径为2，A（2.5，0），B（5，0），点M是⊙P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最大值是（）A．B．C．D．11．已知⊙O的直径为12，A，B，C为射线OP上的三个点，OA＝7，OB＝6，OC＝5，则（）A．点A在⊙O内B．点B在⊙O上C．点C在⊙O外D．点C在⊙O上12．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（2，0），（0，4），过A、O、B三点作圆，点C在第一象限部分的圆上运动，连结CO，过点O作CO的垂线交CB的延长线于点D，下列说法：①∠AOC＝∠BOD；②tan∠ODB＝；③CD的最大值为10．其中正确的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③13．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝BC＝4，把弧AB沿弦AB向下折叠交BC于点D，若点D为BC中点，则AC长为（）A．1B．2C．2D．14．如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，∠ABO＝40°，则∠ACB的大小为（）A．40°B．30°C．45°D．50°15．下列说法：①等弧所对的圆心角相等；②经过三点可以作一个圆；③平分弦的直径垂直于这条弦；④圆的内接平行四边形是矩形．其中正确的有（）A．①②B．②③C．③④D．①④16．如图，M（0，﹣3）、N（0，﹣9），半径为5的⊙A经过M、N，则A点坐标为（）A．（﹣5，﹣6）B．（4，﹣6）C．（﹣6，﹣4）D．（﹣4，﹣6）17．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝62°，E是BC的中点，连接OE并延长交⊙O 于点D，连接BD，则∠D的度数为（）A．58°B．59°C．60°D．61°18．下列语句中，正确的有（）①相等的圆心角所对的弧相等；②等弦对等弧；③长度相等的两条弧是等弧；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴；⑤三角形的外心到三角形的三边距离相等．A．1个B．2个C．3个D．4个19．下列说法正确的是（）A．平分弦的直径垂直于弦B．三个点确定一个圆C．相等的圆心角所对的弧相等D．圆内接四边形的对角互补20．如图，抛物线y＝﹣x2+1与x轴交于A，B两点，D是以点C（0，﹣3）为圆心，2为半径的圆上的动点，E是线段BD的中点，连接OE，则线段OE的最大值是（）A．2B．C．3D．21．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝＝45°，AD⊥BC于点D，延长AD交⊙O于点E，若BD＝4，CD＝1，则AD的长是．22．如图，⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，若∠A＝60°，∠C＝45°，则AC＝．23．如图，在平面直角坐标系中，点A（3，4），B（3，0），以A为圆心，2为半径作⊙A，点P为⊙A上一动点，M为OP的中点，则BM的最大值为．24．如图，△ABD内接于⊙O，∠ADB＝90°，∠ADB的角平分线DC交⊙O于C．若BD ＝8，BC＝，则AD的长为．25．已知△ABC是⊙O的内接三角形，∠ACB的平分线交⊙O于点D．（Ⅰ）如图1，若AB是⊙O的直径，AB＝6，求AD的长；（Ⅱ）如图2，若∠BAC的平分线交CD于点E，求证：DE＝DA．26．如图，在平面直角坐标系中．A、B两点的坐标分别为（4，0），（0，4）．P点是△AOB外接圆上的一点，且P点在x轴上方，∠AOP＝45°，求点P的坐标．27．已知如图，△ABC内接于⊙O，AE为直径，AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点F．（1）求证：∠DAC＝∠BAE；（2）当点C是的中点时，求证：FC＝AD．参考答案1．解：取GF的中点O，连接OM，OD，DM．∵四边形DEFG是矩形，∴∠DGO＝90°，DG＝EF＝4，FG＝DE＝6，∵MG2+MF2＝2GO2+2OM2，∵OG＝OF＝3，∴OM的值最大时，MG2+MF2的值最大，∵DM＝2，OD＝＝＝5，∴OM≤OD+DM＝5+2＝7，∴OM的最大值为7，∴MG2+MF2的最大值＝2×32+2×72＝116，故选：B．2．解：如图，设AO与BC交于点D，∵∠AOB＝60°，∴∠C＝∠AOB＝30°，∵AB＝AC，∴＝，∴AD⊥BC，∴BD＝CD，在Rt△ACD中，CD＝AC•cos30°＝2×＝，∴BC＝2CD＝2，故选：D．3．解：连接BG，在△BEF中，BE＝2，∠BFE＝30°，∴EF＝2BE＝4，BF＝BE＝2，∵G是EF的中点，∴BG＝EF＝2，∴G在⊙B上，且半径为2，∴当G在DB的延长线上时，DG最大，∵BE＝2，BF＝2，点E是AB的中点，点F是BC的中点，∴AB＝4，BC＝4，∴BD＝＝8，∴DG的最大值为8+2＝10，故选：C．4．解：在△OCB中，OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB；∵∠OCB＝40°，∠COB＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB，∴∠COB＝100°；又∵∠A＝∠COB，∴∠A＝50°，故选：C．5．解：①对称轴是直线，而直径是线段，圆的每一条直径所在直线都是它的对称轴，所以此项错误；②在同一圆中，长度相等的两条弧是等弧，不在同一圆中不一定是等弧，所以此项错误；③在同一圆中，相等的弦所对的弧也相等，不在同一圆中，相等的弦所对的弧不一定相等，所以此项错误；④平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故此项错误；⑤根据圆周角定理推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径，故此项正确；⑥根据三角形外接圆的定义可知，任何一个三角形都有唯一的外接圆，故此项正确．故选：A．6．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝3，∵∠P AB＝∠ACP，∴∠P AC+∠ACP＝60°，∴∠APC＝120°，∴点P的运动轨迹是，设所在圆的圆心为O，当O、P、B共线时，PB长度最小，设OB交AC于D，如图所示：此时P A＝PC，OB⊥AC，则AD＝CD＝AC＝，∠P AC＝∠ACP＝30°，∠ABD＝∠ABC＝30°，∴PD＝，BD＝，∴PB＝BD﹣PD＝﹣＝．故选：B．7．解：如图，根据网格点O′即为所求．∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，∴EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心，∴△ABC的外心坐标是（﹣2，﹣1）．故选：D．8．解：P为圆外一点，且P点到圆上点的最近距离为1cm，到圆上点的最远距离为7cm，则圆的直径是7﹣1＝6（cm），因而半径是3cm．故选：A．9．解：A．在同一平面内，不在同一条直线上的三点才确定一个圆（在同一直线上的三点不能确定一个圆），故本选项不符合题意；B．等弧所对的圆心角相等，故本选项符合题意；C．旋转后的图形与原图形全等，即旋转不会改变图形的形状和大小，故本选项不符合题意；D．平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦，故本选项不符合题意；故选：B．10．解：如图，作射线OP，交⊙P于M1、M2，连接OM，由勾股定理得：OP＝＝5，∵OA＝AB，CM＝CB，∴AC＝OM，∴当OM最大时，AC最大，∴当M运动到M2时，OM最大，此时AC的最大值＝OM2＝（OP+PM2）＝×（5+2）＝，故选：C．11．解：∵⊙O的直径为12，∴⊙O的半径为6，∵OA＝7＞6，∴点A在⊙O外；∵OB＝6，∴点B在⊙O上；∵OC＝5＜6，∴点C在⊙O内；故选：B．12．解：∵OC⊥OD，BO⊥AO，∴∠DOC＝∠BOA＝90°．∴∠DOB+∠BOC＝∠BOC+∠COA＝90°，∴AOC＝∠BOD．∴①正确；连接AB，如图，∵点A，B的坐标分别为（2，0），（0，4），∴OA＝2，OB＝4．∵OC⊥OD，BO⊥AO，∴∠C+∠D＝90°，∠OAB+∠OBA＝90°．∵∠C＝∠OAB，∴∠D＝∠OBA．∴tan∠ODB＝tan∠OBA＝＝．∴②正确；∵tan∠ODB＝，∴OD＝2OC．∴CD＝＝OC．∵OC是圆的弦，直径是圆中最长的弦，∴当OC为圆的直径时，CD取得最大值．∵圆的直径AB＝＝2，∴CD的最大值为2×＝10．∴③正确．综上，正确的结论有：①②③，故选：D．13．解：如图，连接AD，∵AB＝BC＝4，∴∠ACB＝∠BAC，∵点D为BC中点，∴BD＝CD＝2，∵弧AB沿弦AB向下折叠交BC于点D，∴＝，∴∠ACB＝∠ABD+∠BAD，∵∠BAC＝∠BAD+∠CAD，∴∠ABD＝∠CAD，又∵∠ACB＝∠ACD，∴△ACD∽△BCA，∴，∴，∴AC＝，故选：C．14．解：△AOB中，OA＝OB，∠ABO＝40°；∴∠AOB＝180°﹣2∠ABO＝100°；∴∠ACB＝∠AOB＝×100°＝50°．故选：D．15．解：①等弧所对的圆心角相等，正确，符合题意；②经过不在同一直线上的三点可以作一个圆，故原命题错误，不符合题意；③平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，故原命题错误，不符合题意；④圆的内接平行四边形是矩形，正确，符合题意，故选：D．16．解：过A作AB⊥NM于B，连接AM，∵AB过A，∴MB＝NB，∵半径为5的⊙A与y轴相交于M（0，﹣3）、N（0，﹣9），∴MN＝9﹣3＝6，AM＝5，∴BM＝BN＝3，OB＝3+3＝6，由勾股定理得：AB＝＝4，∴点A的坐标为（﹣4，﹣6），故选：D．17．解：连接CD，∵四边形ABDC是圆内接四边形，∠A＝62°，∴∠CDB+∠A＝180°，∴∠BDC＝180°﹣∠A＝118°，∵E是边BC的中点，∴OD⊥BC，∴BD＝CD，∴∠ODB＝∠ODC＝∠BDC＝59°，故选：B．18．解：①相等的圆心角所对的弧相等，错误，条件是同圆或等圆中．②等弦对等弧，错误，弦所对的弧有两条，不一定相等．③长度相等的两条弧是等弧，错误，等弧是完全重合的两条弧．④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．正确．⑤三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．错误．故选：A．19．解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故错误，不符合题意；B、不在同一直线上的三个点可以确定一个圆，故错误，不符合题意；C、在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等，故错误，不符合题意；D、圆内接四边形的对角互补，正确，符合题意；故选：D．20．解：连接BP，如图，当y＝0时，﹣x2+1＝0，解得x1＝4，x2＝﹣4，则A（﹣4，0），B（4，0），∵E是线段BD的中点，∴OE为△ABD的中位线，∴OE＝AD，当AD最大时，OE最大，而AD过圆心C时，AD最大，如图，点D运动到D′位置时，AD最大，∵AC＝＝5，∴AD′＝AC+CD′＝5+2＝7，∴线段OE的最大值是．故选：D．21．解：如图，连接OA，过O点作OF⊥BC于F，作OG⊥AE于G，∵⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°，∴∠BOC＝90°，∵BD＝4，CD＝1，∴BC＝4+1＝5，∴OB＝OC＝，∴OA＝，OF＝BF＝，∴DF＝BD﹣BF＝，∴OG＝，GD＝，在Rt△AGO中，AG＝＝，∴AD＝AG+GD＝．故答案为：．22．解：连接BO并延长交⊙O于D，连接AD，CD，过D作DH⊥AC于H，则线段BD为⊙O的直径，∴∠BAD＝∠BCD＝90°，∵∠BAC＝60°，∠ACB＝45°，∴∠ADB＝∠ACB＝45°，∠BDC＝∠BAC＝60°，∴∠CBD＝∠CAD＝30°，∠ACD＝∠ABD＝45°，∵⊙O的半径为2，∴BD＝4，∴AD＝BD＝BD＝2，CD＝BD＝2，∵DH⊥AC，∴∠AHD＝∠CHD＝90°，∴DH＝AD＝，CH＝DH＝，∴AH＝＝，∴AC＝AH+CH＝，故答案为：．23．解：在x轴上取一点E（6，0），连接PE．∵B（3，0），A（3，4），∴OB＝BE＝3，AE＝＝5，∵OM＝PM，OB＝BE，∴BM＝PE，∵点P在⊙A上运动，∴P在EA的延长线上时，可以取得最大值，最大值＝EP＝5+2＝7，∴BM的最大值为3.5故答案为3.5．24．解：连接AC，∵∠ADB＝90°，∴AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CD平分∠ADB，∴∠ADC＝∠BDC，∴＝，∴AC＝BC＝5，∴AB＝AC＝10，∵BD＝8，∴AD＝＝6，故答案为：6．25．（Ⅰ）解：连接OD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CD平分∠ACB，∴，∴∠AOD＝90°，即△AOD为等腰直角三角形，∵AB＝6，∴OA＝OD＝3．∴；（Ⅱ）证明：∵AE平分∠BAC，∴∠CAE＝∠EAB，∵∠BCD＝∠BAD，∠ACD＝∠BCD，∴∠ACD＝∠BAD，∴∠ACD+∠CAE＝∠BAD+∠EAB，即∠EAD＝∠AED，∴DE＝DA．26．解：如图，过点P作PE⊥x轴于点E，根据题意可知：∠AOB＝90°，∴AB是△AOB外接圆的直径，设圆心为C，过点C作CF⊥PE于点F，连接PC，∵A、B两点的坐标分别为（4，0），（0，4）．∴OA＝4，OB＝4，∠AOB＝90°，∴tan∠BAO＝＝＝，∴∠BAO＝30°∴AB＝2OB＝8，∴PC＝4，设P（a，a），则PF＝PE﹣EF＝a﹣2，CF＝a﹣2，在Rt△PCF中，根据勾股定理，得PC2＝PF2+CF2，∴42＝（a﹣2）2+（a﹣2）2，解得a1＝2+2，a2＝0（舍去），∴点P的坐标为（2+2，2+2）．27．证明：（1）连接BE，∵AE为⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，∴∠AEB+∠BAE＝90°，∵AD⊥BC，∴∠ACB+∠DAC＝90°，由圆周角定理得：∠AEB＝∠ACB，∴∠DAC＝∠BAE；（2）连接CE，∵点C是的中点，∴＝，∴AC＝CE，∵∠DAC＝∠BAE，∠FCE＝∠BAE，∴∠DAC＝∠FCE，在△CFE和△ADC中，，∴△CFE≌△ADC（AAS），∴FC＝AD．。

