拉普拉斯变换的初值和终值定理
laplace拉普拉斯变换,拉普拉斯定理
二、拉氏变换的几个基本性质 （1）线性性质
设L[ f1 (t )] F1 ( s )，L[ f 2 (t )] F2 ( s )，a、b为常数，则有 L[ af1 (t ) bf2 (t )] aL[ f1 (t )] bL[ f 2 (t )] aF1 ( s ) bF2 ( s ) L1[aF1 ( s ) bF2 ( s )] aL1[ F1 (t )] bL1[ F2 (t )] af1 (t ) bf2 (t )
利用本公式可得： L[ u (t )] 1 / s L[t 2 ] 2 / s 3 L[t ] 1 / s 2
5、指数函数
e f (t ) 0
at
t0 t0
f(t)
a0
F (s) e e
at 0
st
dt
0
a0
t
e
0
( s a )t
1
1 d ( m 1) C1 lim ( m 1) [(s s1 ) m F ( s )] ( m 1)! s s ds
1
f (t ) L1 [ F ( s )]
n Cm C m 1 m 2 st m 1 [ t t C 2 t C1 ]e Ci e s t ( m 1)! ( m 2)! i m 1
（2）微分性质
设L[ f (t )] F ( s )，则有 df (t ) ] sF ( s ) f (0) dt d 2 f (t ) L[ ] s 2 F ( s ) sf (0) f ' (0) dt 2 L[ d n f (t ) L[ ] s n F ( s ) s n 1 f (0) s n 2 f ' (0) f dt n
拉普拉斯变换在电路分析中的应用)
目录
• 引言 • 拉普拉斯变换基本原理 • 电路元件拉普拉斯变换表示 • 线性时不变电路分析 • 非线性电路分析 • 复杂电路分析 • 总结与展望
01
引言
目的和背景
电路分析的重要性
电路分析是电气工程和电子工程领域 的基础，对于设计和分析各种电路系 统至关重要。
复杂电路的挑战
独立电流源的拉普拉斯变换表示为 $frac{I}{s}$，其中$I$为电源电流。 在拉普拉斯域中，独立电流源的阻 抗与频率成反比。
传输线元件
传输线
传输线的拉普拉斯变换表示为$frac{1}{sqrt{LC}s}$，其中$L$和$C$分别为传 输线的单位长度电感和电容。传输线的阻抗与频率的平方根成反比，随着频率 的增加而减小。
与傅里叶变换的关系
拉普拉斯变换可视为傅里叶变换的扩展，能够处理更广泛 的信号和系统，包括不稳定系统和具有初始条件的系统。
在电路分析中的应用
拉普拉斯变换在电路分析中的主要应用包括求解线性时不 变电路的响应、分析电路的稳定性和暂态行为，以及设计 滤波器、控制器等电路元件。
02
拉普拉斯变换基本原理
定义与性质
利用伏安特性曲线或负载线等方 法，通过图形直观分析非线性电 路的工作状态。
解析法
通过建立非线性电路的数学模型， 采用数值计算或符号计算等方法 求解电路方程，得到电路的响应。
仿真法
利用电路仿真软件对非线性电路 进行建模和仿真分析，可以得到 较为准确的电路响应和性能参数。
拉普拉斯变换在非线性电路中应用
逆拉普拉斯变换
定义
逆拉普拉斯变换是将复平面上的函数转换回时域的过程，它 是拉普拉斯变换的逆操作。通过逆拉普拉斯变换，可以得到 电路的时域响应。
拉普拉斯变换性质
lim f (t ) lim sF (s )
t s 0
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6
2.4 拉氏变换的性质
8 终值定理
证明：根据拉普拉斯变换的微分定理，有
d f (t ) d f (t ) L e st d t sF ( s) f (0 ) d t 0 d t 令 s 0 时，对上式两边取极限
注意：当 f (t ) 是周期函数，如正弦函数 没有终值，故终值定理不适用。
sinω t时，由于它
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8
2.4 拉氏变换的性质
例1： F ( s )
1 , 求f () s 5
t
f (t ) e5t , lim f (t )不存在， 不能应用终值定理。
9
2.4 拉氏变换的性质
例2： F ( s)
1 , 求f () s( s a)
F(s)的极点s=0, s=-a，其中一个极点在原点，另一个
位于S平面的左半平面，可以应用终值定理。 1 1 f () lim sF ( s) lim s 0 s 0 s a a
2s 1 例3：F ( s) , 求f () 2 s( s 1)
F(s)的极点s=0, s=j，s=-j，有一对极点在虚轴，不满足终值定理
使用条件，f(t)的终值不存在。
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拉氏变换与拉普拉斯变换的区别
拉氏变换与拉普拉斯变换的区别拉氏变换和拉普拉斯变换是数学中常用的两种变换方法，它们在信号与系统、控制理论等领域有着广泛的应用。
虽然两者都是将一个函数或信号从时域转换到频域，但它们在定义、适用范围和具体的变换公式上存在一些区别。
拉氏变换是一种将时域函数转换为复频域函数的方法，它的定义如下：L{f(t)}=F(s)=∫[0,∞)e^(-st)f(t)dt其中，s是复变量，通常表示为σ+jω，其中σ是实部，ω是虚部。
这个变换将时域函数f(t)转换成复频域函数F(s)，其中s的实部表示函数的衰减或增长情况，虚部表示函数的周期性。
拉普拉斯变换是一种将时域函数转换为复频域函数的方法，它的定义如下：L{f(t)}=F(s)=∫[0,∞)e^(-st)f(t)dt与拉氏变换不同的是，拉普拉斯变换的时间范围是从0到正无穷，而拉氏变换的时间范围是从负无穷到正无穷。
这使得拉普拉斯变换更适用于描述初始条件的情况，例如电路中的初始电荷和电流等。
另外，拉普拉斯变换在定义上还包括了初值定理和终值定理，这两个定理是拉普拉斯变换的重要性质之一。
初值定理指出，如果一个函数在时刻t=0时的初值存在，则该初值可以通过拉普拉斯变换的逆变换得到。
