随机过程与排队论17-18
排队论
G：一般分布。表示到达间隔时间或服务时间服从一般分布。G是General的第 一个字母。
EkE：rlkan-爱g 尔朗的分第布一。个表字示母到。达间隔时间或服务时间服从k-爱尔朗分布。E是 D: 定长分布 (常数时间)
H：超几何分布。
L：H项式分布。
Z代表的服务规程典型的有：
FCFS：先来先服务；LCFS：后来先服务；RSS：随机选择服务；
PR：优先权服务。 Ba：集体（批量）服务。 GD：一般规约服务，即通用规约服务。
排队论课件 23
3 基本排队关系
在对排队进行分析时，为了便于分析，经常做一些简化假设。对一个排队系 统，若满足以下三个条件：
（1）排队系统能够进入统计平衡状态；
（2）服务员的忙期与闲期交替出现，即系统不是总处于忙的状态；
泊松分布（Poisson）： P{X = k} = λk e-λ/ k! k=0,1,2,…， μx = σx = λ 泊松分布是最重要的离散型概率分布之一，也是表述随机
现象的一种重要形式。在实际系统模型中，一般都要假定任务 （或顾客）的到来是泊松分布的。实践也证明：这种假设有效。
如果顾客到达的人数是符合泊松分布，即在时间T内到达 有k个顾客到达的概率为：
♂
※
排队论课件
11
基本的排队模型
基本组成 概念与记号 指数分布和生灭过程
♂
排队论课件 12
典型排队系统模型
顾客到达: 在队列中排队 服务台服务 顾客离开
输入源
。。。
输入源的 特性？
到达规律 队列大小？
到达方式？
服务规律？
服务协议？
在本单元中，我们主要介绍排队系统的组成和特征，排队系统 的到达和服务，经典排队模型等内容。顾客到达规律和服务规 律都是通过概率来描述的，所以概率论是排队论的基础。
排队论
（ii）顾客到达的方式可能是一个—个的，也可能是成批的。 （iii）顾客到达可以是相互独立的，即以前的到达情况对以后的到达没有影响； 否则是相关的。 （iv）输入过程可以是平稳的，即相继到达的间隔时间分布及其数学期望、方差等 数字特征都与时间无关，否则是非平稳的。 1.2.2 排队规则 排队规则指到达排队系统的顾客按怎样的规则排队等待， 可分为损失制， 等待制和 混合制三种。 （i）损失制（消失制） 。当顾客到达时，所有的服务台均被占用，顾客随即离去。 （ii）等待制。当顾客到达时，所有的服务台均被占用，顾客就排队等待，直到接 受完服务才离去。例如出故障的机器排队等待维修就是这种情况。 （iii）混合制。介于损失制和等待制之间的是混合制，即既有等待又有损失。有 队列长度有限和排队等待时间有限两种情况， 在限度以内就排队等待， 超过一定限度就 离去。 排队方式还分为单列、多列和循环队列。 1.2.3 服务过程 （i）服务机构。主要有以下几种类型：单服务台；多服务台并联（每个服务台同 时为不同顾客服务） ；多服务台串联（多服务台依次为同一顾客服务） ；混合型。 （ii）服务规则。按为顾客服务的次序采用以下几种规则： ①先到先服务，这是通常的情形。 ②后到先服务，如情报系统中，最后到的情报信息往往最有价值，因而常被优先处 理。 ③随机服务，服务台从等待的顾客中随机地取其一进行服务，而不管到达的先后。 ④优先服务，如医疗系统对病情严重的病人给予优先治疗。 1.3 排队模型的符号表示 排队模型用六个符号表示，在符号之间用斜线隔开，即 X / Y / Z / A / B / C 。第一 个符号 X 表示顾客到达流或顾客到达间隔时间的分布；第二个符号 Y 表示服务时间的 第四个符号 A 是系统容量限制； 第五个符号 B 是 分布； 第三个符号 Z 表示服务台数目； 顾客源数目；第六个符号 C 是服务规则，如先到先服务 FCFS，后到先服务 LCFS 等。并 我们只讨论先到先服务 FCFS 约定， 如略去后三项， 即指 X / Y / Z / ∞ / ∞ / FCFS 的情形。 的情形，所以略去第六项。 表示顾客到达间隔时间和服务时间的分布的约定符号为： M —指数分布（ M 是 Markov 的字头，因为指数分布具有无记忆性，即 Markov 性） ； D —确定型（Deterministic） ； Ek — k 阶爱尔朗(Erlang)分布；
上海交大研究生课程随机过程和排队论习题答案
随机过程与排队论课程部分习题答案第一章1－1 解：因为，,)1()1,()1|(>>=>x p x x p x x p 其中， ⎰∞+--==>1)1(λλλe dx e x p x所以，{=>)1|(x x p )1(0--x e λλ 11>≤x x ，[]λλλ11)1|(1|1)1(+==>=>⎰⎰∞+--∞+∞-dx e x dx x x xp x x E x1－3 解：因为，y dx ye y e y Yf y x f y Y x f y y y y 1)(),()|(0=====⎰--,其中，+∞<<<<y yx 00所以，[]31|2022y dx y x y Y x E y =⋅==⎰1－4解：令，{=Y 210迷宫第一次选择左边，走出分钟徊第一次选择左边，但徘第一次选择右边561,31,21210===p p p令N 为耗子徘徊的时间均值；[]27][65][]|[+====∑N E i Y p i Y N E N E i所以，[]N E ＝21。