2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3-5确定圆的条件》同步达标测评(附答案)

2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3.5确定圆的条件》同步达标测评（附答案）一．选择题（共10小题，满分50分）1．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若∠ABC＝60°，则∠AOC的大小是（）A．30°B．120°C．135°D．150°2．下列关于三角形外心的说法中，正确的是（）A．三角形的外心是三角形各角平分线的交点B．三角形的外心是三角形三边中线的交点C．三角形的外心是三角形三边高线的交点D．三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点3．⊙O的半径为4cm，点P到圆心O的距离为5cm，点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．无法确定4．如图，等边△ABC的三个顶点都在⊙O上，AD是⊙O的直径．若OA＝3，则劣弧BD 的长是（）A．B．πC．D．2π5．如图，△ADC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，若∠A＝66°，则∠BCD等于（）A．14°B．24°C．34°D．66°6．平面内有两点P、O，⊙O的半径为1，若PO＝，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O外B．点P在⊙O上C．点P在⊙O内D．无法判断7．经过不在同一直线上的三个点可以作圆的个数是（）A．1B．2C．3D．无数8．已知⊙O的面积为25π，若点P在圆上，则PO＝（）A．25B．5C．7D．39．若点A在⊙O内，点B在⊙O外，OA＝3，OB＝5，则⊙O的半径r的取值范围是（）A．0＜r＜3B．2＜r＜8C．3＜r＜5D．r＞510．已知⊙O的半径OA长为1，OB＝，则正确图形可能是（）A．B．C．D．二．填空题（共6小题，满分30分）11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则其外接圆的直径为．12．已知⊙O的半径为6cm，当线段OA＝8cm时，点A和⊙O的位置关系是．13．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，点D是半径为4的⊙A上一动点，点M是CD的中点，则BM的最大值是．14．如图，△ABC内接于圆O，∠A＝50°，则∠D等于．15．在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，则这个三角形的外接圆的半径是．16．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD 于点O．若OA＝3，则△ABC外接圆的面积为．三．解答题（共4小题，满分40分）17．如图，矩形ABCD中AB＝3，AD＝4．作DE⊥AC于点E，作AF⊥BD于点F．（1）求AF、AE的长；（2）若以点A为圆心作圆，B、C、D、E、F五点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围．18．如图，图①，图②均为由菱形ABCD与圆组合成的轴对称图形．请你只用无刻度的直尺，分别在图①（已知A，C两点在⊙O内，B，D两点在⊙O上），图②（已知A，C，D三点在⊙O外，点B在⊙O上，且∠A＝90°）中找出圆心O的准确位置．19．如图，△ABD内接于⊙O，点E是BD上一点，连接AE并延长交⊙O于点F，连接BF，DF；过点B作AD的平行线BC交AF于点C，连接DC并延长交⊙O于点G．（1）若AE＝EC，求证：四边形ABCD为平行四边形；（2）若AE＝1，EC＝2，BE＝3，＝，求GD的长．20．如图，在直角坐标系中，已知点A（0，4），B（﹣4，0），C（2，0），过A，B，C作外接圆，D为圆上一动点，求DO+DA的最小值．参考答案一．选择题（共10小题，满分50分）1．解：∵∠AOC和∠ABC是同弧所对的圆心角和圆周角，∴∠AOC＝2∠ABC＝120°；故选：B．2．解：∵三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，∴A、B、C选项错误，D选项正确，故选：D．3．解：∵OP＝5＞4，∴点P与⊙O的位置关系是点在圆外．故选：C．4．解：连接OB、BD，如图：∵△ABC为等边三角形，∴∠C＝60°，∴∠D＝∠C＝60°，∵OB＝OD，∴△BOD是等边三角形，∴∠BOD＝60°，∵半径OA＝3，∴劣弧BD的长为＝π，故选：B．5．解：∵AB是直径，∴∠CDB＝90°，∵∠A＝∠DBC＝66°，∴∠BCD＝90°﹣66°＝24°．故选：B．6．解：∵OP＝＞1，∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O外．故选：A．7．解：经过不在同一直线上的三点确定一个圆．故选：A．8．解：设⊙O的半径为r，∵⊙O的面积为25π，∴πr2＝25π，解得r＝5，∵点P在圆上，∴PO＝5，故选：B．9．解：∵点A在半径为r的⊙O内，点B在⊙O外，∴OA小于r，OB大于r，∵OA＝3，OB＝5，∴3＜r＜5．故选：C．10．解：∵⊙O的半径OA长为1，若OB＝，∴OA＜OB，∴点B在圆外，故选：B．二．填空题（共6小题，满分30分）11．解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝＝＝5，∵直角三角形的外心为斜边中点，∴Rt△ABC的外接圆的直径为5．故答案为：5．12．解：∵⊙O的半径为6cm，OA＝8cm，∴OA＞⊙O的半径，∴点A在⊙O外．故答案为点A在⊙O外．13．解：如图，取AC的中点N，连接MN，BN．∵∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，∴AC＝10，∵AN＝NC，∴BN＝AC＝5，∵AN＝NC，DM＝MC，∴MN＝＝2，∴BM≤BN+NM，∴BM≤5+2＝7，即BM的最大值是7．故答案为7．14．解：∵∠A与∠D所对的弧都是，∴∠A＝∠D＝50°，故答案为：50°．15．解：根据题意得（1）斜边是BC，即外接圆直径是8，半径为4；（2 ）斜边是AC，即外接圆直径＝＝10，半径为5；故答案为4或5．16．解：连接OB、OC，如图：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD是边BC的垂直平分线，∴OB＝OC,∵EF是AC的垂直平分线，∴OA＝OC，∴OA＝OB＝OC,∴△ABC外接圆的圆心是O，半径是OA,而OA＝3，∴△ABC外接圆的面积为π•32＝9π，故答案为：9π．三．解答题（共4小题，满分40分）17．解：（1）∵矩形ABCD中AB＝3，AD＝4，∴AC＝BD＝＝5，∵AF•BD＝AB•AD，∴AF＝＝，同理可得DE＝，在Rt△ADE中，AE＝＝；（2）∵AF＜AB＜AE＜AD＜AC，∴若以点A为圆心作圆，B、C、D、E、F五点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，即点F在圆内，点D、C在圆外，∴⊙A的半径r的取值范围为2.4＜r＜4．18．解：如图①②，点O即为所求．19．（1）证明：∵BC∥AD，∴∠ADE＝∠CBE，在△ADE和△CBE中，，∴△ADE≌△CBE，∴AD＝BC，又BC∥AD，∴四边形ABCD为平行四边形；（2）解：由圆周角定理得，∠BFE＝∠ADB，∴∠BFE＝∠CBE，又∠CEB＝∠BEF，∴△CEB∽△BEF，∴＝，即＝，解得，EF＝4.5，∴AF＝AE+EF＝5.5，∵＝，∴+＝+，即＝，∴DG＝AF＝5.5．20．解：如图，设△ABC的外接圆的圆心为E连接EO并且延长交AC的延长线于F，连接DF．则E（﹣1，1）．∵A（0，4），B（﹣4，0），C（2，0），E（﹣1，1）∴直线OE的解析式为y＝﹣x，直线AC的解析式为y＝﹣2x+4，由解得，∴F（4，﹣4），∴DE＝，EO＝，EF＝5，∴＝＝，＝＝，∴＝，∵∠E＝∠E，∴△DEO∽△FED，∴＝，∴DF＝DO，∴DO+DA＝DF+DA，由两边之和大于第三边得，DF+DA≥AF，∴当点D和点C重合时，DF+DA最小，即DO+DA最小，∴DO+DA最小值＝AF＝＝4．。

北师大版九年级数学下《3.5确定圆的条件》同步习题含答案

北师大版九年级数学下册第三章圆 3.5 确定圆的条件同步俩习题一、选择题(8分×3＝24分)1．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2．等边三角形外接圆的半径等于边长的____倍．( )A.12B.32C.33D. 33．如图，点P 是等边三角形ABC 外接圆⊙O 上的点，在以下判断中，不正确的是( )A ．当弦PB 最长时，△APC 是等腰三角形B ．当△APC 是等腰三角形时，PO ⊥ACC ．当PO ⊥AC 时，∠ACP ＝30°D ．当∠ACP ＝30°时，△BPC 是直角三角形二、填空题(8分×3＝24分)4．如图，△ABC 的外心坐标是_________．5．直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形外接圆的半径是_______．6．如图，在△ABC 中，BC ＝3cm ，∠BAC ＝60°，那么△ABC 能被半径至少为______cm 的圆形纸片所覆盖．三、解答题(15分＋17分＋20分＝52分)7．如图，要把残破的轮片复制完整，已知弧上的三点A 、B 、C.(1)用尺规作图法找出BAC ︵所在圆的圆心(保留作图痕迹，不写作法)；(2)设△ABC 是等腰三角形，底边BC ＝8cm ，腰AB ＝5cm ，求圆片的半径R.8．如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆⊙O的直径，且AC ＝5，DC＝3，AB＝42，求⊙O的直径AE.9．如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD、CD.(1)求证：BD＝CD；(2)请判断B、E、C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由答案:1. D2. C3. C4. (－2，－1)5. (10或8)6. 37. 解：(1)分别作AB 、AC 的垂直平分线，两线交于点O ，则点O 为BAC ︵所在圆的圆心(2)连接OA ，则OA ⊥BC ，设垂足为D ，在Rt △ABD 中，易求AD ＝3cm.连接OB ，在Rt △OBD 中，设OB ＝R ，易求得R ＝256cm.8. 解：连接BE.∵AE 为⊙O 直径，∴∠ABE ＝90°，∵AD 为△ABC 的高，∴∠ADC ＝90°，∴∠ABE ＝∠ADC ，∵∠E ＝∠C ，∴△ABE ∽△ADC ，∴AB AD ＝AE AC ，∵Rt △ADC 中，AC ＝5，DC ＝3，∴AD ＝4， ∴424＝AE 5，∴AE ＝5 29. 解：(1)∵AD 为直径，AD ⊥BC ，∴BD ︵＝CD ︵，∴BD ＝CD(2)B 、E 、C 三点在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上，理由：由(1)知BD ︵＝CD ︵，∴∠BAD ＝∠CBD.∵∠DBE ＝∠CBD ＋∠CBE ， ∠DEB ＝∠BAD ＋∠ABE ，∠CBE ＝∠ABE ，∴∠DBE ＝∠DEB ， ∴DB ＝DE.由(1)知BD ＝CD ，∴DB ＝DE ＝DC ，∴B 、E 、C 三点在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上。

3.5 确定圆的条件课时练习(含答案解析)