终值定理则指出，如果一个函数在时刻t=∞时的极限存在，则该极限可以通过拉普拉斯变换的逆变换得到。
从应用角度来看，拉氏变换更常用于解决线性时不变系统的稳定性和频率响应等问题，而拉普拉斯变换更常用于解决线性时不变系统的初始值和稳态值问题。
此外，拉普拉斯变换还可以用于求解微分方程的初值问题，而拉氏变换只适用于求解微分方程的全局性质。
这使得拉普拉斯变换在控制系统、电路分析和信号处理等领域中更为常见。
综上所述，拉氏变换和拉普拉斯变换在定义、适用范围和具体的变换公式上存在一些区别。
选择使用哪种变换方法取决于具体的问题和应用领域。
在信号与系统、控制理论等领域，了解和掌握这两种变换方法的区别及其特点对于深入理解和应用相关知识非常重要。
拉普拉斯变换的基本性质
所以
t 0
lim f (t ) f (0 ) lim sF ( s)
例：已知
求
f1 (t ) f2 (t )
的拉普拉斯变换
F( s)
解：F(s) F1 (s) F2 (s)
1 1 s 1 1 s 1 (s 1)(s 2) (s 1)(s 2) s 2
说明：前面求正余弦信号的拉普拉斯变换时已经用到了线性性。
二．延时（时域平移）
证明：
L f (t )e
α t
α t st f ( t )e e d t F (s α) 0
例：求 e α t cos ω0t 的拉氏变换
解：已知 : L cos(ω0t )u (t )
t
sα 所以 e cos(ω0t )u (t ) 2 ( s α ) 2 ω0 ω0 t 同理 : e sin(ω0t )u (t ) 2 ( s α ) 2 ω0
所以
1 1 F ( s) F1 ( s ) 2 (1 e2 s )2 s 2s
七．s 域微分定理
若
L f (t ) F (s ) d F ( s) L tf (t ) ds n d F ( s) n L (t ) f (t ) d sn
则
n 取正整数
(2)信号一定是右移 (3)表达式
所表示的信号不能用时移性质
二．延时（时域平移）
例：已知
1 f (t ) 0
0<t <t0
其余
求
F( s)
解： 因为
所以
f (t ) u (t ) u (t t 0 )
4-2单边拉普拉斯变换的性质
推广: 推广 f'' ( t ) ↔ s[ sF ( s ) − f ( 0 − )] − f' ( 0 − )
= s 2 F ( s ) − sf ( 0 − ) − f' ( 0 − )
f''' (t ) ↔ s[ s F ( s ) − sf (0− ) − f' (0− )] − f" (0− )
3.复频移特性(s域平移特性) 3.复频移特性(s域平移特性) 傅立叶变换域 复频移特性(s域平移特性
若
f (t )e ± jω 0t ↔ F [ j (ω m ω 0 )]
f (t) ↔ F(s)
则 f (t )e
± s0t
Re[s] > σ1
Re[ s] > σ 1 ± Re[ s0 ]
↔ F (s m s0 )
= F1 ( s)
双边拉氏变换则不同！ 双边拉氏变换则不同！
F3 ( s ) = L[ f 3 (t )] = L[tε (t − t0 )]
= L[(t − t0 )ε (t − t0 )] + L[t0ε (t − t0 )]
= L[tε (t )] ⋅ e− st0 + t0 L[ε (t − t0 )] 1 − st0 t0 − st0 Re[ s ] > 0 = 2e + e s s
s 2Y ( s ) + 3 sY ( s ) + 2Y ( s ) = sF ( s ) + 2 F ( s )
Y ( s )( s 2 + 3 s + 2) = F ( s )( s + 2)
Y (s) s+2 1 = 2 = = H (s) F ( s ) s + 3s + 2 s + 1
拉普拉斯定理
拉普拉斯定理拉普拉斯定理（Laplace's theorem），又称拉氏变换定理（Laplace transform theorem），是拉普拉斯变换理论中的重要定理之一。
它描述了一个函数经过拉普拉斯变换后的性质，被广泛应用于各个科学领域，如物理学、工程学等。
下面将详细介绍拉普拉斯定理的定义、性质以及应用。
首先，我们需要了解拉普拉斯变换。
拉普拉斯变换是一种将一个时间或空间域函数转化为一个复平面上的函数的数学工具。
对于一个函数f(t)，它的拉普拉斯变换表示为F(s)，其中s是复变量。
拉普拉斯变换可以将原函数从时间域转换到频率域，从而方便地进行信号分析和处理。
拉普拉斯定理是指当函数f(t)及其导数在t=0存在时，它们的拉普拉斯变换具有以下性质：1. 常数项性质：如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，那么f(t)中的常数项c的拉普拉斯变换为c/s。
这意味着拉普拉斯变换可以方便地处理包含常数项的函数。
2. 积分性质：如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，那么∫[0,t]f(u)du 的拉普拉斯变换为F(s)/s。
这个性质对于计算函数的积分非常有用，并且可以简化一些复杂的积分计算。
3. 初值定理：如果f'(t)的拉普拉斯变换为F(s)，那么f(0)的拉普拉斯变换为lim(s->∞)sF(s)。
这个定理描述了函数f(t)在t=0处的初始值与其拉普拉斯变换之间的关系。
4. 终值定理：如果lim(t->∞)f(t)存在，并且函数f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，那么lim(s->0)sF(s)为f(t)的终值。
这个定理描述了函数f(t)在t趋近于无穷大时的极限与其拉普拉斯变换之间的关系。
拉普拉斯定理的这些性质可以方便地用于求解微分方程、差分方程以及其他许多数学问题。
它可以将一个复杂的微分方程转化为一个简单的代数方程，从而更加容易通过数值方法求解。
此外，拉普拉斯定理还在控制系统理论中有广泛的应用。
拉氏变换及反变换
2. f (t) eatu(t) (指数函数)
f
(t)
0
（t 0）
et （t 0）
F(s)= ℒ [eat ] eatestdt 0 ℒ [ejt ] 1 s j