平均徘徊21分钟1－8解：Y 的概母函数qZ pZZ P -=1)(所以，[]()p q p P Y E 11)1(2'=-==，222][][][p qY E Y E Y Var =-=1－10 证明：（略）1－11 解：a ）N S 的概母函数为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==λλqZ p Z P G Z H 1exp ))(()(N S 的均值：p q S E N λ=][，方差，2)1(][p q qS Var N +=λb ）（1）证明：N S 的概率母函数为))1(exp())(exp()(-=-+=Z p Zp q Z H λλλ所以，N S 是均值为p λ的泊松分布。
（2）)()(),(y S P n N P y S n N P n N =⋅==== yn y n q p y n y n e n --⋅-⋅⋅=λλλ)!(!!!)!(!y n y q p e yn y n -=--λλ 得证（3）!)(),()(),()|(y e p yS n N P y S p y S n NP y S n N P py N N N N λλ-⋅=========()y n y n q e yn q ≥-=--,)!(λλ，证毕1－13 解：)()('x F x f =，且[]θλλθθ+==-K e E f x )(*所有, []λθθθKd df x E =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==0*)(1－15解：[]()22*1)(θθθθ---==e e E f x第二章2－2 解：na a a a a a n p qq p p q p q U ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--=2－5 证明：（略）2－7 证明：（略）2－8 解：)(1t N 时间t 内通过的小车数，)(2t N 时间t 内通过的大车数 a ）950.011)1)((36005.01≈-=-=≥-⨯-e e t N Pb ）[])(67105710)(|)(1辆=+==t N t N Ec ）066.0)5)(45)((12＝，＝=t N t N P2－9解：a ）顾客到达的时间的分布是均匀分布，所以，3/1)20(=p p ＝分钟内到达顾客在开始9/1)202(2=p p ＝分钟内到达个顾客在开始b ）至少有一个顾客在开始20分钟内到达的概率95)1(12=--=p p b2－11解：)1)1(exp())(()(qZ Z Z P G t M --=λ的概母函数：所以，p tP t X tE t M E i λλλ=⋅==)1(][)](['同时， 22)2(][)]([p p q t X tE t M Var +==λλ第三章3－1 解：1）根据定义，此过程为马氏链。
随机过程习题解答 ppt课件
习 题 三 15
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习题二 1
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习题二 9
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随机过程与排队论
电子科技大学 计算机科学与工程学院
习题一 4
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49－2
习题一 4
排队论
排队论研究的内容
（1）性态问题，即研究各种排队系统的概率规律性， 主要是 研究队长分布、等待时间分布和忙期分布等， 包括了瞬间和稳态两种情形。 （2）最优化问题，又分静态最优和动态最优，前者 指最优设计，后者指有排队系统的最优运营。 （3）排队系统的统计推断，即判断一个给定的排 队系统符合那种模型，以便根据排队理论进行分析 研究。
图 12-2
（d）顾客的到达可以是相互独立的，就是说，以前 的到达情况对于以后顾客的到来没有影响，否则就 是有关联的。例如，工厂内的机器在一个短的时间 区间内出现停机的数量（顾客到达）的就受已经待 修或被修理的机器数目的影响。我们主要讨论的是 相互独立的情形。
（e）输入过程可以是平稳的，或称对时间是齐次的， 是指描述相继到达的间隔时间分布和所含参数（如 期望值、方差等）都是与时间无关的，否则称为非 平稳的，非平稳情形的数学处理是很困难的。
趋于稳态，而无需等到t
形也确实存在的。
以后。但永远达不到稳态的情
求稳态概率Pn 时，并不一定求t 时 Pn (t) 的极限，而只需 令导数 Pn(t) 0 即可。我们以下着重研究稳态的情形。
到达间隔的分布和服务时间的分布
解决排队问题首先要根据原始资料作出顾客 到达间隔和服务时间的经验分布，然后按照统
（2）排队规则
（a）顾客到达时，如所有服务台都在被占用，在这种 情形下顾客可以随即离去，也可以排队等候。随即 离去的称为即时制或称损失制，因为这将失去许多 顾客；排队等候的称为等候制。
先到先服务，即按到达的次序接受服务， 后到先服务如乘电梯的顾客常是后入先出的,仓库中存
放的厚钢板也是如此。在情报系统中，最后到达的 信息往往是最有价值的 随机服务，指服务员从等待的顾客中随机地挑取其一 进行服务，因而不管到达的先后，如电话交换台接通 呼唤的电话就是如此。 有优先权的服务，如医院对于病情严重的患者将给予 优先治疗。
排队论详解及案例
cmLiu@shufe
Operations Research
9.2 几个常用的概率分布
9.2.1 经验分布 9.2.2 泊松分布 9.2.3 负指数分布 9.2.4 爱尔朗分布
cmLiu@shufe
Operations Research
9.2.1 经验分布
主要指标
平均间隔时间 = 总时间 到达顾客总数