北师大版数学九年级下册第3章第5节确定圆的条件同步检测一、选择题1.下列命题中，正确的是（）A．平面上三个点确定一个圆B．等弧所对的圆周角相等C．平分弦的直径垂直于这条弦D．与某圆一条半径垂直的直线是该圆的切线答案：B解析：解答：A．三个点不共线的点确定一个平面，故A不正确；B．由圆心角、弧、弦的关系及圆周角定理可知：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对圆周角相等，故选项B正确；C．平分弦的直径垂直于弦，被平分的弦不能是直径，故此选项错误；D．与某圆一条半径垂直的直线是该圆的切线，错误，正确的应该是：一条直线垂直于圆的半径的外端，这条直线一定就是圆的切线．故此选项错误；故选：B．分析：根据在一条直线上的三点就不能确定一个圆可以判断A，再利用圆心角定理得出B 正确；由当弦为直径时不垂直也平分，以及利用切线的判定对D进行判定．2.下列说法错误的是（）A．直径是弦B．最长的弦是直径C．垂直弦的直径平分弦D．经过三点可以确定一个圆答案：D解析：解答：A．直径是弦，根据弦的定义是连接圆上两点的线段，∴故此选项正确，但不符合题意，B．最长的弦是直径，根据直径是圆中最长的弦，∴故此选项正确，但不符合题意，C．垂直弦的直径平分弦，利用垂径定理即可得出，故此选项正确，但不符合题意，D．经过三点可以确定一个圆，利用经过不在同一直线上的三点可以作一个圆，故此选项错误，符合题意，故选：D．分析：根据弦的定义，以及经过不在同一直线上的三点可以作一个圆可判断和垂径定理分别得出即可．3.下列命题中的假命题是（）A．三点确定一个圆B．三角形的内心到三角形各边的距离都相等C．同圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等D．同圆中，相等的弧所对的弦相等答案：A解析：解答：A.应为不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项错误；B.三角形的内心到三角形各边的距离都相等，是三角形的内心的性质，故本选项正确；C.同圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，正确；D.同圆中，相等的弧所对的弦相等，正确．故选A．分析：根据确定圆的条件，三角形内心性质，以及圆心角、弧、弦的关系，对各选项分析判断后利用排除法求解．4.如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（1，4）、（5，4）、（1，-2），则△ABC外接圆的圆心坐标是（）A．（2，3）B．（3，2）C．（1，3）D．（3，1）答案：D解析：解答：如图：根据垂径定理的推论，则作弦AB、AC的垂直平分线，交点O1即为圆心，且坐标是（3，1）．故选D．分析：根据垂径定理的推论“弦的垂直平分线必过圆心”，作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心．5.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）A．第①块B．第②块C．第③块D．第④块答案：B解析：解答：第②块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，就交于了圆心，进而可得到半径的长．故选：B．分析：要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第②块可确定半径的大小．6.到三角形各顶点的距离相等的点是三角形（）A．三边的垂直平分线的交点B．三条高的交点C．三条角平分线的交点D．三条中线的交点答案：A解析：解答：因为到三角形各顶点的距离相等的点，需要根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，只有分别作出三角形的两边的垂直平分线，交点才到三个顶点的距离相等．故选：A分析：根据三角形外心的作法，确定到三定点距离相等的点．7.小红的衣服被铁钉划了一个呈直角三角形的洞，其中三角形的两边长分别为1cm和2cm，若用同色圆形布将此洞全部覆盖，那么这块圆布的直径最小应等于（）A．2cm B．3cm C．2cm或3cm D．2cm或cm答案：A解析：解答：由题意，若圆布的直径最小，那么2cm必为直角三角形的斜边长；由于直角三角形的外接圆等于斜边的长，所以圆布的最小直径为2cm，故选A．分析：由于已知的三角形两边没有明确是直角边还是斜边，因此有两种情况：①1cm、2cm同为直角边，②1cm为直角边，2cm为斜边；由于直角三角形的外接圆直径等于斜边的长，若外接圆直径最小，那么直角三角形的斜边最小，显然①是不符合题意，因此直角三角形的斜边为2cm，即圆布的最小直径是2cm．8.下列说法中错误的是（）A．三角形的外心不一定在三角形的外部B．圆的两条非直径的弦不可能互相平分C．两个三角形可能有公共的外心D．任何梯形都没有外接圆答案：D解析：解答：A.根据三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点，则三角形的外心的位置有三种情况．正确；B.根据垂径定理的推论可以运用反证法证明可知，该选项错误；C.因为一个圆有无数个内接三角形，所以两个三角形可能有公共的外心．正确；D.等腰梯形一定有外接圆．错误．故选D ．分析：本题根据三角形的外接圆与外心的位置及其性质特点，逐项进行分析即可求解．9.如图，已知△ABC 的外接圆⊙O 的半径为1，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，则sin ∠BAC 的值等于线段（）A ．BC 的长B ．DE 的长C ．AD 的长 D ．AE 的长答案：B 解析：解答：如图：过B 作⊙O 的直径BF ，交⊙O 于F ，连接FC ，则∠BCF =90°，Rt △BCF 中，sinF =2BC BC BF = ∵D 、E 分别是AB 、AC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，即DE =，∴sinA =sinF =2BC =DE ．故选B ．分析：本题需将∠BAC 构建到直角三角形中求解，过B 作⊙O 的直径，交⊙O 于点F ，由圆周角定理，知∠F =∠A ；在Rt △BCF 中，易求得sinF =2BC BC BF =，而DE 是△ABC 的中位线，即DE =2BC ，由此得解． 10.如图，AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆⊙O 的直径，且AC =5，DC =3，AB =42 ，则⊙O 的直径AE =（）A ．52B ．5C ．42D ．32答案：A 解析：解答：如图：连接BE ，则∠BEA =∠ACB ，且三角形ABE 是直角三角形．在Rt △ACD 中，AC =5，DC =3，则AD =2222534AC DC -=-= sin ∠BEA =sin ∠ACB =45AD AC = 故⊙O 的直径52sin AB AE BEA ==Ð 故选A ．分析：连接BE ．易知∠BEA =∠ACB ，解直角三角形ABE 即可求出AE ．11.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，连接OA 、OC ，⊙O 的半径R =2，sinB =4，则弦AC 的长为（）A ．3B ．C ．D ．答案：A解析：解答：延长AO 交圆于点D ，连接CD ，由圆周角定理，得：∠ACD=90°，∠D=∠B∴sinD=sinB=，Rt△ADC中，sinD=，AD=2R=4，∴AC=AD•sinD=3．故选A．分析：若想利用∠B的正弦值，需构建与它相等的圆周角，延长AO交⊙O于D，在Rt△ADC 中，由圆周角定理，易得∠D=∠B，即可根据∠D的正弦值和直径AD的长，求出AC的长．12.三角形的外心是三角形中（）A．三边垂直平分线的交点B．三条中线的交点C．三条角平分线的交D．三条高的交点答案：A解析：解答：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点．故选：A．分析：根据三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，解答即可．13、有下列四个命题，其中正确的有（）①圆的对称轴是直径；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．A．4个B．3个C．2个D．1个答案：C解析：解答：①圆的对称轴是直径所在的直线；故此选项错误；②当三点共线的时候，不能作圆，故此选项错误；③三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，故此选项正确；④在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，所以半径相等的两个半圆是等弧，故此选项正确．故选：C．分析：根据圆中的有关概念、定理进行分析判断．14、若一个三角形的外心在它的一条边上，那么这个三角形一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．钝角三角形答案：B解析：解答：锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心是其斜边的中点，钝角三角形的外心在其三角形的外部；由此可知若三角形的外心在它的一条边上，那么这个三角形是直角三角形．故选：B．分析：根据直径所对的圆周角是直角得该三角形是直角三角形．15.如图，△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的三边分别记为a，b，c，O是△ABC的外心，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，则OD：OE：OF=（）A．a：b：c B．111::a b cC．cosA：cosB：cosC D．sinA：sinB：sinC答案：C解析：解答：设三角形的外接圆的半径是R．连接OB，OC．∵O是△ABC的外心，且OD⊥BC．∴∠BOD=∠COD=∠A在直角△OBD中，OD=OB•cos∠BOD=R•cosA．同理，OE=R•cosB，OF=R•cosC．∴OD：OE：OF=cosA：cosB：cosC．故选C．分析：设三角形的外接圆的半径是R，根据垂径定理，在直角△OBD中，利用三角函数即可用外接圆的半径表示出OD的长，同理可以表示出OE，OF的长，即可求解．二、填空题16.当点A（1，2），B（3，-3），C（m，n）三点可以确定一个圆时，m，n需要满足的条件.答案：5m+2n≠9．解析：解答：设直线AB的解析式为y=kx+b，∵A（1，2），B（3，-3），∴解得：k=-2.5 ，b=4.5 ，∴直线AB的解析式为y=-2.5 x+4.5 ，∵点A（1，2），B（3，-3），C（m，n）三点可以确定一个圆时，∴点C不在直线AB上，∴5m+2n≠9，故答案为：5m+2n≠9．分析：能确定一个圆就是不在同一直线上，首先确定直线AB的解析式，然后点C不满足求得的直线即可．17.平面直角坐标系内的三个点A（1，0）、B（0，-3）、C（2，-3）确定一个圆（填“能”或“不能”）．答案：能解析：解答：∵B（0，-3）、C（2，-3），∴BC∥x轴，而点A（1，0）在x轴上，∴点A、B、C不共线，∴三个点A（1，0）、B（0，-3）、C（2，-3）能确定一个圆．故答案为：能．分析：根据三个点的坐标特征得到它们不共线，于是根据确定圆的条件可判断它们能确定一个圆．18.如图△ABC中外接圆的圆心坐标是.答案：（6，2）．解析：解答：如图：分别做三角形的三边的垂直平分线，可知相交于点（6，2），即△ABC中外接圆的圆心坐标是（6，2）．故答案为：（6，2）．分析：本题可借助网格在网格中根据三角形三边的位置作出它们的垂直平分线，垂直平分线相交于一点，该点就是圆心，根据网格中的单位长度即可求解．19.已知△ABC的边BC=4cm，⊙O是其外接圆，且半径也为4cm，则∠A的度数是. 答案：30°或150°．解析：解答：如图：连接BO，CO，∵△ABC的边BC=4cm，⊙O是其外接圆，且半径也为4cm，∴△OBC是等边三角形，∴∠BOC=60°，∴∠A=30°．若点A在劣弧BC上时，∠A=150°．∴∠A=30°或150°．故答案为：30°或150°．分析：利用等边三角形的判定与性质得出∠BOC=60°，再利用圆周角定理得出答案．20.我们把两个三角形的外心之间的距离叫做外心距．如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，∠ACB=∠ACD=90°，点D在边BC的延长线上，如果BC=DC=3，那么△ABC和△ACD的外心距是.答案：3解析：解答：∵∠ACB=∠ACD=90°，∴Rt△ABC和Rt△ACD分别是AB，AD的中点，∴两三角形的外心距为△ABD的中位线，即为12BD=3．故答案为：3．分析：利用直角三角形的性质得出两三角形的外心距为△ABD的中位线，即可得出答案．三、证明题21.如图所示，BD，CE是△ABC的高，求证：E，B，C，D四点在同一个圆上．答案：见解析解析：解答：如图所示，取BC的中点F，连接DF，EF．∵BD，CE是△ABC的高，∴△BCD和△BCE都是直角三角形．∴DF，EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线，∴DF=EF=BF=CF．∴E，B，C，D四点在以F点为圆心，12BC为半径的圆上．分析：求证E，B，C，D四点在同一个圆上，△BCD是直角三角形，则三个顶点在斜边中点为圆心的圆上，因而只要再证明F到BC的中点的距离等于BC的一半就可以．22.如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD．（1）求证：BD=CD；（2）请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．答案：略解析：解答：（1）证明：∵AD为直径，AD⊥BC，∴»»BD CD=∴BD=CD．（2）B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．理由：由（1）知：BD＝CD，∴∠BAD=∠CBD，又∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠ABE，∵∠DBE=∠CBD+∠CBE，∠DEB=∠BAD+∠ABE，∠CBE=∠ABE，∴∠DBE=∠DEB，∴DB=DE．由（1）知：BD=CD∴DB=DE=DC．∴B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．分析：（1）利用等弧对等弦即可证明．（2）利用等弧所对的圆周角相等，∠BAD=∠CBD再等量代换得出∠DBE=∠DEB，从而证明DB=DE=DC，所以B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．23.如图，在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，AE⊥AB交BC于点D，交⊙O于点E，F在DA的延长线上，且AF=AD．若AF=3，tan∠ABD=34，求⊙O的直径．答案：20 3解析：解答：如图，连接BE．∵AF=AD，AB⊥EF，∴BF=BD．是直径∵AB=AC，∴∠FBA=∠ABC=∠C=∠E．∵tan∠ABD=3 4，∴tanE=tan∠FBA=3 4．在Rt△ABF中，∠BAF=90°．∵tan∠FBA=AFAB=34，AF=3，∴AB=4．∵∠BAE=90°，∴BE是⊙O的直径．∵tanE=tan∠FBA=34，AB=4，∴设AB=3x，AE=4x，∴BE=5x，∵3x=4，∴BE=5x=203，即⊙O的直径是203．分析：如图，连接BE．利用等腰三角形“三线合一”的性质得到BF=BD；然后根据圆周角定理推知∠FBA=∠ABC=∠C=∠E，BE是⊙O的直径．利用锐角三角函数的定义可以来求BE的长度．24.已知在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，求△ABC外接圆的半径．答案：25 3解析：解答：过A作AD⊥BC于D，连接BO，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，则AD必过圆心O，Rt△ABD中，AB=10，BD=8∴AD=6，设⊙O的半径为x，Rt△OBD中，OB=x，OD=6-x根据勾股定理，得：，即：，解得：x=253，则△ABC外接圆的半径为：253．分析：已知△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质，若过A作底边BC的垂线，则AD必过圆心O，在Rt△OBD中，用半径表示出OD的长，即可用勾股定理求得半径的长．25.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，过A，C，D三点的圆与斜边AB 交于点E，连接DE．（1）求证：AC=AE；（2）若AC=6，CB=8，求△ACD外接圆的直径．答案：(1)略；(2)35解析：解答：（1）证明：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴AD为圆的直径，∴∠AED =90°，∵AD 是△BAC 的∠CAB 的角平分线，∴∠CAD =∠EAD ，Rt △ACD 与Rt △ADE 中，∠CAD =∠BAD ， ∠ACB =∠AED ，AD =AD ，∴Rt △ACD ≌Rt △ADE （AAS ），∴AC =AE ．（2）∵在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6，CB =8，∴10AB = ∵由（1）知，AC =AE ，CD =DE ，∠ACD =∠AED =90°，∴设CD =x ，则BD =8-x ，BE =AB -AE =10-6=4，在Rt △BDE 中，222BE DE BD +=，即2224(8)x x +=-解得x =3．在Rt △ACD 中222AC CD AD +=即22263AD +=解得AD =分析：（1）由Rt △ABC 中，∠ACB =90°，可得AD 是直径，可得△ADE 为直角三角形，在两个直角三角形中，利用AAS 可得两三角形全等，得到答案；（2）先根据勾股定理求出AB 的长，由（1）知，AC =AE ，CD =DE ，设CD =x ，则BD =8-x ，在Rt △BDE 中，根据勾股定理求出x 的值，同理，在Rt ∠ACD 中求出AD 的长，进而可得出结论．。