1
e(sa)t
sa
0
1 sa
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
3. f (t) (t) （单位脉冲函数）
(t)
t
s0
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
例1
u(t) t0
lim s 1 s s
1
例2 I(s) 5 2 s1 s2
i(0 ) lim s( 5 2 ) lim( 5 2 ) 3 s s 1 s 2 s 1 1/ s 1 2 / s
例3
I (s) ℒ [1 e-t ] 1 1 s s1
Ui(s) H(s) I(s)
I(s)=Ui(s)H(s)= ℒ[ui(t)] H(s)
=ℒ eat (t)
（5）作Laplace反变换得
1 R Ls
s
1
a
1 L
s
1 R
L
零状态响应电流
i(t)= ℒ-1[I(s)]
1
(e a t
Rt
e L )
(t)
L ( R a)
L
机械工程控制基础
拉普拉斯变换及反变换
的
拉
t
1/s2
普 拉
n!
tn
sn+1
1
斯
e-at
s+a
变 换
1
te-at
(s+a)2
表
tne-at
n!
(s+a)n+1
拉普拉斯变换基础知识讲解
0
0
0
在t＝0 至t＝0＋ f(t)=(t)时此项 0
2 象函数F(s) 用大写字母表示,如I(s)，U(s)。 原函数f(t) 用小写字母表示，如 i(t), u(t)。
3 象函数F(s) 存在的条件：
0 f (t )est dt est为收敛因子
如果存在有限常数M和c使函数f(t)满足：
s2
s
2
初值定理： f(t)在t = 0处无冲激则
f (0 ) lim f (t) lim SF (S)
t0
s
终值定理：
lim f (t)存在时 t
f () lim f (t) lim SF (S)
t
s0
f () lim f (t) lim SF (S)
t
s0
证：利用导数性质
lim
s0
t (t) t n (t)
1
1
1
n!
S
S2 S n1
微分
sint (t)
S2 2
e-tt n (t )
n!
(S )n1
cost (t)
S
S2 2
e-t (t )
1
S
e-t sint (t)
(S )2 2
L[ f (t t0 ) (t t0 )] est0 F (S )
e sT
/
2
)
[
f
(t )]
1 1 esT
1 ( s
1 s
e ) sT /2
1 S
( 1
1 e ST
/2)
F (S ) L[et f (t)]
例1：L[tet (t)]
(S
1
K1.10-拉普拉斯变换的性质—初值、终值定理
拉普拉斯变换的性质—初值、终值定理
K1.10 拉普拉斯变换的性质—初值、终值定理
初值定理和终值定理常用于由F(s)直接求f(0+)和f(∞), 而不必求出原函数f(t)。 初值定理
设函数f(t)不含(t)及其各阶导数（即F(s)为真分式，
若F(s)为假分式化为真分式），
则 f (0) lim f (t) lim sF(s)
s0
s0 s 2 2s 2
例2
s2 F(s)
s2 2s 2
F(s)
1
2s 2 s2 2s
2
1
F1(s)
f
(0)
lim
s
sF1(s)
lim
s
2s2 2s s2 2s 2
2
f () lim sF(s) lim s3 0
s0
s0 s2 2s 2
3Leabharlann 初值定理设函数ft不含t及其各阶导数即fs为真分式若fs为假分式化为真分式k110拉普拉斯变换的性质初值终值定理xidianuniversityicie
拉普拉斯变换的性质—初值、终值定理
知识点K1.10
拉普拉斯变换的性质—初值、终值定理
主要内容： 1.拉普拉斯变换的初值定理 2.拉普拉斯变换的终值定理 基本要求： 1.掌握拉普拉斯变换的初值、终值定理 2.熟练计算初始值和终止值
t 0
s
终值定理
若f(t)当t →∞时存在，并且 f(t) ← → F(s) , Re[s]>0,
0<0，则
f () lim sF(s) s0
2
拉普拉斯变换的性质—初值、终值定理
例1
F(s)
s2
2s 2s
K1.10-拉普拉斯变换的性质—初值、终值定理
知识点K1.10
拉普拉斯变换的性质—初值、终值定理
主要内容： 1.拉普拉斯变换的初值定理 2.拉普拉斯变换的终值定理 基本要求： 1.掌握拉普拉斯变换的初值、终值定理 2.熟练计算初始值和终止值
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拉普拉斯变换的性质—初值、终值定理
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
K1.10 拉普拉斯变换的性质—初值、终值定理
初值定理和终值定理常用于由F(s)直接求f(0+)和f(∞), 而不必求出原函数f(t)。 初值定理
设函数f(t)不含(t)及其各阶导数（即F(s)为真分式，
若F(s)为假分式化为真分式），
则 f (0) lim f (t) lim sF(s)
t 0
s
终值定理
若f(t)当t →∞时存在，并且 f(t) ← → F(s) , Re[s]>0,
0<0，则
f () lim sF(s) s0
2
拉普拉斯变换的性质—初值、终值定理
例1
F(s)
s2
2s 2s
2
f (0) lim sF(s) lim 2s2 2
s
s s 2 2s 2
f () lim sF(s) lim 2s2 0
s0
s0 s 2 2s 2
例2
s2 F(s)
s2 2s 2
F(s)
1
2s 2 s2 2s
2
1
F1(s)
f
(0)
lim
s
sF1(s)
lim
s
2s2 2s s2 2s 2
2
f () lim sF(s) lim s3 0
s0
s0 s2 2s 2
3
拉普拉斯变换
t=0
4.位移定理 4.位移定理
则：L[ f (t t0 )] = est0 F(s) 设 L [ f (t)] = F(s) ：
注
当 t < t0
f (t t0 ) = 0
∞ 0
证： L [ f(t-t0 )] = ∫ f (t t0 )est dt