Operations Research
9.1.3 排队论研究的基本问题
（3）系统优化问题的研究 研究排队系统的目的就是通过对该系统概率规律的研究， 实现系统的优化。系统的优化包括最优设计和最优运营问 题。前者属于静态问题，它是在输入和服务参数给定的情 况下，确定系统的设计参数，以使服务设施达到最大效益 或者服务机构实现最为经济。后者属于动态问题，它是指 对于一个给定的系统，在系统运行的参数可以随着时间或 状态变化的情况下，考虑如何运营使某个目标函数达到最 优。
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Operations Research
9.1.1 排队系统的描述和组成
一般的排队过程可以这样描述：顾客由顾客源出发，到达 服务机构（服务台、服务员）前，按排队规则排队等待接 受服务，服务机构按服务规则给顾客服务，顾客接受完服 务后就离开。
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Operations Research
9.1.1 排队系统的描述和组成
尽管排队系统是多种多样的，但所有的排队系统都是由输入过程、排 队规则、服务机构及服务规则三个基本部分组成的。 （1）输入过程 描述顾客来源以及顾客到达排队系统的规律。 一般从以下几个方面对输入过程进行描述：顾客源中顾客的数量是 有限还是无限；顾客到达的方式是单个到达还是成批到达；顾客的到 达是否相互独立（以前到达的顾客对以后达到的顾客没有影响，则称 顾客的达到是相互独立的，否则就是有关联的）；顾客相继到达的间 隔时间分布是确定型的还是随机型的（如果是随机分布，需要知道单 位时间内的顾客到达数或者顾客相继到达时间间隔的概率分布）；输 入的过程是平稳的还是非平稳的（若相继到达的间隔时间分布参数 （如期望值、方差等）都是与时间无关的，则称输入过程是平稳的， 否则称为非平稳）。 本章主要讨论顾客的到达是相互独立的、输入过程是平稳的情形。
排队论公式推导过程
排队论公式推导过程排队论是研究系统随机聚散现象和随机服务系统工作过程的数学理论和方法。
在咱们生活中，排队的现象随处可见，比如在超市结账、银行办业务、餐厅等座位等等。
咱们先来说说排队论中的一些基本概念。
想象一下，你去一家热门的奶茶店买奶茶，顾客就是“输入”，奶茶店的服务员就是“服务台”，制作奶茶的过程就是“服务时间”，而排队等待的队伍就是“队列”。
排队论中的一个重要公式就是 M/M/1 排队模型的平均排队长度公式。
咱们来一步步推导一下。
假设平均到达率为λ，平均服务率为μ。
如果λ < μ，系统是稳定的，也就是队伍不会无限长下去。
首先，咱们来求一下系统中的空闲概率P₀。
因为没有顾客的概率，就等于服务台空闲的概率。
P₀ = 1 - λ/μ接下来，咱们算一下系统中的平均顾客数 L。
L = λ/(μ - λ)那平均排队长度 Lq 怎么算呢？这就要稍微动点脑筋啦。
Lq = λ²/(μ(μ - λ))推导过程是这样的：咱们先考虑一个时间段 t 内新到达的顾客数 N(t)，它服从参数为λt的泊松分布。
在这个时间段内完成服务离开的顾客数 M(t) 服从参数为μt 的泊松分布。
假设在时刻 0 系统为空，经过时间 t 后系统中的顾客数为 n 的概率Pn(t) 满足一个微分方程。
对这个微分方程求解，就能得到上面的那些公式啦。
我记得有一次，我去一家新开的面包店，人特别多，大家都在排队。
我站在那里，心里就琢磨着这排队的情况，不就和咱们学的排队论很像嘛。
我看着前面的人，计算着大概的到达率，再瞅瞅店员的动作，估计着服务率。
那时候我就在想，要是店家能根据这些数据合理安排人手，大家等待的时间就能大大缩短啦。
总之，排队论的公式推导虽然有点复杂，但只要咱们耐心琢磨，就能搞明白其中的道理。
而且这些公式在实际生活中的应用可广泛啦，能帮助我们优化各种服务系统，让大家的生活更加便捷高效！。
生灭过程及排队论
1
0 0
λ 0w0 μ 1w1 λn1wn1 (λn
μ
n)wn
μn1 wn1
2 稳态的“概率流”平衡：
μn1wn1 λnwn
解得
wn
λ n1L λ 1λ 0 μ nL μ 2μ 1
排队系统中普适性的定律，统计量服从的公式 对到达过程、服务时间分布、服务规则无特殊要求 描述长时间平稳后的系统
W 形式为：L = λ·W
L ： 系统中的平均顾客数 λ： 平均(有效)到达率 W： 顾客在系统中所消耗的平均时间
M/M/1 或 M/M/1/∞排队模型
λ
λ
λ
λ
λ
0
1
2
3
4
μ
μ
μ
μ
μ
到达系统的顾客数服从泊松分布，参数 λ
负载因子ρ= λ/μ<1 的条件下，具有稳态分布：
wn
λ n1L λ 的概率
λ μ
n
wn
w0 (1
ρn
ρ)ρn
w0
1
λ μ
λ μ
n
系统平均用户数：
L n wn
n0
1ρ
ρd
ρn
dρ n0 ρ λ
μ
用户数的方差：
一定间隔内到达的顾客数服从泊松分布，到达率 λ 到达的时间间隔服从负指数分布，平均到达时间 1 / λ
排队系统的服务时间
缓冲区
服务者
服务时间
服务时间：服务器处理每个顾客业务所需的时间
是与服务器对具体业务的处理能力有关的随机量 一般用处理业务所需的时间的分布来表征 典型的服务时间：负指数分布
服务时间服从负指数分布，平均服务时间 1 / μ 顾客离开率： μ
排队论
7.3 排队系统时间参数分布规律
一、顾客到达时间间隔分布 (一)泊松流（泊松输入）与泊松分布 如果顾客到达满足如下条件,则称为泊松流: (1) 在不相互重叠的时间区间内，到达顾客数
相互独立(无后效性).