2020-2021学年北师大版九年级数学下册第三章 3.5确定圆的条件同步练习题(含答案)

2020-2021学年北师大版九年级数学下册第三章 3.5确定圆的条件同步练习题A组(基础题)1．如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是( )A．点P B．点Q C．点R D．点M2．在同一平面上有A，B，C三点，若经过A，B，C这三点画圆，则可画( )A．0个 B．1个C．0个或1个D．无数个3．如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE相交于点F，则下列三角形中，外心不是点O的是( )A．△ABE B．△ACF C．△ABD D．△ADE4．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是( )A．第①块 B．第②块C．第③块D．第④块5．有一题目：“已知：点O为△ABC的外心，∠BOC＝130°，求∠A的度数．”嘉嘉的解答为：画△ABC以及它的外接圆⊙O，连接OB，OC，如图，由∠BOC＝2∠A＝130°，得∠A ＝65°.而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠A还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是( )A．淇淇说的对，且∠A的另一个值是115°B．淇淇说的不对，∠A就得65°C．嘉嘉求的结果不对，∠A应得50°D．两人都不对，∠A应有3个不同值6．若一个直角三角形的两条直角边长分别为7 cm 和24 cm ，则这个三角形的外接圆的直径长为_____cm.7．已知圆的半径是6，则圆内接正三角形的边长是_____．8．已知直线l ：y ＝x －4，点A(1，0)，点B(0，2)，设点P 为直线l 上一动点，则当点P 的坐标为_____时，过P ，A ，B 不能作出一个圆．9．小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A ，B ，C ，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．(1)请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；(2)若在△ABC 中，AB ＝8米，AC ＝6米，∠BAC ＝90°，试求小明家圆形花坛的面积．B 组(中档题)10．如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，BC ＝5 cm.能够将△ABC 完全覆盖的最小圆形纸片的直径是_____11．(2020·成都树德中学二诊)如图，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，CO 的延长线交AB 于点D.若BC ＝6，sin ∠BAC ＝35，则AC ＝_____，CD ＝_____12．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是△ABC 两边的中点，如果DE ︵(可以是劣弧、优弧或半圆)上的所有点都在△ABC 的内部或边上，则称DE ︵为△ABC 的中内弧，例如，图中DE ︵是△ABC 其中的某一条中内弧．若在平面直角坐标系中，已知点F(0，4)，O(0，0)，H(4，0)，在△FOH 中，M ，N 分别是FO ，FH 的中点，则△FOH 的中内弧MN ︵所在圆的圆心P 的纵坐标m 的取值范围是_____13．如图，已知锐角△ABC的外接圆圆心为O，半径为R.(1)求证：ACsinB＝2R；(2)若在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，AC＝3，求BC的长及sinC的值．14．已知：如图1，在△ABC中，BA＝BC，D是平面内不与A，B，C重合的任意一点，∠ABC＝∠DBE，BD＝BE.(1)求证：△ABD≌△CBE；(2)如图2，当点D是△ABC的外接圆圆心时，请判断四边形BECD的形状，并证明你的结论．C组(综合题)15．如图，在正方形ABCD中，AB＝42，E，F分别为BC，AD上的点，过点E，F的直线将正方形ABCD的面积分为相等的两部分，过点A作AG⊥EF于点G，连接DG，则线段DG 的最小值为_____．参考答案2020-2021学年北师大版九年级数学下册第三章 3.5确定圆的条件同步练习题A组(基础题)1．如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是(B)A．点P B．点Q C．点R D．点M2．在同一平面上有A，B，C三点，若经过A，B，C这三点画圆，则可画(C)A．0个 B．1个C．0个或1个D．无数个3．如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE相交于点F，则下列三角形中，外心不是点O的是(B)A．△ABE B．△ACF C．△ABD D．△ADE4．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是(B)A．第①块 B．第②块C．第③块D．第④块5．有一题目：“已知：点O为△ABC的外心，∠BOC＝130°，求∠A的度数．”嘉嘉的解答为：画△ABC以及它的外接圆⊙O，连接OB，OC，如图，由∠BOC＝2∠A＝130°，得∠A ＝65°.而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠A还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是(A)A．淇淇说的对，且∠A的另一个值是115°B．淇淇说的不对，∠A就得65°C．嘉嘉求的结果不对，∠A应得50°D．两人都不对，∠A应有3个不同值6．若一个直角三角形的两条直角边长分别为7 cm和24 cm，则这个三角形的外接圆的直径长为25cm.7．已知圆的半径是6，则圆内接正三角形的边长是8．已知直线l：y＝x－4，点A(1，0)，点B(0，2)，设点P为直线l上一动点，则当点P的坐标为(2，－2)时，过P，A，B不能作出一个圆．9．小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A，B，C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．(1)请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；(2)若在△ABC中，AB＝8米，AC＝6米，∠BAC＝90°，试求小明家圆形花坛的面积．解：(1)用尺规作出AB，AC的垂直平分线，交于O点，以O为圆心，OA长为半径作出⊙O，⊙O即为花坛的位置，如图．(2)∵∠BAC＝90°，AB＝8米，AC＝6米，∴BC＝10米．∴△ABC外接圆的半径为5米．∴小明家圆形花坛的面积为25π平方米．B组(中档题)10．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BC＝5 cm.能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片311．(2020·成都树德中学二诊)如图，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，CO 的延长线交AB于点D.若BC ＝6，sin ∠BAC ＝35，则AC CD ＝9013．12．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是△ABC 两边的中点，如果DE ︵(可以是劣弧、优弧或半圆)上的所有点都在△ABC 的内部或边上，则称DE ︵为△ABC 的中内弧，例如，图中DE ︵是△ABC 其中的某一条中内弧．若在平面直角坐标系中，已知点F(0，4)，O(0，0)，H(4，0)，在△FOH 中，M ，N 分别是FO ，FH 的中点，则△FOH 的中内弧MN ︵所在圆的圆心P 的纵坐标m 的取值范围是m ≤1或m ≥2．13．如图，已知锐角△ABC 的外接圆圆心为O ，半径为R. (1)求证：ACsinB＝2R ；(2)若在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，AC ＝3，求BC 的长及sinC 的值．解：(1)证明：连接AO 并延长交⊙O 于点D ，连接CD ， ∵AD 为直径， ∴∠ACD ＝90°.在Rt △ACD 中，sin ∠ADC ＝AC AD ＝AC2R ，∵∠B ＝∠ADC ，∴sinB ＝AC2R .∴ACsinB＝2R. (2)由(1)知AC sinB ＝2R ，同理可得AB sin ∠ACB ＝BC sin ∠BAC＝2R. ∴2R ＝3sin60°＝2.∴BC ＝2R ·sin ∠BAC ＝2sin45°＝ 2. 作CE ⊥AB ，垂足为E ， ∴BE ＝BC ·cosB ＝2cos60°＝22， AE ＝AC ·cos ∠BAC ＝3cos45°＝62. ∴AB ＝AE ＋BE ＝62＋22. ∴sin ∠ACB ＝AB 2R ＝6＋24.14．已知：如图1，在△ABC 中，BA ＝BC ，D 是平面内不与A ，B ，C 重合的任意一点，∠ABC ＝∠DBE ，BD ＝BE.(1)求证：△ABD ≌△CBE ；(2)如图2，当点D 是△ABC 的外接圆圆心时，请判断四边形BECD 的形状，并证明你的结论．解：(1)证明：∵∠ABC ＝∠DBE ， ∴∠ABD ＝∠CBE.又∵BA ＝BC ，BD ＝BE ， ∴△ABD ≌△CBE(SAS)． (2)四边形BECD 是菱形．证明：∵△ABD ≌△CBE ，∴AD ＝CE. ∵点D 是△ABC 的外接圆圆心， ∴AD ＝BD ＝CD.又∵BD ＝BE ，∴BD ＝BE ＝EC ＝CD. ∴四边形BECD 是菱形．C 组(综合题)15．如图，在正方形ABCD 中，AB ＝42，E ，F 分别为BC ，AD 上的点，过点E ，F 的直线将正方形ABCD 的面积分为相等的两部分，过点A 作AG ⊥EF 于点G ，连接DG ，则线段DG的最小值为。

北师大版九年级数学下第三章5 确定圆的条件(含答案)

北师大版九年级数学下第三章5 确定圆的条件（含答案）一、选择题1．下列四个命题中，正确的有()①经过三角形顶点的圆是三角形的外接圆；②任何一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；③任何一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；④三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点．A．1个B．2个C．3个D．4个2．下列关于三角形的外心的说法中，正确的是()A．到三角形三个顶点的距离相等B．到三角形三条边的距离相等C．是三角形三条角平分线的交点D．是三角形三条中线的交点3．如图1，点A，B，C在同一条直线上，点D在直线AB外，过这四个点中的任意三个点，能画圆的个数是()图1A．1 B．2C．3 D．44．如图2，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0，3)，点B的坐标为(2，1)，点C的坐标为(2，－3)，则经画图操作可知，△ABC的外心的坐标应是()图2A．(0，0) B．(1，0)C．(－2，－1) D．(2，0)5．如图3，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是()图3A．△ABE B．△ACF C．△ABD D．△ADE6．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图4所示，利用三块碎片中的一块最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是()图4A．①B．②C．③D．均不可能7．若点O是△ABC的外心，且∠BOC＝70°，则∠BAC的度数为()A．35°B．110°C．35°或145°D．35°或140°二、填空题8．如图5，将△ABC放在每个小正方形的边长均为1的网格中，点A，B，C均落在格点上，用一个圆面去覆盖△ABC，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是________．图59．如图6，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB是⊙O的直径，P为⊙O上的动点，且∠BPC＝60°，⊙O 的半径为6，则点P到AC的距离的最大值是________．图610．若点O 是等腰三角形ABC 的外心，且∠BOC ＝60°，底边BC ＝2，则△ABC 的面积为________________________________________________．三、解答题11．如图7，已知圆弧上有三点A ，B ，C.(1)用尺规作图法，找出BAC ︵所在圆的圆心O(保留作图痕迹，不写作法)；链接听P34例1归纳总结 (2)若△ABC 为等腰三角形，底边BC ＝16 cm ，腰AB ＝10 cm ，求圆片的半径R.图712.如图8，O 为平面直角坐标系的原点，点A 的坐标为(6，8)，点B 的坐标为(12，0)． (1)求证：AO ＝AB ；(2)用直尺和圆规作出△AOB 的外心P ； (3)求点P 的坐标．图813．如图9①，在△ABC中，BA＝BC，D是平面内不与点A，B，C重合的任意一点，∠ABC＝∠DBE，BD＝BE.(1)求证：△ABD≌△CBE；(2)如图②，当点D是△ABC的外接圆圆心时，请判断四边形BECD的形状，并证明你的结论．图9附加题我们知道：过任意一个三角形的三个顶点都能作一个圆，那么我们来探究过四边形的四个顶点作圆的条件．(1)分别测量图10①②③中四边形的内角，如果过某个四边形的四个顶点能作一个圆，那么其相对的两个角之间有什么关系？图10(2)如果过某个四边形的四个顶点不能作一个圆，那么其相对的两个角之间有上面的关系吗？试写出图④⑤中∠B＋∠D与180°之间的关系；(3)由上面的探究，试归纳出判定过四边形的四个顶点能作一个圆的条件．。