= ∫ f (t t0 )es(t t0 )est0 dt
t0
∞
e st 延迟因子
0
令t t0 = τ
e
st0
∫
∞
0
f (τ )e dτ
sτ
= e F(s)
st0
设： L[ f (t)] = F(s)
则： L[e f (t)] = F(s-α)
证：L e f(t) = ∫ e f (t)e dt 0
αt
∞
αt
αt
st
= ∫ f (t )e
0
∞
( s α ) t
t →0+ s→∞
终值定理： 终值定理：
f (∞) = lim f (t ) = lim SF(S)
t →∞ s→0
lim f (t)存在时 t →∞
f (∞) = lim f (t ) = lim SF(S)
t→∞ s→0
证：利用导数性质
d lim∫ f (t)est dt = lim[SF(S) f (0 )] s→0 0 dt s→0 ∞ d f (t)limest dt = f (t) ∞ ∫0 dt s→0 0
2. 拉氏变换的定义
的拉普拉斯变换式： 定义 [ 0 , ∞)区间函数 f(t)的拉普拉斯变换式：
F(s) = +∞ f (t)est dt ∫0 1 σ + j∞ st f (t) = ∫σ j∞ F(s)e ds 2πj
广义拉普拉斯变换
广义拉普拉斯变换1. 引言广义拉普拉斯变换是一种在信号和系统领域中广泛应用的数学工具。
它是对经典的拉普拉斯变换进行了扩展，可以处理更多类型的信号和系统。
广义拉普拉斯变换在控制理论、通信工程、电路分析等领域有着重要的应用。
本文将介绍广义拉普拉斯变换的定义、性质以及其在实际应用中的一些例子。
同时，还将讨论广义拉普拉斯变换与经典拉普拉斯变换之间的关系，以及如何从经典的拉普拉斯变换得到广义的形式。
2. 广义拉普拉斯变换定义广义拉普拉斯变换是对复数域上函数进行变换的一种方法。
给定一个函数f(t)，其广义拉普拉斯变换定义为：∞f(t)dtF(s)=∫e−st其中，s是复数域上的参数，可以看作是频率域上的变量。
需要注意的是，在计算广义拉普拉斯变换时，需要保证被积函数f(t)满足一定条件，使得积分收敛。
常见的条件包括函数的绝对可积性和指数衰减性等。
3. 广义拉普拉斯变换的性质广义拉普拉斯变换具有一些重要的性质，这些性质使得它在信号和系统分析中非常有用。
3.1 线性性质广义拉普拉斯变换具有线性性质，即对于任意常数a和b，以及函数f(t)和g(t)，有以下等式成立：ℒ{af(t)+bg(t)}=aF(s)+bG(s)其中，F(s)和G(s)分别是函数f(t)和g(t)的广义拉普拉斯变换。
线性性质使得我们可以方便地处理复杂的信号和系统模型，通过将其分解为若干简单的部分并进行独立处理。
3.2 移位定理广义拉普拉斯变换具有移位定理，它描述了时间域中函数移位对频域中变换的影响。
具体而言，对于任意实数a和函数f(t)，有以下等式成立：ℒ{f (t −a )}=e −as F (s )移位定理可以用来分析信号在时间上的延迟或提前对频谱的影响。
它在通信系统中的等化器设计和滤波器设计中有重要应用。
3.3 初值定理和终值定理广义拉普拉斯变换还具有初值定理和终值定理，它们描述了函数在时间域的初值和终值与频域中变换的关系。
初值定理表明，如果函数f(t)在t=0时是连续的，并且存在有限的极限f (0−)和f′(0−)，则有以下等式成立：lim s→∞sF (s )=f (0−)终值定理表明，如果函数f(t)在t=∞时是连续的，并且存在有限的极限lim t→∞f (t )，则有以下等式成立：lim s→0sF (s )=lim t→∞f (t ) 初值定理和终值定理使得我们可以通过分析频域上的变换来推断时间域中函数的初始和最终状态。
电路原理第九章拉普拉斯变换
利用拉普拉斯变换，通过计算系统的极点和零点，判 断系统的稳定性。
电路系统的频率响应分析
频率响应定义
电路系统在不同频率下的输入与输出关系称为频率响应。
频率响应分析方法
通过拉普拉斯变换将时域函数转换为复频域函数，进而分析频率 响应。
频率响应特性
频率响应具有幅度和相位特性，这些特性决定了电路系统在不同 频率下的性能表现。
到该函数的拉普拉斯变换。
拉普拉斯变换具有线性性和时移性等性质，使得复杂电路的分
03
析变得简单。
拉普拉斯变换的性质
1 2 3
线性性
如果函数$f(t)$和$g(t)$的拉普拉斯变换分别为 $F(s)$和$G(s)$，那么对于任意实数$k$和$l$， 有$(kf(t)+lg(t))的拉普拉斯变换=kF(s)+lG(s)$。
04
拉普拉斯变换的逆变换
逆变换的定义和性质
逆变换的定义
如果一个函数f(t)的拉普拉斯变换存在，那么就存在另一个函数g(s)的拉普拉斯 变换等于f(t)，并且g(s)可以通过一定的积分运算从f(t)得到，这个过程就是逆 变换。
逆变换的性质
逆变换具有线性、时移、频移、微分、积分等性质，这些性质在求解逆变换时 非常有用。
时移性
如果函数$f(t)$的拉普拉斯变换为$F(s)$，那么 对于任意实数$a$，有$(f(t-a))的拉普拉斯变换 =e^{-as}F(s)$。
频移性
如果函数$f(t)$的拉普拉斯变换为$F(s)$，那么 对于任意实数$b$，有$(f(t)e^{bt})的拉普拉斯 变换=F(s-b)$。
拉普拉斯变换的应用
拉普拉斯变换的微分性质
微分性质
如果函数f(t)的拉普拉斯变换存在，那么对于实数a，函数f''(t)的拉普拉斯变换等于函数f(t)的拉普拉斯变换乘以 s^2。
拉普拉斯变换表
拉普拉斯变换表第一篇：拉普拉斯变换基础拉普拉斯变换是一种重要的数学工具，在工程、物理、经济等领域都有重要的应用。
拉普拉斯变换可以将一个复杂的函数转换成另一个更易于处理的函数，从而为解决实际问题提供了便利。
1. 拉普拉斯变换定义拉普拉斯变换是一种线性运算，它将一个函数f(t)转换成另一个函数F(s)，数学上可以表示成：F(s)=∫0^∞e^(-st)f(t)dt其中，s 是一个复数，称为变换参数。
实际上，s 的实部和虚部分别对应于指数函数e^(-st)中的衰减因子和频率。
2. 拉普拉斯变换性质拉普拉斯变换有很多重要的性质，这些性质可以帮助我们更好地理解和使用拉普拉斯变换。