(2) 对于充分小的时间间隔 [t , t t ]内，到达
第一节 内容安排
内容安排 • 1、 前言 • 2、 基 本 概 念 • 3、 输入过程和服务时间分布 • 4、 泊松输入—指数服务排队模型
7.1 排队现象与排队系统
一、排队现象 到达顾客 病 人 进港的货船 到港的飞机 电话拨号 服务内容 诊断/手术 装货/卸货 降落 通话 服务机构 医生/手术台 码头泊位 机场跑道 交换台
顾客排队方式：等待制/即时制(损失制); 等待制:当顾客来到系统时，所有服务台都不空， 顾客加入排队行列等待服务; 损失制:指如果顾客到达排队系统时，所有服务台 都已被先来的顾客占用，那么他们就自动 离开系统永不再来。 排队系统容量：有限制/无限制; 排队队列数目: 单列/多列; 是否中途退出: 允许/禁止; 是否列间转移: 允许/禁止; (仅研究禁止退出和转移的情形)
(二)爱尔朗(Erlang)分布
(1) 设v1,v2,…,vk是k个相互独立的随机变量,服从 相同参数 k的负指数分布,则:T= v1+v2+…+vk的 概率密度为
k (kt ) kt b(t ) e (k 1)!
k 1
称T服从k阶爱尔朗分布。 (2)
E[T]=1/ ; Var [T]=1/( k2)
故障机器
修理技工
修理
领取修配零件
修理技工
仓库管理员
上游河水
入库
随机过程与排队论
随机过程与排队论任课教师:魏静萱副教授wjx@曾勇副教授第一节排队现象例一：电话系统：主叫用户和被叫用户之间提供语音服务，该服务承载于某条通信信道之上，即两个用户c个通道。
地需要一条通道，3个用户需要3个通道，4个用户需要6个通道。
一般的，n个用户需要2n球人口60亿，需要？通道。
海量通信接近天文数字。
解决：信道“公用”导致拥挤排队现象例二：排队现象举例排队系统的三大要素：1. 输入过程 2. 排队规则：队列允许的最大长度 3. 服务窗：顾客是怎样接受服务的1．输入过程：顾客按什么规则进入系统？一个个？成批？到达过程和到达时间间隔符合一定的分布，称到达分布。
假设：到达过程和到达时间是独立同分布的。
到达过程假定为平稳的，对时间是齐次的。
注：Markov 齐次过程 如果一个过程只依赖于现在，而不是过去。
表1 输入过程的三种随机过程描述按顾客到达过程的不同概率特性分类： ① 定长输入（D ）：顾客等间隔到达，nc τ=n τ的分布函数为 1()()0n t c F t P t t cτ≥⎧=≤=⎨<⎩②Poisson 流输入(M): 系统的输入过程{M(t)>0}是Poission 流 满足4个条件：a) M(t)取值为非负数b) P(M(0)=0)=1, 即时间间隔为0时到达系统 的人数为0 c) 过程{M(t)} 具有平稳独立增量性 d) 每一个增量M(a+t)-M(a)非负，且服从参数为tλ的泊松分布(){()()}!k a t P M t a M a k e K λλ-+-==③ k 阶Erlang 输入(Ek)④ 一般独立输入(G)：顾客的到达过程{n τ}是独立同分布的随机变量序列，其分布函数可以是任意函数。
⑤ 成批到达系统：顾客一批批到达系统，每批相继到达的时间间隔为上述各种分布之一。
2．排队与服务规则① 损失制 （无排队队列）：顾客到达时，系统被占用，顾客离去，不再回来。
排队论
泊松输入中的顾客到达间隔时间 T 相互独立且服从同参数 λ 的负指数分 布，其密度函数为
其平均到达间隔时间为
λ 称为到达率。
三. 排队系统的主要特征
1. 输入过程 ⑴ 定长输入( D, Deterministic ) ⑵泊松输入 (最简单流， M ) ⑶ 一般独立输入( G，General Independent ) —— 指顾客到达间隔时间 T 为相互独立且同分布的随机变量。最简单 流是它的一个特例。 此外，在本章所讨论的排队系统中，总假定输入过程是平稳的，或 称对时间是齐次的。 平稳的输入过程 —— 指顾客到达间隔时间的分布与时间无关。否则就称 为非平稳的。
服务台m
服务台 1
⑸
服务台 2
服务台 1 服务台 2
···
···
服务台 m
服务台 m
三. 排队系统的主要特征
1. 输入过程 2. 服务时间 τ 的分布 3. 服务机构(服务台) 4. 服务规则
⑴ 先到先服务(FCFS) ⑵ 后到先服务(LCFS)
如信息处理、仓库中堆积的货物等。 ⑶ 随机服务(SIRO) ⑷ 优先权服务(PR) ⑸ 一般服务规则(GD)
1909年，由丹麦工程师爱尔朗(A.K.Erlang)在研究电话系统时初创的。
§l 排队论的基本概念及研究的问题
一.排队论中有两个基本概念:
顾客:把提出需求的对象称为顾客(或需求); 服务:把实现服务的设施称为服务机构(或服务台)。
顾客和服务机构组成一个排队系统，称为随机服务系统。 因此也称排队论为随机服务系统理论
⑴ 定长输入( D, Deterministic ) —— 每隔一定时间 α 到达一个顾客，顾客到达间隔时间 T 的分布函数为
三. 排队系统的主要特征
排队论——精选推荐
排队论第⼀节引⾔⼀、排队系统的特征及排队论排队论（queueing theory）是研究排队系统（⼜称为随机服务系统）的数学理论和⽅法，是运筹学的⼀个重要分⽀。
在⽇常⽣活中，⼈们会遇到各种各样的排队问题。
如进餐馆就餐，到图书馆借书，在车站等车，去医院看病，去售票处购票，上⼯具房领物品等等。