北师大版九年级下册数学3.5 确定圆的条件同步测试含答案

3.5 确定圆的条件同步测试含答案一、单选题1．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）A ．第①块B ．第②块C ．第③块D ．第④块 2．已知⊙O 的半径为1,点P 到圆心的距离为m,且关于x 的一元二次方程x 2−2x+m=0有两个不相等实数根，则点P 与⊙O 位置关系是( )A ．点p 在⊙O 内B ．点p 在⊙O 上C ．点p 在⊙O 外D ．以上都不对 3．已知：不在同一直线上的三点A,B,C求作：⊙O ，使它经过点A,B,C作法：如图，（1）连接AB ,作线段AB 的垂直平分线DE ；（2）连接BC ,作线段BC 的垂直平分线FG,交DE 于点O ；（3）以O 为圆心，OB 长为半径作⊙O ．⊙O 就是所求作的圆.根据以上作图过程及所作图形，下列结论中正确的是（）A ．连接AC, 则点O 是△ABC 的内心B ．B ．AD BG =C ．连接OA,OC ，则OA, OC 不是⊙o 的半径D ．若连接AC, 则点O 在线段AC 的垂直平分线上4．如图，用尺规作出Rt ABC 的外接圆，90C ∠=︒，根据作图痕迹，下列结论错误的是（）A．12AO AB=B．PQ AB⊥C．OBC是等边三角形D．PA OA>5．已知△ABC的外接圆⊙O，那么点O是△ABC的（）A．三条中线交点B．三条高的交点C．三条边的垂直平分线的交点D．三条角平分线交点6．如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90∘,AC=3,AB=5,CD是斜边AB上的中线,以AC为直径作O,设线段CD的中点为P,则点P与O的位置关系是（）A．点P在O外B．点P在O上C．点P在O内D．无法确定二、填空题7．已知⊙O的半径为4，若OP=3，则点P在圆_____．8．平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心，5为半径作⊙O，则点A（4，3）在⊙O_____（填：“内”或“上“或“外”）9．O的半径为10cm，A、B、C三点到圆心O的距离分别为8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与O的位置关系是：点A在________；点B在________；点C在________．10．如图,MN所在的直线垂直平分线段AB,利用这样的工具,最少使用________ 次就可以找到圆形工件的圆心.11．已知△ABC中，∠BAC=90°，用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形，其作法不正确的是_______．（填序号）12．如图，AB是⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在☉O上，且CD＝OA，CD的延长线交⊙O于点E．若∠C＝20°，则∠BOE的度数是_____．13．已知直线l:y=x−4，点A(0,2)，点B(2,0)，设点P为直线l上一动点，当P的坐标为______时，过P，A，B三点不能作出一个圆.14．如图，CD是⊙O的直径，∠EOD＝84°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC，则∠A的度数是_____．三、解答题15．如图，已知△ABC，作⊙O，使它经过点A、B、C（保留作图痕迹，不写作法）．16．如图，AB为⊙O的直径，弦AC的长为8cm．（1）尺规作图：过圆心O作弦AC的垂线DE，交弦AC于点D，交优弧ABC于点E；（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）若DE的长为8cm，求直径AB的长．参考答案1．B由图可得小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是第②块，故选B.2．A【详解】∵a=1，b=−2，c=m，∴△=b2−4ac=(−2)2−4×1×m=4−4m>0，解得：m<1.则点P在⊙O内部.故答案为A.3．D【详解】A:连接AC, 根据题意可知，点O是△ABC的外心，故A错误；B: 根据题意无法证明AD BG=，故B错误；C: 连接OA,OC，则OA, OC是⊙o的半径，故C错误，D: 若连接AC, 则点O在线段AC的垂直平分线上，故D正确故答案为：D.4．C解：由作图痕迹可知作的是线段AB的垂直平分线，∴12AO AB=，PQ AB⊥，∴PA OA>，故A，B，D的结论正确，故选：C．5．C【详解】已知⊙O是△ABC的外接圆，那么点O一定是△ABC的三边的垂直平分线的交点，故选：C．【点拨】本题考查三角形外接圆圆心的确定，属基础题.6．C【详解】∵CD是斜边AB上的中线，∴AD=12AB=52，∵点O为AC的中点，P为CD的中点，∴OP为△CAD的中位线，∴OP=12AD=54，而AC为⊙O的直径,即半径为32，∴点P到圆心O的距离小于圆的半径，∴点P在⊙O内.故选C.7．内解：∵⊙O的半径为4，若OP=3，3＜4，故点P与⊙O的位置关系是点在圆内．故答案为：内．【点拨】本题考查点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解题的关键．8．上．解：∵点A（4，3）到圆心O的距离OA5，∴OA＝r＝5，∴点A在⊙O上，故答案为：上．9．圆内圆上圆外【详解】∵OA=8cm＜10cm，∴点A在圆内.∵OB=10cm，与圆的半径相等，∴点B在圆上.∵OC=12cm＞10cm，∴点C在圆外.故答案为：圆内；圆上；圆外.10．两详解：如图所示，根据垂径定理的推论，两个直径的交点即为圆心．故利用这样的工具最少使用2.次．故答案为2.11．③【详解】①、在角∠BAC内作作∠CAD=∠B,交BC于点D,根据余角的定义及等量代换得出∠B＋∠BAD=90°,进而得出AD⊥BC,根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形式彼此相似的；②、以点A为圆心，略小于AB的长为半径，画弧，交线段BC两点，再分别以这两点为圆心，大于12两交点间的距离为半径画弧，两弧相交于一点，过这一点与A点作直线，该直线是BC的垂线；根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形是彼此相似的；③、以点B为圆心BA的长为半径画弧，交BC于点E，再以E点为圆心，AB的长为半径画弧，在BC的另一侧交前弧于一点，过这一点及A点作直线，该直线不一定是BE的垂线；从而就不能保证两个小三角形相似;④、以AB为直径作圆，该圆交BC于点D，根据圆周角定理，过AD两点作直线该直线垂直于BC，根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形式彼此相似的；故答案为:③.12．60°；解：连接OD，∵CD＝OA＝OD，∠C＝20°，∴∠ODE＝2∠C＝40°，∵OD＝OE，∴∠E＝∠EDO＝40°，∴∠EOB＝∠C＋∠E＝40°＋20°＝60°．13．(3,−1)【详解】设直线AB的解析式为y=kx+b，∵A(0,2)，点B(2,0)，∴220bk b=⎧⎨+=⎩，解得12kb=-⎧⎨=⎩，∴y=−x+2.解方程组24y xy x=-+⎧⎨=-⎩，得31xy=⎧⎨=-⎩，∴当P的坐标为(3,−1)时，过P，A，B三点不能作出一个圆.故答案为(3,−1).14．28°．解：由AB＝OC，得AB＝OB，∠A＝∠AOB．由BO＝EO，得∠BEO＝∠EBO．由∠EBO是△ABO的外角，得∠EBO＝∠A＋∠AOB＝2∠A，∠BEO＝∠EBO＝2∠A．由∠EOD是△AOE的外角，得∠A＋∠AEO＝∠EOD，即∠A＋2∠A＝84°，解得：∠A＝28°．故答案为：28°．15．见解析.解：如图所示，O即为所要求作的圆．16．（1）见解析；（2）10cm．【详解】（1）如图所示：（2）∵DE⊥AC，∴AD＝CD＝4cm，∵AO2＝DO2+AD2，∴AO2＝（DE﹣AO）2+16，∴AO＝5，∴AB＝2AO＝10cm．。

北师版数学下册3.5确定圆的条件(练习题课件)

BS版九年级下
3.5 确定圆的条件
第三章圆
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1D 2A 3B 4B
5C 6B 7A 8B
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9B 10 见习题 11 C 12 见习题 13 见习题
14 见习题 15 见习题
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1．给定下列条件可以确定一个圆的是( D ) A．已知圆心 B．已知半径长 C．已知直径长 D．不在同一条直线上的三点
证明：∵AD 平分∠BAC，BE 平分∠ABC， ∴∠BAE＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE， ∴∠DBC＝∠BAE. ∵∠DBE＝∠CBE＋∠DBC， ∠DEB＝∠ABE＋∠BAE， ∴∠DBE＝∠DEB，∴DE＝DB.
(2)若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ ABC 的外接圆的半径．
解：连接 CD，如图所示．∵AD 平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∴CD＝BD＝4.∵∠BAC＝90°，∴BC 是直径， ∴∠BDC＝90°，∴BC＝ BD2＋CD2＝4 2， ∴△ABC 的外接圆的半径＝12×4 2＝2 2.
A．淇淇说的对，且∠A 的另一个值是 115° B．淇淇说的不对，∠A 就得 65° C．嘉嘉求的结果不对，∠A 应得 50° D．两人都不对，∠A 应有 3 个不同值【答案】A
8．【2020·陕西】如图，△ ABC 内接于⊙O，∠A＝50°.E 是边 BC 的中点，连接 OE 并延长，交⊙O 于点 D，连接 BD，则∠D 的大小为( B ) A．55° B．65° C．60° D．75°
证明：∵△ABC 为正三角形， ∴∠ABC＝∠BAC＝60°.∴∠APC＝∠BPC＝60°. ∵PC 为⊙O 的直径，∴∠PAC＝∠PBC＝90°. ∴∠ACP＝∠BCP＝30°.∴AP＝BP＝12PC. ∴AP＋BP＝PC.

最新(北师大版)九年级下：3.5《确定圆的条件》同步练习及答案

最新北师大版数学精品教学资料3.5确定圆的条件一、选择题1．若△ABC 的外接圆的圆心在△ABC 的外部，则△ABC 是 ( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．无法确定2．可以作圆且只可以作一个圆的条件是 ( )A ．已知圆心B ．已知半径C ．过三个已知点D ．过不在同一条直线上的三个点3．半径为R 的圆内接正三角形的面积是 ( )A ．232RB ． πR 2C ．2332RD ．2334R 4．如图3－81所示，△ABC 内接于⊙O ，∠C ＝45°．AB ＝4，则⊙O 的半径为 ( )A ．22B ．4C ．23D ．55．（2014•山西，第8题3分）如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，连接OA 、OB ，∠OBA=50°，则∠C 的度数为（）A ． 30°B． 40°C． 50°D． 80°6. （2014•丽水，第9题3分）如图，半径为5的⊙A 中，弦BC ，ED 所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD．已知DE=6，∠BAC+∠EAD=180°，则弦BC 的弦心距等于（）A．B．C．4D．3二、填空题7．等腰三角形ABC内接于半径为5 cm的⊙O，若底边BC＝8 cm，则△ABC的面积是．8．若等边三角形的边长为4 cm，则它的外接圆的面积为．9．已知Rt△ABC的两条直角边长为a和b，且a，b是方程x2－3x＋1＝0的两根，则Rt△ABC的外接圆面积为．10. （2014•黑龙江龙东,第6题3分）直径为10cm的⊙O中，弦AB=5cm，则弦AB 所对的圆周角是30°或150°．11. （2014•湖南衡阳,第17题3分）如图，AB为⊙O直径，CD为⊙O的弦，∠ACD=25°，∠BAD的度数为65°．三、作图与解答题12．如图3－82所示，已知两点A，B及直线l，求作经过A，B两点，且圆心在直线l的圆．13．先阅读，再解答．我们在判断点(－7，20)是否在直线y＝2x＋6上时，常用的方法是：把x＝－7代入y＝2x＋6中，由2×(－7)＋6＝－8≠20，判断出点(－7，20)不在直线y＝2x＋6上．小明由此方法并根据“两点确定一条直线”，推断出点A(1，2)，B(3，4)，C(－1，6)三点可以确定一个圆，你认为他的推断正确吗?请你利用上述方法说明理由．14．如图3－83所示，等腰三角形ABC内接于半径为5的⊙O中，AB＝AC，且tan B＝13．(1)求BC的长；(2)求AB边上的高．参考答案1．C2．D［提示：D既固定了圆的位置，又固定了圆的大小，保证了所要求的唯一性．]3．D4．A[提示：连接OA，OB．∵∠C＝45°，∴∠AOB＝90°，∴在Rt△AOB中，OA＝OB＝22．故选A．]5.B6.D7．8 cm2或32 cm28．163π cm2 [提示：作弦心距，易求r＝433．]9．74π [提示：a＋b＝3，ab＝1，c2＝(a＋b)2－2ab＝7，2724cSππ⎛⎫==⎪⎝⎭．]10.解答：解：连接OA、OB，∵AB=OB=OA，∴∠AOB=60°，∴∠C=30°，∴∠D=180°﹣30°=150°．故答案为30°或150°．11.解答：解：∵AB为⊙O直径∴∠ADB=90°∵∠B=∠ACD=25°∴∠BAD=90°﹣∠B=65°．故答案为：65°．点评：考查了圆周角定理的推论．构造直径所对的圆周角是圆中常见的辅助线之一．12．提示：连接AB，作线段AB的垂直平分线l′交直线l于O；以O为圆心，OA长为半径作圆，则⊙O就是所求作的圆．图略．13．分析判断A，B，C三点是否可以确定一个圆，只需求出过任意两点的直线，再看第三点是否在所求直线上，若不在，说明三点不在同一条直线上，可以确定一个圆．解：他的推断是正确的．因为“两点确定一条直线”，设经过A，B两点的直线的解析式为y＝kx＋b．由A(1，2)，B(3，4)，得2,34,k bk b+=⎧⎨+=⎩解得1,1,kb=⎧⎨=⎩∴经过A，B两点的直线的解析式为y＝x＋1．把x＝－1代入y＝x＋1中，由－1＋1≠6，可知点C(－1，6)不在直线AB上，即A，B，C三点不在同一条直线上．所以A，B，C三点可以确定一个圆．【解题策略】掌握“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”是解此题的关键．14．解：(1)连接OA交BC于D，连接OB，OC，则AO垂直平分线段BC．设AD＝x，∵tan B＝13，∴BD＝3x．在Rt△ODB中，(5－x)2＋(3x)2＝52，解得x＝1，∴BC＝2BD＝6． (2)过C作CE⊥AB交BA的延长线于E，∵tan B＝13，BC＝6，∴310 5．CE2＋(3CE)2＝62，∴CE＝。