(1) 线性性质拉普拉斯变换是一种线性运算，即对于任意常数a和b，有：L{af(t)+bg(t)}=aF(s)+bG(s)(2) 平移性质拉普拉斯变换具有平移性质，即：L{f(t-a)}=e^(-as)F(s)(3) 尺度变换性质拉普拉斯变换还具有尺度变换性质，即：L{f(at)}=1/aF(s/a)(4) 求导性质拉普拉斯变换对时间的一阶和二阶导数的变换分别为：L{f'(t)}=sF(s)-f(0)L{f''(t)}=s^2F(s)-sf(0)-f'(0)(5) 初值定理和终值定理拉普拉斯变换有两个重要的极限定理，分别是初值定理和终值定理。
初值定理描述了原函数在t=0 时的值与拉普拉斯变换之间的关系，可以表示为：lim_(s→+∞)sF(s)=f(0)终值定理则描述了原函数在t 趋近于无穷时的极限值与拉普拉斯变换之间的关系，可以表示为：lim_(s→0)sF(s)=lim_(t→∞)f(t)3. 常见函数的拉普拉斯变换下面是几种常见函数的拉普拉斯变换：(1) 矩形波函数rect(t)L{rect(t)}=1/s(2) 单位阶跃函数u(t)L{u(t)}=1/s(3) 指数衰减函数e^(-at)L{e^(-at)}=1/(s+a)(4) 三角函数sin(at)L{sin(at)}=a/(s^2+a^2)(5) 三角函数cos(at)L{cos(at)}=s/(s^2+a^2)第二篇：拉普拉斯变换表1下面是一份拉普拉斯变换表，其中包含了一些常见函数的拉普拉斯变换。
拉普拉斯变换及反变换
初值定理 若ℒ [f(t)]=F(s)，且 f(t)在t = 0处无冲激，
则 f (0 ) lim f (t) lim sF (s)
t 0
s
终值定理 f(t)及其导数f (t)可进行拉氏变换，且
lim f (t)存在时
t
f () lim f (t) lim sF(s)
t
s0
例1
u(t)t0
k2(2 ss1)52(s1)2S13 k1dds(2s5)S12
f(t)L1[F(s])2et3tet t0
例2
F(s)
s2 2s2 (s2)3
k1 (s2)
(s k22)2(s k32)3
等式两边乘 (s 2)3
F(s)(s 2)3 k1(s 2)2 k2 (s 2) k3
k3s2(s22 s)32(s2)3S22
lims11 s s
例2 I(s) 5 2 s1 s2
i( 0 ) lis ( m 52) li(m 52) 3 s s 1s 2s 1 1 /s1 2 /s
例3
I(s)ℒ [1e-t]1 1 s s1
11 i(t)t ls i0m s(ss1)1
例4：已知F(s)= 1 ，求f(0)和f(∞) sa
拉普拉斯变换的基本性质表
本讲小结： 拉普拉斯变换定义 常用函数的拉普拉斯变换
拉普拉斯变换的基本性质
(1)
利用 ℒ
• 作业
1、 写出拉普拉斯变换定义式 2、
__
1
(s-1)2
二、拉普拉斯反变换
1、由象函数求原函数 f(t)=L-1[F(s)]
（1）利用公式
f(t) 1 2πj
（S2+a1S+a0）R(S)-(S+a1)r(0-)-r/(0-)=(Sb1+b0)E(s)-b1×0
拉普拉斯变换在微分方程中的应讲解
指导老师：常莉红拉普拉斯变换在微分方程中的应用王彦朋（宝鸡文理学院 数学系，陕西 宝鸡 721013）摘 要： 利用了拉普拉斯变换及其它的性质,讨论了它在线性时不变系统的时域响应和电路分析中的应用.关键词：拉普拉斯变换；微分方程；电路分析随着计算机的飞速发展，系统分析和设计的方法发生了革命性的变化.原来用传统的模拟系统来进行的许多工作，现在都可能用数字的方法来完成.因此，数字电路、离散系统的分析方法就更显得很重要了.其中，拉普拉斯变换是分析这类系统极为有效的方法，从而给学习使用者在应用上带来很大的方便.1 拉普拉斯变换的定义定义[]1：设函数()f t 是定义在[]0∞，+上的实值函数，如果对于复参数s j βω=+，积分()()0e d st F sf t t +∞-=⎰在复平面s 的某一域内收敛，则称()F s 为()f t 的拉普拉斯变换（简称拉氏变换），记为()()F s L f t =⎡⎤⎣⎦；相应地，称()f t 为()F s 的拉普拉斯逆变换（简称拉氏逆变换），记为()()1f t L F s -=⎡⎤⎣⎦.有时我们也称()f t 与()F s 分别为象原函数和象函数.2 拉氏变换存在定理若函数()f t 满足下列条件：（1）在0t ≥的任何有限区间上分段连续；（2）当t →+∞时，()f t 具有有限的增长性，即存在常数0M >及0c ≥，使得()e ct f t M ≤ ()0t ≤<+∞（其中c 称为()f t 的增长指数）.则象函数()F s 在半平面Re s c >上一定存在，且是解析的.3 拉普拉斯变换的性质（1） 线性性质：若()()()()1122,,L f t F s L f t F s ==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 12,a a 为任意常数，则有()()()()11221122L a f t a f t a F s a F s +=+⎡⎤⎣⎦.（2） 微分性质：若()[](),s F t f L =则()()()d 0d L f t sF s f t -⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦.（3） 积分性质：若()[](),s F t f L =则()()01t L f t dt F s s⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰.（4） 位移性质：若()[](),s F t f L =则()()e atL f t F s a -⎡⎤=+⎣⎦.（5） 延迟性质：若()[](),s F t f L =则当00t >时，有()()()000e st L f t t u t t F s ---=⎡⎤⎣⎦. （6） 卷积性质：若()()()()1122,,L f t F s L f t F s ==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦则有()()()()1212L f t f t F s F s *=⎡⎤⎣⎦.