在这些问题中，餐馆的服务员与顾客、公共汽车与乘客、图书馆的出纳员与借阅者、医⽣与病⼈、售票员与买票⼈、管理员与⼯⼈等，均分别构成⼀个排队系统或服务系统（见表10-1）。
排队问题的表现形式往往是拥挤现象，随着⽣产与服务的⽇益社会化，由排队引起的拥挤现象会愈来愈普遍。
表排队除了是有形的队列外，还可以是⽆形的队列。
如⼏个顾客打电话到出租汽车站要求派车，如果出租汽车站⽆⾜够车辆，则部分顾客只得在各⾃的要车处等待，他们分散在不同地⽅，却形成了⼀个⽆形队列在等待派车。
排队的可以是⼈，也可以是物。
如⽣产线上的原材料或半成品在等待加⼯；因故障⽽停⽌运转的机器在等待修理；码头上的船只等待装货或卸货；要降落的飞机因跑道被占⽤⽽在空中盘旋等等。
当然，提供服务的也可以是⼈，也可以是跑道、⾃动售货机、公共汽车等。
为了⼀致起见，下⾯将要求得到服务的对象统称为“顾客”，将提供服务的服务者称为“服务员”或“服务机构”。
因此，顾客与服务机构（服务员）的含义完全是⼴义的，可根据具体问题⽽不同。
实际的排队系统可以千差万别，但都可以⼀般地描述如下：顾客为了得到某种服务⽽到达系统，若不能⽴即获得服务⽽⼜允许排队等待，则加⼊等待队伍，待获得服务后离开系统，见图10-1⾄图10-4。
类似地还可画出许多其他形式的排队系统，如串并混联的系统，⽹络排队系统等。
尽管各种排队系统的具体形式不同，但都可由图10-5加以描述。
图10-1 单服务台排队系统图10-2 s 个服务台，⼀个队列的排队系统图10-3 s 个服务台，s 个队列的排队系统图10-4 多个服务台得串联排队系统顾客到达顾客到达图10-5 随机服务系统通常称由10-5表⽰的系统为⼀个随机聚散服务系统，任⼀排队系统都是⼀个随机聚散服务系统。
排队论
第9章 排队论排队论是我们每个人都很熟悉的现象。
因为人或物或是信息为了得到某种服务必须排队。
有一类排队是有形的，例如在售票处等待买票的排队，加油站前汽车等待加油的排队等；还有一类排队是无形的，例如电话交换机接到的电话呼叫信号的排队，等待计算机中心处理机处理的信息的排队等。
为了叙述的方便，排队者无论是人、物、或信息，以后统称为“顾客”。
服务者无论是人，或事物，例如一台电子计算机也可以是排队系统中的服务者，我们以后统称为“服务员”。
排队现象是我们不希望出现的现象，因为人的排队意味着至少是浪费时间；物的排队则说明了物资的积压。
但是排队现象却无法完全消失，这是一种随即现象。
由于顾客到达间隔时间的随机性和为顾客服务时间的随机性是排队现象产生的原因。
如果上述的两个时间是固定的，我们就可以通过妥善安排来完全消除排队现象。
排队论是研究排队系统在不同的条件下（最主要的是顾客到达的随机规律和服务时间的随机规律）产生的排队现象的随机规律性。
也就是要建立反映这种随机性的数学模型。
研究的最终目的是为了运用这些规律，对实际的排队系统的设计与运行做出最优的决策。
排队论中的数学模型是根据概率和随机过程的理论建立起来的，我们先来讨论泊松过程和生灭过程，然后,再此基础上研究排队系统的结构及其主要的数学模型，最后研究排队系统的优化问题。
9.1泊松过程和生灭过程9.1.1 泊松过程如果用表示在[0时间内顾客到达的总数，则对于每个给定的时刻，都是一个随机变量。
随即变量族()N t ,]t t ()N t {(称作是一个随机过程。
)[0,]}N t t T ∈若对，有12n n t t t t +<<<"1111122(()(),(),,()n n n P N N N N t i t i t i t ++==="n i =11(()())n n n P N N t i t ++==n i = (9-1)则称随即过程{(为马尔柯夫过程。
Queue Theory
排队论课件
21
M/M/1/N/ 举例
M/M/s with Finite Queue
Arrival rate 5 Service rate 6 Number of servers 1 Maximum queue length 4 Utilization P(0), probability that the system is empty Lq, expected queue length L, expected number in system Wq, expected time in queue W, expected total time in system Probability that a customer waits Probability that a customer balks
0.16 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 NUMBER IN SYSTEM 28 30 32 34 36 38 40
♂
Probability
排队论课件
24
其他模型
M/M/c/K/K
1
(c )c P0 P c !(1 ) P P Lq , L c 1 1 L 1 W , Wq W
排队论课件23M/M/c 举例
M/M/s queuing computations