《3.5 确定圆的条件》课时同步练习2020-2021学年北师大版数学九年级下册

《3.5 确定圆的条件》课时同步练习2020-2021学年北师大版数学九（下）一．选择题（共14小题）1．已知⊙O的半径是4，OA＝3，则点A与⊙O的位置关系是（）A．点A在圆内B．点A在圆上C．点A在圆外D．无法确定2．⊙O的半径为3cm，若点P在⊙O内，则OP的长可能是（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm3．⊙O的半径为5，点A到圆心O的距离为d，已知点A在⊙O的外部，则（）A．d＜5B．d＞5C．d≥5D．d＝54．⊙O的半径为3，圆心是原点，点P（2，2），则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．无法确定5．⊙O的直径为15cm，若点P与点O的距离为8cm，点P的位置（）A．在⊙O内B．在⊙O外C．在⊙O上D．不能确定6．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，若以点A为圆心，8为半径作⊙A，则下列各点在⊙A外的是（）A．点A B．点B C．点C D．点D7．若点A在⊙O内，点B在⊙O外，OA＝3，OB＝5，则⊙O的半径r的取值范围是（）A．0＜r＜3B．2＜r＜8C．3＜r＜5D．r＞58．下列四个结论，不正确的是（）①过三点可以作一个圆；②圆内接四边形对角相等；③平分弦的直径垂直于弦；④相等的圆周角所对的弧也相等．A．②③B．①③④C．①②④D．①②③④9．平面上有四个点，过其中任意3个点一共能确定圆的个数为（）A．0或3或4B．0或1或3C．0或1或3或4D．0或1或410．如图，点A、B、C在同一条直线上，点D在直线AB外，过这四个点中的任意3个，能画的圆有（）A．1 个B．2个C．3个D．4 个11．下列说法中，正确的是（）A．三点确定一个圆B．三角形有且只有一个外接圆C．四边形都有一个外接圆D．圆有且只有一个内接三角形12．给定下列图形可以确定一个圆的是（）A．已知圆心B．已知半径C．已知直径D．已知三个点13．下列命题正确的个数有（）①过两点可以作无数个圆；②经过三点一定可以作圆；③任意一个三角形有一个外接圆，而且只有一个外接圆；④任意一个圆有且只有一个内接三角形．A．1个B．2个C．3个D．4个14．过钝角三角形的三个顶点作圆，其圆心在（）A．三角形内B．三角形上C．三角形外D．以上都有可能二．填空题（共6小题）15．Q是半径为3的⊙O上一点，点P与圆心O的距离OP＝5，则PQ长的最小值是．16．要确定一个圆，需要两个基本条件，一个是，另一个是，其中，确定圆的位置，确定圆的大小．17．“三点定圆”的含义是：的三点确定一个圆．18．经过一个点的圆有个，圆心；经过两点的圆有个，圆心在；若平面上三点能够确定一个圆，那么这三点所满足的条件是．19．平面直角坐标系中，以原点O为圆心，2为半径作⊙O，则点A（2，2）与⊙O的位置关系为．20．按图填空：（1）△ABC是⊙O的三角形；（2）⊙O是△ABC的圆；（3）点O是△ABC的心；（4）OA，OB，OC三条线段的长度有关系：．参考答案一．选择题（共14小题）1．解：∵⊙O的半径r＝4，且点A到圆心O的距离d＝3，∴d＜r，∴点A在⊙O内，故选：A．2．解⊙O的半径为3cm，点P在⊙O内，∴OP＜3cm．故选：A．3．解：∵点A在圆O的外部，圆O的半径为5，∴点A到圆心O的距离d的范围是：d＞5．故选：B．4．解：∵P的坐标为（2，2），∴OP＝＝2．∵⊙O的半径为3，3＞2，∴点P在⊙O内．故选：A．5．解：∵⊙O的直径为15cm，∴⊙O的半径为7.5cm，∵O点与P点的距离为8cm，∴点P在⊙O外．故选：B．6．解：连接AC，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，∴BC＝AD＝8，∠B＝90°，∴AC＝＝10，∵AB＝6＜8，AC＝10＞8，AD＝8，∴点D在⊙A上，点C在⊙A外，点B在⊙A内．故选：C．7．解：∵点A在半径为r的⊙O内，点B在⊙O外，∴OA小于r，OB大于r，∵OA＝3，OB＝5，∴3＜r＜5．故选：C．8．解：①过不在同一直线上的三点可以作一个圆，故原命题错误，符合题意；②圆内接四边形对角互补，错误，符合题意；③平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原命题错误，符合题意；④同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等，故原命题错误，符合题意．错误的有①②③④，故选：D．9．解：如图，当四点在同一条直线上时，不能确定圆，当四点共圆时，只能作一个圆，当三点在同一直线上时，可以作三个圆，当四点不共圆时，且没有三点共线时，能确定四个圆．故选：C．10．解：∵点A、B、C在同一条直线上，∴经过点A、B、D，或点A、C、D，或点B、C、D分别能画一个圆，故选：C．11．解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，故原命题错误；B、三角形有且只有一个外切圆，原命题正确；C、并不是所有的四边形都有一个外接圆，原命题错误；D、圆有无数个内接三角形．故选：B．12．解：A、不能确定．因为半径不确定，故不符合题意；B、不能确定．因为圆心的位置不确定，故不符合题意；C、能确定，给定一直径，则圆心和半径确定，所以可以确定一个圆，故符合题意；D、不能确定，不在同一直线上三点可以确定一个圆．故不符合题意；故选：C．13．解：①过两点可以作无数个圆，正确；②经过三点一定可以作圆，错误；③任意一个三角形有一个外接圆，而且只有一个外接圆，正确；④任意一个圆有且只有一个内接三角形，错误，正确的有2个，故选：B．14．解：过三角形的三个顶点的圆是三角形外接圆，当过锐角三角形三个顶点，圆心在三角形内部；当过直角三角形三个顶点，圆心在三角形斜边上；当过钝角三角形三个顶点，圆心在三角形外部；故选：C．二．填空题（共6小题）15．解：∵Q是半径为3的⊙O上一点，点P与圆心O的距离OP＝5，∴PQ长的最小值＝5﹣3＝2，故答案为：2．16．解：要确定一个圆，需要两个基本条件，一个是圆心，另一个是半径，其中，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．故答案为：圆心，半径，圆心，半径．17．解：“三点定圆”的含义是：不在同一直线上的三点确定一个圆．故答案为：不在同一直线上．18．经过一个点的圆有无数个，圆心不确定；经过两点的圆有无数个，圆心在两点连线的垂直平分线上；若平面上三点能够确定一个圆，那么这三点所满足的条件是三点不共线，故答案为：无数、不确定、无数、两点连线的垂直平分线上、三点不在一条直线上．19．解：∵点A（2，2）∴AO＝2，∵以原点O为圆心，2为半径作⊙O，∴2＞2，∴点A（2，2）与⊙O的位置关系为：圆外．故答案为：圆外．20．解：（1）△ABC是⊙O的内接三角形；（2）⊙O是△ABC的外接圆；（3）点O是△ABC的外心；（4）OA，OB，OC三条线段的长度有关系：OA＝OB＝OC；故答案为：（1）内接；（2）外接；（3）外；（4）OA＝OB＝OC．。

数学九年级下北师大版3.5确定圆的条件同步练习1

确定圆的条件
一、填空题
1、经过一点可以作个圆，经过两点可以作个圆，经过不在同一条直线上的三个点个圆；
2、经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的，这个圆的圆心是三角形三条边的的交点，叫做三角形的，它到三角形的距离相等；
3、锐角三角形的外心位于，直角三角形的外心位于，钝角三角形的外心位于．
二、判断题
1、钝角三角形的外心在三角形的外部．（）
2、锐角三角形的外心在三角形的内部．（）
3、有一个三角形的外接圆的圆心在它的某一边上则这个三角形一定是直角三角形．（）
三、选择题
1、下列条件，可以画出圆的是（）
A．已知圆心 B．已知半径
C．已知不在同一直线上的三点 D．已知直径
2、三角形的外心是（）
A．三条中线的交点 B．三条边的中垂线的交点
C．三条高的交点 D．三条角平分线的交点
3、下列命题不正确的是（）
A．三点确定一个圆 B．三角形的外接圆有且只有一个C．经过一点有无数个圆 D．经过两点有无数个圆
4、一个三角形的外心在它的内部，则这个三角形一定是（）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等边三角形
四、计算题
cm，cm，，求它的外接圆半径．
已知三角形的三边长分别为
参考答案
一、填空题
1、无数，无数，只可以作一；
2、外接圆，垂直平分线，外心，三个顶点；
3、三角形内部，斜边的中点，三角形外部．
二、判断题
1、√
2、√
3、√
三、选择题
1、C
2、B
3、A
4、C、D
四、计算题。

2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3-5确定圆的条件》期末复习自主提升训练(附答案)