（7） 初值定理与终值定理:①初值定理: 若()[](),s F t f L =且()s sF s ∞→lim 存在,则()()0lim lim ,s t f t sF s +→∞→=或()()0lim s f sF s +→∞=. ②终值定理: 若()[](),s F t f L =且()s sF s ∞→lim 存在,则()()0lim lim ,t s f t sF s →∞→=或()()0lim s f sF s →∞=.4 拉普拉斯变换的应用4.1 利用拉普拉斯变换方法解线性微分方程这是拉普拉斯变换的一个最基本的应用.含有未知数()t f 及其各阶导数的方程称为微分方程.如果()t f 及其各阶导数都是一次的，则称之为线性微分方程.例 解微分方程()()()()()22d d 22e ,00,0 1.d d tf t f t f t f f t t-'-+=== 解 方程两端同时进行拉氏变换，得()()()211221s F s sF s F s s --+=+ 整理得()()()()()()22221117151551221111s s F s s s s s s s +-==-+++-+-+-+ ()s F 的反拉普拉斯变换就是原方程的解，即()()1117e e cos sin 555t t f t L F s t t --⎛⎫==+-+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭. 从以上分析可知，所谓用拉普拉斯变换解决问题的方法，实质上就是把时间域里的问题变换到s 域去求解，最后通过反变换再返回时间域.上述拉普拉斯变换中的复数s （或s 域）常常称为复频率（或复频域）. 4.2 利用拉普拉斯变换求解线性系统的响应这里讨论的范围，只限于线性系统.所谓系统，是用来处理各种输入信号的装置，这种处理可以用硬件来实现，如由各种电器元件组成的电路网络，机械元件组成的运动系统，都称为系统.这些系统的规律也可以用某中数学方法来描述，如电路方程，微分方程，硬件系统的传递函数（网络函数）等.这时，我们也称这些数学表达方式为系统.也就是说，系统也可以是指从实际物理元件组合中抽出来的数学规律.系统可以用软件表示，因为只要把这些规律掌握了，对实际系统的特性也就能充分地了解了.关于信号，在电路网络中就是指电压和电流.一般通指系统中一些变量和机械系统的位置、速度、压力和流量等等.设一个系统，在输入信号为()t f 1和()t f 2时的输出信号为()t y 1和()t y 2，若输入信号为()()t bf t af 21+时，其输出信号为()()t by t ay 21+（b a ,为常数），则这个系统为线性系统.如果系统的参数（如电阻、电容值等）是不随时间改变的，则称该系统为线性定常系统或线性时不变系统.利用拉普拉斯变换求线性系统的响应是其重要的应用之一.下面通过举例说明高阶微分方程的复频域解与状态方程的复频域解.4.2.1 高阶微分方程的复频域解对于线性系统，将微分方程的全解分解为零输入响应和零状态响应.其中，零输入响应是指没有外加激励信号的作用，仅由系统的储能元件的初始储能所引起的响应，用()zi r t 表示. 零状态响应是指系统初始条件为零（即系统中储能元件的初始储能为零）时，由外加激励信号()e t 产生的响应，用()zs r t 表示.系统的完全响应是零输入响应与零状态响应的和[]2，即()()()zi zs r t r t r t =+.例 系统的方程为()()()()()22d d d322,d d d r t r t r t e t e t t t t++=+()()()().00,10,='==---r r t u e t e t 求零状态响应、零输入响应和完全响应.解 由于()()e t e t u t -=是因果信号，且(),11+=s s E 用拉普拉斯变换求解. 设()(),s R t r ↔则()()()()10-=-↔'-s sR r s sR t r ()()()()()s s R s r sr s R s t r -='--↔''--2200系统方程两边同时进行拉普拉斯变换，有()()()()()231221s R s s sR s R s s E s -+-+=+⎡⎤⎣⎦求得()()()233122+++++=s s s s E s s R ()()233231222+++++++=s s s s s s E s ()()s R s R zi zs +=零状态响应的拉氏变换为()()s E s s s s R zs 23122+++=()()211121s s s s +=⋅+++ ()2313112+-++++-=s s s 则零状态响应为()()()2e 3e 3e t t t zs r t t u t ---=-+-零输入响应的拉氏变换为()21122332+-++=+++=s s s s s s R zi 则零输入响应为()()()22e e t t zi r t u t --=-完全响应的拉氏变换为()()()2222131543232121s s R s E s s s s s s s s ++--=⋅+=+++++++++ 完全响应为()()()()()2e 5e 4e t t t zi zs r t r t r t t u t ---=+=-+-通过上述例题分析可知：利用拉普拉斯变换求系统响应，需首先将描述系统输入输出关系的高阶微分方程逐项进行拉普拉斯变换，得到复频域的代数方程，求出代数方程的解答后，经过反变换即可得到时域解.4.2.2 状态方程的复频域解法 线性系统的状态方程的标准形式为()()()d d t A t B t tλλ=+ （1） 系统的输出方程为()()()y t C t D t λ=+（2） 式中，,,,A B C D 为系数矩阵；,y x λ，分别为状态变量、输出变量和系统的输入变量.