Arrival rate Service rate Number of servers 10 6 2 83.33% 0.0909 3.7879 5.4545 0.3788 0.5455 Utilization P(0), probability that the system is empty Lq, expected queue length L, expected number in system Wq, expected time in queue W, expected total time in system
运筹学课件排队论
一般分布(所有顾客的服务时间都是独 立同分布的)等等。
1.基 本 概 念
（三）排队系统的描述符号与分类
为了区别各种排队系统，根据输 入过程、排队规则和服务机制的变化对 排队模型进行描述或分类，可给出很多 排队模型。为了方便对众多模型的描述， 肯道尔（D．G．Kendall）提出了一种 目前在排队论中被广泛采用的 “Kendall记号”，完整的表达方式通 常用到6个符号并取如下固定格式：
前言
顾客为了得到某种服务而到达系统、若不 能立即获得服务而又允许排队等待，则加 入等待队伍，待获得服务后离开系统，见 图1至图5。
图1 单服务台排队系统
前言
图2 单队列——S个服务台并联的排队系统 图3 S个队列——S个服务台的并联排队系统
前言
图4 单队——多个服务台的串联排队系统 图5 多队——多服务台混联、网络系统
一般来说，排队论所研究的排队系统中， 顾客到来的时刻和服务台提供服务的时间长 短都是随机的，因此这样的服务系统被称为 随机服务系统。
1.基 本 概 念
一 排队系统的描述
（一）系统特征和基本排队过程 实际的排队系统虽然千差万别，但是它们 有以下的共同特征：
(1)有请求服务的人或物——顾客； (2)有为顾客服务的人或物，即服务员或服务台；
队长和排队长一般都是随机变量。 我们希望能确定它们的分布，或至少能 确定它们的平均值(即平均队长和平均 排队长)及有关的矩(如方差等)。队长 的分布是顾客和服务员都关心的，特别 是对系统设计人员来说，如果能知道队长
的分布，就能确定队长超过某个数的概率， 从而确定合理的等待空间。
1.基 本 概 念
2．等待时间和逗留时间 从顾客到达时刻起到他开始接受服务止这段
周荫清《随机过程理论》word版
目录前言 (1)第一章概率与随机变量 (2)1、随机事件及其概率 (2)2、随机变量及分布函数 (3)3、数字特征 (4)4、特征函数 (5)第二章随机过程概述 (6)1、随机过程的概念 (6)2、平稳随机过程 (7)3、平稳随机过程的各态历经性 (8)4、平稳过程的功率谱密度 (9)第三章随机过程的线性变换 (10)1、随机过程变换的基本概念 (10)2、均方微积分 (10)3、随机过程线性变换的微分方程法 (13)4、随机过程的冲激响应法和频谱法 (14)第四章窄带随机过程 (15)1、窄带随机过程的基本概念 (15)2、窄带平稳随机过程的数字特征 (16)第五章高斯随机过程 (18)1、高斯随机过程 (18)2、窄带平稳实高斯随机过程 (18)第六章泊松随机过程 (20)1、泊松计数过程 (20)2、泊松过程的基本概念 (21)第七章总结 (24)前言随机过程(Stochastic Process)是一连串随机事件动态关系的定量描述。
数学上的随机过程可以简单的定义为一组随机变量，即指定一参数集，对于其中每一参数点t指定一个随机变量x(t)。
如果回忆起随机变量自身就是一个函数，以ω表示随机变量x(t)的定义域中的一点，并以x(t，ω)表示随机变量在ω的值，则随机过程就由刚才定义的点偶(t，ω)的函数以及概率的分配完全确定。
如果固定t，这个二元函数就定义一个ω的函数，即以x(t)表示的随机变量。
如果固定ω，这个二元函数就定义一个t的函数，这是过程的样本函数。
随机过程论与其他数学分支如位势论、微分方程、力学及复变函数论等有密切的联系，是在自然科学、工程科学及社会科学各领域研究随机现象的重要工具。
随机过程论目前已得到广泛的应用，在诸如天气预报、统计物理、天体物理、运筹决策、经济数学、安全科学、人口理论、可靠性及计算机科学等很多领域都要经常用到随机过程的理论来建立数学模型。
随机过程整个学科的理论基础是由柯尔莫哥洛夫和杜布奠定的。
随机过程在排队论中的应用
在我们的日常生活中，常常遇到资源有限而需要按一定规则排队的情况，例如到超市购物付款，买火车票，数据的传输，电路交换等等，资源的有限性以及服务的随机性是排队现象存在的基础，研究这一类问题具有普遍意义。
数学中，通过随机过程分析来研究排队问题的方法论称为排队论，本文就是利用数学的随机过程理论来分析排队问题，讲述最基本的排队模型，标准的M/M/1 模型，分析代表其系统运行情况的指标。
排队系统一般来说是由等待资源的顾客和提供服务的服务员构成，由于顾客的到达与服务完毕的时间是不确定的，所以排队系统存在随机性。
为了既能保证服务质量又不浪费服务资源，人们在随机过程的基础上发展起来了一种数学方法—排队论。
任何排队系统都有三个基本参数，服务员的数目也称窗口数m ，顾客的到达速率λ，系统的服务速率μ。
除此之外，为了很好的描述系统的运行状态，还要研究顾客到达的时间间隔ti ，以及服务时间τi 的统计分布和排队规则。
最常用的方法也是比较合适的方法是认为它们服从指数分布，因为指数分布具有无记忆性，与现实中的一大类情况相似，并且使得排队过程称为马尔可夫过程。