2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3.5确定圆的条件》期末复习自主提升训练（附答案）1．已知⊙O的半径为5cm，P到圆心O的距离为6cm，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在圆外B．点P在圆上C．点P在圆内D．不能确定2．已知OA＝4，以O为圆心，r为半径作⊙O．若使点A在⊙O内，则r的值可以是（）A．2B．3C．4D．53．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝60°，若⊙O的半径OC为2，则弦BC的长为（）A．4B．2C．3D．4．如图，⊙O为△ABC的外接圆，且AB为⊙O的直径，若OC＝AC＝5，则BC长为（）A．10B．9C．8D．55．如图，△ABC内接于⊙O，其外角∠BAE的平分线交⊙O于点D，点A为弧CD的中点．若∠ABC＝28°，则∠ACB的大小为（）A．84°B．85°C．86°D．88°6．若⊙A的半径为5，圆心A与点P的距离是，则点P与⊙A的位置关系是（）A．P在⊙A上B．P在⊙A外C．P在⊙A内D．不确定7．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2，点A（1，）与⊙O的位置关系是（）A．在⊙O上B．在⊙O内C．在⊙O外D．不能确定8．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（）A．①B．②C．③D．④9．下列说法中，正确的是（）A．相等的圆心角所对的弧相等B．过任意三点可以画一个圆C．周长相等的圆是等圆D．平分弦的直径垂直于弦10．平面上有四个点，过其中任意3个点一共能确定圆的个数为（）A．0或3或4B．0或1或3C．0或1或3或4D．0或1或4 11．如图所示，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO＝25°，则∠ACB的大小为（）A．50°B．55°C．65°D．75°12．在平面直角坐标系中有A，B，C三点，A（1，3），B（3，3），C（5，1）．现在要画一个圆同时经过这三点，则圆心坐标为．13．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝40°，E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的度数是．14．如图AB＝AC，∠A＝40°，O是△ABC外接圆圆心，BO交AC于点D，则∠BDC＝．15．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是△ABC的高，AE是⊙O的直径，且AE＝4，若CD＝1，AC＝3，则AB的长为．16．如图，△BAC是⊙O的内接三角形，BC为直径，AD平分∠BAC，连接BD、CD，若∠ACB＝65°，则∠ABD的度数为．17．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC＝2，∠BAC＝30°，则⊙O的直径长等于．18．点O是△ABC的外心，若∠BOC＝110°，则∠BAC为°．19．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，BD为⊙O的直径，则⊙O的半径为．20．如图，⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，AB＝8，∠ACB＝60°，且BC＞AC，点D是△ABC高线的交点，连接AD，BD，CD，则∠ADB的度数为，CD的长为．21．将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．（1）画出该轮的圆心；（2）若△ABC是等腰三角形，底边BC＝16cm，腰AB＝10cm，求圆片的半径R．22．如图，⊙O为△ABC的外接圆，AB为⊙O直径，AC＝BC，点D在劣弧BC上，CE⊥CD交AD于E，连接BD．（1）求证：△ACE≌△BCD．（2）若CD＝2，BD＝3，求⊙O的半径．23．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，直径AD与BC垂直，垂足为点E．（1）求证：∠ABC＝∠ACB；（2）连接OB，CD，若OB＝，CD＝5，求CE的长．24．如图，△ABC是⊙O的内接三角形．AE是⊙O的直径，交BC于点G．过点A作AF ⊥BC，AF分别与BC、⊙O交于点D、F，连接BE、CF．（1）求证：∠BAE＝∠CAF；（2）若AB＝8，AC＝6，AG＝5，求AF的长．25．△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，⊙O是△ABC的外接圆．（1）如图①，求⊙O的半径；（2）如图②，∠ABC的平分线交半径OA于点E，交⊙O于点D．求OE的长．参考答案1．解：∵⊙O的半径为5cm，点P到圆心O的距离为6cm，∴OP＞⊙O的半径，∴点P在⊙O外．故选：A．2．解：∵已知OA＝4，以O为圆心，r为半径作⊙O．若使点A在⊙O内，∴点A到圆心的距离应该小于圆的半径，∴圆的半径应该大于4．故选：D．3．解：过点O作OM⊥BC，交BC于点M，∵⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝60°，∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，又∵OB＝OC，OM⊥BC，∴∠COM＝∠BOC＝60°，MB＝MC，∴在Rt△COM中，∠OCM＝30°，∴OM＝OC＝1，CM＝OM＝，∴BC＝2CM＝2，故选：B．4．解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．∵OC＝AC＝5，∴AB＝2OC＝10，∴BC＝＝＝5．故选：D．5．解：连接BD，∵点A为弧CD的中点，∴＝，∵∠ABC＝28°，∴∠DBC＝2∠ABC＝56°，∴∠DAE＝∠DBC＝56°，∵AD平分∠BAE，∴∠BAE＝2∠DAE＝112°，∵∠BAE＝∠ABC+∠ACB，∴∠ACB＝∠BAE﹣∠ABC＝112°﹣28°＝84°，故选：A．6．解：∵AP＝2＜5，∴点P在⊙A内部．故选：C．7．解：∵点A（1，），∴AO＝＝2，∵⊙O的半径为2，∴点A在⊙O上，故选：A．8．解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．故选：A．9．解：A、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项说法不正确；B、不在同一直线上的三个点确定一个圆，若这三个点在一条直线上，就不能确定圆，故本选项说法不正确；C、周长相等半径就相等，半径相等的两个圆能重合，故本选项说法正确；D、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项说法不正确；故选：C．10．解：如图，当四点在同一条直线上时，不能确定圆，当四点共圆时，只能作一个圆，当三点在同一直线上时，可以作三个圆，当四点不共圆时，且没有三点共线时，能确定四个圆．故选：C．11．解：△AOB中，OA＝OB，∠ABO＝25°，∴∠AOB＝180°﹣2∠ABO＝130°，∴∠ACB＝∠AOB＝65°，故选：C．12．解：∵A（1，3），B（3，3），C（5，1）不在同一直线上∴经过点A，B，C可以确定一个圆∴该圆圆心必在线段AB的垂直平分线上∴设圆心坐标为M（2，m）则点M在线段BC的垂直平分线上∴MB＝MC由勾股定理得：＝∴1+m2﹣6m+9＝9+m2﹣2m+1∴m＝0∴圆心坐标为M（2，0）故答案为：（2，0）．13．解：连接OB、OC，∵∠A＝40°，∴∠BOC＝2∠A＝80°，∵E是边BC的中点，∴＝，∴∠BOD＝∠BOC＝40°，∵OB＝OD，∴∠D＝×（180°﹣40°）＝70°，故答案为：70°．14．解：延长BD交圆O于点G，连接CG，如图：∵∠A＝40°，∴∠A＝∠G＝40°，∵BG是⊙O的直径，∴∠BCG＝90°，∵AB＝AC，∴∠BCA＝∠CBA＝（180°﹣40°）＝70°，∴∠DCG＝20°，∴∠BDC＝∠G+∠DCG＝40°+20°＝60°，故答案为：60°．15．解：连接BE，∵AD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°，∴AD＝＝＝2，∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，∴∠ABE＝∠ADC，∵∠E＝∠C，∴△ABE∽△ADC，∴＝，∴＝，∴AB＝，故答案为：．16．解：∵BC为直径，∴∠BAC＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝45°，∵∠ACB＝65°，∴∠ABC＝90°﹣65°＝25°，∵∠DBC＝∠DAC＝45°，∴∠ABD＝∠ABC+∠DBC＝25°+45°＝70°．则∠ABD的度数为70°．故答案为：70°．17．解：连接BO并延长交⊙O于D，连接CD，则∠BCD＝90°，∵∠BAC＝30°，∴∠D＝∠BAC＝30°，∵BC＝2，∴BD＝2BC＝4，故答案为：4．18．解：①△ABC是锐角三角形，如图，∵∠BOC＝110°，∴∠BAC＝55°；②△A′BC是钝角三角形，如图，∵∠BAC+∠BA′C＝180°，∴∠BA′C＝125°．故答案为：55°或125．19．解：连接AD，∵∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，∴∠C＝∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝30°，∴∠D＝∠C＝30°，∵BD是直径，∴∠BAD＝90°∴AB＝2AB＝8，∴⊙O的半径为4，故答案为：4．20．解：连结AO，并延长交⊙O于E，连结EC，延长BD交AC于F，∵AE为直径，∴∠ACE＝∠ABE＝90°，∵点D是△ABC高线的交点，∴BF⊥AC，AG⊥BC，CD⊥AB，∴∠CFB＝∠CGA＝90°，∴∠FDG＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，∴∠ADB＝∠FDG＝120°，∵∠ACE＝∠CFB＝90°，CD⊥AB，EB⊥AB，∴CE∥DB，CD∥EB，∴四边形CDBE为平行四边形，∴CD＝BE，∵＝，∴∠ACB＝∠AEB＝60°，∴∠EAB＝90°﹣∠AEB＝90°﹣60°＝30°，在Rt△ABE中，BE＝AB×tan30°＝8×＝，∴CD＝BE＝．故答案为：120°；．21．解：（1）如图所示：分别作弦AB和AC的垂直平分线交点O即为所求的圆心；（2）连接AO，OB，BC，BC交OA于D．∵BC＝16cm，∴BD＝8cm，∵AB＝10cm，∴AD＝6cm，设圆片的半径为R，在Rt△BOD中，OD＝（R﹣6）cm，∴R2＝82+（R﹣6）2，解得：R＝cm，∴圆片的半径R为cm．22．解：（1）证明：∵AB为⊙O直径，∴∠ACB＝90°，∵CE⊥CD，∴∠ECD＝90°，∴∠ACE＝90°﹣∠ECB＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（ASA）；（2）∵△ACE≌△BCD，∴CE＝CD，AE＝BD，∵CE⊥CD，∴△ECD是等腰直角三角形，∵CD＝2，BD＝3,∴DE＝2，AE＝3，∴AD＝5，∵AB为⊙O直径，∴∠ADB＝90°，∴AB＝＝2，∴⊙O的半径为．23．（1）证明：∵AD⊥BC，∴＝，∴∠ABC＝∠ACB；（2）解：连接OC，如图，设OE＝x，则DE＝OD﹣OE＝﹣﹣x，在Rt△OEC中，CE2＝OC2﹣OE2＝（）2﹣x2，在Rt△CDE中，CE2＝CD2﹣DE2＝52﹣（﹣x）2，∴（）2﹣x2＝52﹣（﹣x）2，解得x＝，∴CE＝＝．24．（1）证明：∵AF⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠ACB+∠CAF＝90°，∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，∴∠BAE+∠E＝90°，由圆周角定理得，∠ACB＝∠E，∴∠BAE＝∠CAF；（2）解：由圆周角定理得，∠ABG＝∠AFC，又∠BAE＝∠CAF，∴△ABG∽△AFC，∴＝，即＝，解得，AF＝．25．解：（1）过A点作AH⊥BC于H，如图①，∵AB＝AC，∴BH＝CH＝BC＝3，即AH垂直平分BC，∴点O在AH上，在Rt△ABH中，AH＝＝4，连接OB，设⊙O的半径为r，则OB＝r，OH＝AH﹣OA＝4﹣r，在Rt△OBH中，32+（4﹣r）2＝r2，解得r＝，即⊙O的半径为；（2）作EF⊥AB于F，如图，∵BD平分∠ABC，∴EH＝EF，∵S△ABE＝BH•AE＝AB•EF，∴＝＝，∴EH＝AH＝×4＝，由（1）得OH＝AH﹣OA＝4﹣＝，∴OE＝﹣＝．。

2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3-5确定圆的条件》优生辅导训练(附答案)

2021-2022学年北师大版九年级数学下册《3.5确定圆的条件》优生辅导训练（附答案）1．已知⊙O的半径为4cm，若OA＝5cm，则点A与⊙O的位置关系是（）A．点A在⊙O外B．点A在⊙O上C．点A在⊙O内D．不能确定2．下列说法中，正确的是（）A．相等的圆心角所对的弧相等B．过任意三点可以画一个圆C．周长相等的圆是等圆D．平分弦的直径垂直于弦3．如图，点A在半径为3的⊙O内，OA＝，P为⊙O上一点，延长PO、P A交⊙O于M、N．当MN取最大值时，P A的长等于（）A．B．C．D．4．下列关于圆的说法，正确的是（）A．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等B．平分弦的直径垂直于弦C．圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴D．过三点可以作一个圆5．下列说法：（1）等弧所对的圆心角相等；（2）经过三点可以作一个圆；（3）劣弧一定比优弧短；（4）平分弦的直径垂直于这条弦；（5）圆的内接平行四边形是矩形．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．OD⊥BC，垂足为E，连接BD，则∠CBD的大小为（）A．50°B．60°C．25°D．30°7．如图，正方形ABCD中，E为AB上一点，AF⊥DE于点F，已知DF＝5EF＝5，过C、D、F的⊙O与边AD交于点G，则DG＝（）A．B．C．D．8．已知点P（x0，y0）和直线y＝kx+b，求点P到直线y＝kx+b的距离d可用公式计算．例如：点（0，1）到直线y＝2x+6的距离d＝＝．根据以上材料解决下面问题：如图，⊙C的圆心C的坐标为（1，1），半径为1，直线l的表达式为y＝﹣2x+6，P是直线l上的动点，Q是⊙C上的动点，则PQ的最小值是（）A．B．C．D．29．已知⊙O的半径为5，点A到点O的距离为7，则点A在圆．（填“内”或“上”或“外”）10．下列说法：（1）三点确定一个圆；（2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；（3）圆周角等于圆心角的一半；（4）平分弦的直径平分弦所对的优弧．其中正确的有（只填序号）11．一个已知点P到圆周上的最长距离是7，最短距离是3，则此圆的半径是．12．在平面内，⊙O的半径为5cm，点P到圆心O的距离为6cm，则点P与⊙O的位置关系是点P在．（填“圆内”“圆外”或“圆上”）．13．如图，点A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为．14．要确定一个圆，需要两个基本条件，一个是，另一个是，其中，确定圆的位置，确定圆的大小．15．如图所示的正方形网格中，△ABC三点均在格点上，那么△ABC的外心在点．16．在半径长为的圆中，圆内接△ABC的边AB长为，则∠C的度数为．17．如图，四边形ABCD是矩形．求证：A，B，C，D四点在同一个圆上．18．操作与探究我们知道：过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，探究过四边形四个顶点作圆的条件．（1）分别测量图1、2、3各四边形的内角，如果过某个四边形的四个顶点能一个圆，那么其相对的两个角之间有什么关系？证明你的发现．（2）如果过某个四边形的四个顶点不能一个圆，那么其相对的两个角之间有上面的关系吗？试结合图4、5的两个图说明其中的道理．（提示：考虑∠B+∠D与180°之间的关系）由上面的探究，试归纳出判定过四边形的四个顶点能作一个圆的条件．19．如图，在平面直角坐标系中，A、B、C是⊙M上的三个点，A（0，4）、B（4，4）、C （6，2）．（1）圆心M的坐标为；（2）判断点D（4，﹣3）与⊙M的位置关系．20．如图，矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝8cm，点P从点A向点D运动，运动的速度为1cm/s，点Q从点C向点B运动，运动的速度为2cm/s，运动时间为ts，若P、Q两点有一点停止，则另一点随之停止．（1）若点Q正好在以PD为直径的圆上，试求出所有满足条件的t的值；（2）若以点P为圆心，P A为半径画⊙P，试判断点Q与⊙P的位置关系，并说明理由．21．平面直角坐标系中，点A（2，9）、B（2，3）、C（3，2）、D（9，2）在⊙P上．（1）在图中清晰标出点P的位置；（2）点P的坐标是．22．定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．（1）如图1，损矩形ABCD，∠ABC＝∠ADC＝90°，则该损矩形的直径是线段．（2）在线段AC上确定一点P，使损矩形的四个顶点都在以P为圆心的同一圆上（即损矩形的四个顶点在同一个圆上），请作出这个圆，并说明你的理由．友情提醒：“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹．（3）如图2，△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为一边向形外作菱形ACEF，D为菱形ACEF的中心，连接BD，当BD平分∠ABC时，判断四边形ACEF为何种特殊的四边形？请说明理由．若此时AB＝3，BD＝，求BC的长．23．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，点D在⊙O上，∠ADC＝68°，求∠BAC．24．如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB＝5，AC＝3．连接OC，弦AD分别交OC，BC于点E，F，其中点E是AD的中点．（1）求证：∠CAD＝∠CBA．（2）求EF：FD的值．参考答案1．解：∵OA＝5cm，⊙O的半径为4cm，∴d＞r，∴点A在圆外．故选：A．2．解：A、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项说法不正确；B、不在同一直线上的三个点确定一个圆，若这三个点在一条直线上，就不能确定圆，故本选项说法不正确；C、周长相等半径就相等，半径相等的两个圆能重合，故本选项说法正确；D、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项说法不正确；故选：C．3．解：当OA⊥PN时，MN的值最大，在Rt△POA中，由勾股定理得，P A＝＝＝，故选：C．4．解：A、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，故原命题错误，不符合题意；B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原命题错误，不符合题意；C、圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴，正确，符合题意；D、过不在同一直线上的三点确定一个圆，故原命题错误，不符合题意．故选：C．5．解：（1）等弧所对的圆心角相等，正确，符合题意；（2）经过不在同一直线上的三点可以作一个圆，故原命题错误，不符合题意；（3）劣弧不一定比优弧短，故原命题错误，不符合题意；（4）平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，故原命题错误，不符合题意；（5）圆的内接平行四边形是矩形，正确，符合题意，正确的有2个，故选：B．6．解：连接CD，∵四边形ABDC是圆内接四边形，∠A＝50°，∴∠CDB+∠A＝180°，∴∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，∵OD⊥BC，∴E是边BC的中点，∴BD＝CD，∴∠CBD＝∠BCD＝（180°﹣∠CDB）＝（180°﹣130°）＝25°，故选：C．7．解：连接CF、GF，如图：在正方形ABCD中，∠EAD＝∠ADC＝90°，AF⊥DE，∴△AFD∽△EAD，∴＝，又∵DF＝5EF＝5，∴AD＝＝＝＝CD，在Rt△AFD中，AF＝＝＝，∵∠CDF+∠ADF＝90°，∠DAF+∠ADF＝90°，∴∠DAF＝∠CDF，∵四边形GFCD是⊙O的内接四边形，∴∠FCD+∠DGF＝180°，∵∠FGA+∠DGF＝180°，∴∠FGA＝∠FCD，∴△AFG∽△DFC，∴＝，∴＝，∴AG＝，∴DG＝AD﹣AG＝﹣，故选：D．8．解：过点C作CP⊥直线l，交圆C于Q点，此时PQ的值最小，根据点到直线的距离公式可知：点C（1，1）到直线l的距离d＝＝，∵⊙C的半径为1，∴PQ＝﹣1，故选：B．9．解：∵⊙O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，即点A到圆心O的距离大于圆的半径，∴点A在⊙O外．故答案为：外．10．解：（1）不在同一直线上的三点确定一个圆，此说法错误；（2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，此说法正确；（3）同弧或等弧所对圆周角等于圆心角的一半，此说法错误；（4）平分弦（不是直径）的直径平分弦所对的优弧，此说法错误；故答案为：（2）．11．解：①当点在圆外时，∵圆外一点和圆周的最短距离为3，最长距离为7，∴圆的直径为7﹣3＝4，∴该圆的半径是2；②当点在圆内时，∵点到圆周的最短距离为3，最长距离为7，∴圆的直径＝7+3＝10，∴圆的半径为5，故答案为2或5．12．解：∵⊙O的半径为5cm，点P到圆心O的距离为6cm，∴OP＞⊙O的半径，∴点P在⊙O外．故答案为圆外．13．解：如图，分别作AB、BC的中垂线，两直线的交点为O，以O为圆心、OA为半径作圆，则⊙O即为过A，B，C三点的外接圆，由图可知，⊙O还经过点D、E、F、G、H这5个格点，故答案为：5．14．解：要确定一个圆，需要两个基本条件，一个是圆心，另一个是半径，其中，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．故答案为：圆心，半径，圆心，半径．15．解：作线段AB和线段BC的垂直平分线，两线交于点G，则△ABC的外接圆圆心是点G，故答案为：G．16．解：如图，∵OA＝OB＝4，AB＝4，∴OA2+OB2＝48+48＝96＝AB2，∴△OAB为等腰直角三角形，∴∠AOB＝90°，∴∠C＝∠AOB＝45°，∴∠C′＝180°﹣45°＝135°，即圆内接三角形△ABC的∠C的度数为45°或135°．故答案为45°或135°．17．证明：连接AC、BD，交于点O，∵四边形ABCD是矩形．∴OA＝OB＝OC＝OD，∴A、B、C、D四点在以O为圆心、以AC为半径的同一个圆上．18．解：（1）对角互补（对角之和等于180°）；如图1，矩形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，则∠A+∠C＝∠B+∠D＝180°，A，B，C，D四点共圆．如图2，在平行四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D，A，B，C，D四点不共圆如图3，∠B+∠C＝180°，∠A+∠D＝180°，∠A＝∠B，∠C＝∠D，则∠A+∠C＝∠B+∠D＝180°，A，B，C，D四点共圆．综上所述，相对的两个角之间的关系是：互补．（2）如果四边形没有外接圆，那么相对的两个内角之间没有有上面的关系．图4：连接BE，∵∠A+∠E＝180°，∠BCD＞∠E，∴∠A+∠BCD＞180°；图5：连接DE，∵∠A+∠BED＝180°，∠BED＞∠C，∴∠A+∠C＜180°．19．解：（1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．如图所示，则圆心是（2，0）故答案为：2，0．（2）圆的半径AM＝＝2，线段MD＝＝＜2，所以点D在⊙M内．20．解：（1）如图，连接PQ，DQ，过点Q作QE⊥AD于E．3若点Q正好在以PD为直径的圆上，则∠PQD＝90°，∵QE⊥PD，∴∠QED＝∠QEP＝90°，∵∠PQE+∠EQD＝90°，∠EQD+∠EDQ＝90°，∴∠PQE＝∠EDQ，∴△PEQ∽△QED，∴，∵P A＝tcm，CQ＝DE＝2tcm，QE＝CD＝3cm，∴PE＝8﹣t﹣2t＝（8﹣3t）cm，∴32＝（8﹣3t）•2t，解得t＝．∴满足条件的t的值为．（2）∵AP2＝t2，PQ2＝32+（8﹣3t）2，∴PQ2﹣AP2＝32+（8﹣3t）2﹣t2＝8（t﹣3）2+1，∵8（t﹣3）2≥0，∴PQ2﹣AP2＞0，∴PQ＞AP，∴点Q在⊙P外．21．解：弦AB的垂直平分线是y＝6，弦CD的垂直平分线是x＝6，因而交点P的坐标是（6，6）．22．解：（1）只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．因此AC是该损矩形的直径；（2）作图如图：∵点P为AC中点，∴P A＝PC＝AC．∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴BP＝DP＝AC，∴P A＝PB＝PC＝PD，∴点A、B、C、D在以P为圆心，AC为半径的同一个圆上；（3）∵菱形ACEF，∴∠ADC＝90°，AE＝2AD，CF＝2CD，∴四边形ABCD为损矩形，∴由（2）可知，点A、B、C、D在同一个圆上．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝45°，∴，∴AD＝CD，∴四边形ACEF为正方形．∵BD平分∠ABC，BD＝，∴点D到AB、BC的距离h为4，∴S△ABD＝AB×h＝2AB＝6，S△ABC＝AB×BC＝BC，S△BDC＝BC×h＝2BC，S△ACD＝S正方形ACEF＝AC2＝（BC2+9），∵S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝S△ABD+S△BCD∴BC+（BC2+9）＝6+2BC∴BC＝5或BC＝﹣3（舍去），∴BC＝5．23．解：由圆周角定理得：∠ABC＝∠ADC＝68°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝90°﹣68°＝22°．24．（1）证明：∵OC为半径，E为AD中点．∴OC⊥AD，AC＝CD，∴∠ABC＝∠CAD；（2）解：在Rt△ABC中，AB＝5，AC＝3，则BC＝4，∴sin∠CBA＝＝，∴sin∠CAD＝，则CE＝，则AE＝＝＝ED，∵cos∠CBA＝，则cos∠CAD＝，则AF＝＝，∴EF＝AF﹣AE＝﹣＝，则FD＝AD﹣AF＝﹣＝，∴EF：FD＝9：7．备注：也可以利用三角形相似的解答方式如下：∵AB＝5，AC＝3，则BC＝4，∵∠CAD＝∠CBA，∠ACB＝∠ACF，∴△CAF∽△CBA，∴，即，解得CF＝，则BF＝BC﹣CF＝4﹣＝；同理可得：△CEF∽△BDF，∴＝．。