对状态方程式()1两边作拉普拉斯变换，得()()()()0s s A s BX s λ-Λ-=Λ+式中，()()()();s L t X s L x t λΛ==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦上式经整理得()()()()()110s sI A sI A BX s λ---Λ=-+- （3）对输出方程式()2作拉普拉斯变换，将式()3代入其中，得()()()Y s C s DX s =Λ+()()()()110C sI A C sI A B D X s λ---⎡⎤=-+-+⎣⎦()()zi zs Y s Y s =+ （4）其中，()()10zi Y C sI A λ--=-为系统的零输入响应；()()1zs Y C sI A B D X s -⎡⎤=-+⎣⎦为系统的零状态响应.式()()34与式经拉氏反变换后，得到时域形式的解()()()()(){}1110t L sI A sI A BX s λλ----⎡⎤⎡⎤=-+-⎣⎦⎣⎦（5） ()()()()(){}1110y t L C sI A C sI A B D X s λ----⎡⎤=-+-+⎣⎦（6）比较式()5与状态方程的时域解，即()()()()0e 0e d tA t At t Bx τλλττ---=+⎰可见，状态转移矩阵()()111adj e At sI A L sI A L sI A ---⎡⎤-⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦-⎣⎦（7） 式中，()adj sI A -是()sI A -的伴随矩阵；sI A -是()sI A -的特征多项式.利用式()7可以较方便地计算出e ,At 从而可以求出系统的零输入响应与零状态响应.例 已知状态方程和输出方程中的各矩阵分别为,1021⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=A 01,10B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ,1011⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=C ,0101⎥⎦⎤⎢⎣⎡=D 输入矢量为()(),⎥⎦⎤⎢⎣⎡t t u δ初始状态为()(),01001211⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--λλ求输出().t y解 首先求e At 的拉普拉斯变换.由式()7有()1112e 01Ats L sI A s ----⎡⎤⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦+⎣⎦()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++-=110121110211112s s s s s s s 由()()()---=01λA sI C s Y zi 得系统零输入响应的复频域解，即()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=01101110121110112z s s s s s Y i 系统零状态响应的复频域解()()1zs Y C sI A B D X s -⎡⎤=-+⎣⎦2121110110110111010101s s s s ⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎪⎪⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪⎪--⎢⎥=+⎢⎥⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎢⎥⎪⎪+⎣⎦⎩⎭⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--=1101111s s s s s s⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-=1112s s因此得系统全响应的时域解为()()()11zi zs y t L Y s L Y s --=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦e 2e 3e 0e e t t t t t --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦()0≥t由上例可见，矩阵A 的特征值决定了系统的自由响度.实际上它们就是系统的固有频率，因此可根据A 的特征值来判断系统的特性.4.3 拉普拉斯变换在电路分析中的应用4.3.1 关于线性动态电路的s 域分析法动态电路的s 域分析法，是指应用拉普拉斯变换的电路模型法.其关键在于正确作出动态电路的s 域模型.作电路的s 域模型和进行s 域分析.应明确如下几点.1. s 域中的电压和电流在s 域模型中，时域电源激励函数变换为象函数，各支路电压用象函数表示.通常时域激励函数由查拉氏变换表得出它的象函数.电路中的电压和电流用它的象函数表示，如()()s U t u →，()()s I t i →，()()c c u t U s →，()()L L i t I s →等.2.R ，L ，C 元件的s 域形式及其s 模型 （1）电阻元件R 的s 域形式为()()U s RI s =，或()()s GU s I =s 域模型如图1()a ,()b 所示.（2）电感元件L 的s 域形式为()()()0L L L U s sLI s Li -=- 或()()()01L L L i I s U s sL s-=+ s 域模型如图2()a ,()b 所示.其中sL 称为复频域感抗，1sL称为复频域感纳.()-0L Li 是由电感元件初始状态产生的附加电压源复频域电压，与()s I L 为非关联参考方向；()0L i s -是由电感元件初始状态产生的附加电流源电流，与1sL中电流参考方向相同.