所以要对排列规则做如下的假设：平稳性：到达k 个顾客的概率只和顾客到达的时间间隔t 有关，与起始时刻无关。
无后效性：顾客到达的时刻无相独立疏稀性：在无限小的时间间隔内，到达两个及以上顾客的概率为0，且在有限时间区间内到达的顾客数是有限的。
上面说做的假设，可以保证顾客到达的时间间隔t 为指数分布的随机变量，在现实生活中的排队系统里上述假设也是成立或者近似成立的。
t 的概率密度函数为 a(t)= λe −λt 式中的λ是顾客的到达率。
可以证明在T 时间间隔内，有k 个顾客到达的概率符合泊松分布：P k (T)=(λT)kk ! e −λT由于已经说明两个顾客服务所需的时间是互不相关的，平稳的，疏稀的，则服务时间τ的分布也服从指数分布b(τ)= μe −μτ类似的，在T 时间内，有k 个顾客被服务后离去的概率为Q k (T)=(μT)k k!e −μT 有了这些基础后，下面开始介绍一种基本的排队模型。
排队论
实用排队论排队论又称随机服务系统，它应用于一切服务系统，包括生产管理系统、通信系统、交通系统、计算机存储系统。
它通过建立一些数学模型，以对随机发生的需求提供服务的系统预测。
现实生活中如排队买票、病人排队就诊、轮船进港、高速路上汽车通过收费站、机器等待修理等等。
一、排队论的基本构成（1）输入过程输入过程是描述顾客是按照怎样的规律到达排队系统的。
包括①顾客总体：顾客的来源是有限的还是无限的。
②到达的类型：顾客到达是单个到达还是成批到达。
③相继顾客到达的时间间隔：通常假定是相互独立同分布，有的是等间隔到达，有的是服从负指数分布，有的是服从k 阶Erlang 分布。
（2）排队规则排队规则指顾客按怎样的规定的次序接受服务。
常见的有等待制，损失制，混合制，闭合制。
当一个顾客到达时所有服务台都不空闲，则此顾客排队等待直到得到服务后离开，称为等待制。
在等待制中，可以采用先到先服务，如排队买票；也有后到先服务，如天气预报；也有随机服务，如电话服务；也有有优先权的服务，如危重病人可优先看病。
当一个顾客到来时，所有服务台都不空闲，则该顾客立即离开不等待，称为损失制。
顾客排队等候的人数是有限长的，称为混合制度。
当顾客对象和服务对象相同且固定时是闭合制。
如几名维修工人固定维修某个工厂的机器就属于闭合制。
(3)服务机构服务机构主要包括：服务台的数量；服务时间服从的分布。
常见的有定长分布、负指数分布、几何分布等。
二、排队系统的数量指标(1)队长与等待队长队长（通常记为s L ）是指系统中的平均顾客数（包括正在接受服务的顾客）。
等待队长（通常记为q L ）指系统中处于等待的顾客的数量。
显然，队长等于等待队长加上正在服务的顾客数。
(2)等待时间等待时间包括顾客的平均逗留时间（通常记为s W ）和平均等待时间（通常记为q W ）。
顾客的平均逗留时间是指顾客进入系统到离开系统这段时间，包括等待时间和接受服务的时间。
顾客的平均等待时间是指顾客进入系统到接受服务这段时间。
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引理
对于不可约非周期的马尔可夫链，令{pij，i,j
= 0,1,2,…}为一步转移概率，若不等式组
p y
j 0 ij
j
y i 1,
i0
存在一个满足条件
p
j 0
0j
yj
的非负解，则此马尔可夫链是正常返的。
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又
A( z ) jaj E[ v n ]
j 0
所以
p0 1 1
即
1 p0 1
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60－20
推论1
对于嵌入马尔可夫链{Nn+，n≥1}， 1. 当＝/≥1时，此马氏链是零常返或非常返的，n步 转移概率的极限 lim p ij (n ) 0, i, j 0,1,2, 且不存在平稳分布。 2. 当＝/＜1时，此马氏链是正常返的，n步转移概率 的极限存在，且 lim p ij (n) lim P{Nn j} p j 0 进一步，{pj+，j0}是唯一的平稳分布,有递推表达式
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60－10
Vn的均值
vn表示在第n个顾客的服务时间n内到达的 顾客数，vn分布函数为
a j P{ v n j}
0
( t ) j t e dG(t ), j!
j 0
Vn均值为
E[ vn ] jaj j
j 0 j 0 0
• • • 问题的引入 Ⅰ号台的队长 车辆在Ⅰ号台的等待时间
计算机科学与工程学院 顾小丰 60－2
2016/5/18
本讲主要内容
一般服务的M/G/1/排队系统
• 嵌入马尔可夫链 • 对长
• 等待时间与逗留时间
• 忙期
• 输出过程
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顾小丰60－3来自第七章 一般服务的M/G/1/排队系统
pij P{Nn j | N 1 n i}
P{ v j i 1}, i 1 i0 P{ v j}, 当i≥1时， j i 1 (t ) P{ v j i 1} e t dG(t ), 0 ( j i 1)!