九年级数学下册 3.5 确定圆的条件练习北师大版(2021年整理)

2017春九年级数学下册3.5 确定圆的条件练习（新版）北师大版编辑整理：
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确定圆的条件。

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3.5确定圆的条件课时训练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．己知O 的半径为4cm ，若5cm OA =，则点A 与O 的位置关系是（）
A ．点A 在O 外
B ．点A 在O 上
C ．点A 在O 内
D ．不能确定 2．若点A 在O 内，点B 在O 外，3OA =，5OB =，则O 的半径r 的取值范围是（）
A ．03r <<
B ．28r <<
C ．35r <<
D ．5r > 3．下列命题：①任意三点确定一个圆；②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦；③相等的圆心角所对的弦相等；④长度相等的弧是等弧．其中真命题的有（） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 4．如图，已知
E 是ABC 的外心，P ，Q 分别是AB ，AC 的中点，连接EP ，EQ ，分别交BC 于点
F ，D ．若10BF =，6DF =，8CD =，
则ABC 的面积为（）
A ．72
B ．96
C ．120
D ．144 5．如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 的坐标分别为(1,4)，(5,4)，(1,0)，则以A 、B 、C 为顶点的三角形外接圆的圆心坐标是（）
A ．(3,2)
B ．(2,3)
C ．(1,3)
D ．(3,1) 6．已知O 的半径为6cm ，点P 在O 上，则OP 的长为（）
A ．4cm
B ．5cm
C ．6cm
D ．8cm
7．如图，AC 为边长为ABCD 的对角线，60ABC ∠=︒，点M ，N 分别从点B ，C 同时出发，以相同的速度沿,BC CA 向终点C 和A 运动，连接AM 和BN ，求APB △面积的最大值是（）
A ．
B ．4+
C ．1+D
8．如图，正方形ABCD 和正△AEF 都内接于⊙O ，
EF 与BC 、CD 分别相交于点G 、H ，则EF GH
的值是（）
A B C D ．2
9．如图，Rt △ABC 中，∠BCA ＝90°，将Rt △ABC 绕点A 按逆时针方向旋转30°得到
Rt AB C ''△，
点B '在直线AC 上，若BC ＝1，则点C 和AB C ''△外心之间的距离是（）
A ．1
B 1
C ．2 D
10．如图，四个水平放置正方形的边长都为4，顶点A 、B 、C 是圆上的点，则此圆的面积为（）
A ．72π
B ．85π
C ．100π
D ．104π
二、填空题 11．如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 是边BC 上任意一点，连结AD ，过点C 作CE AD ⊥ 于点E ，过点C 作CF CE ⊥，且CF CE =，连结FE 并延长交AB 于点M ，连结BF ．若四边形AMEC 的面积是8，2CE =，则四边形ABFC 的面积是________．
12．如图，在平面直角坐标系中，过点()()()1,2,3,2,4,1A B C 作一圆弧，则该弧所在圆的圆心坐标为________．
13．如图．在△ABC 中，∠A ＝60°，BC ＝5cm ．能够将△ABC 完全覆盖的最小圆形纸片的直径是__________cm ．
14．如图，ABC 中，AB AC =，AD 是BAC ∠的平分线，EF 是AC 的垂直平分线，交AD 于点O ．若3OA =，则ABC 外接圆的面积为______．
15．已知ABC ∆内接于⊙O ，连接,,OA OB OC ，若::1:4:3OAC OBA OCB ∠∠∠=，则ACB =∠__________．
16．半径为O 是锐角三角形ABC 的外接圆，AB =AC ，连接OB 、OC ，延长CO 交弦AB 于点D ．若△OBD 是直角三角形，则弦BC 的长为_______________．
三、解答题
17．如图，已知ABC ∆．
（1）用无刻度的直尺、圆规作ABC ∆的外接圆（只需作出图形，并保留作图痕迹)．（2）若110BAC ︒∠=，在ABC ∆的外接圆中，仅用无刻度的直尺能画出的不同度数的圆周角有 (写度数)．
18．已知四边形ABCD ，用无刻度的直尺和圆规完成下列作图．（保留作图痕迹，不写作法）
（1）如图①，连接BD ，在BC 边上作出一个点M ，使得AMD ABD ∠=∠；（2）如图②，在BC 边上作出一个点N ，使得AND A ∠=∠．
19．回答下列问题：
（1）计算：2-2
1
tan 60sin 452cos302︒-︒-︒+()
（2）如图，Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，请用尺规作图求作P ，使点P 在BC 上且使P 与AC AB ，都相切．（不写作法，保留作图痕迹）
20．如图，已知四边形ABCD 是矩形，AC 为对角线．
（1）把△ABC 绕点A 顺时针旋转一定角度得到△AEF ，点B 的对应点为E ，点C 的对应点F 在CD 的延长线上，请你在图中作出△AEF ．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，求证：B ，D ，E 三点共线．
参考答案1．A
2．C
3．B
4．B
5．A
6．C
7．D
8．C
9．B
10．B
11．18
12．（2，0）
13．
．
3
14．9π
15．45或30．
16．10
17．（1）见解析；（2）70︒、110︒
【详解】
解：(1) 如图的圆为所求作
(2) 若110BAC ∠=︒，则优弧BC 所对的圆周角大小为110°，劣弧BC 对应的圆周角的大
小为180°-110°=70°，
故有两个不同度数的圆周角，其度数分别为：70°和110°．
故答案为：70°和110°．
18．（1）见解析；（2）见解析
解：（1）如图①，点M 即为所求．
作AD 、AB 的垂直平分线，以交点为圆心，这一点到A 的距离为半径作圆，该圆与BC 交点即为所求点M ．
（2）如图②，点N 即为所求．
在AB 延长线上截取DA DE =，在（1）的基础上，可知作AED 外接圆即可，该圆与BC 交点即为所求点N ．
19．（1）7
2；（2）画图见解析．
【详解】
（1）原式2-2×2+22
1
2=7
2
（2）作法：以A 为圆心以任意长为半径画弧分别与AB 、AC 相交于D 、E 两点，分别以D 、E 为圆心，以大于1
2DE 长为半径画弧，相交于点F ，
连接AF 交BC 与点P ，
以P 为圆心，以BP 为半径作P ，即为所求．
20．（1）作图见解析；（2）证明见解析．【详解】
（1）如图，△AEF即为所求．
（2）如图，连接DE，BE．
∵∠AEF=∠ADF=90°，
∴A，F，D，E四点共圆，
∴∠AED+∠AFD=180°．
∵AF=AC，
∴∠ACD=∠AFD．
∵∠ACB=∠AFE，∠ACB+∠ACD=90°，∠AFE+∠F AE=90°，∴∠ACD=∠EAF=∠AFD．∵∠ABD=∠EAF，
∴∠ABD=∠AFD．
∵AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴∠AFD=∠AEB，
∴∠DEA+∠AEB=180°，
∴B，E，D共线．
答案第5页，总5页。