（3）电容元件C 的s 域形式为()()01c c c u U I s sC s-=+ 或()()()0c c c I s sCU s Cu -=-其中，sC 1称为复频域容纳,()0c u s-是由电容元件初始状态产生的附加电压源复频域电压，与()s U c 参考方向一致，()-0c Cu 是由电容元件初始状态产生的附加电流源电流，与()s U c 为非关联参考方向.由于R ，L ，C 元件阻抗和导纳两种s 域模型，故一个时域动态电路便可以作出两种s 域模型.电路分析时宜采用哪一种s 域模型呢？应视电路的结构而定.一般而言，串联电路宜采用阻抗s 域模型，并联电路则宜采导纳抗s 域模型. 3.基尔霍夫定律的s 域形式[]3基尔霍夫定律包括基尔霍夫电流定律（KCL ）和电压定律（KVL ）. （1）KCL ：在s 域中沿任一节点处各支路电流象函数的代数和为零，即()0I s =∑.（2）KVL ：在s 域中沿任一闭合回路各支路电压象函数的代数和为零，即()0U s =∑.4. s 域阻抗与s 域导纳（1）零状态RLC 串联电路的s 域阻抗()s Z ，是各元件阻抗之和，即()1Z s R sL sC=++（2）零状态RLC 并联电路的s 域导纳()s Y ，是各元件导纳之和，即()1Y s G sC sL=++ （3）s 域阻抗与s 域导纳，是互为倒数的关系，即()()1Z s Y s =，或()()1Y s Z s =（4）s 域阻抗()s Z 与s 域导纳()s Y 两端电压和通过电流象函数()s U ，()s I 符合欧姆定律，称为欧姆定律的s 域形式，即()()()s I s Z s U =或()()()s U s Y s I =下面举例来说明线性动态电路的s 域分析法.例 应用s 域分析法求一般二阶电路的阶跃响应,如图-4()a 所示电路,求阶跃响应()u t 和()i t .图4.3.1-4解 （解题思路）本题是一般直流二阶电路求阶跃响应，即零状态响应.作s 域模型中没有附加电源.s 域分析计算的步骤是，首先做出时域电路的s 域模型，然后应用节点分析法求解出待求量的象函数，并将其展开为部分分式，最后反变换为时域响应.（解题方法）（1）作出时域电路的s 域模型如图4()b 所示.其电压源的象函数是,10s复频域感抗(),s s Z L =复频域容抗()1C Z s s=.（2）求电压(),t u 应用节点分析法，列出节点方程为()110111+=⎪⎭⎫⎝⎛+++s s s U s s 化简整理得()()()()j s j s s s s s s U ++-+=++=111022102js k j s k s k +++-++=11321 计算待定常数()522100201=++=•===s s s s s U s k()()()45251101112-<-=++=•-+=+-=+-=js j s j s s s U j s k 452523-<-==k k 进行拉氏变换得出()()()()15cos 45t u t L U s t t V ε--⎡⎤==-⋅⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦(3)求()t i电路的s 域阻抗为 ()()111+++=s s s Z 故 ()()()()()22110111102+++=+++==s s s s s s s s Z S U s I S ()()()j s j s s s ++-++=11110js k j s k s k +++-++=11321计算待定常数()()5221100201=+++=•===s s s s s s I s k()()()()2111011451s js js k s j I s s s j =-+=-++=+-•==<-++3245k k ==<- ()5I s s =-⎢⎥⎢⎥⎣⎦进行反拉氏变换得出()()()()15cos 45t i t L I s t t A ε--⎡⎤==-⋅⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦本文通过讨论了拉普拉斯变换在线性时不变系统的时域响应，对复频域求解代数方程，得出待求响应量的复频域函数，最后经拉氏反变换为所求解的时域响应.这种变换分析方法，其实质就是时域问题变换为复频域来求解，使分析计算易于进行.应用拉普拉斯变换分析动态电路，把时域电路直接变换为复频域电路，即s 域模型.根据s 域模型进行分析计算，得出响应量的s 域形式，最后反变换为时域响应.这种分析方法易于对任意函数激励的动态电路进行分析计算，是一种具有广泛意义的分析方法. 除了以上所述内容之外，拉普拉斯变换还有许多应用，例如数学上还可以用来解一类积分方程，偏微分方程等等.致谢：本文在撰写过程中得到常莉红老师的悉心指导，在此表示衷心的感谢！参考文献：[1] 华中理工大学数学系编著.复变函数与积分变换[M ].北京：高等教育出版社1997：210-211.[2] 姜建国，曹建中，高玉明编著.信号与系统分析基础（第二版）[M ].北京：清华大学出版社，2006：27-28.[3] 马金龙，胡建萍，王苑苹编著.信号与系统[M ].北京：科学出版社，2006：222-223.Laplace transform and Its Application in the differentialequationsWANG Yan-peng（Department of Mathematics, Baoji University of Arts and Sciences, Baoji 721013, Shaanxi,China）Abstract: Laplace transform and other application are utilized in the article,and then it is discussed to a linear not change the domain of the system and circuit analysis.Key words: Laplace transform; Differential equation;Circuit analysis宝鸡文理学院本科毕业论文任务书注：课题性质分为①理论型②实践应用型。