j 0,1,2,
存在，且{pj+，j≥0}是{Nn+，n≥1}唯一的平稳分布， 且满足 绝对分布由初始 p j p i p ij , j 0 分布和转移概率 i0 确定。而平稳分 pj 1 布的初始分布即 j 0 为极限分布。 利用一步转移概率矩阵，有
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定理
{Nn+，n≥1}为一不可约、非周期的齐次马尔
可夫链，其一步转移概率为
pij P{Nn j | N 1 n i}
( t ) j t e dG (t ), 0 j! i0 ( t ) j i 1 t e dG(t ), 0 i 1, j i 1 ( j i 1)! i 1, j i 1 0
前面内容着重讨论了按泊松流到达与负指数服务时
间的简单排队系统，它的主要特点是在任何时刻系统都 具有较好的马尔可夫性，能比较容易地得到队长分布的
平稳解，因此部分内容相对讲可以看作是初等的。
对于一般服务或一般到达的排队系统，并不是任何
时刻系统都具有马尔可夫性，只是在某些特殊的随机时 刻系统才具有这种性质，我们称这种随机时刻为再生点， 即从这个时刻起，系统好像又重新开始一样。利用再生 点，一般服务或一般到达的排队系统可化成马尔可夫链， 用马尔可夫链的方法来解决，这种方法叫做嵌入马尔可 夫链法。此方法的精髓在于找到再生点。
p p a p i a ji1 , j 0 j i 1 j1
j 0
顾小丰 60－18
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证明(续2)
引入母函数
P ( z ) p z , A( z ) a j z j , z 1
j 0 j j j 0
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证明(续2)
当i＝0时，
P{ v j}
0
( t ) j t e dG(t ), j!
从一步转移概率表达式容易看出，pij，i,j=0,1,2,… 与时间的起点无关，而且任意两个状态是互通的， pii＞0， {Nn+，n≥1}为一不可约、非周期的齐次马 尔可夫链。
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Vn的二阶矩
Vn的二阶矩为
E[ v n ] j2a j j2
2 j 0 j 0 0
( t ) j t e dG(t ) j!
0
j ( t ) 2 2 t j e dG(t ) E[Tn ]dG(t ) 0 j! j 0
n1
由于{vn，n≥1}相互独立同分布，所以令vn ＝v ， n≥1，有
Nn 1 N n 1 v, N n 0 , Nn 0 v,
n1
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证明(续1)
从上式可以看出，当已知Nn+时， Nn+1+只与到达 过程有关，而与N1+, N2+,…, Nn-1+无关，所以是马 尔可夫链，其状态空间E＝{0,1,2,…}。 其一步转移概率为：
( t ) j t e dG(t ) j!
j j1 ( t ) ( t ) et j dG(t ) tet dG(t ) 0 0 j! j 0 j1 ( j 1)! t t te e dG(t ) tdG(t ) 0 0
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§7.1 嵌入马尔可夫链
1. M/G/1/排队系统的叙述
顾客按参数(＞0)的泊松流到达，即相继到达的间隔 时间序列{n，n≥1}独立、服从参数为(＞0)的负指数 分布F(t)＝1-e-t，t≥0；
顾客所需的服务时间序列{i，i≥1}独立、同一般分布
2
{D[Tn ] E [Tn ]}dG(t ) [t (t )2 ]dG(t )
0 0
tdG(t )
0
2
0
t dG(t ) 2E[ 2 ]
2
2 {D[] E2 []} 2 D[] 2
2.嵌入马尔可夫链
假定N(t)表示在时刻t系统中的顾客数(队长)， 对于M/G/1/ 排队系统，由于服务时间是一般分 布，对任选的一个时刻t正在接受服务的顾客可能 还没有服务完。从时刻t起的剩余服务时间分布可 能不具有无记忆性，于是队长{N(t)，t≥0}不再具 有马尔可夫性。但是，若令Nn+表示第n个顾客服 务完毕离开时留在系统中的顾客数，即留下的队 长，n≥1，则下面定理表明{Nn+，n≥1}是马尔可夫 链，被称为队长过程{N(t)，t0}的嵌入马尔可夫 链。
j 0,1,2,
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推论2
对任意正整数m，有
m p j , 1 lim P{N n m} j 0 n 1 0,
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Vn的方差
Vn的方差为
D[vn ] E[vn ] E2 [vn ] 2 D[]
2
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一步转移概率
嵌入马尔可夫链{Nn+，n≥1}的一步转移概率矩
阵为：
其中：
a0 a0 0 P 0 0
j1
j 0
j 0 i 1
于是
p 0 (1 z )A( z ) P (z ) A( z ) z
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证明(续3)
由于P+(1)=A(1)=1，用求极限的洛必塔法则，得
p A ( z ) p ( 1 z ) A ( z ) p 0 0 0 1 lim P ( z ) lim z 1 z 1 A( z ) 1 A(1) 1
随机过程与排队论
计算机科学与工程学院 顾小丰 Email：guxf@ 2016年5月18日星期三
上一讲内容回顾
M/M/c/m/m损失制系统
• • • • 问题的引入 队长——故障的机器数 问题的引入 故障的机器数
有备用品的M/M/c/m+K/m系统 二阶段循环排队系统
i1
即{yj，j≥0}满足引理的条件，因此嵌入马尔可夫 链{Nn+，n≥1}是正常返的。
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证明(续1)
必要性。设嵌入马尔可夫链{Nn+，n≥1}是正常返 的，则由极限定理知，它是遍历马氏链，且
lim P{N n j} p j 0, n
定理
嵌入马尔可夫链{Nn+，n≥1}为正常返
的充分必要条件是＝/＜1。
2016/5/18
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60－16